二次函数y=ax2的图像和性质
二次函数y=ax2的图象和性质
2 3
4 3
)
关闭
因为抛物线开口都向上,且 3> > ,根据“a>0 时,a 越大,抛物线的开口越小”得①<③<②, 故选 C. C4 32 3关闭解析答案1
2
3
4
5
4.二次函数 y=- x2,x1,x2 对应的函数值分别为 y1,y2,当 x1<x2<0 时,y1 与 y2 的大 小为 .
1 4
关闭
������2 -2m-1 = 2, 由函数图象是抛物线知,函数为二次函数,所以满足 解得 m=-1. 2 ������ -3m ≠ 0, 所以函数表达式为 4x2,顶点坐标为(0,0),对称轴为 y 轴,开口向上. y= 4x2 (0,0) y 轴 y= 向上
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解析
答案
A.y= x2
4
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D
D.
解析
答案
1
2
3
4
5
2.若对任意实数 x,二次函数 y=ax2 的值总是非负数,则 a 的取值范围是 ( ) B.a≤0 D.a<0 A.a≥0 C.a>0
关闭
二次函数 y=ax2 的值总是非负数,说明抛物线开口向上,所以 a>0.
关闭
C
解析
答案
1
2
3
4
5
3.抛物线①y=3x2,②y= x2,③y= x2 的开口大小的次序应为( A.①>②>③ C.②>③>① B.①>③>② D.②>①>③
右侧(x>0),函数 y 随 x 的增大而
4.已知函数 y=ax2, (1)当 a>0 时,对于一切 x 的值,总有函数 y ≥ 0;当 x= 0 时,y 有最小 0 值,最小值是 . (2)当 a<0 时,对于一切 x 的值,总有函数 y ≤ 0;当 x= 时,y 有 0 0 最大值,最大值是 . 5.抛物线 y=ax2 的开口大小由|a|决定,|a|越大,抛物线的开 口
26.1.2二次函数y=ax2的图象和性质
3、抛物线y=ax2 与y=-ax2有何关系？
作业：练习册相关题目
再 见
知识剖析
1、一次函数的图像有何特征？ 一次函数的图像是一条直线 。 当 k>0 时，y随x的增大而增大； 当 k<0 时，y随x的增大而减小。
2、反比例函数的图像有何特征？
反比例函数的图像是 双曲线 ，共有 两 支， 且关于 原点 对称。 当 k>0 时，图像在 一、三 象限，在每个象 限内y随x的增大而减小； 当 k<0 时，图像在 二、四 象限，在每个象 限内y随x的增大而 增大 。
？
yx
2
当x<0 (在对称轴的 左侧)时,y随着x的增大而 减小.
当x>0 (在对称轴的 右侧)时, y随着x的增大而 增大.
当x=-2时，y=4 当x=-1时，y=1
抛物线y=x2在x轴的 上方(除顶点外),顶点 是它的最低点,开口 向上,并且向上无限 伸展;当x=0时,函数y 的值最小,最小值是0.
当x=1时，y=1 当x=2时，y=4
做一做
描点,连线 2
-4 -3 -2 -1
y
-1
-2 -4 -6
?
-8 -10
0 1 2 3 4 x
2 y=-x
画一画
在同一坐标系中画出函数x<0 (在对称轴的 左侧)时,y随着x的增大而 增大.
y x
2
当x>0 (在对称轴 的右侧)时, y随着 x的增大而减小.
O
(2)图象 与x轴有交点吗？如果有,交点坐标是什么? (3)当x取什么值时,y的值最小?最小值是什么? 你是如何知道的？ (4)当x<0时,随着x的值增大,y 的值如何变化？ 当x>0呢？
二次函数y=ax2的图像和性质
x
... -3 -2 -1.5 -1 0 1 1.5 2
3 ...
yy=2x22x2
3
...
-6
8 3
1.5
2 3
0
2 3
1.5
8 3
-6
...
y 1 x2 2
y 2x2
列表参考
y 2 x2
y x2
y 1 x2 2
y x2
y 2x2
y 2 x2 3
x ... -4 -3 -2 -1 0 1 2 3
4 ...
yy=12x2x2 ... 8 4.5 2 0.5 0
0.5 2 4.5
8
...
x ... -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 ... y=2x2 ... 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 ...
