概率论第1章习题详解

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《概率论与数理统计》第01章习题解答

第一章随机事件及其概率第1章1、解：（1）{}2,3,4,5,6,7S = （2）{} ,4,3,2=S （3）{} ,,,TTH TH H S =（4）{}6,5,4,3,2,1,,T T T T T T HT HH S =2、设A , B 是两个事件，已知81)(,21)(,41)(===AB P B P A P ，求)(B A P ，)(B A P ，)(AB P ，)])([(AB B A P 解：81)(,21)(,41)(===AB P B P A P ∴)()()()(AB P B P A P B A P -+= 85812141=-+=)()()(AB P B P B A P -=838121=-=87811)(1)(=-=-=AB P AB P)])([(AB B A P )]()[(AB B A P -=)()(AB P B A P -= )(B A AB ⊂218185=-=3、解：用A 表示事件“取到的三位数不包含数字1”2518900998900)(191918=⨯⨯==C C C A P 4、在仅由0，1，2，3，4，5组成且每个数字至多出现一次的全体三位数字中，任取一个三位数，（1）该数是奇数的概率；（2）求该数大于330的概率。

解：用A 表示事件“取到的三位数是奇数”，用B 表示事件“取到的三位数大于330”(1) 455443)(2515141413⨯⨯⨯⨯==A C C C C A P =0.48 2） 455421452)(251514122512⨯⨯⨯⨯+⨯⨯=+=A C C C A C B P =0.48 5、袋中有5只白球，4只红球，3只黑球，在其中任取4只，求下列事件的概率（1）4只中恰有2只白球，1只红球，1只黑球；（2）4只中至少有2只红球；（3）4只中没有白球解：用A 表示事件“4只中恰有2只白球，1只红球，1只黑球”（1）412131425)(C C C C A P ==495120=338（2）用B 表示事件“4只中至少有2只红球”16567)(4124418342824=++=C C C C C C B P 或4124838141)(C C C C B P +-==16567495201= （3）用C 表示事件“4只中没有白球”99749535)(41247===C C C P 6、解：用A 表示事件“某一特定的销售点得到k 张提货单”nkn k n MM C A P --=)1()( 7、解：用A 表示事件“3只球至少有1只配对”，B 表示事件“没有配对”（1）3212313)(=⨯⨯+=A P 或321231121)(=⨯⨯⨯⨯-=A P （2）31123112)(=⨯⨯⨯⨯=B P 8、（1）设1.0)(,3.0)(,5.0)(===AB P B P A P ，求(),(),(),(),P A B P B A P A B P A A B(),()P AB A B P A AB ；（2）袋中有6只白球，5只红球每次在袋中任取一只球，若取到白球，放回，并放入1只白球，若取到红球不放回也不再放回另外的球，连续取球四次，求第一、二次取到白球且第三、四次取到红球的概率。

概率论与数理统计第一章习题解答

概率论与数理统计第一章习题解答《概率论与数量统计》第一章习题解答1、写出下列随机试验的样本空间：（1）记录一个班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分）。

（2）生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数。

（3）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的产品记上“正品”，不合格的记上“次品”，如连续查出了2件次品就停止检查，或检查了4件产品就停止检查，记录检查的结果。

（4）在单位圆内任意取一点，记录它的坐标。

解：（1）设该班有n人，则该班总成绩的可能值是0，1，2，……，100n。

故随机试验的样本空间S=｛i/n|i=0,1,2,……,100n｝。

（2）随机试验的样本空间S=｛10,11,12,……｝。

（3）以0表示检查到一个次品，1表示检查到一个正品，则随机试验的样本空间S=｛00，0100，0101，0110，0111，100，1010，1011，1100，1101，1110，1111｝。

（4）随机试验的样本空间S=｛（x,y）|x2+y2<1｝。

2、设A，B，C为三个事件，用A，B，C的运算关系表示下列各事件：（1）A发生，B 与C都不发生。

（2）A与B都发生，而C不发生。

（3）A，B，C中至少有一个发生。

（4）A，B，C都发生。

（5）A，B，C都不发生。

（6）A，B，C中不多于一个发生。

（7）A，B，C中不多于两个发生。

（8）A，B，C中至少有两个发生。

解：（1）A B C（2）AB C（3）A∪B∪C （4）ABC（5）A B C（6）A B C∪A B C∪A B C∪A B C（7）S-ABC （8）ABC∪AB C∪A B C∪A BC3、（1）设A，B，C为三个事件，且P（A）=P（B）=P（C）=1/4，P （AB）=P（BC）=0，P（AC）=1/8，求A，B，C至少有一个发生的概率。

（2）已知P（A）=1/2，P（B）=1/3，P（C）=1/5，P（AB）=1/10，P（AC）=1/15，P（BC）=1/20，P（ABC）=1/30，求A∪B，A B，A∪B∪C，A B C，A B C，A B∪C的概率。

概率论第1章作业题解

一、习题详解：1.1 写出下列随机试验的样本空间：(1) 某篮球运动员投篮时, 连续5 次都命中, 观察其投篮次数; 解：连续5 次都命中，至少要投5次以上，故}{ ,7,6,51=Ω； (2) 掷一颗匀称的骰子两次, 观察前后两次出现的点数之和; 解：}{12,11,4,3,22 =Ω； (3) 观察某医院一天内前来就诊的人数;解：医院一天内前来就诊的人数理论上可以从0到无穷，所以}{ ,2,1,03=Ω；(4) 从编号为1，2，3，4，5 的5 件产品中任意取出两件, 观察取出哪两件产品; 解：属于不放回抽样，故两件产品不会相同，编号必是一大一小，故： ()}{;51,4≤≤=Ωj i j i (5) 检查两件产品是否合格;解：用0 表示合格, 1 表示不合格，则()()()()}{1,1,0,1,1,0,0,05=Ω；(6) 观察某地一天内的最高气温和最低气温(假设最低气温不低于T1, 最高气温不高于T2); 解：用x 表示最低气温, y 表示最高气温;考虑到这是一个二维的样本空间，故： ()}{216,T y x T y x ≤≤=Ω ；(7) 在单位圆内任取两点, 观察这两点的距离; 解：}{207 x x =Ω；(8) 在长为l 的线段上任取一点, 该点将线段分成两段, 观察两线段的长度. 解：()}{l y x y x y x =+=Ω,0,0,8 ；1.2 设A ，B ，C 为三事件, 用A;B;C 的运算关系表示下列各事件： (1) A 与B 都发生, 但C 不发生; C AB ；(2) A 发生, 且B 与C 至少有一个发生;)(C B A ⋃； (3) A,B,C 中至少有一个发生; C B A ⋃⋃； (4) A,B,C 中恰有一个发生;C B A C B A C B A ⋃⋃； (5) A,B,C 中至少有两个发生; BC AC AB ⋃⋃；(6) A,B,C 中至多有一个发生;C B C A B A ⋃⋃； (7) A;B;C 中至多有两个发生;ABC ； (8) A,B,C 中恰有两个发生.C AB C B A BC A ⋃⋃ ；注意：此类题目答案一般不唯一，有不同的表示方式。

概率论与数理统计第一章课后习题详解

概率论与数理统计习题第一章习题1-1（P 7）1．解：（1）}18,4,3{，⋯=Ω （2）}1|),{22<+=Ωy x y x （ (3) {=Ωt |ｔ},10N t ∈≥（本题答案由经济1101班童婷婷提供）２．ＡＢ表示只有一件次品，-A 表示没有次品，-B 表示至少有一件次品。

（本题答案由经济1101班童婷婷提供） 3．解：（1）A 1∪A 2=“前两次至少有一次击中目标”;（2）2A =“第二次未击中目标”; （3）A 1A 2A 3=“前三次均击中目标”;（4）A 1⋃A 2⋃A 3=“前三次射击中至少有一次击中目标”; （5）A 3-A 2=“第三次击中但第二次未击中”; （6）A 32A =“第三次击中但第二次未击中”; （7）12A A =“前两次均未击中”; （8）12A A =“前两次均未击中”;（9）(A 1A 2)⋃(A 2A 3)⋃(A 3A 1)=“三次射击中至少有两次击中目标”.（本题答案由陈丽娜同学提供）４.解： (1)ABC(2)ABC(3) ABC (4) A B C(5) ABC (6) AB BC AC (7) A B C (8) (AB) (AC) (BC)（本题答案由丁汉同学提供）５.解： (1)A=BC(2)A =B C（本题答案由房晋同学提供）习题1-2（P 11）6.解：设A=“从中任取两只球为颜色不同的球”,则:112538P(A)=/15/28C C C =（本题答案由顾夏玲同学提供）7.解： (1)组成实验的样本点总数为340C ,组成事件(1)所包含的样本点数为 12337C C ,所以P 1=12337340C C C ⋅ ≈0.2022 (2)组成事件(2)所包含的样本点数为33C ,所以P 2=33340C C ≈0.0001(3)组成事件(3)所包含的样本点数为337C ，所以 P 3=337340C C ≈0.7864 (4)事件（4）的对立事件，即事件A=“三件全为正品”所包含的样本点数为337C ，所以P 4=1-P(A)=1-337340C C ≈0.2136(5)组成事件(5)所包含的样本点数为2133373C C C ⋅+，所以P 5=2133373340+C C C C ⋅ ≈0.01134 （本题答案由金向男同学提供）8.解：(1)组成实验的样本点总数为410A ,末位先考虑有五种选择，首位除去0，有8种选择。

概率论~第一章习题参考答案与提示

第一章随机事件与概率习题参考答案与提示1．设为三个事件，试用表示下列事件，并指出其中哪两个事件是互逆事件：C B A 、、C B A 、、（1）仅有一个事件发生；（2）至少有两个事件发生；（3）三个事件都发生；（4）至多有两个事件发生；（5）三个事件都不发生；（6）恰好两个事件发生。

分析：依题意，即利用事件之间的运算关系，将所给事件通过事件表示出来。

C B A 、、解：（1）仅有一个事件发生相当于事件C B A C B A C B A 、、有一个发生，即可表示成C B A C B A C B A ∪∪；类似地其余事件可分别表为（2）或AC BC AB ∪∪ABC B A BC A C AB ∪∪∪；（3）；（4）ABC ABC 或C B A ∪∪；（5）C B A ；（6）B A BC A C AB ∪∪或。

ABC AC BC AB −∪∪ 由上讨论知，（3）与（4）所表示的事件是互逆的。

2．如果表示一个沿着数轴随机运动的质点位置，试说明下列事件的包含、互不相容等关系：x {}20|≤=x x A {}3|>=x x B {}9|<=x x C{}5|−<=x x D{}9|≥=x x E 解：（1）包含关系：、 A C D ⊂⊂B E ⊂ 。

（2）互不相容关系：C 与E （也互逆）、B 与、D E 与。

D 3．写出下列随机事件的样本空间：（1）将一枚硬币掷三次，观察出现H （正面）和T （反面）的情况；（2）连续掷三颗骰子，直到6点出现时停止, 记录掷骰子的次数；（3）连续掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和；（4）生产产品直到有10件正品时停止，记录生产产品的总数。

提示与答案：（1）；{}TTT TTH THT HTT THH HTH HHT HHH ,,,,,,,=Ω（2）； {,2,1=Ω}（3）；{}18,,4,3 =Ω（4）。

{} ,11,10=Ω4．设对于事件有C B A 、、=)(A P 4/1)()(==C P B P , ，8/1)(=AC P0)()(==BC P AB P ，求至少出现一个的概率。

概率论习题答案第1章习题讲解

概率论习题答案第1章习题讲解第1章随机事件及其概率习题解答第1章随机变量及其概率1，写出下列试验的样本空间：（1）连续投掷一颗骰子直至6个结果中有一个结果出现两次，记录投掷的次数。

（2）连续投掷一颗骰子直至6个结果中有一个结果接连出现两次，记录投掷的次数。

（3）连续投掷一枚硬币直至正面出现，观察正反面出现的情况。

（4）抛一枚硬币，若出现H则再抛一次；若出现T，则再抛一颗骰子，观察出现的各种结果。

解：（1）S（4）S2，设A,B是两个事件，已知P(A)?0.25,P(B)?0.5,P(AB)?0.125,，求P(A?B),P(AB),P(AB),P[(A?B)(AB)]。

______（2）S?{2,3,4,?}；（3）S?{H,TH,TTH,TTTH,?}；?{2,3,4,5,6,7}；?{HH,HT,T1,T2,T3,T4,T5,T6}。

解：P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)?0.625，P(AB)?P[(S?A)B]?P(B)?P(AB)?0.375___，P(AB)?1?P(AB)?0.875，___P[(A?B)(AB)]?P[(A?B)(S?AB)]?P(A?B)?P[(A?B)(AB)]?0.625?P(AB)?0.5 3，在100，101，…，999这900个3位数中，任取一个3位数，求不包含数字1个概率。

1第1章随机事件及其概率习题解答解：在100，101，…，999这900个3位数中不包含数字1的3位数的个数为8?9?9?648，所以所求得概率为648900?0.724，在仅由数字0，1，2，3，4，5组成且每个数字之多出现一次的全体三位数中，任取一个三位数。

（1）求该数是奇数的概率；（2）求该数大于330的概率。

解：仅由数字0，1，2，3，4，5组成且每个数字之多出现一次的全体三位数的个数有5?5?4?100个。

（1）该数是奇数的可能个数为4?4?3?48个，所以出现奇数的概率为48100?0.4848（2）该数大于330的可能个数为2?4?5?4?5?4?330的概率为48100?0.48，所以该数大于5，袋中有5只白球，4只红球，3只黑球，在其中任取4只，求下列事件的概率。

