复变函数论钟玉泉第四章[严选课资]
复变函数钟玉泉讲义大学复变函数课件
复变函数钟玉泉讲义大学复变函数课件复变函数第一节解析函数的概念及C.-R.方程1、导数、解析函数定义2.1：设是在区域内确定的单值函数，并且。
如果极限存在，为复数，则称在处可导或可微，极限称为在处的导数，记作，或。
定义2.2：如果在及的某个邻域内处处可导，则称在处解析；如果在区域内处处解析，则我们称在内解析，也称是的解析函数。
解析函数的导（函）数一般记为或。
注解1、语言，如果任给，可以找到一个与有关的正数，使得当，并且时，，则称在处可导。
注解2、解析性与连续性：在一个点的可导的函数必然是这个点的连续函数；反之不一定成立；注解3、解析性与可导性：在一个点的可导性是一个局部概念，而解析性是一个整体概念；注解4、函数在一个点解析，是指在这个点的某个邻域内解析，因此在此点可导；反之，在一个点的可导性不能得到在这个点解析。
解析函数的四则运算：和在区域内解析，那么，，（分母不为零）也在区域内解析，并且有下面的导数的四则运算法则：。
复合求导法则：设在平面上的区域内解析，在平面上的区域内解析，而且当时，，那么复合函数在内解析，并且有求导的例子：（1）、如果（常数），那么；（2）、，；（3）、的任何多项式在整个复平面解析，并且有（4）、在复平面上，任何有理函数，除去使分母为零的点外是解析的，它的导数的求法与是实变量时相同。
2、柯西-黎曼条件可微复变函数的实部与虚部满足下面的定理：定理2.1 设函数在区域内确定，那么在点可微的充要条件是：1、实部和虚部在处可微；2、和满足柯西-黎曼条件（简称方程）证明：（必要性）设在有导数，根据导数的定义，当时其中，。
比较上式的实部与虚部，得因此，由实变二元函数的可微性定义知，，在点可微，并且有因此，柯西-黎曼方程成立。
（充分性）设，在点可微，并且有柯西-黎曼方程成立：设则由可微性的定义，有：令，当（）时，有令，则有所以，在点可微的。
定理2.2 设函数在区域内确定，那么在区域内解析的充要条件是：1、实部和虚部在内可微；2、)和在内满足柯西-黎曼条件（简称方程）关于柯西-黎曼条件，有下面的注解：注解1、解析函数的实部与虚部不是完全独立的，它们是方程的一组解，它们是在研究流体力学时得到的；注解2、解析函数的导数形式更简洁：公式可避免利用定义计算带来的困难。
复变函数论自学考试大纲
[10019]复变函数论自学考试大纲浙江省高等教育自学考试办公室二OO四年十二月指定教材：《复变函数论》，钟玉泉编，高等教育出版社2004年1月第3版一、课程性质与说明复变函数论是高等师范数学专业基础课程之一。
复变函数论主要研究解析函数。
解析函数定义的几种等价形式，表现了解析函数这一概念在不同方面的特性。
复变函数论的基本理论以柯西定理为主要定理，柯西公式为重要公式，留数基本定理是柯西定理的推广。
共形映射是复变函数几何理论的基本概念。
留数理论和共形映射也为实际应用提供了特有的复变函数论方法。
二、考核目标第一章复数与复变函数复数和平面点集是研究复变函数的基础。
复变函数及其极限理论与微积分学的相应内容类似，但因复变函数是研究平面上的问题，因而有其新的含义与特点。
（一）目的和要求1．明确复数、区域、单连通区域、多连通区域、逐段光滑曲线、无穷远点、扩充复平面等概念。
2．明确复变函数连续性等价于其实部与虚部的连续性。
3．掌握复数的计算，会应用模和辐角的性质。
4．会作点集的图形，掌握一些简单函数的变换性质。
（二）主要内容1．复数复数的表示式及代数运算、复数的模及辐角、共轭复数、复数在几何中的应用。
2．复平面上的点集平面点集、曲线、区域。
3．复变函数复变函数的概念、极限及连续性。
4．复球面及无穷远点复球面、无穷远点及扩充复平面。
第二章解析函数解析函数是本课程的主要研究对象，它是一类特殊的可微函数。
