2018-2019学年上海市华东师范大学第二附属中学高一下期中考试数学试题(解析版)

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2019-2020学年上海市华师大二附中高一下学期期中数学试题(解析版)

2019-2020学年上海市华师大二附中高一下学期期中数学试题(解析版)
【点睛】
本小题主要考查三角函数的单调性,属于基础题.
2.《掷铁饼者》取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动,刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间.现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”,掷铁饼者的手臂长约为 米,肩宽约为 米,“弓”所在圆的半径约为 米,你估测一下掷铁饼者双手之间的距离约为()
(1)求 的值;
(2)将函数 的图象向左平移 个单位,再将所得函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,得到函数 的图象,若函数 在区间 上存在零点,求实数 的取值范围.
【答案】(1) ;(2)
【解析】(1)利用倍角公式、辅助角公式将 化为 ,由两条相邻对称轴之间的距离为 可得周期为 ,再利用周期的计算公式计算即可;
纵坐标不变,得到函数 ,因为 ,所以 ,
因为函数 在区间 上存在零点,所以 ,
故实数 的取值范围为 .
【点睛】
本题考查三角函数的图象及其性质的应用,涉及到倍角公式、辅助角公式、函数图象的变换、函数零点等知识,是一道容易题.
18.已知 满足 ,若其图像向左平移 个单位后得到的函数为奇函数.
(1)求 的解析式;
16.函数 的图象与其对称轴在 轴右侧的交点从左到右依次记为 在点列 ,中存在三个不同的点 使得 是等腰直角三角形,将满足上述条件的 值从小到大组成的数列记为 ,则 ________.
【答案】
【解析】不妨设 是以 为顶点的等腰直角三角型,由 的最值可得斜边 ,结合 的周期性及对称性可知 ,进一步得到 的表达式即可得到答案.
【答案】(1)14.25海里;(2)渔政船能先于R国舰艇赶到进行救助.
【解析】【详解】试题分析:(1)这是解三角形问题,图形中 ,已知 ,要求 ,因此由正弦定理知应该知道它们所对的两角,由题中已知的三个方位角,可求出 , , ,故易求得结论;(2)只要求出两船到达 点的时间即可, 国舰艇路程为 ,我渔政船路程为 ,这里要在 中求出 ,已知 ,因此应用余弦定理可求出 ,从而得出结论.

2018-2019学年华二附中高一年级下学期期中考试数学试卷

2018-2019学年华二附中高一年级下学期期中考试数学试卷
【答案】:③④
10.已知△ 中, ,则
【答案】:
二.选择题
11.如果 是第三象限的角,那么 必然不是下列哪个象限的角()
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
【答案】:B
【解析】:
解:∵α是第二象限角,
∴α∈(2kπ+ ,2kπ+π),k∈Z,
∴ ∈( kπ+ , kπ+ ),k∈Z.
∴是第一或二,四象限角.
【解析】:
解:(1)由题可得:

(2)∵

∴bc=6


即BC的取值范围为
(3)∵∠EDF+∠BAC=


当且仅当DE=DF时等号成立,此时AD是∠BAC的角平分线。

=
=6

当DE=DF,AB=AC时,


【答案】:C
【解析】:
解:将已知等式2acosB=c,利用正弦定理化简得:2sinAcosB=sinC,
∵sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,
∴2sinAcosB=sinAcosB+cosAsinB,即sinAcosB﹣cosAsinB=sin(A﹣B)=0,
∵A与B都为△ABC的内角,
整理得:cos2C﹣2cosC=0,即cosC(cosC﹣2)=0,
∴cosC=0或cosC=2(舍去),
∴C=90°,
则△ABC为等腰直角三角形.
故选:C.
14.已知函数 满足 恒成立,则()
A.函数 一定是奇函数B.函数 一定是奇函数
C.函数 一定是偶函数D.函数 一定是偶函数
【答案】:D

上海市华东师范大学第二附属中学2018-2019学年高三下质量调研数学试题

上海市华东师范大学第二附属中学2018-2019学年高三下质量调研数学试题

华东师大二附中2018-2019学年第二学期高三年级质量调研数学试卷一、填空题1.行列式5189的值为________.2.设集合{}{},,,,,,,2024321-==B A 则=B A ________.3.已知向量()(),,,,,512751=-==_______. 4.如果复数z 满足,0222=+-z z 那么=z ______.5.椭圆1222=+y x 的焦距是______.6.掷一颗均匀的骰子,所得点数为质数的概率是_______(结果用最简分数表示).7.若圆锥的侧面积与底面积之比为2,则其母线与轴的夹角大小为________.8.从5名男教师和4名女教师选出4人参加“组团式援疆”工作,且要求选出的4人中男女教师都有,则不同的选取方法的种数为________.9.若两直线42:2:21+-=++=x y l c kx y l ,的交点在第一象限,则正整数=k ______.10.若nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-231的二项式展开式中,常数项为正数,则正整数n 的最小值是______.11.已知()R b a bay xx ∈++=+,122既是奇函数,又是减函数,则=+b a _______. 12.已知坐标平面上的曲线Γ和直线称l ,若l 与Γ有且仅有一个公共点P ,且Γ除P 之外的所有点都在l 的同侧,称l 为Γ的一条“基线”,则下列曲线中:,;④;③;②①xx y x y x y x y 111arcsin 23-=+=== 没有“基线”的是_________(写出所有符合要求的曲线编号).13.已知数列{}n a 的极限是A,如果数列{}n b 满足,>,,⎪⎩⎪⎨⎧≤=66103102n a n a b n n n 那么数列{}n b 的极限是A.A 3B.A 2C.AD.不存在 14.已知,,R y x ∈则“11>或>y x ”是“2>y x +”的 A.充要条件 B.充分非必要条件 C.必要非充分条件 D.既非充分也非必要条件15.《九章算术》中将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”,则以正方体1111D C B A ABCD -的顶点为顶点的“鳖臑”的个数为A.12B.24C.48D.5816.函数()(),>,0m R x x f y ∈=若存在实数,M m ≤使得对所有,D x ∈都有(),M x f m ≤≤则称()()D x x f y ∈=“有界”,设()()R x x f y ∈=1是增函数, ()()R x x f y ∈=2是周期函数,且对所有()(),>,>,0021x f x f R x ∈已知 ()()(),x f x f x h 21=下列命题中真命题是A.若()x h 是周期函数,则()x f 1“有界”B.若()x h 是周期函数,则()x f 2“有界”C.若()x f 1“有界”,则()x h 不是周期函数D.若()x f 2“有界”,则()x h 不是周期函数17.如图,正三棱柱111C B A ABC -底面三角形的周长为6,侧棱长1AA 长为3. (1)求正三棱柱111C B A ABC -的体积; (2)求异面直线C A 1与AB 所成角的大小.18.已知函数().sin cos sin 2x x x x f -=(1)求()x f 的最小正周期;(2)设△ABC 为锐角三角形,角A 的对边长,2,角B 的对边长,3若(),0=A f 求△ABC 的面积.19.某地自2014年至2019年每年年初统计所得的人口数量如下表所示:(1)根据表中的数据计算2014年至2018年每年该地人口的增长数量,并描述该地人口数量的变化趋势;(2)研究人员用函数()14878.445020006554.0++=-t e t P 拟合该地的人口数量,其中t 的单位是年,2014年初对应时刻()t P t ,0=P)的单位是干人,设()t P 的反函数为(),x T 求()2400T 的值(精确到0.1),并解释其实际意义.20.设常数,2≥m 在平面直角坐标系xOy 中,已知点(),,20F 直线,m y l =:曲线 ()l m y y x ,:≤≤-=Γ0121与y 轴交于点A 、与Γ交于点B,P 、Q 分别是曲线Γ与线段AB 上的动点.(1)用m 表示点B 到点F 的距离;(2)若0=⋅FQ AP 且,FQ FP FA =+求m 的值;(3)设,22=m 且存在点P 、Q,使得△FPQ 是等边三角形,求△FPQ 的边长。

2018-2019学年上海市华东师范大学第二附属中学高一下学期期末数学试题(解析版)

2018-2019学年上海市华东师范大学第二附属中学高一下学期期末数学试题(解析版)

2018-2019学年上海市华东师范大学第二附属中学高一下学期期末数学试题一、单选题1.“十二平均律” 是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f ,则第八个单音的频率为 ABC. D.【答案】D【解析】分析:根据等比数列的定义可知每一个单音的频率成等比数列,利用等比数列的相关性质可解.详解:因为每一个单音与前一个单音频率比为所以1(2,)n n a n n N -+=≥∈, 又1a f =,则7781a a q f === 故选D.点睛:此题考查等比数列的实际应用,解决本题的关键是能够判断单音成等比数列. 等比数列的判断方法主要有如下两种:(1)定义法,若1n n a q a +=(*0,q n N ≠∈)或1nn a q a -=(*0,2,q n n N ≠≥∈), 数列{}n a 是等比数列;(2)等比中项公式法,若数列{}n a 中,0n a ≠且212n n n a a a --=⋅(*3,n n N ≥∈),则数列{}n a 是等比数列.2.已知函数()222cos sin 2f x x x =-+,则A .()f x 的最小正周期为π,最大值为3B .()f x 的最小正周期为π,最大值为4C .()f x 的最小正周期为2π,最大值为3D .()f x 的最小正周期为2π,最大值为4 【答案】B【解析】首先利用余弦的倍角公式,对函数解析式进行化简,将解析式化简为()35cos222f x x =+,之后应用余弦型函数的性质得到相关的量,从而得到正确选项. 【详解】根据题意有()1cos2x 35cos212cos2222f x x x -=+-+=+, 所以函数()f x 的最小正周期为22T ππ==, 且最大值为()max 35422f x =+=,故选B. 【点睛】该题考查的是有关化简三角函数解析式,并且通过余弦型函数的相关性质得到函数的性质,在解题的过程中,要注意应用余弦倍角公式将式子降次升角,得到最简结果.3.将函数sin(2)5y x π=+的图象向右平移10π个单位长度,所得图象对应的函数A .在区间35[,]44ππ上单调递增 B .在区间3[,]4ππ上单调递减 C .在区间53[,]42ππ上单调递增 D .在区间3[,2]2ππ上单调递减 【答案】A【解析】由题意首先求得平移之后的函数解析式,然后确定函数的单调区间即可. 【详解】由函数图象平移变换的性质可知:将sin 25y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移10π个单位长度之后的解析式为:sin 2sin 2105y x x ππ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.则函数的单调递增区间满足:()22222k x k k Z ππππ-≤≤+∈,即()44k x k k Z ππππ-≤≤+∈,令1k =可得一个单调递增区间为:35,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 函数的单调递减区间满足:3222k x k k Z ππ+≤≤+∈,即()344k x k k Z ππππ+≤≤+∈, 令1k =可得一个单调递减区间为:57,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,本题选择A 选项. 【点睛】本题主要考查三角函数的平移变换,三角函数的单调区间的判断等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 4.已知函数215cos 36k y x ππ+⎛⎫=- ⎪⎝⎭(其中k ∈N ),对任意实数a ,在区间[],3a a +上要使函数值54出现的次数不少于4次且不多于8次,则k 值为( ) A .2或3 B .4或3C .5或6D .8或7【答案】A【解析】根据题意先表示出函数的周期,然后根据函数值54出现的次数不少于4次且不多于8次,得到周期的范围,从而得到关于k 的不等式,从而得到k 的范围,结合k ∈N ,得到答案. 【详解】 函数215cos 36k y x ππ+⎛⎫=-⎪⎝⎭,所以可得2621213T k k ππ==++,因为在区间[],3a a +上,函数值54出现的次数不少于4次且不多于8次,所以5215cos 436k x ππ+⎛⎫=- ⎪⎝⎭得121cos 436k x ππ+⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 即21cos 36k y x ππ+⎛⎫=-⎪⎝⎭与14y =的图像在区间[],3a a +上的交点个数大于等于4,小于等于8, 而21cos 36k y x ππ+⎛⎫=-⎪⎝⎭与14y =的图像在一个周期T 内有2个,所以2343T T ≤⎧⎨≥⎩,即6232164321k k ⎧⨯≤⎪⎪+⎨⎪⨯≥⎪+⎩解得3722k ≤≤, 又因k ∈N ,所以得2k =或者3k =, 故选:A. 【点睛】本题考查正弦型函数的图像与性质,根据周期性求参数的值,函数与方程,属于中档题.二、填空题5.函数1arcsin 22y x x ⎛⎫⎡⎤=∈-- ⎪⎢⎥ ⎪⎣⎦⎝⎭的值域是______. 【答案】,36ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ 【解析】根据arcsin y x =的单调性,结合x 的范围,得到答案. 【详解】函数arcsin y x =是单调递增函数,所以2x =-时,arcsin 23y π⎛=-=- ⎝⎭, 12x =-时,1arcsin 26y π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭,所以函数的值域为:,36y ππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦. 故答案为:,36ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查反三角函数的单调性,根据函数的单调性求值域,属于简单题.6.数列{}n a 的前n 项和21n S n n =++,则{}n a 的通项公式n a = _____.【答案】()()3122n nn ⎧=⎪⎨≥⎪⎩ 【解析】根据n a 和n S 之间的关系,应用公式()()1112n n n S n a S S n -⎧=⎪=⎨-≥⎪⎩得出结果当1n =时,113a S ==;当2n ≥时,()()()22111112n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=++--+-+=⎣⎦; ∴()()3122n n a nn ⎧=⎪=⎨≥⎪⎩故答案为:()()3122n nn ⎧=⎪⎨≥⎪⎩ 【点睛】本题考查了n a 和n S 之间的关系式,注意当1n =和2n ≥时要分开讨论,题中的数列非等差数列.本题属于基础题7.()cos f x x x =+的值域是______.【答案】[]22-,【解析】对()f x 进行整理,得到正弦型函数,然后得到其值域,得到答案. 【详解】()cos f x x x =+12cos 2x x ⎫=+⎪⎪⎝⎭2sin 6x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,因为[]sin 1,16x π⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭所以()f x 的值域为[]22-,. 故答案为:[]22-,【点睛】本题考查辅助角公式,正弦型函数的值域,属于简单题.8.“1423a a a a +=+”是“数列1234,,,a a a a 依次成等差数列”的______条件(填“充要”,“充分非必要”,“必要非充分”,“既不充分也不必要”). 【答案】必要非充分【解析】通过等差数列的下标公式,得到必要条件,通过举特例证明非充分条件,从而【详解】因为数列1234,,,a a a a 依次成等差数列,所以根据等差数列下标公式,可得1423a a a a +=+, 当121a a ==,342a a ==时, 满足1423a a a a +=+,但不能得到数列1234,,,a a a a 依次成等差数列所以综上,“1423a a a a +=+”是“数列1234,,,a a a a 依次成等差数列”的必要非充分条件. 故答案为:必要非充分. 【点睛】本题考查必要非充分条件的证明,等差数列通项的性质,属于简单题.9.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且1010S =,2030S =,则30S = ; 【答案】60 【解析】【详解】若数列{a n }为等差数列则S m ,S 2m -S m ,S 3m -S 2m 仍然成等差数列. 所以S 10,S 20-S 10,S 30-S 20仍然成等差数列. 因为在等差数列{a n }中有S 10=10,S 20=30,()302201030S ⨯=+-所以S 30=60. 故答案为60.10.已知ABC ∆的三边分别是,,a b c ,且面积2224a b c S +-=,则角C =__________.【答案】045【解析】试题分析:由2224a b c S +-=,可得2221sin 24a b c ab C +-=,整理得222sin cos 2a b c C C ab+-==,即tan 1C =,所以045C =.【考点】余弦定理;三角形的面积公式.11.已知数列{}n a 中,其中199199a =,11()an n a a -=,那么99100log a =________【解析】由已知数列递推式可得数列99{log }n a 是以199991991log 9999log a ==为首项,以19999为公比的等比数列,然后利用等比数列的通项公式求解. 【详解】由11()an n a a -=,得991991log log n n a a a -=,∴199991991l 9og log 9n n a a a -==, 则数列99{log }n a 是以199991991log 9999log a ==为首项,以19999为公比的等比数列, ∴19999991001log (99)199a =⋅=. 故答案为:1. 【点睛】本题考查数列的递推关系、等比数列通项公式,考查运算求解能力,特别是对复杂式子的理解.12.等比数列{}n a 中首项12a =,公比()*+13,++720,,n n m q a a a n m N n m =+⋅⋅⋅=∈<,则n m +=______.【答案】9【解析】根据等比数列求和公式,将+1++720n n m a a a +⋅⋅⋅=进行转化,然后得到关于n 和m 的等式,结合*,,n m N n m ∈<,讨论出n 和m 的值,得到答案.【详解】因为等比数列{}n a 中首项12a =,公比3q =,所以1,,,n n m a a a +⋅⋅⋅成首项为123n n a -=⨯,公比为3的等比数列,共1n m -+项,所以()11+12313++27013n m n n n m a a a --+⨯-+⋅⋅⋅==-整理得11720313n m n -+--=因为*,,n m N n m ∈<所以可得,等式右边为整数,故等式左边也需要为整数,则13n -应是720的约数, 所以可得133,9,27n -=,所以1,2,3n =,当1n =时,得3721m =,此时*m N ∉ 当2n =时,得13241m -=,此时*m N ∉ 当3n =时,得2381m -=,此时6m =, 所以9m n +=, 故答案为:9. 【点睛】本题考查等比数列求和的基本量运算,涉及分类讨论的思想,属于中档题.13.在△ABC 中,222sin sin 2018sin A C B +=,则2(t a n t a n )t a n t a n t a n t a n A C BA B C+=++________. 【答案】22017【解析】【详解】因为222sin sin 2018sin A C B += 所以2222018a c b +=⋅注意到:tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=⋅⋅故()2tan tan tan tan tan tan A C B A B C+++ ()2tan tan tan 11tan tan tan tan tan tan A C B B A B CA C +⎛⎫==+ ⎪⋅⋅⎝⎭22222222sin 1222sin sin cos 20182017B b ac b AC B ac a c b b b ⎛⎫=⋅=== ⎪⋅+--⎝⎭. 故答案为:2201714.已知数列{}n a 的通项公式为22lg 1,1,2,3,,3n n a n S n n ⎛⎫=+=⋅⋅⋅ ⎪+⎝⎭是数列的前n 项和,则lim n n S →∞=______. 【答案】lg 3【解析】对数列{}n a 的通项公式22lg 13n a n n ⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭进行整理,再求其前n 项和,利用对数运算规则,可得到n S ,从而求出lim n n S →∞,得到答案. 【详解】222232lg 1lg 33n n n a n n n n ++⎛⎫=+= ⎪++⎝⎭()()()12lg3n n n n ++=+所以123n n S a a a a =+++⋅⋅⋅+()()()12233445lglg lg lg 1425363n n n n ++⨯⨯⨯=+++⋅⋅⋅+⨯⨯⨯+ ()13131lg lg 331n n n n ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==++ 所以131lg lg 331lim lim n n n S n n→∞→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭==+.故答案为:lg 3. 【点睛】本题考查对数运算公式,由数列的通项求前n 项和,数列的极限,属于中档题.三、解答题15.在△ABC 中,a =7,b =8,cos B = –17. (Ⅰ)求∠A ;(Ⅱ)求AC 边上的高. 【答案】(1) ∠A =π3 (2) AC【解析】分析:(1)先根据平方关系求sin B ,再根据正弦定理求sin A ,即得A ∠;(2)根据三角形面积公式两种表示形式列方程11sin 22ab C hb =,再利用诱导公式以及两角和正弦公式求sin C ,解得AC 边上的高.详解:解:(1)在△ABC 中,∵cos B =–17,∴B ∈(π2,π),∴sin B7=.由正弦定理得sin sin a b A B = ⇒ 7sin A7∴sin A=2.∵B ∈(π2,π),∴A ∈(0,π2),∴∠A =π3. (2)在△ABC 中,∵sin C =sin (A +B )=sin A cos B +sin B cos A=112727⎛⎫-+⨯⎪⎝⎭=14. 如图所示,在△ABC 中,∵sin C =h BC ,∴h =sin BC C ⋅=7142⨯=,∴AC 边上的高为2.点睛:解三角形问题,多为边和角的求值问题,这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系,从而达到解决问题的目的. 16.已知()1221*,,0nn n n n n u a ab a b ab b n N a b ---=+++⋅⋅⋅++∈>.(1)当a b =时,求数列{}n u 前n 项和n S ;(用a 和n 表示); (2)求1limnn n u u →∞-. 【答案】(1)1a =时,()3,12n n n S a +=≠时,()()()21221221n n n n a n a a a S a +++-+-+=-;(2)1,lim ,n n n a a b u b a b u →∞-≥⎧=⎨<⎩; 【解析】(1)当a b =时,求出()1nn u n a =+,再利用错位相减法,求出{}n u 的前n 项和n S ;(2)求出1nn u u -的表达式,对a ,b 的大小进行分类讨论,从而求出数列的极限. 【详解】(1)当a b =时,可得()1nn u n a =+,当1a =时,得到1n u n =+, 所以()32n n n S +=, 当1a ≠时,所以()2312341n n n S a a a nan a -=+++⋅⋅⋅+++,两边同乘a 得()23412341nn n aS a a a na n a+=+++⋅⋅⋅+++上式减去下式得()()231121nn n a S a a a a n a+-=+++⋅⋅⋅+-+()()()11111n n n a a a S a n a a+--=+-+-,所以()()()121111n n n a a a n a S aa +--+=+--()()()21221221n n n a n a a a a +++-+-+=- 所以综上所述,1a =时,()32n n n S +=;1a ≠时,()()()21221221n n n n a n a a a S a +++-+-+=-. (2)由(1)可知当a b =时,()1nn u n a =+则()111lim lim nn n n n n n a uu na -→∞→∞-+=()1lim n a n a n →∞+==; 当a b ¹时,11n n n n n u a a b ab b --=++⋅⋅⋅++21nnb b b a a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦()111111n n n n b aa ab b a ba+++⎛⎫- ⎪⎝⎭==--- 则111n n n n n n u a b u a b++--=-若0a b >>,111limlim lim 1nn n n n n nn n n n b a b u a b a a u a b b a ++→∞→∞→∞-⎛⎫- ⎪-⎝⎭===-⎛⎫- ⎪⎝⎭若0b a >>,111limlim lim 1nn n n n n nn n n n b a b u a b ab u a b b a ++→∞→∞→∞-⎛⎫- ⎪-⎝⎭===-⎛⎫- ⎪⎝⎭所以综上所述1,lim ,n n n a a b u b a b u →∞-≥⎧=⎨<⎩.【点睛】本题考查错位相减法求数列的和,数列的极限,涉及分类讨论的思想,属于中档题.17. 已知方程arctanarctan(2)2xx a +-=; (1)若4a π=,求arccos 2x的值;(2)若方程有实数解,求实数a 的取值范围;(3)若方程在区间[5,15]上有两个相异的解α、β,求αβ+的最大值. 【答案】(1)π或3π; (2); (3)19;【解析】试题分析:(1)4a π=时,由已知得到()22121212xxx x x +-=⇒=---或;(2)方程有实数解即a 在()arctan arctan 22x x +-的值域上,(3)根据二次函数的性质列不等式组得出tana 的范围,利用根与系数的关系得出α+β的最值. 试题解析:(1)()()2π2arctan arctan 212122412xxx x x x x +-+-=⇒=⇒=---或, arccos =2x π或3π;(2)()()222arctan arctan 2tan tan ,4,2261012xxx t x a a a t x x x t t +-+-=⇒=⇒==---+-tan a ∴∈a ⎡∴∈⎢⎣(3)因为方程在区间[]5,15上有两个相异的解α、β,所以[]411,1,441119x αβαβ-∈--∴-+-≥-∴+≤18.(1)证明:()3cos 34cos 3cos x x x =-;(2)证明:对任何正整数n ,存在多项式函数()n f x ,使得()()cos cos n nx f x =对所有实数x 均成立,其中()111112,,,n n n n n n n f x x a x a x a a a ---=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅均为整数,当n 为奇数时,0n a =,当n 为偶数时,()21nn a =-;(3)利用(2)的结论判断()*cos16,7m m m N π≤≤∈是否为有理数? 【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)不是【解析】(1)()()cos 3cos 2x x x =+,利用两角和的正弦和二倍角公式,进行证明;(2)对n 分奇偶,即21n k =+和2n k =两种情况,结合两角和的余弦公式,积化和差公式,利用数学归纳法进行证明;(3)根据(2)的结论,将cos 7m π表示出来,然后判断其每一项都为无理数,从而得到答案. 【详解】(1)()()cos 3cos 2cos2cos sin 2sin x x x x x x x =+=-()222cos 1cos 2sin cos x x x x =-- ()322cos cos 21cos cos x x x x =---34cos 3cos x x =-所以原式得证. (2)n 为奇数时,3n =时,()()2323123cos 3cos 2cos cos cos x f x x a x a x a ==+++,其中30a =,成立21n k =-时,()()21cos 21cos k k x f x --=222122*********cos cos cos cos k k k k k k x a x a x a x a ------=+++⋅⋅⋅++,其中210k a -=,成立21n k =+时,()()21cos 21cos k k x f x ++=221221122212cos cos cos cos k k k k k k x a x a x a x a +-+=+++⋅⋅⋅++,其中210k a +=,成立,则当23n k =+时,()()()()cos 23cos 212cos 21cos2sin 21sin 2k x k x x k x x k x +=++=+-+⎡⎤⎣⎦ ()()()1cos 21cos 2cos 21cos 232k x x k x k x =+---+⎡⎤⎣⎦所以得到()()()cos 232cos 21cos2cos 21k x k x x k x +=+--2212212122212221222312222122cos cos cos cos 2cos 12coscoscoscos k k k k k k k k k k k k x a x a x a x a x x a x a x a x a +-+------⎡⎤⎡⎤=+++⋅⋅⋅++-⎣⎦⎣⎦⎡⎤-+++⋅⋅⋅++⎣⎦()()2223222121122212cos 4cos 42cos 2cos k k k k k k k x a x a x a a x +++++-=++-+⋅⋅⋅-+因为1,,n a a ⋅⋅⋅均为整数,所以()21122214,42,,2k k k a a a a +--⋅⋅⋅-+也均为整数,故原式成立;n 为偶数时,2n =时,()212212cos2cos 2cos cos x f x x a x a -==++,其中()22211a =-=-,22n k =-时,()()22cos 22cos k k x f x --=232223*********cos cos cos cos k k k k k k x a x a x a x a ------=+++⋅⋅⋅++,其中()()221222111k k k a ---=-=-=-,成立,2n k =时,()2cos2cos k kx f x =2122122122122cos cos cos cos k k k k k k x a x a x a x a ----=+++⋅⋅⋅++,其中()()222111k kk a =-=-=,成立,则当22n k =+时,()()cos 22cos 22cos2cos2sin 2sin 2k x kx x kx x kx x +=+=- ()()()1cos 21cos 2cos 21cos 232k x k x k x =+---+⎡⎤⎣⎦所以得到()()cos 232cos2cos2cos 22k x kx x k x +=--21221222122122322232412232222cos cos cos cos 2cos 12coscoscoscos k k k k k k k k k k k k x a x a x a x a x x a x a x a x a ----------⎡⎤⎡⎤=+++⋅⋅⋅++-⎣⎦⎣⎦⎡⎤-+++⋅⋅⋅++⎣⎦()()2122212121221232222cos 4cos 42cos 2cos 2k k k k k k k k k x a x a x a a x a a +++----=++-+⋅⋅⋅-+--其中22221k k a a ---=-,因为1,,n a a ⋅⋅⋅均为整数,所以()211221234,42,,2k k k a a a a ----⋅⋅⋅-+也均为整数,故原式成立;综上可得:对任何正整数n ,存在多项式函数()n f x ,使得()()cos cos n nx f x =对所有实数x 均成立,其中()11112n n n n n n f x x a x a x a ---=++⋅⋅⋅++,1,,n a a ⋅⋅⋅均为整数,当n 为奇数时,0n a =,当n 为偶数时,()21nn a =-; (3)由(2)可得()*cos16,7m m m N π≤≤∈ cos cos 77m m f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11112cos cos cos 777m m m m m a a a πππ---=++⋅⋅⋅++*16,m m N ≤≤∈其中1122,,m m a a a -⋅⋅⋅均为有理数,因为cos 7π为无理数,所以1cos,cos cos777mm πππ-⋅⋅⋅均为无理数,故11112cos cos cos777m mm m m a a a πππ---++⋅⋅⋅++为无理数,所以()*cos16,7m m m N π≤≤∈不是有理数. 【点睛】本题考查利三角函数的二倍角的余弦公式,积化和差公式,数学归纳法证明,属于难题.。