4. 点的位置及其坐标特征: ①.各象限内的点: ②.各坐标轴上的点: ③.各象限角平分线上的点: ④.对称于坐标轴的两点: ⑤.对称于原点的两点:
y
Q(b,-b)
(-,+)
M(a,b)
Q(0,b) C(m,n)
(+,+)
P(a,0)
o N(a,-b(-),-)
PD(a(,-am) ,-n)
A(x,y)
描点法
注意：列表时自变量 取值要y均 匀 2和对称。
x
列表
描点
画出下列函数的图像。
(1) y 1 x2 2
(2) y 2x2
连线
(3) y 2 x2 3
y x2
y x2
y1 x
用用用用自自自用用用自用自自光光光自光自光光左左左光左光左左滑滑滑左滑左滑滑向向向滑向滑向向曲曲曲向曲向曲曲右右右曲右曲右右线线线右线右线线顺顺顺线顺线顺顺连连连顺连顺连连次次次连次连次次结结结次结次结结连连连结连结连连时时时连时连时时结结结时结时结结要要要结要结要要要要
人教版九年级数学上册22.1.2《二次函数y=ax2的图象和性质》教案
人教版九年级数学上册22.1.2《二次函数y=ax2的图象和性质》教案一. 教材分析人教版九年级数学上册第22.1.2节《二次函数y=ax^2的图象和性质》是九年级数学的重要内容，主要让学生了解二次函数的图象特征和性质。
通过本节课的学习，学生能理解二次函数的一般形式，掌握二次函数的图象特征，了解二次函数的增减性和对称性，从而为后续的函数学习打下基础。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了函数的基本概念，具备了一定的函数知识。
但对于二次函数的图象和性质，可能还存在一定的困惑。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的学习情况，针对学生的实际问题进行讲解，引导学生理解和掌握二次函数的图象和性质。
三. 教学目标1.让学生理解二次函数的一般形式，掌握二次函数的图象特征。
2.让学生了解二次函数的增减性和对称性，能运用二次函数的性质解决实际问题。
3.培养学生的观察能力、分析能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.二次函数的一般形式和图象特征。
2.二次函数的增减性和对称性。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探究二次函数的图象和性质。
2.利用多媒体辅助教学，直观展示二次函数的图象，帮助学生理解。
3.采用小组合作学习，培养学生的团队协作能力。
六. 教学准备1.多媒体教学设备。
2.二次函数图象和性质的相关教学素材。
3.学生分组合作学习的材料。
七. 教学过程导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾一次函数和正比例函数的图象和性质，为新课的学习做好铺垫。
同时，教师可以利用多媒体展示二次函数的图象，让学生初步感受二次函数的特点。
呈现（10分钟）教师给出二次函数的一般形式y=ax^2，让学生观察并分析二次函数的图象特征。
学生通过观察多媒体展示的二次函数图象，总结出二次函数的开口方向、顶点坐标等特征。
操练（10分钟）教师给出几个二次函数的实例，让学生分析其图象特征。
学生通过小组合作学习，探讨并分析二次函数的增减性和对称性。
22.1.2二次函数y=ax2的图象和性质 参考解析
22.1.2二次函数y=ax2的图象和性质课前预习1.二次函数y=ax2的图象是一条抛物线，对称轴是y 轴，顶点坐标是（0，0）.当a>0时，抛物线开口向上，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，此时抛物线有最低点，即当x=0时，y取得最小值0 ；当a<0时，抛物线开口向下，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，此时抛物线有最高点，即当x=0时，y取得最大值0 .|a|越大，抛物线的开口越小，|a|相等说明抛物线的开口大小相同.课堂练习知识点1 二次函数y=ax2的图象1.填写下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标以及最值.2.某同学画二次函数y=ax2的图象时，列下列表格：（1）将表格中的空格补全；（2）这个二次函数的解析式为y=-1x2；2（3）在平面直角坐标系中画出二次函数的图象.解：（3）函数图象如图所示.知识点2 二次函数y=ax2的性质3.已知二次函数y=（m-2）x2的图象开口向上，则m的取值范围是m>2 .4.下列各点在二次函数y=-2x2图象上的是（ B ）A.（-1，2）B.（-1，-2）C.（-2，-4）D.（-2，4）5.关于函数y=x2的图象，下列说法错误的是（ C ）A.它的图象是一条抛物线B.它的开口向上，且关于y轴对称C.它的顶点是抛物线的最高点D.它的顶点在原点处，坐标为（0，0）课时作业1.与二次函数y=x2开口大小相同，方向相反的二次函数是y=-x2.2.二次函数y=-0.2x2的图象是一条开口向下的抛物线，对称轴是y轴，顶点坐标为（0，0）.当x= 0 时，函数有最大值0 ；当x ＞0时，y随x的增大而减小.3.关于函数y=3x2的性质，下列说法正确的是（ C ）A.无论x为任何实数，y的值总为正B.当x值增大时，y的值也增大C.它的图象关于y轴对称D.它的图象在第一、第三象限内4.已知A （-1，y ₁），B （-2，y ₂）都在二次函数y=x 2上，则y ₁，y ₂之间的大小关系是（ C ）A.y ₁>y ₂B.y ₁=y ₂C.y ₁<y ₂D.不能确定 5.二次函数y=ax 2（a ＞0）的图象经过点（3，4），则其图象一定经过点（ C ） A.（3，-4） B.（-3，-4） C.（-3，4） D.（4，3）6.如图，当ab ＞0时，函数y=ax 2与函数y=bx+a 的大致图象是（ C ）7.二次函数y=2x 2，y=-2x 2，y=12x 2的共同性质是（ B ） A.