【推荐】2014年辽宁省高考数学试卷(文科)

2014年辽宁省高考数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分）（A∪B）=（）1．（5分）已知全集U=R，A={|≤0}，B={|≥1}，则集合∁UA．{|≥0} B．{|≤1} C．{|0≤≤1} D．{|0＜＜1}2．（5分）设复数满足（﹣2i）（2﹣i）=5，则=（）A．2+3i B．2﹣3i C．3+2i D．3﹣2i，c=log，则（）3．（5分）已知a=，b=log2A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞b＞a D．c＞a＞b4．（5分）已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥nC．若m⊥α，m⊥n，则n∥αD．若m∥α，m⊥n，则n⊥α5．（5分）设，，是非零向量，已知命题p：若•=0，•=0，则•=0；命题q：若∥，∥，则∥，则下列命题中真命题是（）A．p∨q B．p∧q C．（￢p）∧（￢q）D．p∨（￢q）6．（5分）若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中，其中AB=2，BC=1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是（）A．B．C．D．7．（5分）某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A ．8﹣B ．8﹣C ．8﹣πD ．8﹣2π8．（5分）已知点A （﹣2，3）在抛物线C ：y 2=2p 的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为（ ） A ．﹣B ．﹣1C ．﹣D ．﹣9．（5分）设等差数列{a n }的公差为d ，若数列{2}为递减数列，则（ ）A ．d ＞0B ．d ＜0C ．a 1d ＞0D ．a 1d ＜010．（5分）已知f （）为偶函数，当≥0时，f （）=，则不等式f （﹣1）≤的解集为（ ）A ．[，]∪[，]B ．[﹣，﹣]∪[，]C ．[，]∪[，]D ．[﹣，﹣]∪[，] 11．（5分）将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（ ） A ．在区间[，]上单调递增 B ．在区间[，]上单调递减 C ．在区间[﹣，]上单调递减 D ．在区间[﹣，]上单调递增12．（5分）当∈[﹣2，1]时，不等式a 3﹣2+4+3≥0恒成立，则实数a 的取值范围是（）A．[﹣5，﹣3] B．[﹣6，﹣] C．[﹣6，﹣2] D．[﹣4，﹣3]二、填空题（共4小题，每小题5分）13．（5分）执行如图的程序框图，若输入n=3，则输出T= ．14．（5分）已知，y满足约束条件，则目标函数=3+4y的最大值为．15．（5分）已知椭圆C：+=1，点M与C的焦点不重合，若M关于C 的焦点的对称点分别为A、B，线段MN的中点在C上，则|AN|+|BN|= ．16．（5分）对于c＞0，当非零实数a，b满足4a2﹣2ab+b2﹣c=0且使|2a+b|最大时，++的最小值为 ．三、解答题17．（12分）在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＞c ，已知•=2，cosB=，b=3，求：（Ⅰ）a 和c 的值； （Ⅱ）cos （B ﹣C ）的值．18．（12分）某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如表所示：甜品的饮食习惯方面有差异”；（Ⅱ）已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至多有1人喜欢甜品的概率． 附：2=和△BCD 所在平面互相垂直，且AB=BC=BD=2．∠ABC=∠DBC=120°，E 、F 、G 分别为AC 、DC 、AD 的中点． （Ⅰ）求证：EF ⊥平面BCG ； （Ⅱ）求三棱锥D ﹣BCG 的体积．