高考数学常考的6大题型全析
新高考数学试卷题型分布
新高考数学试卷题型分布新高考数学试卷结构：第一大题，单项选择题，共8小题，每小题5分，共40分；第二大题，多项选择题，共4小题，每小题5分，部分选对得3分，有选错得0分，共20分；第三大题，填空题，共4小题，每小题5分，共20分；第四大题，解答题，共6小题，均为必考题，涉及的内容是高中数学的六大主干知识：三角函数，数列，统计与概率，立体几何，函数与导数，解析几何。
每小题12分，共60分。
单项选择题考点分析：多项选择题考点分析：新高考选择题部分分析：新高考与之前相比，最大的不同就是增加了多项选择题部分，选择题部分由原来的12道单选题，变成了8道单选题与4道多选题。
这有利于缩小学生选择题部分成绩的差距，过去学生错一道单选题，可能就会丢掉5分，在新高考中，考生部分选对就可以得3分，在一定程度上保证了得分率。
新高考的单项选择题部分主要考察学生的基础知识和基本运算能力，总体上难度不大，只要认真复习，一般都可以取得一个较好的成绩。
在多项选择题上，前两道较为基础，后两道难度较大，能够突出高考的选拔性功能，总体上来看，学生比以往来讲，更容易取得一个不错的成绩，但对于一些数学基础比较的好的同学来说，这些题比以往应该更有挑战性。
过去，只需要在四个选项中选一个正确答案，现在要在四个选项中，选出多个答案，比以往来说，要想准确的把正确答案全部选出来，确实有一定的难度。
新高考数学试卷的第4题，第6题和第12题都体现了创新性。
第4题，以古代知识为背景，考察同学们的立体几何知识，这体现了数学考试的价值观导向。
弘扬传统文化的同时也鼓励同学们走进传统文化。
近年来，对于这类题目也是屡见不鲜，平时也应该鼓励学生去关注一些古代的数学著作，如《九章算术》，《孙子算经》等等，通过对这些著作的了解，再遇到这类题目时，在一定程度上能够减少恐惧感与焦虑感。
第6题则体现了聚焦民生，关注社会热点。
以新冠疫情为背景，考察了指数与对数函数，这也启示我们，在未来，数学试卷将会越来越贴近我们的现实生活，平时我们对这些内容有所关注，可以减少我们的焦虑感，增强我们做题的自信心。
2023高考数学常考的知识点与题型
2023高考数学常考的知识点与题型高考数学常考题型有哪些1、函数与导数主要考查数学集合运算、函数的有关概念定义域、值域、解析式、函数的极限、连续、导数。
2、平面向量与三角函数、三角变换及其应用这一部分是高考的重点但不是难点，主要出一些数学基础题或中档题。
3、数列及其应用这部分是高考的重点而且是难点，主要出一些综合题。
4、不等式主要考查数学不等式的求解和证明，而且很少单独考查，主要是在解答题中比较大小。
是高考的重点和难点。
5、概率和统计这部分和我们的生活联系比较大，属数学应用题。
6、空间位置关系的定性与定量分析主要是证明平行或垂直，求角和距离。
主要考察对定理的熟悉程度、运用程度。
7、解析几何高考的难点，运算量大，一般含参数。
高考对数学基础知识的考查，既全面又突出重点，扎实的数学基础是成功解题的关键。
高考数学必考知识点归纳必修一：1、集合与函数的概念(部分知识抽象，较难理解);2、基本的初等函数(指数函数、对数函数);3、函数的性质及应用(比较抽象，较难理解)。
必修二：1、立体几何(1)、证明：垂直(多考查面面垂直)、平行(2)、求解：主要是夹角问题，包括线面角和面面角。
这部分知识是高一学生的难点，比如：一个角实际上是一个锐角，但是在图中显示的钝角等等一些问题，需要学生的立体意识较强。
这部分知识高考占22---27分。
2、直线方程：高考时不单独命题，易和圆锥曲线结合命题。
3、圆方程：必修三：1、算法初步：高考必考内容，5分(选择或填空);2、统计：3、概率：高考必考内容，09年理科占到15分，文科数学占到5分。
必修四：1、三角函数：(图像、性质、高中重难点，)必考大题：15---20分，并且经常和其他函数混合起来考查。
2、平面向量：高考不单独命题，易和三角函数、圆锥曲线结合命题。
09年理科占到5分，文科占到13分。
必修五：1、解三角形：(正、余弦定理、三角恒等变换)高考中理科占到22分左右，文科数学占到13分左右;2、数列：高考必考，17---22分;3、不等式：(线性规划，听课时易理解，但做题较复杂，应掌握技巧。
高考数学重难点第4讲 指对幂比较大小6大题型(原卷及答案)(全国通用)(学生专用)
重难点第四讲指对幂比较大小6大题型——每天30分钟7天掌握指对幂比较大小6大题型问题【命题趋势】函数“比大小”是非常经典的题型，难度不以，方法无常，很受命题者的青睐。
高考命题中，常常在选择题或填空题中出现这类型的问题，往往将幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等混在一起，进行排序。
这类问题的解法往往可以从代数和几何来那个方面加以探寻，即利用函数的性质与图象解答。
第1天认真研究满分技巧及思考热点题型【满分技巧】比较大小的常见方法1、单调性法：当两个数都是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较；2、作差法、作商法：（1）一般情况下，作差或者作商，可处理底数不一样的对数比大小；（2）作差或作商的难点在于后续变形处理，注意此处的常见技巧与方法；3、中间值法或1/0比较法：比较多个数的大小时，先利用“0”“1”作为分界点，然后再各部分内再利用函数的性质比较大小；4、估值法：（1）估算要比较大小的两个值所在的大致区间；（2）可以对区间使用二分法（或利用指对转化）寻找合适的中间值；5、构造函数，运用函数的单调性比较：构造函数，观察总结“同构”规律，很多时候三个数比较大小，可能某一个数会被可以的隐藏了“同构”规律，所以可能优先从结构最接近的的两个数规律（1）对于抽象函数，可以借助中心对称、轴对称、周期等性质来“去除f( )外衣”比较大小；（2）有解析式函数，可以通过函数性质或者求导等，寻找函数的单调性、对称性，比较大小。
6、放缩法：（1）对数，利用单调性，放缩底数，或者放缩真数；（2）指数和幂函数结合来放缩；（3）利用均值不等式的不等关系进行放缩；（4）“数值逼近”是指一些无从下手的数据，如果分析会发现非常接近某些整数（主要是整数多一些），那么可以用该“整数”为变量，构造四舍五入函数关系。
【热点题型】第2天 掌握利用单调性及作差作商法比较大小问题模型【题型1 利用单调性比较大小】【例1】（2022秋·福建宁德·高三统考期中）设00.30.0..355,,0.30.30.50.5,a b c d ====，则,,,a b c d 的大小关系为（ ）A ．b d a c >>>B ．b a d c >>>C ．c a d b >>>D ．c d a b >>>【变式1-1】（2022秋·四川眉山·高三校考阶段练习）若0.5.43200.4,0.5,log 4a b c ===，则a b c ，，的大小关系是（ ）A ． a b c <<B ． b<c<aC ． c b a <<D ． c<a<b【变式1-2】（2022·陕西宝鸡·统考一模）已知实数,,a b c 满足235e e e 2235a b c===，则（ ）A ．a b c >>B ．a b c <<C ．b a c >>D ．c a b >>【变式1-3】（2023·全国·高三专题练习）已知0.50.60.3,0.3a b ==，122()5c =，则a 、b 、c 的大小关系为（ ）A ．a ＜b ＜cB ．c ＜a ＜bC ．b ＜a ＜cD ．c ＜b ＜a【变式1-4】（2023·江苏苏州·苏州中学校考模拟预测）已知()2cos f x x x =--，若34e a f -⎛⎫= ⎪⎝⎭，4ln 5b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，14c f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．c b a <<B ．c a b <<C ．b c a <<D ．a c b <<【变式1-5】（2022·全国·高三专题练习）（多选）下列大小关系中正确的是（ ）A ． 1.52.793> B ．43773477⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．13211log log 32<D ．0.2 2.11.70.9>【题型2 作差作商法比较大小】【例2】（2022·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）已知13e a =，ln 2b =，3log 2c =，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．a c b >>B ．a b c >>C ．b c a >>D ．c b a >>【变式2-1】（2022秋·陕西咸阳·高三校考阶段练习）若sin 4a =，5log 3b =，lg 6c =，0.01e d =，则（ ）．A ．a b c d <<<B ．a c b d <<<C ．b c d a <<<D ．a d b c <<<【变式2-2】（2022·全国·高三专题练习）已知54m =，89n =，0.90.8p =，则正数m ，n ，p 的大小关系为（ ）A ．p m n >>B ．m n p >>C ．m p n >>D ．p n m >>【变式2-3】（2022·贵州贵阳·校联考模拟预测）已知4log 5a =，54b =，5log 6c =，则a 、b 、c 这三个数的大小关系为（ ）A ．c b a <<B ．a c b <<C ．c<a<bD ．b<c<a【变式2-4】（2022秋·四川内江·高三校考阶段练习）已知0.2653,log 7,log 6a b c ===，则（ ）A ．a b c >>B ．b c a >>C ．a c b >>D ．c a b >>第3天 掌握估值法及含变量比较大小问题模型【题型3 中间值/估值法比较大小】【例3】（2023·全国·模拟预测）已知40.5=a ，5log 0.4b =，0.5log 0.4c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．b a c >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．a b c >>【变式3-1】（2022秋·天津南开·高三南开中学校考阶段练习）已知log a =0.42b =，1313c -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．b a c << B ．a c b << C ．a b c << D ．b<c<a【变式3-2】（2023秋·福建泉州·高三校考阶段练习）已知a =()34log ln b π=，1.713c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c << B ．b a c << C ．<<c a b D ．<<b c a【变式3-3】（2022秋·河南郑州·高三安阳一中校联考阶段练习）设0.22a =，0.50.5b =，0.5log 0.2c =，则（ ）A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c a b <<D ．b a c <<【变式3-4】（2022秋·江西·高三校联考阶段练习）已知a =eb =， 2.52c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）（参考数据：ln20.693≈）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c b a >>D ．c a b >>【变式3-5】（2022·全国·高三专题练习）已知0.25ln 4a =，ln 0.254b =，0.250.25c =，则（ ）A ．a c b >>B ．b c a >>C ．c a b >>D ．b a c >>【变式3-6】（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知2log a x =，2x b =，3x c =，其中()1,2x ∈，则下列结论正确的是（ ）A ．log b a c >B ．b c a b >C ．b c a b <D ．log log a b b c <【题型4 含变量比较大小】【例4】（2022秋·河南·高三上蔡第一高级中学阶段练习）已知()()sin cos tan 1,,,2,2422x x x x a b c ππ--⎛⎫⎛⎫∈=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则（ ）A ．a b c >>B ．c b a >>C ．a c b >>D ．c a b >>【变式4-1】（2022·全国·高三专题练习）设π02θ<<，sin 2a θ=，sin 2b θ=，2log sin c θ=，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．a c b <<D ．c<a<b【变式4-2】（哈尔滨三中校考阶段）已知())20222022lnx xf x x -=--，当π02x <<，cos a x =，lncos b x =，cos e x c =，试比较()f a ，f b ，()f c 的大小关系（ ）A ．()()()f a f c f b <<B ．()()()f b f c f a <<C ．()()()f c f a f b <<D ．()()()f b f a f c <<【变式4-3】（2023·全国·高三专题练习）已知,42x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭且222sin 2sin 1ex x a +=，cos cos 1e x x b +=，sin sin 1e xx c +=，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c << B ．b<c<a C ．a c b << D ．c<a<b第4天 掌握构造函数比较大小问题模型【题型5 构造函数比较大小】【例5】（2023·广西桂林·统考一模）已知a 、b 、()1,c ∈+∞，2e ln 39a a =，3e ln 28b b =，22e c c -=，则（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b c a >>D ．c a b >>【变式5-1】（2022秋·广东广州·高三校考期中）函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x <时()()0f x xf x '+>（其中()f x '是()f x 的导函数），若0.30.33(3)a f =⋅，log 3(log 3)b f ππ=⋅，11ln (ln )99c f =⋅，则（ ）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．b a c <<【变式5-2】（2022秋·四川成都·高三校考阶段练习）已知2220a =，2121b =，2022c =，则（ ）A ．c b a >>B ．b a c >>C ．a b c >>D ．a c b >>【变式5-3】（2022·全国·高三专题练习）已知0.40.7e ,eln1.4,0.98a b c ===，则,,a b c的大小关系是（ ）A ．a c b >>B ．b a c >>C ．b c a >>D ．c a b >>【变式5-4】（2022秋·广东河源·高三河源市河源中学阶段练习）设621121010a =+⨯，0.01e 1b =-，ln1.02c =，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．c a b << B ．b c a << C ．a b c << D ．b a c <<【变式5-5】（2022·全国·高三专题）设11111111,e 1,ln 101010a b c ==-=，则a ，b ，c 大小关系是_______．第5天 掌握数形结合法比较大小问题模型【题型6 数形结合法比较大小】【例6】（2022·全国·高三专题练习）已知()()2022()y x m x n m n =--+<，且,()αβαβ<是方程0y =的两根，则,,,m n αβ的大小关系是（ ）A ．m n αβ<<<B ．m n αβ<<<C ．m n αβ<<<D ．m n αβ<<<【变式6-1】（2023秋·陕西西安·高三统考期末）已知3log 2a =，4log 3b =，5log 4c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．c<<b aB ．a b c <<C ．b a c <<D ．c b a <<【变式6-2】（2022秋·江苏扬州·高三期末）已知正实数a ，b ，c 满足2e e e e c a a c --+=+，28log 3log 6b =+，2log 2c c +=，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．c b a <<【变式6-3】（2023·全国·高三专题）已知e ππe e ,π,a b c ===，则这三个数的大小关系为（ ）A ．c b a <<B ．b c a <<C ．b a c <<D ．c a b <<第6天 融会贯通及限时检测（1）1．（2022·全国·高三专题练习）2log 3，8log 12，lg15的大小关系为（ ） A ．28log 3log 12lg15<< B ．82log 12lg15log 3<< C ．28log 3log 12lg15>> D ．82log 12log 3lg15<<2．（2022·四川资阳·统考二模）设 1.02a =，0025.e b =，0.92sin0.06c =+，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．c b a <<B ．a b c <<C ．b<c<aD ．c<a<b3．（2022·全国·高三专题练习）已知35log 2,log 2,3a a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c a b <<D ．c b a << 4．（2022·全国·高三专题练习）设2log 3a =，0.5log 0.2b =，0.20.5c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．b ＞c ＞aB ．b ＞a ＞cC ．a ＞c ＞bD ．a ＞b ＞c 5．（2022·全国·高三专题练习）已知0.60.5a =，0.50.6b =，6log 5c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．b<c<a 6．（2022·全国·高三）已知定义在R 上的函数()(5712,log ,ln ,log 22xf x x a f b f c f⎛⎫⎛⎫=⋅===- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．a b c >> B ．b c a >> C ．b a c >> D ．c b a >> 7．（2022秋·山东潍坊·高三统考阶段练习）已知1210a =，1111b =，1012c =，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．b c a >>B ．b a c >>C ．a c b >>D ．a b c >>8．（2022秋·山东·高三校联考阶段练习）若0.1e ,ln 0.9a b c ===-，则,,a b c 的大小关系为（ ）．A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．c b a >> 9．（2022·四川南充·统考一模）设定义R 在上的函数()y f x =，满足任意x ∈R ，都有()()4f x f x +=，且(]0,4x ∈时，()()'>xf x f x ，则()2021f ，()22022f ，()32023f 的大小关系是（ ）A ．()()()20222202320231f f f <<B ．()()()20222023202123f f f << C ．()()()20232032222021f f f << D ．()()()20232022202132f f f << 10．（2022秋·江西宜春·高三江西省丰城中学校考阶段练习）若2322ln(ln1.01),ln ln ,ln 2π3a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a c b <<B ．a b c <<C ．c b a <<D ．b<c<a第7天 融会贯通及限时检测（2）1．（2022秋·江苏徐州·高三学业考试）设30.20.2,3,2a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a <b <cB ．a <c <bC ．c <c <bD ．b <a <c2．（2022秋·江苏常州·高三统考阶段练习）已知0.90.50.9log 2log 0.50.5x y z ===，，，则x y z ，，的大小关系是（ ）A ．z y x >>B ．x z y >>C ．y x z >>D ．y z x >> 3．（2022秋·广东·高三校联考阶段练习）已知实数2log 3a =，cos 4b π=，3log 2c =，则这三个数的大小关系正确的是（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．b c a >>D ．a c b >>4．（2022秋·天津东丽·高三校考阶段练习）设 1.1 1.13log 8,2,0.8a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（ ）A ．b a c <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．a c b <<5．（2022·陕西渭南·统考一模）已知a =ln πb =，sin136c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．c b a <<6．（2022秋·江西·高三校联考阶段练习）已知12223,log 3a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a c b >>B ．c b a >>C ．b a c >>D ．a b c >> 7．（2022·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）已知 1.21.1a =， 1.11.2b =，1.2log 1.1c =，则a 、b 、c 的大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．b c a >>D ．c b a >>8．（2022秋·四川成都·高三校考期中）已知函数()e e 2x xf x --=，且11ln a f ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，1e b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，ec f ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c << B ．b c a << C ．a c b << D ．b a c <<9．（2022·四川宜宾·统考模拟预测）已知252.5a =，5775b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，133c = ，则a 、b 、c 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．b<c<a10．（2022秋·天津河东·高三天津市第七中学校考期中）若2ln 64a =，ln2ln3b =，()2ln 24πc =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a b c >>B ．c b a >>C ．c a b >>D ．b a c >>答案第2天 掌握利用单调性及作差作商法比较大小问题模型【题型1 利用单调性比较大小】【例1】（2022秋·福建宁德·高三统考期中）设00.30.0..355,,0.30.30.50.5,a b c d ====，则,,,a b c d 的大小关系为（ ）A ．b d a c >>>B ．b a d c >>>C ．c a d b >>>D ．c d a b >>> 【答案】D【解析】因为0.3x y =以及0.5x y =是R 上的单调减函数，故可得0.30.50.30.3>，0.30.50.50.5>，即a b >，c d >；又因为0.30.10.50.10.30.027,0.50.3125a d ====，而0.1y x =是()0,+∞上的单调增函数，则0.10.10.031250.027>，即d a >.故c d a b >>>.故选：D.【变式1-1】（2022秋·四川眉山·高三校考阶段练习）若0.5.43200.4,0.5,log 4a b c ===，则a b c ，，的大小关系是（ ）A ． a b c <<B ． b<c<aC ． c b a <<D ． c<a<b 【答案】D【解析】322log 40.45===c ，因为0.4x y =在R 上为减函数，所以10.50.40.40.40.4=<=<c a ，因为0.4y x =在()0,x ∈+∞上为增函数，所以0.40.40.50.4>=b ，所以a b <，所以c<a<b ，故选：D.【变式1-2】（2022·陕西宝鸡·统考一模）已知实数,,a b c 满足235e e e 2235a b c===，则（ ）A ．a b c >>B ．a b c <<C ．b a c >>D ．c a b >> 【答案】A【解析】因为235e e e 2235a b c===，所以235e 4,e 6,e 10a b c ===，即得2ln4,3ln6,5ln10a b c ===得ln2,a b c ===ln y x =是()0,∞+上的增函数，比较,,a b c ，的大小关系 ，15次幂， 因为幂函数15y x =在()0,∞+上是单调递增的，比较15532,6,10即可，因为15532524288,67776,101000=== 所以15352106>>，即2>>a b c >>.故选:A .【变式1-3】（2023·全国·高三专题练习）已知0.50.60.3,0.3a b ==，122()5c =，则a 、b 、c 的大小关系为（ ）A ．a ＜b ＜cB ．c ＜a ＜bC ．b ＜a ＜cD ．c ＜b ＜a 【答案】C【解析】函数0.3x y =是定义域R 上的单调减函数，且0.50.6，则0.50.60.30.3>，即a b >，又函数0.5y x = 在(0,)+∞上单调递增，且20.35<，于是得10.5220.3()5<，即c a >，所以a 、b 、c 的大小关系为b a c <<．故选：C【变式1-4】（2023·江苏苏州·苏州中学校考模拟预测）已知()2cos f x x x =--，若34e a f -⎛⎫= ⎪⎝⎭，4ln 5b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，14c f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．c b a <<B ．c a b <<C ．b c a <<D ．