甘肃省兰州第一中学2017-2018学年高二下学期期末考试数学(文)试题 Word版含答案

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甘肃省兰州第一中学2017-2018学年高二下学期期末考试数学(文)试题含答案

兰州一中2017-2018-2学期高二年级期末考试试题数学（文）说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡．第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．直线3x －y ＋3＝0的倾斜角为 A ．30°B ． 60°C ． 120°D ．150°2．设集合{|22}A x x =-≤≤，集合2{|230}B x x x =-->，则A B =A ．(,1)(3,)-∞-+∞B ．(1,2]-C ．[2,1)--D ．(,2](3,)-∞+∞ 3．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足41020a a +=，则13S = A ．130B ．150C ．200D ．2604．若命题“∃∈0x R ，使得01)1(020<+-+x a x ”是真命题，则实数a 的取值范围是 A ．(－1，3) B ．[－1，3] C ．(,1)(3,)-∞-+∞ D ．(,1][3,)-∞-+∞ 5. 已知 2.10.5a =，0.52b =， 2.10.2c =，则a 、b 、c 的大小关系是A ． a c b <<B ．a b c <<C ．b a c <<D ．c a b << 6．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下面结论中不正确的是A . 新农村建设后，种植收入减少B . 新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C ．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D ．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半7．已知向量，a b 满足2=|a |=|b |，2⋅-=-（）a b a ，则|2|-=a b A ． 2B ．C ． 4D ．88．若执行下面的程序框图，输出S 的值为3，则判断框中应填入的条件是A ． ?7<kB ． ?6<kC ．?9<kD ．?8<k9．已知实数y x ,满足24122x y x y x y +≥⎧⎪-≥⎨⎪-≤⎩，则2z x y =+的最小值是A ． 2B ．2-C ．4D ． 4-10．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为A ．2B ．3C ．D ． 11．已知函数()cos(2))f x x x ϕϕ=--（||2πϕ<）的图象向右平移12π个单位后关于y 轴对称，则ϕ的值为A ．12π B ．6π C ．3π- D ．3π 12．已知函数20()12xx f x x x -⎧≥⎪=+⎨⎪<⎩，则不等式2(2)(2)f x x f x -<的解集为A ． (,0)(4,)-∞+∞B ．(,0)(2,)-∞+∞C ．(,2)-∞D ．(2,4)第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．已知lg lg 1x y +=，则的最小值是． 14．若直线1:m 60l x y ++=与直线2:(m 2)320l x y m -++=平行，则实数m 的值为．15．已知定义在实数集R 上的偶函数()f x 在区间(,0]-∞上是减函数，则不等式(1)(ln )f f x -<的解集是．16．半径为4的球的球面上有四点A ,B ,C ,D ，已知ABC ∆为等边三角形且其面积为39，则三棱锥D ABC -体积的最大值为．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题10分）已知在等比数列}{n a 中，11=a ，且2a 是1a 和13-a 的等差中项．（Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列}{n b 满足)(12*N n a n b n n ∈+-=，求数列}{n b 的前n 项和n S ． 18．（本小题12分）已知函数()4cos sin()16f x x x π=+-．（Ⅰ）求()x f 的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）求()x f 在区间,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值及取得最大值时x 的值．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c，已知tan cos cos )c C a B b A +. （Ⅰ）求角C ；（Ⅱ）若点D 在边BC 上，且4AD CD ==，ABD ∆的面积为c . 20．（本小题12分）某校高三课外兴趣小组为了解高三同学高考结束后是否打算观看2018年足球世界杯比赛的情况,从全校高三年级1500名男生、1000名女生中按分层抽样的方式抽取125名学生进行问卷调查,情况如下表:（Ⅰ）求出表中数据m ，n ；（Ⅱ）判断是否有99%的把握认为观看2018年足球世界杯比赛与性别有关；（Ⅲ）)为了计算“从10人中选出9人参加比赛”的情况有多少种，我们可以发现：它与“从10人中选出1人不参加比赛”的情况有多少种是一致的.现有问题：在打算观看2018年足球世界杯比赛的同学中有5名男生、2名女生来自高三（5）班，从中推选5人接受校园电视台采访，请根据上述方法，求被推选出的5人中恰有四名男生、一名女生的概率. 附：22(),()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++21．（本小题12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PD DA ⊥,PD DC ⊥.（Ⅰ）若E 是PA 的中点，求证：PC ∥平面BED ；（Ⅱ）若4PD AD ==，PE AE =，求三棱锥A BED -的高.已知直线l ：0x y ++=，半径为4的圆C 与直线l 相切，圆心C 在x 轴上且在直线l 的右上方.（Ⅰ）求圆C 的方程；（Ⅱ）过点M (2，0)的直线与圆C 交于A ，B 两点(A 在x 轴上方)，问在x 轴正半轴上是否存在定点N ，使得x 轴平分∠ANB ？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由.兰州一中2017-2018-2学期高二年级期末试题答案数学（文）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．2 14．1- 15．()10,,e e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭16．318三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题10分）已知在等比数列}{n a 中，11=a ，且2a 是1a 和13-a 的等差中项．（Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列}{n b 满足)(12*N n a n b n n ∈+-=，求数列}{n b 的前n 项和n S ．解：（Ⅰ）设公比为，则，，∵是和的等差中项，∴，，解得或（舍），∴． ..........................5分（Ⅱ），则．................10分22．（本小题12分）已知函数()4cos sin()16f x x x π=+-．（Ⅰ）求()x f 的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）求()x f 在区间,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值及取得最大值时x 的值．解：（Ⅰ）因为()4cos sin f x x =()16x π+-1cos 21sin 23cos 4-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅=x x x222cos 12cos22sin 26x x x x x π⎛⎫=+-=+=+ ⎪⎝⎭....................4分故()f x 最小正周期为π. ................................................................................5分由222262k x k πππππ-≤+≤+得36k x k ππππ-≤≤+故()f x 的单调递增区间是,,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦． ................................ 8分（Ⅱ）因为64x ππ-≤≤，所以22663x πππ-≤+≤．于是，当262x ππ+=，即6x π=时，()f x 取得最大值2............................12分23．（本小题12分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c，已知tan cos cos )c C a B b A +. （Ⅰ）求角C ；（Ⅱ）若点D 在边BC 上，且4AD CD ==，ABD ∆的面积为c . 解：（Ⅰ）由tan cos cos )c C a B b A =+及正弦定理可得sin tan cos sin cos )C C A B B A =+，故sin tan )C C A B =+，而sin sin()0C A B =+>，所以tan C =3C π=. ...............................6分（Ⅱ）由4AD CD ==及3C π=可得ACD ∆是正三角形.由ABD ∆的面积为12sin 23AD BD π⋅⋅=142BD ⨯⨯= 故8BD =，在ABD ∆中，由余弦定理可得222248248cos1123c π=+-⨯⨯⨯=，即c =12分 24．（本小题12分）某校高三课外兴趣小组为了解高三同学高考结束后是否打算观看2018年足球世界杯比赛的情况,从全校高三年级1500名男生、1000名女生中按分层抽样的方式抽取125名学生进行问卷调查,情况如下表:（Ⅰ）求出表中数据m ，n ；（Ⅱ）判断是否有99%的把握认为观看2018年足球世界杯比赛与性别有关；（Ⅲ）为了计算“从10人中选出9人参加比赛”的情况有多少种，我们可以发现：它与“从10人中选出1人不参加比赛”的情况有多少种是一致的.现有问题：在打算观看2018年足球世界杯比赛的同学中有5名男生、2名女生来自高三（5）班，从中推选5人接受校园电视台采访，请根据上述方法，求被推选出的5人中恰有四名男生、一名女生的概率.附：2(),()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++解：（Ⅰ）根据分层抽样方法抽得女生50人，男生75人，所以m =50-20=30(人)， n =75-25=50(人) ………………………………………………………………3分（Ⅱ）因为22125(20253050)8.66 6.635(2030)(5025)(2050)(3025)K ⨯-⨯=≈>++++，所以有99%的把握认为观看2018年足球世界杯比赛与性别有关.………………………………………7分（Ⅲ）设5名男生分别为A 、B 、C 、D 、E ，2名女生分别为a 、b ，由题意可知从7人中选出5人接受电视台采访，相当于从7人中挑选2人不接受采访，并且2人中恰有一男一女.而从7人中挑选2人的所有可能的结果为{A ,B }{A ,C }{A ,D }{A ,E }{A ,a }{A ,b }{B ,C }{B ,D }{B ,E }{B ,a }{B ,b }{C ,D }{C ,E }{C ,a } {C ,b }{D ,E }{D ,a }{D ,b }{E ,a }{E ,b }{a ,b }，共21种，其中恰为一男一女的包括，{A ,a }{A ,b }{B ,a }{B ,b }{C ,a }{C ,b }{D ,a }{D ,b }{E ,a }{E ,b },共10种. 因此所求概率为1021P =. ………………………………………12分25．（本小题12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PD DA ⊥,PD DC ⊥. （Ⅰ）若E 是PA 的中点，求证：PC ∥平面BED ；（Ⅱ）若4PD AD ==，PE AE =，求点A 到平面BED 的距离. 解：（Ⅰ）设AC 交BD 于G ,连接EG . 在正方形ABCD 中，G 为AC 中点，则在三角形ACP 中,中位线 EG ∥PC ,又EG ⊂平面BED ,PC ⊄平面BED , ∴PC ∥平面BED . ............5分（Ⅱ）在PAD ∆中，设AD 的中点为O ，连接EO ，则122EO PD ==，且EO ∥PD 又∵PD DA ⊥,PD DC ⊥，∴PD ⊥平面ABCD . ∴EO ⊥平面ABCD . 又4PD AD ==，∴DE AE DB BE ====∴ 三角形BED 为直角三角形.又∵A BDE E ABD V V --=，（设三棱锥A BED -的高为h ） ∴1133ABD BDE S EO S h ∆∆⨯=⨯，∴11114423232h ⨯⨯⨯⨯=⨯⨯，解得h =. 所以点A 到平面BED的距离为. ............12分26．（本小题12分）已知直线l：0x y ++=，半径为4的圆C 与直线l 相切，圆心C 在x 轴上且在直线l 的右上方.（Ⅰ）求圆C 的方程；（Ⅱ）过点M (2，0)的直线与圆C 交于A ，B 两点(A 在x 轴上方)，问在x 轴正半轴上是否存在定点N ，使得x 轴平分∠ANB ？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由. 解：（Ⅰ）设圆心C (a ，0)(a >-，4=⇒a ＝0或a＝-(舍).所以圆C 的方程为x 2＋y 2＝16. .........................4分（Ⅱ）当直线AB ⊥x 轴时，x 轴平分∠ANB .当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －2)，假设N (t ，0) (0)t >符合题意，又设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由22(2)16y k x x y =-⎧⎨+=⎩得(k 2＋1)x 2－4k 2x ＋4k 2－16＝0，所以x 1＋x 2＝2241k k +，x 1x 2＝224161k k -+. .....................................................6分若x 轴平分∠ANB ，则k AN ＝－k BN …………8分即 y 1x 1－t ＋y 2x 2－t ＝0⇒11(2)k x x t --＋22(2)k x x t--＝0⇒2x 1x 2－(t ＋2)(x 1＋x 2)＋4t ＝0⇒222(416)1k k -+－224(t 2)1k k ++＋4t ＝0⇒t ＝8. …………11分所以存在点N 为(8，0)时，能使得∠ANM ＝∠BNM 总成立. ……………12分。

