复数概念及公式总结

数学复数高考知识点总结

数学复数高考知识点总结一、复数的概念和表示方法1.1 复数的定义复数是由实数和虚数构成的数，一般形式为a+bi，其中a为实部，bi为虚部，i为虚数单位，满足i²=-1。

1.2 复数的表示方法复数可以用直角坐标系和极坐标系表示。

在直角坐标系中，复数z=a+bi可以表示为有序数(a,b)，其中a为实部，b为虚部；在极坐标系中，复数z=a+bi可以表示为z=r(cosθ+isinθ)，其中r为模，θ为幅角。

1.3 复数的加减法复数的加减法与实数的加减法类似，实部与实部相加减，虚部与虚部相加减。

1.4 复数的乘法复数的乘法可利用分配律和i²=-1进行计算，即(a+bi)×(c+di)=ac+adi+bci+bdi²=(ac-bd)+(ad+bc)i。

1.5 复数的除法复数的除法需要将除数与被除数同时乘以共轭复数，然后利用分配律进行计算。

1.6 复数的共轭复数z=a+bi的共轭是z的实部不变，虚部取负数，即z的共轭为a-bi。

1.7 复数的模和幅角复数z=a+bi的模是z距离原点的长度，又可以表示为|z|=√(a²+b²)；复数z的幅角是z与正实轴之间的夹角，一般取在-π<θ≤π的区间内。

1.8 二次根式对于复数z=a+bi，其二次根式为±√z=±(√r)(cos(θ/2)+isin(θ/2))，其中r为z的模，θ为z 的幅角。

二、复数的应用2.1 复数的几何意义复数可以表示平面上的点，实部代表横坐标，虚部代表纵坐标；复数的模代表点到原点的距离，复数的幅角代表点与正实轴之间的夹角。

2.2 解析式解析式是指利用复数形式的代数式表示函数值，在一些复杂的数学问题中，可以利用复数的解析式简化计算。

2.3 需解方程部分方程的解需要引入复数，如一元二次方程的解可能为复数，解方程时需考虑复数根的情况。

2.4 矩阵计算在一些特定矩阵的计算中，可能出现复数，需要利用复数的运算规则进行计算。

复数概念及公式总结

复数概念及公式总结复数是数学中一个重要的概念，它在代数、解析几何、微积分等多个数学分支中都有着重要的应用。

本文将对复数的概念及相关公式进行总结，希望能够帮助读者更好地理解和运用复数。

一、复数的概念。

复数是由实数和虚数组成的数，一般表示为a+bi，其中a为实部，b为虚部，i 为虚数单位，满足i²=-1。

复数可以用平面直角坐标系中的点来表示，实部对应x 轴，虚部对应y轴。

复数的模长是指复数到原点的距离，记作|a+bi|=√(a²+b²)。

复数的共轭是指虚部取负，即a-bi。

二、复数的运算。

1. 加减法，实部和虚部分别相加减。

(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i。

(a+bi) (c+di) = (a-c) + (b-d)i。

2. 乘法，先用分配律展开，然后利用i²=-1化简。

(a+bi) (c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i。

3. 除法，将分子有理化，然后利用共轭的性质进行化简。

(a+bi) / (c+di) = (ac+bd)/(c²+d²) + (bc-ad)/(c²+d²)i。

三、复数的指数形式。

复数可以用指数形式表示，即a+bi = r(cosθ + isinθ)，其中r为模长，θ为幅角。

根据欧拉公式，e^(iθ) = cosθ + isinθ，所以复数也可以表示为a+bi = re^(i θ)。

四、复数的常见公式。

1. 欧拉公式，e^(iπ)+1=0，这是数学中最著名的等式之一，将自然对数的底e、圆周率π、虚数单位i、单位复数1组合在一起。

2. 范-诺伊曼级数，1+2+3+4+...=-1/12，这是一个看似荒谬但又被证明正确的等式，它涉及了复数的无穷级数求和。

3. 费马大定理，xⁿ+yⁿ=zⁿ在n大于2时无整数解，这是数论中著名的定理，它与复数的幂运算有着密切的联系。

高考复数知识点精华总结

高考复数知识点精华总结1．复数的概念：（1）虚数单位i ；（2）复数的代数形式z=a+bi ，(a, b ∈R)；（3）复数的实部、虚部、虚数与纯虚数。

2．复数集整数有理数实数(0)分数复数(,)无理数(无限不循环小数)纯虚数(0)虚数(0)非纯虚数(0)b a bi a b R a b a ⎧⎧⎧⎪⎪⎨=⎨⎪⎩⎪⎪+∈⎨⎩⎪⎧≠⎪≠⎨⎪=⎩⎩3．复数a+bi(a, b ∈R)由两部分组成，实数a 与b 分别称为复数a+bi 的实部与虚部，1与i 分别是实数单位和虚数单位，当b=0时，a+bi 就是实数，当b ≠0时，a+bi 是虚数，其中a=0且b ≠0时称为纯虚数。

