复变函数第四章

n0
即 R .
2. (极限不存在),
则级数 cnzn 对于复平面内除z 0以外的一切
n0
z 均发散, 即 R 0.
课堂练习 试求幂级数
zn
n1 n p
( p为正整数) 的收敛半径.
答案
因为
cn
1 np
，
lim cn1 n cn
lim( n n n
)p 1
lim
n
(1
1 1)
p
1.
n0
n0
n0
f (z) g(z) ( anzn ) ( bnzn ),
n0
n0
zR R min( r1, r2 )

(anb0 an1b1 a0bn )zn ,
zR
n0
2. 幂级数的代换(复合)运算
如果当 z r 时, f (z) anzn, 又设在
n0
z R 内 g(z)解析且满足 g(z) r, 那末当 z R
当 n 时, n ,
所以数列发散.
例2 级数 1 i2n1 是否收敛？
n1 n 解 级数满足必要条件, 即 lim 1 i2n1 0,
n n
但 1 i2n1 1 (1)n i
n1 n
n1
n
(1 1 1 ) i(1 1 1 ) 1 i (1)n 1
(定理二)
实数项级数的审敛问题
课堂练习 级数 1 (1 i ) 是否收敛？
n1 n
n
解
因为
an
n1
n1
1 n
发散;
bn
n1
n1
1 n2
收敛.
所以原级数发散.
必要条件
因为实数项级数 an和 bn收敛的必要条件是
n1
n1
lim
n
an
0
和
lim
n
bn
0.
所以复数项级数n收敛的必要条件是
例如, 级数:
zn
n0
R 均为1, 收敛圆周 z 1 收敛圆周上无收敛点;
zn
n1 n
在点z 1发散, 在其它点都收敛;
zn
n1 n2
在收敛圆周上处处收敛.
3. 收敛半径的求法
方法1: 比值法(定理二):
如果 lim cn1 0, 那末收敛半径 R 1 .
n cn
证
由于
lim cn1 n cn
性的基本方法是:
利用极限
lim
n
sn
s.
例如, 级数 zn :
n0
sn
1 z z2 zn-1
1 zn 1 z
(z 1),
由于当 z 1时,
lim
n
sn
lim 1 zn n 1 z
1 1
, z
所以当 z 1时级数收敛.
2.复数项级数收敛的条件
定理二 级数 n (an ibn ) 收敛的充要条件
23
23
n1 n
n1
n
因为级数 1 发散, 虽 (1)n 1收敛,
n1 n
n1
n
原级数仍发散.
例3 级数 (8i)n 是否绝对收敛？
n1 n! 解 因为 (8i)n 8n ,
n! n!
所以由正项级数的比值判别法知:
8n 收敛,
n1 n! 故原级数收敛, 且为绝对收敛.
例4
级数
[(1)n n1 n
n1
n1
故 an 及 bn 也都收敛.
n1
n1
由定理二可得 n 是收敛的.
n1
又由
n
n
k k ,
k 1
k 1
可知
n
n
lim
n
k
1
k
lim
n
k 1
k
或 k k .
k 1
k 1
[证毕]
定义
如果 n 收敛, 那末称级数 n为绝对收敛.
n1
n1
非绝对收敛的收敛级数称为条件收敛级数.
说明 由
然而当
z1
1 时,
lim
n
cn1 cn
z1 z1
n1 n
z1
1.
与 cn z1n 收敛相矛盾, 即假设不成立 .
n0
故
cn z n
n0
在圆
z
1
外发散,
所以收敛半径为 R 1 .
[证毕]
注意:
定理中极限 lim cn1 n cn
存在且不为零 .
如果:
1. 0, 则级数 cnzn 在复平面内处处收敛,
如果 n 收敛, 那末 n 也收敛.
n1
n1
且不等式 n n 成立.
n1
n1
注意
n 的各项都是非负的实数,
n1
应用正项级数的审敛法则判定.
证
由于 n
an2 bn2 ,
n1
n1
而 an an2 bn2 , bn an2 bn2 ,
根据实数项级数的比较准则, 知
an 及 bn 都收敛,
n0
或
cn zn c0 c1z c2 z2 cn zn .
n0
这种级数称为幂级数.
