复变函数论钟玉泉第四章[严选课资]
复变函数钟玉泉讲义大学复变函数课件
复变函数钟玉泉讲义大学复变函数课件复变函数第一节解析函数的概念及C.-R.方程1、导数、解析函数定义2.1：设是在区域内确定的单值函数，并且。
如果极限存在，为复数，则称在处可导或可微，极限称为在处的导数，记作，或。
定义2.2：如果在及的某个邻域内处处可导，则称在处解析；如果在区域内处处解析，则我们称在内解析，也称是的解析函数。
解析函数的导（函）数一般记为或。
注解1、语言，如果任给，可以找到一个与有关的正数，使得当，并且时，，则称在处可导。
注解2、解析性与连续性：在一个点的可导的函数必然是这个点的连续函数；反之不一定成立；注解3、解析性与可导性：在一个点的可导性是一个局部概念，而解析性是一个整体概念；注解4、函数在一个点解析，是指在这个点的某个邻域内解析，因此在此点可导；反之，在一个点的可导性不能得到在这个点解析。
解析函数的四则运算：和在区域内解析，那么，，（分母不为零）也在区域内解析，并且有下面的导数的四则运算法则：。
复合求导法则：设在平面上的区域内解析，在平面上的区域内解析，而且当时，，那么复合函数在内解析，并且有求导的例子：（1）、如果（常数），那么；（2）、，；（3）、的任何多项式在整个复平面解析，并且有（4）、在复平面上，任何有理函数，除去使分母为零的点外是解析的，它的导数的求法与是实变量时相同。
2、柯西-黎曼条件可微复变函数的实部与虚部满足下面的定理：定理2.1 设函数在区域内确定，那么在点可微的充要条件是：1、实部和虚部在处可微；2、和满足柯西-黎曼条件（简称方程）证明：（必要性）设在有导数，根据导数的定义，当时其中，。
比较上式的实部与虚部，得因此，由实变二元函数的可微性定义知，，在点可微，并且有因此，柯西-黎曼方程成立。
（充分性）设，在点可微，并且有柯西-黎曼方程成立：设则由可微性的定义，有：令，当（）时，有令，则有所以，在点可微的。
定理2.2 设函数在区域内确定，那么在区域内解析的充要条件是：1、实部和虚部在内可微；2、)和在内满足柯西-黎曼条件（简称方程）关于柯西-黎曼条件，有下面的注解：注解1、解析函数的实部与虚部不是完全独立的，它们是方程的一组解，它们是在研究流体力学时得到的；注解2、解析函数的导数形式更简洁：公式可避免利用定义计算带来的困难。
复变函数论自学考试大纲
[10019]复变函数论自学考试大纲浙江省高等教育自学考试办公室二OO四年十二月指定教材：《复变函数论》，钟玉泉编，高等教育出版社2004年1月第3版一、课程性质与说明复变函数论是高等师范数学专业基础课程之一。
复变函数论主要研究解析函数。
解析函数定义的几种等价形式，表现了解析函数这一概念在不同方面的特性。
复变函数论的基本理论以柯西定理为主要定理，柯西公式为重要公式，留数基本定理是柯西定理的推广。
共形映射是复变函数几何理论的基本概念。
留数理论和共形映射也为实际应用提供了特有的复变函数论方法。
二、考核目标第一章复数与复变函数复数和平面点集是研究复变函数的基础。
复变函数及其极限理论与微积分学的相应内容类似，但因复变函数是研究平面上的问题，因而有其新的含义与特点。
（一）目的和要求1．明确复数、区域、单连通区域、多连通区域、逐段光滑曲线、无穷远点、扩充复平面等概念。
2．明确复变函数连续性等价于其实部与虚部的连续性。
3．掌握复数的计算，会应用模和辐角的性质。
4．会作点集的图形，掌握一些简单函数的变换性质。
（二）主要内容1．复数复数的表示式及代数运算、复数的模及辐角、共轭复数、复数在几何中的应用。
2．复平面上的点集平面点集、曲线、区域。
3．复变函数复变函数的概念、极限及连续性。
4．复球面及无穷远点复球面、无穷远点及扩充复平面。
第二章解析函数解析函数是本课程的主要研究对象，它是一类特殊的可微函数。
判断函数可微和解析的主要条件是柯西－黎曼条件。
复变函数中各类基本初等函数之间，具有明确的统一性。
（一）目的和要求1．正确理解复变函数的可微、解析函数等基本概念。
2．明确柯西－黎曼条件与函数可微性、解析性的关系。
3．明确复变函数中各类基本初等函数的定义和性质以及它们与实初等函数的异同点。
n的单值解析分支并能求其函数值。
4．能确定根式函数z（二）主要内容1．解析函数的概念与柯西－黎曼条件2．初等解析函数指数函数、三角函数、根式函数和对数函数的单值解析分支、反三角函数、一般幂函数和一般指数函数。
复变函数考试大纲
《复变函数》课程考试大纲（Complex Variables Functions）课程编号：03110094课程类型：专业核心课所属教研室：数学与应用数学教研室总学时：45学分数： 3考核对象：09级数学与应用数学专业本科生执笔者：编写日期：一、课程性质与考试目的：《复变函数》是数学与应用数学专业的一门专业核心课，又是《数学分析》的后继化、完备化课程。
从数学理论角度看，它是数学的重要分支之一，内容丰富而完美。
在实用上，对力学、电学及理论物理等学科有着重要的应用。
复变函数方法是工程、科技的常用方法之一。
通过本课程的学习，一方面可以加深对《数学分析》中基础理论的理解，另一方面可以进一步锻炼学习者的能力，为他们下一步的学习奠定基础。
本课程主要研究解析函数，包括复数与复变函数、解析函数、复变函数的积分、解析函数的幂级数表示法、解析函数的洛朗展式与孤立奇点、留数理论及其应用、共形映射这七部分必讲内容，这七部分内容涵盖了复变函数中三大理论（积分理论、级数理论、几何理论）的所有内容。
