天津市南开中学2017-2018学年度第一学期期中考试_高二数学(理)无答案

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2017-2018学年天津市和平区高二上学期期中数学试卷与解析

2017-2018学年天津市和平区高二（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（3分）已知直线l的倾斜角为30°，则直线l的斜率为（）A．B．C．1 D．2．（3分）在x轴、y轴上的截距分别是2，﹣3的直线方程为（）A．+=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．+=﹣13．（3分）若a，b是异面直线，a∥α，则b与α的位置关系是（）A．b∥α或b⊂αB．b与α相交或b∥αC．b与α相交或b⊂αD．b与α相交或b⊂α或b∥α4．（3分）若一个长方体的长、宽、高分别为、、1，则它的外接球的表面积为（）A．πB．5πC．6πD．24π5．（3分）过点A （1，﹣1）、B （﹣1，1）且圆心在直线x+y﹣2=0上的圆的方程是（）A．（x﹣3）2+（y+1）2=4 B．（x+3）2+（y﹣1）2=4 C．（x+1）2+（y+1）2=4 D．（x﹣1）2+（y﹣1）2=46．（3分）如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于（）A．πB．2πC．4πD．8π7．（3分）过点P（﹣2，4）作圆C：x2+y2﹣4x﹣2y﹣20=0的切线l，直线m：ax ﹣3y=0与直线l平行，则直线l与m之间的距离为（）A．B．C．4 D．28．（3分）已知平面α⊥平面β，α∩β=l，点A∈α，A∉l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下面四种位置关系中，不一定成立的是（）A．AC⊥βB．AC⊥m C．AB∥βD．AB∥m二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分）.9．（4分）若三点A（2，2），B（a，0），C（0，4）共线，则a的值等于．10．（4分）一个圆锥的母线长为20cm，母线与轴的夹角为30°，则圆锥的高为cm．11．（4分）圆（x﹣3）2+（y﹣3）2=9上到直线3x+4y﹣11=0的距离等于1的点的个数是．12．（4分）若直线l与平面α相交于点O，A，B∈l，C，D∈α，且AC∥BD，则O，C，D三点的位置关系是．13．（4分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，给出以下四个结论：①D1C∥平面A1ABB1②A 1D1与平面BCD1相交③AD⊥平面D1DB④平面BCD1⊥平面A1ABB1．上面结论中，所有正确结论的序号为．14．（4分）三棱锥P﹣ABC中，D，E分别为PB，PC的中点，记三棱锥D﹣ABE 的体积为V1，P﹣ABC的体积为V2，则V1：V2=．三、解答题：本大题共5小题，共52分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．15．（8分）已知直线l经过直线3x+4y﹣2=0与直线2x+y+2=0的交点P．（1）若直线l垂直于直线x﹣2y﹣1=0，求直线l的方程；（2）若直线l与经过两点A（8，﹣6），B（2，2）的直线AB平行，求直线l的方程．16．（8分）已知曲线方程为：x2+y2﹣2x﹣4y+m=0．（1）若此曲线是圆，求m的取值范围；（2）若（1）中的圆与直线x+2y﹣4=0相交于M，N两点，且OM⊥ON（O为坐标原点），求m的值．17．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1C1=B1C1，AC1⊥A1B，M，N分别是A1B1、AB的中点．求证：（Ⅰ）C1M⊥平面A1ABB1；（Ⅱ）A1B⊥AM；（Ⅲ）平面AMC1∥平面NB1C．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面四边形ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E、F分别是AB、PD的中点，PA=AD．（Ⅰ）求证：AF∥平面PEC；（Ⅱ）求二面角P﹣CD﹣B的大小；（Ⅲ）若AD=2，CD=2，求直线PE与平面PCD所成角的正弦值．19．（12分）已知O为坐标原点，设动点M（s，t）．（Ⅰ）当s=0，t=4时，若过点M的直线l与圆C：x2+y2﹣8x=0相切，求直线l的方程；（Ⅱ）当s=2，t＞0时，求以OM为直径且被直线3x﹣4y﹣5=0截得的弦长为2的圆的方程；（Ⅲ）当s=2，t＞0时，设A（1，0），过点A作OM的垂线，与以OM为直径的圆交于点N，垂足为H，试问：线段ON的长是否为定值？若为定值，求出这个定值；若不为定值，请说明理由．2017-2018学年天津市和平区高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（3分）已知直线l的倾斜角为30°，则直线l的斜率为（）A．B．C．1 D．【解答】解：因为直线的斜率等于直线倾斜角的正切值，直线l的倾斜角为30°，所以直线l的斜率k=tan30°=．故选：A．2．（3分）在x轴、y轴上的截距分别是2，﹣3的直线方程为（）A．+=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．+=﹣1【解答】解：在x轴，y轴上的截距分别是2，﹣3的直线的方程是：﹣=1，故选：B．3．（3分）若a，b是异面直线，a∥α，则b与α的位置关系是（）A．b∥α或b⊂αB．b与α相交或b∥αC．b与α相交或b⊂αD．b与α相交或b⊂α或b∥α【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，A1D1与CC1是异面直线，A1D1∥平面ABCD，CC1∩平面ABCD=C；A1D1与BC是异面直线，A1D1∥平面ABCD，BC⊂平面ABCD；E、F分别是AA1和BB1的中点，A1D1与EF是异面直线，A1D1∥平面ABCD，EF∥平面ABCD．∴a，b是异面直线，a∥α，则b与α的位置关系是b与α相交或b⊂α或b∥α．故选：D．4．（3分）若一个长方体的长、宽、高分别为、、1，则它的外接球的表面积为（）A．πB．5πC．6πD．24π【解答】解：∵一个长方体的长、宽、高分别为、、1，∴它的外接球的半径R==，∴它的外接球的表面积为S=4πR2=4=6π．故选：C．5．（3分）过点A （1，﹣1）、B （﹣1，1）且圆心在直线x+y﹣2=0上的圆的方程是（）A．（x﹣3）2+（y+1）2=4 B．（x+3）2+（y﹣1）2=4 C．（x+1）2+（y+1）2=4 D．（x﹣1）2+（y﹣1）2=4【解答】解：圆心一定在AB的中垂线上，AB的中垂线方程是y=x，排除A，B 选项；圆心在直线x+y﹣2=0上验证D选项，不成立．故选：D．6．（3分）如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于（）A．πB．2πC．4πD．8π【解答】解：设圆柱的高为：h，轴截面为正方形的圆柱的底面直径为：h，因为圆柱的侧面积是4π，所以h2π=4π，∴h=2，所以圆柱的底面半径为：1，圆柱的体积：π×12×2=2π．故选：B．7．（3分）过点P（﹣2，4）作圆C：x2+y2﹣4x﹣2y﹣20=0的切线l，直线m：ax ﹣3y=0与直线l平行，则直线l与m之间的距离为（）A．B．C．4 D．2【解答】解：①当直线的斜率不存在时，直线与圆不相切．②当直线l的斜率存在时，设过点P（﹣2，4）的切线l为：y﹣4=k（x+2），圆C：x2+y2﹣4x﹣2y﹣20=0转化为：（x﹣2）2+（y﹣1）2=25，利用圆心到直线的距离等于半径，，整理得：9k2﹣24k+16=0，解得：k=，则直线l的方程为：y﹣4=（x+2），整理得：4x﹣3y+20=0．直线m：ax﹣3y=0与直线l平行，则：a=4．直线l与m之间的距离为：d=，故选：C．8．（3分）已知平面α⊥平面β，α∩β=l，点A∈α，A∉l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下面四种位置关系中，不一定成立的是（）A．AC⊥βB．AC⊥m C．AB∥βD．AB∥m【解答】解：由平面α⊥平面β，α∩β=l，点A∈α，A∉l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，知：在A中，当C∈l时，AC⊥β，当C∉l时，AC不垂直于β，故A错误；在B中，∵直线m∥α，m∥β，平面α⊥平面β，α∩β=l，∴m∥l，∵AC⊥l，∴AC⊥m，故B正确；在C中，由线面平行的判定定理得AB∥β，故C正确；在D中，∵直线AB∥l，m∥l，∴直线AB∥l，故D正确．故选：A．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分）.9．（4分）若三点A（2，2），B（a，0），C（0，4）共线，则a的值等于4．【解答】解：=（a﹣2，﹣2），=（﹣2，2），依题意，向量与共线，故有2（a﹣2）﹣4=0，得a=4故答案为410．（4分）一个圆锥的母线长为20cm，母线与轴的夹角为30°，则圆锥的高为10cm．【解答】解：由题设条件可知，在直角三角形中，圆锥的高：h=20cos30°=20×=10cm．故答案为：1011．（4分）圆（x﹣3）2+（y﹣3）2=9上到直线3x+4y﹣11=0的距离等于1的点的个数是3．【解答】解：（x﹣3）2+（y﹣3）2=9是一个以（3，3）为圆心，3为半径的圆．圆心到3x+4y﹣11=0的距离为d=||=2，所以作与直线3x+4y﹣11=0距离为1的直线，会发现这样的直线有两条（一条在直线的上方，一条在直线的下方），上面的那条直线与圆有两个交点，下面的与圆有一个交点，所以圆上共有三个点与直线距离为1．故答案为：3．12．（4分）若直线l与平面α相交于点O，A，B∈l，C，D∈α，且AC∥BD，则O，C，D三点的位置关系是在同一条直线上．【解答】解：O，C，D三点的位置关系是在同一条直线上．证明如下：如图所示，∵AC∥BD，∴AC与BD确定一个平面β，∵A∈β，B∈β，A∈l，B∈l，∴l⊂β，∵l∩α=O，∴O∈α，O∈β，∴O=α∩β．∵C，D∈α，∴α∩β=CD，∴O∈直线CD．∴O，C，D三点的位置关系是在同一条直线上．故答案为在同一条直线上．13．（4分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，给出以下四个结论：①D1C∥平面A1ABB1②A1D1与平面BCD1相交③AD⊥平面D1DB④平面BCD1⊥平面A1ABB1．上面结论中，所有正确结论的序号为①④．【解答】解：对于①，由于平面A1ABB1∥平面CDC1D1，而D1C⊂平面CDC1D1，故D1C与平面A1ABB1没有公共点，所以D1C∥平面A1ABB1正确；对于②，由于A1D1∥BC，所以A1D1⊂平面BCD1，错误；对于③，只有AD⊥D1D，AD与平面BCD1内其他直线不垂直，错误；对于④，容易证明BC⊥平面A1ABB1，而BC⊂平面BCD1，故平面BCD1⊥平面A1ABB1．正确．故答案为：①④．14．（4分）三棱锥P﹣ABC中，D，E分别为PB，PC的中点，记三棱锥D﹣ABE 的体积为V1，P﹣ABC的体积为V2，则V1：V2=1：4．【解答】解：如图，∵D，E为PB，PC的中点，∴，则，=V A﹣PBC=V2，∵V P﹣ABCV D﹣ABE=V A﹣BDE=V1，且三棱锥A﹣PBC与三棱锥A﹣BDE高相等，∴V1：V2=S△BDE：S△PBC=1：4．故答案为：1：4．三、解答题：本大题共5小题，共52分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．15．（8分）已知直线l经过直线3x+4y﹣2=0与直线2x+y+2=0的交点P．（1）若直线l垂直于直线x﹣2y﹣1=0，求直线l的方程；（2）若直线l与经过两点A（8，﹣6），B（2，2）的直线AB平行，求直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）由，解得，由于点P的坐标是（﹣2，2）．则所求直线l与x﹣2y﹣1=0垂直，可设直线l的方程为2x+y+m=0．把点P的坐标代入得2×（﹣2）+2+m=0，即m=2．所求直线l的方程为2x+y+2=0．（2）直线AB的斜率k AB==﹣，∵直线l与经过两点A（8，﹣6），B（2，2）的直线AB平行，∴k AB=k l=﹣，∴直线l的方程为y﹣2=﹣（x+2），即4x+3y+2=0．16．（8分）已知曲线方程为：x2+y2﹣2x﹣4y+m=0．（1）若此曲线是圆，求m的取值范围；（2）若（1）中的圆与直线x+2y﹣4=0相交于M，N两点，且OM⊥ON（O为坐标原点），求m的值．【解答】解：（1）曲线方程为：x2+y2﹣2x﹣4y+m=0．整理得：（x﹣1）2+（y﹣2）2=5﹣m，则5﹣m＞0，解得：m＜5．（2）直线x+2y﹣4=0与圆：x2+y2﹣2x﹣4y+m=0的交点为M（x1，y1）N（x2，y2）．则：，整理得：5y2﹣16y+8+m=0，则：，，且OM⊥ON（O为坐标原点），则：x1x2+y1y2=0，x1=4﹣2y1，x2=4﹣2y2，则（4﹣2y1）（4﹣2y2）+y1y2=0．解得：m=，故m的值为．17．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1C1=B1C1，AC1⊥A1B，M，N分别是A1B1、AB的中点．求证：（Ⅰ）C1M⊥平面A1ABB1；（Ⅱ）A1B⊥AM；（Ⅲ）平面AMC1∥平面NB1C．【解答】证明：（I）∵AA1⊥平面A1B1C1，C1M⊂平面A1B1C1，∴AA1⊥C1M，又A1C1=B1C1，M是A1B1的中点，∴C1M⊥A1B1，又AA1∩A1B1=M，∴C1M⊥平面A1ABB1．（II）由（1）知C1M⊥平面A1ABB1，又A1B⊂平面A1ABB1，∴C1M⊥A1B，又AC1⊥A1B，C1M∩AC1=C1，∴A1B⊥平面AMC1，又AM⊂平面AMC1，∴A1B⊥AM．（III）连接MN，则MN BB1CC1，∴四边形CC1MN是平行四边形，∴C1M∥CN，∴C1M∥平面B1CN，又B1M AN，∴四边形B1MAN是平行四边形，∴AM∥B1N，又AM∥平面B1CN，又AM∩C1M=M，∴平面AMC1∥平面NB1C．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面四边形ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E、F分别是AB、PD的中点，PA=AD．（Ⅰ）求证：AF∥平面PEC；（Ⅱ）求二面角P﹣CD﹣B的大小；（Ⅲ）若AD=2，CD=2，求直线PE与平面PCD所成角的正弦值．【解答】证明：（Ⅰ）取PC的中点G，连结EG、FG，∵F是PD的中点，∴FG∥DC，且FG=DC，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥DC，且AB=DC，∴FG∥AB，且FG=AB，又∵E是AB的中点，∴AE=AB，∴FG∥AE，且FG=AE，∴四边形AEGF是平行四边形，∴AF∥EG，∵AF⊄平面PEC，GE⊂平面PEC，∴AF∥平面PEC．解：（Ⅱ）∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD，∵四边形ABCD是菱形，∴AD⊥CD，∵PA∩AD=A，PA、AD⊂平面PAD，∴CD⊥平面PAD，又PD⊂平面PAD，CD⊥PD，∴∠PDA是二面角P﹣CD﹣B的平面角，∵PA=AD，∴△PAD为等腰直角三角形，∴∠PDA=45°，∴二面角P﹣CD﹣B的大小为45°．（Ⅲ）由（Ⅱ）知，△PAD为等腰直角三角形，∵F是斜边PD的中点，∴AF⊥PD，由（Ⅰ）知，AF∥EG，∴EG⊥PD，又由（Ⅱ）知CD⊥平面PAD，AF⊂平面PAD，∴CD⊥AF，∴CD⊥EG，又∵PD∩CD=D，PD、CD⊂平面PCD，∴EG⊥平面PCD，∴PG是直线PE在平面PCD上的射影，∴∠EPG为直线PE与平面PCD所成的角，在Rt△PAE中，PA=2，AE=，∴PE===，在等腰直角△PAD中，PD==2，∵F是PD中点，∴AF=PD=，∴EG=，∴sin∠EPG===．∴直线PE与平面PCD所成角的正弦值为．19．（12分）已知O为坐标原点，设动点M（s，t）．（Ⅰ）当s=0，t=4时，若过点M的直线l与圆C：x2+y2﹣8x=0相切，求直线l的方程；（Ⅱ）当s=2，t＞0时，求以OM为直径且被直线3x﹣4y﹣5=0截得的弦长为2的圆的方程；（Ⅲ）当s=2，t＞0时，设A（1，0），过点A作OM的垂线，与以OM为直径的圆交于点N，垂足为H，试问：线段ON的长是否为定值？若为定值，求出这个定值；若不为定值，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，s=0，t=4，即M（0，4），圆C：x2+y2﹣8x=0的标准方程为：（x﹣4）2+y2=16，其圆心坐标为（4，0），半径r=4，直线l过点M，当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=0，符合题意，当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为k=kx+4，即kx﹣y+4=0，直线与圆相切，则有圆心到直线的距离d==4，解可得k=﹣；即直线的方程为x+y﹣12=0，综上可得直线的方程为x=0或x+y﹣12=0，（Ⅱ）根据题意，M（2，t），（t＞0）以OM为直径的圆的圆心为（1，），半径r=，则圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣）2=+1，若以OM为直径且被直线3x﹣4y﹣5=0截得的弦长为2，则圆心到直线3x﹣4y﹣5=0的距离d===，则有=，解可得t=4，则圆的圆心为（1，2），半径r=，故要求圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=5；（Ⅲ）线段ON的长为定值，理由如下：根据题意，M（2，t）（t＞0），由于△OHN∽△OMN，则=，即ON2=OH•OM，又由直线MH的方程为：y=﹣（x﹣1），即2x﹣ty+2=0，由点到直线的距离可得：OH=，由两点间距离公式可得OM=，则ON2=×=2，即ON=，即线段ON的长为定值．。

