同角三角函数的基本关系导学案

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同角三角函数的基本关系导学案

同角三角函数的基本关系教学目标：1、知识目标:把握同角三角函数的基本关系式;2、能力目标:能用同角三角函数的基本关系式化简或证明三角函数的恒等式;3、情感价值观:通过小组探究合作,体验观察、分析、归纳等数学学习中的基本方法;体验发现规律、运用规律的过程;通过学生自己归纳总结,提高学习兴趣和自信心。

学情分析：1、学生在初中已学习过直角三角形中的三角函数,会求一些特殊角的函数值,这为本节课开头的探讨提供了基础。

2、本班大部分学生学习基础和计算能力一般,而且对新概念的归纳总结能力还有待进一步培养和提高,所以在小组探究时要给予必要的引导。

重点难点：重点:三角函数式的化简或证明;难点:同角三角函数基本关系式的变用、活用、倒用。

一、同一角的三角函数之间存在如下关系：1. 平方关系:2.商数关系:二、公式变形： ①22sin cos 1αα+=cos α=22cos 1sin αα=-a a a cos sin tan=sin α=22sin 1cos αα=-()()1cos sin 22=+a a②aa a cos sin tan =,tan cos sin a a a =.tan sin cos a a a = 的值。

是第三象限角，求，已知例αααtan ,cos 53sin .1a -=的值。

求变式：已知αααtan ,cos ,53sin -=例2，已知tana=2，且a 是第三象限角，求sina ，cosa 的值。

αααααcos sin cos sin ,2tan 3-+=求、已知例变式、已知tana=2,求αααα22cos sin cos sin -变式、已知tana=2,求变式、已知tana=2,求方法总结若已知sina 或cosa,先通过平方关系得出另外一个三角函数值,再用商数关系求得tana ；若已知tana,先通过商数关系确定sina 与cosa 的联系,再用平方关系与其组成方程组,解方程组即可。

同角三角函数的基本关系学案

5．2.2 同角三角函数的基本关系[目标] 1.记住并能推导同角三角函数基本关系式；2.能够利用同角三角函数基本关系式进行求值、化简和证明．[重点] 同角三角函数关系式的应用． [难点] 同角三角函数关系式的推导及应用．知识点一同角三角函数基本关系式[填一填](1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1.(2)商数关系：tan α＝sin αcos α，其中α≠k π＋π2(k ∈Z )．[答一答]1．同角三角函数基本关系中，角α是否是任意角？提示：平方关系中的角α是任意角，商数关系中的角α并非任意角，α≠k π＋π2，k ∈Z .2．这里的“同角”是什么含义？提示：这里“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)关系式都成立，即与角的表达形式无关，如sin 23α＋cos 23α＝1成立，但是sin 2α＋cos 2β＝1就不一定成立．3．下列四个结论中可能成立的是( B ) A ．sin α＝12且cos α＝12B ．sin α＝0且cos α＝－1C ．tan α＝1且cos α＝－1D ．α是第二象限角时，tan α＝－sin αcos α[解析] (1)∵sin 2α＋cos 2α＝1，sin α＝－513，∴cos α＝±1－sin 2α＝±1－⎝⎛⎭⎫－5132＝±1213. 又∵α是第四象限角，∴cos α>0，∴cos α＝1213，∴tan α＝sin αcos α＝－512.(2)解：∵cos α＝－35<0，∴α是第二或第三象限角．当α是第二象限角时，sin α>0，tan α<0， ∴sin α＝1－cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫－352＝45，tan α＝sin αcos α＝－43；当α是第三象限角时，sin α<0，tan α>0， ∴sin α＝－1－cos 2α＝－1－⎝⎛⎭⎫－352＝－45， tan α＝sin αcos α＝43.[答案] (1)D (2)见解析已知角α的某种三角函数值，求角α的其余三角函数值时，要注意公式的合理选择；若角所在的象限已经确定，求另两种三角函数值时，只有一组结果；若角所在的象限不确定，应分类讨论，有两组结果.[变式训练1] 已知tan α＝2，则cos α＝±55.解析：由tan α＝sin αcos α＝2得，sin α＝2cos α，又sin 2α＋cos 2α＝1，∴4cos 2α＋cos 2α＝1，即cos 2α＝15，∴cos α＝±55.类型二整体代入，化切求值 [例2] 设tan α＝2，求下列各式的值： (1)1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α； (2)2sin 2α－3sin αcos α＋5cos 2α. [解] 因为tan α＝2≠0，所以(1)1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝tan 2α＋1＋2tan αtan 2α－1＝22＋1＋2×222－1＝93＝3.(2)2sin 2α－3sin αcos α＋5cos 2α＝2sin 2α－3sin αcos α＋5cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan 2α－3tan α＋5tan 2α＋1＝2×4－3×2＋54＋1＝75.[变式训练2] 已知tan α＝3，求下列各式的值： (1)cos α－sin αcos α＋sin α＋cos α＋sin αcos α－sin α； (2)1sin αcos α； (3)sin 2α－2sin αcos α＋4cos 2α.解：(1)cos α－sin αcos α＋sin α＋cos α＋sin αcos α－sin α＝1－tan α1＋tan α＋1＋tan α1－tan α＝1－31＋3＋1＋31－3＝－52.(2)1sin αcos α＝sin 2α＋cos 2αsin αcos α＝tan 2α＋1tan α＝103. (3)sin 2α－2sin αcos α＋4cos 2α＝sin 2α－2sin αcos α＋4cos 2αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α－2tan α＋4tan 2α＋1＝9－6＋49＋1＝710. 类型三三角函数式的化简 [例3] 化简下列各式： (1)1－2sin130°cos130°sin130°＋1－sin 2130°； (2)sin 2αtan α＋2sin αcos α＋cos 2αtan α. [分析] (1)中含有根号，运用三角函数平方关系将被开方式化为平方形式去根号；(2)观察式子中有正切，从而利用切化弦的思路进行变形．[解] (1)原式＝sin 2130°－2sin130°cos130°＋cos 2130°sin130°＋cos 2130°＝|sin130°－cos130°|sin130°＋|cos130°|＝sin130°－cos130°sin130°－cos130°＝1. (2)原式＝sin 2α·sin αcos α＋2sin αcos α＋cos 2α·cos αsin α＝sin 4α＋2sin 2αcos 2α＋cos 4αcos αsin α＝(sin 2α＋cos 2α)2sin αcos α＝1sin αcos α.化简三角函数式常用的方法有：(1)化切为弦，即把非正、余弦的函数都化成正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的.(2)对于含有根号的，常把根号下的式子化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的. (3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助因式分解，或构造sin 2α＋cos 2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的.[变式训练3] 化简下列各式： (1)2sin 2α－11－2cos 2α； (2)sin 2α－sin 4α(其中α是第二象限角)．解：(1)2sin 2α－11－2cos 2α＝2sin 2α－(sin 2α＋cos 2α)(sin 2α＋cos 2α)－2cos 2α＝sin 2α－cos 2αsin 2α－cos 2α＝1.(2)sin 2α－sin 4α＝sin 2α(1－sin 2α)＝sin 2αcos 2α＝－sin αcos α.类型四 sin θ±cos θ与sin θcos θ之间的关系 [例4] 已知sin α＋cos α＝－13，0<α<π.(1)求sin αcos α的值； (2)求sin α－cos α的值．[解] (1)由sin α＋cos α＝－13⇒(sin α＋cos α)2＝19，sin 2α＋2sin αcos α＋cos 2α＝19，sin αcos α＝－49.(2)因为0<α<π，sin α＋cos α＝－13，所以sin α>0，cos α<0⇒sin α－cos α>0. sin α－cos α＝(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝173.(1)sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α三个式子中，已知其中一个，可以利用平方关系求其他两个，即“知一求二”．(2)求sin α＋cos α或sin α－cos α的值，要注意判断它们的符号．[变式训练4] 已知－π2<x <0，sin x ＋cos x ＝15，则sin x －cos x ＝－75.解析：由sin x ＋cos x ＝15，两边平方得sin 2x ＋2sin x cos x ＋cos 2x ＝125，即2sin x cos x ＝－2425，(sin x －cos x )2＝1－2sin x ·cos x ＝4925.又－π2<x <0，∴sin x <0，cos x >0，sin x －cos x <0， ∴sin x －cos x ＝－75.1．下列结论能成立的是( C ) A ．sin α＝13且cos α＝23B ．tan α＝2且cos αsin α＝13C ．tan α＝1且cos α＝22D ．sin α＝1且tan α·cos α＝12解析：A 中，sin 2α＋cos 2α≠1，故A 选项不成立；B 中，tan α·cos αsin α≠1，故B 选项不成立；D 中，tan α·cos α≠sin α，故D 选项不成立．只有C 正确．2．已知α是第四象限角，cos α＝1213，则sin α＝( B )A.513 B ．－513 C.512 D ．－512 解析：由α为第四象限角，cos α＝1213，得sin α＝－1－cos 2α＝－1－(1213)2＝－513，故选B.3．若△ABC 的内角A 满足sin A cos A ＝13，则sin A ＋cos A 的值为( A )A.153B ．－153C.53 D ．－53解析：因为A 为△ABC 的内角，且sin A cos A ＝13>0，所以A 为锐角，所以sin A ＋cos A >0.又1＋2sin A cos A ＝1＋23，即(sin A ＋cos A )2＝53，所以sin A ＋cos A ＝153，故选A.4．已知tan α＝3，则2sin 2α＋4sin αcos α－9cos 2α的值为2110.解析：原式＝2sin 2α＋4sin αcos α－9cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan 2α＋4tan α－9tan 2α＋1＝2×32＋4×3－932＋1＝2110.5．已知cos α＝－817，求sin α，tan α的值．解：∵cos α＝－817<0，∴α是第二或第三象限角．若α是第二象限角，则sin α＝1－cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫－8172＝1517， tan α＝sin αcos α＝1517－817＝－158.若α是第三象限角，则sin α＝－1－cos 2α＝－1－⎝⎛⎭⎫－8172＝－1517，tanα＝sinαcosα＝－15 17－817＝158.——本课须掌握的五大问题1．同角三角函数的基本关系揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规律，这里，“同角”有两层含义：一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)，关系式成立与角的表达形式无关，如sin23α＋cos23α＝1.2．sin2α是(sinα)2的简写，不能写成sinα2.3．在使用同角三角函数关系式时要注意使式子有意义，如式子tan90°＝sin90°cos90°不成立．4．注意公式变形的灵活应用．5．在应用平方关系式求sinα或cosα时，其正负号是由角α所在的象限决定的．当角所在象限不明确时，要进行分类讨论．。