开口向上 B.对称轴是y 轴 C.都有最高点 D.y 随x 的增大而增大 8.已知函数y=（m+2）226m m x +-是关于x 的二次函数. （1）求m 的值；（2）当m 为何值时，函数图象的顶点为最低点？ （3）当m 为何值时，函数图象的顶点为最高点？ 解：（1）根据二次函数的定义得22026 2.m m m +≠+-=⎧⎨⎩，解得⎩⎨⎧-==.4,221m m ∴m 的值为2或-4；（2）当m=2时，抛物线的开口向上，函数有最小值，函数图象的顶点为最低点； （3）当m=-4时，抛物线的开口向下，函数有最大值，函数图象的顶点为最高点.9.在同一个平面直角坐标系中，画出下列函数的图象：①y=x 2；②y=12x 2；③y=-x 2；④y=-12x 2.从图象上对比，说出解析式中二次项系数a对抛物线的形状有什么影响？解：列表如下描点、连线，函数图象如图所示a的绝对值相同，抛物线的形状相同；a的绝对值越大，开口越小.10.如图，A，B为抛物线y=x2上的两点，且AB∥x轴，与y轴交于点C，以点O为圆心，OC为半径画圆，若2.解：∵AB=22∴BC=122∴点B的横坐标为2代入抛物线的解析式得y=2.∵AB∥x轴，∴点B与点C的纵坐标相同.∴OC=2，即圆的半径为2.由二次函数的对称性得，图中阴影部分的面积等于圆面积的14， 即S 阴影=14π×22=π.11.函数y=ax 2（a ≠0）的图象与直线y=2x-3交于点（1，b ）. （1）求a 和b 的值；（2）x 在什么范围时，二次函数y=ax 2中的y 随x 的增大而增大？ （3）求抛物线y=ax 2与直线y=-2的两个交点及顶点所围成的三角形的面积. 解：（1）把点（1，b ）代入y=2x-3，得b=-1. ∴交点坐标为（1，-1）. 把（1，-1）代入y=ax 2，得a=-1. ∴a=-1，b=-1；（2）由（1）得y=-x 2，当x ≤0时，y 随x 的增大而增大； （3）根据题意，得2,2.y x y ⎧=-⎨=-⎩解得2x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩或 2.x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩ ∴两交点坐标分别为（-2），（-2）.故S △=12×。
二次函数y=ax2的图象和性质ppt课件
例4 如图， 四个二次函数的图象分别对应 ① y=ax2 ；② y=bx2；
③ y=cx2；④ y=dx2，且①与③，②与④分别关于x 轴对称.
(1)比较a，b，c，d 的大小； (2)说明a 与c，b 与d 的数量关系.
解：(1)由抛物线的开口方向，知 a ＞ 0，b ＞ 0，c ＜ 0，d ＜ 0，
由抛物线的开口大小，知 |a| ＞ |b|，|c| ＞ |d|， 因此a ＞ b，c ＜ d. ∴ a ＞ b ＞ d ＞ c. (2)∵①与③，②与④分别关于x 轴对称，
∴①与③，②与④的开口大小相同，方向相反. ∴ a+c=0，b+d=0.
课堂练习
1、下列函数中，y总随x增大而减小的是( B )
归纳总结
位置开 开口向上,在x轴上方 开口向下,在x轴下方
口方向
a的绝对值越大，开口越小
对称性 顶点最值
关于y轴对称，对称轴方程是直线x＝0 顶点坐标是原点（0，0）
当x=0时，y最小值=0 当x=0时，y最大值=0
增减性
在对称轴左侧递减 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递增 在对称轴右侧递减
1、如右图，观察函数y=（ k-1）x2的图象, 则k的取值范围是 k>1 .
复习引入
1.二次函数的一般形式是怎样的？ y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)
2.下列函数中,哪些是二次函数？
①
②
③
④
⑤
3.一次函数的图象是一条 直线.
4.通常怎样画一个函数的图象？ 列表、描点、连线
那么，二次函数的图象会是什么样的图形呢？这节课我们 来学习最简单的二次函数y=ax2的图像
不同点： a的值越大，开口越小.
22.1.2二次函数y=ax2图像与性质
y=ax2+c (a≠0) 开口方向 顶点坐标 对称轴 增 减 性 极值
a>0 向上 (0 ,c) y轴
当x<0时， y随着x的增大而减小。 当x>0时， y随着x的增大而增大。
a<0 向下 (0 ,c) y轴
当x<0时, y随着x的增大而增大。 当x>0时， y随着x的增大而减小。
x=0时,y最小=c
x y = x2 · · · · · · －3 －2 －1 0 1 2 3 · · · · · ·
9
4
1
0
1
9
4
9
2. 根据表中x,y的数值在 坐标平面中描点（x,y） 3.连线 如图，再用平 滑曲线顺次连接各点， －3 2 就得到y = x 的图象．
y = x2
6
3 3
二次函数 y = x2的图象是一条曲线，它的形状类似 于投篮球时球在空中所经过的路线，只是这条曲线 开口向上，这条曲线叫做抛物线 y = x2 ， 二次函数的图象都是抛物线， 它们的开口或者向 上或者向下． 一般地，二次函数 y = ax2 + bx + c （a≠0）的图象叫做抛物线y = ax2 + bx + c y = x2
m2+m
解②得:m1=－2, m2=1 由①得:m>－1 ∴ m=1 此时,二次函数为: y=2x2,
x ….. y=x2 …… y=x2+1 ……
-2 4
-1 1
0 0
y
8
1 1
2 4
…… ……
5
2
0
2
5
y=x2+1
函数y=x2+1的图象与y=x2的 图象的位置有什么关系? 函数y=x2+1的图 象与y=x2的图象 的形状相同吗?
22.1.2 二次函数y=ax2的图象和性质
x
… -2 -1
0
1
y=2x2 …
y=2x2
…
(2)描点并连线:
2
…
…
…
【思路点拨】 首先列表求出函数图象上点的坐标,进而描点连线画出图象即可.注 意连线时一定要用平滑的实线连接.
