变式训练——思维的训练

变式训练
———思维的训练
黑龙江农业经济职业学院附中
周为
变式训练——思维的训练
变式训练是中学数学教学中的一种重要教学策略,在提高学生的学习兴趣、培养学生的数学思维和数学解题能力方面有着不可忽视的作用。

通过变式训练可以使教学内容变得更加丰富多彩, 使学生的思路更加宽广。

这种方法在我国数学教学中的应用由来已久, 在教学中往往被广大教师自觉或不自觉地运用。

所谓变式训练就是通过将原命题中的条件、结论、形式、内容、图形等作适当变换, 也就是通过一个问题的变式, 解决一类问题的变化, 逐步养成学生深入反思数学问题的习惯, 善于抓住数学问题的本质和规律, 探索相关数学问题间的内涵联系以及外延关系, 进而培养学生创新思维能力。

笔者在日常教学中对部分习题通过图形变式、等价变式、思想变式、条件、结论互变等途径，不仅对一些综合题铺设了适当的台阶, 降低了它们的难度, 也使学生掌握了学习知识的方法, 而且训练了学生的思维能力, 培养了创新精神。

下面是笔者在初中数学教学中运用变式训练的一点尝试: 一、图形变式
初中低年级数学中的几何知识的学习是培养学生观察能力、空间想象能力、逻辑思维能力的重要载体, 学生对图形的认识能力也是由具体到抽象、由简单到复杂过渡的, 教师如果能在教学中把有些习题的图形加以变化, 借助变化来反映图形的空间形状及位置关系, 让图形动起来, 引导学生去思考探讨, 那么可以使学生真正掌握知识之间的内在联系。

例：求下图∠A +∠B+∠C+∠D+∠E+∠F 的度数。

学生在教师的指导启发下, 通过讨论,
定理达到题目考察的目的,为了使学生能更进一步对图形及相关知识做到灵活使用、触类旁通变式训练(“图形变换”) 将大显身手。

在学生切实掌握了上述图形问题的讨论后, 再作如下变式:
求如下两图∠A +∠B+
∠C+∠D+∠E+∠F 的度数。

以上两题仍然是利用外角和内角和的定理解决。

由此可见，在这一系列的图形变化过程中， 本质的东西并没有发生变化， 掌握了这些不变性，也就把握住了事物的本质特征，这必将有助于我们从纷繁复杂的众多事物中寻找共性，从千姿百态的现象中总结出反映本质的基本规律。

这种图形变式训练，能有效地发展学生变换与转换（即变中寻不变与动静转换）的思维。

另外图形变式主要是通过图形的大小变化、图形的呈现方式变化、图形的观
察角度变化来训练学生。

在教学中，教师应该克服自身的思维定势，通过改变图形的空间方位，图形的大小、图形的呈现方式、图形的观察角度等，使学生从旧有的思维桎梏中解脱出来，达到思维的发散。

如教师在画三角形时常常习惯于画锐角三角形，使学生产生一种定势，错把锐角三角形当作本质特征。

因此，教学中教师应有意识地向学生呈现直角、钝角及面积大小不同的三角形的各种变式图，让学生观察、比较。

这样，通过对以不同形式出现的同类事物进行辨别，学生就容易撇开事物的非本质属性，找出共同点，从而获得准确的认识。

二、等价变式
等价变形指的是条件、结论的框架基本一致,形式相似,本质相同一类题型,变式的手段上,常用其条件(结论)等价的命题去代替条件(结论),或是形式上的等价变式.这属于一般层次的变式训练,多在新授课的巩固练习中展开。

=有实根?
例：当k 是什么实数的时候,方程x2−)4
(+
K x8+0
>恒变式1：当k 是什么实数的时候,一元二次不等式x2−)4
K x8+0.
(+
成立?
变式2：当k 是什么实数的时候,一元二次函数=y x2−)4
K x8+的图
(+
象恒在x 轴的上方?
三题都是围绕同一个二次多项式,从不等式,方程,函数三个角度进行变式,变式1,2 均是利用Δ＜0，三题形式上是等价的,从本质上说都是考察对方程判别式求解的掌握.利用这种变式训练,可以把一个看似孤立的问题从不同角度向外扩散,并形成一个有规律可寻的系列(把函数、方程、不等式知识点联系在一起),帮助学生在问题的解答过程中去寻找解类似问题的思路、方法，以此更好的把握事物的内涵与外延,为进一步的学习打好基础。

