【中考单元课件】第六章 第一节《6.1圆的有关概念及性质》课件
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中考数学复习 第1部分 第六章 圆 第一节 圆的有关概念和性质课件
∴CD＝2CH＝2 1.5故选C.
第十页，共三十页。
利用辅助线求解垂径定理问题 在与圆有关的题目中，涉及弦时，一般先作辅助线，构造垂
径定理的应用环境，最易触雷的地方是不会作辅助线，从而(cóng
ér)
无法应用垂径定理．
第十一页，共三十页。
3．(2013·潍坊中考)如图，⊙O的直径(zhíjìng)AB＝12，CD是⊙O的 弦，CD⊥AB，垂足为P，且BP∶AP＝1∶5，则CD的长为( ) D
第二十页，共三十页。
【分析】 根据圆内接四边形的性质得出∠ADC的度数(dù shu)，延
长
AE交⊙O于点M，由垂径定理得
，从而求得∠DBC的
度数．
【自主解答】如图，∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠GBC＝∠ADC＝50°.
∵AE⊥CD，∴∠AED＝90°，
第二十一页，共三十页。
∴∠EAD＝90°－50°＝40°. 如图，延长(yáncháng)AE交⊙O于点M.
例5 (2018·泰安中考(zhōnɡ kǎo))如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A＝
45°，BC＝4，则⊙O的直径为
．
第二十六页，共三十页。
【分析】 连接OB，OC，依据△OBC是等腰直角三角形，即可
得解．
【自主解答(jiědá)】 如图，连接OB，OC，则∠BOC＝2∠A＝2×45°＝
90°，故在Rt△OBC中，OC＝BC·sin 45°＝4× ＝ 2
内接于⊙O，∠ACB＝135°，则AB＝ 2 2．
第二十九页，共三十页。
内容 总结 (nèiróng)
第六章 圆。例1 (2018·青岛中考)如图，点A，B，C，D在⊙O上，∠AOC。在与圆有关的题目中，涉及 (shèjí)弦时，一般先作辅助线，构造垂。例3 (2014·潍坊中考)如图，▱ABCD的顶点A，B，D在⊙O上，。6． (2018·济宁中考)如图，点B，C，D在⊙O上，若∠BCD＝。形．延长AB与DC相交于点G，AO⊥CD，垂足为E， 连接BD，。∵AE⊥CD，∴∠AED＝90°，
第十页，共三十页。
利用辅助线求解垂径定理问题 在与圆有关的题目中，涉及弦时，一般先作辅助线，构造垂
径定理的应用环境，最易触雷的地方是不会作辅助线，从而(cóng
ér)
无法应用垂径定理．
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3．(2013·潍坊中考)如图，⊙O的直径(zhíjìng)AB＝12，CD是⊙O的 弦，CD⊥AB，垂足为P，且BP∶AP＝1∶5，则CD的长为( ) D
第二十页，共三十页。
【分析】 根据圆内接四边形的性质得出∠ADC的度数(dù shu)，延
长
AE交⊙O于点M，由垂径定理得
，从而求得∠DBC的
度数．
【自主解答】如图，∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠GBC＝∠ADC＝50°.
∵AE⊥CD，∴∠AED＝90°，
第二十一页，共三十页。
∴∠EAD＝90°－50°＝40°. 如图，延长(yáncháng)AE交⊙O于点M.
