12.52分式方程的应用
冀教版数学八年级上册12.5《分式方程的应用》教学设计
冀教版数学八年级上册12.5《分式方程的应用》教学设计一. 教材分析冀教版数学八年级上册12.5《分式方程的应用》是本册教材的最后一个单元，主要让学生掌握分式方程的应用。
本节课的内容包括分式方程的解法及其应用。
教材通过实例引导学生理解分式方程在实际问题中的应用，培养学生的数学应用意识。
二. 学情分析八年级的学生已经掌握了分式的基本知识，对分式方程有一定的理解。
但在实际应用中，学生可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，教师需要引导学生将理论知识与实际问题相结合，提高学生的解决问题的能力。
三. 教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握分式方程的解法，能解简单的实际问题。
2.过程与方法目标：通过实际问题的解决，培养学生将数学知识应用于实际问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：培养学生对数学的兴趣，提高学生学习数学的积极性。
四. 教学重难点1.重点：分式方程的解法及其应用。
2.难点：如何将实际问题转化为分式方程，并解决问题。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法。
通过实例引导学生理解分式方程的应用，培养学生解决实际问题的能力。
六. 教学准备1.准备相关实际问题，用于引导学生解决实际问题。
2.准备PPT，用于辅助教学。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾分式的相关知识，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）教师呈现一个实际问题，如“某商品打8折后售价为120元，求原价。
”引导学生思考如何用数学知识解决这个问题。
3.操练（10分钟）教师引导学生将实际问题转化为分式方程，并解方程求解。
在此过程中，教师要注意引导学生理解分式方程的解法。
4.巩固（10分钟）教师呈现一组类似的问题，让学生独立解决，巩固所学知识。
5.拓展（10分钟）教师引导学生思考分式方程在实际生活中的其他应用，如利润问题、浓度问题等，并让学生举例说明。
6.小结（5分钟）教师引导学生总结本节课所学内容，加深学生对分式方程应用的理解。
八年级数学上册12.5分式方程的应用教材说明素材冀教版(new)
12。
5分式方程的应用第一课时教学重点和难点重点是分式方程的应用。
难点是分式方程的应用.本节是用分式方程解决实际问题,目的是深入感受分式方程的模型思想。
经历用分式方程解决实际问题的过程，引导学生对用方程解决实际问题进行归纳总结，突出类比思想。
教学目标知识与技能通过解决实际问题,体会如何恰当地把握不同形式的等量关系；能将实际问题中的等量关系用分式方程表示,体会分式方程的模型思想。
过程与方法经历“实际问题-—分式方程模型——求解-—解释解的合理性”的过程,发展分析问题、解决问题的能力；情感态度价值观实际问题中探索数学规律，强调从特殊到一般、类比、转化的数学思想；经历用方程解决实际问题的过程，进一步增强应用意识。
第二课时教学重点和难点重点是分式方程的应用。
难点是分式方程的应用。
本节是用分式方程解决实际问题,目的是深入感受分式方程的模型思想。
经历用分式方程解决实际问题的过程,引导学生对用方程解决实际问题进行归纳总结，突出类比思想。
教学目标知识与技能通过解决实际问题，体会如何恰当地把握不同形式的等量关系；能将实际问题中的等量关系用分式方程表示,体会分式方程的模型思想。
过程与方法经历“实际问题——分式方程模型——求解——解释解的合理性”的过程,发展分析问题、解决问题的能力；情感态度价值观实际问题中探索数学规律，强调从特殊到一般、类比、转化的数学思想;经历用方程解决实际问题的过程，进一步增强应用意识。
尊敬的读者：本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文档在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。
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冀教版数学八上12.5《分式方程的应用》ppt课件1
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我们，还在路上……
• （4）解方程：其过程可省
• （5）检验：①检验所求得的解是否为所列方程的解。
•
②检验是否符合题意
• （6）写出答案：不要忘记单位名称。
1.经历用分式方程解决实际问题的过程， 进一步增强自己的应用意识.
2.通过解决实际问题，体会如何恰当地 把握不同形式的等量关系.