4.2同角三角函数的基本关系式及诱导公式(学案)

4.2同角三角函数的基本关系式及诱导公式(学案)知识归纳1、同角三角函数的基本关系式（1）平方关系（2）商数关系（3）倒数关系）记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限（其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变是指的变化（2）利用诱导公式把任意的三角函数转化为锐角三角函数的基本步骤是：任意角的三角函数→正角的三角函数→00360 的角的三角函数→锐角三角函数 3、平方关系 s is α商数关系 t a nαc o t α倒数关系 s e c α 4、sin cos ,sin cos ,sin cos αααααα+-三者之间的关系()2sin cos 12sin cos αααα+=+()2sin cos 12sin cos αααα-=- ()()22sin cos sin cos 2αααα++-=()()22sin cos sin cos 4sin cos αααααα+--=5、同角三角函数关系式和诱导公式的应用主要包括三类题型：求值、化简、证明典型例题例1、（1）已知()cot 2πα-=，求3sin 2πα⎛⎫+⎪⎝⎭的值（2）已知()cot 0m m α=≠，求cos α例2、已知tan 1tan 1αα=--，求下列各式的值：()4sin 2cos 15cos 3sin αααα-+ ()2s i n c o s αα ()()23sin cos αα+例3、已知()()()()()3sin cos 2tan 2cot sin f ππαπααααππα⎛⎫---+ ⎪⎝⎭=----（1）化简()f α（2）若α是第三象限角，且31cos 25πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求()f α的值（3）若313πα=-，求()f α的值例4、（1）求证：tan sin tan sin tan sin tan sin αααααααα⋅+=-⋅（2）已知()()sin 2cos 2αππα-=- 求证：()()()()sin 5cos 233cos sin 5παπαπαα-+-=----例5、已知关于x的方程)2210x x m -+=的两根为sin θ和cos θ，()0,2θπ∈求（1）sin cos 1cot 1tan θθθθ+--的值（2）m 的值（3）方程的两根及此时θ的值堂清练习1、19sin 6π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值等于（）A 、12B 、12- C2D、2-2、如果A 为锐角，()1sin 2A π+=-，那么()cos A π-=（）A 、12- B 、12C、2-D23、已知a =200sin ，则160tan 等于A、- B、C、a-D、a4cos sin 1+=-，则θ是（）A 、第一象限角B 、第二象限角C 、第三象限角D 、第四象限角5、若022x π≤≤cos 2x =成立的x 的取值范围是（）A 、0,4π⎛⎫⎪⎝⎭B 、3,4ππ⎛⎫⎪⎝⎭ C 、5,44ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ D 、30,,44πππ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦6、405cot 300tan +的值为＿＿＿＿。

同角三角函数的基本关系导学方案

同角三角函数的基本关系导学方案一．知识要点同角三角函数的基本关系平方关系22sin cos 1a a += 商数关系s i n t a n a c o s a a= 【学习领悟】1.公式变形 22sin 1cos a a =- 2s i n 1c o s a a =?22cos 1sin a a =- 22cos 1sin a a =?（正负号由a 所在象限决定）sina =cosa tan a × s i n c o s t a n a a a=2.公式应用 “知一求二”：把sin ,cos ,tan a a a 看作未知数，则两个关系式就成了两个方程，三个未知数中只要知道了一个的值，解方程组就可求出另两个的值。

二．考点归纳考点1.“知一求二”例1 已知3sin ,cos ,tan 5a a a =-求的值。

解：2234cos 1sin 1()55a a =?=?-= . 当4cos 5a =时，sin 343tan ()cos 554a a a ==-?-. 同理，当4cos -5a =时3tan 4a =. 变式：已知a 是三角形的内角，且15sin cos a a +=，求tan a 的值. 解：由已知，1cos sin 5a a =- 代入22sin cos 1a a +=整理得： 2112sin sin 0525a a --=，解得43sin sin 55a a ==-或. 因为a 是三角形的内角，sin 0a >,所以4sin 5a =，1143cos sin =-=-5555a a =- 所以4tan -3a = 【评】“知一求二”不但指sin ,cos ,tan a a a 三者中知一可求二,还指知道一个关于sin ,cos ,tan a a a 的方程,联立两个关系式就可求出它们的值.考点2.弦切转化例2.已知tan 2,a =求下列式子的值. (1)sin cos sin cos a a a a +-; (2)221cos sin a a-. 解:方法一:由”知一求二”可求出sin ,cos ,a a 然后代入求值.方法二:弦化切,在(1)的分子分母中同时除以cos ,a 则tan 121=3tan 121a a ++==--(1)原式. 222222222222sin cos sin cos tan 15cos (2)=cos sin cos sin 1tan 3cos a aa a a a a a a a a a+++===----原式. 方法三：由已知得，sin 2cos a a =,则22222222sin cos (2cos )cos 5(2)=cos sin cos a (2cos )3a a a a a a a ++==---原式，同理可求（1）的值. 【评】弦化切得前提是：要求值的式子是分式，且分子分母都是关于sin ,cos a a 的齐次式，这里要注意“1”的变形.这是一种转化思想。

1.2.2同角三角函数关系(2015年人教A版数学必修四导学案)

4、化简：（1） cos tan
2 cos2 1 （2） 1 2 sin 2 a
5、求证：（1） 1 tan
2
1 cos 2
（2） sin cos sin cos
4 4 2 2
课题：1.2.2 同角三角函数关系班级：【学习目标】姓名：备注
4 ，且为第三象限角，则 sin =_______， tan =________。 5 1 2、已知 sin =－，则 cos ________，tan =_________。 2
1、已知 cos －
3、已知 sin =－（ A、－）
3 3 ， ∈( ，2 )，则 tan 等于 5 2
1 (0 ) ，则 sin cos ___________ ， 5
tan _____。
3 、已知 sin cos
60 ，且，则 sin __________ ， 169 4 2
cos __________。
2
【课堂研讨】例 1、已知 sin
4 ，且是第二象限角，求 cos ， tan 的值。 5
练习：已知 tan
12 ，求 sin ， cos 的值。 5
例 2、已知 tan 2，求下列各式的值：（ 1 ）
4 sin 2 cos 3 cos 3 sin
（ 2 ）
sin 2 2 sin cos 3 cos2
例 3、已知 sin cos
sin cos （1）
4 ，求下列各式的值： 3 sin 3 cos3 sin 4 cos4 （2）（3）

北师大版4.2.1同角三角函数的基本关系及三角函数诱导公式导学案

cos( )=________________ (k∈Z)
规律：_______________________________________
3．同角三角函数的关系式的基本用途：
根据一个角的某一个三角函数值，求出该角的其他三角函数值；化简同角三角函数式；证明同角的三角恒等式．
4．诱导公式的作用：
诱导公式可以将求任意角的三角函数值转化为0°~90º角的三角函数值．
【导学释疑】
例1.已知 = ,且α是第二象限角，求cosα，tanα的值
变式训练1已知tanα= ,求sinα, cosα的值
【检测反馈】
1已知，且，则的值是
2 的值等于（）.
3若，则 _________________．
【学生小结】
谈谈学完本节课有什么收获？
教学反思
公式四sin( +α)=______________
cos( +α)=______________ (k∈Z)
tan( +α)=______________
公式五sin( )=________________
cos( )=________________ (k∈Z)
公式六sin( )=________________
公式二sin(-α)=______________Байду номын сангаас
cos(-α)=______________ (k∈Z)
tan(-α)=______________
公式三sin( -α)=______________
cos( -α)=______________ (k∈Z)
tan( -α)=______________
安边中学高三年级上学期数学学科导学稿执笔人：王广青总第24课时