通过考试，不仅要考查学生对于该课程的基本概念、基本性质、基本理论理解、掌握得是否准确、全面，而且要考查学生分析问题和解决问题的能力是否得到提高，运用这些知识处理具体问题的综合、创造、归纳、概括等的能力是否得到发展，从而检查平时教学是否达到了教学要求，完成了教学大纲所提出的目标和任务。
二、考试内容及要求：第一章复数与复变函数【本章重点】复变函数的概念、极限与连续性1、考试内容：复数的概念，复变函数的极限和连续的概念；复数的乘幂与方根，复数方程；平面曲线(特别是简单闭曲线，光滑曲线或按段光滑曲线)与平面区域(包括单连通域与多连通域)。
2、考核要求：（1）．了解：区域的概念，复变函数的极限和连续的概念，扩充复平面；（2）．理解：复变函数概念；（3）．掌握：复数的概念、表示方法及其运算；复数运算的几何意义与复数方程表示的几何图形；复数的乘幂与方根；平面曲线(特别是简单闭曲线，光滑曲线或按段光滑曲线)与平面区域(包括单连通域与多连通域)。
复变函数四五六七章总复习钟玉泉
若a为f (z)的孤立奇点,则在K {a}内可展成Laurent级数
f (z) cn (z a)n cn (z a)n
cn (z a)n
n
n1
n0
f (z)在a的主要部分 f (z)在a的正则部分
f (z)在点a的奇点性质体现在K内收敛于一解析函数
定义5.3 设a为f (z)孤立奇点
(1) fn (z)(n 1, 2,...)在区域D内解析;
(2) fn (z)在D内内闭一致收敛于函数f (z)
n1
f (z) fn(z).
n1
则 (1) 函数f (z)在区域D内解析;
(2) f ( p) (z)
f
( n
p)
(
z),
(
z
D,
p
1,
2,
).
n1
第二节 幂级数
1. 幂级数的敛散性 阿贝尔(Abel)定理
i z
1,
z 1. 2
f
(z)
(z
1 i)(z
2)
1 2
i
z
1
i
2
1
z
1 2i
1 z1
i z
1 21
2z
1 2
i
(i)n zn1
n0
n0
zn 2n1
1 2
i
n0
( i )n z n1
1 2
i
n0
zn 2n1 .
(2) 在 2 z 内,
i 1, 2 1
1ezຫໍສະໝຸດ n01 n!zn ,
所以
1
z2e z
z21
1 z
1 2! z 2
1 n! z n
《复变函数论》第四章
第四章 解析函数的幂级数表示方法第一节 级数和序列的基本性质 1、复数项级数和复数序列： 复数序列就是：111222,,...,,...n n n z a ib z a ib z a ib =+=+=+在这里，n z 是复数，,Im ,Re n n n n b z a z ==一般简单记为}{n z 。
按照|}{|n z 是有界或无界序列，我们也称}{n z 为有界或无界序列。
设0z 是一个复常数。
如果任给0ε>，可以找到一个正数N ，使得当n>N 时ε<-||0z z n ,那么我们说{}n z 收敛或有极限0z ，或者说{}n z 是收敛序列，并且收敛于0z ，记作0lim z z n n =+∞→。
如果序列{}n z 不收敛，则称{}n z 发散，或者说它是发散序列。
令0z a ib =+，其中a 和b 是实数。
由不等式0||||||||||n n n n n a a b b z z a a b b --≤-≤-+-及容易看出，0lim z z n n =+∞→等价于下列两极限式： ,lim ,lim b b a a n n n n ==+∞→+∞→因此，有下面的注解：注1、序列{}n z 收敛（于0z ）的必要与充分条件是：序列{}n a 收敛（于a ）以及序列{}n b 收敛（于b ）。
注2、复数序列也可以解释为复平面上的点列，于是点列{}n z 收敛于0z ，或者说有极限点0z 的定义用几何语言可以叙述为：任给0z 的一个邻域，相应地可以找到一个正整数N ，使得当n N >时，n z在这个邻域内。
注3、利用两个实数序列的相应的结果，我们可以证明，两个收敛复数序列的和、差、积、商仍收敛，并且其极限是相应极限的和、差积、商。
定义4.1复数项级数就是12......n z z z ++++或记为1n n z +∞=∑，或n z ∑，其中n z 是复数。
定义其部分和序列为：12...n n z z z σ=+++如果序列{}n σ收敛，那么我们说级数n z ∑收敛；如果{}n σ的极限是σ，那么说n z ∑的和是σ，或者说n z ∑收敛于σ，记作1nn zσ+∞==∑，如果序列{}n σ发散，那么我们说级数n z ∑发散。
《复变函数论》课程教学标准
《复变函数论》课程教学标准第一部分：课程性质、课程目标与要求《复变函数论》课程是我院数学与应用数学、信息与计算科学本科专业的必修课程，是数学与应用数学专业的专业主干课程。
复变函数（主要是单复变函数）是十九世纪数学最独特，最富有成果的创造，它差不多统治了整个十九世纪的数学。
在这个领域，数学家们进行了深刻，富有成效的研究，使复变函数逐渐发展成为一门相对成熟的学科，内容丰富而完美。
现在复变函数已经深入到代数学、微分方程、概率统计、拓扑学和解析数论等数学分支。
并且广泛应用于理论物理、电学、流体力学、空气动力学、弹性力学和自动控制等领域。
开设本课程的基本目的是使学生掌握复变函数的基本理论和方法，进一步培养学生的逻辑思维能力，扩展学生视野，为将来从事相关领域的科学研究和教学工作培养兴趣，做好准备。
教学时间应安排在第四学期。
作为数学分析课程的一门后继课程，在教学过程中应注意复变函数论与数学分析在概念方法上的相似与联系、区别与发展，强调知识的系统性。