a c b << 【答案】D【解析】因为2()cos ,R f x x x x =--∈，定义域关于原点对称，()22()()cos()cos f x x x x x f x -=----=--=，所以()f x 为R 上的偶函数，当0x ≥时，()2sin ,f x x x '=-+，设()2sin g x x x =-+，则()2cos g x x '=-+，1cos 1x -≤≤，()0g x '∴<，所以()g x 即()f x '在[0,)+∞上单调递减，所以()(0)0f x f ''≤=，所以()f x 在[0,)+∞上单调递减，又因为()f x 为偶函数，所以()f x 在(,0]-∞上单调递增，又因为41ln0,054<-<，445ln ln ln 554b f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，1144c f f ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又因为31411ee e 4-->=>，因为141ln e 4=，41445e e, 2.4e 4⎛⎫⎛⎫=≈< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以145e 4>，所以145ln e ln 4>，即15ln 44>，所以3415e ln 44->>，所以3441e 5ln 4f f f -⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即a c b <<.故选：D.【变式1-5】（2022·全国·高三专题练习）（多选）下列大小关系中正确的是（ ）A ． 1.52.793> B ．43773477⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．13211log log 32<D ．0.2 2.11.70.9> 【答案】ABD【解析】对于A ，因为31.593=，而3x y =是增函数，所以23.733>，即 1.5 2.793>，故A正确；对于B ，根据指数函数37xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭为单调递减可知，43773377⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又由幂函数37y x =为单调递增可知，37373477⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以433777334777⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故B 正确；对于C ，由换底公式可知1221log log 33=，根据对数函数单调性可知1221log log 303=>，331log log 102<=，所以13211log log 32>，故C 错误；对于D ，由指数函数单调性可知0.20.1021.7 1.71,0.90.91>=<=，所以0.2 2.11.70.9>，故D 正确；故选：ABD.【题型2 作差作商法比较大小】【例2】（2022·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）已知13e a =，ln 2b =，3log 2c =，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．a c b >>B ．a b c >>C ．b c a >>D ．c b a >> 【答案】B【解析】103e e 1=>=a ，ln 2ln e 1b =<=，33log 2log 31c =<=∴a 最大，3lg 2lg 211ln 2log 2lg 20lg e lg3lg e lg3⎛⎫-=-=-=⋅-> ⎪⎝⎭b c ，∴b c >，∴a b c >>，故选：B【变式2-1】（2022秋·陕西咸阳·高三校考阶段练习）若sin 4a =，5log 3b =，lg 6c =，0.01e d =，则（ ）． A ．a b c d <<< B ．a c b d <<< C ．b c d a <<< D ．a d b c <<< 【答案】A【解析】由题意，0.01sin 40,e 1a d =<=>，50log 31,0lg 61b c <=<<=<，只需比较,b c 的大小，而()()5lg31lg 2lg 2lg3lg3lg3lg5lg 6log 3lg 6lg 6lg5lg5lg5--+-⋅-=-==()lg 21lg 60,lg5b c⋅-+=<∴<，综上a b c d <<<.故选：A【变式2-2】（2022·全国·高三专题练习）已知54m =，89n =，0.90.8p =，则正数m ，n ，p 的大小关系为（ ）A ．p m n >>B ．m n p >>C ．m p n >>D ．p n m >> 【答案】A【解析】由54m =，得125542m ==<89n =，得118493n ==，因此，122112020855202011520442222561324333m n ⨯⨯⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪====> ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭m n >>，由0.90.8p =，得0.90.9log 0.8log 0.812p =>=，于是得p m n >>，所以正数m ，n ，p 的大小关系为p m n >>.故选：A【变式2-3】（2022·贵州贵阳·校联考模拟预测）已知4log 5a =，54b =，5log 6c =，则a 、b 、c 这三个数的大小关系为（ ）A ．c b a <<B ．a c b <<C ．c<a<bD ．b<c<a 【答案】C【解析】因为422244log 52log 5log 25log 325a ===<=，所以54a <，即ab <，因为245ln5ln 6(ln5)ln 4ln 6log 5log 6ln 4ln5ln 4ln5a c -⨯-=-=-=⨯22ln 4ln 6(ln 5)20ln 4ln 5+⎛⎫- ⎪⎝⎭>=>⨯， 所以a c >，综上：c<a<b .故选：C.【变式2-4】（2022秋·四川内江·高三校考阶段练习）已知0.2653,log 7,log 6a b c ===，则（ ）A ．a b c >>B ．b c a >>C ．a c b >>D ．c a b >> 【答案】C【解析】对,b c ，256lg6lg7lg 6lg5lg7log 6log 7lg5lg6lg5lg6-⋅-=-=⋅，因为222lg5lg71lg5lg7lg35lg lg 622+⎛⎫⎛⎫⋅<==< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即2lg 6lg5lg70-⋅>，所以56log 6log 70->，即c b >；对,a c ，又0.20.23e >，令()e 1x g x x =--，则()e 1x g x '=-，所以当0x >时，()0g x '>，当0x <时，()0g x '<，所以()min ()00g x g ==，即e 1x x ≥+，当且仅当0x =时取等号，所以0.20.223.e 102 1.>>+=，令()5log 5xf x x =-，则()11ln555ln55ln5x f x x x -=-=⋅'，所以当5ln5x >时()0f x '>，所以()f x 在5,ln5∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递增，显然55ln5>，又()50f =，即()()566log 6505f f =->=，即56log 65>，所以0.20.2563e log 65>>>，即a c b >>.故选：C第3天 掌握估值法及含变量比较大小问题模型【题型3 中间值/估值法比较大小】【例3】（2023·全国·模拟预测）已知40.5=a ，5log 0.4b =，0.5log 0.4c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．b a c >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．a b c >> 【答案】C【解析】根据指数函数单调性和值域，0.5x y =在R 上递减，结合指数函数的值，可知， ()()400,0.50,10.5a ∈==；根据对数函数的单调性，5log y x =在(0,)+∞上递增，则55log 0.4log 10b =<=，0.5log y x =在(0,)+∞上递减，故0.50.5log 0.4log 0.51c =>=， 即10c a b >>>>，C 选项正确.故选：C【变式3-1】（2022秋·天津南开·高三南开中学校考阶段练习）已知log a =0.42b =，1313c -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．b a c <<B ．a c b <<C ．a b c <<D ．b<c<a 【答案】C【解析】由题知，220log 1log log 1=<，即：01a <<，又0.40221b =>=，所以b a >；()15150.462264b ===，1515315511324333c --⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥==== ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦∴1515b c <，∴b c <，所以：a b c <<.故选：C.【变式3-2】（2023秋·福建泉州·高三校考阶段练习）已知a =()34log ln b π=，1.713c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c << B ．b a c << C ．<<c a b D ．<<b c a 【答案】D【解析】根据指数函数的单调性可得0e 1a =>=， 1.7103113c <⎛⎫⎛⎫<= ⎪⎪⎝⎭⎝=⎭， 根据对数函数的单调性可得()3344log ln log 10b π=<=，所以<<b c a ，故选：D.【变式3-3】（2022秋·河南郑州·高三安阳一中校联考阶段练习）设0.22a =，0.50.5b =，0.5log 0.2c =，则（ ）A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c a b <<D ．b a c << 【答案】D【解析】对a ：2x y =在R 上单调递增，则0.210.20222,221<=>=，即12a <<；对b ：0.50.5y =[)0,∞+上单调递增，则0.50.50==>，即01b <<；对c ：0.5log y x =在()0,∞+上单调递减，则0.50.5log 0.2log 0.252>=，即2>c ； 综上所述：b a c <<.故选：D.【变式3-4】（2022秋·江西·高三校联考阶段练习）已知a =eb =， 2.52c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）（参考数据：ln20.693≈） A ．a b c >> B ．b a c >> C ．c b a >> D ．c a b >> 【答案】C【解析】∵2x y =在R 2 2.5<<，∴2 2.522<<，则4,e 2.7a c c b ≈<=，又∵2ln ln 80.901a =≈<=，且e xy =在R 上单调递增，∴ln 1e e a <，即a b <，故c b a >>.故选：C.【变式3-5】（2022·全国·高三专题练习）已知0.25ln 4a =，ln 0.254b =，0.250.25c =，则（ ）A ．a c b >>B ．b c a >>C ．c a b >>D ．b a c >> 【答案】C【解析】由0.25ln 2ln 42a ==，ln 0.254ln 22ln 21114244b ===<，0.250.25c ==所以1142b ac <<<<.故选：C【变式3-6】（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知2log a x =，2x b =，3x c =，其中()1,2x ∈，则下列结论正确的是（ ）A ．log b a c >B ．b c a b >C ．b c a b <D ．log log a b b c < 【答案】CD【解析】因为()1,2x ∈，所以()0,1a ∈，()2,4b ∈，()3,9c ∈，且b c <，所以log 1b c a >>，故A 错误；因为()0,1ba ∈，1cb >，即bc a b <，故B 错误，C 正确；因为log 0a b <，log 0b c >，即log log a b b c <，故D 正确.故选：CD.【题型4 含变量比较大小】【例4】（2022秋·河南·高三上蔡第一高级中学阶段练习）已知()()sin cos tan 1,,,2,2422x x x x a b c ππ--⎛⎫⎛⎫∈=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则（ ）A ．a b c >>B ．c b a >>C ．a c b >>D ．c a b >> 【答案】D【解析】由题意得()()sin 1i si n n s 1222xx x a ---=⎛⎫= ⎪⎝⎭=，cos()cos 22x x b -==，因为当,42x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，tan sin cos x x x >>，且2x y =是增函数，所以c a b >>.故选:D.【变式4-1】（2022·全国·高三专题练习）设π02θ<<，sin 2a θ=，sin 2b θ=，2log sin c θ=，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．a c b <<D ．c<a<b 【答案】D【解析】因为π02θ<<，所以0<sin 1θ<，且0sin21θ<， 所以(]0,1a ∈，sin 21b θ=>，2log sin 0c θ=<，所以c<a<b .故选：D.【变式4-2】（2022秋·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨三中校考阶段练习）已知())20222022lnx x f x x -=--，当π02x <<，cos a x =，lncos b x =，cos e x c =，试比较()f a ，f b ，()f c 的大小关系（ ） A ．()()()f a f c f b << B ．()()()f b f c f a << C ．()()()f c f a f b << D ．()()()f b f a f c << 【答案】D【解析】())20222022ln20222022)x xx x f x x x --=--=-+，()f x ∴在R 上是增函数，由()0,1x ∈时，ln x x x e <<知，b a c <<，()()()f b f a f c ∴<<，故选：D【变式4-3】（2023·全国·高三专题练习）已知,42x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭且222sin 2sin 1ex x a +=，cos cos 1e xx b +=，sin sin 1e x x c +=，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．b<c<aC ．a c b <<D ．c<a<b 【答案】C【解析】构造函数()()10e x x f x x +=>，则()2222sin 2sin 12sin ex x a f x +==，()cos cos 1cos e x x b f x +==，()sin sin 1sin e x x c f x +==．因为()()()2e 1e 0e e x x x x x x f x -+'==-<在 ()0,∞+上恒成立，所以函数()f x 在()0,∞+上单调递减.又因为,42x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭，所以 ()22sin sin sin 2sin 10x x x x -=->，且sin cos x x >，故a c b <<.故选：C ．第4天 掌握构造函数比较大小问题模型【题型5 构造函数比较大小】【例5】（2023·广西桂林·统考一模）已知a 、b 、()1,c ∈+∞，2e ln 39a a =，3e ln 28b b =，22e c c -=，则（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b c a >>D ．c a b >> 【答案】A【解析】因为a 、b 、()1,c ∈+∞，由2e ln 39a a =可得ln 9e 9a a =，由3e ln 28b b =可得ln 8e 8b b =，由22e c c -=可得22e ec c =，构造函数()ln x f x x =，其中0x >，则()21ln x f x x -'=，当0e x <<时，0f x；当e x >时，()0f x '<.所以，函数()f x 的增区间为()0,e ，减区间为()e,+∞，因为2e e 89<<<，所以，()()()2e 89f f f >>，即e e e c b ac b a >>，即()()()e e e c b a f f f >>，因为a 、b 、()1,c ∈+∞，则e a 、e b 、()e e,c ∈+∞，所以，e e e a b c >>， 因此，a b c >>.故选：A.【变式5-1】（2022秋·广东广州·高三校考期中）函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x <时()()0f x xf x '+>（其中()f x '是()f x 的导函数），若0.30.33(3)a f =⋅，log 3(log 3)b f ππ=⋅，11ln (ln )99c f =⋅，则（ ）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．b a c << 【答案】B【解析】令()()F x xf x =，又()f x 为定义在R 上的偶函数，则()()()()F x xf x xf x F x -=--=-=-，故()F x 为定义在R 上的奇函数；又()F x '=()()f x xf x '+，由题可知，当0x <时，()F x '0>，即()F x 在(),0-∞单调递增，结合()F x 是R 上的奇函数可知，()F x 为R 上的单调增函数；又0.301331log log 3log 10ln1ln 9ln9ππππ>==>>==>-=，又0.30.33(3)a f =⋅，log 3(log 3)b f ππ=⋅，11ln (ln )99c f =⋅，故a b c >>.故选：B.【变式5-2】（2022秋·四川成都·高三校考阶段练习）已知2220a =，2121b =，2022c =，则（ ）A ．c b a >>B ．b a c >>C ．a b c >>D ．a c b >> 【答案】C【解析】由2220a =，2121b =，可得ln 22ln20,ln 21ln21a b ==，则ln 20ln 22ln 2021ln 21ln 21ln 2122a b ==，令2ln ()(e )1x f x x x =>+，则221ln ()(e )(1)x x x f x x x x +-'=>+，令2()1ln (e )g x x x x x =+->，则()ln 0g x x '=-<，所以()g x 在2(e ,)+∞上单调递减，又2222(e )e 12e e 10g =+-=-+<，所以当2(e ,)x ∈+∞时，()0g x <，所以()0f x '<，所以()f x 在2(e ,)+∞上单调递减，从而2220()(e )e 1f x f <<=+，所以(20)(21)f f >，即ln ln a b >，从而可知a b >. 由2121b =，2022a =，可得ln 21ln21,ln 20ln22b c ==，则ln 21ln 21ln 2120ln 22ln 20ln 2221b c ==，令2ln(1)()(e 1)x h x x x+=>-，则22(1)ln(1)()(e 1)(1)x x x h x x x x -++'=>-+，令2()(1)ln(1)(e 1)m x x x x x =-++>-，则()ln(1)0m x x '=-+<，所以()m x 在2(e 1,)-+∞上单调递减，又22(e 1)e 10m -=--<，所以当2(e 1,)x ∈-+∞时，()0m x <， 所以()0h x '<，所以()h x 在2(e 1,)-+∞上单调递减，从而2220()(e 1)e 1h x h <<-=-， 所以(20)(21)h h >，即ln ln b c >，从而可知b c >.综上可得a b c >>.故选：C【变式5-3】（2022·全国·高三专题练习）已知0.40.7e ,eln1.4,0.98a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（ ）A ．a c b >>B ．b a c >>C ．b c a >>D ．c a b >> 【答案】A【解析】构造()1=ln ef x x x -，0x >，则()11=ef x x'-，当0e x <<时，()0f x '>，当e x >时，()0f x '<，所以()1=ln ef x x x -在0e x <<上单调递增，在e x >上单调递减，所以()()e =lne 10f x f ≤-=，故ln 1ex x ≤，当且仅当e x =时等号成立，因为20x >，所以222222(2)2ln 2ln ln ln2e e 2e 2e ex x x x x x x x x ≤⇒≤⇒≤⇒≤=，当x =等号成立，当0.7x =时，220.98ln1.4(0.7)eln1.40.98e e <⨯=⇒<，所以b c <构造()1=e x g x x --，则()1e 1=x g x -'-，当1x >时，()0g x '>，当1x <时，()0g x '<，所以()1=e x g x x --在1x >单调递增，在1x <上单调递减，故()()10g x g ≥=，所以1e x x -≥，当且仅当1x =时，等号成立，故121e e 2x x x x --≥⇒≥，当且仅当0.5x =时，等号成立，令0.7x =，则0.40.4e 1.40.7e 0.98>⇒>，所以a c >，综上:a c b >>，故选：A【变式5-4】（2022秋·广东河源·高三河源市河源中学阶段练习）设621121010a =+⨯，0.01e 1b =-，ln1.02c =，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．c a b << B ．b c a << C ．a b c << D ．b a c << 【答案】C 【解析】6242621111101010102101022a ----=+=⨯+<⨯+⨯，20.0110e 1e 1b -=-=-， 令()21e 12x x f x x ⎛⎫--+ ⎝=⎪⎭，则()e 1x x f x =--'，令()e 1x x g x =--，则()e 1xg x '=-，当0x >时，()0g x '>，所以函数()g x 在()0,+∞上递增，所以()()00g x g >=，即()()00f x f ''>=，所以函数()f x 在()0,+∞上递增，所以()()21000f f ->=，即210421e 110102---->⨯+，所以a b <，令()()e 1ln 21x h x x =--+，则()()21e 22e 2121xxx h x x x +-'=-=++，令()()21e 2x m x x =+-，则()()23e xm x x '=+，当0x >时，()0m x '>，所以函数()m x 在()0,+∞上递增，()0.10.130.1 1.2e 22e 15m ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，因为1010770.133327e 381e e 155********⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯=⨯<⨯< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以0.13e 15<，所以()0.10.130.1 1.2e 22e 105m ⎛⎫=-=-< ⎪⎝⎭，所以当00.1x <<时，()0m x <，即()0h x '<，所以函数()h x 在()0,0.1上递减，所以()()0.0100h h <=，即0.01e 1ln1.020--<， 所以b c <，综上所述a b c <<.故选：C.【变式5-5】（2022·全国·高三专题）设11111111,e 1,ln 101010a b c ==-=，则a ，b ，c大小关系是_______． 【答案】b a c <<【解析】令()()()1ln 1f x x x x =++-，1x >-，则()()()ln 111ln 1f x x x '=++-=+， 令()0f x '>，得0x >，即()f x 在()0,∞+上单调递增，1010>，∴1()(0)10f f >，即11111ln 101010>，即c a >，令1011()e 1x g x x =--，则101110()e 111x g x '=-，令()0g x '<得1111ln 1010x <，即()g x 在1111ln 1010⎛⎫∞ ⎪⎝⎭-,单调递减，因为111110ln 101010<<，所以1()(0)10g g <，即10111101e 1010⨯--<，所以1111e 110-<，即b a <.所以b a c <<.第5天 掌握数形结合法比较大小问题模型【题型6 数形结合法比较大小】【例6】（2022·全国·高三专题练习）已知()()2022()y x m x n m n =--+<，且,()αβαβ<是方程0y =的两根，则,,,m n αβ的大小关系是（ ）A ．m n αβ<<<B ．m n αβ<<<C ．m n αβ<<<D ．m n αβ<<< 【答案】C【解析】()()()2022()f x x m x n m n =--+<为二次函数，开口向上，因为,()αβαβ<是方程0y =的两根，故,()αβαβ<为图象与x 轴的两个交点横坐标，其中()()2022f m f n ==，画出图象如下：显然m n αβ<<<，故选：C【变式6-1】（2023秋·陕西西安·高三统考期末）已知3log 2a =，4log 3b =，5log 4c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．c<<b aB ．a b c <<C ．b a c <<D ．c b a << 【答案】B【解析】方法一：设函数为()()log 1x f x x =-，而()()()lg 1log 1lg x x f x x x-=-=.如图，()lg 1y x =-的图象在lg y x =的下方，而且随着x 的增大，()lg 1y x =-的图象与lg y x =的图象越来越接近，即当2x >时，()()()lg 1log 1lg x x f x x x-=-=的值越来越大，所以有，a b c <<.方法二：构造函数()()log 1x f x x =-，1x >；则()3a f =，()4b f =，()5c f =()()()ln 1log 1ln x x f x x x-=-=，()()()2ln ln 10ln x x f x x --=>'在()1,+∞上恒成立，所以，函数()()log 1x f x x =-在()1,+∞上单调递增，所以，()()()345f f f <<，即a b c <<.故选：B.【变式6-2】（2022秋·江苏扬州·高三期末）已知正实数a ，b ，c 满足2e e e e c a a c --+=+，28log 3log 6b =+，2log 2c c +=，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．c b a << 【答案】B【解析】22e e e e e e e e c a a c c c a a ----⇒+=+-=-，故令()e e x x f x -=-，则()e e c cf c -=-，()e e a a f a -=-．易知1e ex x y -=-=-和e x y =均为()0,+∞上的增函数，故()f x 在()0,+∞为增函数．∵2e e a a --<，故由题可知，2e e e e e e c c a a a a ----=->-，即()()f c f a >，则0c a >>．易知222log 3log log 2b =+=，2log 2c c =-，作出函数2log y x =与函数2y x =-的图象，如图所示，。