(整理)概率论第一章习题解答

00第一章随机事件与概率I 教学基本要求1、了解随机现象与随机试验，了解样本空间的概念，理解随机事件的概念，掌握事件之间的关系与运算；2、了解概率的统计定义、古典定义、几何定义和公理化定义，会计算简单的古典概率和几何概率，理解概率的基本性质；3、了解条件概率，理解概率的乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式，会用它们解决较简单的问题；4、理解事件的独立性概念.II 习题解答A 组1、写出下列随机试验的样本空间(1) 抛掷两颗骰子，观察两次点数之和； (2) 连续抛掷一枚硬币，直至出现正面为止； (3) 某路口一天通过的机动车车辆数； (4) 某城市一天的用电量.解：(1) {2,3,,12}Ω=；(2) 记抛掷出现反面为“0”，出现正面为“1”，则{(1),(0,1),(0,0,1),}Ω=；(3) {0,1,2,}Ω=；(4) {|0}t t Ω=≥.2、设A 、B 、C 为三个事件，试表示下列事件： (1) A 、B 、C 都发生或都不发生； (2) A 、B 、C 中至少有一个发生； (3) A 、B 、C 中不多于两个发生.解：(1) ()()ABC ABC ；(2) AB C ；(3) ABC 或ABC .3、在一次射击中，记事件A 为“命中2至4环”、B 为“命中3至5环”、C 为“命中5至7环”，写出下列事件：(1) AB ；(2) AB ；(3) ()A BC ；(4) ABC .解：(1) AB 为“命中5环”； (2) A B 为“命中0至1环或3至10环”；(3) ()A B C 为“命中0至2环或5至10环”；(4) ABC 为“命中2至4环”.4、任取两正整数，求它们的和为偶数的概率？解：记取出偶数为“0”，取出奇数为“1”，则其出现的可能性相同，于是任取两个整数的样本空间为{(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)}Ω=.设A 为“取出的两个正整数之和为偶数”，则{(0,0),(1,1)}A =，从而1()2p A =. 5、从一副52张的扑克中任取4张，求下列事件的概率：(1) 全是黑桃；(2) 同花；(3) 没有两张同一花色；(4) 同色？解：从52张扑克中任取4张，有452C 种等可能取法.(1) 设A 为“全是黑桃”，则A 有413C 种取法，于是413452()C p A C =；(2) 设B 为“同花”，则B 有4134C 种取法，于是4134524()C p B C =；(3) 设C 为“没有两张同一花色”，则C 有413种取法，于是445213()p C C =；(4) 设D 为“同色”，则D 有4262C 种取法，于是4264522()C p D C =.6、把12枚硬币任意投入三个盒中，求第一只盒子中没有硬币的概率？解：把12枚硬币任意投入三个盒中，有123种等可能结果，记A 为“第一个盒中没有硬币”，则A 有122种结果，于是122()()3p A =.7、甲袋中有5个白球和3个黑球，乙袋中有4个白球和6个黑球，从两个袋中各任取一球，求取到的两个球同色的概率？解：从两个袋中各任取一球，有11810C C ⨯种等可能取法，记A 为“取到的两个球同色”，则A 有11115436C C C C⨯+⨯种取法，于是111154361181019()40C C C C p A C C ⨯+⨯==⨯. 8、把10本书任意放在书架上，求其中指定的三本书放在一起的概率？解：把10本书任意放在书架上，有10!种等可能放法，记A 为“指定的三本书放在一起”，则A 有3!8!⨯种放法，于是3!8!1()10!15p A ⨯==. 9、5个人在第一层进入十一层楼的电梯，假若每个人以相同的概率走出任一层(从第二层开始)，求5个人在不同楼层走出的概率？解：5个人从第二层开始走出电梯，有510种等可能结果，记A 为“5个人在不同楼层走出”，则A 有510P 种结果，于是5105()10P p A =.10、n 个人随机地围一圆桌而坐，求甲乙两人相邻而坐的概率？解：设甲已坐好，只考虑乙的坐法，则乙有1n -种坐法，记A 为“甲乙两人相邻而坐”，则A 有2种坐法，于是2()1p A n =-. 11、甲乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头，它们在一昼夜内到达的时间是可能的，若甲船的停泊时间为一小时，乙船的停泊时间为两小时，求它们中任何一艘都不需要等候码头空出的概率？解：设x 、y 分别为甲、乙两艘轮船到达码头的时间，则{(,)|0,24}x y x y Ω=≤≤，其面积224S Ω=，记A 为“它们中任何一艘都不需要等候码头空出”，于是{(,)|12}A x y y x x y =-≥-≥或，其面积221(2322)2A S =+，从而2222322()0.879224A S p A S Ω+===⨯.12、在区间(0,1)中随机地取两个数，求事件“两数之和小于6/5”的概率？解：设x 、y 分别为取出的两个数，则{(,)|0,1}x y x y Ω=≤≤，其面积1S Ω=，记A 为“两数之和小于6/5”，于是6{(,)|}5A x y x y =+<，其面积2141()25A S =-，从而17()0.6825A S p A S Ω===. 13、设0a >，有任意两数x 、y ，且0,x y a <<.试求24a xy <的概率？解：由题意知{(,)|0,}x y x y a Ω=<<，其面积2S a Ω=，记2{(,)|}4a A x y xy =<，则其面积244422223ln 4()()(1)444a a axa aaA a S a dy dx a a dx a x =-=--=-+⎰⎰⎰从而3ln 4()10.596644A S p A S Ω==-+=. 14、从0、1、2、…、9这十个数字中任选三个不同的数字，试求下列事件的概率：(1) 1A 为“三个数字中不含０和５”； (2) 2A 为“三个数字中不含０或５”； (3) 3A 为“三个数字中含０但不含５”？解：记A 为“三个数字不含０”、B 为“三个数字不含５”，则393107()10C p A C ==、393107()10C p B C ==、383107()15C p AB C ==于是有(1) 17()()15p A p AB ==； (2) 27714()()()()()2101515p A p AB p A p B p AB ==+-=⨯-=； (3) 3777()()()()101530p A p AB p B p AB ==-=-=. 15、某工厂的一个车间有男工7人、女工4人，现要选出3个代表，求选出的3个代表中至少有1个女工的概率？解：设A 为“选出的3个代表中至少有1个女工”，则373117()33C p A C ==726()1()13333p A p A ⇒=-=-=. 16、从数字1、2、…、9中重复地取n 次，求n 次所取数字的乘积能被10整除的概率？解：记A 为“至少取到一次５”、B 为“至少取到一次偶数”，则8()9n n p A =、5()9n n p B =、4()9nn p AB =于是，所求概率为854()1()1()()()1999n n nn n n p AB p AB p A p B p AB =-=--+=--+.17、已知事件A 、B 满足()()p AB p AB =，记()p A p =，求()p B ？解：由()()()1()1()()()p AB p AB p AB p A B p A p B p AB ===-=--+1()()0p A p B ⇒--= ()1()1p B p A p ⇒=-=-.18、已知()0.7p A =，()0.3p AB =－，求()p AB ？解：由()()()0.3p A B p A p AB =-=－和()0.7p A =()0.4p AB ⇒=()1()0.6p AB p AB ⇒=-=.19、设1()()2p A p B ==，试证：()()p AB p AB =. 证明：由1()()2p A p B ==()1()1()()()()p AB p AB p A p B p AB p AB ⇒=-=--+=.20、某班级在一次考试中数学不及格的学生占15％，英语不及格的学生占5％，这两门课都不及格的学生占3％.(1) 已知一个学生数学不及格，他英语也不及格的概率是多少； (2) 已知一个学生英语不及格，他数学也不及格的概率是多少？解：记A 为“数学不及格”、B 为“英语不及格”，则()0.15p A =、()0.05p B =、()0.03p AB =(1) ()0.03(|)0.2()0.15p AB p B A p A ===； (2) ()0.03(|)0.6()0.05p AB p A B p B ===. 21、掷两颗骰子，以A 记事件“两颗点数之和为10”，以B 记事件“第一颗点数小于第二颗点数”，求(|)p A B 和(|)p B A ？解：掷两颗骰子的样本空间为(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6)(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6)(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪Ω=⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎭由于{(4,6),(5A =、(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)(3,4)(3,5)(3,6)(4,5)(4,6)(5,6)B ⎧⎫⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎩⎭、{(4,6)}AB =，于是3()36p A =、15()36p B =、1()36p AB =()1(|)()15p AB p A B p B ⇒==、()1(|)()3p AB p B A p A ⇒==. 22、设10件产品中有4件不合格品，从中任取二件，已知其中一件是不合格品，求另一件也是不合格的概率？解：记i A 为“第i 次取出不合格品”(1,2)i =，B 为“有一件不合格品”，C 为“另一件也是不合格品”，则121212()()()B A A A A A A =，于是1212124664432()()()()1091091093p B p A A p A A p A A ⨯⨯⨯=++=++=⨯⨯⨯ 432()10915p BC ⨯==⨯ ()1(|)()5p BC p C B p B ⇒==. 23、已知()0.3p A =、()0.4p B =、()0.5p AB =，求(|)p B AB ？解：由()0.3p A =、()0.4p B =、()0.5p AB =()()()()0.70.60.50.8p A B p A p B p AB ⇒=+-=+-=再由()()()0.7()0.5p AB p A p AB p AB =-=-=()0.2p AB ⇒= 从而(())()0.21(|)()()0.84p B A B p AB p B AB p A B p A B ====.24、两台车床加工固焊零件，第一台出次品的概率是0.03，第二台出次品的概率为0.06，加工出来的零件放在一起且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍.(1) 求任取一个零件是合格品的概率；(2) 如果取出的零件是不合格品，求它是由第二台车床加工的概率？解：记A 为“取到第一台车床加工的零件”、B 为“取到合格品”，则2()3p A =、(|)0.97p B A =、(|)0.94p B A = (1) 21()()(|)()(|)0.970.940.9633p B p A p B A p A p B A =+=⨯+⨯=；(2) 10.06()()(|)13(|)()1()0.042p AB p A p B A p A B p B p B ⨯====-. 25、已知男人中有5％是色盲患者，女人中有0.25％是色盲患者，现从男女人数相等的人群中随机挑选一人，发现恰好是色盲患者，问此人是男人的概率是多少？解：记A 为“选到色盲患者”、B 为“选到男人”，则1()2p B =、(|)5%p A B =、(|)0.25%p A B = 于是，所求概率为()(|)0.50.05(|)0.9524()(|)()(|)0.50.050.50.0025p B p A B p B A p B p A B p B p A B ⨯===+⨯+⨯.26、证明：()(|)1()p B p B A p A ≥-，其中()0p A >. 证明：由于()()()()()()1()()p AB p A p B p AB p A p B p A p B =+-≥+-=-()()()()(|)1()()()p AB p A p B p B p B A p A p A p A -=≥=-. 27、设A 、B 为任意两个事件，且A B ⊂、()0p B >，证明：()(|)p A p A B ≤.证明：由A B ⊂得()()(|)()()()p AB p A p A B p A p B p B ==≥. 28、甲乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.7，已知目标被击中，求它是甲击中的概率？解：记A 为“目标被击中”、1B 为“甲击中目标”、2B 为“乙击中目标”，则121212()()()()()0.60.70.60.70.88p A p B B p B p B p B B ==+-=+-⨯=再由1B A ⊂可得所求概率为111()()0.6(|)0.682()()0.88p B A p B p B A p A p A ====.29、设电路由A 、B 、C 三个元件组成，若元件A 、B 、C 发生故障的概率分别是0.3、0.2、0.2，各元件独立工作，求下列三种情况下电路发生故障的概率.(1) A 、B 、C 三个元件串连； (2) A 、B 、C 三个元件并联； (3) B 与C 并联后再与A 串联？解：记A 、B 、C 分别表示元件A 、B 、C 发生故障. (1) 所求概率为()1()1()()()10.70.80.80.552p A B C p ABC p A p B p C =-=-=-⨯⨯=；(2) 所求概率为()()()()0.30.20.20.012p ABC p A p B p C ==⨯⨯=；(3) 所求概率为(())()()()()()()()()()p A BC p A p BC p ABC p A p B p C p A p B p C =+-=+-0.30.20.20.30.20.20.328=+⨯-⨯⨯=.30、若()0.4p A =、()0.7p AB =，在下列情况下求()p B .(1) A 、B 不相容； (2) A 、B 独立； (3) A B ⊂？解：(1) 由于A 、B 不相容，从而()()()p AB p A p B =+，于是()()()0.70.40.3p B p A B p A =-=-=；(2) 由于A 、B 独立，从而()()()()()p AB p A p B p A p B =+-，于是0.70.4()0.4()p B p B =+- ()0.5p B ⇒=；(3) 由于A B ⊂，从而AB B =，于是()()0.7p B p A B ==.B 组1、一个书架上有6本数学书和4本物理书，求指定的3本数学书放在一起的概率？解：6本数学书和4本物理书在书架上有10!种等可能放法，记A 为“指定的3本数学书放在一起”，则A 有3!8!⨯种放法，于是3!8!1()10!15p A ⨯==. 2、设有n 个人，每个人都等可能地被分配到N 个房间中的任一间去住()n N ≤，求下列事件的概率.(1) 指定的n 间房间里各有一个住； (2) 恰有n 间房各住一人？解：将n 个人分配到N 个房间中去住，有nN 种等可能分法.(1) 记A 为“指定的n 间房间里各有一个住”，则A 有!n 种分法，于是!()nn p A N =； (2) 记B 为“恰有n 间房各住一人”，则B 有!nNC n 种分法，于是!()n N nC n p B N =.3、公安人员在某地发现一具尸体，经分析认为凶手还在该地的概率为0.4，乘车外逃的概率为0.5，自首的概率为0.1，现派人追捕，在该地抓到凶手的概率为0.9，若外逃则抓到凶手的概率为0.5，问此次凶手在该地或外逃被抓到的概率是多少？解：记1A 为“凶手还在该地”、2A 为“凶手已乘车外逃”、B 为“凶手被抓到”，则1()0.4p A =、2()0.5p A =、1(|)0.9p B A =、2(|)0.5p B A =，于是所求概率为12121122(()())()()()(|)()(|)p A B A B p A B p A B p A p B A p A p B A =+=+0.40.90.50.50.61=⨯+⨯=.4、有两箱零件，第一箱装50件，其中10件是一等品；第二箱装30件，其中18件是一等品，现从两箱中任取一箱，然后从该箱中先后取出两个零件，试求在第一次取到一等品的条件下，第二次取出的零件仍是一等品的概率？解：记i A 为“第i 次取到一等品”、B 为“取到第一箱”，则111110118()()(|)()(|)0.4250230p A p B p A B p B p A B =+=⨯+⨯= 121212()()(()|)()(()|)p A A p B p A A B p B p A A B =+1109118170.194232504923029⨯⨯=⨯+⨯=⨯⨯ 于是12211()0.19423(|)0.4856()0.4p A A p A A p A ===.5、掷均匀硬币n m +次，已知至少出现一次正面，求第一次正面出现在第n 次实验的概率？解：记A 为“至少出现一次正面”、B 为“第一次正面出现在第n 次实验”，则0()1()1(0.5)1(0.5)n m n m n m p A p A C +++=-=-=- 1()0.5(0.5)(0.5)n n p B -=⨯=再由B A ⊂可得所求概率为()()(0.5)(|)()()1(0.5)nn m p AB p B p B A p A p A +===-.6、甲、乙、丙三人进行比赛，规定每局两个人比赛，胜者再与第三人比，依次循环，直至有一人连胜二局为止，此人即为冠军，假设每次比赛双方取胜的概率均为0.5，若甲、乙两人先比，求甲得冠军的概率？解：记A 为“甲得冠军”；i A 、i B 、i C 分别为“第i 局中甲、乙、丙获胜”，则121234512345678()[()()()]p A p A A p AC B A A p AC B A C B A A =++++12341234567[()()]p B C A A p B C A B C A A ++25847(0.50.50.5)(0.50.5)=++++++24330.50.5510.510.514=+=--.7、乒乓球单打比赛采用五局三胜制，甲、乙两名运动员在每局比赛中获胜的概率各为0.6和0.4，当比赛进行完二局时，甲以2:0领先，求在以后的比赛中甲获胜的概率？解：记B 为“甲获胜”、i A 为“甲在第i 局比赛中获胜”，由于甲以2:0领先，因而334345()()B A A A A A A =334345()()()()()()()p B p A p A p A p A p A p A ⇒=++20.60.40.60.40.60.936=+⨯+⨯=.8、保险公司把被保险人分为“谨慎”、“一般”、“冒失”三类，统计资料表明上述三种人在一年中发生事故的概率分别是0.05、0.15、0.3；如果“谨慎”的被保险人占20%，“一般”的被保险人占50%，“冒失”的被保险人占30%，现知某保险人在一年内发生了事故，则他是属“谨慎”客户的概率是多少？解：记1A 为“谨慎客户”、2A 为“一般客户”、3A 为“冒失客户”、B 为“保险人在一年内发生事故”，则1()0.2p A =、2()0.5p A =、3()0.3p A =、1(|)0.05p B A =、2(|)0.15p B A =、3(|)0.3p B A =，于是11131()(|)0.20.052(|)0.20.050.50.150.30.335()(|)iii p A p B A p A B p A p B A =⨯===⨯+⨯+⨯∑.。

