2008年北京市中学生数学竞赛高一年级复赛试题及解答
2008年全国高中数学联赛试题
2008试题部分第一试一、 选择题(每小题6分,共36分) 1. 函数254()2x x f x x-+=-在(,2)-∞上的最小值是( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 32. 设[)2,4A =-，{}240B x x ax =--≤。
若B A ⊆，则实数a 的取值范围是( ) (A) [)1,2- (B) []1,2- (C) []0,3 (D) [)0,3 3. 甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止。
设甲在每局中获胜的概率为23，乙在每局中获胜的概率为13，且各局胜负相互独立。
则比赛停止时已打局数ξ的期望E ξ为( )(A)24181(B) 26681(C)27481(D)6702434. 若三个棱长均为整数（单位：cm ）的正方体的表面积之和为5642cm ，则这三个正方体的体积之和为( )(A) 7643cm 或3586cm (B) 7643cm (C) 3586cm 或3564cm (D) 3586cm5. 方程组000x y z xyz xy yz xz y ++=⎧⎪=⎨⎪+++=⎩的有理数解(,,)x y z 的个数为( )(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 6. 设A B C 的A ∠、B ∠、C ∠所对的边a 、b 、c 成比例。
则sin cot cos sin cot cos A C A B C B++的取值范围是( )(A) ()0,+∞(B) 10,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭(C) 11,22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭(D) 1,2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭二、 填空题(本题满分54分,每小题9分) 7. 设()f x ax b =+（a 、b 为实数），1()()f x f x =，1()(())(1,2,)n n f x f f x n +==若7()128381f x x =+，则a b +=__________. 8. 设()cos 22(1cos )f x x a x =-+的最小值为12-。
2008年全国高中数学联赛一试二试试题整理详解汇编(一试+二试AB卷)(学生版)
2008年全国高中数学联赛受中国数学会委托，2008年全国高中数学联赛由重庆市数学会承办。
中国数学会普及工作委员会和重庆市数学会负责命题工作。
2008年全国高中数学联赛一试命题范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。
主要考查学生对基础知识和基本技能的掌握情况，以及综合和灵活运用的能力。
全卷包括6道选择题、6道填空题和3道大题，满分150分。
答卷时间为100分钟。
全国高中数学联赛加试命题范围与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展，适当增加一些竞赛教学大纲的内容。
全卷包括3道大题，其中一道平面几何题，试卷满分150分。
答卷时问为120分钟。
一 试4．若三个棱长均为整数（单位：cm ）的正方体的表面积之和为564 cm 2，则这三个正方体的体积之和为 （ ）。
（A ）764 cm 3或586 cm 3 （B ） 764 cm 3（C ）586 cm 3或564 cm 3 （D ） 586 cm 3 5．方程组0,0,0x y z xyz z xy yz xz y ++=⎧⎪+=⎨⎪+++=⎩的有理数解(,,)x y z 的个数为 （ ）。
（A ） 1 （B ） 2 （C ） 3 （D ） 46．设ABC ∆的内角A B C 、、所对的边a b c 、、成等比数列，则的取值范围是（ ）。
（A ）(0,)+∞ （B ） 51+ （C ）5151()-+ （D ）51)-+∞ 二、填空题（每小题9分，共54分）11．设()f x 是定义在R 上的函数，若(0)2008f = ，且对任意x ∈R ，满足(2)()32x f x f x +-≤⋅，(6)()632x f x f x +-≥⋅，则)2008(f = .12．一个半径为1的小球在一个内壁棱长为46则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是 .三、解答题（每小题20分，共60分）13．已知函数|sin |)(x x f =的图像与直线y kx = )0(>k 有且仅有三个交点，交点的横坐标的最大值为α，求证：2cos 1sin sin 34ααααα+=+． 14．解不等式121086422log (3531)1log (1)x x x x x ++++<++．加 试（A 卷）一、（本题满分50分）如图，给定凸四边形ABCD ，180B D ∠+∠<，P 是平面上的动点，令()f P PA BC PD CA PC AB =⋅+⋅+⋅．（1）求证：当()f P 达到最小值时，P A B C 、、、四点共圆；（2）设E 是ABC ∆外接圆O 的AB上一点，满足：32AE AB =，31BC EC=-，12ECB ECA ∠=∠，又,DA DC 是O 的切线，2AC =，求()f P 的最小值． 二、（本题满分50分）设()f x 是周期函数，T 和1是()f x 的周期且01T <<．证明：（1）若T 为有理数，则存在素数p ，使1p是()f x 的周期； （2）若T 为无理数，则存在各项均为无理数的数列{}n a 满足110n n a a +>>> (1,2,)n =⋅⋅⋅，且每个(1,2,)na n =⋅⋅⋅都是()f x 的周期．三、（本题满分50分）设0k a >，1,2,,2008k =．证明：当且仅当200811k k a =>∑时，存在数列{}n x 满足以下条件： 答一图1（1）010n n x x x +=<<，1,2,3,n =；（2）lim n n x →∞存在； （3）200820071110n n k n k k n k k k x x a x a x -+++==-=-∑∑，1,2,3,n =．2008年全国高中数学联合竞赛加试（B 卷）试题参考答案说明：1．评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分；2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，10分为一个档次，不要增加其他中间档次．一、（本题满分50分）如题一图，ABCD 是圆内接四边形．AC 与BD 的交点为P ，E 是弧AB 上一点，连接EP 并延长交DC 于点F ，点,G H分别在CE ，DE 的延长线上，满足EAG FAD ∠=∠，EBH FBC ∠=∠，求证：,,,C D G H 四点共圆．二、（本题满分50分）求满足下列关系式组 2222,50,x y z z y z ⎧+=⎨<≤+⎩的正整数解组(,,)x y z 的个数．三、（本题满分50分）设0k a >，1,2,,2008k =．证明：当且仅当200811k k a =>∑时，存在数列{}n x 满足以下条件： （ⅰ）010n n x x x +=<<，1,2,3,n =；（ⅱ）lim n n x →∞存在； （ⅲ）200820071110n n k n k k n k k k x x a x a x -+++==-=-∑∑，1,2,3,n =．题一图。
2008年高一数学竞赛试题(新课程)
2008年城东中学高一数学竞赛试题班别 姓名 分数（时间：100分钟, 满分150分）一、选择题(共6小题,每小题6分,共48分)1、已知四边形ABCD 在映射f ：),(y x →)2,1(+-y x 作用下的象集为四边形D C B A ''''。
四边形ABCD 的面积等于6，则四边形D C B A ''''的面积等于（ ） A ．9B ．26C ．34D ．62．若052>++c x ax 的解是2131<<x ,则a 和c 的值是（ ） A ．a=6,c=1 (B)a=6,c=-1 (C)a=-－6,c=1 (D)a=－6,c=-－13、根据图中骰子的三种不同状态显示的数字，推出？处的数字是（ ） (A)1 (B)2 (C)3 (D)6 5 1 ? 4 1 2 3 4 54、函数12xy -=的图象是 （ ）5、函数()log [1,2]xa f x a x =+在上的最大值和最小值之差为21a a -+,则的a 值为 ( )(A )2或21 (B)2或4 (C)21或4 (D)26、有A 、B 、C 、D 、E 共5位同学一起比赛象棋，每两人之间只比赛1盘，比赛过程中统计比赛的盘数知：A 赛了4盘，B 赛了3盘，C 赛了2盘，D 赛了1盘，则同学E 赛了（ ）盘 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）47函数2()log (321)a f x ax x a =-++-对于任意的(0,1]x ∈恒有意义，则实数a 的取值范围是 ( )(A) 0a >且1a ≠ (B) 12a ≥且1a ≠ (C) 12a >且1a ≠ (D) 1a >8、若x=20lg 7, 7.0lg )21(=y 则xy 的值为（ ）(A) 12 (B)13 (C)14 (D)151 2 3 4 5 6 7 8二、填空题（共6小题,每小题7分,共42分）9、已知函数(0)()(0)x x f x x x ≥⎧=⎨-<⎩，奇函数()g x 在0x =处有定义，且0x <时，()(1)g x x x =+，则方程()()1f x g x +=的解是 。
2008年全国中学生数学能力竞赛决赛试题高一年级组
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2008年全国高中数学联赛试题及解答
2008全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案及评分标准（A 卷）说明：1．评阅试卷时，请依据本评分标准．选择题只设6分和0分两档，填空题只设9分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次．2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中5分为一个档次，不要增加其他中间档次． 一、选择题（本题满分36分，每小题6分） 1．函数254()2x x f x x-+=-在(,2)-∞上的最小值是(C)A ．0B ．1C ．2D ．3 [解] 当2x <时，20x ->，因此21(44)1()(2)22x x f x x x x+-+==+---2≥2=，当且仅当122x x=--时上式取等号．而此方程有解1(,2)x =∈-∞，因此()f x 在(,2)-∞上的最小值为2．2．设[2,4)A =-，2{40}B x x ax =--≤，若B A ⊆，则实数a 的取值范围为 （ D ）A ．[1,2)-B ．[1,2]-C ．[0,3]D ．[0,3) [解] 因240x ax --=有两个实根12a x =-22a x =故B A ⊆等价于12x ≥-且24x <，即22a ≥-且42a ， 解之得03a ≤<．3．甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为23，乙在每局中获胜的概率为13，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数ξ的期望E ξ为 （ B ） A.24181B.26681C.27481D.670243[解法一] 依题意知，ξ的所有可能值为2，4，6.设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为22215()()339+=．若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响．从而有 5(2)9P ξ==， 4520(4)()()9981P ξ===，2416(6)()981P ξ===，故520162662469818181E ξ=⨯+⨯+⨯=．[解法二] 依题意知，ξ的所有可能值为2，4，6.令k A 表示甲在第k 局比赛中获胜，则k A 表示乙在第k 局比赛中获胜．由独立性与互不相容性得12125(2)()()9P P A A P A A ξ==+=， 1234123412341234(4)()()()()P P A A A A P A A A A P A A A A P A A A A ξ==+++332112202[()()()()]333381=+=， 1234123412341234(6)()()()()P P A A A A P A A A A P A A A A P A A A A ξ==+++2221164()()3381==， 故520162662469818181E ξ=⨯+⨯+⨯=．4．若三个棱长均为整数（单位：cm ）的正方体的表面积之和为564 cm 2，则这三个正方体的体积之和为 （ A ）A. 764 cm 3或586 cm 3B. 764 cm 3C. 586 cm 3或564 cm 3D. 586 cm 3 [解] 设这三个正方体的棱长分别为,,a b c ，则有()2226564a b c ++=，22294a b c ++=，不妨设110a b c ≤≤≤<，从而2222394c a b c ≥++=，231c >．故610c ≤<．c 只能取9，8，7，6．若9c =，则22294913a b +=-=，易知2a =，3b =，得一组解(,,)(2,3,9)a b c =．若8c =，则22946430a b +=-=，5b ≤．但2230b ≥，4b ≥，从而4b =或5．若5b =，则25a =无解，若4b =，则214a =无解．此时无解．若7c =，则22944945a b +=-=，有唯一解3a =，6b =．若6c =，则22943658a b +=-=，此时222258b a b ≥+=，229b ≥．故6b ≥，但6b c ≤=，故6b =，此时2583622a =-=无解．综上，共有两组解2,3,9a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩或3,6,7.a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩体积为3331239764V =++=cm 3或3332367586V =++=cm 3．5．方程组0,0,0x y z xyz z xy yz xz y ++=⎧⎪+=⎨⎪+++=⎩的有理数解(,,)x y z 的个数为（ B ）A. 1B. 2C. 3D. 4[解] 若0z =，则00.x y xy y +=⎧⎨+=⎩，解得00x y =⎧⎨=⎩，或11.x y =-⎧⎨=⎩，若0z ≠，则由0xyz z +=得1xy =-． ① 由0x y z ++=得z x y =--． ②将②代入0xy yz xz y +++=得220x y xy y ++-=． ③ 由①得1x y=-，代入③化简得3(1)(1)0y y y ---=.易知310y y --=无有理数根，故1y =，由①得1x =-，由②得0z =，与0z ≠矛盾，故该方程组共有两组有理数解0,0,0x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩或1,1,0.x y z =-⎧⎪=⎨⎪=⎩6．设ABC ∆的内角A B C ,,所对的边,,a b c 成等比数列， 则sin cot cos sin cot cos A C A B C B ++的取值范围是A. (0,)+∞B.C.D.)+∞ [解] 设,,a b c 的公比为q ，则2,b aq c aq ==，而sin cot cos sin cos cos sin sin cot cos sin cos cos sin A C A A C A CB C B B C B C++=++sin()sin()sin sin()sin()sin A C B B bq B C A A aππ+-=====+-．因此，只需求q 的取值范围．因,,a b c 成等比数列，最大边只能是a 或c ，因此,,a b c 要构成三角形的三边，必需且只需a b c +>且b c a +>．即有不等式组22,a aq aq aq aq a ⎧+>⎪⎨+>⎪⎩即2210,10.q q q q ⎧--<⎪⎨+->⎪⎩解得q q q <<⎨⎪><⎪⎩从而1122q <<，因此所求的取值范围是． 二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7．设()f x ax b =+，其中,a b 为实数，1()()f x f x =，1()(())n n f x f f x +=，1,2,3,n = ，若7()128381f x x =+，则a b += 5 . [解] 由题意知12()(1)n n n n f x a x a a a b --=+++++11n na a xb a -=+⋅-，由7()128381f x x =+得7128a =，713811a b a -⋅=-，因此2a =，3b =，5a b +=．8．设()cos 22(1cos )f x x a x =-+的最小值为12-，则a=[解] 2()2cos 122cos f x x a a x =---2212(cos )2122a x a a =----，(1) 2a >时，()f x 当cos 1x =时取最小值14a -；(2) 2a <-时，()f x 当cos 1x =-时取最小值1；(3)22a -≤≤时，()f x 当cos 2ax =时取最小值21212a a ---． 又2a >或2a <-时，()f x 的最小值不能为12-，故2112122a a ---=-，解得2a =-2a =-舍去)．9．将24个志愿者名额分配给3个学校，则每校至少有一个名额且各校名额互不相同的分配方法共有 222 种． [解法一] 用4条棍子间的空隙代表3个学校，而用*表示名额．如||||********表示第一、二、三个学校分别有4，18，2个名额．若把每个“*”与每个“|”都视为一个位置，由于左右两端必须是“｜”，故不同的分配方法相当于24226+=个位置（两端不在内）被2个“｜”占领的一种“占位法”．“每校至少有一个名额的分法”相当于在24个“*”之间的23个空隙中选出2个空隙插入“｜”，故有223C 253=种． 又在“每校至少有一个名额的分法”中“至少有两个学校的名额数相同”的分配方法有31种．综上知，满足条件的分配方法共有253－31＝222种． [解法二] 设分配给3个学校的名额数分别为123,,x x x ，则每校至少有一个名额的分法数为不定方程12324x x x ++=．的正整数解的个数，即方程12321x x x ++=的非负整数解的个数，它等于3个不同元素中取21个元素的可重组合：2121232323H C C 253===． 又在“每校至少有一个名额的分法”中“至少有两个学校的名额数相同”的分配方法有31种．综上知，满足条件的分配方法共有253－31＝222种． 10．设数列{}n a 的前n 项和n S 满足：1(1)n n n S a n n -+=+，1,2,n = ，则通项n a =112(1)n n n -+． [解]1111(1)(2)(1)n n n n n n n a S S a a n n n n +++-=-=--++++，即 2n n a n n n n n n a ++++-++-+=+)1(111)2)(1(221=)1(1)2)(1(2+++++-n n a n n n ， 由此得 2)1(1))2)(1(1(1++=++++n n a n n a n n ．令1(1)n n b a n n =++，111122b a =+= (10a =)， 有112n n b b +=，故12n nb =，所以)1(121+-=n n a nn ． 11．设()f x 是定义在R 上的函数，若(0)2008f = ，且对任意x ∈R ，满足(2)()32x f x f x +-≤⋅，(6)()632x f x f x +-≥⋅，则)2008(f =200822007+．[解法一] 由题设条件知(2)()((4)(2))((6)(4))((6)())f x f x f x f x f x f x f x f x +-=-+-+-+-+++-24323263232x x x x ++≥-⋅-⋅+⋅=⋅，因此有(2)()32x f x f x +-=⋅，故(2008)(2008)(2006)(2006)(2004)(2)(0)(0)f f f f f f f f =-+-++-+2006200423(2221)(0)f =⋅+++++10031413(0)41f +-=⋅+-200822007=+．[解法二] 令()()2x g x f x =-，则2(2)()(2)()2232320x x x x g x g x f x f x ++-=+--+≤⋅-⋅=， 6(6)()(6)()226326320x x x x g x g x f x f x ++-=+--+≥⋅-⋅=，即(2)(),(6)()g x g x g x g x +≤+≥，答12图1故()(6)(4)(2)()g x g x g x g x g x ≤+≤+≤+≤， 得()g x 是周期为2的周期函数，所以200820082008(2008)(2008)2(0)222007f g g =+=+=+． 12．一个半径为1的小球在一个内壁棱长为内可向各个方向自由运动，则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是．[解] 如答12图1，考虑小球挤在一个角时的情况，记小球半径为r ，作平面111A B C //平面ABC ，与小球相切于点D ，则小球球心O 为正四面体111P A B C -的中心，111PO A B C ⊥面，垂足D 为111A B C 的中心．因11111113P A B CA B C V S PD -∆=⋅1114O A B C V -=⋅111143A B C S OD ∆=⋅⋅⋅， 故44PD OD r==，从而43PO PD OD r r r =-=-=．记此时小球与面PAB 的切点为1P ，连接1OP ，则2211PP PO OP =-==． 考虑小球与正四面体的一个面(不妨取为PAB )相切时的情况，易知小球在面PAB 上最靠近边的切点的轨迹仍为正三角形，记为答13图答12图21PEF ，如答12图2．记正四面体的棱长为a ，过1P 作1PM PA ⊥于M ． 因16MPP π∠=，有11cos PM PP MPP =⋅==，故小三角形的边长12PE PA PM a =-=-．小球与面PAB 不能接触到的部分的面积为（如答12图2中阴影部分）1PAB P EFS S ∆∆-22())a a =--2=-．又1r =，a =1PAB P EF S S ∆∆-==由对称性，且正四面体共4个面，所以小球不能接触到的容器内壁的面积共为三、解答题（本题满分60分，每小题20分） 13．已知函数|sin |)(x x f =的图像与直线y kx =)0(>k 有且仅有三个交点，交点的横坐标的最大值为α，求证： 2cos 1sin sin 34ααααα+=+．[证]()f x 的图象与直线y kx = )0(>k 的三个交点如答13图所示，且在3(,)2ππ内相切，其切点为(,sin )A αα-，3(,)2παπ∈． …5分由于()cos f x x '=-，3(,)2x ππ∈，所以sin cos ααα-=-，即tan αα=． …10分 因此cos cos sin sin 32sin 2cos αααααα=+14sin cos αα=…15分22cos sin 4sin cos αααα+=21tan 4tan αα+=214αα+=． …20分14．解不等式121086422log (3531)1log (1)x x x x x ++++<++．[解法一] 由44221log (1)log (22)x x ++=+，且2log y 在(0,)+∞上为增函数，故原不等式等价于1210864353122x x x x x ++++>+．即 1210864353210x x x x x +++-->．…5分分组分解12108x x x +-1086222x x x ++-864444x x x ++-642x x x ++-4210x x ++->，864242(241)(1)0x x x x x x +++++->， …10分所以 4210x x +->，2211(022x x ---+-->． …15分所以2x ，即x <x >故原不等式解集为(,)-∞+∞ ． …20分[解法二] 由44221log (1)log (22)x x ++=+，且2log y 在(0,)+∞上为增函数，故原不等式等价于1210864353122x x x x x ++++>+．…5分即6422232262133122(1)2(1)x x x x x x x x+<+++++=+++， )1(2)1()1(2)1(232232+++<+x x xx ， …10分令3()2g t t t =+，则不等式为221()(1)g g x x<+，显然3()2g t t t =+在R 上为增函数，由此上面不等式等价于答15图2211x x <+， …15分即222()10x x +->，解得2x >(2x <舍去)，故原不等式解集为(,)-∞+∞ ． …20分15．如题15图，P 是抛物线22y x =上的动点，点B C ,在y 轴上，圆22(1)1x y -+=内切于PBC ∆，求PBC ∆面积的最小值．[解] 设00(,),(0,),(0,)P x y B b C c ，不妨设b c >．直线PB 的方程:00y b y b x x --=，化简得000()0y b x x y x b --+=．又圆心(1,0)到PB 的距离为1，1= ， …5分故22222000000()()2()y b x y b x b y b x b -+=-+-+， 易知02x >，上式化简得2000(2)20x b y b x -+-=，同理有2000(2)20x c y c x -+-=． …10分 所以0022y b c x -+=-，002x bc x -=-，则 22200020448()(2)x y x b c x +--=-．因00(,)P x y 是抛物线上的点，有2002y x =，则22204()(2)x b c x -=-，0022x b c x -=-． …15分所以00000014()(2)4222PBC x S b c x x x x x ∆=-⋅=⋅=-++--48≥=．当20(2)4x -=时，上式取等号，此时004,x y ==±．因此PBC S ∆的最小值为8． …20分2008年全国高中数学联合竞赛加试（A 卷）试题参考答案及评分标准说明：1．评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分； 2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，10分为一个档次，不要增加其他中间档次． 一、（本题满分50分）如题一图，给定凸四边形ABCD ，180B D ∠+∠< ，P 是平面上的动点，令()f P PA BC PD CA PC AB =⋅+⋅+⋅．