新课标高考数学题型全归纳
新课标高考数学题型全归纳一、选择题新课标高考数学选择题主要考察学生对于基础知识的掌握与运用能力，题型较为灵活多样，涵盖了代数、几何、数论、概率统计等多个知识领域。
具体包括填空题、选择题和判断题等多种形式。
1.填空题填空题通常要求学生根据题意进行计算或推导得出唯一的答案，涵盖了代数、几何、数论等不同领域的知识点。
填空题考察学生对基本知识点的理解和运用能力，以及灵活性和创新性。
例题：已知2x + 3 = 7，求x的值。
2.选择题选择题是高考数学试题中出现较多的一种题型，涵盖了代数、几何、数论等多个知识点。
选择题通常包括单项选择和多项选择两种形式，要求学生根据题意选择正确答案。
例题：已知抛物线y = ax^2 + bx + c的顶点坐标为（1，-3），则a、b、c的关系是（）。
A. a + b + c = 1B. a - b + c = 1C. a - b - c = 1D. a + b - c = 13.判断题判断题常常考察学生对于基本概念和定理的理解和掌握能力。
题目通常以简短的陈述形式呈现，要求学生判断其真假，并给出理由。
例题：若对于任意实数x，有f(x) = f(-x)，则函数f(x)是奇函数。
（）二、填空题填空题是高考数学试题中的一种主要题型，通常要求学生根据题意进行计算或推导，得出唯一的答案。
填空题涵盖了代数、几何、数论等多个知识领域，考察学生对基础知识的掌握和运用能力，以及灵活性和创新性。
1.代数填空题代数填空题主要考察学生对于代数表达式的计算和变形能力，包括多项式、方程、不等式等内容。
例题：已知方程2x^2 - 3x - 2 = 0的两根分别为x1和x2，求x1 + x2的值。
2.几何填空题几何填空题通常考察学生对于几何图形的性质和关系的理解，要求学生根据题意进行计算或推导，得出唯一的答案。
例题：在直角三角形ABC中，∠C = 90°，AB = 3，BC = 4，则AC =3.数论填空题数论填空题主要考察学生对于整数性质和基本定理的理解和运用能力，包括最大公约数、最小公倍数、质数分解等知识点。
新高考数学大题6大题型
新高考数学大题6大题型
新高考数学大题常见的6大题型包括：
1.三角函数题型：涉及三角函数的画图、性质、三角恒等变换、和与差公式等。
2.向量题型：强调向量的工具性，主要涉及平面向量的背景，以及正弦定理、余弦定理、解三角形等内容。
3.数列题型：考察等差数列和等比数列的通项公式、求和公式以及相关性质。
4.不等式题型：包括不等式的证明、求解和实际应用等。
5.解析几何题型：考察直线、圆、椭圆、双曲线等图形的位置关系和数量关系。
6.函数与导数题型：主要涉及函数的单调性、奇偶性、周期性等性质，以及导数的计算和应用。
在高考数学大题中，这些题型可能会以综合题的形式出现，注重知识的交汇性和实际应用。
因此，考生需要掌握各部分内容的本质和联系，能够综合运用各种数学知识和思想方法来解决实际问题。
高中数学6个大题全部问法及解题思路
2001-2016年山东卷高考数学6大专题出题方向及解题思路高考数学大题结构安排：A、三角函数与向量的结合B、概率论C、立体几何D、曲线（椭圆双曲线抛物线圆锥曲线）E、数列F、导数（全国卷不等式或者极限)解题方法浅析：其实高考大题并不可怕，它就是一个按部就班的过程，只要你能把握每个知识点的出题方向，每个方向的解题思路，随便怎么都可以拿到65分的，甚至猛一点的可以拿75分。
那么我就简单的说一下我的想法和思路，希望对大家有帮助。
a、三角函数与向量：考点：对于这类题型我们首先要知道它的出题方向：向量的数量积以及三角函数的化简问题看，同时可能会涉及到正余弦定理，难度一般不大。
只要你能熟练掌握公式，这类题都不是问题。
题型：这部分大题一般都是涉及以下的题型：最值（值域）、单调性、周期性、对称性、未知数的取值范围、平移问题等解题思路：第一步求定义域第二步就是根根据向量公式将表示出来：其表示共有两种方法，一种是模长公式（该种方法是在题目没有告诉坐标的情况下应用），即，另一种就是用坐标公式表示出来（该种方法是在题目告诉了坐标），即第三步就是三角函数的化简：化简的方法都是涉及到三角函数的诱导公式（只要题目出现了跟或者有关的角度，一定想到诱导公式），还有就是倍角半角公式（只要题目中的角度出现一半或者两倍的关系，一定要此方法），最后可能就是用到三角函数的展开公式（注意辅助角公式的应用）第四步就是将化简为一个整体的式子（如y=a的形式）根据题目要求来解答：最值（值域）：要首先求出的范围，然后求出y的范围单调性：首先明确sin函数的单调性，然后将代入sin函数的单调范围解出x的范围（这里一定要注意2的正负性）周期性：利用公式求解对称性：要熟练掌握sin、cos、tan函数关于轴对称和点对称的公式，同时解题过程中不要忘记了加上周期性。
未知数的取值范围：请文科生参照第九套试卷第二问的做法；平移问题：永远记住左右平移只是对x做变化，上下平移就是对y做变化，永远切记。
函数的概念与性质常见典型考题赏析
ʏ张文伟函数是每年高考的必考内容㊂纵观近几年的高考试题,函数的概念与性质,函数的图像与应用问题,分段函数问题,以函数形式出现的综合题和应用题一直是常考点,且常考常新㊂下面就函数的概念与性质的常见典型考题进行举例分析,供大家学习与参考㊂题型一:函数概念的理解判断对应关系是否构成函数的关键:一是自变量x的取值是否任意,二是对应的函数值y是否唯一㊂判断两个函数是否相同,要根据函数的 三要素 来判断,即看函数的定义域㊁对应关系㊁值域是否一致,当三者都一致的时候,两个函数才是相同函数㊂例1设M={x|0ɤxɤ2},N={y| 0ɤyɤ2},给出下列四个图形,如图1,图2,图3,图4,其中能表示从集合M到N的函数关系的图形有()㊂图1图2图3图4A.1个B.2个C.3个D.4个解:由函数的定义知,M中任意一个x,在N中都有唯一的y与之对应,故图1,图2,图4正确㊂应选C㊂跟踪训练1:下列函数中与函数y=x是同一个函数的是()㊂A.y=(x)2B.y=3x3C.y=4x4D.y=(x+1)2x+1-1提示:A中,y=(x)2=x(xȡ0),yȡ0,可知定义域不同且值域不同,所以两个函数不是同一个函数㊂B中,y=3x3=x(xɪR),yɪR,对应关系相同,定义域和值域都相同,所以是同一个函数㊂C中,y=4x4,yȡ0,与y=x值域不同,且当x<0时,它的对应关系与函数y=x不相同,所以不是同一个函数㊂D中,y=(x+1)2x+1-1的定义域为{x|xʂ-1},与函数y=x的定义域不相同,所以不是同一个函数㊂应选B㊂题型二:求具体函数的定义域函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值集合,其实质是以使函数的表达式所含运算有意义为原则㊂函数的定义域要用集合或区间的形式表示㊂若已知函数f(x)的定义域为[a,b],则函数f[g(x)]的定义域是指满足不等式aɤg(x)ɤb的x取值范围;已知f[g(x)]的定义域是[a,b],指的是xɪ[a,b],要求f(x)的定义域,就是求xɪ[a,b]时g(x)的值域㊂例2函数y=x+3-3x2+x-6的定义域是㊂解:要使此函数有意义,x必须满足x+3ȡ0,x2+x-6ʂ0,{即xȡ-3,xʂ2且xʂ-3,{也即x>-3且xʂ2,所以函数的定义域为(-3, 2)ɣ(2,+ɕ)㊂跟踪训练2:若函数f(x)的定义域为[-2,1],求函数y=f x+14()㊃f x-14()的定义域㊂提示:要使函数y=f x+14()㊃f x-14()有意义,必须满足经典题突破方法高一数学2022年10月-2ɤx +14ɤ1,-2ɤx -14ɤ1㊂ìîíïïïï由此解得-94ɤx ɤ34,-74ɤx ɤ54,ìîíïïïï即-74ɤx ɤ34㊂故函数y =f x +14()㊃f x -14()的定义域为-74,34[]㊂题型三:函数的值与值域问题一次函数的值域为R ,二次函数的值域可用公式法㊁配方法或图像法求解,反比例函数的值域可用图像法求解㊂在求值域时,一定要考虑定义域,如求y =x 2-2x (-1ɤx <2)的值域,不能用公式法,可根据定义域结合图像求解㊂例3 已知函数f (x )=3x 2-2x -1,则f (-2)=;f (m -1)=;f [f (-1)]=㊂解:f (-2)=3ˑ(-2)2-2ˑ(-2)-1=15㊂f (m -1)=3(m -1)2-2(m -1)-1=3m 2-8m +4㊂因为f (-1)=3ˑ(-1)2-2ˑ(-1)-1=4,所以f [f (-1)]=f (4)=3ˑ42-2ˑ4-1=39㊂跟踪训练3:求下列函数的值域㊂(1)y =2x -4x +3㊂(2)y =1x 2+2x +2㊂提示:(1)因为y =2x -4x +3=2(x +3)-10x +3=2-10x +3ʂ2,所以y ɪ(-ɕ,2)ɣ(2,+ɕ),即此函数的值域为(-ɕ,2)ɣ(2,+ɕ)㊂(2)令u =x 2+2x +2=(x +1)2+1ȡ1,则y =1u㊂因为u ɪ[1,+ɕ),所以y ɪ(0,1],即此函数的值域为(0,1]㊂题型四:求函数的解析式求函数解析式的四种常用方法:待定系数法,当已知函数类型时,常用待定系数法;代入法,已知y =f (x )的解析式,求函数y =f [g (x )]的解析式时,可直接用新自变量g (x )替换y =f (x )中的x ;换元法,已知y =f [g (x )]的解析式,求y =f (x )的解析式,可令g (x )=t ,反解出x ,然后代入y =f [g (x )]中,求出f (t ),即得f (x );构造方程组法,当同一个对应关系中的两个自变量之间有互为相反数或者互为倒数关系时,可构造方程组求解㊂例4 设二次函数f (x )满足f (x -2)=f (-x -2),且图像与y 轴交点的纵坐标为1,被x 轴截得的线段长为22,求函数f (x )的解析式㊂解:(方法1)设f (x )=a x 2+b x +c (a ʂ0)㊂由已知得c =1㊂由f (x -2)=f (-x -2),可得4a -b =0㊂由|x 1-x 2|=b 2-4a c |a |=22,可得b 2-4a c =8a2㊂由上可得,b =2,a =12,c =1,所以函数f (x )=12x 2+2x +1㊂(方法2)因为f (x -2)=f (-x -2),所以y =f (x )图像的对称轴为x =-2㊂又|x 1-x 2|=22,所以y =f (x )的图像与x 轴的交点为(-2-2,0),(-2+2,0)㊂设f (x )=a (x +2+2)(x +2-2)㊂因为f (0)=1,所以a =12㊂故函数f (x )=12[(x +2)2-2]=12x 2+2x +1㊂跟踪训练4:求下列函数的解析式㊂(1)已知f (x -1)=x +2x ,求f (x )㊂(2)设f (x )是定义在(1,+ɕ)上的一个函数,且f (x )=2x f1x ()-1,求f (x )㊂提示:(1)令t =x -1,则t ȡ-1,且x =t +1,所以f (t )=(t +1)2+2(t +1)=t 2+4t +3㊂故f (x )=x 2+4x +3(x ȡ-1)㊂(2)因为f (x )=2x f 1x ()-1,所以用1x 代换x ,得f 1x()=21xf (x )-1㊂由上经典题突破方法高一数学 2022年10月消去f1x(),解得f (x )=4f (x )-2x -1,所以f (x )=23x +13㊂又因为x ɪ(1,+ɕ),所以函数f (x )=23x +13,x ɪ(1,+ɕ)㊂题型五:分段函数的应用求分段函数的函数值时,一般应先确定自变量的取值在哪个区间上,然后用与这个区间相对应的解析式求函数值㊂已知分段函数的函数值,求自变量的值,要进行分类讨论,逐段用不同的函数解析式求解,求解最后检验所求结果是否适合条件㊂实际问题中的分段函数,以自变量在不同区间上的对应关系的不同进行分段求解㊂例5已知函数f (x )=x 2+1,x ȡ0,-2x ,x <0,{若f (x )=10,则x =㊂解:当x ȡ0时,f (x )=x 2+1=10,可得x =-3(舍去)或x =3;当x <0时,f (x )=-2x =10,可得x =-5㊂综上可知,x =-5或x =3㊂跟踪训练5:已知函数f (x )=12x -1,x ȡ0,1x,x <0,ìîíïïïï若f (a )=a ,则实数a 的值是㊂提示:当a ȡ0时,f (a )=a2-1=a ,可得a =-2(舍去);当a <0时,f (a )=1a=a ,可得a =-1或a =1(舍去)㊂综上知实数a =-1㊂题型六:函数的单调性问题证明函数f (x )在区间上的单调性的五个步骤:①设元,②作差,③变形,④判号,⑤定论㊂解决与抽象函数有关的变量的取值范围问题,关键是利用单调性 脱去 函数符号 f,从而转化为不等式求解㊂例6 已知函数f (x )在区间(-1,1)上单调递减,且f (a -1)>f (1-4a ),求a 的取值范围㊂解:由题意知-1<a -1<1,-1<1-4a <1,{解得0<a <12㊂因为函数f (x )在区间(-1,1)上单调递减,且f (a -1)>f (1-4a ),所以a -1<1-4a ,可得a <25㊂综上可得,0<a <25,即a 的取值范围是0,25()㊂跟踪训练6:设函数f (x )=x |x -1|+m ,当m >1时,求函数f (x )在区间[0,m ]上的最大值㊂提示:函数f (x )=x |x -1|+m =-x 2+x +m ,0ɤx ɤ1,x 2-x +m ,1<x ɤm ㊂{当0ɤx ɤ1时,f (x )=-x 2+x +m =-x -12()2+m +14ɤm +14;当1<x ɤm 时,由f (x )=x 2-x +m =x -12()2+m -14,可得f (x )在(1,m ]上单调递增,所以f (x )m a x =f (m )=m 2㊂由m 2ȡm +14且m >1得m ȡ1+22㊂所以f (x )m a x =m +14,1<m <1+22,m 2,m ȡ1+22㊂ìîíïïïï题型七:函数性质的应用函数的性质主要有定义域㊁值域㊁单调性㊁奇偶性㊁周期性㊁对称性等㊂利用奇偶性和单调性解不等式要注意的是:奇函数在定义域内的关于y 轴对称的两个区间上的单调性相同,偶函数在定义域内的关于y 轴对称的两个区间上的单调性相反㊂例7 设f (x )在R 上是偶函数,在(-ɕ,0)上单调递减,若f (a 2-2a +3)>f (a 2+a +1),求实数a 的取值范围㊂解:由题意知f (x )在(0,+ɕ)上单调递增㊂因为a 2-2a +3=(a -1)2+2>0,a 2+a +1=a +12()2+34>0,且f (a 2-2a +3)>f (a 2+a +1),所以a 2-2a +3>a 2+a +1,解得a <23㊂故所求实数a 的取值范围是 经典题突破方法 高一数学 2022年10月-ɕ,23()㊂跟踪训练7:设定义在[-2,2]上的偶函数f (x )在区间[0,2]上单调递减,若f (1-m )<f (m ),求实数m 的取值范围㊂提示:因为f (x )是偶函数,所以f (-x )=f (x )=f (|x |)㊂不等式f (1-m )<f (m )等价于f (|1-m |)<f (|m |)㊂又f (x )在区间[0,2]上单调递减,所以|1-m |>|m |,-2ɤm ɤ2,-2ɤ1-m ɤ2,ìîíïïï解得-1ɤm <12㊂故实数m 的取值范围是-1,12[)㊂题型八:幂函数问题对于幂函数f (x )=xα,当α>0时,在(0,+ɕ)上单调递增;当α<0时,在(0,+ɕ)上单调递减㊂对于幂函数f (x )=xα,在(0,1)上,指数越大,图像越靠近x 轴(简记为 指大图低 );在(1,+ɕ)上,指数越大,图像越远离x 轴(简记为 指大图高)㊂例8 已知函数f (x )=x 3,x ɤa ,x 2,x >a,{若存在实数b ,使方程f (x )-b =0有两个根,则a 的取值范围是㊂解:存在实数b ,使方程f (x )-b =0有两个根等价于存在实数b ,函数y =f (x )与y =b 的图像有两个交点(图略)㊂当a <0时,y =f (x )在(a ,0)上单调递减,(0,+ɕ)上单调递增,所以存在实数b ɪ(0,a 2),使函数y =f (x )与y =b 的图像有两个交点;当0ɤa ɤ1时,y =f (x )在R 上单调递增,所以不存在实数b ,使函数y =f (x )与y =b 的图像有两个交点;当a >1时,y =f (x )在(-ɕ,a )上单调递增,(a ,+ɕ)上也单调递增,所以存在实数b ɪ(a 2,a3),使函数y =f (x )与y =b 的图像有两个交点㊂综上可得,a ɪ(-ɕ,0)ɣ(1,+ɕ)㊂跟踪训练8:已知幂函数y =x 3m -9(m ɪN *)的图像关于y 轴对称,且在(0,+ɕ)上单调递减,求满足(a +1)-m 3<(3-2a )-m3的a 的取值范围㊂提示:因为幂函数y =x 3m -9在(0,+ɕ)上单调递减,所以3m -9<0,解得m <3㊂又m ɪN *,所以m =1或m =2㊂因为函数图像关于y 轴对称,所以3m -9为偶数,可知m =1,则(a +1)-13<(3-2a )-13㊂因为y =x -13在(-ɕ,0),(0,+ɕ)上均单调递减,所以a +1>3-2a >0或0>a +1>3-2a 或a +1<0<3-2a ,解得23<a <32或a <-1㊂故a 的取值范围为(-ɕ,-1)ɣ23,32()㊂题型九:二次函数模型二次函数求最值的四种方法:配方法,判别式法,换元法,单调性法㊂求二次函数最值问题,最好结合二次函数的图像㊂例9 某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品,其生产的总成本y (万元)与年产量x (t)之间的函数关系式可以近似地表示为y =x 25-48x +8000㊂已知此生产线年产量最大为210t ㊂若每吨产品平均出厂价为40万元,那么当年产量为多少吨时,可以获得最大利润?最大利润是多少解:设可获得的总利润为W 万元,则W =40x -y=40x -x 25+48x -8000=-x 25+88x -8000=-15(x -220)2+1680(0ɤx ɤ210)㊂因为W 在[0,210]上单调递增,所以当x =210时,W m a x =-15(210-220)2+1680=1660(万元)㊂故年产量为210t 时,可获得最大利润,最大利润为1660万元㊂跟踪训练9:某工厂生产甲㊁乙两种产品所得利润分别为P (万元)和Q (万元),它们与投入资金m (万元)的关系有如下公式:P =12m +60,Q =70+6m ㊂今将200万元资金投入生产甲㊁乙两种产品,并要求对甲㊁乙两种产品的投入资金都不低于25经典题突破方法高一数学 2022年10月万元㊂(1)设对乙种产品投入资金x (万元),求总利润y (万元)关于x 的函数关系式及其定义域㊂(2)如何分配投入资金,才能使总利润最大?求出最大总利润㊂提示:(1)根据题意知,对乙种产品投入资金x 万元,对甲种产品投入资金(200-x )万元,那么总利润y =12(200-x )+60+70+6x =-12x +6x +230㊂由x ȡ25,200-x ȡ25,{解得25ɤx ɤ175,所以函数的定义域为[25,175]㊂(2)令t =x ,则y =-12t 2+6t +230=-12(t -6)2+248㊂因为x ɪ[25,175],所以t ɪ[5,57]㊂当t ɪ[5,6]时,函数单调递增;当t ɪ[6,57]时,函数单调递减㊂所以当t =6,即x =36时,y m ax =248㊂故当甲种产品投入资金164万元,乙种产品投入资金36万元时,总利润最大,最大总利润为248万元㊂题型十:分段函数模型对于自变量的不同取值范围,有着不同的对应法则,这样的函数称为分段函数㊂分段函数是一个函数,而不是几个函数㊂分段函数的定义域是各段函数定义域的并集,值域是各段函数值域的并集㊂例10 某厂生产某种零件,每个零件的成本为40元,出厂单价定为60元,该厂为鼓励销售商订购,决定当一次订购量超过100个时,每多订购1个,订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元,但实际出厂单价不能低于51元㊂(1)当一次订购量为多少个时,零件的实际出厂单价恰降为51元?(2)设一次订购量为x 个,零件的实际出厂单价为P 元,写出函数P =f (x )的表达式㊂(3)当销售商一次订购500个零件时,该厂获得的利润是多少元?如果订购1000个,利润又是多少元(一个零件的利润=实际出厂单价-成本)解:(1)设每个零件的实际出厂价恰好降为51元时,一次订购量为x 0个,则x 0=100+60-510.02,即x 0=550㊂因此,当一次订购量为550个时,每个零件的实际出厂价恰好降为51元㊂(2)当0<x ɤ100时,P =60;当100<x ɤ550时,P =60-0.02(x -100)=62-x50;当x >550时,P =51㊂所以函数P =f(x )=60,0<x ɤ100,62-x 50,100<x ɤ550,51,x >550ìîíïïïï(x ɪN )㊂(3)设销售商一次订购量为x 个时,工厂获得的利润为L 元,则函数L =(P -40)x =20x ,0<x ɤ100,22x -x 250,100<x ɤ550,11x ,x >550ìîíïïïï(x ɪN )㊂当x =500时,L =6000;当x =1000时,L =11000㊂因此,当销售商一次订购500个零件时,该厂获得的利润是6000元;如果订购1000个,利润是11000元㊂跟踪训练10:某公司生产一种产品,每年投入固定成本0.5万元,此外每生产100件这种产品还需要增加投资0.25万元㊂经预测可知,市场对这种产品的年需求量为500件,当出售的这种产品的数量为t (单位:百件)时,销售所得的收入约为5t -12t 2(万元)㊂(1)若该公司的年产量为x (单位:百件),试把该公司生产并销售这种产品所得的年利润f (x )表示为年产量x 的函数㊂(2)当这种产品的年产量为多少时,当年所得利润最大?提示:(1)当0<x ɤ5时,产品全部售出,当x >5时,产品只能售出500件㊂所以函数f(x )=经典题突破方法 高一数学 2022年10月5x -12x 2()-(0.5+0.25x ),0<x ɤ5,5ˑ5-12ˑ52()-(0.5+0.25x ),x >5,ìîíïïïï即函数f (x )=-12x 2+4.75x -0.5,0<x ɤ5,12-0.25x ,x >5㊂{(2)当0<x ɤ5时,f (x )=-12x 2+4.75x -0.5,所以当x =4.75(百件)时,f (x )有最大值,可得f (x )m a x =10.78125(万元)㊂当x >5时,f (x )<12-0.25ˑ5=10.75(万元)㊂故当这种产品的年产量为475件时,当年所得利润最大㊂题型十一:抽象函数问题解抽象函数问题,主要用赋值法㊂赋值法的关键环节是 赋值 ,赋值的方法灵活多样,既要照顾到已知条件的运用和待求结论的产生,又要考虑所给关系式的结构特点㊂例11 已知定义在区间(0,+ɕ)上的函数f (x )满足f x 1x 2()=f (x 1)-f (x 2),且当x >1时,f (x )<0㊂(1)证明:f (x )为单调递减函数㊂(2)若f (3)=-1,求f (x )在[2,9]上的最小值㊂解:(1)任取x 1,x 2ɪ(0,+ɕ),且x 1>x 2,则x 1x 2>1㊂因为当x >1时,f (x )<0,所以f x1x 2()<0,即f (x 1)-f (x 2)<0,所以f (x 1)<f (x 2),所以函数f (x )在区间(0,+ɕ)上是单调递减函数㊂(2)因为f (x )在(0,+ɕ)上是单调递减函数,所以f (x )在[2,9]上的最小值为f (9)㊂由f x 1x 2()=f (x 1)-f (x 2),可得f 93()=f (9)-f (3),而f (3)=-1,所以f (9)=-2㊂故f (x )在[2,9]上的最小值为-2㊂跟踪训练11:设函数f (x )的定义域为U ={x |x ɪR 且x >0},且满足条件f (4)=1㊂对任意的x 1,x 2ɪU ,有f (x 1㊃x 2)=f (x 1)+f (x 2),且当x 1ʂx 2时,有f (x 2)-f (x 1)x 2-x 1>0㊂(1)求f (1)的值㊂(2)如果f (x +6)+f (x )>2,求x 的取值范围㊂提示:(1)对任意的x 1,x 2ɪU ,有f (x 1㊃x 2)=f (x 1)+f (x 2),可令x 1=x 2=1,得f (1ˑ1)=f (1)+f (1)=2f (1),所以f (1)=0㊂(2)设0<x 1<x 2,则x 2-x 1>0㊂因为当x 1ʂx 2时,f (x 2)-f (x 1)x 2-x 1>0,所以f (x 2)-f (x 1)>0,即f (x 2)>f (x 1),所以f (x )在定义域内为增函数㊂令x 1=x 2=4,可得f (4ˑ4)=f (4)+f (4)=1+1=2,即f (16)=2㊂当x +6>0,x >0,{即x >0时,原不等式可化为f [x (x +6)]>f (16)㊂因为f (x )在定义域上为增函数,所以x (x +6)>16,解得x >2或x <-8㊂又x >0,所以x >2㊂故x 的取值范围为(2,+ɕ)㊂题型十二:函数的创新题这类问题的特点是背景新颖,信息量大,通过它可考查同学们获取信息㊁分析信息并解决问题的能力㊂解答这类问题,首先要分析新定义的特点,把新定义所叙述的问题的本质弄清楚,然后应用到具体的解题过程之中,这是破解新定义信息题难点的关键㊂例12 给出定义:若m -12<x ɤm +12(其中m 为整数),则m 叫作离实数x 最近的整数,记作{x },即{x }=m ㊂现给出下列关于函数f (x )=|x -{x }|的四个命题:①f -12()=12;②f (3.4)=-0.4;③f -14()=f 14();④y =f (x )的定义域为R ,值域是-12,12[]㊂经典题突破方法高一数学 2022年10月其中真命题的序号是㊂解:因为-1-12<-12ɤ-1+12,所以-12{}=-1,所以f-12()=-12--12{}=-12+1=12,①正确㊂因为3-12<3.4ɤ3+12,所以{3.4}=3,所以f (3.4)=|3.4-{3.4}|=|3.4-3|=0.4,②错误㊂因为0-12<-14ɤ0+12,所以-14{}=0,所以f -14()=-14-0=14㊂因为0-12<14ɤ0+12,所以14{}=0,所以f 14()=14-0=14,所以f -14()=f 14(),③正确㊂y =f (x )的定义域为R ,值域是012[],④错误㊂答案为①③㊂跟踪训练12:(多选题)对任意实数a ,b ,定义m i n {a ,b }=a ,a ɤb ,b ,a >b,{若f (x )=2-x 2,g (x )=x 2-2,则关于函数F (x )=m i n {f (x ),g (x )}的说法正确的是( )㊂A .函数F (x )是偶函数B .方程F (x )=0有一个解C .函数F (x )有四个单调区间D .函数F (x )有最大值为0,无最小值提示:由题意可得,函数F (x )=2-x 2,x ɪ(-ɕ,-2]ɣ[2,+ɕ),x 2-2,x ɪ(-2,2),{作出函数F (x )图像,如图5所示㊂图5由图5可知,该函数为偶函数,有两个零点-2,2,四个单调区间㊂当x =ʃ2时,函数F (x )取得最大值为0,无最小值㊂应选A C D ㊂1.已知函数f (x )=m x 2-2m x +m -1x 2-2x +1(m ɪR ),试比较f (5)与f (-π)的大小㊂提示:f (x )=m x 2-2m x +m -1x 2-2x +1=m -1(x -1)2㊂y =-1x 2的图像向右平移1个单位得到y =-1(x -1)2的图像,再向上(m ȡ0)或向下(m <0)平移|m |个单位得到y =m -1(x -1)2的图像㊂因为y =-1x2在(-ɕ,0)上单调递减,在(0,+ɕ)上单调递增,且关于y 轴对称,所以f (x )在(-ɕ,1)上单调递减,(1,+ɕ)上单调递增,且关于直线x =1对称,所以f (-π)=f (2+π),而2+π>5,所以f (-π)=f (2+π)>f (5),即f (5)<f (-π)㊂2.已知f (x )是偶函数,g (x )是奇函数,且f (x )+g (x )=x 2+x -2,求f (x ),g (x )的解析式㊂提示:因为f (x )是偶函数,g (x )是奇函数,所以f (-x )=f (x ),g (-x )=-g (x )㊂由f (x )+g (x )=x 2+x -2,可得f (-x )+g (-x )=(-x )2-x -2,即f (x )-g (x )=x 2-x -2㊂由上可得函数f (x )=x 2-2,g (x )=x ㊂3.已知f (x )是定义在R 上的奇函数,且当x >0时,f (x )=x 3-2x 2+2,求f (x )的解析式㊂提示:因为f (x )是定义在R 上的奇函数,所以当x =0时,f (-0)=-f (0),即f (0)=0㊂当x <0时,-x >0,所以f (x )=-f (-x )=-[(-x )3-2(-x )2+2]=x 3+2x 2-2㊂所以函数f (x )=x 3+2x 2-2,x <0,0,x =0,x 3-2x 2+2,x >0㊂ìîíïïï作者单位:河南省开封高中(责任编辑 郭正华)经典题突破方法 高一数学 2022年10月。