• 不习惯读书进修的人，常会自满于现状，觉得没有什么事情需要学习，于是他们不进则退2022年4月25日星期一上午9时39分40秒09:39:4022.4.25 • 读书，永远不恨其晚。晚比永远不读强。2022年4月上午9时39分22.4.2509:39April 25, 2022 • 正确的略读可使人用很少的时间接触大量的文献，并挑选出有意义的部分。2022年4月25日星期一9时39分40秒09:39:4025 April 2022 • 书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。
地理课件：
历史课件：
2.找等量关系
• 列分式方程解应用题的一般步骤及注意事项：
• （1）审题：弄清题意和题目中的已知量和未知量，并找 出表示问题全部含义的等量关系。
• （2）设未知数：如果直接设未知数，那么问什么设什么，
如果间接设未知数，那么用含未知量的代数式表示有关未 知量。
• （3）找等量关系，列出方程。
1分钟
5分钟
总结归纳： 列分式方程解应用题的步骤和 方法 ：
1.审、设、列、解、验、答 PPT模板：
PPT素材：
PPT背景：
PPT图表：
PPT下载：
PPT教程：
资料下载：
范文下载：试卷下载： Nhomakorabea教案下载：
分式方程的应用
xx年xx月xx日
目 录
• 分式方程的概述 • 分式方程在数学中的应用 • 分式方程在实际生活中的应用 • 分式方程的局限性和发展 • 总结
01
分式方程的概述
分式方程的定义
分式方程是一种数学方程，其中包含分式，即分子和分母都 是多项式的形式。
分式方程在实数范围内有解，并且可以应用某些算法来求解 。
长度计算
在一些长度计算中，分式方程可以用于表示两个点之间的距 离，进而解决问题。
03
分式方程在实际生活中的应用
分式方程在物理中的应用
速度公式
在物理学中，我们常常需要求解物体的速度或加速度等物理量。这些量通常 可以通过分式方程来表示，例如速度公式v=s/t，其中v是速度，s是位移，t 是时间。
引力公式
05
总结
分式方程的重要性和应用价值
分式方程是数学中一种重要的工具，对于解决实际问 题具有广泛的应用价值。
分式方程能够描述和解决许多实际问题，例如速度、 时间、距离等之间的关系。
分式方程可以用于解决比例问题、分式计算、工程问 题、经济问题等众多领域的问题。
分式方程在科学、工程和技术等领域中有着广泛的应 用，是解决实际问题的重要手段之一。
THANKS
谢谢您的观看
VS
酸碱滴定
酸碱滴定中，我们需要计算滴定终点时加 入的滴定剂体积。这可以通过一个分式方 程来表示，例如对于滴定反应终点公式： 终点时酸碱体积比=Kb*C/Ka，其中Kb和 Ka分别是弱酸与弱碱的电离常数。
分式方程在生物学中的应用
种群增长模型
在生物学中，我们常常需要研究种群的增长情况。种群增长可以用一个分式方程 来表示，例如指数增长模型N(t)=N0ert，其中N(t)是时间t时的种群数量，N0是 初始种群数量，r是种群的自然增长率。
分式方程的应用
分式方程可以用来解决各种实际问题，如速度、时间和距离问题、溶液混合问题 、经济问题等。通过建立数学模型，将实际问题转化为分式方程，可以方便地求 解并得到实际问题的答案。
02
分式方程在物理中的应用
速度、距离和时间的关系
总结词
分式方程在物理中的速度、距离和时间关系问题中有着广泛的应用，通过建立分式方程，可以求解出物体的运动 速度、距离和时间的关系。
市场营销策略。
05
分式方程在日常生活中的应用
交通流量问题
总结词
分式方程在交通流量问题中有着广泛的应用，可以用来 描述和分析道路、铁路、航空等交通方式的流量和运输 情况。
详细描述
在交通流量问题中，分式方程可以用来描述不同交通工 具之间的速度、时间和距离关系，以及交通流量的变化 规律。例如，在高速公路上，可以使用分式方程来描述 汽车的速度、加速度和刹车距离之间的关系，从而词
分式方程在资源分配问题中也有着重要的应用，可以 用来描述和分析如何合理地分配有限的资源。
详细描述
在资源分配问题中，分式方程可以用来描述资源的分配 比例和优先级，以及如何平衡不同利益相关方的需求和 利益。例如，在医疗资源分配中，可以使用分式方程来 描述如何根据患者的病情和医生的建议来合理地分配医 疗资源和医疗费用。
详细描述
重力加速度是物体在地球表面附近自由下落的加速度，其大小约为9.8m/s²。通过建立分式方程，我 们可以表示出物体下落过程中的加速度与时间的关系，进而求解出物体下落的高度和时间。
电学中的欧姆定律
总结词
欧姆定律是电学中的一个基本定律，通 过建立分式方程，可以求解出电路中的 电流、电压和电阻之间的关系。
VS
详细描述
欧姆定律指出，在同一电路中，电流与电 压成正比，与电阻成反比。通过建立分式 方程，我们可以表示出电路中的电流、电 压和电阻之间的关系，进而求解出电路中 的电流和电压。这对于分析电路的工作原 理和解决实际问题具有重要的意义。
冀教版八年级数学上册教案《12.5分式方程的应用》