附：锥体的体积公式V=Sh ，其中S 为底面面积，h 为高．20．（12分）圆2+y 2=4的切线与轴正半轴，y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P （如图）． （Ⅰ）求点P 的坐标；（Ⅱ）焦点在轴上的椭圆C 过点P ，且与直线l ：y=+交于A 、B 两点，若△PAB 的面积为2，求C 的标准方程．21．（12分）已知函数f （）=π（﹣cos ）﹣2sin ﹣2，g （）=（﹣π）+﹣1． 证明：（Ⅰ）存在唯一0∈（0，），使f （0）=0；（Ⅱ）存在唯一1∈（，π），使g （1）=0，且对（Ⅰ）中的0，有0+1＞π．四、选考题，请考生在22-24三题中任选一题作答，多做则按所做的第一题给分选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图，EP 交圆于E ，C 两点，PD 切圆于D ，G 为CE 上一点且PG=PD ，连接DG 并延长交圆于点A ，作弦AB 垂直EP ，垂足为F ． （Ⅰ）求证：AB 为圆的直径； （Ⅱ）若AC=BD ，求证：AB=ED ．选修4-4：坐标系与参数方程23．将圆2+y 2=1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原的2倍，得曲线C ． （Ⅰ）写出C 的参数方程；（Ⅱ）设直线l ：2+y ﹣2=0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程．选修4-5：不等式选讲24．设函数f （）=2|﹣1|+﹣1，g （）=162﹣8+1．记f （）≤1的解集为M ，g （）≤4的解集为N ．（Ⅰ）求M；（Ⅱ）当∈M∩N时，证明：2f（）+[f（）]2≤．2014年辽宁省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分）1．（5分）已知全集U=R，A={|≤0}，B={|≥1}，则集合∁（A∪B）=（）UA．{|≥0} B．{|≤1} C．{|0≤≤1} D．{|0＜＜1}【分析】先求A∪B，再根据补集的定义求C（A∪B）．U【解答】解：A∪B={|≥1或≤0}，∴C（A∪B）={|0＜＜1}，U故选：D．【点评】本题考查了集合的并集、补集运算，利用数轴进行数集的交、并、补运算是常用方法．2．（5分）设复数满足（﹣2i）（2﹣i）=5，则=（）A．2+3i B．2﹣3i C．3+2i D．3﹣2i【分析】把给出的等式两边同时乘以，然后利用复数代数形式的除法运算化简，则可求．【解答】解：由（﹣2i）（2﹣i）=5，得：，∴=2+3i．故选：A．【点评】本题考查了复数代数形式的除法运算，是基础的计算题．3．（5分）已知a=，b=log，c=log，则（）2A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．c ＞b ＞aD ．c ＞a ＞b【分析】利用指数式的运算性质得到0＜a ＜1，由对数的运算性质得到b ＜0，c ＞1，则答案可求． 【解答】解：∵0＜a=＜20=1，b=log 2＜log 21=0， c=log=log 23＞log 22=1，∴c ＞a ＞b ． 故选：D ．【点评】本题考查指数的运算性质和对数的运算性质，在涉及比较两个数的大小关系时，有时借助于0、1这样的特殊值能起到事半功倍的效果，是基础题．4．（5分）已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（ ） A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥n B ．若m ⊥α，n ⊂α，则m ⊥n C ．若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α D ．若m ∥α，m ⊥n ，则n ⊥α【分析】A ．运用线面平行的性质，结合线线的位置关系，即可判断； B ．