天津市南开区2017-2018学年高二上学期联考数学试卷(理科)Word版含解析

天津市南开区2017-2018学年高二上学期联考试卷（理科数学）一、选择题：（共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．如果两个球的体积之比为8：27，那么两个球的表面积之比为（）A．2：3 B．2：9 C．4：9 D．8：272．在空间直角坐标系中，点A（1，0，1）与点B（2，1，﹣1）之间的距离为（）A．6 B．2 C．D．3．已知a，b，c是三条不重合的直线，α，β，γ是三个不重合的平面，给出下列命题：①a∥γ，b∥γ⇒a∥b；②a∥c，c∥α⇒a∥α；③a⊥β，a∥α⇒α⊥β；④a⊂α，α⊥β⇒a⊥β．其中正确命题的序号是（）A．③B．②③ C．①②③D．①②④4．已知ab＜0，bc＜0，则直线ax+by=c通过（）A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限5．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中：①BM与ED平行②CN与BE是异面直线③CN与BM成60°角④DM与BN是异面直线以上四个命题中，正确的命题序号是（）A．①②③B．②④ C．③④ D．②③④6．下列有关命题的说法错误的是（）A．“若a2+b2=0，则a，b全为0”的逆命题是“若a，b不全为0，则a2+b2≠0”B．“x＞0”是“x≠0”的必要而不充分条件C．若p∧q为假命题，且“￢p”为假命题，则q为假命题D．对于命题p：∃x∈R，使得x2+x+1＜0，则￢p：∀x∈R，均有x2+x+1≥07．两直线3x+y﹣3=0与6x+my+1=0平行，则它们之间的距离为（）A．4 B．C．D．：x2+y2﹣6x+6y﹣48=0与圆公切线的条数是（）8．圆C1A．0条B．1条C．2条D．3条9．设x∈R，则“|x﹣2|＜1”是“x2+x﹣2＞0”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件10．设点A（﹣2，3）、B（3，2），若直线ax+y+2=0与线段AB有交点，则a的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题（共6个小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．）11．直线x﹣y+3=0的倾斜角为．12．一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图是边长为2的正三角形、俯视图轮廓为正方形，则其体积是．13．过两直线l1：x﹣3y+4=0和l2：2x+y+15=0的交点，且垂直于直线y=2x+6的直线方程为．14．以N（1，3）为圆心，并且与直线3x﹣4y﹣7=0相切的圆的标准方程为．15．与圆x2+y2﹣x+2y=0关于直线x﹣y+1=0对称的圆的方程是．16．已知圆C：x2+y2+Dx﹣6y+1=0的周长被直线x﹣y+4=0平分，且圆C上恰有1个点到直线l：3x+4y+c=0的距离等于1，则c= ．三、解答题（共4个大题，共50分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知△ABC的顶点A（5，1），AB边上的中线CM所在直线方程为2x﹣y﹣5=0，AC边上的高BH所在直线方程为x﹣2y﹣5=0．求：（1）顶点C的坐标；（2）直线BC的方程．18．已知过点P（4，1）的直线l被圆（x﹣3）2+y2=4所截得的弦长为，求直线l的方程．19．如图，在正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中（底面为正三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱叫正三棱柱），各棱长都是4，D 是BC 的中点．（Ⅰ）求证：A 1C ∥平面AB 1D ；（Ⅱ）求直线A 1C 与平面BCC 1B 1所成角的正弦值；（Ⅲ）证明在棱CC 1上存在一点F ，使得DF ⊥AC ，并求AF 的长．20．已知圆C 的方程：x 2+y 2﹣2x ﹣4y+m=0．（Ⅰ）求m 的取值范围；（Ⅱ）当圆C 与圆D ：（x+3）2+（y+1）2=16相外切时，求直线l ：x+2y ﹣4=0被圆C 所截得的弦MN 的长．天津市南开区2017-2018学年高二上学期联考试卷（理科数学）参考答案与试题解析一、选择题：（共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．如果两个球的体积之比为8：27，那么两个球的表面积之比为（）A．2：3 B．2：9 C．4：9 D．8：27【考点】球的体积和表面积．【分析】通过体积比等于相似比的立方，求出两个球的半径的比，表面积之比等于相似比的平方，即可求出结论．【解答】解：两个球的体积之比为8：27，根据体积比等于相似比的立方，表面积之比等于相似比的平方，可知两球的半径比为2：3，从而这两个球的表面积之比为4：9．故选：C．2．在空间直角坐标系中，点A（1，0，1）与点B（2，1，﹣1）之间的距离为（）A．6 B．2 C．D．【考点】空间两点间的距离公式．【分析】直接利用空间两点之间的距离公式求解即可．【解答】解：在空间直角坐标系中，点A（1，0，1）与点B（2，1，﹣1）之间的距离为：=．故选：D．3．已知a，b，c是三条不重合的直线，α，β，γ是三个不重合的平面，给出下列命题：①a∥γ，b∥γ⇒a∥b；②a∥c，c∥α⇒a∥α；③a⊥β，a∥α⇒α⊥β；④a⊂α，α⊥β⇒a⊥β．其中正确命题的序号是（）A．③B．②③ C．①②③D．①②④【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】利用空间线线关系和面面关系的定理对四个命题分别分析判断即可．【解答】解：对于①，a∥γ，b∥γ⇒a∥b或者相交或者异面；故①错误；对于②，a∥c，c∥α⇒a∥α或者a⊂α；故②错误；对于③，a⊥β，a∥α根据线面平行、线面垂直的性质定理和面面垂直的判定定理可得α⊥β；故③正确；对于④，a⊂α，α⊥β⇒a⊥β或者a∥β或者a与β相交；故④错误；故选A．4．已知ab＜0，bc＜0，则直线ax+by=c通过（）A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限【考点】确定直线位置的几何要素．【分析】把直线的方程化为斜截式，判断斜率及在y轴上的截距的符号，从而确定直线在坐标系中的位置．【解答】解：直线ax+by=c 即 y=﹣x+，∵ab ＜0，bc ＜0，∴斜率 k=﹣＞0，直线在y 轴上的截距＜0，故直线第一、三、四象限，故选C ．5．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中：①BM 与ED 平行②CN 与BE 是异面直线③CN 与BM 成60°角④DM 与BN 是异面直线以上四个命题中，正确的命题序号是（）A ．①②③B ．②④C ．③④D ．②③④【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】根据恢复的正方体可以判断出答案．【解答】解：根据展开图，画出立体图形，BM 与ED 垂直，不平行，CN 与BE 是平行直线，CN 与BM 成60°，DM 与BN 是异面直线，故③④正确．故选：C6．下列有关命题的说法错误的是（）A ．“若a 2+b 2=0，则a ，b 全为0”的逆命题是“若a ，b 不全为0，则a 2+b 2≠0”B ．“x＞0”是“x≠0”的必要而不充分条件C ．若p ∧q 为假命题，且“￢p”为假命题，则q 为假命题D．对于命题p：∃x∈R，使得x2+x+1＜0，则￢p：∀x∈R，均有x2+x+1≥0【考点】命题的真假判断与应用；四种命题；四种命题间的逆否关系；四种命题的真假关系；充分条件．【分析】本题考的是命题的四种形式，充分性必要性，简单的逻辑联接词及全称量词与存在量词【解答】解：A．考的是命题中的正面用词与反面用词，例如：全⇔不全，都是⇔不都是，至多有一个⇔至少有两个等等故A正确B．x＞0能推出x≠0，但X≠0就推不出X一定大于0故B不正确C．“￢p“为假命题，则p为真命题，又p∧q为假命题，所以q为假命题．故C正确D．存在性命题p：∃x∈M，p（x）；则存在性命题p的否定：“￢p”：∀x∈M，￢P（x）故D正确故选：B．7．两直线3x+y﹣3=0与6x+my+1=0平行，则它们之间的距离为（）A．4 B．C．D．【考点】两条平行直线间的距离．【分析】根据两直线平行（与y轴平行除外）时斜率相等，得到m的值，然后从第一条直线上取一点，求出这点到第二条直线的距离即为平行线间的距离．【解答】解：根据两直线平行得到斜率相等即﹣3=﹣，解得m=2，则直线为6x+2y+1=0，取3x+y﹣3=0上一点（1，0）求出点到直线的距离即为两平行线间的距离，所以d==．故选D8．圆C1：x2+y2﹣6x+6y﹣48=0与圆公切线的条数是（）A．0条B．1条C．2条D．3条【考点】两圆的公切线条数及方程的确定．【分析】将两圆化成标准方程，可得它们的圆心坐标和半径大小，从而得到两圆的圆心距等于，恰好介于两圆的半径差与半径和之间，由此可得两圆位置关系是相交，从而得到它们有两条公切线．【解答】解：∵圆C1：x2+y2﹣6x+6y﹣48=0化成标准方程，得（x﹣3）2+（y+3）2=64∴圆C1的圆心坐标为（3，﹣3），半径r1=8同理，可得圆C2的圆心坐标为（﹣2，4），半径r2=8因此，两圆的圆心距|C1C2|==∵|r1﹣r2|＜|C1C2|＜r1+r2=16∴两圆的位置关系是相交，可得两圆有2条公切线故选：C9．设x∈R，则“|x﹣2|＜1”是“x2+x﹣2＞0”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：由“|x﹣2|＜1”得1＜x＜3，由x2+x﹣2＞0得x＞1或x＜﹣2，即“|x﹣2|＜1”是“x2+x﹣2＞0”的充分不必要条件，故选：A．10．设点A（﹣2，3）、B（3，2），若直线ax+y+2=0与线段AB有交点，则a的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】两条直线的交点坐标；直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系．【分析】由题意画出图形，数形结合得答案．【解答】解：∵直线ax+y+2=0过定点（0，﹣2），斜率为﹣a，如图，，∴若直线ax+y+2=0与线段AB有交点，则﹣a或﹣a．即a或．∴答案为：．故选：D．二、填空题（共6个小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．）11．直线x﹣y+3=0的倾斜角为．【考点】直线的倾斜角．【分析】设直线x﹣y+3=0的倾斜角为α，则tanα=﹣，α∈[0，π），即可得出．【解答】解：设直线x﹣y+3=0的倾斜角为α，则tanα=﹣=，α∈[0，π），∴．故答案为：．12．一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图是边长为2的正三角形、俯视图轮廓为正方形，则其体积是．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】三视图复原的几何体是正四棱锥，求出底面面积，正四棱锥的高，即可求出体积．【解答】解：如图据条件可得几何体为底面边长为2的正方形，侧面是等腰三角形，其底边上的高也为2的正四棱锥，故其体积V==．故答案为：．13．过两直线l1：x﹣3y+4=0和l2：2x+y+15=0的交点，且垂直于直线y=2x+6的直线方程为x+2y+9=0 ．【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系；两条直线的交点坐标．【分析】联立直线方程解方程组可得交点坐标，由垂直关系可得直线的斜率，可得点斜式方程，化为一般式即可．【解答】解：联立方程组，解得，∴直线l1：x﹣3y+4=0和l2：2x+y+15=0的交点为（﹣7，﹣1），∵直线y=2x+6的斜率为2，∴由垂直关系可得所求直线的斜率为﹣，∴所求直线的方程为y+1=﹣（x+7），化为一般式可得x+2y+9=0故答案为：x+2y+9=014．以N（1，3）为圆心，并且与直线3x﹣4y﹣7=0相切的圆的标准方程为．【考点】圆的标准方程．【分析】要求圆的方程，已知圆心坐标，关键是要求半径，根据直线与圆相切得到圆心到直线的距离等于半径，所以利用点到直线的距离公式求出圆心到直线3x﹣4y﹣7=0的距离即为圆的半径，根据圆心坐标和求出的半径写出圆的方程即可．【解答】解：因为点N（1，3）到直线3x﹣4y﹣7=0的距离d=，由题意得圆的半径r=d=，则所求的圆的方程为．故答案为．15．与圆x2+y2﹣x+2y=0关于直线x﹣y+1=0对称的圆的方程是．【考点】关于点、直线对称的圆的方程．【分析】本题求圆关于直线对称的圆的方程，只要求出圆心的对称点，即可求出对称圆的圆心，得出对称圆的方程．【解答】解：∵圆x2+y2﹣x+2y=0，∴，圆心C，半径．设圆心C关于直线l：x﹣y+1=0对称点为C′（x′，y′），由直线l垂直平分线段CC′得：，∴，∴圆心C′，∴与圆x2+y2﹣x+2y=0关于直线x﹣y+1=0对称的圆的方程是．16．已知圆C：x2+y2+Dx﹣6y+1=0的周长被直线x﹣y+4=0平分，且圆C上恰有1个点到直线l：3x+4y+c=0的距离等于1，则c= 11或﹣29 ．【考点】直线与圆相交的性质．【分析】圆的周长被直线平分，则直线过圆心，求出D的值，利用直线和圆的位置关系建立条件关系即可得到结论．【解答】解：∵圆C：x2+y2+Dx﹣6y+1=0的周长被直线x﹣y+4=0平分，∴圆心C（﹣，3）在直线x﹣y+4=0上，即﹣﹣3+4=0，解得D=2，则圆C：x2+y2+2x﹣6y+1=0，即圆C：（x+1）2+（y﹣3）2=9，圆心（﹣1，3），半径r=3，若圆C上恰有1个点到直线l：3x+4y+c=0的距离等于1，则圆心C到直线3x+4y+c=0的距离d=1+3=4，即，即|9+c|=20，解得c=11或c=﹣29．故答案为：11或﹣29三、解答题（共4个大题，共50分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知△ABC的顶点A（5，1），AB边上的中线CM所在直线方程为2x﹣y﹣5=0，AC边上的高BH所在直线方程为x﹣2y﹣5=0．求：（1）顶点C的坐标；（2）直线BC的方程．【考点】直线的一般式方程．【分析】（1）设C（m，n），利用点与直线的位置关系、相互垂直的直线斜率之间的关系即可得出；（2）利用中点坐标公式、点斜式即可得出．【解答】解：（1）设C（m，n），∵AB边上的中线CM所在直线方程为2x﹣y﹣5=0，AC边上的高BH所在直线方程为x﹣2y﹣5=0．∴，解得．∴C（4，3）．（2）设B（a，b），则，解得．∴B（﹣1，﹣3）．==∴kBC∴直线BC的方程为y﹣3=（x﹣4），化为6x﹣5y﹣9=0．18．已知过点P（4，1）的直线l被圆（x﹣3）2+y2=4所截得的弦长为，求直线l的方程．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】根据圆心与半径、弦长和弦心距的关系，利用点到直线的距离公式，求出直线的斜率，即可求出对应直线的方程．【解答】解：圆（x ﹣3）2+y 2=4的圆心坐标为（3，0），半径长为r=2；…因为直线l 被圆所截得的弦长是，所以弦心距为；…（1）当直线l 的斜率不存在时，x=4，此时弦心距为1，符合题意；…（2）当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ﹣1=k （x ﹣4），即kx ﹣y ﹣4k+1=0；由题意可得，…解得k=0，…所以所求直线方程为y=1；综上所述，所求直线方程为x=4或y=1．…19．如图，在正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中（底面为正三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱叫正三棱柱），各棱长都是4，D 是BC 的中点．（Ⅰ）求证：A 1C ∥平面AB 1D ；（Ⅱ）求直线A 1C 与平面BCC 1B 1所成角的正弦值；（Ⅲ）证明在棱CC 1上存在一点F ，使得DF ⊥AC ，并求AF 的长．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．【分析】（I ）转化为直线与直线的平行问题证明OD ∥A 1C ，（II ）利用直线与平面的垂直问题确定直线与平面的夹角：∠A 1CE 为直线A 1C 与平面BCC 1B 1所成的角，转化为直角三角形求解．（III ）利用平面直线的性质得出Rt △CDF ∽Rt △C 1CE ，确定∠C 1CE+∠CFD=，即得证DF ⊥CE ，DF ⊥A 1C 判断Rt △ADF 在考虑边长关系求解．【解答】解：（Ⅰ）连接A 1B 交AB 1于O ，连接OD∵四边形ABB 1A 1为正方形∴O 为A 1B 的中点又∵D 是BC 中点∴OD ∥A 1C∵OD ⊂平面AB 1D ，A 1C ⊄平面AB 1D∴A 1C ∥平面AB 1D（Ⅱ）过A 1作A 1E ⊥B 1C 1，E ，连接CE∵平面A 1B 1C 1⊥平面BCC 1B 1平面A 1B 1C 1∩平面BCC 1B 1=B 1C 1∴A 1E ⊥平面BCC 1B 1∴CE 为直线A 1C 在平面BCC 1B 1上的投影∴∠A 1CE 为直线A 1C 与平面BCC 1B 1所成的角，在Rt △A 1C 1C 中A 1C==，在△A 1B 1C 1中A 1E=2在Rt △A 1CE 中，sin ∠A 1CE==（Ⅲ）当=时，DF ⊥A 1C在正方形BCC 1B 1中，D ，E 分别是BC ，B 1C 1的中点∴==，∴Rt △CDF ∽Rt △C 1CE∴∠CDF=∠C 1CE∵∠CDF+∠CFD=，∴∠C 1CE+∠CFD=，∴DF ⊥CE由（Ⅱ）可知A 1E ⊥平面BCC 1B 1DF ⊂平面BCC 1B 1，∴A 1E ⊥DF∵A1E∩CE=E，∴DF⊥平面A1CE∵A1C⊂平面A1CE∴DF⊥A1C在Rt△ADF中 AF==．20．已知圆C的方程：x2+y2﹣2x﹣4y+m=0．（Ⅰ）求m的取值范围；（Ⅱ）当圆C与圆D：（x+3）2+（y+1）2=16相外切时，求直线l：x+2y﹣4=0被圆C所截得的弦MN的长．【考点】直线与圆相交的性质；圆的一般方程．【分析】（Ⅰ）根据圆的一般方程表示圆的条件即可求m的取值范围；（Ⅱ）根据圆与圆相切的等价条件求出m的值，结合直线的弦长公式进行求解即可．【解答】解：（Ⅰ）圆C的方程可化为（x﹣1）2+（y﹣2）2=5﹣m …令5﹣m＞0，得m＜5．…（Ⅱ）圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=5﹣m，圆心C（1，2），半径r=圆D：（x+3）2+（y+1）2=16，圆心D（﹣3，﹣1），半径R=4…∵圆C与圆D相外切∴，解得m=4 …圆心C（1，2）到直线l：x+2y﹣4=0的距离为d=…∴|MN|=…。