导学案018同角三角函数的基本关系与诱导公式

同角三角函数的基本关系式和诱导公式考纲要求1.理解同角三角函数的基本关系式：sin 2x ＋cos 2x ＝1，sin xcos x＝tan x ． 2.能利用单位圆中的三角函数线推导出π2±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式. 考情分析1.利用同角三角函数的基本关系及诱导公式求值或化简三角函数式是考查重点．2.主要以选择题、填空题的形式考查. 教学过程基础梳理：一、同角三角函数的基本关系式 1．平方关系：________. 2．商数关系： ________.对于角“k π2±α”(k ∈Z)的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，意思是说k π2±α，k ∈Z 的三角函数值等于“当k 为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k 为偶数时，函数名不变，然后α的三角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号．”双基自测1．sin 585°的值为 ( )A ．－22 B.22 C ．－32 D.322．(教材习题改已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|<π2，则θ等于 ( ) A ．－π6B ．－π3 C.π6D.π33．若tan α＝2，则2sin α－cos αsin α＋2cos α的值为 ( )A ．0 B.34 C ．1 D.544．(2011²重庆高考)若cos α＝－35，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，则tan α＝________.5．如果sin(π＋A )＝12，那么cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－A 的值是________．典例分析考点一：同角三角函数的基本关系[例1] (2011²大纲全国卷)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，tan α＝2，则cos α＝________.变式1若例1中条件变为“若sin θ＝－45，tan θ>0”，则cos θ＝________.[例2] (2012²温州模拟)已知sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，则sin 2α－sin αcos α的值是 ( ) A.25 B ．－25C ．－2D ．2变式2(2011²杭州师大附中月考)如果f(tan x)＝sin2x －5sin xcos x ，那么f(5)＝________. 方法总结：1．利用sin 2α＋cos 2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用 sin αcos α＝tan α可以实现角α的弦切互化．2．应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二．3．注意公式逆用及变形应用：1＝sin 2α＋cos 2α，sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α.考点二：诱导公式[例3] (2012²衢州模拟)已知α∈(－π，0)，tan(3π＋α)＝1log 3aa(a >0，且a ≠1)，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π＋α的值为 ( )A.1010 B ．－1010 C.31010 D ．－31010变式3.(2012²聊城模拟)已知f(x)＝asin(πx ＋α)＋bcos(πx ＋β)＋4(a ，b ，α，β为非零实数)，f(2 011)＝ 5，则f(2 012)＝( )A ．3B ．5C ．1D ．不能确定方法总结;利用诱导公式化简求值时的原则 1．“负化正”，运用公式三将任意负角的三角函数化为任意正角的三角函数． 2．“大化小”，利用公式一将大于360°的角的三角函数化为0°到360°的三角函数，利用公式二将大于180°的角的三角函数化为0°到180°的三角函数． 3．“小化锐”，利用公式六将大于90°的角化为0°到90° 的角的三角函数． 4．“锐求值”，得到0°到90°的三角函数后，若是特殊角直接求得，若是非特殊角可由计算器求得.考点三：三角形中的诱导公式 [例4] 在△ABC 中，若sin(2π－A )＝－2sin(π－B )，3cos A ＝－2cos(π－B )，求△ABC 的三个内角．变式4.△ABC 中，cos A ＝13，则sin(B ＋C )＝________.方法总结：1.诱导公式在三角形中经常应用，常用的变形结论有A ＋B ＝π－C ；2A ＋2B ＋2C ＝2π； A 2＋B 2＋C 2＝π2.2.求角时，一般先求出该角的某一三角函数值，再确定该角的范围，最后求角．[考题范例](2012·九江调研)已知θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝3－12，则tan θ的值为 ( ) A ．－3或－33 B ．－33 C ．－ 3 D ．－32 法一：由sin θ＋cos θ＝3－12两边平方得sin θ·cos θ＝－34，由sin θ·cos θ＝sin θ·cos θsin 2θ＋cos 2θ＝tan θ1＋tan 2θ＝－34，解得tan θ＝－3或tan θ＝－33，由于θ∈(0，π)，0<sin θ＋cos θ＝12(3－1)<1， ∴θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，|sin θ|>|cos θ|，∴|tan θ|>1，即θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，34π，∴tan θ<－1，∴tan θ＝－33，舍去．故tan θ＝－ 3. 法二：由sin θ＋cos θ＝3－12，两边平方得sin θ·cos θ＝－34，∴(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θ·cos θ＝1＋32＝4＋234＝⎝⎛⎭⎪⎫3＋122， ∵θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝12(3－1)<1，∴θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴sin θ－cos θ>0，∴sin θ－cos θ＝3＋12，由⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＋cos θ＝3－12sin θ－cos θ＝3＋12得sin θ＝32，cos θ＝－12.∴tan θ＝－3.一个口诀诱导公式的记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限．三种方法在求值与化简时，常用方法有：(1)弦切互化法：主要利用公式tan α＝sin αcos α化成正、余弦．(2)和积转换法：利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化．(3)巧用“1”的变换：1＝sin 2θ＋cos 2θ＝cos 2θ(1＋tan 2θ)＝tan π4＝…. 三个防范(1)利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负－脱周－化锐．特别注意函数名称和符号的确定．(2)在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号． (3)注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化．本节检测1．已知sin(θ＋π)<0，cos(θ－π)>0，则下列不等关系中必定成立的是( )A ．sin θ<0，cos θ>0B ．sin θ>0，cos θ<0C ．sin θ>0，cos θ>0D ．sin θ<0，cos θ<02．(2012²临沂一模)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－φ＝32，且|φ|<π2，则tan φ＝( )A ．－33 B.33C ．－ 3 D. 33．(2012²淄博模拟)已知sin 2α＝－2425，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，0，则sin α＋cosα＝( )A ．－15 B.15 C ．－75 D.754．已知tan θ＝2，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ－cos π－θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ－sin π－θ＝( )A ．2B ．－2C ．0 D.235．cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－174π－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－17π4的值是________． 6．已知α为第二象限角，则cos α1＋tan 2α＋sin α1＋1tan 2α＝________.自我反思。

人教版高中数学必修四第一章1-2-2同角三角函数的基本关系式《学案》

班级:__________姓名:__________设计人:__________日期:__________♒♒♒♒♒♒♒课前预习·预习案♒♒♒♒♒♒♒温馨寄语在年轻人的颈项上，没有什么东西能比事业心这颗灿烂的宝珠更迷人的了。

——哈菲兹学习目标1．理解同角三角函数的基本关系.2．会利用同角三角函数的基本关系化简、求值、证明恒等式.学习重点同角三角函数的基本关系式的推导，会利用同角三角函数的基本关系式进行三角函数的化简与证明学习难点会用同角三角函数的基本关系式进行三角函数的化简与证明自主学习同角三角函数的基本关系平方关系： .商的关系：.tanα=预习评价1．已知θ是第一象限角且，则cosθ＝.2．化简：= .3．已知3sinα+cosα=0，则t a n = .♒♒♒♒♒♒♒知识拓展·探究案♒♒♒♒♒♒♒合作探究1．同角三角函数基本关系设角是一个任意象限角，点P(x，y)为角α终边上任意一点，它与原点的距离为r(r= >0)，那么：，请根据三角函数的定义思考下面问题：(1)从以上三角函数的定义，试计算sin2α+cos2α与的值，并根据你计算的结果，写出sin ,cos ,t a n 之间的关系式.(2)同角三角函数的两个基本关系成立的条件各是什么？2．利用同角三角函数关系可以解决哪些问题？教师点拨对同角三角函数基本关系的三点说明(1)关系式中的角一定是同角，否则公式可能不成立，如sin230°+cos260°≠1.(2)同角不要拘泥于形式，将换成或2α也成立，如.(3)商的关系中要注意公式中的隐含条件，cos ≠0，即交流展示——利用基本关系求值1．已知( )A. B. C. D.2．已知，则等于A. B. C. D.3．______．4．已知是第二象限角,,则变式训练1．(2011·山东省潍坊市月考)已知cos α-sin α=-,则sin αcos α的值为()A. B.± C. D.±2．已知tan α=-2,且<α<π,则cos α+sin α=.交流展示——三角函数式的化简5．若，则sinαcosα=A. B. C. D.6．当角α的终边在直线3x+4y=0上时,sin α+cos α=B. C. D.±7．(2012·聊城测试)已知tan α,是关于x的方程x2-kx+k2-3=0的两个实根,且3π<α<π,则cos α+sin α=.变式训练已知，求(1)；(2)的值.交流展示——三角恒等式的证明8．求证：.9．证明:(1-tan4A)cos2A+tan2A=1.变式训练求证：学习小结1．三角函数求值的常用方法若已知tan =m，求其他三角函数值，其方法是解方程组求出sin a和cos a的值.若已知tan =m，求形如的值，其方法是将分子、分母同除以co s a(或cos2a)转化为tan 的代数式，再求值.形如a sin2 +bsin •cos +c•cos2 通常把分母看作1，然后用sin2 +cos2 代换，分子分母同除以cos2 再求解.提醒：在应用平方关系求sin 或cos 时，函数值的正、负是由角的终边所在的象限决定的，切不可不加分析，凭想象乱写结果.2．三角函数式化简的本质及关注点(1)本质：三角函数式化简的本质是一种不指定答案的恒等变形，体现了由繁到简的最基本的数学解题原则.(2)关注点：不仅要熟悉和灵活运用同角三角函数的基本关系式，还要熟悉并灵活应用这些公式的等价变形，如sin2α=1－cos2α，cos2α=1－sin2α，1=sin2α+cos2α，sinα=tanα•cosα，cosα= .3．对三角函数式化简的原则(1)使三角函数式的次数尽量低.(2)使式中的项数尽量少.(3)使三角函数的种类尽量少.(4)使式中的分母尽量不含有三角函数.(5)使式中尽量不含有根号和绝对值符号.(6)能求值的要求出具体的值，否则就用三角函数式来表示.4．证明三角恒等式的常用方法证明恒等式的过程就是分析、转化、消去等式两边差异来促成统一的过程，证明时常用的方法有：(1)从一边开始，证明它等于另一边，遵循由繁到简的原则.(2)证明左右两边等于同一个式子.(3)证明左边减去右边等于零或左、右两边之比等于1.(4)证明与原式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立.当堂检测1．已知A为三角形的一个内角，且，则cos A−sin A的值为A. B. C. D.2．化简(1+tan2α)·cos2α=__________.3．已知在△ABC中，.(1)求sin A·cos A的值.(2)判断△ABC是锐角三角形还是钝角三角形.(3)求tan A的值.知识拓展在中，，求的值．详细答案♒♒♒♒♒♒♒课前预习·预习案♒♒♒♒♒♒♒【自主学习】(1)sin2α+cos2α＝1(2)【预习评价】1．2．cos20°3．♒♒♒♒♒♒♒知识拓展·探究案♒♒♒♒♒♒♒【合作探究】1．(1)sin2α+co s2α= + = =1，由以上计算结果可得出以下结论；sin2α+cos2α=1及tanα= .(2)对于平方关系只需同角即可；对于商的关系第一保证是同角，第二保证α≠kπ+ (k∈Z).2．(1)求值：已知一个角的三角函数值，求这个角的其他三角函数的值；(2)化简三角函数式；(3)证明三角恒等式.【交流展示——利用基本关系求值】1．C.【备注】对于与之间的关系，通过平方可以表达出来.2．A,结合可得,所以3．1【解析】本题主要考查同角三角函数基本关系.原式．4．【解析】本题考查同角三角函数基本关系式的应用.利用同角三角函数基本关系式,已知一个角的一个三角函数值可求这个角的其它三角函数值.,又,∴【变式训练】1．A【解析】由已知得(cos α-sin α)2=sin2α+cos2α-2sin αcos α=1-2sin αcos α=,解得sin αcos α=,故选A.2．【解析】本题主要考查了三角函数的概念,意在考查考生对基本概念的理解和应用能力由tan α=-2,得=-2,又sin2α+cos2α=1,且<α<π,解得sin α=,cos α=-,则sin α+cos α==.【交流展示——三角函数式的化简】5．B【解析】由，得，即t a nα.故选B.6．D【解析】在角α的终边上取点P(4t,-3t)(t≠0),则|OP|=5|t|.根据任意角的三角函数的定义,当t>0时,sin α==-,cos α==,sin α+cos α=;当t<0时,sin α==,cos α==-,sin α+cos α=-. 7．-【解析】∵tan α·=k2-3=1,∴k=±2,而3π<α<π,则tan α+=k=2,得tan α=1,则sin α=cos α=-,∴cos α+sin α=-.【变式训练】(1)；(2).的一次或二次齐次式,所以可将分子和分母同除以或,然后将代入求解即可.【备注】注意到的应用.【交流展示——三角恒等式的证明】8．证明：因为1cos sin sin 1cos x x x x+--(1cos )(1cos )sin sin sin (1cos )x x x x x x +--=- 22221cos sin sin sin 0sin (1cos )sin (1cos )x x x xx x x x ---===--，所以1cos sin =sin 1cos x x x x+-. 9．∵左边=·cos 2A+=+=+==1=右边,∴原等式成立. 【变式训练】右边左边.【解析】通过“切割化弦”将右边分子、分母中的正切化为再进行通分求解.【备注】在三角恒等式的证明中化异为同是基本思想，“1”的代换要灵活运用. 【当堂检测】 1．D【解析】由A 为三角形的内角且，可知，，∴cosA −，.故选D. 2．13．（1）由1sin cos 5A A +=，两边平方，得112sin cos 25A A +⋅=，所以12sin cos 25A A ⋅=-. （2）由（1）得12sin cos 025A A ⋅=-<.又0A π<<，所以cos 0A <，所以A 为钝角.所以ABC ∆是钝角三角形.（3）因为12sin cos 25A A ⋅=-，所以22449(sin cos )12sin cos 12525A A A A -=-⋅=+=，又sin 0,cos 0A A ><，所以sin cos 0A A ->，所以7sin cos 5A A -=. 又1sin cos 5A A +=，所以43sin ,cos 55A A ==-. 所以4sin 45tan 3cos 35A A A ===--. 【知识拓展】解：∵，①∴，即，∴．∵，∴，．∴．∵，∴．②①+②，得．①−②，得．∴．【解析】本题主要考查同角三角函数基本关系以及三角形中函数符号的判定。