第二部分：教材与学习参考书本课程拟采用由四川大学钟玉泉编写的、高等教育出版社2004年出版的《复变函数论》第三版一书，作为本课程的主教材。
为了更好地理解和学习课程内容，建议学习者可以进一步阅读以下几本重要的参考书：1、钟玉泉，复变函数学习指导书，高等教育出版社，19982、孙清华，赵德修，新编复变函数题解，华中科技大学出版社，20013、余家荣，复变函数，高等教育出版社（第二版），19924、郑建华，复分析，清华大学出版社，20005、方企勤，复变函数教程，北京大学出版社，1996第三部分：教学内容纲要和课时安排第一章复数与复变函数本章介绍的是复变函数的一些最基本的概念，是中学学习的复数相关概念的衔接和发展。
首先引入复数域与复平面的概念，其次引入复平面上的点集、区域、Jordan 曲线以及复变函数的极限与连续等概念；最后还要引入复球面与无穷远点的概念。
通过这一章的学习，学习者要掌握复数的三种表示；区别辐角与主辐角；熟练掌握复数的四则运算，乘方、开方运算；对复平面上各种点集定义能够形象理解切实掌握；充分理解复球面和无穷远点与扩充复平面的对应。
《复变函数论》课件
复数的定义
复平面上的点表示复数，实轴表示实数，虚轴表示虚数。
复数的几何意义
加法、减法、乘法、除法等。
复数的运算
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复数与复变函数
总结词
复数可以用几何图形表示，其实部和虚部可以分别表示为直角坐标系中的x轴和y轴。
详细描述
复数平面上，每一个复数z=a+bi可以对应到一个点(a,b)，实部a对应x轴上的坐标，虚部b对应y轴上的坐标。这种表示方法称为复平面或直角坐标系。
泰勒级数的应用场景
泰勒级数在数学、物理、工程等领域中有着广泛的应用，如近似计算、误差估计、信号处理等。
泰勒级数的误差分析
在使用泰勒级数进行近似计算时，需要进行误差分析，以确保近似结果的精度和可靠性。
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留数定理与辐角原理
总结词：留数定理是复变函数论中的重要定理之一，它提供了计算复平面上的积分的一种有效方法。
详细描述
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解析函数与全纯函数
解析函数的定义
如果一个复函数在某区域内的全纯函数，则称该函数在该区域内解析。
全局性质
解析函数在全纯函数的零点处具有留数。
局部性质
在某区域内解析的函数在该区域内具有无限次可微性。
局部性质
在某区域内全纯的函数在该区域内具有无限次可微性。
详细描述
复变函数的积分是指函数在某个曲线段上的累积值，其定义方式与实数函数的积分类似，采用极限和累加的方式进行计算。在计算过程中，需要考虑复数域的特性，如虚部的存在和运算规则的特殊性。
复变函数论习题及答案
第一章习题1．设12z -=，求||z 及Arg z .2．设12z z i ==，试用指数形式表 z 1 z 2及12z z .3．解二项方程440(0).z a a +=> 4．证明2222121212||||2(||||)z z z z z z ++-=+，并说明其几何意义。
5．设z 1、z 2、z 3三点适合条件： 1231230 |z ||||| 1.z z z z z ++=++=及试证明z 1、z 2、z 3是一个内接于单位圆周||1z =的正三角形的顶点。
6．下列关系表示的点z 的轨迹的图形是什么？它是不是区域？ （1）1|212|||,()z z z z z z -=-≠；（2）|||4|z z ≤-；（3）111z z -<+；（4）0arg(1) 2Re 34z z π<-<≤≤且；（5）|| 2 z >且|3|1z ->； （6）Im 1 ||2z z ><且；（7）||2 0arg 4z z π<<<且；（8）131 2222i i z z ->->且.7．证明：z 平面上的直线方程可以写成 .az az c += （a 是非零复常数，c 是实常数）8．证明：z 平面上的圆周可以写成0Azz z z C ββ+++=.其中A 、C 为实数，0,A β≠为复数，且2||.AC β> 9．试证：复平面上的三点1,0,a bi a bi +-+共直线。
10．求下列方程（t 是实参数）给出的曲线： （1）(1)z i t =+； （2）cos sin z a t ib t =+；（3）i z t t =+； （4）22i z t t =+.11．函数1w z =将z 平面上的下列曲线变成w 平面上的什么曲线（,z x iy w u iv =+=+）？（1）224;x y +=（2）y x =；（3）x = 1； （4）( x -1)2+y 2=1. 12．试证：（1）多项式1010()(0)n n n p z a z a z a a -=+++≠在z 平面上连续；（2）有理分式函数101101()n n nm m m a z a z a f z b z b z b --+++=+++（000,0a b ≠≠）在z 平面上除分母为的点外都连续。
《复变函数》第四章习题全解钟玉泉版