2017年高三天津市南开中学数学(理)试卷

天津市南开中学2018届高三第一次月考数学试卷（理科） 1-5 7.8 15-19一、选择题（每小题5分，共60分）1. 已知全集}5,4,3,2,1,0{=U ，集合}5,3,2,1{=A ，}4,2{=B 则B A C U ⋃)(为（）.A.}4,2,1{B.}4{C.}4,2,0{D.}4,32,0{，2. 设R x ∈，则”“12<-x 是”“022>-+x x 的（）条件. A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要3. 设π2log =a ，π21log =b ，2-=πc ，则（）.A.c a b >>B.c b a >>C.b c a >>D.a b c >> 4. 在下列区间中34)(-+=x e x f x 的零点所在区间为（）.A.⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,41 B.⎪⎭⎫ ⎝⎛410， C.⎪⎭⎫ ⎝⎛2141， D.⎪⎭⎫⎝⎛4321， 5. 设函数)1ln()1ln()(x x x f --+=,则)(x f 是（）.A.奇函数，且在()10，上是增函数 B.奇函数，且在()10，上是减函数 C.偶函数，且在()10，上是增函数 D.偶函数，且在()10，上是减函数 6. 已知函数x x x f 2ln )(+=，若2)4(2<-x f ,则实数x 的取值范围是（）.A.)2,2(-B.)5,2(C.)2,5(--D.)2,5(--)52(，⋃ 7. 若)53(log 231+-=ax x y 在[)+∞-,1上单调递减，则a 的取值范围是（）.A.)6,(--∞B.)0,6(-C.]6,8(--D.[]6,8--8.已知)(x f 为偶函数，当0≥x 时，)0)(12()(>--=m x m x f ，若函数))((x f f 恰有4个零点，则m 的取值范围是（）.A.)3,1(B.)1,0(C.],1(+∞D.[]∞+，3二、填空题（每小题5分，共30分）9. 已知复数i z -=1，则=-22z z .10. 不等式2)1(52≥-+x x 的解集是 . 11. 已知曲线x x y ln 342-=的一条切线的斜率为21，则切点的横坐标为 . 12. 函数2x y =与函数x y 2=的图象所谓封闭图形的面积是 . 13. 函数3()12f x x x =-在区间[]3,3-的最小值是 .14. 若函数a x a x x x f --+=)2(2)(2在区间[)1,3-上不是单调函数，则实数a 的取值范围是 .三、解答题（共80分）15. 在锐角△ABC 中，c b a 、、分别为角C B A 、、所对应的边，且A c a sin 23= （1）确定角C 的大小；（2）若7=c ，且△ABC 的面积为233，求b a +的值.16. 某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则被淘汰.已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为525354，，，且各轮问题能否正确回答互不影响.（1）求该选手被淘汰的概率；（2）该选手在选拔中回答问题的个数记为X ,求随机变量X 的分布列与数学期望.17. 某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.（1）设A 为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”求事件A 发生的概率. （2）设X 为事件“选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值”求事件X 发生的概率.18. 如图，在三棱柱111C B A ABC -中，⊥1AA 底面ABC ,1=AB ,31==AA AC ,︒=∠60ABC . （1）证明C A AB 1⊥;（2）求异面直线1AB 和1BC 所成角的余弦值; （3）求二面角B C A A --1的平面角的余弦值.19. 已知3=x 是函数x x x a x f 10)1ln()(2-++=的一个极值点. （1）求a ；（2）求函数)(x f 的单调区间；（3）若直线b y =与函数)(x f y =的图象有3个交点，求b 的取值范围.20. 设函数.21ln )(2bx ax x x f --= （1）当2,3==b a 时，求函数)(x f 的单调区间；（2）令),30(21)()(2≤<+++=x xabx ax x f x F 其图象上任意一点),(00y x P 处切线的斜率81≤k 恒成立，求实数a 的取值范围；（3）当0==b a 时，令,)(,1)()(mx x G xx f x H =-=若)(x H 与)(x G 的图象有两个交点),(11y x A ,),(22y x B ,求证：.2221e x x >AC1C 1A 1B B参考答案1-4 CACC 5-8 ADCB 9.i +1 10.]3,1()1,21[ - 11.2 12.3413.16- 14.)2,6(-15.解：（1）根据正弦定理，2sin c A =2sin sin A C A =，于是sin 2C =，由于是锐角三角形，故3C p =（2）()22222cos 3c a b ab C a bab =+-=+-，()262sin 737373725sin sin s ab C a b ab C C +=+=+=+==，故5a b +=。

天津市新华中学2017-2018学年高二上学期期中考试数学试题

天津市新华中学2020-2021学年高二上学期期中考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．直线1x =-的斜率为（）．A B C ．D ．2．若直线1ax by +=与圆221x y +=有两个公共点，则点(),P a b 与圆221x y +=的位置关系是（）A ．在圆上B ．在圆外C ．在圆内D ．以上都有可能 3．圆224x y +=与圆22260x y y ++-=的公共弦长为（）A ．1B ．2CD ．4．已知椭圆2212516x y +=的两个焦点分别为1F ，2F ，斜率不为0的直线l 过点1F ，且交椭圆于A ，B 两点，则2ABF 的周长为（）．A ．10B ．16C ．20D ．255．若过椭圆22194x y +=内一点(3,1)P 的弦被该点平分，则该弦所在的直线方程为（）．A ．34130x y +-=B ．3450x y --=C ．43150x y +-=D ．不存在6．经过点M -且与双曲线22143x y -=有相同渐近线的双曲线方程是（）． A ．22168x y -= B ．22186y x -= C ．22=168y x - D ．22186x y -= 7．若双曲线22136x y -=的两个焦点1F ，2F ，P 为双曲线上一点，且12120F PF ∠=︒，则12F PF △的面积为（）．A B ．C ．D ．8．设双曲线22221x y a b-=（a>0,b>0）的右焦点为F ，右顶点为A,过F 作AF 的垂线与双曲线交于B,C 两点，过B,C 分别作AC ，AB 的垂线交于点D ．若D 到直线BC 的距离小于a （）A ．(1,0)(0,1)- B ．(,1)(1,)-∞-+∞C ．(⋃D ．(,(2,)-∞+∞二、填空题9．若圆的半径为1，其圆心与点关于直线对称，则圆的标准方程为_______.10．若双曲线221y x m-=m =__________． 11．经过两点111,33P ⎛⎫⎪⎝⎭，210,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭的椭圆的标准方程为__________． 12．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线于交M 、N 两点，若60MAN ∠=，则C 的离心率为__________．13．已知圆22:(36M x y += 及定点N ，点P 是圆M 上的动点，点Q 在NP 上，点G 在MP 上，且满足2NP NQ =，0GQ NP =．则动点G 的轨迹C 的方程为．14．已知1F 、2F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且12π3F PF ∠=，则椭圆和双曲线的离心率的平方和的最小值为__________．三、解答题15．已知圆22:(2)2C x y -+=．（1）求与圆C 相切，且在x 轴、y 轴上的截距相等的直线方程．（2）已知过点(1,3)P 的直线l 交圆C 于A 、B 两点，且||2AB =，求直线l 的方程．16．已知椭圆2222:1(0,0)x y E a b a b+=>>过点(0,2)A ，且离心率为2．（1）求椭圆E 的方程．（2）已知双曲线C 的离心率是椭圆E 的离心率的倒数，其顶点为椭圆的焦点，求双曲线C 的方程．17．平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>左、右焦点分别是12,F F ，以1F 为圆心以3为半径的圆与以2F 为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C 上.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设椭圆2222:144+=x y E a b，P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线y kx m =+交椭圆E 于,A B 两点，射线PO 交椭圆C 于点Q .（i ）求OQ OP 的值；（ⅱ）求ABQ ∆面积的最大值.参考答案1．A【解析】将1x =-化为斜截式33y x =+A ． 2．B【分析】直线1ax by +=与圆221x y +=1<，即为1<【详解】解：因为直线1ax by +=与圆221x y +=有两个公共点， ||1<，即1<因为点P 1，所以点P 在圆外，故选B ．【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系、点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系的判断方法有：1.圆心到直线的距离与半径做比较；2.联立直线与圆的方程，根据方程组根的个数进行判断． 3．D【解析】两圆方程相减，得公共弦所在直线方程为1y =，圆224x y +=的半径2R =，圆心()0,0到直线1y =的距离1d =，则弦长l ==D ．4．C【解析】由题意可得5a =，2ABF 周长221122C AB AF BF AF BF AF BF =++=+++1212()(+)AF AF BF BF =++420a ==.故选C ．点睛：本题考查椭圆的定义；在解决过椭圆或双曲线的两焦点的弦长问题时，往往要利用椭圆或双曲线的定义进行处理，如本题中利用椭圆的定义将求三角形的周长转化为A ，B 到椭圆的两个焦点的距离的和.5．D【解析】【分析】由题意首先考查点与椭圆的位置关系，然后再确定满足题意的弦是否存在即可。

