教师资格证科目三高级数学模拟题(一)
教师资格证科目三高中数学大题
对 F (x, y, z) 分别求 x, y, z 偏导数,
Fx = 4x, Fy = 2y, Fz = 6z,
代入 M (1, 1, 1) 点, 得到切平面的法向量为 (4, 2, 6), 根据点法式方程可知切 平面方程为
4(x − 1) + 2(y − 1) + 6(z − 1) = 0,
2 1t 1 1 2 =0 −2 0 2
可得 t = 1.
(2)
α1
2 1 −2
1
1 2
−1
α2
=
1
1
0
→
0
1 2
1
α3
12 2
00 0
故 α1, α2 是该向量组的一个极大线性无关组, 可知 α3 = 3α1 − α2.
例题 7 明:
x
已知 f (x) 在 [a, b] 上的连续函数, 设 F (x) = f (t)dt, x ∈ [a, b], 证
α2) β1)
β1
=
2 58 ,− ,
3 33
,
再对 β1, β2 进行单位化, 可得 V3 的一组标准正交基
√√√
√
√√
666
2 93 5 93 8 93
γ1 =
,, 636
, γ2 =
,− ,
93
93 93
.
例题 4 过点 P (1, 3) 作椭圆 x2 + y2 = 1 的切线, 分别交 x 轴和 y 轴于点 A 4 12
a
(1) F (x) 在 [a, b] 上连续;
(2) F (x) 在 [a, b] 上可导, 且 F (x) = f (x).
2018年上半年全国统考教师资格考试高中数学模拟卷一-答案版
2018年上半年中小学教师资格考试模拟卷数学学科知识与教学能力（高级中学）一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．【答案】A．解析：tan 2t =212tan 2(1tan )d t t C C t =+=+⎰．故选A ． 2．【答案】A．解析．12233312332000311(1)1133lim lim (1)3313x x x x x x x ---→→→-+⋅==+=，选A ． 3．【答案】A ．解析：直线12110x y z --==的方向向量为（1，1，0），直线101x y z ==的方向向量为（1，0，1），两直线的夹角的余弦值为1cos 2θ===，而夹角应该小于2π，所以两直线的夹角为3π． 4．【答案】A ．解析：依题知x k y e '==，当001x k e ===时，，所以切线方程为()110,1y x y x -=⨯-=+即，所以答案选A ．5．【答案】A ．解析：得到二次型的矩阵为1140102t t ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，为使其为正定，各阶顺序主子式应满足：1||10A =>，221||404t A t t ==->，2311||40420102t A t t ==->，故当t <<时，二次型正定．6．【答案】B ．解析：由于随机变量X 服从正态分布2(,)N μσ，Y=X+2，则随机变量Y 的均值为2μ+，方差为2σ，故选B ．7．【答案】C ．解析：概念间的关系：1．相容关系：①同一关系：“不大于”和“小于等于”；②属种关系：实数和有理数、平行四边形和矩形；③交叉关系：矩形和菱形．2．不相容关系：①矛盾关系：对实数而言，有理数和无理数；②反对关系：对虚数而言，有理数和无理数．根据概念及相应举例，等差数列与等比数列间存在交叉内容，如：当等比数列的等比为1时，此时数列也是等差数列，等差为0，故选A ．8．【答案】B ．解析：概念的外延是概念所反映的本质属性的对象的总和，故选B ．二、简答题（本大题共5小题，每小题7分，共35分）9．【答案】见解析．解析：设()()ln 1f t t =+，显然()f t 在区间[]0,x 上满足拉格朗日中值定理的条件，根据定理，应有()()()()00,0f x f f x x ξξ'-=-<<，由于()()100,1f f t t '==+， 因此上式即为()ln 11x x ξ+=+；又由0x ξ<<，有11x x x x ξ<<++，即()()ln 101x x x x x <+<>+． 10．【答案】见解析．解析：（1）， 由极限的保号性知，存在． 取，于是f （x ）在[c ，b]上连续．又f （c ）<0，f （b ）>0，由零点定理知，存在(,)(,)c b a b ξ∈⊂，使得()0f ξ=．（2）对f （x ）在[a ，c]，[c ，d]上用拉格朗日中值定理，存在(,)(,)r a c s c b ∈∈，使得，再对'()f x 在[r ，s]上用拉格朗日中值定理，存在(,)(,)r s a b η∈⊂，使得．11．【答案】（1）根据分布函数的定义有（2）因为()()()X Y f x y f x f y ≠，，所以X 与Y 不独立．12．【参考答案】兴趣是一个人积极探究某种事物或进行活动的意识倾向．学习兴趣是学生对学习活动或学习对象的一种力求认识或趋近的意识倾向．兴趣是入门的向导，是感情的体现，能促使动机的产生．学习兴趣是一种学习动机，是学习积极性中很现实、很活跃的心理成分．总是积极主动，心情愉快的进行学习，不会产生负担．在数学教学之初，或学习新课题时，教师应精心设计教学学习情境，将学生置于该情境之中，激发学习兴趣，千方百计的诱发学生的求知欲，使学生有一种力求认识世界，渴望获得知识，不断追求真理的欲望，产生学习的自觉性，迸发出极大的学习热情．