例5 (2018·泰安中考(zhōnɡ kǎo))如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A＝
45°，BC＝4，则⊙O的直径为
．
第二十六页，共三十页。
【分析】 连接OB，OC，依据△OBC是等腰直角三角形，即可
得解．
【自主解答(jiědá)】 如图，连接OB，OC，则∠BOC＝2∠A＝2×45°＝
90°，故在Rt△OBC中，OC＝BC·sin 45°＝4× ＝ 2
内接于⊙O，∠ACB＝135°，则AB＝ 2 2．
第二十九页，共三十页。
内容 总结 (nèiróng)
第六章 圆。例1 (2018·青岛中考)如图，点A，B，C，D在⊙O上，∠AOC。在与圆有关的题目中，涉及 (shèjí)弦时，一般先作辅助线，构造垂。例3 (2014·潍坊中考)如图，▱ABCD的顶点A，B，D在⊙O上，。6． (2018·济宁中考)如图，点B，C，D在⊙O上，若∠BCD＝。形．延长AB与DC相交于点G，AO⊥CD，垂足为E， 连接BD，。∵AE⊥CD，∴∠AED＝90°，
中考数学一轮复习 第六章 圆 第一节 圆的有关概念及性质课件
2021/12/8
第二十九页，共三十一页。
7．(2017·遵义)如图，AB是⊙O的直径(zhíjìng)，AB＝4，点M是OA 的中点，过点M的直线与⊙O交于C，D两点．若∠CMA＝45°， 则弦CD的长为_____1_4 _．
2021/12/8
第三十页，共三十一页。
内容(nèiróng)总结
第六章 圆。1．圆：平面上到定点的距离等于(děngyú)定长的所有点组成的图形。中有一
叫页，共三十一页。
考点(kǎo diǎn)一 圆心角、弧、弦之间的关系 (5年0考)
例1(2016·兰州)如图，在⊙O中，若点C是
的中点，∠A＝50°，则
AB
∠BOC＝( )
A．40° B．45°
C．50° D．60°
2021/12/8
第十三页，共三十一页。
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第三页，共三十一页。
等弧只存在(cúnzài)同圆或等圆中，大小不等圆中不存在(cúnzài)等弧 ．
2021/12/8
第四页，共三十一页。
(5)圆心角：顶点在___圆__心__(的yuá角nxī叫n) 做(jiàozuò)圆心角．
(6)圆周角：顶点在______圆_，上 两边分别与圆还有另一个 交点．像这样的角，叫做圆周角．
2021/12/8
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知识点二 圆的有关(yǒuguān)性质
1．圆的对称性
(1)圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条 _过__直__径__(的zh直íjìng) 线，有_无__数__(_w_ús条hù对) 称轴．
(2)圆是中心对称图形，对称中心为______圆．心
2021/12/8
B．5 cm
C．6 cm D．7cm
第1部分第6章第1节圆的基本性质PPT课件
圆周角定理及其推论(必考) 4．(2019 安徽，13，5 分)如图，△ABC 内接于⊙O，∠CAB＝30 °，∠CBA＝45°，CD⊥AB 于点 D.若⊙O 的半径为 2，则 CD 的长 为 2．
【解析】本题考查圆周角定理和三角函数等，体现了逻辑推理和 数学运算的核心素养．如图，连接 OB，OC，则∠BOC＝2∠A＝60°. 又∵OB＝OC，∴△BOC 是等边三角形，∴BC＝OB＝2.又∵∠CDB ＝90°，∠CBD＝45°，CD＝BC·sin45°＝2× 22＝ 2.
弦心距，另一条直线是弦的一半．如图，设圆的半径为 r、弦长为 a、 弦心距为 d，弓形高为 h，则a22＋d2＝r2，h＝r－d，这两个等式是关于 四个量 r，a，d，h 的一个方程组，只要已知其中任意两个量即可求出 其余两个量．
(2019·保定一模)小帅家的新房子刚装修完，便遇到罕见 的大雨，于是他向爸爸提议给窗户安上遮雨罩．如图 1 所示的是他了 解的一款遮雨罩，它的侧面如图 2 所示，其中顶部圆弧 AB 的圆心 O1 在竖直边缘 AD 上，另一条圆弧 BC 的圆心 O2 在水平边缘 DC 的延长 线上，其圆心角为 90°，BE⊥AD 于点 E，则根据所标示的尺寸(单位： cm)可求出弧 AB 所在圆的半径 AO1 的长度为 61 cm.
2．圆内接四边形的任意一个角的外角等于它的⑳____内__对__角____， 如图，∠DCE＝∠A.