天津市南开中学高二数学上学期第十三周周练试题理(无答案)新人教A版

天津南开中学高二上第十三周数学周练选择题1．椭圆221259x y +=上一点M 到焦点1F 的距离为2，N 是1MF 的中点，O 是椭圆中心，则ON 的值是（）．A ．2B ．4C ．8D ．322．若椭圆的离心率为12，左焦点到左顶点的距离为1，则椭圆的长轴长是（）．A ．4 BC ． 2 D．3．已知点()()1,0,1,0A B -，若点(),C x y 满足4x =-，则AC BC +=（）． A ．2 B ．4 C ．6 D ．与x y 、有关4．已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，满足120MF MF ⋅=u u u u r u u u u r 的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（）．A ．(0,1)B ．1(0,]2C ．(0,2D ．,1)25．设12(,0),(,0)F c F c -是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的两个焦点，P 是以12F F 为直径的圆与椭圆的一个交点，若12215PF F PF F ∠=∠，则椭圆的离心率为（）． A ．23 B ．22 C ．36 D ．326．椭圆22154x y +=的右焦点为F ，设2A ⎛- ⎝，P 是椭圆上一动点，则F D CB A 5AP A ．()50, B ．()02,C ．532,⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ D ．()02,-或()02, 7．已知如图，椭圆的离心率为12，F 为椭圆的左焦点，A 、B 、C 为椭圆的顶点，直线AB 与FC 交于点D ，则tan BDC ∠=（）．A ．33-．33-C ．33．33+8．已知椭圆2222x y a b +=的四个顶点为A 、B 、C 、D ，若四边形ABCD 的内切圆恰好过椭圆的焦点，则椭圆的离心率为（）．A ．35-B ．35+C ．51-D ．51+9．设12F F ，分别是椭圆22221x y a b +=（0a b >>）的左、右焦点，若在其右准线上存在,P 使线段1PF 的中垂线过点2F ，则椭圆离心率的取值范围是（）．A ．202⎛ ⎝⎦，B ．30⎛ ⎝⎦，C ．21⎫⎪⎪⎣⎭D ．313⎫⎪⎪⎣⎭10．如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 处变轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用12c 和22c 分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用12a 和22a分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子：①1122a c a c +=+；②1122a c a c -=-；③1212c a a c >；④11c a ＜22c a ．其中正确式子的序号是( )．A ． ①③B ． ②③C ． ①④D ． ②④二．填空题11．设()00P x ,y 是椭圆12222=+b y a x 上一动点，1F ，2F 是椭圆的两焦点，当0x = 时，12PF PF ⋅最大，最大值为；当0x = 时，12PF PF ⋅最小，最小值为．12．椭圆22436x y +=的弦被()42,平分，则此弦所在直线方程为___________________． 13.设椭圆2212516x y +=上一点P 到左准线的距离为10，F 是该椭圆的左焦点，若点M 满足()12OM OP OF =+u u u u r u u u r u u u r ，则OM =u u u u r ___________________． 14．已知直线l 交椭圆2212016x y M N+=于、两点，椭圆与y 轴的正半轴交于B 点，若MBN V 的重心恰好落在椭圆的右焦点上，则直线l 方程为 ____________________．15．过椭圆()222210x y a b a b +=>>的左焦点F 且倾斜角为60︒的直线交椭圆于A 、B 两点，若2AF FB =u u u r u u u r ，则椭圆的离心率为____________________．三．解答题16．过椭圆C ：2214x y +=的右焦点作一直线l 交椭圆C 于M 、N 两点，且M 、N 到直线x =3，求直线l 的方程．17．过椭圆2222x y +=的左焦点引一条倾斜角为45︒的直线，求以此直线与椭圆的两个交点及椭圆中心为顶点的三角形的面积．18．已知()130F ,-，()230F ,分别是椭圆的左、右焦点，P 是该椭圆上的点，满足212PF F F ⊥，12F PF ∠的平分线交12F F 于()10M ,，求椭圆方程．19.设椭圆中心是原点，长轴在x轴上，离心率为2e =，已知点302P ,⎛⎫ ⎪⎝⎭到该椭圆上的点的最远距离为7，求椭圆方程，并求椭圆上到点P 距离为7的点的坐标．。

天津七校联考2017-2018学年高二上学期期中考试数学文试题含解析精品

2017~2018学年度第一学期期中七校联考高二数学试卷一、选择题：（本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．直线:10l mx y m -+-=与圆22:(1)5C x y +-=的位置关系是（）．A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定【答案】A【解析】直线:10l mx y m -+-=，即1(1)y m x -=-，即直线过(1,1)点，∵把(1,1)点代入圆的方程有10+<∴点(1,1)在圆的内部，∴过(1,1)点的直线一定和圆相交．故选A ．2．在梯形ABCD 中，π2ABC ∠=，AD BC ∥，222BC AD AB ===．将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（）．A ．2π3B ．4π3C ．5π3D ．2π【答案】C【解析】由题意可知几何体的直观图如图：旋转体是底面半径为1，高为2的圆锥，挖去一个相同底面高为1的倒圆锥，几何体的体积为：2215π1π21π133⋅-⨯⨯=，综上所述．故选C ．3．已知平面α，β，直线l ，m ，且有l α⊥，m β⊂，则下列四个命题正确的个数为（）．①若αβ∥，则l m ⊥；②若l m ∥，则l β∥； ③若αβ⊥，则l m ∥；④若l m ⊥，则l β⊥； A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A 【解析】若αβ∥，则l β⊥，又由m β⊂，故l m ⊥，故①正确；若l m ∥，m β⊂，则l β∥或l β⊂，故②错误；若αβ⊥，则l 与m 相交、平行或异面，故③错误；若l m ⊥，则l 与β相交，平行或l β⊂，故④错误．故四个命题中正确的命题有1个．故选A ．4．已知点(4,2)(0,0)a b a b >>在圆22:4C x y +=和圆22:(2)(2)4M x y -+-=的公共弦上，则12a b +的最小值为（）． A ．1 B ．2 C ．4 D ．8【答案】D【解析】根据题意，圆C 的方程为224x y +=，圆M 的方程为22(2)(2)4x y -+-=，则其公共弦的方程为2x y +=，又由点(4,2)a b 在两圆的公共弦上，则有422a b +=，即21a b +=，1212(2)a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭， 44a b b a=++，4+≥ 8=，即12a b+的最小值为8．故选D ．5．用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图是如图所示的一个正方形，则原来的图形是（）．A ．B．C． D ．【答案】A【解析】作出该直观图的原图形，因为直观图中的线段C B x '''∥轴，所以在原图形中对应的线段平行于x 轴且长度不变，点C '和B '在原图形中对应的点C 和B 的纵坐标是O B ''的2倍，则OB =，所以3OC =．故选A ．6．如图，直三棱柱111ABC A B C -，AC BC ⊥，且12C A C C C B ==，则直线1BC 与直线1AB 所成角的余弦值为（）．ABCC 1B 1A 1 ABCD ．35【答案】A【解析】如图所示，建立空间直角坐标系．不妨取1CB =，则122CA CC CB ===．∴(2,0,0)A ，(0,0,1)B ，1(0,2,0)C ，1(0,2,1)B ，∴1(2,2,1)AB =-，1(0,2,1)BC =-．∴111111cos ,||||9AB BCAB BC AB BC ⋅== 故选A ．7．设点P 是函数y =(2,3)()Q a a a -∈R ，则||PQ 的最大值为（）．A2+ B2C D【答案】B【解析】由函数y =22(1)4x y -+=，(0)y ≤，对应的曲线为圆心在(1,0)C ，半径为2的圆的下部分，∵点(2,3)Q a a -，∴2x a =，3y a =-，消去a 得260x y --=，即(2,3)Q a a -在直线260x y --=上，过圆心C 作直线的垂线，垂足为A ，则max ||||222PQ CA =+=+=．故选B ．8．已知圆22630x y x y ++-+=上的两点P ，Q 关于直线40kx y -+=对称，且OP OQ ⊥（O 为坐标原点），则直线PQ 的方程为（）．A ．1322y x =-+B ．1122y x =-+或1524y x =-+C ．1124y x =-+D ．1322y x =-+或1524y x =-+ 【答案】D【解析】联立得2263012x y x y y x b ⎧++-+=⎪⎨=-+⎪⎩，代入整理得225(4)6304x b x b b +-+-+=，设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，∵OP OQ ⊥，∴12120x x y y +=，∴212125()042b x x x x b -++=， ∴222263(4)05b b b b b -+--+=， ∴32b =或54b =，所以直线PQ 的方程为：1322y x =-+或1524y x =-+，经验证符合题意．故选D ．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题5分，共30分．请将答案填在答题卡上） 9．如图，直三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都是2，以A 为坐标原点建立空间直角坐标系，则顶点1B 的坐标是__________．【答案】,2)【解析】∵直三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都是2，∴B ，∴顶点1B的坐标是,2)，故答案为：,2)．10．经过点(2,)M m -、(,4)N m 的直线的斜率等于1，则m 的值为__________．【答案】1【解析】经过点(2,)M m -、(,4)N m 的直线斜率为1， ∴412m m -=+，解得：1m =．故答案为：1．11．将边长为a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使BD a =，则三棱锥D ABC -的体积为__________．【解析】如图所示，DAB C OD A B C O 设对角线ACBD O =，∴OB OD ==．∵222222OB OD a BD ⎫+=⨯==⎪⎪⎝⎭，∴OB OD ⊥，又OD AC ⊥，AC OB O =，∴OD ⊥平面ACB ，∴三棱锥D ABC -的体积，13ABC V OD S =⨯⨯△，21132a =⨯，=．12．一只虫子从点(0,0)出发，先爬行到直线:10l x y -+=上的P 点，再从P 点出发爬行到点(1,1)A ，则虫子爬行的最短路程是__________．【答案】2【解析】如图所示：设(1,1)A 关于直线1y x =+的对称点是(,)B a b ，连接OB 和直线1y x =+交于C 点，则OC CA +最短，由11111122b a b a -⎧=-⎪⎪-⎨++⎪=+⎪⎩，解得(0,2)B ，故直线OB 和1y x =+的交点是(0,1)，故112OC CA +=+=．故答案为：2．13．一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为__________．正视图侧视图俯视图【答案】3(6π)m +【解析】由图得，此图形是由一个长为3，宽为2，高为1的长方体和一个底面半径1，高为3的圆锥组成，所以21321π133V =⨯⨯+⨯⨯⨯， 6π=+．∴体积为3(6π)m +．14．若圆2221:240()C x y ax a a +++-=∈R 与圆2222:210()C x y by b b +--+=∈R 恰有三条公切线，则a b +的最大值为__________．【答案】D【解析】曲线22630x y x y ++-+=可变为：22215(3)22x y ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得到圆心1,32⎛⎫- ⎪⎝⎭，半径为52．因为圆上有两点P 、Q 关于直线40kx y -+=对称，得到圆心在直线40kx y -+=上，把1,32⎛⎫- ⎪⎝⎭代入到40kx y -+=中求出2k =，且PQ 与直线垂直，所以直线PQ 的斜率112k -==-，设PQ 方程为12y x b =-+，联立得2263012x y x y y x b ⎧++-+=⎪⎨=-+⎪⎩，代入整理得225(4)6304x b x b b +-+-+=，设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，∴12120x x y y +=， ∴212125()042b x x x x b -++=， ∴222263(4)05b b b b b -+--+=， ∴32b =或54b =，所以直线PQ 的方程为：1322y x =-+或1524y x =-+，经验证符合题意．故选D ．三、解答题：（本大题共6个小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．（本小题满分13分）已知圆22:2220C x y x y ++--=和直线:34140l x y ++=．（1）求圆C 的圆心坐标及半径．（2）求圆C 上的点到直线l 距离的最大值．【答案】见解析．【解析】（1）圆22:2220C x y x y ++--=，转化为：22(1)(1)4x y ++-=，则：圆心坐标为(1,1)-，半径2r =．（2）利用（1）的结论，圆心(1,1)-到直线34140x y ++=的距离3d ==．最大距离为：325d r +=+=．16．（本小题满分13分）如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是菱形，60BCD ∠=︒，PA ⊥平面ABCD ，E 是AB 的中点，F 是PC 的中点．D AB C E FP（1）求证：平面PDE ⊥平面PAB ．（2）求证：BF ∥平面PDE ．【答案】见解析．【解析】（1）∵底面ABCD 是菱形，60BCD ∠=︒， ∴ABD △为正三角形，E 是AB 的中点，DE AB ⊥，PA ⊥平面ABCD ，DE ⊂平面ABCD ，∴DE AP ⊥，∵AP AB A =，∴DE ⊥平面PAB ，∵DE ⊂平面PDE ，∴平面PDE ⊥平面PAB ．（2）取PD 的中点G ，连结FG ，GE ，GPF E C B A D∵F ，G 是中点，∴FG CD ∥且12FG CD =，∴FG 与BE 平行且相等，∴BF GE ∥，∵GE ⊂平面PDE ，BF ⊄平面PDE ，∴BF ∥平面PDE ．17．（本小题满分13分）已知点(2,1)P -．（1）求过点P 且与原点距离为2的直线l 的方程．（2）求过点P 且与原点距离最大的直线l 的方程，最大距离是多少？【答案】见解析．【解析】（1）①当l 的斜率k 不存在时显然成立，此时l 的方程为2x =． ②当l 的斜率k 存在时，设:1(2)l y k x +=-，即210kx y k ---=，2=，解得34k =， ∴:34100l x y --=．故所求l 的方程为2x =或34100x y --=．（2）即与OP 垂直的直线为距离最大的． ∵12OP k =-， ∴2l k =．∴直线为250x y --=．最大距离d ．18．（本小题满分13分）如图，四边形ABCD 为矩形，四边形BCEF 为直角梯形，BF CE ∥，BF BC ⊥，BF CE <，2BF =，1AB =，AD =DA B CEF（1）求证：BC AF ⊥．（2）求证：AF ∥平面DCE ．（3）若二面角E BC A --的大小为120︒，求直线DF 与平面ABCD 所成的角．【答案】见解析．【解析】证明：（1）∵四边形ABCD 为矩形，∴AB BC ⊥，又∵BF BC ⊥，AB ，BF ⊂平面ABF ，ABBF B =，∴BC ⊥平面ABF ，∵AF ⊂平面ABF ，∴BC AF ⊥．（2）∵BF CE ∥，BF ⊄平面CDE ，CE ⊂平面CDE ， ∴BF ∥平面CDE ．∵四边形ABCD 是矩形，∴AB CD ∥，又AB ⊄平面CDE ，CD ⊂平面CDE ，∴AB ∥平面CDE ，又AB ，BF ⊂平面ABF ，AB BF B =，∴平面ABF ∥平面CDE ，∵AF ⊂平面ABF ，∴AF ∥平面DCE ．（3）过F 作FN 与AB 的延长线垂直，N 是垂足，连结DN ．FECA D∵BC AB ⊥，BC BF ⊥，∴ABF ∠就是二面角E BC A --的平面角，∴120ABF ∠=︒，60FBN ∠=︒， ∴112BN BF ==，FN =， ∵1AB =，AD =90BAD ∠=︒，∴3DN =．∵BC ⊥平面ABF ，BC ⊂平面ABCD ，∴平面ABF ⊥平面ABCD ，又平面ABF平面ABCD AB =，FN AB ⊥，∴FN ⊥平面ABCD ，∴FDN ∠是直线DF 与平面ABCD 所成的角，∴tan FN FDN DN ∠== ∴30FDN ∠=︒，∴直线DF 与平面ABCD 所成的角为30︒．19．（本小题满分14分）如图，三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都是2，1AA ⊥平面ABC ，D ，E 分别是AC ，1CC 的中点．D A B CE C 1B 1A 1（1）求证：AE ⊥平面1A BD ．（2）求二面角1D BA A --的余弦值．（3）求点1B 到平面1A BD 的距离．【答案】见解析．【解析】（1）证明：∵1AA ⊥平面ABC ，BD ⊂平面ABC ， ∴1AA BD ⊥，∵ABC △是等边三角形，∴BD AC ⊥，又1AA AC A =，∴BD ⊥平面11AA C C ，以D 为原点建立空间直角坐标系如图所示：A则(1,0,0)A ，(1,1,0)E -，1(1,2,0)A ，(0,0,0)D，B ， ∴(2,1,0)AE =-，1(1,2,0)DA =，DB =，∴10AE DA ⋅=，0AE DB ⋅=，∴1AE DA ⊥，AE DB ⊥，又1DA DB D =， ∴AE ⊥平面1A BD ．（2）1(0,2,0)AA =，(AB =-，设平面1AA B 的法向量为(,,)n x y z =，则100n AA n AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，∴200y x =⎧⎪⎨-=⎪⎩，令1z =得(3,0,1)n =，又AE 为平面1A BD 的法向量，∴二面角1D BA A --的余弦值为2cos ,||||n AE n AE n AE ⋅==， =．（3）11(1A B AB ==-， 1111112cos ,22||||A B AEA B AE A B AE ⋅==⋅， 12=， ∴直线11A B 与平面1A BD 所成角的正弦值为12，∴点1B 到平面1A BD 的距离为11112A B ⨯=．20．（本小题满分14分）已知圆22:(2)1M x y +-=，Q 是x 轴上的动点，QA ，QB 分别切圆M 于A ，B 两点．（1）当Q 的坐标为(1,0)时，求切线QA ，QB 的方程．（2）求四边形QAMB 面积的最小值．（3）若||AB =MQ 的方程．【答案】见解析．【解析】（1）当过Q 的直线无斜率时，直线方程为1x =，显然与圆相切，符合题意；当过Q 的直线有斜率时，设切线方程为(1)y k x =-，即0kx y k --=， ∴圆心(0,2)到切线的距离1d ==，解得34k =-，综上，切线QA ，QB 的方程分别为1x =，3430x y +-=．（2）2MAQ QAMB S S =四边形△，【注意有文字】1212=⨯⨯∴当MQ x ⊥轴时，MQ 取得最小值2，∴四边形QAMB（3）圆心M 到弦AB 13，设MQ x =，则221QA x =-，又AB MQ ⊥，∴222113x x ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭⎝⎭，解得3x =．∴M 或(M ，∴直线MQ 的方程为2y =+或2y =．。