上海市华师大二附中2018学年高一下学期期中数学试卷含解析

上海市华师大二附中2018学年高一下学期期中数学试卷含解析

2018-2018学年上海市华师大二附中高一(下)期中数学试卷一、填空题(4*10=40分)1.求值arctan(cot)=.2.函数f(x)=的定义域是.3.若tanθ=﹣3,则sinθ(sinθ﹣2cosθ)=.4.若x∈(0,2π),则使=sinx﹣cosx成立的x的取值范围是.5.若arcsinx﹣arccosx=,则x=.6.函数f(x)=log cos1(sinx)的单调递增区间是.7.若0<θ<,则cosθ,cos(sinθ),sin(cosθ)的大小顺序为.8.若关于x的函数y=sinωx在[﹣,]上的最大值为1,则ω的取值范围是.9.已知,且,则cos(x+2y)=.10.设函数f(x)=,关于f(x)的性质,下列说法正确的是.①定义域是{x|x≠kπ+,k∈Z};②值域是R;③最小正周期是π;④f(x)是奇函数;⑤f(x)在定义域上单调递增.二、选择题(4*4=16分)11.为了得到y=3sin(2x+)的图象,只需将y=3cos2x的图象()A.向左平移B.向右平移C.向右平移D.向左平移12.α,β∈(,π),且tanα<cotβ,则必有()A.α<β B.α>β C.α+β<D.α+β>13.下列函数中以π为周期,在(0,)上单调递减的是()A.y=(cot1)tanx B.y=|sinx|C.y=﹣cos2x D.y=﹣tan|x|14.下列命题中错误的是()A.存在定义在[﹣1,1]上的函数f(x)使得对任意实数y有等式f(cosy)=cos2y成立B.存在定义在[﹣1,1]上的函数f(x)使得对任意实数y有等式f(siny)=sin2y成立C.存在定义在[﹣1,1]上的函数f(x)使得对任意实数y有等式f(cosy)=cos3y成立D.存在定义在[﹣1,1]上的函数f(x)使得对任意实数y有等式f(siny)=sin3y成立三、解答题(8+10+12+14=44分)15.已知α,β∈(0,π),并且sin(5π﹣α)=cos(π+β),cos(﹣α)=﹣cos(π+β),求α,β的值.16.若关于x的方程sinx+cosx+a=0在(0,2π)内有两个不同的实数根α,β,求实数a的取值范围及相应的α+β的值.17.已知函数y=.(1)设变量t=sinθ+cosθ,试用t表示y=f(t),并写出t的范围;(2)求函数y=f(t)的值域.18.用a,b,c分别表示△ABC的三个内角A,B,C所对边的边长,R表示△ABC的外接圆半径.(1)R=2,a=2,B=45°,求AB的长;(2)在△ABC中,若∠C是钝角,求证:a2+b2<4R2;(3)给定三个正实数a,b,R,其中b≤a,问a,b,R满足怎样的关系时,以a,b为边长,R为外接圆半径的△ABC不存在,存在一个或存在两个(全等的三角形算作同一个)?在△ABC存在的情况下,用a,b,R表示c.2018-2018学年上海市华师大二附中高一(下)期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题(4*10=40分)1.求值arctan(cot)=.【考点】反三角函数的运用.【分析】利用特殊角的三角函数,反正切函数的定义和性质,求得arctan(cot)的值.【解答】解:arctan(cot)=arctan()=,故答案为:.2.函数f(x)=的定义域是{x|x=2kπ,k∈z} .【考点】函数的定义域及其求法.【分析】根据二次根式的性质得到cosx=1,解出即可.【解答】解:由题意得:cosx﹣1≥0,cosx≥1,∴cosx=1,∴x=2kπ,k∈Z,故答案为:{x|x=2kπ,k∈z}.3.若tanθ=﹣3,则sinθ(sinθ﹣2cosθ)=.【考点】同角三角函数基本关系的运用.【分析】利用同角三角函数的基本关系,求得要求式子的值.【解答】解:∵tanθ=﹣3,∴sinθ(sinθ﹣2cosθ)====,故答案为:.4.若x∈(0,2π),则使=sinx﹣cosx成立的x的取值范围是[].【考点】三角函数的化简求值.【分析】把根式内部的代数式化为完全平方式的形式,由已知等式可得sinx≥cosx,再由已知x的范围求得x的具体范围.【解答】解:∵===sinx﹣cosx,∴sinx≥cosx,又x∈(0,2π),∴x∈[].故答案为:∈[].5.若arcsinx﹣arccosx=,则x=.【考点】反三角函数的运用.【分析】由题意可得arcsinx与arccosx=均为锐角,x>0,求得cos(arcsinx﹣arccosx)的值,可得x的值.【解答】解:∵arcsinx∈(﹣,),arccosx∈(0,π),arcsinx﹣arccosx=,∴arcsinx与arccosx 均为锐角,x>0.又cos(arcsinx﹣arccosx)=cos=,即cos(arcsinx)?cos(arccosx)+sin(arcsinx)sin(arccosx)=?x+x?=,∴?x=,∴x2(1﹣x2)=,∴x2=,或x2=,∴x=,或x=.经检验,x=不满足条件,故舍去.故答案为:.6.函数f(x)=log cos1(sinx)的单调递增区间是[)(k∈Z).【考点】复合函数的单调性.【分析】由0<cos1<1,得外函数y=log cos1t在定义域内单调递减,再求出内函数t=sinx的减区间,取使t大于0的部分得答案.【解答】解:令t=sinx,∵0<cos1<1,∴外函数y=log cos1t在定义域内单调递减,又sinx>0,∴当x∈[)(k∈Z)时,内函数t=sinx大于0且单调递减,∴函数f(x)=log cos1(sinx)的单调递增区间是[)(k∈Z),故答案为:[)(k∈Z).7.若0<θ<,则cosθ,cos(sinθ),sin(cosθ)的大小顺序为cos(sinθ)>cosθ>sin(cosθ);.【考点】三角函数线.【分析】观察知道,利用x>0时,sinx<x,结合余弦函数的单调性解答.【解答】解:因为sinx<x,所以0<θ<,sinθ<θ,所以cos(sinθ)>cosθ,令x=cosθ,所以cosθ>sin(cosθ),故答案为:cos(sinθ)>cosθ>sin(cosθ);8.若关于x的函数y=sinωx在[﹣,]上的最大值为1,则ω的取值范围是{ω|ω≥1或ω≤﹣}.【考点】正弦函数的图象.【分析】利用正弦函数的图象特征,正弦函数的最大值,分类讨论求得ω的取值范围.【解答】解:∵关于x的函数y=sinωx在[﹣,]上的最大值为1,∴当ω>0时,由ω?≥,ω≥1,当ω<0时,由ω?(﹣)≥,求得ω≤﹣,故答案为:{ω|ω≥1或ω≤﹣}.9.已知,且,则cos(x+2y)=1.【考点】三角函数的恒等变换及化简求值;两角和与差的余弦函数.【分析】设f(u)=u3+sinu.根据题设等式可知f(x)=2a,f(2y)=﹣2a,进而根据函数的奇偶性,求得f(x)=﹣f(2y)=f(﹣2y).进而推断出x+2y=0.进而求得cos(x+2y)=1.【解答】解:设f(u)=u3+sinu.由①式得f(x)=2a,由②式得f(2y)=﹣2a.因为f(u)在区间上是单调增函数,并且是奇函数,∴f(x)=﹣f(2y)=f(﹣2y).∴x=﹣2y,即x+2y=0.。