判断函数可微和解析的主要条件是柯西－黎曼条件。
复变函数中各类基本初等函数之间，具有明确的统一性。
（一）目的和要求1．正确理解复变函数的可微、解析函数等基本概念。
2．明确柯西－黎曼条件与函数可微性、解析性的关系。
3．明确复变函数中各类基本初等函数的定义和性质以及它们与实初等函数的异同点。
n的单值解析分支并能求其函数值。
4．能确定根式函数z（二）主要内容1．解析函数的概念与柯西－黎曼条件2．初等解析函数指数函数、三角函数、根式函数和对数函数的单值解析分支、反三角函数、一般幂函数和一般指数函数。
复变函数考试大纲
《复变函数》课程考试大纲（Complex Variables Functions）课程编号：03110094课程类型：专业核心课所属教研室：数学与应用数学教研室总学时：45学分数： 3考核对象：09级数学与应用数学专业本科生执笔者：编写日期：一、课程性质与考试目的：《复变函数》是数学与应用数学专业的一门专业核心课，又是《数学分析》的后继化、完备化课程。
从数学理论角度看，它是数学的重要分支之一，内容丰富而完美。
在实用上，对力学、电学及理论物理等学科有着重要的应用。
复变函数方法是工程、科技的常用方法之一。
通过本课程的学习，一方面可以加深对《数学分析》中基础理论的理解，另一方面可以进一步锻炼学习者的能力，为他们下一步的学习奠定基础。
本课程主要研究解析函数，包括复数与复变函数、解析函数、复变函数的积分、解析函数的幂级数表示法、解析函数的洛朗展式与孤立奇点、留数理论及其应用、共形映射这七部分必讲内容，这七部分内容涵盖了复变函数中三大理论（积分理论、级数理论、几何理论）的所有内容。
通过考试，不仅要考查学生对于该课程的基本概念、基本性质、基本理论理解、掌握得是否准确、全面，而且要考查学生分析问题和解决问题的能力是否得到提高，运用这些知识处理具体问题的综合、创造、归纳、概括等的能力是否得到发展，从而检查平时教学是否达到了教学要求，完成了教学大纲所提出的目标和任务。
二、考试内容及要求：第一章复数与复变函数【本章重点】复变函数的概念、极限与连续性1、考试内容：复数的概念，复变函数的极限和连续的概念；复数的乘幂与方根，复数方程；平面曲线(特别是简单闭曲线，光滑曲线或按段光滑曲线)与平面区域(包括单连通域与多连通域)。
2、考核要求：（1）．了解：区域的概念，复变函数的极限和连续的概念，扩充复平面；（2）．理解：复变函数概念；（3）．掌握：复数的概念、表示方法及其运算；复数运算的几何意义与复数方程表示的几何图形；复数的乘幂与方根；平面曲线(特别是简单闭曲线，光滑曲线或按段光滑曲线)与平面区域(包括单连通域与多连通域)。
复变函数四五六七章总复习钟玉泉
若a为f (z)的孤立奇点,则在K {a}内可展成Laurent级数
f (z) cn (z a)n cn (z a)n
cn (z a)n
n
n1
n0
f (z)在a的主要部分 f (z)在a的正则部分
f (z)在点a的奇点性质体现在K内收敛于一解析函数
定义5.3 设a为f (z)孤立奇点
(1) fn (z)(n 1, 2,...)在区域D内解析;
(2) fn (z)在D内内闭一致收敛于函数f (z)
n1
f (z) fn(z).
n1
则 (1) 函数f (z)在区域D内解析;
(2) f ( p) (z)
f
( n
p)
(
z),
(
z
D,
p
1,
2,
).
n1
第二节 幂级数
1. 幂级数的敛散性 阿贝尔(Abel)定理
i z
1,
z 1. 2
f
(z)
(z
1 i)(z
2)
1 2
i
z
1
i
2
1
z
1 2i
1 z1
i z
1 21
2z
1 2
i
(i)n zn1
n0
n0
zn 2n1
1 2
i
n0
( i )n z n1
1 2
i
n0
zn 2n1 .
