第二讲目标规划模型 (高级运筹学课件)

二、目标规划的解法
由于目标规划有多个目标，各个目标又有相对不同的 重要性，求解时是首先满足重要性权数大的目标，再满足 重要性权数次大的目标，所以并不能保证所有的目标都能 达到，所求的解也不一定是最优解，而只能求出满意解。 11
求解目标规划的仍用单纯形法，但是与线性规划 的单纯形法不同的是，此时检验数行不再是一行， 而是变化为一个检验数矩阵。
Cij Ai A1 A2 A3 bj Bj B1 B2 B3 B4 ai
5 3 4 200
2 5 5 100
6 4 2 450
7 6 3 250
300 200 400
解：用表上作业法可求得不考虑P1至P6各目标时的最小运 9 费调运方案，相应的最小运费为2950元
（1）决策变量：设Ai运往Bj的物资为xij吨
同样设d2- 和d2+ 分别表示安排生产时，低于可利用工时和 高于可利用工时，即加班工时的偏差变量，则对目标2，有 3x1+2x2+ d2--d2+ =26 对于目标3，设d3-和d3+分别表示安排生产时，低于计划利 3 润30元和高于计划利润30元的偏差变量，有：
4x1+3x2+ d3--d3+ =30 （2）约束条件：有资源约束和目标约束 资源约束：2x1+3x2≤24
对4级有： x3+d8--d8+=30 18%
4）总提级面人数不大于20%，但尽可能多提 x1+ x2+ x3+d9--d9+=100 20%
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（3）目标函数：
minZ1=d1+
minZ2=d2++d3++ d4++ d5+ minZ3=d6-+ d7-+ d8minZ4=d9++ d9案例3 有三个产地向四个销地供应物资。产地Ai(i=1,2,3) 的供应量ai、销地Bj(j=1,2,3,4)的需要量bj、各产销地之间 的单位物资运费Cij如表2所示。表中，ai和bj的单位为吨 ，Cij的单位为元/吨。编制调运方案时要求按照相应的优 先级依次考虑下列七个目标： P1：B4是重点保证单位，其需要量应尽可能全部满足； P2：A3向B1提供的物资不少于100吨；
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2）各级员工不要超过定编人数 1级有： 10-10 8%+x1+d2--d2+=10 2级有： 20-x1+ x2+d3--d3+=22 30-x3+ x4+d5--d5+=30
3级有： 40-x2+ x3+d4--d4+=52
4级有： 3）各级员工的升级面不少于现有人数的18% 对2级有： x1+d6--d6+=22 18% 对3级有： x2+d7--d7+=40 18%
x12 x 22 x32 d 4 d 4 80 x13 x 23 x33 d 5 d 5 360 cij xij d 6 d 6 3245 x 24 d 7 d 7 0 3 4
销量80%的限制
x1 0 0 0 1
x2 0 1 0 0
x3 7/5 1/5 -1 1/5
d1-6/5 2/5 1 -3/5 -1 1
d20 0 1 0
d 3-1 0 0 0
d1+ 6/5 -2/5 -1 3/5
d2+ 0 0 -1 0
d3+ 1 0 0 0
-1
-1
-2
-1
因而满意解为：x1=24/5，x2=24/5，d2-=2，d3+=18/5
其中第一、三目标已达到最优，第二个目标未达最优。
目标利润 Z=4x1+3x2=168/5
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解：（1）决策变量：设x1,x2,x3,x4分别表示提升到1，2，3 级和新录用的员工数。
偏差变量：为各目标的正、负偏差变量。
（2）约束条件：
1） 提级后在职员工的工资总额不超过550千元；
8(10-108%+x1)+6(20-x1+x2)+4(40-x2+x3)+3(30-x3+x4)+d1--d1+=550
一、目标规划模型的建立
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引例1： 对于生产计划问题：
甲
材料 工时 单位利润 2 3 4
乙
3 2 3
资源限额
24 26
现在工厂领导要考虑市场等一系列其他因素，提出如下目 标： （1）根据市场信息，甲产品的销量有下降的趋势，而乙产 品的销量有上升的趋势，故考虑乙产品的产量应大于甲产 品的产量。
（2）尽可能充分利用工时，不希望加班。
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案例2（提级加新问题） 某公司的员工工资有四级，根