《12.5分式方程的应用》本课的主要内容是分式用分式方程解决实际问题．学生在之前已经学习过一元一次方程的应用，二元一次方程组的应用．本节课主要是从学生亲身经历从实际问题中建立分式方程模型过程中培养学生应用意识．【知识与能力目标】1、能在实际问题中找出等量关系．2、根据实际问题中和等量关系列出分式方程解决问题．【过程与方法目标】通过学生列分式方程解决具体实际问题，培养学生数学应用意识，提高分析问题和解决问题的能力．【情感态度价值观目标】在解决问题的过程中培养学生乐于探究、合作学习的习惯，培养学生努勇于探索和克服困难的精神，体会数学的应用价值．【教学重点】能过列分式方程解应用题，渗透方程的思想方法．【教学难点】能正确分析题目中的等量关系，掌握列分式方程解应用题的方法和步骤，提高分析问题和解决问题的能力．多媒体课件．（一）创设情境，激趣引入师出示课件第2页．请回顾列一元一次方程、二元一次方程解应用题的一般步骤是什么？（二）分式方程的应用1、一起探究小红和小丽分别将9000字和7500字的两篇文稿录入计算机，所用时间相同．已知两人每分钟录入计算机字数的和是220字．两人每分钟各录入多少字？（1）请找出上述问题中的等量关系．（2）试列出方程并求方程的解．2、例1 某工程队承建一所希望学校．在施工过程中，由于改进了工作方法，工作效率提高了20%，因此比原定工期提前1个月完工．这个工程队原计划用几个月建成这所希望学校？（1）请找出本题中的等量关系，并与同学交流．（2）请填写下表：（3）试列出方程并求出方程的解．（三）大家谈谈结合已解决的这个问题，试着说说列分式方程解决实际问题的一般步骤，它与列整式方程解决实际问题的一般步骤有什么相同点和不同点？与同学交流．小组合作交流归纳：用分式方程解决实际问题的一般步骤：①审题了解已知数与所求数各是什么；②设未知数；③找出相等关系，列出分式方程；④解这个分式方程；⑤检验，看方程的解是否满足方程和符合题意；⑥写出答案．（四）分式方程的应用1、今年父亲的年龄是儿子年龄的3倍．5年后父亲的年龄与儿子的年龄的比是22：9 ．求父亲和儿子今年的年龄．（1）上述问题中有哪些等量关系？请找出来并与同学们交流．（2）列出方程，求出方程的解．2、例2 某服装店销售一种服装．若按原价销售，则每月销售额为10000元；若按八五折销售，则每月多卖出20件，且月销售额还增加1900元．每件服装的原价为多少元？分析：（1）本题中的主要等量关系是什么？（2）按八五折销售这种服装的数量如何表示？（3）按原价销售这种服装的数量如何表示？（4）列出方程，求出方程的解．（5）本题还可以有怎样的等量关系？（6）若设按原价销售这种服装x件可以列出什么样的方程？3、列分式方程解应用题的一般步骤：审：分析题意，找出数量关系和相等关系．设：选择恰当的未知数，注意单位和语言完整．列：根据数量和相等关系，正确列出代数式和方程．解：认真仔细．验：有两次检验．答：注意单位和语言完整且答案要生活化．（五）应用反馈，巩固新知课件14-17页本节课是在充分钻研教材的基础上，从学生已有的知识经验出发，选择了学生更感兴趣的、贴近学生生活实际的教学内容，将分式方程的应用与学生的生活结合起来，激发学生的学习热情，提高学生的学习兴趣．本节课结合具体的数学内容采用“问题情境—建立数学模型—解释应用与拓展”的模式展开，选择生动有趣的、有现实意义的，对学生具有一定挑战性的、有助于学生实践创新的内容，使学生在自主探索和合作交流的过程中建立数学模型，从而使数学学习过程成为数学方法的掌握和数学思想的建立的过程，让学生形成良好的数学思维习惯和应用意识，能够自觉的用数学的眼光观察世界，提高发现问题、分析问题、解决问题的能力．。
分式方程的应用
方程的复杂性
挑战
分式方程可能具有复杂的表达式和多个未知 数，增加了解决的难度。
解决方案
使用符号计算软件或编程语言来求解复杂的 分式方程，或者将其化简为更简单的形式， 例如通过部分分式展开或变量替换。
数据的可靠性
挑战
分式方程中的数据可能不可靠或存在误差， 例如由于实验或测量引起的误差。
分式方程理论在其他学科中的应用 将进一步拓展，如物理学、生物学 、经济学等。
符号计算的发展
随着符号计算技术的发展，分式方 程的符号求解将更加精确和高效。
分式方程在新技术中的应用前景
01
02
03
人工智能
在人工智能领域，分式方 程将在模型训练、优化问 题、图像处理等方面发挥 重要作用。
大数据技术
在处理大量数据时，分式 方程将为数据分析提供有 效的工具，帮助挖掘数据 背后的规律和趋势。
概念
分式方程表示一个数或变量与另 一个数或变量之间的关系，其结 果是一个分数。
分式方程的解法
方法
解决分式方程的方法包括约分、通分 、交叉相乘和去分母等。
步骤
首先对分式方程进行约分或通分，然 后交叉相乘或去分母，最后将得到的 解代入原方程进行验证。
分式方程的分类
分类
分式方程可以根据其形式和特 点分为简单分式方程、可约分 式方程、不可约分式方程等。
03
分式方程在科学中的应用
物理中的力学问题
牛顿第二定律
分式方程在力学中经常用于描述物体的加速度与作用力之间的关系。例如，一个物体从静止开始下落 ，受到重力和空气阻力作用，那么物体下落的加速度与作用力之间的关系就可以用分式方程来表示。
弹性碰撞
在力学中，分式方程还可以用来描述两个物体的弹性碰撞过程。例如，两个小球发生弹性碰撞，碰撞 前后的速度和时间之间的关系就可以用分式方程来表示。
分式方程的解法与应用
分式方程的解法与应用分式方程是数学中的一种常见形式，它包含有分数的方程。
解决分式方程的过程需要运用一些特定的方法和技巧，同时，分式方程在实际生活中也有着广泛的应用。
本文将介绍分式方程的解法以及其在实际问题中的应用。
一、分式方程的解法解决分式方程的关键是将其转化为简单的等式，然后求解。
下面将介绍几种常用的分式方程解法。
1. 通分法当分式方程中含有多个分母时，可以使用通分法来简化方程。
首先找到方程中所有分母的最小公倍数，然后将方程两边同时乘以最小公倍数，将分母消去，得到一个简化的等式。
最后，通过移项和化简，求得方程的解。
2. 倒数法倒数法是解决分式方程中含有倒数的情况。
首先将方程中的倒数部分转化为分数形式，然后通过移项和化简，求得方程的解。
3. 分解法对于一些特殊的分式方程，可以使用分解法来解决。
例如，对于形如$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=1$的方程，可以将其分解为$\frac{x+y}{xy}=1$，然后通过移项和化简，求得方程的解。
二、分式方程的应用分式方程在实际生活中有着广泛的应用。
下面将介绍几个典型的应用案例。