1—7章概率论课后习题及答案

第一章随机事件及其概率§1.1-2 随机试验、随机事件1. 多项选择题:⑴ 以下命题正确的是（） A .()()AB AB A =； B .,A B AB A ⊂=若则；C .,A B B A ⊂⊂若则；D .,A B A B B ⊂=若则.⑵某学生做了三道题，以i A 表示“第i 题做对了的事件”)3,2,1(=i ，则该生至少做对了两道题的事件可表示为（） A .123123123A A A A A A A A A ； B .122331A A A A A A ； C .122331A A A A A A ； D .123123123123A A A A A A A A A A A A .2. A 、B 、C 为三个事件，说明下述运算关系的含义：⑴ A ； ⑵ B C ； ⑶ AB C ； ⑷ A B C ； ⑸ AB C ； ⑹ABC .3. 一个工人生产了三个零件，以i A 与i A )3,2,1(=i 分别表示他生产的第i 个零件为正品、次品的事件.试用i A 与i A )3,2,1(=i 表示以下事件：⑴ 全是正品；⑵ 至少有一个零件是次品；⑶ 恰有一个零件是次品；⑷ 至少有两个零件是次品.§1.3-4 事件的概率、古典概型1. 多项选择题:⑴ 下列命题中,正确的是（） A .B B A B A =；B .B A B A =；C .C B A C B A = ；D .()∅=)(B A AB . ⑵ 若事件A 与B 相容，则有（） A .()()()P AB P A P B =+； B .()()()()P A B P A P B P AB =+-；C .()1()()P A B P A P B =--；D .()1()()P A B P A P B =-.⑶ 事件A 与B 互相对立的充要条件是（） A .()()()P AB P A P B = ； B .()0()1P AB P AB ==且；C .AB A B =∅=Ω且；D . AB =∅.2. 袋中有12只球，其中红球5只，白球4只，黑球3只. 从中任取9只，求其中恰好有4只红球，3只白球，2只黑球的概率.3. 求寝室里的六个同学中至少有两个同学的生日恰好同在一个月的概率.4. 10把钥匙中有三把能打开门，今任取两把，求能打开门的概率.5. 将三封信随机地放入标号为1、2、3、4的四个空邮筒中,求以下概率：(１) 恰有三个邮筒各有一封信；（２）第二个邮筒恰有两封信；（３）恰好有一个邮筒有三封信．6. 将20个足球球队随机地分成两组，每组10个队，进行比赛．求上一届分别为第一、二名的两个队被分在同一小组的概率．§1.5 条件概率1. 多项选择题:⑴ 已知0)(>B P 且∅=21A A ,则（）成立.A .1(|)0P AB ≥； B .1212(()|)(|)(|)P A A B P A B A B =+；C .12(|)0P A A B =；D . 12(|)1P A A B =.⑵ 若0)(,0(>>B P A P ）且)(|(A P B A P =），则（）成立.A .(|)()PB A P B =；B .(|)()P A B P A =；C .,A B 相容；D .,A B 不相容.2. 已知61)|(.41)|(,31)(===B A P A B P A P ，求)(B A P3. 某种灯泡能用到3000小时的概率为0.8，能用到3500小时的概率为0.7.求一只已用到了3000小时还未坏的灯泡还可以再用500小时的概率.4.两个箱子中装有同类型的零件，第一箱装有60只，其中15只一等品；第二箱装有40只，其中15只一等品.求在以下两种取法下恰好取到一只一等品的概率：⑴将两个箱子都打开，取出所有的零件混放在一堆，从中任取一只零件；⑵从两个箱子中任意挑出一个箱子，然后从该箱中随机地取出一只零件.5.某市男性的色盲发病率为7 %,女性的色盲发病率为0.5 % .今有一人到医院求治色盲,求此人为女性的概率.(设该市性别结构为男:女=0.502:0.498)6.袋中有a只黑球，b只白球，甲、乙、丙三人依次从袋中取出一只球(取后不放回)，分别求出他们各自取到白球的概率.§1.6 独立性1. 多项选择题：⑴ 对于事件A 与B ，以下命题正确的是( ).A .若B A 、互不相容,则B A 、也互不相容；B .若B A 、相容,则B A 、也相容；C .若B A 、独立，则B A 、也独立；D .若B A 、对立，则B A 、也对立. ⑵ 若事件A 与B 独立，且0)(,0)(>>B P A P ，则（）成立.A .(|)()PB A P B =；B .(|)()P A B P A =；C .B A 、相容；D .B A 、不相容.2. 已知C B A 、、互相独立，证明C B A 、、也互相独立.3. 一射手对同一目标进行四次独立的射击，若至少射中一次的概率为8180，求此射手每次射击的命中率.*4. 设C B A 、、为互相独立的事件，求证B A AB B A -、、都与C 独立.5. 甲、乙、丙三人同时各用一发子弹对目标进行射击，三人各自击中目标的概率分别是0.4、0.5、0.7.目标被击中一发而冒烟的概率为0.2，被击中两发而冒烟的概率为0.6，被击中三发则必定冒烟，求目标冒烟的概率.6. 甲、乙、丙三人抢答一道智力竞赛题，他们抢到答题权的概率分别为0.2、0.3、0.5 ；而他们能将题答对的概率则分别为0.9、0.4、0.4.现在这道题已经答对，问甲、乙、丙三人谁答对的可能性最大.7. 某学校五年级有两个班，一班50名学生，其中10名女生；二班30名学生，其中18名女生．在两班中任选一个班，然后从中先后挑选两名学生，求（1）先选出的是女生的概率；（2）在已知先选出的是女生的条件下，后选出的也是女生的概率．第二章一维随机变量及其分布§2.1 离散型随机变量及其概率分布1．填空题：⑴ 当c = 时()/,(1,,)P X k c N k N ===是随机变量X 的概率分布，当c = 时()(1)/,(1,,)P Y k c N k N ==-=是随机变量Y 的概率分布； ⑵ 当a = 时)0,,1,0(!)(>===λλ k k a k Y P k是随机变量Y 的概率分布； ⑶ 进行重复的独立试验，并设每次试验成功的概率都是0.6. 以X 表示直到试验获得成功时所需要的试验次数，则X 的分布律为； ⑷ 某射手对某一目标进行射击，每次射击的命中率都是,p 射中了就停止射击且至多只射击10次. 以X 表示射击的次数，则X 的分布律为； ⑸ 将一枚质量均匀的硬币独立地抛掷n 次，以X 表示此n 次抛掷中落地后正面向上的次数，则X 的分布律为 .2．设在15只同类型的零件中有2只是次品，从中取3次，每次任取1只，以X 表示取出的3只中次品的只数. 分别求出在 ⑴ 每次取出后记录是否为次品，再放回去；⑵ 取后不放回，两种情形下X 的分布律.3．一只袋子中装有大小、质量相同的6只球,其中3只球上各标有1个点,2只球上各标有2个点,1只球上标有3个点.从袋子中任取3只球，以X 表示取出的3只球上点数的和. ⑴ 求X 的分布律；⑵ 求概率(46),(46),(46),(46)P X P X P X P X <≤≤<<<≤≤.4．某厂有7个顾问，假定每个顾问贡献正确意见的可能性都是6.0. 现在为某件事的可行与否个别地征求每个顾问的意见，并按多数顾问的意见作决策.求作出正确决策的概率.5．袋子中装有5只白球，3只黑球，从中任取1只，如果是黑球就不放回去，并从其它地方取来一只白球放入袋中，再从袋中取1只球. 如此继续下去，直到取到白球为止. 求直到取到白球为止时所需的取球次数X 的分布律.§2.2 连续型随机变量及其概率分布1．多项选择题：以下函数中能成为某随机变量的概率密度的是 ( )A .⎪⎩⎪⎨⎧<<=它其20,0,cos )(πx x x f ； B .⎪⎩⎪⎨⎧<<=它其πx x x f 0,0,2cos )( ； C .⎪⎩⎪⎨⎧<<-=它其22,0,cos )(ππx x x f ； D .⎩⎨⎧<<=它其10,0,)(x xe x f x . 2．设随机变量X 的概率分布律如右,求X 的分布函数及)32(),30(),2(≤≤<<≤X P X P X P .3．设一只袋中装有依次标有数字-1、2、2、2、3、3的六只球，从此袋中任取一只球，并以X 表示取得的球上所标有的数字.求X 的分布律与分布函数.4．设连续型随机变量X 的概率密度如右，试求：⑴ 系数A ；⑵ X 的分布函数；⑶ (0.10.7)P X <<5．设连续型随机变量X ⑴ 系数k ；⑵ X 的概率密度；⑶ (||0.5)P X <.6．设连续型随机变量X 的分布函数为()arctan ()F x A B x x R =+∈，试求：⑴ 系数A 与B ；⑵ X 的概率密度；⑶ X 在区间(,)a b 内取值的概率.§2.31．设离散型随机变量X 的分布律如右，求12,22,12+=-=+=X W X V X U 的分布律.2．设随机变量X 的概率密度为,0,0,)(<≥⎩⎨⎧=-x x e x f x 求随机变量X e Y =的概率密度.3．设随机变量X 在区间(0,)π上服从均匀分布，求：⑴ 随机变量2ln Y X =-的概率密度；⑵ 随机变量sin Z X =的分布函数与概率密度.4．设连续型随机变量X 的概率密度为2/2()()x f x e x R -=∈,求||Y X =的密度.*5．设1()F x 与2()F x 分别为两个随机变量的分布函数，证明：当0,0a b ≥≥且1a b +=时，)()()(21x bF x aF x +=φ可以作为某个随机变量的分布函数.§2.4 一维随机变量的数字特征1．一批零件中有9件合格品与3件次品，往机器上安装时任取一件，若取到次品就弃置一边. 求在取到合格品之前已取到的次品数的期望、方差与均方差.2．设随机变量X 的概率密度为||()0.5,,x f x e x -=-∞<<+∞求,EX DX .3．设随机变量X 的概率密度为2(1),01(),0,x x f x -≤≤⎧=⎨⎩其它求EX 与DX .4．某路公汽起点站每5分钟发出一辆车，每个乘客到达起点站的时刻在发车间隔的5分钟内均匀分布.求每个乘客候车时间的期望(假定汽车到站时，所有候车的乘客都能上车).5．某工厂生产的设备的寿命X(以年计)的概率密度为/400.25,()0,x xef xx->⎧=⎨<⎩，工厂规定，出售的设备若在一年之内损坏可以调换.若出售一台设备可赢利100元，调换一台设备厂方需花费300元，试求厂方出售一台设备净赢利的数学期望.*6．某工厂计划开发一种新产品，预计这种产品出售一件将获利500元，而积压一件将损失2000元. 而且预测到这种产品的销售量Y(件)服从指数分布(0.0001)E. 问要获得利润的数学期望最大，应生产多少件产品？第三章多维随机变量及其分布§3.1 二维随机变量1．设随机变量),(Y X 只取下列数组中的值：)0,0(、)1,1(-、)31,1(-、)0,2(且相应的概率依次为61、31、121、125.求随机变量),(Y X 的分布律与关于X 、Y 的边缘分布律.2．一只口袋中装有四只球，球上分别标有数字1、2、2、3. 从此袋中任取一只球，取后不放回，再从袋中任取一只球.分别以X 与Y 表示第一次、第二次取到的球上标有的数字，求X 与Y 的联合分布律与关于X 、Y 的边缘分布律.3．设随机变量),(Y X 的概率密度，其它+∞≤≤+∞≤≤⎩⎨⎧=+-y x ce y x f y x 0,0,0,),()(2 试求：⑴ 常数c ；⑵ ),(Y X 的分布函数),(y x F ；⑶ }1{≤+Y X P .4．设随机变量),(Y X 的概率密度为 4.8(2),01,0(,)0,y x x y xf x y -≤≤≤≤⎧=⎨⎩，其它求关于X 、Y 的边缘概率密度.5．设随机变量),(Y X 在G 上服从均匀分布，其中G 由x 轴、y 轴及直线12+=x y 所围成，试求：⑴ ),(Y X 的概率密度),(y x f ；⑵ 求关于X 、Y 的边缘概率密度.*6．设某班车起点站上车的人数X 服从参数为(0)λλ>的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为(01),p p <<乘客中途下车与否相互独立，并以Y 表示在中途下车的人数.求：⑴ 在发车时有n 个乘客的条件下，中途有m 人下车的概率；⑵ (,)X Y 的分布律.§1．设随机变量X 与Y 相互独立右表给出二维随机变量),(Y X 律及边缘分布律中的部分数值.试将其余数值填入表中的空白处.2．设随机变量),(Y X 分布律如右:⑴ a 、b 、c 时X 与Y 相互独立？⑵写出),(Y X 的分布律与边缘分布律.3．设随机变量X 在1、2、3、4四个整数中等可能地取值,而随机变量Y 在X ~1中等可能地取一个整数.求：⑴=X 2时Y ,的条件分布律；⑵=Y 1时X ,的条件分布律.4．设随机变量),(Y X 的概率密度为其它0,0,0,),()(>>⎩⎨⎧=+-y x e y x f y x .⑴ 求)|(|x y f X Y ；⑵ 求)|(|y x f Y X ；⑶ 说明X 与Y 的独立性.*5．箱子中装有12只开关(其中2只是次品)，从中取两次，每次取一只，并定义随机变量如下：0,1,X ⎧=⎨⎩若第一次取出的是正品若第一次取出的是次品； 0,1,Y ⎧=⎨⎩若第二次取出的是正品若第二次取出的是次品，试在放回抽样与不放回抽样的两种试验中，求关于X 与Y 的条件分布律，并说明X 与Y 的独立性.* 6．设随机变量),(Y X 的概率密度为,||,10(,)0,cy x x f x y <--<<⎧=⎨⎩，其它求参数c 与条件概率密度)|(,)|(||y x f x y f Y X X Y .§3.31. 设),(Y X 的分布律如右,求 ⑴0|3{,}2|2{====X Y P Y X P ⑵ ),max(Y X V =的分布律；⑶ ),min(Y X U =的分布律；⑷ Y X W +=的分布律.2．设X 与Y 是相互独立的随机变量，它们分别服从参数为1λ、2λ的泊松分布. 证明Y X Z +=服从参数为21λλ+的泊松分布.3．设随机变量X 与Y 相互独立,且都服从参数为0.25p =的两点分布，记随机变量Z 为1,0,X Y Z X Y +⎧=⎨+⎩为奇数，非为奇数求X 与Z 的联合分布律与EZ .4．设随机变量X 与Y 相互独立，其概率密度分别为321100,,(),(),32000,0,yxX Y x y e e f x f y x y --⎧⎧≥≥⎪⎪==⎨⎨<<⎪⎪⎩⎩求随机变量U X Y =+的概率密度.5．某种商品一周的需求量X 是一个随机变量，其概率密度为⎩⎨⎧≤>=-0,0,)(x x xe x f x .设各周的需求量是相互独立的，试求：⑴ 两周；⑵ 三周的需求量的概率密度.6．设某种型号的电子管的寿命(以小时记)近似地服从(1160)E 分布. 随机地选取4只，将其串联在一条线路中，求此段线路的寿命超过180小时的概率。