13．【参考答案】反思是指教师以自己的教育教学实践为思考对象，对自己的教育行为、决策及教学效果进行认真的审视和分析，不断提高自己教学水平和专业素养的过程．反思不仅仅是头脑内部的“想一想”，而是一个不断实践、学习、研究的过程，是自己与自己、自己与他人更深层次的对话．反思是教师认识自己的重要途径，又是改变自己的前提，教学是一门遗憾的艺术，即使是成功的课堂教学也难免有疏漏失误之处，课后要及时进行回顾、梳理，并对其作深刻反思、探究和认真的剖析，为教师再教积累理论和实践经验．课后反思还要对自己的教学行为是否会对学生造成伤害进行反思．有时，教师无意识的行为会对学生造成终身难以弥补的伤害，所以教师在与学生沟通时要时时注意自己的言行．三、解答题（本大题1小题，10分）14．【答案】对称式方程为12413x y z -+==--；直线的参数方程为1423x t y t z t =+⎧⎪=-⎨⎪=--⎩． 解析：设这直线上的任意一点()111,,x y z ，例如，可以取11x =，代入方程组，得236y z y z +=-⎧⎨-=⎩，解得110,2y z ==-，即()1,0,2-是这直线上的一点．接着求直线的方向向量s ，由于两平面的交线与这两平面的法线向量()()121,1,1,2,1,3n n ==-都垂直，所以可取1211143213i j k s n n i j k =⨯==---，因此所给直线的对称式方程为12413x y z -+==--； 令12413x y z t -+===--，得所给直线的参数方程为1423x t y t z t =+⎧⎪=-⎨⎪=--⎩． 四、论述题（本大题1小题，15分）15．【参考答案】解析几何是这样一个数学学科，在采用坐标法的同时，运用代数方法来研究几何对象．（1）解析几何使得数学的研究方向发生了一次重大的转折：以几何为主导的数学转变为宜代数和分析为主导的数学；（2）解析几何使得以常量为主的数学转变为以变量为主的数学为微积分到的诞生奠定了基础；（3）解析几何使代数与几何融为一体，实现了几何图形的数字化，是数学化时代的先声；（4）代数的几何化和几何的代数化，使得人们摆脱了现实的束缚，它带来了认识新空间的需要，帮助人们从现实空间进入虚拟空间，从三维空间进入更高维的空间．五、案例分析题（本大题1小题，20分）16．【参考答案】（1）三位教师的引入各有特色．教师甲在直线与平面位置关系的数学中，以“在这些相交关系中，你认为哪种相交最特殊？”引出课题，并伴以学生的动手操作、举例、想象和语言叙述．这一设计的特点是：注意知识的系统与联系；强调学生生活经验的作用．这样容易唤起在“直线与平面平行”的学习中形成的经验，从而明确“研究什么”和“怎样研究”，使学习的自觉性得到提高．教师乙利用一张生活图片提出“是否想到在立体几何中的什么与什么的关系”，由于“诱导”过分明显，学生就不假思索地齐声回答“线面垂直”．虽然有后面的师生分别举例，但课题引入任务由这一句话已经完成．虽然这一引入有单刀直入、开门见山的特点，但学生对看图片的意图、当前学习内容与已有知识与方法的联系与借鉴等都很难觉察到．另外，“线面垂直”的说法不好，至少提出得太早．另外，甲、乙两位老师用的“大漠孤烟直”的情景不能很好地反映当前学习内容的本质，不是一个好情景．教师丙的引导语“前面我们研究了直线与平面平行的判定与性质，今天我们要研究直线与平面的其他位置关系”以及图片，目的都是直指“要研究直线与平面垂直”．这样引入也稍嫌太快，学生对于“要学什么”、“为什么要学”和“如何学”等的感知都不充分，要学的内容与已有经验的衔接不够自然．（2）良好的开端是成功的一半，课题引入是课堂教学的重要一环．教学设计中，应当重点考虑：如何利用新旧知识的联系与发展，以及学生相关的生活经验，创设问题情境，自然、亲切地引出学习内容；如何在课题引入中融入“学什么、为什么、怎么学”的成分．六、教学设计题（本大题1小题，30分）17．【参考答案】（1）教学目标为：知识与技能：学生能够掌握正弦定理的内容及其证明方法，并且能够用正弦定理和三角形内角和定理解决斜三角形的两类问题．过程与方法：在学生探索任意三角形的边角关系的过程中，提高观察、推导、类比和由特殊到一般的数学思想方法，同时提高学生的运算能力．情感态度价值观：培养学生合情推理探索数学规律的数学思想，体验数学与生活实际的联系．教学重难点为：教学重点：正弦定理的探索和证明及其应用．教学难点：正弦定理的多解问题．（2）教学过程为：（一）引入新课采用创设情境的媒体导入方法，出示视频台风入侵沿海城市，并归纳总结出数学问题，呈现在大屏幕上，同时提问，“同学们是否能够得出答案？”由此引出学习了本课之后，就可以解决这个问题，从而引出课题《正弦定理》．（二）探索新知师生活动1：探究特殊三角形之间的边角关系（1）对于直角三角形边角关系的探究：主要采用教师讲，学生听的方法． 在这里引导学生得出直角三角形的边角关系为sin sin sin a b c A B C==；接着顺势提问学生，“对于等边三角形来说，还满足这个关系式吗？”由此引导学生去探究等边三角形的边角关系．（2）对于等边三角形边角关系的研究：主要采用学生讲的方法． 在老师讲解了直角三角形的边角关系之后，学生能够较为容易的得出等边三角形的边角关系为：sin sin sin a b c A B C==；此时追问学生：“那如果是对于任意三角形，是否这个关系式仍就成立呢？”引出第二个探究活动．师生活动2：探究任意三角形的边角关系用射影相同的关系来进行证明给出一个任意三角形，根据书上的分析理解进行讲解，强调边角对应，原点，以及所设的x 轴正方向；确定射影点，强调出是哪两条射影相同，此时提问学生“你能用射影相同列出怎样一个算式？能否将这个算式进行化简？” 引导学生得出任意三角形也满足正弦定理：sin sin sin a b c A B C ==． （三）课堂练习例2：台风中心位于某市正东方向300km 处，正以40km/h 的速度向西北方向移动，距离台风中心250km 范围内将会受其影响．如果台风风速不变，那么该市从何时起要遭受台风影响？这种影响的持续时间多长？（解决导入提出的问题）。