二、幂级数的敛散性
1.收敛定理 (阿贝尔Abel定理)
如果级数 cnzn在 z z0( 0) 收敛, 那末对
n0
满足 z z0 的 z, 级数必绝对收敛, 如果在z z0
级数发散, 那末对满足 z z0 的 z, 级数必发散.
n0
故级数 cnzn 是绝对收敛的.
n0
另一部分的证明请课后完成.
[证毕]
2. 收敛圆与收敛半径 对于一个幂级数, 其收敛半径的情况有三种: (1) 对所有的正实数都收敛.
由阿贝尔定理知: 级数在复平面内处处绝对收敛.
例如,
级数
1
z
z2 22
zn nn
对任意固定的z, 从某个n开始, 总有 z 1 , n2
an2 bn2 an bn ,
n
n
n
知
ak2 bk2 ak bk ,
k 1
k 1
k 1
所以 an与bn绝对收敛时,
n1
n1
n也绝对收敛 .
n1
综上:
n绝对收敛 an与 bn绝对收敛.
n1
n1
n1
三、典型例题
例1 下列数列是否收敛, 如果收敛, 求出其极限.
(1) n
(1
1 2n
i]是否绝对收敛？
解 因为 (1)n 收敛; n1 n
n1
1 2n
也收敛,
故原级数收敛.
但 (1)n 为条件收敛,
n1 n 所以原级数非绝对收敛.
四、小结与思考
通过本课的学习, 应了解复数列的极限概念; 熟悉复数列收敛及复数项级数收敛与绝对收敛 的充要条件;理解复数项级数收敛、发散、绝对 收敛与条件收敛的概念与性质.
an a bn b ,
所以
lim
n
n
.
[证毕]
定理一说明: 可将复数列的敛散性转化为判别两
个实数列的敛散性.
课堂练习:
下列数列是否收敛? 如果收敛, 求出其极限.
(1)
zn
1 1
ni ni
;
(2)
zn
(1)n
n
i
; 1
(3)
zn
1
e
ni 2
.
n
二、级数的概念
1.定义 设{n } {an bn } (n 1,2,)为一复数列,
n
所以 R 1 1.
方法2: 根值法(定理三)
如果 lim n n
cn
0,
那末收敛半径
R 1.
说明:
如果
0
R R0
(与比值法相同)
三、幂级数的运算和性质
1.幂级数的四则运算
设 f (z) anzn , R r1, g(z) bnzn , R r2.
n0
n0
f (z) g(z) anzn bnzn (an bn )zn ,
(an ibn ) (a ib) ,
从而有 an a (an a) i(bn b) ,
所以
lim
n
an
a.
同理
lim
n
bn
b.
反之, 如果
lim
n
an
a,
lim
n
bn
b,
那末当n N 时,
an
a
2
,
bn
b
2
.
从而有 n (an ibn ) (a ib)
(an a) i(bn b)
时, f [g(z)] an[g(z)]n.
n0
说明: 此代换运算常应用于将函数展开成幂级数.
3. 复变幂级数在收敛圆内的性质
定理四 设幂级数 cn(z z0 )n 的收敛半径为 R,
N( ), 使 n 在 n N 时成立,
那末 称为复数列{n }当 n 时的极限,
记作
lim
n
n
.
此时也称复数列{n } 收敛于 .
2.复数列收敛的条件
复数列{n} (n 1,2,) 收敛于 的充要条件是
lim
n
an
a,
lim
n
bn
b
.
证
如果
lim
n
n
,
那末对于任意给定的
0
就能找到一个正数N, 当 n N 时,
表达式
n 1 2 n
n1
称为复数项无穷级数.
部分和 其最前面 n 项的和
sn 1 2 n 称为级数的部分和.
收敛与发散
如果部分和数列{sn } 收敛, 那末级数 n收敛,
n1
并且极限
lim
n
sn
s
称为级数的和.