概率论第一章课后习题答案

《概率论与数理统计》课后习题解答习题一3．设A ,B ,C 表示三个事件,用A ,B ,C 的运算关系表示下列各事件：（1）A 发生,B 与C 不发生;（2）A 与B 都发生,而C 不发生;（3）A ,B ,C 都发生;（4）A ,B ,C 都不发生;（5）A ,B ,C 中至少有一个发生;（6）A ,B ,C 中恰有一个发生;（7）A ,B ,C 中至少有两个发生;（8）A ,B ,C 中最多有一个发生.解：（1）C B A ；（2）C AB ；（3）ABC ；（4）C B A ；（5）C B A ；（6）C B A C B A C B A ++；（7）BC AC AB ；（8）BC AC AB 或C B C A B A ．5．在房间里有10个人，分别佩戴从1号到10号的纪念章，任选3人记录其纪念章的号码．（1）求最小的号码为5的概率;（2）求最大的号码为5的概率.解：设事件A 表示“最小的号码为5”，事件B 表示“最大的号码为5”，由概率的古典定义得（1）121)(31025==C C A P ；（2）201)(31024==C C B P ． 6．一批产品共有200件，其中有6件废品，求：（1）任取3件产品恰有1件是废品的概率;（2）任取3件产品没有废品的概率;（3）任取3件产品中废品不少于2件的概率.解：设事件i A 表示“取出的3件产品中恰有i 件废品”)3,2,1,0(=i ，由概率的古典定义得（1）0855.0)(32002194161≈=C C C A P ；（2）9122.0)(320031940≈=C C A P ；（3）0023.0)(32003611942632≈+=+C C C C A A P ． 8．从0,1,2,…,9这十个数字中任意取出三个不同的数字，求下列事件的概率：A 表示“这三个数字中不含0和5”； B 表示“这三个数字中包含0或5”； C 表示“这三个数字中含0但不含5”．解：由概率的古典定义得157)(31038==C C A P ；158)(1)(=-=A P B P ；307)(31028==C C C P 9．已知5.0)(=A P ,6.0)(=B P ,8.0)(=A B P ，求)(AB P 和)(B A P ．解：4.08.05.0)|()()(=⨯==A B P A P AB P)]()()([1)(1)()(AB P B P A P B A P B A P B A P -+-=-==3.0)4.06.05.0(1=-+-=10．已知4.0)(=B P ,6.0)(=B A P ,求)(B A P ．解：314.014.06.0)(1)()()()()(=--=--==B P B P B A P B P B A P B A P 11．某种品牌电冰箱能正常使用10年的概率为9.0,能正常使用15年的概率为3.0,现某人购买的该品牌电冰箱已经正常使用了10年,问还能正常用到15年的概率是多少?解：设事件B A ,分别表示“该品牌电冰箱能正常使用10,15年”，依题可知 3.0)()(,9.0)(===B P AB P A P ，则所求的概率为319.03.0)()()|(===A P AB P A B P 12．某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨最后一个号码．（1）求他拨号不超过三次而接通的概率;（2）若已知最后一个数字是奇数，那么他拨号不超过三次而接通的概率又是多少?解：设事件A 分别表示“他拨号不超过三次而接通”，事件B 分别表示“最后一个数字是奇数”，则所求的概率为（1）103819810991109101)(=⨯⨯+⨯+=A P （2）53314354415451)|(=⨯⨯+⨯+=B A P 13．一盒里有10个电子元件,其中有7个正品,3个次品.从中每次抽取一个,不放回地连续抽取四次,求第一、第二次取得次品且第三、第四次取得正品的概率．解：设事件i A 表示“第i 次取得次品”（4,3,2,1=i ），则所求的概率为 )|()|()|()()(32142131214321A A A A P A A A P A A P A P A A A A P =201768792103=⨯⨯⨯= 14．一仓库中有10箱同种规格的产品,其中由甲、乙、丙三厂生产的分别有5箱、3箱、2箱,三厂产品的次品率依次为1.0,2.0,3.0,从这10箱中任取一箱,再从这箱中任取一件产品,求取得正品的概率．解：设事件321,,A A A 分别表示“产品是甲，乙，丙厂生产的”，事件B 表示“产品是正品”，显然，事件321,,A A A 构成一个完备事件组，且2.0102)(,3.0103)(,5.0105)(321======A P A P A P 7.03.01)|(,8.02.01)|(,9.01.01)|(321=-==-==-=A B P A B P A B P 由全概率公式得83.07.02.08.03.09.05.0)|()()(31=⨯+⨯+⨯==∑=i i i A B P A P B P15．甲、乙、丙三门高炮同时独立地各向敌机发射一枚炮弹,它们命中敌机的概率都是2.0.飞机被击中1弹而坠毁的概率为1.0,被击中2弹而坠毁的概率为5.0,被击中3弹必定坠毁.（1）求飞机坠毁的概率;（2）已知飞机已经坠毁,试求它在坠毁前只被命中1弹的概率.解：设事件i A 表示“飞机被击中i 弹而坠毁”)3,2,1(=i ，事件B 表示“飞机坠毁”，显然，事件321,,A A A 构成一个完备事件组，由二项概率公式计算得008.0)2.0()(,096.0)8.0()2.0()(,384.0)8.0()2.0()(33331223221131======C A P C A P C A P 1)|(,5.0)|(,1.0)|(321===A B P A B P A B P（1）由全概率公式得0944.01008.05.0096.01.0384.0)|()()(31=⨯+⨯+⨯==∑=i i i A B P A P B P（2）由贝叶斯公式得407.00944.01.0384.0)|()()|()()|(31111≈⨯==∑=i ii A B P A P A B P A P B A P 16．设甲袋中装有5个红球,4个白球;乙袋中装有4个红球,5个白球.先从甲袋中任取2个球放入乙袋中,然后从乙袋中任取一个球,求取到是白球的概率. 解：设事件i A 表示“从甲袋取出的2个球中有i 个白球”)2,1,0(=i ，事件B 表示“从乙袋中取出的一个球是白球”，显然，事件321,,A A A 构成一个完备事件组，且29254)(C C C A P i i i -=，115)|(i A B P i +=，)2,1,0(=i ，由全概率公式得 5354.09953115)|()()(202925420==+⋅==∑∑=-=i i i i i i i C C C A B P A P B P 17．已知男子有%5是色盲患者,女子有%25.0是色盲患者.现在从男女人数相等的人群中随机地挑选一人,恰好是色盲患者,问此人是男性的概率是多少? 解：设事件A 表示“此人是男性”，事件B 表示“此人是色盲患者”，显然，事件A A ,构成一个完备事件组，且5.0)()(==A P A P ，%25.0)|(%,5)|(==A B P A B P由贝叶斯公式得9524.02120%25.05.0%55.0%55.0)|()()|()()|()()|(≈=⨯+⨯⨯=+=A B P A P A B P A P A B P A P B A P 18．设机器正常时生产合格品的概率为%98,当机器发生故障时生产合格品的概率为%30,而机器正常（即不发生故障）的概率为%95.某天,工人使用该机器生产的第一件产品是合格品,求机器是正常的概率.解：设事件A 表示“该机器正常”，事件B 表示“产品是合格品”，显然，事件A A ,构成一个完备事件组，且%30)|(%,98)|(%,5)(1)(%,95)(===-==A B P A B P A P A P A P由贝叶斯公式得984.0%30%5%98%95%98%95)|()()|()()|()()|(≈⨯+⨯⨯=+=A B P A P A B P A P A B P A P B A P 19．三人独立地去破译一个密码,他们能够译出的概率分别是51,31,41,问能将密码译出的概率是多少?解：设事件C B A ,,分别表示“第一人，第二人，第三人破译出密码”，显然事件C B A ,,相互独立，且41)(,31)(,51)(===C P B P A P ，则所求的概率为 53)411)(311)(511(1)()()(1)(=----=-=C P B P A P C B A P 20．加工某一零件共需经过四道工序,设第一、二、三、四道工序的次品率分别是02.0,03.0,05.0和03.0.假设各道工序是互不影响的,求加工出来的零件的次品率.解：设事件i A 表示“第i 道工序加工出次品”)4,3,2,1(=i ，显然事件4321,,,A A A A 相互独立，且03.0)(,05.0)(,03.0)(,02.0)(4321====A P A P A P A P ，则所求的概率为)()()()(1)(43214321A P A P A P A P A A A A P -=124.0)03.01)(05.01)(03.01)(02.01(1=-----=21．设第一个盒子里装有3个蓝球,2个绿球,2个白球;第二个盒子里装有2个蓝球,3个绿球,4个白球.现在独立地分别从两个盒子里各取一个球.（1）求至少有一个蓝球的概率;（2）求有一个蓝球一个白球的概率;（3）已知至少有一个蓝球,求有一个蓝球一个白球的概率.解：设事件21,A A 表示“从第一个盒子里取出的球是篮球，白球”，事件21,B B 表示“从第二个盒子里取出的球是篮球，白球”，显然事件i A 与j B 相互独立)2,1;2,1(==j i ，且94)(,92)(,72)(,73)(2121====B P B P A P A P ，则所求的概率为（1）95)921)(731(1)()(1)(1111=---=-=+B P A P B A P ；（2）631692729473)()()()()(12211221=⨯+⨯=+=+B P A P B P A P B A B A P ；（3）)()])([()](|)[(11111221111221B A P B A B A B A P B A B A B A P +++=++ 3516956316)()(111221==++=B A P B A B A P 22．设一系统由三个元件联结而成（如图51-）,各个元件独立地工作,且每个元件能正常工作的概率均为p (10<<p ).求系统能正常工作的概率.图51- 解：设事件i A 表示“第i 个元件正常工作”)3,2,1(=i ，事件B 表示“该系统正常工作”，显然，事件321,,A A A 相互独立，且p A P i =)(，则所求的概率为 )()()()(])[()(32132313231321A A A P A A P A A P A A A A P A A A P B P -+=== 3232132312)()()()()()()(p p A P A P A P A P A P A P A P -=-+=24．一批产品中有%20的次品,进行放回抽样检查,共取5件样品.计算：（1）这5件样品中恰有2件次品的概率;（2）这5件样品中最多有2件次品的概率.解：设事件A 表示“该样品是次品”，显然，这是一个伯努利概型，其中%80)(%,20)(,5===A P A P n ，由二项概率公式有（1）2048.0%)80(%)20()2(32255==C P（2）942.0%)80(%)20()(2055205==∑∑=-=k k k k k C k P。

第1章概率论概要习题解答

解：(1)由 P ( A) = 0.3 ， P ( AB ) = P ( A) − P ( AB ) = 0.4 得， P ( AB ) = 0.3 （2） P ( B − A) = P ( B ) − P ( AB ) = 0.5 − 0.3 = 0.2 （3） P ( A U B ) = P ( A) + P ( B ) − P ( AB ) = 0.9 （4） P ( AB ) = P ( A U B ) = 1 − P ( A U B ) = 0.1 42．一批产品总数为 100 件，其中有 2 件为不合格品，现从中随机抽取 5 件，问其中有不合格品的概率是多少？解：设 A = {所抽取的 5 件没有不合格品}，则其中有不合格品的概率为
44. 设连续随机变量 X 的概率密度
⎧ c + x, − 1 ≤ x < 0 ⎪ p ( x ) = ⎨ c − x, 0 ≤ x ≤ 1 ⎪ 0, | x |> 1 ⎩
试求： (1)常数 c； (2)概率 P{| X |≤ 0.5} . 解：（1）由 1 =
∫
+∞
−∞
p( x)dx = ∫ (c + x)dx + ∫ (c − x)dx = 2c − 1 ，得 c = 1
．
32．设随机变量 X 的分布密度为 p ( x) = ⎨
⎧ Ax(1 − x) 2 , x ∈ (0,1) ⎩0, x ∉ (0,1)
，则常数 A = __12____．
33．设电话交换台每分钟的呼唤次数服从参数为 4 的泊松分布，则某分钟完全没有呼唤的概率为
40 −4 P( X = 0) = e = e −4 0!
P ( B ) = q ，则 P( A I B ) = ( A