解:(1)8 2 0 2 8 -8 -2 0 -2 -8 (2)
类型二:二次函数y=ax2图象的性质的应用
例2 已知函数y=ax2的图象过点(1, 1 ).
2
增大而减小.
(2)在其图象上有两点(x1,y1),(x2,y2),且x1>x2>0,比较y1,y2的大小.
【思路点拨】 (2)二次函数y=ax2的对称轴为y轴,由(1)知a<0,所以在其对称轴 的右侧y随x的增大而减小,又x1>x2>0,故y1<y2. 解:(2)因为x1>x2>0, 所以y1<y2.
(1)简述函数y=ax2的性质;
2
【思路点拨】 (1)把点(1, 1 )代入函数y=ax2的解析式求得a的值,即可判定函
数的性质.
2
解:由题意得 a=- 1 ,所以 y=- 1 x2.
2
2
(1)函数 y=- 1 x2,开口向下,在 y 轴左侧 y 随 x 的增大而增大,在 y 轴右侧 y 随 x 的
22.1.2 二次函数y=ax2的图象和性质
1.二次函数y=ax2的图象
二次函数y=ax2的图象是 抛物线 ,对称轴与抛物线的交点叫做 顶点 ,顶点是
(0,0) ,当a>0时,抛物线的开口 向上 ,顶点是抛物线的最 低 点;当a<0时, 抛物线的开口 向下 ,顶点是抛物线的最 高 点.对于y=ax2,|a|越 大 ,抛物 线的开口越小.
二次函数y=ax2的图像与性质》课件
0时，y<0.
记 r 为圆的半径，S 为该圆的面 积，有面积公式S=πr2，表明S是r的 函数. (1)当半径r分别为2、2.5、3时，求圆 的 面积S（π取3.14）； (2)画出函数S=πr2的图象.
函数S=πr2 的图象: 注意r≥0的条件.
已知抛物线y=ax2经过点A（-2，-8）。 （1）求此抛物线的函数解析式； （2）判断点B（-1，- 4）是否在此抛物线上。 （3）求出此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标。
2 二次函数y=ax 的图象和性质
复习回顾
函数的图象的意义：
一般地，对于一个函数，如果把 自变量与函数的每对对应值分别作为 点的横坐标和纵坐标，那么坐标平面 内由这些点组成的图形就是这个函数 的图象。
函数图象的画法：
组卷网
1、列表
2、描点 3、连线
列出自变量与函数的对应值表。 注意：自变量的值必须满足取值范围.
共同点: 开口都向下; 顶点是原点而且是抛物线 的最高点，对称轴是 y 轴 在对称轴的左侧， y随着x的增大而增大。 在对称轴的右侧， y随着x的增大而减小。 不同点: 开口大小不同;
1
-3 -2 -1 0 -1
y
1 2 3 x
1 2 y x 2
-2 -3 -4 -5
y x2 a 越大， 抛物线的开口越大．
2
…
y=－x2
-４ -2.25
-2.25 -４ …
-１.１２５
…
-2
-１.１２５
-2
…
y=－2x2
… -８
-4. 5
-２
-０ . ５ ０
-０ . ５
-２
-4. 5
-８ …
1
6.2.1二次函数课件y=ax2的图像和性质
... ...
-4 -3 8 4.5
-2 -1 2
0 0 0 0 0 0
1 0.5 0.5 0.5 1
2 3
2 2 1 2 1.5 1.5
3 4.5 1.5 4.5 2
8 3
4 8
...
0.5
... ...
...
x
y=2x2
... ...
-2 -1.5
-1 -0.5
2
8 3 -6
8
4.5
8 3
2
0.5
-1
2 3
x
22 2 y x y=2x 3
... -3 ... -6
-2 -1.5
... ...