同角三角函数的基本关系与诱导公式复习教案

同角三角函数的基本关系与诱导公式复习教案教学目标：1.掌握同角三角函数的基本定义及其性质；2.理解同角三角函数之间的基本关系；3.利用同角三角函数的基本关系和诱导公式解决实际问题。

教学重点：1.同角三角函数的基本定义的理解与应用；2.同角三角函数之间的基本关系的掌握与应用。

教学难点：1.同角三角函数的基本关系的推导过程；2.同角三角函数的应用问题的解决。

教学过程：一、复习1.让学生回顾三角函数的基本定义及其性质。

二、引入1.提问：在之前的学习中，我们已经学习了不同角度上的三角函数，那么，如果两个角度相等，它们的三角函数是否相等呢？2.引导学生思考：同角三角函数指的是角度相同的两个三角函数。

根据角度相等，我们可以猜测同角三角函数之间可能存在一些关系。

三、同角三角函数的基本关系1.讲解：让我们回忆一下，三角函数中的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割、余切这七个函数，它们分别由一个角所决定，对应在单位圆上的点的坐标值。

2.补充：这七个函数之间存在一些基本关系。

让我们来总结一下：- 正切函数：tan(θ) = sin(θ) / cos(θ)；- 余切函数：cot(θ) = cos(θ) / sin(θ)；- 正割函数：sec(θ) = 1 / cos(θ)；- 余割函数：csc(θ) = 1 / sin(θ)；- 隐含关系：sin^2(θ) + cos^2(θ) = 1；- 隐含关系：1 + tan^2(θ) = sec^2(θ)；- 隐含关系：1 + cot^2(θ) = csc^2(θ)。

四、同角三角函数的诱导公式1.引导学生思考：从上述的基本关系中，我们是否可以得到其他同角三角函数之间的关系呢？2.讲解：根据角度和三角函数的性质，我们可以推导出同角三角函数的诱导公式。

- sin(α±β) = sin(α)cos(β) ± cos(α)sin(β)- cos(α±β) = cos(α)cos(β) ∓ sin(α)sin(β)- tan(α±β) = (tanα ± tanβ) / (1 ∓ tanαtanβ)3.通过推导一些简单的例子，进一步巩固同角三角函数的诱导公式。

数学《同角三角函数的基本关系》教案

数学《同角三角函数的基本关系》教案教案：同角三角函数的基本关系一、教学目标：1.理解同角三角函数的概念及意义。

2.掌握正弦、余弦和正切函数之间的基本关系。

3.能够在给定角度范围内计算同角三角函数的值。

二、教学重点与难点：1.理解同角三角函数的概念及意义。

2.掌握正弦、余弦和正切函数之间的基本关系。

三、教学准备：1.教材、课件、黑板、粉笔。

2.学生课前复习笔记。

四、教学过程：1.引入（10分钟）教师可通过提问的方式引导学生复习和回忆上节课所学的三角函数概念及性质，例如：“什么是三角函数？它们有什么特点？”2.概念讲解（10分钟）教师介绍同角三角函数的概念和意义，同角三角函数是以角度的大小和方向为自变量，以比值为因变量的一类函数。

其中，正弦函数、余弦函数和正切函数是最常用和基础的三角函数。

通过图示的方式向学生展示正弦函数、余弦函数和正切函数的形象及它们之间的关系。

3.基本关系的推导（15分钟）3.1正弦函数与余弦函数的基本关系：教师指导学生通过绘制各象限内角度相同的锐角三角形，并利用其定义推导出正弦函数和余弦函数的基本关系：sin^2θ + cos^2θ = 13.2正切函数与正弦函数、余弦函数的基本关系：教师指导学生通过绘制直角三角形，利用其定义推导出正切函数、正弦函数和余弦函数的基本关系：tanθ = sinθ / cosθ。

4.同角三角函数的计算及性质（25分钟）4.1计算角度对应的三角函数值：教师引导学生通过练习，掌握计算给定角度对应的正弦、余弦和正切函数值的方法和技巧。

4.2使用同角三角函数的性质：教师讲解同角三角函数的周期性和奇偶性，并指导学生根据这些性质简化计算，例如，sin(180° + θ) = -sinθ，cos(π + θ) = -cosθ，等等。

