一类具有时滞的生态一流行病系统的稳定性和Hopf分支

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一类具有时滞和免疫反应的病毒感染模型的稳定性和Hopf分支

Ａｂｔａｔｓｒｃ：Ａｖｒｓｎｅｔｎｉｉｆｃｉｍｏｅｗｉｔｄｌｙｎｉｕｏｄｌｔｉｈｍｅｅａａｄｍｍｕｅｅｐｎｅｓｔｄｅ．Ｂａａｙｉｇｈｎｒｓｏｓｉｓｕｉｄｙｎｌｚｎｔｅｃｒｓｏｄｎｈｒｃｅｓｉｑａｉｎ，ｈｃｌｔｂｌｙｏａｈｏａｉｌｑｉｂａｏｅｍｏｅｓｉｖｓｉａｅ．ｏｒｐｎｉｇｃａａｔｒｔｅｕｔｅｉｃｏｔｅｌａａｉｔｆｃｆｆｓｅｅｕｌｒｆｈｄｌｎｅｔｔｄｏｓｉｅｅｂｉｉｔｉｇＴｅｅｉｅｃｓｆｃｅｔｃｎｉｏｆＨｏｆｂｆｒａｉｎｉｅｔｂｉｈｄｙｏｓｕｔｇａｐｏｒｔｙｐｎｖｈｘｓｎｅｕｆｉｎｏｄｔｎｏｐｉｃｔｓｓｓａｌｅ．ＢｃｎｔｃｉｐｒｐａｅＬａｕｏｔｉｉｕｏｓｒｎｉｆｎｔｎｌｔｅｇｏａｔｂｌｙｏｈｎｅｔｎｆｅｅｕｌｒｕａｄｔｅｉｕｃｉａ，ｌｂｓａｉｔｆｔｅｉｆｃｉ — ｅｑｉｂｍｎｈｍｍｕｅｆｅｎｅｔｎｅｕｌｒｍｒｏｈｌｉｏｒｉｉｎ — ｅｉｆｃｉｑｉｂｕａｅｒｏｉｉ
３４７
北华大学学报（自然科学版）
第１２卷
要一定的时间，机体内的免疫系统从接受抗原（病毒）刺激到产生免疫细胞（ＣＬ也需要一段时间．如Ｔ）文献［］４考虑到抗原刺激产生免疫细胞ＣＬ需要的时间滞后效应，Ｔｓ得到了如下具时滞和双线性发生

一类时滞SIQRS网络病毒传播模型的稳定性和Hopf分支

ｂｑ）＋（ｄ＋ｐｂ经过计算可知，如果ＲＯ＝＝＝（１ｐ）ｌｆｌｆＴｌ
－
．
．
．
（＋＇）（＋＋７
＋）），
，
￣
，
则系统（２）存在唯一有病毒平衡点Ｄ（ｓ，ｊ，
Ｑ，Ｒ），其中
传播模型，研究计算机网络病毒的传播行为．文献［１］研究了一类改进的ＳＩＲ网络病毒传播模型的稳定性，并给出产生分岔的充分条件．文献［２］和文献Ｅ３３分别研究了一类具有直接免疫的ＳＩＲ和ＳＩＲＳ网络病毒传
播模型．考虑到网络病毒的潜伏期，文献［４］则在ＳＩＲ网络病毒传播模型的基础上，提出了一类ＳＥＩＲ网络病毒传播模型，并研究了模型的有病毒平衡点的稳定性．但是，以上网络病毒传播模型并未考虑到时滞因素．考虑到网络病毒的潜伏期时滞，文献Ｅ５］提出并研究了一下具有隔离策略的时滞ＳＩＱＲ网络病毒传播模型：
滞．文献［５３研究了系统（１）的全局吸引性和持续性，得到了一些有益的结果．显然，系统（１）是假设处于恢复状态的节点对网络病毒具有永久的免疫力，这与现实中的网络世界是不相符的．基于此，并考虑到恢复状态的节点对网络病毒的临时免疫期时滞，本文提出下列具有临时免疫期时滞的ＳＩＱＲＳ网络病毒传播模型：
第３７卷第５期
Ｖｏ１．３７Ｎｏ．５
文章编号：１６７３ — ２１０３（２０１５）０５ — ００３１ — ０５

具有时滞的生态-流行病SIS模型的稳定性和Hopf分支

Ｖ０Ｉ＿３２Ｎｏ．２
Ｊｕｎ．２０１３
ＤＯＩ：１０．３９６９／Ｊ．ＩＳＳＮ．１００４—６０２Ｘ．２０１３．０２．０２６
具有时滞的生态一流行病ＳＩＳ模型的稳定性和Ｈｏｐｆ分支
其模型为
ｄＸ
＝
２００３年，孙树林、原存德考虑了疾病只在捕食者
之间传播，染病的捕食者会因病死亡，食饵有密度制约的捕食一被捕食的ＳＩＳ模型 ¨ Ｊ：
ｄＸ
＝
（口一ｂｘ）一
（。一ｂｘ）一
警＝ｅＸＳｓ一＋６Ｉ
Ｅ。和Ｅ两个非负平衡点，当 ∈（堕
，
为接触率，６为恢复率，易感捕食者的怀孕所需要的时问为丁 ≥ ０，在这段时间里食饵转化为捕食者自身
的能量。
衡点Ｅ。，Ｅ外，边界平衡点Ｅ也存在。当ｅ ∈（ｅ，ｃ］时，除了Ｅ。，Ｅ和Ｅ外，正衡点Ｅ，出现。
赵红妮，窦霁虹，刘艺艺
（西北大学数学系，陕西西安７１０１２７）
摘
要：该文考虑一类含有时滞的捕食者染病的生态一流行病ＳＩＳ模型，主要利用特征根法讨论了
平衡点的存在性及其稳定性，证明了＇３－时滞＝０时，正平衡点是局部渐近稳定的，随着时滞增加，
，
数，ａ为食饵的内禀增长率，ｂ为密度制约系数，Ｃ为