1.5
1 y x2 2
y 2x2
列表参考
2 y x2
y x2
1 y x2 2
y 2x2
y x2
2 y x2 3
二次函数y=ax2的图象形如物体抛射时 所经过的路线，我们把它叫做抛物线。
3、当a>0时，在对称轴的左侧，y随着x的增大而减小； 在对称轴右侧，y随着x的增大而增大。当x=0时函数y的值最 小。 当a<0时，在对称轴的左侧，y随着x的增大而增大； 在对称轴的右侧，y随着x增大而减小，当x=0时，函数y的值 最大。
4、|a|越大抛物线的开口越小
y 2x2
2、根据左边已画好的函数图象填空： （1）抛物线y=2x2的顶点坐标是 （0，0）, 对称轴是 y轴 ，在 对称轴的右 侧，
8、已知点A（3，a）在二次函数y=x2的图像上。 (1)求a的值； (2)点B（3，-a）在二次函数y=x2的图像上吗？ 思考: 9、已知二次函数y=-x2. (1)当-2<x<3时,求y的取值范围; (2)当-4<y<-1时,求x的取值范围. 10、已知抛物线y=ax2过M（-2，-2） （1）求出这个函数关系式并画出函数图象。 （2）写出抛物线上与点M关于y轴对称的点N的 坐标，并求出△MON的面积。
九年级数学第二章二次函数y=ax2(a≠0)的图象与性质
二次函数y=ax2(a≠0)的图象与性质【学习目标】1．经历探索二次函数y=ax2和y=ax2＋c的图象的作法和性质的过程，进一步获得将表格、表达式、图象三者联系起来的经验．2．会作出y=ax2和y=ax2＋c的图象，并能比较它们与y=x2的异同，理解a与c对二次函数图象的影响．3．能说出y=ax2＋c与y=ax2图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．4．体会二次函数是某些实际问题的数学模型．5.掌握二次函数y=ax2(a≠0)与y=ax2+c (a≠0)的图象之间的关系.【要点梳理】要点一、二次函数y=ax2（a≠0）的图象与性质1.二次函数y=ax2(a≠0)的图象二次函数y=ax2的图象（如图），是一条关于y轴对称的曲线，这样的曲线叫做抛物线.抛物线y=ax2（a≠0）的对称轴是y轴，它的顶点是坐标原点.当a＞ 0时，抛物线的开口向上，顶点是它的最低点；当a＜0时，抛物线的开口向下，顶点是它的最高点.2.二次函数y=ax2(a≠0)的图象的画法——描点法描点法画图的基本步骤：列表、描点、连线.（1）列表：选择自变量取值范围内的一些适当的x的值，求出相应的y值，填入表中.（自变量x 的值写在第一行，其值从左到右，从小到大.）（2）描点：以表中每对x和y的值为坐标，在坐标平面内准确描出相应的点.一般地，点取的越多，图象就越准确.（3）连线：按照自变量的值由小到大的顺序，把所描的点用平滑的曲线连结起来.要点进阶：（1）用描点法画二次函数y=ax2（a≠0）的图象时，应在顶点的左、右两侧对称地选取自变量x的值，然后计算出对应的y值.（2）二次函数y=ax 2(a≠0)的图象，是轴对称图形，对称轴是y 轴．y=ax 2(a≠0)是最简单的二次函数.（3）画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点. 3.二次函数y=ax 2(a ≠0)的图象的性质二次函数y=ax 2（a≠0）的图象的性质，见下表： 函数 图象 开口方向 顶点坐标 对称轴 函数变化 最大（小）值y=ax 2a ＞0向上 （0，0） y 轴 x ＞0时，y 随x 增大而增大； x ＜0时，y 随x 增大而减小.当x=0时，y 最小=0y=ax 2a ＜0向下 （0，0） y 轴 x ＞0时，y 随x 增大而减小； x ＜0时，y 随x 增大而增大.当x=0时，y 最大=0要点进阶：顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. │a │相同，抛物线的开口大小、形状相同.│a │越大，开口越小，图象两边越靠近y 轴，│a │越小，开口越大，图象两边越靠近x 轴. 要点二、二次函数y=ax 2+c(a ≠0)的图象与性质 1.二次函数y=ax 2+c(a ≠0)的图象 （1）0a >j xOy()20y ax c c =+>cjyxOc()20y ax c c =+<（2）0a <2.二次函数y=ax 2+c(a ≠0)的图象的性质关于二次函数2(0)y ax c a =+≠的性质，主要从抛物线的开口方向、顶点、对称轴、函数值的增减性以及函数的最大值或最小值等方面来研究．下面结合图象，将其性质列表归纳如下：函数2(0,0)y ax c a c =+>> 2(0,0)y ax c a c =+<>图象开口方向 向上 向下 顶点坐标 (0，c) (0，c) 对称轴y 轴y 轴函数变化当0x >时，y 随x 的增大而增大；当0x <时，y 随x 的增大而减小.当0x >时，y 随x 的增大而减小；当0x <时，y 随x 的增大而增大.最大（小）值当0x =时，y c =最小值当0x =时，y c =最大值3.二次函数()20y axa =≠与()20y ax c a =+≠之间的关系j yxOc()20y ax c c =+>j y xOc()20y ax c c =+<()20y ax a =≠的图象向上（c ＞0）【或向下（c ＜0）】平移│c │个单位得到()20y ax c a =+≠的图象. 要点进阶：抛物线2(0)y ax c a =+≠的对称轴是y 轴，顶点坐标是(0，c)，与抛物线2(0)y ax a =≠的形状相同．函数2(0)y ax c a =+≠的图象是由函数2(0)y ax a =≠的图象向上（或向下）平移||c 个单位得到的，顶点坐标为(0，c)．抛物线y ＝ax 2(a ≠0)的对称轴、最值与顶点密不可分，其对称轴即为过顶点且与x 轴垂直的一条直线，其顶点横坐标x ＝0，抛物线平移不改变抛物线的形状，即a 的值不变，只是位置发生变化而已．【典型例题】类型一、二次函数y=ax 2（a ≠0）的图象与性质例1．已知a≠0，在同一直角坐标系中，函数y=ax 与y=ax 2的图象有可能是（ ）A ．B ．C ．D ．举一反三：【变式】在同一平面直角坐标系中，一次函数y ax c =+与二次函数2y ax c =+的图象大致为（ ）．