高考数学常考题型和答题技巧
高考数学常考题型和答题技巧（大全）高考数学常考题型和答题技巧（大全）高考数学常考题型和答题技巧1.解决绝对值问题主要包括化简、求值、方程、不等式、函数等题，基本思路是：把含绝对值的问题转化为不含绝对值的问题。
具体转化方法有：①分类讨论法：根据绝对值符号中的数或式子的正、零、负分情况去掉绝对值。
②零点分段讨论法：适用于含一个字母的多个绝对值的情况。
③两边平方法：适用于两边非负的方程或不等式。
④几何意义法：适用于有明显几何意义的情况。
2.因式分解根据项数选择方法和按照一般步骤是顺利进行因式分解的重要技巧。
因式分解的一般步骤是：提取公因式选择用公式十字相乘法分组分解法拆项添项法3.配方法利用完全平方公式把一个式子或部分化为完全平方式就是配方法，它是数学中的重要方法和技巧。
4.换元法解某些复杂的特型方程要用到“换元法”。
换元法解方程的一般步骤是：设元一换兀一解兀一还元5.待定系数法待定系数法是在已知对象形式式的条件下求对象的一种方法。
适用于求点的坐标、函数解析式、曲线方程等重要问题的解决。
其解题步骤是：①设②列③解④写6.复杂代数等式复杂代数等式型条件的使用技巧：左边化零，右边变形。
①因式分解型：(__)(__)=0两种情况为或型②配成平方型：(__)2+(__)2=0两种情况为且型数学中两个最伟大的解题思路求值的思路列欲求值字母的方程或方程组2)求取值范围的思路列欲求范围字母的不等式或不等式组数学解题小技巧1、精神要放松，情绪要自控最易导致紧张、焦虑和恐惧心理的是入场后与答卷前的“临战”阶段，此时保持心态平衡的方法有三种：①转移注意法：避开临考者的目光，把注意力转移到某一次你印象较深的数学模拟考试的评讲课上，或转移到对往日有趣、滑稽事情的回忆中。
②自我安慰法：如“我经过的考试多了，没什么了不起”，“考试，老师监督下的独立作业，无非是换一换环境”等。
③抑制思维法：闭目而坐，气贯丹田，四肢放松，深呼吸，慢吐气，(最好默念几遍：“阿弥陀佛或祖先保佑”呵呵，还真的管用)如此进行到发卷时。
新数学高考六道大题题型
新数学高考六道大题题型一、解析几何1. 平面几何定理题目：已知直角三角形ABC中，∠C=90°，且AC=5，BC=12。
求AB 的长度。
解题思路：根据勾股定理，可以得到AB的长度。
即AB=√(AC²+BC²)=√(25+144)=√169=13。
2. 空间几何定理题目：已知四棱锥的底面是一个菱形，底面边长为6，四个脚顶点在菱形对角线的两端，且离底面中心的距离都是3。
求这个四棱锥的体积。
解题思路：根据四棱锥的体积公式，可以得到体积V=(1/3)*底面面积*高。
由菱形的对角线长和底面边长可求得底面面积为18，而高等于脚顶点到底面中心的距离，即3。
带入公式可得V=(1/3)*18*3=18。
二、函数与方程3. 函数求值题目：设函数f(x)满足f(x+2)-2f(x+1)+f(x)=x，且f(1)=1，f(2)=4。
求f(3)的值。
解题思路：将x分别取1和2代入已知的方程，可以得到两个方程：f(3)-2f(2)+f(1)=1 和f(4)-2f(3)+f(2)=2。
再结合已知条件f(1)=1和f(2)=4，可以得到一个关于f(3)的一元二次方程，解方程可得f(3)=2。
4. 方程求根题目：解方程x²-5x+6=0。
解题思路：这是一个一元二次方程，可以使用求根公式进行求解。
根据求根公式，方程的根分别是x=(5±√(5²-4*1*6))/(2*1)。
带入公式可得x₁=3，x₂=2。
三、概率与统计5. 概率计算题目：甲、乙、丙三个人独立地制作产品A的过程中，每个人的失误率分别是0.1、0.2和0.3。
其中甲独立制作30件，乙制作50件，丙制作20件。
现从中随机抽取一件产品，求抽出的产品是失误的概率。
解题思路：根据独立事件的概率公式，可以将问题化简为分别求甲、乙、丙制作的产品中出现失误的概率，然后将三个概率相加。
甲独立制作30件，失误的概率是0.1，所以甲制作的产品中失误的数量是30*0.1=3；同理，乙和丙的失误数量分别是10和6。
2024高考数学常考题型 第18讲 直线与圆常考6种题型总结(解析板)
第18讲直线与圆常考6种题型总结【考点分析】考点一：圆的定义：在平面上到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆考点二：圆的标准方程设圆心的坐标()C a b ，，半径为r ，则圆的标准方程为：()()222x a y b r -+-=考点三：圆的一般方程圆的一般方程为220x y Dx Ey F ++++=，圆心坐标：()22D E --，，半径：r =注意：①对于F E D 、、的取值要求：2240D E F +->当2240D E F +-=时，方程只有实数解22D E x y =-=-，．它表示一个点()22D E--，当2240D E F +-<时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．②二元二次方程220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=，表示圆的充要条件是22040A C B D E AF =≠⎧⎪=⎨⎪+->⎩考点四：以1122()()A x y B x y ，，，为直径端点的圆的方程为1212()()()()0x x x x y y y y -⋅-+--=考点五：阿波罗尼斯圆设A B ，为平面上相异两定点，且||2(0)AB a a =>，P 为平面上异于A B ，一动点且||||PA PB λ=（0λ>且1λ≠）则P 点轨迹为圆.考点六：直线与圆的位置关系设圆心到直线的距离d ，圆的半径为r ，则直线与圆的位置关系几何意义代数意义公共点的个数①直线与圆相交r d <0>∆两个②直线与圆相切r d =0=∆一个③直线与圆相离r d >0<∆0个注：代数法：联立直线方程与圆方程，得到关于x 的一元二次方程2Ax Bx C ++=考点七：直线与圆相交的弦长问题法一：设圆心到直线的距离d ，圆的半径为r ，则弦长222d r AB -=法二：联立直线方程与圆方程，得到关于x 的一元二次方程20Ax Bx C ++=，利用韦达定理，弦长公式即可【题型目录】题型一：圆的方程题型二：直线与圆的位置关系题型三：直线与圆的弦长问题题型四：圆中的切线切线长和切点弦问题题型五：圆中最值问题题型六：圆与圆的位置关系问题【典型例题】题型一：圆的方程【例1】AOB 顶点坐标分别为()2,0A ，()0,4B ，()0,0O ．则AOB 外接圆的标准方程为______．【答案】()()22125x y -+-=【解析】设圆的标准方程为()()222x a y b r -+-=，因为过点()2,0A ，()0,4B ，()0,0O 所以()()()()()()222222222200400a b r a b r a b r ⎧-+-=⎪⎪-+-=⎨⎪-+-=⎪⎩解得2125a b r =⎧⎪=⎨⎪=⎩则圆的标准方程为()()22125x y -+-=故答案为：()()22125x y -+-=【例2】已知圆22(1)(2)4x y +++=关于直线()200,0ax by a b ++=>>对称，则12a b+的最小值为（）A ．52B ．92C ．4D ．8故选：B【例3】过点(1,1),(3,5)A B -，且圆心在直线220x y ++=上的圆的方程为_______．【例4】设甲：实数3a <；乙：方程2230x y x y a +-++=是圆，则甲是乙的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【例5】苏州有很多圆拱的悬索拱桥（如寒山桥），经测得某圆拱索桥（如图）的跨度100AB =米，拱高10OP =米，在建造圆拱桥时每隔5米需用一根支柱支撑，则与OP 相距30米的支柱MN 的高度是（）米.（注意：≈3.162）A ．6.48B ．5.48C ．4.48D ．3.48【答案】A【解析】以O 为原点,以AB 所在直线为x 轴,以OP 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系.设圆心坐标为（0，a ），则P (0,10),A (-50,0).可设圆拱所在圆的方程为()222x y a r +-=,由题意可得：()()222221050a r a r ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩解得：2120,16900a r =-=.所以所求圆的方程为()2212016900x y ++=.将x =-30代入圆方程,得:()290012016900y ++=,因为y >0,所以12040 3.162120 6.48y =≈⨯-=.故选：A.【例6】阿波罗尼斯（约公元前262-190年）证明过这样一个命题：在平面内到两定点距离之比为常数(0,1)k k k >≠的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点A ，B 间的距离为2，动点P 满足||||PA PB =，则PAB △面积的最大值是（）AB ．2C．D ．4【答案】C【解析】设经过点A ，B 的直线为x 轴，AB的方向为x 轴正方向，线段AB 的垂直平分线为y 轴，线段AB 的中点O 为原点，建立平面直角坐标系.则()1,0A -，()10B ,．设(),P x y，∵PA PB==两边平方并整理得22610x y x +-+=，即()2238x y -+=．要使PAB △的面积最大，只需点P到AB （x 轴）的距离最大时，此时面积为122⨯⨯故选：C.【题型专练】1．设点M 在直线210x y +-=上，点(3,0)和(0,1)均在M 上，则M 的方程为______________．2.经过三个点00()(02)()0A B C -,,,,的圆的方程为（）A ．(()2212x y ++=B ．(()2212x y +-=C ．(()2214x y ++=D ．(()2214x y +-=中的三点的一个圆的方程为____________．【答案】22420x y x y +--=或22460x y x y +--=或22814033x y x y +--=或2216162055x y x y +---=（答案不唯一，填其中一个即可）【解析】设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=若圆过(0,0)，(4,0)，(4,2)三点，则0164020420F D F D E F =⎧⎪++=⎨⎪+++=⎩，解得420D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，故圆的方程为22420x y x y +--=；若圆过(0,0)，(4,0)，(1,1)-三点，则0164020F D F D E F =⎧⎪++=⎨⎪-++=⎩，解得460D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，故圆的方程为22460x y x y +--=；若圆过(0,0)，(1,1)-，(4,2)三点，则02020420F D E F D E F =⎧⎪-++=⎨⎪+++=⎩，解得831430D E F ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩，故圆的方程为22814033x y x y +--=；若圆过(4,0)，(1,1)-，(4,2)三点，则16402020420D F D E F D E F ++=⎧⎪-++=⎨⎪+++=⎩，解得1652165D E F ⎧=-⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎩，故圆的方程为2216162055x y x y +---=.4.已知“m t ≤”是“220x y m ++=”表示圆的必要不充分条件，则实数t 的取值范围是（）A ．()1,-+∞B ．[)1,+∞C ．(),1-∞D ．(),1-∞-5.若两定点()1,0A ，()4,0B ，动点M 满足2MA MB =，则动点M 的轨迹围成区域的面积为（）．A ．2πB ．5πC ．3πD ．4π6.古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两定点A ，B 的距离之比为定值λ（λ≠1）的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系xOy 中，A （－2，0），B （4，0），点P 满足PA PB＝12.设点P 的轨迹为C ，则下列结论正确的是（）A ．轨迹C 的方程为（x ＋4）2＋y 2＝9B ．在x 轴上存在异于A ，B 的两点D ，E 使得PD PE＝12C ．当A ，B ，P 三点不共线时，射线PO 是∠APB 的平分线D ．在C 上存在点M ，使得2MO MA =【答案】BC【分析】根据阿波罗尼斯圆的定义，结合两点间距离公式逐一判断即可.MA MO，则在O，A，M三点所能构成7．已知动点M与两个定点O（0，0），A（3，0）的距离满足2=的三角形中面积的最大值是（）A．1B．2C．3D．4易知90MBO ∠=︒时，MOA S △取得最大值3．故选：C ．题型二：直线与圆的位置关系【例1】直线:10l kx y k -+-=与圆223x y +=的位置关系是（）A ．相交B ．相离C ．相切D ．无法确定【例2】（黑龙江哈尔滨市）若过点()4,3A 的直线l 与曲线()()22231x y -+-=有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为（）A ．⎡⎣B ．(C ．,33⎡-⎢⎣⎦D ．,33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】由题意知，直线的斜率存在，设直线的斜率为k ，则直线方程为()43-=-x k y ，即043=-+-k y kx ，圆心为()3,2，半径为1，所以圆心到直线得距离1211433222+≤-⇒≤+-+-=k k k kk d ，解得3333≤≤-k【例3】直线:20l kx y --=与曲线1C x -只有一个公共点，则实数k 范围是（）A ．(3,)(,3)+∞-∞- B ．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．4(2,4]3⎧⎫⎨⎬D ．(-由图知，当24k <≤或故选：C【例4】已知直线2:0l ax by r +-=与圆222:C x y r +=，点(),A a b ，则下列说法正确的是（）A ．若点A 在圆C 上，则直线l 与圆C 相切B ．若点A 在圆C 内，则直线l 与圆C 相交C ．若点A 在圆C 外，则直线l 与圆C 相离D ．若点A 在直线l 上，则直线l 与圆C 相切【答案】AD【分析】根据直线与圆的位置关系相应条件判断即可．【题型专练】1.直线():120l kx y k k R -++=∈与圆22:5C x y+=的公共点个数为（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．1个或2个【答案】D【解析】将直线l 变形为()012=+-+y x k ，令⎩⎨⎧=+-=+0102y x ，解得⎩⎨⎧=-=12y x ，所以直线过定点()1,2-P ，因为()51222=+-，所以点P 在圆上，所以直线与圆相切或者相交2.已知关于x 的方程2(3)1k x ++有两个不同的实数根，则实数k 的范围______.当直线与半圆相切时，圆心O 到直线1l 的距离d 解得：13265k -=（舍），或13265k +=当直线过点(2,0)-时，可求得直线2l 的斜率2k =则利用图像得：实数k 的范围为3261,5⎡⎫+⎪⎢⎪⎣⎭故答案为：3261,5⎡⎫+⎪⎢⎪⎣⎭3.（2022全国新高考2卷）设点A (－2，3)，B (0(x ＋3)2＋(y ＋2)2＝1有公共点，则a 的取值范围为_______．【答案】13,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】()2,3A -关于y a =对称的点的坐标为()2,23A a '--，()0,B a 在直线y a =上，所以A B '所在直线即为直线l ，所以直线l 为32a y x a -=+-，即()3220a x y a -+-=；圆()()22:321C x y +++=，圆心()3,2C --，半径1r =，依题意圆心到直线l 的距离1d =≤，即()()2225532a a -≤-+，解得1332a ≤≤，即13,32a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦；故答案为：13,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦题型三：直线与圆的弦长问题【例1】已知圆C ：()()22210x y a a +-=>与直线l ：x -y -1=0相交于A ，B 两点，若△ABC 的面积为2，则圆C 的面积为（）A ．πB ．2πC ．4πD ．6π【答案】C 【解析】如图，由圆C 方程可知圆心()0,1C ，半径为a ，由点到直线的距离公式可知圆心C到直线l 的距离d =又△ABC 的面积为11222S AB d =⋅==，解得AB =2222a ⎛+= ⎝⎭，则a =2，即圆C 的半径为2.则圆C 的面积为24S a ππ==.故选：C.【例2】已知圆22:60M x y x +-=，过点()1,2的直线1l ，2l ，…，()*n l n ∈N 被该圆M 截得的弦长依次为1a ，2a ，…，n a ，若1a ，2a ，…，n a 是公差为13的等差数列，则n 的最大值是（）A ．10B ．11C ．12D ．13【答案】D【分析】求出弦长的最小和最大值，根据等差数列的关系即可求出n 的最大值此时，直线DE 的解析式为：3y x =-+直线BC 的解析式为：=+1y x 圆心到弦BC 所在直线的距离：AM 连接BM ,由勾股定理得，()22=322=1AB -x y+=交于,A B两点，过,A B分别作l的垂线与x轴交于【例3】已知直线:10l mx y+--=与圆2216,C D两点，则当AB最小时，CD=（）A．4B．C．8D．故选：D【例4】（多选题）若直线l 经过点0(3,1)P -，且被圆2282120x y x y +--+=截得的弦长为4，则l 的方程可能是（）A ．3x =B ．3y =C ．34130x y --=D ．43150x y --=【题型专练】1.直线:l y x m =+与圆224x y +=相交于A ，B 两点，若AB ≥m 的取值范围为（）A ．[]22-,B ．⎡⎣C ．[]1,1-D ．,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B【解析】令圆224x y +=的圆心(0,0)O 到直线l 的距离为d ，而圆半径为2r =，弦AB 长满足AB ≥，则有1d =，又d =1≤，解得m ≤≤所以实数m 的取值范围为⎡⎣.故选：B2.在圆22420x y x y +-+=内，过点()1,0E 的最长弦和最短弦分别是AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】圆22420x y x y +-+=化简为22(2)(1)5x y -++=可得圆心为(2,1),r -=易知过点()1,0E 的最长弦为直径，即||AC =而最短弦为过()1,0E 与AC 垂直的弦，圆心(2,1)-到()1,0E 的距离：d ==所以弦||BD ==所以四边形ABCD 的面积：12S AC BD =⋅=故选：D.3.若直线1y kx =+与圆221x y +=相交于B A ,两点，且60AOB ∠= (其中O 为原点)，则k 的值为（）A ．3-或3B ．3C ．D 4.直线l ：()()2110m x m y -+-+=与圆C ：2260x x y -+=相交于A ，B 两点，则AB 的最小值是（）A ．B ．2C ．D ．4【答案】D【解析】分别取1,2m m ==，则1010x y -+=⎧⎨-+=⎩，得11x y =⎧⎨=⎩，即直线l 过定点(1,1)P ，将圆C 化为标准方程：22(3)9x y -+=，圆心为(3,0)，半径3r =.如图，因为AB =，所以当圆心到直线距离最大时AB 最小.当CP 不垂直直线l 时，总有d CP <，故当CP l ⊥时AB 最小，因为CP =所以AB的最小值为4=.故选：D题型四：圆中的切线切线长和切点弦问题【例1】直线l 过点(2,1)且与圆22:(1)9C x y ++=相切，则直线l 的方程为______________．【例2】已知圆C ：228240x y y +--+=，且圆外有一点()0,2P ，过点P 作圆C 的两条切线，且切点分别为A ，B ，则AB =______.【例3】点P 在圆C ：()()22334x y -+-=上，()2,0A ，()0,1B ，则PBA ∠最大时，PB =___________.【答案】3【分析】根据题意PBA ∠最大时，直线【详解】点P 在圆C ：()23x -+如图将BA 绕点B 沿逆时针方向旋转，当刚好与圆当旋转到与圆相切于点2P 时，∠【例4】过点()2,1P 作圆O ：221x y +=的切线，切点分别为,A B ，则下列说法正确的是（）A．PA B ．四边形PAOB 的外接圆方程为222x y x y +=+C ．直线AB 方程为21y x =-+D ．三角形PAB 的面积为85【题型专练】1.过点(0,2)作与圆2220x y x +-=相切的直线l ，则直线l 的方程为（）A ．3480x y -+=B ．3480x y +-=C ．0x =D ．1x =2.直线40x y +-=平分圆222:2250C x y bx by b +---+=的周长，过点()1,P b --作圆C 的一条切线，切点为Q ，则PQ =（）A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】B【详解】圆222:2250C x y bx by b +---+=的圆心为(,)C b b ，半径为r =因为直线40x y +-=平分圆222:2250C x y bx by b +---+=的周长，所以直线40x y +-=经过(,)C b b ，所以40b b +-=，故2b =，由已知()1,2P --，(2,2)C ，||PC ，圆的半径为3，所以4PQ =，故选：B.3.过点(2,2)P 作圆224x y +=的两条切线，切点分别为A 、B ，则直线AB 的方程为_______．【答案】2+-x y 0=【分析】由题知()0,2A 、()2,0B ，进而求解方程即可.【详解】解：方法1：由题知，圆224x y +=的圆心为()0,0，半径为2r =，所以过点(2,2)P 作圆224x y +=的两条切线，切点分别为()0,2A 、()2,0B ，所以1AB k =-，所以直线AB 的方程为2y x =-+，即2+-x y ；方法2：设()11,A x y ，()22,B x y ，则由2211111142.12x y y y x x ⎧+=⎪-⎨=-⎪-⎩，可得112x y +=，同理可得222x y +=，所以直线AB 的方程为2+-x y 0=.故答案为：2+-x y 题型五：圆中最值问题【例1】已知l ：4y x =+，分别交x ，y 轴于A ，B 两点，P 在圆C ：224x y +=上运动，则PAB △面积的最大值为（）A ．82-B ．1682-C ．842+D ．162+【答案】C 【解析】如图所示，以AB 为底边，则PAB △面积最大等价于点P 到l 距离最大，而点P 到l 距离最大值等于O 到l 的距离加半径看，O 到l 的距离422d =O 的半径2r =，()4,0A -，()0,4B ，则42AB =PAB △面积的最大值为()14222822⨯=+故选：C【例2】已知点P 是圆()()2241625x y -+-=上的点，点Q 是直线0x y -=上的点，点R 是直线125240x y -+=上的点，则PQ QR +的最小值为（）A ．7B ．335C ．6D ．295【答案】B【分析】设圆心()1,6C ，记点()6,1E ，作圆()()224:1625C x y -+-=关于直线0x y -=的对称圆()()224:6125E x y -+-=，计算出圆心E 到直线125240x y -+=的距离d ，结合对称性可得出PQ QR +的最小值为25d -，即可得解.【详解】设圆心()1,6C ，记点()6,1E ，作圆()()224:1625C x y -+-=关于直线0x y -=的对称圆()()224:6125E x y -+-=，由对称性可知CQ EQ =，点E 到直线125240x y -+=的距离为()221265247125d ⨯-+==+-，【例3】已知直线:320l x y ++=与x 、轴的交点分别为A 、B ，且直线1:310l mx y m --+=与直线2:310l x my m +--=相交于点P ，则PAB 面积的最大值是（）A ．103+B ．103+C D【例4】已知圆()()22:254C x y -+-=的圆心为C ，T 为直线220x y --=上的动点，过点T 作圆C 的切线，切点为M ，则TM TC ⋅的最小值为（）A ．10B ．16C ．18D ．20()2TM TC TC CM TC TC CM ⋅=+⋅=+ CM TM ⊥ ，CM CT CM CT ∴⋅=⋅ 24TM TC TC ∴⋅=- ，【例5】已知复数z 满足1i 1z +-=（i 为虚数单位），则z 的最大值为（）A ．2B 1C 1D ．1【答案】B【解析】令i z x y =+，x ，y ∈R ，则()1i 11i 1z x y +-=++-=，即()()22111x y ++-=，表示点(),x y 与点()1,1-距离为1的点集，此时，i z x y =-()()22111x y ++-=上点到原点距离，所以z 的最大值，即为圆上点到原点的距离的最大值，，且半径为1，1．故选：B ．【例6】若0x =，则2yx -的取值范围为【答案】11[,]22-【解析】因为0x +=x =-所以()2210x y x +=≤如图，此方程表示的是圆心在原点，半径为1的半圆,2yx -的几何意义是点(),x y 与点()2,0连线的斜率如图，()()0,1,0,1A B -，()2,0P101022PA k -==--，101022PB k --==-所以2y x -的取值范围为11[,]22-故选：D【例】AB 为⊙C ：(x －2)2＋(y －4)2＝25的一条弦，6AB =，若点P 为⊙C 上一动点，则PA PB ⋅的取值范围是（）A ．[0，100]B ．[－12，48]C ．[－9，64]D ．[－8，72]【答案】D 【解析】【分析】取AB 中点为Q ,利用数量积的运算性质可得2||9PA PB PQ ⋅=- ，再利用圆的性质可得||PQ 取值范围，即求.【详解】取AB 中点为Q ，连接PQ2PA PB PQ ∴+= ，PA PB BA -= 221()()4PA PB PA PB PA PB ⎡⎤∴⋅=+--⎣⎦ 2214||||4PQ BA ⎡⎤=-⎣⎦ ，又||6BA = ，4CQ =2||9PA PB PQ ∴⋅=-，∵点P 为⊙C 上一动点，∴max min ||9,|5|15PQ Q P C Q Q C =+=-==PA PB ∴⋅的取值范围[－8，72].故选：D.【题型专练】1．