高一数学数列部分经典习题及答案

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数 列

一．数列的概念： （1）已知*2()156n n a n N n =∈+，则在数列{}n a 的最大项为__（答：125

）； （2）数列}{n a 的通项为1+=

bn an a n ，其中b a ,均为正数，则n a 与1+n a 的大小关系为__（答：n a <1+n a ）； （3）已知数列{}n a 中，2n a n n λ=+，且{}n a 是递增数列，求实数λ的取值范围（答：3λ>-）；

二．等差数列的有关概念：

1．等差数列的判断方法：定义法1(n n a a d d +-=为常数）或11(2)n n n n a a a a n +--=-≥。

设{}n a 是等差数列，求证：以b n =n

a a a n +++Λ21 *n N ∈为通项公式的数列{}n

b 为等差数列。 2．等差数列的通项：1(1)n a a n d =+-或()n m a a n m d =+-。

(1)等差数列{}n a 中，1030a =，2050a =，则通项n a = （答：210n +）；

（2）首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是______（答：833

d <≤） 3．等差数列的前n 和：1()2n n n a a S +=，1(1)2

n n n S na d -=+。 （1）数列 {}n a 中，*11(2,)2n n a a n n N -=+≥∈，32n a =，前n 项和152

n S =-，求1a ，n （答：13a =-，10n =）； （2）已知数列 {}n a 的前n 项和212n S n n =-，求数列{||}n a 的前n 项和n T （答：2*2*12(6,)1272(6,)

n n n n n N T n n n n N ⎧-≤∈⎪=⎨-+>∈⎪⎩）. 三．等差数列的性质：

1．当公差0d ≠时，等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数，且率为公差d ；前n 和

211(1)()222

n n n d d S na d n a n -=+=+-是关于n 的二次函数且常数项为0. 2．若公差0d >，则为递增等差数列，若公差0d <，则为递减等差数列，若公差0d =，则为常数列。

3．当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+，特别地，当2m n p +=时，则有2m n p a a a +=.

（1）等差数列{}n a 中，12318,3,1n n n n S a a a S --=++==，则n ＝____ （答：27）

（2）在等差数列{}n a 中，10110,0a a <>，且1110||a a >，n S 是其前n 项和，则

A 、1210,S S S L 都小于0，1112,S S L 都大于0

B 、1219,S S S L 都小于0，2021,S S L 都大于0

C 、125,S S S L 都小于0，67,S S L 都大于0

D 、1220,S S S L 都小于0，2122,S S L 都大于0

（答：B ）

4．若{}n a 、{}n b 是等差数列，则{}n ka 、{}n n ka pb + (k 、p 是非零常数)、*{}(,)p nq a p q N +∈、

232,,n n n n n S S S S S -- ，…也成等差数列，而{}n a a 成等比数列；若{}n a 是等比数列，且0n a >，则{lg }n a 是等差数列. 等差数列的前n 项和为25，前2n 项和为100，则它的前3n 和为 。（答：225）

5．在等差数列{}n a 中，当项数为偶数2n 时，S S nd =偶奇－；项数为奇数21n -时，

S S a -=奇偶中，21(21)n S n a -=-⋅中（这里a 中即n a ）；:(1):奇偶S S k k =+。如

（1）在等差数列中，S 11＝22，则6a ＝______（答：2）；

（2）项数为奇数的等差数列{}n a 中，奇数项和为80，偶数项和为75，求此数列的中间项与项数（答：5；31）.

6．若等差数列{}n a 、{}n b 的前n 和分别为n A 、n B ，且()n n A f n B =，则 2121

(21)(21)(21)n n n n n n a n a A f n b n b B ---===--. 如设{n a }与{n b }是两个等差数列，它们的前n 项和分别为n S 和n T ，若

3413-+=n n T S n n ，求n n b a （答：6287n n --） 7．“首正”的递减等差数列中，前n 项和的最大值是所有非负项之和；“首负”的递增等差数列中，前n 项和的最小

值是所有非正项之和。法一：由不等式组⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛⎩⎨⎧≥≤⎩⎨⎧≤≥++000011n n n n a a a a 或确定出前多少项为非负（或非正）； 法二：因等差数列前n 项是关于n 的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性*

n N ∈。 （1）等差数列{}n a 中，125a =，917S S =，问此数列前多少项和最大？并求此最大值。（答：前13项和最大，

（2）若{}n a 是等差数列，首项10,a >200320040a a +>，200320040a a ⋅<，则使前n 项和0n S >成立的最大正整数n 是

（答：4006）

8．如果两等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数. 注意：公共项仅是公共的项，其项数不一定相同，即研究n m a b =.

四．等比数列的有关概念：

1．等比数列的判断方法：定义法1(n n a q q a +=为常数），其中0,0n q a ≠≠或11

n n n n a a a a +-=(2)n ≥。 （1）一个等比数列{n a }共有21n +项，奇数项之积为100，偶数项之积为120，则1n a +为____（答：56

）； （2）数列{}n a 中，n S =41n a -+1 (2n ≥)且1a =1，若n n n a a b 21-=+ ，求证：数列｛n b ｝是等比数列。

2．等比数列的通项：11n n a a q -=或n m n m a a q -=。

设等比数列{}n a 中，166n a a +=，21128n a a -=，前n 项和n S ＝126，求n 和公比q . （答：6n =，12

q =或2） 3．等比数列的前n 和：当1q =时，1n S na =；当1q ≠时，1(1)1n n a q S q -=-11n a a q q

-=-。如 （1）等比数列中，q ＝2，S 99=77，求9963a a a +++Λ （答：44）

特别提醒：等比数列前n 项和公式有两种形式，为此在求等比数列前n 项和时，首先要判断公比q 是否为1，再由q 的情况选择求和公式的形式，当不能判断公比q 是否为1时，要对q 分1q =和1q ≠两种情形讨论求解。 4．提醒：（1）等比数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、q 、n 、n a 及n S ，其中1a 、q 称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2；（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等比，可设为…，22,,,,a a a aq aq q q

…（公比为q ）；但偶数个数成等比时，不能设为…33,,,aq aq q

a q a ，…，因公比不一定为正数，只有公比为正时才可如此设，且公比为2q 。如有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个成等比数列，且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和为12，求此四个数。（答：15，,9，3,1或0,4，8,16）

5.等比数列的性质：

（1）当m n p q +=+时，则有m n p q a a a a =g g ，特别地，当2m n p +=时，则有2m n p a a a =g .

（1）在等比数列{}n a 中，3847124,512a a a a +==-，公比q 是整数，则10a =___（答：512）；