利用垂径定理解决问题 圆中与弦有关的计算可通过连接半径和圆心到 弦中点的垂线段，把问题转化为解直角三角形的问 题来解决，垂径定理和勾股定理“形影不离”，常 结合起来使用．一般地，求解时将已知条件集中在 一个直角三角形中，这个直角三角形的斜边是圆的半径，一条直角边是
1．垂径定理：垂直于弦的直径⑦_平__分___这条弦，并且平分弦所对 的两条弧．
圆的有关概念及性质PPT课件
推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半， 那么这个三角形是直角三角形.
在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的所有的 圆周角相等.相等的圆周角所对的弧相等.
D
E
∵∠ADB与∠AEB 、∠ACB 是
C 同弧所对的圆周角
O
∴∠ADB=∠AEB =∠ACB
A B
性质 3:半圆或直径所对的圆周角都 相等,都等于900(直角).
解得 x＝147.∴⊙O 的半径为147.
2．已知⊙O 的半径为 13 cm，弦 AB∥CD，AB＝
24 cm，CD＝10 cm，则 AB，CD 之间的距离为( D )
A．17 cm
B．7 cm
C．12 cm
D．7 cm 或 17 cm
12．(2014·凉山州)已知⊙O 的直径 CD＝10 cm，
点 P(0，－7)的直线 l 与⊙B 相交于 C，D 两点，则弦 CD
长的所有可能的整数值有( )
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【解析】∵点 A 的坐标为(0,1)，圆的半径为 5， ∴点 B 的坐标为(0，－ 4)．又∵点 P 的坐标为 (0，－ 7)， ∴ BP＝ 3. ①当 CD 垂直圆的直径 AE 时，CD 的值最小， 如图，连结 BC，在 Rt△BCP 中，BC＝5，BP＝3， ∴CP＝ BC2－BP2＝4，∴CD＝2CP＝8； ②当 CD 经过圆心时，CD 的值最大， 此时 CD＝AE＝10.综上可得弦 CD 长的所有可能的整数值有 8,9,10， 共 3 个．故选 C.
3．如图，⊙O的弦AB垂直平分半径OC，则四边 形OACB是( C )
A．正方形 B．长方形 C．菱形 D．以上答案都不对
5．(2014·嘉兴、舟山)如图，⊙O 的直径 CD 垂直弦 AB 于点 E，且 CE＝2，DE＝8，则 AB 的长为( D )
在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的所有的 圆周角相等.相等的圆周角所对的弧相等.
D
E
∵∠ADB与∠AEB 、∠ACB 是
C 同弧所对的圆周角
O
∴∠ADB=∠AEB =∠ACB
A B
性质 3:半圆或直径所对的圆周角都 相等,都等于900(直角).
解得 x＝147.∴⊙O 的半径为147.
2．已知⊙O 的半径为 13 cm，弦 AB∥CD，AB＝
24 cm，CD＝10 cm，则 AB，CD 之间的距离为( D )
A．17 cm
B．7 cm
C．12 cm
D．7 cm 或 17 cm
12．(2014·凉山州)已知⊙O 的直径 CD＝10 cm，
点 P(0，－7)的直线 l 与⊙B 相交于 C，D 两点，则弦 CD
长的所有可能的整数值有( )
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【解析】∵点 A 的坐标为(0,1)，圆的半径为 5， ∴点 B 的坐标为(0，－ 4)．又∵点 P 的坐标为 (0，－ 7)， ∴ BP＝ 3. ①当 CD 垂直圆的直径 AE 时，CD 的值最小， 如图，连结 BC，在 Rt△BCP 中，BC＝5，BP＝3， ∴CP＝ BC2－BP2＝4，∴CD＝2CP＝8； ②当 CD 经过圆心时，CD 的值最大， 此时 CD＝AE＝10.综上可得弦 CD 长的所有可能的整数值有 8,9,10， 共 3 个．故选 C.
3．如图，⊙O的弦AB垂直平分半径OC，则四边 形OACB是( C )
A．正方形 B．长方形 C．菱形 D．以上答案都不对
5．(2014·嘉兴、舟山)如图，⊙O 的直径 CD 垂直弦 AB 于点 E，且 CE＝2，DE＝8，则 AB 的长为( D )
中考数学总复习 第六章 圆 第 圆的有关概念及性质数学课件
形重合.这就是圆的旋转不变性.