一类具有时滞的阶段结构捕食模型的稳定性和Hopf分支

Ｖ０１．ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ２２Ｎｏ．２
Ｏ１３Ｊｕｎ．２
Ｄ（）ｌ：１０．３９６９／Ｊ．ｉｓｓｎ．１６７２ — ６６８５．２０１３．０２．００ｌ
一
类具有时滞的阶段结构捕食模型的稳定性和Ｈｏｐｆ分支
ｗｉｔｈＴｉｍｅＤｅｌａｙａｎｄＳｔａｇｅＳｔｒｕｃｔｕｒｅ
ＨＵＡＮＧＸｉｎｇ — ｈｕａ，ＣＡＯＣｈｅｎｇ — ｔａｎｇ，ＺＨＯＵＬｉｎ
（ＬｉａｎｙｕｎｇａｎｇＣａｍｐｕｓ。ＪｉａｎｇｓｕＣｉｔｙＶｏｃａｔｉｏｎａｌＣｏｌｌｅｇｅ，Ｌｉａｎｙｕｎｇａｎｇ２２２００６，Ｃｈｉｎａ）
捕食者具有阶段结构的捕食模型，并分析了阶段结
０引言
捕食模型是研究捕食者和食饵之间关系的数学模型，吸引了很多学者进行研究［１＿３］．一般的捕食模
构对捕食模型的动力学影响．
Ａｂｓｔｒａｃｔ：ＴｈｅｓｔａｂｉｌｉｔｙａｎｄＨｏｐｆｂｉｆｕｒｃａｔｉｏｎｏｆａｐｒｅｄａｔｏｒ — ｐｒｅｙｍｏｄｅｌｗｉｔｈｔｉｍｅｄｅｌａｙａｎｄｓｔａｇｅ
ｂｙｕｓｉｎｇｔｈｅｎｏｒｍａｌｆｏｒｍｔｈｅｏｒｙａｎｄｃｅｎｔｅｒｍａｎｉｆｏｌｄｔｈｅｏｒｅｍ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｔｉｍｅｄｅｌａｙ；ｓｔａｇｅｓｔｒｕｃｔｕｒｅ；Ｈｏｐｆｂｉｆｕｒｃａｔｉｏｎ

时滞SVIR计算机病毒传播模型稳定性和Hopf分

时滞SVIR计算机病毒传播模型稳定性和Hopf分作者：岔曹春段爱华门秀萍张子振来源：《荆楚理工学院学报》2019年第06期摘要：目的：本文以反病毒软件清理病毒需要的时间周期为分岔参数，研究了一类时滞SVIR计算机病毒传播模型的稳定性与Hopf分岔。

方法：首先通过讨论特征根分布，得到模型局部渐近稳定性和产生Hopf分岔的充分条件，进而利用中心流形定理和规范型理论确定了Hopf分岔的方向和分岔周期解的稳定性。

结论：理论研究和matlab仿真表明，当时滞τ∈[0，τ0）时，模型处于局部渐近稳定状态，当时滞τ>τ0时，模型失去稳定性，产生Hopf分岔。

关键词：计算机病毒;SVIR模型;Hopf分岔;中心流形定理;规范型理论中图分类号：O175 文献标志码：A 文章编号：1008-4657（2019）05-0014-070 引言根据第44次《中国互联网络发展状况统计报告》，截止2019年6月，我国网民规模达8.54亿，较2018年底增长2 598万，互联网普及率达61.2%，较2018年提升1.6个百分点[1]。

互联网在给社会生产生活方式带来巨大变革、推动社会发展的同时，也使得网络安全成为国家和个人重点关注的问题。

而计算机病毒是网络安全的最大威胁[2-3]。

根据国家计算机病毒应急处理中心发布的《计算机病毒疫情分析报告》，2019年6月，共发现新增病毒2 929万个，比5月上升48.9%，感染计算机21 704万台次，比5月上升4.7%[4]。

计算机病毒的可复制性和破坏性使得其一旦爆发，便会给社会和个人带来难以估计的损失[5]。

为了降低计算机病毒的危害，人们采取了各种各样的措施，最典型的就是安装杀毒软件。

然而，没有什么软件可以清除所有病毒，而且，往往是病毒先出现，反病毒软件等措施后查杀病毒。

因此，为了更好地抑制网络病毒的传播，很多学者根据计算机病毒与生物病毒传播的相似性，利用研究生物病毒的数学模型来分析计算机病毒的传播规律[6-11]。

时滞微分方程的稳定性和Hopf分岔分析

时滞微分方程的稳定性和Hopf分岔分析时滞微分方程是一类具有历史信息的微分方程，在许多实际问题中都有广泛的应用。

由于它们具有与常微分方程不同的特性，因此对它们的稳定性和分岔现象的研究具有重要意义。

本文将介绍时滞微分方程的稳定性和Hopf分岔分析。

首先，我们来看一般形式的时滞微分方程：$$\frac{dx}{dt} = f(x(t),x(t-\tau)),$$其中$x(t)$表示未知函数，$f(x(t),x(t-\tau))$表示给定的函数。

这种方程中的时滞项$x(t-\tau)$表示历史信息，它反映了系统过去的状态对当前状态的影响。

因此，时滞微分方程的稳定性与时延参数$\tau$密切相关。

稳定性是研究时滞微分方程解的一个重要问题。

通常，我们关注的是解在$t\rightarrow \infty$时的行为。

当方程的解趋于有限值或周期解时，我们称之为稳定解。

反之，如果解在$t\rightarrow \infty$时发散或趋向于无穷大，我们称之为不稳定解。

稳定性的判断方法主要有两种：线性稳定性和非线性稳定性。

线性稳定性是通过线性化时滞微分方程来判断原方程解的稳定性。

首先，我们要找到系统的平衡点$x^*$，即满足$f(x^*,x^*-\tau)=0$的点。

然后，我们将方程在$x^*$附近展开成泰勒级数，保留一阶项，即$$\frac{dx}{dt} = f(x^*,x^*-\tau) +\frac{df}{dx}\bigg|_{x=x^*}(x-x^*),$$其中$\frac{df}{dx}\bigg|_{x=x^*}$表示$f$对$x$的偏导数在$x=x^*$处的值。

线性稳定性的判断依据是线性化方程的特征值。

如果所有特征值的实部都小于零，则认为解是稳定的。

反之，如果存在特征值的实部大于零，则解是不稳定的。

非线性稳定性是通过对解的特性方程进行分析来判断的。

特性方程的形式为$$\lambda + \frac{df}{dx}\bigg|_{x=x^*} = 0.$$我们将其写成复数形式$\lambda = \alpha + i\omega$，其中$\alpha$表示实部，$\omega$表示虚部。

一类带收获和时滞的生态经济模型的稳定性和Hopf分支_图文_(精)

５ｌ６数学杂志Ｖｂ１．３３七。

长∞ 一∞ 。

＾Ｊｃ．山０Ｉ１：＇、ＱＩＯ．Ｏ９６Ｏ．Ｏ９５５Ｏ．Ｏ９５ｏ．０９４５｜Ｉ鲁娶ｌｊ０４ｌａｌｓａ意山．Ｉｏ≈０ａＪｃＩ．＞七０∞ Ｏ．Ｏ９４Ｏ．ｏ９３５Ｏ．３６图１７＿：０．７５＜ＴＯ，正平衡点Ｙｏ＝（０．６７，０．３８，０．１０）是渐近稳定的ａ）Ｑ ×ＩＯ．０９６Ｏ．１Ｏ．Ｏ９５．Ｏ９５０．０９４Ｏ．Ｏ９Ｏ．７Ｏ．Ｏ９３ｙ—ｐ图２当丁＝０．７９５＜Ｔｏ正平衡点ｙ０：（０．６７，０．３８，０．１０）处分支周期解李华刚等：一类带收获和时滞的生态经济模型的稳定性和Ｈｏｐｆ分支∞ ∞ ＾Ｊ哪ｃ● ５１７茎８秀。

