2.matlab工程软件训练-符号计算

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符号计算入门 符号对象的创建和使用 符号表达式的化简 符号函数微积分 符号方程求解
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2.1 符号计算入门 MATLAB符号计算的对象是非数值的符号 字符串。 ● 2.1.1 求解代数方程 ● 2.1.2 求解微分方程 ● 2.1.3 计算导数 ● 2.1.4 计算定积分
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2.1.1 求解代数方程
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solve函数能求解一般的线性、非线性或超越代数 方程。 对于不存在符号解的代数方程组，若方程组中不包 含符号参数，则solve函数给出方程组的数值解。
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2.5.1 代数方程
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示例
1 1 a x2 x2
3 x 2 y z 10 x 3 y 2 z 5 x 2 3 y 2 12

符号方程求解solve，desolve。
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diff函数用于对符号表达式求微分。 调用格式如下：
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diff(s) %按findsym函数指示的默认变量对符 号表达式s求一阶导数。 diff(s,'v') %以v为自变量，对符号表达式s求 一阶导数。 diff(s,n) %按findsym函数指示的默认变量对 符号表达式s求n阶导数，n为正整数。 diff(s,'v',n) %以v为自变量，对符号表达式s 求n阶导数。
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函数sym一次只能定义一个符号变量，使用 不方便。 函数syms，一次可以定义多个符号变量。 syms函数的一般调用格式为
–
syms 符号变量名1 符号变量名2 …
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用这种格式定义符号变量时不需要在变量名 上加字符串分界符（‘），变量间用空格而 不要用逗号分隔。 用syms函数定义4个符号变量a、b、c、d的命 令： syms a b c d % 没有引号也没有逗号
2.4.3 符号表达式的积分
【例 7.4 】 分别求下列积分。 b 1 1 （1 ） （ 2 ） d x dx 2 2 a 1 x 1 x
（3 ）
1 dx 1 1 x2
2
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2.5 符号方程求解 2.5.1 代数方程 ● 2.5.2 微分方程
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2.5.1 代数方程
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在MATLAB中，求解用符号表达式表示的代数方程可 由函数solve实现。
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– –
solve(s) %求解符号表达式s的代数方程，变量为默认变 量。 solve(s,v) %求解符号表达式s的代数方程，求解变量为 v。 solve(s1,s2, …,sn,v1,v2,…,vn) %求解符号表达式s1 ，s2，…，sn组成的代数方程组，求解变量分别为v1， v2，…，vn。
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2.1.4 计算定积分 求定积分： x dx 。 a ● 在MATLAB中，积分问题也可以通过符 号计算得到。
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b
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2.2 符号对象的创建和使用 2.2.1 创建符号对象和表达式 ● 2.2.2 符号对象的基本运算
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2.2.1 创建符号对象和表达式
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MATLAB为用户提供了一种符号数据类型， 相应的运算对象称为符号对象。 函数sym用来建立单个符号量：
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– –
int(s)：没有指定积分变量和积分阶数时，系统按 findsym函数指示的默认变量对被积函数或符号表达式s 求不定积分。 int(s,v)：以v为自变量，对被积函数或符号表达式s求 不定积分。 int(s,v,a,b)：求定积分运算。a、b分别表示定积分的 下限和上限。该函数求被积函数在区间[a，b]上的定积 分。a和b可以是两个具体的数，也可以是一个符号表达 式，还可以是无穷（inf）。当函数f关于变量x在闭区间 [a，b]上可积时，函数返回一个定积分结果。当a、b中 有一个是inf时，函数返回一个广义积分。当a、b中有一 30 个符号表达式时，函数返回一个符号函数。
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2.3.2 任意精度计算
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符号计算的显著特点是计算过程中不会出现舍入误 差，从而可以得到任意精度的数值解。
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MATLAB提供以下函数实现将符号计算得到的精确 值转换成任意精度。
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digits(d) % 设定精度为d位有效数字，默认值是32。 vpa(A,d) % 对符号计算得到的精确值进行近似，有效位 数为d位，若不指定d，则按当前有效位数输出。
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2.5.2 微分方程
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在MATLAB中，用大写字母D表示导数。例如，Dy表示y’，D2y表示y’’ ，Dy(0)=4表示y’(0)=4。微分初始条件写成y(a)=b，Dy(c)=d的格式。 MATLAB提供dsolve函数来求解符号常微分方程。 – dsolve(e,c,v)。 – 该函数求解常微分方程e在初值条件c下的特解。参数v描述方程中的 自变量，省略时按默认原则处理，若没有给出初值条件c，则求方程 的通解。 dsolve在求常微分方程组时的调用格式为： – dsolve(e1,e2, …,en,c1, …,cn,v1, …,vn )。 – 该函数求解常微分方程组e1，…，en在初值条件c1，…，cn下的特 解，若不给出初值条件，则求方程组的通解，v1，…，vn给出求解 变量。若边界条件少于方程（组）的阶数，则返回的结果中会出现 任意常数C1，C2，…。dsolve命令最多可以接受12个输入参量（包 括方程组与定解条件个数）。若没有给定输出参量，则在命令窗口 显示解列表。若该命令得不到解析解，则返回一警告信息，同时返 回一空的sym对象。这时，用户可以用命令ode23或ode45求解方程组 的数值解。