第一章概率论习题解答

教案概率论与数理统计(Probability Theory and Mathematical Statistics )Exercise 1.1 向指定目标射三枪，观察射中目标的情况。

用1A 、2A 、3A 分别表示事件“第1、2、3枪击中目标”，试用1A 、2A 、3A 表示以下各事件：（1）只击中第一枪；（2）只击中一枪；（3）三枪都没击中；（4）至少击中一枪。

Solution （1）事件“只击中第一枪”，意味着第二枪不中，第三枪也不中。

所以，可以表示成 1A 32A A 。

（2）事件“只击中一枪”，并不指定哪一枪击中。

三个事件“只击中第一枪”、“只击中第二枪”、“只击中第三枪”中，任意一个发生，都意味着事件“只击中一枪”发生。

同时，因为上述三个事件互不相容，所以，可以表示成 123A A A +321A A A +321A A A .（3）事件“三枪都没击中”，就是事件“第一、二、三枪都未击中”，所以，可以表示成 123A A A .（4）事件“至少击中一枪”，就是事件“第一、二、三枪至少有一次击中”，所以，可以表示成 321A A A 或 123A A A +321A A A +321A A A +1A 32A A +321A A A +321A A A + 321A A A .Exercise 1.2 设事件B A ,的概率分别为21,31 .在下列三种情况下分别求)(A B P 的值：（１）A 与B 互斥；（２）；B A ⊂ （３）81)(=AB P ．Solution 由性质（5），)(A B P =)()(AB P B P -.（1）因为A 与B 互斥，所以φ=AB ，)(A B P =)()(AB P B P -=P(B)=21 （2）因为；B A ⊂所以)(A B P =)()(AB P B P -=)()(A P B P -=613121=-（3） )(A B P =)()(AB P B P -=838121=- Exercise 1.3 一袋中有8个大小形状相同的球，其中5个黑色球，三个白色球。

概率论与数理统计第一章习题参考解答

Bi 为事件“i 接点闭合”,i=1,2,…5
P( A) = P( A | B3)P(B3) + P( A | B3)P(B3) 其中 P( A | B3) = P((B1 ∪ B4 )(B2 ∪ B5 ))
= P(B1 ∪ B4 )P(B2 ∪ B5 )
= [1 − P(B1)P(B4 )][1 − P(B2 )P(B5 )] = [1 − (1 − p)2 ]2 = p2 (2 − p)2
片”。验证
P(AB) = P(A)P(B)，P( AC) = P( A)P(C)，P(BC) = P(B)P(C)
P(A)P(B)P(C) ≠ P(ABC)
解：显然 P( A) = P(B) = P(C) = 1 ， P( AB) = 1 , P(BC) = 1 ， P( ABC) = 1 ,
2
4
4
首位偶 : A41 A41 A82
A140
10 ⋅9 ⋅8⋅ 7 90
解法二分末位 0 和末位不为 0 两种，组成一个偶数四位数有 C41C81A82 + A93 种
∴ P( A) = C41C21 A82 + A93 = 41
A140
90
错误:认为样本空间也为四位数,实际只要求是一列.
10、求 10 人中至少有两人出生于同一月份的概率。
里选三个，所求概率为 C53 C130
1
=
12
9、在 0，1，2，3，…..，9 共 10 个数字中，任取 4 个不同数字排成一列，求这 4 个数字能组成一个偶数四位数的概率。
解：设事件“组成一个偶数四位数”为 A
任取 4 个不同数字排成一列共有： A140 种解法一组成一个偶数四位数有