应特别注意，a=0仅是复数a+bi 为纯虚数的必要条件，若a=b=0，则a+bi=0是实数。

4．复数的四则运算若两个复数z1=a1+b1i ，z2=a2+b2i ，（1）加法：z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)i ；（2）减法：z1－z2=(a1－a2)+(b1－b2)i ；（3）乘法：z1·z2=(a1a2－b1b2)+(a1b2+a2b1)i ；（4）除法：11212211222222()()z a a b b a b a b i z a b ++-=+；（5）四则运算的交换率、结合率；分配率都适合于复数的情况。

（6）特殊复数的运算：① ni (n 为整数)的周期性运算； ②(1±i)2 =±2i ；③ 若ω=-21+23i ，则ω3=1，1+ω+ω2=0.5．共轭复数与复数的模（1）若z=a+bi ，则z a bi =-，z z +为实数，z z -为纯虚数(b ≠0).（2）复数z=a+bi 的模, 且2||z z z ⋅==a2+b2.6.根据两个复数相等的定义，设a, b, c, d ∈R ，两个复数a+bi 和c+di 相等规定为a+bi=c+di a c b d =⎧⇔⎨=⎩. 由这个定义得到a+bi=0⇔00a b =⎧⎨=⎩.两个复数不能比较大小，只能由定义判断它们相等或不相等。

(完整版)高考复数知识点精华总结

复数1．复数的概念：（1）虚数单位i ；（2）复数的代数形式z=a+bi ，(a, b ∈R)；（3）复数的实部、虚部、虚数与纯虚数。

2．复数集整数有理数实数(0)分数复数(,)无理数(无限不循环小数)纯虚数(0)虚数(0)非纯虚数(0)b a bi a b R a b a ⎧⎧⎧⎪⎪⎨=⎨⎪⎩⎪⎪+∈⎨⎩⎪⎧≠⎪≠⎨⎪=⎩⎩3．复数a+bi(a, b ∈R)由两部分组成，实数a 与b 分别称为复数a+bi 的实部与虚部，1与i 分别是实数单位和虚数单位，当b=0时，a+bi 就是实数，当b ≠0时，a+bi 是虚数，其中a=0且b ≠0时称为纯虚数。

应特别注意，a=0仅是复数a+bi 为纯虚数的必要条件，若a=b=0，则a+bi=0是实数。

4．复数的四则运算若两个复数z1=a1+b1i ，z2=a2+b2i ，（1）加法：z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)i ；（2）减法：z1－z2=(a1－a2)+(b1－b2)i ；（3）乘法：z1·z2=(a1a2－b1b2)+(a1b2+a2b1)i ；（4）除法：11212211222222()()z a a b b a b a b i z a b ++-=+；（5）四则运算的交换率、结合率；分配率都适合于复数的情况。

（6）特殊复数的运算：① ni (n 为整数)的周期性运算； ②(1±i)2 =±2i ；③ 若ω=-21+23i ，则ω3=1，1+ω+ω2=0.5．共轭复数与复数的模（1）若z=a+bi ，则z a bi =-，z z +为实数，z z -为纯虚数(b ≠0).（2）复数z=a+bi 的模且2||z z z ⋅==a 2+b 2.6.根据两个复数相等的定义，设a, b, c, d ∈R ，两个复数a+bi 和c+di 相等规定为a+bi=c+di a c b d =⎧⇔⎨=⎩. 由这个定义得到a+bi=0⇔00a b =⎧⎨=⎩. 两个复数不能比较大小，只能由定义判断它们相等或不相等。

高考复数知识点总结

高考复数知识点总结复数是高中数学中的一个重要内容，也是高考数学中的常考知识点。

理解和掌握复数的相关知识，对于提高数学成绩和解决数学问题具有重要意义。

下面我们就来对高考中复数的知识点进行一个全面的总结。

一、复数的定义形如 a ＋ bi（a，b∈R）的数叫做复数，其中 a 叫做复数的实部，b 叫做复数的虚部。

当 b ＝ 0 时，复数 a ＋ bi 为实数；当b ≠ 0 时，复数a ＋ bi 为虚数；当 a ＝ 0，b ≠ 0 时，复数 a ＋ bi 为纯虚数。

二、复数的表示形式1、代数形式：z ＝ a ＋ bi（a，b∈R）2、几何形式：在复平面内，复数z ＝a ＋bi 对应点的坐标为（a，b），其中实轴上的点表示实数，虚轴上的点（除原点外）表示纯虚数。