教师资格考试高中数学学科知识与教学能力试题与参考答案
教师资格考试高中数学学科知识与教学能力模拟试题(答案在后面)一、单项选择题（本大题有8小题，每小题5分，共40分）1、设函数(f(x)=log2(x2−4x+5))，则该函数的定义域为：A.(x<2)B.(x>2)C. 全体实数D.(x≠2)2、已知向量(a⃗=(3,4))，(b⃗⃗=(−1,2))，若(c⃗=a⃗−2b⃗⃗)，则(|c⃗|)（即(c⃗)的模）等于：A. 5B. 7C.(√29)D.(√53)3、在以下函数中，定义域为全体实数的是（）A.(f(x)=√x−1))B.(g(x)=1x2C.(ℎ(x)=log2(x+3))+√x+1)D.(j(x)=1x−14、在等差数列({a n})中，若首项(a1=3)，公差(d=2)，则第10项(a10)的值是（）A. 21B. 19C. 17D. 155、设函数(f(x)=x3−3x+1)，则函数在区间[-2, 2]上的最大值为：A、1B、3C、5D、不存在6、若矩阵(A)经过有限次初等行变换可化为矩阵(B)，下列叙述正确的是：A、(A)与(B)的秩不一定相等。
B、(A)与(B)的行列式值相同。
C、若(A)可逆，则(B)也可逆。
D、(A)与(B)相似。
7、在下列数学概念中，属于集合概念的是：A. 方程B. 函数C. 点D. 三角形8、函数y=lg(2x-1)的定义域是：A. (1, +∞)B. (0, +∞)C. (0, 1)D. (1, 2)二、简答题（本大题有5小题，每小题7分，共35分）第一题在高中数学课程中，函数是一个非常重要的概念，请详细解释函数的概念，并举例说明函数在实际生活中的应用。
第二题请结合高中数学课程标准，谈谈如何有效地进行高中数学概念的教学设计。
第三题题目：请简述函数的奇偶性，并举例说明。
如何利用函数的奇偶性简化某些积分问题？第四题请结合高中数学教学实际，阐述如何利用“问题情境”激发学生学习高中数学的兴趣。
第五题请结合高中数学教学实际，谈谈如何有效地进行数学课堂导入，提高学生的学习兴趣。
教师资格证科目三高级数学模拟题(一)答案
(x 2)2 y2 1。 16 48
六、教学设计题
17． 【参考答案】 （1）教学的三维目标 知识与技能目标：理解等比数列的前 n 项和公式的推导方法；掌握等比数列的前 n 项和公式并 能运用公式解决一些简单问题。 过程与方法目标：通过公式的推导过程，提高构造数列的意识及探究、分析与解决问题的能力， 体会公式探求过程中从特殊到一般的思维方法，渗透方程思想、分类讨论思想及转化思想。 情感与态度目标：通过经历对公式的探索，激发求知欲，养成大胆尝试、勇于探索、敢于创新 的习惯，磨练思维品质，从中获得成功的体验，感受思维的奇异美、结构的对称美、形式的简洁美、 数学的严谨美。 （2）教学的重难点 重点：等比数列前 n 项和公式的推导过程，并会利用公式解相关题目。 难点：等比数列前 n 项和公式的推导及成立条件。 （3）教学过程： 一、课题引入 设置问题情景： （利用多媒体课件给出） 一个穷人到富人那里去借钱，原以为富人不愿意，哪知富人一口答应了下来，但提出了如下条 件：在一个月（30 天）中，富人第一天借给穷人 1 万元，第二天借给穷人 2 万元，以后每天所借的 钱数都比上一天多一万；但借钱第一天，穷人还 1 分钱，第二天还 2 分钱，以后每天所还的钱数都 是上一天的两倍，一个月后互不相欠。 穷人听后觉得挺划算，但怕上当受骗，所以很为难。请在座的同学思考一下，帮穷人出个主意 吧！ 二、新课讲授 在上面我们通过分析富人与穷人之间的交易条件，回答下列问题： 问题 1：穷人这样在富人那借钱是不是真的划算呢？ 问题 2：如果穷人觉得不划算的话，会赔多少钱呢？你能不能列出式子呢？ 预设：设穷人所借的钱共为 T30，所还的钱共为 S30， T30=1+2+3+…+30 和 S30=1+2+22+…+229。 追问：你能算出赔钱的数量吗？就是 T30=1+2+3+…+30 和 S30=1+2+22+…+229，谁的值大？ 引导学生得出计算过程：T30= S30=1+2+22+…+229①
2022上半年教师资格考试数学学科知识与教学能力(高级中学)预测试卷1
2022年上半年中小学教师资格考试数学学科知识与教学能力（高级中学）模拟题1注意事项：1.考试时间为120分钟，满分为150分。
2.请按规定在答题卡上填涂、作答。
在试卷上作答无效，不予评分。
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案字母按要求涂黑。
错选、多选或未选均无分。