1. 比例问题比例问题是分式方程的一种常见应用。
例如，某商品原价为$x$元，现在打折后的价格为原价的$\frac{2}{3}$，求打折后的价格。
通过建立方程$\frac{2}{3}x=x-\frac{1}{3}x$，可以求得打折后的价格为$\frac{1}{3}x$。
2. 浓度问题浓度问题也是分式方程的一种常见应用。
例如，某种饮料中含有$30\%$的果汁，现在要制作$1$升含有$20\%$果汁的饮料，需要加入多少升的纯果汁？通过建立方程$\frac{x}{1+x}=0.2$，可以求得需要加入的纯果汁的升数。
3. 财务问题财务问题中也常常涉及到分式方程的应用。
例如，某人的年收入为$x$元，他的生活开销占年收入的$\frac{1}{4}$，求他的生活开销。
通过建立方程$\frac{1}{4}x=x-\frac{3}{4}x$，可以求得他的生活开销为$\frac{3}{4}x$。
分式方程的应用(行程、问题)
将求得的未知数的值代入原分式方程进行检 验，确保解是合理的。
换元法
设定新变量
根据分式方程的特点，设定一个新变量代替原方 程中的某个部分，从而简化方程。
解新方程
解这个关于新变量的整式方程，得到新变量的值 。
建立新方程
用新变量表示原方程，得到一个关于新变量的整 式方程。
回代求解
将求得的新变量的值代回原方程，求出未知数的 值。
抛体运动中的射程和射高计算
在抛体运动中，物体的射程和射高与初速度、抛射角等因素有关。通过设立分式 方程，可以求出物体在抛体运动中的射程、射高以及其他相关信息。
03
工程问题中的分式方程
工作效率问题
工作总量与工作时间的关系
通过设定工作总量为单位“1”，根据工作效率的定义建立分式 方程，求解工作时间或工作效率。
01
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04
观察法
通过观察分式方程的特点和结 构，直接找出方程的解或简化
方程的求解过程。
合并同类项法
将分式方程中的同类项进行合 并，从而简化方程的求解过程
。
分离常数法
将分式方程中的常数项分离出 来，得到一个更简单的分式方
程进行求解。
利用已知条件法
根据题目给出的已知条件，直 接代入分式方程进行求同的地点出发，以不同的速度 相对而行，最终在某一点相遇。通过设立分式方程，可以求出相 遇的时间、地点等关键信息。在追及问题中，一个物体追赶另一 个物体，通过设立分式方程可以求出追及的时间、距离等。
变速直线运动中的分式方程
平均速度的计算
在变速直线运动中，物体的速度会发生变化。通过设立分式方程，可以求出物 体在某段时间内的平均速度，进而计算出路程等其他相关信息。
分式方程的实际应用
分式方程的实际应用分式方程在实际生活中有很多应用。
下面我将举例说明几种常见的实际应用。
1.比例问题比例问题是分式方程的一个典型应用。
例如，在购物时，我们常常会遇到“打折”或“降价”的情况。
假设一家商店原价出售一件商品，现在将商品以折扣价出售，打折比例为x。
那么，我们可以得到以下分式方程：折扣价=原价*(1-x)通过解这个分式方程，我们可以计算出打折后的价格。
这个方程可以帮助我们在购物时做出更明智的决策。
2.涉及速度的问题分式方程也可用于涉及速度的问题。
例如，在旅行中，当我们知道辆车每小时行驶v英里时，我们可以计算出x小时后车辆所行驶的总英里数，这可以表示为以下分式方程：总英里数=v*x这个方程可以帮助我们计算出车辆在任意时间内的行驶距离，从而帮助我们规划旅行路线或者估算到达目的地所需时间。
3.混合液体问题分式方程还可用于混合液体问题。
例如，假设我们有两种浓度不同的溶液，其中一种浓度为x，另一种浓度为y，我们想要得到一定浓度的混合液体，我们可以通过以下分式方程求解：所需浓度*所需体积=x*体积1+y*体积2通过解这个方程，我们可以计算出需要的溶液体积，以及每种溶液的体积比例，从而准确地配制出我们所需要的混合液体。
4.长方形的长和宽问题分式方程还可以用于解决长方形的长和宽问题。
例如，假设我们知道一个长方形的面积为A，我们希望找到一个长方形，使得其一边长为x，另一边长为y，那么我们可以用以下分式方程来表示这个问题：A=x*y通过解这个方程，我们可以计算出长方形的长和宽，从而绘制出所需要的长方形。
综上所述，分式方程在实际生活中有许多应用。
从求解比例问题、涉及速度的问题到混合液体问题和长方形的长和宽问题，分式方程都能够提供一种有效的工具来解决这些实际问题。
了解分式方程的实际应用可以帮助我们更好地理解和应用这个数学概念，并将其运用到日常生活中的各种情境中。
冀教版数学八年级上册《12.5 分式方程的应用》教学设计
冀教版数学八年级上册《12.5 分式方程的应用》教学设计一. 教材分析冀教版数学八年级上册《12.5 分式方程的应用》这一节的内容，主要介绍了分式方程的应用。
分式方程是初高中数学中重要的知识点，也是学生容易混淆的部分。
通过这一节的学习，让学生能够理解分式方程的概念，掌握解分式方程的方法，并能够将分式方程应用于解决实际问题。
二. 学情分析学生在学习这一节之前，已经学习了分式的概念、性质和运算，对分式有一定的理解。
但是，对于分式方程的应用，可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要引导学生将已知的分式知识与方程相结合，从而理解分式方程的应用。
三. 教学目标1.知识与技能：让学生掌握分式方程的概念，了解解分式方程的方法，并能够应用于解决实际问题。
2.过程与方法：通过实例分析，让学生学会如何将实际问题转化为分式方程，并能够运用已知的方法解决。
3.情感态度与价值观：培养学生对数学的兴趣，提高学生解决实际问题的能力。
四. 教学重难点1.重点：分式方程的概念和解分式方程的方法。
2.难点：如何将实际问题转化为分式方程，并运用已知的方法解决。
