复变函数论钟玉泉第四章[严选课资]

>0,N >0,当n N时,对p N :
| nBaidu Nhomakorabeap n |
4
2. 复数项级数的收敛与发散
定义
设{
n
}
{an
ibn } (n
1, 2,L
)为一复数列,
表达式 n 1 2 L n L
(4.1)
n1
称为复数项级数.sn 1 2 n 称为级数的部分和.
若部分和数列{sn}(n=1,2,…,)以有限复数s为极限,
推论1
收敛级数的通项必趋于零:
lim
n
n
0
(事实上，取p=1,则必有|an+1|<ε)．
重要结论:
lim
n
n
0
级数 n发散.
n1
推论2 收敛级数的各项必是有界的.
推论3 若级数(4.1)中略去有限个项,则所得级数与原 级数同为收敛或同为发散.
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3. 绝对收敛与条件收敛 定理 4.3 复级数(4.1)收敛的一个充分条件为级数
根据 {sn } 极限存在的充要条件 :
{ n } 和 { n }的极限存在,
于是 级数 an 和 bn 都收敛.
n1
n1
6
注：复数项级数的收敛问题可转化为实数项级数 的收敛问题
1) an , bn分别收敛于a及b n s( a ib)
n1
n1
n1
2)
an ,
bn至少一个
发散
发散
n
定理4.1 设 n=an+ibn(n=1,2,…),an及bn为实数,则复
级数(4.1)收敛于s=a+ib(a,b为实数)的充要条件为:
实数项级数 an , bn 分别收敛于a及b.
n1
n1
证 因为 sn 1 2 n
(a1 a2 an ) i(b1 b2 bn )
n i n ,
an
a
2
,
bn
b
2
.
从而 n (an ibn ) (a ib)
(an a) i(bn b)
所以
an a bn b ,
lim
n
n
.
3
例1 下列数列是否收敛, 如果收敛, 求出其极限.
解
(1) n
(1
1
)e
i
π n
;
n
(2) n ncos in .
(1)
lim
(1
n1
n1
敛,原级数称为条件收敛.
定理:
绝对收敛
n
an与
bn绝对收敛
n1
n1
n1
事实上，
n
n
n
n
n
n
| ak |( | bk |) | zk | | ak |2 | bk |2 | ak | | bk |
k 1
k 1
k 1
k 1
k 1
k 1
10
例1
例2
当| | 1时,
级数
级数
为序列(*)的极限函数,记为:
f
(z)
lim
n
fn (z)
定义2 对于序列(*),如果在点集E上有一个函数f(z),
使对任给的ε>0,存在正整数N=N(ε),当n>N时,对一切
的z∈E均有 |f(z)-fn(z)|<ε,则称序列(*)在E上一致收
敛于f(z)，记作:
E
n1
n1
n1
例1
级数
n1
1 2n
(1
i n
) 是否收敛？由 n1
21n发散知原级数发散.
例2
级数
n1
1
i2n 3n
1
是否收敛？
由
1 发散知原级数发散.
n1 3n
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定理4.2 (Cauchy准则)复级数(4.1)收敛的充要条件为:
对任给ε>0,存在正整数N(ε),当n>N且p为任何正整数时
|n+1+ n+2+…+ n+p|<ε
| n | 收敛.
n1
证
由于 n
an2 bn2 ,
n1
n1
而 an an2 bn2 , bn an2 bn2 ,
根据实数项级数的比较准则, 知
an 及 bn 都收敛,
n1
n1
故 an 及 bn 也都收敛.
n1
n1
9
定义4.2 若级数 |n | 收敛,则原级数 n 称
n1
n1
为绝对收敛;若级数 |n | 发散，而级数 n 收
.
2
证
如果lim n
n
,
那末对于任意给定的
0
就能找到一个正数N, 当 n N 时,
(an ibn ) (a ib) ,
从而有 an a (an a) i(bn b) ,
所以
lim
n
an
a. 同理
lim
n
bn
b.
反之, 如果
lim
n
an
a,
lim
n
bn
b,
那末当n N 时,
1
)i e
π n
lim
(1
1 )n
1 n
i
e
π n
1;
n
n
n
n
练习
(2) n
n cosin
n en en 2
(n ) .
(1)
zn
1 1
ni ni
;
(2)
zn
(1)n
i; n1
(3)
zn
1
e
ni 2
.
n
定理：复数列收敛的Cauchy准则
复数列 {n }(n 1, 2 ,L ) 收敛的充要条件是:
于即sln,i且m称sns为 s((4.1)的) 和则,称写复成数s 项无穷n 级数(4.1)收敛
否则若复数列sn(n=1,2,…,)无有n1限极限,则称级数 (4.1)为发散.
注 复级数
n收敛于s的
N定义： n
0, N 0,n N,有 | k s | .
k 1
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复数项级数收敛的条件
数N( ),使在 n N 时: n 成立,
那末 记作
称为复数列{n }
lim
n
n
. 此时也
当n 称复数
时的极限,
列{n } 收敛于
.
复数列收敛的条件
定理 复数列 {n } {an ibn }(n 1, 2 ,L )
收敛于 a ib 的充要条件是
lim
n
an
a,
lim
n
bn
b
第四章 解析函数的幂级数表示
第一节 复级数的基本性质 1、复数列的极限 2、复数项级数 3、复函数项级数 4、解析函数项级数
1
1. 复数列的极限
定义 设 {n } (n 1,2, ) 为一复数列, 其中 n an ibn , 又设 a ib 为一确定的复数,
如任意给定 0,相应地都能找到一个正整
n
绝对收敛,且有
n
n0
(8i )n
n0
是否绝对收敛？
1
1
.
解
因为|
(8i) n!
nn|18nn!
n!
，而级数
n1
8n 收敛，故原级数绝对收敛。
n!
定理4.4 (1)一个绝对收敛的复级数的各项可以任
意重排次序,而不改变其绝对收敛性,亦不改变其和.
(2)两个绝对收敛的复级数
n1
n
,
n1 n
可按对角线法得到乘积级数
11 (12 21) (1n 2n1 n1
它收敛于 .
11
4. 一致收敛的复函数项序列
定义1 设复变函数项序列
f1(z)，f2(z)，f3(z)，…，fn(z)，… (*) 的各项均在点集E上有定义,且在E上存在一个函数
f(z),对于E上的每一点z,序列(*)均收敛于f(z),则称f(z)