1.若=≠0=0，在=0处连续，则a=()A.0B.1C.2D.32.设向量组1=，2，1T,2=2，，0T,3=1，−1，1T线性相关，则的值为（）。
A.3或-2B.1或-2C.2D.33K11=K21=0与直线1=0=1的夹角是（）．A．3B．6C．4D．24.曲线=2s，=4c，=在点2,0,）。
A.2−=4−2B.2−=2−4C.4−=−2D.4−=25．关于二次曲面2+2=2，下列说法正确的是（）。
A.它是一个锥面B.它是一个球面C.它是一个鞍面D它是一个柱面6．已知随机变量X服从正态分布o，2)，设随机变量Y=X+4，则Y服从的分布是（）．A．o+4，2+4)B．o+4，2) C．o，2+4)D．o，2)7．“等差数列”和“等比数列”概念之间的关系是（）．A．交叉关系B．同一关系C．属种关系D．矛盾关系8．中学数学中常见的数学思想有：①数形结合思想；②分类与整合思想；③化归与转化思想；④必然与或然思想；⑤函数与方程思想；⑥特殊与一般思想等等。
请观察下列解题过程：解不等式−2<3解：（1）当x≥2时，不等式可化为x－2<3，所以x<5，此时2≤x<5；(2)当x<2时，不等式可化为2－x<3，所以x>－1，此时－1<x<2。
综合（1）、（2）知－1<x<5，因此原不等式的解集为−1<<5。
以上解题过程中，所应用的主要数学思想有（）A.①②B.②③C.③④D.⑤⑥二、简答题（本大题共5小题，每小题7分，共35分）9.求矩阵=120340005的伴随矩阵∗。
2017年下教师资格证科目三高级数学真题答案
一、单项选择题
1 ．【 答 案 】 D 。 解 析 ： 方 法 一 ： 矩 阵 经 过 初 等 行 变 换 可 得
0 1 2 -1 2 0 -1 2 0 -1 2 0 0 1 2 3 0 1 3 0 1 0 6 1 0 6 1 3 0 1 -1 2 0 0 1 2 0 1 2 0 0 11 ，所以矩阵 -1 2 0 的秩是 3。 0 1 2 3 0 1 = 3 0 1 ==11 0 3 0 1 -1 2 -1 2 0 -1 2 0 -1 2 0 满秩，即秩为 3。 方法二：由于 ，所以矩阵 -6 1
＝−
（2）求曲面 S 与平面 x=0 所围成立体的体积有两种方法： ①利用旋转体体积公式有， V=π
４ （４ ０
y２ ＋z２ ＝ − x＋４，０ ≤ ｘ ≤ ４。
②根据几何性质， 线段ＡＢ绕 x 轴旋转一周得到的曲面和平面 x=0 所围成立体是底面半径ｒ=4， 高 h=4 的圆锥体，根据圆锥的体积公式，得 V＝
４ ３ｘ ｙ ' ｘ ２ｙｙ １２
'
点 A 和点Ｂ，所以可得Ａ（4，0） ， B （ 0， 4） 。线段ＡＢ绕 x 轴旋转一周得旋转曲面 S，曲面 S 的 方程为
。将 x=l，y=3 代入，得ｙ ＝ − １，所以切线方程为ｙ＝ − x＋４。该切线分别交ｘ轴和ｙ轴于
＝０， 即 yｙ ＝ −
'
６ｘ ２ｙ
1，
，
1，
，由题意可得
所以
（2）由题（1）可知 =
2021年下半年教资-科目三《学科知识与教学能力》高中数学模拟卷(3套)-附答案解析
图二：
解：设椭圆方程为
1，则
1，
又∵ c 1，a b 1，解得 a=2，b 3
∴椭圆标准方程为
1
图一
解：∵ 2a PF PF
4
4
∴a=2，∵ c 1 ∴ b 3 ∴椭圆方程为 + =1
图二 环节四：教师结合板书总结出关于椭圆方程两种方法：待定系数法、定义法，并板 书在黑板上 环节五：学生做课堂练习，求与椭圆方程 4x 9y 36有相同焦点，且过（-3， 2）的椭圆标准方程 随堂观察学生的课堂练习情况发现一种现象：学生求解例题用哪种方法，课堂练习 依然使用同种方法，说明案例中教学并没有促进学生对解题方法进行优化． （1）说明案例中这位教师在教学过程中哪些做法符合教学规律？（8 分） （2）你认为这位老师还可以有哪些改进？（8 分） （3）本节内容蕴含了哪些数学思想方法？（4 分）
X 的数学期望 EX （ ）．
A．
4 3
B．2
C．
3 4
D．4
1
xn
6．求 n1 n n+1 的收敛域为（
A． 1,1
B． 1,1
）．
C． 1,1
D． 1,1
7．理解和钻研教材，应以（ 教育价值．
）为依据，把握好教材的编写意图和教学内容的
A．学生实际
B．教师教学用书
C．课程标准
D．教材
8．对于求函数最大值的问题，下列关于该问题的解题过程所蕴涵的主要数学思想
C． f ( x ) 在 a,b 取得极值的点处，其导数 f ( x) 必不存在
D．使 f ( x)= 0 的点是 f ( x ) 可能取得极值的点
3．级数
(x
5)n
在x
6
教师资格证科目三初级数学模拟题(一)答案
本题可以设 BC=x，则 CD=10-x，再利用梯形的面积公式和几何知识，设梯形的面积为 y，建立 二次函数模型，找出 x 的取值范围，求函数的最大值即可解。
五、案例分析题
16． 【参考答案】 （1）新课标要求，让学生在实际背景中理解基本的数量关系和变化规律，注重使学生经历从实 际问题中建立数学模型、估计、求解、验证解的正确性与合理性的过程。在实际工作中让学生学会 从具体问题情景中抽象出数学问题，使用各种数学语言表达问题、建立数学关系式、获得合理的解 答、理解并掌握相应的数学知识与技能，这些多数教师都注意到了，但要做好，还有一定难度。该 教师在贯彻新课标这一方面做得较为优秀尤其是以下几个方面： ①该教师在课堂教学中设置了几个台阶，这也正好符合了循序渐进的教学原则。 ②例题贴近学生实际，在教学中有采用了更亲近的教学语言，有利于激发学生的探究欲望。 ③关注学生的学习状态，随时采取灵活适宜的教学方法，师生互动，生生互动，课堂教学才更 加有效。 ④学生在学习后，确实感受到“不等式的方法”就像方程的方法一样是从字母表示数开始研究