5.练习与巩固（20分钟）教师提供一系列基础练习题，让学生在课堂上进行计算和解答，以巩固所学的同角三角函数的基本关系和计算方法。

人教A版高中数学必修4第一章三角函数1.2.2同角三角函数的基本关系导学案

1.2.2.同角三角函数的基本关系学习目标.1.能通过三角函数的定义推导出同角三角函数的基本关系式.2.理解同角三角函数的基本关系式.3.能运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的化简、求值和证明.知识点.同角三角函数的基本关系式思考1.计算下列式子的值： (1)sin 230°＋cos 230°； (2)sin 245°＋cos 245°； (3)sin 290°＋cos 290°.由此你能得出什么结论？尝试证明它. 答案.3个式子的值均为1.由此可猜想：对于任意角α，有sin 2α＋cos 2α＝1，下面用三角函数的定义证明：设角α的终边与单位圆的交点为P (x ，y )，则由三角函数的定义，得sin α＝y ，cos α＝x .∴sin 2α＋cos 2α＝x 2＋y 2＝|OP |2＝1.思考2.由三角函数的定义知，tan α与sin α和cos α间具有怎样的等量关系？答案.∵tan α＝y x ，∴tan α＝sin αcos α.梳理.(1)同角三角函数的基本关系式 ①平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1.②商数关系：tan α＝sin αcos α (α≠k π＋π2，k ∈Z ).(2)同角三角函数基本关系式的变形 ①sin 2α＋cos 2α＝1的变形公式 sin 2α＝1－cos 2α；cos 2α＝1－sin 2α. ②tan α＝sin αcos α的变形公式sin α＝cos αtan α；cos α＝sin αtan α.类型一.利用同角三角函数的关系式求值命题角度1.已知角α的某一三角函数值及α所在象限，求角α的其余三角函数值例1.若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α的值为(..)A.125B.－125C.512D.－512 答案.D解析.∵sin α＝－513，且α为第四象限角，∴cos α＝1213，∴tan α＝sin αcos α＝－512，故选D.反思与感悟.同角三角函数的关系揭示了同角三角函数之间的基本关系，其常用的用途是“知一求二”，即在sin α，cos α，tan α三个值之间，知道其中一个可以求其余两个.解题时要注意角α的象限，从而判断三角函数值的正负.跟踪训练1.已知tan α＝43，且α是第三象限角，求sin α，cos α的值.解.由tan α＝sin αcos α＝43，得sin α＝43cos α.①又sin 2α＋cos 2α＝1，②由①②得169cos 2α＋cos 2α＝1，即cos 2α＝925.又α是第三象限角，∴cos α＝－35，sin α＝43cos α＝－45.命题角度2.已知角α的某一三角函数值，未给出α所在象限，求角α的其余三角函数值例2.已知cos α＝－817，求sin α，tan α的值.解.∵cos α＝－817<0，且cos α≠－1，∴α是第二或第三象限角. (1)当α是第二象限角时，则 sin α＝1－cos 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－8172＝1517， tan α＝sin αcos α＝1517－817＝－158.(2)当α是第三象限角时，则sin α＝－1－cos 2α＝－1517，tan α＝158.反思与感悟.利用同角三角函数关系式求值时，若没有给出角α是第几象限角，则应分类讨论，先由已知三角函数的值推出α的终边可能在的象限，再分类求解. 跟踪训练2.已知cos α＝－513，求13sin α＋5tan α的值. 解.方法一.∵cos α＝－513<0，∴α是第二或第三象限角. (1)若α是第二象限角，则sin α＝1－cos 2α ＝1－(－513)2＝1213，tan α＝sin αcos α＝1213－513＝－125，故13sin α＋5tan α＝13×1213＋5×(－125)＝0.(2)若α是第三象限角，则sin α＝－1－cos 2α＝－ 1－(－513)2＝－1213，tan α＝sin αcos α＝－1213－513＝125，故13sin α＋5tan α＝13×(－1213)＋5×125＝0.综上可知，13sin α＋5tan α＝0. 方法二.∵tan α＝sin αcos α，∴13sin α＋5tan α＝13sin α(1＋513·1cos α)＝13sin α[1＋513×(－135)]＝0.类型二.利用同角三角函数关系化简例3.已知α是第三象限角，化简： 1＋sin α1－sin α－1－sin α1＋sin α.解.原式＝ (1＋sin α)(1＋sin α)(1＋sin α)(1－sin α)－(1－sin α)(1－sin α)(1＋sin α)(1－sin α)＝(1＋sin α)21－sin 2α－ (1－sin α)21－sin 2α＝1＋sin α|cos α|－1－sin α|cos α|.∵α是第三象限角，∴cos α＜0.∴原式＝1＋sin α－cos α－1－sin α－cos α＝－2tan α(注意象限、符号).反思与感悟.解答这类题目的关键在于公式的灵活运用，切实分析好同角三角函数间的关系，化简过程中常用的方法有：(1)化切为弦，即把非正弦、余弦的函数都化为正弦、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的.(2)对于含有根号的，常把根号下化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的.(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin 2α＋cos 2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的.跟踪训练3.化简：(1)cos 36°－1－cos 236°1－2sin 36°cos 36°；(2)1cos 2α1＋tan 2α－1＋sin α1－sin α(α为第二象限角).解.(1)原式＝ cos 36°－ sin 236°sin 236°＋cos 236°－2sin 36°cos 36°＝cos 36°－sin 36°(cos 36°－sin 36°)2＝cos 36°－sin 36°|cos 36°－sin 36°|＝cos 36°－sin 36°cos 36°－sin 36°＝1.(2)∵α是第二象限角，∴cos α＜0，则原式＝1cos 2α 1＋sin 2αcos 2α－(1＋sin α)21－sin 2α＝1cos 2α cos 2αcos 2α＋sin 2α－1＋sin α|cos α|＝－cos αcos 2α＋1＋sin αcos α＝－1＋1＋sin αcos α＝sin αcos α＝tan α. 类型三.利用同角三角函数关系证明例4.求证：tan αsin αtan α－sin α＝tan α＋sin αtan αsin α.证明.∵右边＝tan 2α－sin 2α(tan α－sin α)tan αsin α＝tan 2α－tan 2αcos 2α(tan α－sin α)tan αsin α＝tan 2α(1－cos 2α)(tan α－sin α)tan αsin α ＝tan 2αsin 2α(tan α－sin α)tan αsin α＝tan αsin αtan α－sin α＝左边，∴原等式成立.反思与感悟.证明三角恒等式的过程，实质上是化异为同的过程，证明恒等式常用以下方法：(1)证明一边等于另一边，一般是由繁到简. (2)证明左、右两边等于同一个式子(左、右归一). (3)比较法：即证左边－右边＝0或左边右边＝1(右边≠0).(4)证明与已知等式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立. 跟踪训练4.求证：cos x 1－sin x ＝1＋sin xcos x .证明.方法一.(比较法——作差)∵cos x 1－sin x －1＋sin x cos x ＝cos 2x －(1－sin 2x )(1－sin x )cos x ＝cos 2x －cos 2x (1－sin x )cos x ＝0， ∴cos x 1－sin x ＝1＋sin xcos x.方法二.(比较法——作商)∵左右＝cos x 1－sin x 1＋sin x cos x ＝cos x ·cos x (1＋sin x )(1－sin x )＝cos 2x 1－sin 2x ＝cos 2x cos 2x ＝1. ∴cos x 1－sin x ＝1＋sin xcos x.方法三.(综合法)∵(1－sin x )(1＋sin x )＝1－sin 2x ＝cos 2x ＝cos x ·cos x ， ∴cos x 1－sin x ＝1＋sin xcos x.类型四.齐次式求值问题例5.已知tan α＝2，求下列代数式的值.(1)4sin α－2cos α5cos α＋3sin α；(2)14sin 2α＋13sin αcos α＋12cos 2α. 解.(1)原式＝4tan α－25＋3tan α＝611.(2)原式＝14sin 2α＋13sin αcos α＋12cos 2αsin 2α＋cos 2α ＝14tan 2α＋13tan α＋12tan 2α＋1 ＝14×4＋13×2＋125＝1330. 反思与感悟.(1)关于sin α、cos α的齐次式，可以通过分子、分母同除以cos α或cos 2α转化为关于tan α的式子后再求值.(2)注意(2)式中不含分母，可以视分母为1，灵活地进行“1”的代换，由1＝sin 2α＋cos 2α代换后，再同除以cos 2α，构造出关于tan α的代数式. 跟踪训练5.已知sin α＋cos αsin α－cos α＝2，计算下列各式的值.(1)3sin α－cos α2sin α＋3cos α； (2)sin 2α－2sin αcos α＋1.解.由sin α＋cos αsin α－cos α＝2，化简，得sin α＝3cos α，所以tan α＝3.(1)原式＝3×3cos α－cos α2×3cos α＋3cos α＝8cos α9cos α＝89.(2)原式＝sin 2α－2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＋1 ＝tan 2α－2tan αtan 2α＋1＋1＝32－2×332＋1＋1＝1310.1.若sin α＝45，且α是第二象限角，则tan α的值等于(..)A.－43B.34C.±34D.±43答案.A解析.∵α为第二象限角，sin α＝45，∴cos α＝－35，tan α＝－43.2.已知sin α－cos α＝－54，则sin αcos α等于(..)A.74 B.－916 C.－932 D.932答案.C解析.由题得(sin α－cos α)2＝2516，即sin 2α＋cos 2α－2sin αcos α＝2516，又sin 2α＋cos 2α＝1，∴1－2sin αcos α＝2516，∴sin αcos α＝－932.故选C.3.化简1－sin23π5的结果是(..) A.cos 3π5B.sin 3π5C.－cos 3π5D.－sin 3π5答案.C 解析.1－sin23π5＝ cos23π5＝|cos 3π5|， ∵π2<3π5<π，∴cos 3π5<0， ∴|cos 3π5|＝－cos 3π5，即1－sin23π5＝－cos 3π5，故选C. 4.若tan θ＝－2，则sin θcos θ＝ . 答案.－25解析.sin θcos θ＝sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝tan θtan 2θ＋1＝－25. 5.已知sin α＝15，求cos α，tan α.解.∵sin α＝15>0，∴α是第一或第二象限角.当α为第一象限角时，cos α＝1－sin 2α ＝1－125＝265， tan α＝sin αcos α＝612；当α为第二象限角时，cos α＝－265，tan α＝－612.1.利用同角三角函数的基本关系式，可以由一个角的一个三角函数值，求出这个角的其他三角函数值.2.利用同角三角函数的关系式可以进行三角函数式的化简，结果要求：(1)项数尽量少；(2)次数尽量低；(3)分母、根式中尽量不含三角函数；(4)能求值的尽可能求值.3.在三角函数的变换求值中，已知sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α中的一个，可以利用方程思想，求出另外两个的值.4.在进行三角函数式的化简或求值时，细心观察题目的特征，灵活、恰当地选用公式，统一角、统一函数、降低次数是三角函数关系式变形的出发点.利用同角三角函数的基本关系主要是统一函数，要掌握“切化弦”和“弦化切”的方法.5.在化简或恒等式证明时，注意方法的灵活运用，常用技巧：(1)“1”的代换；(2)减少三角函数的个数(化切为弦、化弦为切等)；(3)多项式运算技巧的应用(如因式分解、整体思想等)；(4)对条件或结论的重新整理、变形，以便于应用同角三角函数关系来求解.课时作业一、选择题1.已知cos α＝－35，α∈(π2，π)，sin β＝－1213，β为第三象限角，则sin α·tan β等于(..) A.－4825B.4825 C.13 D.－13答案.B解析.∵cos α＝－35，α∈(π2，π)，sin β＝－1213，β是第三象限角，∴sin α＝1－cos 2α＝45，cos β＝－1－sin 2β＝－513，即tan β＝125，则sin α·tan β＝4825.故选B.2.已知α是第二象限角，tan α＝－12，则cos α等于(..)A.－55B.－15C.－255D.－45答案.C解析.∵α是第二象限角，∴cos α<0. 又sin 2α＋cos 2α＝1，tan α＝sin αcos α＝－12，∴cos α＝－255.3.已知A 是三角形的一个内角，sin A ＋cos A ＝23，则这个三角形是(..)A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形答案.B解析.∵sin A ＋cos A ＝23，∴1＋2sin A cos A ＝49，∴sin A cos A ＝－518＜0，又∵A ∈(0，π)，sin A ＞0， ∴cos A ＜0，即A 为钝角.故选B.4.函数y ＝1－sin 2x cos x ＋1－cos 2xsin x 的值域是(..)A.{0,2}B.{－2,0}C.{－2,0,2}D.{－2,2}答案.C解析.y ＝|cos x |cos x ＋|sin x |sin x .当x 为第一象限角时，y ＝2；当x 为第三象限角时，y ＝－2；当x 为第二、四象限角时，y ＝0. 5.已知sin α－cos α＝－52，则tan α＋1tan α的值为(..) A.－4 B.4 C.－8 D.8 答案.C解析.tan α＋1tan α＝sin αcos α＋cos αsin α＝1sin αcos α.∵sin αcos α＝1－(sin α－cos α)22＝－18，∴tan α＋1tan α＝－8. 6.已知tan θ＝2，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ等于(..) A.－43B.54C.－34D.45答案.D解析.sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ＝sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ＋tan θ－2tan 2θ＋1，又tan θ＝2，故原式＝4＋2－24＋1＝45.7.已知cos x sin x －1＝12，则1＋sin xcos x 等于(..)A.12B.－12C.2D.－2答案.B解析.利用1－sin 2x ＝cos 2x ，可得1＋sin x cos x ＝－cos x sin x －1＝－12.二、填空题8.已知sin α＋2cos αcos α＝1，则α在第象限.答案.二或四解析.sin α＋2cos αcos α＝tan α＋2＝1，tan α＝－1＜0，∴α在第二或第四象限.9.已知α∈R ，sin α＋2cos α＝102，则tan α＝ . 答案. 3或－13解析.因为sin α＋2cos α＝102，又sin 2α＋cos 2α＝1，联立解得⎩⎪⎨⎪⎧ sin α＝－1010，cos α＝31010或⎩⎪⎨⎪⎧ sin α＝31010，cos α＝1010，故tan α＝sin αcos α＝－13或3. 10.在△ABC 中，2sin A ＝3cos A ，则角A ＝ .答案.π3解析.由题意知cos A >0，即A 为锐角. 将2sin A ＝3cos A 两边平方，得2sin 2A ＝3cos A .∴2cos 2A ＋3cos A －2＝0，解得cos A ＝12或cos A ＝－2(舍去)， ∴A ＝π3. 11.若sin θ＝－22，tan θ>0，则cos θ＝ . 答案.－22 12.已知sin αcos α＝18，且π<α<5π4，则cos α－sin α＝ . 答案.－32解析.因为π<α<5π4，所以cos α<0，sin α<0.利用三角函数线知，cos α<sin α，cos α－sin α＝－(cos α－sin α)2＝－ 1－2×18＝－32. 三、解答题13.已知tan α＝－12，求1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α的值. 解.原式＝(sin α＋cos α)2sin 2α－cos 2α＝sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝－12＋1－12－1＝－13. 四、探究与拓展14.若sin α＋cos α＝1，则sin n α＋cos n α(n ∈Z )的值为 .答案.1解析.∵sin α＋cos α＝1，∴(sin α＋cos α)2＝1，又sin 2α＋cos 2α＝1，∴sin αcos α＝0，∴sin α＝0或cos α＝0.当sin α＝0时，cos α＝1，此时有sin n α＋cos n α＝1；当cos α＝0时，sin α＝1，也有sin n α＋cos n α＝1，∴sin n α＋cos n α＝1.15.已知关于x 的方程2x 2－(3＋1)x ＋2m ＝0的两根为sin θ和cos θ(θ∈(0，π))，求：(1)m 的值；(2)sin θ1－cot θ＋cos θ1－tan θ的值(其中cot θ＝1tan θ)； (3)方程的两根及此时θ的值.解.(1)由根与系数的关系可知，sin θ＋cos θ＝3＋12，① sin θ·cos θ＝m .② 将①式平方得1＋2sin θ·cos θ＝2＋32，所以sin θ·cos θ＝34，代入②得m ＝34. (2)sin θ1－cot θ＋cos θ1－tan θ＝sin 2θsin θ－cos θ＋cos 2θcos θ－sin θ＝sin 2θ－cos 2θsin θ－cos θ＝sin θ＋cos θ＝3＋12. (3)由(1)得m ＝34，所以原方程化为2x 2－(3＋1)x ＋32＝0，解得x 1＝32，x 2＝12. 所以⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝32，cos θ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧ sin θ＝12，cos θ＝32.又因为θ∈(0，π)，所以θ＝π3或π6.。