2017-2018年天津市红桥区高二(上)期中数学试卷及参考答案(理科)

2017-2018学年天津市红桥区高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题4分，满分32分）1．（4分）若直线过点（1，2），（4，2+）则此直线的倾斜角是（）A．B．C．D．2．（4分）两条直线ax﹣y﹣2=0和3x﹣（a+2）y+1=0互相平行，则a的值是（）A．1或﹣3 B．﹣1或3 C．1或3 D．﹣1或﹣33．（4分）在空间，下列命题正确的是（）A．如果平面α内的一条直线a垂直于平面β内的任意一条直线，则α⊥β．B．如果直线a与平面β内的一条直线平行，则a∥βC．如果直线a与平面β内的两条直线都垂直，则a⊥βD．如果平面α内的两条直线都平行于平面β，则α∥β4．（4分）已知点A（1，2），B（3，1），则线段AB的垂直平分线的方程为（）A．4x+2y﹣5=0 B．4x﹣2y﹣5=0 C．x+2y﹣5=0 D．x﹣2y﹣5=05．（4分）设直线l⊂平面α，过平面α外一点A与l，α都成30°角的直线有且只有（）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条6．（4分）函数y=a1﹣x（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny ﹣1=0（mn＞0）上，则的最小值为（）A．3 B．4 C．5 D．67．（4分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线（）A．不存在B．有且只有两条C．有且只有三条D．有无数条8．（4分）设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y），则|PA|+|PB|的最小值为（）A．B． C．D．二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）9．（4分）直线x﹣2y+1=0关于直线x=1对称的直线方程是．10．（4分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB的中点为M，DD1的中点为N，则异面直线B1M与CN所成角的度数是．11．（4分）已知点M（a，b）在直线3x+4y=15上，则的最小值为．12．（4分）设a，b为两条直线，α，β为两个平面，下列有四个命题：（1）若a，b与α所成角相等，则a∥b；（2）若a∥α，b∥β，α∥β，则a∥b；（3）若a⊂α，b⊂β，a∥b，则α∥β；（4）若a⊥α，b⊥β，α⊥β，则a⊥b．其中真命题是．（写出所有真命题的序号）13．（4分）如图，在长方形ABCD中，AB=2，BC=1，E为DC的中点，F为线段EC（端点除外）上一动点，现将△AFD沿AF折起，使平面ABD⊥平面ABC，在平面ABD内过点D作DK⊥AB，K为垂足，设AK=t，则t的取值范围是．三、解答题（共4小题，满分48分）14．（10分）（Ⅰ）已知两条直线l1：x+2ay﹣1=0，l2：2x﹣5y=0，且l1⊥l2，求满足条件的a的值．（Ⅱ）已知直线l经过直线2x+y﹣5=0与x﹣2y=0的交点，且点A（5，0）到直线l的距离为3，求直线l的方程．15．（12分）如图，矩形ABCD中，AD⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，F为CE上的一点，且BF⊥平面ACE，AC与BD交于点G．（1）求证：AE⊥平面BCE；（2）求证：AE∥平面BFD；（3）求三棱锥C﹣BFG的体积．16．（13分）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD=CD=1，AA1=AB=2，E为棱AA1的中点．（Ⅰ）证明B1C1⊥CE；（Ⅱ）求二面角B1﹣CE﹣C1的正弦值．（Ⅲ）设点M在线段C1E上，且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为，求线段AM的长．17．（13分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为2的正方形，侧面PCD⊥底面ABCD，且PC=PD=2，M，N分别为棱PC，AD的中点．（1）求证：BC⊥PD；（2）求异面直线BM与PN所成角的余弦值；（3）求点N到平面MBD的距离．2017-2018学年天津市红桥区高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题4分，满分32分）1．（4分）若直线过点（1，2），（4，2+）则此直线的倾斜角是（）A．B．C．D．【解答】解：设直线的倾斜角为α，则tanα==，又∵α∈[0，π]，∴α=．故选：A．2．（4分）两条直线ax﹣y﹣2=0和3x﹣（a+2）y+1=0互相平行，则a的值是（）A．1或﹣3 B．﹣1或3 C．1或3 D．﹣1或﹣3【解答】解：∵两条直线ax﹣y﹣2=0和3x﹣（a+2）y+1=0互相平行，∴，解得a=1或a=﹣3．∴a的值为1或﹣3．故选：A．3．（4分）在空间，下列命题正确的是（）A．如果平面α内的一条直线a垂直于平面β内的任意一条直线，则α⊥β．B．如果直线a与平面β内的一条直线平行，则a∥βC．如果直线a与平面β内的两条直线都垂直，则a⊥βD．如果平面α内的两条直线都平行于平面β，则α∥β【解答】解：在A中，如果平面α内的一条直线a垂直于平面β内的任意一条直线，则由面面垂直的判定理得α⊥β，故A正确；在B中，如果直线a与平面β内的一条直线平行，则a∥β或a⊂β，故B错误；在C中，如果直线a与平面β内的两条相交直线都垂直，则a⊥β，故C错误；在D中，如果平面α内的两条相交直线都平行于平面β，则α∥β，故D错误．故选：A．4．（4分）已知点A（1，2），B（3，1），则线段AB的垂直平分线的方程为（）A．4x+2y﹣5=0 B．4x﹣2y﹣5=0 C．x+2y﹣5=0 D．x﹣2y﹣5=0【解答】解：设P（x，y）为线段AB的垂直平分线上的任意一点，则|PA|=|PB|，∴=，化为4x﹣2y﹣5=0．故选：B．5．（4分）设直线l⊂平面α，过平面α外一点A与l，α都成30°角的直线有且只有（）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条【解答】解：如图，和α成30°角的直线一定是以A为顶点的圆锥的母线所在直线，当∠ABC=∠ACB=30°，直线AC，AB都满足条件故选：B．6．（4分）函数y=a1﹣x（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny ﹣1=0（mn＞0）上，则的最小值为（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：函数y=a1﹣x（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A（1，1），∵点A在直线mx+ny﹣1=0（mn＞0）上，∴m+n=1．则=（m+n）=2+=4，当且仅当m=n=时取等号．故选：B．7．（4分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线（）A．不存在B．有且只有两条C．有且只有三条D．有无数条【解答】解：在EF上任意取一点M，直线A1D1与M确定一个平面，这个平面与CD有且仅有1个交点N，当M取不同的位置就确定不同的平面，从而与CD有不同的交点N，而直线MN与这3条异面直线都有交点．如图：故选：D．8．（4分）设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y），则|PA|+|PB|的最小值为（）A．B． C．D．【解答】解：根据题意，动直线x+my=0过定点（0，0），则A的坐标为（0，0），动直线mx﹣y﹣m+3=0变形可得m（x﹣1）=y﹣3，过定点（1，3），则B的坐标为（1，3），两条动直线交于点P（x，y），当A、B、P三点共线时，|PA|+|PB|取得最小值，且其最小值为|AB|==，故选：B．二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）9．（4分）直线x﹣2y+1=0关于直线x=1对称的直线方程是x+2y﹣3=0．【解答】解：在直线x﹣2y+1=0上任取两点（1，1），（0，），这两点关于直线x=1的对称点分别为（1，1），（2，），过这两点的直线方程为y﹣1=﹣（x﹣1），即x+2y﹣3=0．故答案为：x+2y﹣3=0．10．（4分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB的中点为M，DD1的中点为N，则异面直线B1M与CN所成角的度数是90°．【解答】解：取AA1中点P，连接BP，则BP∥CN，由Rt△ABP≌Rt△BB1M可得∠DMB=∠APB，∴∠DMB+∠DBM=∠APB+∠DBM=90°，∴∠BDM=90°，即B1M⊥BP，∴B1M⊥CN．∴异面直线B1M与CN所成角的度数为90°．故答案为：90°．11．（4分）已知点M（a，b）在直线3x+4y=15上，则的最小值为3．【解答】解：的几何意义是到原点的距离，它的最小值转化为原点到直线3x+4y=15的距离：=3．故答案为3．12．（4分）设a，b为两条直线，α，β为两个平面，下列有四个命题：（1）若a，b与α所成角相等，则a∥b；（2）若a∥α，b∥β，α∥β，则a∥b；（3）若a⊂α，b⊂β，a∥b，则α∥β；（4）若a⊥α，b⊥β，α⊥β，则a⊥b．其中真命题是（4）．（写出所有真命题的序号）【解答】解：（1），a，b与α所成角相等，则这两条直线可以平行、相交、异面，故错误；（2），由a∥α，b∥β，α∥β，可以判定a∥β，b∥β，所以a，b可以平行平行、相交、异面，故错误；（3），由面面平行的判定定，平面α与β可以相交，故错误；（4），a⊥α，则直线a的一个方向向量是α的一个法向量，同理b⊥β，直线b的一个方向向量是β的一个法向量，而α⊥β，则两个平面的法向量垂直，因此a⊥b，故正确．故答案为：（4）13．（4分）如图，在长方形ABCD中，AB=2，BC=1，E为DC的中点，F为线段EC（端点除外）上一动点，现将△AFD沿AF折起，使平面ABD⊥平面ABC，在平面ABD内过点D作DK⊥AB，K为垂足，设AK=t，则t的取值范围是（，1）．【解答】解：此题的破解可采用二个极端位置法，即对于F位于DC的中点时，可得t=1，随着F点到C点时，当C与F无限接近，不妨令二者重合，此时有CD=2因CB⊥AB，CB⊥DK，∴CB⊥平面ADB，即有CB⊥BD，对于CD=2，BC=1，在直角三角形CBD中，得BD=，又AD=1，AB=2，再由勾股定理可得∠BDA是直角，因此有AD⊥BD再由DK⊥AB，可得三角形ADB和三角形AKD相似，可得t=，因此t的取值的范围是（，1）故答案为（，1）三、解答题（共4小题，满分48分）14．（10分）（Ⅰ）已知两条直线l1：x+2ay﹣1=0，l2：2x﹣5y=0，且l1⊥l2，求满足条件的a的值．（Ⅱ）已知直线l经过直线2x+y﹣5=0与x﹣2y=0的交点，且点A（5，0）到直线l的距离为3，求直线l的方程．【解答】解：（I）∵l1⊥l2，∴a≠0，×=﹣1，解得a=．（II）联立，解得x=2，y=1，可得两条直线的交点为（2，1）．由点A（5，0）到直线x=2的距离为3，∴直线l可为x=2．直线l的斜率存在时，设方程为：y﹣1=k（x﹣2），则=3，解得k=．∴直线l的方程为y﹣1=（x﹣2）．综上可得直线l的方程为：4x﹣3y﹣5=0或x=2．15．（12分）如图，矩形ABCD中，AD⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，F为CE上的一点，且BF⊥平面ACE，AC与BD交于点G．（1）求证：AE⊥平面BCE；（2）求证：AE∥平面BFD；（3）求三棱锥C﹣BFG的体积．【解答】证明：（1）∵AD⊥平面ABE，AD∥BC，∴BC⊥平面ABE，又AE⊂平面ABE，∴AE⊥BC，又∵BF⊥平面ACE，AE⊂平面ACE，∴AE⊥BF，∵BC∩BF=B，且BC，BF平面BCE，∴AE⊥平面BCE．…（4分）（2）∵矩形ABCD中，AC与BD交于点G．∴依题意可知点G是AC的中点．由BF⊥平面ACE，知CE⊥BF而BC=BE，∴点F是EC中点．∴在△AEC中，FG∥AE又∵FG⊂平面BFD，AE⊄平面BFD∴AE∥平面BFD…（8分）解：（3）∵AE∥FG且AE⊥平面BCE∴FG⊥平面BCE，即FG⊥平面BCF∵点G是AC中点，F是CE中点，∴FG=AE=1又知RtBCE中，CE==BF=CF=CE=所以S BCF==1所以V CBFG=V GBCF=S BCF FG=…（12分）16．（13分）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD=CD=1，AA1=AB=2，E为棱AA1的中点．（Ⅰ）证明B1C1⊥CE；（Ⅱ）求二面角B1﹣CE﹣C1的正弦值．（Ⅲ）设点M在线段C1E上，且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为，求线段AM的长．【解答】（Ⅰ）证明：以点A为原点建立空间直角坐标系，如图，依题意得A（0，0，0），B（0，0，2），C（1，0，1），B1（0，2，2），C1（1，2，1），E（0，1，0）．则，而=0．所以B1C1⊥CE；（Ⅱ）解：，设平面B1CE的法向量为，则，即，取z=1，得x=﹣3，y=﹣2．所以．由（Ⅰ）知B1C1⊥CE，又CC1⊥B1C1，所以B1C1⊥平面CEC1，故为平面CEC1的一个法向量，于是=．从而==．所以二面角B1﹣CE﹣C1的正弦值为．（Ⅲ）解：，设0≤λ≤1，有．取为平面ADD1A1的一个法向量，设θ为直线AM与平面ADD1A1所成的角，则==．于是．解得．所以．所以线段AM的长为．17．（13分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为2的正方形，侧面PCD⊥底面ABCD，且PC=PD=2，M，N分别为棱PC，AD的中点．（1）求证：BC⊥PD；（2）求异面直线BM与PN所成角的余弦值；（3）求点N到平面MBD的距离．【解答】（1）证明：如图，因为侧面PCD⊥底面ABCD，取DC中点O，因为PC=PD=2，则PO⊥交线CD，所以PO⊥底面ABCD，如图，以OC，OP所在直线分别为y轴和z轴建立空间直角坐标系，则A（2，﹣1，0），B（2，1，0），C（0，1，0），D（0，﹣1，0），P（0，0，），N（1，﹣1，0），，则，所以BC⊥PD；（2）解：设异面直线BM与PN所成角为θ，则．所以异面直线BM与PN所成角的余弦值为；（3）解：因为．设平面MBD的一个法向量为=（x，y，z），由，得，取y=﹣1，得x=1，z=﹣．所以，又，所以点N到平面MBD的距离d=．。