四、论述题
15． 【参考答案】 （1）建立和求解模型的过程包括：从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立 方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果、并讨论结果的意义。 （2）举例：某农户想利用一只 135°的墙角砌一直角梯形鸡舍，现有一批可砌 10 米长墙的砖 块，试问 BC 为何值时才能使鸡舍面积最大。
−1
−2பைடு நூலகம்
−2
−1
−2 −2
−5
1 0 0
+1
−2
−1
−2 −2
， 由此可得矩阵 A 的特 + 1 （ − 5）
教师资格证科目三初级数学模拟题(一)
五、案例分析题（本大题 1 小题，20 分）阅读案例，并回答问题。
16．以下为某教师在进行《一元一次不等式组》教学中设计的相关教学活动： 出示例题： 小宝和爸爸、 妈妈三人在操场上玩跷跷板， 爸爸体重为 72 千克， 坐在跷跷板的一端， 体重只有妈妈一半的小宝和妈妈一同坐在另一端。这时，爸爸的一端仍然着地，后来小宝借来一副 质量为 6 千克的哑铃，加在他和妈妈坐的一端，结果，爸爸被高高地跷起。猜猜看，小宝的体重约 多少千克？ 教师问学生： “你们玩过跷跷板吗？先看看题，一会请同学复述一下。 ”学生复述后，基本已经 熟悉了题目。接着教师让学生思考：他们三人坐了几次跷跷板？第一次坐时情况怎样？第二次呢？ 学生议论了一会儿，自主发言，很快发现本题中存在的两种文字形式的不等关系： 爸爸体重>小宝体重+妈妈体重 爸爸体重<小宝体重+妈妈体重 一副哑铃重量 教师顺势引导：你还能怎么判断小宝体重？学生安静了几分钟后，开始议论。一学生举手了： “可以列不等式组。 ”教师给出提示： “小宝的体重应该同时满足上述的两个条件。怎么把这个意思 表达成数学式子呢？”这时学生们七嘴八舌地讨论起来，都抢着回答，该教师注意到一位平时不爱 说话的学生紧锁眉头，便让他发言： “可以设小宝的体重为 x 千克，能列出两个不等式。可是接下来 我就不知道了。 ”教师听了心中一动，意识到这应是思想渗透的好机会，便解释说： “我们在初中会 遇到许多问题都可以用类似的方法来研究解决，比方说前面列方程组……”不等教师说完，学生都 齐声答： “列不等式组。 ”全班 12 个小组都积极投入到解题活动中了。5 分钟后，教师请学生板演， 自己下去巡查、指导，发现学生的解题思路都很清楚，只是部分学生对答案的表达不够准确。于是 提议学生说说列不等式组解应用题分几步，应注意什么。此时学生也基本上形成了对不等式组方法
全国教师资格证考试高中数学(高级中学)模拟卷(一)
(xn 1) | f (xn )．
11．求下列向量组的秩和一个极大线性无关组：
1 1, 2,3T ，2 1, 1,1T ，3 4,5, 3T ，4 3, 6,5T ．
11．【答案】方程组的秩为 3，1, 2, 3是方程组的一个极大线性无关组．
解析：
1 1 4 3 1 1 4 3 1 1 4 3
画出任意度数的角呢？
30°，750°，﹣330°．
象限角的引入
6．是否每次画角都要经历这 6．有没有发现 30°，750°，
样复杂的过程？
﹣330°画出来的角长得都
很像？
象限角的学习
7．借助平面直角坐标系，可 7．尝试将 30°，750°，﹣
以将角做一个分类，你能否 330°，90°，150°，在坐
6．【答案】A．解析：对行列式 2 3 1 1 32 进行拆分、提公因式、交换换列变换符号，
2 3 1 1 32 2 3 1 1 2 3 1 32 1 3 2 1 3 2 1 32
1 2 3 1 3 1 2 3 2 1 2 3 1 3 1 2 2 3 m 3n ，故选 A．
2．这个度数对应的角该如何
画出来？
任意角概念的学习
3．角有旋转方向不同，之前 3．类比校准钟表，能否尝试
的学习过程中有没有类似的 给角做一个分类？
学习情境帮助咱们研究角的 4．那没有角的终边没有发生
分类？
旋转的角又该如何定义呢？
4．如何将角的研究范围进行
推广？
任意角概念的意义
5．有了任意角的概念，能否 5．可以试着画出一些角如
B． x2 3x 2
C． x2 x 2
5．【答案】C．解析：运用辗转相除法可得选 C．
D． x2 4
2022年教师资格证考试高中数学模拟押题试卷2套(附答案解析)
2021年下半年中小学教师资格考试数学学科知识与教学能力（高级中学）终极模拟卷（一）注意事项：1.考试时间为120分钟，满分为150分。
2.请按规定作答。
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1. 设函数f x （ ） 在x =0处连续，且lim x →0f x （ ）x 22 =2，则（ ）。
A. 01f （ ） =且f （ ）′02 = B. 00f （ ） =且f x −（ ）′ =2C. 01f （ ） =且f x +（ ）′ =2D. 00f （ ） =且f +（ ）′02=2. 经过点（， ， ）235−−且与平面63520x y z −−+=垂直的直线方程为（ ）。