(2) 在 2 z 内,
i 1, 2 1
1ezຫໍສະໝຸດ n01 n!zn ,
所以
1
z2e z
z21
1 z
1 2! z 2
1 n! z n
《复变函数论》第四章
第四章 解析函数的幂级数表示方法第一节 级数和序列的基本性质 1、复数项级数和复数序列： 复数序列就是：111222,,...,,...n n n z a ib z a ib z a ib =+=+=+在这里，n z 是复数，,Im ,Re n n n n b z a z ==一般简单记为}{n z 。
按照|}{|n z 是有界或无界序列，我们也称}{n z 为有界或无界序列。
设0z 是一个复常数。
如果任给0ε>，可以找到一个正数N ，使得当n>N 时ε<-||0z z n ,那么我们说{}n z 收敛或有极限0z ，或者说{}n z 是收敛序列，并且收敛于0z ，记作0lim z z n n =+∞→。
如果序列{}n z 不收敛，则称{}n z 发散，或者说它是发散序列。
令0z a ib =+，其中a 和b 是实数。
由不等式0||||||||||n n n n n a a b b z z a a b b --≤-≤-+-及容易看出，0lim z z n n =+∞→等价于下列两极限式： ,lim ,lim b b a a n n n n ==+∞→+∞→因此，有下面的注解：注1、序列{}n z 收敛（于0z ）的必要与充分条件是：序列{}n a 收敛（于a ）以及序列{}n b 收敛（于b ）。
注2、复数序列也可以解释为复平面上的点列，于是点列{}n z 收敛于0z ，或者说有极限点0z 的定义用几何语言可以叙述为：任给0z 的一个邻域，相应地可以找到一个正整数N ，使得当n N >时，n z在这个邻域内。
注3、利用两个实数序列的相应的结果，我们可以证明，两个收敛复数序列的和、差、积、商仍收敛，并且其极限是相应极限的和、差积、商。
定义4.1复数项级数就是12......n z z z ++++或记为1n n z +∞=∑，或n z ∑，其中n z 是复数。
定义其部分和序列为：12...n n z z z σ=+++如果序列{}n σ收敛，那么我们说级数n z ∑收敛；如果{}n σ的极限是σ，那么说n z ∑的和是σ，或者说n z ∑收敛于σ，记作1nn zσ+∞==∑，如果序列{}n σ发散，那么我们说级数n z ∑发散。
《复变函数论》课程教学标准
《复变函数论》课程教学标准第一部分：课程性质、课程目标与要求《复变函数论》课程是我院数学与应用数学、信息与计算科学本科专业的必修课程，是数学与应用数学专业的专业主干课程。
复变函数（主要是单复变函数）是十九世纪数学最独特，最富有成果的创造，它差不多统治了整个十九世纪的数学。
在这个领域，数学家们进行了深刻，富有成效的研究，使复变函数逐渐发展成为一门相对成熟的学科，内容丰富而完美。
现在复变函数已经深入到代数学、微分方程、概率统计、拓扑学和解析数论等数学分支。
并且广泛应用于理论物理、电学、流体力学、空气动力学、弹性力学和自动控制等领域。
开设本课程的基本目的是使学生掌握复变函数的基本理论和方法，进一步培养学生的逻辑思维能力，扩展学生视野，为将来从事相关领域的科学研究和教学工作培养兴趣，做好准备。
教学时间应安排在第四学期。
作为数学分析课程的一门后继课程，在教学过程中应注意复变函数论与数学分析在概念方法上的相似与联系、区别与发展，强调知识的系统性。
第二部分：教材与学习参考书本课程拟采用由四川大学钟玉泉编写的、高等教育出版社2004年出版的《复变函数论》第三版一书，作为本课程的主教材。
为了更好地理解和学习课程内容，建议学习者可以进一步阅读以下几本重要的参考书：1、钟玉泉，复变函数学习指导书，高等教育出版社，19982、孙清华，赵德修，新编复变函数题解，华中科技大学出版社，20013、余家荣，复变函数，高等教育出版社（第二版），19924、郑建华，复分析，清华大学出版社，20005、方企勤，复变函数教程，北京大学出版社，1996第三部分：教学内容纲要和课时安排第一章复数与复变函数本章介绍的是复变函数的一些最基本的概念，是中学学习的复数相关概念的衔接和发展。
首先引入复数域与复平面的概念，其次引入复平面上的点集、区域、Jordan 曲线以及复变函数的极限与连续等概念；最后还要引入复球面与无穷远点的概念。
通过这一章的学习，学习者要掌握复数的三种表示；区别辐角与主辐角；熟练掌握复数的四则运算，乘方、开方运算；对复平面上各种点集定义能够形象理解切实掌握；充分理解复球面和无穷远点与扩充复平面的对应。
《复变函数论》课件
复数的定义
复平面上的点表示复数，实轴表示实数，虚轴表示虚数。
复数的几何意义
加法、减法、乘法、除法等。
复数的运算
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEWERA
复数与复变函数
总结词
复数可以用几何图形表示，其实部和虚部可以分别表示为直角坐标系中的x轴和y轴。
详细描述
复数平面上，每一个复数z=a+bi可以对应到一个点(a,b)，实部a对应x轴上的坐标，虚部b对应y轴上的坐标。这种表示方法称为复平面或直角坐标系。
泰勒级数的应用场景