2017-2018学年天津市第一中学高二下学期期中考试数学(理)试题(解析版)

2017-2018学年天津市第一中学高二下学期期中考试数学（理）试题一、单选题1．设1z i =+（i 为虚数单位），则 22z z+=（） A. 1i -- B. 1i -+ C. 1i + D. 1i -【答案】C【解析】分析：把1z i =+ 代入，利用复数的四则运算法则计算即可.详解： ()()222212111z i i i i z i+=++=+-=++，故选C. 点睛：本题考查复数的计算，属于基础题.2．曲线2x y e =在点()24,e 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）A. 2eB. 24eC. 22e D.292e 【答案】A【解析】分析：求出函数的导数后再求切线的斜率，从而求出切线方程，再求该切线的横截距和纵截距可得三角形的面积.详解： 21'2x y e =，所以212k e =，切线方程为： ()22142y e e x -=-即2212y e x e =-. 令0x =，则2y e =-；令0y =，则2x =，故面积为22122e e ⨯⨯=，故选A. 点睛：本题考查曲线在某点处切线的求法，属于基础题. 3．下列函数中，在()0,+∞上为增函数的是（）A. ()sin?2f x x =B. ()ln f x x x =-+C. ()3f x x x =- D. ()xf x xe =【答案】D【解析】分析：考虑4个函数在()0,+∞上的导数的符号即可.详解：对于A 中的函数，有()'2cos2f x x =，当()0,x ∈+∞时， ()f x 的符号有正有负，故()f x 在()0,+∞上不是增函数；对于B ， ()11'1xf x x x-=-=，当()1,x ∈+∞时， ()'0f x <，故()f x 在()0,+∞上不是增函数；对于C ， ()2'31f x x =-=，当x ⎛∈ ⎝⎭时， ()'0f x <，故()f x 在()0,+∞上不是增函数；对于D ， ()()'1xf x x e =+，当()0,x ∈+∞时， ()'0f x >，故()f x 在()0,+∞上是增函数；故选D.点睛：如果在区间(),a b 内，有()'0f x >，则()f x 在(),a b 上为单调增函数；如果在区间(),a b 内，有()'0f x <，则()f x 在(),a b 上为单调减函数.反之，若()f x 在(),a b 上为单调增函数，则()'0f x ≥；若()f x 在(),a b 上为单调减函数，则()'0f x ≤. 4．已知定义在R 上的可导函数()y f x =的导函数为()f x '，满足()()f x f x <'，且()02f =，则不等式()2xf x e>的解集为（）A. (),0-∞B. ()0,+∞C. (),2-∞D. ()2,+∞ 【答案】B【解析】分析：构建新函数()()xf x F x e=，由()'0F x >得到()F x 为R 上的增函数，结合()02F =得到不等式()2F x >的解集为()0,+∞ . 详解：令()()xf x F x e =，则()()()''0xf x f x F x e -=>，从而()F x 为R 上的单调增函数，有()02F =，而()2xf x e>即为()2F x >，从而其解集为()0,+∞，故选B.点睛：注意依据原函数与其导函数的关系构建合适的新函数，再利用导数讨论该函数的单调性，从而求出不等式的解集. 5．用数学归纳法证明“11112321n n +++⋯+<- *1n N n ∈（，＞）”时，由1n k k =（＞）不等式成立，推证1n k =+时，左边应增加的项数是（）A. 12k - B. 21k - C. 2k D. 21k+【答案】C【解析】分析：数学归纳法证明该命题时，归纳假设为“设当n k =时，11112321k k ++++<- ”，而要归纳证明的结论是：“1111112321k k +++++<+- ”，所以增加的项数为121212k k k +--+=. 详解：推证1n k =+时，要证明的结论为1111111111123212212221k k k k k k +++++++++++<+-+-- ，从而增加的项数为121212k k k +--+=，故选C.点睛：在数学归纳法的证明中，我们要关注从归纳假设到归纳证明的不等式之间的变化特点，必要时可写出数列和的末两项或末三项，便于看出规律.6．已知函数()xe f x mx x=- (e 为自然对数的底数)，若()0f x >在()0,+∞上恒成立，则实数m 的取值范围是（）A. (),2-∞B. (),e -∞C. 2,4e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D.2,4e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】分析：不等式0x e mx x ->在()0,+∞上恒成立等价于2xe m x<在()0,+∞上恒成立，可利用导数求()2xe g x x=在()0,+∞上的函数的最小值.详解：因为0x e mx x ->在()0,+∞上恒成立，故在()0,+∞上不等式2xe m x <总成立，令()2xe g x x =，则()()32'x e x g x x -=.当()0,2x ∈时， ()'0g x <，故()g x 在()0,2上为减函数；当()2,x ∈+∞时， ()'0g x >，故()g x 在()2,+∞上为增函数；所以()()2min24e g x g ==，故24e m <，故选D.点睛：含参数的不等式的恒成立问题，优先考虑参变分离的方法，注意利用导数来求新函数的最值.7．若点P 是曲线2ln y x x =-上任意一点，则点P 到直线2y x =-的最小距离为（）A. 1B.C.2D. 【答案】B【解析】分析：可设()00,P x y 且P 到直线的距离最小，则曲线在该点处的切线必与已知直线平行，从而可求0x 及点P 到已知直线的距离. 详解：设()00,P x y 且P 到直线的距离最小，又1'2y x x =-，令121x x-=，则1x =，故()1,1P .此时P 到直线20x y --== B.点睛：曲线上的动点到定直线的最小距离可转化为曲线某点处的切线与已知直线平行的问题.8．设函数 ()2ln f x x ax bx =++，若 1x =是函数()f x 的极大值点，则实数a 的取值范围是（） A. 1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ B. (),1-∞ C. [)1,+∞ D. 1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】A【解析】分析：先求出()221'ax bx f x x++= ，根据()f x 在1x =处取极大值得到221y ax bx =++有零点1x =且在1x =的左侧附近为0y >，在1x =的右侧附近0y <.分0,0,0a a a =><三种情况讨论即可得到a 的取值范围.详解： ()2121'2ax bx f x ax b x x++=++= ，因为()f x 在1x =处取极大值，故()'10f =且()'f x 在1x =的左侧附近为正，在1x =的右侧附近为负.当0a =时， 1b =-，此时()1'xf x x-=，当()0,1x ∈时， ()'0f x >，当()1,x ∈+∞时， ()'0f x < 故()f x 在1x =处取极大值.当0a >时， 1x =应为2210ax bx ++=的较小的正根，故112a >，故102a <<；当0a <时， 2210ax bx ++=有一个正根和负根，因对应的二次函数开口向下，故正跟为1x =即可，故0a <时，总存在b 使得1x =为()f x 的极大值点. 综上，a 的取值范围为1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，故选A .点睛：对于(),a b 上的可导函数()y f x =，（1）若在()()00,x x x a b =∈处取极大值，则()0'0f x =且()'f x 在0x x =的左侧附近为正，在0x x =的右侧附近为负；（2）若在()()00,x x x a b =∈处取极小值，则()0'0f x =且()'f x 在0x x =的左侧附近为负，在0x x =的右侧附近为正.9．函数()32f x x bx cx d =+++的大致图象如图所示,则2212x x +等于（）A.89 B. 109 C. 169 D. 289【答案】C【解析】分析：根据函数的图像可以得到函数的三个不同的零点及12,x x 为函数的两个不同的极值点，前者可以得到函数的解析式，后者为函数的导数的零点，从而利用韦达定理求出2212x x +的值. 详解：由图像可知()0f x =有三个实数解，分别为1,0,2-，故()()()32122f x x x x x x x =+-=--，所以()2'322f x x x =--.注意到12,x x 为()f x 的极值点，故它们也是()'0f x =的两个根.又()22212121244162939x x x x x x +=+-=+=，故C . 点睛：题设中的函数图像隐含了函数的零点及其函数的极值点，解题时注意扑捉这些有用的信息.另外，当我们知道函数的零点后，可以类比二次函数的双根式得到三次函数的解析式的形式. 10．已知(){|0}M fαα==, (){|0}N g ββ==,若存在M α∈， N β∈，使得n αβ-<，则称函数 ()f x 与 ()g x 互为“n 度零点函数”.若()231x f x -=-与()2x g x x ae =-互为“1 度零点函数”，则实数a 的取值范围为（）A. 3294,e e ⎛⎤⎥⎝⎦ B. 214,e e ⎛⎤ ⎥⎝⎦ C. 242,e e ⎛⎤ ⎥⎝⎦ D. 3349,e e ⎛⎤⎥⎝⎦【答案】B【解析】分析：详解： {}2M =，所以21β-<， 13β<<，故()2xg x x ae =-在()1,3内存在零点，也就是2x a x e -=在()1,3内存在零点.令()2xh x x e -= ，故()()2'2xh x x x e -=-.当()1,2x ∈时， ()'0h x >， ()h x 在()1,2上为增函数；当()2,3x ∈时， ()'0h x <， ()h x 在()2,3上为减函数，故()h x 在()1,3上的值域为214,e e ⎛⎤⎥⎝⎦，故选B. 点睛：本题为导数中的新定义题，其本质为含参数的函数在确定的范围上存在零点，可利用参变分离把零点问题转化为不含参数的函数的值域问题.二、填空题11．已知函数 ()()()21221f x f x x f =++'，则 ()2f '的值为__________．【答案】-6【解析】分析：函数表达式中有两个参数()()1,'1f f ，因此需要构建()()1,'1f f 的方程组求出它们的值后才能求()'2f 的值．详解：令1x =，则()()1'12f f +=-①．又()()'2'12f x f x =+，故令1x =得()'12f =-，由①得()10f =，故()222f x x x =-+， ()'42f x x =-+，所以()'26f =-．填6-．点睛：本题考查函数解析式的求法，因原函数中含有特定导数值，故常利用导函数构建与特定导数值相关的方程或方程组，解出它们的值即可．12．曲线 2y x=与直线1y x =-及4x =所围成的封闭图形的面积为__________．【答案】42ln2-【解析】分析：封闭图形为两个曲边梯形的面积之差，故可以利用定积分求它的面积．详解：令21x x-=，解得1x =-（舎）或2x =．如图，所求面积为()424222112ln |42ln22x dx x x x x ⎡⎤--=--=-⎢⎥⎣⎦⎰．点睛：曲边梯形的面积可由定积分求出，这类问题是基础题．13．设m R ∈，若函数 ,x y e mx x R =+∈有大于零的极值点，则m 的范围为__________．【答案】1m <-【解析】分析：若函数有大于零的极值点，则导函数有大于零的零点，从而可以求出实数m 的取值范围．详解： 'x y e m =+，令'0y =，则方程0x e m +=有正根，即x m e -=．又,0x y e x =>的值域为()1,+∞，故1m ->即1m <-．填1m <-．点睛：若函数()y f x =在(),a b 内可导，且在()()00,x x x a b =∈取极值，则()0'0f x =，反之，若()0'0f x =，则0x x =未必是()y f x =的极值点．14．对大于或等于 2 的自然数 m 的 n 次方幂有如下分解式：2213=+， 2313+5=+， 241357=+++， L ； 3235=+， 337911=++，L ； 4279=+， L ；按此规律， 45 的分解式中的第三个数为__________．【答案】125【解析】分析：从题设的条件可以看出， 2n 是n 个连续奇数的和， 3n 是从n 个连续奇数的和，故4n 也是n 个连续奇数的和．详解：令452121232527k k k k k =-++++++++，则6251015k =+，故61k =，从而45121123125127129=++++，其分解式中的第三个数为125，填125．点睛：本题考查合情推理，属于基础题，解题的关键是从特殊情况归纳出一般结论． 15．已知函数 ()4322f x x ax x b =+++（ x R ∈），其中,a b R ∈．若函数()f x 仅在0x =处有极值， a 的取值范围为__________．【答案】88,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】分析：导函数()()2'434f x x x ax =++，因此代数式2434x ax ++在R 上为非负，利用判别式非正得到实数a 的取值范围．详解： ()()322'434434f x x ax x x x ax =++=++，因为()f x 仅在0x =取极值，故24340x ax ++≥对任意的x R ∈恒成立，故29640a ∆=-≤，解得88,33a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，填88,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．点睛：函数的导函数为()()',f x xg x x R =∈，该函数仅在0x =处取极值的充要条件是()g x 在R 上恒非负或恒非正．16．设函数 ()221e x f x x +=， ()2x e xg x e =，对任意()12,0,x x ∈+∞，不等式()()121g x f x kk ≤+恒成立，则正数k 的取值范围是__________．【答案】1k ≥【解析】分析：因任意()12,0,x x ∈+∞，总有()()121g x f x kk ≤+，所以()()ma xm i n1g x f x kk ≤+，可利用基本不等式和导数分别求出()()min max f x g x ，，从而解出k 的范围．详解：因为在()0,+∞上， ()21'2f x e x e x =+≥，当且仅当1x e=等号成立，故()f x 在()0,+∞的最小值为2e ．又()()21'xe x g x e-=，则当()0,1x ∈时， ()'0g x >，故()g x 在()0,1为增函数；当()1,x ∈+∞时， ()'0g x <，故()g x 在()1,+∞为减函数，故()()max 1g x g e ==．