A. x y z −++635235==−− B. x y z −−−+635235==C. x y z +−−635235==−− D. x y z −++635235==−3. 若级数∑n ∞=1u n 收敛，则下列级数中收敛的是（ ）。
A. ∑n ∞=（）1u n +0.001 B. ∑n ∞=（）1u n +1000C. ∑n ∞=1u n D. ∑n ∞=11000u n4. 从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女机密★启用前姓名________ 准考证号________________同学的概率为（ ）。
A. 0.6B. 0.5C. 0.4D. 0.35. 已知矩阵A =20131405x 可相似对角化，则x 的值为（ ）。
A. 3B. 4C. –3D. – 46. 已知矩阵A =521x 有一个特征值为0，则（ ）。
A. 2.5x =B. 1x =C. 2.5x =−D. 0x =7. 《普通高中数学课程标准（2017年版）》中逻辑推理的主要表现是（ ）。
A. 获得数学概念和规则，提出数学命题和模型，形成数学方法与思想，认识数学结构与体系B. 掌握推理基本形式和规则，发现问题和提出命题，探索和表述论证过程，理解命题体系，有逻辑地表达与交流C. 发现和提出问题，建立和求解模型，检验和完善模型，分析和解决问题D. 建立形与数的联系，利用几何图形描述问题，借助几何直观理解问题，运用空间想象认识事物8. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形，这个定义方式属于（ ）。
2016年下教师资格证科目三高级数学真题答案
Y 34 38 34 P(Y 38) P 2 ， 2 2
又
7 2 ，所以当送货有 38 分钟可用时，选择开汽车。 3
X 24 34 24 5 P ( X 34) P ， 6 6 3
又 函 数 f ( x) 在
R 上 连 续 且 可 导 ， 所 以 F ( x) 在 R 上 连 续 且 可 导 ， 根 据 罗 尔 定 理 ， 存 在
ξ ( a，b) ， 使 得 F (ξ) eξ f (ξ) eξ f (ξ) eξ f (ξ) f (ξ) 0 ， 又 e ξ 0 ， 所 以 f (ξ ) f (ξ ) 0 。即存在 ξ ( a，b) ， 使得 f (ξ ) f (ξ ) 0 。所以方程 f ( x ) f ( x ) 0 在 ξ ( a，b) 至少有一个实根。
列的性质等数学的其他内容的研究中也有重要的应用（外部） 。可见，不论在函数内部还是在外部， 函数的单调性都有重要应用，因而在数学中具有核心地位。 （2）定义法：定义域中任意若 x1，x2 ，若 x1 ，则 x2 有 f ( x1 ) f ( x2 ) （或 f ( x1 ) f ( x2 ) ）
0 1 k n k Cn ，Cn ， ，Cn ， ，Cn ，n) 称为二项式系数。④二项展开式的通项：式 这里 Cn ( k 0,1，
中的 Cn a
k
nk
k n -k k Tk 1 Cn a b 。 b k 叫做二项展开式的通项， 用 Tk 1 表示。 即通项为展开式的第 k 1 项：
x x x 2
所以 g ( x ) 的驻点为 x 0 。即证得 f ( x ) ， g ( x ) 有共同驻点。 （ 2 ） 证 明 ： 设 F ( x) e f ( x) ， 因 为 f ( a ) f (b) 0 ， 所 以 F (a) e f (a) 0 ，
2016年下教师资格证科目三高级数学真题答案
6 2 100% 25% ， V电动 100% 5.9% ， 24 34
V汽车 V电动 ，所以选择电动车，因为变异系数表示离散程度，变异系数越小，分布越集中。
36) ， Y ~ N (34， 4) ， （2）由题意可知， X，Y 分别满足 X ~ N ( 24， X 24 38 24 7 P ( X 38) P ， 6 6 3
称函数 f ( x ) 在定义域上严格单调递增（或递减） ，定义法判断函数单调性比较适应于对定义域内任 意两个数 x1，x2 ，当 x1
x2 ，容易得出 f ( x1 ) 与 f (x2 ) 大小关系的函数。在解决问题时，定义法是 f ( x1 ) f ( x2 ) 正负的情况，
最直接的方法，这种方法思路比较清晰，但是对待一些不太容易判断出 用定义法解析比较麻烦。
出两个数之和的整数次幂展开为类似项之和的恒等式。 （3）定理的证明或推导过程：学生与老师一起研究证明方法，如不需证明，学生根据老师提供 的材料体会定理规定的合理性。 二项式定理的证明： ( a b) 是 n 个 ( a b ) 相乘，每个 ( a b ) 在相乘时，有两种选择，选 a 或选 b ， 由分步计数原理可知展开式共有 2 n 项 （包括同类项） ， 其中每一项都是 a 的形式，对于每一项 a
i j k 1， 2) ， 直 线 L 的 标 准 方 程 为 1 1 1 3i j 2k ， 其 方 向 向 量 为 m (3， 3 5 2
x 2 y 1 z 3 。平面 的方向向量 n (2， 不在平面 上， （2，-1， 3） 8， 1) ， m n ，且点 3 1 2
教师资格考试高中数学(习题卷1)