运用线面垂直的性质，即可判断；C ．运用线面垂直的性质，结合线线垂直和线面平行的位置即可判断；D ．运用线面平行的性质和线面垂直的判定，即可判断．【解答】解：A ．若m ∥α，n ∥α，则m ，n 相交或平行或异面，故A 错； B ．若m ⊥α，n ⊂α，则m ⊥n ，故B 正确； C ．若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α或n ⊂α，故C 错；D ．若m ∥α，m ⊥n ，则n ∥α或n ⊂α或n ⊥α，故D 错． 故选：B ．【点评】本题考查空间直线与平面的位置关系，考查直线与平面的平行、垂直的判断与性质，记熟这些定理是迅速解题的关键，注意观察空间的直线与平面的模型．5．（5分）设，，是非零向量，已知命题p：若•=0，•=0，则•=0；命题q：若∥，∥，则∥，则下列命题中真命题是（）A．p∨q B．p∧q C．（￢p）∧（￢q）D．p∨（￢q）【分析】根据向量的有关概念和性质分别判断p，q的真假，利用复合命题之间的关系即可得到结论．【解答】解：若•=0，•=0，则•=•，即（﹣）•=0，则•=0不一定成立，故命题p为假命题，若∥，∥，则∥平行，故命题q为真命题，则p∨q，为真命题，p∧q，（￢p）∧（￢q），p∨（￢q）都为假命题，故选：A．【点评】本题主要考查复合命题之间的判断，利用向量的有关概念和性质分别判断p，q的真假是解决本题的关键．6．（5分）若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中，其中AB=2，BC=1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是（）A．B．C．D．【分析】利用几何槪型的概率公式，求出对应的图形的面积，利用面积比即可得到结论．【解答】解：∵AB=2，BC=1，∴长方体的ABCD的面积S=1×2=2，圆的半径r=1，半圆的面积S=，则由几何槪型的概率公式可得质点落在以AB为直径的半圆内的概率是，故选：B．【点评】本题主要考查几何槪型的概率的计算，求出对应的图形的面积是解决本题的关键，比较基础．7．（5分）某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．8﹣ B．8﹣C．8﹣πD．8﹣2π【分析】几何体是正方体切去两个圆柱，根据三视图判断正方体的棱长及切去的圆柱的底面半径和高，把数据代入正方体与圆柱的体积公式计算．【解答】解：由三视图知：几何体是正方体切去两个圆柱，正方体的棱长为2，切去的圆柱的底面半径为1，高为2，∴几何体的体积V=23﹣2××π×12×2=8﹣π．故选：C．【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键．8．（5分）已知点A（﹣2，3）在抛物线C：y2=2p的准线上，记C的焦点为F，则直线AF 的斜率为（ ） A ．﹣B ．﹣1C ．﹣D ．﹣【分析】利用点A （﹣2，3）在抛物线C ：y 2=2p 的准线上，确定焦点F 的坐标，即可求出直线AF 的斜率．【解答】解：∵点A （﹣2，3）在抛物线C ：y 2=2p 的准线上， ∴﹣=﹣2， ∴F （2，0）， ∴直线AF 的斜率为=﹣．故选：C ．【点评】本题考查抛物线的性质，考查直线斜率的计算，考查学生的计算能力，属于基础题．9．（5分）设等差数列{a n }的公差为d ，若数列{2}为递减数列，则（ ）A ．d ＞0B ．d ＜0C ．a 1d ＞0D ．a 1d ＜0【分析】由数列递减可得＜1，由指数函数的性质和等差数列的通项公式化简可得．【解答】解：∵数列{2}为递减数列， ∴＜1，即＜1，∴＜1，∴a 1（a n+1﹣a n ）=a 1d ＜0 故选：D ．【点评】本题考查等差数列的性质和指数函数的性质，属中档题．10．（5分）已知f（）为偶函数，当≥0时，f（）=，则不等式f（﹣1）≤的解集为（）A．[，]∪[，] B．[﹣，﹣]∪[，]C．[，]∪[，] D．[﹣，﹣]∪[，]【分析】先求出当≥0时，不等式f（）≤的解，然后利用函数的奇偶性求出整个定义域上f（）≤的解，即可得到结论．