高考数学常考的6大题型全析

高考数学常考的6大题型全析

1．(2019·唐山联考)已知F 为抛物线E ：y 2

＝4x 的焦点，过点P (0,2)作两条互相垂直的直线m ，n ，直线m 交E 于不同的A ，B 两点，直线n 交E 于不同的两点C ，D ，记直线m 的斜率为k .

(1)求k 的取值范围；

(2)设线段AB ，CD 的中点分别为点M ，N ，证明：直线MN 过定点Q(2,0)． 解：(1)由题设可知k ≠0， 所以直线m 的方程为y ＝kx ＋2，

与y 2

＝4x 联立，整理得ky 2

－4y ＋8＝0.① 由Δ1＝16－32k ＞0，解得k ＜1

2

.

直线n 的方程为y ＝－1k

x ＋2，与y 2

＝4x 联立，

整理得y 2

＋4ky －8k ＝0，

由Δ2＝16k 2

＋32k ＞0，解得k ＞0或k ＜－2. 所以⎩⎪⎨

⎪⎧

k ≠0，k ＜12，k ＞0或k ＜－2，

故k 的取值范围为(－∞，－2)∪⎝ ⎛⎭

⎪⎫0，12.

(2)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)．

由①得，y 1＋y 2＝4k ，则y 0＝2k ，x 0＝2k 2－2k

，则M ⎝ ⎛⎭

⎪⎫2k 2－2k ，2k .同理可得N (2k 2

＋2k ，－2k )．

直线M Q 的斜率k M Q ＝

2

k 2k

2－2k

－2

＝－k

k 2＋k －1，

直线N Q 的斜率k N Q ＝－2k 2k 2＋2k －2＝－k

k 2＋k －1＝k M Q ，

所以直线MN 过定点Q(2,0)．

2．已知椭圆C 的两个顶点分别为A (－2,0)，B (2,0)，焦点在x 轴上，离心率

为3

2

. (1)求椭圆C 的方程；

(2)如图所示，点D 为x 轴上一点，过点D 作x 轴的垂线交椭圆C 于不同的两点M ，N ，过点D 作AM 的垂线交BN 于点E .求证：△BDE 与△BDN 的面积之比为4

5

.

解：(1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a ＞b ＞0)，

由题意得⎩⎪⎨⎪

⎧

a ＝2，c a ＝3

2

，解得c ＝3，所以b 2＝a 2－c 2

＝1，

所以椭圆C 的方程为x 2

4

＋y 2

＝1.

(2)证明：设D (x 0,0)，M (x 0，y 0)，N (x 0，－y 0)，－2＜x 0＜2，所以k AM ＝y 0

x 0＋2

，

因为AM ⊥DE ，所以k DE ＝－2＋x 0

y 0

，

所以直线DE 的方程为y ＝－2＋x 0

y 0

(x －x 0)．

因为k BN ＝－

y 0

x 0－2

，

所以直线BN 的方程为y ＝－y 0

x 0－2

(x －2)．

由⎩⎪⎨⎪⎧

y ＝－2＋x 0

y 0x －x 0，y ＝－y

0x 0

－2

x －2，

解得E ⎝ ⎛⎭⎪⎫4

5

x 0＋25，－45y 0，

所以S △BDE ＝12|BD |·|y E |，S △BDN ＝1

2|BD |·|y N |，

所以S △BDE S △BDN ＝12|BD |·|y E |12|BD |·|y N |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－45y 0|－y 0|＝45

，

结论成立．

3．(2019·南昌模拟)已知抛物线C ：y 2

＝2px (p ＞0)的焦点为F ，

准线为l ，过焦点

F 的直线交C 于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，y 1y 2＝－4.

(1)求抛物线C 的方程；

(2)如图，点B 在准线l 上的正投影为E ，D 是C 上一点，且AD ⊥EF ，求△ABD 面

积的最小值及此时直线AD 的方程．

解：(1)依题意知F ⎝ ⎛⎭

⎪⎫p

2，0，

当直线AB 的斜率不存在时，y 1y 2＝－p 2

＝－4，解得p ＝2. 当直线AB 的斜率存在时，设l AB ：y ＝k ⎝ ⎛

⎭

⎪⎫

x －p 2(k ≠0)，

由⎩⎪⎨⎪⎧

y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，y 2＝2px ，

消去x 并整理，得y 2－2p k

y －p 2

＝0，

则y 1y 2＝－p 2，由y 1y 2＝－4得p 2

＝4，解得p ＝2. 综上所述，抛物线C 的方程为y 2

＝4x .

(2)设D (x 0，y 0)，B ⎝ ⎛⎭

⎪⎫t 2

4，t ， 则E (－1，t )，又由y 1y 2＝－4，可得A ⎝ ⎛⎭

⎪⎫4

t 2，－4t .

因为k EF ＝－t 2，AD ⊥EF ，所以k AD ＝2

t

，

则直线AD ：y ＋4t ＝2t ⎝ ⎛⎭

⎪⎫x －4t 2，化简得2x －ty －4－8

t

2＝0.

由⎩⎪⎨

⎪⎧

2x －ty －4－8t 2＝0，y 2＝4x ，消去x 并整理，得y 2

－2ty －8－16t

2＝0，Δ＝(－2t )2－4⎝ ⎛⎭

⎪⎫－8－16t 2＝4t 2＋64t

2

＋32＞0恒成立，

所以y 1＋y 0＝2t ，y 1y 0＝－8－16

t

2.

于是|AD |＝ 1＋t 2

4

|y 1－y 0|

＝

1＋t 2

4

y 1＋y 0

2

－4y 1y 0＝4＋t 2

t 2＋16

t

2＋8，

设点B 到直线AD 的距离为d ，则d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t 2

2－t 2－4－8t 24＋t

2

＝

⎪⎪⎪⎪

⎪⎪t 2＋16t 2＋824＋t

2

.

所以S △ABD ＝12|AD |·d ＝1

4

⎝ ⎛⎭

⎪⎫t 2＋16t 2＋83

≥16， 当且仅当t 4

＝16，即t ＝±2时取等号，即△ABD 的最小值为16. 当t ＝2时，直线AD ：x －y －3＝0；当t ＝－2时，直线AD ：x ＋y －3＝0.

4．(2019·昆明调研)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的焦距为4，P ⎝

⎛

⎭⎪⎫2，55是椭圆C 上的点．

(1)求椭圆C 的方程；

(2)O 为坐标原点，A ，B 是椭圆C 上不关于坐标轴对称的两点，设OD ―→＝OA ―→＋OB ―→

，证明：直线AB 的斜率与OD 的斜率的乘积为定值．

解：(1)由题意知2c ＝4，即c ＝2，

则椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2

a 2－4

＝1，

因为点P ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

2，

55在椭圆C 上，