因任意()12,0,x x ∈+∞，总有()()121g x f x kk ≤+，所以()()maxmin 1g x f x kk ≤+，故2{ 10e ek k k ≤+>，解得1k ≥，填1k ≥．点睛：（1）任意[][]12,,,x a b x m n ∈∈，总有()()12g x f x ≤，所以()()max min g x f x ≤；（2）任意[]1,,x a b ∈存在[]2,x m n ∈，使得()()12g x f x ≤成立，所以()()m a xm a xg x f x ≤；（3）存在[]1,,x a b ∈存在[]2,x m n ∈，使得()()12g x f x ≤成立，所以()()m i nm a x g x f x ≤．三、解答题17．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足21234n n S na n n +=--， *n N ∈ ，且13a =. （Ⅰ）求2a 、3a 的值；（Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式【答案】（Ⅰ）25a =， 37a =; （Ⅱ）见解析.【解析】分析：（Ⅰ）分别令1,2n n ==就可以求得25a =， 37a =. （Ⅱ）根据（Ⅰ）猜测21n a n =+，利用数学归纳可证明该猜测. 详解：(Ⅰ) 25a =， 37a =. （Ⅱ）由题意得13222n n S na n +=++，由（1）知13a =， 25a =， 37a =，猜想21n a n =+，则数列{}n a 为等差数列，①假设当1,2,n = ， ()*k k N ∈时，猜想成立，即()211,2,3,,i a i i k =+= ，则有()()()1321222k k k a a k k S k k +++===+，②当1n k =+时，有()()123322232112222k k k k S kk a k k k k ++=++=++=+=++，这说明当1n k =+时，猜想也成立，结合①②，由归纳原理知，对任意*n N ∈， 21n a n =+.点睛：与自然数有关的问题，可以用数学归纳法，在归纳假设中，我们一般设当n k =时，命题()P k 成立，也可以假设0n n k ≤≤时，命题()P n 成立，然后再证明1n k =+，()1P k +也成立.18．已知函数()1ln xf x x ax-=+ （Ⅰ）若函数()f x 在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上为增函数，求正实数a 的取值范围；（Ⅱ）若关于x 的方程12ln 20x x x mx -+-=在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦内恰有两个相异的实根，求实数m 的取值范围．【答案】（Ⅰ）2a ≥;（Ⅱ）13{|ln2}22e m m --<≤. 【解析】分析：（Ⅰ）先求出函数()f x 的增区间为1,a ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭， 1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭应为其子集，故可求实数a 的范围.（Ⅱ）方程在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个实数根可以转化为直线y m =与函数()1ln 2xg x x x -=+的图像有两个不同的交点，利用导数刻画()g x 的图像后可以得到实数m 的取值范围. 详解：（Ⅰ） ()22111ax f x x ax ax='-=-，因为a 为正实数，由定义域知0x >，所以函数的单调递增区间为1,a ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 因为函数()f x 在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上为增函数，所以1102a <≤，所以2a ≥. （Ⅱ）因为方程12ln 20x x x mx -+-=在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦内恰有两个相异的实根，故方程1ln 02x x m x -+-=在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦内恰有两个相异的实根即方程1ln 2x x m x -+=在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦内恰有两个相异的实根. 令()1ln 2x g x x x -=+，则()22112122x g x x x x -=-+='，当11,2x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时， ()'0g x < ， ()g x 在11,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭为减函数；当1,2x e ⎛⎫∈⎪⎝⎭时， ()'0g x > ， ()g x 在1,2e ⎛⎫⎪⎝⎭为增函数. ()111ln 10222e e eg e e e e e --+=+=+=> 111112ln ln20122222g -⎛⎫=+=-< ⎪⎝⎭⨯()111113ln 101222e e e g g e e e e---⎛⎫=+=-=<< ⎪⎝⎭⨯ ()y g x =的图像如图所示：要使函数()1ln 2x g x x x -=+的图象与函数y m =的图象在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦内恰有两个交点，则要满足112g m g e ⎛⎫⎛⎫<≤⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以m 的取值范围为13ln222e m --<≤. 点睛：含参数的方程的解的个数的讨论，可以参变分离后转化为动直线与定曲线的交点的个数.定曲线的刻画需以导数为工具讨论函数的单调性、极值及区间端点处的函数值等.19．已知定义在正实数集上的函数()2122f x x ax =+， ()23ln g x a x b =+，其中20a >.设两曲线()y f x =, ()y g x =有公共点，且在该点处的切线相同（Ⅰ）用a 表示b ，并求b 的最大值；（Ⅱ）0x >时，求证： ()()f x g x ≥【答案】（Ⅰ）2253ln 2b a a a =-,2332e ; （Ⅱ）见解析.【解析】分析：（Ⅰ）可设公共点为()00,x y ，由()()()()0000{''f x g x f x g x == 得到0a x =且2253ln 2b a a a =-，利用导数讨论该函数的单调性就可以得到实数b 的取值范围. （Ⅱ）构建新函数()()()F x f x g x =-，利用导数可求得()F x 的最小值点为x a =，从而()()()min 0F x f a g a =-=，也就是()()f x g x ≥.详解：（Ⅰ）设()y f x =与()(0)y g x x =>在公共点()00,x y 处的切线相同.∵()2f x x a '=+,()23a g x x'=,由题意()()00f x g x =， ()()00f x g x =''.即220002001232{ 32x ax a lnx b a x a x +=++=，由20032a x a x +=得： 0x a =或03x a =-（舍去）.即有222221523ln 3ln 22b a a a a a a a =+-=-，令()2253ln (0)2h t t t t t =->，则()()213ln h t t t =-'.于是当()13ln 0t t ->，即130t e <<时， ()0h t '>；当()13ln 0t t -<，即13t e >时， ()0h t '<.故()h t 在130,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭为增函数，在13,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭为减函数，于是()h t 在()0,+∞的最大值为123332h e e ⎛⎫= ⎪⎝⎭.（Ⅱ）设()()()22123ln (0)2F x f x g x x ax a x b x =-=+-->，则 ()()()2332(0)x a x a a F x x a x x x-+=+-=>'. 故()F x 在()0,a 为减函数，在()0,+∞为增函数，于是函数()F x 在()0,+∞上的最小值是()()()()0000F a F x f x g x ==-=.故当0x >时，有()()0f x g x -≥，即当0x >时， ()()f x g x ≥．点睛：切线问题的核心是切点的横坐标，通过它沟通切线的斜率和函数在切点横坐标的导数．函数不等式的证明可以构建新函数，通过导数求出新函数的最小值为零即可． 20．已知函数()()2ln 1f x ax x =++．（Ⅰ）当14a =-时，求函数 ()f x 的单调区间；（Ⅱ）当[)0,x ∈+∞时，不等式()f x x ≤恒成立，求实数a 的取值范围．（Ⅲ）求证： ()()124821+1+1+1+2335592121n n ne -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥⋅⋅< ⎪⎪⎪⨯⨯⨯++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦┄（*n N ∈， e 是自然对数的底数）.【答案】（Ⅰ）单调递增区间为()1,1-，单调递减区间为()1,+∞;（Ⅱ）(],0-∞; （Ⅲ）见解析.【解析】分析：（Ⅰ）求出函数的导数，分别解不等式()'0f x >、()'0f x <，可求得()f x 的增区间和减区间.（Ⅱ）构建新函数()()2ln 1,0g x ax x x x =++-≥，不等式()f x x ≤在[)0,+∞上恒成立等价于()0g x ≤在[)0,+∞恒成立，而()()221'1x ax a g x x ⎡⎤+-⎣⎦=+，分0,0,0a a a =><三种情形讨论可得实数a 的取值范围为(],0-∞.（Ⅲ）由（Ⅱ）得不等式()ln 1x x +≤，[)0,x ∈+∞，故有()()()()11211ln 1221212121n n nn n --⎛⎫⎡⎤⎪⎢⎥+≤- ⎪++++⎢⎥⎝⎭⎣⎦，利用累加及其裂项相消法可以得到： ()()12282ln 1ln 1ln 1ln 112335592121n n n-⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥++++++++< ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯⨯++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，化简后可得到要证明的不等式. 详解：（Ⅰ）当14a =-时， ()()21ln 114f x x x x =-++>-（）， ()()()()2111(1)2121x x f x x x x x +-=-+=->-++'. 由()0f x '>解得11x -<<，由()0f x '<解得1x >，故函数()f x 的单调递增区间为()1,1-，单调递减区间为()1,+∞（Ⅱ）因当[)0,x ∈+∞时，不等式()f x x ≤恒成立，即()2ln 10ax x x ++-≤恒成立.设()()()2ln 10g x ax x x x =++-≥，只需()max 0g x ≤即可.由()()22112111x ax a g x ax x x ⎡⎤+-⎣⎦='+-=++,（ⅰ）当0a =时， ()1xg x x -'=+，当0x >时， ()0g x '<，函数()g x 在()0,+∞上单调递减，故()()00g x g ≤=成立；（ⅱ）当0a >时，由()()22101x ax a g x x ⎡⎤+-⎣⎦+'==，因[)0,x ∈+∞，所以112x a=-， ①若1102a -<，即12a >时，在区间()0,+∞上， ()0g x '>，则函数()g x 在()0,+∞上单调递增， ()g x 在[)0,+∞上无最大值； ②若1102a -≥，即102a <≤时，函数()g x 在10,12a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，在区间11,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，同样()g x 在[)0,+∞上无最大值，不满足条件；（ⅲ）当0a <时，由()()2211x a x a g x x ⎡⎤+-⎣⎦'=+，∵[)0,x ∈+∞，∴()2210ax a +-<，∴()0g x '<，故函数()g x 在[)0,+∞上单调递减，故()()00g x g ≤=成立. 综上所述，实数a 的取值范围是(],0-∞.（Ⅲ）据（Ⅱ）知当0a =时， ()ln 1x x +≤在[)0,+∞上恒成立，又()()11211221212121n n nn n --⎛⎫=- ⎪++++⎝⎭， ∵()()12482ln 11112335592121n n n-⎡⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎢++++= ⎪⎪⎪⎪⨯⨯⨯++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎣⎭()()12282ln 1ln 1ln 1ln 12335592121n n n-⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥++++++++ ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯⨯++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦()()124822335592121nn n-<++++⨯⨯⨯++ ][111111111112212335592121221n n n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-=-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ，∴()()124821+1+1+12335592121n n ne -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥+< ⎪⎪⎪⨯⨯⨯++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦. 点睛：复杂函数的性质的讨论，可以通过导数先刻画函数的单调性（与导数的正负有关），再刻画函数的极值，从而讨论与函数相关的不等式恒成立问题.而数列不等式的证明往往需要利用题设条件构建新的函数不等式，通过赋予自变量特殊的值求得数列不等式，最后利用新的数列不等式去证明题设中的不等式.。