例2.根据下列条件求a 的取值范围：(1)函数y ＝(a-2)x 2，当x ＞0时，y 随x 的增大而减小，当x ＜0时，y 随x 的增大而增大； (2)函数y ＝(3a-2)x 2有最大值； (3)抛物线y ＝(a+2)x 2与抛物线212y x =-的形状相同； (4)函数2a ay ax +=的图象是开口向上的抛物线．举一反三：【变式】二次函数y ＝mx 22-m 有最高点，则m ＝___________．例3. 二次函数223y x =的图象如图所示，点A 0位于坐标原点，点A 1，A 2，A 3，…，A 2013在y 轴的正半轴上，点B 1，B 2，B 3，…，B 2013在二次函数223y x =位于第一象限的图象上，若△A 0B 1A 1，△A 1B 2A 2，△A 2B 3A 3，…，△A 2012B 2013A 2013都为等边三角形，求△A 2012B 2013A 2013的边长．类型二、二次函数y=ax 2+c(a ≠0)的图象与性质例4.关于二次函数y=2x 2+3，下列说法中正确的是（ ）A. 它的开口方向是向下；B. 当x ＜﹣1时，y 随x 的增大而减小；C. 它的对称轴是x=2；D. 当x=0时，y 有最大值是3.举一反三：【变式】如图所示，抛物线2(0)y ax c a =+<交x 轴于G 、F ，交y 轴于点D ，在x 轴上方的抛物线上有两点B 、E ，它们关于y 轴对称，点G 、B 在y 轴左侧，BA ⊥OG 于点A ，BC ⊥OD 于点C ．四边形OABC 与四边形ODEF 的面积分别为6和10，则△ABG 与△BCD 的面积之和为________．例5.有一个抛物线形的拱形隧道，隧道的最大高度为6m ，跨度为8m ，把它放在如图所示的平面直角坐标系中．（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；（2）若要在隧道壁上点P （如图）安装一盏照明灯，灯离地面高4.5m ．求灯与点B 的距离．【巩固练习】一、选择题1.若抛物线210(2)m y m x-=+的开口向下，则m 的值为( )．A ．3B ．-3C ．23D ．23-2.抛物线24y x =--的顶点坐标，对称轴分别是( )． A ．(2，0)，直线x ＝-4 B ．(-2，0)，直线x ＝4 C ．(1，3)，直线x ＝0 D ．(0，-4)，直线x ＝03.两条抛物线2y x =与2y x =-在同一坐标系内，下列说法中不正确的是（ ）A ．顶点相同B ．对称轴相同C ．开口方向相反D ．都有最小值4.关于213y x =，2y x =，23y x =的图像，下列说法中不正确的是（ ） A ．顶点相同 B ．对称轴相同 C ．图像形状相同 D ．最低点相同5．在同一直角坐标系中，函数y=kx 2﹣k 和y=kx+k （k ≠0）的图象大致是（ ）.A. B. C. D.6.图中是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l 处时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2 m ， 水面宽4 m ．如图所示建立平面直角坐标系，则抛物线的解析式是( )．A ．22y x =- B ．22y x = C ．212y x =-D ．212y x =二、填空题7.抛物线23y x =-的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ．8.将抛物线2y x =-向上平移5个单位后，得到的抛物线的解析式是____ ____．9.已知(x 1，y 1)，(x 2，y 2)是抛物线2y ax =(a ≠0)上的两点．当210x x <<时，21y y <，则a 的取值范围是________．10. 对于二次函数y=ax 2，已知当x 由1增加到2时，函数值减少4，则常数a 的值是 ．11.抛物线2y ax c =+与23y x =的形状相同，其顶点坐标为（0，1），则其解析式为 ．12．如图，⊙O 的半径为2，1C 是函数212y x =的图象，2C 是函数212y x =-的图象，则阴影部分的面积是 .三、解答题13．如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4米时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2米，水面下降1米时，水面的宽度为多少米？14.已知直线1y x =+与x 轴交于点A ，抛物线22y x =-的顶点平移后与点A 重合．(1)求平移后的抛物线C 的解析式；(2)若点B(1x ，1y )，C(2x ，2y )在抛物线C 上，且1212x x -<<，试比较1y ，2y 的大小．15. 已知正方形周长为Ccm ，面积为S cm 2． （1）求S 和C 之间的函数关系式，并画出图象； （2）根据图象，求出S=1 cm 2时，正方形的周长； （3）根据图象，求出C 取何值时，S ≥4 cm 2．。
二次函数y=ax2的图象和性质
3.(2018湖北武汉硚口期中,16,★★☆)已知点M(2,3),F
0,
1 2
,点P(m,n)为
抛物线y= 1 x2上一动点,则用含m的式子表示PF为
2
;PF+PM的最
小值是
.
答案 1 (m2+1); 7
2
2
解析 ∵点P(m,n)为抛物线y=1 x2上一动点,∴n=1 m2,
2
2
∴点P的坐标为
2
同性质:
.
答案 对称轴是y轴(或顶点是原点) 解析 ∵函数y= 1 x2的图象开口向上,对称轴为y轴,顶点坐标为(0,0);函
2
数y=x2的图象开口向上,对称轴为y轴,顶点坐标为(0,0);函数y=-x2的图象
开口向下,对称轴为y轴,顶点坐标为(0,0),∴三个函数的共同性质为:对
称轴是y轴,顶点是原点.
例 已知y=(k+1) xk22 是关于x的二次函数. (1)求满足条件的k的值; (2)k为何值时,抛物线有最低点?求出这个最低点.当x为何值时,y的值随x 值的增大而增大? (3)k为何值时,函数有最大值?最大值是多少?当x为何值时,y的值随x值 的增大而减小?
