高考数学 专题26 1月月考(全部高考内容)测试卷 文

1月月考【全部高考内容】测试时间：120分钟 班级： 姓名： 分数：试题特点：本套试卷涵盖高考数学的重要考点，试题创新度较高，吻合高考命题趋势．在命题时，注重考查基础知识如第1-8，13-15，17-20及22，23题等；注重考查知识的交汇，如第1题考查函数定义域、值域以及集合的交集运算；第3题考查函数的奇偶性、对称性等；注重数形结合能力的考查，如第8，13，15，19，23题等． 讲评建议：评讲试卷时应注重对运算能力的要求（快、活、准），如第3，5，13，14等；转化与划归能力，如第5，9，15题等；抽象概括能力，如第9，14，19题等．试卷中第3，8，9，15，19，21各题易错，评讲时应重视． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设全集U=R ，集合{}2|30A x x x =-≥， {}|3B x Z x =∈≤，则()U A B ⋂ð等于（ ） A ．∅ B ．{0，1} C ．{1，2} D ．{l ，2，3} 【答案】C故选：C点睛：求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn 图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn 图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．2．【2018湖南邵阳高三第一次大联考】12ii+=-（ ） A ．1122i -- B ．1122i -+ C ．1122i - D ．1122i +【答案】B 【解析】()1i i 1i 1i2i 2i i 2+⋅+-+==--⋅，故选B ． 3．【2018安徽马鞍山高三模拟】已知直线m 与平面α，则下列结论成立的是 A ．若直线m 垂直于α内的两条直线，则m α⊥ B ．若直线m 垂直于α内的无数条直线，则m α⊥C ．若直线m 平行于α内的一条直线，则//m αD ．若直线m 与平面α无公共点，则//m α 【答案】D【解析】根据直线与平面垂直的判定定理，当一条直线与平面内的两条相交直线垂直时，直线与平面垂直，所以A 、B 错误；根据直线与平面平行的判定定理，平面外的一条直线与平面内的一条直线平行时，直线与平面平行，因此C 错误，直线与平面无公共点，符合直线与平面平行的定义，直线与平面平行，选D ． 4．43662log 2log 98+-=A ．14B ．-14C ．12D ．-12 【答案】B【解析】4433366662log 2log 98log 4log 92⨯+-=+- 46log 36221614=-=-=-，故选B ．5．已知命题():0,,32xxp x ∀∈+∞>；命题():,0,32q x x x ∃∈-∞>，则下列命题为真命题的是（ ） A ．p q ∧ B ．()p q ∧⌝ C ．()p q ⌝∧ D ．()()p q ⌝∧⌝ 【答案】B 【解析】考点：复合命题的真假判定．6．【2018吉林榆树一中高三第三次模拟】已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为 （ ）A ．36πB ．30πC ．29πD ．20π【答案】C7．在△中，点在上，且，点为的中点，若，，则（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】∵，∴，①，即，②由②①得．考点：平面向量坐标运算的应用．8．【2018北京西城区高三上12月月考】已知函数()1,0{ 1,0x f x x -<=≥，则不等式()11xf x -≤的解集为（ ）．A ．[)1,-+∞B ．(],1-∞C ．[]1,2D ．[]1,1- 【答案】D【解析】∵()1,0{1,0x f x x -<=≥，∴()1,11{1,1x f x x -<-=≥，当1x ≥时， ()111xf x x -≤⇔≤，∴1x =，当1x <时，()1111xf x x x -≤⇔-≤⇔≥-，∴11x -≤<，综上所述， ()11xf x -≤的解集为[]1,1-．故选D ． 9．【2018安徽淮北高三模拟】已知点P 是抛物线214x y =上的-个动点，则点P 到点A(0，1)的距离与点P 到y 轴的距离之和的最小值为（ ）A ．2BC 1D 1 【答案】C10．【2018湖南邵阳高三第一次大联考】设ABC ∆的内角A ， B ， C 所对边分别为a ， b ， c 若3a =，b =3A π=，则B =（ ）A ．6πB ．56πC ．6π或56πD ．23π【答案】A【解析】由正弦定理得31sin sin 2sin3B B π=⇒=，所以6B π=或56B π=，又因为b a <，所以应舍去56B π=，应选答案A ．11．【2018湖北荆州中学12月月考】已知f （x ）是定义在R 上的偶函数，f （x ）在[0，+∞）上是增函数，且f （13）=0，则不等式f （18log x ）＞0的解集为（ ） A ．（0，12）∪（2，+∞） B ．（12，1）∪（2，+∞） C ．（0， 12） D ．（2，+∞） 【答案】A【解析】由题意得118811331188log 0log 00111{{ { { 02111120log log 8833x x x x x x x x x x -><<<>⇒⇒<⎛⎫⎛⎫<<>><-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或或或，选A ．