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2.3 符号表达式的化简与数值解 2.3.1 符号表达式的化简 ● 2.3.2 任意精度数值解
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MATLAB提供函数实现对符号计算的结果 进行化简和替换，如： 因式分解； 同类项合并； 符号表达式展开、化简。
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2.3.1 符号表达式的化简
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函数collect() %合并同类项
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函数expand() %展开
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函数expand() %展开符号表达式
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R = expand(S) % 将表达式S中的各项进 行展开。
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2.3.1 符号表达式的化简
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函数factor()对符 号多项式进行因式 分解。
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R=factor(X)：如 果X是一个多项式 或多项式矩阵，该 函数将X表示成低 阶多项式相乘的形 式；否则，则返回 X本身。
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2.4.2 符号表达式的微分
y cos x2 求y, y, y
x a (t sin t ) y b(1 cos t ) 求y x
z x6 3 y 4 x2 y 2 求z xy
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2.4.3 符号表达式的积分
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符号积分由函数int来实现。 int一般调用格式如下：
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2.4.1 符号表达式的极限
sin( x h) sin( x) lim h 0 h
t x lim(1 ) t x
默认x是变量
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2.4.1 符号表达式的极限
x
lim x( x 1 x)
2
x0
lim(cot x )
1 ln x
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2.4.2 符号表达式的微分
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求解一元二次方程: ax2 + bx + c = 0。 当要给出解的通式时，求解过程就是一 个符号计算问题，MATLAB具有得到解的 通式能力。
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2.1.2 求解微分方程 求解微分方程： y’ = ay 。 ● 在MATLAB中，其通解仍可以通过符号 计算得到。
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2.1.3 计算导数 求 cos2x 的导数。 ● 在MATLAB中，导数问题也可以通过符 号计算得到。
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MATLAB 符号计算是通过集成的符号运算 工具箱（Symbolic Math Toolbox）来实
现的。
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符号计算
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符号计算是数字运算的自然扩展
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不受计算误差的困扰
计算可以给出完全正确的封闭解或任意 精度的数值解
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计算的指令比较简单，所需要的时间较
长
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符号计算 2.1 ● 2.2 ● 2.3 ● 2.4 ● 2.5
北京理工大学机械与车辆学院
工程软件训练-符号计算
应用符号计算功能，可以直接对抽象的符号对 象进行各种计算，并获得问题的解析结果。 授课教师：吴维 2014年9月
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符号计算
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在科学研究和工程应用中，除了存在大量
的数值计算外，还有对符号对象进行的运
算，即在运算时无须事先对变量赋值，而
将所得到结果以标准的符号形式来表示。
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2.2.1 创建符号对象和表达式
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syms 函数应用 ?
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2.2.1 创建符号对象和表达式
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含有符号对象的表达式称为符号表达式。 建立符号表达式有2种方法：
–
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用sym函数建立符号表达式。 使用已经定义的符号变量组成符号表达式。
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2.2.2 符号对象的基本运算
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符号表达式的四则运算与数值运算一样， 用+、−、*、/、^ 运算符实现，其运算结 果依然是一个符号表达式。
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2.5.2 微分方程 【例 7.9 】 求下列微分方程的解。
dy t 2 y 2 （1 ）求 的通解。 2 dt 2t （2 ）求 xy ' y e x 0 当 y(1) =2e 时的特解。 （3 ）求 xy 3 y x 2 当 y(1) =0，y(5) =0 时的特解。