12/9/2021
考点梳理
自主测试
考点二 圆心角、弧、弦之间的关系
1.定理
在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等.
2.推论
在同圆或等圆中,(1)两个圆心角相等;(2)两条弧相等;(3)两条弦相
等.若三项中有一项成立,则其余对应的两项也成立.
12/9/2021
考点梳理
自主测试
考点三 垂径定理及推论
1.垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.
2.推论1
(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧;
(2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧;
(3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的
另一条弧.
在 Rt△ABC 中,AC= 2 - 2 =
102 -62 =8.
(2)∵PE⊥AB,
∴∠APE=90°.
又∠ACB=90°,∴∠APE=∠ACB.
又∠PAE=∠CAB,∴△AEP∽△ABC.
∴ = .
∴6
=
12/9/2021
1
10× 2
8
15
4
,∴PE= .
命题点1
命题点2
示.圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧,每条弧都叫做半圆.
小于半圆的弧叫做劣弧,如图中以 B,C 为端点的劣弧记作“”;大于
半圆的弧叫做优弧,优弧要用三个字母表示,如图中“”3.弦:连接圆上任意两点的线段叫做弦.经过圆心的弦叫做直径.
4.弦心距:从圆心到弦的距离.
12/9/2021
命题点3
命题点4
12/9/2021
考点梳理
自主测试
考点二 圆心角、弧、弦之间的关系
1.定理
在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等.
2.推论
在同圆或等圆中,(1)两个圆心角相等;(2)两条弧相等;(3)两条弦相
等.若三项中有一项成立,则其余对应的两项也成立.
12/9/2021
考点梳理
自主测试
考点三 垂径定理及推论
1.垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.
2.推论1
(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧;
(2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧;
(3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的
另一条弧.
在 Rt△ABC 中,AC= 2 - 2 =
102 -62 =8.
(2)∵PE⊥AB,
∴∠APE=90°.
又∠ACB=90°,∴∠APE=∠ACB.
又∠PAE=∠CAB,∴△AEP∽△ABC.
∴ = .
∴6
=
12/9/2021
1
10× 2
8
15
4
,∴PE= .
命题点1
命题点2
示.圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧,每条弧都叫做半圆.
小于半圆的弧叫做劣弧,如图中以 B,C 为端点的劣弧记作“”;大于
半圆的弧叫做优弧,优弧要用三个字母表示,如图中“”3.弦:连接圆上任意两点的线段叫做弦.经过圆心的弦叫做直径.
4.弦心距:从圆心到弦的距离.
12/9/2021
命题点3
命题点4
2022年中考数学一轮复习课件：第六章 圆 第1节 圆的有关概念与性质
∴∠DAB＝∠COD＝60°， 由(1)知，∠CBE＋∠CAD＝90°， ∴∠CBE＝90°－∠CAD＝60°＝∠DAB， ∴BC∥OA， ∴四边形ABCO是平行四边形， ∵OA＝OC， ∴▱ABCO是菱形；
②由①知，四边形 ABCO 是菱形， ∴OA＝OC＝AB＝2， ∴AD＝2OA＝4， 由①知，∠COD＝60°， 在 Rt△ACD 中，∠CAD＝30°， ∴CD＝2，AC＝2 3，
解析：连接 OB，OC，作 OD⊥BC 于 D，如图，
∵OD⊥BC，
∴BD＝12BC＝12×2 3＝ 3.
在 Rt△OBD 中，OB＝OA＝2，BD＝ 3，
∴cos∠OBD＝BODB＝
3 2.
∴∠OBD＝30°. ∵OB＝OC， ∴∠OCB＝30°. ∴∠BOC＝120°. ∴∠BAC＝12∠BOC＝60°.