甘肃省兰州第一中学2017-2018学年高二下学期第一次月考数学(文)Word版含解析

甘肃省兰州第一中学2017-2018学年高二下学期第一次月考数学（文）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第I 卷（选择题）一、单选题1．有一机器人的运动方程为s (t )＝t 2＋(t 是时间，s 是位移)，则该机器人在时刻t ＝2时的瞬时速度为( )A.B.C.D.2．函数cos sin y x x x =-的导数为（） A ．cos x x B ．sin x x -C ．sin x x D ．cos x x -3．设曲线在x ＝0处的切线方程为2x －y ＋1＝0，则a ＝( )A. 0B. 1C. 2D. 3 4．设函数f （x ）=２ｘ+ln x ，则（）A. x =１２为f (x )的极大值点 B. x =１２为f (x )的极小值点C. x =2为f (x )的极大值点D. x =2为f (x )的极小值点5．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是( ) A. (－1，2) B. (－∞，－3)∪(6，＋∞) C. (－3，6) D. (－∞，－1)∪(2，＋∞)6．若函数的导函数．．．在区间上是增函数，则函数在区间上的图象可能是（）A.B.C.D.7．若，则下列不等式成立的是（） A.B.C.D.8．为曲线上一动点, 为直线上一动点, 则的最小值为 ( )A. 0B.C. D. 29．设函数在区间[a －1，a ＋1]上单调递减，则实数a 的取值范围是( ) A. (1，2] B. (4，＋∞] C. [－∞，2) D. (0，3]10．若函数在区间上是减函数，在区间上是增函数，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.11．函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )此卷只装订不密封班级姓名准考证号考场号座位号A. B. C. D.12．已知y＝f(x)是可导函数，如图，直线y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝()A. －1B. 0C. 2D. 4第II卷（非选择题）二、填空题13．过曲线上两点和作割线，当时，割线AB的斜率为____.14．设函数，则f(x)的最大值为________.15．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为_______.16．定义域在R上的可导函数y＝f(x)的导函数为，满足，且，则不等式的解集为___________.三、解答题17．已知函数，若函数的图象关于直线x＝－对称，且.(1)求实数a，b的值；(2)求函数在区间[－3，2]上的最小值．18．已知函数.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)已知、, (其中是自然对数的底数), 求证：.19．已知函数. 求f(x)的单调区间和极值.20．已知函数f(x)＝e x－x2＋2ax.(1)若a＝1，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)若f(x)在R上单调递增，求实数a的取值范围.21．已知函数f(x)＝(2－a)x－2(1＋ln x)＋a，若函数f(x)在区间上无零点，求实数a的最小值.22．已知(1)当时，求在定义域上的最大值；(2)已知在上恒有，求的取值范围.甘肃省兰州第一中学2017-2018学年高二下学期第一次月考数学（文）答案1．D【解析】由题意知，机器人的速度方程为v (t )＝s ′(t )＝2t －，故当t ＝2时，机器人的瞬时速度为v (2)＝2×2－.本题选择D 选项. 2．B 【解析】试题分析：x x x x x x y sin cos sin cos -=--='，故选B. 考点：函数的导数的计算公式 3．D【解析】，，当x ＝0时，y ′＝a －1.故曲线在x ＝0处的切线方程为2x －y ＋1＝0，即：，从而a －1＝2，即a ＝3. 本题选择D 选项. 4．D【解析】函数的定义域为，由函数的解析式可得，求解不等式可得，故函数在区间上单调递增；求解不等式可得，故函数在区间上单调递减；据此可得是函数的极小值点. 本题选择D 选项. 5．B【解析】()2'326f x x ax a =+++根据题意可得：()()()24126360a a a a ∆=-+=+->，解得6a >或3a <-，故选C.点睛：由函数的极值点的定义知，首先满足函数在该点处的导数值为0，其次需要导函数在该点处左右两侧的导数值异号，我们称之为导函数的“变号零点”，则为函数的极值点，所以研究函数的极值点只需研究导函数的图像能“穿过”x 轴即可.6．A【解析】因为函数的导函数在区间上是增函数，即在区间上各点处函数的变化率是递增的，故图像应越来越陡峭．由图易知选A .点睛：这是一道非常精彩的好题，题目考察了导数的概念——函数的变化率以及图像的变化规律，是以高等数学中函数图象的凹凸性为背景命制的，虽然试题的设计来源于高等数学，但考察的还是中学所学的初等数学知识．这也是近年来高考命题的一大特色．7．B【解析】令，则，令，则，故单调递减，，据此可得，函数在区间上单调递减，故当时，，即，即.本题选择B 选项. 8．C【解析】如图，直线l 与y =lnx 相切且与y =x +1平行时，切点P 到直线y =x +1的距离|PQ |即为所求最小值.，令得x =1，故 .故为点与直线的距离，即：.本题选择C 选项.9．A【解析】，当，即时，有0<x ≤3，即在(0，3]上函数是减函数，从而[a －1，a ＋1]⊆(0，3]，即a －1>0且a ＋1≤3，解得1<a ≤2.实数a 的取值范围是(1，2]. 本题选择A 选项.点睛：若可导函数f (x )在指定的区间D 上单调递增(减)，求参数范围问题，可转化为f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)恒成立问题，从而构建不等式，要注意“＝”是否可以取到．10．A【解析】，令得或，结合题意和导函数(二次函数)的图像可得：，求解不等式可知实数的取值范围是.本题选择A选项.11．D【解析】由当f′（x）＜0时，函数f（x）单调递减，当f′（x）＞0时，函数f（x）单调递增，则由导函数y=f′（x）的图象可知：f（x）先单调递减，再单调递增，然后单调递减，最后单调递增，排除A，C，且第二个拐点（即函数的极大值点）在x轴上的右侧，排除B，故选D12．B【解析】由题图可知曲线y＝f(x)在x＝3处切线的斜率等于，∴f′(3)＝，∵g(x)＝xf(x)，∴g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，∴g′(3)＝f(3)＋3f′(3)，又由题图可知f(3)＝1，所以g′(3)＝1＋3×＝0.本题选择B选项.13．4.1【解析】，所以当时，AB的斜率为4.1.故答案为：4.1．14．2【解析】当x>0时，f(x)＝－2x<0；当x≤0时，f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)，当x<－1时，f′(x)>0，f(x)是增函数，当－1<x<0时，f′(x)<0，f(x)是减函数.∴f(x)≤f(－1)＝2，∴f(x)的最大值为2.15．3【解析】设圆柱的底面半径为R，母线长为l，则V＝πR2l＝27π，∴，要使用料最省，只须使圆柱的侧面积与下底面面积之和S最小.由题意，S＝πR2＋2πRl＝πR2＋2π·.∴S′＝2πR－，令S′＝0，得R＝3，面积函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，则当R＝3时，S最小.故答案为：3．点睛：求实际问题中的最大值或最小值时，一般是先设自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数的最值的方法求解，注意结果应与实际情况相结合．用导数求解实际问题中的最大(小)值时，如果函数在开区间内只有一个极值点，那么依据实际意义，该极值点也就是最值点.16．【解析】令，，可得函数在R上为减函数，又，故不等式即.不等式的解集为 .点睛：函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.17．(1) a＝3，b＝－12；(2)-6.【解析】试题分析：(1)由函数的解析式可得f′(x)＝6x2＋2ax＋b，结合二次函数的性质可得，结合f′(1)＝0可得b＝－12.(2)由(1)知f(x)＝2x3＋3x2－12x＋1，则f′(x)＝6x2＋6x－12＝6(x－1)(x＋2)．据此即可确定函数的单调性和极值，求解函数值可得f(x)在[－3，2]上的最小值为－6.试题解析：(1)f′(x)＝6x2＋2ax＋b，函数y＝f′(x)的图象的对称轴为x＝－.∵－＝－，∴a＝3. ∵f′(1)＝0，∴6＋2a＋b＝0，得b＝－12.故a＝3，b＝－12.(2)由(1)知f(x)＝2x3＋3x2－12x＋1，f′(x)＝6x2＋6x－12＝6(x－1)(x＋2)．x，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：∵f(－3)＝10，f(1)＝－6, ∵10 >5>－6，.∴所以f(x)在[－3，2]上的最小值为－6.点睛：在解决类似的问题时，首先要注意区分函数最值与极值的区别．求解函数的最值时，要先求函数y＝f(x)在[a，b]内所有使f′(x)＝0的点，再计算函数y＝f(x)在区间内所有使f′(x)＝0的点和区间端点处的函数值，最后比较即得．18．(1) 增区间是(0,e), 减区间是；(2)证明见解析.【解析】试题分析：（1）函数的定义域为，求解导函数可得，利用导函数与原函数的单调性的关系可得f(x)的增区间是(0,e), 减区间是.（2）利用分析法，由于，则两边取对数，原问题等价于证明:，即.结合(1)中函数的单调性可得该不等式明显成立，故原命题得证.试题解析：（1）函数的定义域为，且，∴当时,, ∴函数在上是单调递减.当0<x<e时,, ∴函数在(0,e)上是单调递增.∴f(x)的增区间是(0,e), 减区间是.（2）∵∴要证: ，只需两边取对数证明:.只需证. (∵)，由（1）得函数在上是单调递减.∴当时,有，即. 原命题得证.19．答案见解析【解析】试题分析：函数的定义域为(0，＋∞)，且，分类讨论有：当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)为增函数，无极值；当a>0时，f(x)在(0，a)为减函数，f(x)在(a，＋∞)为增函数，f(x)在(0，＋∞)有极小值f(a)＝lna＋1，无极大值.试题解析：，x∈(0，＋∞).20．(1) e x－y＋1＝0；(2) [ln 2－1，＋∞).【解析】试题分析：(1)由函数的解析式可得f′(1)＝e，f(1)＝e＋1，据此可得切线方程为ex－y＋1＝0.(2)f′(x)＝e x－2x＋2a，则原问题等价于a≥x－在R上恒成立，令g(x)＝x－，求导可得g(x)在(－∞，ln 2)上单调递增，在(ln 2，＋∞)上单调递减，则g(x)max＝g(ln 2)＝ln 2－1，实数a的取值范围为[ln 2－1，＋∞).试题解析：(1)函数的解析式：f(x)＝e x－x2＋2x，f′(x)＝e x－2x＋2，∴f′(1)＝e，又f(1)＝e＋1，∴所求切线方程为y－(e＋1)＝e(x－1)，即ex－y＋1＝0.(2)f′(x)＝e x－2x＋2a，∵f(x)在R上单调递增，∴f′(x)≥0在R上恒成立，∴a≥x－在R上恒成立，令g(x)＝x－，则g′(x)＝1－，令g′(x)＝0，则x＝ln 2，在(－∞，ln 2)上，g′(x)>0；在(ln 2，＋∞)上，g′(x)<0，∴g(x)在(－∞，ln 2)上单调递增，在(ln 2，＋∞)上单调递减，∴g(x)max＝g(ln 2)＝ln 2－1，∴a≥ln 2－1，∴实数a的取值范围为[ln 2－1，＋∞).21．2－4ln 2.【解析】试题分析：由题意可知f(x)<0在区间上恒成立不可能，则原问题等价于对x∈,恒成立.构造函数,则，再令，可得m(x)> 0，则l(x )在上为增函数,据此可得a∈[2−4ln2,+∞)，a的最小值为2−4ln2.试题解析：函数的解析式即：为定值，而，故f(x)<0在区间上恒成立不可能，故要使函数f(x)在上无零点，求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．只要对任意的x∈,f(x)>0恒成立,即对x∈,恒成立.令,则，再令，则,故m(x)在上为减函数,于是m(x)>m()=2−2ln2>0，从而,,于是l(x)在上为增函数,所以l(x)<l()=2−4ln2，故要使恒成立,只要a∈[2−4ln2,+∞)，综上,若函数f(x)在上无零点，则a的最小值为2−4ln2.22．(1)0；(2).【解析】试题分析：(1)函数的定义域为，当时，，据此可得函数在为增函数，在为减函数，函数的最大值为.(2)原问题等价于在上恒成立，构造函数可得，设，则，据此讨论可得是减函数，，即.试题解析：(1)函数的定义域为，当时，，，所以在为增函数，在为减函数，故当时，取最大值.(2)原问题等价于在上恒成立，设，设，所以是减函数，所以，据此可得恒成立，所以是减函数，，所以.点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，本专题在高考中的命题方向及命题角度从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数。