3、三角形式：z ＝ r（cosθ ＋isinθ），其中 r ＝√（a²＋ b²)，cosθ ＝ a/r，sinθ ＝ b/r。

4、指数形式：z ＝ re^（iθ)三、复数的运算1、复数的加法：（a ＋ bi）＋（c ＋ di）＝（a ＋ c）＋（b ＋d）i2、复数的减法：（a ＋ bi）（c ＋ di）＝（a c）＋（b d）i3、复数的乘法：（a ＋ bi）（c ＋ di）＝（ac bd）＋（ad ＋ bc）i4、复数的除法：（a ＋ bi）÷（c ＋ di）＝（ac ＋ bd)／（c²＋ d²) ＋（bc ad)／（c²＋ d²)i在进行复数运算时，要注意将复数的实部和虚部分别进行运算。

四、复数的模复数 z ＝ a ＋ bi 的模记作|z|，｜z| ＝√（a²＋ b²)。

复数的模表示复数在复平面上对应的点到原点的距离。

五、共轭复数两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数。

若 z ＝ a ＋bi，则其共轭复数为z＝ a bi。

共轭复数的性质：1、 z ＋z＝ 2a（实部的 2 倍）2、 z z＝ 2bi（虚部的 2 倍）3、 z·z＝ a²＋ b²＝｜z|²六、复数的方程1、实系数一元二次方程 ax²＋ bx ＋ c ＝ 0（a ≠ 0）在复数范围内的根的判别式：△＝ b² 4ac当△＞0 时，方程有两个不相等的实数根；当△＝ 0 时，方程有两个相等的实数根；当△＜0 时，方程有两个共轭虚根。

高中数学知识点归纳复数基础知识

高中数学知识点归纳复数基础知识高中数学中，复数是一个重要的概念。

复数既包括实数部分，也包括虚数部分。

在这篇文章中，我们将对高中数学中与复数相关的基础知识进行归纳总结。

一、复数的定义与表示复数可以用一个实数和一个虚数相加的形式来表示。

虚数单位i定义为i²=-1，其中i是虚数单位，i²是虚数单位的平方。

复数的一般形式为a+bi，其中a是实数部分，b是虚数部分。

二、复数的基本运算1. 复数的加法和减法：将实部和虚部分别相加或相减即可。

例如：(2+3i) + (5-2i) = 7 + i(2+3i) - (5-2i) = -3 + 5i2. 复数的乘法：使用分配律和虚数单位的定义进行计算。

例如：(2+3i)(5-2i) = 10 + 15i -4i -6i² = 16 + 11i3. 复数的除法：将除法运算转化为乘法运算，并进行分子、分母的真分数分解，最后再进行计算。

例如：(2+3i) / (5-2i) = [(2+3i)(5+2i)] / [(5-2i)(5+2i)] = (4+19i) / 29三、复数的性质1. 共轭复数：对于复数a+bi，它的共轭复数记作a-bi，实部不变，虚部取相反数。

例如：共轭复数：对于复数3+2i，它的共轭复数为3-2i。

2. 复数的模：对于复数a+bi，它的模记作|a+bi| = √(a² + b²)，表示复数到原点的距离。

例如：|3+4i| = √(3² + 4²) = 53. 复数的乘法公式：(a+bi)(a-bi) = a² - (bi)² = a² + b²。

其中，(bi)² = -b²。

四、复数在方程中的应用1. 复数根：复数可以用来求解高中数学中的二次方程。

例如：对于方程x² + 4 = 0，可以将其转化为(x+2i)(x-2i) = 0，从而得到x=±2i。

高考复数知识点精华总结

复数1．复数的概念：（1）虚数单位i ；（2）复数的代数形式z=a+bi ，(a, b ∈R)；（3）复数的实部、虚部、虚数与纯虚数。

2．复数集整数有理数实数(0)分数复数(,)无理数(无限不循环小数)纯虚数(0)虚数(0)非纯虚数(0)b a bi a b R a b a ⎧⎧⎧⎪⎪⎨=⎨⎪⎩⎪⎪+∈⎨⎩⎪⎧≠⎪≠⎨⎪=⎩⎩3．复数a+bi(a, b ∈R)由两部分组成，实数a 与b 分别称为复数a+bi 的实部与虚部，1与i 分别是实数单位和虚数单位，当b=0时，a+bi 就是实数，当b ≠0时，a+bi 是虚数，其中a=0且b ≠0时称为纯虚数。

应特别注意，a=0仅是复数a+bi 为纯虚数的必要条件，若a=b=0，则a+bi=0是实数。

4．复数的四则运算若两个复数z1=a1+b1i ，z2=a2+b2i ，（1）加法：z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)i ；（2）减法：z1－z2=(a1－a2)+(b1－b2)i ；（3）乘法：z1·z2=(a1a2－b1b2)+(a1b2+a2b1)i ；（4）除法：11212211222222()()z a a b b a b a b i z a b ++-=+；（5）四则运算的交换率、结合率；分配率都适合于复数的情况。