【解答】解：当∈[0，]，由f（）=，即cosπ=，则π=，即=，当＞时，由f（）=，得2﹣1=，解得=，则当≥0时，不等式f（）≤的解为≤≤，（如图）则由f（）为偶函数，∴当＜0时，不等式f（）≤的解为﹣≤≤﹣，即不等式f（）≤的解为≤≤或﹣≤≤﹣，则由≤﹣1≤或﹣≤﹣1≤﹣，解得≤≤或≤≤，即不等式f（﹣1）≤的解集为{|≤≤或≤≤}，故选：A．【点评】本题主要考查不等式的解法，利用分段函数的不等式求出≥0时，不等式f（）≤的解是解决本题的关键．11．（5分）将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（）A．在区间[，]上单调递增B．在区间[，]上单调递减C．在区间[﹣，]上单调递减D．在区间[﹣，]上单调递增【分析】直接由函数的图象平移得到平移后的图象所对应的函数解析式，然后利用复合函数的单调性的求法求出函数的增区间，取=0即可得到函数在区间[，]上单调递增，则答案可求．【解答】解：把函数y=3sin（2+）的图象向右平移个单位长度，得到的图象所对应的函数解析式为：y=3sin[2（﹣）+]．即y=3sin（2﹣）．当函数递增时，由，得．取=0，得．∴所得图象对应的函数在区间[，]上单调递增．故选：A．【点评】本题考查了函数图象的平移，考查了复合函数单调性的求法，复合函数的单调性满足“同增异减”原则，是中档题．12．（5分）当∈[﹣2，1]时，不等式a3﹣2+4+3≥0恒成立，则实数a的取值范围是（）A．[﹣5，﹣3] B．[﹣6，﹣] C．[﹣6，﹣2] D．[﹣4，﹣3]【分析】分=0，0＜≤1，﹣2≤＜0三种情况进行讨论，分离出参数a后转化为函数求最值即可，利用导数即可求得函数最值，注意最后要对a取交集．【解答】解：当=0时，不等式a3﹣2+4+3≥0对任意a∈R恒成立；当0＜≤1时，a3﹣2+4+3≥0可化为a≥，令f（）=，则f′（）==﹣（*），当0＜≤1时，f′（）＞0，f（）在（0，1]上单调递增，=f（1）=﹣6，∴a≥﹣6；f（）ma当﹣2≤＜0时，a3﹣2+4+3≥0可化为a≤，由（*）式可知，当﹣2≤＜﹣1时，f′（）＜0，f（）单调递减，当﹣1＜＜0时，f′（）＞0，f（）单调递增，=f（﹣1）=﹣2，∴a≤﹣2；f（）min综上所述，实数a的取值范围是﹣6≤a≤﹣2，即实数a的取值范围是[﹣6，﹣2]．故选：C．【点评】本题考查利用导数研究函数的最值，考查转化思想、分类与整合思想，按照自变量讨论，最后要对参数范围取交集；若按照参数讨论则取并集．二、填空题（共4小题，每小题5分）13．（5分）执行如图的程序框图，若输入n=3，则输出T= 20 ．【分析】算法的功能是求T=1+（1+2）+（1+2+3）+…+（1+2+3+…+i）的值，根据条件确定跳出循环的i值，计算输出的T值．【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求T=1+（1+2）+（1+2+3）+…+（1+2+3+…+i）的值，当输入n=3时，跳出循环的i值为4，∴输出T=1+3+6++10=20．故答案为：20．【点评】本题考查了当型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键．14．（5分）已知，y满足约束条件，则目标函数=3+4y的最大值为18 ．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得，∴C（2，3）．化目标函数=3+4y为直线方程的斜截式，得：．由图可知，当直线过点C时，直线在y轴上的截距最大，即最大．=3×2+4×3=18．∴ma故答案为：18．【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．15．（5分）已知椭圆C：+=1，点M与C的焦点不重合，若M关于C 的焦点的对称点分别为A、B，线段MN的中点在C上，则|AN|+|BN|= 12 ．【分析】画出图形，利用中点坐标以及椭圆的定义，即可求出|AN|+|BN|的值．