兰州2017-2018学年高二下学期期末考试英语试题含答案

兰州一中2017-2017-2学期期末考试高二英语第Ⅰ卷第一部分：阅读理解（共三节，满分50分）第一节（共10小题；每小题2分，满分20分）阅读下列短文，从每题所给的四个选项（A、B、C和D）中，选出最佳选项。

AThey will shake hands in their historic meeting scheduled in Singapore on Saturday, head of the Taiwan Affairs Office of the State Council said on Wednesday.The two-part meeting includes one session open to the media and another behind closed doors, said Zhang Zhijun, who is also head of the Taiwan Work Office of the Communist Party of China (CPC) Central Committee, when interviewed at the Zijinshan Summit for Entrepreneurs across the Taiwan Strait.According to Zhang, Xi Jinping and Ma Ying-jeou, as "leaders of the two sides" of the Taiwan Strait, will exchange views during the closed-door meeting.After the meeting, press conferences will be held by both sides. Later, the two leaders are expected to attend a dinner, said Zhang.Zhang said the meeting will lift cross-Strait communication to a new high.The landmark meeting is a breakthrough in face-to-face exchange and communication between the leaders across the Taiwan Strait after the relationship became strained following the events of 1949.Zhang said the meeting will improve mutual trust and allow for an exchange of opinions on handling the cross-Strait ties.In addition, the meeting will help strengthen the 1992 Consensus, which was reached in talks between the two sides in 1992 and recognizes the one-China principle, and safeguards the peaceful development of cross-Strait ties, according to Zhang.Zhang added that the scheduled meeting will also benefit regional peace and stability.Also at Wednesday's summit, Chiang Pin-kung, former chairman of the Taiwan-based Straits Exchange Foundation, hailed the upcoming meeting between the two leaders as a milestone for cross-Strait ties.Chiang said to the paper that he was sure the meeting will give a boost to the peaceful development of cross-Strait ties.1. According to the article, the meeting of the two leaders will _____.A. be held at the Zijinshan Summit for Entrepreneurs across the Taiwan StraitB. be the first face-to-face communication between people across the Taiwan StraitC. improve mutual trust and benefit regional peace and developmentD. be all open to the media2. Which of the following statements about the 1992 Consensus is not true?A. It is an agreement between China and JapanB. It recognizes the one-China principle.C. It was reached in 1992.D. It safeguards the peaceful development of cross-Strait ties.3. Which of the following can best substitute the word “hailed” in the last paragraph but one?A. was impressed withB. got well prepared forC. was concerned aboutD. sang high praise for4. Which might be the right sequence of the following events?a. The two leaders shake hands in front of the media.b. The two leaders hold press conferences.c. The two leaders exchange views during the closed-door meeting.d. The two leaders have dinner together.A. a; b; c; d B a; c; b; dC. a; d; b; cD. b; a; c; dBWe talk about people being “color-blind” but very few of us are. Even those who describe themselves as color-blind are normally just color lack. A strongly color-blind person will still be able to tell 20 different colors, compared to the 100 or so that normal-sighted people see.Pingelap, a tiny island in the Pacific, is a beautiful spot but one that has a genetic trouble. It is known as Color Blind Island because so many people who live on this remote island can only see in black and white.Not being able to see in color is bad enough. But one islander, Herrol, who’s a fisherman, also struggles in full sunlight because all he sees is a painful burnt-out image. “I find it difficult to go outside in the sun,” he says, “because when it’s sunny I cannot see to do my work. ”But if being truly color-blind is rare, why is it that around 10% of the population of Pingelap lire in a totally black and white world?Well, we know that in 1780 the population of Pingelap was all but wiped out by a tsunami. As few as 20 people survived, one of whom was the king. It’s believed he had a genetic fault that causes color-blindness and he passed this fault on to his many generations.There is one advantage. Herrol can see well, really well, in the dark. So when it gets dark, Herro1 and his friends get in their boats and hunt flying fish. They hang up flaming torches and the fish are attracted to the flames. “This type of fishing is fun,” Herrol says, “especially if we catch plenty. So even though it’s hard work we enjoy it.”5. What is Pingelap famous as?A. A tiny island．B. A color-blind islandC. A mentally troubled island．D. A beautiful island．6. What can we infer about Herrol?A. He may stay at home when it’s sunny．B. He is interested in burnt-out images．C. He likes taking photos very much．D. He doesn’t live in Pingelap any more．7. What would be the best title for the text?A. The history of PingelapB. The disadvantage of HerrolC. The island of color blindnessD. The advantage of color blindnessCMost of us don’t remember our first two or three years of life. But our earliest experiences may stick with us for years and continue to influence us well into adulthood.A study, published in Child Development, found that the type of emotional support that a child receives during the first three and a half years has an effect on education, social life and romantic relationships even 20 or 30 years later.Babies raised in supportive and caring home environments tended to do better on tests later on, and they were more likely to get higher degrees as adults. They were also more likely to get along with their classmates and feel satisfied in their romantic relationships.“It seems like, at least in these early years, the parents’ role is to communicate with the children and let them know, ‘I’m here for you when you’re upset, when you need me. And when you don’t need me, I’m your cheerleader,’” says Lee Raby, a psychologist and researcher at the University of Delaware who led the study.Raby used data collected from 243 people who participated in the Minnesota Longitudinal Study of Risk. All the participants were followed from birth until they turned 32. “Researchers went into these kids’ home at times. Other times, they brought the children and their parents to the university and observed how they communicated with each other,” says Raby.Of course, parental behavior in the early years is just one of many influences, and it’s not necessarily causing the benefits seen in the study. While summarizing the results, the researchers accounted for the participants’ s ocial status and the environment in which they grew up.Finally, they found that about 10 percent of someone’s academic achievement was connected with the quality of their home life at three. Later experiences, genetic factors and even luck explain the other 90 percent.8. The text is especially helpful for those who care about ________.A. individual experiencesB. child developmentC. human relationsD. educational background9. What can we learn about people who have had bad childhood experiences from the text?A. They don’t remember their younger days at all when growing up.B. They long for emotional support to do better at school.C. They can’t recover from separating from their parents.D. They are still affected by their earliest experiences even decades later.10. Researchers collected data mainly by ______.A. photographing the participants’ daily livesB. communicating with the participants’ parentsC. observing the participants’ behaviorD. summarizing the participan ts’ position第二节(共5小题；每小题2分，满分10分)根据短文内容，从短文后的选项中选出能填入空白处的最佳选项。

甘肃省兰州第一中学2017-2018学年高二下学期期末考试数学(文)试题(解析版)

兰州一中2017-2018-2学期高二年级期末考试试题数学（文）选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 直线x－y＋3＝0的倾斜角为A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°【答案】B【解析】分析：先求直线的斜率，再求直线的倾斜角.详解：由题得直线的斜率为所以.故答案为：B.点睛：（1）本题主要考查直线倾斜角和斜率的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2)直线ax+by+c=0(b≠0)的斜率为2. 设集合，集合，则A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：先化简集合B,再求A∪B.详解：由题得，所以A∪B=，故答案为:D.点睛：(1)本题主要考查集合的化简和并集运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2)无限集的运算一般通过数轴进行，有限集的运算一般通过韦恩图进行.3. 等差数列的前项和为，且满足，则A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：先根据等差数列的性质得到再求.详解：由题得所以.故答案为：A.点睛：（1）本题主要考查等差数列的性质和数列求和，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2)等差数列中，如果,则,特殊地，时，则，是的等差中项.4. 若命题“∃R，使得”是真命题，则实数a的取值范围是A. (－1，3)B. [－1，3]C.D.【答案】C【解析】分析:由题得，解不等式即得实数a的取值范围.详解：由题得，所以.故答案为：C.点睛：本题主要考查一元二次不等式的解和特称命题，意在考查学生对这些知识的掌握水平.5. 已知，，，则、、的大小关系是A. B. C. D.【答案】D【解析】因为幂函数在定义域内单调递增，所以，由指数函数的性质可得，故选D.【方法点睛】本题主要考查幂函数单调性、指数函数的单调性及比较大小问题，属于中档题. 解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.6. 某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下面结论中不正确的是A. 新农村建设后，种植收入减少B. 新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C. 新农村建设后，养殖收入增加了一倍D. 新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半【答案】A【解析】分析：首先设出新农村建设前的经济收入为M，根据题意，得到新农村建设后的经济收入为2M，之后从图中各项收入所占的比例，得到其对应的收入是多少，从而可以比较其大小，并且得到其相应的关系，从而得出正确的选项.详解：设新农村建设前的收入为M，而新农村建设后的收入为2M，则新农村建设前种植收入为0.6M，而新农村建设后的种植收入为0.74M，所以种植收入增加了，所以A项不正确；新农村建设前其他收入我0.04M，新农村建设后其他收入为0.1M，故增加了一倍以上，所以B项正确；新农村建设前，养殖收入为0.3M，新农村建设后为0.6M，所以增加了一倍，所以C项正确；新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的综合占经济收入的，所以超过了经济收入的一半，所以D正确；故选A.点睛：该题考查的是有关新农村建设前后的经济收入的构成比例的饼形图，要会从图中读出相应的信息即可得结果.7. 已知向量满足，，则A. 2B.C. 4D. 8【答案】B【解析】分析：先化简，求出的值，再求的值.详解：因为，所以所以.故答案为：B.8. 若执行下面的程序框图，输出的值为3，则判断框中应填入的条件是A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：根据程序框图，写出运行结果，根据程序输出的结果是S=3，可得判断框内应填入的条件．详解：根据程序框图，运行结果如下：S k第一次循环 log23 3第二次循环 log23•log34 4第三次循环 log23•log34•log45 5第四次循环 log23•log34•log45•log56 6第五次循环 log23•log34•log45•log56•log67 7第六次循环 log23•log34•log45•log56•log67•log78=log28=3 8故如果输出S=3，那么只能进行六次循环，故判断框内应填入的条件是k＜8．故答案为：D．点睛：本题考查程序框图，尤其考查循环结构，对循环体每次循环需要进行分析并找出内在规律是解题关键.9. 已知实数满足，则的最小值是A. B. C. 4 D.【答案】A【解析】分析：由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．详解：由约束条件，写出可行域如图，化z=x+2y为y=，由图可知，当直线y=过A（2，0）时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值等于z=2+2×0=2．故答案为：A．点睛：（1）本题主要考查线性规划求函数的最值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合思想方法.(2) 解答线性规划时，要加强理解，不是纵截距最小，就最小，要看函数的解析式，如：,直线的纵截距为,所以纵截距最小时，最大.10. 某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为A. 2B. 3C.D.【答案】C【解析】分析：先画出三视图对应的原图，再展开求从M到N的路径中的最短路径的长度.详解：先画出圆柱原图再展开得，由题得数形结合得M,N的最短路径为故答案为：C.点睛：（1）本题主要考查三视图和圆柱中的最值问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合的思想方法. (2)对于曲面的最值问题，由于用直接法比较困难，一般利用展开法来分析解答.11. 已知函数（）的图象向右平移个单位后关于轴对称，则的值为A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：先求出图像变换后的解析式y=2cos（2x﹣φ+）,再令﹣φ+=kπ，k∈Z，求得的值.详解：由题得函数f（x）=cos（2x﹣φ）﹣sin（2x﹣φ）=2cos（2x﹣φ+），（|φ|＜）所以函数的图象向右平移个单位后，可得y=2cos（2x﹣﹣φ+）=2cos（2x﹣φ+）的图象，由于所得图象关于y轴对称，可得﹣φ+=kπ，k∈Z，故φ=.故答案为：B.12. 已知函数，则不等式的解集为A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：先分析出函数f(x)的性质，再根据函数f(x)的图像解不等式.详解：由题得y==,所以当x≥0时，函数单调递减，所以此时当x=0时，.当x＞0时，y=2是一个常数函数，所以不等式可以化为，解之得x∈.故答案为：A.点睛：（1）本题主要考查函数的单调性和最值，考查函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力数形结合的思想方法.(2)解答本题的关键有两点，其一是分析出当x≥0时，函数单调递减，所以此时当x=0时，.其二是通过图像分析出.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知，则的最小值是_____________________．【答案】2【解析】分析：先化简已知得到xy=10,再利用基本不等式求的最小值.详解：因为，所以所以，当且仅当即x=2,y=5时取到最小值.故答案为：2.点睛：（1）本题主要考查对数运算和基本不等式，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，三者缺一不可。