（6）特殊复数的运算：① ni (n 为整数)的周期性运算； ②(1±i)2 =±2i ；③ 若ω=-21+23i ，则ω3=1，1+ω+ω2=0.5．共轭复数与复数的模（1）若z=a+bi ，则z a bi =-，z z +为实数，z z -为纯虚数(b ≠0).（2）复数z=a+bi 的模且2||z z z ⋅==a 2+b 2.6.根据两个复数相等的定义，设a, b, c, d ∈R ，两个复数a+bi 和c+di 相等规定为a+bi=c+di a c b d =⎧⇔⎨=⎩. 由这个定义得到a+bi=0⇔00a b =⎧⎨=⎩. 两个复数不能比较大小，只能由定义判断它们相等或不相等。

复数总结

复数一：基本概念 1．复数的概念：（1）虚数单位i ；（2）复数的代数形式z=a+bi ，(a, b ∈R)；（3）复数的实部、虚部、虚数与纯虚数。

2．复数集b a+bi(a,b R)a 0)a 0)⎧⎧⎧⎪⎨⎪⎨⎩⎪⎪⎪∈⎨⎩⎪=⎧⎪≠⎨⎪≠⎩⎩整数有理数实数 (=0)分数复数无理数（无限不循环小数）纯虚数（虚数 (b 0)非纯虚数（复数a+bi(a, b ∈R)由两部分组成，实数a 与b 分别称为复数a+bi 的实部与虚部，1与i 分别是实数单位和虚数单位，当b=0时，a+bi 就是实数，当b ≠0时，a+bi 是虚数，其中a=0且b ≠0时称为纯虚数。

应特别注意，a=0仅是复数a+bi 为纯虚数的必要条件，若a=b=0，则a+bi=0是实数。

3．复数的四则运算若两个复数z1=a1+b1i ，z2=a2+b2i ，a) 复数的加法、减法、乘法运算与实数的运算基本上没有区别，最主要的是在运算中将i^2=－1结合到实际运算过程中去。

（1）加法：z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)i ；（2）减法：z1－z2=(a1－a2)+(b1－b2)i ；（3）乘法：z1·z2=(a1a2－b1b2)+(a1b2+a2b1)i ； b)复数的除法：复数的除法是复数乘法的逆运算，由于两个共轭复数的积是实数，因此复数的除法可以通过将分母实化得到，即.2211(11)*(22)1*21*2(1*21*2)22(22)*(22)22a b i a b i a b i a a b b a b i b a i a b i a b i a b i a b ++-++-+==++-+（4）四则运算的交换率、结合率；分配率都适合于复数的情况。

（5）特殊复数的运算：① ni (n 为整数)的周期性运算； ② (1±i)^2=±2i ；③ 若ω=－21+23i ，则ω^3=1，1+ω+ω^2=0.4. 复数z=a+bi 的模，|a|=22a b +, 且2||z z z ⋅==a^2+b^2.5. 共轭复数定义：对于复数z=a+bi ，称复数z =a-bi 为z 的共轭复数。

复数概念及公式总结

复数概念及公式总结1、虚数单位:它的平方等于-1，即2、与－1的关系: 就是－1的一个平方根，即方程x2=－1的一个根，方程x2=－1的另一个根是－3、的周期性：4n+1=i,4n+2=-1,4n+3=-i,4n=14、复数的定义：形如的数叫复数，叫复数的实部，叫复数的虚部全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示复数通常用字母z表示，即5、复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数，当且仅当b=0时，复数a+bi(a、b∈R)是实数a；当b≠0时，复数z=a+bi叫做虚数；当a=0且b≠0时，z=bi叫做纯虚数；a≠0且b≠0时，z=bi叫做非纯虚数的纯虚数；当且仅当a=b=0时，z就是实数0、5、复数集与其它数集之间的关系：NZQRC、6、两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等如果a，b，c，d∈R，那么a+bi=c+dia=c，b=d 一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小、如果两个复数都是实数，就可以比较大小当两个复数不全是实数时不能比较大小7、复平面、实轴、虚轴：点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi(a、b∈R)可用点Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面， x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴实轴上的点都表示实数（1）实轴上的点都表示实数（2）虚轴上的点都表示纯虚数（3）原点对应的有序实数对为(0，0)设z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数，8、复数z1与z2的加法运算律：z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i、9、复数z1与z2的减法运算律：z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i、10、复数z1与z2的乘法运算律：z1z2= (a+bi)(c+di)=(ac －bd)+(bc+ad)i、11、复数z1与z2的除法运算律：z1z2 =(a+bi)(c+di)=（分母实数化）12、共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数通常记复数的共轭复数为。