教师资格考试高中数学(习题卷1)第1部分：单项选择题，共28题，每题只有一个正确答案,多选或少选均不得分。
1.[单选题]评价要关注学习的结果，也要关注学习的（ ）A)成绩B)目的C)过程答案:C解析:2.[单选题]《周髀算经》和（ ）是我国古代两部重要的数学著作。
A)《孙子算经》B)《墨经》C)《算数书》D)《九章算术》答案:D解析:3.[单选题]古希腊的三大闻名几何尺规作图问题是()。
①三等分角②立方倍积③正十七逸形④化圆为方A)①②③B)①②④C)①③③D)②③④。
答案:B解析:大约在公元前6世纪至4世纪之间，古希腊人遇到了令他们百思不得其解的三大尺规作图问题，这就是著名的古代几何作图三大难题：(1)三等分角问题：将任一个给定的角三等分；(2)立方倍积问题：求作一个正方体的棱长，使这个正方体的体积是已知正方体体积的二倍；(3)化圆为方问题：求作一个正方形，使它的面积和已知圆的面积相等。
@##4.[单选题]将抛物线 向左平移4个单位后，再向下平移2个单位，则所得到的抛物线的解析式为（ ）.A)AB)BC)CD)D答案:B解析:5.[单选题]下列运算正确的是（ ）.A)AB)BC)CD)D答案:B解析:6.[单选题]6个人分乘两辆不同的汽车，每辆车最多坐4人，则不同的乘车方法数为（ ）A)40B)50C)60D)70答案:B解析:7.[单选题]对古代埃及数学成就的了解主要来源于( )A)纸草书B)羊皮书C)泥版D)金字塔内的石刻答案:A解析:@jin8.[单选题]下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A)AB)BC)CD)D答案:C解析:9.[单选题]在某次测量中得到的A样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88．若B样本数据恰好是A样本数据都加2后所得数据，则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是（ ）A)众数B)平均数C)中位数D)标准差答案:D解析:10.[单选题]下面的图形都是由6个大小一样的正方形拼接而成的，这些图形中可折成正方体的是 （ ）A)AB)BC)CD)D答案:C解析:11.[单选题]如图2，已知△ABC的周长为1，连接△ABC三边的中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形三边中点构成第三个三角形，依次类推，第2008个三角形的周长为（ ）A)AB)BC)CD)D答案:C解析:12.[单选题]有一块截面为等边三角形的木板，边长为1，现将木板沿水平面翻滚两次（如图），那么B点从开始至结束所经过的路径长度为（ ）A)AB)BC)CD)D答案:B解析:13.[单选题]下列关于高中数学课程的变化内容，说法不正确的是（ ）A)高中数学课程中的向量既是几何的研究对象，也是代数的研究对象B)高中数学课程中，概率的学习重点是如何计数C)算法是培养逻辑推理能力的非常好的载体D)集合论是一个重要的数学分支答案:C解析:高中数学课程中向量既是几何的研究对象，也是代数的研究对象，向量是沟通几何与代数的一座天然桥梁；算法是培养逻辑推理能力的非常好的载体，在大学和中学数学教育中都发挥着重要的作用；集合论是一个重要的数学分支，教师要准确把握高中数学课程中集合这一内容的定位；在概率课中，学习的重点是如何理解随机现象而不是如何计数。
2016年上教师资格证科目三高级数学真题答案
2016年上半年中小学教师资格考试数学学科知识与教学能力试题（高级中学）参考答案一、单项选择题1．【答案】A 。
解析：方法一：22212112221(1)111lim(1)lim(1)lim 111111n n n n n n e n e n n n ++-→∞→∞→∞+++=+===++++。
方法二：212(1)12(1)1221lim lnln 21lim(1lim 1n n n n n n n n e e n ++++→∞→∞→∞+==+1(1)21212(1)2212221ln 1lim lim 11lim lim ln 1n n n n n n n n n n n n e e e e e +++→∞→∞+→∞→∞++=====2．【答案】C 。
解析：假设调和级数11n n ∞=∑收敛，记其和为n S 即11n S n ∞==∑。
考虑该级数的部分和1112n S n =++ ；2111111212n S n n n n n=++++++++ 则21111111122n n S S n n n n n n n n n n -=+++>+++=++++++ 根据函数极限的保号性，有21lim()2n n n S S →∞-≥（1）但是由假设可得22lim()lim lim 0n n n n n n n S S S S →∞→∞→∞-=-=，这与（1）式矛盾，说明假设错误，因此调和级数11n n ∞=∑发散。
3．【答案】B 。
解析：旋转双曲面的一般公式为2222221x y z a b c+-=（单叶双曲面）；2221x y z +-=-（双叶双曲面）。
4．【答案】D 。
解析：根据黎曼可积定义，即黎曼可积必有界。
5．【答案】D 。
解析：由矩阵A 的特征多项式3122212(1)884(1)4(1)4(1)221λλλλλλλλ----=---=------------E A 32(1)12(1)16(1)(5)λλλλ=----=+-；可得其特征值为－1，－1，5共三个。