图３当７＿＝０．９＞７０正平衡点ｙ０＝（０．６７，０．３８，０．１０）是不稳定的３结论本文避开直接研究微分代数系统的困难，通过微分代数系统局部参数化的方法把微分代数系统转化为等价的二维微分系统，通过研究微分系统的稳定性和Ｈｏｐｆ分支性质，从而得到微分代数系统与之有相同的性质．４数值模拟对于系统（１．２），取参数／＇１＝ａ２＝Ｐ＝ｌ，。

＝ｍ＝ｒ２＝１，ａｌ＝２，ｃ＝石１，＝面１，则系统＿＝＿一㈤），．１【Ｅ（）（（ｔ）一）一：０．通过计算容易求的正平衡点Ｙｏ＝（０．６７，０．３８，０．１０），Ａ＝百１，Ｂ＝，Ｃ＝１，Ｄ＝，Ｗ０＝参考文献［１】马知恩．种群生态学的数学模型与研究［Ｍ］．合肥：安徽教育出版社，１９９６．【２］刘宣亮，戴国仁．一个食饵种群具有常数收获率和具有ＩＩＩ类功能性反应系统的定性分析［Ｊ］．生物数学学报，１９９７，１２（３）：２１３—２２２．５１８数学杂志Ｖｏ１．３３ ¨Ｕ杨建雅，张风琴．一类具有阶段结构的捕食食饵种群收获模型ｆＪ］．数学杂志，２０１０，３０（６）：１０７７—１０８３．【３］［４］邱林．具有时滞的细胞神经网络吸引集与周期解存在性［Ｊ＿．．Ｉ＝程数学学报，２００８，２５（２）：２１１—２１８．【５１ＭａｒｔｉｎＡ，ＲｕａｎＳ．Ｐｒｅｄａｔｏｒ—ｐｒｅｙｍｏｄｅｌｓｗｉｔｈｄｅｌａｙａｎｄｐｒｅｙｈａｒｖｅｓｔｉｎｇ［Ｊ］．Ｊ．Ｍａｔｈ．Ｂｉｏ１．，２００１，４３：２４７－２６７．田晓红，徐瑞，工丽丽．一类具时滞和收获的捕食模型的稳定性与Ｈｏｐｆ分支＿Ｊ］．＿ｒ程数学学报，２０１０，２７（４）：６８４～６９２．ＧｏｒｄｏｎＨＳ．Ｅｃｏｎｏｍｉｃｔｈｅｏｒｙｏｆａｃｏｍｍｏｎｐｒｏｐｅｒｔｙｒｅｓｏｕｒｃｅ：ｔｈｅｉｆｓｈｅｒｙ［Ｊ］．Ｐｏｌｉｔ．Ｅｃｏｎ．．１９５４．６２：１２４１４２．ＣｈａｏＬ．Ｄｙｎａｍｉｃａｌｂｅｈａｖｉｏｒｉｎａｈａｒｖｅｓｔｅｄｄｉｆｅｒｅｎｔｉａｌ—ａｌｇｅｂｒａｉｃｐｒｅｙ．ｐｒｅｄａｔｏｒｍｏｄｅｌｗｉｔｈｄｉｓｃｒｅｔｅｔｉｍｅｄｅｌａｙａｎｄｓｔａｇｅｓｔｒｕｃｔｕｒｅ［Ｊ］．ＪｏｕｒｎｌａｏｆｔｈｅＦｒａｎｋｌｉｎＩｎｓｔｉｔｕｔｅ，２００９，ｄｏｉ：１０．１０１６．ＢｏｓｈａｎＣ，ＸｉａｏｘｉｎＬ，ＹｏｎｇｑｉｎｇＬ．Ｎｏｒｍａｌｆｏｒｍｓａｎｄｂｉｆｕｒｃａｔｉｏｎｓｆｏｒｔｈｅｄｉｆｅｒｅｎｔｉａｌａｌｇｅｂｒａｉｃｓｙｓｔｅｍｓ［ＪＪ．ＡｃｔａＭａｔｈ．Ａｐｐ１．Ｓｉｎｉｃａ，２０００，２３：４２９—４３３．ＧｕｏｄｏｎｇＺ，ＬｕｌｕＺ，ＢｏｓｈａｎＣ．Ｈｏｐｆｂｉｆｕｒｃａｔｉｏｎａｎｄｓｔａｂｉｌｉｔｙｏｒｆａｄｉｆｅｒｅｎｔｉａｌ。

一类具有时滞的松材线虫非线性传播模型的稳定性分析和Hopf分支

一类具有时滞的松材线虫非线性传播模型的稳定性分析和
Hopf分支
张蒙;师向云
【期刊名称】《信阳师范学院学报：自然科学版》
【年(卷),期】2017(30)1
【摘要】建立带有松褐天牛羽化时滞的微分方程模型,研究松褐天牛的羽化时间对松材线虫病在松树间传播的影响,得到了平衡状态稳定时滞的临界条件和Hopf分支.最后用Matlab对模型进行了数值模拟以验证数学结果.
【总页数】5页(P17-21)
【关键词】松材线虫;松褐天牛;时滞;Hopf分支
【作者】张蒙;师向云
【作者单位】北京建筑大学理学院;信阳师范学院数学与统计学院
【正文语种】中文
【中图分类】O175.2
【相关文献】
1.一类具有时滞的传染病数学模型的Hopf分支和稳定性分析 [J], WANG Xiaojing;WANG Xueping;BAI Yuzhen;XU Chuanqing;LI Zeyu
2.一类具有时滞的传染病数学模型的Hopf分支和稳定性分析 [J], 王晓静;王雪萍;白玉珍;许传青;李泽妤;
3.一类具病毒感染的肿瘤免疫时滞模型稳定性与hopf分支分析 [J], 刘芳;朱恵延;
郭宇
4.一类具有时滞的非线性物价模型的稳定性与Hopf分支 [J], 廖茂新;邓兴颖;张露露
5.一类具有时滞的传染病模型Hopf分支及稳定性分析 [J], 张露露;廖茂新;邓兴颖因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