（Ⅰ）求证：当()f P 达到最小值时，P A B C ,,,四点共圆； （Ⅱ）设E 是ABC ∆外接圆O 的 AB 上一点，满足：AE AB=，1BC EC=，12ECB ECA ∠=∠，又,DA DC 是O的切线，AC 求()f P 的最小值．[解法一] （Ⅰ）如答一图1，由托勒密不等式，对平面上的任意点P ，有PA BC PC AB PB AC ⋅+⋅≥⋅．因此 ()f P PA BC PC AB PD CA =⋅+⋅+⋅PB CA PD CA ≥⋅+⋅()PB PD CA =+⋅．因为上面不等式当且仅当,,,P A B C 顺次共圆时取等号，因此当且仅当P 在ABC ∆的外接圆且在AC 上时， ()()f P PB PD CA =+⋅．…10分又因PB PD BD +≥，此不等式当且仅当,,B P D 共线且P 在BD 上时取等号．因此当且仅当P 为ABC ∆的外接圆与BD 的交点时，()f P 取最小值min ()f P AC BD =⋅．故当()f P 达最小值时，,,,P A B C 四点共圆．…20分（Ⅱ）记ECB α∠=，则2ECA α∠=，由正弦定理有sin 2sin 3AE ABαα==，从而32sin 2αα=34sin )4sin cos αααα-=，所以2cos )4cos 0αα--=，整理得24cos 0αα-，…30分解得cosα=cos α=， 故30α= ，60ACE ∠= ．由已知1BC EC=()0sin 30sin EAC EAC∠-∠,有sin(30)1)sin EAC EAC ∠-=∠ ，1cos 1)sin 2EAC EAC EAC ∠-∠=∠，整理得1cos2EAC EAC ∠=∠，故tan 2EAC ∠== 可得75EAC ∠= ， …40分 从而45E ∠= ，45DAC DCA E ∠=∠=∠= ，ADC ∆为等腰直角三角形．因AC =1CD =．又ABC∆也是等腰直角三角形，故BC =，212215BD =+-⋅=，BD =故min ()f P BD AC =⋅=．…50分[解法二] （Ⅰ）如答一图2，连接BD 交ABC ∆的外接圆O 于0P 点（因为D 在O 外，故0P 在BD 上）．过,,A C D 分别作000,,P A P C P D 的垂线，两两相交得111A B C ∆，易知0P 在ACD ∆内，从而在111A B C ∆内，记ABC∆之三内角分别为x y z ，，，则0180AP C y z x ∠=︒-=+，又因110B C P A ⊥，110B A P C ⊥，得1B y ∠=，同理有1A x ∠=，1C z ∠=，所以111A B C ∆∽ABC ∆． …10分设11B C BC λ=，11C A CA λ=，11A B AB λ=， 则对平面上任意点M ，有0000()()f P P A BC P D CA P C AB λλ=⋅+⋅+⋅ 011011011P A B C P D C A PC A B =⋅+⋅+⋅ 1112A B C S ∆=111111MA B C MD C A MC A B ≤⋅+⋅+⋅ ()MA BC MD CA MC AB λ=⋅+⋅+⋅()f M λ=，从而0()()f P f M ≤．由M 点的任意性，知0P 点是使()f P 达最小值的点． 由点0P 在O 上，故0,,,P A B C 四点共圆． …20分 （Ⅱ）由（Ⅰ），()f P 的最小值11102()A B C f P S λ∆=2ABC S λ∆=，记ECB α∠=，则2ECA α∠=，由正弦定理有sin 2sin 3AE AB αα==，从而答一图232sin 2αα=34sin )4sin cos αααα-=，所以2cos )4cos 0αα--=，整理得24cos 0αα-=， …30分解得cosα=cos α=，故30α= ，60ACE ∠= ． 由已知1BC EC=()0sin 30sin EAC EAC∠-∠,有sin(30)1)sin EAC EAC ∠-=∠ ，即1cos 1)sin 2EAC EAC EAC ∠-∠=∠，整理得1cos2EAC EAC ∠=∠，故tan 2EAC ∠== 可得75EAC ∠= ， …40分 所以45E ∠=︒，ABC ∆为等腰直角三角形，AC 1ABC S ∆=，因为145AB C ∠=︒，1B 点在O 上，190AB B ∠=︒，所以11B BDC 为矩形，11B C BD ===故λ=min ()21f P == …50分[解法三] （Ⅰ）引进复平面，仍用,,A B C 等代表,,A B C 所对应的复数．由三角形不等式，对于复数12,z z ，有1212z z z z +≥+，当且仅当1z 与2z （复向量）同向时取等号．有 PA BC PC AB PA BC PC AB⋅+⋅≥⋅+⋅ ，所以 ()()()()A P C B C P B A --+--()()()()A P CBC P B A ≥--+-- （1）P C A B C B P A =-⋅-⋅+⋅+⋅()()B P C A PB AC=--=⋅，从而PA BC PC AB PD CA⋅+⋅+⋅PB AC PD AC ≥⋅+⋅()PB PD AC =+⋅BD AC≥⋅ ． （2） …10分（1）式取等号的条件是 复数 ()()A P C B --与()()C P B A --同向，故存在实数0λ>，使得()()()()A P C B C P B A λ--=--，A PB AC P C Bλ--=--， 所以 arg()arg()A P B A C P C B--=--，向量PC 旋转到PA 所成的角等于BC旋转到AB 所成的角，从而,,,P A B C 四点共圆．（2）式取等号的条件显然为,,B P D 共线且P 在BD 上． 故当()f P 达最小值时P 点在ABC ∆之外接圆上，,,,P A B C 四点共圆． …20分（Ⅱ）由（Ⅰ）知min ()f P BD AC =⋅． 以下同解法一．二、（本题满分50分）设()f x 是周期函数，T 和1是()f x 的周期且01T <<．证明： （Ⅰ）若T 为有理数，则存在素数p ，使1p是()f x 的周期； （Ⅱ）若T 为无理数，则存在各项均为无理数的数列{}n a 满足110n n a a +>>> (1,2,)n =⋅⋅⋅，且每个(1,2,)na n =⋅⋅⋅都是()f x 的周期．[证] （Ⅰ）若T 是有理数，则存在正整数,m n 使得n T m=且(,)1m n =，从而存在整数,a b ，使得 1ma nb +=．于是11ma nb a bT a b T m m+==+=⋅+⋅是()f x 的周期． …10分 又因01T <<，从而2m ≥．设p 是m 的素因子，则m pm '=，m *'∈N ，从而11m p m'=⋅ 是()f x 的周期． …20分（Ⅱ）若T 是无理数，令111a T T ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，则101a <<，且1a 是无理数，令21111a a a ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，……111n n n a a a +⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，……． …30分由数学归纳法易知n a 均为无理数且01n a <<．又111n n a a ⎡⎤-<⎢⎥⎣⎦，故11n n n a a a ⎡⎤<+⎢⎥⎣⎦，即111n n n n a a a a +⎡⎤=-<⎢⎥⎣⎦．因此{}n a 是递减数列． …40分最后证：每个n a 是()f x 的周期．事实上，因1和T 是()f x 的周期，故111a TT ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦亦是()f x 的周期．假设ka 是()f x 的周期，则111k k k a a a +⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦也是()f x 的周期．由数学归纳法，已证得n a 均是()f x 的周期． …50分三、（本题满分50分）设0k a >，1,2,,2008k = ．证明：当且仅当200811k k a =>∑时，存在数列{}n x满足以下条件：（1）010n n x x x +=<<，1,2,3,n = ； （2）lim n n x →∞存在； （3）20082007111n n k n k k n k k k x x a x a x -+++==-=-∑∑，1,2,3,n = ．[证] 必要性：假设存在{}n x 满足（1），（2），（3）．注意到（3）中式子可化为2008111()n n k n k n k k x x a x x -++-=-=-∑，n ∈*N，其中00x =．将上式从第1项加到第n 项，并注意到00x =得111222200820082008()()()n n n n x a x x a x x a x x +++=-+-++- ．…10分由（1）可设lim n n b x →∞=，将上式取极限得 112220082008()()()b a b x a b x a b x =-+-++-20081122200820081()k k b a a x a x a x ==⋅-+++∑20081kk b a =<⋅∑，因此200811k k a =>∑． …20分充分性：假设200811k k a =>∑．定义多项式函数如下：20081()1kk k f s a s ==-+∑，[0,1]s ∈，则()f s 在[0,1]上是递增函数，且(0)10f =-<，20081(1)10k k f a ==-+>∑．因此方程()0f s =在[0,1]内有唯一的根0s s =，且001s <<，即0()0f s =．…30分下取数列{}n x 为01n k n k x s ==∑，1,2,n = ，则明显地{}n x 满足题设条件（1），且100101n nkn k s s x s s +=-==-∑．因001s <<，故1lim 0n n s+→∞=，因此10000lim lim 11n n n n s s sx s s +→∞→∞-==--，即{}n x 的极限存在，满足（ⅱ）．…40分最后验证{}n x 满足（3），因0()0f s =，即2008011k k k a s ==∑，从而200820082008101111()()nk n n k n n k k k n k n k k k k x x s a s s a sa x x +-++-===-====-∑∑∑．综上，存在数列{}n x 满足（1），（2），（3）． …50分。
高一数学竞赛试题北京
高一数学竞赛试题北京【试题一：代数问题】题目：已知函数\( f(x) = ax^2 + bx + c \)，其中\( a \)，\( b \)，\( c \)为常数，且\( a \neq 0 \)。
若函数\( f(x) \)在\( x = 1 \)处取得极小值，求\( a \)，\( b \)，\( c \)之间的关系。
解答：首先，我们知道一个二次函数的极值点可以通过求导数来找到。
对于函数\( f(x) \)，其导数为\( f'(x) = 2ax + b \)。
由于\( x = 1 \)是极小值点，我们有\( f'(1) = 2a + b = 0 \)。
又因为极小值点处的导数为0，我们可以得出\( a \)和\( b \)之间的关系。
同时，我们可以利用极小值的定义，即\( f(1) \)是\( x \)在\( 1 \)附近的最小值，进一步确定\( a \)的符号。
由于\( a \)是二次项系数，它决定了函数的开口方向，而极小值意味着开口向上，所以\( a > 0 \)。
结合以上信息，我们可以得出\( b = -2a \)。
【试题二：几何问题】题目：在直角三角形ABC中，∠C = 90°，AB是斜边，且AC = 6，BC = 8。
求直角三角形ABC的周长。
解答：根据勾股定理，我们知道在直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和。
即\( AB^2 = AC^2 + BC^2 \)。
将已知的AC和BC的值代入，我们得到\( AB^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 \)，所以\( AB = 10 \)。
直角三角形的周长是三边之和，所以周长为\( AC+ BC + AB = 6 + 8 + 10 = 24 \)。
【试题三：数列问题】题目：给定数列\( \{a_n\} \)，其中\( a_1 = 1 \)，\( a_{n+1} =a_n + 2n \)。
北京市中学生数学竞赛高一年级复赛试题及解答
2011年北京市中学生数学竞赛高一年级复赛参考解答一、选择题（满分40分，每小题8分，将答案写在下面相应的空格中）1．二次三项式x 2+ax +b 的根是实数，其中a 、b 是自然数，且ab =22011，则这样的二次三项式共有 个．答：1341．我们发现，实际上，数a 和b 是2的非负整数指数的幂，即，a =2k ，b =22011–k ，则判别式Δ=a 2– 4b =22k – 422011–k =22k – 22013–k ≥0，得2k ≥2013–k ，因此k ≥32013=671，但k ≤2011，所以k 能够取2011–671+1=1341个不同的整数值．每个k 恰对应一个所求的二次三项式，所以这样的二次三项式共有1341个.2．如右图，在半径为1的圆O 中内接有锐角三角形ABC ，H 是△ABC 的垂心，角平分线AL 垂直于OH ，则BC = ．解：易知，圆心O及垂心H 都在锐角三角形ABC 的内部，延长AO 交圆于N ，连接AH 并延长至H 1与BC 相交，连接CN ，在Rt △CAN 和Rt △AH 1B 中，∠ANC =∠ABC ，于是有∠CAN =∠BAH 1，再由AL 是△ABC 的角平分线，得∠1=∠2．由条件AP ⊥OH ，得AH=AO=1．连接BO 交圆于M ，连接AM 、CM 、CH ，可知AMCH 为平行四边形，所以CM=AH=AO =1，BM =2，因为△MBC 是直角三角形，由勾股定理得BC ==3．已知定义在R 上的函数f (x )=x 2和g (x )=2x +2m ，若F (x )=f (g (x )) – g (f (x ))的最小值为14，则m = ．答：14-．解：由f (x )=x 2和g (x )=2x +2m ，得F (x )= f (g (x )) – g (f (x ))=(2x +2m )2–(2x 2+2m )=2x 2+8mx +4m 2–2m ，F (x )=2x 2+8mx +4m 2–2m 的最小值为其图像顶点的纵坐标()2222242(42)84284242m m m m m m m m ⨯⨯--=--=--⨯．由已知，21424m m --=，得21202m ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以1.4m =-4．tan 37.5=o ． 答：6232-+-．解1：作Rt △ADB ，使得∠ADB =90º，AD =1，AB =2，则∠B =30º，BD =3．延长BD 到C ，使BC =2，则DC =23-．连接AC ，则∠ACB =(180º–30º)÷2=75º．作∠ACD 的平分线交AD 于E ，则∠ECD =37.5º．由于AC 2=AD 2+DC 2=1+(2–3)2=8–43，所以 ()2843621226262AC =-=-+=-=-．由三角形的角平分线定理，得AE AC ED DC =，于是AE ED AC DCED DC++=，即()()()()322162233221ED AD DC AC CD ====-++-+-+-，所以()()tan 37.53221EDDC==-+o 6232=-+-．解2：作等腰直角三角形ABC ，使∠C =90º，AC =BC =1，则AB =2． 作∠CAD =30º，则CD =33，AD =233，则∠DAB =15º．作∠BAD 的平分线AE ，记CE =x ，则BE =1–x ，DE =x –3． 所以33232x -=，整理得 ()()213221623 2.3232x +-+===-+--+tan 37.562321CE xAC ===-+-o ． 5．设f (x ) =113xx+-，定义f 1(x ) = f (f (x ))，f n (x )=f (f n –1(x )) (n =2, 3,…)，f 2011(2011)= ． 答：10053017．A21 30º解：记01()()13x f x f x x +==-，则()111113()()1131313xx x f x f f x x x x++--===--+-⋅-； ()211113()()11313xx f x f f x x x x--+===-+⋅+；()3201()()()()13x f x f f x f x f x x +====-； 接下来有41()()f x f x =，52()()f x f x =，63()()f x f x =，…，f n (x )的表达式是循环重复的，以3项为一周期．所以，20113670111()()()13x f x f x f x x ⨯+-===+，20112011120101005(2011)13201160343017f -===+⨯．二、（满分15分）D 是正△ABC 的边BC 上一点，设△ABD与△ACD 的内心分别为I 1，I 2，外心分别为O 1，O 2，求证：(I 1O 1)2+(I 2O 2)2=(I 1I 2)2．证明：作以A 为中心、逆时针旋转60o 的变换(,60)R A o ，使△ABD 到△ACD 1，由于∠ADC +∠AD 1C =∠ADC +∠ADB =180º，所以A 、D 、C 、D 1共圆，因此2O 是△AD 1C 的外心，也就是(,60)12R A O O −−−−→o，因此AO 1=DO 1=AO 2=DO 2=O 1O 2，所以∠O 1AO 2=∠O 1DO 2=60º．由∠AO 1O 2+∠ACB =120º+60º=180º，O 1在△ACD 的外接圆⊙O 2上．由于111(180)6012012022AI D ABD ABD ∠=∠+-∠=+⨯=o o o o ，所以I 1在⊙O 2上，因此11118018030150O I D O AD ∠=-∠=-=o o o o ，111118015030I O D I DO ∠+∠=-=o o o ．同理可证，I 2在△ABD 的外接圆⊙O 1上，所以22150DI O ∠=o ．由于12118090,2I DI ∠=⨯=o o 而22111212906030I DO I DO I DI O DO ∠+∠=∠-=-=o o o ，比较可得1122I O D I DO ∠=∠．在△O 1I 1D 与△DI 2O 2中，因为已证O 1D=DO 2，1122150,O I D DI O ∠=∠=o 又1122.I O D I DO ∠=∠因此 △O 1I 1D ≌△DI 2O 2．所以，I 1O 1=DI 2，DI 1= I 2O 2.由于1290,I DI ∠=o △I 1DI 2是直角三角形.根据勾股定理，有()()()2221212,DI DI I I +=而I 1O 1=DI 2，DI 1=I 2O 2. 因此()()()222112212.I O I O I I +=1三、（满分15分）n 是正整数，记n !=1×2×3×…×n ，如1!=1，2!=1×2=2，3!= 1×2×3=6，又记[a ]表示不超过a 的最大整数，求方程20111!2!3!10!11!x x x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦L 的所有正整数解．解1：由于当x 是正整数时，[]1!x x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，2!2x x ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦≥12x -，3!6x x ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦＞6x –1，所以1126x x x -++-＜2011即53x ＜120122，得方程的正整数解x 满足0＜x ＜1207.5．由于6!=720，7!=5040，所以方程的正整数解x ＜7!，即07!8!9!10!11!x x x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦． 因此，方程20111!2!3!4!5!6!x x x x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦的解与原方程的解是一样的．设小于7!的正整数x 为上述方程的解，我们写出(1,2,3,4,5,6)!xk k =的带余除法表达式：设16!6!r x a =+，0≤r 1＜6!，(0≤a ≤6，a ∈N )；因此.6!x a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦① 12665!5!5!r r x a a b =+=++，0≤r 2＜5!，(0≤b ≤5，b ∈N )，因此65!x a b ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦． ② 323053054!4!4!r r xa b a b c =++=+++，0≤r 3＜4!，(0≤c ≤4，c ∈N )， 因此3054!x a b c ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦． ③341202*********!3!3!r r xa b c a b c d =+++=++++，0≤r 4＜3!，(0≤d ≤3，d ∈N )； 因此1202043!x a b c d ⎡⎤=+++⎢⎥⎣⎦． ④5436060123360601232!2!2!r r xa b c d a b c d e =++++=+++++，0≤r 5＜2， (e =0,1,2)；因此360601232!x a b c d e ⎡⎤=++++⎢⎥⎣⎦． ⑤5720120246272012024621!1!r xa b c d e a b c d e f =+++++=+++++，(f =0,1)； 因此72012024621!x a b c d e f ⎡⎤=+++++⎢⎥⎣⎦． ⑥①～⑥相加得1237a +206b +41c +10d +3e +f =2011．显然a =1，因此206b +41c +10d +3e +f =2011–1237=774； 易知b =3，因此41c +10d +3e +f =774–206×3=156； 易知c =3，于是10d +3e +f =156–41×3=33； 类似求得d =3，e =1，f =0．所求的x =1×720+3×120+3×24+3×6+1×2+0×1=1172．x =1172是方程20111!2!3!10!11!x x x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦K 的唯一正整数解．解2：设f (x )=1!2!3!10!11!x x x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦L ，因为对于所有的正整数k ，!x k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦都是单调增的，其和f (x )就是增函数；又因为对于正整数x ，11!x +⎡⎤⎢⎥⎣⎦=1!x ⎡⎤⎢⎥⎣⎦+1，所以f (x )是严格单调的．经估数，将x =1172带入，求f (1172)的值，得f (1172)=2011，所以，x =1172是方程20111!2!3!10!11!x x x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦K 的唯一正整数解．四、（满分15分）平面上的n 个点，若其中任3个点中必有2个点的距离不大于1，则称这样的n 个点为“标准n 点组”．要使一个半径为1的圆纸片，对任意“标准n 点组”都能至少盖住其中的25个点，试求n 的最小值． 答案：49．解：首先证明，n min ＞48．在平面上画长为5的线段AB ，分别以A 、B 为圆心，画半径为0.5的两个圆，在每一个圆内，取24个点，则平面上有48个点满足题设条件（其中任意3点中必有2点的距离不大于1），显然，不可能画出一个半径为1的圆，其包含有25个所选的点，所以n ＞48．下面证明n min =49．若49=n ，设A 是其中的一点，作以A 为圆心半径为1的⊙A ，若所有的点都在圆A 中，那么就满足题设条件．若不是所有的点都在圆A 中，则至少有一点B 不在圆A 中，再作以B 为圆心、半径为1的⊙B ，则A 、B 的距离大于1（如右图），除A ，B 外，余下的47个点中每一点P 都与A 、B 组成3点组，必有两个点的距离不大于1，所以要么P A ≤1，要么PB ≤1，即 点P 要么在⊙A 中，要么在⊙B 中，根据抽屉原理，必有一个圆至少包含了这47个点中的24个点，不妨设这个圆就是⊙A ，再加上圆心A 点，就有不少于25个点在这个半径为1的⊙A 中(圆内或圆周上)．所以n 的最小值是49．五、（满分15分）已知函数f ：R →R ，使得对任意实数x y z ，，都有11()()()()22f xy f xz f x f yz +-≥14，求[1×f (1)]+[2×f (2)]+[3×f (3)]+…+[2011×f (2011)]的值．其中对于实数a ，[a ]表示不超过a 的最大整数．解：由于已知函数f R R →：，使得对任意实数x y z ，，都满足11()()()()22f xy f xz f x f yz +-≥14，可令0x y z ===，有()211(0)(0)(0)22f f f +-≥14，即21(0)2f ⎛⎫- ⎪⎝⎭≤0，由于f (0)是一个实数，所以1(0).2f =再令1x y z ===，有()211(1)(1)(1)22f f f +-≥14，即21(1)2f ⎛⎫- ⎪⎝⎭≤0，由于f (1)是一个实数，所以1(1).2f =又令0y z ==，有11(0)(0)()(0)22f f f x f +-≥14，代入1(0)2f =得对任意实数x ，都有()f x ≤12． ①又令1y z ==，有11()()()(1)22f x f x f x f +-≥14，代入1(1)2f =得对任意实数x ，都有()f x ≥12． ②综合①、②可得，对任意实数x ，都有1()2f x =．验证：函数1()2f x =满足题设条件，取的是等号，所以满足题设条件的函数的唯一解为1()2f x =．于是[][][][]1(1)2(2)3(3)2011(2011)f f f f ⨯+⨯+⨯++⨯K1234201122222⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦K 011223310051005=+++++++++K() =⨯++++K 21231005 =+⨯(11005)1005=．1011030。
2008年全国高中数学联合竞赛一试试题解析