同角的三角函数的基本关系学案

公式可要记住噢！记住噢！
思考：思考： 1．角的特征： ______________ ．角的特征： 2．公式的条件：__________ ．公式的条件： _________________________
注意啦！注意啦！
sin α=(sinα) ≠sinα
2 2 2
你能总结一下解题思路吗？
三角函数线的利用
变式 1： 1-sin24400 动动脑子噢！
变式 2： 1-2sin200cos200 ：试试身手：试身手： 2cos2α－1 化简：化简： 1－2sin2α －
sinθ－cosθ θ θ 变式 3：： tanθ－1 θ
（五）小结这节课我学到了…… 这节课我学到了……
2．应用之二：三角恒等式的证明．应用之二： cosα 1＋sinα α ＋ α 例2．求证：．求证：＝ 1－sinα cosα α － α
想一想：想一想：还有其他方法吗？还有其他方法吗？
tanα α 求证： α 变式 1：求证：sinα•cosα＝ α 1+tan2α
一起来动手！一起来动手！
导学设计复习回顾：（一）复习回顾：任意角的三角函数
P(x,y)
y α x o A(1,0)
[背景] 单位圆是一个非常好背景] 的数学模型！的数学模型！
（二）自主探究：自主探究： 1． sin2300 +cos2300 =_________ ．你还能举出类似的例子吗？你还能举出类似的例子吗？
sin2450 +cos2450 =_________ sin2900 +cos2900 =_________
… …
sin2400 +cos2400 =

同角三角函数的基本关系与诱导公式导学案

开启高考成功之门，钥匙有三：勤奋的精神；科学的方法；良好的心态。

课题：同角三角函数的基本关系与诱导公式主备课人：审核人：授课时间：2014年12月1日高三年级班级：小组：姓名：考点分析：1、考查同角三角函数基本关系式和诱导公式；2、利用公式进行三角函数的求值和化简.学习目标：1、理解记忆同角三角函数基本关系式和诱导公式，特别要对诱导公式的口诀理解透彻；2、通过训练加强公式运用能力的培养，寻找化简求值中的规律.一、回扣教材自主学习:1. 同角三角函数的基本关系：平方关系；商数关系。

2.六组诱导公式及记忆方法： .3．Sin （- 585°）的值为__________.4．已知sin(π＋θ)＝－3(cos2π－θ)，|θ|<π2，则θ=__________. 5．=>-=θθθcos ,0tan ,54sin 则若__________. 6.如果sin(π＋A )＝12，那么cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－A 的值是__________．二、题型归类深度剖析考点一同角三角函数关系式的应用例1：已知:,2tan 则=α （1）=+-ααααcos sin cos 3sin （2）=+αααcos sin sin 2 ；方法小结：通关训练1：已知21cos sin cos sin =-+αααα，求α2tan 的值。

考点二诱导公式的应用 ).23sin()25sin()sin()2sin(),2sin(2)2cos(2 απαππαπαπααπ-∙+--∙--=+求：已知例方法小结：开启高考成功之门，钥匙有三：勤奋的精神；科学的方法；良好的心态。

通关训练2：化简：)sin()cos()23sin()2cos()tan(αππααπαπαπ-------考点三 sin α±cos α与sin αcos α关系的应用例3：.51cosx sinx ,0=+<<πx 已知的值求cosx sinx )1(∙；.cosx sinx )2(的值求- 的值求xx x tan 1sin 22sin )3(2-+.方法小结：通关训练3：若α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝23，则三角形是( ) A ．钝角三角形 B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形三、课堂检（见课件）四、作业布置：A 组B 组五、心得感悟：本节课你学到了哪些知识和方法？。

人教B版必修4,同角三角函数的基本关系学案

总结规律：（1） sin cos , sin cos 三个式子中，已知其中一个可以求其他两个，即 “ 知一求二 ”。它们之间的关系是
(sin cos ) 2 1 2 sin cos
（2）求 sin cos 时要注意判断它们的符号变式 1： sin cos
4 ，且角是第三象限角，求的正弦 5
值和正切值．
-1-
在数学的领域中，提出问题的艺术比解答问题的艺术更为重要.——康托尔【目标 1、2】2、已知 tan 值和余弦值．
3 ，且角是第四象限角，求的正弦 4
【目标 1、2】3、已知 cos
3 ，求的正弦值和正切值． 5
标
并且运用构造的思想进行有关的运算自学课本 p22 p23 至例 2
自学指导
1、同角三角函数的两个最基本关系式：（1）平方关系______________ （2）商数关系______________（3）倒数关系思考：（1）同角的含义（2）变形公式： sin
2
cos2
12 , 求 tan 的值 25
【变式 3】、已知 sin cos （1） sin cos （3） sin cos
4 4
2 , 求下列各式的值
3 3
(2) sin cos (4) sin cos
4 4
本节课收获了什么？
课堂小结
5 , 0 ，求 tan 5
变式 2：（1）已知 sin cos
1 ，且，求 cos sin 8 4 2
-3-

同角三角函数的基本关系教案中职

同角三角函数的基本关系教案中职一、教学目标：1.掌握同角三角函数的定义和基本关系。

2.能够应用同角三角函数的基本关系解决有关三角函数的数学问题。

二、教学重难点：1.同角三角函数的基本关系2.应用同角三角函数的基本关系解决有关三角函数的问题三、教学内容：1.同角三角函数定义①正弦函数sina，余弦函数cosa，正切函数tana，余切函数cota②割函数seca，余割函数cotca2.同角三角函数的基本关系①正弦函数与余弦函数的关系sina=cosa（90°-α）cosa=sina（90°-α）②正切函数与余切函数的关系tana=1/cota，cota=1/tana ③割函数与余割函数的关系seca=1/cosa，cotca=1/sina ④正切函数与正弦函数的关系tana=sina/cosa⑤正切函数与余弦函数的关系tana=1/sqrt（（1/cosa）²-1）⑥余切函数与正弦函数的关系cota=1/sqrt（（1/sina）²-1）四、教学过程：1.引入回顾角的概念和三角函数的定义，为同角三角函数定义打下基础。