一类具有时滞的病毒模型的稳定性及Hopf分支

— Ｃ则（）ｔ，１化为
ｆ（＝）￡（ｄａ￡）￡ｘ）（一）ｔ
ｄ（）ｙｔ一ｃ是一（）（￡）＋（￡一ｒ（））￡（）２
【 ” 一）））ｄ）ｒ￡￡ｚ一（一（￡（ｔ
定义１若方程（）ｆｔ￡）ｘ（ — ｒ）其中 ∈ Ｒ，２￡一（，），ｔ），（ｒ０的零解都是渐近稳定的．则其零解称为全时滞稳定的．
（）（，）一ｄｔａ＋ｂｉ△ Ｏｅｌ，一
夏学文教授推荐收稿日期：０６１２０年０月１６日
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１４Ｏ
数学理论与应用
第２７卷
．
７（）一Ｖ（），（）一Ｅ户￡（）＝Ｅ￡，一，Ｃ￡￡￡（），￡（）口６— ７Ｅ，ｖｃ— Ｃｐ，一ｂ行一ｂ，ＩＥ户，ａｋ— ＥｏｐｒＡｉａｄｌｔｅａｓｉｎｅｔａｅｔｅｓｆｉｉｎｎｅｅｓｒｏｄｔｏｓｏｓｒｃｎｔｉａｅ。ｖｒｌｍｏｅｗｉｈｄｌｙｎｉｖｓｉｔｄ，ｈｕｆｃｅｔａｄｎｃｓａｙｃｎｉｎｆｇｉｔｅｃｍｐｅｅｄｌｙｓａｉｔｒｉｅＴｈｏｄｔｎｒｒｅｎｒｃｉｌｌｅｒｉｒｔｒｎ．ｕｔｅｍｏｅｈｏｌｔｅａｔｂｌｙａｅｇｖｎ．ｅｃｎｉｏｓａｅｂｉｆｄｐａｔｃｇｂａｃｃｉｅｉｓＦｒｈｒｒ。ｉｉａａａｏＴｈｅａｏｎｎｈｏｄｔｏｓｏｈｘｓｅｃｆＨｏｆｂｆｒａｉｎａｅｏｔｉｅ．ｅｄｌｙｂｕｄａｄｔｅｃｎｉｉｎｆｔｅｅｉｔｎｅｏｐｉｃｔｏｒｂａｎｄｕ

一类具有时滞和常数收获率的比率型功能性反应的捕食-被捕食模型的稳定性与Hopf分支

ｗｉｈＴｉｅＤｅａｎａＶｓｉｇｔｍｌｙａｄＨｒｅｔｎ
ＸＵＥ．ｏ．ＸＵｉＬｉｂＲｕ
（ｅａｔｅｔｆａｉＣｕｓｓｒｎｎｅＥｅｒｇＣｌｇ，Ｓｉａｈａｇ５ｏ３ｈｎ）Ｄｐｒｎ０ｓｏｒ，ｄａｃｎｎｅｉｏｌｅｈｊｚｕｎ０Ｏ０，ＣｉａｍＢｃｅ０ｎｅｉ
ｄｃｉｎ，ｅｄｒｅｅｐｉｉｆ瑚ｕａｄｔｎｌｉｇｔｅｐｌｅｔｓｏｉＩａｉｇｐｒｄｃｓｌｔｎ．ｉａｌ，ｕｕｔｏｗｅｉｘｌｔｌｖｃｏｌｅｅＩｎｎＩｐｒｅｆｆｌｔｅｉｉｏｕｉｓＦｎｌｎ — ｉｈ０ｉｂ．ｃｎｕｏｏｙ
一
类具有时滞和常数收获率的比率型功能性反应的捕食一被捕食模型的稳定性与Ｈ分支叩ｆ
薛立波，徐瑞
（军械工程学院基础部，河北石家庄０Ｏ０）５０３
摘要：研究一类具有时滞和常数收获率的比率型功能性反应的捕食一被捕食模型。首先，分析了模型奇点的类
型，研究了正平衡点的局部稳定性以及Ｈｐ分支的存在性；然后应用中心流形和规范型理论，得到了关于确定ｏｆ
在实际生物开发过程中，如何获得最大年开发量，取得最大的经济效益，是生态经济中十分关注的问题。具有收获的种群动力学模型已受到广泛关注，已经取得许多了相关重要成果。在文献［］２
Ｈｐ分支方向和分支周期解稳定性的计算公式；最后，应用Ｍａａ软件对所得理论结果进行了数值模拟。ｏｆｔｂｌ关键词：时滞；收获率；稳定性；Ｈｐ分支；周期解ｏｆ中图分类号：Ｑ４；Ｏ７１１１５文献标识码：Ａ

一类具时滞病毒模型的局部稳定性及Hopf分支

一类具时滞病毒模型的局部稳定性及Hopf分支本文对一类具时滞的病毒模型进行分析,得到该模型平衡点的稳定性情况。

对正平衡点,导出了存在Hopf分支的条件,并给出了时滞界限τ<sub>0</sub>,确定在适当参数条件下,τ<sub>0</sub>为Hopf分支值,接着计算了分支方向,讨论了分支周期解的稳定性等性质。

本文作如下安排:第一节介绍时滞微分方程的特征方程,及基本的定义,理论和用到的主要的理论工具,第二节分析了一类具有时滞的病毒模型,得到了该模型正平衡点的稳定条件,这些条件都是简明的代数判据,同时得到了时滞界限。

给出了存在Hopf分支的条件,运用Hassard的方法讨论了分支方向及分支周期解的稳定性等性质。

第三节给出一个例子,对所得公式进行了数值检验。

一类具有时滞的捕食者-食饵模型的稳定性和Hopf分支

一类具有时滞的捕食者-食饵模型的稳定性和Hopf分支一类具有时滞的捕食者-食饵模型的稳定性和Hopf分支摘要：捕食者-食饵模型可用于研究生态系统中的捕食行为和食物链稳定性。

在现实生态系统中，许多因素会对捕食者与食饵之间的相互作用产生影响，其中一个重要因素就是时滞。

本文通过引入时滞因素，研究了一类具有时滞的捕食者-食饵模型的稳定性和Hopf分支。

通过数学模型的建立与分析，我们得到了该系统的平衡点存在以及Hopf分支发生的条件，并利用MATLAB软件进行了数值模拟。

结果表明，时滞对系统的稳定性和动态性质具有重要影响，适当的时滞引入可以使系统产生周期性振荡。

1. 引言生态系统中的捕食者-食饵关系是一个重要而复杂的生态现象，其研究可以揭示自然规律并帮助我们更好地了解生态系统的运行机制。

捕食者-食饵模型在生态学中被广泛应用，其中Lotka-Volterra模型是最经典的一种。

2. 模型的建立我们考虑一个具有时滞的捕食者-食饵模型，其中食饵种群用x表示，捕食者种群用y表示。

模型可以表示为以下方程组：dx/dt = ax(1 - bx) - cxy(t - τ)dy/dt = -fy + hxy(t - σ)其中a, b, c, f, h是正常数，τ和σ是时滞参数。

