关于一笔画问题的经典探讨

C
A
B
D
练一练
一.填空
（1）
（3）
（4）
1.图（1）中，有----个奇点；有----个偶点？ 2.图（2）中，有----奇点；有----个偶点？ 3.图（3）中，有----个奇点；有----个偶点？ 4.图（4）中，有----个奇点；有----个偶点？
练一练
二.在下图中,哪个图形能一笔画出？哪个不能一 笔画出？能一笔画出的，请把他们画出来。
三、欧拉的结论
• ①凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成； 画时可以任一偶结点为起点，最后一定能以这个 点为终点画完此图。 • ②凡是只有两个奇结点（其余均为偶结点）的连 通图，一定可以一笔画完；画时必须以一个奇结 点为起点，另一个奇结点为终点。
• ③其他情况的图，都不能一笔画出。
问：为什么总是找不到一条合适的路线 不重复的走完七座桥呢？ 答：因为图中ABCD四个结点都是奇结点， 不符合欧拉的结论。
突然有一天，人们提出这样一个问题：能不能不
重复的走遍河上的每一座桥，而且最后恰能回到出发点呢？ 于是为了解决这样一个问题，人们开始进行各种各样的探索。半年 内他们已经尝试了几乎所有可能的方案，但仍然没有找出适合的路线。
渐渐地人们开始怀疑这样的路线可能根本就不存在!可是他们 怎么也想不明白为什么，于是就有人写信把这个问题告诉了当时 瑞典最伟大的数学家—Leabharlann Baidu欧拉。
B
二、欧拉的做法
（二）把点线图上的点分类
经过思考，欧拉决定吧这种完全由线条构成的图 形称为点线图，并把图形上线条与线条之间的交点叫 做结点。 每一个结点的周围都有许多线条。 把周围有奇数条线的结点叫做奇点。 把周围有偶数条线的结点叫做偶点。
例如：
A
•
A B C
B D
C
E G （1） F （2）
在图（1）中，共有ABC三个结点，其中A是奇结点， BC是偶结点。 在图（2）中，共有ABCDEFG七个结点，其中ACDF 是奇结点，BEG是偶结点。
二、欧拉的做法
（一）把问题转化成数学问题
欧拉解决这个问题的方法非常巧妙.他认为：人们 关心的只是一次不重复地走遍这七座桥，而并不关心 桥的长短和岛的大小，因此，岛和岸都可以看作一个 点，而桥则可以看成是连接这些点的一条线.这样，一 个实际问题就转化为一个几何图形（如下图）能否一 笔画出的问题了.
A
听讲要求
• 保持安静，积极思考 • 积极发言有奖励： 1.积极回答： 2.回答正确：
【课前热身】你能笔尖不离纸，一笔画出下面的 每个图形吗？试试看。（不走重复线路）
（1）
（2）
（3）
从中，你发现了什么吗？
一、故事发生的背景
这是一段与数学有关的故事。故事发生在十八世纪俄罗 斯的一座美丽的小城哥尼斯堡。 在哥尼斯堡的中央有一条宽阔的小河，河中央有两座美 丽的小岛。连接岛与岛，岛与河岸之间一共有7座桥，景色 十分优美。于是城中的居民每天吃完晚饭后就经常沿河过 桥散步,或者在小岛上休息，生活十分惬意。
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
•
二、欧拉的做法
• （三）对奇偶结点进行思考
欧拉发现，凡是能用一笔画成的图形，都有这样一个特点： 每当你用笔画一条线进入中间的一个点时，你还必须画一 条线离开这个点。否则，整个图形就不可能用一笔画出。 也就是说，单独考察图中的任何一个点（除起点和终点 外），它都应该与偶数条线相连。因此，凡是能够一笔画 出的图形，除起点和终点外，其它的点一定都是偶结点。 而对于起点和终点，它们可能是偶结点，也可能是奇 结点。但无论如何，整个图形中奇结点的个数一定不会超 过两个！