五、垂径定理及其推论 文字描述
数学符号(如图)
定理
垂直于弦的直径平__分___ 弦，并且 平分 弦所 对的两条弧
CCDD⊥是A⊙BO的直径推出
文字描述
数学符号(如图)
平分弦(不是直径)的直径 推论 垂直 于弦，并且_平__分___
弦所对的两条弧
AM＝BM
CD是⊙O的直径推出
[知识拓展] 根据圆的对称性，在以下 5 个结论中：①
A．45° B．60° C．65° D．70°
解析：如图，连接 OD， ∵∠DAB＝25°， ∴∠BOD＝2∠DAB＝50°. ∴∠COD＝90°－50°＝40°. ∵OC＝OD， ∴∠OCD＝∠ODC＝12(180°－∠COD)＝70°.
3．(2021·南昌模拟)如图，四边形ABCD内接于⊙O，它的
D．65°
解析：∵CB是直径， ∴∠BAC＝90°. ∵∠ABC＝35°， ∴∠ACB＝90°－35°＝55°. ∴∠D＝∠C＝55°.
《圆的概念及性质》PPT教学课件
点O为圆心的同一个圆上.
证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴AO=OC=
OB=OD =
AC，
A
O
BD，AC=BD.
∴OA=OC=OB=OD.
D
B
C
∴A、B、C、D四个点在以点O为圆心，OA为半径的圆上.
例2 如图.
(1)请写出以点B为端点的劣弧及优弧；
(
(
(
(
B
D
劣弧：BF，BD, BC, BE.
称为☉O的半径.
确定一个圆的要素
一是圆心，圆心确定其位置；二是半径，半径确定其大小．
同圆的半径相等.
二、圆的对称性
1.什么是轴对称图形、中心对称图形?
2.圆是轴对称图形吗?如果是,它的对称轴是什么?你能找到多少条对称轴?
3.圆是中心对称图形吗?如果是,它的对称中心是什么?
4.圆绕着它的圆心旋转任意角度后和自身重合吗?
劣
弧
半
圆
优
弧
能 够 互 相 重 合 的 两 段 弧
半 圆 是 特 殊 的 弧
首先,小惠把绳子的一端固定在操场上
的某一点O处,小亮在绳子的另一端拴
上一小段竹签,然后,小亮将绳子拉紧,
再绕点O转一圈,竹签划出的痕迹就是
圆.
一、圆的概念
平面上,到定点的距离等于定长的所有点组成
的图形,叫做圆,这个定点叫圆心,这条定长叫
做圆的半径.
如图所示,它是以点O为圆心,OA的长为半径
的圆,记作“☉O”,读作“圆O”.线段OA也
28.1 圆的概念及性质
学习目标
1.认识圆，理解圆的本质属性.（重点）
2.理解弦、弧、直径、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等
证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴AO=OC=
OB=OD =
AC，
A
O
BD，AC=BD.
∴OA=OC=OB=OD.
D
B
C
∴A、B、C、D四个点在以点O为圆心，OA为半径的圆上.
例2 如图.
(1)请写出以点B为端点的劣弧及优弧；
(
(
(
(
B
D
劣弧：BF，BD, BC, BE.
称为☉O的半径.
确定一个圆的要素
一是圆心，圆心确定其位置；二是半径，半径确定其大小．
同圆的半径相等.
二、圆的对称性
1.什么是轴对称图形、中心对称图形?
2.圆是轴对称图形吗?如果是,它的对称轴是什么?你能找到多少条对称轴?
3.圆是中心对称图形吗?如果是,它的对称中心是什么?
4.圆绕着它的圆心旋转任意角度后和自身重合吗?
劣
弧
半
圆
优
弧
能 够 互 相 重 合 的 两 段 弧
半 圆 是 特 殊 的 弧
首先,小惠把绳子的一端固定在操场上
的某一点O处,小亮在绳子的另一端拴
上一小段竹签,然后,小亮将绳子拉紧,
再绕点O转一圈,竹签划出的痕迹就是
圆.
一、圆的概念
平面上,到定点的距离等于定长的所有点组成
的图形,叫做圆,这个定点叫圆心,这条定长叫
做圆的半径.