3. 平衡点的存在性首先，我们研究该模型的平衡点的存在性。

设平衡点为(x0, y0)，即dx/dt = 0，dy/dt = 0。

通过求解方程组，我们可以得到平衡点的表达式。

4. 稳定性分析接下来，我们研究平衡点的稳定性。

通过线性稳定性分析，我们可以判断平衡点的稳定性。

当α = β = 0时，模型简化为传统Lotka-Volterra模型，它的平衡点为(0, 0)和(1/b, 0)。

根据稳定性分析，我们得到当r < 1时，平衡点(0, 0)是稳定的；当r > 1时，平衡点(1/b, 0)是稳定的。

其中r = ah/(bf)。

5. Hopf分支的发生条件在本文的模型中，我们引入了时滞参数τ和σ。

一类生物动力系统的稳定性与Hopf分岔研究

一类生物动力系统的稳定性与Hopf分岔研究一类生物动力系统的稳定性与Hopf分岔研究摘要：生物动力系统是一类具有时变性和非线性特征的系统，其稳定性研究对于了解生物体内复杂的动态行为具有重要意义。

本文通过对一类生物动力系统的分析研究，探讨了其稳定性特性及Hopf分岔现象的产生原因和影响因素。

1 引言生物动力系统是指生物体内由多个动力学变量组成的系统，其变量之间相互作用，通过不同的动态行为来实现生物体内各种复杂的功能要求。

稳定性是生物动力系统研究中的重要问题之一，其对于生物体内复杂行为的理解具有重要意义。

而Hopf分岔是生物动力系统中常见的一种稳定性转变现象，因此具有重要的研究意义。

2 生物动力系统的建模生物动力系统的建模是研究生物体内复杂行为的关键一步。

为了研究稳定性和Hopf分岔现象，首先需要构建适当的生物动力系统模型。

以消耗物种-捕食物种模型为例，在该模型中，消耗物种的增长受到环境资源和捕食物种影响，捕食物种的增长来源于消耗物种的捕食。

通过建立动力学方程来描述消耗物种和捕食物种的变化规律，从而获得该生物动力系统的数学模型。

3 稳定性分析稳定性分析是确定生物动力系统在不同状态下是否稳定的重要手段。

在稳定性分析中，牵涉到线性稳定性分析和非线性稳定性分析两个方面。

线性稳定性分析通过计算线性系统的特征根，来判断系统的稳定性。

而非线性稳定性分析则将系统转化为微分方程组，通过分析系统的Bifurcation Diagram和Lyapunov指数等指标，来推断系统的稳定性。

4 Hopf分岔分析Hopf分岔是一类生物动力系统中常见的稳定性转变现象，其产生是由于系统参数的微小变化导致了周期运动的出现。

在Hopf分岔现象中，存在一个临界点，当系统参数在此点附近变动时，系统在稳定平衡点附近的周期运动在时间的演变下产生。

5 影响Hopf分岔的因素Hopf分岔的产生受到多个因素的影响。

其中，系统参数的变化范围是影响Hopf分岔的一个重要因素。

一类具有时滞的捕食系统的稳定性与Hopf分支

２ｎ１＋ａ１）（１１Ｃ
Ｙ＝［Ｂｒ＋Ｃ１一ｎ１ｈ—ａ）＋［Ｂｒ＋（ｈ１ｒ１Ａ１（ｈ１
ｆ＝ｒｎ（一号）一ｔ（）＿【
【ｒ）一ａ（［ｙｔ１ｒ］＇
】，，
、
Ｃ１一ａｌｈ—ｎ）ｒｌＡ１＋４ｎ１＋ａｌｈＡ１（１Ｂｌ）ｒ］／Ｃｌ
的存在性问题。
关键词：捕食系统；时滞；Ｈｐ分支；李雅普诺夫泛函；全局稳定性ｏｆ中图分类号：Ｏ７．４１５１文献标识码：Ａ
Ｓａｌｔｎｐｆｃｔｏｏｄａｏ－ｒｙＭｏｌｗｉｈｍｅＤｅａｔｂｉｙａｄＨｏｆＢｉｕｒａｉｎｆａＰｅｔｒｐｅｄｅｔＴｉｌｙｉ
对捕食系统的分析在生物数学的研究中具有十
容易验证，系统（）１具有唯一正平衡点Ｅ，（Ｙ，中）其
＝
分重要的地位和作用。文献［］１对此做了比较系统的分析。笔者将讨论具有Ｂｄｉｔｅｄｎｏ能性反应函ｇｎ功数的捕食者一饵模型及其正平衡点的局部和全局食
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第ｌ９卷第３期
２００７年６月
军
械
工
程
学
院
学
报
Ｖ１１ｏ３０．９Ｎ．
ＪｕｎｌｏｄａｃｎｉｅｒｇＣｏｅｅｏｒａｆＯｒｎｎｅＥｇｎｅｉｌｇｎｌ
Ｊｎ，２０ｕ．０７
文章编号：１０２５（０７３－０６－３０８— ９６２０）００７０