上海市华东师范大学第二附属中学2018-2019学年高一下学期期末数学试题与详细解析

上海市华东师范大学第二附属中学2018-2019学年高一下学期期末数学试题与详细解析

华师大二附中2021届高一第二学期期末数学考试试卷一、填空题1.函数1arcsin ,22y x x ⎛⎫⎡⎤=∈-- ⎪⎢⎥ ⎪⎣⎦⎝⎭的值域是______.2.数列{}n a 的前n 项和21n S n n =++,则{}n a 的通项公式n a =_____.3.()cos f x x x =+的值域是______.4.“1423a a a a +=+”是“数列1234,,,a a a a 依次成等差数列”的______条件(填“充要”,“充分非必要”,“必要非充分”,“既不充分也不必要”).5.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且1010S =,2030S =,则30S =;6.已知ABC ∆的三边分别是,,a b c ,且面积2224a b c S +-=,则角C =__________.7.已知数列{}n a 中,其中199199a =,11()a n n a a -=,那么99100log a =________8.等比数列{}n a 中首项12a =,公比()*+13,++720,,n n m q a a a n m N n m =+⋅⋅⋅=∈<,则n m +=______.9.在△ABC 中,222sin sin 2018sin A C B +=,则2(tan tan )tan tan tan tan A C B A B C +=++________.10.已知数列{}n a 的通项公式为22lg 1,1,2,3,,3n n a n S n n ⎛⎫=+=⋅⋅⋅ ⎪+⎝⎭是数列的前n 项和,则lim n n S →∞=______.二、选择题11.“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f ,则第八个单音的频率为A. B.C. D.12.已知函数()222cos sin 2f x x x =-+,则A.()f x 的最小正周期为π,最大值为3B.()f x 的最小正周期为π,最大值为4C.()f x 的最小正周期为2π,最大值为3D.()f x 的最小正周期为2π,最大值为413.将函数sin(2)5y x π=+的图象向右平移10π个单位长度,所得图象对应的函数A.在区间35[,]44ππ上单调递增 B.在区间3[,]4ππ上单调递减C.在区间53[,]42ππ上单调递增 D.在区间3[,2]2ππ上单调递减14.已知函数215cos 36k y x ππ+⎛⎫=- ⎪⎝⎭(其中k ∈N ),对任意实数a ,在区间[],3a a +上要使函数值54出现的次数不少于4次且不多于8次,则k 值为()A.2或3B.4或3C.5或6D.8或7三、解答题15.在△ABC 中,a =7,b =8,cos B =–17.(Ⅰ)求∠A ;(Ⅱ)求AC 边上的高.16.已知()1221*,,0n n n n n n u a a b a b ab b n N a b ---=+++⋅⋅⋅++∈>.(1)当a b =时,求数列{}n u 前n 项和n S ;(用a 和n 表示);(2)求1lim nn n u u →∞-.17.已知方程arctan arctan(2)2xx a +-=;(1)若4a π=,求arccos 2x的值;(2)若方程有实数解,求实数a 的取值范围;(3)若方程在区间[5,15]上有两个相异的解α、β,求αβ+的最大值.18.(1)证明:()3cos 34cos 3cos x x x =-;(2)证明:对任何正整数n ,存在多项式函数()n f x ,使得()()cos cos n nx f x =对所有实数x 均成立,其中()111112,,,n n n n n n n f x x a x a x a a a ---=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅均为整数,当n 为奇数时,0n a =,当n 为偶数时,()21nn a =-;(3)利用(2)的结论判断()*cos 16,7m m m N π≤≤∈是否为有理数?华师大二附中2021届高一第二学期期末数学考试试卷一、填空题1.函数1arcsin ,22y x x ⎛⎫⎡⎤=∈-- ⎪⎢⎥ ⎪⎣⎦⎝⎭的值域是______.【答案】,36ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】根据arcsin y x =的单调性,结合x 的范围,得到答案.【详解】函数arcsin y x =是单调递增函数,所以32x =-时,arcsin 23y π⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭,12x =-时,1arcsin 26y π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭,所以函数的值域为:,36y ππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦.故答案为:,36ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查反三角函数的单调性,根据函数的单调性求值域,属于简单题.2.数列{}n a 的前n 项和21n S n n =++,则{}n a 的通项公式n a =_____.【答案】()()3122n n n ⎧=⎪⎨≥⎪⎩【解析】【分析】根据n a 和n S 之间的关系,应用公式()()1112n n n S n a S S n -⎧=⎪=⎨-≥⎪⎩得出结果【详解】当1n =时,113a S ==;当2n ≥时,()()()22111112n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=++--+-+=⎣⎦;∴()()3122n n a n n ⎧=⎪=⎨≥⎪⎩故答案为()()3122n nn ⎧=⎪⎨≥⎪⎩【点睛】本题考查了n a 和n S 之间的关系式,注意当1n =和2n ≥时要分开讨论,题中的数列非等差数列.本题属于基础题3.()cos f x x x =+的值域是______.【答案】[]22-,【解析】【分析】对()f x 进行整理,得到正弦型函数,然后得到其值域,得到答案.【详解】()cos f x x x=+12sin cos 22x x ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭2sin 6x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,因为[]sin 1,16x π⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭所以()f x 的值域为[]22-,.故答案为:[]22-,【点睛】本题考查辅助角公式,正弦型函数的值域,属于简单题.4.“1423a a a a +=+”是“数列1234,,,a a a a 依次成等差数列”的______条件(填“充要”,“充分非必要”,“必要非充分”,“既不充分也不必要”).【答案】必要非充分【解析】【分析】通过等差数列的下标公式,得到必要条件,通过举特例证明非充分条件,从而得到答案.【详解】因为数列1234,,,a a a a 依次成等差数列,所以根据等差数列下标公式,可得1423a a a a +=+,当121a a ==,342a a ==时,满足1423a a a a +=+,但不能得到数列1234,,,a a a a 依次成等差数列所以综上,“1423a a a a +=+”是“数列1234,,,a a a a 依次成等差数列”的必要非充分条件.故答案为:必要非充分.【点睛】本题考查必要非充分条件的证明,等差数列通项的性质,属于简单题.5.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且1010S =,2030S =,则30S =;【答案】60【解析】【详解】若数列{a n }为等差数列则S m ,S 2m -S m ,S 3m -S 2m 仍然成等差数列.所以S 10,S 20-S 10,S 30-S 20仍然成等差数列.因为在等差数列{a n }中有S 10=10,S 20=30,()302201030S ⨯=+-所以S 30=60.故答案为60.6.已知ABC ∆的三边分别是,,a b c ,且面积2224a b c S +-=,则角C =__________.【答案】045【解析】试题分析:由2224a b c S +-=,可得2221sin 24a b c ab C +-=,整理得222sin cos 2a b c C C ab+-==,即tan 1C =,所以045C =.考点:余弦定理;三角形的面积公式.7.已知数列{}n a 中,其中199199a =,11()a n n a a -=,那么99100log a =________【答案】1【解析】【分析】由已知数列递推式可得数列99{log }n a 是以199991991log 9999log a ==为首项,以19999为公比的等比数列,然后利用等比数列的通项公式求解.【详解】由11()a n n a a -=,得991991log log n n a a a -=,∴199991991l 9og log 9n n a a a -==,则数列99{log }n a 是以199991991log 9999log a ==为首项,以19999为公比的等比数列,∴19999991001log (99)199a =⋅=.故答案为1.【点睛】本题考查数列的递推关系、等比数列通项公式,考查运算求解能力,特别是对复杂式子的理解.8.等比数列{}n a 中首项12a =,公比()*+13,++720,,n n m q a a a n m N n m =+⋅⋅⋅=∈<,则n m +=______.【答案】9【解析】【分析】根据等比数列求和公式,将+1++720n n m a a a +⋅⋅⋅=进行转化,然后得到关于n 和m 的等式,结合*,,n m N n m ∈<,讨论出n 和m 的值,得到答案.【详解】因为等比数列{}n a 中首项12a =,公比3q =,所以1,,,n n m a a a +⋅⋅⋅成首项为123n n a -=⨯,公比为3的等比数列,共1n m -+项,所以()11+12313++27013n m n n n m a a a --+⨯-+⋅⋅⋅==-整理得11720313n m n -+--=因为*,,n m N n m∈<所以可得,等式右边为整数,故等式左边也需要为整数,则13n -应是720的约数,所以可得133,9,27n -=,所以1,2,3n =,当1n =时,得3721m =,此时*m N ∉当2n =时,得13241m -=,此时*m N ∉当3n =时,得2381m -=,此时6m =,所以9m n +=,故答案为:9.【点睛】本题考查等比数列求和的基本量运算,涉及分类讨论的思想,属于中档题.9.在△ABC 中,222sin sin 2018sin A C B +=,则2(tan tan )tan tan tan tan A C BA B C +=++________.【答案】22017【解析】【详解】因为222sin sin 2018sin A C B+=所以2222018a c b +=⋅注意到:tan tan tan tan tan tan A B C A B C++=⋅⋅故()2tan tan tan tan tan tan A C B A B C+++()2tan tan tan 11tan tan tan tan tan tan A C B B A B C A C +⎛⎫==+ ⎪⋅⋅⎝⎭22222222sin 1222sin sin cos 20182017B b ac b A C B ac a c b b b ⎛⎫=⋅=== ⎪⋅+--⎝⎭.故答案为2201710.已知数列{}n a 的通项公式为22lg 1,1,2,3,,3n n a n S n n ⎛⎫=+=⋅⋅⋅ ⎪+⎝⎭是数列的前n 项和,则lim n n S →∞=______.【答案】lg 3【解析】【分析】对数列{}n a 的通项公式22lg 13n a n n ⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭进行整理,再求其前n 项和,利用对数运算规则,可得到n S ,从而求出lim n n S →∞,得到答案.【详解】222232lg 1lg 33n n n a n n n n ++⎛⎫=+= ⎪++⎝⎭()()()12lg 3n n n n ++=+所以123n nS a a a a =+++⋅⋅⋅+()()()12233445lg lg lg lg 1425363n n n n ++⨯⨯⨯=+++⋅⋅⋅+⨯⨯⨯+()13131lg lg 331n n n n⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==++所以131lg lg 331lim lim n n n S n n→∞→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭==+.故答案为:lg 3.【点睛】本题考查对数运算公式,由数列的通项求前n 项和,数列的极限,属于中档题.二、选择题11.“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f ,则第八个单音的频率为A.B.C.D.【答案】D 【解析】分析:根据等比数列的定义可知每一个单音的频率成等比数列,利用等比数列的相关性质可解.详解:因为每一个单音与前一个单音频率比为,所以1(2,)n n a n n N -+=≥∈,又1a f =,则7781a a q f ===故选D.点睛:此题考查等比数列的实际应用,解决本题的关键是能够判断单音成等比数列.等比数列的判断方法主要有如下两种:(1)定义法,若1n n a q a +=(*0,q n N ≠∈)或1n n aq a -=(*0,2,q n n N ≠≥∈),数列{}n a 是等比数列;(2)等比中项公式法,若数列{}n a 中,0n a ≠且212n n n a a a --=⋅(*3,n n N ≥∈),则数列{}n a 是等比数列.12.已知函数()222cos sin 2f x x x =-+,则A.()f x 的最小正周期为π,最大值为3B.()f x 的最小正周期为π,最大值为4C.()f x 的最小正周期为2π,最大值为3D.()f x 的最小正周期为2π,最大值为4【答案】B 【解析】【分析】首先利用余弦的倍角公式,对函数解析式进行化简,将解析式化简为()35cos222f x x =+,之后应用余弦型函数的性质得到相关的量,从而得到正确选项.【详解】根据题意有()1cos2x 35cos212cos2222f x x x -=+-+=+,所以函数()f x 的最小正周期为22T ππ==,且最大值为()max 35422f x =+=,故选B.【点睛】该题考查的是有关化简三角函数解析式,并且通过余弦型函数的相关性质得到函数的性质,在解题的过程中,要注意应用余弦倍角公式将式子降次升角,得到最简结果.13.将函数sin(2)5y x π=+的图象向右平移10π个单位长度,所得图象对应的函数A.在区间35[,]44ππ上单调递增 B.在区间3[,]4ππ上单调递减C.在区间53[,42ππ上单调递增 D.在区间3[,2]2ππ上单调递减【答案】A 【解析】【分析】由题意首先求得平移之后的函数解析式,然后确定函数的单调区间即可.【详解】由函数图象平移变换的性质可知:将sin 25y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移10π个单位长度之后的解析式为:sin 2sin 2105y x x ππ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.则函数的单调递增区间满足:()22222k x k k Z ππππ-≤≤+∈,即()44k x k k Z ππππ-≤≤+∈,令1k =可得一个单调递增区间为:35,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.函数的单调递减区间满足:()322222k x k k Z ππππ+≤≤+∈,即()344k x k k Z ππππ+≤≤+∈,令1k =可得一个单调递减区间为:57,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,本题选择A 选项.【点睛】本题主要考查三角函数的平移变换,三角函数的单调区间的判断等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.14.已知函数215cos 36k y x ππ+⎛⎫=-⎪⎝⎭(其中k ∈N ),对任意实数a ,在区间[],3a a +上要使函数值54出现的次数不少于4次且不多于8次,则k 值为()A.2或3 B.4或3C.5或6D.8或7【答案】A 【解析】【分析】根据题意先表示出函数的周期,然后根据函数值54出现的次数不少于4次且不多于8次,得到周期的范围,从而得到关于k 的不等式,从而得到k 的范围,结合k ∈N ,得到答案.【详解】函数215cos 36k y x ππ+⎛⎫=-⎪⎝⎭,所以可得2621213T k k ππ==++,因为在区间[],3a a +上,函数值54出现的次数不少于4次且不多于8次,所以5215cos 436k x ππ+⎛⎫=- ⎪⎝⎭得121cos 436k x ππ+⎛⎫=- ⎪⎝⎭即21cos 36k y x ππ+⎛⎫=-⎪⎝⎭与14y =的图像在区间[],3a a +上的交点个数大于等于4,小于等于8,而21cos 36k y x ππ+⎛⎫=-⎪⎝⎭与14y =的图像在一个周期T 内有2个,所以2343T T ≤⎧⎨≥⎩,即6232164321k k ⎧⨯≤⎪⎪+⎨⎪⨯≥⎪+⎩解得3722k ≤≤,又因k ∈N ,所以得2k =或者3k =,故选:A.【点睛】本题考查正弦型函数的图像与性质,根据周期性求参数的值,函数与方程,属于中档题.三、解答题15.在△ABC 中,a =7,b =8,cos B =–17.(Ⅰ)求∠A ;(Ⅱ)求AC 边上的高.【答案】(1)∠A =π3(2)AC边上的高为2【解析】分析:(1)先根据平方关系求sin B ,再根据正弦定理求sin A ,即得A ∠;(2)根据三角形面积公式两种表示形式列方程11sin 22ab C hb =,再利用诱导公式以及两角和正弦公式求sin C ,解得AC 边上的高.详解:解:(1)在△ABC 中,∵cos B =–17,∴B ∈(π2,π),∴sin B7=.由正弦定理得sin sin a b A B =⇒7sin A 437sin A=2.∵B ∈(π2,π),∴A ∈(0,π2),∴∠A =π3.(2)在△ABC 中,∵sin C =sin (A +B )=sin A cos B +sin B cos A=112727⎛⎫⨯-+⨯⎪⎝⎭=14.如图所示,在△ABC 中,∵sin C =h BC ,∴h =sin BC C ⋅=7142⨯=,∴AC边上的高为2.点睛:解三角形问题,多为边和角的求值问题,这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系,从而达到解决问题的目的.16.已知()1221*,,0nn n n n n u a ab a b ab b n N a b ---=+++⋅⋅⋅++∈>.(1)当a b =时,求数列{}n u 前n 项和n S ;(用a 和n 表示);(2)求1limnn n u u →∞-.【答案】(1)1a =时,()3,12n n n S a +=≠时,()()()21221221n n n n a n a a a S a +++-+-+=-;(2)1,lim,n n n a a bu b a b u →∞-≥⎧=⎨<⎩;【解析】【分析】(1)当a b =时,求出()1nn u n a =+,再利用错位相减法,求出{}n u 的前n 项和n S ;(2)求出1nn u u -的表达式,对a ,b 的大小进行分类讨论,从而求出数列的极限.【详解】(1)当a b =时,可得()1nn u n a =+,当1a =时,得到1n u n =+,所以()32n n n S +=,当1a ≠时,所以()2312341n n n S a a a nan a -=+++⋅⋅⋅+++,两边同乘a 得()23412341nn n aS a a a na n a+=+++⋅⋅⋅+++上式减去下式得()()231121nn n a S a a a a n a+-=+++⋅⋅⋅+-+()()()11111n n n a a a S a n a a+--=+-+-,所以()()()121111n n n a a a n a S aa +--+=+--()()()21221221n n n a n a a a a +++-+-+=-所以综上所述,1a =时,()32n n n S +=;1a ≠时,()()()21221221n n nn a n a a aS a +++-+-+=-.(2)由(1)可知当a b =时,()1nn u n a=+则()111lim lim n nn n n n n a u u na -→∞→∞-+=()1lim n a n a n →∞+==;当a b ¹时,11nn n nn u a ab ab b --=++⋅⋅⋅++21nnb b b a a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅+⎢⎥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦()111111n n n n b aa ab b a ba+++⎛⎫- ⎪⎝⎭==---则111n n n n nn u a b u a b ++--=-若0a b >>,111limlim lim 1nn n n n n nn n n n b a b u a b a a u a b b a ++→∞→∞→∞-⎛⎫- ⎪-⎝⎭===-⎛⎫- ⎪⎝⎭若0b a >>,111limlim lim 1nn n n n n nn n n n b a b u a b ab u a b b a ++→∞→∞→∞-⎛⎫- ⎪-⎝⎭===-⎛⎫- ⎪⎝⎭所以综上所述1,lim ,n n n a a bu b a b u →∞-≥⎧=⎨<⎩.【点睛】本题考查错位相减法求数列的和,数列的极限,涉及分类讨论的思想,属于中档题.17.已知方程arctanarctan(2)2xx a +-=;(1)若4a π=,求arccos 2x 的值;(2)若方程有实数解,求实数a 的取值范围;(3)若方程在区间[5,15]上有两个相异的解α、β,求αβ+的最大值.【答案】(1)π或3π;(2)[arctan;(3)19;【解析】试题分析:(1) 4a π=时,由已知得到()22121212xxx x x +-=⇒=---或;(2)方程有实数解即a 在()arctan arctan 22xx +-的值域上,(3)根据二次函数的性质列不等式组得出tana 的范围,利用根与系数的关系得出α+β的最值.试题解析:(1)()()2π2arctan arctan 212122412xxx x x x x +-+-=⇒=⇒=---或,arccos =2x π或3π;(2)()()222arctan arctan 2tan tan ,4,2261012xxx t x a a a t x x x t t +-+-=⇒=⇒==---+-tan a ∴∈arctan a ⎡∴∈⎢⎣(3)因为方程在区间[]5,15上有两个相异的解α、β,所以[]411,1,441119x αβαβ-∈--∴-+-≥-∴+≤18.(1)证明:()3cos 34cos 3cos x x x =-;(2)证明:对任何正整数n ,存在多项式函数()n f x ,使得()()cos cos n nx f x =对所有实数x 均成立,其中()111112,,,n n n n n n n f x x a x a x a a a ---=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅均为整数,当n 为奇数时,0n a =,当n 为偶数时,()21nn a =-;(3)利用(2)的结论判断()*cos16,7m m m N π≤≤∈是否为有理数?【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)不是【解析】【分析】(1)()()cos 3cos 2x x x =+,利用两角和的正弦和二倍角公式,进行证明;(2)对n 分奇偶,即21n k =+和2n k =两种情况,结合两角和的余弦公式,积化和差公式,利用数学归纳法进行证明;(3)根据(2)的结论,将cos7m π表示出来,然后判断其每一项都为无理数,从而得到答案.【详解】(1)()()cos 3cos 2cos 2cos sin 2sin x x x x x x x=+=-()222cos 1cos 2sin cos x x x x =--()322cos cos 21cos cos x x x x =---34cos 3cos x x=-所以原式得证.(2)n 为奇数时,3n =时,()()2323123cos 3cos 2cos cos cos x f x x a x a x a ==+++,其中30a =,成立21n k =-时,()()21cos 21cos k k x f x --=222122*********cos cos cos cos k k k k k k x a x a x a x a ------=+++⋅⋅⋅++,其中210k a -=,成立21n k =+时,()()21cos 21cos k k x f x ++=221221122212cos cos cos cos k k k k k k x a x a x a x a +-+=+++⋅⋅⋅++,其中210k a +=,成立,则当23n k =+时,()()()()cos 23cos 212cos 21cos 2sin 21sin 2k x k x x k x x k x +=++=+-+⎡⎤⎣⎦()()()1cos 21cos 2cos 21cos 232k x x k x k x =+---+⎡⎤⎣⎦所以得到()()()cos 232cos 21cos 2cos 21k x k x x k x+=+--2212212122212221222312222122cos cos cos cos 2cos 12cos cos cos cos k k k k k k k k k k k k x a x a x a x a x x a x a x a x a +-+------⎡⎤⎡⎤=+++⋅⋅⋅++-⎣⎦⎣⎦⎡⎤-+++⋅⋅⋅++⎣⎦()()2223222121122212cos 4cos 42cos 2cos k k k k k k k x a x a x a a x +++++-=++-+⋅⋅⋅-+因为1,,n a a ⋅⋅⋅均为整数,所以()21122214,42,,2k k k a a a a +--⋅⋅⋅-+也均为整数,故原式成立;n 为偶数时,2n =时,()212212cos 2cos 2cos cos x f x x a x a -==++,其中()22211a =-=-,22n k =-时,()()22cos 22cos k k x f x --=232223*********cos cos cos cos k k k k k k x a x a x a x a ------=+++⋅⋅⋅++,其中()()221222111k k k a---=-=-=-,成立,2n k =时,()2cos 2cos k kx f x =2122122122122cos cos cos cos k k k k k k x a x a x a x a ----=+++⋅⋅⋅++,其中()()222111k kka=-=-=,成立,则当22n k =+时,()()cos 22cos 22cos 2cos 2sin 2sin 2k x kx x kx x kx x +=+=-()()()1cos 21cos 2cos 21cos 232k x k x k x =+---+⎡⎤⎣⎦所以得到()()cos 232cos 2cos 2cos 22k x kx x k x+=--21221222122122322232412232222cos cos cos cos 2cos 12cos cos cos cos k k k k k k k k k k k k x a x a x a x a x x a x a x a x a ----------⎡⎤⎡⎤=+++⋅⋅⋅++-⎣⎦⎣⎦⎡⎤-+++⋅⋅⋅++⎣⎦()()2122212121221232222cos 4cos 42cos 2cos 2k k k k k k k k k x a x a x a a x a a +++----=++-+⋅⋅⋅-+--其中22221k k a a ---=-,因为1,,n a a ⋅⋅⋅均为整数,所以()211221234,42,,2k k k a a a a ----⋅⋅⋅-+也均为整数,故原式成立;综上可得:对任何正整数n ,存在多项式函数()n f x ,使得()()cos cos n nx f x =对所有实数x 均成立,其中()11112n n n n n n f x x a x a x a ---=++⋅⋅⋅++,1,,n a a ⋅⋅⋅均为整数,当n 为奇数时,0n a =,当n 为偶数时,()21nn a =-;(3)由(2)可得()*cos16,7m m m N π≤≤∈cos cos 77m m f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11112cos cos cos 777m m m m m a a a πππ---=++⋅⋅⋅++*16,m m N ≤≤∈其中1122,,m m a a a -⋅⋅⋅均为有理数,因为cos7π为无理数,所以1cos,cos cos 777m m πππ-⋅⋅⋅均为无理数,故11112coscos cos 777m m m m m a a a πππ---++⋅⋅⋅++为无理数,所以()*cos 16,7m m m N π≤≤∈不是有理数.【点睛】本题考查利三角函数的二倍角的余弦公式,积化和差公式,数学归纳法证明,属于难题.。

2018-2019学年上海市上海中学高一下期中考试数学试题(解析版)

2018-2019学年上海市上海中学高一下期中考试数学试题(解析版)

2018-2019学年上海市上海中学高一下期中考试数学试题一、单选题1.若则在A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【解析】根据三角函数值在各个象限的正负,判断出角的终边所在的象限.【详解】由于,故角为第一、第四象限角.由于,故角为第二、第四象限角.所以角为第四象限角.故选D.【点睛】本小题主要考查三角函数值在各个象限的正负值,根据正切值和余弦值同时满足的象限得出正确选项.2.函数的部分图像如图,则可以取的一组值是A.B.C.D.【答案】C【解析】试题分析:∵,∴,,又由得.3.在△ABC中,分别为三个内角A、B、C的对边,若则△ABC的形状是A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形【答案】D【解析】利用正弦定理化简得:,再利用二倍角公式整理得:,解三角方程即可得解。

【详解】由正弦定理化简得:,整理得:,所以又,所以或.所以或.故选:D【点睛】本题主要考查了正弦定理及三角恒等变换,还考查了正弦的二倍角公式及三角函数的性质,属于中档题。

二、填空题4.函数的最小正周期是_________.【答案】【解析】直接由周期公式得解。

【详解】函数的最小正周期是:故填:【点睛】本题主要考查了的周期公式,属于基础题。

5.已知点P在角的终边上,则_______.【答案】0【解析】求出到原点的距离,利用三角函数定义得解。

【详解】设到原点的距离,则所以,,所以【点睛】本题主要考查了三角函数定义,考查计算能力,属于基础题。

6.已知扇形的周长为10 cm,面积为4 cm2,则扇形的圆心角α的弧度数为__________.【答案】【解析】由题意或,则圆心角是,应填答案。

7.在△ABC中,若则△ABC为_______(填“锐角”或直角”或“钝角”)三角形.【答案】钝角【解析】整理得,利用可得,问题得解。

【详解】因为,所以,又,所以,所以所以为钝角,故填:钝角【点睛】本题主要考查了三角恒等变换及转化思想,属于基础题。

2018-2019学年上海市华东师范大学二附中高一下学期数学3月阶段测试题(解析版)

2018-2019学年上海市华东师范大学二附中高一下学期数学3月阶段测试题(解析版)