第四章 解析函数的幂级数表示法（一）1.解:(1)其部分和数列 14151311()414121(4--++-++++-=n i n S n由交错级数收敛性判别及极限运算法则知n n S 4lim ∞→存在,设为l S n n =∞→4lim ,又有,0241,0142414→+-=→+=++n a n i a n n由此得知l S n n =∞→lim ,因此级数收敛,但非绝对收敛.(2)∑∑∑∞=∞=∞=≤=+111!)34(!1!)53(n nn nn n n bn n i ,可知原级数绝对收敛.(3)由于1226251251limlim>=+=+=∞→∞→i i a nnn nn n ,故原级数发散.2.解:(1)11limlim1=+==∞→+∞→n n c c R n n n n(2)212lim lim 1=+==∞→+∞→n nc c R n n n n(3)01lim lim1==∞→∞→nc R n nnn3.证明:(1)如果∞≠=+∞→λnn n c c 1lim,则∞≠=+∞→λnn n c c 1lim,则级数的收敛半径为⎪⎩⎪⎨⎧∞+==+∞→n n n c cR 1lim 1λ 00=≠λλ(2)由(1)可证其收敛半径为R .(3)由(1)可证其收敛半径为R .4.证明:因为∑∑∞=∞==n nn n n n Rc zc 收敛,而当R z ≤时, ∑∑∞=∞=≤n nn n nn Rc zc ,因此级数在R z ≤上绝对收敛且一致收敛. 5.解:(1)因为1<u 时,∑∞=-=+0)1(11n nnuu,所以当1<z ba 时,有∑∞=-=+=+0)()1(1)1(11n nnz ba bz b a b baz(2)因为∑∞=+∞<=,!n nz z n ze ,而 2ze在z 平面解析,所以∑∞=+∞<=2)(,!2n nzz n ze逐项积分得 )()12(!00122+∞<+=⎰∑∞=+z n n zdz e zn n z(3)因为∑∑∞=∞=++-=+-=2012)!12()1()!12()1(1sin n nnn n nn zn zzzz如果1sin lim=→zz z ,则0=z 为可去奇点,可补充定义被积函数1)0(=f ,于是上式收敛范围为+∞<z ,合于逐项积分条件,所以 ⎰⎰∑∑∞=∞=++∞<++-=+-=zzn n n nn nz i n n zdz n zdz zz 0000122)()!2)(12()1()!12()1(sin(4))()!2()2()1(21)!2()2()1(212122cos 1sin 02122+∞<-=--=-=∑∑∞=-∞=z n z n z zz n nn n nn(5)因为2()()(1),(0)(1)!n f z z f n -=-=+从而()(1),(||1)nn of z n zz ∞==+<∑6.解:因为23451 (2)624120zz zzzze =++++++2345ln(1) (2)345z z zzzz+=-+-++所以23453452ln(1)()()2345234zz z zzzzzzze z +=-+-++-+-++ 345455()()...24661224z z z z z z -++-++523...(1)23403z z z z z =++++<7.解:(1) sin sin[(1)1]sin(1)cos1cos(1)sin 1z z z z =-+=-+-=212(1)(1)cos1(1)sin (1)(21)!(2)!n nn n n z z n n ∞∞+==---+-+∑∑=01sin(1)(1),|1|!2kk k z z k π∞=+--<+∞∑(2)21112111-+⋅-=+-z z z z ,再由公式)1()1(110<-=+∑∞=z zzn nn(3)22)21(11]1)1[(4152-++-=+-z z z z z ,结合)1()1(11022<-=+∑∞=z zzn nn(4)由于3z 的支点为∞,0,沿负实轴)0,(-∞割开平面,则指定分支就在11<-z内单值解析, 3133)]1(1[1-+⋅=z z ,再利用二项式展开.8.解:(1)∑∑∞=∞=-=-=-01)1(24222!)1!()1(2n n n n zn zzn zz ez ,故为4级零点.(2)∑∞=+-++⋅-=-+16312633)6()12()1(6)6(sin 6n nn nz z n zz z z)!7!51(6615+-=zz故为15级零点.9.证明:因为0z 为)(z f 的m 阶零点+-+-=++1010)()()(m m m m z z a z z a z f 又因为0z 为)(z g 的n 阶零点,+-+-=++1010)()()(n n n b z z b z z b z g 如果n m >,则])([)()()(010 +-+-=++z z b b z z z g z f n n n 故0z 为)()(z g z f +的n 阶零点.如果m n >,同理可得0z 为)()(z g z f +的m 阶零点.如果n m =,当0≠+m m b a 时, 0z 为)()(z g z f +的m 阶零点; 当0=+m m b a 时,零点0z 的阶数大于n .+-++-=+++++10110))(()()()(n m n m n m n m n m z z b a b a z z b a z g z f 故0z 为)()(z g z f 的n m +阶零点.+-++-+-=++-)()()()()(01010z z a a z z b b z z z f z g m m n n mn由此可见如果m n >,则0z 为)(/)(z g z f 的m n -阶零点, 如果n m >,则0z 为)(/)(z g z f 的n m -阶零点, 如果n m =,则0z 为)(/)(z g z f 的可去奇点.10.证明:利用定理4.17,因0z 为解析函数)(z f 的至少n 级零点,则有 n m z g z z z f m ≥-=)()()(0 其中0!)