一类具有时滞的SIR_传染病模型的稳定性与Hopf_分支

第37卷第1期2023年2月南华大学学报(自然科学版)Journal of University of South China(Science and Technology)Vol.37No.1Feb.2023收稿日期:2022-10-01基金项目:湖南省自然科学基金项目(2020JJ4516);湖南省研究生科研创新项目(CX20220980)作者简介:李伟南(1998 ),女,硕士研究生,主要从事微分方程方面的研究㊂E-mail:2634945248@㊂∗通信作者:廖茂新(1969 ),男,教授,博士,主要从事微分方程方面的研究㊂E-mail:841139745@DOI :10.19431/ki.1673-0062.2023.01.009一类具有时滞的SIR 传染病模型的稳定性与Hopf 分支李伟南,廖茂新∗,李冰冰(南华大学数理学院,湖南衡阳421001)摘㊀要:本文研究了一类具有非线性发生率和恢复率的修正的SIR 模型,考虑了疾病的潜伏期作为时滞因素,首先得到了模型的基本再生数R 0,然后运用时滞微分方程的稳定性和分支理论,分析了模型无病平衡点和地方病平衡点的稳定性,得到了在地方病平衡点Hopf 分支存在的条件,最后用MATLAB 数值模拟验证结果㊂关键词:Hopf 分支;时滞;平衡点;基本再生数中图分类号:O175文献标志码:A文章编号:1673-0062(2023)01-0059-05Stability and Hopf Bifurcation of SIR Infectious Disease Modelwith Time DelayLI Weinan ,LIAO Maoxin ∗,LI Bingbing(School of Mathematics and Physics,University of South China,Hengyang,Hunan 421001,China)Abstract :In this paper,a modified SIR model with nonlinear incidence and recovery rate is studied.The latent period of the disease is considered as the delay factor.First the basic regeneration number R 0of the model is obtained,then the stability of disease-free equilibrium and endemic equilibrium is analyzed by using the stability and bifurcationtheory of delay differential equation.The conditions of Hopf bifurcation at endemic equilib-rium point were obtained,and the results were verified by MATLAB numerical simulation.key words :Hopf bifurcation;delay;balance;basic regeneration number0㊀引㊀言近年来,国际上传染病动力学的研究极为迅速,大量的数学模型被用于分析各种各样的传染病问题㊂Kermack-McKendrick 模型是传染病模型中最经典㊁最基本的模型,后来学者对该模型进行了不同角度的研究,在研究过程中,研究者们发现人体受到感染后,感染初期并不会表现出任何的第37卷第1期南华大学学报(自然科学版)2023年2月症状,在一段时间之后,某些症状才会逐步表现出来[1-3]㊂研究初期人们并未考虑到时滞延迟因素,后来研究者们发现引入时滞(单或双时滞)因素,如疾病的潜伏周期,免疫周期以及恢复周期等得到的结果更加逼近实际[4-7]㊂对此方面的研究已经取得了很多成果,为更加有效的预防和治疗传染病提供了依据[8-9]㊂基于前人既有的研究成果,本文在文献[10]一类具有非线性发生率和恢复率的修正SIR 模型中,引入时滞得到以下模型:d S (t )d t=A -βI (t -τ)S (t -τ)k +I (t -τ)-μS (t ),d I (t )d t =βI (t -τ)S (t -τ)k +I (t -τ)-(α0+(α1-α0)b b +I (t ))I (t )-(γ+μ)I (t ),d R (t )d t =α0+(α1-α0)b b +I (t )()I (t )-μR (t )㊂ìîíïïïïïïïïïïïï(1)式中:S (t )㊁I (t )㊁R (t )分别表示在t 时刻易感染人群㊁已感染人群和恢复人群的数量;N (t )为t 时刻的人口总数;K 表示干预水平;α0和α1分别表示由于卫生保健资源的不足和亚人口感染造成的最小和最大人均恢复率;b 为医院床位数量对传染病传播的影响;A 为人口的出生率;β为接触率;μ为人口自然死亡率;γ为人群因病死亡率;τ为疾病的潜伏期㊂考虑到生物学意义,假设该系统中所有参数均为非负数㊂因系统(1)的前两个方程中没有出现R (t ),所以只需考虑前两个方程即可,其中R (t )=N (t )-S (t )-I (t )㊂d S (t )d t=A -βI (t -τ)S (t -τ)k +I (t -τ)-μS (t ),d I (t )d t =βI (t -τ)S (t -τ)k +I (t -τ)-(α0+(α1-α0)bb +I (t ))I (t )-(γ+μ)I (t )㊂ìîíïïïïïïï(2)1㊀模型的动力学分析1.1㊀平衡点的稳定性经计算可得系统(2)总存在一个无病平衡点E 0Aμ,0(),如果R 0>1,系统有唯一正平衡点(S ∗,I ∗),其中S ∗=(α0I ∗+α1b +bγ+bμ+γI ∗+μI ∗)(k +I ∗)β(b +I ∗),I∗=(A -μS ∗)k μS ∗+βS ∗-A㊂㊀㊀由基本再生数的生物意义,计算系统(2)可得基本再生数R 0=βAkμ(α1+γ+μ)㊂定理1㊀当R 0<1,无病平衡点E 0是局部渐进稳定的;R 0>1,无病平衡点E 0是不稳定的㊂证明:系统(2)在E 0Aμ,0()附近对应线性近似系统为d S (t )d t=-μS (t )-βA μk I (t -τ),d I (t )d t =-(γ+μ+α1)I (t )+βA μk I (t -τ)㊂ìîíïïïï(3)㊀㊀系统(3)对应的特征方程为㊀(λ+μ)(λ+γ+μ+α1-βA μke -λτ)=0㊂(4)特征值λ1=-μ,λ2满足λ+γ+μ+α1-βA μke -λτ=0㊂(5)㊀㊀当R 0<1时,假设λ=α+βi,则代入式(5)可得Re(λ)=βA μke -ατcos βτ-(γ+μ+α1)ɤβAμk-(γ+μ+α1)=(R 0-1)(γ+μ+α1)㊂㊀㊀由于R 0<1,则Re(λ)<0,特征方程(4)所有根具有负实部,所以当R 0<1时,无病平衡点E 0是局部渐进稳定的㊂当R 0>1时,f (λ)=λ+γ+μ+α1-βA μke -λτ,f (0)=γ+μ+α1-βA μk=(1-R 0)(γ+μ+α1)<0,lim λң+ɕf (λ)=+ɕ㊂则f (λ)=0必存在一个正实根,因此当R 0>1,无病平衡点E 0是不稳定的㊂引理1㊀当R 0>1,τ=0时,系统(2)满足文献[10]中定理3的条件,则正平衡点(S ∗,I ∗)是局部渐进稳定的㊂证明:系统(2)在正平衡点(S ∗,I ∗)附近对应线性近似系统为第37卷第1期李伟南等:一类具有时滞的SIR 传染病模型的稳定性与Hopf 分支2023年2月d S (t )d t =-μS (t )-βI ∗k +I ∗S (t -τ)-kβS ∗(k +I ∗)2I (t -τ),d I (t )d t =(-(α0+γ+μ)-(α0-α1)ˑb 2(b +I ∗)2)I (t )+βI ∗k +I ∗S (t -τ)+kβS ∗(k +I ∗)2I (t -τ)㊂ìîíïïïïïïïïïïïïïï(6)令m 0=-μ,m 1=-βI ∗k +I ∗,m 2=-kβS∗(k +I ∗)2,m 3=-(α0+γ+μ)-(α0-α1)b 2(b +I ∗)2㊂则系统(6)可以改写为:d S (t )d t =m 0S (t )+m 1S (t -τ)+m 2I (t -τ),d I (t )d t=m 3I (t )-m 1S (t -τ)-m 2I (t -τ)㊂ìîíïïïï(7)㊀㊀系统(7)的特征方程为:λ2-(m 0+m 3)λ+m 0m 3+e -λτ((m 2-m 1)λ+㊀m 1m 3-m 0m 2)=0㊂(8)当τ=0时,方程(8)为λ2+(m 2-m 1-m 0-m 3)λ+m 0m 3+m 1m 3-㊀m 0m 2=0㊂根据文献[10]定理3有(H1)m 2-m 1-m 0-m 3>0,m 0m 3+m 1m 3-m 0m 2>0㊂根据Routh-Hurwitz 准则,当R 0>1,τ=0时,正平衡点(S ∗,I ∗)是局部渐进稳定的㊂引理2㊀当τ>0时,方程(8)有一对纯虚根㊂证明:当τ>0时,设λ=ωi(ω>0)是方程(8)的纯虚根㊂代入方程(8)进行分离实部和虚部可得ω2-m 0m 3=(m 2-m 1)ωsin ωτ+(m 1m 3-m 0m 2)cos ωτ,(m 0+m 3)ω=(m 2-m 1)ωcos ωτ-(m 1m 3-m 0m 2)sin