2008年全国高中数学联合竞赛一试试题一、选择题(本题满分36分，每小题6分)1.函数f (x )=5−4x +x 22−x在(−∞,2)上的最小值是()A.0 B.1 C.2 D.3解答f (x )=2−x +12−x⩾2，等号成立时x =1.所以选C .2.设A =[−2,4),B ={x |x 2−ax −4⩽0}，若B ⊆A ，则实数a 的取值范围为()A.[−1,2)B.[−1,2]C.[0,3]D.[0,3)解答设f (x )=x 2−ax −4，依题意f (x )=0的两根x 1,x 2∈[−2,4).由于∆=a 2+16>0，于是 f (−2)=2a ⩾0,f (4)=12−4a >0,a 2∈[−2,4)⇒a ∈[0,3).所以选D .3.甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止.设甲在每局中获胜的概率为23，乙在每局中获胜的概率为13，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数ξ的期望Eξ为()A.24181 B.26681 C.27481 D.670243解答由于比赛不满6局时胜者比对方多2分，则比赛局数只能是2,4,6.其中2局分胜负的情况为甲或乙胜2局；4局分胜负的情况为甲或乙胜3局负1局，且负的1局在前2局.于是需要比赛6局的情况是在前4局中，甲或乙在1,2局和3,4局中均为1胜1负.相应分布列为局数ξ246概率P (23)2+(13)2C 12·13(23)3+C 12·23(13)34(13)2(23)2于是Eξ=2×59+4×2081+6×1681=26681.所以选B .4.若三个棱长均为整数(单位：cm )的正方体的表面积之和为564cm 2，则这三个正方体的体积之和为()A.764cm 3或586cm 3B.764cm 3C.586cm 3或564cm 3D.586cm 3解答设三个正方体的棱长分别为a,b,c ，则6(a 2+b 2+c 2)=564⇒a 2+b 2+c 2=94.由于(3k ±1)2≡1(mod 3)，于是a,b,c 中必有2个数为3的倍数，不妨设为a,b .检验得32+62=45⇒c =7；32+92=90⇒c =2.从而a 3+b 3+c 3=586或764.所以选A .5.方程组 x +y +z =0,xyz +z =0,xy +yz +xz +y =0的有理数解(x,y,z )的个数为()A.1B.2C.3D.4解答xyz +z =z (xy +1)=0⇒z =0或xy =−1.当z =0时， x +y =0,xy +y =y (x +1)=0⇒ x =0,y =0或 x =−1,y =1.当xy =−1时， (x +y )2=y −1,xy =−1⇒(y −1y )2=y −1⇒y 2+1y 2=y +1⇒y 4−y 3−y 2+1=(y −1)(y 3−y −1)=0.由于y 3−y −1=0没有有理根，则y =1⇒x =−1.于是有理解(x,y,z )的个数为2，所以选B .6.设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边a 、b 、c 成等比数列，则sin A cot C +cos A sin B cot C +cos B的取值范围是()A.(0,+∞) B.(0,√5+12)C.(√5−12,√5+12) D.(√5−12,+∞)解答设等比数列a,b,c 的公比为q ，则b =aq,c =aq 2.于是 a +b >c,b +c >a ⇒ q 2−q −1<0,q 2+q −1>0⇒√5−12<q <√5+12.sin A cot C +cos A sin B cot C +cos B =sin A cos C +cos A sin C sin B cos C +cos B sin C =sin (A +C )sin (B +C )=sin B sin A =b a =q ∈(√5−12,√5+12).所以选C .二、填空题(本题满分54分，每小题9分)7.设f (x )=ax +b ，其中a,b 为实数，f 1(x )=f (x ),f n +1(x )=f (f n (x ))，n =1,2,···，若f 7(x )=128x +381，则a +b =.解答f 2(x )=a (ax +b )+b =a 2x +ab +b =a 2x +b (1−a 2)1−a ，f 3(x )=a (a 2x +ab +b )+b =a 3x +a 2b +ab +b =a 3x +b (1−a 3)1−a ，···，f 7(x )=a 7x +b (1−a 7)1−a =128x +381⇒a =2,b =3.所以a +b =5.8.设f (x )=cos 2x −2a (1+cos x )的最小值为−12，则a =.解答设t =cos x ∈[−1,1]，则f (x )=2t 2−1−2a (1+t )=2t 2−2at −2a −1=2(t −a 2)2−a 22−2a −1.于是 a 2∈[−1,1],−a 22−2a −1=−12或 a 2>1,1−4a =−12或 a 2<−1,1=−12.解得a =−2±√3(−2−√3舍去).所以a =−2+√3.9.将24个志愿者名额分配给3所学校，则每校至少有一个名额且各校名额互不相同的分配方法共有种.解答将24个志愿者名额分配给3所学校，每校至少有一个名额的分配方法有C 223=253种；3所学校名额相同的分配方法有1种；有且仅有2所学校名额相同的分配方法(即满足2x +z =24且x =z 的正整数解)有10×3=30种.所以3所学校名额互不相同的分配方法共有253−1−30=222种.10.设数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n +a n =n −1n (n +1),n =1,2,···，则通项a n =.解答S n +a n =2S n −S n −1=n −1n (n +1)=2n +1−1n ⇒2(S n −1n +1)=S n −1−1n ⇒数列{S n −1n +1}是公比为12的等比数列，且S 1−12=−12，于是S n −1n +1=−(12)n ⇒S n =1n +1−(12)n (n ∈N ∗).所以a n =S n −S n −1=1n +1−(12)n −1n +(12)n −1=(12)n −1n (n +1).11.设f (x )是定义在R 上的函数，若f (0)=2008，且对任意x ∈R ，满足f (x +2)−f (x )⩽3·2x ,f (x +6)−f (x )⩾63·2x ，则f (2008)=.解答f (2008)=f (0)+[f (2)−f (0)]+[f (4)−f (2)]+···+[f (2008)−f (2006)]⩽2008+3(20+22+···+22006)=2008+41004−1=22008+2007；f (2004)=f (0)+[f (6)−f (0)]+[f (12)−f (6)]+···+[f (2004)−f (1998)]⩾2008+63(20+26+···+21998)=2008+64334−1=22004+2007，又 f (x +6)−f (x )⩾63·2x ,f (x )−f (x +2)⩾−3·2x⇒f (x +6)−f (x +2)⩾60·2x ⇒f (2008)−f (2004)⩾60·22002⇒f (2008)⩾f (2004)+60·22002=64·22002+2007=22008+2007.所以f (2008)=22008+2007.12.一个半径为1的小球在一个内壁棱长为4√6的正四面体容器内可向各个方向自由运动，则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是.解答如图，小球O 是正四面体P −DEF 的内切球.设AC 的中点为G ，作OM ⊥P G 于M .则有r =1⇒P O =3⇒P M =2√2=13P G ，同理AN =2√2=13AF ⇒MN =2√6.于是小球在正四面体一个面内能接触到的区域是以MN 为边长的正三角形及内部，其面积为正四面体一个面面积的14.所以该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积为正四面体表面积的34，即S =34×4×√34×(4√6)2=72√3.三、解答题(本题满分60分，每小题20分)13.已知函数f (x )=|sin x |的图像与直线y =kx (k >0)有且仅有三个交点，交点的横坐标的最大值为α，求证：cos αsin α+sin 3α=1+α24α.解答如图，直线y =kx (k >0)与f (x )=|sin x |的图像相切于点A (α,−sin α)(π<α<3π2)，由于(−sin x )′=−cos x，于是有−sin αα=−cos α⇒α=tan α.所以cos αsin α+sin 3α=cos α2sin 2αcos α=12sin 2α=1+tan 2α4tan α=1+α24α.14.解不等式log 2(x 12+3x 10+5x 8+3x 6+1)<1+log 2(x 4+1).解答解析一：原不等式⇒x 12+3x 10+5x 8+3x 6+1<2(x 4+1)⇒x 12+3x 10+5x 8+3x 6−2x 4−1<0⇒(x 4+x 2−1)(x 8+2x 6+4x 4+x 2+1)<0⇒x 4+x 2−1<0⇒0⩽x 2<√5−12⇒x ∈(− √5−12, √5−12).解析二：原不等式⇒x 12+3x 10+5x 8+3x 6+1<2(x 4+1)⇒x 12+3x 10+3x 8+x 6+2(x 8+x 6)<2x 4+1⇒x 6+3x 4+3x 2+1+2(x 2+1)<2x 2+1x 6⇒(x 2+1)3+2(x 2+1)<(1x 2)3+2x 2⇒x 2+1<1x 2⇒x 4+x 2−1<0⇒0⩽x 2<√5−12⇒x ∈(− √5−12, √5−12).15.如图，P 是抛物线y 2=2x 上的动点，点B 、C 在y 轴上，圆(x −1)2+y 2=1内切于△P BC ，求△P BC 面积的最小值.解答如图，设P (2t 2,2t ),M (1,0)，过P 的直线y −2t =k (x −2t 2)与圆M 相切，则有|k (1−2t 2)+2t |√1+k2=1⇒4t 2(t 2−1)k 2−4t (2t 2−1)k +4t 2−1=0设直线P B,P C 的斜率为k 1,k 2，于是y B =2t −2t 2k 1,y C =2t −2t 2k 2，S △P BC =12·2t 2|y B−y C |=2t 4|k 1−k 2|=2t 4·√16t 2(2t 2−1)2−16t 2(t 2−1)(4t 2−1)4t 2(t 2−1)=2t 2·|t |√(2t 2−1)2−(t 2−1)(4t 2−1)t 2−1=2t 4t 2−1=2(t 4−1+1t 2−1)=2(t 2+1+1t 2−1)=2(t 2−1+1t 2−1+2)⩾2(2+2)=8，等号成立时t 2=2⇒t =±√2.所以△P BC 面积的最小值是8.。
北京市高一数学竞赛(解析版)
2008年北京市中学生数学竞赛高一年级初赛试题2008年4月13日8︰30～10︰30亲爱的中学生朋友:欢迎你参加本次竞赛活动﹗中国的未来需要众多的人才，人才的培养需要从青少年时代奠基，打好数学基础有助于从事各行业的发展。
北京数学会组织中学生数学竞赛等数学科普活动旨在自愿的前提下丰富数学爱好者的课余生活，激发学习兴趣，普及科学精神，提高能力水平。
祝你插上数学的翅膀，在科学探索的空间展翅翱翔。
注意事项1.本次考试共有14个小题﹙6个选择，8个填空题﹚，把答案填写在下面标有题号的空格内。
2.不允许使用计算器。
3.监考员宣布考试结束时，请你私下本页，填好所要求填写的项目，交给监考员。
以下由考生填写姓名__________________性别______考号_____________校名______________________________年级___________以下由评分者填写本次考试该生所得分数是__________2008年北京市中学生数学竞赛高一年级初赛试题一 、选择题﹙满分36分，每小题只有一个正确答案，请将正确答案的英文字母代号填入第一页指定地方，答对得6分，答错或不答均记0分﹚1.设函数()f x 对0x ≠的一切实数均有()200823f x f x x ⎛⎫⎪⎝⎭+=，则()2f 等于﹙A ﹚2006. ﹙B ﹚2008. ﹙C ﹚2010. ﹙D ﹚2012. 2. 0000cos31,tan 46,sin81,sin113的大小关系是 ﹙A ﹚0000cos31tan 46sin81sin113<<<. ﹙B ﹚0000sin81cos31sin113tan 46<<<. ﹙C ﹚0000cos31sin113sin81tan 46<<<. ﹙D ﹚0000tan 46sin81cos31sin113<<<.3.已知0abc <，则在下列四个选项中，表示2y ax bx c =++的图像只可能是4.对非0实数a ，存在实数θ使得212cos a a θ+=成立，则6cos πθ⎛⎫ ⎪⎝⎭+的值是﹙A ﹙B ﹚12. ﹙C ﹚2- ﹙D ﹚12-. 5.已知,αβ分别满足100411004,10g βααβ=⋅=⋅，则αβ⋅等于﹙A ﹚ ﹙B ﹚1004. ﹙C ﹚. ﹙D ﹚2008.6. 23456cos0coscos cos cos cos cos 777777ππππππ++++++等于﹙A ﹚4. ﹙B ﹚3. ﹙C ﹚2. ﹙D ﹚1.二 、填空题﹙满分64分，每小题8分，请将答案填入第一页指定地方﹚ 1.求523111125323111og og og ⋅⋅的值.2.如果sin cos αα+=3tan πα⎛⎫⎪⎝⎭+的值. 3.在右图的圆中，弦,AB CD 垂直相交于E ，若线段,AE EB 和ED 的长分别是2厘米，6厘米和3厘米，试求这个圆的面积. 4.以[]x 表示不超过x 的最大整数，试确定sin1sin2sin3sin4sin5++++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦的值.5.已知直角三角形ABC 斜边AB计算AB AC BC BA CA CB ++⋅⋅⋅.6.已知集合{}{}22,68070x x x x x ax A B -+<-+===.若A B ≠∅，确定实数a 的取值范围.7.分别以锐角三角形ABC 的边,,AB BC CA 为直径画圆，如图所示.已知在三角形外的阴影曲边三角形面积为w 平方厘米，在 三角形内的阴影曲边三角形面积为u 平方厘米，试确定三 角形ABC 的面积.8.已知正整数n 与k 使得252500n k =+成立.试确定不小于lg lg kn的最小整数的值.参考答案1. A 【解析】(2)2(1004)32(2)2006(1004)2(2)31004f f f f f +=⨯⎧⇒=⎨+=⨯⎩2. C 【解析】注意到：cos31sin59︒=︒，sin113sin67︒=︒sin59sin67sin811tan 46︒<︒<︒<<︒3. B 【解析】4. A 【解析】注意到：2111cos (||)1cos 2||2||a a a a θθ+==+≥=≥我们有：cos 1θ=，sin 0θ=此时有：cos cos cos sin sin 6662πππθθθ⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭5. B 【解析】令函数()lg f x x x =，则()f x 是(0,)+∞上的增函数，注意到： (10)10lg10101004()f f βββββα=⋅=⋅==，有10βα=此时有10(10)1004f ββαββ⋅=⋅== 6. D 【解析】注意到：162534co s co sco sc777777ππππππ+=+=+= 因此有：原式＝11. ()()2355lg 21lg 3111(3)lg 5log log log 15125323lg 2lg 3lg 5-⨯-⨯-⨯⋅⋅=⋅⋅=- 2.sin cos sin 12()444k k Z πππαααααπ⎛⎫⎛⎫+=+=⇒+=⇒=+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭tan tan 2tan 234343k πππππαπ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+==-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭3. 2tan 3AE ADE DE ∠==，6tan 23BE BDE DE ∠===223tan 8sin 2123ADB ADB +∠==-⇒∠=-⨯286528sin 4AB R S R ADB ππ=====∠ 4. sin1、sin 2、sin3(0,1)∈， sin 4、sin5(1,0)∈-2sin1sin2sin3sin4sin5++++=-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦5. ||29AB AC BC BA CA CB AB AC BC BA AB AB AB ++=+=⋅==⋅⋅⋅⋅⋅6. {|24}A x x =<<，记2()7f x x ax =-+，欲使A B φ≠需且只需：(2)(4)0f f <或0(2)0(4)0242f f a ∆≥⎧⎪≥⎪⎪⎨≥⎪⎪≤≤⎪⎩，整理有234a ≤≤7.如图所示，设红色区域面积为x ，白色区域面积为y ，三个半圆的面积之和为S ，则：1()232S w y x u w u S y x u=+⎧⇒+=-⎨=++⎩ 8. 当n ＝ 1、2、3、4时，k 非正整数，当5n ≥时，有()44252500554n n k -+=⨯+=此时有4225|5|k k⇒，令25(k tt N =∈，有424545(2)(2)n n t t t --+=⇔=+⨯-， 存在α、N β∈，αβ>，使得5225455t t αβαβ=+>-=⇒=- 若0β≠，则：5|55αβ-，矛盾有0β=，则：lg lg 22513225,5lg lg5k t k n n α=⇒=⇒==⇒= 注意到lg125lg 225lg 62534lg 5lg 5lg 5=<<=，lg 2254lg5⎡⎤=⎢⎥⎢⎥。
北京市中学生数学竞赛高一级复赛参考解答
2011年北京市中学生数学竞赛高一年级复赛参考解答一、选择题（满分40分，每小题8分，将答案写在下面相应的空格中）题 号 1 234 5答 案1341314- 623 2.-+-100530171．二次三项式x 2+ax +b 的根是实数，其中a 、b 是自然数，且ab =22011，则这样的二次三项式共有 个．答：1341．我们发现，实际上，数a 和b 是2的非负整数指数的幂，即，a =2k ，b =22011–k ，则判别式Δ=a 2– 4b =22k – 422011–k =22k – 22013–k ≥0，得2k ≥2013–k ，因此k ≥32013=671，但k ≤2011，所以k 能够取2011–671+1=1341个不同的整数值．每个k 恰对应一个所求的二次三项式，所以这样的二次三项式共有1341个.2．如右图，在半径为1的圆O 中内接有锐角三角形ABC ，H 是△ABC 的垂心，角平分线AL 垂直于OH ，则BC = ． 答：3．解：易知，圆心O 及垂心H 都在锐角三角形ABC 的内部，延长AO 交圆于N ，连接AH 并延长至H 1与BC 相交，连接CN ，在Rt △CAN 和Rt △AH 1B 中，∠ANC =∠ABC ，于是有∠CAN =∠BAH 1，再由AL 是△ABC 的角平分线，得∠1=∠2．由条件AP ⊥OH ，得AH=AO=1．连接BO 交圆于M ，连接AM 、CM 、CH ，可知AMCH 为平行四边形，所以CM=AH=AO =1，BM =2，因为△MBC 是直角三角形，由勾股定理得2221 3.BC =-=3．已知定义在R 上的函数f (x )=x 2和g (x )=2x +2m ，若F (x )=f (g (x )) – g (f (x ))的最小值为14，则m = ．答：14-．解：由f (x )=x 2和g (x )=2x +2m ，得F (x )= f (g (x )) – g (f (x ))=(2x +2m )2–(2x 2+2m )=2x 2+8mx +4m 2–2m ，F (x )=2x 2+8mx +4m 2–2m 的最小值为其图像顶点的纵坐标ABCOHL MPNH 1 1 2()2222242(42)84284242m m m m m m m m ⨯⨯--=--=--⨯．由已知，21424m m --=，得21202m ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以1.4m =-4．tan 37.5= ． 答：6232-+-．解1：作Rt △ADB ，使得∠ADB =90º，AD =1，AB =2，则∠B =30º，BD =3．延长BD 到C ，使BC =2，则DC =23-．连接AC ，则∠ACB =(180º–30º)÷2=75º．作∠ACD 的平分线交AD 于E ，则∠ECD =37.5º．由于AC 2=AD 2+DC 2=1+(2–3)2=8–43，所以 ()2843621226262AC =-=-+=-=-．由三角形的角平分线定理，得AE AC ED DC=，于是AE ED AC DCED DC ++=，即()()()()1322162233221ED AD AD DC AC CD ====-++-+-+-，所以()()tan 37.53221EDDC==-+6232=-+-．解2：作等腰直角三角形ABC ，使∠C =90º，AC =BC =1，则AB =2． 作∠CAD =30º，则CD =33，AD =233，则∠DAB =15º． 作∠BAD 的平分线AE ，记CE =x ，则BE =1–x ，DE =x –33． 所以3132323x x --=，整理得 ()()213221623 2.3232x +-+===-+--+tan 37.562321CE xAC ===-+-． 5．设f (x ) =113xx+-，定义f 1(x ) = f (f (x ))，f n (x )=f (f n –1(x )) (n =2, 3,…)，f 2011(2011)= ．答：10053017．AC D E B21 30º解：记01()()13x f x f x x +==-，则()111113()()1131313xx x f x f f x x x x++--===--+-⋅-； ()211113()()11313xx f x f f x x x x--+===-+⋅+；()3201()()()()13x f x f f x f x f x x +====-； 接下来有41()()f x f x =，52()()f x f x =，63()()f x f x =，…，f n (x )的表达式是循环重复的，以3项为一周期．所以，20113670111()()()13x f x f x f x x ⨯+-===+，20112011120101005(2011)13201160343017f -===+⨯．二、（满分15分）D 是正△ABC 的边BC 上一点，设△ABD 与△ACD 的内心分别为I 1，I 2，外心分别为O 1，O 2，求证：(I 1O 1)2+(I 2O 2)2=(I 1I 2)2． 证明：作以A 为中心、逆时针旋转60的变换(,60)R A ，使△ABD 到△ACD 1，由于∠ADC +∠AD 1C =∠ADC +∠ADB =180º，所以A 、D 、C 、D 1共圆，因此2O 是△AD 1C 的外心，也就是(,60)12R A O O −−−−→，因此AO 1=DO 1=AO 2=DO 2=O 1O 2，所以∠O 1AO 2=∠O 1DO 2=60º．由∠AO 1O 2+∠ACB =120º+60º=180º，O 1在△ACD 的外接圆⊙O 2上．由于111(180)6012012022AI D ABD ABD ∠=∠+-∠=+⨯=，所以I 1在⊙O 2上，因此11118018030150O I D O AD ∠=-∠=-=，111118015030I O D I DO ∠+∠=-=．同理可证，I 2在△ABD 的外接圆⊙O 1上，所以22150DI O ∠=．由于12118090,2I DI ∠=⨯=而22111212906030I DO I DO I DI O DO ∠+∠=∠-=-=，比较可得1122I O D I DO ∠=∠．在△O 1I 1D 与△DI 2O 2中，因为已证O 1D=DO 2，1122150,O I D DI O ∠=∠=又1122.I O D I DO ∠=∠因此 △O 1I 1D ≌△DI 2O 2．所以，I 1O 1=DI 2，DI 1= I 2O 2.由于1290,I DI ∠=△I 1DI 2是直角三角形.根据勾股定理，有()()()2221212,DI DI I I +=而I 1O 1=DI 2，DI 1=I 2O 2. 因此()()()222112212.I O I O I I +=三、（满分15分）n 是正整数，记n !=1×2×3×…×n ，如1!=1，2!=1×2=2， 3!= 1×2×3=6，又记[a ]表示不超过a 的最大整数，求方程ABCDO 1I 2I 1D 1O 220111!2!3!10!11!x x x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦的所有正整数解．解1：由于当x 是正整数时，[]1!x x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，2!2x x ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦≥12x -，3!6x x ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦＞6x –1，所以1126x x x -++-＜2011即53x ＜120122，得方程的正整数解x 满足0＜x ＜1207.5． 由于6!=720，7!=5040，所以方程的正整数解x ＜7!，即07!8!9!10!11!x x x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦． 因此，方程20111!2!3!4!5!6!x x x x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦的解与原方程的解是一样的．设小于7!的正整数x 为上述方程的解，我们写出(1,2,3,4,5,6)!xk k =的带余除法表达式：设16!6!r x a =+，0≤r 1＜6!，(0≤a ≤6，a ∈N )；因此.6!x a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦① 12665!5!5!r r x a a b =+=++，0≤r 2＜5!，(0≤b ≤5，b ∈N )，因此65!x a b ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦． ② 323053054!4!4!r r xa b a b c =++=+++，0≤r 3＜4!，(0≤c ≤4，c ∈N )， 因此3054!x a b c ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦． ③341202*********!3!3!r r xa b c a b c d =+++=++++，0≤r 4＜3!