()(0)(0≠=m z fz g m .同理 )()()(00z z z z nϕϕ-=,其中0!)()(00≠=n z z nϕϕ,则本题得证.11.解:(1)不存在 (2)不存在 (3)不存在 (4)存在12.证明:因为)(z f 在0z 点解析,由泰勒定理),:()(!)()(0000)(D K R z z K z z z n z fz f nn n ⊂<-∈-=∑∞=再由题设 ,2,1,0)(0)(==n z fn ,则)(),()(0D K z z f z f ⊂∈=由唯一性定理得 )(),()(0D z z f z f ∈≡.13.证明:(反证法)假设)(0z f 是)(z f 在D 内的最小值,因0)(0≠z f ,则)(10z f是)(1z f 在D 内的最大值, )(z f 为解析函数,由最大模原理,)(1z f 在D 内恒为常数,与题设矛盾,故)(0z f 不可能是)(z f 在D 内的最小值.14.证明:(反证法)设)(z f 在D 内处处不为零,则由最小,最大模原理,在D 内)(z f 既不能达到最小值,也不能达到最大值.而题设)(z f 在闭域D 上连续,故)(z f 在闭域D 上有最大值M 和最小值m ,而由上所述,这些都只能在边界C 上达到,但题设)(z f 在C 上为常数,故 C z mz f M ∈==)(再由最大,最小模原理,D z m M z f m ∈=<<)(,即D z mz f ∈=)(由上, )(z f 在闭域D 上恒为常数,由第二章习题(一)6(3)知, )(z f 在D 内必为常数,矛盾.(二)1.证明:由于级数∑∞=1)(n n z f 收敛于)(z f ,故)(,0εεN ∃>∀,当N n >及一切E z ∈,有Mz f z s n ε<-)()(.由题设)(,)(+∞<<M M z g 推得ε<-)()()()(z g z f z g z s n 故得证.2.证明:该级数的部分和n n n n z z z z z z z s =-++-+=-)()()(12 显然,对任何)1(<z z ,有0)(lim =∞→z s n n .另一方面,对于任何固定的n ,取121<=nz ,有21=nz,因而nz 不可能任意小,这就证得级数在圆1<z 内非一致收敛.3.证明:(1) n n n v v v v v +≤+++=121σ,两边取极限 ++≤=∞→n n n v v 1lim σδ(2) 1!!2!!2122-=++++≤++++=-znnzen zzz n zzz e)!!21(!!2112++++≤++++=--n zz z n zzz en nzznez n zz z =++++≤)!1( (3)因为在0||1z <<内任意一点z ，11!nzn n z e ∞=-=∑ 所以3213|1|||||2213||||zz z z z e -≤++-≤117||(1)||244z z ++=另一方面：321||||13|1|||||||||2224413zzzz z e z z z z -≥+-≥--=-4.证明:由柯西不等式||,n nMa ρ≤当||z ρ<时，01|||()|||||,||n n z f z a a z Mz ρ∞=-≤≤-∑因此 |()f z |0000|()||||()|f z a a a f z a =-+≥--000000||||||||||||||||a a Mz a Ma Ma z a Mρρρρ+≥->---+=0||a -0||a =0故()f z 在00||||||a z a Mρ<+上无零点.5.证明：因为2201()2i f re d πθθπ⎰=201()()2i i f re f re d πθθθπ⋅⎰=201()()2nin nin n n n n a r ea r ed πθθθπ∞∞-==⋅∑∑⎰对任意自然数,m k 若m k ≠，则20ik im eed πθθθ-⋅⎰=2()()021|()i k m i k m d k m ieeπθθπθ--==-⎰因此，根据逐项可积公式即得：222222011222|||()|||nni n i d d n n f r r ra e a ππθθθππ∞===∑⎰⎰6.证明：取,r R >则对一切正整数k n >时，()1||!()!|(0)|||||2nk k kz rk f z k M r fdz zrπ+=≤≤⎰于是由r 的任意性知对一切k n >均有()(0)k f =0故()f z 0nnnk c z ==∑,即()f z 是一个至多n 次的多项式或常数.7.证明:(1)设0z 是)(z f 的m 阶零点,于是在0z 的某邻域K 内)0()()()(1010≠+-+-=++m m m mm c z z c z z c z f取)0(,δδδ<'<',于是在区域),(0δ''z N 内)0()()()(1010≠+-+-=++m m m mm c z z c z z c z f一致收敛,逐项积分可得ζζζζζd z c z c d f zz zz m m mm ])()([)(001010 +-+-=⎰⎰++⎰⎰+-+-=++zz m m zz mm d z c d z c 01010)()(ζζζζ+-++-+=+++20110)(2)(1m m m m z z m c z z m c令 +-++-+=+++20110)(2)(1)(m m m m z z m c z z m c z F故0z 是)(z F 的1+m 阶零点. (2)设⎰=zz d f z 1)()(ζζϕ,作函数⎰-=zz d f z z F 1)()()(ζζϕ,则⎰⎰⎰=-=zz z z zz d f d f d f z F 011)()()()(ζζζζζζ由(1)知0z 是)(z F 的1+m 阶零点,故 ⎰-01z )( )(z d f z ζζϕ以0z 为1+m 阶零点.8.