点睛：解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为()()()()f g x f h x >的形式，然后根据函数的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意()g x 与()h x 的取值应在外层函数的定义域内 12．【2018吉林榆树一中高三第三次模拟】已知定义在R 上的函数()(),'f x f x 是其导数，且满足()()()'2,124f x f x ef e +>=+，则不等式 ()42x x e f x e >+（其中e 为自然对数的底数）的解集为（ ）A ．()1,+∞B ．()(),01,-∞⋃+∞C ．()(),00,-∞⋃+∞D ．(),1-∞【答案】A点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性解不等式，需要构造函数，一般：（1）条件含有()()f x f x +'，就构造()()xg x e f x =，（2）若()()f x f x -'，就构造()()xf xg x e=，（3）()()2f x f x +'，就构造()()2x g x e f x =，（4）()()2f x f x -'就构造()()2xf xg x e=等便于给出导数时联想构造函数．二、填空题（每题5分，满分20分）13．【2018陕西西安长安区五中高三上学期第二次模拟】执行如图所示的程序框图，则输出的__________．【答案】【解析】，（1）；（2）； （3）；（），则，即，且首项，则，得，当时，；当时，，所以输出．14．【2018河南平顶山市、许昌市、汝州高三上学期第三次联考】设变量,x y 满足约束条件20{40 440x y x y x y -+≥+-≥--≤，则21y x ++的最大值是__________． 【答案】52【解析】画出不等式组表示的平面区域，如图所示．答案：52点睛：利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是： (1)在平面直角坐标系内作出可行域．(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．常见的类型有截距型（ax by +型）、斜率型（y bx a++型）和距离型（()()22x a y b +++型）．(3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解． (4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值．．15．一个四棱锥的三视图如图所示，则这个四棱锥的表面积为 ．【答案】25329++．【解析】16．【2017北京海淀区二模】已知椭圆G ：2221(06x y b b +=<<的两个焦点分别为1F 和2F ，短轴的两个端点分别为1B 和2B ，点P 在椭圆G 上，且满足1212PB PB PF PF +=+．当b 变化时，给出下列三个命题： ①点P 的轨迹关于y 轴对称；②存在b 使得椭圆G 上满足条件的点P 仅有两个； ③OP 的最小值为2，其中，所有正确命题的序号是_____________． 【答案】①③【解析】由题可得因为P 在椭圆G 上，且满足1212PB PB PF PF +=+=12B B ，所以可得P 的轨迹为以12B B ，为焦点的椭圆，故①正确，②存在b 使得椭圆G 上满足条件的点P 可以有四个，分别为以1F 和2F 焦点在x 轴的椭圆与焦点为1B 和2B 在y 轴上的椭圆的交点，③由题可得椭圆G ：22216x y b +=，P 的轨迹方程为椭圆： 222166y x b +=-，联立两方程解得P 的坐标： 242242423666,636636pp b b xy b b b b -=+=-+--+-，故OP b ==<<b=3时OP 取到最小值2 点睛：根据题意可得P 的轨迹方程，便可验证前两个结论，对于第三个可以分析到点P 为两椭圆的交点，所以联立求出点P 再记住函数分析求出最值三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．【2018浙江省部分市学校高三9月联考】设函数()22sin 2sin cos 6f x x x x π⎛⎫=++- ⎪⎝⎭． （1）求()f x 的单调递增区间；（2）若角A 满足()1f A =， a =ABC ∆，求b c +的值． 【答案】(1) ,63k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦， k Z ∈；(2) 3b c +=．试题解析：（1）()1cos2cos222f x x x x =+- 1cos2sin 226x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令222262k x k πππππ-+≤-≤+， k Z ∈，得63k x k ππππ-+≤≤+， k Z ∈．所以， ()f x 的单调递增区间为,63k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦， k Z ∈．（2）由条件()sin 216f A A π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， ∵02A π<<，∴52666A πππ-<-<，∴262A ππ-=，解得3A π=．∵1sin 2S bc A ==2bc =． 又222cos 33b c bc π+-=，化简得()233b c bc +-=，则()29b c +=∴3b c +=．