2018-2019学年上海市华东师范大学二附中高一下学期数学3月阶段测试题一、单选题1.若角和角的终边关于轴对称,则下列等式恒成立的是()A.B.C.D..【答案】A【解析】由角和角的终边关于轴对称得 ,所以,, , .选A.2.“”是“”的()A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既不充分亦不必要条件【答案】D【解析】根据两角和的正切公式,利用充分条件和必要条件的定义进行判断.【详解】由(1+tanα)(1+tanβ)=2得1+tanα+tanβ+tanαtanβ=2,即tanα+tanβ=1﹣tanαtanβ,∴1,∴.(k,不一定有“”;反之,“”不一定有“”,如=,,此时无意义;∴“”是“”的既不充分亦不必要条件.故选D.【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判定,考查了两角和的正切公式,举反例说明命题不成立是解决此类题的常用方法,属于基础题.3.已知中,且,,则是()A.正三角形B.直角三角形C.正三角形或直角三角形D.直角三角形或等腰三角形【答案】C【解析】由tan A +tan Btan A tan B ,推导出C =60°,由,推导出A =60°或90°,从而得到△ABC 的形状. 【详解】 ∵tan A +tanB tan A tan B , 即tan A +tan B (1﹣tan A tan B ), ∴tan (A +B ),又A 与B 都为三角形的内角,∴A +B =120°,即C =60°, ∵,∴,∴2B =60°或120°,则A =90°或60° ∴△ABC 为直角三角形或等边三角形. 故选:C . 【点睛】本题考查三角形形状的判断,是中档题,解题时要认真审题,注意两角和与差的正切函数及二倍角正弦公式的合理运用. 4.设0,,0,,22ππαβ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭且1sin tan ,cos βαβ+=则( ) A .32παβ-= B .32παβ+=C .22παβ-=D .22παβ+=【答案】C【解析】试题分析:由已知得, sin 1sin tan cos cos αβααβ+==,去分母得, sin cos cos cos sin αβααβ=+,所以()sin cos cos sin cos ,sin cos sin 2παβαβααβαα⎛⎫-=-==- ⎪⎝⎭,又因为22ππαβ-<-<,022ππα<-<,所以2παβα-=-,即22παβ-=,选C【考点】同角间的三角函数关系,两角和与差的正弦公式.二、解答题5.如图,点是单位圆上的两点,点是圆与轴的正半轴的交点,将锐角的终边按逆时针方向旋转到.(1)若点的坐标为,求的值;(2)用表示,并求的取值范围.【答案】(1);(2).【解析】(1)由已知利用任意角的三角函数的定义可得,cos和sin的值,再利用二倍角公式求得sin2和cos2的值,可得的值.(2)由题意可得,|OC|=|OB|=1,∠COB=,由余弦定理可得的解析式.根据∈(0,),利用余弦函数的定义域和值域求得|BC|的范围.【详解】(1)由已知,,∴,∴;(2)由单位圆可知:,由余弦定理得:,∵,∴,∴,∴,∴.【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义,考查了二倍角公式及余弦定理的应用,考查了余弦函数求值域的问题,属于中档题.6.在中,已知.(1)求周长的最大值;(2)若,求的面积.【答案】(1)6;(2).【解析】(1)由余弦定理及已知条件可得:,利用基本不等式解得,从而可求周长的最大值.(2)由已知及三角函数恒等变换的应用化简可得,分类讨论分别求出a,b的值,利用三角形面积公式即可计算得解.【详解】(1)由余弦定理,得,于是得,当且仅当时,等号成立,∴,即周长的最大值为6;(2),⇒,或,①时,,此时,②时,由正弦定理,知,∵,∴,综上,的面积为.【点睛】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用,三角形面积公式,余弦定理,基本不等式在解三角形中的综合应用,考查了分类讨论思想和转化思想的应用,属于中档题.7.(1)如图,点在线段上,直线外一点对线段的张角分别为,即.求证:.(2)在中,,其中,试用表示线段的长.【答案】(1)证明见解析;(2).【解析】(1)利用三角形的面积公式将表示出来,化简整理可得结论;(2)选用三角形的面积公式:可得,再利用正弦定理表示出整理可得BC.【详解】(1)等式两边同除,即得;(2)∵,∴.【点睛】本题考查了三角形面积公式的应用,灵活选择三角形面积公式是解决本题的关键,属于基础题.8.如图,边长为1的正方形中,分别为边上的点,且的周长为2.(1)求线段长度的最小值;(2)试探究是否为定值,若是,给出这个定值;若不是,说明理由.【答案】(1);(2).【解析】(1)根据△CPQ周长为2,并且△CPQ是直角三角形,设∠CPQ=θ,根据三角函数的定义,CP=PQ cosθ,CQ=PQ sinθ,因此可以表示出,求该函数的最小值即可;(2)利用解析法求解:分别以AB,AD所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系,设Q(x,1),P(1,y),利用两点间距离公式求出PQ,根据△CPQ周长为2,找出x,y 的关系,求出∠PAQ的正切值,即可求得结果.【详解】(1)设∠CPQ=θ,则CP=PQ cosθ,CQ=PQ sinθ()∴∴(2)分别以AB,AD所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系,设Q(x,1),P(1,y),设∠DAQ=,∠PAB=∴,即xy+(x+y)=1又tan=x,tan=y∴,∴∴【点睛】本题考查三角函数的应用,特别求角的问题,转化为求角的某个三角函数值,体现了用数研究形的数学思想,考查运算能力和分析解决问题的能力,属于中档题.三、填空题9.已知点在角的终边上,且,则______________.【答案】【解析】利用三角函数的定义可求得sinα与cosα,利用诱导公式化简,则可得结果.【详解】因为,则r13a,∴sinα,cosα,又,故答案为.【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义,涉及诱导公式及同角基本关系式的应用,属于基础题.10.求值:______________.【答案】1【解析】先利用同角基本关系将原式切化弦,再利用两角和的正弦公式,结合二倍角的正弦公式化简分子,进而再利用诱导公式变形,约分后即可得到结果.【详解】因为=•)=•=•=•=1.故答案为:1.【点睛】本题考查了三角函数的化简求值问题,考查了两角和的正弦公式、同角三角函数间的基本关系,以及诱导公式的运用,熟练掌握公式是解本题的关键.11.已知,则的值为_______________.【答案】【解析】由下向上依次运算,1﹣csc2x=﹣cot2x,11+tan2x,11﹣cos2x.【详解】原式代入得.故答案为.【点睛】本题考查了化简求值问题,考查了同角三角函数的基本关系及二倍角的余弦公式的应用,属于中档题.12.已知锐角是钝角的两个内角,且的终边过点,则是第______象限角.【答案】二【解析】由题意得,利用正弦函数的单调性及诱导公式可得结果.【详解】若△ABC为钝角三角形且为锐角,则,因此,则sin<sin()=cos,同理可得sin<sin()=cos,所以,,故P在第二象限,故答案为:二.【点睛】本题考查了三角形内角的关系,考查了正弦函数单调性的应用,考查了诱导公式的应用,属于中档题.13.在中,已知,给出以下四个论断:①②③④,其中正确的是.【答案】②④【解析】试题分析:因为,整理得,所以不正确,,,,所以②正确,,③错,,,,故④正确,故答案为②④.【考点】1、三角形内角和定理及诱导公式;2、两角和的正弦公式及同角三角函数之间的关系.【方法点晴】本题通过对多个命题真假的判断考察三角函数的有界性、三角形内角和定理、诱导公式、两角和的正弦公式、同角三角函数关系以及数学化归思想,属于难题.该题型往往出现在在填空题最后两题,综合性较强,同学们往往因为某一点知识掌握不牢就导致本题“全盘皆输”,解答这类问题首先不能慌乱更不能因贪快而审题不清,其次先从最有把握的命题入手,最后集中力量攻坚最不好理解的命题.14.已知,则____________.【答案】【解析】利用二倍角的三角函数公式,结合弦化切化简得,由,直接得出结果.【详解】∵分子、分母都除以cos2θ,∴得=,()∵,∴所求=故答案为.【点睛】本题考查了二倍角的三角函数公式与同角三角函数基本关系的应用,考查了弦化切的方法,属于中档题.15.已知,,则__________.【答案】【解析】分析:先根据条件解出再根据两角和正弦公式化简求结果.详解:因为,,所以,因此点睛:三角函数求值的三种类型(1)给角求值:关键是正确选用公式,以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.(2)给值求值:关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.①一般可以适当变换已知式,求得另外函数式的值,以备应用;②变换待求式,便于将已知式求得的函数值代入,从而达到解题的目的.(3)给值求角:实质是转化为“给值求值”,先求角的某一函数值,再求角的范围,确定角.16.已知,且是关于的方程的两个根中较小的根,则的值为____________.【答案】【解析】由方程的两根之积为1和较小根为tanα得到方程较大的根为即cotα,然后根据两根之和等于﹣2secα列出等式,利用同角三角函数间的基本关系化简得到sinα的值,根据正弦函数的周期和特殊角的三角函数值求出α的值,代入到两根之中检验得到符合题意的值.【详解】∵tan是方程x2+2x sec+1=0的较小根,且两根之积为1,∴方程的较大根是cot.∴tan+cot=﹣2sec,即,且tan<cot,∴.又,解得或,又tan<cot,∴,故答案为.【点睛】本题考查了韦达定理的应用,考查了利用同角三角函数间的基本关系化简求值,易错点是容易忽视的范围及条件而导致没有取舍,属于中档题.17.在中,已知.则______.【答案】【解析】【详解】由三角万能公式得.解得或.又由、、为的三个内角知,,.故.因此,.18.在中,,则____________.【答案】【解析】根据余弦定理化简,得到;由题意,在BC上取D,使得BD=AD,连接AD,找出A﹣B,设BD=x,在△ADC中两次利用余弦定理将cos (A﹣B)及cos C表示出,分别求出x建立关于a,b的方程,化简变形后利用整体换元求出答案.【详解】由题意知,4cos C,∴由余弦定理得,4,化简可得=2,则,又中不妨设a>b,∴A>B.在BC上取D,使得BD=AD,连接AD,设BD=x,则AD=x,DC=a﹣x,AC=b,在△ADC中,cos∠DAC=cos(A﹣B),由余弦定理得:(a﹣x)2=x2+b2﹣2x•b•,即:(b﹣6a)x=,解得:x=.①又在△ADC中,由余弦定理还可得cos C,∴cos C,化简得x=,②由①②可得,又=2,联立可得=,即=,两边同时除以,得=+6,令,则12,解得t=或,又由题意,∴t=cos C=,故答案为:.【点睛】本题主要考查余弦定理的应用,考查了运算化简的技巧,考查利用几何图形解决问题的能力,属于难题.。

2018-2019学年上海市浦东新区华师大二附中高一(下)期中数学试卷

2018-2019学年上海市浦东新区华师大二附中高一(下)期中数学试卷

2018-2019学年上海市浦东新区华师大二附中高一(下)期中数学试卷试题数:18.满分:1001.(填空题.4分)2019°角是第___ 象限角.2.(填空题.4分)已知角α的终边经过点P(2.-3).则sinα=___3.(填空题.4分)已知tanα=2.则3sinα+cosα5sinα+2cosα=___ .4.(填空题.4分)函数y= √cosx的定义域为___ .5.(填空题.4分)已知cos(π−α)=13,α∈(π,3π2) .则cot(α−π2) =___ .6.(填空题.4分)已知sinα=45,α在第二象限.则tanα2=___ .7.(填空题.4分)方程5sinx=4+2cos2x的解集为___ .8.(填空题.4分)已知2sinα=sin(α−π4) .则tan(α−π8) =___ .9.(填空题.4分)将函数y=sin2x的图象先沿x轴向左平移π6个单位.再将所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)后得到函数y=f(x)图象.对于函数y=f(x)有以下四个判断:① 该函数的解析式为y=sin(x+π6);② 该函数图象关于点(π3,0)对称;③ 该函数在[0,π6]上是增函数;④ 若函数y=f(x)+a在[0,π2]上的最小值为1.则a=12.其中正确判断的序号是___ (写出所有正确判断的序号).10.(填空题.4分)已知△ABC中.7sin2B+3sin2C=2sin2A+2sinAsinBsinC.则cos(A−π4) =___ .11.(单选题.4分)如果α是第三象限的角.那么α3必然不是下列哪个象限的角()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限12.(单选题.4分)函数y=π2+arcsin3x(x∈[−13,13])的反函数是()A. y=13sinx(x∈[0,π])B. y=13cosx(x∈[0,π])C. y=−13sinx(x∈[0,π])D. y=−13cosx(x∈[0,π])13.(单选题.4分)在△ABC中.三个内角A.B.C所对的边分别为a.b.c.已知2acosB=c.且满足sinAsinB(2-cosC)=sin2C2 + 12.则△ABC为()A.锐角非等边三角形B.等边三角形C.等腰直角三角形D.钝角三角形14.(单选题.4分)已知函数f(x)=cos(3x+φ)满足f(x)≤f(1)恒成立.则()A.函数f(x-1)一定是奇函数B.函数f(x+1)一定是奇函数C.函数f(x-1)一定是偶函数D.函数f(x+1)一定是偶函数15.(问答题.8分)已知sinα+cosα=23.(1)求sinαcosα的值;(2)若α为第二象限的角.求1sin(π−α)−1cos(2π−α)的值.16.(问答题.12分)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0,0<φ<π2)的相邻对称轴之间的距离为π2 .且该函数图象的一个最高点为(π12,2).(1)求函数f(x)的解析式和单调递增区间;(2)若x∈[0,π4] .求函数f(x)的最大值和最小值.17.(问答题.12分)如图.甲、乙两个企业的用电负荷量y关于投产持续时间t(单位:小时)的关系y=f(t)均近似地满足函数f(t)=Asin(ωt+φ)+b(A>0.ω>0.0<φ<π).(1)根据图象.求函数f(t)的解析式;(2)为使任意时刻两企业用电负荷量之和不超过9.现采用错峰用电的方式.让企业乙比企业甲推迟m(m>0)小时投产.求m的最小值.18.(问答题.12分)在锐角△ABC中.已知cosA=5,S△ABC=6 .若点D是线段BC上一点13(不含端点).过D作DE⊥AB于E.DF⊥AC于F..求EF的值;(1)若△AEF外接圆的直径长为134(2)求BC的取值范围;(3)问点D在何处时.△DEF的面积最大?最大值为多少?2018-2019学年上海市浦东新区华师大二附中高一(下)期中数学试卷参考答案与试题解析试题数:18.满分:1001.(填空题.4分)2019°角是第___ 象限角.【正确答案】:[1]三【解析】:根据终边相同的角化为k•360°+α.k∈Z.α∈[0°.360°)即可.【解答】:解:2019°=360°×5+219°.是第三象限角.故答案为:三.【点评】:本题考查了终边相同的角的定义与应用问题.是基础题.2.(填空题.4分)已知角α的终边经过点P(2.-3).则sinα=___【正确答案】:[1] −3√1313【解析】:由题意利用任意角的三角函数的定义.求得sinα的值.【解答】:解:∵角α的终边经过点P(2.-3).则 x=2.y=-3.r=|OP|= √4+9 = √13 .∴sinα= yr = 3√1313.故答案为:- 3√1313.【点评】:本题主要考查任意角的三角函数的定义.属于基础题.3.(填空题.4分)已知tanα=2.则3sinα+cosα5sinα+2cosα=___ .【正确答案】:[1] 712【解析】:直接利用同角三角函数基本关系式化简所求的表达式为正切函数的形式.代入求解即可.【解答】:解:tanα=2.则 3sinα+cosα5sinα+2cosα = 3tanα+15tanα+2 = 3×2+15×2+2 = 712.故答案为: 712【点评】:本题考查同角三角函数基本关系式以及三角函数化简求值.考查计算能力. 4.(填空题.4分)函数y= √cosx 的定义域为___ . 【正确答案】:[1][2kπ- π2 .2kπ+ π2 ].k∈Z【解析】:根据函数y= √cosx .可得cosx≥0.再结合余弦函数的图象.求得x 的范围.【解答】:解:根据函数y= √cosx .可得cosx≥0.可得 2kπ- π2 ≤x≤2kπ+ π2 (k∈Z ). 故函数的定义域为[2kπ- π2 .2kπ+ π2 ].k∈Z . 故答案为:[2kπ- π2 .2kπ+ π2 ].k∈Z .【点评】:本题主要考查余弦函数的图象的特征.解三角不等式.属于基础题. 5.(填空题.4分)已知 cos (π−α)=13,α∈(π,3π2) .则 cot (α−π2) =___ .【正确答案】:[1] −2√2【解析】:由已知求得cosα.进一步得到tanα.再由诱导公式求 cot (α−π2) .【解答】:解:由 cos (π−α)=13,α∈(π,3π2) . 得-cos α=13.即cos α=−13. ∴sinα= −2√23 .则tanα= sinαcosα = 2√2 .∴ cot (α−π2) =-cot ( π2−α )=-tanα= −2√2 . 故答案为: −2√2 .【点评】:本题考查三角函数的化简求值.考查诱导公式及同角三角函数基本关系式的应用.是基础题.6.(填空题.4分)已知 sinα=45,α 在第二象限.则 tan α2 =___ . 【正确答案】:[1]2【解析】:根据同角三角函数关系以及三角函数的倍角公式进行化简即可.【解答】:解:若sinα=45,α在第二象限.∴cosα=- 35.则tanα2 = sinα2cosα2= 2sinα2cosα22cos2α2= sinα1+cosα=451−35=2.故答案为:2【点评】:本题主要考查三角函数的化简和求值.利用同角三角函数关系以及三角函数倍角公式是解决本题的关键.7.(填空题.4分)方程5sinx=4+2cos2x的解集为___ .【正确答案】:[1]{x|x=arcsin 34+2kπ.或x=π-arcsin 34+2kπ.k∈Z}【解析】:方程化为关于sinx的一元二次方程.求出sinx的值.再写出方程的解集.【解答】:解:方程5sinx=4+2cos2x可化为5sinx=4+2(1-2sin2x).即4sin2x+5sinx-6=0.解得sinx= 34.或sinx=-2(不合题意.舍去);所以该方程的解集为{x|x=arcsin 34+2kπ.或x=π-arcsin 34+2kπ.k∈Z}.故答案为:{x|x=arcsin 34+2kπ.或x=π-arcsin 34+2kπ.k∈Z}.【点评】:本题考查了三角函数方程的求解与应用问题.是基础题.8.(填空题.4分)已知2sinα=sin(α−π4) .则tan(α−π8) =___ .【正确答案】:[1] 3−3√2【解析】:由已知等式求得tanα.展开二倍角的正切求得tan π8.再由两角差的正切求解.【解答】:解:由2sinα=sin(α−π4) .得2sinα= √22sinα−√22cosα .∴ 4−√22sinα=−√22cosα .则tanα= −2√2+17.由tan π4 = 2tanπ81−tan2π8=1.解得tan π8= −1−√2(舍)或tanπ8=−1+√2.∴ tan(α−π8) = tanα−tanπ81+tanαtanπ8= −2√2+17−(−1+√2)1+(−√7)×(−1+3−3√2.故答案为:3−3√2.【点评】:本题考查三角函数的化简求值.考查两角和与差的三角函数.考查计算能力.是中档题.9.(填空题.4分)将函数y=sin2x的图象先沿x轴向左平移π6个单位.再将所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)后得到函数y=f(x)图象.对于函数y=f(x)有以下四个判断:① 该函数的解析式为y=sin(x+π6);② 该函数图象关于点(π3,0)对称;③ 该函数在[0,π6]上是增函数;④ 若函数y=f(x)+a在[0,π2]上的最小值为1.则a=12.其中正确判断的序号是___ (写出所有正确判断的序号).【正确答案】:[1] ③ ④【解析】:运用三角函数图象的平移变化及三角函数的性质可解决此问题.【解答】:解:根据题意知.f(x)=sin(x +π3).令x= π3则.y= √32≠0∴ ① ② 错误;由三角函数的性质知③ ④ 正确;故答案为③ ④ .【点评】:本题考查图象的变换及三角函数的性质的简单应用.10.(填空题.4分)已知△ABC中.7sin2B+3sin2C=2sin2A+2sinAsinBsinC.则cos(A−π4) =___ .【正确答案】:[1] −√1010【解析】:由已知结合正弦定理可得:7b2+3c2=2a2+2bcsinA.由余弦定理可得:a2=b2+c2-2bccosA.化为:2(sinA-2cosA)= 5b2+c2bc = 5bc+cb≥2 √5bc•cb=2 √5 .进一步得到sin(A-θ)≥1.又sin(A-θ)≤1.可得sin(A-θ)=1.得到A=θ+ π2+2kπ.k∈N*.求出sin(A+ π4).再由诱导公式得答案.【解答】:解:7sin2B+3sin2C=2sin2A+2sinAsinBsinC. 由正弦定理可得:7b2+3c2=2a2+2bcsinA.∴a2= 7b2+3c2−2bcsinA2.又a2=b2+c2-2bccosA.∴ 7b2+3c2−2bcsinA2=b2+c2-2bccosA.化为:2(sinA-2cosA)= 5b 2+c2bc= 5bc+cb≥2 √5bc•cb=2 √5 .当且仅当√5 b=c时取等号.即2 √5 sin (A-θ)≥2 √5 .其中tanθ=2.sinθ= √5 .cosθ= √5即sin (A-θ)≥1.又sin (A-θ)≤1. ∴sin (A-θ)=1.∴A -θ= π2 +2kπ.即A=θ+ π2 +2kπ.k∈N *.∴sin (A+ π4 )=sin (θ+ π4 + π2 +2kπ)=cos (θ+ π4 ) = √22 (cosθ-sinθ)= √22 ×( √5 - √5 )=- √1010 .∴ cos (A −π4) =cos ( π4−A )=sin (A+ π4 )= −√1010. 故答案为:- √1010.【点评】:本题考查了正弦定理余弦定理、基本不等式的性质、和差公式.考查了推理能力与计算能力.属于难题.11.(单选题.4分)如果α是第三象限的角.那么 α3 必然不是下列哪个象限的角( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【正确答案】:B【解析】:先写出角α的范围.再除以3.从而求出 α3 角的范围.看出是第几象限角.【解答】:解:α是第三象限的角.则α∈(2kπ+π.2kπ+ 3π2 ).k∈Z . 所以 α3∈( 23kπ+ π3 . 23kπ+ π2).k∈Z ; 所以 α3 可以是第一、第三、或第四象限角. 故选:B .【点评】:本题考查了角的范围与象限角的判断问题.是基础题.12.(单选题.4分)函数 y =π2+arcsin3x (x ∈[−13,13]) 的反函数是( ) A. y =13sinx(x ∈[0,π]) B. y =13cosx(x ∈[0,π]) C. y =−13sinx(x ∈[0,π])D. y=−13cosx(x∈[0,π])【正确答案】:D【解析】:根据反三角函数的定义即可求出【解答】:解:函数y=π2+arcsin3x(x∈[−13,13])的反函数是y=- 13cosx.x∈[0.π].故选:D.【点评】:本题主要考查反正弦函数的定义和性质.属于基础题.13.(单选题.4分)在△ABC中.三个内角A.B.C所对的边分别为a.b.c.已知2acosB=c.且满足sinAsinB(2-cosC)=sin2C2 + 12.则△ABC为()A.锐角非等边三角形B.等边三角形C.等腰直角三角形D.钝角三角形【正确答案】:C【解析】:已知第一个等式利用正弦定理化简.再利用诱导公式及内角和定理表示.根据两角和与差的正弦函数公式化简.得到A=B.第二个等式左边前两个因式利用积化和差公式变形.右边利用二倍角的余弦函数公式化简.将A+B=C.A-B=0代入计算求出cosC的值为0.进而确定出C为直角.即可确定出三角形形状.【解答】:解:将已知等式2acosB=c.利用正弦定理化简得:2sinAcosB=sinC.∵sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB.∴2sinAcosB=sinAcosB+cosAsinB.即sinAcosB-cosAsinB=sin(A-B)=0.∵A与B都为△ABC的内角.∴A-B=0.即A=B.已知第二个等式变形得:sinAsinB(2-cosC)= 12(1-cosC)+ 12=1- 12cosC.- 1 2 [cos(A+B)-cos(A-B)](2-cosC)=1- 12cosC.∴- 12(-cosC-1)(2-cosC)=1- 12cosC.即(cosC+1)(2-cosC)=2-cosC.整理得:cos2C-2cosC=0.即cosC(cosC-2)=0. ∴cosC=0或cosC=2(舍去).∴C=90°.则△ABC为等腰直角三角形.故选:C.【点评】:此题考查了正弦定理.两角和与差的正弦函数公式.积化和差公式.二倍角的余弦函数公式.熟练掌握正弦定理是解本题的关键.属于中档题.14.(单选题.4分)已知函数f(x)=cos(3x+φ)满足f(x)≤f(1)恒成立.则()A.函数f(x-1)一定是奇函数B.函数f(x+1)一定是奇函数C.函数f(x-1)一定是偶函数D.函数f(x+1)一定是偶函数【正确答案】:D【解析】:由三角函数图象的性质及函数图象的平移得:函数f(x)=cos(3x+φ)满足f(x)≤f(1)恒成立.得函数f(x)的图象关于直线x=1对称.即函数f(x+1)一定为偶函数.得解.【解答】:解:由函数f(x)=cos(3x+φ)满足f(x)≤f(1)恒成立.得函数f(x)的图象关于直线x=1对称.即函数f(x+1)一定为偶函数.故选:D.【点评】:本题考查了三角函数图象的性质及函数图象的平移.属中档题.15.(问答题.8分)已知sinα+cosα=23.(1)求sinαcosα的值;(2)若α为第二象限的角.求1sin(π−α)−1cos(2π−α)的值.【正确答案】:【解析】:(1)利用同角三角函数关系.利用平方进行计算即可(2)利用三角函数的诱导公式进行化简求解即可【解答】:解:(1)∵ sinα+cosα=23 .∴平方得sin 2α+2sinαcosα+cos 2α= 49 . 得2sinαcosα= 49 -1=- 59 . 得sinαcosα=- 518 .(2)若α为第二象限的角.sinα>0.cosα<0. 则 1sin (π−α)−1cos (2π−α) = 1sinα - 1cosα = cosα−sinαsinαcosα . ∵(cosα-sinα)2=1-2sinαcosα=1+ 59 = 149 . ∴cosα-sinα=-√143. 则 cosα−sinαsinαcosα = −√143−518=6√145.【点评】:本题主要考查三角函数值的化简和求值.利用同角三角函数关系以及三角函数的诱导公式是解决本题的关键.16.(问答题.12分)已知函数f (x )=Asin (ωx+φ)(其中 A >0,ω>0,0<φ<π2 )的相邻对称轴之间的距离为 π2 .且该函数图象的一个最高点为 (π12,2) . (1)求函数f (x )的解析式和单调递增区间; (2)若 x ∈[0,π4] .求函数f (x )的最大值和最小值.【正确答案】:【解析】:(1)由三角函数解析式的求法得:由题意有:A=2.T=π.即ω= 2πT =2.由当x= π12 时.函数f (x )取最大值.即2× π12 +φ=2k π+π2 .解得φ=2kπ +π3 .又0<φ <π2 .所以φ= π3 .即f (x )=2sin (2x+ π3).(2)由三角函数的值域的求法得:当 x ∈[0,π4] .则2x+ π3 ∈[ π3 . 5π6 ].所以2sin (2x+ π3 )∈[1.2].得解.【解答】:解:(1)由题意有:A=2.T=π.即ω= 2πT =2.由当x= π12 时.函数f (x )取最大值.即2× π12 +φ=2k π+π2 .解得φ=2kπ +π3 .又0<φ <π2 .所以φ= π3.即f(x)=2sin(2x+ π3).令2kπ −π2≤2x+ π3≤2kπ+π2.得:k π−5π12≤x≤kπ+π12.(k∈Z)故函数f(x)的解析式为:f(x)=2sin(2x+ π3).函数f(x)的单调递增区间为:[kπ −5π12 .k π+π12](k∈Z).(2)当x∈[0,π4] .则2x+ π3∈[ π3. 5π6].所以2sin(2x+ π3)∈[1.2].故函数f(x)的最大值为2.最小值为1.【点评】:本题考查了三角函数解析式的求法及三角函数的值域.属中档题.17.(问答题.12分)如图.甲、乙两个企业的用电负荷量y关于投产持续时间t(单位:小时)的关系y=f(t)均近似地满足函数f(t)=Asin(ωt+φ)+b(A>0.ω>0.0<φ<π).(1)根据图象.求函数f(t)的解析式;(2)为使任意时刻两企业用电负荷量之和不超过9.现采用错峰用电的方式.让企业乙比企业甲推迟m(m>0)小时投产.求m的最小值.【正确答案】:【解析】:(1)根据图象最值求A.b.根据周期求出ω.利用特殊点求出φ的值.可求函数f(t)的解析式.(2)设乙投产持续时间为t小时.则甲的投产持续时间为(t+m)小时.依题意.有f(t+m)+f(t)=cos π6(t+m)+cos π6t+8≤9恒成立.展开由三角函数恒等变换化简整理可得:cos π6m≤- 12 .依据余弦函数图象得:2π3+2kπ≤ π6m≤ 4π3+2kπ.(k∈Z).取k=0得m的范围.从而可求m的最小值.【解答】:(本题满分为14分)解:(1)由图知T=12= 2πω .∴ω= π6.…(1分)A+b=5.b-A=3.可得:A=1.b=4.…(3分)∴f(t)=sin(π6t+φ)+4.代入(0.5).得φ= π2+2kπ.又0<φ<π.∴φ= π2…(5分)即f(t)=sin(π6 t+ π2)+4.…(6分)(2)设乙投产持续时间为t小时.则甲的投产持续时间为(t+m)小时.由诱导公式.企业乙用电负荷量随持续时间t变化的关系式为:f(t)=cos π6t+4;同理.企业甲用电负荷量变化关系式为:f(t+m)=cos π6(t+m)+4;两企业用电负荷量之和f(t+m)+f(t)=cos π6(t+m)+cos π6t+8(t≥0);------(8分)依题意.有f(t+m)+f(t)=cos π6(t+m)+cos π6t+8≤9恒成立.即cos π6(t+m)+cos π6t≤1恒成立.展开有:(cos π6 m+1)cos π6t-sin π6msin π6t≤1恒成立.------(10分)∵(cos π6 m+1)cos π6t-sin π6msin π6t=Acos(π6t+ϕ).(其中.A= √(cosπ6m+1)2+sin2π6m .cosϕ= cosπ6m+1A;sinϕ= sinπ6mA);∴A= √(cosπ6m+1)2+sin2π6m≤1.-----------------------(11分)整理得到:cos π6m≤- 12.------------------------(12分)依据余弦函数图象得:2π3+2kπ≤ π6m≤ 4π3+2kπ.(k∈Z).即12k+4≤m≤12k+8.取k=0得:4≤m≤8∴m的最小值为4.-----------------------(14分)【点评】:本题考查三角函数图象和性质及其应用、恒等变换等知识.考查建立三角函数模型.数据处理能力、运算求解能力和抽象概括能力.考查函数与方程的思想、转化与化归的思想.属于中档题.18.(问答题.12分)在锐角△ABC 中.已知 cosA =513,S △ABC =6 .若点D 是线段BC 上一点(不含端点).过D 作DE⊥AB 于E.DF⊥AC 于F .(1)若△AEF 外接圆的直径长为 134 .求EF 的值; (2)求BC 的取值范围;(3)问点D 在何处时.△DEF 的面积最大?最大值为多少?【正确答案】:【解析】:(1)根据面积为6可得bc.然后由正弦定理可得EF ;(2)用余弦定理得到BC 2=b 2+c 2-2bccosA.然后用重要不等式可得BC 的范围;(3)设S △ABD =x.然后根据面积关系将△DEF 的面积用x 表示出来.再用一元二次函数求其最大值即可.【解答】:解:(1)∵在锐角△ABC 中. cosA =513 .∴sinA= 1213. ∵ S △ABC =12 bc• 1213=6 . ∴bc=13.∵△AEF 外接圆的直径长为 134. 由正弦定理可得. EF sinA = EF 1213= 134 .∴EF=3;(2)在△ABC 中.由余弦定理得. BC 2=b 2+c 2-2bccosA =b 2+c 2-10≥2bc -10=16. 当且仅当b=c= √13 时取等号. ∴BC≥4;BC 的取值范围:[4.+ ∞ );(3)设S△ABD=x.则S△ADC=6-x. ∵ S△ABC=12AB•AC•sinA=6 .∴AB•AC= 12sinA=13 .∵DE⊥AB于E.DF⊥AC于F.∴ S△ABD=12AB•DE=x . S△ADC=12AC•DF=6−x .∴ DE=2xAB . DF=12−2xAC.∵ S△EDF=12DE•DF•sin(π−A)= 12•2xAB•12−2xAC•sinA= 24(−x2+6x)169=- 24169[(x−3)2−9] .∴当x=3时.S△EDF的最大值为. 216169.∴当x=3时.三角形ABD与三角形ADC面积相等∴D为BC的中点.∴当D为BC的中点时.△DEF的面积最大.最大值为216169.△【点评】:本题考查了等边三角形的面积计算公式、余弦定理、全等三角形的性质.考查了推理能力与计算能力.属于中档题.。