证明:设),(),()(1y x iv y x u z f += )0,()0,()(2x iv x u z f +=依唯一性定理,在L 上有)()(1z f z f =,而L 每一点都是L 的极限点,而且)(),(,21z f z f G L ⊂都在G 内解析,由唯一性定理有)()(21z f z f =.9.证明:(反证法)设存在这样的周线C ,D C I ⊂)(,且有一复数A ,使得A z f =)(,在C 内部)(C I 有无穷多个根,即0)(=-A z f 在C 内部)(C I 有无穷多个零点,必存在零点列{}D z z n ∈→0,从而由唯一性定理,)()(D z A z f ∈≡,与题设矛盾.10.证明:由最大模原理)(max )(z f r M rz <=,显然)(r M 是单调上升函数,若存在21r r <,使得)()(21r M r M =,即在2r z <内存在点θi e r z 11=使得)()(21r M z f =,即在内点达到最大模,由最大模原理知)(z f 恒为常数.。
(完整版)《复变函数》教学大纲.docx
《复变函数》教学大纲说明1．本大纲适用数学与应用数学本科教学2．学科性质：复变函数论是成人高等师范数学专业基础课程之一，它在微分方程、概率论、力学等学科中都有应用，复变函数论方法是工程、科技的常用方法之一。
复变函数论主要研究解析函数。
解析函数定义的几种等价形式，表现了解析函数这一概念在不同方面的特性。
复变函数论的基本理论以柯西定理为主要定理，柯西公式为重要公式，留数基本定理是柯西定理的推广。
保形映照是复变函数几何理论的基本概念。
；留数理论和保形映照也为实际应用提供了特有的复变函数论方法。
3．教学目的：复变函数论是微积分学在复数域上的推广和发展，通过复变函数论的学习能使学生对微积分学的某些内容加深理解，提高认识。
复变函数论在联系和指导中学数学教学方面也有重要的作用，学生通过复变函数论的学习对中学数学的某些知识有比较透彻的理解与认识，从而增加做好中学数学教育工作的能力。
4．教学基本要求：通过本课程的学习，要求学生达到：1．握基本概念和基本理论；2．熟练的引进基本计算（复数、判断可导性及解析性、复积分、函数的展式、孤立奇点的判断、留数的计算及应用、求线性映照及简单映照等）；2．固和加深理解微积分学的有关知识。
5．教学时数分配：本课程共讲授 72 学时（包括习题课），学时分配如下表：教学时数分配表章节教学内容教学时数第一章复数与复变函数共计 8§ 1复数2§ 2复平面上的点集2§ 3复球面与无穷远点2§ 4复变函数2第二章解析函数共计 12§ 1解析函数的概念与C—R条件4§ 2初等解析函数4§ 3初等多值函数4第三章复变函数的积分共计 10§ 1复积分的概念及其简单性质2§ 2柯西定理4§ 3柯西积分公式及推论4第四章解析函数的幂级数表示共计 8§ 1复级数的基本性质2§ 2幂级数2§ 3解析函数的幂级数表示2§ 4解析函数零点的孤立性及唯一性定理2第五章解析函数的罗朗展式与孤立奇点共计 8§ 1解析函数的罗朗展式2§ 2解析函数的孤立奇点2§ 3解析函数在无穷远点的性质2§ 4整函数与亚纯函数2第六章留数理论及其应用共计 14§ 1留数计算及基本定理4§ 2用留数基本定理计算实积分6§ 3辐角原理及应用4第七章保形变换共计 12§ 1解析函数的映照性质及最大模原理4§ 2线性变换及其应用4§ 3初等函数所构成的保形变换4以上是二年制脱产数学本科的教学时数。
复变函数第四版(第四章)
1 n 1) a n 1 e ; n
i
2) a n n cos in
}
[解] 1) 因
1 n 1 a n 1 e 1 cos i sin n n n n 1 1 an 1 cos , bn 1 sin . n n n n lim an 1, lim bn 0
第4章
级数
§4.1 复数项级数 §4.2 幂级数 §4.3 泰勒级数 §4.4 洛朗级数
}
n
n
n
任意给定e>0, 相应地能找到一个正数N(e), 使|an-
a|<e在n>N时成立 则a称为复数列{an}当n时的 §4.1 ,复数项级数
极限, 记作
lim a n a
n
此时也称复数列{an}收敛于a.
(-1) n n n 1
(8i ) 8 , 由正项级数的比值审敛法知 n! n!
故原级数收敛 . 但因 n n
}
§4.2 幂级数
1. 幂级数的概念 设{fn(z)}(n=1,2,...)为一复变函数 序列,其中各项在区域D内有定义.表达式
f
n 1
n
( z ) f1 ( z ) f 2 ( z ) f n ( z ) (4.2.1)
z
n
在圆 |
1
内收敛.
}
再证当
| z |
| z |
1
时, 级数
n0
cn z n
发散. 假设在
n0
圆 收敛. 在圆外再取一点 z1, 使|z1|<|z0|, 那么根据阿
复变函数课件1-1资料
10
法国著名的物理学家、数学家和 天文学家。1717 年11月 17 日生 于巴黎，1783年10月29日卒于同 地。他是圣让勒隆教堂附近的一 个弃婴 ，被一位玻璃匠收养，后
称为虚数单位. 对虚数单位的规定: (1) i2 1; (2) i 可以与实数在一起按同样的法则进行
四则运算.