【解答】解：如图：MN 的中点为Q ，易得，，∵Q 在椭圆C 上，∴|QF 1|+|QF 2|=2a=6， ∴|AN|+|BN|=12． 故答案为：12．【点评】本题考查椭圆的定义，椭圆的基本性质的应用，是对基本知识的考查．16．（5分）对于c ＞0，当非零实数a ，b 满足4a 2﹣2ab+b 2﹣c=0且使|2a+b|最大时，++的最小值为 ﹣1 ．【分析】首先把：4a 2﹣2ab+b 2﹣c=0，转化为=，再由柯西不等式得到|2a+b|2，分别用b 表示a ，c ，在代入到++得到关于b 的二次函数，求出最小值即可．【解答】解：∵4a 2﹣2ab+b 2﹣c=0， ∴=由柯西不等式得， [][]≥[2（a ﹣）+×2]2=|2a+b|2故当|2a+b|最大时，有∴，c=b2∴++==当b=﹣2时，取得最小值为﹣1．故答案为：﹣1【点评】本题考查了柯西不等式，以及二次函数的最值问题，属于难题．三、解答题17．（12分）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且a＞c，已知•=2，cosB=，b=3，求：（Ⅰ）a和c的值；（Ⅱ）cos（B﹣C）的值．【分析】（Ⅰ）利用平面向量的数量积运算法则化简•=2，将cosB的值代入求出ac=6，再利用余弦定理列出关系式，将b，cosB以及ac的值代入得到a2+c2=13，联立即可求出ac的值；（Ⅱ）由cosB的值，利用同角三角函数间基本关系求出sinB的值，由c，b，sinB，利用正弦定理求出sinC的值，进而求出cosC的值，原式利用两角和与差的余弦函数公式化简后，将各自的值代入计算即可求出值．【解答】解：（Ⅰ）∵•=2，cosB=，∴c•acosB=2，即ac=6①，∵b=3，∴由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB，即9=a2+c2﹣4，∴a2+c2=13②，联立①②得：a=3，c=2；（Ⅱ）在△ABC 中，sinB===， 由正弦定理=得：sinC=sinB=×=，∵a=b ＞c ，∴C 为锐角， ∴cosC===，则cos （B ﹣C ）=cosBcosC+sinBsinC=×+×=．【点评】此题考查了正弦、余弦定理，平面向量的数量积运算，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理是解本题的关键．18．（12分）某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如表所示：甜品的饮食习惯方面有差异”；（Ⅱ）已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至多有1人喜欢甜品的概率． 附：2=（Ⅱ）利用古典概型概率公式，即可求解．【解答】解：（Ⅰ）由题意，2=≈4.762＞3.841，∴有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”；（Ⅱ）从这5名学生中随机抽取3人，共有=10种情况，有2名喜欢甜品，有=3种情况，∴至多有1人喜欢甜品的概率．【点评】本题考查独立性检验的应用，考查古典概型及其概率计算公式，考查学生的计算能力，属于中档题．19．（12分）如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB=BC=BD=2．∠ABC=∠DBC=120°，E、F、G分别为AC、DC、AD的中点．（Ⅰ）求证：EF⊥平面BCG；（Ⅱ）求三棱锥D﹣BCG的体积．附：锥体的体积公式V=Sh，其中S为底面面积，h为高．【分析】（Ⅰ）先证明AD⊥平面BGC，利用EF∥AD，可得EF⊥平面BCG；（Ⅱ）在平面ABC内，作AO⊥CB，交CB的延长线于O，G到平面BCD的距离h是AO长度的一半，利用VD﹣BCG =VG﹣BCD=，即可求三棱锥D﹣BCG的体积．【解答】（Ⅰ）证明：∵AB=BC=BD=2．∠ABC=∠DBC=120°，∴△ABC≌△DBC，∴AC=DC，∵G为AD的中点，∴CG⊥AD．