2018-2019学年上海市浦东新区华师大二附中高一(下)3月段考数学试卷

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2018-2019学年上海市浦东新区华师大二附中高一(下)3月段考数学试卷试题数:18.满分:1001.(填空题.4分)已知点P(5a.-12a)在角α的终边上.且a>0.则sec(3π2+α) =___ .2.(填空题.4分)求值:sin50°(1+ √3 cot80°)=___ .3.(填空题.4分)已知x=−1312π .则11−11−11−csc2x的值为___ .4.(填空题.4分)已知锐角α.β是钝角△ABC的两个内角.且θ的终边过点P(sinβ-cosα.cosβ-sinα).则θ是第___ 象限角.5.(填空题.4分)在△ABC中.已知tan A+B2=sinC.给出以下论断:① tanA-cotB=1 ② 0<sinA+sinB≤ √2③ sin2A+cos2B=1 ④ cos2A+cos2B=sin2C其中正确的是:___ .6.(填空题.4分)已知1−tanθ1+tanθ=2019 .则sec2θ+tan2θ=___ .7.(填空题.4分)已知sinα+cosβ=1.cosα+sinβ=0.则sin(α+β)=___ .8.(填空题.4分)已知α∈(-π.π).且tanα是关于x的方程x2+2xsecα+1=0的两个根中较小的根.则α的值为___ .9.(填空题.4分)在△ABC中. cosAcosB+1sinAsinB =53.则tan A2•tan B2=___ .10.(填空题.4分)在△ABC中. ba +ab=4cosC,cos(A−B)=16.则cosC=___ .11.(单选题.4分)若角α、β的终边关于y轴对称.则下列等式成立的是()A.sinα=sinβB.cosα=cosβC.tanα=tanβD.cotα=cotβ12.(单选题.4分)“ α+β=π4”是“(1+tanα)(1+tanβ)=2”的()A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既不充分亦不必要条件13.(单选题.4分)已知△ABC中. tanA+tanB+√3=√3tanAtanB且. sinBcosB=√34.则△ABC是()A.正三角形B.直角三角形C.正三角形或直角三角形D.直角三角形或等腰三角形14.(单选题.4分)设α∈(0. π2).β∈(0. π2).且tanα= 1+sinβcosβ.则()A.3α-β= π2B.3α+β= π2C.2α-β= π2D.2α+β= π215.(问答题.10分)如图.点A、B是单位圆O上的两点.点C是圆O与x轴的正半轴的交点.将锐角α的终边OA按逆时针方向旋转π3到OB.(1)若点A的坐标为(35 . 45).求1+sin2α1+cos2α的值;(2)用α表示|BC|.并求|BC|的取值范围.16.(问答题.10分)在△ABC中.已知c=2,C=π3.(1)求△ABC周长的最大值;(2)若2sin2A+sin(2B+C)=sinC.求△ABC的面积.17.(问答题.12分)(1)如图.点P在线段AB上.直线AB外一点O对线段AP.BP的张角分别为α.β.即∠AOP=α.∠BOP=β.求证:sin(α+β)OP =sinαOB+sinβOA.(2)在△ABC中.AB=c.DC=kAD.∠DBA=α.∠DBC=β.其中k>0.试用c.k.α.β表示线段BC的长.18.(问答题.12分)如图.边长为1的正方形ABCD中.P.Q分别为边BC.CD上的点.且△PCQ的周长为2.(1)求线段PQ长度的最小值;(2)试探究∠PAQ是否为定值.若是.给出这个定值;若不是.说明理由.2018-2019学年上海市浦东新区华师大二附中高一(下)3月段考数学试卷参考答案与试题解析试题数:18.满分:1001.(填空题.4分)已知点P (5a.-12a )在角α的终边上.且a >0.则 sec (3π2+α) =___ . 【正确答案】:[1] −1312【解析】:由P 的坐标求得|OP|.再由任意角的三角函数的定义求得sinα.然后利用诱导公式及同角三角函数基本关系式求解.【解答】:解:∵P (5a.-12a ).且a >0.∴|OP|= √(5a )2+(−12a )2=13|a | =13a. ∴sinα= −12a 13a =−1213 . ∴ sec (3π2+α) =1cos(3π2+α)= 1sinα = −1312 .故答案为: −1312 .【点评】:本题考查任意角的三角函数的定义.考查诱导公式及同角三角函数基本关系式的应用.是基础题.2.(填空题.4分)求值:sin50°(1+ √3 cot80°)=___ . 【正确答案】:[1]1【解析】:利用cot80°=tan10°.tan60°= √3 .将原式化为 cos10°cos10° =1.【解答】:解:因为cot80°=tan10°.tan60°= √3 所以1+ √3 cot80°=1+tan60°tan10°= cos60°cos10°+sin60°sin10°cos60°cos10° =cos (60°−10°)cos60°cos10°=cos50°cos60°cos10°.则sin50°(1+ √3 cot80°)=sin50°cos50°cos60°cos10°=12sin100°12cos10° =cos10°cos10°=1. 故答案为:1.【点评】:本题考查三角函数的恒等变化.能将 √3 替换成tan60°是关键.属于基础题.3.(填空题.4分)已知x=−1312π .则11−11−11−csc2x的值为___ .【正确答案】:[1] 8+4√3【解析】:将所求式子化为:1sin2x .利用倍角公式求出sin2π12= 1−cosπ62=1−√322=2−√34.代入即可.【解答】:解:因为cscx= 1sinx. 所以11−11−11−csc2x = 11−11−csc2x−11−csc2x=11+1−csc2xcsc2x=csc2x = 1sin2x.又因为sin2x=sin2(−13π12) =sin2π12.且 sin2π12= 1−cosπ62=1−√322=2−√34.所以原式= 1sin2x =2−√34=2−√3=4(2+√3)4−3=8+4√3 .故答案为8+4√3.【点评】:本题考查三角函数的恒等变换.涉及二倍角公式.属于基础题.4.(填空题.4分)已知锐角α.β是钝角△ABC的两个内角.且θ的终边过点P(sinβ-cosα.cosβ-sinα).则θ是第___ 象限角.【正确答案】:[1]二【解析】:由题意利用三角函数的单调性.判断点的坐标的符号.从而得出点所在的象限.【解答】:解:∵锐角α.β是钝角△ABC的两个内角.∴α+β<π2 .∴β<π2-α.∴两边同取正弦可得.sinβ<sin(π2-α)=cosα.即sinβ<cosα.sinβ-cosα<0;∴两边同取余弦可得.cosβ>cos(π2-α)=sinα.即sinα<cosβ.cosβ-sinα>0.∵θ的终边过点P(sinβ-cosα.cosβ-sinα).故点P的横坐标小于零.纵坐标大于零.故θ为第二象限角.故答案为:二.【点评】:本题主要考查三角函数的单调性.判断点所在的象限的方法.属于基础题.5.(填空题.4分)在△ABC中.已知tan A+B2=sinC.给出以下论断:① tanA-cotB=1 ② 0<sinA+sinB≤ √2③ sin2A+cos2B=1 ④ cos2A+cos2B=sin2C其中正确的是:___ .【正确答案】:[1] ② ④【解析】:利用同角三角函数的基本关系和二倍角公式化简整理题设等式求得cos A+B 2 = √22进而求得A+B=90°.进而求得tanA-cotB=tanA-tanA=0.可得 ① 不正确; ② 利用两角和公式化简.利用正弦函数的性质求得其范围符合.得 ② 正确;③ sin 2A+cos 2B=2sin 2A 不一定等于1.排除 ③ ; ④ 利用同角三角函数的基本关系可知cos 2A+cos 2B=cos 2A+sin 2A=1.进而根据C=90°可知sinC=1.进而可知二者相等.得 ④ 正确.【解答】:解:∵tan A+B 2 =sinC.∴ sin A+B2cosA+B 2 =2sin A+B 2 cos A+B 2 .整理求得cosA+B 2 = √22.∴A+B=90°. ∴tanA -cotB=tanA-tanA=0.不等于1.故 ① 不正确. 由上可得 sinA+sinB=sinA+cosA= √2 sin (A+45°). 45°<A+45°<135°.故有 √22<sin (A+45°)≤1. ∴0<sinA+sinB≤ √2 .所以 ② 正确.sin 2A+cos 2B=sin 2A+sin 2A=2sin 2A.不一定等于1.故 ③ 不正确. ∵cos 2A+cos 2B=cos 2A+sin 2A=1.sin 2C=sin 290°=1. 所以cos 2A+cos 2B=sin 2C.所以 ④ 正确. 故答案为 ② ④ .【点评】:本题主要考查了三角函数的化简求值.考查了学生综合分析问题和推理的能力.基本的运算能力.属于中档题.6.(填空题.4分)已知 1−tanθ1+tanθ=2019 .则sec2θ+tan2θ=___ . 【正确答案】:[1] 12019【解析】:由已知利用同角三角函数基本关系式及倍角公式化sec2θ+tan2θ为含有tanθ的代数式求解.【解答】:解:∵ 1−tanθ1+tanθ=2019 .∴sec2θ+tan2θ=1cos2θ+2tanθ1−tan 2θ= cos 2θ+sin 2θcos 2θ−sin 2θ+2tanθ1−tan 2θ =1+tan 2θ1−tan 2θ+2tanθ1−tan 2θ= (1+tanθ)2(1−tanθ)(1+tanθ) = 1+tanθ1−tanθ=12019 .【点评】:本题考查三角函数的化简求值.考查同角三角函数基本关系式及倍角公式的应用.是基础题.7.(填空题.4分)已知sinα+cosβ=1.cosα+sinβ=0.则sin(α+β)=___ .【正确答案】:[1] −12【解析】:把已知等式两边平方化简可得2+2(sinαcosβ+cosαsinβ)=1.再利用两角和差的正弦公式化简为2sin(α+β)=-1.可得结果.【解答】:解:sinα+cosβ=1.两边平方可得:sin2α+2sinαcosβ+cos2β=1. ① .cosα+sinβ=0.两边平方可得:cos2α+2cosαsinβ+sin2β=0. ② .由① + ② 得:2+2(sinαcosβ+cosαsinβ)=1.即2+2sin(α+β)=1.∴2sin(α+β)=-1.∴sin(α+β)= −12.故答案为:−12.【点评】:本题考查了两角和与差的正弦函数公式的应用.三角函数的求值.属于基本知识的考查.是基础题.8.(填空题.4分)已知α∈(-π.π).且tanα是关于x的方程x2+2xsecα+1=0的两个根中较小的根.则α的值为___ .【正确答案】:[1] −5π6【解析】:由题意利用韦达定理求出tanα<1tanα .且sinα=- 12.由此求得α的值.【解答】:解:已知α∈(-π.π).且tanα是关于x的方程x2+2xsecα+1=0的两个根中较小的根.根据韦达定理可得两根之积等于1.故另一个根为1tanα .且tanα<1tanα① .∴tanα+ 1tanα =-2secα= −2cosα.即1sinαcosα= −2sinαsinαcosα.∴sinα=- 12② .由① ② .结合α∈(-π.π).可得α=- 5π6.【点评】:本题主要考查韦达定理.根据三角函数的值求角.属于中档题.9.(填空题.4分)在△ABC中. cosAcosB+1sinAsinB =53.则tan A2•tan B2=___ .【正确答案】:[1] 13【解析】:把已知等式化弦为切.整理后求得tan A2•tan B2= 13或tan A2•tan B2=3.再由A.B.C为三角形三内角.得tan A2 .tan B2.tan C2均大于0.可得tan A2•tan B2<1.则答案可求.【解答】:解:在△ABC中.由cosAcosB+1sinAsinB =53.得1−tan2A21+tan2A2•1−tan2B21+tan2B2+12tanA21+tan2A2•2tanB21+tan2B2= 53.整理得(1−tan2A2)(1−tan2B2)+(1+tan2A2)(1+tan2B2)4tan A2•tan B2= 53.即1+tan2A2tan2B22tan A2tan B2=53.则tan A2•tan B2= 13或tan A2•tan B2=3.又A.B.C为三角形三内角.得tan A2 .tan B2.tan C2均大于0.可得tan A2•tan B2<1.则tan A2•tan B2= 13.故答案为:13.【点评】:本题考查三角函数的恒等变换与化简求值.考查万能公式的应用.是中档题.10.(填空题.4分)在△ABC中. ba +ab=4cosC,cos(A−B)=16.则cosC=___ .【正确答案】:[1] 23【解析】:由题意.利用余弦定理和正弦定理.化简求得sin2A+sin2B=2sin2C.再利用降幂公式与和差化积.以及同角的三角函数关系.求得cosC的值.【解答】:解:△ABC中. ba + ab=4cosC.∴cosC>0;∴a2+b2=2×2abcosc=2(a2+b2-c2). ∴a2+b2=2c2.∴sin2A+sin2B=2sin2C.∴ 1−cos2A2 + 1−cos2B2=2sin2C.即2-(cos2A+cos2B)=4sin2C;∴2-2cos(A+B)cos(A-B)=4sin2C. 又cos(A-B)= 16.cos(A+B)=-cosC.∴2+ 13cosC=4sin2C=4×(1-cos2C). 化简得12cos2C+cosC-6=0.解得cosC= 23或cosC=- 34(不合题意.舍去);所以cosC= 23.故答案为:23.【点评】:本题考查了三角恒等变换应用问题.也考查了正弦、余弦定理的应用问题.是中档题.11.(单选题.4分)若角α、β的终边关于y轴对称.则下列等式成立的是()A.sinα=sinβB.cosα=cosβC.tanα=tanβD.cotα=cotβ【正确答案】:A【解析】:根据α、β的终边关于y轴对称.得到两个角之间的关系.结合三角函数的诱导公式即可得到结论.【解答】:解:∵α、β终边关于y轴对称.设角α终边上一点P(x.y).则点P关于y轴对称的点为P′(-x.y).且点P与点P′到原点的距离相等.设为r.则P′(-x.y)在β的终边上.由三角函数的定义得sinα= yr .s inβ= yr.∴sinα=sinβ.故选:A.【点评】:本题考查任意角的三角函数的定义以及直线关于直线的对称直线.点关于直线的对称点问题.12.(单选题.4分)“ α+β=π4”是“(1+tanα)(1+tanβ)=2”的()A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既不充分亦不必要条件【正确答案】:D【解析】:根据正切函数的定义域.结合充分条件和必要条件的定义即可得到结论.【解答】:解:依题意.若α+β=π4 .若α= π2+kπ(或者β= π2+kπ).则tanα(或tanβ)无意义.所以(1+tanα)(1+tanβ)=2不成立.故充分性不成立;若(1+tanα)(1+tanβ)=2.所以tanα+tanβ1−tanαtanβ=1⇒tan(α+β)=1⇒α+β= π4+kπ .故必要性不成立.所以“ α+β=π4”是“(1+tanα)(1+tanβ)=2”的既不充分也不必要条件.故选:D.【点评】:本题主要考查充分条件和必要条件的判断.利用函数的定义域和周期性是解决本题的关键.比较基础.13.(单选题.4分)已知△ABC中. tanA+tanB+√3=√3tanAtanB且. sinBcosB=√34.则△ABC是()A.正三角形B.直角三角形C.正三角形或直角三角形D.直角三角形或等腰三角形【正确答案】:A【解析】:利用两角和的正切求得A+B.再由倍角公式求得B.则答案可求.【解答】:解:∵由tanA+tanB+√3=√3tanAtanB .得:tanA+tanB1−tanAtanB=- √3 .即tan(A+B)=- √3 .∴A+B=120°.C=60°.又sinBcosB= √34.∴sin2B= √32.则2B=60°或2B=120°.即B=30°或B=60°.若B=30°.则A=90°.tanA不存在.不合题意;若B=60°.则A=C=60°.△ABC为正三角形.故选:A.【点评】:本题考查三角形形状的判定.考查了两角和的正切及倍角公式的应用.是基础题.14.(单选题.4分)设α∈(0. π2).β∈(0. π2).且tanα= 1+sinβcosβ.则()A.3α-β= π2B.3α+β= π2C.2α-β= π2D.2α+β= π2【正确答案】:C【解析】:化切为弦.整理后得到sin(α-β)=cosα.由该等式左右两边角的关系可排除选项A.B.然后验证C满足等式sin(α-β)=cosα.则答案可求.【解答】:解:由tanα= 1+sinβcosβ.得:sinαcosα=1+sinβcosβ.即sinαcosβ=cosαsinβ+cosα.sin(α-β)=cosα=sin(π2−α).∵α∈(0. π2).β∈(0. π2).∴当2α−β=π2时.sin(α-β)=sin(π2−α)=cosα成立.故选:C.【点评】:本题考查三角函数的化简求值.训练了利用排除法及验证法求解选择题.是基础题.15.(问答题.10分)如图.点A、B是单位圆O上的两点.点C是圆O与x轴的正半轴的交点.