，(0≤d ≤3，d ∈N )； 因此1202043!x a b c d ⎡⎤=+++⎢⎥⎣⎦． ④5436060123360601232!2!2!r r xa b c d a b c d e =++++=+++++，0≤r 5＜2， (e =0,1,2)；因此360601232!x a b c d e ⎡⎤=++++⎢⎥⎣⎦． ⑤5720120246272012024621!1!r xa b c d e a b c d e f =+++++=+++++，(f =0,1)； 因此72012024621!x a b c d e f ⎡⎤=+++++⎢⎥⎣⎦． ⑥①～⑥相加得1237a +206b +41c +10d +3e +f =2011． 显然a =1，因此206b +41c +10d +3e +f =2011–1237=774； 易知b =3，因此41c +10d +3e +f =774–206×3=156； 易知c =3，于是10d +3e +f =156–41×3=33；类似求得d =3，e =1，f =0．所求的x =1×720+3×120+3×24+3×6+1×2+0×1=1172．x =1172是方程20111!2!3!10!11!x x x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦的唯一正整数解． 解2：设f (x )=1!2!3!10!11!x x x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，因为对于所有的正整数k ，!x k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦都是单调增的，其和f (x )就是增函数；又因为对于正整数x ，11!x +⎡⎤⎢⎥⎣⎦=1!x ⎡⎤⎢⎥⎣⎦+1，所以f (x )是严格单调的．经估数，将x =1172带入，求f (1172)的值，得f (1172)=2011，所以，x =1172是方程20111!2!3!10!11!x x x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦的唯一正整数解．四、（满分15分）平面上的n 个点，若其中任3个点中必有2个点的距离不大于1，则称这样的n 个点为“标准n 点组”．要使一个半径为1的圆纸片，对任意“标准n 点组”都能至少盖住其中的25个点，试求n 的最小值． 答案：49．解：首先证明，n min ＞48．在平面上画长为5的线段AB ，分别以A 、B 为圆心，画半径为0.5的两个圆，在每一个圆内，取24个点，则平面上有48个点满足题设条件（其中任意3点中必有2点的距离不大于1），显然，不可能画出一个半径为1的圆，其包含有25个所选的点，所以n ＞48．下面证明n min =49．若49=n ，设A 是其中的一点，作以A 为圆心半径为1的⊙A ，若所有的点都在圆A 中，那么就满足题设条件．若不是所有的点都在圆A 中，则至少有一点B 不在圆A 中，再作以B 为圆心、半径为1的⊙B ，则A 、B 的距离大于1（如右图），除A ，B 外，余下的47个点中每一点P 都与A 、B 组成3点组，必有两个点的距离不大于1，所以要么P A ≤1，要么PB ≤1，即 点P 要么在⊙A 中，要么在⊙B 中，根据抽屉原理，必有一个圆至少包含了这47个点中的24个点，不妨设这个圆就是⊙A ，再加上圆心A 点，就有不少于25个点在这个半径为1的⊙A 中(圆内或圆周上)．所以n 的最小值是49．五、（满分15分）已知函数f ：R →R ，使得对任意实数x y z ，，都有11()()()()22f xy f xz f x f yz +-≥14， 求[1×f (1)]+[2×f (2)]+[3×f (3)]+…+[2011×f (2011)]的值．其中对于实数a ，[a ]表示不超过a 的最大整数．解：由于已知函数f R R →：，使得对任意实数x y z ，，都满足11()()()()22f xy f xz f x f yz +-≥14，可令0x y z ===，有 ()211(0)(0)(0)22f f f +-≥14，即21(0)2f ⎛⎫- ⎪⎝⎭≤0， 由于f (0)是一个实数，所以1(0).2f =再令1x y z ===，有()211(1)(1)(1)22f f f +-≥14，即21(1)2f ⎛⎫- ⎪⎝⎭≤0， 由于f (1)是一个实数，所以1(1).2f =又令0y z ==，有11(0)(0)()(0)22f f f x f +-≥14，代入1(0)2f =得对任意实数x ，都有()f x ≤12． ①又令1y z ==，有11()()()(1)22f x f x f x f +-≥14，代入1(1)2f =得对任意实数x ，都有()f x ≥12． ②综合①、②可得，对任意实数x ，都有1()2f x =．验证：函数1()2f x =满足题设条件，取的是等号，所以满足题设条件的函数的唯一解为1()2f x =．于是[][][][]1(1)2(2)3(3)2011(2011)f ff f ⨯+⨯+⨯++⨯ 1234201122222⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦011223310051005=+++++++++()21231005=⨯++++(11005)1005=+⨯1011030=．。
08年中考数学真题及答案
2008年北京市高级中等学校招生考试数 学 试 卷下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．用铅笔把“机读答题卡”上对应题目答案的相应字母处涂黑．1．6-的绝对值等于（ ）A ．6B ．16C ．16- D ．6- 2．截止到2008年5月19日，已有21 600名中外记者成为北京奥运会的注册记者，创历届奥运会之最．将21 600用科学记数法表示应为（ ）A ．50.21610⨯B ．321.610⨯C ．32.1610⨯D ．42.1610⨯3．若两圆的半径分别是1cm 和5cm ，圆心距为6cm ，则这两圆的位置关系是（ ）A ．内切B ．相交C ．外切D ．外离4．众志成城，抗震救灾．某小组7名同学积极捐出自己的零花钱支援灾区，他们捐款的数额分别是（单位：元）：50，20，50，30，50，25，135．这组数据的众数和中位数分别是（ ）A ．50，20B ．50，30C ．50，50D ．135，505．若一个多边形的内角和等于720，则这个多边形的边数是（ ）A ．5B ．6C ．7D ．86．如图，有5张形状、大小、质地均相同的卡片，正面分别印有北京奥运会的会徽、吉祥物（福娃）、火炬和奖牌等四种不同的图案，背面完全相同．现将这5张卡片洗匀后正面向下放在桌子上，从中随机抽取一张，抽出的卡片正面图案恰好是吉祥物（福娃）的概率是（ ）A ．15B ．25C ．12D ．357．若20x +=，则xy 的值为（ ）A ．8-B ．6-C ．5D ．68．已知O 为圆锥的顶点，M 为圆锥底面上一点，点P 在OM 上．一只蜗牛从P 点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P 点时所爬过的最短路线的痕迹如右图所示．若沿OM 将圆锥侧面剪开并展开，所得侧面展开图是（ ）2008年北京市高级中等学校招生考试数 学 试 卷二、填空题（共4道小题，每小题4分，共16分）9．在函数121y x =-中，自变量x 的取值范围是 ． 10．分解因式：32a ab -= ． 11．如图，在ABC △中，D E ，分别是AB AC ，的中点，若2cm DE =，则BC = cm ． 12．一组按规律排列的式子：2b a -，53b a ，83b a-，114b a ，…（0ab ≠），其中第7个式子是 ，第n 个式子是 （n 为正整数）．三、解答题（共5道小题，共25分）13．（本小题满分5分）1012sin 45(2)3-⎛⎫+-π- ⎪⎝⎭． 解：CAE DB OP M O M ' M P A ． O M ' M P B ． O M 'M P C ．O M ' M P D ．14．（本小题满分5分）解不等式5122(43)x x --≤，并把它的解集在数轴上表示出来．解：15．（本小题满分5分）已知：如图，C 为BE 上一点，点A D ，分别在BE 两侧．AB ED ∥，AB CE =，BC ED =．求证：AC CD =． 证明：16．（本小题满分5分）如图，已知直线3y kx =-经过点M ，求此直线与x 轴，y 轴的交点坐标．解：17．（本小题满分5分）已知30x y -=，求222()2x y x y x xy y +--+的值． 解：四、解答题（共2道小题，共10分）18．（本小题满分5分）如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，AB AC ⊥，45B ∠=，AD =BC =求DC 的长．解： A C E D B y xA D19．（本小题满分5分）已知：如图，在Rt ABC △中，90C ∠=，点O 在AB 上，以O 为圆心，OA 长为半径的圆与AC AB ，分别交于点D E ，，且CBD A ∠=∠．（1）判断直线BD 与O（2）若:8:5AD AO =，2BC =，求解：（1）（2）五、解答题（本题满分6分）20．为减少环境污染，自2008年6月1日起，全国的商品零售场所开始实行“塑料购物袋有偿使用制度”（以下简称“限塑令”）．某班同学于6月上旬的一天，在某超市门口采用问卷调查的方式，随机调查了“限塑令”实施前后，顾客在该超市用购物袋的情况，以下是根据100位顾客的100份有效答卷画出的统计图表的一部分：B 图1 “限塑令”实施前，平均一次购物使用不同数量塑料购物袋的人“限塑令”实施后，使用各种 购物袋的人数分布统计图 其它 _______％ 24%（1）补全图1，“限塑令”实施前，如果每天约有2 000人次到该超市购物．根据这100位顾客平均一次购物使用塑料购物袋的平均数，估计这个超市每天需要为顾客提供多少个塑料购物袋？（2）补全图2，并根据统计图和统计表说明，购物时怎样选用购物袋，塑料购物袋使用后怎样处理，能对环境保护带来积极的影响．解：（1）（2）六、解答题（共2道小题，共9分）21．（本小题满分5分）列方程或方程组解应用题：京津城际铁路将于2008年8月1日开通运营，预计高速列车在北京、天津间单程直达运行时间为半小时．某次试车时，试验列车由北京到天津的行驶时间比预计时间多用了6分钟，由天津返回北京的行驶时间与预计时间相同．如果这次试车时，由天津返回北京比去天津时平均每小时多行驶40千米，那么这次试车时由北京到天津的平均速度是每小时多少千米？解：22．（本小题满分4分）已知等边三角形纸片ABC的边长为8，D为AB边上的点，过点D作DG BC∥交AC于点G．DE BC⊥于点E，过点G作GF BC⊥于点F，把三角形纸片ABC 分别沿DG DE GF，，按图1所示方式折叠，点A B C，，分别落在点A'，B'，C'处．若点A'，B'，C'在矩形DEFG内或其边上，且互不重合，此时我们称A B C'''△（1）若把三角形纸片ABC放在等边三角形网格中（图中每个小三角形都是边长为1的等边三角形），点A B C D，，，恰好落在网格图中的格点上．如图2所示，请直接写出此时重叠三角形A B C'''的面积；（2）实验探究：设AD的长为m，若重叠三角形A B C'''存在．试用含m的代数式表示重叠三角形A B C'''的面积，并写出m的取值范围（直接写出结果，备用图供实验，探究使用）．图1图2A A解：（1）重叠三角形A B C '''的面积为 ；（2）用含m 的代数式表示重叠三角形A B C '''的面积为 ；m 的取值范围为 ．七、解答题（本题满分7分）23．已知：关于x 的一元二次方程2(32)220(0)mx m x m m -+++=>．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两个实数根分别为1x ，2x （其中12x x <）．若y 是关于m 的函数，且212y x x =-，求这个函数的解析式；（3）在（2）的条件下，结合函数的图象回答：当自变量m 的取值范围满足什么条件时，2y m ≤．（1）证明：（2）解：（3八、解答题（本题满分7分）24．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于A B ，两点（点A在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，点B 的坐标为(30)，，将直线y kx =沿y 轴向上平移3个单位长度后恰好经过B C ，两点．（1）求直线BC 及抛物线的解析式；x（2）设抛物线的顶点为D ，点P 在抛物线的对称轴上，且APD ACB ∠=∠，求点P 的坐标；（3）连结CD ，求OCA ∠与OCD ∠解：（1）（2）（3）九、解答题（本题满分8分）25．请阅读下列材料：问题：如图1，在菱形ABCD 和菱形BEFG 中，点A B E ，，在同一条直线上，P 是线段DF 的中点，连结PG PC ，．若60ABC BEF ∠=∠=，探究PG 与PC 的位置关系及PG PC的值． 小聪同学的思路是：延长GP 交DC 于点H ，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：（1）写出上面问题中线段PG 与PC 的位置关系及PG PC的值； （2）将图1中的菱形BEFG 绕点B 顺时针旋转，使菱形BEFG 的对角线BF 恰好与菱形ABCD 的边AB 在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）．你在（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明． x D A B E F C P G 图1 D C G P A B F 图2（3）若图1中2(090)ABC BEFαα∠=∠=<<，将菱形BEFG绕点B顺时针旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，请你直接写出PGPC的值（用含α的式子表示）．解：（1）线段PG与PC的位置关系是；PGPC=．（2）2008年北京市高级中等学校招生考试数学试卷答案及评分参考阅卷须知：1．一律用红钢笔或红圆珠笔批阅，按要求签名．2．第Ⅰ卷是选择题，机读阅卷．3．第Ⅱ卷包括填空题和解答题．为了阅卷方便，解答题中的推导步骤写得较为详细，考生只要写明主要过程即可．若考生的解法与本解法不同，正确者可参照评分参考给分．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．第Ⅰ卷（机读卷共32分）第Ⅱ卷（非机读卷共88分）13．（本小题满分5分）112sin45(2π)3-⎛⎫+-- ⎪⎝⎭2132=⨯+-········································································· 4分2=． ····················································································· 5分14．（本小题满分5分）解：去括号，得51286x x --≤． ························································ 1分 移项，得58612x x --+≤． ······························································· 2分 合并，得36x -≤． ·········································································· 3分 系数化为1，得2x -≥． ··································································· 4分···································································································· 5分15．（本小题满分5分）证明：AB ED ∥，B E ∴∠=∠． ·················································································· 2分 在ABC △和CED △中，AB CE B E BC ED =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，， ABC CED ∴△≌△．········································································· 4分 AC CD ∴=． ·················································································· 5分 16．（本小题满分5分）解：由图象可知，点(21)M -，在直线3y kx =-上， ·································· 1分 231k ∴--=．解得2k =-． ·················································································· 2分 ∴直线的解析式为23y x =--． ······································································· 3分令0y =，可得32x =-． ∴直线与x 轴的交点坐标为302⎛⎫- ⎪⎝⎭，． ··················································· 4分 令0x =，可得3y =-．∴直线与y 轴的交点坐标为(03)-，． ···················································· 5分17．（本小题满分5分）解：222()2x y x y x xy y+--+ 22()()x y x y x y +=-- ·············································································· 2分2x y x y +=-． ····················································································· 3分 当30x y -=时，3x y =． ·································································· 4分 原式677322y y y y y y +===-． ··································································· 5分 四、解答题（共2道小题，共10分）18．（本小题满分5分）解法一：如图1，分别过点A D ，作AE BC ⊥于点E ，DF BC ⊥于点F ． ······························· 1分 ∴AE DF ∥．又AD BC ∥，∴四边形AEFD 是矩形．EF AD ∴==． ································ 2分 AB AC ⊥，45B ∠=，BC =AB AC ∴=．12AE EC BC ∴===DF AE ∴==CF EC EF =-=········································································· 4分在Rt DFC △中，90DFC ∠=，DC ∴=== ······································ 5分 解法二：如图2，过点D 作DF AB ∥，分别交AC BC ，于点E F ，． ·········· 1分AB AC ⊥，90AED BAC ∴∠=∠=． AD BC ∥， 18045DAE B BAC ∴∠=-∠-∠=． 在Rt ABC △中，90BAC ∠=，45B ∠=，BC =sin 454242AC BC ∴=== ························································ 2分 在Rt ADE △中，90AED ∠=，45DAE ∠=，AD =AB CD F E2 A B C D F E 图11DE AE ∴==．3CE AC AE ∴=-=． ······································································· 4分 在Rt DEC △中，90CED ∠=，DC ∴===． ················································· 5分 19． （本小题满分5分）解：（1）直线BD 与O 相切． ························································· 1分证明：如图1，连结OD ．OA OD =，A ADO ∴∠=∠．90C ∠=，CBD ∴∠+∠又CBD A ∠=∠，90ADO CDB ∴∠+∠=．90ODB ∴∠=． ∴直线BD 与O 相切． ···································································· 2分（2）解法一：如图1，连结DE ．AE 是O 的直径， 90ADE ∴∠=．:8:5AD AO =，4cos 5AD A AE ∴==． ·········································································· 3分 90C ∠=，CBD A ∠=∠，4cos 5BC CBD BD ∴∠==． ···································································· 4分 2BC =， 52BD ∴=． ·························································· 5分 解法二：如图2，过点O 作OH AD ⊥于点H ． 12A H D H A D ∴==． :8:5AD AO =， 4cos 5AH A AO ∴==．················· 3分 90C ∠=，CBD A ∠=∠， 4cos 5BC CBD BD ∴∠==． ························2BC =，BB52BD ∴=． ···················································································· 5分 五、解答题（本题满分6分）解：（1）补全图1见下图． ······························································ 1分913723100100⨯+⨯+==（个）． 这100位顾客平均一次购物使用塑料购物袋的平均数为3个． ·················· 3分200036000⨯=．估计这个超市每天需要为顾客提供6000个塑料购物袋． ·························· 4分（2）图2中，使用收费塑料购物袋的人数所占百分比为25%． ················· 5分 根据图表回答正确给1分，例如：由图2和统计表可知，购物时应尽量使用自备袋和押金式环保袋，少用塑料购物袋；塑料购物袋应尽量循环使用，以便减少塑料购物袋的使用量，为环保做贡献． ··················································· 6分六、解答题（共2道小题，共9分）21．解：设这次试车时，由北京到天津的平均速度是每小时x 千米，则由天津返回北京的平均速度是每小时(40)x +千米． ············································ 1分依题意，得3061(40)602x x +=+． ························································ 3分 解得200x =． ················································································· 4分 答：这次试车时，由北京到天津的平均速度是每小时200千米． ··············· 5分 22．解：（1）重叠三角形A B C '''． ···································· 1分（2）用含m 的代数式表示重叠三角形A B C '''2)m -； ··········· 2分m 的取值范围为843m <≤． ······························································ 4分 七、解答题（本题满分7分）23．（1）证明：2(32)220mx m x m -+++=是关于x 的一元二次方程，222[(32)]4(22)44(2)m m m m m m ∴∆=-+-+=++=+．当0m >时，2(2)0m +>，即0∆>．∴方程有两个不相等的实数根． ·························································· 2分 图1 塑料袋数／个 “限塑令”实施前，平均一次购物使用不同数量塑料购物袋的人（2）解：由求根公式，得(32)(2)2m m x m+±+=． 22m x m+∴=或1x =． ······································································· 3分 0m >，222(1)1m m m m++∴=>． 12x x <，11x ∴=，222m x m+=． ····································································· 4分 21222221m y x x m m+∴=-=-⨯=． 即2(0)y m m =>为所求． ·····（32(0)y m m =>与2(y m m => ·······································由图象可得，当1m ≥时，y ≤八、解答题（本题满分24．解：（1）y kx =沿y 轴向上平移3个单位长度后经过y 轴上的点C ，(03)C ∴，．设直线BC 的解析式为3y kx =+．(30)B ，在直线BC 上，330k ∴+=．解得1k =-．∴直线BC 的解析式为3y x =-+． ······················································· 1分抛物线2y x bx c =++过点B C ，，9303b c c ++=⎧∴⎨=⎩，．解得43b c =-⎧⎨=⎩，． ∴抛物线的解析式为243y x x =-+． ··················································· 2分 x 0)（2）由24y x x =-+可得(21)(1D A -，，3OB ∴=，3OC =，1OA =可得OBC △45OBC ∴∠=，CB =如图1，设抛物线对称轴与x 112AF AB ∴==过点A 作AE BC ⊥于点E ．90AEB ∴∠=． 可得BE AE ==CE =在AEC △与AFP △中，90AEC AFP ∠=∠=，ACE APF ∠=∠，AEC AFP ∴△∽△．AE CE AF PF∴=，1PF =． 解得2PF =．点P 在抛物线的对称轴上，∴点P 的坐标为(22)，或(22)-，． ························································· 5分（3）解法一：如图2，作点(10)A ，关于y 轴的对称点A '，则(10)A '-，． 连结A C A D ''，，可得A C AC '==OCA '∠=由勾股定理可得220CD =，2A D '又210A C '=， 222A D A C CD ''∴+=． A DC '∴△是等腰直角三角形，CA '∠45DCA '∴∠=． 45OCA OCD '∴∠+∠=．45OCA OCD ∴∠+∠=．x图1 x图2即OCA∠与OCD∠两角和的度数为45．·············································· 7分解法二：如图3同解法一可得CD=在Rt DBF△中，90DFB∠=DB∴==在CBD△和COA△1DBAO==3BCOC==DB BC CDAO OC CA∴==．CBD COA∴△∽△．BCD OCA∴∠=∠．45OCB∠=，45OCA OCD∴∠+∠=．即OCA∠与OCD∠两角和的度数为45．·············································· 7分九、解答题（本题满分8分）25．解：（1）线段PG与PC的位置关系是PG PC⊥；PGPC= ···················································································· 2分（2）猜想：（1）中的结论没有发生变化．证明：如图，延长GP交AD于点H，连结CH CG，．P是线段DF的中点，FP DP∴=．由题意可知AD FG∥．GFP HDP∴∠=∠．GPF HPD∠=∠，GFP HDP∴△≌△．GP HP∴=，GF HD=．四边形ABCD是菱形，CD CB∴=，60HDC ABC∠=∠=．由60ABC BEF∠=∠=，且菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上，可得60GBC∠=．xD CGPA BEFH。