直线20x y +-=分别与x 轴，y 轴交于,A B 两点，点P 在圆22(2)2x y ++=上，则ABP 面积的取值范围是（）A ．[]2,6B ．[]4,8C ．D ．⎡⎣2.（多选题）已知点P 在圆O :224x y +=上,直线l :43120x y +-=分别与x 轴,轴交于,A B 两点,则（）A ．过点B 作圆O 的切线,则切线长为B ．满足0PA PB ⋅=的点P 有3个C ．点P 到直线l 距离的最大值为225D ．PA PB +的最小值是1【答案】ACD【分析】对于A,根据勾股定理求解即可;对于B,0PA PB ⋅=即PA PB ⊥,所以点P 在以AB 为直径的圆上,设AB 的中点为M ,写出圆M 的方程,根据两个圆的交点个数即可判断正误;对于C,根据圆上一点到直线的最大3．已知动点A ，B 分别在圆1C ：()2221x y ++=和圆2C ：()2244x y -+=上，动点P 在直线10x y -+=上，则PA PB +的最小值是_______【答案】3-##3-+如图，设点()10,2C -关于直线10x y -+=对称的点为()030,C x y ，所以，00002121022y x x y +⎧=-⎪⎪⎨-⎛⎫⎪-+= ⎪⎪⎝⎭⎩，解得003,1x y =-=，即()33,1C -，所以，3252C C =所以，32523PA B C P C r R --+=-≥，即PA PB +的最小值是523-.故答案为：523-4．过直线3450x y +-=上的一点P 向圆()()22344x y -+-=作两条切线12l l ，．设1l 与2l 的夹角为θ，则θ的最大值为______．【答案】π3##60︒【分析】由题可得圆心为()3,4C ，半径为2，设12l l ，与圆C 切于,A B ，根据圆的性质结合条件可得1sin sin22APC θ∠=≤，进而即得.【详解】由()()22344x y -+-=，可得圆心为()3,4C ，半径为2，设12l l ，与圆C 切于,A B ，则2APB APC θ=∠=∠，在Rt APC △中，2AC =，2sin sin 2CA APC CP CPθ∠===又()3,4C 到直线3450x y +-=的距离为223344534⨯+⨯-+所以4CP ≥，1sin sin22APC θ∠=≤，所以APC ∠的最大值为π6，即θ的最大值为π3.故答案为：π3.5．已知圆22:410,+--=M x y x (),P x y 是圆M 上的动点，则3t x =+的最大值为_________；22x y +的最小值为____________．6.18世纪末，挪威测量学家维塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，例如z OZ =，也即复数z 的模的几何意义为z 对应的点Z 到原点的距离．已知复数z 满足2z =，则34i z --的最大值为（）A ．3B ．5C ．7D ．9【答案】C【解析】2z = ，z ∴对应的点(),Z x y 的轨迹为圆224x y +=；34i z -- 的几何意义为点(),Z x y 到点()3,4的距离，max 34i 27z ∴--==.故选：C.题型六：圆与圆的位置关系问题【例1】已知圆221:1C x y +=与圆222:(3)(4)4C x y -+-=，则圆1C 与2C 的位置关系是（）A ．内含B ．相交C ．外切D ．相离【例2】已知点P 在圆O ：224x y +=上，点()30A -,，()0,4B ，满足AP BP ⊥的点P 的个数为（）A ．3B ．2C ．1D ．0【答案】B【解析】【分析】设(,)P x y ，轨迹AP BP ⊥ 可得点P 的轨迹方程，即可判断该轨迹与圆的交点个数.设点(,)P x y ，则224x y +=，且(3,)(,4)AP x y BP x y =+=- ，，由AP BP ⊥，得22(3)(4)340AP BP x x y y x y x y ⋅=++-=++-= ，即22325()(2)24x y ++-=，故点P 的轨迹为一个圆心为3(,2)2-、半径为52的圆，则两圆的圆心距为52，半径和为59222+=，半径差为51222-=，有159222<<，所以两圆相交，满足这样的点P 有2个.故选：B.【例3】圆221:22260O x y x y +---=与圆222:820O x y y +--=的公共弦长为（）A ．B ．C ．D ．【例4】已知圆C ：()()22681x y -+-=和两点(),0A m -，()(),00B m m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=︒，则m 的最大值为（）A ．12B ．11C ．10D ．9【答案】B【分析】由题意得P 点轨迹，转化为有交点问题【详解】90APB ∠=︒，记AB 中点为O ，则||OP m =，故P 点的轨迹是以原点为圆心，m 为半径的圆，又P 在圆C 上，所以两圆有交点，则|1|||1m OC m -≤≤+，而||10OC =，得911m ≤≤．故选：B【题型专练】1．写出与圆221x y +=和圆()2264x y -+=都相切的一条直线的方程______.2.（2022全国新高考1卷）写出与圆x 2＋y 2＝1和(x －3)2＋(y －4)2＝16都相切的一条直线的方程_______．【答案】3544y x =-+或7252424y x =-或1x =-【解析】【分析】先判断两圆位置关系，分情况讨论即可.【详解】圆221x y +=的圆心为()0,0O ，半径为1，圆22(3)(4)16x y -+-=的圆心1O 为(3,4)，半径为4，5=，等于两圆半径之和，故两圆外切，如图，当切线为l 时，因为143OO k =，所以34l k =-，设方程为3(0)4y x t t =-+>O 到l 的距离1d ==，解得54t =，所以l 的方程为3544y x =-+，当切线为m 时，设直线方程为0kx y p ++=，其中0p >，0k <，由题意14⎧=⎪⎪=，解得7242524k p ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，7252424y x =-当切线为n 时，易知切线方程为1x =-，故答案为：3544y x =-+或7252424y x =-或1x =-.3.（多选题）圆221:20x y x O +-=和圆222:240O x y x y ++-=的交点为A ，B ，则有（）A ．公共弦AB 所在直线的方程为0x y -=B ．公共弦AB 所在直线的方程为10x y +-=C ．公共弦ABD ．P 为圆1O 上一动点，则P 到直线AB 14.已知点()()2,3,5,1A B -，则满足点A 到直线l 的距离为1，点B 到直线l 距离为3的直线l 的条数有（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】【分析】以A 为圆心，1为半径，B 为圆心，3为半径分别画圆，将所求转化为求圆A 与圆B 的公切线条数，判断两圆的位置关系，从而得公切线条数.【详解】以A 为圆心，1为半径，B 为圆心，3为半径分别画圆，如图所示，由题意，满足点A 到直线l 的距离为1，点B 到直线l 距离为3的直线l 的条数即为圆A 与圆B 的公切线条数，因为513AB ==>+，所以两圆外离，所以两圆的公切线有4条，即满足条件的直线l 有4条.故选：D5.已知圆()()221:111C x y -++=，圆()()222:459C x y -+-=，点M 、N 分别是圆1C 、圆2C 上的动点，点P 为x 轴上的动点，则PN PM -的最大值是（）A ．4B ．9C ．7D ．2【答案】B【解析】【分析】分析可知()21max 4PN PM PC PC -=-+，设点()24,5C 关于x 轴的对称点为()24,5C '-，可得出22PC PC '=，求出21PC PC '-的最大值，即可得解.【详解】圆()()221:111C x y -++=的圆心为()11,1C -，半径为1，圆()()222:459C x y -+-=的圆心为()24,5C ，半径为3．()max min max PN PM PN PM -=- ，又2max 3PN PC =+，1min 1PMPC =-，()()()2121max 314PN PM PC PC PC PC ∴-=+--=-+．点()24,5C 关于x 轴的对称点为()24,5C '-，2121125PC PC PC PC C C ''-=-≤==，所以，()max 549PN PM -=+=，故选：B ．。
双曲线高考6大常考基础题型总结(解析版)--2024高考数学常考题型精华版
第20讲双曲线高考6大常考基础题型总结【考点分析】考点二：双曲线的通径过双曲线的焦点且与双曲线实轴垂直的直线被双曲线截得的线段，称为双曲线的通径．通径长为22b a．考点三：双曲线常考性质结论①双曲线的焦点到两条渐近线的距离为常数b ；顶点到两条渐近线的距离为常数ab c;②双曲线上的任意点P 到双曲线C 的两条渐近线的距离的乘积是一个常数222a b c；考点四：双曲线焦点三角形面积为2tan2b θ（可以这样理解，顶点越高，张角越小，分母越小，面积越大）【题型目录】题型一：利用双曲线定义解题题型二：求双曲线的标准方程题型三：双曲线焦点三角形面积题型四：双曲线的渐近线有关题型题型五：双曲线的离心率问题题型六：双曲线的最值问题【典型例题】题型一：利用双曲线定义解题【例1】已知双曲线()222:1012x y C a a -=>的左右焦点分别为1F 、2F ，0y +=，若点M在双曲线C 上，且15MF =，则2MF =（）A ．9B ．1C ．1或9D ．1或7【例2】已知1F 、2F 为双曲线22:2C x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，12||2||PF PF =，则12cos F PF ∠=【例3】已知双曲线122=-y x ，点21,F F 为其两个焦点，点P 为双曲线上一点，若21PF PF ⊥，则21PF PF +的值为．【答案】121,22,a c PF PF a ==∴-==22112224PF PF PF PF ∴-+=22212121221212,(2)8,24,()8412,PF PF PF PF c PF PF PF PF PF PF ⊥∴+==∴=∴+=+=∴+= 【例4】已知曲线C 的方程为221mx ny +=，下列说法正确的是（）A ．若0mn >，则曲线C 为椭圆B ．若0mn <，则曲线C 为双曲线C ．若曲线C 为焦点在x 轴的椭圆，则0m n >>1n【题型专练】1.设双曲线221169x y -=的左焦点为F ，点P 为双曲线右支上的一点，且PF 与圆2216x y +=相切于点N ，M 为线段PF 的中点，O 为坐标原点，则MN MO -=（）A ．12B ．1C ．32D ．22.已知F 1、F 2分别为双曲线C :29x -227y =1的左、右焦点，点A 为C 上一点，点M 的坐标为(2，0)，AM为∠F 1AF 2的角平分线．则|AF 2|=.3.方程132m m +=-+表示双曲线的一个充分不必要条件是（）A ．23m -<<B ．20m -<<C ．2m <-或3m >D ．32m -<<题型二：求双曲线的标准方程【例1】与椭圆22:11612y x C +=共焦点且过点(的双曲线的标准方程为（）A ．2213y x -=B ．2221yx -=C ．22122y x -=D ．2213y x -=【答案】C 【解析】【分析】求出椭圆的焦点坐标，利用双曲线的定义可求得a 的值，再由b =b 的值，结合双曲线的焦点位置可求得双曲线的标准方程.【详解】椭圆C 的焦点坐标为()0,2±，设双曲线的标准方程为()222210,0y x a b a b-=>>，由双曲线的定义可得2a =-=，a ∴2c = ，b ∴=因此，双曲线的方程为22122y x -=.故选：C.【例2】已知圆22:(4)16M x y ++=，M 为圆心，P 为圆上任意一点，定点(4,0)A ，线段PA 的垂直平分线l 与直线PM 相交于点Q ，则当点P 在圆上运动时，点Q 的轨迹方程为（）A ．221(2)412x y x -=≤-B ．221412x y -=C ．221(1)3y x x -=≤-D ．2213y x -=【例3】已知双曲线H ：219x y a -=（0a >），以原点为圆心，双曲线的虚半轴长为半径的圆与双曲线的两条渐近线相交于A 、B 、C 、D 四点，四边形ABCD 的面积为4a ，则双曲线的方程为（）A ．22199x y -=B ．221189x y -=C ．221279x y -=D ．221369x y -=【例4】已知双曲线()22:10,0C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点M 在双曲线C 的右支上，12MF MF ⊥，若1MF 与C 的一条渐近线l 垂直，垂足为N ，且12NF ON -=，其中O 为坐标原点，则双曲线C 的标准方程为（）A ．2212016x y -=B ．221204x y -=C ．221416x y -=D ．221420x y -=，【题型专练】1．已知双曲线的对称轴为坐标轴，两个顶点间的距离为2，焦点在y ，则双曲线的标准方程是（）A ．2212y x -=B ．2212x y -=C ．2212xy -=D ．2212y x -=2．已知双曲线C 的焦点为1F ，)2F ，点P 在双曲线C 上，满足112PF F F ⊥，14PF =，则双曲线C 的标准方程为（）A ．2214x y -=B ．2214y x -=C ．22132x y -=D ．22123x y -=3．已知圆M ：()2224x y ++=，M 为圆心，P 为圆上任意一点，定点()2,0A ，线段PA 的垂直平分线l 与直线PM 相交于点Q ，则当点P 在圆上运动时，点Q 的轨迹方程为（）A ．221(2)412x y x -=≤-B ．221412x y -=C ．221(1)3y x x -=≤-D ．2213y x -=4.已知双曲线方程为222x y k -=，焦距为6，则k 的值为________.故答案为：±6.5．（2022·重庆·三模）已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左右焦点为1F ，2F ，左右顶点为1A ，2A ，过2F 的直线l 交双曲线C 的右支于P ，Q 两点，设12PA A α∠=，21PA A β∠=，当直线l 绕着2F 转动时，下列量保持不变的是（）A ．1PQA △的周长B ．1PF Q 的周长与2PQ之差C ．tan tan αβD ．tan tan αβ⋅【答案】BD 【解析】【分析】如图所示：当直线l 的倾斜角越小时，点1PQA △的周长越大，可判断A ，根据双曲线定义求解可判断B ，设(),P x y ，则tan ,tan y y a xx aαα==-+-根据商与积的值可判断CD ．【详解】如图所示：当直线l 的倾斜角越小时，点1PQA △的周长越大，故A 不正确；1PF Q 的周长为1122442PF QF PQ a PF QF PQ a PQ++=+++=+所以1PF Q 的周长与2PQ之差为4a ，故B 正确；设(),P x y ，则tan ,tan y ya x x aαα==-+-，由tan tan a xa xαβ-=+不是常量，故C 不正确；由22222222221tan tan x b y y a y b a x a x a x a x aαβ⎛⎫- ⎪⎝⎭⋅=⋅==-+---为常量，故D 正确；故选：BD题型三：双曲线焦点三角形面积【例1】设双曲线2222:1(00)x y C a b a b，-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F．P 是C 上一点，且12F P F P ⊥．若△12PF F 的面积为4，则a =（）A ．1B ．2C ．4D ．8【答案】A【思路导引】根据双曲线的定义，三角形面积公式，勾股定理，结合离心率公式，即可得出答案．【解析】解法一：ca=c ∴=，根据双曲线的定义可得122PF PF a -=，12121||42PF F PF F S P =⋅=△，即12||8PF PF ⋅=，12F P F P ⊥ ，()22212||2PF PF c ∴+=，()22121224PF PF PF PF c ∴-+⋅=，即22540a a -+=，解得1a =，故选A ．解法二：由题意知，双曲线的焦点三角形面积为2tan 221θb S F PF =．∴︒45tan 2b =4，则2=b ，又∵5==ace ，∴1=a ．解法三：设n PF m PF ==21,，则421==mn S F PF ，a n m 2=-，5,4222===+ace c n m ，求的1=a ．【例2】已知1F ，2F 是双曲线C ：()2210,0436x y a b -=>>的左、右焦点，M ，N 是C 上关于原点对称的两点，且12MN F F =，则四边形12MF NF 的面积是______．，即可求得四边形【题型专练】1．已知1F ，2F 分别是双曲线C ：22144x y -=的左、右焦点，P 是C 上一点，且位于第一象限，120PF PF ⋅= ，则（）A ．PB ．12PF =C ．12PF F △的周长为4D ．12PF F △的面积为42.设1F ，2F 是双曲线2:13C x -=的两个焦点，O 为坐标原点，点P 在C 上且||2OP =，则△12PF F 的面积为（）A ．72B ．3C ．52D ．2【答案】B【解析】由已知，不妨设12(2,0),(2,0)F F -，则1,2a c ==，∵121||1||2OP F F ==，∴点P 在以12F F 为直径的圆上，即12F F P 是以P 为直角顶点的直角三角形，故2221212||||||PF PF F F +=，即2212||||16PF PF +=，又12||||22PF PF a -==，∴2124||||PF PF =-=2212||||2PF PF +-12||||162PF PF =-12||||PF PF ，解得12||||6PF PF =，∴12F F P S =△121||||32PF PF =，故选B ．题型四：双曲线的渐近线有关题型焦点在x 轴上的渐近线为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-±=02222b y a x x a b y 焦点在y 轴上的渐近线为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-±=02222b x a y x b a y 若双曲线的方程为122=+ny mx ，要求渐近线只需令022=+ny mx ，解出即可即已知双曲线方程，将双曲线方程中的“常数”换成“0”，然后因式分解即得渐近线方程。
数列的通项6种常见题型总结(解析版)--2024高考数学常考题型精华版
数列的通项6种常见题型总结【题型目录】题型一：已知()n f S n =，求n a 题型二：叠加法（累加法）求通项题型三：叠乘法（累乘法）求通项题型四：构造法求通项题型五：已知通项公式n a 与前n 项的和n S 关系求通项问题【典型例题】题型一：已知()n f S n =，求na 【例1】已知数列{}n a 的前n 项和211n S n n =-.若710k a <<，则k =（）A ．9B ．10C ．11D ．12【答案】B【分析】先求得n a ，然后根据710k a <<求得k 的值.【详解】依题意211n S n n =-，当1n =时，110a =-；当2n ≥时，211n S n n =-，()()22111111312n S n n n n -=---=-+，两式相减得()2122n a n n =-≥，1a 也符合上式，所以212n a n =-，*N k ∈，由721210k <-<解得911k <<，所以10k =.故选：B【例2】（2022·甘肃·高台县第一中学高二阶段练习（理））已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，且121n n S +=-，则数列{}n a 的通项公式为（）A ．2n n a =B ．3,12,2n nn a n =⎧=⎨≥⎩C ．12n n a -=D ．12n n a +=【答案】B【分析】当2n ≥时，由1n n n a S S -=-求出2n n a =；当1n =时，由11a S =求出1a ；即可求解.【详解】当2n ≥时，121n n S -=-，1112212n n nn n n a S S +---+=-==；当1n =时，1111213a S +==-=，不符合2n n a =，则3,12,2n n n a n =⎧=⎨≥⎩.故选：B.【例3】（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 满足123235n a a a na n ++++= ，求{}n a 的通项公式．【题型专练】1.已知数列{}n a 的前n 项和是2320522nS n =-+，(1)求数列的通项公式n a ；(2)求数列{||}n a 的前n 项和.2．（2022·浙江·高二期末）已知数列{}n a 的前n 项和221n S n n =-+，则51a a -=______.【答案】7【分析】将1n =代入根据11a S =可得出答案；当2n ≥时由1n n n a S S -=-，求出5a ，从而可得出答案.【详解】当1n =时，21112110a S ==-⨯+=；当2n ≥时，()()22121121123n n n n n n n a S S n -⎡⎤-+----+=⎣⎦-=-=.所以52537a =⨯-=，所以51707a a -=-=.故答案为：73．（2022·辽宁实验中学高二期中）设数列{}n a 满足123211111222n n a a a a n -+++⋅⋅⋅+=+，则{}n a 的前n 项和（）A ．21n -B ．21n +C ．2nD ．121n +-【答案】C 【解析】【分析】当1n =时，求1a ，当2n ≥时，由题意得123122111222n n a a a a n --+++⋅⋅⋅+=，可求得n a ，即可求解.【详解】解：当1n =时，12a =，当2n ≥时，由1231221111112222n n n n a a a a a n ---+++⋅⋅⋅++=+得123122111222n n a a a a n --+++⋅⋅⋅+=，两式相减得，1112n n a -=，即12n n a -=，综上，12,12,2n n n a n -=⎧=⎨≥⎩所以{}n a 的前n 项和为()11212224822212n n n ---+++++=+=- ，故选：C.题型二：叠加法（累加法）求通项【例1】在数列{}n a 中，()()()111,11N n n a n n a a n *+=+-=∈，则2022a =（）A ．40432022B ．20212022C ．40402021D ．20202021【例2】已知数列{}n a 满足1=2a ，26a =，且2122n n n a a a ++-+=，若[]x 表示不超过x 的最大整数（例如[]1.61=，[]1.62-=-），则222122020232021a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤++⋅⋅⋅+=⎢⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦（）A ．2019B ．2020C ．2021D ．2022，【例3】南宋数学家在《详解九章算法》和《算法通变本末》中提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，高阶等差数中前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.现有高阶等差数列，其前7项分别为1，2，5，10，17，26，37，则该数列的第19项为（）A．290B．325C．362D．399【例4】已知数列{}n a 满足11a =-，()*12N n n a a n n a a +-=∈，则9a =______．【例5】已知数列{}n a 中，11a =，39a =，1{}n n a a +-是公差为2的等差数列.(1)求{}n a 的通项公式；(2)设12log n n na b a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ，求使得2022n T 成立的最小整数n .【答案】(1)2n a n =；(2)使得2022≥n T 成立的最小整数n 为101121-.【分析】（1）根据等差数列的定义求出2a ，从而可求出{}1n n a a +-的通项，再利用累加法求出数列{}n a 的通项公式；（2）利用裂项相消法求数列{}n b 的前n 项和n T ，解不等式2022≥n T 求n 的范围，确定满足条件的最小整数.=【题型专练】1．若1=1a ，12nn n a a n +-=-，*n ∈N ，则=n a _________．1)2．数列{}n a 满足1122n n na a a -==-，，则=n a _____．3．若数列{}n a 满足11a =，12n n a a n +-=．(1)求{}n a 的通项公式；(2)证明：121112na a a +++< ．【答案】(1)21n a n n =-+(2)证明见解析【分析】（1）运用累加法即可求出{}n a 的通项公式；（2）运用裂项相消法即可证明.【详解】（1）因为12n n a a n +-=，11a =，24．已知数列{}n a 满足：12a =，21a =，2145n n n a a a +++=（*n ∈N ）．(1)证明：数列{}1n n a a +-是等比数列；(2)求数列{}n a 的通项公式．5．已知无穷数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，24S =，对任意的*N n ∈，都有1232n n n n S S S a ++=++．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若数列{}n c 满足*11(N )n n c c n a a +-=∈，11c =，求数列{}n c 的通项公式；题型三：叠乘法（累乘法）求通项【例1】已知数列{}n a 满足12n n a na n +=+，1=1a ，则数列{}n a 的通项公式是（）A ．2(1)n a n n =+B ．1(1)n a n n =+C ．1n a n=D ．12n n a +=【例2】在数列{}n a 中，1=1a ，22a =，2n n a n+=，则12233420222023a a a a a a a a ++++= （）A ．20202021⨯B ．20212022⨯C ．20222023⨯D ．20232024⨯【例3】已知数列{}n a 满足()4(21)1N n n S n a n *=++∈，则n a =___________．【例4】记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知112a =，n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为12的等差数列.(1)求{}n a 的通项公式；(2)设()1nn n b a =-，求{}n b 的前2n 项和2n T .【例5】设数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，()()21N n n S n a n *=+∈．(1)求{}n a 的通项公式；(2)对于任意的正整数n ，21,2,n n n n a n a a c n +⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，求数列{}n c 的前2n 项和2n T ．【例6】在数列{}n a 中，11a =，且2n ≥，1231231n n a a a a a n -++++=- .(1)求{}n a 的通项公式；(2)若1n b a a =，且数列{}n b 的前项n 和为n S ，证明：3n S <.【题型专练】1．数列{}n a 的前n 项和2n n S n a =⋅（2n ≥，n 为正整数），且11a =，则n a =______．a 2．