2.讲解同角三角函数定义讲解同角三角函数的概念，包括正弦函数sina，余弦函数cosa，正切函数tana，余切函数cota，割函数seca，余割函数cotca，强调同角性质。

3.讲解同角三角函数的基本关系在讲解同角三角函数的基本关系时，教师可利用具体图形进行解释，让学生更好地理解。

可以分情况介绍，并提供相应的例子，使学生能够灵活运用。

4.小结通过复习和讲解，学生理解了同角三角函数的定义和基本关系，并掌握了应用同角三角函数的基本关系解决有关三角函数的数学问题。

五、教学方法：1.演示法2.综合使用法3.巩固法六、贯彻落实：布置相关的作业，巩固所学知识，并在下一节课进行检查。

在学习过程中，老师要及时给予学生相关的反馈，鼓励他们积极思考，提出问题，使学生产生学习兴趣。

高中数学《同角三角函数的基本关系》导学案

第一章三角函数第二节同角三角函数的基本关系（第2课时）一、学习目标1.识记同角三角函数的基本关系。

2.初步掌握其应用。

【重点、难点】同角三角函数的基本关系及其应用。

二、学习过程【情景创设】1.阅读教材，根据下面的知识结构图阅读教材，并识记同角三角函数间的关系式，初步掌握其应用.【导入新课】1.三角函数的推广定义：设角α终边上任一点坐标（x,y）,它与原点距离为r,则（）2.正切函数y=tan α的定义域：3.同角三角函数基本关系（1）写出下列各角的三角函数值，观察它们的值，猜想它们之间的联系.（30°、45°、60°）（2）从以上的过程中，你能发现什么一般规律？你能否用代数式表示这些规律？（3）根据以上探究过程，试着写出同角三角函数基本关系.a.平方关系：_______________.b.商数关系：_____________【典型例题】例1.21sin7π-的结果是___________.2.已知tanα=错误!未找到引用源。

，α∈错误!未找到引用源。

，则cosα的值是.【变式拓展】1.已知α∈错误!未找到引用源。

，sinα=错误!未找到引用源。

，则cosα= ( )A.错误!未找到引用源。

B.-错误!未找到引用源。

C.-错误!未找到引用源。

D.错误!未找到引用源。

2.若α是第三象限角，则错误!未找到引用源。

+错误!未找到引用源。

的值为( )A.3B.-3C.1D.-1三、总结反思1.对同角三角函数基本关系的三点说明(1)关系式中的角一定是同角，否则公式可能不成立，如sin230°+cos260°≠1.(2)同角不要拘泥于形式，将α换成或2α也成立，如22sin2sin cos 1,tan .222cos 2αααα+==α (3)商的关系中要注意公式中的隐含条件，cos α≠0，即k (k Z).2πα≠π+∈2.同角三角函数基本关系式的变形形式(1)平方关系：1-sin2α=cos2α，1-cos2α=sin2α. (2)商数关系：sin sin tan cos ,cos .tan αα=ααα=α四、随堂检测 1.若tan α=2，则错误!未找到引用源。

同角三角函数的基本关系式导学案

同角三角函数的基本关系式导学案【使用说明】1、课前完成预习学案，牢记基础知识，掌握基本题型； 2、认真限时完成，规范书写；课上小组合作探究，答疑解惑。

一、学习目标： 1.知识与技能：掌握同角三角函数基本关系式的推导、记忆及应用。

2.过程与方法：通过小组合作、讨论交流，比较归纳，提高分析、概括的能力。

3.情感态度价值观：培养大胆质疑、合作共赢的学习态度二、重点、难点：重点：同角三角函数基本关系式的推导与应用。

难点：关系式在解题中的灵活运用和对学生进行思维灵活性的培养。

三、问题导学： 1.22sin cos 1αα+=与sin tan cos ααα=是怎样推导的？对任意角α都适用吗？为什么？2. 22sec tan ? 22csc cot ?3.你还能发现同角三角函数的其它基本关系式吗？怎样证明？4.同角三角函数的基本关系式有什么规律可循？四、合作、探究、展示例1. 已知54sin =α，且α是第二象限的角，求角α的余弦值和正切值拓展1：已知54sin =α，πα<<0，求角α的余弦值和正切值拓展2：已知54sin =α，求角α的余弦值和正切值思考：以上三题有何区别？练习：（1）已知 3cos ,5θ=求 θ的其他三角函数值（2）已知3tan 4，且α是第四象限的角，求sin α,cos α小结：给值求值问题应注意问题：例2已知55cos sin -=-αα，πα<<0，求sin cos ,sin ,cos αααα+的值变式1：已知sin cos 5αα+=，且0απ<<，求sin 2cos αα+的值变式2：已知2sin cos 5αα⋅=，且42ππα<<，求cos sin αα-，cos sin αα+的值小结：例3.化简（1）02440sin 1- （2） 222cos 112sin θθ-- (3) ()sin tan cot sec αααα+小结：化简遵循的原则：例4.证明：（1）442sin cos 2sin 1ααα-=- （2）αααα2222sin tan sin tan =-（3）ααααcos sin 1sin 1cos +=- 小结：证明三角恒等式的方法有：*例5.已知tan =-4,求下列各式的值：(1)2sin(2)3sin cos (3)2cos 22sin (4) 4sin 2cos5cos 3sin（附加）变式：若tan=2,求αα22cos 1sin +的值小结：五、当堂检测:1. 已知 1sin cos 2αα+=，()0,απ∈，求tan α的值2. tan α= ()221tan cos αα+=3.1=-，则α是第象限角。

同角三角函数的基本关系学案

1．2．3 同角三角函数的基本关系【学习目标】1.能根据三角函数的定义导出同角三角函数的基本关系式，能举例说明它们之间的联系；熟练掌握已知一个角的三角函数值求其它三角函数值的方法；2.牢固掌握同角三角函数的两个关系式，并能灵活运用于解题，提高学生分析、解决三角的思维能力；3.通过对三角函数的基本关系式的推导与运用感悟函数之间的必然联系，感悟分类讨论的思想在本节课的重要运用.【学习重点】同角三角函数的基本关系式及其运用.【难点提示】三角函数值符号的确定，同角三角函数的基本关系式的变形应用. 【学法提示】1.请同学们课前将学案与教材1822P -结合进行自主学习（对教材中的文字、图象、表格、符号、观察、思考、说明与注释、例题及解答、阅读与思考、小结等都要仔细阅读）、小组讨论，积极思考提出更多、更好、更深刻的问题，为课堂学习做好充分的准备；2.在学习过程中用好“十二字学习法”即：“读”、“挖”、“举”、“联”、“用”、“悟”、“听”、“问”、“通”、“总”、“研”、“会”，请在课堂上敢于提问、敢于质疑、敢于讲解与表达.【学习过程】一．学习准备请同学们回顾前面所学，完成下列填空：1.象限角的概念；与α同终边角的集合；2.单位圆；在Rt ABC ∆中勾股定理；3.任意角三角函数定义；预备练习求下列各式的值：sin___;cos___;tan___;333=== 22sin3sin cos ___;___;33cos 3ππππ+== 解后反思你能从练习中观察出什么吗？若将练习中的3π换成α呢？二．学习探究阅读思考从角α的三个三角函数的定义看，它们都是来自角α终边与单位圆的交点P 的坐标x y 、在坐标系中对应的有向线段与角α终边构成的直角三角形，在近一步分析、探究角α的三角函数有没有一个内在的关系呢？（在独立思考的前提下，在阅读教材P19）归纳概括同角三角函数基本关系，完成填空：平方关系：=+a a 22cos sin ；商数关系：=a tan ；快乐体验 1.已知4cos 5α=-，且α为第三象限角，求sin ,tan αα的值. 解：2.化简：222cos 1(1)cos tan ___12sin αααα-⋅=-； (2)=____；解后反思在第1题中若将“α为第三象限角”的条件去掉，又怎样求解？结论一样吗？从第2题的求解，感悟上面公式有哪些运用方式？挖掘拓展（1）上面两个公式有什么特征？成立的条件是什么？怎样才能牢记呢？（2）学习上面的公式的目的是什么?上面公式有怎样的运用？（3）上面公式有关键词吗？在运用应注意些什么？易错点在哪里？（4）在1.2.1中对任意角α还有三个函数，即任意角α可有六个三角函数，类比上面公式的探究方法，探究一下这六个函数还有怎样的内在联系呢？（链接2）三、典例赏析例1已知3sin 5α=-，求αcos ，αtan 的值（教材P19例6，先独立完成，再看答案）●解后反思该题的题型怎样？你的求解与教材的解法一致吗？该题求解的易错点在哪里？（链接3）●变式练习已知3tan 4α=-，求sin ,cos αα的值. 解：例2.求证：cos 1sin 1sin cos x xx x+=-（教材P19例7，先独立完成，再看答案）.证：●解后反思该题的题型怎样？你的求解与教材的解法一致吗？代数恒等式有哪些证明方法？那么三角恒等式的证明呢？有哪些区别呢？你还有别的证法吗？（链接4）●变式练习证明：αααα2222sin tan sin tan =-例3化简下列各式：（1） 100sin 12-；（2）化简ααααsin 1sin 1sin 1sin 1+---+，其中α为第二象限角. 解：●解后反思上面两个小题的题型如何？有何区别？求解的关键点、易错点在哪里？若将（2）小题中条件“α为第二象限角”去掉，又有怎样的结果？●变式练习化简：（1= ；（2）θθθθ22sin )cot 1(cos )tan 1(++-=___________●解后反思由上面三个题化简题的求解，你感悟到三角函数式的化简有哪些规律与步骤？有哪些需要注意的地方？（链接5）四、学习反思1.本节课我们学习了哪些数学知识、数学思想方法，你的任务完成了吗？你讲的怎样？你提问了吗？我们的学习目标达到了吗？如：对“同角”的含义理解了吗？同角三角函数的关系掌握了吗？怎样用这些关系求值、化简、证明三角函数式；本节课有哪些题型？运用了哪些思想方法求解？有哪些需要我们注意的？2.通过本节课的学习与课前的预习比较有哪些收获？有哪些要改进和加强的呢？3.对本节课你还有独特的见解吗？本节课的数学知识与生活有怎样的联系？感受到本节课数学知识与方法的美在哪里？五、学习评价1.已知54sin =α，()πα，0∈，则αtan 等于（） A 34 B 43C 43±D 34±2.下列关系式能同时成立的是（）A ．21cos sin ==θθ B ．65.0cos ,35.0sin ==θθ C ．0cos ,1sin =-=θθ D. 1cot tan =-=θθ3.已知55sin =a ，则a a 44cos sin -的值为（） A. 53-B. 51-C. 51D. 53 4. 化简：θθθθ6644sin cos 1sin cos 1----5.已知c b a ++=-+θθθθ2424sin sin 7cos 5cos 2是恒等式．求a 、b 、c 的值．解：6.已知02<<-απ，21cos sin =+αα．求值：(1)sin cos αα⋅ ； (2)sin cos αα-；（3）αtan 解：8.教材P20练习5；习题1.2A 组11、12、13（可以作在书上，但一定要作）.◆承前启后现在我们已经学习了任意角三角函数的定义、同角三角函数的基本关系等相关知识，也见到了一些相关题型，那么还有一些什么重要题型及求解方法呢？2222222.sin cos 1;tan 1;cot 1;sin cos ;cot ;tan cot 1;sec cos 1;csc sin 1.cos sin αααααααααααααααααα+=-=-===⋅=⋅=⋅=链接sec csc tan 链接3.该题是一知角α的一个三角函数值，求角α其它三角函数值；由链接2知角α有六个三个三角函数，该题是“知一求五”．该题的入手点是抓住公式的变形运用，易错点在于确定函数值的符号，一般地说，这类计算题可分为以下三种情况：⑴已知象限，由象限定符号；⑵已知值，由值分情况讨论；⑶值是字母，开平方时，分情况讨论链接4.三角恒等式与代数恒等式证明的基本策略和方法类似，即： (1)单向证明，从一边开始证得它等于另一边，即：由繁到简；(2)双向起动,两头往中走，即：左=A,右=A 则左=右，A 起中间传递作用； (3)证：左-右=0或左/右=1（分母不等于0）；在化简证明过程中注意化归与转化的思想的运用，特别是等价转化.三角恒等式与代数恒等式证明不同的是：三角恒等式中更复杂，因为在三角函数中有较多的公式变换（以后还会学到几组公式！），所以，我们需要将三角函数的所有公式熟练掌握！链接 5.化简三角函数式，化简的一般要求是：（1）尽量使函数种类最少，项数最少，次数最低；（2）尽量使分母不含三角函数式；（3）根式内的三角函数式尽量开出来；（4）能求得数值的应计算出来，其次要注意在三角函数式变形时，常将式子中的“1”作巧妙的变形，三角函数值所在象限的符号的确定！（5）在同一个式子中同时有“切”和“弦”时，一般是“切”化“弦”.。