2008全国高中数学联赛一试试题
2008年全国高中数学联合竞赛一试 试题参考答案及评分标准（A 卷）说明：1．评阅试卷时，请依据本评分标准．选择题只设6分和0分两档，填空题只设9分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次．2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中5分为一个档次，不要增加其他中间档次．一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1．函数254()2x x f x x-+=-在(,2)-∞上的最小值是 （ C ）A ．0B ．1C ．2D ．3[解] 当2x <时，20x ->，因此21(44)1()(2)22x x f x x x x +-+==+---2≥2=，当且仅当122x x=--时上式取等号．而此方程有解1(,2)x =∈-∞，因此()f x 在(,2)-∞上的最小值为2．2．设[2,4)A =-，2{40}B x x ax =--≤，若B A ⊆，则实数a 的取值范围为 （ D ） A ．[1,2)- B ．[1,2]- C ．[0,3] D ．[0,3) [解] 因240x ax --=有两个实根12a x =22a x =故B A ⊆等价于12x ≥-且24x <，即22a -且42a ， 解之得03a ≤<．3．甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为23，乙在每局中获胜的概率为13，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数ξ的期望E ξ为 （ B ） A. 24181 B. 26681 C. 27481 D. 670243[解法一] 依题意知，ξ的所有可能值为2，4，6.设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为22215()()339+=．若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响．从而有 5(2)9P ξ==，4520(4)()()9981P ξ===，2416(6)()981P ξ===，故520162662469818181E ξ=⨯+⨯+⨯=．[解法二] 依题意知，ξ的所有可能值为2，4，6.令k A 表示甲在第k 局比赛中获胜，则k A 表示乙在第k 局比赛中获胜． 由独立性与互不相容性得12125(2)()()9P P A A P A A ξ==+=， 1234123412341234(4)()()()()P P A A A A P A A A A P A A A A P A A A A ξ==+++332112202[()()()()]333381=+=，1234123412341234(6)()()()()P P A A A A P A A A A P A A A A P A A A A ξ==+++2221164()()3381==，故520162662469818181E ξ=⨯+⨯+⨯=．4．若三个棱长均为整数（单位：cm ）的正方体的表面积之和为564 cm 2，则这三个正方体的体积之和为 （ A ） A. 764 cm 3或586 cm 3 B. 764 cm 3 C. 586 cm 3或564 cm 3 D. 586 cm 3[解] 设这三个正方体的棱长分别为,,a b c ，则有()2226564a b c ++=，22294a b c ++=，不妨设110a b c ≤≤≤<，从而2222394c a b c ≥++=，231c >．故610c ≤<．c 只能取9，8，7，6．若9c =，则22294913a b +=-=，易知2a =，3b =，得一组解(,,)(2,3,9)a b c =．若8c =，则22946430a b +=-=，5b ≤．但2230b ≥，4b ≥，从而4b =或5．若5b =，则25a =无解，若4b =，则214a =无解．此时无解．若7c =，则22944945a b +=-=，有唯一解3a =，6b =．若6c =，则22943658a b +=-=，此时222258b a b ≥+=，229b ≥．故6b ≥，但6b c ≤=，故6b =，此时2583622a =-=无解．综上，共有两组解2,3,9a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩或3,6,7.a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩体积为3331239764V =++=cm 3或3332367586V =++=cm 3．5．方程组0,0,0x y z xyz z xy yz xz y ++=⎧⎪+=⎨⎪+++=⎩的有理数解(,,)x y z 的个数为 （ B ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4[解] 若0z =，则00.x y xy y +=⎧⎨+=⎩，解得00x y =⎧⎨=⎩，或11.x y =-⎧⎨=⎩，若0z ≠，则由0xyz z +=得1xy =-． ① 由0x y z ++=得z x y =--． ②将②代入0xy yz xz y +++=得220x y xy y ++-=． ③ 由①得1x y=-，代入③化简得3(1)(1)0y y y ---=. 易知310y y --=无有理数根，故1y =，由①得1x =-，由②得0z =，与0z ≠矛盾，故该方程组共有两组有理数解0,0,0x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩或1,1,0.x y z =-⎧⎪=⎨⎪=⎩ 6．设ABC ∆的内角A B C ,,所对的边,,a b c 成等比数列，则sin cot cos sin cot cos A C AB C B++的取值范围是（ C ）A. (0,)+∞B.C.D. )+∞[解] 设,,a b c 的公比为q ，则2,b aq c aq ==，而sin cot cos sin cos cos sin sin cot cos sin cos cos sin A C A A C A CB C B B C B C++=++ s i n ()s i n ()s i ns i n ()s i n ()s i nA CB B b q BC A A a ππ+-=====+-． 因此，只需求q 的取值范围．因,,a b c 成等比数列，最大边只能是a 或c ，因此,,a b c 要构成三角形的三边，必需且只需a b c +>且b c a +>．即有不等式组22,a aq aq aq aq a ⎧+>⎪⎨+>⎪⎩即2210,10.q q q q ⎧--<⎪⎨+->⎪⎩解得q q q <<⎨⎪><⎪⎩从而1122q <<，因此所求的取值范围是． 二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7．设()f x ax b =+，其中,a b 为实数，1()()f x f x =，1()(())n n f x f f x +=，1,2,3,n = ，若7()128381f x x =+，则a b += 5 .[解] 由题意知12()(1)n n n n f x a x a a a b --=+++++11n na a xb a -=+⋅-，由7()128381f x x =+得7128a =，713811a b a -⋅=-，因此2a =，3b =，5a b +=．8．设()cos 22(1cos )f x x a x =-+的最小值为12-，则a=[解] 2()2cos 122cos f x x a a x =---2212(cos )2122a x a a =----，(1) 2a >时，()f x 当cos 1x =时取最小值14a -； (2) 2a <-时，()f x 当cos 1x =-时取最小值1； (3) 22a -≤≤时，()f x 当cos 2a x =时取最小值21212a a ---． 又2a >或2a <-时，()f x 的最小值不能为12-，故2112122a a ---=-，解得2a =-2a =-舍去)．9．将24个志愿者名额分配给3个学校，则每校至少有一个名额且各校名额互不相同的分配方法共有 222 种．[解法一] 用4条棍子间的空隙代表3个学校，而用*表示名额．如||||********表示第一、二、三个学校分别有4，18，2个名额．若把每个“*”与每个“|”都视为一个位置，由于左右两端必须是“｜”，故不同的分配方法相当于24226+=个位置（两端不在内）被2个“｜”占领的一种“占位法”．“每校至少有一个名额的分法”相当于在24个“*”之间的23个空隙中选出2个空隙插入“｜”，故有223C 253=种． 又在“每校至少有一个名额的分法”中“至少有两个学校的名额数相同”的分配方法有31种．综上知，满足条件的分配方法共有253－31＝222种．[解法二] 设分配给3个学校的名额数分别为123,,x x x ，则每校至少有一个名额的分法数为不定方程12324x x x ++=．的正整数解的个数，即方程12321x x x ++=的非负整数解的个数，它等于3个不同元素中取21个元素的可重组合：2121232323H C C 253===．又在“每校至少有一个名额的分法”中“至少有两个学校的名额数相同”的分配方法有31种．综上知，满足条件的分配方法共有253－31＝222种． 10．设数列{}n a 的前n 项和n S 满足：1(1)n n n S a n n -+=+，1,2,n = ，则通项n a =112(1)n n n -+．[解] 1111(1)(2)(1)n n n n n n n a S S a a n n n n +++-=-=--++++，即 2n n a n n n n n n a ++++-++-+=+)1(111)2)(1(221=)1(1)2)(1(2+++++-n n a n n n ， 由此得 2)1(1))2)(1(1(1++=++++n n a n n a n n ． 令1(1)n n b a n n =++，111122b a =+= (10a =)，有112n n b b +=，故12n n b =，所以)1(121+-=n n a n n ．11．设()f x 是定义在R 上的函数，若(0)2008f = ，且对任意x ∈R ，满足 (2)()32x f x f x +-≤⋅，(6)()632x f x f x +-≥⋅，则)2008(f =200822007+．[解法一] 由题设条件知答12图1(2)()((4)(2))((6)(4))((6)())f x f x f x f x f x f x f x f x +-=-+-+-+-+++-24323263232x x x x ++≥-⋅-⋅+⋅=⋅， 因此有(2)()32x f x f x +-=⋅，故(2008)(2008)(2006)(2006)(2004)(2)(0)(0)f f f f f f f f =-+-++-+2006200423(2221)(0)f =⋅+++++ 10031413(0)41f +-=⋅+- 200822007=+． [解法二] 令()()2x g x f x =-，则2(2)()(2)()2232320x x x x g x g x f x f x ++-=+--+≤⋅-⋅=，6(6)()(6)()226326320x x x x g x g x f x f x ++-=+--+≥⋅-⋅=，即(2)(),(6)()g x g x g x g x +≤+≥，故()(6)(4)(2)()g x g x g x g x g x ≤+≤+≤+≤， 得()g x 是周期为2的周期函数，所以200820082008(2008)(2008)2(0)222007f g g =+=+=+．12．一个半径为1的小球在一个内壁棱长为[解] 如答12图1，考虑小球挤在一个角时的情况，记小球半径为r ，作平面111A B C //平面ABC ，与小球相切于点D ，则小球球心O 为正四面体111P A B C -的中心，111PO A B C ⊥面，垂足D 为111A B C 的中心．因11111113P A B C A B C V S PD -∆=⋅1114O A B C V -=⋅111143A B C S OD ∆=⋅⋅⋅，故44PD OD r ==，从而43PO PD OD r r r =-=-=．记此时小球与面PAB 的切点为1P ，连接1OP ，则2211PP PO OP =-=． 考虑小球与正四面体的一个面(不妨取为PAB )相切时的情况，易知小球在面PAB 上最靠近边的切点的轨迹仍为正三角形，记为1PEF ，如答12图2．记正四面体答13图答12图2的棱长为a ，过1P 作1PM PA ⊥于M ． 因16MPP π∠=，有11cos PM PP MPP =⋅==，故小三角形的边长12P E P AP M r=-=． 小球与面PAB 不能接触到的部分的面积为（如答12图2中阴影部分）1PAB P EF S S ∆∆-22())a a =--2=-． 又1r =，a =1PAB P EF S S ∆∆-==．由对称性，且正四面体共4个面，所以小球不能接触到的容器内壁的面积共为 三、解答题（本题满分60分，每小题20分）13．已知函数|sin |)(x x f =的图像与直线y kx = )0(>k 有且仅有三个交点，交点的横坐标的最大值为α，求证：2cos 1sin sin 34ααααα+=+． [证] ()f x 的图象与直线y kx =)0(>k 的三个交点如答13图所示，且在3(,)2ππ内相切，其切点为(,sin )A αα-，3(,)2παπ∈． …5分由于()cos f x x '=-，3(,)2x ππ∈，所以sin cos ααα-=-，即tan αα=． …10分 因此cos cos sin sin 32sin 2cos αααααα=+ 14sin cos αα=…15分22cos sin 4sin cos αααα+=21tan 4tan αα+=214αα+=． …20分 14．解不等式121086422log (3531)1log (1)x x x x x ++++<++．[解法一] 由44221log (1)log (22)x x ++=+，且2log y 在(0,)+∞上为增函数，故原不等式等价于1210864353122x x x x x ++++>+．即 1210864353210x x x x x +++-->． …5分 分组分解 12108x x x +- 1086222x x x ++- 864444x x x ++- 642x x x ++- 4210x x ++->，864242(241)(1)0x x x x x x +++++->， …10分所以 4210x x +->，2211(022x x ---->． …15分所以2x >，即x <x >故原不等式解集为(,)-∞+∞ ． …20分 [解法二] 由44221log (1)log (22)x x ++=+，且2log y 在(0,)+∞上为增函数，故原不等式等价于1210864353122x x x x x ++++>+． …5分即6422232262133122(1)2(1)x x x x x x x x+<+++++=+++， )1(2)1()1(2)1(232232+++<+x x xx ， …10分 令3()2g t t t =+，则不等式为221()(1)g g x x<+， 显然3()2g t t t =+在R 上为增函数，由此上面不等式等价于题15图2211x x<+， …15分 即222()10x x +->，解得2x >(2x <舍去)，故原不等式解集为(,)-∞+∞ ． …20分 15．如题15图，P 是抛物线22y x =上的动点，点B C ,在y 轴上，圆22(1)1x y -+=内切于PBC ∆，求PBC ∆面积的最小值．[解] 设00(,),(0,),(0,)P x y B b C c ，不妨设b c >．直线PB 的方程:00y by b x x --=， 化简得 000()0y b x x y x b --+=．又圆心(1,0)到PB 的距离为1，1= ， …5分故22222000000()()2()y b x y b x b y b x b -+=-+-+，易知02x >，上式化简得2000(2)20x b y b x -+-=，同理有2000(2)20x c y c x -+-=． …10分 所以0022y b c x -+=-，002x bc x -=-，则22200020448()(2)x y x b c x +--=-． 因00(,)P x y 是抛物线上的点，有2002y x =，则22204()(2)x b c x -=-，0022x b c x -=-． …15分 所以00000014()(2)4222PBC x S b c x x x x x ∆=-⋅=⋅=-++--48≥+=．当20(2)4x -=时，上式取等号，此时004,x y ==±因此PBC S ∆的最小值为8． …20分。
2008年全国高中数学联合竞赛试题及解答.(B卷)
2008年全国高中数学联合竞赛（B 卷）一试一、选择题：本大题共6个小题，每小题6分，共36分。
2008B1、函数xx x x f -+-=245)(2在)2,(-∞上的最小值为（）A.3B.2C.1D.0◆答案：B★解析：当2x <时，20x ->，因此21(44)1()(2)x x f x x +-+==+---2≥2=，当且仅当122x x=--时上式取等号．而此方程有解1(,2)x =∈-∞，因此()f x 在(,2)-∞上的最小值为2．2008B 2、设)4,2[-=A ,{}04|2≤--=ax x x B ，若A B ⊆,则实数a 的取值范围为（）A.)3,0[B.]3,0[C.)2,1[-D.]2,1[-◆答案：B★解析：因240x ax --=有两个实根12a x =-，22a x =+故B A ⊆等价于12x ≥-且24x <，即22a ≥-且42a <，解之得03a ≤<．2008B 3、甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止.设甲在每局中获胜的概率为32，乙在每局中获胜的概率为31，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数ξ的数学期望是（）A.243670B.81274 C.81266 D.81241◆答案：C★解析：[解法一]依题意知，ξ的所有可能值为2，4，6.设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为22215()()339+=．若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响．从而有5(2)9P ξ==，4520(4)()()9981P ξ===，2416(6)()981P ξ===，故520162662469818181E ξ=⨯+⨯+⨯=．[解法二]依题意知，ξ的所有可能值为2，4，6.令k A 表示甲在第k 局比赛中获胜，则k A 表示乙在第k 局比赛中获胜．由独立性与互不相容性得12125(2)()()9P P A A P A A ξ==+=，1234123412341234(4)()()()()P P A A A A P A A A A P A A A A P A A A A ξ==+++332112202[()()()(333381=+=，1234123412341234(6)()()()()P P A A A A P A A A A P A A A A P A A A A ξ==+++2221164()(3381==，故52016266246E ξ=⨯+⨯+⨯=．2008B 4、若三个棱长均为整数（单位：cm ）的正方体的表面积之和为5642cm ，则这三个正方体的体积之和为（）A.5863cmB.5643cm 或5863cmC.7643cmD.7643cm 或5863cm◆答案：D★解析：设这三个正方体的棱长分别为,,a b c ，则有()2226564a b c ++=，22294a b c ++=，不妨设110a b c ≤≤≤<，从而2222394c a b c ≥++=，231c >．故610c ≤<．c 只能取9，8，7，6．若9c =，则22294913a b +=-=，易知2a =，3b =，得一组解(,,)(2,3,9)a b c =．若8c =，则22946430a b +=-=，5b ≤．但2230b ≥，4b ≥，从而4b =或5．若5b =，则25a =无解，若4b =，则214a =无解．此时无解．若7c =，则22944945a b +=-=，有唯一解3a =，6b =．若6c =，则22943658a b +=-=，此时222258b a b ≥+=，229b ≥．故6b ≥，但6b c ≤=，故6b =，此时2583622a =-=无解．综上，共有两组解2,3,9a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩或3,6,7.a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩体积为3331239764V =++=cm 3或3332367586V =++=cm 3．2008B 5、方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+=++000y xz yz xy z xyz z y x 的有理数解),,(z y x 的个数为（）A.4B.3C.2D.1◆答案：C★解析：若0z =，则00.x y xy y +=⎧⎨+=⎩，解得00x y =⎧⎨=⎩，或11.x y =-⎧⎨=⎩，若0z ≠，则由0xyz z +=得1xy =-．①由0x y z ++=得z x y =--．②将②代入0xy yz xz y +++=得220x y xy y ++-=．③由①得1x y=-，代入③化简得3(1)(1)0y y y ---=.易知310y y --=无有理数根，故1y =，由①得1x =-，由②得0z =，与0z ≠矛盾，故该方程组共有两组有理数解0,0,0x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩或1,1,0.x y z =-⎧⎪=⎨⎪=⎩2008B 6、设ABC ∆D 的内角C B A ,,所对的边c b a ,,成等比数列，则BC B AC A cos cot sin cos cot sin ++的取值范围为（）A.),215(+∞- B.)215,215(+- C.)215,0(+ D.),0(+∞◆答案：B★解析：设,,a b c 的公比为q ，则2,b aq c aq ==，而sin cot cos sin cos cos sin sin cot cos sin cos cos sin A C A A C A C B C B B C B C ++=++sin()sin()sin sin()sin()sin A C B B bq B C A A aππ+-=====+-．因此，只需求q 的取值范围．因,,a b c 成等比数列，最大边只能是a 或c ，因此,,a b c 要构成三角形的三边，必需且只需a b c +>且b c a +>．即有不等式组22,a aq aq aq aq a ⎧+>⎪⎨+>⎪⎩即2210,10.q q q q ⎧--<⎪⎨+->⎪⎩,解得1551,225151.q q q ⎧-<<⎪⎪⎨⎪><-⎪⎩或从而1122q -<<，因此所求的取值范围是11(22．二、填空题：本大题共6小题，每小题9分，共54分。
2008年全国高中数学联合竞赛一试试题(A卷)