16
虚数单位的特性:
i1 i;
i2 1;
i3 i i2 i;
i4 i 2 i 2 1;
i5 i4 i1 i;
i6 i4 i 2 1;
i7 i4 i3 i;
课程概况
课程名称 复变函数
教材 总学时
《复变函数论》 高教第三版(钟玉泉编)
76学时
1
第一章 复数与复变函数
8
第二章 解析函数
12
第三章 复变函数的积分
12
第四章 解析函数的幂级数表示法
10
第五章 解析函数罗朗展示与孤立奇点 12
第六章 留数理论及其应用
12
第七章 共形映射（选学）
10
2
课程简介
13
第一章 复数与复变函数
第一节 复数 第二节 复平面上的点集 第三节 复变函数 第四节 复球面与无穷远点
14
第一节 复数
•1 复数域 •2 复平面 •3 复数的模与辐角 •4 复数的乘幂与方根 •5 共轭复数 •6 复数在几何上的应用举例
15
复变函数论教学大纲
复变函数论课程教学大纲一、课程说明1、课程性质《复变函数》是数学与应用数学专业的一门专业主干课程，是数学分析的后续课程。
本课程的主要内容是讨论单复变量的复值可微函数的性质，其主要研究对象是全纯函数，即复解析函数。
复变函数论又称复分析，是数学分析的推广和发展。
因此它不仅在内容上与数学分析有许多类似之处，而且在逻辑结构方面也非常类似。
复变函数论是一门古老而富有生命力的学科。
早在19世纪，Cauchy、Weierstrass 及Riemann等数学巨匠就已经给这门学科奠定了坚实的基础。
复变函数论作为一种强有力的工具，已经被广泛应用于自然科学的众多领域，如理论物理、空气动力学、流体力学、弹性力学以及自动控制学等，目前也被广泛应用于信号处理、电子工程等领域。
复变函数论作为一门学科，有其自身的特点，有其特有的研究方法。
在学习过程中，应注意将所学的知识融汇贯通，并通过与微积分理论的比较加深理解，掌握它自身所固有的理论和方法。
2、课程教学目标与要求（1）通过本课程的教学，使学生掌握复变函数论的基本理论和方法，获得独立地分析和解决某些相关理论和实际问题的能力。
为进一步学习其他课程，并为将来从事教学，科研及其他实际工作打好基础。
（2）通过基本概念的正确讲解，基本理论的系统阐述，基本运算能力的严格训练，逐步提高学生的数学修养。
同时注意扩展学生的学习思路，使他们了解更多的和现代生活息息相关的数学应用知识。
（3）作为师范专业，在有关内容方面注重高等数学对初等数学的提高和指导意义，使学生在今后工作中有较高的起点。
3、先修课程与后续课程先修课程：数学分析，解析几何，高等代数后续课程：数学建模，概率论与数理统计，拓扑学，解析数论等4、教学时数分配表5、使用教材：《复变函数论》（第三版），钟玉泉编；高等教育出版社。
6、教学方法与手段（1）学与思的结合：既要了解相关内容，又要对此进行深入的思考与分析；（2）听与说的结合：要求学生既要认真听老师的讲解，又要勇于单独发表自己的见解；（3）知与做的结合：通过对数学方法的掌握，解决与之相关的其他数学问题；（4）理论与实践的结合：通过本课程理论学习形成的数学思想方法，应用于实际之中，同时加深对其他数学专业课的理解。
《复变函数》课程教学大纲
《复变函数》课程教学大纲适用专业:数学与应用数学执笔人：王小灵审定人：王宏勇系负责人：张从军南京财经大学应用数学系《复变函数》课程教学大纲课程代码：200072英文名：Complex Variable Function课程类别：专业选修课适用专业：数学与应用数学前置课：数学分析后置课：概率论、数学物理方程、偏微分方程学分：2学分课时：54课时主讲教师：王小灵等选定教材：钟玉泉，复变函数论（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2003.课程概述：复变函数的主要内容是讨论复数之间的相互依赖关系，其主要研究对象是解析函数。
复变函数是在数学分析的基础上，复变函数又称复分析，也称为解析函数论.是实变函数微积分的推广和发展。
因此它不仅在内容上与实变函数微积分有许多类似之处，而且在研究问题的方面与逻辑结构方面也非常类似。
复变函数是一门古老而富有生命力的学科。
早在19世纪，Cauchy、Weierstrass及Riemann 等人就已经给这门学科奠定了坚实的基础。
复变函数不但是我们所学数学分析的理论推广，而且作为一种强有力的工具，已经被广泛的应用于自然科学的众多领域，如理论物理、空气动力学、流体力学、弹性力学以及自动控制学等，目前也被广泛应用于信号处理、电子工程等领域。
复变函数作为一门学科，有其自身的特点和研究方法与研究工具，在学习过程中，应注意与微积分理论的比较，从而加深理解，同时也须注意复变函数本身的特点，并掌握它自身所固有的理论和方法，抓住要点，融会贯通。
教学目的：复变函数是微积分学在复数域上的推广和发展，通过复变函数的学习能使学生对微积分学的某些内容加深理解，提高认识。
教学方法：教学过程宜采用以章为主的单元组织教学法，以课堂讲授为主，结合多媒体教学软件辅助教学，教学中应强调理论与实际并重，各章应安排一定课时的习题课，课后教师需安排时间集中对学生辅导答疑，学生必须完成一定量的作业。
本课程可根据需要安排课堂讨论。
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为序列(*)的极限函数,记为:
f
(z)
lim
n
fn (z)
定义2 对于序列(*),如果在点集E上有一个函数f(z),
使对任给的ε>0,存在正整数N=N(ε),当n>N时,对一切
的z∈E均有 |f(z)-fn(z)|<ε,则称序列(*)在E上一致收
敛于f(z)，记作:
E
| n | 收敛.
n1
证
由于 n
an2 bn2 ,
n1
n1
而 an an2 bn2 , bn an2 bn2 ,
根据实数项级数的比较准则, 知
an 及 bn 都收敛,
n1
n1
故 an 及 bn 也都收敛.
n1
n1
9
定义4.2 若级数 |n | 收敛,则原级数 n 称
n1
n1
为绝对收敛;若级数 |n | 发散，而级数 n 收
.