如图所示,它是以点O为圆心,OA的长为半径
的圆,记作“☉O”,读作“圆O”.线段OA也
28.1 圆的概念及性质
学习目标
1.认识圆，理解圆的本质属性.（重点）
2.理解弦、弧、直径、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等
相关主题
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的中点， ∵点C是 AB
∴∠BOC＝∠AOC＝ 1 ∠AOB＝40°.故选A.
2
在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦，其中有 一组量相等，那么它们所对应的其余两组量也分别相等．
1．如图，P是⊙O外一点，PA，PB分别交⊙O于C，D两点．
的度数别为88°，32°，则∠P的度数为 ，CD 已知 AB
垂径定理及其推论实质上是指满足下列结论的一条直线： ①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优 弧；⑤平分弦所对的劣弧．如果已知五个结论中的两个
结论，那么可以推出另外三个结论．
4．圆周角定理及其推论 (1)定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的
一半 ． _______
相等 ； (2)推论：①同弧或等弧所对的圆周角_______ 直角 ；90°的圆周角 ②半圆(或直径)所对的圆周角是_______ 直径 ； 所对的弦是_______ 互补 ． ③圆内接四边形的对角_______
知识点三 确定圆的条件
1．不在同一条直线上的三个点确定一个圆．
2．三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外 垂直平分线 的交点， 接圆．外接圆的圆心是三角形三边_____________ 叫做三角形的外心．
考点一 圆心角、弧、弦之间的关系
(5年0考)
的中点，∠A 例1(2016·兰州)如图，在⊙O中，若点C是 AB
第六章 圆 第一节 圆的有关概念及性质
知识点一 圆的有关概念
1．圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形 圆心 ，定长称为______ 半径 ． 叫做圆．其中，定点称为 _____
2．与圆有关的概念 两点间 的部分叫做圆弧，简称弧． (1)弧：圆上任意 _______ 线段 叫做弦． (2)弦：连接圆上任意两点的_______ 圆心 的弦叫做直径． (3)直径：经过_______ (4)等圆：能够重合的两个圆叫做等圆．在同圆或等圆中， 能够互相重合的弧叫做等弧．
3．垂径定理及其推论 平分 这条弦，并且______ 平分 (1)垂径定理：垂直于弦的直径_______ 弦所对的弧． 垂直 于弦，并且 (2)推论：①平分弦(不是直径)的直径_______ 平分 弦所对的弧； _______
圆心 ，并且平分弦所对的两条弧； ②弦的垂直平分线经过_____
平分 另 ③平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且_______ 一条弧．
5．(2015·济南)如图，在圆内接四边形ABCD中，O为圆 心，∠BOD＝160°，求∠BCD的度数．
解：∵∠BOD＝160°，∴∠BAD＝
1 2
∠BOD＝80°.
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠BCD＋∠BAD＝180°，∴∠BCD＝100°.
考点三 垂径定理
(5年2考)
例3(2013·济南)如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点， AB＝10，AC＝6，OD⊥BC，垂足是D，则BD的长为( )(ຫໍສະໝຸດ B)A．26°
B．28°
C．30°
D．32°
2．如图，已知⊙O的半径等于1 cm，AB是直径，C，D是⊙O
上的两点，且
，则四边形ABCD的周长等于
( B )
A．4 cm
B．5 cm
C．6 cm
D．7cm
考点二 圆周角定理及其推论
(5年5考)
例2(2017·济南)如图，AB是⊙O的直径，∠ACD＝25°，求 ∠BAD的度数．
5 ． 已知CD＝6，EB＝1，则⊙O的半径为____
7．(2017·遵义)如图，AB是⊙O的直径，AB＝4，点M是OA 的中点，过点M的直线与⊙O交于C，D两点．若∠CMA＝45°，
等弧只存在同圆或等圆中，大小不等圆中不存在等弧．
圆心 的角叫做圆心角． (5)圆心角：顶点在_______
圆上 ，两边分别与圆还有另一个 (6)圆周角：顶点在_______
交点．像这样的角，叫做圆周角．
知识点二 圆的有关性质 1．圆的对称性 过直径 的直 (1)圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条 _______
A．2
B ．3
C ．4
D．6
【分析】 由AB是⊙O的直径，得∠C＝90°.由AB＝10， AC＝6，求得BC的长，根据垂径定理即可求得BD.