甘肃省兰州第一中学2017_2018学年高二数学下学期期末考试试题文(含解析)

兰州一中学期高二年级期末考试试题数学（文）选择题：本大题共小题，每小题分，共分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．.. ° . ° . ° . °【答案】【解析】分析：先求直线的斜率，再求直线的倾斜角.详解：由题得直线的斜率为故答案为：.点睛：（）本题主要考查直线倾斜角和斜率的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平.()直线(≠)的斜率为. ，集合.【答案】【解析】分析：先化简集合,再求∪.详解：由题得，所以∪，故答案为.点睛：()本题主要考查集合的化简和并集运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平.()无限集的运算一般通过数轴进行，有限集的运算一般通过韦恩图进行.. 等差数列的前项和为，且满足，则. . . .【答案】【解析】分析：先根据等差数列的性质得到再求.详解：由题得所以.故答案为：.点睛：（）本题主要考查等差数列的性质和数列求和，意在考查学生对这些知识的掌握水平.() 等差数列中，如果,则,特殊地，时，则，是的等差中项.. 若命题“∃，使得”是真命题，则实数的取值范围是. (－，) . [－，] . .【答案】【解析】分析:由题得，解不等式即得实数的取值范围.详解：由题得，所以.故答案为：.点睛：本题主要考查一元二次不等式的解和特称命题，意在考查学生对这些知识的掌握水平. . 已知，，，则、、的大小关系是. . . .【答案】【解析】因为幂函数在定义域内单调递增，所以，由指数函数的性质可得，故选.【方法点睛】本题主要考查幂函数单调性、指数函数的单调性及比较大小问题，属于中档题. 解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.. 某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下面结论中不正确的是. 新农村建设后，种植收入减少. 新农村建设后，其他收入增加了一倍以上. 新农村建设后，养殖收入增加了一倍. 新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半【答案】【解析】分析：首先设出新农村建设前的经济收入为，根据题意，得到新农村建设后的经济收入为2M，之后从图中各项收入所占的比例，得到其对应的收入是多少，从而可以比较其大小，并且得到其相应的关系，从而得出正确的选项.详解：设新农村建设前的收入为，而新农村建设后的收入为2M，则新农村建设前种植收入为0.6M，而新农村建设后的种植收入为0.74M，所以种植收入增加了，所以项不正确；新农村建设前其他收入我0.04M，新农村建设后其他收入为0.1M，故增加了一倍以上，所以项正确；新农村建设前，养殖收入为0.3M，新农村建设后为0.6M，所以增加了一倍，所以项正确；新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的综合占经济收入的，所以超过了经济收入的一半，所以正确；故选.点睛：该题考查的是有关新农村建设前后的经济收入的构成比例的饼形图，要会从图中读出相应的信息即可得结果.. 已知向量满足，，则. . . .【答案】【解析】分析：先化简，求出的值，再求的值.详解：因为，所以所以.故答案为：.. 若执行下面的程序框图，输出的值为，则判断框中应填入的条件是. . . .【答案】【解析】分析：根据程序框图，写出运行结果，根据程序输出的结果是，可得判断框内应填入的条件．详解：根据程序框图，运行结果如下：第一次循环第二次循环•第三次循环••第四次循环•••第五次循环••••第六次循环•••••故如果输出，那么只能进行六次循环，故判断框内应填入的条件是＜．故答案为：．点睛：本题考查程序框图，尤其考查循环结构，对循环体每次循环需要进行分析并找出内在规律是解题关键.. 已知实数满足，则的最小值是. . . .【答案】【解析】分析：由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．详解：由约束条件，写出可行域如图，化为，由图可知，当直线过（，）时，直线在轴上的截距最小，有最小值等于×．故答案为：．点睛：（）本题主要考查线性规划求函数的最值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合思想方法.() 解答线性规划时，要加强理解，不是纵截距最小，就最小，要看函数的解析式，如：,直线的纵截距为,所以纵截距最小时，最大.. 某圆柱的高为，底面周长为，其三视图如右图．圆柱表面上的点在正视图上的对应点为，圆柱表面上的点在左视图上的对应点为，则在此圆柱侧面上，从到的路径中，最短路径的长度为. . 3 . .【答案】【解析】分析：先画出三视图对应的原图，再展开求从到的路径中的最短路径的长度.详解：先画出圆柱原图再展开得，由题得数形结合得的最短路径为故答案为：.点睛：（）本题主要考查三视图和圆柱中的最值问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合的思想方法. ()对于曲面的最值问题，由于用直接法比较困难，一般利用展开法来分析解答.. 已知函数（）的图象向右平移个单位后关于轴对称，则的值为. . . .【答案】【解析】分析：先求出图像变换后的解析式（﹣φ）,再令﹣φπ，∈，求得的值.详解：由题得函数（）（﹣φ）﹣（﹣φ）（﹣φ），（φ＜）所以函数的图象向右平移个单位后，可得（﹣﹣φ）（﹣φ）的图象，由于所得图象关于轴对称，可得﹣φπ，∈，故φ.故答案为：.. 已知函数，则不等式的解集为. . . .【答案】【解析】分析：先分析出函数()的性质，再根据函数()的图像解不等式.详解：由题得,所以当≥时，函数单调递减，所以此时当时，.当＞时，是一个常数函数，所以不等式可以化为，解之得∈.故答案为：.点睛：（）本题主要考查函数的单调性和最值，考查函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力数形结合的思想方法.()解答本题的关键有两点，其一是分析出当≥时，函数单调递减，所以此时当时，.其二是通过图像分析出.二、填空题：本大题共小题，每小题分，共分.. 已知，则的最小值是．【答案】【解析】分析：先化简已知得到,再利用基本不等式求的最小值.详解：因为，所以所以，当且仅当即时取到最小值.故答案为：.点睛：（）本题主要考查对数运算和基本不等式，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.() 利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，三者缺一不可。

甘肃省兰州第一中学2017-2018学年高二数学下学期期末考试试题理(含解析)

兰州一中2017-2018-2学期高二年级期末考试试题数学附：第Ⅰ卷（选择题）一、选择题（本大题共12 小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上．．．．．．．．．．．．.）1. 5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有( )A. 10种B. 20种C. 25种D. 32种【答案】D【解析】试题分析：如果不规定每个同学必须报名，则每人有3个选择。

报名方法有3×3×3×3×3＝243种。

如果规定每个同学必须报名。

则每人只有2个选择。

报名方法有2×2×2×2×2＝32种。

考点：排列、组合．2. 袋中有大小相同的红球6个，白球5个，从袋中每次任意取出1个球，取后不放回直到取出的球是白球为止，所需要的取球次数为随机变量，则的可能取值为( )A. 1，2，3，…，6B. 1，2，3，…，7C. 0，1，2，…，5D. 1，2，3，…，5【答案】B【解析】从袋中每次任意取出一个球，直到取出的球是白色为止，所需要的取球次数为随机变量X，则有可能第一次取出球，也有可能取完6个红球后才取出白球.3. 若随机变量的分布列如下表：-2 -1 0 1 2 30.1 0.2 0.2 0.3 0.1 0.1则当时，实数的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：根据概率为0.8，确定实数的取值范围详解：因为，所以实数的取值范围为选C.点睛：本题考查分布列及其概率，考查基本求解能力.4. 世界杯参赛球队共32支，现分成8个小组进行单循环赛，决出16强(各组的前2名小组出线)，这16个队按照确定的程序进行淘汰赛，决出8强，再决出4强，直到决出冠、亚军和第三名、第四名，则比赛进行的总场数为( )A. 64B. 72C. 60D. 56【答案】A【解析】分析：先确定小组赛的场数，再确定淘汰赛的场数，最后求和.详解：因为8个小组进行单循环赛，所以小组赛的场数为因为16个队按照确定的程序进行淘汰赛，所以淘汰赛的场数为因此比赛进行的总场数为48+16=64，选A.点睛：本题考查分类计数原理，考查基本求解能力.5. 的展开式中的系数是( )A. 42B. 35C. 28D. 21【答案】D【解析】分析：先根据通项公式确定代入求系数.详解：因为，所以的系数是,选D.。