同理BG⊥AD，∵CG∩BG=G，∴AD⊥平面BGC，∵EF∥AD，∴EF⊥平面BCG；（Ⅱ）解：在平面ABC内，作AO⊥CB，交CB的延长线于O，∵△ABC和△BCD所在平面互相垂直，∴AO⊥平面BCD，∵G为AD的中点，∴G 到平面BCD 的距离h 是AO 长度的一半． 在△AOB 中，AO=ABsin60°=，∴V D ﹣BCG =V G ﹣BCD ==×=．【点评】本题考查线面垂直，考查三棱锥体积的计算，正确转换底面是关键．20．（12分）圆2+y 2=4的切线与轴正半轴，y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P （如图）． （Ⅰ）求点P 的坐标；（Ⅱ）焦点在轴上的椭圆C 过点P ，且与直线l ：y=+交于A 、B 两点，若△PAB 的面积为2，求C 的标准方程．【分析】（Ⅰ）设切点P 的坐标为（0，y 0），求得圆的切线方程，根据切线与轴正半轴，y 轴正半轴围成的三角形的面积S=．再利用基本不等式求得S取得最小值，求得点P 的坐标．（Ⅱ）设椭圆的标准方程为+=1，a ＞b ＞0，则+=1．把直线方程和椭圆的方程联立方程组，转化为关于的一元二次方程，利用韦达定理、弦长公式求出弦长AB 以及点P 到直线的距离d ，再由△PAB 的面积为S=•AB •d=2，求出a 2、b 2的值，从而得到所求椭圆的方程．【解答】解：（Ⅰ）设切点P 的坐标为（0，y 0），且0＞0，y 0＞0． 则切线的斜率为﹣，故切线方程为 y ﹣y 0=﹣（﹣0），即0+y 0y=4．此时，切线与轴正半轴，y 轴正半轴围成的三角形的面积S=••=．再根据+=4≥20•y 0，可得当且仅当0=y 0=时，•y 0取得最大值为2，即S 取得最小值为=4，故此时，点P 的坐标为（，）．（Ⅱ）设椭圆的标准方程为 +=1，a ＞b ＞0，∵椭圆C 过点P ，∴+=1．由 求得b 22+4+6﹣2b 2=0，∴1+2=﹣，1•2=．由 y1=1+，y 2=2+，可得AB=|2﹣1|=•=•=．由于点P （，）到直线l ：y=+的距离d=，△PAB 的面积为S=•AB •d=2，可得 b 4﹣9b 2+18=0，解得 b 2=3，或 b 2=6，当b 2=6 时，由+=1求得a 2=3，不满足题意；当b 2=3时，由+=1求得a 2=6，满足题意，故所求的椭圆的标准方程为+=1．【点评】本题主要考查直线和圆相切的性质，直线和圆锥曲线的位置关系，点到直线的距离公式、弦长公式的应用，属于难题．21．（12分）已知函数f （）=π（﹣cos ）﹣2sin ﹣2，g （）=（﹣π）+﹣1． 证明：（Ⅰ）存在唯一0∈（0，），使f （0）=0；（Ⅱ）存在唯一1∈（，π），使g （1）=0，且对（Ⅰ）中的0，有0+1＞π．【分析】（Ⅰ）导数法可判f （）在（0，）上为增函数，又可判函数有零点，故必唯一；（Ⅱ）化简可得g （）=（π﹣）+﹣1，换元法，令t=π﹣，记u （t ）=g （π﹣t ）=﹣﹣t+1，t ∈[0，]，由导数法可得函数的零点，可得不等式．【解答】解：（Ⅰ）当∈（0，）时，f ′（）=π+πsin ﹣2cos ＞0，∴f （）在（0，）上为增函数，又f （0）=﹣π﹣2＜0，f （）=﹣4＞0，∴存在唯一0∈（0，），使f （0）=0；（Ⅱ）当∈[，π]时，化简可得g （）=（﹣π）+﹣1=（π﹣）+﹣1，令t=π﹣，记u （t ）=g （π﹣t ）=﹣﹣t+1，t ∈[0，]，求导数可得u ′（t ）=，由（Ⅰ）得，当t ∈（0，0）时，u ′（t ）＜0，当t ∈（0，）时，u ′（t ）＞0，∴函数u （t ）在（0，）上为增函数，由u （）=0知，当t ∈[0，）时，u （t ）＜0，∴函数u （t ）在[0，）上无零点；函数u （t ）在（0，0）上为减函数，由u （0）=1及u （0）＜0知存在唯一t 0∈（0，0），使u （t 0）=0， 于是存在唯一t 0∈（0，），使u （t 0）=0，设1=π﹣t 0∈（，π），则g （1）=g （π﹣t 0）=u （t 0）=0， ∴存在唯一1∈（，π），使g （1）=0，∵1=π﹣t 0，t 0＜0， ∴0+1＞π【点评】本题考查零点的判定定理，涉及导数法证明函数的单调性，属中档题．