概率论与数理统计习题及答案----第1章习题详解

概率论与数理统计习题及答案习题一1．略.见教材习题参考答案.2.设A，B，C为三个事件，试用A，B，C的运算关系式表示下列事件：（1）A发生，B，C都不发生；（2）A与B发生，C不发生；（3）A，B，C都发生；（4）A，B，C至少有一个发生；（5）A，B，C都不发生；（6）A，B，C不都发生；（7）A，B，C至多有2个发生；（8）A，B，C至少有2个发生.【解】（1）A BC（2）AB C（3）ABC（4）A∪B∪C=AB C∪A B C∪A BC∪A BC∪A B C∪AB C∪ABC=ABC(6) ABC(5) ABC=A B C(7) A BC∪A B C∪AB C∪AB C∪A BC∪A B C∪ABC=ABC=A∪B∪C(8) AB∪BC∪CA=AB C∪A B C∪A BC∪ABC3. 略.见教材习题参考答案4.设A，B为随机事件，且P（A）=0.7,P(A-B)=0.3，求P（AB）.【解】P（AB）=1-P（AB）=1-[P(A)-P(A-B)]=1-[0.7-0.3]=0.65.设A，B是两事件，且P（A）=0.6,P(B)=0.7,求：（1）在什么条件下P（AB）取到最大值？（2）在什么条件下P（AB）取到最小值？【解】（1）当AB=A时，P（AB）取到最大值为0.6.（2）当A∪B=Ω时，P（AB）取到最小值为0.3.6.设A，B，C为三事件，且P（A）=P（B）=1/4，P（C）=1/3且P（AB）=P（BC）=0，P（AC）=1/12，求A，B，C至少有一事件发生的概率.【解】P（A∪B∪C）=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC)=14+14+13-112=347. 从52张扑克牌中任意取出13张，问有5张黑桃，3张红心，3张方块，2张梅花的概率是多少？【解】 p =5332131313131352C C C C /C8. 对一个五人学习小组考虑生日问题：（1）求五个人的生日都在星期日的概率；（2）求五个人的生日都不在星期日的概率；（3）求五个人的生日不都在星期日的概率. 【解】（1）设A 1={五个人的生日都在星期日}，基本事件总数为75，有利事件仅1个，故 P （A 1）=517=（17）5（亦可用独立性求解，下同）（2）设A 2={五个人生日都不在星期日}，有利事件数为65，故P （A 2）=5567=(67)5(3) 设A 3={五个人的生日不都在星期日}P （A 3）=1-P (A 1)=1-(17)59. 略.见教材习题参考答案.10.一批产品共N 件，其中M 件正品.从中随机地取出n 件（n <N ）.试求其中恰有m 件（m ≤M ）正品（记为A ）的概率.如果：（1） n 件是同时取出的；（2） n 件是无放回逐件取出的；（3） n 件是有放回逐件取出的. 【解】（1） P （A ）=C C /C m n m nM N M N --(2) 由于是无放回逐件取出，可用排列法计算.样本点总数有P nN 种，n 次抽取中有m次为正品的组合数为C mn 种.对于固定的一种正品与次品的抽取次序，从M 件正品中取m 件的排列数有P m M 种，从N -M 件次品中取n -m 件的排列数为P n mN M --种，故P （A ）=C P PP m m n mn M N M n N--由于无放回逐渐抽取也可以看成一次取出，故上述概率也可写成P （A ）=C C C m n mM N Mn N--可以看出，用第二种方法简便得多.（3）由于是有放回的抽取，每次都有N 种取法，故所有可能的取法总数为N n 种，n次抽取中有m 次为正品的组合数为C mn 种，对于固定的一种正、次品的抽取次序，m 次取得正品，都有M 种取法，共有M m 种取法，n -m 次取得次品，每次都有N -M 种取法，共有（N -M ）n -m 种取法，故()C ()/m m n m nnP A M N M N -=- 此题也可用贝努里概型，共做了n 重贝努里试验，每次取得正品的概率为MN，则取得m 件正品的概率为()C 1m n mm n M M P A N N -⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11. 略.见教材习题参考答案.12. 50只铆钉随机地取来用在10个部件上，其中有3个铆钉强度太弱.每个部件用3只铆钉.若将3只强度太弱的铆钉都装在一个部件上，则这个部件强度就太弱.求发生一个部件强度太弱的概率是多少？【解】设A ={发生一个部件强度太弱}133103501()C C /C 1960P A ==13. 一个袋内装有大小相同的7个球，其中4个是白球，3个是黑球，从中一次抽取3个，计算至少有两个是白球的概率. 【解】设A i ={恰有i 个白球}（i =2,3），显然A 2与A 3互斥.213434233377C C C 184(),()C 35C 35P A P A ====故 232322()()()35P A A P A P A =+=14. 有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.7，在两批种子中各随机取一粒，求：（1）两粒都发芽的概率；（2）至少有一粒发芽的概率；（3）恰有一粒发芽的概率.【解】设A i ={第i 批种子中的一粒发芽}，（i =1,2）(1) 1212()()()0.70.80.56P A A P A P A ==⨯= (2) 12()0.70.80.70.80.94P A A =+-⨯= (3) 2112()0.80.30.20.70.38P A A A A =⨯+⨯=15. 掷一枚均匀硬币直到出现3次正面才停止.（1）问正好在第6次停止的概率；（2）问正好在第6次停止的情况下，第5次也是出现正面的概率.【解】（1） 223151115(()22232p C ==(2) 1342111C ()()22245/325p == 16. 甲、乙两个篮球运动员，投篮命中率分别为0.7及0.6，每人各投了3次，求二人进球数相等的概率.【解】设A i ={甲进i 球}，i =0,1,2,3,B i ={乙进i 球},i =0,1,2,3,则33312123330()(0.3)(0.4)C 0.7(0.3)C 0.6(0.4)i i i P A B ==+⨯⨯+ 22223333C (0.7)0.3C (0.6)0.4+(0.7)(0.6)⨯=0.3207617．从5双不同的鞋子中任取4只，求这4只鞋子中至少有两只鞋子配成一双的概率.【解】 4111152222410C C C C C 131C 21p =-= 18. 某地某天下雪的概率为0.3，下雨的概率为0.5，既下雪又下雨的概率为0.1,求：（1）在下雨条件下下雪的概率；（2）这天下雨或下雪的概率. 【解】设A ={下雨}，B ={下雪}.（1） ()0.1()0.2()0.5P AB p B A P A === （2） ()()()()0.30.50.10.7p A B P A P B P AB =+-=+-=19. 已知一个家庭有3个小孩，且其中一个为女孩，求至少有一个男孩的概率（小孩为男为女是等可能的）.【解】设A ={其中一个为女孩}，B ={至少有一个男孩}，样本点总数为23=8，故()6/86()()7/87P AB P B A P A === 或在缩减样本空间中求，此时样本点总数为7.6()7P B A =20. 已知5%的男人和0.25%的女人是色盲，现随机地挑选一人，此人恰为色盲，问此人是男人的概率（假设男人和女人各占人数的一半）.【解】设A ={此人是男人}，B ={此人是色盲}，则由贝叶斯公式()()()()()()()()()P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A ==+0.50.05200.50.050.50.002521⨯==⨯+⨯ 21. 两人约定上午9∶00~10∶00在公园会面，求一人要等另一人半小时以上的概率.题21图题22图【解】设两人到达时刻为x,y,则0≤x,y≤60.事件“一人要等另一人半小时以上”等价于|x-y|>30.如图阴影部分所示.22301604P==22. 从（0，1）中随机地取两个数，求：（1）两个数之和小于65的概率；（2）两个数之积小于14的概率.【解】设两数为x,y，则0<x,y<1.（1）x+y<65.11441725510.68125p=-==(2) xy=<14.1111244111d d ln242xp x y⎛⎫=-=+⎪⎝⎭⎰⎰23. 设P（A）=0.3,P(B)=0.4,P(A B)=0.5，求P（B｜A∪B）【解】()()()()()()()()P AB P A P ABP B A BP A B P A P B P AB-==+-0.70.510.70.60.54-==+-24. 在一个盒中装有15个乒乓球，其中有9个新球，在第一次比赛中任意取出3个球，比赛后放回原盒中；第二次比赛同样任意取出3个球，求第二次取出的3个球均为新球的概率.【解】设A i ={第一次取出的3个球中有i 个新球}，i =0,1,2,3.B ={第二次取出的3球均为新球}由全概率公式，有3()()()i i i P B P B A P A ==∑33123213336996896796333333331515151515151515C C C C C C C C C C C C C C C C C C =∙+∙+∙+∙0.089=25. 按以往概率论考试结果分析，努力学习的学生有90%的可能考试及格，不努力学习的学生有90%的可能考试不及格.据调查，学生中有80%的人是努力学习的，试问：（1）考试及格的学生有多大可能是不努力学习的人？（2）考试不及格的学生有多大可能是努力学习的人？【解】设A ={被调查学生是努力学习的}，则A ={被调查学生是不努力学习的}.由题意知P（A ）=0.8，P （A ）=0.2，又设B ={被调查学生考试及格}.由题意知P （B |A ）=0.9，P （B |A ）=0.9，故由贝叶斯公式知（1）()()()()()()()()()P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A ==+ 0.20.110.027020.80.90.20.137⨯===⨯+⨯即考试及格的学生中不努力学习的学生仅占2.702% (2) ()()()()()()()()()P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A ==+ 0.80.140.30770.80.10.20.913⨯===⨯+⨯即考试不及格的学生中努力学习的学生占30.77%.26. 将两信息分别编码为A 和B 传递出来，接收站收到时，A 被误收作B 的概率为0.02，而B 被误收作A 的概率为0.01.信息A 与B 传递的频繁程度为2∶1.若接收站收到的信息是A ，试问原发信息是A 的概率是多少？【解】设A ={原发信息是A }，则={原发信息是B }C ={收到信息是A }，则={收到信息是B } 由贝叶斯公式，得()()()()()()()P A P C A P A C P A P C A P A P C A =+2/30.980.994922/30.981/30.01⨯==⨯+⨯27. 在已有两个球的箱子中再放一白球，然后任意取出一球，若发现这球为白球，试求箱子中原有一白球的概率（箱中原有什么球是等可能的颜色只有黑、白两种）【解】设A i ={箱中原有i 个白球}（i =0,1,2），由题设条件知P （A i ）=13,i =0,1,2.又设B ={抽出一球为白球}.由贝叶斯公式知111120()()()()()()()i i i P B A P A P A B P A B P B P B A P A ===∑2/31/311/31/32/31/311/33⨯==⨯+⨯+⨯28. 某工厂生产的产品中96%是合格品，检查产品时，一个合格品被误认为是次品的概率为0.02，一个次品被误认为是合格品的概率为0.05，求在被检查后认为是合格品产品确是合格品的概率.【解】设A ={产品确为合格品}，B ={产品被认为是合格品}由贝叶斯公式得()()()()()()()()()P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A ==+0.960.980.9980.960.980.040.05⨯==⨯+⨯29. 某保险公司把被保险人分为三类：“谨慎的”，“一般的”，“冒失的”.统计资料表明，上述三种人在一年内发生事故的概率依次为0.05,0.15和0.30；如果“谨慎的”被保险人占20%，“一般的”占50%，“冒失的”占30%，现知某被保险人在一年内出了事故，则他是“谨慎的”的概率是多少？【解】设A ={该客户是“谨慎的”}，B ={该客户是“一般的”}，C ={该客户是“冒失的”}，D ={该客户在一年内出了事故} 则由贝叶斯公式得()()(|)(|)()()(|)()(|)()(|)P AD P A P D A P A D P D P A P D A P B P D B P C P D C ==++ 0.20.050.0570.20.050.50.150.30.3⨯==⨯+⨯+⨯30. 加工某一零件需要经过四道工序，设第一、二、三、四道工序的次品率分别为0.02,0.03,0.05,0.03，假定各道工序是相互独立的，求加工出来的零件的次品率. 【解】设A i ={第i 道工序出次品}（i =1,2,3,4）.412341()1()i i P A P A A A A ==-12341()()()()P A P A P A P A =-10.980.970.950.970.124=-⨯⨯⨯= 31. 设每次射击的命中率为0.2，问至少必须进行多少次独立射击才能使至少击中一次的概率不小于0.9?【解】设必须进行n 次独立射击.1(0.8)0.9n -≥即为 (0.8)0.1n≤ 故 n ≥11 至少必须进行11次独立射击.32. 证明：若P （A ｜B ）=P (A ｜B )，则A ，B 相互独立.【证】 (|)(|)P A B P A B =即()()()()P AB P AB P B P B =亦即 ()()()()P AB P B P AB P B =()[1()][()()]()P AB P B P A P AB P B -=-因此 ()()()P AB P A P B = 故A 与B 相互独立.33. 三人独立地破译一个密码，他们能破译的概率分别为15，13，14，求将此密码破译出的概率.【解】设A i ={第i 人能破译}（i =1,2,3），则31231231()1()1()()()i i P A P A A A P A P A P A ==-=-42310.6534=-⨯⨯= 34. 甲、乙、丙三人独立地向同一飞机射击，设击中的概率分别是0.4,0.5,0.7，若只有一人击中，则飞机被击落的概率为0.2；若有两人击中，则飞机被击落的概率为0.6；若三人都击中，则飞机一定被击落，求：飞机被击落的概率. 【解】设A ={飞机被击落}，B i ={恰有i 人击中飞机}，i =0,1,2,3由全概率公式，得3()(|)()i i i P A P A B P B ==∑=(0.4×0.5×0.3+0.6×0.5×0.3+0.6×0.5×0.7)0.2+(0.4×0.5×0.3+0.4×0.5×0.7+0.6×0.5×0.7)0.6+0.4×0.5×0.7 =0.45835. 已知某种疾病患者的痊愈率为25%，为试验一种新药是否有效，把它给10个病人服用，且规定若10个病人中至少有四人治好则认为这种药有效，反之则认为无效，求：（1）虽然新药有效，且把治愈率提高到35%，但通过试验被否定的概率.（2）新药完全无效，但通过试验被认为有效的概率. 【解】（1） 310110C(0.35)(0.65)0.5138k k k k p -===∑(2) 10102104C(0.25)(0.75)0.2241kk k k p -===∑36. 一架升降机开始时有6位乘客，并等可能地停于十层楼的每一层.试求下列事件的概率：（1） A =“某指定的一层有两位乘客离开”；（2） B =“没有两位及两位以上的乘客在同一层离开”；（3） C =“恰有两位乘客在同一层离开”；（4） D =“至少有两位乘客在同一层离开”.【解】由于每位乘客均可在10层楼中的任一层离开，故所有可能结果为106种.（1） 2466C 9()10P A =，也可由6重贝努里模型： 224619()C ()()1010P A =（2） 6个人在十层中任意六层离开，故6106P ()10P B =（3）由于没有规定在哪一层离开，故可在十层中的任一层离开，有110C 种可能结果，再从六人中选二人在该层离开，有26C 种离开方式.其余4人中不能再有两人同时离开的情况，因此可包含以下三种离开方式：①4人中有3个人在同一层离开，另一人在其余8层中任一层离开，共有131948C C C 种可能结果；②4人同时离开，有19C 种可能结果；③4个人都不在同一层离开，有49P 种可能结果，故1213114610694899()C C (C C C C P )/10P C =++（4） D=B .故6106P ()1()110P D P B =-=-37. n 个朋友随机地围绕圆桌而坐，求下列事件的概率：（1）甲、乙两人坐在一起，且乙坐在甲的左边的概率；（2）甲、乙、丙三人坐在一起的概率；（3）如果n 个人并排坐在长桌的一边，求上述事件的概率. 【解】（1） 111p n =-(2) 23!(3)!,3(1)!n p n n -=>-(3) 12(1)!13!(2)!;,3!!n n p p n n n n --''===≥ 38. 将线段[0，a ]任意折成三折，试求这三折线段能构成三角形的概率【解】设这三段长分别为x ,y ,a -x -y .则基本事件集为由0<x <a ,0<y <a ,0<a -x -y <a 所构成的图形，有利事件集为由()()x y a x y x a x y y y a x y x+>--⎡⎢+-->⎢⎢+-->⎣ 构成的图形，即02022a x a y ax y a ⎡<<⎢⎢⎢<<⎢⎢⎢<+<⎢⎣ 如图阴影部分所示，故所求概率为14p =. 39. 某人有n 把钥匙，其中只有一把能开他的门.他逐个将它们去试开（抽样是无放回的）.证明试开k 次（k =1,2,…,n ）才能把门打开的概率与k 无关.【证】 11P 1,1,2,,P k n k n p k n n--=== 40.把一个表面涂有颜色的立方体等分为一千个小立方体，在这些小立方体中，随机地取出一个，试求它有i 面涂有颜色的概率P （A i ）（i =0,1,2,3）. 【解】设A i ={小立方体有i 面涂有颜色}，i =0,1,2,3.在1千个小立方体中，只有位于原立方体的角上的小立方体是三面有色的，这样的小立方体共有8个.只有位于原立方体的棱上（除去八个角外）的小立方体是两面涂色的，这样的小立方体共有12×8=96个.同理，原立方体的六个面上（除去棱）的小立方体是一面涂色的，共有8×8×6=384个.其余1000-（8+96+384）=512个内部的小立方体是无色的，故所求概率为01512384()0.512,()0.38410001000P A P A ====, 24968()0.096,()0.00810001000P A P A ====.41.对任意的随机事件A ，B ，C ，试证P （AB ）+P （AC ）-P （BC ）≤P (A ). 【证】 ()[()]()P A P A B C P AB AC ≥= ()()()P AB P AC P ABC =+-()()()P AB P AC P BC ≥+-42. 将3个球随机地放入4个杯子中去，求杯中球的最大个数分别为1，2，3的概率. 【解】设i A ={杯中球的最大个数为i },i =1,2,3.将3个球随机放入4个杯子中，全部可能放法有43种，杯中球的最大个数为1时，每个杯中最多放一球，故3413C 3!3()48P A ==而杯中球的最大个数为3，即三个球全放入一个杯中，故1433C 1()416P A ==因此 213319()1()()181616P A P A P A =--=--= 或 12143323C C C 9()416P A ==43. 将一枚均匀硬币掷2n 次，求出现正面次数多于反面次数的概率.【解】掷2n 次硬币，可能出现：A ={正面次数多于反面次数}，B ={正面次数少于反面次数}，C ={正面次数等于反面次数}，A ，B ，C 两两互斥.可用对称性来解决.由于硬币是均匀的，故P （A ）=P （B ）.所以1()()2P C P A -=由2n 重贝努里试验中正面出现n 次的概率为211()()(22n n nn P C C =故 2211()[1C ]22nn n P A =-44. 掷n 次均匀硬币，求出现正面次数多于反面次数的概率.【解】设A ={出现正面次数多于反面次数}，B ={出现反面次数多于正面次数}，由对称性知P （A ）=P （B ）（1）当n 为奇数时，正、反面次数不会相等.由P （A ）+P （B ）=1得P （A ）=P （B ）=0.5(2) 当n 为偶数时，由上题知211()[1C (]22nn n P A =-45. 设甲掷均匀硬币n +1次，乙掷n 次，求甲掷出正面次数多于乙掷出正面次数的概率.【解】令甲正=甲掷出的正面次数，甲反=甲掷出的反面次数.乙正=乙掷出的正面次数，乙反=乙掷出的反面次数. 显然有>正正（甲乙）=（甲正≤乙正）=（n +1-甲反≤n -乙反）=（甲反≥1+乙反）=（甲反>乙反）由对称性知P （甲正>乙正）=P （甲反>乙反）因此P (甲正>乙正)=1246. 证明“确定的原则”（Sure -thing ）：若P （A |C ）≥P (B |C ),P (A |)≥P (B |)，则P （A ）≥P (B ).【证】由P （A |C ）≥P (B |C ),得()(),()()P AC P BC P C P C ≥即有 ()()P AC P BC ≥ 同理由 (|)(|),P A C P B C ≥ 得 ()(),P AC P BC ≥故 ()()()()()()P A P AC P AC P BC P BC P B =+≥+= 47.一列火车共有n 节车厢，有k (k ≥n )个旅客上火车并随意地选择车厢.求每一节车厢内至少有一个旅客的概率.【解】设A i ={第i 节车厢是空的}，（i =1,…,n ）,则121(1)1()(12()(1)1()(1)n k ki k ki j ki i i n P A n nP A A nn P A A A n--==-=--=-其中i 1,i 2,…,i n -1是1，2，…，n 中的任n -1个. 显然n 节车厢全空的概率是零，于是2112111122111111123111()(1)C (12()C (11()C (10()(1)n n nk ki ni k i j ni j nn kn i i i n i i i nn nn i ni S P A n n n S P A A n n S P A A A nS P A S S S S --=≤<≤--≤<<≤+===-=-==--==-==-+-+-∑∑∑121121C (1C (1)(1)C (1k k n n kn n n n n n n--=---++--故所求概率为121121()1C (1)C (1nk i i n n i P A n n =-=--+--+ 111(1)C (1)n n k nn n+---- 48.设随机试验中，某一事件A 出现的概率为ε>0.试证明：不论ε>0如何小，只要不断地独立地重复做此试验，则A 迟早会出现的概率为1. 【证】在前n 次试验中，A 至少出现一次的概率为1(1)1()n n ε--→→∞49.袋中装有m 只正品硬币，n 只次品硬币（次品硬币的两面均印有国徽）.在袋中任取一只，将它投掷r 次，已知每次都得到国徽.试问这只硬币是正品的概率是多少？【解】设A ={投掷硬币r 次都得到国徽}B ={这只硬币为正品} 由题知 (),()m nP B P B m n m n==++ 1(|),(|)12r P A B P A B ==则由贝叶斯公式知()()(|)(|)()()(|)()(|)P AB P B P A B P B A P A P B P A B P B P A B ==+ 121212rrr m m m n m nm n m n m n+==++++ 50.巴拿赫（Banach ）火柴盒问题：某数学家有甲、乙两盒火柴，每盒有N 根火柴，每次用火柴时他在两盒中任取一盒并从中任取一根.试求他首次发现一盒空时另一盒恰有r 根的概率是多少？第一次用完一盒火柴时（不是发现空）而另一盒恰有r 根的概率又有多少？【解】以B 1、B 2记火柴取自不同两盒的事件，则有121()()2P B P B ==.（1）发现一盒已空，另一盒恰剩r 根，说明已取了2n -r 次，设n 次取自B 1盒（已空），n -r 次取自B 2盒，第2n -r +1次拿起B 1，发现已空。