解析
(1)由题意,得
k
2
2
2,
解得k=±2.
k 1 0,
∴当k=±2时,原函数是二次函数.
(2)若抛物线有最低点,则抛物线的开口向上,
∴k+1>0,即k>-1,∴k=2.∴该抛物线的解析式为y=3x2,
∴抛物线的顶点坐标为(0,0),当x>0时,y随x的增大而增大.
(3)若函数有最大值,则抛物线的开口向下,∴k+1<0,∴k<-1,∴k=-2.∴抛
二次函数y=ax2 的图像和性质 课件
合作探究
探究一：二次函数y=ax2(a ＞ 0)的图象和性质 画二次函数y=x2的图象
①列表： x … -3 -2 -1 0 y… 9 4 1 0
12 14
②描点：
轴对称 图形
对称轴是 ③连线： y轴
10 y 89
y=x2
567
4
23
1
-5 -4 -3-2 -1 o 1 2 3 4 5 x
3… 9…
这是一条 抛物线
这是抛物 线的顶点
合作探究
议一议： 1、请同学们观察y=x2的图象的性质，然后分组探讨。
1.y＝x2是一条抛物线；
y
2.图象开口向上； 3.图象关于y轴对称；
4.顶点（ 0 ，0 ）； 5.图象有最低点．
O
y=x2 x
合作探究
议一议： 2、观察二次函数y=x2的图象，y随x的如何变化？
2
3
4 ···
y
1 x2 2
···
8
4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8
···
x
··· －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 ···
y 2x2 ··· 8
4.5
2
0.5 0 0.5 2 4.5 8 ···
典例精析
描点、连线，如图所示：
y 2x2
8
6
4
y 1 x2
2
2
－8
y
x2
y 2x2
合作探究
相同点：开口都向下，顶点是原点而且是抛物线的最高点，对 称轴是 y 轴；当x＜0时，y随x的增大而增大；当x＞0时，y随 x的增大而减小． 不同点：a 要越小，抛物线的开口越小。 要点归纳： 对于抛物线 y = ax2 （a ＜ 0）
二次函数y=ax2的图象和性质【完全版】
x
值随自变量增大的变化趋势不同； 最值不同；一个有最高点，一个 有最低点。
联系：它们的图象关于____轴
对称。
y=-x2
y=x2
y
练习：
若函数y=x2上一点A的横坐标是2，
则点A的坐标是____；点A关于y轴 的对称点B的坐标是______,点B在
函数y=x2上吗？______；点A关于
o
x
X轴的对称点C的坐标是______, 点C在函数y=-x2上吗？______；
1 2 （1 ）y x 4
1 2 （3）y - x 3
1 2 （2）y x 2
（4）y -3x
2
范例 例2、已知二次函数 y ax 的图形经 过点(-2，-3)。 (1)求a的值，并写出函数解析式； (2)说出函数图象的顶点坐标、对称轴、 开口方向和图象的位置；
2
3、y=kx2与y=kx－2(k≠ 0)在同一坐标系中，可能是（ B ）
1 2 (2) y x 2 2 (3) y 2 x 1
-2 -3 -4 -5 -6 2 -7 (1) (2) y x -8 2 ( 3 ) y -9 |a|越大，抛物线开口越小
y x 2 2 x
2
巩固训练
|a|越大，抛物线开口越小
.下列二次函数图像开口，按从小 到大的顺序排列为 (4),(2),(3),(1)
3、二次函数的一般形式是怎样的？
y=ax² +bx+c (a,b,c是常数,a≠ 0)
篮球投出后的运动轨迹
炮弹发射出后的运动轨迹
跳水运动员的运动轨迹
画最简单的二次函数 y = x2 的图象
解:(1) 列表 (2) 描点 (3) 连线 x y
22.1.2 二次函数y=ax2的图象和性质
3•. 单连击线此：处如编图辑，母再版用文平本滑样曲式线顺次连接各点，就得
到y =• x第2 二的级图象．
• 第三级
y
• 第四级 • 第五级
9
6
3
-4 -2 o 2 4 x
2019/9/21
5
单当击取更此多个处点编时，母函版数y标=x2的题图样象如式下：
y
• 单击此处编辑母版文本9样式
• 第二级
• 第三级
11
二单二击次函此数y处=a编x2的母性质版标题样式
问•题单1击：此观处察编图辑形母，版y随文x本的样变式化如何变化？
• 第二级
• 第三级
(-2,4)
• 第四级 (2,4)
• 第五级
(-1,1)
(1,1)
y x2
y ax2
2019/9/21
12
单击此处编母版标题样式知源自要点• 单击此处编辑母版文本样式 • 第对•二于第级三抛级物线 y = ax 2 （a＞0）
的特点.（难点• ）第五级 3.掌握形如y=ax²的二次函数图象的性质，并会应用.
（难点）
2019/9/21
2
导入新课
单击此处编母版标题样式
情境引入
• 单击此处编辑母版文本样式
• 第二级
• 第三级
• 第四级 • 第五级
2019/9/21
3
讲授新课
一单二击次函此数处y=a编x2的母图象版标题样式
典例精析
边空白部分面积，
∴S阴影部分面积之和＝2×8＝16.