甘肃省兰州新区2017-2018学年高二数学下学期期末考试试题文

2017-2018学年度第二学期期末考试高二年级数学(文科)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将所选答案写在答题卡上)1．集合{}4,3,2A ={}63B ，=则=B A （） A.{}43,2， B.{}6,3,2 C.{}6,4,3,2 D.{}6,4,3 2.计算 2i -的值为（） A.1 B.1- C.3 D.03．在等差数列{}n a 中，12a 15a a 754==+，，则=2a （） A. 3B.3-C.23D.23-4.函数()⎪⎭⎫⎝⎛+=3x 2sin x f π的最小正周期是( )5．函数()2x 3-x x f 2+=的零点的个数为（） A ．3 B ．2 C ．1 D ．06l 的倾斜角为（） A ． 150 B ． 120 C ． 60 D ． 30 7. 已知53sin =α，54cos =α，则=α2sin （） A.57 B.512 C.2512 D.25248.在△ABC 中，0＜⋅，则△ABC 是（）A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.等边三角形 9.如图所示，该程序框图是已知直角三角形的两直角边a 、b ，求斜边c 的算法，其中正确的是( )10. 甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是21，乙获胜的概率是31，则甲不输的概率是（） A ．65 B ．32 C ．61 D ．2111. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A.πB.2πC.4πD.8π12. 已知7tan =α，求αααα223cos cos sin sin ++ 的值为（）A.5056B.5057C.5058D.5059二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．抛物线x 2y 2=的准线方程为． 14．右图所示茎叶统计图表示某城市一台自动售货机的销售额情况，那么这组数据的极差是_____．15. 已知向量a ，b1=2=，且()⊥+，则a 与b的夹角为．16. 若变量,x y 满足约束条件200220x y x y x y +⎧⎪-⎨⎪-+⎩≥≤≥，则2z x y =-的最小值等于．三解答题（本大题共6小题，共70分） 17.（每小题6分，本题满分12分）(1) 计算：883-41n m ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛.(2) 比较大小：8.1log 0.5，7.2log 0.5.19.（本小题满分12分）已知某中学高三文科班学生共有800人参加了数学与地理的水平测试，现学校决定利用随机数表法从中抽取100人进行成绩抽样统计．先将800人按001，002，…，800进行编号．(1)如果从第8行第7列的数开始向右读，请你依次写出最先检测的3个人的编号；(下面摘取了第7行至第9行)84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 60 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 7933 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54 (2)抽取出100人的数学与地理的水平测试成绩如表所示，成绩分为优秀、良好、及格三个等级；横向、纵向分别表示数学成绩与地理成绩，例如：表中数学成绩为良好的共有20＋18＋4＝42人．若在该样本中，数学成绩优秀率是30%，求a ，b 的值；20．（本小题满分12分）已知函数()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=6x 2sin 3x f π. （1）求函数()x f 的最值；（2）判断函数()x f 的单调区间.21.（本小题满分12分）一个圆经过点A （5,0）与B （-2,1），圆心在直线x-3y-10=0上，求此圆的方程.[选修4-4：坐标系与参数方程]22. (本小题满分10分)已知在直角坐标系xOy 中，圆的参数方程为⎩⎨⎧=+=θθsin 2cos 21y x （θ为参数）．（1）将圆C 的参数方程转化为直角坐标方程；（2）以原点为极点、x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C 的极坐标方程.2016－2017学年度第二学期期末考试答案高二数学（文）1-6CAACBB ，7-12DACBAD14.3915. 120或32π16. 25-17.（1）32-n m 或32n m（2）7.2log 8.1log 0.55.0＞ 18.（1）等边三角形（2）3119.（1）785,667,199 （2）a=14,b=1720.（1）最大值3，最小值-3（2）单调递增区间为)(,6,3z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-ππππ，单调递减区间为)(,32,6z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππ21.圆的标准方程为()()253122=++-y x 22.（1）()41-x 22=+y （2）3cos 22=-θρρ。

2017-2018学年甘肃省兰州一中高二(下)期末数学试卷(文科)(解析版)

2017-2018学年甘肃省兰州一中高二（下）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）直线x﹣y﹣3＝0的倾斜角是（）A．30°B．60°C．120°D．150°2．（5分）设集合A＝{x|﹣2≤x≤2}，集合B＝{x|x2﹣2x﹣3＞0}，则A∪B＝（）A．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）B．（﹣1，2]C．（﹣∞，2]∪（3，+∞）D．[﹣2，﹣1）3．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足a4+a10＝20，则S13＝（）A．6B．130C．200D．2604．（5分）若命题“∃x0∈R，x02+（a﹣1）x0+1＜0”是真命题，则实数a的取值范围是（）A．[﹣1，3]B．（﹣1，3）C．（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）5．（5分）已知a＝0.52.1，b＝20.5，c＝0.22.1，则a、b、c的大小关系是（）A．a＜c＜b B．b＞a＞c C．b＜a＜c D．c＞a＞b6．（5分）某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下面结论中不正确的是（）A．新农村建设后，种植收入减少B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半7．（5分）已知向量，满足||＝||＝2，•（﹣）＝﹣2，则|2|＝（）A．2B．2C．4D．88．（5分）若执行如图所示的程序框图，输出S的值为3，则判断框中应填入的条件是（）A．k＜6？B．k＜7？C．k＜8？D．k＜9？9．（5分）已知实数x，y满足条件，则z＝x+2y的最小值为（）A．B．4C．2D．310．（5分）某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为（）A．2B．2C．3D．211．（5分）已知函数f（x）＝cos（2x﹣φ）﹣sin（2x﹣φ）（|φ|＜）的图象向右平移个单位后关于y轴对称，则φ的值为（）A．B．C．﹣D．12．（5分）已知函数f（x）＝，则不等式f（x2﹣2x）＜f（2x）的解集为（）A．（﹣∞，0）∪（4，+∞）B．（﹣∞，0）∪（2，+∞）C．（﹣∞，2）D．（2，4）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）若lgx+lgy＝1，则的最小值为．14．（5分）直线l1：x+my+6＝0与直线l2：（m﹣2）x+3y+2m＝0互相平行，则m的值为．15．（5分）已知定义在实数集R上的偶函数f（x）在区间（﹣∞，0]上是减函数，则不等式f（1）＜f（lnx）的解集是．16．（5分）半径为4的球的球面上有四点A，B，C，D，已知△ABC为等边三角形且其面积为9，则三棱锥D﹣ABC体积的最大值为．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知在等比数列{a n}中，a1＝1，a2是a1和a3﹣1的等差中项，（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足b n＝2n+1+a n（n∈N*），求数列{b n}的前n项和S n．18．（12分）已知函数f（x）＝4cos x sin（x+）﹣1．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣，]上的最大值及取得最大值时x的值．19．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．（1）求角C；（2）若点D在边BC上，且AD＝CD＝4，△ABD的面积为，求边c的长．20．（12分）某校高三课外兴趣小组为了解高三同学高考结束后是否打算观看2018年足球世界杯比赛的情况，从全校高三年级1500名男生、1000名女生中按分层抽样的方式抽取125名学生进行问卷调查，情况如表：（1）求出表中数据b，c；（2）判断是否有99%的把握认为观看2018年足球世界杯比赛与性别有关；（3）为了计算“从10人中选出9人参加比赛”的情况有多少种，我们可以发现它与“从10人中选出1人不参加比赛”的情况有多少种是一致的．现有问题：在打算观看2018年足球世界杯比赛的同学中有5名男生、2名女生来自高三（5）班，从中推选5人接受校园电视台采访，请根据上述方法，求被推选出的5人中恰有四名男生、一名女生的概率．附：，21．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PD⊥DA，PD⊥DC．（Ⅰ）若E是P A的中点，求证：PC∥平面BED；（Ⅱ）若PD＝AD＝4，PE＝AE，求三棱锥A﹣BED的高．22．（12分）已知直线l：，半径为4的圆C与直线l相切，圆心C在x轴上且在直线l的右上方．（1）求圆C的方程；（2）过点M（2，0）的直线与圆C交于A，B两点（A在x轴上方），问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分∠ANB？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．2017-2018学年甘肃省兰州一中高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【解答】解：设直线的倾斜角为θ，θ∈[0，180°）．∴tanθ＝．∴θ＝60°．故选：B．2．【解答】解：由x2﹣2x﹣3＞0，解得x＜﹣1或x＞3．∴B＝{x|x＜﹣1或x＞3}＝（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）又集合A＝{x|﹣2≤x≤2}＝[﹣2，2]，∴A∪B＝（﹣∞，2]∪（3，+∞）故选：C．3．【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足a4+a10＝20，∴S13＝（a1+a13）＝（a4+a10）＝20＝130．故选：B．4．【解答】解：∃x0∈R，x02+（a﹣1）x0+1＜0，则△＝（a﹣1）2﹣4＞0，解得：a＞3或a＜﹣1，故选：D．5．【解答】解：a＝0.52.1∈（0，1），b＝20.5＞1，c＝0.22.1，∵y＝x2.1为增函数，∴0.52.1＞0.22.1，∴a＞c，∴b＞a＞c．故选：B．6．【解答】解：设建设前经济收入为a，建设后经济收入为2a．A项，种植收入37%×2a﹣60%a＝14%a＞0，故建设后，种植收入增加，故A项错误．B项，建设后，其他收入为5%×2a＝10%a，建设前，其他收入为4%a，故10%a÷4%a＝2.5＞2，故B项正确．C项，建设后，养殖收入为30%×2a＝60%a，建设前，养殖收入为30%a，故60%a÷30%a＝2，故C项正确．D项，建设后，养殖收入与第三产业收入总和为（30%+28%）×2a＝58%×2a，经济收入为2a，故（58%×2a）÷2a＝58%＞50%，故D项正确．因为是选择不正确的一项，故选：A．7．【解答】解：向量，满足||＝||＝2，•（﹣）＝﹣2，可得：•＝2，|2|＝＝＝＝2．故选：B．8．【解答】解：根据程序框图，运行结果如下：S k第一次循环log23 3第二次循环log23•log34 4第三次循环log23•log34•log45 5第四次循环log23•log34•log45•log56 6第五次循环log23•log34•log45•log56•log67 7第六次循环log23•log34•log45•log56•log67•log78＝log28＝3 8故如果输出S＝3，那么只能进行六次循环，故判断框内应填入的条件是k＜8．故选：C．9．【解答】解：由约束条件写出可行域如图，化z＝x+2y为y＝，由图可知，当直线y＝过A（2，0）时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值等于z＝2+2×0＝2．故选：C．10．【解答】解：由题意可知几何体是圆柱，底面周长16，高为：2，直观图以及侧面展开图如图：圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度：＝2．故选：B．11．【解答】解：函数f（x）＝cos（2x﹣φ）﹣sin（2x﹣φ）＝2cos（2x﹣φ+）图象向右平移个单位后，可得2cos[2（）﹣φ+]＝2cos（2x﹣φ）关于y轴对称，即﹣φ＝kπ，k∈Z，φ＝﹣kπ，当k＝0时，可得φ＝．故选：B．12．【解答】解：函数f（x）＝，可得x≥0，f（x）＝﹣1+递减；x＜0时，f（x）＝2；且x＝0时函数连续，不等式f（x2﹣2x）＜f（2x），即有或，解得x＞4或x＜0，则原不等式的解集为（﹣∞，0）∪（4，+∞），故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．【解答】解：∵lgx+lgy＝1，∴lgxy＝1，且x＞0，y＞0，即xy＝10，∴，当且仅当，即x＝2，y＝5时取等号，故答案为：214．【解答】解：由于直线l1：x+my+6＝0与直线l2：（m﹣2）x+3y+2m＝0互相平行，∴，∴m＝﹣1，故答案为﹣1．15．【解答】解：∵偶函数f（x）在区间（﹣∞，0]上是减函数，∴函数f（x）在区间[0，+∞）上是增函数，则不等式等价为f（1）＜f（|lnx|），即|lnx|＞1，即lnx＞1或lnx＜﹣1，解得x＞e或，即不等式f（1）＜f（lnx）的解集是；故答案为：16．【解答】解：△ABC为等边三角形且面积为9可得，解得AB＝6，球心为O，三角形ABC的外心为O′，显然D在O′O的延长线与球的交点如图：O′C＝＝2，OO′＝，则三棱锥D﹣ABC高的最大值为6，则三棱锥D﹣ABC体积的最大值为××63＝18，故答案为：．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．【解答】解：（1）设等比数列{a n}的公比为q，∵a2是a1和a3﹣1的等比中项，∴2a2＝a1+（a3﹣1）＝a3，∴q＝＝2，∴a n＝a1q n﹣1＝2n﹣1，（n∈N*）；（2）∵b n＝2n﹣1+a n，∴S n＝（1+1）+（3+2）+（5+22）+…+（2n﹣1+2n﹣1）＝（1+3+5+…+2n﹣1）+（1+2+22+…+2n﹣1）＝•n+＝n2+2n﹣1．18．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）＝4cos x sin＝4cos x sin x cos+4cos2x sin﹣1＝，故f（x）最小正周期T＝＝π；由，k∈Z．得，故f（x）的单调递增区间是．（Ⅱ）因为，所以．于是，当，即时，f（x）取得最大值2．19．【解答】解：（1）由及正弦定理可得：，故：，而：sin C＝sin（A+B）＞0，所以：，即．（2）由AD＝CD＝4及可得：△ACD是正三角形．由△ABD的面积为，可得，即，故BD＝8，在△ABD中，由余弦定理可得：，即．20．【解答】解：（1）根据分层抽样方法抽得女生50人，男生75人，所以b＝50﹣20＝30（人），c＝75﹣25＝50（人）………………………………………………………………（2分）（2）因为，所以有99%的把握认为观看2018年足球世界杯比赛与性别有关．…………………………………………（7分）（说明：数值代入公式（1分），计算结果（3分），判断1分）（3）设5名男生分别为A、B、C、D、E，2名女生分别为a、b，由题意可知从7人中选出5人接受电视台采访，相当于从7人中挑选2人不接受采访，其中一男一女，所有可能的结果有：{A，B}{A，C}{A，D}{A，E}{A，a}{A，b}{B，C}{B，D}{B，E}{B，a}{B，b}{C，D}{C，E}{C，a}{C，b}{D，E}{D，a}{D，b}{E，a}{E，b}{a，b}，共21种，……………………………………（9分）其中恰为一男一女的包括，{A，a}{A，b}{B，a}{B，b}{C，a}{C，b}{D，a}{D，b}{E，a}{E，b}，共10种．…………………………………（10分）因此被推选出的5人中恰有四名男生、一名女生的概率为．……………………………………………………………………（12分）21．【解答】证明：（Ⅰ）连接AC交BD于G，连接EG，在△ACP中，∵E是P A的中点，∴EG∥PC，∵EG⊂平面BED，PC⊄平面BED，∴PC∥平面BED．解：（Ⅱ）在Rt△P AD中，设AD的中点为O，连接EO，则EO＝PD＝2，又PD＝AD＝4，∴，设三棱锥A﹣BED的高为h．又∵V A﹣BDE＝V E﹣ABD，∴，∴，解得h＝．∴点A到平面BED的距离为．22．【解答】（本小题满分12分）解：（1）设圆心C（a，0），由圆心C在x轴上且在直线l的右上方可得，则由直线与圆相切的性质可知，解可得，a＝0或a＝（舍）．所以圆C的方程为x2+y2＝16．……………（4分）（2）当直线AB⊥x轴时，x轴平分∠ANB．当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝k（x﹣2），假设N（t，0）（t＞0）符合题意，又设A（x1，y1），B（x2，y2），由得（k2+1）x2﹣4k2x+4k2﹣16＝0，所以x1+x2＝，x1x2＝．……………（6分）若x轴平分∠ANB，则k AN＝﹣k BN…………（8分）∴+＝0⇒+＝0⇒2x1x2﹣（t+2）（x1+x2）+4t＝0⇒﹣+4t＝0⇒t＝8．…………（11分）所以存在点N为（8，0）时，能使得∠ANM＝∠BNM总成立．…………（12分）。