数列{}n a 满足：11a =，()()*12312312,N n n a a a a n a n n -=++++-≥∈ ，则通项n a =________．3．设{}n a 是首项为1的正项数列且22*11(1)(21)0(N )n n n n na n a n a a n ++++-+=∈，且1+≠n n a a ，求数列{}n a 的通项公式_________4．已知数列{}n a 满足：12a =，12n n n a a n ++=，求数列{}n a 的通项公式.5．已知数列{}n a 中，11a =，()121n n a a n n -=≥-.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)求13523n a a a a +++++ .【答案】(1)n a n =，1n ≥；(2)244n n ++.【分析】（1）利用累乘法求出2n ≥时n a n =，通过验证11a =也满足n a n =，从而求出通项公式为n a n =，1n ≥；（2）根据第一问得到数列{}n a 为等差数列，进而利用等差数列求和公式进行求解.6．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，且11a =，2n n S n a =．(1)求2a ，3a ；(2)求{}n a 的通项公式．【例1】已知数列{}n a 中，114,46n n a a a +==-，则n a 等于（）A ．2122n ++B ．2122n +-C ．2122n -+D ．2122n --【例2】若数列{}n a 和{}n b 满足12a =，10b =，1232n n n a a b +=++，1232n n n b a b +=+-，则20222021a b +=（）A ．2020231⋅+B ．2020321⋅-C ．2020321⋅+D ．2021321⋅-【例3】（多选题）已知数列{}n a 满足132a =，16nn n a a +=+，则下列结论中错误的有（）A ．113n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等比数列B ．{}n a 的通项公式为11321n -⋅-C ．{}n a 为递增数列D ．1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为213nn --【例4】（多选题）已知数列{}n a 满足：12a =，当2n ≥时，)221n a +=，则关于数列{}n a 的说法正确的是()A ．27a =B ．{}n a 是递增数列C ．221n a n n =+-D ．数列{}n a 为周期数列【例5】在①121n n a a +=+；②122n n S n +=-+；③24n n S a n =-+三个条件中任选一个，补充到下面问题的横线处，并解答.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1=1a ，_____.(1)求n a ；(2)设n n b na =，求数列{}n b 的前n 项和n T .注:如果选捀多个条件解答，按第一个解答计分.【例6】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1222(N )n n n S a n +*=-+∈．(1)求{}n a 的通项公式；(2)设4nn na b =，若123n n T b b b b =+++⋯+，求n T ．【题型专练】1.（多选题）数列{}n a 的首项为1，且121n n a a +=+，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（）A ．37a =B ．数列{}1n a +是等比数列C ．21n a n =-D ．121n n S n +=--【答案】AB【分析】根据题意可得()1121n n a a ++=+，从而可得数列{}1n a +是等比数列，从而可求得数列{}n a 的通项，再根据分组求和法即可求出n S ，即可得出答案.2．已知数列{}n a 满足1111,2n n n n a a a a a ++=-=，则数列{}1n n a a +的前n 项和为______．3．已知数列{}n a 中，11a =，121n n a a +=+，则{}n a 通项n a =______；4．已知数列{}n a 满足24a =，113n n n n a a a a ++-=.求数列{}n a 的通项公式;5．已知数列{}n a 的前n 项和23n n S a n =+-，求{}n a 的通项公式．【答案】121n n a -=+，*n ∈N .【分析】根据12,n n n n a S S -≥=-，构造等比数列即可.【详解】23n n S a n =+-．①当1n =时，11213=+-a a ，可得12a =，当2n ≥时，()11213--=+--n n S a n ，②①－②得121n n a a -=-，则()1121n n a a --=-，而111a -=不为零，故{}1n a -是首项为1，公比为2的等比数列，则112n n a --=，∴数列{}n a 的通项公式为121n n a -=+，*n ∈N ．6．设数列{}n a 满足12a =，()1212n n a a n -=-≥.（1）设1n n b a =-，求证：{}n b 是等比数列；（2）设{}n a 的前n 项和为n S ，求满足1036n S ≤的n 的最大值.7．已知正项数列{}n a 满足11a =，且11n n n n a a a a ++-=．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)记22nn a b n =+，记数列{}n b 的前n 项和为n S ，证明：12n S <．8．已知数列{}n a ，11a =，121n n a a +=+.(1)求数列{}1n a +的前5项；(2)求数列{}n a 的前n 项和n S .【答案】(1)前5项依次为2,4,8,16,32；(2)122n n S n +=--.【分析】（1）由题设112(1)n n a a ++=+，根据等比数列的定义写出{}1n a +的通项公式，即可得前5项；（2）应用分组求和，结合等比数列前n 项和公式求n S .(1)由题设112(1)n n a a ++=+，而112a +=，9．已知数列{}n a 和{}n b 满足12a =，10b =，1231n n a b n ++=+，1231n n a b n ++=+，则n n a b -=______，n n a b +=______．【答案】2n2n【分析】由题设有112()n n n n a b a b ++-=-，根据等比数列的定义判断{}n n a b -为等比数列，进而写出通项公式，令n n n c a b =+则12(2)2(1)n n c n c n +--=-+，结合已知{2}n c n -是常数列，即可得{}n n a b +的通项公式.【详解】由题设，11(2)(2)0n n n n a b a b +++-+=，则112()n n n n a b a b ++-=-，而112a b -=，所以{}n n a b -是首项、公比均为2的等比数列，故2nn n a b -=，11(2)(2)62n n n n a b a b n +++++=+，则112()()62n n n n a b a b n +++++=+，令n n n c a b =+，则1262n n c c n ++=+，故12(2)2(1)n n c n c n +--=-+，而111220c a b -=+-=，所以{2}n c n -是常数列，且20n c n -=，则2n n n c a b n =+=.故答案为：2n ，2n .题型五：已知通项公式n a 与前n 项的和n S 关系求通项问题【例1】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，23a =，且122n n a S +=+N n *∈（），则下列说法中错误．．的是（）A ．112a =B ．4792S =C ．{}n a 是等比数列D ．{}1n S +是等比数列【例2】（2022·上海市南洋模范中学高二开学考试）若数列{}n a 的前n 项和为()*N 33n n S a n =+∈，则数列{}n a 的通项公式是n a =___________.所以{}n a 是首项为1，公比为2-的等比数列，故1(2)n n a -=-.故答案为：1(2)n --【例3】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，0n a >，212n n a S +⎛⎫= ⎪⎝⎭.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)求数列{}2na n a ⋅的前n 项和.【例4】数列{}n a 中，n S 为{}n a 的前n 项和，24a =，()()*21N n n S n a n =+∈.(1)求证:数列{}n a 是等差数列，并求出其通项公式；(2)求数列12n S n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和n T .【例5】（2022·辽宁沈阳·高三阶段练习）从条件①()21,0n n n S n a a =+>；②22,0n n n n a a S a +=>；()2n a n ≥中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，1=1a ，_____________.(1)求{}n a 的通项公式；(2)[]x 表示不超过x 的最大整数，记[]lg n n b a =，求{}n b 的前100项和100T .则【题型专练】1．（2022·陕西·安康市教学研究室高三阶段练习（理））设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知21n n S a =-.(1)求数列{}n a 的通项公式；2．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足12a =，()1202n n n a S S n -+=≥.求n a 和n S .3．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n a 和n S 满足：()11,2,3,n a n =+=⋅⋅⋅.求{}n a 的通项公式.4．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()1*21N n n a S n +=+∈.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)证明：11132a a a +++<L .5．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，313S =，121n n a S +=+．(1)证明：数列{}n a 是等比数列；(2)若12log n b a =，求数列{}1n n b b +的前n 项和n T ．6．已知数列{}n a 中，11a =，其前n 项和为n S ，131n n S S +=+.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设31log n n b a +=，若数列21n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求证：34n T <.。
三角函数的图象与性质6大题型(解析版)--2024高考数学常考题型精华版
三角函数的图象与性质6大题型【题型目录】题型一：三角函数的周期性题型二：三角函数对称性题型三：三角函数的奇偶性题型四：三角函数的单调性题型五：三角函数的值域题型六：三角函数的图像【典例例题】题型一：三角函数的周期性【例1】（2022·全国·兴国中学高三阶段练习（文））下列函数中，最小正周期为π的奇函数是（）．A ．tan y x =B ．sin 2y x =C ．sin cos y x x =D ．sin y x=【例2】（2022江西景德镇一中高一期中（文））下列函数中①sin y x =；②sin y x =；③tan y x =；④12cos y x =+，其中是偶函数，且最小正周期为π的函数的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】①的图象如下，根据图象可知，图象关于y 轴对称，sin y x =是偶函数，但不是周期函数，∴排除①；②的图象如下，根据图象可知，图象关于y 轴对称，sin y x =是偶函数，最小正周期是π，∴②正确；③的图象如下，根据图象可知，图象关于y 轴对称，tan y x =是偶函数，最小正周期为π，∴③正确；④的图象如下，根据图象可知，图象关于y 轴对称，12cos y x =+是偶函数，最小正周期为2π，∴排除④.故选：B.【例3】（2022·全国·高三专题练习）函数ππ()sin 2cos 233f x x x ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小正周期是（）A ．π4B ．π2C ．πD ．2π【例4】设函数()c x b x x f ++=sin 2cos ，则()x f 的最小正周期()A ．与b 有关，且与c 有关B ．与b 有关，但与c 无关C ．与b 无关，且与c 无关D ．与b 无关，但与c 有关【答案】B【解析】因x y 2cos =的最小正周期为ππ==22T ，x y sin =的最小正周期为ππ212==T 所以当0≠b 时，()x f 的最小正周期为π2；当0=b 时，()x f 的最小正周期为π；【例5】（2022·全国·高一课时练习）函数22cos 14y x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的最小正周期为（）A ．4πB ．2πC ．πD ．2π【例6】（2022·广西桂林·模拟预测（文））函数()2sin6cos6f x x x =+的最小正周期是（）A ．2πB ．3πC ．32πD ．6π【例7】（2022·全国·高一专题练习）()|sin ||cos |f x x x =+的最小正周期是（）A ．2πB ．πC ．2πD ．3π【题型专练】1.（2023全国高三题型专练）在函数①cos |2|y x =，②|cos |y x =，③πcos 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，④πtan 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭中，最小正周期为π的所有函数为（）A ．②④B ．①③④C ．①②③D ．②③④【答案】C【解析】∵cos |2|y x ==cos2x ，∴T =22π=π；|cos |y x =图象是将y =cos x 在x 轴下方的图象对称翻折到x 轴上方得到，所以周期为π，由周期公式知，cos(2)6y x π=+为π，tan(2)4y x π=-为2π，故选：C .2.（2022·河北深州市中学高三阶段练习）下列函数中，最小正周期为π的奇函数是（）A ．sin 4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．()()sin cos y x x ππ=+-C ．22cos cos 2y x x π⎛⎫=-+ ⎪D ．sin 2y x=3.（2022·北京昌平·高一期末）下列函数中，最小正周期为π的奇函数是（）A ．sin 4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．sin 2y x =C ．sin cos y x x =D ．22cos sin y x x=-4.（2022·陕西渭南·高二期末（理））函数()2sin cos f x x x x =+的最小正周期是________．5．（2022·全国·高一专题练习）已知函数()cos f x x x ωω=-(0)ω>的最小正周期为π，则ω=___．6．（2022·浙江·杭十四中高一期末）函数2cos cos cos 2y x x x π⎛⎫=+- ⎪的最小正周期为__________．题型二：三角函数对称性【例1】（江西省“红色十校”2023届高三上学期第一联考数学（文）试题）已知函数π()sin()0,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的两个相邻的零点为12,33-，则()f x 的一条对称轴是（）A ．16x =-B ．56x =-C ．13x =D ．23x =，【例2】（2022全国高一课时练习）函数cos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象（）A ．关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称B ．关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称C ．关于直线6x π=对称D ．关于直线3x π=对称【答案】D【解析】由题设，由余弦函数的对称中心为,2)0(k ππ+，令232x k πππ+=+，得212k x ππ=+，k Z ∈，易知A 、B 错误；由余弦函数的对称轴为x k π=，令23x k ππ+=，得26k x ππ=-，k Z ∈，当1k =时，3x π=，易知C 错误，D 正确；故选：D 【例3】（2022·江西省万载中学高一阶段练习）把函数4πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向右平移()0ϕϕ>个单位长度，所得图像关于y 轴对称，则ϕ的最小值是（）A ．5π6B ．2π3C ．5π12D ．π6【例4】（2023福建省福州屏东中学高三开学考试多选题）已知函数()()3sin 222f x x ππϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的图像关于直线3x π=对称，则（）A ．函数12f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭为奇函数B ．函数()f x 在,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增C ．函数()f x 的图像向右平移()0a a >个单位长度得到的函数图像关于6x π=对称，则a 的最小值是3πD ．若方程()f x a =在2,63ππ⎡⎤⎢⎥上有2个不同实根12,x x ，则12x x -的最大值为2π故结合正弦函数的性质可知，若方程()f x a =在2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有2个不同实根12,x x ，不妨设12x x <，则12x x -取得最大值时满足1266x ππ-=且25266x ππ-=，所以，12x x -的最大值为3π，故错误.故选：AC【例5】(2023江西省高三月考)若函数y cos 6x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(ω∈N +)图象的一个对称中心是,06π⎛⎫⎪⎝⎭，则ω的最小值为()A ．1B ．2C ．4D ．8【答案】B 【解析】当6x π=时，0y =，即cos 066πωπ⎛⎫+=⎪⎝⎭，()662k k Z πωπππ∴+=+∈，解得62k ω=+，N ω*∈ ，故当0k =时，ω取最小值2.【例6】【2016高考新课标2理数】若将函数2sin 2y x =的图像向左平移12π个单位长度，则平移后图象的对称轴为（）（A ）()26k x k Z ππ=-∈（B ）()26k x k Z ππ=+∈（C ）()212k x k Z ππ=-∈（D ）()212k x k Z ππ=+∈【答案】B【解析】由题意，将函数2sin 2y x =的图像向左平移12π个单位得2sin 2()2sin(2)126y x x ππ=+=+，则平移后函数的对称轴为2,62x k k Z πππ+=+∈，即,62k x k Z ππ=+∈，故选B.【题型专练】1.(2020·四川省泸县第四中学高三开学考试)已知函数()sin 22f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则函数()f x 的图象的对称轴方程为()A ．,4x k k Z ππ=-∈B ．+,4x k k Z ππ=∈C ．1,2x k k Z π=∈D ．1+,24x k k Zππ=∈【答案】C【解析】由已知，()cos 2f x x =，令2,π=∈x k k Z ，得1,2x k k Z π=∈.故选：C.2.【2017·天津卷】设函数()2sin()f x x ωϕ=+，x ∈R ，其中0ω>，||ϕ<π．若5(28f π=，(08f 11π=，且()f x 的最小正周期大于2π，则A ．23ω=，12ϕπ=B ．23ω=，12ϕ11π=-C ．13ω=，24ϕ11π=-D ．13ω=，24ϕ7π=【答案】A【解析】由题意得125282118k k ωϕωϕππ⎧+=π+⎪⎪⎨π⎪+=π⎪⎩，其中12,k k ∈Z ，所以2142(2)33k k ω=--，又22T ωπ=>π，所以01ω<<，所以23ω=，11212k ϕ=π+π，由ϕ<π得12ϕπ=，故选A ．3．（2023·全国·高三专题练习）将函数sin 22y x x =的图象沿x 轴向右平移a 个单位（a ＞0）所得图象关于y 轴对称，则a 的最小值是（）A ．712πB ．4πC ．12πD ．6π4.【2018·江苏卷】已知函数()ππsin 2()22y x =+-<<ϕϕ的图象关于直线π3x =对称，则ϕ的值是________．【答案】π6-【解析】由题意可得2sin π13⎛⎫+=± ⎪⎝⎭ϕ，所以2πππππ()326k k k +=+=-+∈Z ，ϕϕ，因为ππ22-<<ϕ，所以π0,.6k ==-ϕ5．（2022·广西南宁·高二开学考试多选题）把函数()sin f x x =的图像向左平移π3个单位长度，再把横坐标变为原来的12倍（纵坐标不变）得到函数()g x 的图像，下列关于函数()g x 的说法正确的是（）A ．最小正周期为πB ．单调递增区间5πππ,π()1212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z C ．图像的一个对移中心为π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．图像的一条对称轴为直线π12x =题型三：三角函数的奇偶性【例1】（2022·全国·清华附中朝阳学校模拟预测）已知函数()sin 2sin 23f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭向左平移θ个单位后为偶函数，其中0,2π⎡⎤θ∈⎢⎥⎣⎦.则θ的值为（）A ．2πB ．3πC ．4πD ．6π【例2】（2022·广东·执信中学高一期中）对于四个函数sin y x =，cos y x =，sin y x =，tan y x =，下列说法错误的是（）A ．sin y x =不是奇函数，最小正周期是π，没有对称中心B ．cos y x =是偶函数，最小正周期是π，有无数多条对称轴C ．sin y x =不是奇函数，没有周期，只有一条对称轴D ．tan y x =是偶函数，最小正周期是π，没有对称中心由图可知，函数sin y x =不是奇函数，最小正周期是π，没有对称中心，A 对；对于B 选项，如下图所示：由图可知，cos y x =是偶函数，最小正周期是π，有无数多条对称轴，B 对；对于C 选项，如下图所示：由图可知，sin y x =不是奇函数，没有周期，只有一条对称轴，C 对；对于D 选项，如下图所示：由图可知，函数tan y x =是偶函数，不是周期函数，没有对称中心，D 错.故选：D.【例3】（2022·陕西师大附中高一期中）已知函数2π()sin ()24f x x =++，若(lg5)a f =，1(lg 5b f =，则（）A ．0a b +=B ．0a b -=C ．5a b +=D ．5a b -=【例4】（2022·江西省铜鼓中学高二开学考试）将函数()sin 22f x x x =+的图象向左平移()0ϕϕ>个单位长度得到一个偶函数，则ϕ的最小值为（）A ．12πB ．6πC ．3πD ．56π【例5】（2022·四川成都·模拟预测（理））函数2()ln(2)sin(1)211f x x x x x x -=+--+++在[0,2]上的最大值与最小值的和为（）A ．-2B ．2C ．4D ．6【例6】（2022·贵州贵阳·高三开学考试（理））已知函数()2cos(2)02f x x πϕϕ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭的图象向右平移3π个单位长度后，得到函数()g x 的图象，若()g x 的图象关于原点对称，则ϕ=（）A ．3πB ．4πC ．6πD ．12π【例7】（2022·陕西·定边县第四中学高三阶段练习（理））已知函数()sin cos f x a x b x =-在4x π=处取到最大值，则4f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭（）A ．奇函数B ．偶函数C ．关于点(),0π中心对称D ．关于2x π=轴对称【例8】（2023·全国·高三专题练习）写出一个最小正周期为3的偶函数()f x =___________.【题型专练】1．（2022·全国·高一课时练习）下列函数中，既为偶函数又在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增的是（）A ．cos y x =B ．cos y x=C ．sin 2y x π⎛⎫=- ⎪D ．tan cos y x x=-2.（2022·陕西·武功县普集高级中学高三阶段练习（文））已知函数()e e sin x xf x x a -=-++，若()1ln 1,ln 3f m f m ⎛⎫== ⎪⎝⎭，则=a （）A ．1B ．2C ．1-D ．2-3.（2022·湖南·周南中学高二期末）函数为()sin 23f x x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭偶函数的一个充分条件是（）A ．6π=ϕB ．3πϕ=C ．2ϕπ=D ．()3k k πϕπ=+∈Z故选：A4．（2022·贵州黔东南·高二期末（理））已知函数()πcos 2(0)3f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，将其图象向右平移(0)ϕϕ>个单位长度，得到函数()g x 的图象，若函数()g x 为偶函数，则ϕ的最小值为（）A ．6πB ．π4C ．π3D ．π25.（2023·全国·高三专题练习）已知函数2()(2)sin(1)1f x x x x x =--+-在[1,1)-(1,3]⋃上的最大值为M ，最小值为N ，则M N +=（）A ．1B ．2C ．3D ．4可得()h t 的最大值与最小值之和为0，那么()g t 的最大值与最小值之和为2．故选：B ．6.（2022辽宁丹东·高一期末）写出一个最小正周期为1的偶函数()f x =______．【答案】cos2πx【解析】因为函数cos y x ω=的周期为2π||ω，所以函数cos 2πy x =的周期为1.故答案为：cos2πx .（答案不唯一）7.（2022·全国·高三专题练习）已知()2sin()cos f x x x α=++是奇函数，则sin α的值为______．8．（2022·河南·高二开学考试）将函数()()cos 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图像向左平移4π个单位长度后得到偶函数()g x 的图像，则ω的最小值是______．【答案】1039.（2022·全国·高一单元测试）写出一个同时具有性质①()02f =；②()()πf x f x +=的函数()f x =______（注：()f x 不是常数函数）．