黄良文《统计学》课后习题(参数估计)【圣才出品】

n
0.23 1.645
0.23 (1 0.23)， 1.645
200
[0.181， 0.279]
0.23 (1 0.23)
200
即拥有该品牌空调的家庭占到 18.1%~27.9%之间。
（2）当 1－ =95%， 0.05 时， Z 2 Z0.025 1.96 ，则总体比例的置信区间为：
0.017 16
即[2.118，2.132]，可以 90%的概率保证钉子的平均长度在 2.118 到 2.132cm 之间。
6.5 从一批电子管中抽取 100 只，若抽取的电子管的平均寿命为 1000 小时，标准差
σ为 40 小时，试求整批电子管的平均寿命的置信区间（置信水平为 95%）。
解：总体 X 的分布形式未知，但总体标准差 40 ，且 n=100>30，故可以认为 X 近 似服从 N (， 2 n) 。由于1 95%， 0.05， 2 1.96，X 1000 。所以总体均值
0.01] 16
即[2.121，2.129]，可以 90%的概率保证钉子的平均长度在 2.121 到 2.129cm 之间。
（2）当σ未知时， 0.1 ， t（2 15） 1.753 ，总体均值 的置信区间为：
X
t
2
s ,X n
t
2
s n
2.125
1.753
0.017,2.125 1.753 16
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黄良文《统计学》课后习题
第 6 章 参数估计
6.1 阐述参数估计量的优良标准。
答：判别参数估量的优良性包括三条标准：无偏性、有效性和一致性。
（1）无偏性。若要求估计量ˆ 的数学期望等于待估计参数的真值，即 E(ˆ) 。则称ˆ
为 的满足无偏性准则的估计量。 （2）有效性。设 ˆ1 ， ˆ2 为 的两个无偏估计量，若 ˆ1 的方差小于 ˆ2 的方差，即
D(ˆ1) D(ˆ2 ) ，则称ˆ1 是较ˆ2 有效的估计量。 （3）一致性。设ˆ(x1，x2，…，xn) 是未知参数 的估计量，当 n→∞时，要求ˆ 按概
率收敛于 。即 lim P(| ˆ | ) 1 （ 为任意小正数）。则称ˆ 为 的满足一致性标准要求的估计量。
解：由于 E（X） xf (x)dx
b
x
dx a b ，
a ba
2
E（X 2） x2 f (x)dx b x2 dx b2 ab a2 ，
a ba
3
Var(X ) E（X 2） E 2(X ) b2 ab a2 ( a b)2 (b a )2
3
2
12
因此按矩法，建立方程组：
X
s
2
ab 2
(b a)2 12
解得： aˆ X 3s ， bˆ X 3s 。
6.4 随机地从一批钉子中抽取 16 枚，测得其长度（单位：cm）为 2.14，2.10，2.13，
2.15，2.13，2.12，2.13，2.10，2.15，2.12，2.14，2.10，2.13，2.11，2.14，2.11。设
p Z 2
p(1 n
p)， p
Z
2
p(1 p)
n
0.23 1.96
0.23 (1 0.23)， 1.96
200
[0.172，0.288]
0.23 (1 0.23)
200
即拥有该品牌空调的家庭占到 17.2%~28.8%之间。
6.7 从两个正态总体中分别抽取两个独立的随机样本，它们的均值和标准差如表 6-1
15 0.017
（1）当σ=0.01 时， 0.1 ， Z 2 1.645 ，总体均值 的置信区间为：
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[X
Z 2
,X n
Z
2
] [2.125 1.645 n
0.01,2.125 1.645 16
所示。
表 6-1
来自总体 1 的样本
来自总体 2 的样本
n1 14 X1 53.2 s12 96.8
n1 7 X 2 43.4 s22 102.0
n 1
以用样本估计方差
s2 ( X X )2 作为总方差 2 的估计量。
n 1
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6.3 设总体 X 具有在区间[a，b]上的均匀分布，其分布密度函数为

f
(x)
b
1
a
,a
x
b
0,其它
其中：a，b 是未知参数，试用矩估计法求 a 与 b 的估计量。
的置信区间为：
X
Z 2
，X n
Z 2
n
1000
1.96
40 ，1000 1.96 100
40 100
即[992.16，1007.84]，可以 95%的概率保证电子管的平均寿命在 992.16 到 1007.84
小时之间。
6.6 在一项家计调查中，我们欲了解居民拥有某一品牌的空调情况。今随机抽取了 200 户居民，调查发现拥有该品牌空调的家庭占到 23%。求总体比例的置信区间，置信水平分 别为 90%和 95%。
钉长分布为正态分布，试求总体平均数 的置信水平为 90%的置信区间：（1）已知σ=0.01
（cm）；（2）若σ未知。
解：由样本数据可得：
x x 2.14 2.10 … 2.11 2.125(cm)
n
16
s (x x)2
n 1 (2.14 2.125)2 (2.10 2.125)2 (2.11 2.125)2
n
6.2 以样本估计方差 s2 ( X X )2 作为总体方差σ2 的估计量，为什么分母是 n 一
n1
1，而不是 n？说明理由。
答：如果分母是 n，即 sn2
(X X )2 ，此估计量并不满足无偏性的要求，也不满足
n
有效性，而
s2 ( X X )2 是σ2 的无偏估计、有效估计和一致估计，符合估计优良性的三个标准。所
解：已知 n=200，p=23%，np=46>5。 （1）当 1－ =90%， 0.1 时， Z 2 Z0.05 1.645 ，则总体比例的置信区间为：
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p Z 2
p(1 n
p)， p
Z
2
p(1 p)