四、选考题，请考生在22-24三题中任选一题作答，多做则按所做的第一题给分选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图，EP 交圆于E ，C 两点，PD 切圆于D ，G 为CE 上一点且PG=PD ，连接DG 并延长交圆于点A ，作弦AB 垂直EP ，垂足为F ． （Ⅰ）求证：AB 为圆的直径； （Ⅱ）若AC=BD ，求证：AB=ED ．【分析】（Ⅰ）证明AB为圆的直径，只需证明∠BDA=90°；（Ⅱ）证明Rt△BDA≌Rt△ACB，再证明∠DCE为直角，即可证明AB=ED．【解答】证明：（Ⅰ）∵PG=PD，∴∠PDG=∠PGD，∵PD为切线，∴∠PDA=∠DBA，∵∠PGD=∠EGA，∴∠DBA=∠EGA，∴∠DBA+∠BAD=∠EGA+∠BAD，∴∠BDA=∠PFA，∵AF⊥EP，∴∠PFA=90°．∴∠BDA=90°，∴AB为圆的直径；（Ⅱ）连接BC，DC，则∵AB为圆的直径，∴∠BDA=∠ACB=90°，在Rt△BDA与Rt△ACB中，AB=BA，AC=BD，∴Rt△BDA≌Rt△ACB，∴∠DAB=∠CBA，∵∠DCB=∠DAB，∴∠DCB=∠CBA，∴DC∥AB，∵AB⊥EP，∴DC⊥EP，∴∠DCE 为直角， ∴ED 为圆的直径， ∵AB 为圆的直径， ∴AB=ED ．【点评】本题考查圆的切线的性质，考查三角形全等的证明，考查直径所对的圆周角为直角，属于中档题．选修4-4：坐标系与参数方程23．将圆2+y 2=1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原的2倍，得曲线C ． （Ⅰ）写出C 的参数方程；（Ⅱ）设直线l ：2+y ﹣2=0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程． 【分析】（Ⅰ）在曲线C 上任意取一点（，y ），再根据点（，）在圆2+y 2=1上，求出C 的方程，化为参数方程．（Ⅱ）解方程组求得P 1、P 2的坐标，可得线段P 1P 2的中点坐标．再根据与l 垂直的直线的斜率为，用点斜式求得所求的直线的方程，再根据=ρcos α、y=ρsin α 可得所求的直线的极坐标方程．【解答】解：（Ⅰ）在曲线C 上任意取一点（，y ），由题意可得点（，）在圆2+y 2=1上，∴2+=1，即曲线C 的方程为 2+=1，化为参数方程为（0≤θ＜2π，θ为参数）．（Ⅱ）由，可得 ，，不妨设P 1（1，0）、P 2（0，2），则线段P 1P 2的中点坐标为（，1），再根据与l 垂直的直线的斜率为，故所求的直线的方程为y ﹣1=（﹣），即﹣2y+=0．再根据=ρcos α、y=ρsin α 可得所求的直线的极坐标方程为ρcos α﹣2ρsin α+=0，即 ρ=．【点评】本题主要考查求点的轨迹方程的方法，极坐标和直角坐标的互化，用点斜式求直线的方程，属于中档题．选修4-5：不等式选讲24．设函数f （）=2|﹣1|+﹣1，g （）=162﹣8+1．记f （）≤1的解集为M ，g （）≤4的解集为N ． （Ⅰ）求M ；（Ⅱ）当∈M ∩N 时，证明：2f （）+[f （）]2≤．【分析】（Ⅰ）由所给的不等式可得①，或②，分别求得①、②的解集，再取并集，即得所求．（Ⅱ）由g （）≤4，求得N ，可得M ∩N=[0，]．当∈M ∩N 时，f （）=1﹣，不等式的左边化为﹣，显然它小于或等于，要证的不等式得证．【解答】解：（Ⅰ）由f （）=2|﹣1|+﹣1≤1 可得①，或②．解①求得1≤≤，解②求得 0≤＜1． 综上，原不等式的解集为[0，]．（Ⅱ）证明：由g（）=162﹣8+1≤4，求得﹣≤≤，∴N=[﹣，]，∴M∩N=[0，]．∵当∈M∩N时，f（）=1﹣，∴2f（）+[f（）]2 =f（）[+f（）]=﹣≤，故要证的不等式成立．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了分类讨论、等价转化的数学思想，属于中档题．。