【自主解答】 ∵AB是⊙O的直径，∴∠C＝90°. ∵AB＝10，AC＝6，∴BC＝ ∵OD⊥BC，∴BD＝ 1 BC＝4.故选C.
2
＝8，
6．(2017·长沙)如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E.
题，常常会因为漏解而导致错误． 练：链接变式训练4
3．(2017·天桥二模)如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接 OB，OC.若OB＝BC，则∠BAC等于(
C
)
A．60°
B．45°
C．30°
D．20°
4．如图，⊙O的半径为1，AB是⊙O的一条弦，且AB＝1， 30°或150° ． 则弦AB所对的圆周角的度数为 ____________
无数 条对称轴． 线，有_______ 圆心 ． (2)圆是中心对称图形，对称中心为______
根据圆的对称性可知，圆具有旋转不变性，即圆围绕 它的圆心旋转任意角度，所得的圆与原图重合．
2．圆心角、弧、弦之间的关系 相等 ， (1)在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧_______ 相等 ． 所对的弦_______ (2)在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦 中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别 相等 ． _______
【分析】 根据圆周角定理的推论求得∠ABD的度数，
然后利用三角形内角和定理求得∠BAD的度数．
【自主解答】 ∵∠ACD＝25°，∴∠ABD＝25°.
∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.
∴∠BAD＝180°－∠ABD－∠ADB＝180°－25°－90°
＝65°.
讲：
与圆周角有关的多解问题 在求解与圆周角有关的问题时，注意其中的多解问
＝50°，则∠BOC＝( A．40° C．50° B．45° D．60°
)
【分析】
根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求
出∠AOB的度数，再根据两条弧相等则所对的圆心角相等 求解．
【自主解答】
∵∠A＝50°，OA＝OB，
∴∠OBA＝∠OAB＝50°，
∴∠AOB＝180°－50°－50°＝80°.
∴∠BOC＝∠AOC＝ 1 ∠AOB＝40°.故选A.
2
在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦，其中有 一组量相等，那么它们所对应的其余两组量也分别相等．
1．如图，P是⊙O外一点，PA，PB分别交⊙O于C，D两点．
的度数别为88°，32°，则∠P的度数为 ，CD 已知 AB
垂径定理及其推论实质上是指满足下列结论的一条直线： ①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优 弧；⑤平分弦所对的劣弧．如果已知五个结论中的两个
结论，那么可以推出另外三个结论．
4．圆周角定理及其推论 (1)定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的
一半 ． _______
相等 ； (2)推论：①同弧或等弧所对的圆周角_______ 直角 ；90°的圆周角 ②半圆(或直径)所对的圆周角是_______ 直径 ； 所对的弦是_______ 互补 ． ③圆内接四边形的对角_______
知识点三 确定圆的条件
1．不在同一条直线上的三个点确定一个圆．
2．三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外 垂直平分线 的交点， 接圆．外接圆的圆心是三角形三边_____________ 叫做三角形的外心．
考点一 圆心角、弧、弦之间的关系
(5年0考)
的中点，∠A 例1(2016·兰州)如图，在⊙O中，若点C是 AB
第六章 圆 第一节 圆的有关概念及性质
知识点一 圆的有关概念
1．圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形 圆心 ，定长称为______ 半径 ． 叫做圆．其中，定点称为 _____
2．与圆有关的概念 两点间 的部分叫做圆弧，简称弧． (1)弧：圆上任意 _______ 线段 叫做弦． (2)弦：连接圆上任意两点的_______ 圆心 的弦叫做直径． (3)直径：经过_______ (4)等圆：能够重合的两个圆叫做等圆．在同圆或等圆中， 能够互相重合的弧叫做等弧．
3．垂径定理及其推论 平分 这条弦，并且______ 平分 (1)垂径定理：垂直于弦的直径_______ 弦所对的弧． 垂直 于弦，并且 (2)推论：①平分弦(不是直径)的直径_______ 平分 弦所对的弧； _______
圆心 ，并且平分弦所对的两条弧； ②弦的垂直平分线经过_____
平分 另 ③平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且_______ 一条弧．
5．(2015·济南)如图，在圆内接四边形ABCD中，O为圆 心，∠BOD＝160°，求∠BCD的度数．
解：∵∠BOD＝160°，∴∠BAD＝
1 2
∠BOD＝80°.