泰勒级数在数学、物理、工程等领域中有着广泛的应用，如近似计算、误差估计、信号处理等。
泰勒级数的误差分析
在使用泰勒级数进行近似计算时，需要进行误差分析，以确保近似结果的精度和可靠性。
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEWERA
留数定理与辐角原理
总结词：留数定理是复变函数论中的重要定理之一，它提供了计算复平面上的积分的一种有效方法。
详细描述
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEWERA
解析函数与全纯函数
解析函数的定义
如果一个复函数在某区域内的全纯函数，则称该函数在该区域内解析。
全局性质
解析函数在全纯函数的零点处具有留数。
局部性质
在某区域内解析的函数在该区域内具有无限次可微性。
局部性质
在某区域内全纯的函数在该区域内具有无限次可微性。
详细描述
复变函数的积分是指函数在某个曲线段上的累积值，其定义方式与实数函数的积分类似，采用极限和累加的方式进行计算。在计算过程中，需要考虑复数域的特性，如虚部的存在和运算规则的特殊性。
复变函数论习题及答案
第一章习题1．设12z -=，求||z 及Arg z .2．设12z z i ==，试用指数形式表 z 1 z 2及12z z .3．解二项方程440(0).z a a +=> 4．证明2222121212||||2(||||)z z z z z z ++-=+，并说明其几何意义。
5．设z 1、z 2、z 3三点适合条件： 1231230 |z ||||| 1.z z z z z ++=++=及试证明z 1、z 2、z 3是一个内接于单位圆周||1z =的正三角形的顶点。
6．下列关系表示的点z 的轨迹的图形是什么？它是不是区域？ （1）1|212|||,()z z z z z z -=-≠；（2）|||4|z z ≤-；（3）111z z -<+；（4）0arg(1) 2Re 34z z π<-<≤≤且；（5）|| 2 z >且|3|1z ->； （6）Im 1 ||2z z ><且；（7）||2 0arg 4z z π<<<且；（8）131 2222i i z z ->->且.7．证明：z 平面上的直线方程可以写成 .az az c += （a 是非零复常数，c 是实常数）8．证明：z 平面上的圆周可以写成0Azz z z C ββ+++=.其中A 、C 为实数，0,A β≠为复数，且2||.AC β> 9．试证：复平面上的三点1,0,a bi a bi +-+共直线。
10．求下列方程（t 是实参数）给出的曲线： （1）(1)z i t =+； （2）cos sin z a t ib t =+；（3）i z t t =+； （4）22i z t t =+.11．函数1w z =将z 平面上的下列曲线变成w 平面上的什么曲线（,z x iy w u iv =+=+）？（1）224;x y +=（2）y x =；（3）x = 1； （4）( x -1)2+y 2=1. 12．试证：（1）多项式1010()(0)n n n p z a z a z a a -=+++≠在z 平面上连续；（2）有理分式函数101101()n n nm m m a z a z a f z b z b z b --+++=+++（000,0a b ≠≠）在z 平面上除分母为的点外都连续。
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为序列(*)的极限函数,记为:
f
(z)
lim
n
fn (z)
定义2 对于序列(*),如果在点集E上有一个函数f(z),
使对任给的ε>0,存在正整数N=N(ε),当n>N时,对一切
的z∈E均有 |f(z)-fn(z)|<ε,则称序列(*)在E上一致收
敛于f(z)，记作:
E
| n | 收敛.
n1
证
由于 n
an2 bn2 ,
n1
n1
而 an an2 bn2 , bn an2 bn2 ,
根据实数项级数的比较准则, 知
an 及 bn 都收敛,
n1
n1
故 an 及 bn 也都收敛.
n1
n1
9
定义4.2 若级数 |n | 收敛,则原级数 n 称
n1
n1
为绝对收敛;若级数 |n | 发散，而级数 n 收
.
2
证
如果lim n
n
,
那末对于任意给定的
0
就能找到一个正数N, 当 n N 时,
(an ibn ) (a ib) ,
从而有 an a (an a) i(bn b) ,
所以
lim
n
an
a. 同理
lim
n
bn
b.
反之, 如果
lim
n
an
a,
lim
n
bn
b,
那末当n N 时,
n1
n1
敛,原级数称为条件收敛.
定理:
绝对收敛
n
an与
bn绝对收敛
n1
n1
n1
事实上，
n
n
n
n
n
n
| ak |( | bk |) | zk | | ak |2 | bk |2 | ak | | bk |
k 1
k 1
k 1
k 1
k 1
k 1
10
例1
例2
当| | 1时,
级数
级数
n1
n1
n1
例1
级数
n1
1 2n
(1
i n
) 是否收敛？由 n1
21n发散知原级数发散.