将锐角α的终边OA按逆时针方向旋转π3到OB.(1)若点A的坐标为(35 . 45).求1+sin2α1+cos2α的值;(2)用α表示|BC|.并求|BC|的取值范围.【正确答案】:【解析】:(1)由已知利用任意角的三角函数的定义可得.cosα 和sinα 的值.再利用二倍角公式求得sin2α 和 cos2α的值.可得 1+sin2α1+cos2α的值. (2)由题意可得.|OC|=|OB|=1.∠COB=α+ π3 .由余弦定理可得|BC|2的解析式.根据α∈(0. π2 ).利用余弦函数的定义域有和值域求得|BC|的范围.【解答】:解:(1)由已知可得.cosα= 35 .sinα= 45 .∴sin2α=2sinαcosα= 2425 .cos2α=2cos 2α-1=- 725 . 1+sin2α1+cos2α = 1+24251+(−725) = 4918 . (2)由题意可得.|OC|=|OB|=1.∠COB=α+ π3.由余弦定理可得|BC|2=|OC|2+|OB|2-2|OB||OC|cos∠COB=1+1-2cos (α+ π3 )=2-2cos (α+ π3 ).∵α∈(0. π2 ).∴α+ π3 ∈( π3 . 5π6 ).∴cos (α+ π3 )∈(- √32 . 12 ).∴|BC|2∈(1.2+ √3 ).∴|BC|∈(1.√6+√22 ).【点评】:本题主要考查任意角的三角函数的定义、同角三角函数的基本关系、余弦定理、二倍角公式、余弦函数的定义域和值域.属于中档题.16.(问答题.10分)在△ABC 中.已知 c =2,C =π3 .(1)求△ABC 周长的最大值;(2)若2sin2A+sin (2B+C )=sinC.求△ABC 的面积.【正确答案】:【解析】:(1)由已知利用余弦定理.基本不等式可求得a+b≤4.当且仅当a=b=2时.等号成立.即可求解△ABC 周长的最大值;(2)利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得2sinAcosA-cosAsinB=0.可得cosA=0或sinB=2sinA.分类讨论求得b 的值.利用三角形的面积公式即可得解.【解答】:解:(1)∵ c =2,C =π3 .∴由余弦定理.得 c 2=a 2+b 2−2abcosC =a 2+b 2−ab =(a +b )2−3ab ≥(a +b )2−3•(a+b)24.∴得a+b≤4.当且仅当a=b=2时.等号成立.∴C△ABC=a+b+c≤6.即△ABC周长的最大值为6;(2)∵2sin2A+sin(2B+C)=sinC.∴2sin2A+sin[(B+C)+B]-sin[(B+C)-B]=2sin2A+2cos(B+C)sinB=0. ∴2sinAcosA-cosAsinB=0.∴cosA=0或sinB=2sinA.∴ ① cosA=0时. A=π2 .此时b=2√3,S△ABC=12bc=2√33.② sinB=2sinA时.由正弦定理.知b=2a. ∵c2=a2+b2-ab=3a2=4.∴ a=2√33,b=4√33,S△ABC=12absinC=2√33.综上.△ABC的面积为2√33.【点评】:本题主要考查了余弦定理.基本不等式.三角函数恒等变换的应用.三角形的面积公式在解三角形中的应用.考查了分类讨论思想和转化思想.属于中档题.17.(问答题.12分)(1)如图.点P在线段AB上.直线AB外一点O对线段AP.BP的张角分别为α.β.即∠AOP=α.∠BOP=β.求证:sin(α+β)OP =sinαOB+sinβOA.(2)在△ABC中.AB=c.DC=kAD.∠DBA=α.∠DBC=β.其中k>0.试用c.k.α.β表示线段BC的长.【正确答案】:【解析】:(1)由S△AOB=S△AOP+S△BOP S△ACB.列出等式化简证得结论即可;(2)由三角形的面积公式.列出等式化简就求得BC的值.【解答】:(1)证明:由题意知.S△AOB=S△AOP+S△BOP S△ACB.即12OA•OB•sin(α+β)= 12OA•OP•sinα+ 12OA•OP•sinβ.等式两边同除12OA•OB•OP.即得sin(α+β)OP =sinαOB+sinβOA;(2)解:∵DC=kAD.∴ S△ABD S△BCD =12AB•BD•sinα12BC•BD•sinβ= 1k.解得BC= k•AB•sinαsinβ = cksinαsinβ.【点评】:本题考查了三角形面积计算问题.是基础题.18.(问答题.12分)如图.边长为1的正方形ABCD中.P.Q分别为边BC.CD上的点.且△PCQ的周长为2.(1)求线段PQ长度的最小值;(2)试探究∠PAQ是否为定值.若是.给出这个定值;若不是.说明理由.【正确答案】:【解析】:(1)设∠CQP=θ,θ∈(0,π2) .用θ的三角函数值表示△PCQ的周长.求出PQ.再求最小值;(2)∠PAQ为定值π4.设∠DAQ=α.∠BAP=β.计算tanα、tanβ和tan(α+β)的值.从而求得∠PAQ的值.【解答】:解:(1)设∠CQP=θ,θ∈(0,π2) . 则CP=PQsinθ.CQ=PQcosθ.△PCQ的周长为L△PCQ=PQ+CP+CQ=PQ+PQsinθ+PQcosθ=2.解得PQ=21+sinθ+cosθ=1+√2sin(θ+π4)≥1+√2=2√2−2;(2)∠PAQ为定值π4.设∠DAQ=α.∠BAP=β.其中α、β、α+β∈(0. π2);则tanα=DQDA =1−CQ1=1−CQ .同理tanβ=1-CP;∴ tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanαtanβ=2−CP−CQ1−(1−CQ)(1−CP)=2−CP−CQCP+CQ−CP•CQ= PQPQsinθ+PQcosθ−PQ2sinθcosθ=1sinθ+cosθ−PQsinθcosθ= 1sinθ+cosθ−21+sinθ+cosθsinθcosθ=1+sinθ+cosθ(sinθ+cosθ)(1+sinθ+cosθ)−2sinθcosθ= 1+sinθ+cosθ(sinθ+cosθ)2+sinθ+cosθ−2sinθcosθ=1+sinθ+cosθ1+2sinθcosθ+sinθ+cosθ−2sinθcosθ=1 .∴ α+β=π4 .∴ ∠PAQ=π2−(α+β)=π4.【点评】:本题考查了三角恒等变换应用问题.也考查了解三角形的应用问题.是中档题.。

上海市华东师范大学二附中2018-2019学年高一下学期数学3月阶段测试题(解析版)

上海市华东师范大学二附中2018-2019学年高一下学期数学3月阶段测试题(解析版)

华东师范大学二附中2021届高一下学期数学3月阶段测试一、填空题(每小题4分,共40分)1.已知点在角的终边上,且,则______________.【答案】【解析】【分析】利用三角函数的定义可求得sinα与cosα,利用诱导公式化简,则可得结果.【详解】因为,则r13a,∴sinα,cosα,又,故答案为.【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义,涉及诱导公式及同角基本关系式的应用,属于基础题.2.求值:______________.【答案】1【解析】【分析】先利用同角基本关系将原式切化弦,再利用两角和的正弦公式,结合二倍角的正弦公式化简分子,进而再利用诱导公式变形,约分后即可得到结果.【详解】因为=•)=•=•=•=1.故答案为:1.【点睛】本题考查了三角函数的化简求值问题,考查了两角和的正弦公式、同角三角函数间的基本关系,以及诱导公式的运用,熟练掌握公式是解本题的关键.3.已知,则的值为_______________.【答案】【解析】【分析】由下向上依次运算,1﹣csc2x=﹣cot2x,11+tan2x,11﹣cos2x.【详解】原式代入得.故答案为.【点睛】本题考查了化简求值问题,考查了同角三角函数的基本关系及二倍角的余弦公式的应用,属于中档题.4.已知锐角是钝角的两个内角,且的终边过点,则是第______象限角.【答案】二【解析】【分析】由题意得,利用正弦函数的单调性及诱导公式可得结果.【详解】若△ABC为钝角三角形且为锐角,则,因此,则sin<sin()=cos,同理可得sin<sin()=cos,所以,,故P在第二象限,故答案为:二.【点睛】本题考查了三角形内角的关系,考查了正弦函数单调性的应用,考查了诱导公式的应用,属于中档题.5.在中,已知,给出以下四个论断:①②③④,其中正确的是.【答案】②④【解析】试题分析:因为,整理得,所以不正确,,,,所以②正确,,③错,,,,故④正确,故答案为②④.考点:1、三角形内角和定理及诱导公式;2、两角和的正弦公式及同角三角函数之间的关系.【方法点晴】本题通过对多个命题真假的判断考察三角函数的有界性、三角形内角和定理、诱导公式、两角和的正弦公式、同角三角函数关系以及数学化归思想,属于难题.该题型往往出现在在填空题最后两题,综合性较强,同学们往往因为某一点知识掌握不牢就导致本题“全盘皆输”,解答这类问题首先不能慌乱更不能因贪快而审题不清,其次先从最有把握的命题入手,最后集中力量攻坚最不好理解的命题.6.已知,则____________.【答案】【解析】【分析】利用二倍角的三角函数公式,结合弦化切化简得,由,直接得出结果.【详解】∵分子、分母都除以cos2θ,∴得=,()∵,∴所求=故答案为.【点睛】本题考查了二倍角的三角函数公式与同角三角函数基本关系的应用,考查了弦化切的方法,属于中档题.7.已知,,则__________.【答案】【解析】分析:先根据条件解出再根据两角和正弦公式化简求结果.详解:因为,,所以,因此点睛:三角函数求值的三种类型(1)给角求值:关键是正确选用公式,以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.(2)给值求值:关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.①一般可以适当变换已知式,求得另外函数式的值,以备应用;②变换待求式,便于将已知式求得的函数值代入,从而达到解题的目的.(3)给值求角:实质是转化为“给值求值”,先求角的某一函数值,再求角的范围,确定角.8.已知,且是关于的方程的两个根中较小的根,则的值为____________.【答案】【解析】【分析】由方程的两根之积为1和较小根为tanα得到方程较大的根为即cotα,然后根据两根之和等于﹣2secα列出等式,利用同角三角函数间的基本关系化简得到sinα的值,根据正弦函数的周期和特殊角的三角函数值求出α的值,代入到两根之中检验得到符合题意的值.【详解】∵tan是方程x2+2x sec+1=0的较小根,且两根之积为1,∴方程的较大根是cot.∴tan+cot=﹣2sec,即,且tan<cot,∴.又,解得或,又tan<cot,∴,故答案为.【点睛】本题考查了韦达定理的应用,考查了利用同角三角函数间的基本关系化简求值,易错点是容易忽视的范围及条件而导致没有取舍,属于中档题.9.在中,已知.则______.【答案】【解析】【详解】由三角万能公式得.解得或.又由、、为的三个内角知,,.故.因此,.10.在中,,则____________.【答案】【解析】【分析】根据余弦定理化简,得到;由题意,在BC上取D,使得BD=AD,连接AD,找出A﹣B,设BD=x,在△ADC中两次利用余弦定理将cos(A﹣B)及cos C表示出,分别求出x建立关于a,b 的方程,化简变形后利用整体换元求出答案.【详解】由题意知,4cos C,∴由余弦定理得,4,化简可得=2,则,又中不妨设a>b,∴A>B.在BC上取D,使得BD=AD,连接AD,设BD=x,则AD=x,DC=a﹣x,AC=b,在△ADC中,cos∠DAC=cos(A﹣B),由余弦定理得:(a﹣x)2=x2+b2﹣2x•b•,即:(b﹣6a)x=,解得:x=.①又在△ADC中,由余弦定理还可得cos C,∴cos C,化简得x=,②由①②可得,又=2,联立可得=,即=,两边同时除以,得=+6,令,则12,解得t=或,又由题意,∴t=cos C=,故答案为:.【点睛】本题主要考查余弦定理的应用,考查了运算化简的技巧,考查利用几何图形解决问题的能力,属于难题.二、选择题(每小题4分,共16分)11.若角和角的终边关于轴对称,则下列等式恒成立的是()A. B. C. D. .【答案】A【解析】由角和角的终边关于轴对称得 ,所以, , ,.选A.12.“”是“”的()A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既不充分亦不必要条件【答案】D【解析】【分析】根据两角和的正切公式,利用充分条件和必要条件的定义进行判断.【详解】由(1+tanα)(1+tanβ)=2得1+tanα+tanβ+tanαtanβ=2,即tanα+tanβ=1﹣tanαtanβ,∴1,∴.(k,不一定有“”;反之,“”不一定有“”,如=,,此时无意义;∴“”是“”的既不充分亦不必要条件.故选D.【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判定,考查了两角和的正切公式,举反例说明命题不成立是解决此类题的常用方法,属于基础题.13.已知中,且,,则是()A. 正三角形B. 直角三角形C. 正三角形或直角三角形D. 直角三角形或等腰三角形【答案】C【解析】【分析】由tan A+tan B tan A tan B,推导出C=60°,由,推导出A=60°或90°,从而得到△ABC 的形状.【详解】∵tan A+tan B tan A tan B,即tan A+tan B(1﹣tan A tan B),∴tan(A+B),又A与B都为三角形的内角,∴A+B=120°,即C=60°,∵,∴,∴2B=60°或120°,则A=90°或60°∴△ABC为直角三角形或等边三角形.故选:C.【点睛】本题考查三角形形状的判断,是中档题,解题时要认真审题,注意两角和与差的正切函数及二倍角正弦公式的合理运用.14.设且则()A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析:由已知得,,去分母得,,所以,又因为,,所以,即,选考点:同角间的三角函数关系,两角和与差的正弦公式.【此处有视频,请去附件查看】三、解答题:15.如图,点是单位圆上的两点,点是圆与轴的正半轴的交点,将锐角的终边按逆时针方向旋转到.(1)若点的坐标为,求的值;(2)用表示,并求的取值范围.【答案】(1);(2).【解析】【分析】(1)由已知利用任意角的三角函数的定义可得,cos和sin的值,再利用二倍角公式求得sin2和cos2的值,可得的值.(2)由题意可得,|OC|=|OB|=1,∠COB=,由余弦定理可得的解析式.根据∈(0,),利用余弦函数的定义域和值域求得|BC|的范围.【详解】(1)由已知,,∴,∴;(2)由单位圆可知:,由余弦定理得:,∵,∴,∴,∴,∴.【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义,考查了二倍角公式及余弦定理的应用,考查了余弦函数求值域的问题,属于中档题.16.在中,已知.(1)求周长的最大值;(2)若,求的面积.【答案】(1)6;(2).【解析】【分析】(1)由余弦定理及已知条件可得:,利用基本不等式解得,从而可求周长的最大值.(2)由已知及三角函数恒等变换的应用化简可得,分类讨论分别求出a,b的值,利用三角形面积公式即可计算得解.【详解】(1)由余弦定理,得,于是得,当且仅当时,等号成立,∴,即周长的最大值为6;(2),⇒,或,①时,,此时,②时,由正弦定理,知,∵,∴,综上,的面积为.【点睛】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用,三角形面积公式,余弦定理,基本不等式在解三角形中的综合应用,考查了分类讨论思想和转化思想的应用,属于中档题.17.(1)如图,点在线段上,直线外一点对线段的张角分别为,即.求证:.(2)在中,,其中,试用表示线段的长.【答案】(1)证明见解析;(2).【解析】【分析】(1)利用三角形的面积公式将表示出来,化简整理可得结论;(2)选用三角形的面积公式:可得,再利用正弦定理表示出整理可得BC. 【详解】(1)等式两边同除,即得;(2)∵,∴.【点睛】本题考查了三角形面积公式的应用,灵活选择三角形面积公式是解决本题的关键,属于基础题. 18.如图,边长为1的正方形中,分别为边上的点,且的周长为2.(1)求线段长度的最小值;(2)试探究是否为定值,若是,给出这个定值;若不是,说明理由.【答案】(1);(2).【解析】【分析】(1)根据△CPQ周长为2,并且△CPQ是直角三角形,设∠CPQ=θ,根据三角函数的定义,CP=PQ cosθ,CQ=PQ sinθ,因此可以表示出,求该函数的最小值即可;(2)利用解析法求解:分别以AB,AD所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系,设Q(x,1),P(1,y),利用两点间距离公式求出PQ,根据△CPQ周长为2,找出x,y的关系,求出∠PAQ的正切值,即可求得结果.【详解】(1)设∠CPQ=θ,则CP=PQ cosθ,CQ=PQ sinθ()∴∴(2)分别以AB,AD所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系,设Q(x,1),P(1,y),设∠DAQ=,∠PAB=∴,即xy+(x+y)=1又tan=x,tan=y∴,∴∴【点睛】本题考查三角函数的应用,特别求角的问题,转化为求角的某个三角函数值,体现了用数研究形的数学思想,考查运算能力和分析解决问题的能力,属于中档题.。