如果部分和数列{sn } 不收敛,
那末级数 n发散.
n1
说明: 与实数项级数相同, 判别复数项级数敛散
第四章 级数
第一节 复数项级数 第二节 幂级数 第三节 泰勒级数 第四节 洛朗级数
第一节 复数项级数
一、复数列的极限 二、级数的概念 三、典型例题 四、小结与思考
一、复数列的极限
1.定义 设 {n } (n 1,2,) 为一复数列, 其中 n an ibn , 又设 a ib 为一确定的复数, 如果任意给定 0, 相应地都能找到一个正数
z n1 zn
lim cn1 n cn
z
z,
当 z 1 时,
cn zn 收敛.
n0
根据上节定理三,
级数 cnzn 在圆
n0
z
1 内收敛,
假设在圆
z
1
外有一点 z0,
使级数
cnzn 收敛,
n0
在圆
z
1
外再取一点
z1 ,
使 z1 z0 ,
据阿贝尔定理, 级数 cn z1n 必收敛.
n0
设 z 时,级数收敛; z 时,级数发散. 如图:
y
收敛圆
收敛半径
o
R.
.
x
幂级数 cnzn的收敛范围是以原点为中心的圆域.
n0
问题1: 幂级数 cn(z a)n的收敛范围是何区域?
n0
答案: 是以 z a 为中心的圆域.
问题2: 幂级数在收敛圆周上的敛散性如何?
注意 在收敛圆周上是收敛还是发散, 不能作出 一般的结论, 要对具体级数进行具体分析.
1
)e
i
π n
;
n
(2) n ncos in .
解
(1) 因为n
(1
1
)e
i
π n
n
(1
1 )(cos n
n
i sin
), n
所以
an
(1
1 )cos n
π n
,
bn
(1
1 )sin n
n
.
而
lim
n
an
1
,
lim
n
bn
0
所以数列n
(1
1
)e
i
π n
收
敛,
n
且
lim
n
n
1
.
解 (2) 由于 n ncos in ncoshn,
n1
它的和.
如果级数在D内处处收敛, 那末它的和一定 是 z 的一个函数 s(z) :
s(z) f1(z) f2(z) fn(z)
称为该级数在区域D上的和函数.
2. 幂级数
当 fn(z) cn1(z a)n1 或 fn(z) cn1zn1 时,
是函数项级数的特殊情形,即
cn(z a)n c0 c1(z a) c2(z a)2 cn(z a)n
证 因为级数 cnz0n 收敛,
n0
由收敛的必要条件,
有
lim
n
cn
z0n
0
因而存在正数M, 使对所有的n, 有 cnz0n M ,
如果 z z0 ,
那末 z q 1, z0
而
cnzn
cn z0 n
zn z0 n
Mqn.
由正项级数的比较判别法知:
cnzn c0 c1z c2z2 cnzn 收敛.
思考题
如果复数项级数n和 n均发散,问:
n1
n1
级数 (n n )也发散吗?
n1
第二节 幂级数
一、幂级数的概念 二、幂级数的敛散性 三、幂级数的运算和性质 四、典型例题 五、小结与思考
一、幂级数的概念
1.复变函数项级数
定义 设 { fn(z)} (n 1,2,) 为一复变函数序列,
其中各项在区域 D内有定义.表达式
fn(z) f1(z) f2(z) fn(z)
n1
称为复变函数项级数, 记作 fn(z).
n1
级数最前面n项的和
sn(z) f1(z) f2(z) fn(z)
称为这级数的部分和.
和函数
如果对于
D
内的某一点
z0
,
极限
lim
n
sn
( z0
)
s(
z0
)
存在, 那末称级数 fn(z) 在 z0 收敛, s(z0 )称为
n1
n1
an 和 bn 都收敛.
n1
n1
证 因为 sn 1 2 n
(a1 a2 an ) i(b1 b2 bn )
n i n ,
根据 {sn } 极限存在的充要条件 :
{ n } 和 { n }的极限存在,
于是 级数 an 和 bn 都收敛.
n1
n1
说明 复数项级数的审敛问题
于是有
zn nn
1
n
,
2
故该级数对任意的z均收敛.
(2) 对所有的正实数除 z=0 外都发散. 此时, 级数在复平面内除原点外处处发散. 例如,级数 1 z 22 z2 nnzn 当 z 0时, 通项不趋于零, 故级数发散. (3) 既存在使级数发散的正实数, 也存在使级数收 敛的正实数.
n1
lim
n
n
0
重要结论:
lim
n
n
0
级数 n发散.
n1
例如,级数 ein :
n1
因为lim n
n