例2
级数
n1
1
i2n 3n
1
是否收敛？
由
1 发散知原级数发散.
n1 3n
7
定理4.2 (Cauchy准则)复级数(4.1)收敛的充要条件为:
对任给ε>0,存在正整数N(ε),当n>N且p为任何正整数时
|n+1+ n+2+…+ n+p|<ε
1
)i e
π n
lim
(1
1 )n
1 n
i
e
π n
1;
n
n
n
n
练习
(2) n
n cosin
n en en 2
(n ) .
(1)
zn
1 1
ni ni
;
(2)
zn
(1)n
i; n1
(3)
zn
1
e
ni 2
.
n
定理：复数列收敛的Cauchy准则
复数列 {n }(n 1, 2 ,L ) 收敛的充要条件是:
定理4.1 设 n=an+ibn(n=1,2,…),an及bn为实数,则复
级数(4.1)收敛于s=a+ib(a,b为实数)的充要条件为:
实数项级数 an , bn 分别收敛于a及b.
n1
n1
证 因为 sn 1 2 n
(a1 a2 an ) i(b1 b2 bn )
n i n ,
第四章 解析函数的幂级数表示
第一节 复级数的基本性质 1、复数列的极限 2、复数项级数 3、复函数项级数 4、解析函数项级数
1
1. 复数列的极限
定义 设 {n } (n 1,2, ) 为一复数列, 其中 n an ibn , 又设 a ib 为一确定的复数,
如任意给定 0,相应地都能找到一个正整
n
绝对收敛,且有
n
n0
(8i )n
n0
是否绝对收敛？
1
1
.
解
因为|
(8i) n!
nn|18nn!
n!
，而级数
n1
8n 敛的复级数的各项可以任
意重排次序,而不改变其绝对收敛性,亦不改变其和.
(2)两个绝对收敛的复级数
n1
n
,
n1 n
可按对角线法得到乘积级数
根据 {sn } 极限存在的充要条件 :
{ n } 和 { n }的极限存在,
于是 级数 an 和 bn 都收敛.
n1
n1
6
注：复数项级数的收敛问题可转化为实数项级数 的收敛问题
1) an , bn分别收敛于a及b n s( a ib)
n1
n1
n1
2)
an ,
bn至少一个
发散
发散
n
11 (12 21) (1n 2n1 n1
它收敛于 .
11
4. 一致收敛的复函数项序列
定义1 设复变函数项序列
f1(z)，f2(z)，f3(z)，…，fn(z)，… (*) 的各项均在点集E上有定义,且在E上存在一个函数
f(z),对于E上的每一点z,序列(*)均收敛于f(z),则称f(z)
于即sln,i且m称sns为 s((4.1)的) 和则,称写复成数s 项无穷n 级数(4.1)收敛
否则若复数列sn(n=1,2,…,)无有n1限极限,则称级数 (4.1)为发散.
注 复级数
n收敛于s的
N定义： n
0, N 0,n N,有 | k s | .
k 1
5
复数项级数收敛的条件
数N( ),使在 n N 时: n 成立,
那末 记作
称为复数列{n }
lim
n
n
. 此时也
当n 称复数
时的极限,
列{n } 收敛于
.
复数列收敛的条件
定理 复数列 {n } {an ibn }(n 1, 2 ,L )
收敛于 a ib 的充要条件是
lim
n
an
a,
lim
n
bn
b
>0,N >0,当n N时,对p N :
| n p n |
4
2. 复数项级数的收敛与发散
定义
设{
n
}
{an
ibn } (n
1, 2,L
)为一复数列,
表达式 n 1 2 L n L
(4.1)
n1
称为复数项级数.sn 1 2 n 称为级数的部分和.
若部分和数列{sn}(n=1,2,…,)以有限复数s为极限,
an
a
2
,
bn
b
2
.
从而 n (an ibn ) (a ib)
(an a) i(bn b)
所以
an a bn b ,
lim
n
n
.
3
例1 下列数列是否收敛, 如果收敛, 求出其极限.
解
(1) n
(1
1
)e
i
π n
;
n
(2) n ncos in .
(1)
lim
(1
推论1
收敛级数的通项必趋于零:
lim
n
n
0
(事实上，取p=1,则必有|an+1|<ε)．
重要结论:
lim
n
n
0
级数 n发散.
n1
推论2 收敛级数的各项必是有界的.
推论3 若级数(4.1)中略去有限个项,则所得级数与原 级数同为收敛或同为发散.
8
3. 绝对收敛与条件收敛 定理 4.3 复级数(4.1)收敛的一个充分条件为级数