五. 教学方法采用问题驱动法，通过实例分析，引导学生自主探究分式方程的概念和解法，再通过巩固练习，让学生能够将所学知识应用于解决实际问题。
六. 教学准备1.教师准备：准备相关的实例和练习题，制作PPT。
2.学生准备：预习分式的相关知识，了解分式方程的概念。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引入分式方程的概念。
例如：某商品的原价是100元，商店进行打折活动，如果打八折，那么售价是多少？让学生思考如何用数学模型来表示这个问题。
2.呈现（15分钟）引导学生思考如何将实际问题转化为分式方程，并呈现解分式方程的方法。
通过PPT展示分式方程的解法，让学生跟随步骤进行学习。
3.操练（20分钟）让学生独立完成一些分式方程的练习题，巩固所学知识。
教师可以提供一些提示和帮助，确保学生能够正确地解出分式方程。
冀教版数学八年级上册12.5《分式方程的应用》教学设计
冀教版数学八年级上册12.5《分式方程的应用》教学设计一. 教材分析《分式方程的应用》是冀教版数学八年级上册12.5节的内容，本节内容是在学生已经掌握了分式方程的基本知识的基础上进行授课的。
本节课主要让学生学会如何运用分式方程解决实际问题，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
教材中给出了两个应用实例，分别是“利率问题”和“面积问题”，通过这两个实例让学生了解分式方程在实际问题中的应用。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了分式方程的基本知识，能够解简单的分式方程。
但学生在解决实际问题时，往往不知道如何将实际问题转化为分式方程，因此在教学过程中，需要引导学生如何将实际问题转化为分式方程，并运用分式方程进行求解。
三. 教学目标1.让学生掌握分式方程在实际问题中的应用。
2.培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
3.提高学生分析问题、解决问题的能力。
四. 教学重难点1.教学重点：让学生学会如何将实际问题转化为分式方程，并运用分式方程进行求解。
2.教学难点：如何引导学生将实际问题转化为分式方程，并熟练运用分式方程进行求解。
五. 教学方法1.讲授法：讲解分式方程的基本知识，引导学生如何将实际问题转化为分式方程。
2.案例分析法：分析教材中的实例，让学生了解分式方程在实际问题中的应用。
3.练习法：布置相应的练习题，让学生巩固所学知识。
4.小组讨论法：让学生分组讨论，共同解决问题，培养学生的合作能力。
六. 教学准备1.教学PPT：制作包含教材实例和相应练习题的PPT。
2.教学素材：准备一些与实际问题相关的素材，用于引导学生将实际问题转化为分式方程。
3.练习题：准备一些分式方程的应用题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT展示教材中的实例，引导学生思考：如何将实际问题转化为分式方程？2.呈现（10分钟）讲解分式方程的基本知识，让学生了解分式方程在实际问题中的应用。
通过讲解教材中的实例，让学生学会如何将实际问题转化为分式方程。
分式方程的应用
分式方程的应用分式方程是数学中重要的概念，它在各个领域中都发挥着重要的作用。
本文将探讨分式方程的应用，并重点介绍分式方程在代数和实际问题中的具体应用。
一、分式方程的定义与性质分式方程是具有一个或多个未知数的等式，其中包含有分式表达式。
例如，$\frac{x+1}{2} = 3$ 就是一个分式方程。
分式方程的解是使得方程成立的未知数的值。
分式方程的性质包括唯一性、可交换性、可消去性等。
二、代数中的应用1. 求解方程分式方程在求解方程问题中起着重要的作用。
举个例子，假设需要求解下列方程：$\frac{x}{5} + \frac{2}{x} = 3$。
我们可以通过将分式转化为通分式，再将方程化简为二次方程来求解。
2. 求解不等式分式方程在求解不等式问题中也有广泛的应用。
例如，可以通过分式方程求解$\frac{x}{3} > \frac{x-1}{2}$这样的不等式。
我们可以通过整理不等式，转化为分式方程，再求解不等式的解集。
三、实际问题中的应用分式方程在实际问题中的应用非常广泛，下面举几个例子来说明：1. 比例问题在比例问题中，常常需要利用分式方程来求解。
例如，假设一辆汽车以每小时50公里的速度行驶，那么在$t$小时后，行驶的距离可以表示为$d=50t$。
如果要求在2小时内行驶的距离，则可以通过解分式方程$\frac{d}{t} = 50$来求解。
2. 液体混合问题在液体混合问题中，也需要应用分式方程。
例如，假设有两种浓度为$c_1$和$c_2$的液体A和B，分别含有$v_1$和$v_2$的体积。
将这两种液体混合后，得到一种含有$c$浓度的液体。
我们可以通过分式方程$\frac{c_1v_1 + c_2v_2}{v_1+v_2} = c$来求解$c$的值。
3. 工作效率问题在工作效率问题中，也需要运用分式方程来求解。
例如，假设工人A和工人B合作完成一项工作需要4小时，而工人A独立完成同样的工作需要6小时。
冀教版数学八年级上册12.5《分式方程的应用》教学设计
冀教版数学八年级上册12.5《分式方程的应用》教学设计一. 教材分析冀教版数学八年级上册12.5《分式方程的应用》是分式方程单元的最后一个课时，主要让学生掌握分式方程的应用。
本节课的内容包括分式方程的解法、分式方程的应用以及分式方程的实际问题解决。
本节课的教学内容在学生已经掌握了分式方程的基本知识的基础上进行，旨在培养学生的解决问题的能力。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了分式方程的基本知识，包括分式方程的解法和解题步骤。