复数总结笔记

复数总结笔记一、什么是复数？复数是数学中的一个概念，由实数和虚数构成。

复数的形式为a + bi，其中a 表示实数部分，bi表示虚数部分，i是虚数单位。

复数可以表示为一个有序对(a, b)，其中a是实部，b是虚部。

复数的定义包含实数，即当虚部为0时，复数变为实数，例如3 + 0i变为3。

二、复数的运算1. 加法和减法复数的加法和减法与实数的加法和减法类似。

当两个复数相加（或相减）时，实部与实部相加（或相减），虚部与虚部相加（或相减）。

例如，(3 + 2i) + (4 + 5i) = 7 + 7i。

2. 乘法两个复数的乘法可以使用如下公式计算：(a + bi) * (c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i例如，(3 + 2i) * (4 + 5i) = 2 + 23i。

3. 除法两个复数的除法可以使用如下公式计算：(a + bi) / (c + di) = [(ac + bd) + (bc - ad)i] / (c^2 + d^2)其中除数的模不为零，即c^2 + d^2 ≠ 0。

4. 共轭复数的共轭是将复数的虚部取相反数。

例如，对于复数a + bi，它的共轭为a - bi。

三、复数的性质1. 模（绝对值）复数的模表示复数到原点的距离，可以通过如下公式计算：|a + bi| = √(a^2 + b^2)2. 平方根给定一个复数z，它的平方根可以表示为±√|z| * e^(iθ/2)，其中θ是复数z 的辐角。

3. 欧拉公式欧拉公式是一个重要的公式，它将指数函数、三角函数和复数联系起来，可以表示为e^(ix) = cos(x) + isin(x)。

根据欧拉公式，我们可以使用复数来简洁地表示三角函数。

四、应用领域复数在物理学、工程学和计算机科学等领域中有广泛应用，例如：•电路分析中用于计算交流电路中的电压和电流•信号处理中用于频域分析•控制系统中用于描述系统的动态特性•图像处理中用于表示图像的频域信息•数据压缩中用于傅里叶变换•量子力学中用于描述量子态和操作五、总结复数是实数和虚数的组合，在数学和应用领域中有重要的作用。

(完整版)高考复数知识点精华总结

1.复数的概念: (1 )虚数单位i ;(2) 复数的代数形式z=a+bi , (a, b € R)； (3) 复数的实部、虚部、虚数与纯虚数 2 .复数集3 .复数a+bi(a, b € R)由两部分组成，实数a 与b 分别称为复数a+bi 的实部与虚部，1与i 分别是实数单位和虚数单位，当 b=0时，a+bi 就是实数，当b 工0时，a+bi 是虚数，其中 a=0且b 工0时称为纯虚数。

应特别注意，a=0仅是复数a+bi 为纯虚数的必要条件，若 a=b=0，则a+bi=0是实数。

4. 复数的四则运算若两个复数 z1=a1+b1i ，z2=a2+b2i ， (1) 加法:z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)i；(2) 减法:z1 - z2=(a1 - a2)+(b1 - b2)i ； (3) 乘法:z1 z 2=(a1a2 - b1b2)+(a1b2+a2b1)i;z-i (a-i a 2 t 1b 2) (a 2t 1 a-|b 2)i— 2~Z~2(4)除法：z 2a 2b 2;(5) 四则运算的交换率、结合率；分配率都适合于复数的情况 (6) 特殊复数的运算：n2①i (n 为整数)的周期性运算； ②(1 ± i) = ±2i ;丄 3③若 3 =- 2 + 2 i ，则 3 3=1 ， 1+ 3 + 3 2=0.5. 共轭复数与复数的模实数(b 复数 a bi (a, b R) 0)无理数(无限不循环小数)虚数(b纯虚数(a 0) 非纯虚数(a 0)(1 )若z=a+bi，则z a bi，z z 为实数,(2)复数z=a+bi 的模|Z|= b ,且z zz z为纯虚数(b工0).2|z| =a2+b2.两个复数不能比较大小，只能由定义判断它们相等或不相等。