ωτ㊂ìîíïïïïïï(9)㊀㊀将式(9)两边平方之后相加可得ω4+(m 20-m 21-m 22+m 23+2m 1m 2)ω2+(m 20m 23-㊀m 20m 22-m 21m 23+2m 0m 1m 2m 3)=0㊂(10)令Z 2=ω,则式(10)变为Z 2+(m 20-m 21-m 22+m 23+2m 1m 2)Z +(m 20m 23-㊀m 20m 22-m 21m 23+2m 0m 1m 2m 3)=0㊂(11)假设满足(H2)m 20-m 21-m 22+m 23+2m 1m 2>0,(H3)m 20m 23-m 20m 22-m 21m 23+2m 0m 1m 2m 3<0㊂则方程(11)存在唯一正实根Z 0=-(m 20-m 21-m 22+m 23+2m 1m 2)+Δ2,其中Δ=(m 20-m 21-m 22+m 23+2m 1m 2)2-4(m 20m 23-m 20m 22-m 21m 23+2m 0m 1m 2m 3)㊂显然,方程(10)仅有一个正实根ω0=Z 0=-(m 20-m 21-m 22+m 23+2m 1m 2)+Δ2㊂把ω0代入(9)式可得τk =1ω0arccos(1(m 1m 3-m 0m 2)2+(m 2-m 1)2ω20ˑ((ω20-m 0m 3)(m 1m 3-m 0m 2)+ω20(m 0+m 3)(m 2-m 1))+2k πω0,k =(0,1,2,3 )㊂(12)㊀㊀引理3㊀d(Re(λ))d τλ=ω0i,τ=τk>0,其中τk为式(12)㊂证明:现只需证明d(Re(λ))d τ|λ=ω0i >0即可㊂将方程(8)对τ求导可得2λd λd τ-(m 0+m 3)d λd τ+e -λτ-λ-τd λd τ()((m 2-㊀m 1)λ+m 1m 3-m 0m 2)+e -λτ(m 2-m 1)d λd τ=0㊂计算再有d λd τ()-1=2λ-m 0-m 3λ[-λ2+(m 0+m 3)λ-m 0m 3]+(m 2-m 1)λ[(m 2-m 1)λ+m 1m 3-m 0m 2]-τλ㊂则有signdRe λd τ()λ=ω0i{}=sign Red λd τ()-1λ=ω0i{}=sign Re2λ-m 0-m 3λ(-λ2+(m 0+m 3)λ-m 0m 3)λ=ω0i{}+第37卷第1期南华大学学报(自然科学版)2023年2月sign Re(m 2-m 1)λ((m 2-m 1)λ+m 1m 3-m 0m 2)λ=ω0i{}=sign Re 2ω0i -m 0-m 3-(m 0+m 3)ω2+[(ω20-m 0m 3))ω0i (){}+sign Re (m 2-m 1)(-(m 2-m 1)ω20+(m 1m 3-m 0m 2)ω0i)(){}=sign 2ω20+m 20+m 23(m 0+m 3)2ω20+(ω20-m 0m 3)2-(m 2-m 1)2(m 2-m 1)2ω20+(m 1m 3-m 0m 2)2{}=sign 2ω20+m 20+m 23-(m 2-m 1)2(m 0+m 3)2ω20+(ω20-m 0m 3)2{}=sign 2ω20+m 20-m 21-m 22+m 23+2m 1m2(m 0+m 3)2ω20+(ω20-m 0m 3)2{}㊂㊀㊀根据(H2)m 20-m 21-m 22+m 23+2m 1m 2>0,即证明横截性条件满足㊂根据上述引理2㊁引理3㊁引理4,结合Hopf 分支定理,可以得到如下结论:定理2㊀当τ>0且R 0>1时,若条件(H2)㊁(H3)满足,则当τɪ[0,τ0),τ0=min(τk )时,系统(2)的平衡点是局部渐进稳定的;当τ>τ0时,系统(2)的平衡点是不稳定的;在τ=τ0时,系统(2)在平衡点处出现Hopf 分支㊂2㊀数值模拟当系数取A =1,β=0.5,k =1,μ=0.1,r =0.2,α0=0.2,α1=0.3,b =0.05时,系统(2)为d S (t )d t=1-0.5I (t -τ)S (t -τ)1+I (t -τ)-0.1S (t ),d I (t )d t =0.5I (t -τ)S (t -τ)1+I (t -τ)-(0.2+0.0050.05+I (t ))I (t )-0.3I (t )㊂ìîíïïïïïïï㊀㊀此时,R 0=8.3>1,τ0=8.0,系统(2)存在唯一的正平衡点,且正平衡点是局部渐进稳定的,选择τ=7<τ0(见图1);在同样的参数条件下,选择τ=9>τ0,此时正平衡点不再稳定(见图2)㊂图1㊀系统(2)的平衡点渐进稳定(τ=7<τ0)第37卷第1期李伟南等:一类具有时滞的SIR传染病模型的稳定性与Hopf分支2023年2月图2㊀系统(2)的平衡点失去稳定性,并产生Hopf分支(τ=9>τ0)Fig.2㊀The equilibrium point of system(2)loses stability and produces Hopf bifurcation(τ=9>τ0)3㊀结㊀论本文讨论了一类具有非线性发生率和恢复率的修正的SIR模型,在引入潜伏期作为时滞参数后,对地方病平衡点和正平衡点进行稳定性分析,得到了系统(2)局部渐进稳定和Hopf分支产生的充分条件,并利用数值模拟验证了理论分析的正确性㊂参考文献:[1]RUAN S G,WANG W D.Dynamical behavior of an epi-demic model with a nonlinear incidence rate[J].Journal of differential equations,2003,188(1):135-163. [2]XIAO D,RUAN S G.Global analysis of an epidemic model with nonmonotone incidence rate[J].Mathematical biosciences,2007,208(2):419-429.[3]BRAUER F.The Kermack-McKendrick epidemic model revisited[J].Mathematical biosciences,2005,198(2): 119-131.[4]TCHUENCHE J M,NWAGWO A,LEVINS R.Global be-haviour of an SIR epidemic model with time delay[J].Mathematical methods in the applied sciences,2007,30 (6):733-749.[5]WANG W D.Global behavior of an SEIRS epidemic model with time delays[J].Applied mathematics letters, 2002,15(4):423-428.[6]原三领,韩丽涛,马知恩.一类潜伏期和染病期均传染的流行病模型[J].生物数学学报,2001,16(4): 392-398.[7]许立滨,李冬梅,杨美英.一类具有治愈期和免疫失效期的SIRS模型[J].哈尔滨理工大学学报,2014,19 (6):113-117.[8]谢英超,程燕,贺天宇.一类具有非线性发生率的时滞传染病模型的全局稳定性[J].应用数学和力学2015,36(10):1107-1116.[9]LIU L J.A delayed SIR model with general nonlinear inci-dence rate[J].Advances in difference equations,2015, 2015(1):329.[10]ALSHAMMARIl F S,KHAN M A.Dynamic behaviors ofa modified SIR model with nonlinear incidence and re-covery rates[J].Alexandria engineering journal,2021, 60(3):2997-3005.(下转第100页)第37卷第1期南华大学学报(自然科学版)2023年2月梯状结构连接,形成二维网状结构㊂荧光测试表明,配合物1对2,4,6-三硝基苯酚具有高灵敏性和高选择性识别,淬灭常数为6.5ˑ104L/mol,配合物1对检测废水中的TNP具有潜在的应用价值㊂参考文献:[1]ZHANG J F,LIU Y H,FENG J Y,et al.Decanuclear cluster-based metal-organic framework with a(3,11)-conneced topology and highly sensitive2,4,6-trinitro-phenol detection[J].Inorganic chemistry,2019,58(15): 9749-9755.[2]CHAKRABORTY D,BEJ S,SAHOO S,et al.Novel nan-oporous Ti-phosphonate metal-organic framework for se-lective sensing of2,4,6-trinitrophenol and a promising electrode in an energy storage devive[J].ACS suntainable chemistry&engimeering,2021,9(42):14244-14237. 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一类具有时滞和非线性发生率的SIRS传染病模型稳定性与Hopf分岔分析