2019/9/21
28
单击此处编母版标题样式
方法总结
• 单击二此次处函编数辑y＝母a版x2的文图本象样关式于y轴对称，因此左 右两• 部第二分级折叠可以重合，在二次函数比较大小中，
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10 8 6 4 2
-4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 x -2
?(3)图象与x轴有交点吗？如果有,交点坐标是什么?
?(4)在对称轴左侧,随着x值的增大,y 的值如何变化？ 在对称轴右侧呢？
?(5)当x取什么值时,y的值最小?最小值是什么？你是
如何知道的？
y
y=x2
10
8 6 4
y ? x2
1.
5
1
0.
5
-
2
-
1
1
2
函数y=ax2(a≠0)的图象和性质 １.顶点坐标与对称轴 ２.位置与开口方向 ３.增减性与最值 y
y=x2
O
x
y O
x
y=-x2
二次函数y=ax2 (a≠0）的性质
1.抛物线y=ax2的顶点是原点，对称轴是y轴。
2.当a>0时，抛物线y=ax2在x轴的上方(除顶点外)，它的开口向上， a越大，开口越小，并且向上无限伸展；
当x=-3时，y=9
4
在对称当轴x的=-左2时侧，时y,=4 y随着x的增大而减小.
2
-4 -3 -2 -1 O -2
y=x2
在y随对当当着称xxx==的轴23时时增的，，大右yy而侧==49增时大, .
1 23 4 x
抛物线y=x2在x轴的上方(除顶点外), 顶点是它的最低点,开口向上,并且向 上无限伸展;当x=0时,函数y的值最小, 最小值是0.
开口方向
向上
向下
增减性
在对称轴的左侧,y随着x的增大 在对称轴的左侧,y随着x的增大
而减小. 在对称轴的右侧, y随 而增大. 在对称轴的右侧, y随
着x的增大而增大.
着x的增大而减小.
最值
当x=0时,最小值为0.
当x=0时,最大值为0.
y=x 2与y=2x 2的图象
3.
5
3
y ? 2x2
2.
5
2
2
-4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 x -2
二次函数y=x2的图象形如物体抛射时所经过 的路线,我们把它叫做抛物线.
y y=x2
10
8
这条抛物线关于
6
y轴对称,y轴就 是它的对称轴.
4
2
-4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 x -2
对称轴与抛物线的交点叫
做抛物线的顶点.
y
10
8
6
26.2 二次函数的图象与性质 y=ax 2
什么叫二次函数?
函数y=ax2+bx+c (a、b、c是常数，a≠ 0) 叫做 x 的二次函数 .
我们学过用什么方法画函数的图象?主要有 哪些步骤?
用描点法画二次函数 y=x2的图象 观察y=x2的表达式，选择适当 x值，并计算相应 的y值，完成下表：
当a<0时，抛物线y=ax2在x轴的下方(除顶点外)，它的开口向下， a越大，开口越大，并且向下无限伸展。
3.当a>0时，在对称轴的左侧，y随着x的增大而减小；在对称轴右侧， y随着x的增大而增大。当x=0时函数y的值最小； 当a<0时，在对称轴的左侧,y随着x 的增大而增大，在对称轴的右侧， y随着x增大而减小，当x=0时函数y的值最大。
顶点是它的最高点,开口向下,并且向下
无限伸展;当x=0时,函数y的值最大,
最大值是0.
y
2
O -4 -3 -2 -1
1 2 3 4x
-2
-4
在对称轴的左侧时,
-6
y随着x的增大而增大.
当x= -3时,y= -9
-8
当x= -2时,y= -4
-10
y=-x2
在对称轴的右侧时,
y随着当xx的=1增时大,y=而-1减小.
描点,连线
y
2 O -4 -3 -2 -1
12 3 4 x
-2
-4
-6
y=-x2
-8
-10
y
2 O -4 -3 -2 -1
1 2 3 4x
-2
这条抛物线关于y轴对称, y轴就是它的对称轴.
-4 对称轴与抛物线的交点
-6 叫做抛物线的顶点.
y=-x2
-8
-10
抛物线y= -x2在x轴的下方(除顶点外),
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=x2 … 9 4 1 0 1 4 9 …
描点,连线 y 10 8 6 4 2
-4 -3 -2 -1 O -2
y=x2 123 4 x
观察图象，回答问题
?(1)你能描述图象的形状吗?与同伴进行交流. ?(2)图象是轴对称图形吗？如果是 ,它的对称轴是什么? 请你找出几对对称点,并与同伴交流.
用描点法画二次函数 y=-x2的图象
（1）填表 x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=-x2 … -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 … （2）它与二次函数y=x2的图象有什么关系？你能根据表 格中的数据作出猜想吗？
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=x2 … 9 4 1 0 1 4 9 …
当x= 2时,y= -4
比较二次函数 y=x2和 y= –x2图象的异同
5 4
y ? x2
3 2 1
-
6
-
4
-
2
2
4
6
-
1
-
2Hale Waihona Puke -3y ? ? x2
-
4
-
5
y=x 2与y=-x 2的图象
抛物线 顶点坐标
y=x2
（0，0）
y=x2
（0，0）
坐标轴
y轴
y轴
位置
在x轴的上方(除顶点外)
在x轴的下方( 除顶点外)