但是，学生在解决实际问题时，往往会因为对问题的理解不深刻而难以将分式方程应用到实际问题中。
因此，在教学过程中，需要教师引导学生深入理解问题，将分式方程与实际问题相结合。
三. 教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握分式方程的应用，能够将分式方程解决实际问题。
2.过程与方法目标：培养学生解决问题的能力，提高学生的逻辑思维能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生积极解决问题的态度。
四. 教学重难点1.重点：分式方程的应用。
2.难点：如何将实际问题转化为分式方程，并解决问题。
五. 教学方法1.情境教学法：通过设置实际问题情境，引导学生将分式方程应用到实际问题中。
2.案例教学法：通过分析典型案例，让学生理解分式方程在实际问题中的应用。
3.互动式教学法：在教学过程中，教师与学生积极互动，引导学生思考问题，提高学生的参与度。
六. 教学准备1.准备相关的实际问题案例，用于教学过程中的分析和讨论。
2.准备分式方程的解法和解题步骤的资料，方便学生复习和参考。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过设置一个实际问题情境，引发学生的思考，引出本节课的主题——分式方程的应用。
2.呈现（10分钟）教师呈现准备好的实际问题案例，让学生尝试解决。
学生在解决问题的过程中，教师引导学生将实际问题转化为分式方程，并解释每一步的转化原因。
3.操练（10分钟）学生分组合作，解决教师提供的其他实际问题。
分式方程的应用与实际解题
分式方程的应用与实际解题分式方程是数学中一种常见的方程形式，它在实际问题的解决中起着重要的作用。
本文将探讨分式方程的应用，并介绍如何在实际解题中运用这一方法。
一、什么是分式方程分式方程是含有分式的方程，其中通常包含零个或多个未知数。
其一般形式为：$\frac{A(x)}{B(x)} = \frac{C(x)}{D(x)}$，其中$A(x)$、$B(x)$、$C(x)$、$D(x)$表示多项式。
二、分式方程的应用领域分式方程广泛应用于不同领域，包括数学、物理、化学、经济等。
以下列举几个常见的应用场景。
1.比例问题在比例问题中，分式方程可以用来表示两组数据的比例关系。
例如，在一个食谱中，需要用2杯面粉和3杯牛奶制作蛋糕。
如果要制作6杯蛋糕，需要多少杯面粉和牛奶？设面粉的量为$x$杯，牛奶的量为$y$杯，则可以建立如下的分式方程：$\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{6}{2} = \frac{9}{3}$通过解这个分式方程，可以得到$x=4$和$y=6$，即制作6杯蛋糕需要4杯面粉和6杯牛奶。
2.速度问题在速度问题中，分式方程可以用来表示物体的速度和时间的关系。
例如，一辆汽车以60公里/小时的速度行驶，需要2个小时才能到达目的地。
如果要在3个小时内到达目的地，汽车的速度应该如何调整？设新的速度为$x$公里/小时，则可以建立如下的分式方程：$\frac{x}{60} = \frac{3}{2}$通过解这个分式方程，可以得到$x=90$，即汽车需要以90公里/小时的速度行驶才能在3个小时内到达目的地。
3.混合物问题在混合物问题中，分式方程可以用来表示不同成分的比例关系。
例如，需要制作一种含有30%酒精的溶液，已知有20毫升含有50%酒精的溶液和30毫升的纯水，还需要加入多少毫升的纯酒精？设纯酒精的体积为$x$毫升，则可以建立如下的分式方程：$\frac{x}{20+30+x} = \frac{0.3}{1}$通过解这个分式方程，可以得到$x=15$，即需要加入15毫升的纯酒精。
分式方程及其应用
分式方程及其应用一、分式方程的基本解法：1．分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫作分式方程．2．可化为一元一次方程的分式方程的解法：（1）解分式方程的基本思想是：把分式方程转化为整式方程．（2）解可化为一元一次方程的分式方程的一般方法和步骤：①去分母，即在方程的两边同时乘以最简公分母，把原方程化为整式方程；②解这个整式方程；③验根：把整式方程的根代入最简公分母中，使最简公分母不等于零的值是原方程的根；使最简公分母等于零的值是原方程的增根．注意：（1）增根能使最简公分母等于0；（2）增根是去分母后所得整式方程的根．3．解分式方程产生增根的原因：增根的产生是在解分式方程的第一步“去分母”时造成的，根据方程的同解原理，方程的两边都乘以（或除以）同一个不为0的数，所得的方程是原方程的同解方程，如果方程的两边都乘以的数是0 ，那么所得的方程与原方程不是同解方程，这时求得的根就是原方程的增根．【例1】解下列分式方程：（1）131x x+=-（2）31244xx x-+=--（3）21122xx x=---（4）11222xx x-=---（5）212xx x+=+（6）2216124xx x--=+-【例2】（1）若关于x 的方程1233mx x=+--有增根，则m =________．（2）解关于x 的方程2224222x a a x x+-=--会产生增根，则a 的值是________．（3）若关于x 的分式方程11044a xx x---=--无解，则a 的值为________．（4）若关于x 的分式方程2111m x x+=--的解为整数，则m 的取值范围是________．（5）若关于x 的分式方程311x a x x--=-无解，则a =________．