题型四：三角函数的单调性【例1】（湖南省永州市2023届高三上学期第一次高考适应性考试数学试题）将函数2()cos cos 1f x x x x =+-的图象向右平移6π个单位长度，然后将所得函数图象上所有点的横坐标变为原来的12（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象，则()g x 的单调递增区间是（）A ．ππππ,(Z)12262k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦B ．ππ5ππ,(Z)242242k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦C ．π2π2π,2π(Z)33k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥D ．π5π2π,2π(Z)66k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥故选：A【例2】（2022·陕西师大附中高一期中）sin1,sin 2,sin 3按从小到大排列的顺序为（）A ．sin3sin2sin1＜＜B ．sin3sin1sin2＜＜C ．sin1sin2sin3＜＜D ．sin2sin1sin3＜＜【例3】（2022·全国·高一单元测试）下列四个函数中，以π为周期且在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增的偶函数有（）A ．cos 2y x =B ．sin 2y x =C ．tan y x =D ．lg sin y x=也是以【例4】（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()cos 02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+≤ ⎪⎝⎭＞，，4x π=-为f （x ）的零点，4x π=为y ＝f （x ）图象的对称轴，且f （x ）在186ππ⎛⎫⎪⎝⎭，上单调，则ω的最大值为（）A ．3B ．4C ．5D ．6当ππ,π2u k k ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈时，函数sin y u =递增．即πππ,π42x k k ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，解得：πππ,π44x k k ⎡⎤∈-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈，所以函数sin()4πy x =+的单调递增区间是πππ,π44x k k ⎡⎤∈-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈.故答案为：πππ,π44x k k ⎡⎤∈-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈.【例6】（2023·全国·高三专题练习）函数πsin(2)3y x =-+的单调递减区间是（）A ．π5π[π,π],Z 1212k k k -+∈B ．π5π[2π,2π],Z 1212k k k -+∈C ．π5π[π,πZ66k k k -+∈D ．π5π[2π,2πZ66k k k -+∈【题型专练】1．（2022·辽宁·新民市第一高级中学高一阶段练习）已知函数2sin()y x ωθ=+为偶函数(0)θπ<<，其图像与直线2y =的两个交点的横坐标分别为12x x 、，若21||x x -的最小值为π，则该函数的一个单调递增区间为（）A ．ππ,24⎛⎫-- ⎪B ．ππ,44⎛⎫- ⎪C ．π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．π3π,44⎛⎫⎪⎝⎭2.（2022·四川省成都市新都一中高二开学考试（理））已知函数()sin(),022f x x ππωϕϕω⎛⎫=+-<<> ⎪⎝⎭，若()00166f x f x ππ⎛⎫⎛⎫==≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，0min6x ππ-=，则函数()f x 的单调递减区间为（）A ．2,()63k k k ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭Z B ．22,2()63Z k k k ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭C ．,()36Z k k k ππππ⎛⎫-++∈ ⎪D ．2,2()36Z k k k ππππ⎛⎫-++∈ ⎪3.（2022六盘山高级中学）函数tan 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调增区间为（）A ．5,()212212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦B ．5,()212212k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭C ．5,()1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦D ．5,()1212k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】因为函数tan y x =的单调递增区间为,()22k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，所以2()223,k k k x Z πππππ-<-<+∈，解得5,()212212k k x k Z ππππ-<<+∈，所以函数tan 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调增区间为5,()212212k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭.故选：B 4.（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()sin 2f x x ϕ=+，其中()0,2πϕ∈，若()6f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对于一切R x ∈恒成立，则()f x 的单调递增区间是（）A ．,2k k πππ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z B ．,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z C ．2,63k k ππππ⎡⎤++⎢⎥()k ∈Z D ．,2k k πππ⎡⎤-⎢⎥()k ∈Z 5.（2022·全国·高二单元测试）已知函数()cos f x x x =，()()g x f x '=，则（）．A ．()g x 的图像关于点π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称B ．()g x 图像的一条对称轴是π6x =C ．()g x 在5π5π,66⎛⎫- ⎪上递减D ．()g x 在ππ,33⎛⎫- ⎪的值域为(0,1)6．(2022天津市静海区大邱庄中学高三月考)设函数()cos 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，给出下列结论：①()f x 的一个周期为π②()y f x =的图象关于直线12x π=对称③()y f x =的图象关于点,06π⎛⎫-⎪⎝⎭对称④()f x 在2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减其中所有正确结论的编号是()A ．①④B ．②③C ．①②③D ．②③④【答案】C【解析】对于①，2T ππω==，故①正确；对于②，12x π=时，(112f π=，函数取得最大值，故②正确；对于③，6x π=-时，()06f π-=，故③正确；对于④，2,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ ，当712x π=时，7112f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，函数取得最小值，()f x ∴在2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦有增有减，故④不正确.故选：C ．7．（2022·全国·高一课时练习）关于函数1()sin sin f x x x=+，下列说法正确的是（）A ．()f x 的一个周期是πB ．()f x 的最小值为2C ．()f x 在π(0,2上单调递增D ．()f x 的图象关于直线π2x =对称上单调递减，而8．（2022·内蒙古包头·高三开学考试（文））若()sin cos f x x x =+在[]0,a 是增函数，则a 的最大值是（）A ．4πB ．2πC ．34πD ．π9．（2022·全国·高一专题练习）若函数()sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭与()cos 4g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭都在区间()(),0πa b a b <<<上单调递减，则b a -的最大值为（）A ．π3B ．π2C ．6πD ．π10．（2022·全国·高三专题练习）将函数()2sin()(0)3f x x ωω=->的图象向左平移3ωπ个单位得到函数()y g x =的图象，若()y g x =在[,64ππ-上为增函数，则ω最大值为（）A ．32B ．2C ．3D ．11．（2022·全国·高一课时练习多选题）已知直线8x =是函数()sin(2)(0π)f x x ϕϕ=+<<图象的一条对称轴，则（）A ．π8f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭是偶函数B ．3π8x =是()f x 图象的一条对称轴C ．()f x 在ππ,82⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减D ．当π2x =时，函数()f x 取得最小值题型五：三角函数的值域【例1】（2022·陕西·安康市教学研究室高三阶段练习（文））下列函数中，最大值是1的函数是（）A ．|sin ||cos |=+y x xB ．2cos 4sin 4y x x =+-C ．cos tan y x x =⋅D ．y =【例2】（2022·全国·高三专题练习）函数1ππ()sin()cos()363f x x x =++-的最大值是（）A ．43B ．23C ．1D ．13【答案】8【解析】【分析】由题意可得()22sin sin 1f x x x =-++,令[]sin 0,1x t ∈＝,可得[]221,0,1y t t t =-++∈,利用二次函数的性质可求f (x )的最大值．【详解】解:()22cos 2sin 2sin sin 12sin sin 1f x x x x x x x =+=-++=-++,令[]sin 0,1x t ∈＝,可得[]2219212,0,148y t t t t ⎛⎫=-++=--+∈ ⎪⎝⎭,当14t =时,y 取得最大值为98,故答案为:98．【例4】（2022·江西·高三开学考试（文））已知函数()()2πsin sin 022f x x x x ωωωω⎛⎫+--> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，则()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为（）A ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．22⎡-⎢⎥⎣⎦C ．⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．⎡-⎢⎣⎦【例5】（2022·湖北·襄阳五中模拟预测）已知函数()sin()0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭在区间,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，且对任意实数x 均有4()33f f x f ππ⎛⎫⎛⎫≤≤⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭成立，则ϕ=（）A ．12πB ．6πC ．4πD ．3π【例6】（2023·全国·高三专题练习）已知函数()22sin s ()3in f x x x π+=+，则()f x 的最小值为（）A ．12B ．14C ．D ．2【例7】（2022·全国·高三专题练习）函数2()cos 2f x x x =+-0,2x π⎛⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的最大值是__________．【答案】14-##-0.25【解析】【详解】22()1sin 2sin 1f x x x x x =--=--=21sin24x ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，所以当sin x =时，有最大值14-．故答案为14-.【例8】（2022·全国·高三专题练习）已知函数()sin cos 2sin cos 2f x x x x x =+++，则（）A ．()f x 的最大值为3，最小值为1B ．()f x 的最大值为3，最小值为-1C ．()f x的最大值为3，最小值为34D ．()f x的最大值为33【例9】（2022·全国·高一课时练习）已知关于x 的方程2cos sin 20x x a -+=在02π⎛⎤⎥⎝⎦，内有解，那么实数a 的取值范围（）A ．58a -≤B ．102a -≤≤C ．1122a -＜≤D ．12a -＜≤0【题型专练】1．（2022·江西九江·高一期末）函数()193sin cos 2R 24y x x x =+-∈的最小值是（）A ．14B ．12C ．234-D ．414-2．（2022·河南焦作·高一期末）函数2cos22cos y x x =+的最小值为（）A ．3-B ．2-C ．1-D ．0【答案】C【分析】利用二倍角的降幂公式化简函数解析式，利用余弦型函数的有界性可求得结果.【详解】2cos 22cos cos 2cos 212cos 21y x x x x x =+=++=+ ，min 211y ∴=-+=-.故选：C.3.【2018·北京卷】设函数f （x ）=πcos(0)6x ωω->，若π()()4f x f ≤对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为__________．【答案】23【解析】因为()π4f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对任意的实数x 都成立，所以π4f ⎛⎫⎪⎝⎭取最大值，所以()()ππ22π 8463k k k k -=∈∴=+∈Z Z ，ωω，因为0>ω，所以当0k =时，ω取最小值为23.4．（2022·广西南宁·高二开学考试）已知函数ππ()sin ,0,36f x x x ⎛⎫⎡⎤=+∈ ⎪⎢，则函数()f x 的最大值为__________．5．（2022·全国·高一课时练习）函数()1sin cos =++f x x x的值域为_____________．6．（2022·全国·高一专题练习）若奇函数()f x 在其定义域R 上是单调减函数，且对任意的R x ∈，不等式2(cos 3sin )(sin )0f x x f x a -+-≤恒成立，则a 取值范围是_________.【答案】(,2]-∞-【分析】根据给定条件，脱去法则“f ”，再利用含sin x 的二次函数求解作答.【详解】因奇函数()f x 在R 上单调递减，则R x ∀∈，2(cos 3sin )(sin )0f x x f x a -+-≤2(cos 3sin )(sin )f x x f a x ⇔-≤-22cos 3sin sin cos 2sin x x a x a x x ⇔-≥-⇔≤-，令222cos 2sin sin 2sin 1(sin 1)2y x x x x x =-=--+=-++，而1sin 1x -≤≤，因此当sin 1x =时，min 2y =-，即有2a ≤-，所以a 取值范围是(,2]-∞-.故答案为：(,2]-∞-【点睛】思路点睛：涉及求含正(余)的二次式的最值问题，可以换元或整体思想转化为二次函数在区间[-1,1]或其子区间上的最值求解.7.【2018·全国Ⅲ】函数()πcos 36f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在[]0π，的零点个数为________．【答案】3【解析】0πx ≤≤ ，ππ19π3666x ∴≤+≤，由题可知πππ3π336262x x +=+=，或π5π362x +=，解得π4π,99x =，或7π9，故有3个零点.8.（2022·上海市第十中学高一期末）已知函数()2cos 2cos 1f x x x x =+-（R x ∈）.求函数()f x 的最小正周期及在区间0,2π⎡⎤⎢⎥上的最大值和最小值.9．（2022·湖南·雅礼中学高一期末）已知函数()2cos sin 4f x x a x a =-++-，[]0,x π∈．(1)求()f x 的最小值()g a ；(2)若()f x 在[]0,π上有零点，求a 的取值范围，并求所有零点之和．题型六：三角函数的图像【例1】（2022·陕西师大附中高三开学考试（理））函数()sin()(0,0,0)f x A x A ωϕωπϕ=+>>-<<的部分图象如图所示，为了得到()sin g x A x ω=的图象，只需将函数()y f x =的图象（）A ．向左平移6π个单位长度B ．向左平移12π个单位长度C ．向右平移6π个单位长度D ．向右平移12π个单位长度【例2】（2022·陕西·延安市第一中学高一期中）函数()()sin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则()2f π的值为（）A ．B ．C ．D ．1-的部分图象知，【例3】（2022·湖南·宁乡市教育研究中心模拟预测）如图表示电流强度I 与时间t 的关系()()()sin 0,0I A x A ωϕω=+>>在一个周期内的图像，则下列说法正确得是（）A ．50πω=B ．π6ϕ=C ．0=t 时，I =D ．1300100t I ==时，【例4】（2022·江苏·沭阳如东中学高三阶段练习多选题）已知函数()()sin f x A x ωϕ=+（其中0A >，0>ω，2πϕ<）的部分图象如图所示，则（）A ．2ω=B ．()f x 的图象关于直线23x π=对称C ．()2cos 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．()f x 在5[,63ππ--上的值域为[2,1]-【例5】（2022·河北·沧县风化店中学高二开学考试多选题）函数()()cos 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，且满足223f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，现将()f x 图象沿x 轴向左平移4π个单位，得到函数()y g x =的图象.下列说法正确的是（）A ．()g x 在,126ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数B ．()g x 的图象关于56x π=对称C ．()g x 是奇函数D ．()g x 的最小正周期为23π【例6】（2022·福建·高三阶段练习多选题）函数()sin()(0,0,02π)f x A x A ωϕωϕ=+>><<的部分图像如图所示，则（）A ．3π2ωϕ+=B ．(2)2f -=-C ．()f x 在区间()0,2022上存在506个零点D ．将()f x 的图像向右平移3个单位长度后，得到函数π()cos 4g x x ⎛⎫=- ⎪的图像【例7】（2022·江苏南通·高三开学考试多选题）已知函数()()sin 20,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）A ．()f x 的图象关于点π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭对称B ．()f x 的图象向右平移π12个单位后得到sin2y x =的图象C ．()f x 在区间π,2π⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递増D ．π6f x ⎛⎫+ ⎪为偶函数【例8】（2022·全国·高一单元测试多选题）已知函数()()sin f x A x =+ωϕ（0A >，0>ω，2πϕ<）的部分图象如图所示，下列说法错误的是（）A ．()f x 的图象关于直线23x π=-对称B ．()f x 的图象关于点5,012π⎛⎫-⎪⎝⎭对称C ．将函数2sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移2π个单位长度得到函数()f x 的图象D ．若方程()f x m =在,02π⎡⎤-⎢⎥上有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是(2,-【题型专练】1．（2022·广东·仲元中学高三阶段练习多选题）已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示.将函数()f x 的图象向右平移316π个单位长度，再将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象，则（）A ．()2sin 24x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．()g x 的图象关于直线8x π=-对称C ．()g x 的图象关于点,08π⎛⎫⎪⎝⎭对称D ．函数()()f x g x +的最小值为4-2．（2022·湖北·襄阳市襄州区第一高级中学高二阶段练习多选题）函数()()()2sin 0,f x x ωϕωϕπ=+><的部分图像如图所示，则下列结论正确的是（）A ．()12sin 33f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．若把()f x 图像上的所有点的横坐标变为原来的23倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图像，则函数()g x 在[],ππ-上是增函数C ．若把函数()f x 的图像向左平移2π个单位长度，得到函数()h x 的图像，则函数()h x 是奇函数D ．,33x ππ⎡⎤∀∈-⎢⎥，若()332f x a f π⎛⎫+≥ ⎪恒成立，则a 的取值范围为)2,+∞3．（2022·安徽·高三开学考试）已知函数π()2sin()0,||2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，其中ππ,2,,0123A B ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则下列说法错误的是（）A ．()f x 的最小正周期为πB ．将()f x 的图象向右平移6π个单位长度后关于原点对称C ．()f x 在2ππ,3⎡⎤--⎢⎣⎦上单调递减D ．直线7π12x =为()f x 图象的一条对称轴4．（2022·天津·南开中学高三阶段练习）已知函数π()sin()(R,0,0,)2f x A x x A ωϕωϕ=+∈>><的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）A ．直线πx =是()f x 图象的一条对称轴B ．()f x 图象的对称中心为π(π,0)12k -+，Z k ∈C ．()f x 在区间ππ,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增D ．将()f x 的图象向左平移π12个单位长度后，可得到一个奇函数的图象5．（2022·江苏省如皋中学高三开学考试多选题）函数()()sin 0,0,0πy A x A ωϕωϕ=+>><<在一个周期内的图象如图所示，则（）．A ．该函数的解析式为2π2sin 33y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．该函数图象的对称中心为ππ,03k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，Zk ∈C ．该函数的单调递增区间是5ππ3π,3π44k k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，Zk ∈D ．把函数π2sin 3y x ⎛⎫=+ ⎪的图象上所有点的横坐标伸长为原来的32倍，纵坐标不变，可得到该函数图象6．（2021·福建·福州十八中高三开学考试多选题）已知函数()sin()(010f x x ωϕω=+<<，0π)ϕ<<的部分图象。
高考数学大题6大题型
高考数学大题6大题型高考是中国学生最重要的考试，大家都在努力备考。
在高考数学考题中，除了小节练习，大家最难搞定的当属大题，其实数学大题有六类型，就是选择题、填空题、解答题、计算题、证明题、应用题。
一、选择题择题有多个选项，围绕着一个话题写出，考生要从中选择一个正确的答案可以称之为选择题。
它的题干具体形式可以有一到五个选项，每一个选项都以字母A、B、C、D、E、F标注，比如“下列有关命题可正确无误地表述为（）。
”生在选择时要把握好主要考点，弄清材料，多加思索，把握大意，按情理加以选择。
二、填空题空题就是把题目中间某些词语空白出来，然后由考生来填写正确的单词或数字，它的考点有可能和出题者想考查的知识点不同，所以填空题考生在填空的时候要注意理清出题者的思路，再仔细阅读四周的文字，仔细分析出题者的意图，从而把握好填空内容。
三、解答题答题是指题干中出现有关求解问题的说明，要求考生给出解题步骤，表示解法思路，同时要求列出有效解题过程，即解答题。
解答题的答题方法一般有两种，一种是按题目的设置来求解，即先分析问题，获得有效数据，根据有效数据再据此求解；另一种是先列出有效的解题方法，给出一定的公式或者表示，从而求解出解析方法。
、计算题算题要求考生结合提出材料，进行一定数量的计算，算出所求结果或者近似结果，这类性质的题目就是计算题。
计算题的正确答案比较容易确定，所以在考试中它也是重要的一种题型。
计算题的解答方法一般有两种，一是按照数学规律进行，即分析题目中出现的数学关系，然后运用规律获得解答；另一种是技巧性的，即分析题目的条件及要求，恰当的运用数学的算法实现所要求的计算结果。
五、证明题明题就是要求考生针对某一命题，给出一定的证明方法，使得命题的论证正确性得以明确，即把几个数学结论按照一定顺序，通过运用数学表达式或者数学原理，对原有命题进行论证，最终使其得以证明，这样出题者便可以问一些有关证明的题目，考生就要针对这一证明题目给出有效的论证方法，使其论证正确性得以明确。
高考数学必考题型及答题技巧整理
高考数学必考题型及答题技巧整理（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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高考数学复习讲义：全析高考常考的6大题型
整理，得 5m2－2m－3＝0， 解得 m＝－35或 m＝1(舍去)． ∴直线 l 的方程为 y＝kx－35. 易知当直线 l 的斜率不存在时， 不符合题意． 故直线 l 过定点，且该定点的坐标为0，－35.