甘肃省兰州市第一中学2017-2018学年高二下学期期末考试数学(文)试题

兰州一中2017-2018学年2学期期末考试试题高二数学（文）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟第I卷(共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共20分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 复数的实部与虚部之和为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，复数的实部和虚部之和是，故选B.2. 已知等比数列满足，则（）A. 64B. 81C. 128D. 243【答案】A【解析】试题分析：∵，∴，∴，∴．考点：等比数列的通项公式．3. 已知，则的最小值是 ( )A. 6B. 5C.D.【答案】C【解析】试题分析：，考点：基本不等式4. 图像上相邻的最高点和最低点之间的距离是（）A. B. C. 2 D.【答案】A【解析】函数的周期，相邻最高点和最低点的横坐标间的距离为，根据勾股定理最高点和最低点之间的距离为，故选A.5. 参数方程（为参数）所表示的曲线是（）A. 一条射线B. 两条射线C. 一条直线D. 两条直线【答案】B【解析】或，所以表示的曲线是两条射线.故选B.考点：参数方程.6. 如图所给的程序运行结果为，那么判断框中应填入的关于的条件是（）A. ?B. ?C. ?D. ?【答案】D【解析】由题意可知输出结果为第1次循环,第2次循环,第3次循环,第4次循环,第5次循环,此时满足输出结果,退出循环,所以判断框中的条件为.故选7. 已知关于x的不等式ax2-x+b≥0的解集为[-2，1]，则关于x的不等式bx2-x+a≤0的解集为（）A. [-1，2]B. [-1，]C. [-，1]D. [-1，-]【答案】C【解析】由题意得为方程的根,且,所以,因此不等式bx2-x+a≤0为 ,选C.8. 圆的圆心极坐标是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】略9. 要得到函数的图象，只要将函数的图象（）A. 向左平移单位B. 向右平移单位C. 向右平移单位D. 向左平移单位【答案】C【解析】分析：根据平移的性质，2x2x，根据平移法则“左加右减”可知向右平移个单位．解答：解：∵y=sin2x y=sin(2x)故选：C10. 若，，，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，所以且，因为所以，又，所以，故故选D.点睛：本题主要考查了三角函数求值，属于基础题，在本题中，将所求的拆成是关键。

2017-2018学年甘肃省兰州市第一中学高二数学上期末考试(文)试题(含答案)

兰州一中2017-2018-1学期高二年级期末考试试题数学（文）说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡．第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设复数12z i =-，则||z = ( )A ．5BC ．2D2．与命题“能被6整除的整数，一定能被3整除”等价的命题是( ) A ．不能被3整除的整数，一定不能被6整除 B ．能被3整除的整数，一定能被6整除 C ．不能被6整除的整数，一定不能被3整除 D ．不能被6整除的整数，能被3整除 3．抛物线x 2＝16y 的准线方程是( )A ．x ＝164B ．x ＝－164C ．y ＝4D ．y ＝－44．若双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为( ) A ．73B ．54C ．43D ．535．“1<m <3”是“方程x 2m －1＋y 23－m ＝1表示椭圆”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．右图是抛物线形拱桥，当水面在l 位置时，拱顶离水面2米，水面宽4米，则水位下降2米后（水足够深），水面宽（）米. A ．22 B ．34 C ．24D ．327．椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右顶点分别是A 、B ，左、右焦点分别是F 1、F 2．若1AF ，21F F ，B F 1成等比数列，则此椭圆的离心率为( ) A ．55 B ．22C ．33D ．38．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等.右图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a 、b 分别为5、2，则输出的n =A ．2B ．3C ．4D ．59．已知椭圆的方程为14922=+y x ，过椭圆中心的直线交椭圆于A 、B 两点，F 2是椭圆的右焦点，则△ABF 2的周长的最小值为( )A ． 7B ． 8C ．9D ．1010．已知双曲线22221x y a b-=(a>0，b>0)的两条渐近线均和圆C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为( )A ．22154x y -=B ．22195x y -=C ． 221134x y -=D ．221135x y -=11．设F 1，F 2为曲线C 1：12622=+y x 的焦点，P 是曲线C 2：32x －y 2＝1与C 1的一个交点，则cos ∠F 1PF 2的值是( ) A ．21 B ．22C ．31 D ．3312．已知直线l 的斜率为k ，它与抛物线x y 42=相交于A 、B 两点，F 为抛物线的焦点，FB AF 3=，则||k ＝（）A ． 22B ．3 C ．42 D ．33第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.已知复数z 满足(1i)2z +=，则复数z 的虚部为_______.14.已知命题p ：∀x > 0，总有(x ＋1)xe >1.则p ⌝为 .15.已知A 是双曲线C :)0,0(12222>>=-b a by a x 的右顶点，过左焦点F 与y 轴平行的直线交双曲线C 于P 、Q 两点，若△APQ 是锐角三角形，则双曲线C 的离心率的范围 . 16.已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的离心率e ＝63，A 、B 是椭圆上两点，N (3，1)是线段AB的中点．则直线AB 的方程为 .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题10分）已知a 为实数，命题p ：点M （1，1）在圆22()()4x a y a ++-=的内部；命题 q ：R,x ∀∈都有21x ax ++≥0．若“p ∧q ”为假命题，且“p ∨q ”为真命题，求a 的取值范围． 18．（本小题12分）设A 、B 是抛物线y 2＝8x 上的两点，A 与B 的纵坐标之和为8．（1）求直线AB 的斜率；（2）若直线AB 过抛物线的焦点F ，求AB ． 19．（本小题12分）已知双曲线的中心在原点，焦点F 1、F 2在坐标轴上，渐近线方程为y=±x ，且双曲线过点P (4，－10)．(1) 求双曲线的方程；(2) 若点M (x 1，y 1)在双曲线上，求MF 1→·MF 2→的范围． 20．（本小题12分）已知椭圆C 的中心在坐标原点，左焦点为F 1(－3，0)，点M (3，21)在椭圆上．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点P (1，0)的直线l 交椭圆C 于两个不同的点A 、B ，若△AOB (O 是坐标原点)的面积 S ＝45，求直线AB 的方程． 21．（本小题12分）已知抛物线C ：y 2＝2px （p>0）的焦点为F ，抛物线上的点P 到y 轴的距离等于1-PF ． (1) 求p 的值；(2) 是否存在正数m ，对于过点M (m ，0)且与抛物线C 有两个交点A 、B 的任一直线，都有F A →·FB →＜0? 若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由． 22．（本小题12分）已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的离心率e ＝22，右焦点为F ，过点B （0，－b ）和点F的直线与原点的距离为1．（1）求此椭圆的方程；（2）过该椭圆的左顶点A 作直线l ，分别交椭圆和圆x 2＋y 2＝a 2于相异两点P 、Q ．若AP PQ λ=，则实数 λ 的取值范围．兰州一中2017-2018-1学期高二年级期末试题答案数学（文）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．-1 14．00,x ∃>使得00+11xx e ≤（） 15．(1，2) 16.x ＋y －4＝0 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题10分）已知a 为实数，命题p ：点M （1，1）在圆22()()4x a y a ++-=的内部；命题 q ：R,x ∀∈都有21x ax ++≥0．若“p ∧q ”为假命题，且“p ∨q ”为真命题，求a 的取值范围．解：由题意得，当p 真时，22(1)(1)4a a ++-<，解得11a -<<，当q 真时，则0∆≤，解得22a -≤≤．由题意得，p 与q 一真一假，从而当p 真q 假时有11,22,a a a -<<⎧⎨<->⎩或无解；当p 假q 真时有11,22,a a a -⎧⎨-⎩≤或≥≤≤解得2112a a --≤≤或≤≤．∴实数a 的取值范围是[][]2,11,2-- ． ………………10分 18．（本小题12分）设A 、B 是抛物线y 2＝8x 上的两点，A 与B 的纵坐标之和为8．（1）求直线AB 的斜率；（2）若直线AB 过抛物线的焦点F ，求AB ．解：（1）设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有y 21＝8x 1，y 22＝8x 2，两式相减，得(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝8(x 1－x 2). 又y 1＋y 2＝8，则k ＝y 2－y 1x 2－x 1＝1，直线AB 的斜率为1． ………………6分（2）由题可知F (2，0)，则直线AB 的方程为y ＝x －2，代入y 2＝8x 消去x 并整理，得x 2－12x +4＝0，由弦长公式得|AB |＝16． ………………12分 19．（本小题12分）已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，渐近线方程为y=±x ，且双曲线过点P (4，－10)．(1) 求双曲线的方程；(2) 若点M (x 1，y 1)在双曲线上，求MF 1→·MF 2→的范围．解：(1)设双曲线的方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)． ∵双曲线过点(4，－10)，∴16－10＝λ，即λ＝6．∴双曲线的方程为x 2－y 2＝6． ………………6分 (2) 由(1)可知，a ＝b ＝6，∴c ＝23， ∴F 1(－23，0)，F 2(23，0)，MF 1→＝(－23－x 1，－y 1)，MF 2→＝(23－x 1，－y 1)， ∴MF 1→·MF 2→＝x 12－12＋y 21，∵点M (x 1，y 1)在双曲线上，∴x 12＝6＋y 21，∴MF 1→·MF 2→＝2y 21－6 ， ∵y 12 ≥0， ∴MF 1→·MF 2→-≥6． ………………12分 20．（本小题12分）已知椭圆C 的中心在坐标原点，左焦点为F 1(－3，0)，点M (3，21)在椭圆C 上． (1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 过点P (1，0)的直线l 交椭圆C 于两个不同的点A 、B ，若△AOB (O 是坐标原点)的面积 S ＝45，求直线AB 的方程．解： (1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2=1(a>b>0)，因为椭圆的左焦点为F 1(－3，0)，设椭圆的右焦点为F 2(3，0),由椭圆的定义知|MF 1|+|MF 2|=2a ，所以2a=4，所以a=2，从而b=1，所以椭圆C 的方程为 x 24＋y 2＝1． ………………5分(2)记A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题可设直线AB 的方程为x ＝my ＋1．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4x ＝my ＋1，消去x 得(4＋m 2)y 2＋2my －3＝0，所以⎝ ⎛y 1＋y 2＝－2m 4＋m 2y 1·y 2＝－34＋m2，则S ＝12|OP ||y 1－y 2|＝2m 2＋3m 2＋4．由S ＝45，解得m 2＝1，即m ＝±1．故直线AB 的方程为x ＝±y ＋1，即x ＋y －1＝0或x －y －1＝0为所求． ……………12分 21．（本小题12分）已知抛物线C ：y 2＝2px （p>0）的焦点为F ，抛物线上的点P 到y 轴的距离等于1-PF ． (1) 求p 的值；(2)是否存在正实数m ，对于过点M (m ，0)且与抛物线C 有两个交点A 、B 的任一直线，都有 F A →·FB →＜0?若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．解：(1)由定义抛物线可知p =2． ………………3分 (2)设过点M (m ，0)(m ＞0)的直线l 与曲线C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．设l 的方程为x ＝ty ＋m ，由⎩⎨⎧=+=xy m ty x 4,2得y 2－4ty －4m ＝0，Δ＝16(t 2＋m )＞0，于是⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4m .①又F A →＝(x 1－1，y 1)，FB →＝(x 2－1，y 2)，F A →·FB →＜0⇔ (x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＋y 1y 2＜0．②又x ＝y 24，于是不等式②等价于y 214·y 224＋y 1y 2－⎝⎛⎭⎫y 214＋y 224＋1＜0 即（y 1y 2）216＋y 1y 2－14[]（y 1＋y 2）2－2y 1y 2＋1＜0．③由①式，不等式③等价于m 2－6m ＋1＜4t 2．④对任意实数t ，4t 2的最小值为0，所以不等式④对于一切t 成立等价于m 2－6m ＋1＜0，即3－22＜m ＜3＋22．由此可知，存在正数m ，对于过点M (m ，0)且与曲线C 有两个交点A ，B 的任一直线，都有F A →·FB →＜0，且m 的取值范围是(3－22，3＋22)． ………………12分 22．（本小题12分）已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的离心率e ＝22，右焦点为F ，过点B （0，－b ）和点F的直线BF 与原点的距离为1．（1）求此椭圆的方程；（2）过该椭圆的左顶点A 作直线l ，分别交椭圆和圆x 2＋y 2＝a 2于相异两点P ，Q ．若AP PQ λ=，求实数λ的取值范围．解：(1)⎩⎨⎧===∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=⨯==22122222c b a c b a a bc a c∴椭圆的方程为12422=+y x ． ………5分 (3) 由题可设直线l ：y ＝k (x ＋2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4，y ＝k x ＋2 消去x 得(k 2＋1)y 2－4ky ＝0，所以y Q ＝4k k 2＋1，同理y P ＝4k 2k 2＋1．又λ＝11-=-=-=PQ y y APAQ APAP AQ APPQ ．则λ＝1111222+-=+k k k ．因为k 2>0，所以0<λ<1． ………………12分。

