预期假设

预期假设—数学解题的一个有效途径
天门市高中复读中心王克进
摘要：本文阐述了预期假设对数学解题的预测与指导，探讨了界定问题，陈述目标——预期方向，提出假设——检验假设，拟定方案——执行方案，监控评估的解题程序，展示了数学解题的思维过程。

关键词：预期，假设，数学解题
1、学生解题的困惑
在日常教学中，我们经常听到学生反映：知识也懂，定义、定理、法则也清楚，就是拿起数学题无从下手；老师讲解时跟着老师的思路整个过程很明白，看答案也很懂，但自己独立解题时困难重重；经常做的题型得心应手，一遇到新题型便束手无策……
固然从学习数学知识到数学解题有一个过程。

但这其中的主要原因是学生的数学学习只停留于肤浅的表面现象，看数学题而非解数学题。

当看懂答案，听懂解答便错误地以为自己掌握了题目的解答，便不亲自动手解题，即使独立解题也多是简单模仿、生搬硬套，没有主见和独立的思考，算不上真正意义上的独立分析问题、解决问题。

而且很多老师的授课，重结果，轻过程；重技巧，轻方法；只关注现成的形式化问题的求解与归类，不关心问题解决中思维过程的揭示与展现，在很大程度上阻碍了学生积极思维的展现和主动探索能力的提升。

就中学而言数学题的标准形式包括两个基本要素条件（已知、前提）、结论（未知、求解、求证），解题就是沟通条件与结论之间的联系，包括解和解题依据，如果把解题比作一次战斗，那么解题者的“兵力”就是数学基础知识，解题者的“兵器”就是数学基本方法，而调动数学基础知识，运用数学基本方法的数学解题教学正是“兵法”，而我们平常的教学中只注重“兵力”和“兵器”的积累而忽视“兵法”的研究，本文仅就解题“兵法”的研究谈谈预期假设在解题中的应用。

2、预期假设及其在解题中的应用
预期（expectations）是指对不确定因素的看法和意见，是对未来情况的估
计。

它是通过简单的初步的分析对问题进行概略地推测、预想和推论，是有指向，有选择地解决问题的前凑。

假设（hypotheses）是运用思维、想象对所研究的事物的本质或规律的初步设想或推测，是对所研究的课题提出可能的答案或尝试性理解与操作，是指导有针对性问题进行研究的依据。

假设是科学的侦察兵，是解决问题的必由之路，科学理论正是在假设（即假说）的基础上，通过不断的检验、实践发展和完善起来的。

把预期假设应用于数学解题有助于解题的预测与指导。

笔者在学习波利亚的《怎样解题》的基础上，结合预期假设理论进行了界定问题，陈述目标——预期方向，提出假设——检验假设，拟定方案——执行方案，监控评估的解题程序的探讨。

2.1界定问题、陈述目标
一般来说，我们最初遇到的问题往往是混乱的、笼统的、不确定的。

如果我们对问题没有明确的界定是不可能解决问题的。

正如著名教育家杜威所说：“一个界定良好的问题，已经将问题解决一半。

”而中学数学问题一般是明确的，但由于条件信息的陈述方式和目标问题的设问方式或显或隐在很大程度上决定了问题解决的难度和解题过程的长度。

因此必须反复界定问题，陈述目标。

波普曾经说过：“对于一个问题的重新简洁的陈述常常碰巧能够向我们揭示它的几乎全部解决办法。

”一次一次地陈述目标，将陌生问题转化成熟悉问题，将未知问题转化成已知问题，通过语言的重复和表述，使目标更清晰更具体。

例如：已知函数)
x
x
-
=，若c
f∈
x
x
(
3
(3R
)
(的图象与x轴有三个
=)
f
x
y-
不同交点，求实数c的取值范围。

问题已经界定是求实数c的取值范围。

要实现的目标是c
=)
(的图象与x轴有三个不同交点。

对目标的反复陈述依次为：
f
y-
x
x
f有三个不同的实数解；f(x) = c有三个不同的实数解；y = f(x)的图象-c
)
(=
与y = c的图象有三个不同交点。

从而使目标更明确，更易实现。

2.2预期方向，提出假设
解决问题的关键是找出解决问题的方案——解决问题的原则、途径、方法和步骤，但这些方案常常不是简单地能立即找到和确定下来的，而是先以假设
的形式产生和出现的。

提出假设就搭起了从已知到未知，从已然到未然的桥梁。

但假设的提出并非是随意地猜想和臆造，并非是凭空产生的，它需要依赖一定的条件和基础。

根据已有知识经验，根据数学直觉，根据对问题反复界定、对目标反复陈述，根据对条件信息的表达形式和结构形式及问题的设问方式等进行概略地推测、预想来预期解题的各种可能方向，提出具有针对性的假设。