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C． x (a , a ,a ),a R
D． x (2a , 3a , a ),a R
6．设随机变量 X，Y 不相关，且 E（X） =2，E（Y）=1，D（X）=3，则 E（X（X+Y-2） ）= （ ） 。 A．-3 A．刘徽 B．3 B．秦九韶 C．-5 ） 。 D．李善兰 C．徐光启 ） 。 D．5
B．f（0）=0 且 f (0) 2 D．f（0）=0 且 f (0) 2
3 3 2 1 - 2 的属于特征根 4 的特征向量是（ 5．矩阵 A 1 - 3 - 1 0
A． x (a ,a , a ),a ,a , 3a ),a R
为
x2 y2 1。 40 40
方法二：由焦点 F（10，0）知 c=10，∴ e
a 2, a 5,b 2 c 2 a 2 75 。故所 c
x2 y2 1。 求的双曲线方程为 25 75
问题： （1）指出学生的错误之处； （6 分） （2）分析学生的错误原因； （7 分） （3）写出正确解法。 （7 分）
五、案例分析题（本大题 1 小题，20 分）阅读案例，并回答问题。
16．在求解题目“已知双曲线的右准线为 x=4，右焦点 F（10，0） ，离心率 e=2，求双曲线方程。 ” 两位同学解题方法如下： 方法一： x
a2 4,c 4, a 2 40, b 2 c 2 a 2 60 ，故所求的双曲线方程 c
教师资格考试数学学科知识与教学能力（高级中学） 标准预测试卷（一）
注意事项： 1．考试时间为 120 分钟，满分为 150 分。 2．请按规定在答题卡上填涂、作答。在试卷上作答无效，不予评分。
一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请用 2B 铅笔把答题卡 上对应题目的答案字母按要求涂黑。错选、多选或未选均无分。
kx 1, 0 x 2 f (x ) 0, 其他
求： （1）k； （2 分） （2）分布函数 F（x） ； （3 分）
（3）P（1.5≤x≤2.5） 。 （2 分）
12．结合实例简述如何在教学中关注数学的文化价值，促进学生科学观的形成。
13，简述创造性思维的特点，在数学教学中如何培养学生的创造性。
，且平行于 z 轴的平面方程。
x 1 x 2 x 3 0 10．设线性方程组 x 1 2x 2 ax 3 0 ，与方程组 x 1 x 2 ax 3 a 1 有公共解， 2 x 1 4x 2 a x 3 0
求 a 的值及所有公共解。
11．已知连续型随机 X 的概率密度为
15． 《普通高中数学课程标准（实验） 》指出“教师教学应该以学生的认知发展水平和已有的经 验为基础，面向全体学生，注重启发式和因材施教。教师要发挥主导作用，处理好讲授与学生自主 学习的关系，引导学生独立思考、主动探索、合作交流，使学生理解和掌握基本的数学知识与技能、
数学思想和方法，获得基本的数学活动经验。 ”简要说明数学思想方法的含义，并给出高中数学教学 中常用的几种数学思想方法（至少 5 种） ，且任选一种思想进行举例说明，以及如何在教学过程中让 学生感悟这种思想。
三、解答题（本大题 1 小题，10 分）
14．罗尔定理：设函数 f(x )满足条件： （1）在闭区间[a，b]上连续； （2）在开区间（a，b）内 可导； （3） f(a ) 其几何意义。
( )=0。证明这个定理并说明 f(b )，则在（a，b）内至少存在一点 ，使得 f '
四、论述题（本大题 1 小题，15 分）
7． 《几何原本》传入中国，首先应归功于科学家（ 8．新课程标准下数学教学过程的核心要素是（ A．师生相互沟通和交流 C．教师的组织性与原则性
B．师生的充分理解和信任 D．多种要素的有机结合
二、简答题（本大题共 5 小题，每小题 7 分，共 35 分）
9．求过直线 L：
2x 4y z 1 0 x 3y 5z 0
1．计算极限： lim(1 2x )
x 0
1 x
（
） 。 C．e D．e2
A．0
B．l
那么 a=8 是α ，α ，α ，α 线性相关的（ A．充分必要条件 C．必要而非充分条件 3．直线 l : A．平行
2．设α =（1，2，3，1）T，α =（3，4，7，-1）T，α =（2，6，a，6）T，α =（0，l，3，a）T， ） 。 B．充分而非必要条件 D．既不充分也非必要条件 ） 。
x 1 y 1 z 2 与平面π： x y z 2 的位置关系是（ 2 1 3
B．相交但不垂直 C．垂直 ） 。
D．直线 l 在平面π上
4．设函数 f(x )在 x=0 处连续 lim
x 0
f(x 2 ) 2 ，则（ x2
A．f（0）=1 且 f (0) 2 C．f（0）=1 且 f (0) 2
六、教学设计题（本大题 1 小题，30 分）
17． 《普通高中数学课程标准（实验） 》关于等比数列前 n 项和的教学要求是：通过学习公式的
推导，发现公式的特点进而掌握公式的运用。 请基于该要求。完成下列教学设计任务： （1）设计等比数列前 n 项和的教学目标； （9 分） （2）等比数列前 n 项和的教学重点以及难点； （6 分） （3）设计等比数列前 n 项和的教学流程，使学生领悟教学过程中的数学思想方法。 （15 分）