概率论与数理统计第一章课后习题及参考答案

概率论与数理统计第一章课后习题及参考答案1．写出下列随机试验的样本空间．(1)记录一个小班一次数学考试的平均分数(以百分制记分)；(2)一个口袋中有5个外形相同的球，编号分别为1，2，3，4，5，从中同时取出3个球；(3)某人射击一个目标，若击中目标，射击就停止，记录射击的次数；(4)在单位圆内任意取一点，记录它的坐标．解：(1)}100,,2,1{ =Ω；(2)}345,235,234,145,135,134,125,124,123{=Ω；(3)},2,1{ =Ω；(4)}|),{(22y x y x +=Ω．2．在}10,,2,1{ =Ω，}432{，，=A ，}5,4,3{=B ，}7,6,5{=C ，具体写出下列各式：(1)B A ；(2)B A ；(3)B A ；(4)BC A ；(5)C B A ．解：(1),9,10}{1,5,6,7,8=A ，}5{=B A ；(2)}10,9,8,7,6,5,4,3,1{=B A ；(3)法1：}10,9,8,7,6,2,1{=B ，}10,9,8,7,6,1{=B A ，}5,4,3,2{=B A ；法2：}5,4,3,2{===B A B A B A ；(4)}5{=BC ，}10,9,8,7,6,4,3,2,1{=BC ，}4,3,2{=BC A ，}10,9,8,7,6,5,1{=BC A ；(5)}7,6,5,4,3,2{=C B A ，{1,8,9,10}=C B A ．3．设}20|{≤≤=Ωx x ，}121|{≤<=x x A ，}2341|{≤≤=x x B ，具体写出下列各式：(1)B A ；(2)B A ；(3)AB ；(4)B A ．解：(1)B B A = ，}223,410|{≤<<≤==x x x B B A ；(2)=B A ∅；(3)A AB =，}21,210|{≤<≤≤==x x x A AB ；(4)}231,2141|{<<<≤=x x x B A ．4．化简下列各式：(1)))((B A B A ；(2)))((C B B A ；(3)))((B A B A B A ．解：(1)A B B A B A B A ==)())(( ；(2)AC B C A B C B B A ==)())((；(3))())()((B A B B A B A B A B A =AB AB A A B A A === )(．5．A ，B ，C 表示3个事件，用文字解释下列事件的概率意义：(1)C B A C A C B A ；(2)BC AC AB ；(3)(C B A ；(4)BC AC AB ．解：(1)A ，B ，C 恰有一个发生；(2)A ，B ，C 中至少有一个发生；(3)A 发生且B 与C 至少有一个不发生；(4)A ，B ，C 中不多于一个发生．6．对于任意事件A ，B ，证明：Ω=-A B A AB )(．证：A B B A A B A AB A B A AB )()(==-Ω==Ω=A A A A ．7．把事件C B A 表示为互不相容事件的和事件．解：)()[(C A B A A A C B A C B A =-=)(B A A A A C A B A A ==CB A BC A B A A )(=C B A B A A =．8．设0)(>A P ，0)(>B P ，将下列5个数)(A P ，)()(B P A P -，)(B A P -，)()(B P A P +，)(B A P 按有小到大的顺序排列，用符号“≤”联结它们，并指出在什么情况下可能有等式成立．解：因为0)(>A P ，0)(>B P ，)()(B P AB P ≤，故)()()()()()()()()(B P A P B A P A P B A P AB P A P B P A P +≤≤≤-=-≤- ，所以)()()()()()()(B P A P B A P A P B A P B P A P +≤≤≤-≤- ．(1)若A B ⊂，则有)()()(B A P B P A P -=-，)()(B A P A P =；(2)若=AB ∅，则有)()(A P B A P =-，)()()(B P A P B A P += ．9．已知B A ⊂，3.0)(=A P ，5.0)(=B P ，求)(A P ，)(AB P ，)(B A P 和)(B A P ．解：(1)7.0)(1)(=-=A P A P ；(2)∵B A ⊂，∴A AB =，则3.0)()(==A P AB P ；(3)2.0)()()()(=-=-=AB P B P A B P B A P ；(4))(1()(B A P B A P B A P -==5.0)]()()([1=-+-=AB P B P A P ．10．设有10件产品，其中6件正品，4件次品，从中任取3件，求下列事件的概率．(1)只有1件次品；(2)最多1件次品；(3)至少一件次品．解：从10件产品中任取3件，共有310C 种取法，(1)记=A {从10件产品中任取3件，只有1件次品}，只有1件次品，可从4件次品中任取1件次品，共14C 中取法，另外的两件为正品，从6件正品中取得，共26C 种取法．则事件A 共包含2614C C 个样本点，21)(3102614==C C C A P ．(2)记=B {从10件产品中任取3件，最多有1件次品}，=C {从10件产品中任取3件，没有次品}，则C A B =，且A 与C 互不相容．没有次品，即取出的3件产品全是正品，共有36C 种取法，则61)(31036==C C C P ，32)()()()(=+==C P A P C A P B P ．(3)易知=C {从10件产品中任取3件，至少有1件次品}，则65)(1(=-=C P C P ．11．盒子里有10个球，分别标有从1到10的标号，任选3球，记录其号码，求：(1)最小号码为5的概率；(2)最大号码为5的概率．解：从10个球中任选3球，共有310C 种选法，(1)记=A {从10个球中任选3球，最小标号为5}，事件A 发生，则选出球的最小标号为5，另外两个球的标号只可从6，7，8，9，10这5个数中任选，共有25C 种选法，则121)(31025==C C A P ．(2)记=B {从10个球中任选3球，最大标号为5}，事件B 发生，则选出球的最大标号为5，另外两个球的标号只可从1，2，3，4这4个数中任选，共有24C 种选法，则201)(31024==C C B P ．12．设在口袋中有a 个白球，b 个黑球，从中一个一个不放回地摸球，直至留在在口袋中的球都是同一种颜色为止．求最后是白球留在口袋中的概率．解：设=A {最后是白球留在口袋中}，事件A 即把b a +个球不放回地一个一个摸出来，最后摸到的是白球，此概率显然为ba a A P +=)(．13．一间学生寝室中住有6位同学，假定每个人的生日在各个月份的可能性相同，求下列事件的概率：(1)6个人中至少有1人的生日在10月份；(2)6个人中有4人的生日在10月份；(3)6个人中有4人的生日在同一月份．解：设=i B {生日在i 月份}，则=i B {生日不在i 月份}，12,,2,1 =i ，易知121)(=i B P ，1211)(=i B P ，12,,2,1 =i ．(1)设=A {6个人中至少有1人的生日在10月份}，则=A {6个人中没有一个人的生日在10月份}，66101211(1)]([1)(1)(-=-=-=B P A P A P ；(2)设=C {6个人中有4人的生日在10月份}，则62244621041046121115)1211()121()]([)]([)(⋅===C B P B P C C P ；(3)设=D {6个人中有4人的生日在同一月份}，则52112121115)()(⋅==C P C D P ．14．在半径为R 的圆内画平行弦，如果这些弦与垂直于弦的直径的交点在该直径上的位置是等可能的，即交点在这一直径上一个区间内的可能性与此区间的长度成正比，求任意画的弦的长度大于R 的概率．解：设弦与该直径的交点到圆心的距离为x ，已知，当R x 23<，弦长大于半径R ，从而所求的概率为232232=⋅=R R P ．15．甲乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头停泊，它们在同一昼夜内到达的时刻是等可能的，如果甲船的停泊时间是1h ，乙船的停泊时间是2h ，求它们中的任何一艘都不需要等候码头空出的概率．解：设=A {两艘中的任何一艘都不需要等候码头空出}，则=A {一艘船到达泊位时必须等待}，分别用x 和y 表示第一、第二艘船到达泊位的时间，则}10,20|),{(≤-≤≤-≤=x y y x y x A ，从而1207.0242221232124)()()(2222≈⋅-⋅-=Ω=μμA A P ；8993.0)(1)(≈-=A P A P ．16．甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被击中，问由甲射中的概率为多少？解：设=A {甲击中目标}，=B {乙击中目标}，=C {目标被击中}，则B A C =，由题设知A 与B 相互独立，且6.0)(=A P ，5.0)(=B P ，所以)()()()()(AB P B P A P B A P C P -+== 8.0)()()()(=-+=B P A P B P A P ，从而43)()()()()|(===C P A P C P AC P C A P ．17．某地区位于河流甲与河流乙的汇合点，当任一河流泛滥时，该地区即被淹没，设在某时期内河流甲泛滥的概率是0.1，河流乙泛滥的概率是0.2，又当河流甲泛滥时引起河流乙泛滥的概率为0.3，求在该时期内这个地区被淹没的概率，又当河流乙泛滥时，引起河流甲泛滥的概率是多少？解：=A {甲河流泛滥}，=B {乙河流泛滥}，=C {该地区被淹没}，则B A C =，由题设知1.0)(=A P ，2.0)(=B P ，3.0)|(=A B P ，从而)()()()()(AB P B P A P B A P C P -+== 27.0)|()()()(=-+=A B P A P B P A P ，15.0)()|()()()()|(===B P A B P A P B P AB P B A P ．18．设n 件产品中有m 件不合格品，从中任取两件，已知两件中有一件不合格品，求另一件也是不合格品的概率．解：设=A {有一件产品是不合格品}，=B {另一件产品也是不合格品}，=i D {取出的两件产品中有i 件不合格品}，2,1,0=i ，显然，21D D A =，=21D D ∅，2D B AB ==．=Ω{从n 件产品种任取两件}，共有2nC 种取法；若1D 发生，即取出的两件产品中有1件不合格品，则该不合格品只能从m 件不合格品中取得，共有1m C 种取法；另一件为合格品，只能从m n -件合格品中取得，共有1m n C -种取法，则事件1D 中共有11m n m C C -个样本点，)1()(2)(2111--==-n n m n m C C C D P n m n m ，类似地，)1()1()(222--==n n m m C C D P n m ，所以)1()1()(2)()()()(2121--+-=+==n n m m m n m D P D P D D P A P ，)1()1()()(2--==n n m m D P AB P ，于是所求概率为121)()()|(---==m n m A P AB P A B P ．19．10件产品中有3件次品，每次从其中任取一件，取出的产品不再放回去，求第三次才取得合格品的概率．解：设=i A {第i 次取得合格品}，3,2,1=i ，则所求概率为12878792103)|()|()()(213121321=⋅⋅==A A A P A A P A P A A A P ．20．设事件A 与B 互不相容，且1)(0<<B P ，证明：)(1)(|(B P A P B A P -=．证：∵事件A 与B 互不相容，则0)(=AB P ，)(1)()(1)()()(1)()()()|(B P A P B P AB P A P B P B A P B P B A P B A P -=--=--==．21．设事件A 与B 相互独立，3.0)(=A P ，45.0)(=B P ，求下列各式的值：(1))|(A B P ；(2))(B A P ；(3)(B A P ；(4)|(B A P ．解：∵事件A 与相互独立，∴事件A 与B 也相互独立，(1)45.0)()|(==B P A B P ；(2))()()()(AB P B P A P B A P -+= )()()()(B P A P B P A P -+=615.0=；(3)385.0)](1)][(1[)(()(=--==B P A P B P A P B A P ；(4)7.0()|(==A P B A P ．22．某种动物活到10岁的概率为0.92，活到15岁的概率为0.67，现有一只10岁的该种动物，求其能活到15岁的概率．解：设=A {该种动物能活到10岁}，=B {该种动物能活到15岁}，显然A B ⊂，由题设可知92.0)(=A P ，67.0)(=B P ，所以9267)()()()()|(===A P B P A P AB P A B P ．23．某商店出售的电灯泡由甲、乙两厂生产，其中甲厂的产品占60%，乙厂的产品占40%，已知甲厂产品的次品率为4%，乙厂的次品率为5%．一位顾客随机地取出一个电灯泡，求它是合格品的概率．解：设=A {电灯泡是次品}，=1B {电灯泡由甲厂生产}，=2B {电灯泡由乙厂生产}，则=A {电灯泡是合格品}．由题设可知6.0)(1=B P ，4.0)(2=B P ，04.0)|(1=B A P ，05.0)|(2=B A P ，044.0)|()()|()()(2211=+=B A P B P B A P B P A P ，所以956.0)(1)(=-=A P A P ．24．已知男子有5%是色盲患者，女子有0.25%是色盲患者．今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？解：设=A {选出的人是色盲患者}，=B {选出的人是男性}，=B {选出的人是女性}，由题设可知21()(==B P B P ，05.0)|(=B A P ，0025.0)|(=B A P ，则2120)|()()|()()|()()|(=+=B A P B P B A P B P B A P B P A B P ．25．甲、乙、丙三人独立地向一敌机射击，设甲、乙、丙命中率分别为0.4，0.5和0.7，又设敌机被击中1次、2次、3次而坠毁的概率分别为0.2，0.6和1．现三人向敌机各射击一次，求敌机坠毁的概率．解：设1A ，2A ，3A 分别表示甲、乙、丙射击击中敌机，=i B {敌机被击中i 次}，3,2,1=i ，=C {敌机坠毁}，则3213213211A A A A A A A A A B =，3213213212A A A A A A A A A B =，3213A A A B =，由题设可知4.0)(1=A P ，5.0)(2=A P ，7.0)(3=A P ，2.0)|(1=B C P ，6.0)|(2=B C P ，1)|(3=B C P ，则)()()()(3213213211A A A P A A A P A A A P B P ++=)()()()()()()()()(321321321A P A P A P A P A P A P A P A P A P ++=36.0=，类似地，51.0)(2=B P ，14.0)(3=B P ，由全概率公式得458.0)|()()(31==∑=i i i B C P B P C P ．26．三人独立地破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为51，31和41．问三人中至少有一人能将此密码译出的概率是多少？解：分别设事件A ，B ，C 为甲、乙、丙破译密码，则三人中至少有一人能将此密码译出可表示为C B A ，有)()()()()()()()(ABC P BC P AC P AB P C P B P A P C B A P +---++= )()()()()()()()()()()()(C P B P A P C P B P C P A P B P A P C P B P A P +---++=53=．27．甲袋中装有n 只白球、m 只红球，乙袋中装有N 只白球、M 只红球．今从甲袋中任意取一只球放入乙袋中，再从乙袋中任意取一只球，问取到白球的概率是多少？解：设=A {从甲袋中取出白球}，=B {从乙袋中取出白球}，则由题设可知m n n A P +=)(，m n m A P +=(，11)|(+++=M N N A B P ，1|(++=M N N A B P ，由全概率公式，得)|(()|()()(A B P A P A B P A P B P +=)1)(()1(+++++=N M n m mN N n ．28．从区间)1,0(内任取两个数，求这两个数的和小于1.2的概率．解：设x 和y 分别为所取的两个数，显然10≤≤x ，10≤≤y ，即试验的样本空间为边长为1的单位正方形，记}2.1|),{(<+=y x y x A ，由几何概型，有68.0118.08.02111)(=⨯⨯⨯-⨯=A P ．29．一个系统由4个元件联结而成(如图)，每个元件的可靠性(即元件能正常工作的概率)为r (10<<r )，假设各个元件独立地工作，求系统的可靠性．解：设=i A {第i 个元件能正常工作}，4,3,2,1=i ，=B {系统能正常工作}，则4314214321)(A A A A A A A A A A B ==，由题知r A P i =)(，i A 相互独立，4,3,2,1=i ，所以)()(431421A A A A A A P B P =)()()(4321431421A A A A P A A A P A A A P -+=)(()()()()()()()()(4321431421A P A P A P A P A P A P A P A P A P A P -+=3)2(r r -=．30．某篮球运动员投篮命中的概率为0.8，求他在5次独立投篮中至少命中2次的概率．解：设=A {该篮球运动员5次独立投篮中至少命中2次}，=i B {该篮球运动员5次独立投篮中命中的次数}，5,,1,0 =i ，则由题可知5432B B B B A =，10B B A =，i B 互不相容，5,,1,0 =i ，所以)()(1)(1)(10B P B P A P A P --=-=9933.02.08.02.08.0141155005=⋅⋅-⋅⋅-=C C ．31．设概率统计课的重修率为5%，若某个班至少一人重修的概率不小于0.95，1324问这个班至少有多少名同学？解：设该班有n 名同学，=A {该班每名同学概率统计课重修}，=i B {该班n 名同学中有i 名同学概率统计课重修}，=C {该班n 名同学中至少有1名同学概率统计课重修}，则 ni i n B B B B C 121===，0B C =，由题可知05.0)(=A P ，n n n C B P C P C P 95.0195.005.01)(1)(1)(000-=⋅⋅-=-=-=，由题意，应有95.095.01=-n ，解得59=n ．32．某种灯泡使用时数在1000h 以上的概率为0.6，求3个灯泡在使用1000h 以后最多有1个损坏的概率．解：设=A {该种灯泡使用时数在h 1000以上}，=i B {3个灯泡在使用h 1000以后有i 个损坏}，3,2,1,0=i ，=C {3个灯泡在使用h 1000以后最多有1个损坏}，则10B B C =，由题知6.0)(=A P ，i B 互不相容，3,2,1,0=i ，所以648.06.04.06.04.0)()()(2113300310=⋅⋅+⋅⋅=+=C C B P B P C P ．33．甲、乙两名篮球运动员投篮的命中率分别为0.7和0.6，每人投篮3次，求：(1)二人进球数相等的概率；(2)甲比乙进球数多的概率．解：设=A {甲篮球运动员投篮命中}，=B {乙篮球运动员投篮命中}，=i A {甲篮球运动员投篮命中i 次}，3,2,1,0=i ，=i B {乙篮球运动员投篮命中i 次}，3,2,1,0=i ，=C {甲、乙进球数相等}，=D {甲比乙进球数多}，由题可知A 与B 相互独立，i A 相互独立，i B 相互独立，i A 与i B 相互独立，7.0)(=A P ，6.0)(=B P ，i i i i C A P -⋅⋅=333.07.0)(，i i i i C B P -⋅⋅=334.06.0)(，3,2,1,0=i ，(1) 30==i i i B A C ∑∑======303030)()()()()(i i i i i i i i i B P A P B A P B A P C P 3208.0=；(2)3310201)(B A B B A B A D =，从而有))(()(3310201B A B B A B A P D P =)(]([)(3310201B A P B B A P B A P ++= )()()()(33120201B A P B A P B A P B A P +++=)()()()()()()()(33120201B P A P B P A P B P A P B P A P +++=4362.0=．34．若三事件A ，B ，C 相互独立，证明：B A 及B A -都与C 相互独立．证：(1))())((BC AC P C B A P =)()()(ACBC P BC P AC P -+=)()()(ABC P BC P AC P -+=)()()()()()()(C P B P A P C P B P C P A P -+=)()]()()()([C P B P A P B P A P -+=)()]()()([C P AB P B P A P -+=)()(C P B A P =所以B A 与C 相互独立．(2))())((BC AC P C B A P -=-)()(ABC P AC P -=)()()()()(C P B P A P C P A P -=)()]()()([C P B P A P A P -=)()]()([C P AB P A P -=)()(C P B A P -=，所以B A -与C 相互独立．35．设袋中有1个黑球和1-n 个白球，每次从袋中随机摸出一球，并放入一个白球，连续进行，问第k 次摸到白球的概率是多少？解：设=A {第k 次摸到白球}，=A {第k 次摸到黑球}，A 发生表示前1-k 次摸球摸到的都是白球，第k 次摸到的是黑球．前1-k 次摸球，每次摸到白球的概率均为n n 1-，第k 次摸到黑球的概率为n 1，每次摸球相互独立，可知nn n A P k 1)1()(1⋅-=-，则n n n A P A P k 11(1)(1)(1⋅--=-=-．。