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠BCD＋∠BAD＝180°，∴∠BCD＝100°.
考点三 垂径定理
(5年2考)
例3(2013·济南)如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点， AB＝10，AC＝6，OD⊥BC，垂足是D，则BD的长为( )(ຫໍສະໝຸດ B)A．26°
B．28°
C．30°
D．32°
2．如图，已知⊙O的半径等于1 cm，AB是直径，C，D是⊙O
上的两点，且
，则四边形ABCD的周长等于
( B )
A．4 cm
B．5 cm
C．6 cm
D．7cm
考点二 圆周角定理及其推论
(5年5考)
例2(2017·济南)如图，AB是⊙O的直径，∠ACD＝25°，求 ∠BAD的度数．
5 ． 已知CD＝6，EB＝1，则⊙O的半径为____
7．(2017·遵义)如图，AB是⊙O的直径，AB＝4，点M是OA 的中点，过点M的直线与⊙O交于C，D两点．若∠CMA＝45°，
等弧只存在同圆或等圆中，大小不等圆中不存在等弧．
圆心 的角叫做圆心角． (5)圆心角：顶点在_______
圆上 ，两边分别与圆还有另一个 (6)圆周角：顶点在_______
交点．像这样的角，叫做圆周角．
知识点二 圆的有关性质 1．圆的对称性 过直径 的直 (1)圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条 _______
A．2
B ．3
C ．4
D．6
【分析】 由AB是⊙O的直径，得∠C＝90°.由AB＝10， AC＝6，求得BC的长，根据垂径定理即可求得BD.
【自主解答】 ∵AB是⊙O的直径，∴∠C＝90°. ∵AB＝10，AC＝6，∴BC＝ ∵OD⊥BC，∴BD＝ 1 BC＝4.故选C.
2
＝8，
6．(2017·长沙)如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E.
题，常常会因为漏解而导致错误． 练：链接变式训练4
3．(2017·天桥二模)如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接 OB，OC.若OB＝BC，则∠BAC等于(
C
)
A．60°
B．45°
C．30°
D．20°
4．如图，⊙O的半径为1，AB是⊙O的一条弦，且AB＝1， 30°或150° ． 则弦AB所对的圆周角的度数为 ____________
无数 条对称轴． 线，有_______ 圆心 ． (2)圆是中心对称图形，对称中心为______
根据圆的对称性可知，圆具有旋转不变性，即圆围绕 它的圆心旋转任意角度，所得的圆与原图重合．
2．圆心角、弧、弦之间的关系 相等 ， (1)在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧_______ 相等 ． 所对的弦_______ (2)在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦 中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别 相等 ． _______
【分析】 根据圆周角定理的推论求得∠ABD的度数，
然后利用三角形内角和定理求得∠BAD的度数．
【自主解答】 ∵∠ACD＝25°，∴∠ABD＝25°.
∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.
∴∠BAD＝180°－∠ABD－∠ADB＝180°－25°－90°
＝65°.
讲：
与圆周角有关的多解问题 在求解与圆周角有关的问题时，注意其中的多解问
＝50°，则∠BOC＝( A．40° C．50° B．45° D．60°
)
【分析】
根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求
出∠AOB的度数，再根据两条弧相等则所对的圆心角相等 求解．
【自主解答】
∵∠A＝50°，OA＝OB，
∴∠OBA＝∠OAB＝50°，
∴∠AOB＝180°－50°－50°＝80°.