4 •复数a+bi 的共轭复数是a - bi ，若两复数是共轭复数，则它们所表示的点关于实轴对称若b=0，贝U 实数a 与实数a 共轭，表示点落在实轴上。

复数概念及公式总结

精品文档数系的扩充和复数概念和公式总结1. 虚数单位i:它的平方等于-1，即i2i2. i与一1的关系：i就是一1的一个平方根，即方程x2=—1的一个根，方程x2=—1的另一个根是一i3. i 的周期性：i4n+1=i, i4n+2=-1, i 4n+3=-i, i4n=14. 复数的定义：形如a bi (a, b R)的数叫复数，a叫复数的实部，b叫复数的虚部•全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示+复数通常用字母z表示，即卩z a bi(a,b R)5. 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数a bi(a,b R)，当且仅当b=0时，复数a+bi(a、b€ R)是实数a；当b^0时，复数z=a+bi叫做虚数；当a=0且0时，z=bi 叫做纯虚数；a^0且b^0时，z=bi叫做非纯虚数的纯虚数；当且仅当a=b=0时，z就是实数0.r Ao一正实数怛j是实数彳上m实数°羊负实数f—纯虚数biI匚非纯虚数的譴数5.复数集与其它数集之间的关系：NWZ丘QW RE C.6.两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等•如果a，b，c，d€ R，那么a+bi=c+di a=c，b=d 般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如果两个复数都精品文档复数Z a bi 的模Z Ja 2b2(6) a bi a bi a 2 b 2是实数，就可以比较大小+当两个复数不全是实数时不能比较大小+7. 复平面、实轴、虚轴：点Z 的横坐标是a ,纵坐标是b ,复数z=a+bi(a 、b € R)可用点Z(a , b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面， x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴•实轴上的点都表示实数• (1) 实轴上的点都表示实数• (2) 虚轴上的点都表示纯虚数. (3) 原点对应的有序实数对为(0, 0)设 z i =a+bi ，z 2=c+di(a 、b 、c 、d € R)是任意两个复数，8. 复数 z i 与 z 2 的加法运算律：z i +z 2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i. 9. 复数 z i 与 z 2 的减法运算律：z i -z 2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.10. 复数 z i 与 z 2 的乘法运算律：z i • z 2= (a+bi)(c+di)=(ac — bd)+(bc+ad)i.ac bd bc ad.八厂―ii 复数z i 与z 2的除法运算律：z i 十z 2 =(a+bi)* (c+di)= 2222 i (分母头数化)c d c dI2.共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数•虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数•通常记复数z 的共轭复数为z 。

复数概念及公式总结(经典)

复数概念和公式总结（经典）1.虚数单位i:它的平方等于-1，即21i=-2. i与－1的关系: i就是－1的一个平方根，即方程x2=－1的一个根，方程x2=－1的另一个根是－i3. i的周期性：i4n+1=i, i4n+2=-1, i4n+3=-i, i4n=14.复数的定义：形如(,)+∈的数叫复数，a叫复数的实部，b叫复数a bi ab R的虚部全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示复数通常用字母z表示，即(,)=+∈z a bi a b R5. 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数(,)+∈，当且a bi ab R仅当b=0时，复数a+bi(a、b∈R)是实数a；当b≠0时，复数z=a+bi叫做虚数；当a=0且b≠0时，z=bi叫做纯虚数；a≠0且b≠0时，z=bi叫做非纯虚数的纯虚数；当且仅当a=b=0时，z就是实数0.5.复数集与其它数集之间的关系：N Z Q R C.6. 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等如果a，b，c，d∈R，那么a+bi=c+di⇔a=c，b=d 一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如果两个复数都是实数，就可以比较大小当两个复数不全是实数时不能比较大小！7. 复平面、实轴、虚轴：点Z 的横坐标是a ，纵坐标是b ，复数z =a +bi (a 、b ∈R )可用点Z (a ，b )表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面， x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴实轴上的点都表示实数（1）实轴上的点都表示实数（2）虚轴上的点都表示纯虚数（3）原点对应的有序实数对为(0，0)设z 1=a +bi ，z 2=c +di (a 、b 、c 、d ∈R )是任意两个复数，8．复数z 1与z 2的加法运算律：z 1+z 2=(a +bi )+(c +di )=(a +c )+(b +d )i .9.复数z 1与z 2的减法运算律：z 1-z 2=(a +bi )-(c +di )=(a -c )+(b -d )i .10.复数z 1与z 2的乘法运算律：z 1·z 2= (a +bi )(c +di )=(ac －bd )+(bc +ad )i . 11.复数z 1与z 2的除法运算律：z 1÷z 2 =(a +bi )÷(c +di )=i dc ad bc d c bd ac 2222+-+++（分母实数化） 12.共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数通常记复数z 的共轭复数为z 。