同角三角函数的基本关系导学案

同角三角函数的基本关系学习目标:掌握同角三角函数的基本关系式sin 2a+cos 2a=1, sina ／cosa=tana,并会运用它们进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明学习重点：公式sin 2a+cos 2a=1, sina ／cosa=tana 的推导及其应用学习难点：根据角a 终边所在象限求出其三角函数值,选择适当的方法证明三角恒等式;公式的变式及灵活运用学习过程：一探究新知1．你还记得任意角的三角函数的定义吗？a 为一个任意角，它的终边与单位圆交于点P ﹙x,y ﹚：则sina ＝；cosa ＝；tana ＝2．你记得单位圆中的三角函数线吗？sina ＝；cosa ＝；tana ＝探究：①sin 2300+cos 2300＝，sin 30︒= ，tan300 ＝；②sin 2450+cos 2450＝，2a4cos -5a =时3tan 4a = 变式：已知a 是三角形的内角，且sina ＋cosa ＝1／5，求tana 的值解：由已知得1cos sin 5a a =-，代入22sin cos 1a a +=整理得：2112sin sin 0525a a --=，解得43sin sin 55a a ==-或.因为a 是三角形的内角，sin 0a >,所以4sin 5a =，1143cos sin =-=-5555a a =-,所以4tan -3a = “知一求二”不但指sina ，cosa ，tan 三者中知一可求二,还指知道一个关于sina ，cosa ，tana 的方程,联立两个关系式就可求出它们的值.考点2.弦切转化例2.已知tana ＝2，求下列式子的值.(1)sin cos sin cos a a a a +- (2)221cos sin a a- 解:方法一:由”知一求二”可求出sina ，cosa 然后代入求值.方法二:弦化切,在(1)的分子分母中同时除以cosa ，则(1) 原式＝1tan 1tan -+a a ＝1212-+＝3，(2) 原式＝a a a a 2222sin cos cos sin -+＝aa a a aa 222222cos sin cos cos cos sin -+＝aa 22tan 11tan -+＝35- 方法三：由已知得，sina ＝2cosa,则原式＝a a a a 2222sin cos cos sin -+＝()()2222cos 2cos cos cos 2a a a a -+＝35-，同理可求（1）的值弦化切得前提是：要求值的式子是分式，且分子分母都是关于sina ，cosa 的齐次式，这里要注意“1”的变形.练习.考点3例3. cosx﹙1-sinx .练习.考点4. 由于cosa ,.例4.已知解：∵﹙﹚2＝5练习：已知sina ＋cosa ＝1／5﹙1﹚求sina ·cosa 的值，﹙2﹚若p 21＜a ＜p ，求a sin 1+()a p -cos 1的值 ④思想方法提升：本节有四种题型：﹙1﹚“知一求二”；﹙2﹚弦切转化；﹙3﹚三角恒等式的证明；﹙4﹚sina ＋cosa ，sina-cosa ，sina ·cosa 的关系应用，其中﹙1﹚和﹙4﹚的本质是方程思想，﹙2﹚和﹙3﹚的关键是转化思想二课内自测1.①=ο2205sin （） A ．21 B ．21- C ．22 D ．22- ②角a （0<a<2π）的正、余弦线的长度相等，且正、余弦符号相异．那么a 的值为（）A ．π4B ．3π4C ．7π4D ．3π4 或 7π4③已知sin α=－53，α∈(23π，2π)，则tan α等于（）A.－34 B.34 C.－43 D.43 ④已知24sin 25α=-，α是第四象限角，则tan α的值是（）A ．24± B ．724± C ．24- D ．724-⑤若tan α322παπ<<，则sin α=（） A. 12- B. C. 12 ⑥若2cos sin 2cos sin =-+αααα，则=αtan （）A ．1 B ． -1 C ．43 D ．34- ⑦若sin 4a ＋cos 4a ＝1，则sina ＋cosa 的值为( ) A 0 B 1 C －1 D ±12.①化简②若2sin A sin 2④已知α⑤已知3.﹙1﹙2﹙3﹙4﹙5﹙6﹙7﹙8﹚已知21tan -=α，求αααα22cos 2cos sin sin 1--的值.﹙9﹚已知sin cos a a +，求sin -cos a a 的值. ﹙10﹚化简︒--︒︒︒-170cos 110cos 10cos 10sin 212三课堂达标 1.①cosa=4／5，a ∈（0，π），则tana=（）A ．4／3 B ．3／4 C ．±4／3 D ．±3／4②若322παπ<<，则sina=（）A. -1／2 B. -3／2 C. 1／2 B. 3／2 ③若2cos sin 2cos sin =-+αααα，则tana （）A ．1 B ． -1 C ．3／4 D ．-4／3 ④已知sina+3cosa ＝0，则a 所在的象限是（）象限 A 、第一 B 、第二 C 、第一、三 D 、第二、四 ⑤已知A 是三角形的一个内角，sinA ＋cosA=2／3,则这个三角形是（）A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．不等腰直角三角形D ．等腰直角三角形⑥已知sinacosa=1／8,则cosa －sina 的值等于（）A ．±3／4 B ．±3／2 C ．3／2 D ．-3／2）A ．cos190o B ．sin190o C ．sin190-o D ．cos190-o⑧若sina ，cosa 是方程4x 2+2mx+m=0的两根，则m 的值为（） A ．51+ B ．51- C ．51± D ．51--2. ①化简：ο440sin 12-＝④若⑧若3（1（2（3（4 ③23sin （5 ②求（6（7）已知αsin αcos +＝3，求下列各式的值：（1）αsin αcos ；（2）αα33cos sin +；（3）αα44cos sin + （8）已知tana=-4／3，求下列式子的值.（1）a a a a cos 2sin 5cos 4sin +- (2) aa 22sin cos 1- （9）化简下列各式：①ο440sin 12- ②ααααcos 1cos 1cos 1cos 1+-+-+﹙1800＜a ＜2700﹚ ③().1tan cos sin 3--θθθ （10）求证：①αα+=α-αcos sin 1sin 1cos ②x x x x 2222sin cos tan 1tan 1-=+-. （11）求证：ααααsin cos 1cos 1sin -=+ （12）求证：442sin cos 2sin 1θθθ-=-﹙13﹚化简tan α在第二象限（14）求证：tan 2a-sin 2a=tan 2a ·sin 2a（15）已知方程0)13(22=++-m x x 的两根分别是sin θ，cos θ，求θθθθtan 1cos cot 1sin -+-的值。

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