预期方向，提出假设步骤的产生如图所示。

2.3检验假设，拟定方案
所提出的各种假设哪些是切实可行的，是能真正解决问题的，是迅速便捷的，还需进一步的甄别和检验。

检验假设的主要方法是实践检验，即按照假设去实际解题，若问题得到解决则假设是正确的，否则假设就是无效的。

通过对假设的反复检验，筛选出便捷的可行的正确假设，拟定问题的解决方案。

在头脑中整理出解决问题的原则、途径、方法和详细操作程序，制定解题计划，弄清问题涉及的是什么知识，依据的是什么数学思想，利用的是什么数学方法，解决问题具体步骤是什么，应先求什么，再求什么，最后求什么……
对于2.1中的数学题，涉及函数与方程知识，依据数形结合思想，利用参变分离方法求解。

2.4执行方案，监控评估
执行方案就是将前面拟定的方案付诸实施，使问题达到目标状态，即按照既定的解题思路，对数学问题实施有序地推导、运算、直至得出正确结果。

当然这一步既是执行方案的过程，同时也是一个监控评估和修正解题方案的过程。

解题时若发现前面制定的求解方案和解题思路不当或不简便，在实施解答的过程中要及时加以修正，必要时还要回到开始，从头再来，尽量减少解题过程的失误，使问题能较顺利地解决。

当然即使问题获得解决，也仍需对上述求解过程进行评估，看解题过程是否合理、简便，结果是否准确，是否符合实际。

最后完成因果秩序的组织，完成从条件的已然到结论的应然，完成从条件到结论界定问题，陈述目标 预期方向 提出假设 条件信息 目标信息 数学知识 解题经验
的逻辑推理和表达。

3、典例剖析
例（2011 江西卷文17）在ABC ∆中角A 、B 、C 的对边是a ，b ，c ，已知a 3 =A cos c +B cos b cos C ，求cosA 的值.
解题示意图
界定问题，陈述目标：求cosA 的值
预期方向 方向1：找角A 求cosA 方向2：利用cosA=bc a c b 22
22-+求解 方向3：两边同时除以a ，3cosA=C a b B a c cos cos + 提出假设 假设1：化边为角利用正弦定理
假设2：化角为边利用余弦定理
检验假设，拟定方案 方案1： 步骤1，两边同时除以a ； 步骤2，利用正弦定理化边为角；步骤3，利用和差公式化简；步骤4，将B+C 转化成A ；
步骤5，化简求值. 方案2： 步骤1，两边同时除
以a ；步骤2，利用余弦定理化角为边；步骤3，化简求值. 执行方案：3cosA=C a b B a c cos cos + =C A B B A C cos sin sin cos sin sin + =A C B sin )sin(+ =A A sin sin 执行方案：3cosA=C a b B a c cos cos + =ab c b a a b ac b c a a c 22222222-+⋅+-+⋅ =2222a a =1 =1 监控评估：完成目标
解题过程
解法一: 3a cosA = c cosB + b cosC 解法二: 3a cosA = c cosB + b cosC
∴ 3cosA = C a b B a c cos cos + ∴ 3cosA = C a
b B a
c cos cos + 由正弦定理知 由余弦定理知
3cosA=C A
B B A
C cos sin sin cos sin sin + 3cosA =ab c b a a b ac b c a a c 22222222-+⋅+-+⋅ =A C B B C sin cos sin cos sin + =22222222a
c b a b c a -++-+ =A C B sin )sin(+ =2222a
a =
A A sin )sin(-π =1 =A A sin sin ∴ cosA=3
1 =1
∴ cosA=3
1 4、结束语
数学问题的解决过程，是从条件信息开始，应用一定的数学思想、方法和数学知识通过有序地逻辑推理和运算寻找目标结论的过程。

但由于很多数学问题是学生从未遇到过的新问题，在学生看来，数学信息间的内在联系错综复杂，难以理清头绪。

因此必须依据一定的思维路径，有序地探寻问题解决的方法与途径。

而应用预期假设指导解题，构建界定问题，陈述目标——预期方向，提出假设——检验假设，拟定方案——执行方案，监控评估的解题路径，正好使数学解题的思维过程可预期，可假设，可操作，有章可循。

参考文献
1、波利亚·怎样解题·阎育苏译·北京：科学出版社，1982
2、加里·R ·卡比、杰里弗·R ·古德帕斯特·思维——批判性和创造性的跨学科研究·韩广忠译·北京：中国人民大学出版社，2010。