2008年全国高中数学联合竞赛一试试题（A 卷）说明：1．评阅试卷时，请依据本评分标准．选择题只设6分和0分两档，填空题只设9分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次．2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中5分为一个档次，不要增加其他中间档次．一、选择题（本题满分36分，每小题6分） 1．函数254()2x x f x x-+=-在(,2)-∞上的最小值是 （ C ）A ．0B ．1C ．2D ．32．设[2,4)A =-，2{40}B x x ax =--≤，若B A ⊆，则实数a 的取值范围为 （ D ）A ．[1,2)-B ．[1,2]-C ．[0,3]D ．[0,3)3．甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为23，乙在每局中获胜的概率为13，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数ξ的期望E ξ为 （ B ） A.24181B.26681C.27481D.6702434．若三个棱长均为整数（单位：cm ）的正方体的表面积之和为564 cm 2，则这三个正方体的体积之和为（ A ）A. 764 cm 3或586 cm 3B. 764 cm 3C. 586 cm 3或564 cm 3D. 586 cm 35．方程组0,0,0x y z xyz z xy yz xz y ++=⎧⎪+=⎨⎪+++=⎩的有理数解(,,)x y z 的个数为 （ B ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6．设A B C ∆的内角A B C ,,所对的边,,a b c 成等比数列，则sin cot cos sin cot cos A C A B C B++的取值范围是（ C ）A. (0,)+∞B. 2C. 22D. )2+∞二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7．设()f x ax b =+，其中,a b 为实数，1()()f x f x =，1()(())n n f x f f x +=，1,2,3,n = ，若7()128381f x x =+，则a b += 5 .题15图8．设()cos 22(1cos )f x x a x =-+的最小值为12-，则a=9．将24个志愿者名额分配给3个学校，则每校至少有一个名额且各校名额互不相同的分配方法共有 222种．10．设数列{}n a 的前n 项和n S 满足：1(1)n n n S a n n -+=+，1,2,n = ，则通项n a =112(1)nn n -+．11．设()f x 是定义在R 上的函数，若(0)2008f = ，且对任意x ∈R ，满足(2)()32xf x f x +-≤⋅，(6)()632x f x f x +-≥⋅，则)2008(f =200822007+．12．一个半径为1的小球在一个内壁棱长为则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是．三、解答题（本题满分60分，每小题20分）13．已知函数|sin |)(x x f =的图像与直线y kx = )0(>k 有且仅有三个交点，交点的横坐标的最大值为α，求证： 2cos 1sin sin 34ααααα+=+．14．解不等式121086422log (3531)1log (1)xxx x x ++++<++．15．如题15图，P 是抛物线22y x =上的动点，点B C ,在y 轴上，圆22(1)1x y -+=内切于P B C ∆，求P B C ∆面积的最小值．2008年全国高中数学联合竞赛加试（A 卷）试题一、（本题满分50分）如题一图，给定凸四边形A B C D ，180B D ∠+∠< ，P 是平面上的动点，令()f P PA BC PD CA PC AB =⋅+⋅+⋅．（Ⅰ）求证：当()f P 达到最小值时，P A B C ,,,四点共圆； （Ⅱ）设E 是A B C ∆外接圆O 的 AB 上一点，满足：2A E A B=，1B C E C=，12E C B E C A ∠=∠，又,D A D C 是O的切线，AC =()f P 的最小值．二、（本题满分50分）设()f x 是周期函数，T 和1是()f x 的周期且01T <<．证明： （Ⅰ）若T 为有理数，则存在素数p ，使1p是()f x 的周期；（Ⅱ）若T 为无理数，则存在各项均为无理数的数列{}n a 满足110n n a a +>>> (1,2,)n =⋅⋅⋅，且每个(1,2,)na n =⋅⋅⋅都是()f x 的周期．三、（本题满分50分）设0k a >，1,2,,2008k = ．证明：当且仅当200811k k a =>∑时，存在数列{}n x 满足以下条件：（ⅰ）010n n x x x +=<<，1,2,3,n = ； （ⅱ）lim n n x →∞存在；（ⅲ）20082007111n n kn k k n k k k x x ax ax -+++==-=-∑∑，1,2,3,n = ．答一图12008年全国高中数学联合竞赛一试 试题参考答案及评分标准（A 卷）说明：1．评阅试卷时，请依据本评分标准．选择题只设6分和0分两档，填空题只设9分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次．2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中5分为一个档次，不要增加其他中间档次．1.[解] 当2x <时，20x ->，因此21(44)1()(2)22x x f x x xx+-+==+---2≥2=，当且仅当122x x=--时上式取等号．而此方程有解1(,2)x =∈-∞，因此()f x 在(,2)-∞上的最小值为2．2. [解] 因240x ax --=有两个实根12a x =-，22a x =+故B A ⊆等价于12x ≥-且24x <，即22a -≥-且42a +，解之得03a ≤<．3.[解法一] 依题意知，ξ的所有可能值为2，4，6.设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为 22215()()339+=．若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响．从而有 5(2)9P ξ==，4520(4)()()9981P ξ===， 2416(6)()981P ξ===， 故520162662469818181E ξ=⨯+⨯+⨯=．[解法二] 依题意知，ξ的所有可能值为2，4，6.令k A 表示甲在第k 局比赛中获胜，则k A 表示乙在第k 局比赛中获胜． 由独立性与互不相容性得12125(2)()()9P P A A P A A ξ==+=，1234123412341234(4)()()()()P P A A A A P A A A A P A A A A P A A A A ξ==+++332112202[()()()()]333381=+=，1234123412341234(6)()()()()P P A A A A P A A A A P A A A A P A A A A ξ==+++2221164()()3381==， 故520162662469818181E ξ=⨯+⨯+⨯=．4.[解] 设这三个正方体的棱长分别为,,a b c ，则有()2226564a b c ++=，22294a b c ++=，不妨设110a b c ≤≤≤<，从而2222394c a b c ≥++=，231c >．故610c ≤<．c 只能取9，8，7，6．若9c =，则22294913a b +=-=，易知2a =，3b =，得一组解(,,)(2,3,9)a b c =．若8c =，则22946430a b +=-=，5b ≤．但2230b ≥，4b ≥，从而4b =或5．若5b =，则25a =无解，若4b =，则214a =无解．此时无解．若7c =，则22944945a b +=-=，有唯一解3a =，6b =．若6c =，则22943658a b +=-=，此时222258b a b ≥+=，229b ≥．故6b ≥，但6b c ≤=，故6b =，此时2583622a =-=无解．综上，共有两组解2,3,9a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩或3,6,7.a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩体积为3331239764V =++=cm 3或3332367586V =++=cm 3．5.[解] 若0z =，则00.x y xy y +=⎧⎨+=⎩，解得00x y =⎧⎨=⎩，或11.x y =-⎧⎨=⎩，若0z ≠，则由0xyz z +=得1xy =-． ① 由0x y z ++=得z x y =--． ②将②代入0xy yz xz y +++=得220x y xy y ++-=． ③ 由①得1x y=-，代入③化简得3(1)(1)0y y y ---=.易知310y y --=无有理数根，故1y =，由①得1x =-，由②得0z =，与0z ≠矛盾，故该方程组共有两组有理数解0,0,0x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩或1,1,0.x y z =-⎧⎪=⎨⎪=⎩6.[解] 设,,a b c 的公比为q ，则2,b aq c aq ==，而sin cot cos sin cos cos sin sin cot cos sin cos cos sin A C A A C A C B C BB C B C++=++s i n ()s i n ()s i n s i n ()s i n ()s i nA CB B b q B CA A a ππ+-=====+-． 因此，只需求q 的取值范围．因,,a b c 成等比数列，最大边只能是a 或c ，因此,,a b c 要构成三角形的三边，必需且只需a b c +>且b c a +>．即有不等式组22,a aq aq aq aq a ⎧+>⎪⎨+>⎪⎩即2210,10.q q q q ⎧--<⎪⎨+->⎪⎩解得2211.22q q q <<⎪⎨⎪><-⎪⎩或22q <<，因此所求的取值范围是22．二、填空题7. [解] 由题意知12()(1)n n n n f x a x a a a b --=+++++11nna a xb a -=+⋅-， 由7()128381f x x =+得7128a =，713811a b a -⋅=-，因此2a =，3b =，5a b +=．8.[解] 2()2cos 122cos f x x a a x =--- 2212(cos )2122ax a a =----，(1) 2a >时，()f x 当cos 1x =时取最小值14a -； (2) 2a <-时，()f x 当cos 1x =-时取最小值1； (3) 22a -≤≤时，()f x 当cos 2a x =时取最小值21212a a ---．又2a >或2a <-时，()f x 的最小值不能为12-，故2112122a a ---=-，解得2a =-+2a =--舍去)．9. [解法一] 用4条棍子间的空隙代表3个学校，而用*表示名额．如||||********表示第一、二、三个学校分别有4，18，2个名额．若把每个“*”与每个“|”都视为一个位置，由于左右两端必须是“｜”，故不同的分配方法相当于24226+=个位置（两端不在内）被2个“｜”占领的一种“占位法”．“每校至少有一个名额的分法”相当于在24个“*”之间的23个空隙中选出2个空隙插入“｜”，故有223C 253=种． 又在“每校至少有一个名额的分法”中“至少有两个学校的名额数相同”的分配方法有31种． 综上知，满足条件的分配方法共有253－31＝222种．[解法二] 设分配给3个学校的名额数分别为123,,x x x ，则每校至少有一个名额的分法数为不定方程12324x x x ++=． 的正整数解的个数，即方程12321x x x ++=的非负整数解的个数，它等于3个不同元素中取21个元素的可重组合：2121232323H C C 253===．又在“每校至少有一个名额的分法”中“至少有两个学校的名额数相同”的分配方法有31种． 综上知，满足条件的分配方法共有253－31＝222种． 10.[解] 1111(1)(2)(1)n n n n n n n a S S a a n n n n +++-=-=--++++，即 2n n a n n n n n n a ++++-++-+=+)1(111)2)(1(221=)1(1)2)(1(2+++++-n n a n n n ，由此得 2)1(1))2)(1(1(1++=++++n n a n n a n n ．令1(1)n n b a n n =++，111122b a =+=(10a =)，有112n n b b +=，故12n nb =，所以)1(121+-=n n a nn ．11.[解法一] 由题设条件知(2)()((4)(2))((6)(4))((6)())f x f x f x f x f x f x f x f x +-=-+-+-+-+++-24323263232x x x x ++≥-⋅-⋅+⋅=⋅， 因此有(2)()32x f x f x +-=⋅，故(2008)(2008)(2006)(2006)(2004)(2)(0)(0)f f f f f f f f =-+-++-+2006200423(2221)(0)f =⋅+++++ 10031413(0)41f +-=⋅+-200822007=+． [解法二] 令()()2x g x f x =-，则2(2)()(2)()2232320x x x x g x g x f x f x ++-=+--+≤⋅-⋅=，6(6)()(6)()226326320x x x xg x g x f x f x ++-=+--+≥⋅-⋅=，答12图1答12图2即(2)(),(6)()g x g x g x g x +≤+≥，故()(6)(4)(2)()g x g x g x g x g x ≤+≤+≤+≤， 得()g x 是周期为2的周期函数，所以200820082008(2008)(2008)2(0)222007f g g =+=+=+．12.[解] 如答12图1，考虑小球挤在一个角时的情况，记小球半径为r ，作平面111A B C //平面A B C ，与小球相切于点D ，则小球球心O 为正四面体111P A B C -的中心，111PO A B C ⊥面，垂足D 为111A B C 的中心．因11111113P A B C A B C V S PD -∆=⋅1114O A B C V -=⋅111143A B C S O D ∆=⋅⋅⋅，故44P D O D r ==，从而43P O P D O D r r r =-=-=．记此时小球与面P A B 的切点为1P ，连接1O P ，则2211PP PO OP =-==．考虑小球与正四面体的一个面(不妨取为P A B )相切时的情况，易知小球在面P A B 上最靠近边的切点的轨迹仍为正三角形，记为1P EF ，如答12图2．记正四面体的棱长为a ，过1P 作1P M PA ⊥于M ． 因16M P P π∠=，有11cos 2PM PP M PP =⋅==，故小三角形的边长12P E PA PM a =-=-．小球与面P A B 不能接触到的部分的面积为（如答12图2中阴影部分）1P A B P E F S S ∆∆-22())4a a =--2=-．又1r =，a =1PAB P EF S S ∆∆-==由对称性，且正四面体共4个面，所以小球不能接触到的容器内壁的面积共为． 三、解答题13.[证] ()f x 的图象与直线y k x = )0(>k 的三个交点如答13图所示，且在3(,)2ππ内相切，其切点为(,sin )A αα-，3(,)2παπ∈．…5分由于()cos f x x '=-，3(,)2x ππ∈，所以sin cos ααα-=-，即tan αα=． …10分因此cos cos sin sin 32sin 2cos αααααα=+14sin cos αα=…15分22cos sin 4sin cos αααα+=21tan 4tan αα+=214αα+=． …20分14.[解法一] 由44221log (1)log (22)x x ++=+，且2log y 在(0,)+∞上为增函数，故原不等式等价于1210864353122xxx x x ++++>+．即 1210864353210x x x x x +++-->． …5分 分组分解 12108x x x +- 1086222x x x ++- 864444x x x ++- 642x x x ++-4210x x ++->，864242(241)(1)0x x x x x x +++++->， …10分所以 4210x x +->，22(022x x -->． …15分所以22x >，即x <x >故原不等式解集为(,)-∞+∞ ． …20分[解法二] 由44221log (1)log (22)x x ++=+，且2log y 在(0,)+∞上为增函数，故原不等式等价于1210864353122xxx x x ++++>+． …5分即6422232262133122(1)2(1)x x x x x x xx+<+++++=+++，)1(2)1()1(2)1(232232+++<+x x xx， …10分令3()2g t t t =+，则不等式为221()(1)g g x x<+，显然3()2g t t t =+在R 上为增函数，由此上面不等式等价于2211x x<+， …15分即222()10x x +->，解得22x >(22x <-)，故原不等式解集为(,)-∞+∞ ． …20分15. [解] 设00(,),(0,),(0,)P x y B b C c ，不妨设b c >．直线P B 的方程:00y b y b x x --=，化简得 000()0y b x x y x b --+=．又圆心(1,0)到P B 的距离为1，1= ， …5分故22222000000()()2()y b x y b x b y b x b -+=-+-+， 易知02x >，上式化简得2000(2)20x b y b x -+-=，同理有2000(2)20x c y c x -+-=． …10分 所以0022y b c x -+=-，002x bc x -=-，则22200020448()(2)x y x b c x +--=-．因00(,)P x y 是抛物线上的点，有2002y x =，则22204()(2)x b c x -=-，0022x b c x -=-． …15分所以00000014()(2)4222PBC x S b c x x x x x ∆=-⋅=⋅=-++--48≥+=．当20(2)4x -=时，上式取等号，此时004,x y ==±．因此PBC S ∆的最小值为8． …20分2008年全国高中数学联合竞赛加试（A 卷）试题参考答案及评分标准说明：1．评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分；2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，10分为一个档次，不要增加其他中间档次．一、[解法一] （Ⅰ）如答一图1，由托勒密不等式，对平面上的任意点P ，有PA BC PC AB PB AC ⋅+⋅≥⋅． 因此 ()f P PA BC PC AB PD CA =⋅+⋅+⋅P B C A P D C A ≥⋅+⋅()PB PD CA =+⋅．因为上面不等式当且仅当,,,P A B C 顺次共圆时取等号，因此当且仅当P 在A B C ∆的外接圆且在A C 上时， ()()f P PB PD CA =+⋅． …10分又因PB PD BD +≥，此不等式当且仅当,,B P D 共线且P 在BD 上时取等号．因此当且仅当P 为A B C ∆的外接圆与BD 的交点时，()f P 取最小值min ()f P AC BD =⋅．故当()f P 达最小值时，,,,P A B C 四点共圆． …20分 （Ⅱ）记E C B α∠=，则2E C A α∠=，由正弦定理有s i n 2s i n 32AE ABαα==，从而i n 32s i n 2αα=，即33s i n 4s i n )4s i nc o s αααα-=，所以2cos )4cos 0αα--=，整理得24cos 0αα--=， …30分解得cos 2α=cos α=-，故30α= ，60ACE ∠= ．由已知1B C E C==()sin 30sin E A C E A C∠-∠,有sin(30)1)sin EAC EAC∠-=∠ ，即1cos 1)sin 22EAC EAC EAC∠-∠=∠，整理得1i n c o s 22EAC EAC ∠=∠，故t a n 3EAC ∠==+75EAC ∠=， …40分从而45E ∠= ，45DAC DCA E ∠=∠=∠= ，A D C ∆为等腰直角三角形．因AC =1C D =．又A B C ∆也是等腰直角三角形，故BC =212215BD =+-⋅=，BD =．故min ()f P BD AC =⋅== …50分答一图1[解法二] （Ⅰ）如答一图2，连接BD 交A B C ∆的外接圆O 于0P 点（因为D 在O 外，故0P 在BD 上）．过,,A C D 分别作000,,P A P C P D 的垂线，两两相交得111A B C ∆，易知0P 在AC D ∆内，从而在111A B C ∆内，记A B C ∆之三内角分别为x y z ，，，则0180AP C y z x ∠=︒-=+，又因110B C P A ⊥，110B A P C⊥，得1B y ∠=，同理有1A x ∠=，1C z ∠=，所以111A B C ∆∽A B C ∆． …10分设11B C BC λ=，11C A C A λ=，11A B AB λ=，则对平面上任意点M ，有 0000()()f P P A BC P D CA P C AB λλ=⋅+⋅+⋅ 011011011P A B C P D C A P C A B =⋅+⋅+⋅ 1112A B C S ∆=111111M A B C M D C A M C A B ≤⋅+⋅+⋅ ()MA BC MD CA MC AB λ=⋅+⋅+⋅ ()f M λ=， 从而 0()()f P f M ≤．由M 点的任意性，知0P 点是使()f P 达最小值的点．由点0P 在O 上，故0,,,P A B C 四点共圆． …20分 （Ⅱ）由（Ⅰ），()f P 的最小值 11102()A B C f P S λ∆=2ABC S λ∆=，记E C B α∠=，则2E C A α∠=，由正弦定理有sin 2sin 32AE ABαα==，从而s i n 32s i n 2αα=，即3(3s i n 4s i n )4s i n c o s αααα-=，所以2cos )4cos 0αα--=，整理得24cos 0αα--=， …30分解得cos 2α=cos α=-，故30α= ，60ACE ∠= ． 由已知1B C E C==()sin 30sin E A C E A C∠-∠,有sin(30)1)sin EAC EAC∠-=∠，即1cos 1)sin 22EAC EAC EAC∠-∠=∠，整理得1i n c o s 22EAC EAC ∠=∠，故答一图2tan 2EAC ∠==+75EAC ∠=， …40分所以45E ∠=︒，A B C ∆为等腰直角三角形，AC =，1ABC S ∆=，因为145AB C ∠=︒，1B 点在O 上，190AB B ∠=︒，所以11B BD C 为矩形，11B C BD ===，故λ=，所以mi n()10f P ==…50分[解法三] （Ⅰ）引进复平面，仍用,,A B C 等代表,,A B C 所对应的复数．由三角形不等式，对于复数12,z z ，有 1212z z z z +≥+，当且仅当1z 与2z （复向量）同向时取等号．有 PA BC PC AB PA BC PC AB ⋅+⋅≥⋅+⋅， 所以 ()()()()A P C B C P B A --+--()()()()A P C B C P B A ≥--+-- （1） P C A B C B P A =-⋅-⋅+⋅+⋅()()B P C A PB AC =--=⋅，从而 PA BC PC AB PD C A ⋅+⋅+⋅PB AC PD AC ≥⋅+⋅()PB PD AC =+⋅BD AC ≥⋅． （2） …10分 （1）式取等号的条件是复数 ()()A P C B --与()()C P B A -- 同向，故存在实数0λ>，使得()()()()A P C B C P B A λ--=--， A P B A C P C Bλ--=--，所以 arg()arg()A PB AC P C B--=--，向量PC 旋转到PA 所成的角等于BC 旋转到AB所成的角，从而,,,P A B C 四点共圆．（2）式取等号的条件显然为,,B P D 共线且P 在BD 上．故当()f P 达最小值时P 点在A B C ∆之外接圆上，,,,P A B C 四点共圆． …20分（Ⅱ）由（Ⅰ）知min ()f P BD AC =⋅． 以下同解法一．二、[证]（Ⅰ）若T 是有理数，则存在正整数,m n 使得n T m=且(,)1m n =，从而存在整数,a b ，使得1m a nb +=． 于是11m a nba bT ab T m m+==+=⋅+⋅是()f x 的周期． …10分 又因01T <<，从而2m ≥．设p 是m 的素因子，则m pm '=，m *'∈N ，从而 11m pm'=⋅是()f x 的周期． …20分（Ⅱ）若T 是无理数，令 111a T T ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，则101a <<，且1a 是无理数，令21111a a a ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，……111n n n a a a +⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，……． …30分由数学归纳法易知n a 均为无理数且01n a <<．又111n n a a ⎡⎤-<⎢⎥⎣⎦，故11n n n a a a ⎡⎤<+⎢⎥⎣⎦，即111n n n n a a a a +⎡⎤=-<⎢⎥⎣⎦．因此{}n a 是递减数列． …40分最后证：每个n a 是()f x 的周期．事实上，因1和T 是()f x 的周期，故111a T T ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦亦是()f x 的周期．假设k a 是()f x 的周期，则111k k k a a a +⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦也是()f x 的周期．由数学归纳法，已证得n a 均是()f x 的周期． …50分三、[证] 必要性：假设存在{}n x 满足（ⅰ），（ⅱ），（iii ）．注意到（ⅲ）中式子可化为2008111()n n k n k n k k x x ax x -++-=-=-∑，n ∈*N ， 其中00x =．将上式从第1项加到第n 项，并注意到00x =得111222200820082008()()()n n n n x a x x a x x a x x +++=-+-++- ． …10分 由（ⅱ）可设lim n n b x →∞=，将上式取极限得112220082008()()()b a b x a b x a b x =-+-++- 20081122200820081()k k b a a x a x a x ==⋅-+++∑20081k k b a =<⋅∑，因此200811k k a =>∑． …20分充分性：假设200811k k a =>∑．定义多项式函数如下：20081()1kkk f s as ==-+∑，[0,1]s ∈，则()f s 在[0,1]上是递增函数，且(0)10f =-<，20081(1)10kk f a==-+>∑．因此方程()0f s =在[0,1]内有唯一的根0s s =，且001s <<，即0()0f s =． …30分 下取数列{}n x 为01nk n k x s==∑，1,2,n = ，则明显地{}n x 满足题设条件（ⅰ），且10011n nkn k s s x ss +=-==-∑．因001s <<，故10l i m 0n n s+→∞=，因此100lim lim 11n n n n s ssx s s +→∞→∞-==--，即{}n x 的极限存在，满足（ⅱ）． …40分最后验证{}n x 满足（ⅲ），因0()0f s =，即2008011k k k a s ==∑，从而200820082008101111()()nk n n k n n k kkn k n k k k k x x s a s s asax x +-++-===-====-∑∑∑．综上，存在数列{}n x 满足（ⅰ），（ⅱ），（ⅲ）． …50分。
