七年级第三章实数复习教案

教学内容
【【回顾与思考】：知识梳理
板块一 平方根与立方根
§3 .1 平方根
定义：如果一个数的平方等于a ,那么这个数叫做a 的平方根,也叫做a 的二次平方根.
数学定义：如果x 2=a ，则x 叫做a 的平方根，记作“a ±”（a 称为被开方数）。

性质：一个正数有正、负两个平方根,他们互为相反数。

零的平方根是零，负数没有平方根。

算术平方根：正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根，记作“a ”。

开平方：求一个数的平方根的运算叫开平方。

§3 .3 立方根
定义：一般的，一个数的立方等于a,这个数叫做a 的立方根，也叫做a 的三次方根
数学定义：如果x 3=a ，则x 叫做a 的立方根，记作“3a ”（a 称为被开方数）。

性质：正数有一个正的立方根；0的立方根是0；负数有一个负的立方根。

开立方：求一个数的立方根的运算叫开立方。

二、规律总结：
1、平方根是其本身的数是0；算术平方根是其本身的数是0和1；立方根是其本身的数是0和±1。

2、每一个正数都有两个互为相反数的平方根，其中正的那个是算术平方根；任何一个数都有唯一一个立方根，这个立方根的符号与原数相同。

3、a 本身为非负数，即a ≥0；a 有意义的条件是a ≥0。

4、公式：⑴(a )2=a （a ≥0）；⑵3a -=3a -（a 取任何数）。

5、非负数的重要性质：若几个非负数之和等于0，则每一个非负数都为0（此性质应用很广，务必掌握）。

三、常见的平方数和立方数
11²＝121 16²＝256 2³＝8 6³＝216 12²＝144 17²＝289 3³＝27 7³＝343 13²＝169 18²＝324 4³＝64 8³＝512 14²＝196 19²＝361 5³＝125 9³＝729 15²＝225
经典例题
例1 求下列各数的平方根和算术平方根
（1）64；（2）2)3(-； （3）49151
； ⑷ 21(3)- 巩固： 求下列各式的值
（1）81±； （2）16-； （3）
259； （4）2)4(-.
（5）44.1，（6）36-，（7）4925±
（8）2)25(- 例2 求下列各数的立方根：
⑴ 343； ⑵ 102
27-； ⑶ 0.729
巧用被开方数的非负性求值.
大家知道，当a ≥0时，a 的平方根是±a ，即a 是非负数.
例1 、若,622=---
-y x x 求y x 的立方根.
巩固 ：已知,21221+-+-=x x y 求y
x 的值.
根据定义，巧用正数的两平方根是互为相反数求值.
我们知道，当a ≥0时，a 的平方根是±a ，而.0)()(=-++a a
例题 1： 已知：一个正数的平方根是2a-1与2-a ，求a 的平方的相反数的立方根.
巩固： 若32+a 和12-a 是数m 的平方根，求m 的值.
巧解方程
例2： 解方程（1）（x+1）2
=36 （2）27(x+1)3=64 （3）27)3(83=--x
巧用算术平方根的最小值求值.
我们已经知道0≥a ,即a=0时其值最小,换句话说a 的最小值是零.
例1 、已知：y=)1(32++-b a ,当a 、b 取不同的值时，y 也有不同的值.当y 最小时,求b a
的非算术平方根.
巩固①已知233(2)0x y z -+-++=，求xyz 的值。

②已知
互为相反数，求a ，b 的值 §3 .2 实数
一、实数的分类：
⎪⎪⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧无限不循环小数负无理数正无理数无理数数有限小数或无限循环小负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数实数 1、有理数：任何一个有理数总可以写成q
p 的形式，其中p 、q 是互质的整数，这是有理数的重要特征。

2、无理数：初中遇到的无理数有三种：开不尽的方根，如2、34；特定结构的不限环无限小数，如
1.101001000100001……；特定意义的数，如π、45sin °等。