二、巧解分式方程： 【例3】（1）111141086x x x x +=+---- （2）2263503x x x x-++=-（3）()()()()()1111111220212022x x x x x x x +++=------…（4）方程222313x x x x-+=-中，如设23y x x =-，原方程可化为整式方程：________．【拓1】观察下列方程及其解的特征：①12x x+=的解为121x x ==； ②152x x +=的解为12x =，212x =；③1103x x +=的解为13x =，213x =；…… 解答下列问题： ①请猜想：方程1265x x +=的解为________； ②请猜想：关于x 的方程1x x +=________的解为1x a =，21x a=（0a ≠）； ③上题中的结论可以证明是正确的，请用该结论来解方程：315132x x x x -+=-．【拓2】24111181111x x x x +++=-+++．三、分式方程的应用：【例4】（20宝应模拟）十堰即将跨入高铁时代，钢轨铺设任务也将完成．现还有6000米的钢轨需要铺设，为确保年底通车，如果实际施工时每天比原计划多铺设20米，就能提前15天完成任务．设原计划每天铺设钢轨x 米，则根据题意所列的方程是（ ） A ．600060001520x x -=+ B ．600060001520x x -=+ C ．600060002015x x -=- D ．600060002015x x-=-【拓3】某服装厂准备加工400套运动装，在加工完160套后，采用了新技术，使得工作效率比原计划提高了20%，结果共用了18天完成任务，问原计划每天加工服装多少套？在这个问题中，设原计划每天加工x 套，则根据题意可得方程为（ ） A ．()16040018120%x x +=+ B ．()16040016018120%x x -+=+ C ．1604001601820%x x -+= D ．()40040016018120%x x-+=+【例5】一辆汽车开往距离出发地180千米的目的地，出发后第一小时内按原计划的速度行驶，一小时后加速为原来的1.5倍，并比原计划提前40分钟到达目的地，求前一小 时的平均速度．【拓4】有一段6000米的道路由甲乙两个工程队负责完成．已知甲工程队每天完成的工作量是乙工程队每天完成工作量的2倍，且甲工程队单独完成此项工程比乙工程队单独 完成此项工程少用10天．（1）求甲、乙两工程队每天各完成多少米？（2）如果甲工程队每天需工程费7000元，乙工程队每天需工程费5000元，若甲队 先单独工作若干天，再由甲乙两工程队合作完成剩余的任务，支付工程队总费用不超 过79000元，则两工程队最多可以合作施工多少天？四、真题演练：1．（21扬州三模）若关于x 的分式方程21mx x=-有正整数解，则整数m 的值是（ ） A ．3 B ．5 C ．3或5 D ．3或42．（19仪征期中）定义：如果一个关于x 的分式方程a b x=的解等于1a b -，我们就说这个方程叫差解方程．比如：243x =就是个差解方程．如果关于x 的分式方程2mm x =-是一个差解方程，那么m 的值是（ ） A ．2 B ．12 C ．12- D ．2-3．（20邗江月考）扬州轨道交通线网规划2020年由4条线路组成，其中1号线一期工程全长30千米，预计运行后的平均速度是原来乘公交车的1.5倍，行驶时间则缩短半小时．设原来公交车的平均速度为x 千米/时，则下列方程正确的是（ ） A ．30301.50.5x x +=B ．30301.50.5x x -= C ．30300.5 1.5x x +=D ．30300.5 1.5x x-=4．（21高邮期末）如果关于x 的不等式组521113()22m x x x -≥⎧⎪⎨-<+⎪⎩有且仅有四个整数解，且关于y的分式方程28122my y y --=--有非负数解，则符合条件的所有整数m 的和是（ ） A ．13 B ．15 C ．20 D ．225．（21仪征期末）若关于x 的分式方程312mx -=+的解为负数，则m 的取值范围为________．6．（21邗江期末）关于x 的方程1122m x x-=--有增根，则m 的值为________．7．（19宝应月考）若关于x 的分式方程21011m x x -=-+无解，则m =________．8．（18高邮期中）已知关于x 的分式方程111x k kx x +-=+-的解为负数，则k 的取值范围是________．9．（19江都期中）若关于x 的方程4122ax x x =+--无解，则a 的值是________．10．（20广陵期中）要使方程121x x a=--有正数解，则a 的取值范围是________．11．（21仪征期末）若关于x 的分式方程12221(2)(1)x x x ax x x x --+-=-+-+的解为负数，则a 的取值范围是________．12．（19邗江月考）对于非零实数a 、b ，规定21a ab b a⊗=-．若(21)1x x ⊗-=，则x 的值为________．13．（20仪征期中）对于两个不相等的实数a 、b ，我们规定{in }m h a b 、表示a 、b 中较小的数的一半，如min 2{}31h =、，那么方程22{i }m n h x x xx=-+、的解为________．14．（20仪征期中）定义运算“※”： , , aa b a ba b b a b b a⎧>⎪⎪-=⎨⎪<⎪-⎩※，若52x =※，则x 的值为________．15．（20仪征期中）若32248168224816321111111a x x x x x x x =+++++--+++++，则a 的值是________．16．（2021·扬州）为保障新冠病毒疫苗接种需求，某生物科技公司开启“加速”模式，生产效率比原先提高了20%，现在生产240万剂疫苗所用的时间比原先生产220万剂疫苗所用的时间少0.5天．