复数的概念及四种表示方法

复数的概念及四种表示方法1. 复数是数学中的一种数形结构，表示为a + bi的形式，其中a和b都是实数，i是虚数单位，满足i^2 = -1。

2. 复数的实部是指复数a + bi中的实数部分a，虚部是指复数a + bi中的虚数部分bi。

3. 复数的共轭是指将复数a + bi中的虚数部分b取相反数，即变为a - bi。

复数的共轭可以表示为conjugate(a + bi)或者a*。

4. 复数可以表示为直角坐标形式，即a + bi，其中a表示复数在实轴上的位置，b表示复数在虚轴上的位置。

直角坐标形式也可以用于表示复数之间的运算。

5. 复数还可以表示为极坐标形式，即r(cosθ + isinθ)，其中r表示复数到原点的距离，θ表示复数与正实轴的夹角。

极坐标形式可以通过欧拉公式e^(iθ)来表示。

6. 复数的模是指复数a + bi到原点的距离，即|r| = sqrt(a^2 + b^2)。

7. 复数的幅角是指复数a + bi与正实轴的夹角，可以表示为arg(a + bi)或者θ。

8. 复数之间的加法是将实部分和虚部分分别相加，即(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i。

9. 复数之间的减法是将实部分和虚部分分别相减，即(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i。

10. 复数之间的乘法是根据公式(a + bi) × (c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i进行计算，实部相乘后减去虚部相乘后的结果，然后加上实部与虚部相乘的结果。

这些是关于复数的基本概念及表示方法。

复数在数学中有着广泛的应用，特别是在电学、物理学和工程学等领域中。

复数的运算规律和性质可以帮助我们解决许多实际问题。

数学高考知识点复数公式

数学高考知识点复数公式复数是数学中的一个重要概念，它由实数和虚数部分构成。

在高考数学中，掌握复数的概念和运算是非常重要的。

下面将介绍数学高考中常见的复数公式。

1. 复数的表示复数可表示为 a + bi 的形式，其中 a 为实数部分，b 为虚数部分，i为虚数单位，满足 i² = -1。

例如，2 + 3i 就是一个复数，其中实数部分为 2，虚数部分为 3。

2. 共轭复数共轭复数是指虚数部分符号相反的复数。

设 z = a + bi 是一个复数，那么它的共轭复数记为z = a - bi。

例如，对于复数 2 + 3i，它的共轭复数为 2 - 3i。

3. 复数的加法和减法复数的加法和减法与实数的加法和减法类似，将实数部分分别相加或相减，虚数部分也分别相加或相减。

例如，(2 + 3i) + (4 + 2i) = 6 + 5i，(2 + 3i) - (4 + 2i) = -2 + i。

4. 复数的乘法两个复数相乘时，可应用分配律展开并根据 i² = -1 化简。

例如，(2+ 3i)(4 + 2i) = 8 + 4i + 12i + 6i² = 8 + 4i + 12i - 6 = 2 + 16i。

5. 复数的除法两个复数相除时，可利用共轭复数将分母有理化，然后根据乘法的性质进行计算。

例如，(2 + 3i) / (4 + 2i) = (2 + 3i)(4 - 2i) / (4² - (2i)²) = (8+ 14i + 6) / (16 + 4) = (14 + 14i) / 20 = 7/10 + 7i/10。

6. 复数的模复数的模表示复数到原点的距离，记为 |z|。

对于一个复数 z = a + bi，其模为|z| = √(a² + b²)。

例如，对于复数 2 + 3i，其模为|2 + 3i| = √(2² +3²) = √13。

复数概念及公式总结

数系的扩充和复数概念和公式总结i:1.虚数单位它的平方等于-1,即i2i2.i与一1的关系:i就是一1的一个平方根，即方程x2=—1的一个根，方程x2=—1的另一个根是—i3.i 的周期性:i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n=1.4.复数的定义：形如a bi(a,b R)的数叫复数，a叫复数的实部，b叫复数的虚部■全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示.复数通常用字母z表示，即z a bi(a,b R)5.复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数a bi(a,b R)，当且仅当b=0时，复数a+bi(a、b€ R)是实数a；当b^0时，复数z=a+bi叫做虚数；当a=0且b^0时，z=bi 叫做纯虚数；a^ 0且b M 0时，z=bi叫做非纯虚数的纯虚数；当且仅当a=b=0时，z就是实数0.5.复数集与其它数集之间的关系：N^ZWQWR^C.6.两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等•如果a，b，c，d€ R，那么a+bi=c+di a=c，b=d一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如果两个复数都是实数，就可以比较大小.当两个复数不全是实数时不能比较大小+7.复平面、实轴、虚轴：点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi(a、b€ R)可用点Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴+实轴上的点都表示实数.(1)实轴上的点都表示实数•(2)虚轴上的点都表示纯虚数•(3)原点对应的有序实数对为(0, 0)设Z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、d€ R)是任意两个复数，8.复数z1 与z2 的加法运算律：z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.9.复数Z1 与z的减法运算律：Z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.11.复数Z 1与z 2的除法运算律：乙十z 2=(a+bi)* (c+di)= _卑 ■^C _ i (分母实数化) c d c d 12.共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数• 通常记复数z 的共轭复数为z 。