概率论第1章习题解

习题1解答1. 写出下列随机试验的样本空间Ω：（1）记录一个班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分）；（2）生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数；（3）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的记为“正品”，不合格的记为“次品”，如连续查出了2件次品就停止检查，或检查了4件产品就停止检查，记录检查的结果；（4）在单位圆内任意取一点，记录它的坐标.解：（1）以n 表示该班的学生人数，总成绩的可能取值为0，1，2，…，100n ，所以该试验的样本空间为{|0,1,2,,100}i i n nΩ==. （2）设在生产第10件正品前共生产了k 件不合格品，样本空间为 {10|0,1,2,}k k Ω=+=，或写成{10,11,12,}.Ω=（3）采用0表示检查到一个次品，以1表示检查到一个正品，例如0110表示第一次与第四次检查到次品，而第二次与第三次检查到的是正品，样本空间可表示为{00,100,0100,0101,0110,1100,1010,1011,0111,1101,1110,1111}Ω=.（3）取直角坐标系，则有22{(,)|1}x y x y Ω=+<，若取极坐标系，则有{(,)|01,02π}ρθρθΩ=≤<≤<.2．设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 及其运算关系表示下列事件.(1) A 发生而B 与C 不发生；(2) A 、B 、C 中恰好发生一个；(3) A 、B 、C 中至少有一个发生；(4) A 、B 、C 中恰好有两个发生；(5) A 、B 、C 中至少有两个发生；(6) A 、B 、C 中有不多于一个事件发生.解：(1)ABC 或A B C --或()A B C -； (2)ABC ABC ABC ； (3)A B C 或ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ；(4)ABCABC ABC . (5)ABAC BC 或ABC ABC ABC ABC ； (6)ABC ABC ABC ABC .3．设样本空间{|02}x x Ω=≤≤，事件{|0.51}A x x =≤≤，{|0.8 1.6}B x x =<≤，具体写出下列事件：(1)AB ；（2）A B -；（3）A B -；（4）A B .解：（1）{|0.81}AB x x =<≤；（2）{|0.50.8}A B x x -=≤≤；（3）{|00.50.82}A B x x x -=≤<<≤或；（4）{|00.5 1.62}A B x x x =≤<<≤或.4. 一个样本空间有三个样本点，其对应的概率分别为22,,41p p p -，求p 的值.解：由于样本空间所有的样本点构成一个必然事件，所以2241 1.p p p ++-=解之得1233p p =-+=--，又因为一个事件的概率总是大于0，所以3p =-+.5. 已知()P A =0.3，()P B =0.5，()P AB =0.8，求(1)()P AB ；(2)()P A B -；(3)()P AB .解：(1)由()()()()P A B P A P B P AB =+-得 ()()()()030.50.80P AB P A P B P A B =+-=+-=.(2) ()()()0.300.3P A B P A P AB -=-=-=.(3)()1()1()10.80.2.P AB P AB P A B =-=-=-=6. 设()P AB =()P AB ，且()P A p =，求()P B .解：由()P AB =()1()1()1()()()P AB P AB P AB P A P B P AB =-=-=--+得()()1P A P B +=，从而()1.P B p =- 7. 设3个事件A 、B 、C ，()0.4P A =，()0.5P B =，()0.6P C =，()0.2P AC =，()P BC =0.4且AB =Φ，求()P A B C .解：()()()()()()()()0.40.50.600.20.400.9.P A B C P A P B P C P AB P AC P BC P ABC =++---+=++---+=8. 将3个球随机地放入4个杯子中去，求杯子中球的最大个数分别为1，2，3的概率.解：依题意可知，基本事件总数为34个.以,1,2,3i A i =表示事件“杯子中球的最大个数为i ”，则1A 表示每个杯子最多放一个球，共有34A 种方法，故34136().416A P A == 2A 表示3个球中任取2个放入4个杯子中的任一个中，其余一个放入其余3个杯子中，放法总数为211343C C C 种，故211343239().416C C C P A == 3A 表示3个球放入同一个杯子中，共有14C 种放法，故14331().416C P A == 9. 在整数0至9中任取4个，能排成一个四位偶数的概率是多少?解：从0至9 中任取4个数进行排列共有10×9×8×7种排法.其中有(4×9×8×7－4×8×7＋9×8×7)种能成4位偶数. 故所求概率为4987487987411098790P ⨯⨯⨯-⨯⨯+⨯⨯==⨯⨯⨯.10. 一部五卷的文集，按任意次序放到书架上去，试求下列事件的概率：(1)第一卷出现在旁边；(2)第一卷及第五卷出现在旁边；(3)第一卷或第五卷出现在旁边；(4)第一卷及第五卷都不出现在旁边；(5)第三卷正好在正中.解：(1)第一卷出现在旁边，可能出现在左边或右边，剩下四卷可在剩下四个位置上任意排，所以5/2!5/!42=⨯=p .(2)可能有第一卷出现在左边而第五卷出现右边，或者第一卷出现在右边而第五卷出现在左边，剩下三卷可在中间三人上位置上任意排，所以10/1!5/!32=⨯=p .(3)p P ={第一卷出现在旁边}+P{第五卷出现旁边}-P{第一卷及第五卷出现在旁边}2217551010=+-=. (4)这里事件是(3)中事件的对立事件，所以 10/310/71=-=P .(5)第三卷居中，其余四卷在剩下四个位置上可任意排，所以5/1!5/!41=⨯=P .11. 把2，3，4，5诸数各写在一张小纸片上，任取其三而排成自左向右的次序，求所得数是偶数的概率.解：末位数可能是2或4.当末位数是2(或4)时，前两位数字从剩下三个数字中选排，所以 23342/1/2P A A =⨯=.12. 一幢10层楼的楼房中的一架电梯，在底层登上7位乘客.电梯在每一层都停，乘客从第二层起离开电梯，假设每位乘客在哪一层离开电梯是等可能的，求没有两位及两位以上乘客在同一层离开的概率.解：每位乘客可在除底层外的9层中任意一层离开电梯，现有7位乘客，所以样本点总数为79.事件A “没有两位及两位以上乘客在同一层离开”相当于“从9层中任取7层，各有一位乘客离开电梯”.所以包含79A 个样本点，于是7799)(A A P =.13. 某人午觉醒来,发觉表停了, 他打开收音机,想听电台报时, 设电台每正点是报时一次, 求他(她)等待时间短于10分钟的概率.解:以分钟为单位, 记上一次报时时刻为下一次报时时刻为60, 于是这个人打开收音机的时间必在),60,0( 记 “等待时间短于10分钟”为事件,A 则有(0,60),Ω=)60,50(=A ,⊂Ω于是)(A P 6010=.61= 14. 甲乙两人相约812-点在预定地点会面。

概率论第一章习题解答(全)

3
10 9 8 120 ； 3 2 1
事件 A 所包含基本事件数（即 5 固定，再从 6，7，8，9，10 这 5 个数中任选 2 个）：
C52
5 4 10 2
事件 B 所包含的基本事件数（即 5 固定，再从 1,2，3,4 这 4 个数中任选 2 个）：
故
43 6 2 10 1 6 1 P ( A) ； P( B) 120 12 120 20
1 1 1 1 1 1 1 17 ； 2 3 5 10 15 20 30 20 17 3 (ⅳ) P ( ABC ) P ( A B C ) 1 P ( A B C ) 1 ； 20 20
(ⅴ) 且因为 ABC ( A B )C ( s ( A B ))C C ( AC BC )
P ( ABC ) P (( A B )C ) P (C ) P ( AC ) P ( BC ) 1 1 1 7 5 15 20 60
(ⅵ)
因为
P ( AB C ) P ( AB ) P (C ) P ( ABC )
已知 P ( AB )
4 7 ， P ( ABC ) ，故 15 60
而故
ABC AB ， P ( AB ) 0 ，所以
P ( ABC ) 0
P ( A B C ) P ( A) P ( B ) P (C ) P ( AB ) P ( AC ) P ( BC ) P ( ABC ) 1 1 1 1 5互不相容，所以 AB ， AB A ， P ( AB ) P ( A) （ⅱ）因为 A A( B B ) AB AB ，且 AB AB ，所以

概率论第一章习题解答

概率论第一章习题解答一、填空题:1.设,()0.1,()0.5,A B P A P B ⊂==则()P AB = ,()P A B = , ()P A B = 。

分析：()(,)0.1;A P B P AB A ==⊂()()0.5;P A B P B ==()()()1()0.9P A B P A B P AB P AB ===-=2.设在全部产品中有2%是废品,而合格品中有85%是一级品,则任抽出一个产品是一级品的概率为。

分析：设A 为抽正品事件，B 为抽一级品事件，则条件知()1()0.98P A P A =-=，()0.85P B A =，所求为()()()0.980.850.833P B P A P B A ==⨯=；3.设A ，B ，C 为三事件且P(A)=P(B)=P(C)=41,81)(,0)()(===AC P BC P AB P ,则A,B,C 中至少有一个发生的概率为 .分析：,()()0,()0ABC AB P ABC P AB P ABC ⊆≤=∴= 所求即为5()()()()()()()()8P A B C P A P B P C P AB P BC P AC P ABC =++---+=； 4.一批产品共有10个正品和2个次品,不放回的抽取两次,则第二次取到次品的概率为 .分析：第二次取到次品的概率为112111211C C ⨯或者为111110*********C C C C +=⨯ 5. 设A ，B 为两事件, ()0.4,()0.7,P A P A B == 当A ，B 不相容时, ()P B = 当A ，B 相互独立时, ()P B = 。

分析： (1)当A ，B 不相容时, ()0P AB =;()()()()P A B P A P B P AB =+- 由；则()()()()0.3P B P A B P A P AB =⋃-+=；（2）当A ，B 相互独立时, ()()()()()()()P AB P A P B P A B P A P B P AB =⎧⎨=+-⎩ ；则()(()(()))P A B P A P P P B B A =+- 由，代入求得()0.5P B =二.、选择题2.每次试验成功的概率为p (0< p <1),进行重复试验,直到第10次试验才取得4次成功的概率为( )。

《概率论与数理统计》第一章-习题及答案

《概率论与数理统计》第一章习题及答案习题1.11. 将一枚匀整的硬币抛两次，事务C,分别表示“第一次出现A,B正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”。

试写出样本空间及事务C,中的样本点。

A,B解：{=Ω(正，正)，〔正，反〕，〔反，正〕，〔反，反〕} {=A(正，正)，〔正，反〕}；{=B〔正，正〕，〔反，反〕} {=C(正，正)，〔正，反〕，〔反，正〕}2. 在掷两颗骰子的试验中，事务D,,分别表示“点数之和为A,BC偶数”，“点数之和小于5”，“点数相等”，“至少有一颗骰子的点数为3”。

试写出样本空间及事务D-+,-,,中AB-,ABCABCBCA的样本点。

解：{})6,6(,=Ω；),2,6(),1,6(,),2,1(),1,1(),6,2(,),2,2(),1,2(),6,1(,{})1,3(),2,2(),3,1(),1,1(AB；={})1,2(),2,1(),6,6(),4,6(),2,6(,+BA；=),5,1(),3,1(),1,1(A；C=Φ{})2,2(),1,1(BC；={})4,6(),2,6(),1,5(),6,4(),2,4(),6,2(),4,2(),5,1(BA-DC-=-3. 以C,分别表示某城市居民订阅日报、晚报和体育报。

试用A,B,表示以下事务：A,BC〔1〕只订阅日报；〔2〕只订日报和晚报；〔3〕只订一种报；〔4〕正好订两种报；〔5〕至少订阅一种报；〔6〕不订阅任何报；〔7〕至多订阅一种报；〔8〕三种报纸都订阅；〔9〕三种报纸不全订阅。

解：〔1〕C B A ；〔2〕C AB ；〔3〕C B A C B A C B A ++；〔4〕BC A C B A C AB ++;〔5〕C B A ++；〔6〕C B A ；〔7〕C B A C B A C B A C B A +++或C B C A B A ++ 〔8〕ABC ；〔9〕C B A ++4. 甲、乙、丙三人各射击一次，事务321,,A A A 分别表示甲、乙、丙射中。