甘肃省兰州一中2017-2018学年高二上学期期末数学试卷(文科) Word版含解析

2017-2018学年甘肃省兰州一中高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分） 1．下列说法正确的是（）A ．命题“若x 2＞1，则x ＞1”否命题为“若x 2＞1，则x ≤1”B ．命题“若x 0∈R ，x 02＞1”的否定是“∀x ∈R ，x 02＞1”C ．命题“若x=y ，则cosx=cosy ”的逆否命题为假命题D ．命题“若x=y ，则cosx=cosy ”的逆命题为假命题2．设函数f （x ）在x=1处可导，则等于（）A ．f'（1）B ．C ．﹣2f'（1）D ．﹣f'（1）3．已知命题p ：若x ＞y ，则﹣x ＜﹣y ；命题q ：若x ＞y ，则x 2＞y 2，在命题①p ∧q ；②p ∨q ；③p ∧（￢q ）；④（￢p ）∨q 中，真命题是（） A ．①③ B ．①④ C ．②③ D ．②④ 4．已知函数f （x ）=axlnx ，x ∈（0，+∞），其中a 为实数，f ′（x ）为f （x ）的导函数，若f ′（1）=3，则a 的值为（） A ．4 B ．3 C ．2 D ．15．“a ≤0”是“函数f （x ）=|（ax ﹣1）x |在区间（0，+∞）内单调递增”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件6．已知函数f （x ）=ax 3+x +1的图象在点（1，f （1））的切线过点（2，7），则a 的值为（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 7．过双曲线x 2﹣=1的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A 、B两点，则|AB |=（）A ．B ．2C ．6D ．48．已知F 1、F 2为双曲线C ：x 2﹣y 2=2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|=2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2=（）A ．B ．C ．D ．9．若动圆C 过定点A （4，0），且在y 轴上截得弦MN 的长为8，则动圆圆心C 的轨迹方程是（）A ．B ．C ．y 2=8xD ．y 2=8x （x ≠0）10．过点M（1，1）作斜率为﹣的直线与椭圆C： +=1（a＞b＞0）相交于A，B，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．11．设曲线y=在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a=（）A．2 B．﹣2 C．﹣D．12．设椭圆C：的左右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线与C交于点P，Q．若|PF2|=|F1F2|，且3|PF1|=4|QF1|，则的值为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13．若抛物线y2=2px（p＞0）的准线经过双曲线x2﹣y2=1的一个焦点，则p=．14．设函数f（x）在（0，+∞）内可导，且f（e x）=x+e x，则f′（1）=．15．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是．16．已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若=4，则|QF| ．三、解答题（本大题共4小题，共36分）17．给定两个命题，命题p：对任意实数x都有ax2+ax+1＞0恒成立，命题q：关于x的方程x2﹣x+a=0有实数根，如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围．18．设函数，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为3x﹣y﹣4=0．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）证明：曲线f（x）上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形面积为定值．19．如图，已知四边形ABCD内接于抛物线x2=y，点C（3，9），AC平行于x轴，BD平行于该抛物线在点C处的切线，∠BAD=90°．（Ⅰ）求直线BD的方程；（Ⅱ）求四边形ABCD的面积．20．已知椭圆的离心率，焦距为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若直线y=kx+2与椭圆交于C，D两点．问是否存在常数k，使得以CD为直径的圆过坐标原点O，若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．2017-2018学年甘肃省兰州一中高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分）1．下列说法正确的是（）A．命题“若x2＞1，则x＞1”否命题为“若x2＞1，则x≤1”B．命题“若x0∈R，x02＞1”的否定是“∀x∈R，x02＞1”C．命题“若x=y，则cosx=cosy”的逆否命题为假命题D．命题“若x=y，则cosx=cosy”的逆命题为假命题【考点】全称命题；四种命题间的逆否关系．【分析】根据四种命题的定义以及命题真假之间的关系即可得到结论．【解答】解：A．命题“若x2＞1，则x＞1”否命题为“若x2≤1，则x≤1”，∴A错误．B．命题“若x0∈R，x02＞1”的否定是“∃x∈R，x2≤1”，∴B错误．C．“若x=y，则cosx=cosy”正确，即原命题正确，则逆否命题也正确，∴C错误．D．命题“若x=y，则cosx=cosy”的逆命题为命题“若cosx=cosy，则x=y”，为假命题，当x=﹣y时，结论满足cosx=cosy，∴D正确．故选：D．2．设函数f（x）在x=1处可导，则等于（）A．f'（1）B．C．﹣2f'（1）D．﹣f'（1）【考点】极限及其运算．【分析】利用导数的性质和运算法则求解．【解答】解：∵函数f（x）在x=1处可导，∴=﹣=﹣．故选：B．3．已知命题p：若x＞y，则﹣x＜﹣y；命题q：若x＞y，则x2＞y2，在命题①p∧q；②p ∨q；③p∧（￢q）；④（￢p）∨q中，真命题是（）A．①③B．①④C．②③D．②④【考点】复合命题的真假．【分析】根据不等式的性质分别判定命题p，q的真假，利用复合命题之间的关系即可得到结论．【解答】解：根据不等式的性质可知，若若x＞y，则﹣x＜﹣y成立，即p为真命题，当x=1，y=﹣1时，满足x＞y，但x2＞y2不成立，即命题q为假命题，则①p∧q为假命题；②p∨q为真命题；③p∧（￢q）为真命题；④（￢p）∨q为假命题，故选：C．4．已知函数f（x）=axlnx，x∈（0，+∞），其中a为实数，f′（x）为f（x）的导函数，若f′（1）=3，则a的值为（）A．4 B．3 C．2 D．1【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】求出f′（x），根据f′（1）=3，列出方程解出a．【解答】解：f′（x）=alnx+a，∵f′（1）=3，∴a=3．故选：B．5．“a≤0”是“函数f（x）=|（ax﹣1）x|在区间（0，+∞）内单调递增”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】对a分类讨论，利用二次函数的图象与单调性、充要条件即可判断出．【解答】解：当a=0时，f（x）=|x|，在区间（0，+∞）内单调递增．当a＜0时，，结合二次函数图象可知函数f（x）=|（ax﹣1）x|在区间（0，+∞）内单调递增．若a＞0，则函数f（x）=|（ax﹣1）x|，其图象如图它在区间（0，+∞）内有增有减，从而若函数f（x）=|（ax﹣1）x|在区间（0，+∞）内单调递增则a≤0．∴a≤0是”函数f（x）=|（ax﹣1）x|在区间（0，+∞）内单调递增”的充要条件．故选：C．6．已知函数f（x）=ax3+x+1的图象在点（1，f（1））的切线过点（2，7），则a的值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出函数f（x）的导数，求得切线的斜率和切点，再由直线的斜率公式，计算即可得到a=1．【解答】解：函数f（x）=ax3+x+1的导数为f′（x）=3ax2+1，图象在点（1，f（1））的切线斜率为3a+1，切点为（1，a+2），由切线经过（2，7），可得=3a+1，解得a=1．故选：A．7．过双曲线x2﹣=1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A、B 两点，则|AB|=（）A．B．2C．6 D．4【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的渐近线方程，求出AB的方程，得到AB坐标，即可求解|AB|．【解答】解：双曲线x2﹣=1的右焦点（2，0），渐近线方程为y=，过双曲线x2﹣=1的右焦点且与x轴垂直的直线，x=2，可得y A=2，y B=﹣2，∴|AB|=4．故选：D．8．已知F1、F2为双曲线C：x2﹣y2=2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|=2|PF2|，则cos ∠F1PF2=（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据双曲线的定义，结合|PF1|=2|PF2|，利用余弦定理，即可求cos∠F1PF2的值．【解答】解：将双曲线方程x2﹣y2=2化为标准方程﹣=1，则a=，b=，c=2，设|PF1|=2|PF2|=2m，则根据双曲线的定义，|PF1|﹣|PF2|=2a可得m=2，∴|PF1|=4，|PF2|=2，∵|F1F2|=2c=4，∴cos∠F1PF2====．故选C．9．若动圆C过定点A（4，0），且在y轴上截得弦MN的长为8，则动圆圆心C的轨迹方程是（）A ．B ．C ．y 2=8xD ．y 2=8x （x ≠0）【考点】轨迹方程．