2
证
如果lim n
n
,
那末对于任意给定的
0
就能找到一个正数N, 当 n N 时,
(an ibn ) (a ib) ,
从而有 an a (an a) i(bn b) ,
所以
lim
n
an
a. 同理
lim
n
bn
b.
反之, 如果
lim
n
an
a,
lim
n
bn
b,
那末当n N 时,
n1
n1
敛,原级数称为条件收敛.
定理:
绝对收敛
n
an与
bn绝对收敛
n1
n1
n1
事实上，
n
n
n
n
n
n
| ak |( | bk |) | zk | | ak |2 | bk |2 | ak | | bk |
k 1
k 1
k 1
k 1
k 1
k 1
10
例1
例2
当| | 1时,
级数
级数
n1
n1
n1
例1
级数
n1
1 2n
(1
i n
) 是否收敛？由 n1
21n发散知原级数发散.
例2
级数
n1
1
i2n 3n
1
是否收敛？
由
1 发散知原级数发散.
n1 3n
7
定理4.2 (Cauchy准则)复级数(4.1)收敛的充要条件为:
对任给ε>0,存在正整数N(ε),当n>N且p为任何正整数时
|n+1+ n+2+…+ n+p|<ε
1
)i e
π n
lim
(1
1 )n
1 n
i
e
π n
1;
n
n
n
n
练习
(2) n
n cosin
n en en 2
(n ) .
(1)
zn
1 1
ni ni
;
(2)
zn
(1)n
i; n1
(3)
zn
1
e
ni 2
.
n
定理：复数列收敛的Cauchy准则
复数列 {n }(n 1, 2 ,L ) 收敛的充要条件是:
定理4.1 设 n=an+ibn(n=1,2,…),an及bn为实数,则复
级数(4.1)收敛于s=a+ib(a,b为实数)的充要条件为:
实数项级数 an , bn 分别收敛于a及b.
n1
n1
证 因为 sn 1 2 n
(a1 a2 an ) i(b1 b2 bn )
n i n ,
第四章 解析函数的幂级数表示
第一节 复级数的基本性质 1、复数列的极限 2、复数项级数 3、复函数项级数 4、解析函数项级数
1
1. 复数列的极限
定义 设 {n } (n 1,2, ) 为一复数列, 其中 n an ibn , 又设 a ib 为一确定的复数,
如任意给定 0,相应地都能找到一个正整
n
绝对收敛,且有
n
n0
(8i )n
n0
是否绝对收敛？
1
1
.
解
因为|
(8i) n!
nn|18nn!
n!
，而级数
n1
8n 敛的复级数的各项可以任
意重排次序,而不改变其绝对收敛性,亦不改变其和.
(2)两个绝对收敛的复级数
n1
n
,
n1 n
可按对角线法得到乘积级数
根据 {sn } 极限存在的充要条件 :
{ n } 和 { n }的极限存在,
于是 级数 an 和 bn 都收敛.
n1
n1
6
注：复数项级数的收敛问题可转化为实数项级数 的收敛问题
1) an , bn分别收敛于a及b n s( a ib)
n1
n1
n1
2)
an ,
bn至少一个
发散
发散
n
11 (12 21) (1n 2n1 n1
它收敛于 .
11
4. 一致收敛的复函数项序列
定义1 设复变函数项序列
f1(z)，f2(z)，f3(z)，…，fn(z)，… (*) 的各项均在点集E上有定义,且在E上存在一个函数
f(z),对于E上的每一点z,序列(*)均收敛于f(z),则称f(z)
于即sln,i且m称sns为 s((4.1)的) 和则,称写复成数s 项无穷n 级数(4.1)收敛
否则若复数列sn(n=1,2,…,)无有n1限极限,则称级数 (4.1)为发散.
注 复级数
n收敛于s的
N定义： n
0, N 0,n N,有 | k s | .
k 1
5
复数项级数收敛的条件
数N( ),使在 n N 时: n 成立,
那末 记作
称为复数列{n }
lim
n
n
. 此时也
当n 称复数
时的极限,
列{n } 收敛于
.
复数列收敛的条件
定理 复数列 {n } {an ibn }(n 1, 2 ,L )
收敛于 a ib 的充要条件是
lim
n
an
a,
lim
n
bn
b
>0,N >0,当n N时,对p N :
| n p n |
4
2. 复数项级数的收敛与发散
定义
设{
n
}
{an
ibn } (n
1, 2,L
)为一复数列,
表达式 n 1 2 L n L
(4.1)
n1
称为复数项级数.sn 1 2 n 称为级数的部分和.
若部分和数列{sn}(n=1,2,…,)以有限复数s为极限,
an
a
2
,
bn
b
2
.
从而 n (an ibn ) (a ib)
(an a) i(bn b)
所以
an a bn b ,
lim
n
n
.
3
例1 下列数列是否收敛, 如果收敛, 求出其极限.
解
(1) n
(1
1
)e
i
π n
;
n
(2) n ncos in .
(1)
lim
(1
推论1
收敛级数的通项必趋于零:
lim
n
n
0
(事实上，取p=1,则必有|an+1|<ε)．
重要结论:
lim
n
n
0
级数 n发散.
n1
推论2 收敛级数的各项必是有界的.
推论3 若级数(4.1)中略去有限个项,则所得级数与原 级数同为收敛或同为发散.
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3. 绝对收敛与条件收敛 定理 4.3 复级数(4.1)收敛的一个充分条件为级数