上海市华东师范大学第二附属中学2018_2019学年高一数学下学期3月阶段测试题(含解析)

上海市华东师范大学第二附属中学2018_2019学年高一数学下学期3月阶段测试题(含解析)

上海市华东师范大学第二附属中学2018-2019学年高一数学下学期3月阶段测试题(含解析)一、填空题(每小题4分,共40分)1.已知点在角的终边上,且,则______________.【答案】【解析】【分析】利用三角函数的定义可求得sinα与cosα,利用诱导公式化简,则可得结果.【详解】因为,则r13a,∴sinα,cosα,又,故答案为.【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义,涉及诱导公式及同角基本关系式的应用,属于基础题.2.求值:______________.【答案】1【解析】【分析】先利用同角基本关系将原式切化弦,再利用两角和的正弦公式,结合二倍角的正弦公式化简分子,进而再利用诱导公式变形,约分后即可得到结果.【详解】因为=•)=•=•=•=1.故答案为:1.【点睛】本题考查了三角函数的化简求值问题,考查了两角和的正弦公式、同角三角函数间的基本关系,以及诱导公式的运用,熟练掌握公式是解本题的关键.3.已知,则的值为_______________.【答案】【解析】【分析】由下向上依次运算,1﹣csc2x=﹣cot2x,11+tan2x,11﹣cos2x.【详解】原式代入得.故答案为.【点睛】本题考查了化简求值问题,考查了同角三角函数的基本关系及二倍角的余弦公式的应用,属于中档题.4.已知锐角是钝角的两个内角,且的终边过点,则是第______象限角.【答案】二【解析】【分析】由题意得,利用正弦函数的单调性及诱导公式可得结果.【详解】若△ABC为钝角三角形且为锐角,则,因此,则sin<sin()=cos,同理可得sin<sin()=cos,所以,,故P在第二象限,故答案为:二.【点睛】本题考查了三角形内角的关系,考查了正弦函数单调性的应用,考查了诱导公式的应用,属于中档题.5.在中,已知,给出以下四个论断:①②③④,其中正确的是 .【答案】②④【解析】试题分析:因为,整理得,所以不正确,,,,所以②正确,,③错,,,,故④正确,故答案为②④.考点:1、三角形内角和定理及诱导公式;2、两角和的正弦公式及同角三角函数之间的关系. 【方法点晴】本题通过对多个命题真假的判断考察三角函数的有界性、三角形内角和定理、诱导公式、两角和的正弦公式、同角三角函数关系以及数学化归思想,属于难题.该题型往往出现在在填空题最后两题,综合性较强,同学们往往因为某一点知识掌握不牢就导致本题“全盘皆输”,解答这类问题首先不能慌乱更不能因贪快而审题不清,其次先从最有把握的命题入手,最后集中力量攻坚最不好理解的命题.6.已知,则____________.【答案】【解析】【分析】利用二倍角的三角函数公式,结合弦化切化简得,由,直接得出结果.【详解】∵分子、分母都除以cos2θ,∴得=,()∵,∴所求=故答案为.【点睛】本题考查了二倍角的三角函数公式与同角三角函数基本关系的应用,考查了弦化切的方法,属于中档题.7.已知,,则__________.【答案】【解析】分析:先根据条件解出再根据两角和正弦公式化简求结果.详解:因为,,所以,因此点睛:三角函数求值的三种类型(1)给角求值:关键是正确选用公式,以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.(2)给值求值:关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.①一般可以适当变换已知式,求得另外函数式的值,以备应用;②变换待求式,便于将已知式求得的函数值代入,从而达到解题的目的.(3)给值求角:实质是转化为“给值求值”,先求角的某一函数值,再求角的范围,确定角.8.已知,且是关于的方程的两个根中较小的根,则的值为____________.【答案】【解析】【分析】由方程的两根之积为1和较小根为tanα得到方程较大的根为即cotα,然后根据两根之和等于﹣2secα列出等式,利用同角三角函数间的基本关系化简得到sinα的值,根据正弦函数的周期和特殊角的三角函数值求出α的值,代入到两根之中检验得到符合题意的值.【详解】∵tan是方程x2+2x sec+1=0的较小根,且两根之积为1,∴方程的较大根是cot.∴tan+cot=﹣2sec,即,且tan<cot,∴.又,解得或,又tan<cot,∴,故答案为.【点睛】本题考查了韦达定理的应用,考查了利用同角三角函数间的基本关系化简求值,易错点是容易忽视的范围及条件而导致没有取舍,属于中档题.9.在中,已知.则______.【答案】【解析】【详解】由三角万能公式得.解得或.又由、、为的三个内角知,,.故.因此,.10.在中,,则____________.【答案】【解析】【分析】根据余弦定理化简,得到;由题意,在BC上取D,使得BD=AD,连接AD,找出A﹣B,设BD=x,在△ADC中两次利用余弦定理将cos(A﹣B)及cos C表示出,分别求出x建立关于a,b的方程,化简变形后利用整体换元求出答案.【详解】由题意知,4cos C,∴由余弦定理得,4,化简可得=2,则,又中不妨设a>b,∴A>B.在BC上取D,使得BD=AD,连接AD,设BD=x,则AD=x,DC=a﹣x,AC=b,在△ADC中,cos∠DAC=cos(A﹣B),由余弦定理得:(a﹣x)2=x2+b2﹣2x•b•,即:(b﹣6a)x=,解得:x=.①又在△ADC中,由余弦定理还可得cos C,∴cos C,化简得x=,②由①②可得,又=2,联立可得=,即=,两边同时除以,得=+6,令,则12,解得t=或,又由题意,∴t=cos C=,故答案为:.【点睛】本题主要考查余弦定理的应用,考查了运算化简的技巧,考查利用几何图形解决问题的能力,属于难题.二、选择题(每小题4分,共16分)11.若角和角的终边关于轴对称,则下列等式恒成立的是()A. B. C. D..【答案】A【解析】由角和角的终边关于轴对称得 ,所以,, , .选A.12.“”是“”的()A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既不充分亦不必要条件【答案】D【解析】【分析】根据两角和的正切公式,利用充分条件和必要条件的定义进行判断.【详解】由(1+tanα)(1+tanβ)=2得1+tanα+tanβ+tanαtanβ=2,即tanα+tanβ=1﹣tanαtanβ,∴1,∴.(k,不一定有“”;反之,“”不一定有“”,如=,,此时无意义;∴“”是“”的既不充分亦不必要条件.故选D.【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判定,考查了两角和的正切公式,举反例说明命题不成立是解决此类题的常用方法,属于基础题.13.已知中,且,,则是()A. 正三角形B. 直角三角形C. 正三角形或直角三角形D. 直角三角形或等腰三角形【答案】A【解析】【分析】由tan A+tan B tan A tan B,推导出C=60°,由,推导出A=60°或90°,从而得到△ABC的形状.【详解】∵tan A+tan B tan A tan B,即tan A+tan B(1﹣tan A tan B),∴tan(A+B),又A与B都为三角形的内角,∴A+B=120°,即C=60°,∵,∴,∴2B=60°或120°,则A=90°或60°.由题意知∴△ABC等边三角形.故选:A.【点睛】本题考查三角形形状的判断,是中档题,解题时要认真审题,注意两角和与差的正切函数及二倍角正弦公式的合理运用.14.设且则()A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析:由已知得,,去分母得,,所以,又因为,,所以,即,选考点:同角间的三角函数关系,两角和与差的正弦公式.三、解答题:15.如图,点是单位圆上的两点,点是圆与轴的正半轴的交点,将锐角的终边按逆时针方向旋转到.(1)若点的坐标为,求的值;(2)用表示,并求的取值范围.【答案】(1);(2).【解析】【分析】(1)由已知利用任意角的三角函数的定义可得,cos和sin的值,再利用二倍角公式求得sin2和cos2的值,可得的值.(2)由题意可得,|OC|=|OB|=1,∠COB=,由余弦定理可得的解析式.根据∈(0,),利用余弦函数的定义域和值域求得|BC|的范围.【详解】(1)由已知,,∴,∴;(2)由单位圆可知:,由余弦定理得:,∵,∴,∴,∴,∴.【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义,考查了二倍角公式及余弦定理的应用,考查了余弦函数求值域的问题,属于中档题.16.在中,已知.(1)求周长的最大值;(2)若,求的面积.【答案】(1)6;(2).【解析】【分析】(1)由余弦定理及已知条件可得:,利用基本不等式解得,从而可求周长的最大值.(2)由已知及三角函数恒等变换的应用化简可得,分类讨论分别求出a,b的值,利用三角形面积公式即可计算得解.【详解】(1)由余弦定理,得,于是得,当且仅当时,等号成立,∴,即周长的最大值为6;(2),⇒,或,①时,,此时,②时,由正弦定理,知,∵,∴,综上,的面积为.【点睛】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用,三角形面积公式,余弦定理,基本不等式在解三角形中的综合应用,考查了分类讨论思想和转化思想的应用,属于中档题.17.(1)如图,点在线段上,直线外一点对线段的张角分别为,即.求证:.(2)在中,为线段上一点,,其中,试用表示线段的长.【答案】(1)证明见解析;(2).【解析】【分析】(1)利用三角形的面积公式将表示出来,化简整理可得结论;(2)选用三角形的面积公式:可得,再利用正弦定理表示出整理可得BC.【详解】(1)等式两边同除,即得;(2)∵,∴.【点睛】本题考查了三角形面积公式的应用,灵活选择三角形面积公式是解决本题的关键,属于基础题.18.如图,边长为1的正方形中,分别为边上的点,且的周长为2.(1)求线段长度的最小值;(2)试探究是否为定值,若是,给出这个定值;若不是,说明理由.【答案】(1);(2).【解析】【分析】(1)根据△CPQ周长为2,并且△CPQ是直角三角形,设∠CPQ=θ,根据三角函数的定义,CP=PQ cosθ,CQ=PQ sinθ,因此可以表示出,求该函数的最小值即可;(2)利用解析法求解:分别以AB,AD所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系,设Q(x,1),P(1,y),利用两点间距离公式求出PQ,根据△CPQ周长为2,找出x,y的关系,求出∠PAQ的正切值,即可求得结果.【详解】(1)设∠CPQ=θ,则CP=PQ cosθ,CQ=PQ sinθ()∴∴(2)分别以AB,AD所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系,设Q(x,1),P(1,y),设∠DAQ=,∠PAB=∴,即xy+(x+y)=1又tan=x,tan=y∴,∴∴【点睛】本题考查三角函数的应用,特别求角的问题,转化为求角的某个三角函数值,体现了用数研究形的数学思想,考查运算能力和分析解决问题的能力,属于中档题.。

上海市华东师范大学二附中20182019学年高一下学期数学阶段测试题.docx

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华东师范大学二附中2021届高一下学期数学3月阶段测试一、填空题(每小题4分,共40分)1.已知点()5,12P a a - 在角α的终边上,且0a >,则3sec 2πα⎛⎫+=⎪⎝⎭____________________. 2.求值:()00sin 50180=_________________________. 3.已知1312x π=-,则2111111csc x---的值为_______________. 4.已知锐角,αβ是钝角ABC ∆的两个内角,且θ的终边过点()sin cos ,cos sin P βαβα--,则θ是第______象限角.5.已知ABC ∆中,tan sin 2A B C +=,给出以下四个结论,其中正确结论的序号是______________. ①tan cot 1A B =g;②0sin sin A B <+≤③22sin cos 1A B +=;④222cos cos sin A B C +=6.已知1tan 20191tan θθ-=+,则sec2tan 2θθ+=_________________. 7.已知sin sin 1αβ+=,cos cos 0αβ+=,则()sin αβ+的值为_____________________.8.已知(),αππ∈-,且tan α是关于x 的方程22sec 10x x α++=的两个根中较小的根,则α的值为___________________________.9.在ABC ∆中,cos cos 15sin sin 3A B A B +=,则tan tan 22A B =g __________________. 10.在ABC ∆中,()14cos ,cos 6b a C A B a b +=-=,则cos C =_______________. 二、选择题(每小题4分,共16分)11.若角α与角β的终边关于y 轴对称,则下列等式恒成立的是( )A . sin sin αβ=B . cos cos αβ=C . tan tan αβ=D . cot cot αβ=12.“4παβ+=”是“()()1tan 1tan 2αβ++=”的( )A .充分非必要条件B . 必要非充分条件C . 充要条件D .既不充分亦不必要条件13.已知ABC ∆中,tan tan tan A B A B ++=且,sin cos B B =ABC ∆是( ) A . 正三角形 B . 直角三角形 C . 正三角形或直角三角形 D . 直角三角形或等腰三角形14.设0,,0,22ππαβ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,且1sin tan cos βαβ+,则( ) A . 32παβ-= B . 32παβ+= C . 22παβ-= D . 22παβ+=三、解答题(10+10+12+12=44)15.如图,点A B 、是单位圆O 上的两点,点C 是圆O 与x 轴的正半轴的交点,将锐角α的终边OA 按逆时针方向旋转3π到OB . (1)若点A 的坐标为34,55⎛⎫ ⎪⎝⎭,求1sin 21cos 2αα++的值; (2)用α表示BC ,并求BC 的取值范围.16.在ABC ∆中,已知2,3c C π==.(1)求ABC ∆周长的最大值;(2)若()2sin 2A sin 2sin B C C ++=,求ABC ∆的面积.17.(1)如图,点P 在线段AB 上,直线AB 外一点O 对线段,AP BP 的张角分别为,αβ,即,AOP BOP αβ∠=∠=.求证:()sin sin sin OP OB OAαβαβ+=+. (2)在ABC ∆中,,,,AB c DC kAD DBA DBC αβ==∠=∠=,其中0k >,试用,,,c k αβ表示线段BC 的长.18.如图,边长为1的正方形ABCD 中,,P Q 分别为边,BC CD 上的点,且PCQ ∆的周长为2.(1)求线段PQ 长度的最小值;(2)试探究PAQ ∠是否为定值,若是,给出这个定值;若不是,说明理由.参考答案一、填空题1. 1312- 2. 1 3. 83+4.二 5.②④ 6. 12019 7. 0 8. 56π- 9. 1310. 23二、选择题11. A 12. D 13. C 14. C三、解答题15.(1)由已知,34cos ,sin 55αα==, ∴22247sin 22sin cos ,cos 2cos sin 2525αααααα===-=-, ∴2411sin 2492571cos 218125αα++==+⎛⎫+- ⎪⎝⎭;(2)由单位圆可知:1,3OC OB COB πα==∠=+,由余弦定理得:2222cos 112cos 22cos 33BC OC OB OC OB COB ππαα⎛⎫⎛⎫=+-∠=+-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, ∵0,3πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,∴5,336πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭,∴31cos 32πα⎛⎫⎛⎫+∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, ∴(21,23BC ∈+,∴62BC ⎛+∈ ⎝⎭.16.(1)由余弦定理,得()()()222222222cos 334a b c a b ab C a b ab a b ab a b +=+-=+-=+-≥+-g ,于是得4a b +≤,当且仅当2a b ==时,等号成立,∴6ABC C a b c ∆=++≤,即ABC ∆周长的最大值为6;(2)()2sin 2sin 2sin A B C C ++=()()()2sin 2sin sin 2sin 2A 2cos sin 0A B C B B C B B C B ⇒+++-+-=++=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 2sin cos cos sin 0cos 0A A A B A ⇒-=⇒=或sin 2sin B A =, ①cos 0A =时,2A π=,此时123,23ABC b S bc ∆===, ②sin 2sin B A =时,由正弦定理,知2b a =,∵222234c a b ab a =+-==,∴2343123,b ,sin 2ABC a S ab C ∆====, 综上,ABC ∆的面积为23. 17.(1)()111sin sin sin 222AOB AOP BOP S S S OA OB OA OP OB OP αβαβ∆∆∆=+⇒+=+g g g g g g 等式两边同除12OA OB OP g g ,即得()sin sin sin OP OB OA αβαβ+=+; (2)∵DC kAD =,∴1sin 1sin 21sin sin 2ABDABDAB BD S ck BC S k BC BD ααββ∆∆==⇒=g g g g . 18.(1)设,0,2CQP πθθ⎛⎫∠=∈ ⎪⎝⎭,则sin ,CQ PQcos CP PQ θθ== sin cos 2PCQ C PQ CP CQ PQ PQ PQ θθ∆=++=++=,∴222221sin cos 12124PQ πθθθ==≥=++⎛⎫+++ ⎪⎝⎭; (2)PAQ ∠为定值4π, 设,DAQ BAP αβ∠=∠=,其中,,0,2παβαβ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭,则1tan 11DQ CQ CQ DA α-===-,类似tan 1CP β=-, ∴()()()tan tan 22tan 1tan tan 111CP CQ CP CQ CQ CP CP CQ CP CQ αβαβαβ+----+===----+-g 21sin cos sin cos sin cos PQsin cos PQ PQ PQ PQ θθθθθθθθ==+-+- ()()11sin cos 2sin cos 1sin cos 2sin cos sin cos sin cos 1sin cos θθθθθθθθθθθθθθ++==+++-+-++ ()21sin cos 1sin cos 112sin cos sin cos 2sin cos sin cos sin cos 2sin cos θθθθθθθθθθθθθθθθ++++===+++-+++-, ∴4παβ+=,∴()24PAQ ππαβ∠=-+=.。

2018-2019学年上海市复大附中高一(下)期中数学试卷-学生版(无水印)