据公司的业务发展情况，准备招收部分新员工，并将部分 员工的工资提升一级。该公司的员工工资及提级前后的编 制表如下，其中提级后编制是计划编制，允许有变化，其 中1级员工中有8%要退休。公司领导的目标如下： （1）提级后在职员工的工资总额不超过550千元；
解 （1）取x3，d1-，d2-，d3-为基变量，建立初始单纯形表
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XB x3 d1d2d3Z1 Z2 Z3
b 24 0 26 30 0 26 30
x1 2 -1 3 4 -1 3 4
x2 3 [1] 2 3 1 2 3
x3 1 0 0 0
d10 1 0 0
d20 0 1 0
d3 0 0 0 1
x11 x12 x13 x14 300 产量约束 x 21 x 22 x 23 x 24 200 （2）约束条件：x31 x32 x33 x34 400 x14 x 24 x34 d 1 d 1 250 B4销量要满足 x31 d 2 d 2 100 x11 x 21 x31 d 3 d 3 160
目标约束：为上述各目标中得出的约束
（3）目标函数：三个目标依次为： minZ1=d1- ，minZ2=d2++d2- ，minZ3=d3因而该问题的数学模型可表述如下： minZ1=d1- ，minZ2=d2++d3;3x2≤24
s．t． -x1+x2+ d1-- d1+ =0 3x1+2x2+ d2--d2+ =26 4x1+3x2+ d3--d3+ =30
d1+ 0 -1 0 0 -1
d2+ 0 0 -1 0 -2
d3+ 0 0 0 -1 -1
迭代的步骤完全与线性规划的单纯形法一样。
（2）满意解的判定：检验数矩阵的每一列从上至下第一个
非零元为负数，则解为满意解。迭代的最优表如下：
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XB d3+ x2 d2x1 Z1 Z2 Z3
b 18/5 24/5 2 24/5 0 2 0
（3）应尽可能达到并超过计划利润30元。 现在的问题是：在原材料不能超计划使用的前提下，如何 2 安排生产才能使上述目标依次实现？
解：（1）决策变量：仍设每天生产甲、乙两种产品各为x1 和x2 偏差变量：对于每一目标，我们引进正、负偏差变量。 如对于目标1，设d1- 表示乙产品的产量低于甲产品产量 的数，d1+表示乙产品的产量高于甲产品产量的数。称它们 分别为产量比较的负偏差变量和正偏差变量。则对于目标1 ，可将它表示为等式约束的形式 -x1+x2+ d1-- d1+ =0 (目标约束)
P3：每个销地得到的物资数量不少于其需要量的80%；
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P4：实际的总运费不超过当不考虑P1至P6各目标时的最小 总运费的110%，这里的最小总费用利用第三大题中第2小题 求出的结果； P5：因路况原因，尽量避免安排A2的物资运往B4； P6：对B1和B3的供应率要尽可能相同； P7：力求使总运费最省。 试建立该问题的运筹学模型。
第二讲
目标规划模型
线性规划问题都是处理单个目标的情况，但是在现实世 界中有许多问题具有多个目标，这些目标的重要性各不相 同，往往有不同的量纲，有的目标相互依赖，例如决策者 既希望实现利润最大，又希望实现产值最大；有的相互抵
触，如决策者既希望充分利用资源，又不希望超越资源限
量。而决策者希望在某些限制条件下，依次实现这些目标 。这就是目标规划所要解决的问题。当所有的目标函数和 约束条件都是线性时，我们称其为线性目标规划问题。在 这里我们主要讨论线性目标规划问题。
例4
用单纯形法求解如下线性目标规划模型
minZ1=d1-，minZ2=d2++d2-，minZ3=d32x1+3x2≤24 加入松驰变量化为标准形 2x1+3x2+ x3=24 s．t． -x1+x2+ d1-- d1+ =0
3x1+2x2+ d2--d2+ =26
4x1+3x2+ d3--d3+ =30
i 1 j 1
供应率尽可能相同 ( x11 x 21 x31)
3 4 i 1 j 1
200 ( x13 x 23 x33) d 8 d 8 0 450
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cij xij d 9 d 9 2950
（3）目标函数 min Z 1 d 1 min Z 2 d 2 min Z 3 d 3 d d 5 4 min Z 4 d 6 min Z 5 d 7 min Z 6 d 8 d 8 min Z 7 d 9
（2）各级员工不要超过定编人数；
（3）为调动积极性，各级员工的升级面不少于现有人数的 18%； （4）总提级面不大于20%，但尽可能多提； （5）4级不足编制人数可录用新工人。