理：
（ｍ＋／ｚｏ），ｎ＝
１模型的建立
本章所建立的ＳＩＲＳ时滞传染病模型：
ｄＸ
＝
（
＋．ｓ（ｆ）一（ｔｏ＋ｔＺｏ））一
一
）倒）
传播仍存在一定的差距，特别是对某些传染病或接触性疾病，在不同的年龄阶段，其传播概率有很大不同，某些类型的疾病在成人中的传播概率很大，如淋病，ＡＩＤＳ等，而有些疾病，如麻疹，水痘等则在儿童中的传播概率较大．因此，为了更清楚的描述
疾病的传播机理，就需在相应的传染病模型中考虑阶段结构．于是，在刻画传染病模型时，具有阶段结构的传染病模型能更好地反映生物个体的生
ｄｔ１
：
－
ｄＳ
口
＝ｃｏＸ（ｃ）＿
Ｉ－ｏｄ（一）
十通讯作者Ｅ — ｍａｉｌ：ｈｏｎｇｌｉｎｇ＠ｍａｉｌ．ｘｊｔｕ．ｅｄｕ．ｃｎ
８０
动
力
学
与
控
制
学
报
２０１４年第１２卷
重新获得易感染能力的概率，丁为疾病的潜伏别．
“ ＝・＋
，ｓ＝
１６７２－６５５３／２０１４／１２（１）／０７９．７
动力学与控制学报
Ｊ０ＵＲＮＡＬＯＦＤＹＮＡＭＩＣＳＡＮＤＣＯＮＴＲＯＬ

一类带时滞的SIR传染病模型的稳定性与Hopf分岔分析

４地方病平衡态的稳定性及Ｈｏｆ岔分析ｐ分
与无病平衡态中稳定性讨论方法类似，可得地方病平衡态Ｅ附近的线性近似系统为：
ｆ尘一ｓ￡一（一）一（￡）
Ｉｄ
｛一一）￡）（ｒ（（ｓ一＋ｔ）（）－【一（）ｖＳ一 ∽
Ｖｏ．０Ｎ．１１ｏ２Ｊｎ２１ｕ．０１
一
类带时滞的ＳＲ传染病模型的Ｉ稳定性与Ｈｏｆｐ分岔分析
高彩琳
（津大学理学院，津３０７）天天００２
［要］研究了一类带有时滞且具有预防接种免疫力的ＳＲ传染病模型．助特征值理论分摘Ｉ借
』＋十ｓ一０＿ｎｆＡｉ（ｃ，
（）６
ｌ — Ｓ一ｕ — Ｏ／ＩＣａ一０一Ｅ
第２期
高彩琳：类带时滞的ＳＲ传染病模型的稳定性与Ｈｏｆ岔分析一Ｉｐ分
１３
进一步得０Ｄ ≠Ｔ整理９ “ ２
定理２假设。１立，＞成则存在ｒ（一０１２，一ｎ，， …）无病平衡点Ｅ在的两侧稳定性发生了变化，０
即产生了Ｈｏｆ岔，ｒｐ分且一（＝０１２为系统的分岔值．ｎ＝，， …）：证明由于在特征方程（），一ｚ－／４中Ｙ＝，一－２一，影响系统稳定性及分岔的讨论，可将其简化不故

具有时滞生态-流行病模型的稳定性与Hopf分岔

Ｊｎ２１ｕ．００
具有时滞生态一流行病模型的稳定性与Ｈｏ｛ｐ分岔
赵仕杰，侠，鼎一，袁朝晖常李
（林电子科技大学数学与计算科学学院，西桂林桂广５１０）４０４
摘
要：具有时滞及非线性发生率的生态一流行病模型，主要通过分析系统在平衡点的线性化方程，出了正平衡给
第３ｏ卷
第３期
桂林电子科技大学学报
ＪｕｎａｆＧｕｌｎＵｎｖｒｉｙｏｅｔｏｉｃｎｏｏｙｏｒｌｏｉｉｅｓｔｆＥｌｃｒｎｃＴｅｈｌｇｉ
Ｖｏ．０．．１３Ｎｏ３
２１年６月００
ｏｅｔｒｍａｉｏｄａｄｎｒｌｏｍ，ｗｅｇｔｔｅｆｒｌｓｆｒｄｔｒｎｎｈｉｅｔｎｏｐｉｒａｉｎａｄｔｅｎｃｎｅｎｆｌｎｏｍａｒｆｅｈｏｍｕａｏｅｅｍｉｉｇｔｅｄｒｃｉｆｏＨｏｆｂｆｃｔｎｏ年来，着传染病动力学和种群动力学的随深入研究，系列关于传染病的数学模型［］继建一１相立，过研究这些模型，们对传染病的传播规律有通人了更深刻的认识。在建立传染病动力学模型过程中，
Ｚａｈｊ，ＣｈｎａｈｏＳｉｅｉａｇＸｉ，Ｌｉｎｙ，ＹｕｎＺａｈｉｇｉＤｉａｈｏｕ