2008年全国高中数学联赛二试试题与答案
2008年全国高中数学联合竞赛加试（A 卷）试题参考答案及评分标准说明：1．评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分；2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，10分为一个档次，不要增加其他中间档次．一、（本题满分50分）如题一图，给定凸四边形ABCD ，180B D ∠+∠<o ，P 是平面上的动点，令()f P PA BC PD CA PC AB =⋅+⋅+⋅．（Ⅰ）求证：当()f P 达到最小值时，P A B C ,,,四点共圆；（Ⅱ）设E 是ABC ∆外接圆O 的»AB 上一点，满足：3AE AB =，31BCEC=-，12ECB ECA ∠=∠，又,DA DC 是O e 的切线，2AC =，求()f P 的最小值．[解法一] （Ⅰ）如答一图1，由托勒密不等式，对平面上的任意点P ，有PA BC PC AB PB AC ⋅+⋅≥⋅． 因此 ()f P PA BC PC AB PD CA =⋅+⋅+⋅PB CA PD CA ≥⋅+⋅()PB PD CA =+⋅．因为上面不等式当且仅当,,,P A B C 顺次共圆时取等号，因此当且仅当P 在ABC ∆的外接圆且在»AC 上时， ()()f P PB PD CA =+⋅． (10)分又因PB PD BD +≥，此不等式当且仅当,,B P D 共线且P 在BD 上时取等号．因此当且仅当P 为ABC ∆的外接圆与BD 的交点时，()f P 取最小值min ()f P AC BD =⋅．故当()f P 达最小值时，,,,P A B C 四点共圆． …20分 （Ⅱ）记ECB α∠=，则2ECA α∠=，由正弦定理有sin 23sin 3AE AB αα==，从而3sin 32sin 2αα=，即33(3sin 4sin )4sin cos αααα-=，所以23343(1cos )4cos 0αα---=，整理得243cos 4cos 30αα--=， …30分 解得3cos α=或cos 23α=-（舍去）， 故30α=o ，60ACE ∠=o ．由已知31BCEC =-=()0sin 30sin EAC EAC∠-∠,有sin(30)(31)sin EAC EAC ∠-=-∠o ，即31sin cos (31)sin 2EAC EAC EAC ∠-∠=-∠，整理得231sin cos 2EAC EAC -∠=∠，故tan 2323EAC ∠==+-，可得75EAC ∠=o， …40分从而45E ∠=o ，45DAC DCA E ∠=∠=∠=o ，ADC ∆为等腰直角三角形．因2AC =，则1CD =．又ABC ∆也是等腰直角三角形，故2BC =，212212cos1355BD =+-⋅⋅=o ，5BD =． 故min ()5210f P BD AC =⋅=⋅=． …50分[解法二] （Ⅰ）如答一图2，连接BD 交ABC ∆的外接圆O 于0P 点（因为D 在O e 外，故0P 在BD 上）．过,,A C D 分别作000,,P A P C P D 的垂线，两两相交得111A B C ∆，易知0P 在ACD ∆内，从而在111A B C ∆内，记ABC ∆之三内角分别为x y z ，，，则0180AP C y z x ∠=︒-=+，又因110B C P A ⊥，110B A P C ⊥，得1B y ∠=，同理有1A x ∠=，1C z ∠=， 所以111A B C ∆∽ABC ∆． …10分设11B C BC λ=，11C A CA λ=，11A B AB λ=，则对平面上任意点M ，有0000()()f P P A BC P D CA P C AB λλ=⋅+⋅+⋅ 011011011P A B C P D C A P C A B =⋅+⋅+⋅ 1112A B C S ∆=111111MA B C MD C A MC A B ≤⋅+⋅+⋅ ()MA BC MD CA MC AB λ=⋅+⋅+⋅ ()f M λ=， 从而 0()()f P f M ≤．由M 点的任意性，知0P 点是使()f P 达最小值的点．由点0P 在O e 上，故0,,,P A B C 四点共圆． …20分 （Ⅱ）由（Ⅰ），()f P 的最小值11102()A B C f P S λ∆=2ABC S λ∆=，记ECB α∠=，则2ECA α∠=，由正弦定理有sin 23sin 3AE AB αα==，从而3sin 32sin 2αα=，即33(3sin 4sin )4sin cos αααα-=，所以23343(1cos )4cos 0αα---=，整理得243cos 4cos 30αα--=， …30分 解得3cos α=或cos 23α=-（舍去），故30α=o ，60ACE ∠=o ．由已知31BCEC =-=()0sin 30sin EAC EAC ∠-∠,有sin(30)(31)sin EAC EAC ∠-=-∠o ，即31sin cos (31)sin 2EAC EAC EAC ∠-∠=-∠，整理得231sin cos 2EAC EAC -∠=∠，故tan 2323EAC ∠==+-，可得75EAC ∠=o， …40分所以45E ∠=︒，ABC ∆为等腰直角三角形，2AC =，1ABC S ∆=，因为145AB C ∠=︒，1B 点在O e 上，190AB B ∠=︒，所以11B BDC 为矩形，11B C BD ===故λ=min ()21f P == …50分[解法三] （Ⅰ）引进复平面，仍用,,A B C 等代表,,A B C 所对应的复数．由三角形不等式，对于复数12,z z ，有 1212z z z z +≥+，当且仅当1z 与2z （复向量）同向时取等号．有 PA BC PC AB PA BC PC AB ⋅+⋅≥⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， 所以 ()()()()A P C B C P B A --+--()()()()A P C B C P B A ≥--+-- （1）P C A B C B P A =-⋅-⋅+⋅+⋅()()B P C A PB AC =--=⋅u u u r u u u r，从而 PA BC PC AB PD CA ⋅+⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rPB AC PD AC ≥⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r()PB PD AC =+⋅u u u r u u u r u u u r BD AC ≥⋅u u u r u u u r． （2） …10分 （1）式取等号的条件是复数 ()()A P C B --与()()C P B A -- 同向，故存在实数0λ>，使得()()()()A P C B C P B A λ--=--，A PB AC P C Bλ--=--， 所以 arg()arg()A P B AC P C B--=--，向量PC uuu r 旋转到PA u u u r 所成的角等于BC uuu r旋转到AB u u u r 所成的角， 从而,,,P A B C 四点共圆．（2）式取等号的条件显然为,,B P D 共线且P 在BD 上．故当()f P 达最小值时P 点在ABC ∆之外接圆上，,,,P A B C 四点共圆． …20分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知min ()f P BD AC =⋅． 以下同解法一．二、（本题满分50分）设()f x 是周期函数，T 和1是()f x 的周期且01T <<．证明： （Ⅰ）若T 为有理数，则存在素数p ，使1p是()f x 的周期； （Ⅱ）若T 为无理数，则存在各项均为无理数的数列{}n a 满足110n n a a +>>>(1,2,)n =⋅⋅⋅，且每个(1,2,)na n =⋅⋅⋅都是()f x 的周期．[证] （Ⅰ）若T 是有理数，则存在正整数,m n 使得nT m=且(,)1m n =，从而存在整数,a b ，使得1ma nb +=． 于是11ma nb a bT a b T m m+==+=⋅+⋅ 是()f x 的周期． …10分 又因01T <<，从而2m ≥．设p 是m 的素因子，则m pm '=，m *'∈N ，从而11m p m'=⋅是()f x 的周期． …20分（Ⅱ）若T 是无理数，令111a T T ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，则101a <<，且1a 是无理数，令21111a a a ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，…… 111n n n a a a +⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，……． …30分由数学归纳法易知n a 均为无理数且01n a <<．又111n n a a ⎡⎤-<⎢⎥⎣⎦，故11n n n a a a ⎡⎤<+⎢⎥⎣⎦，即111n n n n a a a a +⎡⎤=-<⎢⎥⎣⎦．因此{}n a 是递减数列． …40分 最后证：每个n a 是()f x 的周期．事实上，因1和T 是()f x 的周期，故111a T T ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦亦是()f x 的周期．假设k a 是()f x 的周期，则111k k k a a a +⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦也是()f x 的周期．由数学归纳法，已证得n a 均是()f x 的周期． …50分 三、（本题满分50分）设0k a >，1,2,,2008k =L ．证明：当且仅当200811k k a =>∑时，存在数列{}n x 满足以下条件：（ⅰ）010n n x x x +=<<，1,2,3,n =L ； （ⅱ）lim n n x →∞存在；（ⅲ）20082007111n n k n k k n k k k x x a x a x -+++==-=-∑∑，1,2,3,n =L ．[证] 必要性：假设存在{}n x 满足（ⅰ），（ⅱ），（iii ）．注意到（ⅲ）中式子可化为2008111()n n k n k n k k x x a x x -++-=-=-∑，n ∈*N ，其中00x =．将上式从第1项加到第n 项，并注意到00x =得111222200820082008()()()n n n n x a x x a x x a x x +++=-+-++-L ． …10分 由（ⅱ）可设lim n n b x →∞=，将上式取极限得112220082008()()()b a b x a b x a b x =-+-++-L 20081122200820081()k k b a a x a x a x ==⋅-+++∑L20081k k b a =<⋅∑，因此200811k k a =>∑． …20分充分性：假设200811k k a =>∑．定义多项式函数如下：20081()1k k k f s a s ==-+∑，[0,1]s ∈，则()f s 在[0,1]上是递增函数，且(0)10f =-<，20081(1)10k k f a ==-+>∑．因此方程()0f s =在[0,1]内有唯一的根0s s =，且001s <<，即0()0f s =． …30分下取数列{}n x 为01nkn k x s ==∑，1,2,n =L ，则明显地{}n x 满足题设条件（ⅰ），且1000101n nkn k s s x s s +=-==-∑． 因001s <<，故10lim 0n n s +→∞=，因此100000lim lim 11n n n n s s s x s s +→∞→∞-==--，即{}n x 的极限存在，满足（ⅱ）． …40分最后验证{}n x 满足（ⅲ），因0()0f s =，即2008011kk k a s ==∑，从而200820082008101111()()nk n n k n n k k k n k n k k k k x x s a s s a sa x x +-++-===-====-∑∑∑．综上，存在数列{}n x 满足（ⅰ），（ⅱ），（ⅲ）． …50分。
北京市高一数学竞赛(解析版)
高一年级初赛试题2008年4月13日8︰30～10︰30亲爱的中学生朋友:欢迎你参加本次竞赛活动﹗中国的未来需要众多的人才，人才的培养需要从青少年时代奠基，打好数学基础有助于从事各行业的发展。
北京数学会组织中学生数学竞赛等数学科普活动旨在自愿的前提下丰富数学爱好者的课余生活，激发学习兴趣，普及科学精神，提高能力水平。
祝你插上数学的翅膀，在科学探索的空间展翅翱翔。
注意事项1.本次考试共有14个小题﹙6个选择，8个填空题﹚，把答案填写在下面标有题号的空格内。
2.不允许使用计算器。
3.监考员宣布考试结束时，请你私下本页，填好所要求填写的项目，交给监考员。
以下由考生填写姓名__________________性别______考号_____________校名______________________________年级___________以下由评分者填写本次考试该生所得分数是__________高一年级初赛试题一 、选择题﹙满分36分，每小题只有一个正确答案，请将正确答案的英文字母代号填入第一页指定地方，答对得6分，答错或不答均记0分﹚ 1.设函数()f x 对0x ≠的一切实数均有()200823f x f x x ⎛⎫⎪⎝⎭+=，则()2f 等于﹙A ﹚2006. ﹙B ﹚2008. ﹙C ﹚2010. ﹙D ﹚2012. 2. 0cos 31,tan 46,sin 81,sin 113的大小关系是 ﹙A ﹚0000cos 31tan 46sin 81sin113<<<. ﹙B ﹚0000sin 81cos 31sin113tan 46<<<. ﹙C ﹚0000cos 31sin113sin 81tan 46<<<. ﹙D ﹚0000tan 46sin 81cos 31sin113<<<.3.已知0abc <，则在下列四个选项中，表示2y ax bx c =++的图像只可能是4.对非0实数a ，存在实数θ使得212cos a aθ+=成立，则6cos πθ⎛⎫⎪⎝⎭+的值是 ﹙A. ﹙B ﹚12. ﹙C﹚-. ﹙D ﹚12-.5.已知,αβ分别满足100411004,10g βααβ=⋅=⋅，则αβ⋅等于﹙A﹚ ﹙B ﹚1004. ﹙C﹚ ﹙D ﹚2008.6. 23456cos 0coscoscos cos cos cos 777777ππππππ++++++等于 ﹙A ﹚4. ﹙B ﹚3. ﹙C ﹚2. ﹙D ﹚1.二 、填空题﹙满分64分，每小题8分，请将答案填入第一页指定地方﹚ 1.求523111125323111og og og ⋅⋅的值.2.如果sin cos αα+=，试确定3tan πα⎛⎫⎪⎝⎭+的值.3.在右图的圆中，弦,AB C D 垂直相交于E ，若线段,AE EB 和ED 的长分别是2厘米，6厘米和3厘米，试求这个圆的面积. 4.以[]x 表示不超过x 的最大整数，试确定sin1sin 2sin 3sin 4sin 5++++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦的值.5.已知直角三角形A B C 斜边AB ，计算AB AC BC BA C A C B ++⋅⋅⋅.6.已知集合{}{}22,68070x x x x x ax A B -+<-+===.若A B ≠∅ ，确定实数a 的取值范围.7.分别以锐角三角形A B C 的边,,AB BC C A 为直径画圆，如图所示.已知在三角形外的阴影曲边三角形面积为w 平方厘米，在三角形内的阴影曲边三角形面积为u 平方厘米，试确定三 角形A B C 的面积.8.已知正整数n 与k 使得252500nk =+成立.试确定不小于lg lg kn的最小整数的值.参考答案1. A 【解析】(2)2(1004)32(2)2006(1004)2(2)31004f f f f f +=⨯⎧⇒=⎨+=⨯⎩2. C 【解析】注意到：cos 31sin 59︒=︒，sin 113sin 67︒=︒ sin 59sin 67sin 811tan 46︒<︒<︒<<︒4. A 【解析】注意到：2111cos (||)1cos 2||2||a a a a θθ+==+≥=≥我们有：cos 1θ=，sin 0θ=此时有：cos cos cos sin sin 6662πππθθθ⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭ 5. B 【解析】令函数()lg f x x x =，则()f x 是(0,)+∞上的增函数，注意到： (10)10lg 10101004()f f βββββα=⋅=⋅==，有10βα=此时有10(10)1004f ββαββ⋅=⋅==6.D 【解析】注意到：162534cos coscoscoscoscos0777777ππππππ+=+=+=因此有：原式＝11.()()2355lg 21lg 3111(3)lg 5loglog log 15125323lg 2lg 3lg 5-⨯-⨯-⨯⋅⋅=⋅⋅=-2. sin cos sin 12()444k k Z πππαααααπ⎛⎫⎛⎫+=+=⇒+=⇒=+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1tan tan 2tan 234343k πππππαπ+⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+==-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭3. 2tan 3A E A D E D E∠==，6tan 23B E B D E D E∠===223tan 8sin 2123A DB A D B +∠==-⇒∠=-⨯28652sin4ABR S RAD Bππ=====∠4. sin1、sin2、sin3(0,1)∈，sin4、sin5(1,0)∈-2sin1sin2sin3sin4sin5++++=-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦5. ||29AB AC BC BA CA CB AB AC BC BA AB AB AB++=+=⋅==⋅⋅⋅⋅⋅6. {|24}A x x=<<，记2()7f x x ax=-+，欲使A Bφ≠需且只需：(2)(4)0f f<或(2)0(4)0242ffa∆≥⎧⎪≥⎪⎪⎨≥⎪⎪≤≤⎪⎩，整理有234a≤≤7.如图所示，设红色区域面积为x，白色区域面积为y，三个半圆的面积之和为S，则：1()232S w yx u w uS y x u=+⎧⇒+=-⎨=++⎩8. 当n ＝1、2、3、4时，k非正整数，当5n≥时，有()44252500554n n k-+=⨯+=此时有4225|5|k k⇒，令25()k t t N=∈，有424545(2)(2)n nt t t--+=⇔=+⨯-，存在α、Nβ∈，αβ>，使得5225455t tαβαβ=+>-=⇒=-若0β≠，则：5|55αβ-，矛盾有0β=，则：lg lg22513225,5lg lg5kt k nnα=⇒=⇒==⇒=注意到lg125lg225lg62534lg5lg5lg5=<<=，lg2254lg5⎡⎤=⎢⎥⎢⎥。
2008年北京市中考数学试题和答案(WORD版)
2008年北京市高级中等学校招生考试数 学 试 卷一、选择题（共8道小题，每小题4分，共32分） 1．6-的绝对值等于（ ） A ．6B ．16C ．16-D ．6-2．截止到2008年5月19日，已有21 600名中外记者成为北京奥运会的注册记者，创历届奥运会之最．将21 600用科学记数法表示应为（ ） A ．50.21610⨯B ．321.610⨯C ．32.1610⨯D ．42.1610⨯3．若两圆的半径分别是1cm 和5cm ，圆心距为6cm ，则这两圆的位置关系是（ ） A ．内切B ．相交C ．外切D ．外离4．众志成城，抗震救灾．某小组7名同学积极捐出自己的零花钱支援灾区，他们捐款的数额分别是（单位：元）：50，20，50，30，50，25，135．这组数据的众数和中位数分别是（ ） A ．50，20B ．50，30C ．50，50D ．135，505．若一个多边形的内角和等于720，则这个多边形的边数是（ ） A ．5B ．6C ．7D ．86．如图，有5张形状、大小、质地均相同的卡片，正面分别印有北京奥运会的会徽、吉祥物（福娃）、火炬和奖牌等四种不同的图案，背面完全相同．现将这5张卡片洗匀后正面向下放在桌子上，从中随机抽取一张，抽出的卡片正面图案恰好是吉祥物（福娃）的概率是（ ）A ．15B ．25C ．12D ．357．若230x y ++-=，则xy 的值为（ ）A ．8-B ．6-C ．5D ．68．已知O 为圆锥的顶点，M 为圆锥底面上一点，点P 在OM 上．一只蜗牛从P 点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P 点时所爬过的最短路线的痕迹如右图所示．若沿OM 将圆锥侧面剪开并展开，所得侧面展开图是（ ）二、填空题（共4道小题，每小题4分，共16分） 9．在函数121y x =-中，自变量x 的取值范围是 ． 10．分解因式：32a ab -= ．11．如图，在ABC △中，D E ，分别是AB AC ，的中点， 若2cm DE =，则BC = cm ．12．一组按规律排列的式子：2b a -，53b a ，83b a -，114b a，…（0ab ≠），其中第7个式子是 ，第n 个式子是 （n 为正整数）． 三、解答题（共5道小题，共25分） 13．（本小题满分5分）计算：1182sin 45(2)3-⎛⎫-+-π- ⎪⎝⎭．解：14．（本小题满分5分）解不等式5122(43)x x --≤，并把它的解集在数轴上表示出来． 解：CA E D B1 2 30 1- 2- 3- OPM OM 'M PA ．OM 'M PB ．OM 'M PC ．OM 'M PD ．15．（本小题满分5分）已知：如图，C 为BE 上一点，点A D ，分别在BE 两侧．AB ED ∥，AB CE =，BC ED =． 求证：AC CD =． 证明：16．（本小题满分5分）如图，已知直线3y kx =-经过点M ，求此直线与x 轴，y 轴的交点坐标． 解：17．（本小题满分5分） 已知30x y -=，求222()2x yx y x xy y+--+的值． 解：ACEDB3y kx =- yxOM11 2-四、解答题（共2道小题，共10分） 18．（本小题满分5分）如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，AB AC ⊥，45B ∠=，2AD =，42BC =，求DC 的长． 解：19．（本小题满分5分）已知：如图，在Rt ABC △中，90C ∠=，点O 在AB 上，以O 为圆心，OA 长为半径的圆与AC AB ，分别交于点D E ，，且CBD A ∠=∠． （1）判断直线BD 与O 的位置关系，并证明你的结论；（2）若:8:5AD AO =，2BC =，求BD 的长． 解：（1） （2）ABCDDCOABE五、解答题（本题满分6分）20．为减少环境污染，自2008年6月1日起，全国的商品零售场所开始实行“塑料购物袋有偿使用制度”（以下简称“限塑令”）．某班同学于6月上旬的一天，在某超市门口采用问卷调查的方式，随机调查了“限塑令”实施前后，顾客在该超市用购物袋的情况，以下是根据100位顾客的100份有效答卷画出的统计图表的一部分：“限塑令”实施后，塑料购物袋使用后的处理方式统计表处理方式 直接丢弃直接做垃圾袋再次购物使用其它选该项的人数占总人数的百分比5%35%49%11%请你根据以上信息解答下列问题：（1）补全图1，“限塑令”实施前，如果每天约有2 000人次到该超市购物．根据这100位顾客平均一次购物使用塑料购物袋的平均数，估计这个超市每天需要为顾客提供多少个塑料购物袋？（2）补全图2，并根据统计图和统计表说明．．．．．．．．．．．，购物时怎样选用购物袋，塑料购物袋使用后怎样处理，能对环境保护带来积极的影响． 解：（1） （2）40 35 30 25 2015 10 5 0 图1 1 2 3 4 5 6 7 4 3 11 26 379 塑料袋数／个 人数／位 “限塑令”实施前，平均一次购物使用不同数量塑料．．购物袋的人数统计图 “限塑令”实施后，使用各种购物袋的人数分布统计图 其它 5% 收费塑料购物袋 _______％ 自备袋 46%押金式环保袋24% 图2六、解答题（共2道小题，共9分）21．（本小题满分5分）列方程或方程组解应用题：京津城际铁路将于2008年8月1日开通运营，预计高速列车在北京、天津间单程直达运行时间为半小时．某次试车时，试验列车由北京到天津的行驶时间比预计时间多用了6分钟，由天津返回北京的行驶时间与预计时间相同．如果这次试车时，由天津返回北京比去天津时平均每小时多行驶40千米，那么这次试车时由北京到天津的平均速度是每小时多少千米？ 解：22．（本小题满分4分）已知等边三角形纸片ABC 的边长为8，D 为AB 边上的点，过点D 作DG BC ∥交AC 于点G ．DE BC ⊥于点E ，过点G 作GF BC ⊥于点F ，把三角形纸片ABC 分别沿DG DE GF ，，按图1所示方式折叠，点A B C ，，分别落在点A '，B '，C '处．若点A '，B '，C '在矩形DEFG 内或其边上，且互不重合，此时我们称A B C '''△（即图中阴影部分）为“重叠三角形”．AGCF B ' C 'E BDA ' 图1AGCFB 'C ' E BDA '图2（1）若把三角形纸片ABC 放在等边三角形网格中（图中每个小三角形都是边长为1的等边三角形），点A B C D ，，，恰好落在网格图中的格点上．如图2所示，请直接写出此时重叠三角形A B C '''的面积；（2）实验探究：设AD 的长为m ，若重叠三角形A B C '''存在．试用含m 的代数式表示重叠三角形A B C '''的面积，并写出m 的取值范围（直接写出结果，备用图供实验，探究使用）．解：（1）重叠三角形A B C '''的面积为 ；（2）用含m 的代数式表示重叠三角形A B C '''的面积为 ；m 的取值范围为 ． 七、解答题（本题满分7分）23．已知：关于x 的一元二次方程2(32)220(0)mx m x m m -+++=>． （1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两个实数根分别为1x ，2x （其中12x x <）．若y 是关于m 的函数，且212y x x =-，求这个函数的解析式；（3）在（2）的条件下，结合函数的图象回答：当自变量m 的取值范围满足什么条件时，2y m ≤．A CB备用图ACB备用图（1）证明：（2）解：（3）解：1 2 3 44 3 2 1xy O -1 -2 -3 -4 -4-3 -2 -124．