问：原先每天生产多少万剂疫苗？17．（20邗江月考）疫情防控形势下，人们在外出时都应戴上口罩以保护自己免受新型冠状病毒感染．某药店用4000元购进若干包次性医用口罩，很快售完，该店又用7500元钱购进第二批这种口罩，所进的包数比第一批多50%，每包口罩的进价比第一批每包口罩的进价多0.5元，请解答下列问题： （1）求购进的第一批医用口罩有多少包？（2）政府采取措施，在这两批医用口罩的销售中，售价保持了一致，若售完这两批口罩的总利润不高于3500元钱，那么药店销售该口罩每包的最高售价是多少元？18．（21邗江期末）对于两个不等的非零实数a ，b ，若分式()()x a x b x--的值为0，则x a =或x b =．因为2()()()()x a x b x a b x ab abx a b x x x---++==+-+，所以关于x 的方程abx a b x+=+的两个解分别为1x a =，2x b =．利用上面建构的模型，解决下列问题： （1）若方程px q x+=的两个解分别为11x =-，24x =．则p =________，q =________；（2）已知关于x 的方程222221n n x n x +-+=+两个解分别为1x ，2x （12x x <）．求12223x x -的值．19．（21高邮期末）八年级学生去距学校12km 的珠湖小镇游玩，一部分学生骑自行车先走，其余学生20min 后乘汽车出发，结果他们同时到达、已知汽车的速度是骑车学生速度的3倍．（1）求骑车学生的速度；（2）游玩中八（4）班班主任为增强班级凝聚力决定让全班学生在户外拓展区参加一次户外拓展活动，班主任根据该项目收费标准支付了1575元，请根据该项目收费信息确定全班人数．户外拓展收费标准：人数 收费 不超过30人 人均收费50元超过30人每增加1人，人均收费降低1元，但人均收费不低于40元20．（2020·扬州）如图，某公司会计欲查询乙商品的进价，发现进货单已被墨水污染． 进货单：商品 进价（元/件）数量（件）总金额（元）甲7200 乙3200李阿姨：我记得甲商品进价比乙商品进价每件高50%． 王师傅：甲商品比乙商品的数量多40件． 请你求出乙商品的进价，并帮助他们补全进货单．。
12.5.2分式方程的应用
二、课堂小结
1、用分式方程解决数学问题； 2、用分式方程解决利润问题（利润=售价-进价）； 3、方案选择问题。
课下作业：
练习册本课时
3x
3x 5 22 x5 9
85
70
按八五折销售这种服装的数量减去按原价销售这种服装的数量
合作探究
解：
互动探究二、销售（利润）问题
2、“母亲节”前夕，某商店根据市场调查，用3000元购进第一批盒装花，上市后很快售 完，接着又用5000元购进第二批同种盒装花，已知第二批所购花的盒数是第一批的2倍， 且每盒花的进价比第一批的进价少5元。问第一批盒装花每盒的进价是多少元？
解：设第一批盒装花每盒的进价是x元，则第二批的进价是（x-5）元。根据题意得，
3000 2 5000
x
x5
解得，x=30，
经检验，x=30是原方程的解。
答：第一批盒装花每盒的进价是30元。
解：
售价-进价 售价-利润
利润 进价 100%
售价 - 进价 进价
100%
解：
（2）设甲种文具m件，则乙种玩具（100-m）件，根据题意得， 25m+15(100-m)<2080 25m(1+20%)+15(100-m)(1+20%)>2460
2.能在复杂的问题中，恰当选设未知数，确定主要 等量关系，，用分式方程解决数学问题
例：相邻的两个偶数比是24:25，求这两个偶数之间的奇数。
这两个偶数之间的奇数
相邻的两个偶数比是24:25
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（1）上述问题中有哪些等量关系
（2）列出方程，求出方程的解，并写出问题的答案。
)
例2 某超级市场销售一种钢笔，每支售价为元。后来，钢笔的进价降低了%，从而使超市销售这种钢笔的利润率提高了8%。这种钢笔原来每支的进价是多少元
问题
（1）利润＝______—______
（2）利润率＝——×100
（3）设这种钢笔原来每支的进价为元，那么进价降低前的利润率为_________，进价降低后的利润率为________________
迁安市木厂口镇初级中学“四环七步”导学案
学科：八数课题：分式方程的应用2主备：徐明慧审核：付小军 王向菊
学习
流程
自学内容*学法指导*随堂笔记
互动策略
*展示方案
1、
回顾反思：
1、列分式方程解应用题的步骤是什么每步需要注意什么
…
2、写出销售问题的所有公式
课前延伸：
课前5分钟自己完成
组长检查
2、
明确目 标
1、进一步感受分式方程的模型思想，提高分析问题、解决问题的能力，提升解决实际问题的经验。
2、经历用分式方程解决实际问题的过程，通过解决实际问题，体会恰当地把握不同形式的等量关系。
[
三、
自学汇报与交流展示
例1 今年父亲的年龄是儿子年龄的3倍，再过5年，父亲与儿子的年龄的比是22 ：9，求今年父亲和儿子的年龄。
（4）这道利润问题的等量关系是什么请列出方程并写出解答过程。
{
学生先自主
：
探究，再小
组交流，解
决问题。
最后，各组把分任务把答案展示在黑板上，共同交流，并规范格式，强调注意事项。
四、
质疑问题自主反馈
1、仿照例题，完成课本P24页练习1（找出等量关系并列分式方程不需解答）
；
2、独立完成课本P24习题A组第1题（找出等量关系并列分式方程不需解答）
学生独立完成，临时分任务上黑板演示
,
五、
梳理总结5分钟
1．列分式方程解应用题关键要抓住哪些
整理完善本节知识，找出存在的问题
达
标
检
>
测
7
分
钟
完成课本P25页习题A组
第2题、（每人必做）
！
选作P24练业P25页B组1、2题
相信自己，你能行！
教学
反思