3、判断一个实数的数性不能仅凭表面上的感觉，往往要经过整理化简后才下结论。

关于数系扩张后与有理数的知识链接
1 关于有理数的运算法则：运算规律和运算性质，在进行实数运算时仍适用．在实数范围内，不仅可以进行加．减．乘．除．乘
方运算，而且正数和零总可以进行开平方运算，任何一个数都可以开立方运算．
2．实数和数轴上的点的对应关系：实数和数轴上的点一一对应，即每一个实数都可以用数轴上的一个点表示．反过来，数轴上的每一个点都可以表示一个实数．我们可以用几何作图方法，在数轴上表示某些无理数，如
、 等． 3.实数的大小比较 在数轴上表示的两个实数，右边的数总比左边的数大。

实数大小比较的方法
一、平方法 比较
23和3的大小 二、移动因式法 比较32和23的大小
三、求差法 比较2
15-和1的大小 四、求商法 比较534和11的大小 巩固：比较下列各组数的大小：
①2-
和3-； ②3和23-； ③15和543； ④7-和－2.45。

例题 1
15的整数部分为a,小数部分为b,则a=____, b=____ 巩固
－1的整数部分和小数部分分别是多少？
例题 2 在()00222sin 45090.2020020002273
π-⋅⋅⋅、、、、、、这七个数中，无理数有（ ） A ．1个；B ．2个；C ．3个；D ．4个
4．下列命题中正确的是（ ）
A ．有限小数是有理数
B ．数轴上的点与有理数一一对应
C ．无限小数是无理数
D ．数轴上的点与实数一一对应
巩固 1 下列实数227、sin60°、3
π、（2）0、3.14159、-9、（-7）-2、8中无理数有（ ）个 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
【点评】对实数进行分类不能只看表面形式，应先化简，再根据结果去判断．
巩固 2下列数：()335，π，0.28，0，4，3.14159，0.121121112 ，3-，
227．其中无理数有（ ）个 例题3 对于
来说（ ） A ．有平方根 B ．只有算术平方根 C. 没有平方根 D. 不能确定
解答题（
1、当2
1≤
a 时，化简|12|4412-++-a a a
0 B A C
2、已知实数a 、b 在数轴上表示的点如上图，
化简b a ++2)1(+-b a
巩固 已知实数、、在数轴上的位置如图所示：
化简
例：如图，a ，b ，c 是数轴上三个点A 、B 、C 所对应的实数。

试化简：||)(||332c b b a b a c +-++-+。

七年级上册第三章实数培优试卷
1 -8的立方根与4的平方根之和是（ ）
A ．0 B. 4 C. 0或-4 D. 0或4
2 下列说法中 ①无限小数都是无理数 ②无理数都是无限小数 ③-2是4的平方根 ④带根号的数都是 无理数。

其中正确的说法有（ ）
A ．3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个
3 已知一个自然数的算术平方根是a ，则该自然数的下一个自然数的算术平方根是（ ）
A ． B. C. D.
4 如图，在数轴上1，2的对应点A 、B ， A 是线段BC 的中点，则点C 所表示的数是 ( )
A ．22-
B ．22-
C ．21-
D ．12-
5 要使()1133-=-a a 成立,那么a 的取值范围是（ ）.
A. ;1≤a
B. ;1-≤a
C. ;1≥a
D. 一切实数。

6
a 200是个整数,那么最小正整数a 是_____.
7 已知21a -的平方根是3±,4是31a b +-的算术平方根,求2a b +的值.
已知5n m -+的算术平方根是3，24n m -+-的立方根是，试求1m 22n m 3++-的值。

b
10a -1x 210C B A
8 已知28-++=b a a M 是()8+a 的算术平方根，423+--=b a b N 是()3-b 的立方根
求N M +的平方根。

8 已知322+-+-=x x y ，求x y 的平方根.
已知x 、y 都是实数，且422+-+-=x x y ，求x y 的平方根
若1n m 21n 2m 3-+=+-，试求出m 2n 6-的值
9 如果A 的平方根是2x －1与3x －4，求A 的值？
如果一个数的平方根是3+a 和152-a ，求这个数。

10 设实数5的整数部分为a ，小数部分为b ，求()
25a a b ⨯+⨯的值
已知a 是5的整数部分, b 是5的小数部分, 求2(5)a b -的值.
11 如果有理数a,b 满足∣ab －2∣+∣1－b ∣=0，
试求
)2)(2(1)1)(1(11++++++b a b a ab +…+)
2004)(2004(1++b a 的值．。