复数基础知识及其运算规律

复数基础知识及其运算规律一、复数的概念1.复数的定义：复数是由实数和虚数构成的数，一般形式为a+bi，其中a和b分别为实数，i为虚数单位，满足i^2=-1。

2.复数的分类：a)纯虚数：实部为0的复数，如i、-i等；b)实数：虚部为0的复数，如2、-3等；c)混合数：实部和虚部都不为0的复数，如1+2i、-3-4i等。

二、复数的表示方法1.代数表示法：用a+bi的形式表示复数；2.极坐标表示法：用r(cosθ+isinθ)的形式表示复数，其中r为模长，θ为辐角。

三、复数的运算规律1.加减法：a)(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i；b)(a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i。

c)(a+bi)(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i；d)特殊情形：两个纯虚数相乘，结果为实数；e)单位根的乘法：i^k，其中k为整数。

f)(a+bi)/(c+di) = [(ac+bd)/(c2+d2)] + [(bc-ad)/(c2+d2)]i。

g)(a+bi)^2 = (a2-b2) + 2abi；h)(a+bi)3、(a+bi)4等，可以利用乘方公式进行展开。

2.共轭复数：a)若复数为a+bi，则它的共轭复数为a-bi；b)共轭复数具有以下性质：两数相加为实数，两数相乘为实数。

四、复数的性质1.模长：表示复数在复平面上的长度，公式为|a+bi| = √(a2+b2)；2.辐角：表示复数在复平面上与实轴的夹角，公式为θ = arctan(b/a)，其中a≠0；3.复数的平方等于1的解：i、-1、1+i、1-i等；4.复数的平方等于-1的解：i、-i等；5.复数的平方等于k（k为非零实数）的解：±√k、±i√k等。

五、复数在实际应用中的例子1.信号处理：在通信系统中，信号往往可以表示为复数形式，如调制解调器中的正弦波信号；2.物理学：在电磁学、量子力学等领域，复数用于描述物理量，如电流、电压、波函数等；3.工程学：在电子工程、控制理论等领域，复数用于分析电路、系统稳定性等。

高考复数知识点精华总结

高考复数知识点精华总结1.复数的概念：复数是由实部和虚部组成的数，可以表示为z=a+bi，其中a和b都是实数，i是虚数单位。

2.复数集：复数集包括整数、有理数、实数（当b=0时）、分数、小数、无理数、纯虚数和虚数。

3.复数a+bi的实部为a，虚部为b，i是虚数单位。

当b=0时，a+bi是实数，当b≠0时，a+bi是虚数。

若a=0且b≠0，则a+bi是纯虚数。

4.复数的四则运算：加法、减法、乘法、除法都可以用实数单位和虚数单位进行运算。

特殊复数的运算包括周期性运算和(1±i)2=±2i等。

5.共轭复数与复数的模：复数z=a+bi的共轭复数为a-bi，模为|z|=√(a^2+b^2)。

共轭复数关于实轴对称，若b=0，则实数a与其共轭复数相等。

6.两个复数相等的定义为a+bi=c+di，其中a、b、c、d都是实数。

复数不能进行大小比较，只能由定义判断它们相等或不相等。

在运算中需要将虚数单位i的平方i^2=-1结合到实际运算过程中去。

6.复数的除法可以通过将分母实化得到，即满足(c+di)(x+yi)=a+bi (c+bi≠0)的复数x+yi被称为复数a+bi除以复数c+di的商。

由于两个共轭复数的积是实数，因此可以得到以下公式：a+bi / (c+di) = (ac+bd)/(c^2+d^2) + (bc-ad)i/(c^2+d^2)7.复数a+bi的模表示复数a+bi的点到原点的距离。

1.例1：对于复数z=m+1+(m－1)i，当m=1时，z是实数；当m≠1时，z是虚数；当m=-1时，z是纯虚数；当m<-1时，z对应的点Z在第三象限。

例2：已知(2x－1)+i=y－(3－y)i，其中x。

y∈R，求x。

y。

解得x=2.y=4.2.例4：对于复数z＝m25+(m2+3m－10)i，当虚部m2+3m－10=0时，z为实数，解得m=2；当虚部m2+3m－10≠0且分母不为零时，z为虚数，解得m≠2且m≠±5；当虚部为0且分母不为零时，z为纯虚数，解得m=-2.3.计算i＋i2＋i3+……+i2005，可以将i的周期性用以下公式表示：i＋i2＋i3+……+i2005=(i+i2+i3+i4)+……+(i2001+i2002+ i2003＋i2004)＋i2005=(i－1－i+1)+ (i－1－i+1)+……+(i－1－i+1)+i。