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2018-2019学年上海市复大附中高一(下)期中数学试卷一、填空题1.(3分)已知1690α=︒,(2,0)θπ∈-,若角θ与α的终边相同,则θ=.2.(3分)已知函数()tan()(0)4f x ax a π=+>的最小正周期为2π,则a =.3.(3分)已知半径为r 的扇形,它的周长等于弧所在半圆的弧长,则扇形的圆心角的弧度数为.4.(3分)已知α是第三象限的角,则sin(cos )cos(sin )αα 的符号是号(填正或负).5.(3分)角α终边上有点(P x ,5)(0)x <,且cos 13xα=,则cot α=.6.(3分)若(tan )cos 2f x x =,则f (2)=.7.(3分)已知函数()2sin(0)4f x x πωω=+>,且[0,]4π是其单调区间,则ω的取值范围是8.(3分)已知1cos()cos()638ππαα+-=- ,(,)32ππα∈,sin 2α=.9.(3分)张老师整理旧资料时发现一题部分字迹模糊不清,只能看到:在ABC ∆中,a ,b ,c 分别是角是A ,B ,C的对边,已知b =45A ∠=︒,求边c ,显然缺少条件,若他打算补充a 的大小,并使得c 有两解,那么a 的取值范围是.10.(3分)函数1cos ()sin xf x x-=的值域.11.(3分)如图为了立一块广告牌,要制造一个三角形的支架三角形支架形状如图,要求60ACB ∠=︒,BC 的长度大于1米,且AC 比AB 长0.5米,为了广告牌稳固,要求AC 的长度越短越好,则AC 最短为米.12.(3分)设()f x 是定义在R 上的周期为4的函数,且2sin 201()2log 14x x f x x x π⎧=⎨<<⎩ ,记()()g x f x a =-,若函数()g x 在区间[4-,5]上零点的个数是8个,则a 的取值范围是.二、选择题13.(3分)在ABC ∆中,“1sin 2A =”是“6A π=”的()A .充分非必要条件B .必要非充分条件C .充要条件D .既非充分又非必要条件14.(3分)设函数()sin(2)3f x x π=-的图象为C ,下面结论中正确的是()A .函数()f x 的最小正周期是2πB .图象C 关于点(,0)6π对称C .图象C 可由函数()sin 2g x x =的图象向右平移3π个单位得到D .函数()f x 在区间(,)122ππ-上是增函数15.(3分)设函数()x x x f x a b c =+-,其中0c a >>,0c b >>.若a 、b 、c 是ABC ∆的三条边长,则下列结论中正确的个数是()①对于一切(,1)x ∈-∞都有()0f x >;②存在0x >使x xa ,x b ,x c 不能构成一个三角形的三边长;③若ABC ∆为钝角三角形,则存在(1,2)x ∈,使()0f x =.A .3个B .2个C .1个D .0个16.(3分)若函数222(1)sin ()1x xf x x ++=+的最大值和最小值分别为M 、m ,则函数()()sin[()]3g x M m x M m x π=+++-图象的对称中心不可能是()A .4(,)33ππB .(,)123ππC .28(,33ππD .416(,)33ππ三、解答题17.已知函数()2cos 2f x x x =+.(1)求()y f x =的单调增区间;(2)当[,]63x ππ∈-时,求()f x 的最大值和最小值.18.在ABC ∆中,已知22sin cos 212A BC ++=,外接圆半径2R =.(1)求角C ;(2)求ABC ∆面积的最大值.19.已知函数()cos()(0,0,)22f x A x A ππωϕωϕ=+>>-<<的图象与y 轴的交点为(0,1),它在y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为0(x ,2)和0(2x π+,2)-.(1)求函数()f x 的解析式;(2)将函数()y f x =的图象向左平移((0,2))a a π∈个单位后,得到的函数()y g x =是奇函数,求a 的值.20.如图,制图工程师要用两个同中心的边长均为4的正方形合成一个八角形图形,由对称性,图中8个三角形都是全等的三角形,设11AA H α∠=.(1)用α表示线段1AH ;(2)设1AH x =,sin y α=,求y 关于x 的函数解析式;(3)求八角形所覆盖面积S 的最大值,并指出此时α的大小.21.已知()f x 是定义在[a ,]b 上的函数,如果存在常数0M >,对区间[a ,]b 的任意划分:011n n a x x x x b -=<<⋯<<=,和式11|()()|ni i i f x f x M -=-∑ 恒成立,则称()f x 为[a ,]b 上的“绝对差有界函数”,注:121ni n i a a a a ==++⋯+∑;(1)证明函数()sin cos f x x x =+在[,0]2π-上是“绝对差有界函数”;(2)记集合{()|A f x =存在常数0k >,对任意的1x ,2[x a ∈,]b ,有1212|()()|||f x f x k x x -- 成立},证明集合A 中的任意函数()f x 均为“绝对差有届函数”;当[a ,][1b =,2]时,判断()g x =是否在集合A 中,如果在,请证明并求k 的最小值,如果不在,请说明理由;(3)证明函数cos01()20x x f x xx π⎧<⎪=⎨⎪=⎩ 不是[0,1]上的“绝对差有界函数.。

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2018-2019学年上海市华东师范大学第二附属中学高一下期中考试数学试题一、单选题1.如果α是第三象限的角,那么3α必然不是下列哪个象限的角( )A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限【答案】B【解析】先写出角α的范围,再除以3,从而求出3α角的范围,看出是第几象限角.【详解】α是第三象限的角,则32,22k k παπππ⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭,k Z ∈,所以22,33332k k αππππ⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭,k Z ∈; 所以3α可以是第一、第三、或第四象限角. 故选:B . 【点睛】本题考查了角的范围与象限角的判断问题,是基础题. 2.函数11arcsin 3,233y x x π⎛⎫⎡⎤=+∈- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的反函数是( ) A .1sin ([0,])3y x x π=∈ B .1cos ([0,])3y x x π=∈ C .1sin ([0,])3y x x π=-∈D .1cos ([0,])3y x x π=-∈【答案】D【解析】根据反三角函数的定义即可求出 【详解】 函数11arcsin 3,233y x x π⎛⎫⎡⎤=+∈- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的反函数是1cos 3y x =-,[0,]x π∈, 故选:D . 【点睛】本题主要考查反正弦函数的定义和性质,熟记反三角的定义是关键,属于基础题.3.在ABC ∆中,三个内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .已知2cos a B c =,且满足21sin sin (2cos )sin22C A B C -=+,则ABC ∆为( ) A .锐角非等边三角形 B .等边三角形 C .等腰直角三角形D .钝角三角形【答案】C【解析】已知第一个等式利用正弦定理化简,再利用诱导公式及内角和定理表示,根据两角和与差的正弦函数公式化简,得到A B =,第二个等式左边前两个因式利用积化和差公式变形,右边利用二倍角的余弦函数公式化简,将A B C +=,0A B -=代入计算求出cos C 的值为0,进而确定出C 为直角,即可确定出三角形形状. 【详解】将已知等式2cos a B c =,利用正弦定理化简得: 2sin cos sin A B C = ,sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+,2sin cos sin cos cos sin A B A B A B ∴=+,即sin cos cos sin sin()0A B A B A B -=-=,A 与B 都为ABC ∆的内角,0A B ∴-=,即A B =,已知第二个等式变形得:sin sin (2cos )A B C -=11(1cos )22C -+=11cos 2C -, 1[cos()cos 2A B -+-()](2cos )1A B C --=1cos 2C -, 1(cos 1)2C ∴---1(2cos )1cos 2C C -=-,即(cos 1)(2cos )C C +-=2cos C -,整理得:2cos 2cos 0C C -=,即cos cos (2)0C C -=, cos 0C =或cos 2C =(舍去), 90C ∴=︒,则ABC ∆为等腰直角三角形. 故选:C . 【点睛】此题考查了正弦定理,两角和与差的正弦函数公式,积化和差公式,二倍角的余弦函数公式,熟练掌握正弦定理是解本题的关键,属于中档题.4.已知函数()()3f x cos x ϕ=+满足()(1)f x f ≤恒成立,则( ) A .函数()1f x -一定是奇函数B .函数()1f x +一定是奇函数C .函数()1f x -一定是偶函数D .函数()1f x +一定是偶函数【答案】D【解析】由三角函数图象的性质得:函数()cos(3)f x x ϕ=+满足()(1)f x f ≤恒成立,得函数()f x 的图象关于直线1x =对称,即函数(1)f x +一定为偶函数,得解. 【详解】由函数()cos(3)f x x ϕ=+满足()(1)f x f ≤恒成立, 得函数()f x 的图象关于直线1x =对称, 即函数(1)f x +一定为偶函数, 故选:D . 【点睛】本题考查了三角函数图象的性质及函数图象的平移,熟记性质是关键,属中档题.二、填空题5.2019︒是第______象限. 【答案】三【解析】根据终边相同的角化为360k α⋅︒+,k Z ∈,0360α︒︒≤< 即可. 【详解】20193605219︒=︒⨯+︒,是第三象限角.故答案为:三. 【点睛】本题考查了终边相同的角的定义与应用问题,是基础题. 6.已知角α的终边经过点(2,3)P -,则sin α=______【答案】13-【解析】由题意利用任意角的三角函数的定义,求得sin α的值. 【详解】角α的终边经过点(2,3)P -,则2x =,3y =-,r OP ==,y sin r α∴==,故答案为:13-. 【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义,属于基础题. 7.已知tan 2α=,则3sin cos 5sin 2cos αααα+=+______.【答案】712【解析】直接利用同角三角函数基本关系式化简所求的表达式为正切函数的形式,代入求解即可. 【详解】tan 2α=,则3sin cos 3tan 15sin 2cos 5tan 2αααααα++=++321752212⨯+==⨯+.故答案为:712【点睛】本题考查同角三角函数基本关系式以及三角函数化简求值,考查计算能力.8.函数y =______.【答案】2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦,k Z ∈【解析】根据函数y =cos 0x ≥,再结合余弦函数的图象,求得x 的范围. 【详解】根据函数y =cos 0x ≥,可得2222k x k ππππ-≤≤+()k ∈Z ,故函数的定义域为2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦,k Z ∈, 故答案为:2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦,k Z ∈.【点睛】本题主要考查余弦函数的图象的特征,解三角不等式,属于基础题. 9.已知1cos()3πα-=,3,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则cot 2πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭______.【答案】-【解析】由已知求得cos α,进一步得到tan α,再由诱导公式求cot 2πα⎛⎫- ⎪⎝⎭.【详解】由1cos()3πα-=,3,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,得1cos 3α-=,即1cos 3α=-,sin 3α∴=-,则sin tan cos ααα==cot cot tan 22ππααα⎛⎫⎛⎫∴-=--=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为:-. 【点睛】本题考查三角函数的化简求值,考查诱导公式及同角三角函数基本关系式的应用,是基础题.10.已知4sin 5α=,α在第二象限,则tan 2α=______.【答案】2【解析】根据同角三角函数关系以及三角函数的倍角公式进行化简即可. 【详解】 若4sin 5α=,α在第二象限, 3cos 5α∴=-,则2sin 2sincos222tan2cos2cos 22αααααα==4sin 5231cos 15αα===+-,故答案为:2 【点睛】本题主要考查三角函数的化简和求值,利用同角三角函数关系以及三角函数倍角公式是解决本题的关键.11.方程5sin 42cos2x x =+的解集为______. 【答案】3{|arcsin2,4x x k π=+或3arcsin 2,}4x k k Z ππ=-+∈ 【解析】方程化为关于sin x 的一元二次方程,求出sin x 的值,再写出方程的解集.【详解】方程5sin 42cos2x x =+可化为2(5sin 4212si )n x x =+-, 即24sin 5sin 60x x +-=, 解得3sin 4x =,或sin 2x =-(不合题意,舍去); 所以该方程的解集为33|arcsin2,arcsin 2,44x x k x k k Z πππ⎧⎫=+=-+∈⎨⎬⎩⎭或. 故答案为:33|arcsin 2,arcsin 2,44x x k x k k Z πππ⎧⎫=+=-+∈⎨⎬⎩⎭或. 【点睛】本题考查了三角函数方程的求解与应用问题,是基础题. 12.已知2sin sin 4παα⎛⎫=- ⎪⎝⎭,则tan 8πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭______.【答案】3-【解析】由已知等式求得tan α,展开二倍角的正切求得tan 8π,再由两角差的正切求解. 【详解】由2sin sin 4παα⎛⎫=- ⎪⎝⎭,得2sin cos 22ααα=-,4cos 22αα∴=-,则1tan 7α=-. 由22tan8tan141tan 8πππ==-,解得tan 18π=-tan 18π=-+.tan tan8tan 81tan tan 8παπαπα-⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭+(1--=3=-故答案为:3-. 【点睛】本题考查三角函数的化简求值,考查两角和与差的三角函数,考查计算能力,是中档题.13.将函数sin 2y x =的图象先沿x 轴向左平移6π个单位,再将所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)后得到函数()y f x =图象,对于函数()y f x =有以下四个判断:①该函数的解析式为sin 6y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭; ②该函数图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称; ③该函数在0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数;④若函数()y f x a =+在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为1,则12a =. 其中正确判断的序号是______(写出所有正确判断的序号). 【答案】③④【解析】运用三角函数图象的平移变化及三角函数的性质可解决此问题. 【详解】根据题意知,()sin 3f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭,令3x π=则,02y =≠ ∴①②错误;对③,由函数的单调性知正确; 对④,当2x π=时,f (x )最小为111,22a a +=∴= ,正确; 故答案为③④. 【点睛】本题考查图象的变换及三角函数的性质的简单应用,考查推理求解能力,准确计算是关键,是中档题14.已知ABC ∆中,2227sin 3sin 2sin 2sin sin sin B C A A B C +=+,则cos 4A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭______.【答案】 【解析】由已知结合正弦定理可得:2227322sin b c a bc A +=+,由余弦定理可得:2222cos a b c bc A =+-,化为:2225(sin 2cos )b c A A bc+-=5b cc b =+≥=,进一步得到in 1()s A θ-≥,又in 1()s A θ-≤,可得in 1()s A θ-=.得到22A k πθπ=++,*k N ∈.求出sin 4A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭,再由诱导公式得答案.【详解】2227sin 3sin 2sin 2sin sin sin B C A A B C +=+,由正弦定理可得:2227322sin b c a bc A +=+,222732sin 2b c bc Aa +-∴=,又2222cos a b c bc A =+-, 2222732sin 2cos 2b c bc A b c bc A +-∴=+-,化为:2252(sin 2cos )b c A A bc+-=5b cc b =+≥=c =时取等号.即)A θ-≥tan 2θ=,sinθ=cos θ=即in 1()s A θ-≥,又in 1()s A θ-≤,)sin(1A θ∴-=.22A k πθπ∴-=+,即22A k πθπ=++,*k N ∈.sin sin 2cos 4424A k ππππθπθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=+++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭(cos sin )2210θθ=-=⨯=-.cos cos sin 44410A A A πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-=-=+=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故答案为:10-.【点睛】本题考查了正弦定理余弦定理、基本不等式的性质、和差公式,考查了推理能力与计算能力,属于难题.三、解答题15.已知2sin cos 3αα+=. (1)求sin cos αα的值; (2)若α为第二象限的角,求11sin()cos()παπα---的值.【答案】(1)518-;(2)125-. 【解析】(1)利用同角三角函数关系,利用平方进行计算即可 (2)利用三角函数的诱导公式进行化简求解即可 【详解】(1)2sin cos 3αα+=,∴平方得22sin 2sin cos cos αααα++=49,得452sin cos 199αα=-=-,得5sin cos 18αα=-.(2)若α为第二象限的角,sin 0α>,cos 0α<,则11sin()cos()παπα-=--11sin cos sin cos sin cos αααααα++=21235518==--. 【点睛】本题主要考查三角函数值的化简和求值,利用同角三角函数关系以及三角函数的诱导公式是解决本题的关键.16.已知函数()sin()f x A x ωϕ=+(其中0A >,0>ω,02πϕ<<)的相邻对称轴之间的距离为2π,且该函数图象的一个最高点为,212π⎛⎫⎪⎝⎭. (1)求函数()f x 的解析式和单调递增区间; (2)若0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,求函数()f x 的最大值和最小值. 【答案】(1)()2sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭,单调递增区间为:5,()1212k k k Z ππππ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦;(2)最大值为2,最小值为1.【解析】(1)由三角函数分析式的求法得:由题意有:2A =,T π=,即22Tπω==,由当12x π=时,函数()f x 取最大值,即22122k ππϕπ⨯+=+,解得23k πϕπ=+,又02πϕ<<,所以3πϕ=,即2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭,(2)由三角函数的值域的求法得:当0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,则52,336x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦,所以2sin 2[1,2]3x π⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭,得解. 【详解】(1)由题意有:2A =,T π= ,即22Tπω==, 由当12x π=时,函数()f x 取最大值,即22122k ππϕπ⨯+=+,解得23k πϕπ=+,又02πϕ<<,所以3πϕ=,即2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭, 令222232k x k πππππ-≤+≤+,得:51212k x k ππππ-≤≤+,()k ∈Z 故函数()f x 的分析式为:2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭. 函数()f x 的单调递增区间为:5,()1212k k k Z ππππ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦. (2)当0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦, 则52,336x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦, 所以2sin 2[1,2]3x π⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭, 故函数()f x 的最大值为2,最小值为1. 【点睛】本题考查了三角函数分析式的求法及三角函数的值域,熟记公式准确计算是关键,属中档题.17.如图,甲、乙两个企业的用电负荷量y 关于投产持续时间t (单位:小时)的关系()y f t =均近似地满足函数()sin()f t A t b ωϕ=++(0,0,0)A ωϕπ>><<.(1)根据图象,求函数()f t 的解析式;(2)为使任意时刻两企业用电负荷量之和不超过4.5,现采用错峰用电的方式,让企业乙比企业甲推迟m (0)m >小时投产,求m 的最小值.【答案】(1)1()sin()2(0)262f t t t ππ=++≥(2)4【解析】试题分析:(1)由图象可得: 2.51.5A b A b +=⎧⎨-+=⎩,周期12T =,2126ππω∴==,求得()f t 的解析式;(2)设乙投产持续时间为t 小时,则甲的投产持续时间为(t m +)小时,企业乙用电负荷量随持续时间t 变化的关系式为:1()cos 226f t t π=+;同理,企业甲用电负荷量变化关系式为:1()cos ()226f t m t m π+=++; 两企业用电负荷量之和为()()f t m f t ++,依题意,有9()()2f t m f t ++≤恒成立,求得m 最值 ;试题解析:(Ⅰ)由图象可得: 2.51.5A b A b +=⎧⎨-+=⎩,解得1,22A b ==周期12T =,2126ππω∴==,1()sin()226f t t πϕ∴=++,又()y f t =过点(0,2.5),sin 1,ϕ∴= 且0ϕπ<<,2πϕ∴=,1()sin()2(0)262f t t t ππ∴=++≥(Ⅱ)设乙投产持续时间为t 小时,则甲的投产持续时间为(t m +)小时由诱导公式,企业乙用电负荷量随持续时间t 变化的关系式为:1()cos 226f t t π=+; 同理,企业甲用电负荷量变化关系式为:1()cos ()226f t m t m π+=++;两企业用电负荷量之和1()()[cos ()cos ]4(0)266f t m f t t m t t ππ++=+++≥;依题意,有19()()[cos ()cos ]42662f t m f t t m t ππ++=+++≤恒成立, 即cos()cos166t m t ππ++≤恒成立,展开有:(cos1)cossinsin16666m t m t ππππ+-≤恒成立,------10分(cos1)cossinsin)66666m t mt t πππππφ+-=+(其cos1sincosm mππφφ+==);1≤,整理得到:1cos62m π≤-,依据余弦函数图像得:2422,()363k m k k Z πππππ+≤≤+∈,即124128k m +≤≤+,取0k =得:48m ≤≤ ∴m 的最小值为4.【考点】本题考查三角函数图象和性质及其应用、恒等变换等知识,考查建立三角函数模型,数据处理能力、运算求解能力和抽象概括能力,考查函数与方程的思想、转化与化归的思想.18.在锐角ABC ∆中,已知5cos 13A =,6ABC S ∆=,若点D 是线段BC 上一点(不含端点),过D 作DE AB ⊥于E ,DF AC ⊥于F .(1)若AEF ∆外接圆的直径长为134,求EF 的值; (2)求BC 的最小值(3)问点D 在何处时,DEF ∆的面积最大?最大值为多少?【答案】(1)3;(2)4;(3)当D 为BC 的中点时,DEF ∆的面积最大,最大值为216169. 【解析】(1)根据面积为6可得bc ,然后由正弦定理可得EF ;(2)用余弦定理得到2222cos BC b c bc A =+-,然后用重要不等式可得BC 的范围;(3)设ABD S x ∆=,然后根据面积关系将DEF ∆的面积用x 表示出来,再用一元二次函数求其最大值即可. 【详解】 (1)在锐角ABC ∆中,5cos 13A =,12sin 13A ∴=, 1126213ABC S bc ∆=⋅=,13bc ∴=,AEF ∆外接圆的直径长为134, 由正弦定理可得,1312sin 413EF EF A ==,3EF ∴=;(2)在ABC ∆中,由余弦定理得,2222cos BC b c bc A =+- 221021016b c bc =+-≥-=,当且仅当b c ==4BC ∴≥;故BC 的最小值为4(3)设ABD S x ∆=,则6ADC S x ∆=-,1sin 62ABC S AB AC A ∆=⋅⋅=, 1213sin AB AC A ∴⋅==,DE AB ∵⊥于E ,DF AC ⊥于F ,12ABD S AB DE x ∆∴=⋅=,12ADC S AC DF ∆=⋅=6x -, 2x DE AB ∴=,122xDF AC -=,1sin()2EDF S DE DF A π∆=⋅⋅-12122sin 2x x A AB AC -=⋅⋅⋅ ()2246169x x -+=224(3)9169x ⎡⎤=---⎣⎦, ∴当3x =时,EDF S ∆的最大值为,216169. ∴当3x =时,三角形ABD 与三角形ADC 面积相等D ∴为BC 的中点,∴当D 为BC 的中点时,DEF ∆的面积最大,最大值为216169. 【点睛】本题考查了正余弦定理解三角形,考查基本不等式求最值,二次函数求最值,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.。

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