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于A B ，两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，点B 的坐标为(30)，，将直线y kx =沿y 轴向上平移3个单位长度后恰好经过B C ，两点． （1）求直线BC 及抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为D ，点P 在抛物线的对称轴上，且APD ACB ∠=∠，求点P 的坐标；（3）连结CD ，求OCA ∠与OCD ∠两角和的度数．解：（1） （2） （3）1 Oy x2 3 44 32 1 -1 -2 -2-125．请阅读下列材料：问题：如图1，在菱形ABCD 和菱形BEFG 中，点A B E ，，在同一条直线上，P 是线段DF 的中点，连结PG PC ，．若60ABC BEF ∠=∠=，探究PG 与PC 的位置关系及PGPC的值．小聪同学的思路是：延长GP 交DC 于点H ，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题： （1）写出上面问题中线段PG 与PC 的位置关系及PGPC的值； （2）将图1中的菱形BEFG 绕点B 顺时针旋转，使菱形BEFG 的对角线BF 恰好与菱形ABCD 的边AB 在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）．你在（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．（3）若图1中2(090)ABC BEF αα∠=∠=<<，将菱形BEFG 绕点B 顺时针旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，请你直接写出PGPC 的值（用含α的式子表示）． 解：（1）线段PG 与PC 的位置关系是 ；PGPC= ． （2）DAB EF CPG 图1DCG PAB EF图22008年北京市高级中等学校招生考试数学试卷答案及评分参考阅卷须知：1．一律用红钢笔或红圆珠笔批阅，按要求签名．2．第Ⅰ卷是选择题，机读阅卷．3．第Ⅱ卷包括填空题和解答题．为了阅卷方便，解答题中的推导步骤写得较为详细，考生只要写明主要过程即可．若考生的解法与本解法不同，正确者可参照评分参考给分．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．第Ⅰ卷（机读卷共32分）一、选择题（共8道小题，每小题4分，共32分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 A D C C B B B D第Ⅱ卷（非机读卷共88分）二、填空题（共4道小题，每小题4分，共16分）题号9 10 11 12答案12x≠()()a ab a b+- 4207ba-31(1)nnnba--三、解答题（共5道小题，共25分）13．（本小题满分5分）解：11 82sin45(2π)3-⎛⎫-+-- ⎪⎝⎭2222132=-⨯+-····················································································4分22=-．···································································································5分解：去括号，得51286x x --≤． ···································································· 1分 移项，得58612x x --+≤． ··········································································· 2分 合并，得36x -≤． ······················································································· 3分 系数化为1，得2x -≥． ················································································· 4分 不等式的解集在数轴上表示如下：··················································································································· 5分 15．（本小题满分5分） 证明：AB ED ∥，B E ∴∠=∠． ······························································································· 2分 在ABC △和CED △中，AB CE B E BC ED =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，， ABC CED ∴△≌△． ···················································································· 4分 AC CD ∴=． ······························································································· 5分 16．（本小题满分5分）解：由图象可知，点(21)M -，在直线3y kx =-上， ·············································· 1分231k ∴--=．解得2k =-．································································································ 2分∴直线的解析式为23y x =--． ······································································· 3分令0y =，可得32x =-． ∴直线与x 轴的交点坐标为302⎛⎫- ⎪⎝⎭，． ······························································· 4分令0x =，可得3y =-．∴直线与y 轴的交点坐标为(03)-，． ································································· 5分1 2 30 1- 2- 3-解：222()2x yx y x xy y +--+22()()x yx y x y +=-- ························································································· 2分 2x yx y+=-． ··································································································· 3分 当30x y -=时，3x y =． ·············································································· 4分原式677322y y y y y y +===-． ··············································································· 5分四、解答题（共2道小题，共10分） 18．（本小题满分5分）解法一：如图1，分别过点A D ，作AE BC ⊥于点E ， DF BC ⊥于点F ． ····································· 1分 ∴AE DF ∥．又AD BC ∥，∴四边形AEFD 是矩形．2EF AD ∴==． ····································· 2分AB AC ⊥，45B ∠=，42BC =， AB AC ∴=． 1222AE EC BC ∴===． 22DF AE ∴==，2CF EC EF =-= ····················································································· 4分在Rt DFC △中，90DFC ∠=，2222(22)(2)10DC DF CF ∴=+=+=． ············································· 5分解法二：如图2，过点D 作DF AB ∥，分别交AC BC ，于点E F ，． ···················· 1分AB AC ⊥，ABCDFE 图190AED BAC ∴∠=∠=． AD BC ∥，18045DAE B BAC ∴∠=-∠-∠=．在Rt ABC △中，90BAC ∠=，45B ∠=，42BC =，2sin 454242AC BC ∴==⨯= ································································· 2分 在Rt ADE △中，90AED ∠=，45DAE ∠=，2AD =，1DE AE ∴==．3CE AC AE ∴=-=． ·················································································· 4分 在Rt DEC △中，90CED ∠=，22221310DC DE CE ∴=+=+=． ························································· 5分 19． （本小题满分5分） 解：（1）直线BD 与O 相切． ········································································ 1分 证明：如图1，连结OD ．OA OD =， A ADO ∴∠=∠．90C ∠=， 90CBD CDB ∴∠+∠=．又CBD A ∠=∠，90ADO CDB ∴∠+∠=． 90ODB ∴∠=．∴直线BD 与O 相切． ················································································· 2分（2）解法一：如图1，连结DE ．AE 是O 的直径， 90ADE ∴∠=． :8:5AD AO =， 4cos 5AD A AE ∴==． ······················································································ 3分 90C ∠=，CBD A ∠=∠，DCOABE 图1ABCDFE图24cos 5BC CBD BD ∴∠==． ··············································································· 4分 2BC =， 52BD ∴=． ······································································ 5分 解法二：如图2，过点O 作OH AD ⊥于点H ． 12AH DH AD ∴==．:8:5AD AO =， 4cos 5AH A AO ∴==． ··················· 3分 90C ∠=，CBD A ∠=∠，4cos 5BC CBD BD ∴∠==． ································· 4分 2BC =， 52BD ∴=． ································································································· 5分 五、解答题（本题满分6分）解：（1）补全图1见下图． ·············································································· 1分9137226311410546373003100100⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==（个）． 这100位顾客平均一次购物使用塑料购物袋的平均数为3个． ································· 3分200036000⨯=．估计这个超市每天需要为顾客提供6000个塑料购物袋． ········································· 4分 （2）图2中，使用收费塑料购物袋的人数所占百分比为25%． ······························· 5分 根据图表回答正确给1分，例如：由图2和统计表可知，购物时应尽量使用自备袋和押金式环保袋，少用塑料购物袋；塑料购物袋应尽量循环使用，以便减少塑料购物袋的使用量，为DCO ABH图240 35 30 25 20 15 10 5 0图1123 4 567 4 311 26379 塑料袋数／个人数／位 “限塑令”实施前，平均一次购物使用不同数量塑料．．购物袋的人数统计图 10环保做贡献． ································································································· 6分 六、解答题（共2道小题，共9分）21．解：设这次试车时，由北京到天津的平均速度是每小时x 千米，则由天津返回北京的平均速度是每小时(40)x +千米． ········································································· 1分 依题意，得3061(40)602x x +=+． ···································································· 3分 解得200x =． ······························································································ 4分 答：这次试车时，由北京到天津的平均速度是每小时200千米． ······························ 5分 22．解：（1）重叠三角形A B C '''的面积为3． ··················································· 1分（2）用含m 的代数式表示重叠三角形A B C '''的面积为23(4)m -； ······················· 2分m 的取值范围为843m <≤． ··········································································· 4分七、解答题（本题满分7分） 23．（1）证明：2(32)220mx m x m -+++=是关于x 的一元二次方程，222[(32)]4(22)44(2)m m m m m m ∴∆=-+-+=++=+．当0m >时，2(2)0m +>，即0∆>．∴方程有两个不相等的实数根． ········································································ 2分（2）解：由求根公式，得(32)(2)2m m x m+±+=．22m x m+∴=或1x =． ·················································································· 3分 0m >， 222(1)1m m m m++∴=>． 12x x <，11x ∴=，222m x m +=． ················································································ 4分 21222221m y x x m m+∴=-=-⨯=．即2(0)y m m =>为所求． ······················· 5分（3）解：在同一平面直角坐标系中分别画出4 3 2 1xy2(0)y m m=> 2(0)y m m =>。
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2008年北京市中学生数学竞赛高一年级复赛试题及解答一、填空题（满分40分，每小题答对得8分）题 号1 2 3 45 答 案N (0.5, 0.25)32137+-509031.5318- 81941．在P (1, 1), Q (1, 2), M (2, 3), N (0.5, 0.25) 四个点中，能成为函数y = a x 的图像与其反函数的图像的公共点的只可能是 ．答：因为10.521110.2541616⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且111616110.25log log 0.542===，所以N (0.5, 0.25)可以是函数116xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图像与其反函数116log y x =的图像的公共点.易知，其余三点均不可能是函数y = a x 的图像与其反函数的图像的公共点．2．如右图所示，ABCD 是一张长方形纸片，将AD 、BC 折起，使A 、B 两点重合于CD 边上的点P ，然后压平得折痕EF 与GH ．若PE =2cm ，PG =1cm ，EG =7cm ．则长方形纸片ABCD 的面积为 cm ．解：由对称性知：AE =PE =2cm ，BG =PG =1cm ，所以AB = AE +EG +GB = PE +EG +PG = 2+7+1 = 3+7 (cm)，又由PE =2cm ，PG =1cm ，EG =7cm ，由余弦定理可知，在△PEG 中，∠EPG =120º，AD 等于△PEG 中边EG 上的高h ，易由△PEG 的面积求得AD = h =sin12021sin120377PE PG EG ⨯⨯⨯==(cm)．所以，长方形纸片ABCD 的面积为33321(271)(37)3777++⨯=+⨯=+(cm)2．3．二次函数f (x )满足f (–10) = 9，f (–6) = 7和f (2) = –9，则f (2008) = ．解：设f (x ) = ax 2+bx +c ，则由题意可得910010(1)7366(2)942(3)a b ca b ca b c =-+⎧⎪=-+⎨⎪-=++⎩由(1)减(3)得18 = 96a – 12b ，即3 = 16a – 2b ； 由(2)减(3)得16 = 32a – 8b ，即4 = 8a – 2b ； 解最后两式，得a = –18，b = –52． 以a = –18，b = –52代入 –9 = 4a +2b +c ，得c = –72．AD FE GBC PHCD因此，二次函数 f (x ) =2157822x x ---，所以 22008520087(2008)509031.5822f ⨯=---=-．4．如图所示，线段OA = OB = OC =1，∠AOB = 60º，∠B OC = 30º，以OA ，OB ，OC 为直径画3个圆，两两的交点为M ，N ，P ，则阴影部分的曲边三角形的面积是 ．解：如图，连接AC ，AN ，BN ，AM ，BM ， MP ，NP ，OM ，ON ，OP ，易知∠OP A =∠OPC =90º，∠ANO =∠BNO = 90º，∠BMO =∠CNO = 90º，所以A ，P ，C 共线；A ，N ，B 共线；B ，M ，C 共线．由OA =OB =OC =1，可知P ，M ，N 分别是AC ，BC ，AB 的中点，MPNB 为平行四边形，BN =MP ，BM =NP ，所以BN 与MP 长度相等，BM 与NP 长度相等，因此，曲边三角形MPN 的面积= S MPNB =12S △ABC ， 而 S △ABC = S AOCB – S △AOC= S △AOB + S △BOC – S △AOC =311314424-+-=， 所以，曲边三角形MPN 的面积=12S △ABC =318-．5．对任意正实数x ，用F (x )表示log 2x 的整数部分，则F (1)+ F (2)+ F (3)+…+F (1022)+ F (1023) = ．解：对正整数n 我们实验分析找规律：n F (n ) 1 0 2，3 1 4，5，6，7 2 8，9，10，11，12，13，14，15 3 16，17，18，19，20，……，29，30，31 4 …… …… 规律：取值F (1)的正整数有1=20个，取值F (2)的正整数有2=21个， 取值F (3)的正整数有4=22个， …… ……取值F (k )的正整数有2k –1=2F (k )个，所以F (1)+ F (2)+ F (3)+…+ F (1022)+ F (1023)= 0×20+1×21+2×22+3×23+…+9×29设T = 1×21+2×22+3×23+…+9×29，则2T = 1×22+2×23+3×24+…+9×210，于是T = –2–22–23–…–29+9×210 = –1022+9216=8194，即F (1)+ F (2)+ F (3)+…+ F (1022)+ F (1023) = 8194．二、（满分15分）证明：111111tan3tan2tan1tan tan tan tan3tan2tan1tan tan tan 236236--+--=⋅⋅+⋅⋅．证明：1，2，3弧度都不等于2π+n π，n ∈Z ，则tan 1,tan 2,tan 3都有意义.且tan1tan 21⋅≠，于是1tan1tan 20-⋅≠．∵ 1 + 2 = 3， ∴ tan(12)tan3+=，即t a n 1t a n 2t a n 31t a n 1t a n 2+=-⋅， ∴ tan1tan 2tan3tan1tan 2tan3+=-⋅⋅因此 tan3tan 2tan1tan3tan 2tan1--=⋅⋅． （1） 同理 由于 11106324π<<<<，11tan tan 136⋅≠，于是111tan tan 036-⋅≠， ∵ 111632+=， ∴ 111tan tan 632⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即 11tan tan163tan 1121tan tan 63+=-⋅， ∴ 111111tan tan tan tan tan tan 632236+=-⋅⋅，因此 111111tan tan tan tan tan tan 236236--=⋅⋅． （2） （1）+（2）得111111tan3tan2tan1tan tan tan tan3tan2tan1tan tan tan 236236--+--=⋅⋅+⋅⋅．三、（满分15分）AB 是已知圆的一条弦，它将圆分成两部分，M 和N 分别是两段弧的中点，以B 为旋转中心，将弓形AMB 顺时针转一个角度成弓形1A B ，如图所示，1AA 的中点为P ．求证：MP NP ⊥．证明：取AB 的中点C ，A 1B 的中点C 1，易知A 1B =AB ，于是A 1C 1=AC ． 连接MC 1，NC ，则MC 1⊥A 1B ，NC ⊥AB ，在未旋转时，C 1与C 是同一点，MN 是垂直于AB 的直径，由相交弦定理得MC 1·NC =AC ·CB =AC 2． 连接PC ，PC 1，则111//,//PC AC PC AC ，∠A 1C 1P =∠C 1PC =∠ACP ，所以 MC 1·CH =PC 1·PC ，即11MC PC PC CN=， 又 ∠MC 1P =90º+∠A 1C 1P =90º+∠ACP =∠NCP ，所以 △MC 1P ∽△PCN ，所以∠MPC 1=∠PNC ．…（12分） 设PN 交AB 于K ，∠C 1PN =∠CKN ，所以 ∠MPN =∠MPC 1+∠C 1PN =∠PNC+∠CKN =90º，因此MP NP ⊥．四、（满分15分）定义在区间[0, 1]上的函数f (x )满足f (0)= f (1)=0，且对任意的x 1, x 2∈[0, 1]都有f (122x x +)≤f (x 1)+ f (x 2)．(1) 证明，对任意的x ∈[0, 1]都有f (x )≥0；(2) 求f (34)的值； (3) 计算f (12)+f (14)+…+ f (12k )+…+ f (200812)．解：(1) 任取x 1= x 2= x ∈[0, 1]，则有f (22x)≤f (x )+ f (x )， 即 f (x )≤2f (x )，于是f (x )≥0，所以，对任意的x ∈[0, 1]都有f (x )≥0．(2) 由f (0)= f (1)=0，得f (012+)≤f (0)+ f (1)=0+0=0，于是f (12)≤0．但由(1)的结果知f (12)≥0，所以f (12)=0，由f (12)=0，f (1)=0，则f (1122+)≤f (12)+ f (1)=0+0=0，于是f (34)≤0．由(1)的结果知f (34)≥0，所以f (34)= 0．(3) 由f (0)=0，f (12)=0，得f (1022+)≤f (0)+ f (12)=0+0=0，于是f (14)≤0． 但由（1）的结果知f (14)≥0，所以f (14)=f (212)=0，继续求下去，可得f (12k)=0，k =1, 2, 3,…, 2008． 因此，f (12)+f (14)+…+ f (12k )+…+ f (200812)=0．五、（满分15分）北京市中学有m (m ＞2)位中学生为“北京奥运会”共提交了n 条不同的建议，已知其中任两名学生提交的建议中至少有一条建议是相同的，也至少有一条建议是不同的．求证：提交建议的学生数m 不超过2n –1．证明：设A 为m 位中学生所提不同建议的集合，A i (i =1, 2, …, m )表示 第i 个学生提的建议的集合，以│X │表示集合X 中元素的个数，X 表示X 的补集，则│A │=n ；因为任两名学生提出的建议中都至少有一条是相同的，也至少有一条是不同的，所以A i ∩A j ≠ Ø，A i ≠ A j ，(1≤i ≤j ≤m )．因为 A i ∩i A =Ø，可以断定(,1,2,,i j A A i j m ≠=且)i j ≠．如若不然，假设某个i j A A =，由A i ∩i A =Ø可得A i ∩A j = Ø，与A i ∩A j ≠ Ø矛盾！ 这样就形成了如下的2m 个集合：1212,,,,,,,m m A A A A A A ，他们都是A 的子集合，且彼此不等．因为n 个元素的集合的子集个数为2n ，所以 2m ≤2n ，即m ≤2n –1．所以，提交建议的学生数m 不超过2n –1．(事实上，等号可以达到，我们通过n = 4的情况说明，m 可以等于24–1=8；比如：{a },{a , b },{a , c },{a , d },{a , c , d },{a , b , c },{a , b , d },{a , b , c , d }就是一例)。