18．（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -，侧面PAD 是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD 是060ABC ∠=的菱形，M 为PC 的中点．（I ）求证：PC AD ⊥；（II ）求点D 到平面PAM 的距离． 【答案】（I ）证明见解析；（II ）5152． 【解析】试题解析：（I ）证法一：取AD 中点O ，连结,,OP OC AC ，依题意可知,PAD ACD ∆∆均为正三角形，所以,OC AD OP AD ⊥⊥，又OC OP O =，所以AD ⊥平面POC ，又PC ⊥平面POC ，所以PC AD ⊥．证法二：连结AC ，依题意可知,PAD ACD ∆∆均为正三角形，又M 为PC 的中点，所以,AM PC DM PC ⊥⊥，又AMDM M =，所以PC ⊥平面AMD ，又AD ⊥平面AMD ，所以PC AD ⊥．在PAC ∆中，2,PA AC PC ===PC 上的高2AM ==，所以PAC ∆的面积112222PAC S PC AM ∆==⨯=，设点D 到平面PAC 的距离为h ，由D PAC P ACD V V --=得1133PAC ACD S h S PO ∆∆=，又224ACD S ∆==，所以11333h =⨯h =，所以点D 到平面PAM 考点：直线与平面垂直的判定定理；点到面的距离．【易错点睛】破解线面垂直关系的技巧：（1）解答此类问题的关键在于熟练把握空间垂直关系的判定与性质，注意平面图形中的一些线线垂直关系的灵活利用，这是证明空间垂直关系的基础．（2）由于“线线垂直”“线面垂直”“面面垂直”之间可以相互转化，因此整个证明过程围绕着线面垂直这个核心而展开，这是化解空间垂直关系难点的技巧所在．19．（本小题满分12分）移动公司在国庆期间推出4G 套餐，对国庆节当日办理套餐的客户进行优惠，优惠方案如下：选择套餐一的客户可获得优惠200元，选择套餐二的客户可获得优惠500元，选择套餐三的客户可获得优惠300元，国庆节当天参与活动的人数统计结果如图所示，现将频率视为概率．（I ）求某人获得优惠金额不低于300元的概率；（II ）若采用分层抽样的方式从参加活动的客户中选出6人，再从该6人中随机选两人，求这两人获得相等优惠金额的概率． 【答案】（I ）65；（II ）154． 【解析】（II ）设事件B =“从这6人中选出两人，他们获得相等优惠金额”．．．．．．．．．．．．5分由题意按分层抽样方式选出的6人中，获200元优惠的1人，获500元优惠的3人，获300元优惠的2人，分别记为112312,,,,,a b b b c c ，从中选出两人的所有基本事件如下：111213111212131112232122313212,,,,,,,,b ,,,,,,a b a b a b a c a c b b b b b c c b b b c b c b c b c c c ，共15个，其中使得事件B 成立的为12132312,,,b b b b b b c c ，共4个，则()415P B =． 考点：古典概型．【易错点睛】（1）古典概型的重要思想是事件发生的等可能性，一定要注意在计算基本事件总数和事件包括的基本事件个数时，他们是否是等可能的．（2）用列举法求古典概型，是一个形象、直观的好方法，但列举时必须按照某一顺序做到不重复、不遗漏．（3）注意一次性抽取与逐次抽取的区别：一次性抽取是无顺序的问题，逐次抽取是有顺序的问题．20．【2018河南省平顶山市、许昌市、汝州市高三联考】已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的离心率为5，上顶点M 40y ++=的距离为3． （1）求椭圆E 的方程；（2）是否存在过点()5,0A 的直线l 与椭圆交于不同的两点,C D ，线段CD 的中点为R ，使得1F R CD ⊥？若存在，求直线l 的方程；若不存在，请说明理由．【答案】(1) 22154x y +=．(2)不存在直线l 满足题意．试题解析：（1）由题可得22243,,2b c a b c e a +==+==2,1a b c ===， 故椭圆的方程为22154x y +=． （2）假设存在满足条件的直线l ，易知()5,0A 在椭圆的外部，当直线l 的斜率不存在时，直线l 与椭圆无交点，所以直斜l 率存在，设斜率为k ，则直线l 的方程为()5y k x =-，由方程组()225{ 154y k x x y=-+=，得()22225450125100k x k x k +-+-=，依题意()22016800kk ∆=->⇒<<当55k -<<时，设交点()()1122,,,,C x y D x y CD 的中点为()00,R x y ， 则2212120225025,54254x x k k x x x k k ++===++，所以()200222520555454k k y k x k k k ⎛⎫-=-=-= ⎪++⎝⎭， 又22221F R F C F D F R l kk =⇔⊥⇔=-，所以2222222002054125420154F Rkk k kk k k k k --+=⋅==---+， 所以2220204k k =-，而2220204k k =-不成立，所以不存在直线l ，使得22F C F D =．点睛：本题考查了椭圆的方程点求解和直线与圆锥曲线综合问题的应用，其中解答中把直线的方程和椭圆的方程联立，转化为方程的根与系数的关系，以及正确利用2F R l ⊥，转化为21F R kk =-是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．