三、思想变式
“变方法、变思想”是训练变式思维的关键。

教师在教学过程中，不能只重视计算结果，而要针对教学的重难点，精心设计有层次、有坡度，要求明确、题型多变的练习题。

要让学生通过训练不断探索解题的捷径，使思维的灵活性、广阔性得到不断发展。

要通过多次的渐进式的拓展训练，使学生进入广阔思维的佳境。

变式教学正是从不同的方法、不同的思维方式来训练学生，从而培养学生的钻研精神，开发学生的创造思维。

为“有特殊才能和爱好的学生”提供更多的发展机会。

在教学中教师应积极地引导学生从各种途径，用多种方法思考问题。

这样，既可暴露学生解题的思维过程，增加教学透明度，又能使学生思路灵活开阔，熟练掌握知识的内在联系和变化规律。

例：如右图在四边形ABCD中，AB=2,CD=1,∠A=60°,∠B=
∠D=90°，AB=2,CD=1,∠A=60°,∠B=∠D=90°。

求四边形
ABCD的面积。

其实这道题虽然有一定的难度，但只要从不同的角度进
行思考，运用不同的方法将图形进行变式，就能化难为易，
想出多种解法来。

如可把四边形分别分割为如下三图的三角形、矩形，由题设求得各部分面积，再取其面积之和。

总之，对学生进行思维变式的训练，有利于营造“自主学习、合作交流、探索研究”的课堂氛围，有利于提高学生的应变能力、应用能力、实践能力、推理能力和创新能力。

因此，思维变式的训练应贯穿于数学教学过程的始终。

四、条件、结论互变
互变指的是原命题中的条件变成新命题的结论，原命题的结论变为新命题的条件的变式训练思考模式：（原命题）条件（A）———结论（B）→（新命题）条件（B）———结论（A）。

例：两地相距300千米，一船航行于两地之间，若顺流需用15小时，逆流需用20小时，求船在静水中的速度和水流的速度。

变式为：一船航行于两地之间，若顺流需用15小时，逆流需用20小时，若船在静水中的速度为17.5千米／时，求水流速度和两地距离。

这种训练能使学生对问题内在联系理解得更加深刻、透彻，有效激活变式思维，诱发创新力。

再者用方程思想解决文字题、应用题一直是低年级学生感到特别困惑的问题, 初中教师在教学中经常为有些低年级学生“熟练而顽固”地运用算式求解感到哭笑不得。

变式训练在教学中的运用使这类问题( 特别是应用题) 的求解既充满乐趣又富有挑战, 极大地调动了学生对数学知识、方法学习的迫求心情。

五、综合变式
让学生联系生活实际，按要求自编题目，自我解题的变式训练“增强学生应用数学的意识”是新课标所强调的。

如果一个学生学了数学知识而不会应用，那将很难适应社会。

综合变式能让学生初步学会运用数学的思维方式去观察、分析现实社会，去解决日常生活中和其他学科学习中的一些数学问题，增强学生应用数学的能力。

如：初三代数课本举了一个在实际生活中通过样本研究总体的例子。

此题可以培养学生的“统计观念”即“数据感”或“信息观念”。

教师可以让学生调查学校周围道路交通（运输量、车辆数、堵塞情况、交通事故等）状况或一段英文文章中相同字母出现的频率，或收集报纸、杂志、电视中公布的数据，分析它们是否由抽样得到，有没有提供数据的来源，来源是否可靠等。

通过这种变式训练，能使学生体会到统计的基本思想，认识统计的作用，让学生有意识地、正确地运用统计来解决一些问题，理智地分析他人的统计数据，以作出合理的判断和预测。

以上介绍了几种基本的数学变式训练在我几年来的教学实践中, 深刻认识到数学变式训练是对学生进行数学技能和思维训练的重要方式, 它能有效地培养学生思维的深刻性、广阔性、独创性和灵活性。

但是, 数学变式训练不是为了变式而变式，应根据教学或学习的需要, 遵循学生的认知规律而设计, 其目的是通过变式训练, 使学生在理解知识的基础上,把学到的知识转化为能力, 形成技能技巧, 完成理解形成技能应用的认知过程。

变式训练为学生的思维发展提供了
一个个阶梯, 重复但不呆板, 有利于学生构建完整、合理的知识体系。

每一个变式,具有创新的意味, 但是又能夯实基础, 实现在坚实的基础上有所发展的教学理念。

因此,教学中数学变式训练设计要巧, 要有一定的艺术性, 要正确把握变式的度, 要有目的性, 要起到引导、激发学生思维活动的作用。