【分析】设圆心C （x ，y ），过点C 作CE ⊥y 轴，垂足为E ，利用垂径定理可得|ME |=4，又|CA |2=|CM |2=|ME |2+|EC |2，利用两点间的距离公式即可得出．【解答】解：设圆心C （x ，y ），过点C 作CE ⊥y 轴，垂足为E ，则|ME |=4， ∴|CA |2=|CM |2=|ME |2+|EC |2， ∴（x ﹣4）2+y 2=42+x 2，化为y 2=8x ．故选：C ．10．过点M （1，1）作斜率为﹣的直线与椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）相交于A ，B ，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率为（）A ．B ．C ．D ．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】利用点差法，结合M 是线段AB 的中点，斜率为﹣，即可求出椭圆C 的离心率．【解答】解：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则，∵过点M （1，1）作斜率为﹣的直线与椭圆C ： +=1（a ＞b ＞0）相交于A ，B 两点，M 是线段AB 的中点，∴两式相减可得，∴a=b ，∴c==b ，∴e==．故选：A ．11．设曲线y=在点（3，2）处的切线与直线ax +y +1=0垂直，则a=（）A．2 B．﹣2 C．﹣D．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出函数的导数，切线的斜率，由两直线垂直的条件，即可得到a的值．【解答】解：∵y=，∴y′==，∴曲线y=在点（3，2）处的切线的斜率k=﹣，∵曲线y=在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，∴直线ax+y+1=0的斜率k′=﹣a×=﹣1，即a=﹣2．故选：B．12．设椭圆C：的左右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线与C交于点P，Q．若|PF2|=|F1F2|，且3|PF1|=4|QF1|，则的值为（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由题意画出图形，由|PF2|=|F1F2|，3|PF1|=4|QF1|，利用椭圆的定义可得：|PF1|=2a ﹣2c，进一步求出|QF1|，|QF2|，在等腰△PF1F2中，求得得cos∠PF1F2．在△QF1F2中，由余弦定理可得cos∠QF1F2，利用cos∠PF1F2+cos∠QF1F2=0，化简求得5a=7c，两边平方后结合隐含条件求得的值．【解答】解：如图所示，∵|PF2|=|F1F2|，∴|PF2|=2c，则|PF1|=2a﹣2c．∵3|PF1|=4|QF1|，∴|QF1|=，则．在等腰△PF1F2中，可得cos∠PF1F2==．在△QF1F2中，由余弦定理可得：cos∠QF1F2=，由cos∠PF1F2+cos∠QF1F2=0，得+=0，整理得：，∴5a=7c，则25a2=49c2=49（a2﹣b2），∴，即．故选：C．二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13．若抛物线y2=2px（p＞0）的准线经过双曲线x2﹣y2=1的一个焦点，则p=2．【考点】抛物线的简单性质．【分析】先求出x2﹣y2=1的左焦点，得到抛物线y2=2px的准线，依据p的意义求出它的值．【解答】解：双曲线x2﹣y2=1的左焦点为（﹣，0），故抛物线y2=2px的准线为x=﹣，∴=，∴p=2，故答案为：2．14．设函数f（x）在（0，+∞）内可导，且f（e x）=x+e x，则f′（1）=2．【考点】导数的运算；函数的值．【分析】由题设知，可先用换元法求出f（x）的解析式，再求出它的导数，从而求出f′（1）．【解答】解：函数f（x）在（0，+∞）内可导，且f（e x）=x+e x，令e x=t，则x=lnt，故有f（t）=lnt+t，即f（x）=lnx+x，∴f′（x）=+1，故f′（1）=1+1=2．故答案为：2．15．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是丙．【考点】进行简单的合情推理．【分析】这是一个简单的合情推理题，我们根据“四位歌手的话只有两句是对的”，假设某一个人说的是真话，如果与条件不符，说明假设不成立，如果与条件相符，则假设成立的方法解决问题．【解答】解：若甲是获奖的歌手，则都说假话，不合题意．若乙是获奖的歌手，则甲、乙、丁都说真话，丙说假话，不符合题意．若丁是获奖的歌手，则甲、丁、丙都说假话，丙说真话，不符合题意．故答案为：丙．16．已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若=4，则|QF| 5．【考点】抛物线的简单性质．【分析】运用抛物线的定义，设Q到l的距离为d，求出斜率，求得直线PF的方程，与y2=8x 联立可得x=3，利用|QF|=d可求．【解答】解：设Q到l的距离为d，则由抛物线的定义可得，|QF|=d，∵=4，则Q在PF的延长线上，∴|PQ|=5d，∴直线PF的斜率为﹣=﹣2，∵F（2，0），∴直线PF的方程为y=﹣2（x﹣2），与y2=8x联立可得x=3，（由于Q的横坐标大于2）∴|QF|=d=3+2=5，故答案为：5三、解答题（本大题共4小题，共36分）17．给定两个命题，命题p：对任意实数x都有ax2+ax+1＞0恒成立，命题q：关于x的方程x2﹣x+a=0有实数根，如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围．【考点】命题的真假判断与应用；复合命题的真假；函数恒成立问题．【分析】根据二次函数恒成立的充要条件，我们可以求出命题p为真时，实数a的取值范围，根据二次函数有实根的充要条件，我们可以求出命题q为真时，实数a的取值范围，然后根据p∨q为真命题，p∧q为假命题，则命题p，q中一个为真一个为假，分类讨论后，即可得到实数a的取值范围．【解答】解：对任意实数x都有ax2+ax+1＞0恒成立⇔a=0或⇔0≤a＜4；关于x的方程x2﹣x+a=0有实数根⇔△=1﹣4a≥0⇔a≤；…p∨q为真命题，p∧q为假命题，即p真q假，或p假q真，…如果p真q假，则有0≤a＜4，且a＞∴＜a＜4；…如果p假q真，则有a＜0，或a≥4，且a≤∴a＜0…所以实数a的取值范围为（﹣∞，0）∪（，4）．…18．设函数，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为3x﹣y﹣4=0．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）证明：曲线f（x）上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形面积为定值．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；直线的点斜式方程．【分析】（Ⅰ）已知曲线上的点，并且知道过此点的切线方程，容易求出斜率，又知点（1，f（1））在曲线上，利用方程联立解出a，b；（Ⅱ）可以设P（x0，y0）为曲线上任一点，得到切线方程，再利用切线方程分别与直线x=0和直线y=x联立，得到交点坐标，接着利用三角形面积公式即可得证．【解答】解：（Ⅰ）方程3x﹣y﹣4=0可化为y=3x﹣4，当x=1时，y=﹣1，又f′（x）=a+，于是，解得，故f（x）=x﹣；（Ⅱ）证明：设P（x0，y0）为曲线上任一点，由f′（x）=1+，知曲线在点P（x0，y0）处的切线方程为y﹣y0=（1+）（x﹣x0），即y﹣（x0﹣）=（1+）（x﹣x0），令x=0，得y=﹣，从而得切线与直线x=0的交点坐标为（0，﹣）；令y=x，得y=x=2x0，从而得切线与直线y=x的交点坐标为（2x0，2x0）；所以点P（x0，y0）处的切线与直线x=0，y=x所围成的三角形面积为|﹣|•|2x0|=4．故曲线y=f（x）上任一点处的切线与直线x=0，y=x所围成的三角形面积为定值，此定值为4．19．如图，已知四边形ABCD内接于抛物线x2=y，点C（3，9），AC平行于x轴，BD平行于该抛物线在点C处的切线，∠BAD=90°．（Ⅰ）求直线BD的方程；（Ⅱ）求四边形ABCD的面积．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（Ⅰ）求导数，求出A的坐标，设直线BD的方程为y=6x+b，代入抛物线x2=y，利用∠BAD=90°，即可求直线BD的方程；（Ⅱ）四边形ABCD的面积转化为两个三角形的面积的和．【解答】解：（Ⅰ）y′=2x，x=3时，y′=6，A（﹣3，9）设直线BD的方程为y=6x+b，代入抛物线x2=y，可得x2﹣6x﹣b=0设B（x1，y1），D（x2，y2），∴x1+x2=6，x1x2=﹣b∵∠BAD=90°，∴k AD k AB=•=（x2﹣3）（x1﹣3）=﹣b﹣3×6+9=﹣1∴b=﹣8，∴直线BD的方程为y=6x﹣8；（Ⅱ）b=﹣8，x2﹣6x﹣b=0的根为2，4，对应的纵坐标为4，16，∴四边形ABCD的面积S==36．20．已知椭圆的离心率，焦距为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若直线y=kx+2与椭圆交于C，D两点．问是否存在常数k，使得以CD为直径的圆过坐标原点O，若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由题意求出椭圆的a，c的值，结合隐含条件求得b，则椭圆方程可求；（Ⅱ）联立直线方程和椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，由判别式等于0求得k的范围，再由向量数量积为0求得k值得答案．【解答】解：（Ⅰ）∵，2c=，∴，，则b2=a2﹣c2=1．∴椭圆的方程为；（Ⅱ）如图，联立，得（1+3k2）x2+12kx+9=0．△=（12k）2﹣36（1+3k2）=36k2﹣36＞0，得k＜﹣1或k＞1．设C（x1，y1），D（x2，y2），则，+2k（x1+x2）+4．若存在常数k，使得以CD为直径的圆过坐标原点O，则=（1+k2）x1x2+2k（x1+x2）+4=0．即，解得：k=，满足题意．∴存在常数k=，使得以CD为直径的圆过坐标原点O．2018年8月4日。