动能定理在曲线运动中的应用

微专题训练13 动能定理在曲线运动中的应用

1．(单选)如图1所示，水平传送带AB 长21 m ，以6 m/s 顺时针匀速转动，台面与传送带平滑连接于B 点，半圆形光滑轨道半径R ＝1.25 m ，与水平台面相切于C 点，BC 长s ＝5.5 m ，P 点是圆弧轨道上与圆心O 等高的一点．一质量为m ＝1 kg 的物块(可视为质点)，从A 点无初速度释放，物块与传送带及台面间的动摩擦因数均为0.1，则关于物块的运动情况，下列说法正确的是

( )．

图1

A ．物块不能到达P 点

B ．物块能越过P 点做斜抛运动

C ．物块能越过P 点做平抛运动

D ．物块能到达P 点，但不会出现选项B 、C 所描述的运动情况

解析 物块从A 点释放后在传送带上做加速运动，假设到达台面之前能够达到传送带的速度v ，则由动能定理得，μmgs 1＝1

2m v 2，得s 1＝18 m<21 m ，假设成立．物块以6 m/s 冲上

台面，假设物块能到达P 点，则到达P 点时的动能E k P 可由动能定理求得，－μmgs －mgR ＝E k P －1

2m v 2，得E k P ＝0，可见，物块能到达P 点，速度恰为零，之后从P 点沿圆弧轨道

滑回，不会出现选项B 、C 所描述的运动情况，D 正确． 答案 D

2．如图2所示，光滑半圆形轨道的半径为R ，水平面粗糙，弹簧自由端D 与轨道最低点C 之间的距离为4R ，一质量为m 可视为质点的小物块自圆轨道中点B 由静止释放，压缩弹簧后被弹回到D 点恰好静止．已知小物块与水平面间的动摩擦因数为0.2，重力加速度为g ，弹簧始终处在弹性限度内．

图2

(1)求弹簧的最大压缩量和最大弹性势能；

(2)现把D 点右侧水平面打磨光滑，且已知弹簧压缩时弹性势能与压缩量的二次方成正

比．现使小物块压缩弹簧，释放后能通过半圆形轨道最高点A ，求压缩量至少是多少？ 解析 (1)设弹簧的最大压缩量为x ，最大弹性势能为E p ，对小物块，从B 到D 再压缩弹簧又被弹回到D 的过程由动能定理有mgR －μmg (4R ＋2x )＝0 解得x ＝0.5R

小物块从压缩弹簧最短到返回至D ，由动能定理有 E p －μmgx ＝0 解得E p ＝0.1mgR .

(2)设压缩量至少为x ′，对应的弹性势能为E p ′，则 E p ′E p ＝x ′2

x

2 小物块恰能通过半圆形轨道最高点A ，则mg ＝m v 2A R

小物块从压缩弹簧到运动至半圆形轨道最高点A ，由动能定理有E p ′－μmg ·4R －2mgR ＝

1

2m v 2A

联立解得x ′＝

33

2

R . 答案 (1)0.5R 0.1mgR (2)

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R 3．如图3甲所示，长为4 m 的水平轨道AB 与半径为R ＝0.6 m 的竖直半圆弧轨道BC 在B 处相连接，有一质量为1 kg 的滑块(大小不计)，从A 处由静止开始受水平向右的力F 作用，F 的大小随位移变化的关系如图乙所示，滑块与AB 间的动摩擦因数为μ＝0.25，与BC 间的动摩擦因数未知，取g ＝10 m/s 2.求：

图3

(1)滑块到达B 处时的速度大小；

(2)滑块在水平轨道AB 上运动前2 m 过程所用的时间；

(3)若到达B 点时撤去力F ，滑块沿半圆弧轨道内侧上滑，并恰好能到达最高点C ，则滑块在半圆弧轨道上克服摩擦力所做的功是多少？ 解析 (1)对滑块从A 到B 的过程，由动能定理得 F 1x 1－F 3x 3－μmgx ＝1

2m v 2B

即20×2 J －10×1 J －0.25×1×10×4 J ＝1

2×1×v 2B ，得v B ＝210 m/s. (2)在前2 m 内，有F 1－μmg ＝ma ，且x 1＝12at 21，

解得t 1＝

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s. (3)当滑块恰好能到达最高点C 时，应用：mg ＝m v 2C

R

对滑块从B 到C 的过程，由动能定理得：W －mg ·2R ＝12m v 2C －12m v 2

B

代入数值得W ＝－5 J ，即克服摩擦力做的功为5 J. 答案 (1)210 m/s (2)

8

35

s (3)5 J 4．如图4所示，有一个可视为质点的质量为m ＝1 kg 的小物块，从光滑平台上的A 点以v 0

＝3 m/s 的初速度水平抛出，到达C 点时，恰好沿C 点的切线方向进入固定在水平地面上的光滑圆弧轨道，最后小物块滑上紧靠轨道末端D 点的质量为M ＝3 kg 的长木板．已知木板上表面与圆弧轨道末端切线相平，木板下表面与水平地面之间光滑接触，小物块与长木板间的动摩擦因数μ＝0.3，圆弧轨道的半径为R ＝0.5 m ，C 点和圆弧的圆心连线与竖直方向的夹角θ＝53°，不计空气阻力，取重力加速度g ＝10 m/s 2.求：

图4

(1)A 、C 两点的高度差；

(2)小物块刚要到达圆弧轨道末端D 点时对轨道的压力；

(3)要使小物块不滑出长木板，木板的最小长度．(sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6) 解析 (1)小物块在C 点时的速度大小为 v C ＝v 0cos 53°

＝5 m/s ，竖直分量为v Cy ＝4 m/s

下落高度h ＝v 2Cy

2g

＝0.8 m

(2)小物块由C 到D 的过程中，由动能定理得 mgR (1－cos 53°)＝12m v 2D －12m v 2

C

解得v D ＝29 m/s

小球在D 点时由牛顿第二定律得