21．【2018江西南城县第一中学高三上学期期中考试】已知函数()21ln 12a f x a x x +=++． （1）当12a =-时，求()f x 在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最值； （2）讨论函数()f x 的单调性； （3）当10a -<<时，有()()1ln 2af x a >+-恒成立，求a 的取值范围． 【答案】（1）()()2max124e f x f e ==+， ()()min 514f x f ==．（2）当0a ≥时， ()f x 在()0,+∞单调递增；当10a -<<时， ()f x 在⎫+∞⎪⎪⎭单调递增，在⎛ ⎝上单调递减；当1a ≤-时， ()f x 在()0,+∞上单调递减．（3）11,0e ⎛⎫-⎪⎝⎭试题解析：解：（Ⅰ）当12a =-时， ()21ln 124x f x x =-++，∴()212x f x x '-=．∵()f x 的定义域为()0+∞，，∴由()0f x '=得1x =．∴()f x 在区间1e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最值只可能在()1f ， 1f e ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ()f e 取到，而()514f =， 213124f e e⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， ()2124e f e =+，∴()()2max124e f x f e ==+， ()()min 514f x f ==（Ⅱ）()()21a x a f x x+='+， ()0x ∈+∞，．①当10a +≤，即1a ≤-时， ()0f x '<，∴()f x 在()0+∞，上单调递减； ②当0a ≥时， ()0f x '>，∴()f x 在()0+∞，上单调递增；③当10a -<<时，由()0f x '>得21ax a ->+，∴x >x >舍去）∴()f x 在⎫+∞⎪⎪⎭单调递增，在0⎛ ⎝上单调递减； 综上，当0a ≥， ()f x 在()0+∞，上单调递增；当10a -<<时， ()f x 在⎫+∞⎪⎪⎭单调递增，在0⎛ ⎝上单调递减；当1a ≤-时， ()f x 在()0+∞，上单调递减；()ln 11a +>-∴11a e >-，又∵10a -<<，∴a 的取值范围为110e ⎛⎫- ⎪⎝⎭，． 点睛：利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题．22．【2018河南漯河高级中学高三上学期第四次模拟】（本小题满分10分）选修4-5：极坐标与参数方程 在极坐标系中，曲线1C 的方程为22312sin ρθ=+，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，曲线2C的参数方程为22{12x t y t =+=，（ t 为参数）（1）求曲线1C 的参数方程和曲线2C 的普通方程； （2）求曲线1C 上的点到曲线2C 的距离的取值范围． 【答案】(1) 1C的参数方程为{x y sin αα==，（ α为参数）．2C的普通方程为20x --=．(2) ⎡⎢⎣⎦．(2)将原问题转化为三角函数问题可得曲线1C 上的点到曲线2C的距离的取值范围是⎡⎢⎣⎦． 试题解析：（1）由2231sin ρθ=+，得2222sin 3ρρθ+=，则22223x y y ++=，即2213x y +=， 所以曲线1C的参数方程为{x y sin αα==，（ α为参数）．由{ 12x y t=（t 为参数）消去参数t ，整理得2C的普通方程为20x -=． （2）设曲线1C上任意一点),sin Pαα，点P到直线20x -=的距离d ==．因为2224πα⎛⎫≤+-≤ ⎪⎝⎭，所以0d ≤≤，即曲线1C 上的点到曲线2C 的距离的取值范围是20,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦．23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()f x x a m x a =-++．（1）当1m a ==-时，求不等式()f x x ≥的解集；（2）不等式()()201f x m ≥<<恒成立时，实数a 的取值范围是{}|33a a a ≤-≥或，求实数m 的集合． 【答案】（1）{}|202x x x ≤-≤≤或；（2）1|m 3m ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭． 【解析】当11x -≤<时，不等式等价于()()11x x x ++-≥，解得01x ≤<； 当1x ≥时，不等式等价于()()11x x x +--≥，解得12x ≤≤， 综上，不等式()f x x ≥的解集为{}|202x x x ≤-≤≤或．（2）()()()()12122f x x a m x a m x a x a m x a m a m x a m a =-++=-+++--≥+--≥≥， 解得1a m ≤-或1a m≥，又实数a 的取值范围是{}|33a a a ≤-≥或， 故13m =，即13m =，∴实数m 的集合是1|m 3m ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭．考点：绝对值不等式．。