[方法技巧] 求解圆锥曲线中定点问题的 2 种方法
(1)特殊推理法：先从特殊情况入手，求出定点，再证明 定点与变量无关．
[典例] (2019·沈阳模拟)已知椭圆 C：xa22＋by22＝1(a＞b＞0) 的焦点为 F1，F2，离心率为12，点 P 为其上一动点，且三角形 PF1F2 的面积最大值为 3，O 为坐标原点．
(1)求椭圆 C 的方程； (2)若点 M，N 为 C 上的两个动点，求常数 m，使―OM→·―O→N ＝m 时，点 O 到直线 MN 的距离为定值，求这个定值．
3＋4k2.
因 为 |AB| ＝ 1＋k2 |x1 － x2| ＝ 1＋k2 · x1＋x22－4x1x2 ＝
1＋k2 ·
483＋4k2－m2 3＋4k22
＝
1＋k2 ·
482m2－m2 2m22
＝
1＋k2· ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ122，
点 O 到直线 AB 的距离 d＝ 1|m＋| k2＝ 1＋m2k2，
所以 S△AOB＝12·|AB|·d＝12· 1＋k2·
[针对训练] 如图，已知直线 l：y＝kx＋1(k＞0)关于直 线 y＝x＋1 对称的直线为 l1，直线 l，l1 与 椭圆 E：x42＋y2＝1 分别交于点 A，M 和 A， N，记直线 l1 的斜率为 k1. (1)求 k·k1 的值； (2)当 k 变化时，试问直线 MN 是否恒过定点？若恒过定点， 求出该定点坐标；若不恒过定点，请说明理由．
所以点 P 的坐标为1， 23. (2)当椭圆 Ω 的焦距为 2 时，c＝1，则 b2＝a2－c2＝3，椭圆 Ω 的方程为x42＋y32＝1.
高考数学必考题型及答题技巧
高考数学必考题型及答题技巧（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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高考常见数学题型及答题技巧
2021高考常见数学题型及答题技巧高考复习面广量大，不少学生感到既畏惧，又无从下手。
同学们如何才能提高复习的针对性和实效性呢?下面来看看高考常见数学题型，相信对你的复习有很大帮助~1.选择题——“不择手段”题型特点：(1)概念性强：数学中的每个术语、符号，乃至习惯用语，往往都有明确具体的含义，这个特点反映到选择题中，表现出来的就是试题的概念性强，试题的陈述和信息的传递，都是以数学的学科规定与习惯为依据，决不标新立异。
(2)量化突出：数量关系的研究是数学的一个重要的组成部分，也是数学考试中一项主要的内容，在高考的数学选择题中，定量型的试题所占的比重很大，而且许多从形式上看为计算定量型选择题，其实不是简单或机械的计算问题，其中往往蕴含了对概念、原理、性质和法则的考查，把这种考查与定量计算紧密地结合在一起，形成了量化突出的试题特点。
(3)充满思辨性：这个特点源于数学的高度抽象性、系统性和逻辑性。
作为数学选择题，尤其是用于选择性考试的高考数学试题，只凭简单计算或直观感知便能正确作答的试题不多，几乎可以说并不存在，绝大多数的选择题，为了正确作答，或多或少总是要求考生具备一定的观察、分析和逻辑推断能力。
思辨性的要求充满题目的字里行间。
(4)形数兼备：数学的研究对象不仅是数，还有图形，而且对数和图形的讨论与研究，不是孤立开来分割进行，而是有分有合，将它们辩证统一起来。
这个特色在高中数学中已经得到充分的显露。
因此，在高考的数学选择题中，便反映出形数兼备这一特点，其表现是几何选择题中常常隐藏着代数问题，而代数选择题中往往又寓有几何图形的问题。
因此，数形结合与形数分离的解题方法是高考数学选择题的一种重要且有效的思想方法与解题方法。
(5)解法多样化：以其他学科比较，“一题多解”的现象在数学中表现突出，尤其是数学选择题由于它有备选项，给试题的解答提供了丰富的有用信息，有相当大的提示性，为解题活动展现了广阔的天地，大大地增加了解答的途径和方法。
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高考数学常考的6大题型全析1．(2019·唐山联考)已知F 为抛物线E ：y 2＝4x 的焦点，过点P (0,2)作两条互相垂直的直线m ，n ，直线m 交E 于不同的A ，B 两点，直线n 交E 于不同的两点C ，D ，记直线m 的斜率为k .(1)求k 的取值范围；(2)设线段AB ，CD 的中点分别为点M ，N ，证明：直线MN 过定点Q(2,0)． 解：(1)由题设可知k ≠0， 所以直线m 的方程为y ＝kx ＋2，与y 2＝4x 联立，整理得ky 2－4y ＋8＝0.① 由Δ1＝16－32k ＞0，解得k ＜12.直线n 的方程为y ＝－1kx ＋2，与y 2＝4x 联立，整理得y 2＋4ky －8k ＝0，由Δ2＝16k 2＋32k ＞0，解得k ＞0或k ＜－2. 所以⎩⎪⎨⎪⎧k ≠0，k ＜12，k ＞0或k ＜－2，故k 的取值范围为(－∞，－2)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.(2)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)．由①得，y 1＋y 2＝4k ，则y 0＝2k ，x 0＝2k 2－2k，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2－2k ，2k .同理可得N (2k 2＋2k ，－2k )．直线M Q 的斜率k M Q ＝2k 2k2－2k－2＝－kk 2＋k －1，直线N Q 的斜率k N Q ＝－2k 2k 2＋2k －2＝－kk 2＋k －1＝k M Q ，所以直线MN 过定点Q(2,0)．2．已知椭圆C 的两个顶点分别为A (－2,0)，B (2,0)，焦点在x 轴上，离心率为32. (1)求椭圆C 的方程；(2)如图所示，点D 为x 轴上一点，过点D 作x 轴的垂线交椭圆C 于不同的两点M ，N ，过点D 作AM 的垂线交BN 于点E .求证：△BDE 与△BDN 的面积之比为45.解：(1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c a ＝32，解得c ＝3，所以b 2＝a 2－c 2＝1，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明：设D (x 0,0)，M (x 0，y 0)，N (x 0，－y 0)，－2＜x 0＜2，所以k AM ＝y 0x 0＋2，因为AM ⊥DE ，所以k DE ＝－2＋x 0y 0，所以直线DE 的方程为y ＝－2＋x 0y 0(x －x 0)．因为k BN ＝－y 0x 0－2，所以直线BN 的方程为y ＝－y 0x 0－2(x －2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2＋x 0y 0x －x 0，y ＝－y0x 0－2x －2，解得E ⎝ ⎛⎭⎪⎫45x 0＋25，－45y 0，所以S △BDE ＝12|BD |·|y E |，S △BDN ＝12|BD |·|y N |，所以S △BDE S △BDN ＝12|BD |·|y E |12|BD |·|y N |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－45y 0|－y 0|＝45，结论成立．3．(2019·南昌模拟)已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，准线为l ，过焦点F 的直线交C 于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，y 1y 2＝－4.(1)求抛物线C 的方程；(2)如图，点B 在准线l 上的正投影为E ，D 是C 上一点，且AD ⊥EF ，求△ABD 面积的最小值及此时直线AD 的方程．解：(1)依题意知F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0，当直线AB 的斜率不存在时，y 1y 2＝－p 2＝－4，解得p ＝2. 当直线AB 的斜率存在时，设l AB ：y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2(k ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，y 2＝2px ，消去x 并整理，得y 2－2p ky －p 2＝0，则y 1y 2＝－p 2，由y 1y 2＝－4得p 2＝4，解得p ＝2. 综上所述，抛物线C 的方程为y 2＝4x .(2)设D (x 0，y 0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 24，t ， 则E (－1，t )，又由y 1y 2＝－4，可得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4t 2，－4t .因为k EF ＝－t 2，AD ⊥EF ，所以k AD ＝2t，则直线AD ：y ＋4t ＝2t ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －4t 2，化简得2x －ty －4－8t2＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧2x －ty －4－8t 2＝0，y 2＝4x ，消去x 并整理，得y 2－2ty －8－16t2＝0，Δ＝(－2t )2－4⎝ ⎛⎭⎪⎫－8－16t 2＝4t 2＋64t2＋32＞0恒成立，所以y 1＋y 0＝2t ，y 1y 0＝－8－16t2.于是|AD |＝ 1＋t 24|y 1－y 0|＝1＋t 24y 1＋y 02－4y 1y 0＝4＋t 2t 2＋16t2＋8，设点B 到直线AD 的距离为d ，则d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t 22－t 2－4－8t 24＋t2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t 2＋16t 2＋824＋t2.所以S △ABD ＝12|AD |·d ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2＋16t 2＋83≥16， 当且仅当t 4＝16，即t ＝±2时取等号，即△ABD 的最小值为16. 当t ＝2时，直线AD ：x －y －3＝0；当t ＝－2时，直线AD ：x ＋y －3＝0.4．(2019·昆明调研)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的焦距为4，P ⎝⎛⎭⎪⎫2，55是椭圆C 上的点．(1)求椭圆C 的方程；(2)O 为坐标原点，A ，B 是椭圆C 上不关于坐标轴对称的两点，设OD ―→＝OA ―→＋OB ―→，证明：直线AB 的斜率与OD 的斜率的乘积为定值．解：(1)由题意知2c ＝4，即c ＝2，则椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2a 2－4＝1，因为点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，55在椭圆C 上，所以4a2＋15a 2－4＝1，解得a 2＝5或a 2＝165(舍去)，所以椭圆C 的方程为x 25＋y 2＝1.(2)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，x 1≠x 2且x 1＋x 2≠0， 由OA ―→＋OB ―→＝OD ―→得，D (x 1＋x 2，y 1＋y 2)， 所以直线AB 的斜率k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2， 直线OD 的斜率k OD ＝y 1＋y 2x 1＋x 2， 由⎩⎪⎨⎪⎧x 215＋y 21＝1，x 225＋y 22＝1，得15(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0，即y 1＋y 2x 1＋x 2·y 1－y 2x 1－x 2＝－15，所以k AB ·k OD＝－15.故直线AB 的斜率与OD 的斜率的乘积为定值－15.5．已知中心在坐标原点O 的椭圆C 经过点A (2,3)，且点F (2，0)为其右焦点． (1)求椭圆C 的方程；(2)是否存在平行于OA 的直线l ，使得直线l 与椭圆C 有公共点，且直线OA 与l 的距离等于4？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．解：(1)依题意，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，且可知其左焦点为F ′(－2,0)．从而有⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，2a ＝|AF |＋|AF ′|＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，a ＝4.又a 2＝b 2＋c 2，所以b 2＝12.故椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1.(2)假设存在符合题意的直线l ， 设其方程为y ＝32x ＋t .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝32x ＋t ，x 216＋y 212＝1，得3x 2＋3tx ＋t 2－12＝0.因为直线l 与椭圆C 有公共点，所以Δ＝(3t )2－4×3(t 2－12)＝144－3t 2≥0， 解得－43≤t ≤4 3.另一方面，由直线OA 与l 的距离等于4，可得|t |94＋1＝4，从而t ＝±213.由于±213∉[－43，4 3 ]，所以符合题意的直线l 不存在．6．(2019·新疆乌鲁木齐联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的焦距为2，且过点⎝⎛⎭⎪⎫1，22.(1)求椭圆C 的方程；(2)过点M (2,0)的直线交椭圆C 于A ，B 两点，P 为椭圆C 上一点，O 为坐标原点，且满足OA ―→＋OB ―→＝t OP ―→，其中t ∈⎝⎛⎭⎪⎫263，2，求|AB |的取值范围． 解：(1)依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝b 2＋1，1a 2＋12b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2，b 2＝1，∴椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1. (2)由题意可知，直线AB 的斜率存在，设其方程为y ＝k (x －2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －2，x 22＋y 2＝1得(1＋2k 2)x2－8k 2x ＋8k 2－2＝0，∴Δ＝8(1－2k 2)＞0，解得k 2＜12.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8k 21＋2k 2，x 1x 2＝8k 2－21＋2k 2，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2－4)＝－4k1＋2k 2.由OA ―→＋OB ―→＝t OP ―→，得P ⎝⎛⎭⎪⎫8k 2t1＋2k 2，－4k t 1＋2k 2， 代入椭圆C 的方程得t 2＝16k21＋2k 2.由263＜t ＜2，得14＜k 2＜12， ∴|AB |＝1＋k 2·22·1－2k 21＋2k 2＝221＋2k22＋11＋2k2－1. 令u ＝11＋2k 2，则u ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23，∴|AB |＝22u 2＋u －1∈⎝⎛⎭⎪⎫0，253.∴|AB |的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫0，253.5大技法破解计算繁而杂1．(2018·惠州二模)设F 1，F 2为椭圆x 29＋y 25＝1的两个焦点，点P 在椭圆上，若线段PF 1的中点在y 轴上，则|PF 2||PF 1|的值为( )A.514B.59C.49D.513解析：选D 如图，设线段PF 1的中点为M ，因为O 是F 1F 2的中点，所以OM ∥PF 2，可得PF 2⊥x 轴，|PF 2|＝b 2a ＝53，|PF 1|＝2a －|PF 2|＝133，|PF 2||PF 1|＝513，故选D. 2．设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线y 2＝2px (p ＞0)上任意一点，M 是线段PF 上的点，且|PM |＝2|MF |，则直线OM 的斜率的最大值为( )A ．33 B ．23 C ．22D ．1解析：选C 如图所示，设P (x 0，y 0)(y 0＞0)，则y 20＝2px 0，即x 0＝y 202p.设M (x ′，y ′)，由PM ―→＝2MF ―→，得⎩⎪⎨⎪⎧x ′－x 0＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2－x ′，y ′－y 0＝20－y ′，化简可得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝p ＋x03，y ′＝y3.∴直线OM 的斜率k ＝y 03p ＋x 03＝y 0p ＋y 202p ＝2p 2p 2y 0＋y 0≤2p 22p 2＝22(当且仅当y 0＝2p 时取等号)． 3．(2019·合肥质检)如图，椭圆x 2a 2＋y 24＝1(a ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线交椭圆于M ，N 两点，交y 轴于点H .若F 1，H 是线段MN 的三等分点，则△F 2MN 的周长为( )A ．20B ．10C ．2 5D ．4 5解析：选D 由F 1，H 是线段MN 的三等分点，得H 是F 1N 的中点，又F 1(－c,0)，∴点N 的横坐标为c ，联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝c ，x 2a 2＋y24＝1，得N ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，4a ，∴H ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2a ，M ⎝⎛⎭⎪⎫－2c ，－2a .把点M 的坐标代入椭圆方程得4c 2a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a 24＝1，化简得c 2＝a 2－14，又c 2＝a 2－4，∴a 2－14＝a 2－4，解得a 2＝5，∴a ＝ 5.由椭圆的定义知|NF 2|＋|NF 1|＝|MF 2|＋|MF 1|＝2a ，∴△F 2MN 的周长为|NF 2|＋|MF 2|＋|MN |＝|NF 2|＋|MF 2|＋|NF 1|＋|MF 1|＝4a ＝45，故选D.4．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1(－c ，0)，F 2(c,0)，P 为双曲线上任一点，且PF 1―→·PF 2―→最小值的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34c 2，－12c 2，则该双曲线的离心率的取值范围为( )A ．(1，2]B ．[2，2]C ．(0，2]D ．[2，＋∞)解析：选B 设P (x 0，y 0)，则PF 1―→·PF 2―→＝(－c －x 0，－y 0)·(c －x 0，－y 0)＝x 20－c 2＋y 20＝a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋y 20b 2－c 2＋y 20，上式当y 0＝0时取得最小值a 2－c 2， 根据已知－34c 2≤a 2－c 2≤－12c 2，所以14c 2≤a 2≤12c 2，即2≤c 2a 2≤4，即2≤c a ≤2，所以所求双曲线的离心率的取值范围是[2，2]．5．过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F ，斜率为43的直线交抛物线于A ，B 两点，若AF ―→＝λFB ―→ (λ＞1)，则λ的值为( )A ．5B ．4C ．43D ．52解析：选B 根据题意设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由AF ―→＝λFB ―→，得⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2－x 1，－y 1＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－p 2，y 2，故－y 1＝λy 2，即λ＝－y 1y 2.设直线AB 的方程为y ＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，联立直线与抛物线方程，消去x ，得y 2－32py －p 2＝0.故y 1＋y 2＝32p ，y 1y 2＝－p 2，则y 1＋y 22y 1y 2＝y 1y 2＋y 2y 1＋2＝－94， 即－λ－1λ＋2＝－94.又λ＞1，解得λ＝4.6．中心为原点，一个焦点为F (0,52)的椭圆，截直线y ＝3x －2所得弦中点的横坐标为12，则该椭圆方程为________．解析：由已知得c ＝52，设椭圆的方程为x 2a 2－50＋y 2a 2＝1，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－50＋y 2a2＝1，y ＝3x －2，消去y 得(10a 2－450)x 2－12(a 2－50)x ＋4(a 2－50)－a 2(a 2－50)＝0，设直线y ＝3x －2与椭圆的交点坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，由根与系数的关系得x 1＋x 2＝12a 2－5010a 2－450， 由题意知x 1＋x 2＝1，即12a 2－5010a 2－450＝1，解得a 2＝75， 所以该椭圆方程为y 275＋x 225＝1.答案：y 275＋x 225＝17．已知AB 为圆x 2＋y 2＝1的一条直径，点P 为直线x －y ＋2＝0上任意一点，则PA ―→·PB ―→的最小值为________．解析：由题意，设A (cos θ，sin θ)，P (x ，x ＋2)， 则B (－cos θ，－sin θ)，∴PA ―→＝(cos θ－x ，sin θ－x －2)，PB ―→＝(－cos θ－x ，－sin θ－x －2)，∴PA ―→·PB ―→＝(cos θ－x )(－cos θ－x )＋(sin θ－x －2)·(－sin θ－x －2) ＝x 2＋(x ＋2)2－cos 2θ－sin 2θ ＝2x 2＋4x ＋3 ＝2(x ＋1)2＋1，当且仅当x ＝－1，即P (－1，1)时，PA ―→·PB ―→取最小值1. 答案：18．(2019·武汉调研)已知A ，B 分别为椭圆x 29＋y 2b2＝1(0＜b ＜3)的左、右顶点，P ，Q 是椭圆上关于x 轴对称的不同两点，设直线AP ，B Q 的斜率分别为m ，n ，若点A 到直线y ＝1－mn x 的距离为1，则该椭圆的离心率为________．解析：根据椭圆的标准方程x 29＋y 2b2＝1(0＜b ＜3)知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，A (－3,0)，B (3,0)，设P (x 0，y 0)，Q(x 0，－y 0)，则x 209＋y 20b 2＝1，k AP ＝m ＝y 0x 0＋3，k B Q ＝n ＝－y 0x 0－3，∴mn ＝－y 20x 20－9＝b 29，∴1－mn ＝9－b 23，∴直线y ＝1－mn x ＝9－b 23x ，即9－b 2x －3y ＝0.又点A 到直线y ＝1－mn x 的距离为1，∴|－39－b 2|9－b 2＋9＝39－b218－b2＝1，解得b 2＝638，∴c 2＝a 2－b 2＝98，∴e ＝c 2a 2＝18＝24. 答案：249．已知椭圆C ：x 24＋y 2＝1过点A (2,0)，B (0,1)两点．设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，直线PA与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：四边形ABNM 的面积为定值．解：设P (x 0，y 0)(x 0＜0，y 0＜0)，则x 20＋4y 20＝4， 又A (2,0)，B (0,1)， 所以，直线PA 的方程为y ＝y 0x 0－2(x －2)，令x ＝0，得y M ＝－2y 0x 0－2， 从而|BM |＝1－y M ＝1＋2y 0x 0－2， 直线PB 的方程为y ＝y 0－1x 0x ＋1， 令y ＝0，得x N ＝－x 0y 0－1， 从而|AN |＝2－x N ＝2＋x 0y 0－1，所以四边形ABNM 的面积S ＝12|AN ||BM |＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋x 0y 0－1⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2y 0x 0－2＝x 20＋4y 20＋4x 0y 0－4x 0－8y 0＋42x 0y 0－x 0－2y 0＋2＝2x 0y 0－2x 0－4y 0＋4x 0y 0－x 0－2y 0＋2＝2，从而四边形ABNM 的面积为定值．10．已知离心率为63的椭圆x 2a 2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)的一个焦点为F ，过F 且与x 轴垂直的直线与椭圆交于A ，B 两点，|AB |＝233. (1)求此椭圆的方程；(2)已知直线y ＝kx ＋2与椭圆交于C ，D 两点，若以线段CD 为直径的圆过点E (－1,0)，求k 的值． 解：(1)设焦距为2c ，∵e ＝c a ＝63，a 2＝b 2＋c 2， ∴b a ＝33.由题意可知b 2a ＝33，∴b ＝1，a ＝3， ∴椭圆的方程为x 23＋y 2＝1.(2)将y ＝kx ＋2代入椭圆方程， 得(1＋3k 2)x 2＋12kx ＋9＝0， 又直线与椭圆有两个交点，所以Δ＝(12k )2－36(1＋3k 2)＞0，解得k 2＞1. 设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝－12k 1＋3k 2，x 1x 2＝91＋3k 2.若以CD 为直径的圆过E 点， 则EC ―→·ED ―→＝0，即(x 1＋1)(x 2＋1)＋y 1y 2＝0， 而y 1y 2＝(kx 1＋2)(kx 2＋2) ＝k 2x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋4， 所以(x 1＋1)(x 2＋1)＋y 1y 2＝(k 2＋1)x 1x 2＋(2k ＋1)(x 1＋x 2)＋5 ＝9k 2＋11＋3k 2－12k 2k ＋11＋3k2＋5＝0，7 6，满足k2＞1，所以k＝76.解得k＝。