2017~2018学年天津高二上学期文科期中数学试卷【答案版】

D. √5
− − − − − − − − − − y = −√4 − (x − 1)2 ，得(x − 1)2 + y 2 = 4 ，(y ⩽ 0) ，
对应的曲线为圆心在 C (1, 0) ，半径为2 的圆的下部分， ∵点 Q(2a, a − 3) ， ∴ x = 2a ，y = a − 3 ，消去a 得x − 2y − 6 = 0 ，即 Q(2a, a − 3) 在直线x − 2y − 6 = 0 上，过圆心 C 作直线的垂线，垂足为A ，则 |P Q|max = |CA| + 2 = 故选 B ． |1 − 0 − 6| √5 + 2 = √5 + 2 ．
原文 1. 【答案】A
2. 在梯形
ABCD 中，∠ABC = π ，AD//BC ，BC = 2AD = 2AB = 2 ．将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所 2 4π 3 5π 3
围成的几何体的体积为（）． A.
2π 3
爱
B.
y − 1 = m(x − 1) ，即直线过(1, 1) 点，
原文 4. 【答案】D
5. 用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图是如图所示的一个正方形，则原来的图形是（）．
爱
智
康
答案
D
A.
B.
C.
智康
D.
答案解析
A 作出该直观图的原图形，
因为直观图中的线段 C ′ B′ //x′ 轴，所以在原图形中对应的线段平行于 x 轴且长度不变，点 C ′ 和B′ 在原图形中对应的点C 和B 的纵坐标是O′ B′ 的2 倍，则 OB = 2√2 ，所以OC = 3 ．故选 A ．

天津市第一中学2017-2018学年高二上学期期中考试数学

天津市第一中学2017-2018学年高二上学期期中考试数学（文）试题一、选择题：1. 已知两条不同的直，两个不同的平面，则下列命题中的真命题是（）A. 若，，，则B. 若，，，则C. 若，，，则D. 若，，，则【答案】A【解析】对于，由，可得∥或，又由，则，故正确；对于，由，可得∥或，又由∥，则与可能平行也可能相交，也可能异面，故不正确；对于，若∥，∥，∥，则与可能平行也可能相交，也可能异面，故不正确；对于，由，可得∥或，又由∥，则与可能平行也可能相交，也可能异面，故不正确.故选A2. 已知直线与直线平行，则的值为（）A. 0或3或B. 0或3C. 3或D. 0或【答案】D∴，即∴，，或经验证当时，两直线重合.故选D3. 已知满足约束条件，则的最大值是（）A. 0B. 2C. 5D. 6【答案】C【解析】画出二元一次不等式所表示的可行域，目标函数为截距型，直线的截距越大越大，根据图形求出最优解为，代入目标函数，则的最大值是5.4. 若过定点且斜率为的直线与圆在第一象限内的部分有交点，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】把圆的方程化为标准方程为∴圆心坐标为，半径令，则设，又∴∵直线过第一象限，且过∴又∵直线与圆在第一象限内有交点∴∴的取值范围是故选A5. 在正三棱柱中，若，则点到平面的距离为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设点到平面的距离为∵∴∴∴故选B6. 若直线与曲线有公共点，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：直线表示斜率为的直线，而曲线表示以为圆心以为半径的下半圆，如图由图可知，当直线与曲线相切时取到最小值，则有，解得；当直线经过点时取到最大值，此时。

所以，故选D．考点：直线与曲线有公共点是参数的取值范围，数形结合思想的应用．【易错点睛】该题考查的是有关直线与曲线有公共点时参数的取值范围的问题，属于较难题目，在做题的过程中，要注意看清化简后的曲线与圆有关，但是并不是整个圆，而是下半个圆，如果不注意这点，很容易错选，再结合着图形，找出相应的边界值，从而确定出最后的结果，一个边界值是相切的时候，一个不是．7. 设不等式组表示的平面区域为，若圆：不经过区域上的点，则的取值范围是（）A. B.C.D.【答案】D【解析】试题分析:求得各交点，的取值范围是，故选A ．考点:线性规划．8. 某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为（）A. B. C. D. 2【答案】B【解析】试题分析：几何体是四棱锥，如图.最长的棱长为补成的正方体的体对角线，即该四棱锥的最长棱的长度，故选B.【考点】三视图【名师点睛】本题考查了空间想象能力，由三视图还原几何体的方法:或者也可根据三视图的形状，将几何体的顶点放在正方体或长方体里面，便于分析问题. 9. 若直线始终平分圆的周长，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】∵直线始终平分圆的周长∴直线过圆心∴，即∵∴当且仅当，即，时，取等号故选C点睛：本题考查了直线与圆的位置关系，直线平分圆的周长则直线过圆心，再就是基本不等式的应用，“1”的妙用，利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正、二定、三相等”的内涵：一正是首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数是否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.10. 已知二面角为，，，为垂足，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】B考点：空间角的求解问题．【方法点晴】本题主要考查了空间角的求解问题，其中解答中涉及到异面所成角的求解、二面角的应用、以及空间直线与平面的位置关系的应用等知识点的综合考查，着重考查学生分析问题和解答问题的能力，以及学生的空间想象能力，本题解答的关键是构造二面角的平面角和异面直线所成的角是解答的关键，试题有一定的难度，属于中档试题．二、填空题11. 某几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积是_____（单位：）．【答案】【解析】由三视图可得原图形如图：该几何体是一个三棱锥与半圆锥的组合体，三棱锥的底面是等腰直角三角形，半圆锥的底面半径为1，高均为3，则该几何体的体积.故答案为12. 已知点和圆：，从点发出的一束光线经过轴反射到圆周的最短路程________．【答案】8【解析】由题意，圆的圆心坐标为，圆的半径为2，点关于轴对称的点的坐标为，由反射定律得点关于轴对称的点在反射光线的延长线上，当反射光线过圆心时，路程最短∵∴从点发出的一束光线经过轴反射到圆周的最短路程是故答案为813. 已知圆：与直线：，当时，圆被直线截得的弦长最短.【答案】1【解析】∵直线：，即∴直线经过定点∴当和直线垂直时，圆被直线截得的弦长最短，此时，，即∴故答案为114. 已知直线与圆心为的圆相交于两点，且为等边三角形，则实数_____________________．【答案】【解析】试题分析：由于为等边三角形，故弦长，根据直线与圆相交，所得弦长公式为，可建立方程，，，即，解得.考点：直线与圆的位置关系，解三角形．【思路点晴】本题考查直线与圆的位置关系，直线与圆相交所得弦长公式，考查等边三角形几何性质.由于为等边三角形，故弦长，我们利用弦长公式就可以建立一个方程出来，这个方程包括点到直线距离公式.在求解完整之后，要验证圆心到直线的距离是否小于半径.15. 正方形的边长为4，点分别是边，的中点，沿折成一个三棱锥（使重合于），则三棱锥的外接球表面积为______．【答案】【解析】根据题意，得折叠后的三棱锥中，侧面、侧面、侧面都是直角三角形，∴两两互相垂直∵，∴ 三棱锥的外接球的直径为：∴外接球的半径为∴三棱锥的外接球表面积为故答案为点睛：空间几何体与球接、切问题的求解方法：求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求得；若球面上四点构成的三条线段分别两两互相垂直，且，，，一般把有关元素“补形”成一个球内接长方体，利用求解.16. 若关于的不等式的解集为区间，且，则____.【答案】【解析】试题分析：如图所示，不等式的解集为，且，所以必有，又，解得，则直线，过点，代入解得．考点：直线与圆的位置关系及其应用．【方法点晴】本题主要考查了直线与圆的位置关系及其应用，其中解答中涉及到不等式的解法转化为直线与半圆的位置关系、直线的点斜式方程的应用等知识点的综合考查，着重考查了分析问题和解答问题能力，以及数形结合、转化思想的应用，本题的解答中把不等式问题转化为直线与圆的位置关系是解答的关键，试题有一定的难度，属于难题．三、解答题17. 本市某玩具生产公司根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每天生产A, B,C 三种玩具共100个，每天生产时间不超过10小时，且C种玩具至少生产20个，已知生产这些玩具每个所需工时（分钟）和所获利润如下表：（Ⅰ）用每天生产A种玩具个数x与B种玩具个数y表示每天的利润（元）（Ⅱ）怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？【答案】(1) (2)每天生产A种玩具20件，B种玩具60件，C种玩具20件，利润最大为520元.【解析】试题分析：（1）依据题设条件借助数表中的数据及数据之间的关系，建立二元一次目标函数关系；（2）借助题设条件建立二元一次不等式组，运用线性规划的知识数形结合，联立方程组分析求出最优解即可，再代入目标函数即可获解：试题解析：（Ⅰ）．（Ⅱ）即最优解为即∴（元）．18. 如图，在直三棱柱中，，，，分别为，的中点.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求点到平面的距离.【答案】(1)详见解析（2）【解析】试题分析：（1）先利用线面垂直得到线线垂直，再利用线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理进行证明；（2）利用三角形的中位线得到线线平行和线段，得到平行四边形，再由平行四边形的性质得到线线平行，再由线面平行的判定定理进行证明；（3）利用三棱锥的体积公式进行求解．试题解析：（Ⅰ）证明：在三棱柱中，底面，所以.又因为，，所以平面，又平面，所以平面平面（Ⅱ）证明：取的中点，连接，.因为，，分别是，，的中点，所以，且，.因为，且，所以，且，所以四边形为平行四边形，所以.又因为平面，平面，所以平面.（Ⅲ）因为，，，所以.所以三棱锥的体积.考点：1.空间中垂直关系的转化；2.空间中平行关系的转化；3.三棱锥的体积．19. 如图所示，四棱锥的底面是平行四边形，，，，E，F 分别是棱AD，PC的中点．（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）若二面角为.（i）证明：平面平面；（ii）求直线与平面所成角的正切值．【答案】（1）详见解析（2）【解析】试题分析：（1）要证明平面，可以先证明平面，利用线面平行的判定定理，即可证明平面；（2）①要证明平面平面，可用面面垂直的判定定理，即只需证明平面即可；②由①平面，所以为直线与平面所成的角，由及已知，得为直角，即可计算的长度，在中，即计算直线与平面所成的角的正弦值．试题解析：（1）证明：如图，取PB中点M，连接MF，AM．因为F为PC中点，故MF∥BC且MF＝BC．由已知有BC∥AD，BC＝AD．又由于E为AD中点，因而MF∥AE且MF＝AE，故四边形AMFE为平行四边形，所以EF∥AM．又AM⊂平面PAB，而EF⊄平面PAB，所以EF∥平面PAB．（2）①证明：如图，连接PE，BE．因为PA＝PD，BA＝BD，而E为AD中点，故PE⊥AD，BE⊥AD，所以∠PEB为二面角P－AD－B的平面角．在△PAD中，由PA＝PD＝，AD＝2，可解得PE＝2．在△ABD中，由BA＝BD＝，AD＝2，可解得BE＝1．在△PEB中，PE＝2，BE＝1，∠PEB＝60°，由余弦定理，可解得PB＝，从而∠PBE＝90°，即BE⊥PB．又BC∥AD，BE⊥AD，从而BE⊥BC，因此BE⊥平面PBC．又BE⊂平面ABCD，所以平面PBC⊥平面ABCD．②连接BF．由①知，BE⊥平面PBC，所以∠EFB为直线EF与平面PBC所成的角．由PB＝及已知，得∠ABP为直角．而MB＝PB＝，可得AM＝，故EF＝．又BE＝1，故在Rt△EBF中，sin∠EFB＝＝．所以直线EF与平面PBC所成角的正弦值为．考点：直线与平面平行的判定及直线与平面垂直的判定与性质；直线与平面所成角的求解．【方法点晴】本题主要考查了直线与平面平行的判定及直线与平面垂直的判定与性质，直线与平面所成角的求解，熟练掌握线面位置关系的判定定理与性质定理是解答基础，同时根据题设条件确定直线与平面所成的角是解答的关键，本题的第二问的解答中，根据平面，可以确定为直线与平面所成的角，可放置在中，即计算直线与平面所成的角的正弦值．20. 已知圆的圆心在直线：上，与直线：相切，且截直线：所得弦长为6（Ⅰ）求圆的方程（Ⅱ）过点是否存在直线，使以被圆截得弦为直径的圆经过原点?若存在，写出直线的方程；若不存在，说明理由.【答案】（1）（2）不存在直线.【解析】试题分析：（Ⅰ）由圆的圆心在直线：上，故可设圆心坐标为，再根据圆与直线相切，截直线：所得弦长为6，列出等式方程求解即可；（2）由题意过的直线斜率一定存在，设直线的方程为，以为直径的圆过原点，则，设，，则，联立直线与圆的方程，消去，得到关于的一元二次方程，由，利用韦达定理即可求出.试题解析：（Ⅰ）设圆心∵圆与直线相切∴∵圆截直线：所得弦长为6∴圆到直线的距离为∴∴∴圆心，∴圆的方程（Ⅱ）①当直线的斜率不存在时，不符合题意②设：设∵被圆截得弦为直径的圆经过原点∴，即∴联立直线与圆的方程化简可得，即∴，∵，，∴，即∴∵∴无解∴不存在直线.点睛：直线与圆的位置关系一方面要体现方程思想，另一方面要结合已知条件，从图形角度求解.联立直线与圆的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解是一个常用的方法，涉及垂直的关系时往往利用根与系数的关系，设而不求法简化运算.。

2017_2018学年高二数学上学期期中试题理(2)

2017-2018学年天津市武清区高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．直线x+y ﹣1=0的倾斜角是（）A ．6πB ．56πC ．3πD ．23π 2．用“斜二测”画法画出△ABC （A 为坐标原点，AB 在x 轴上）的直观图为△A′B′C′，则△A′B′C′的面积与△ABC 的面积的比为（）A ．B ．C ．D ．3．过三点A （﹣3，2），B （3，﹣6），C （0，3）的圆的方程为（）A ．x 2+y 2+4y ﹣21=0B ．x 2+y 2﹣4y ﹣21=0 C ．x 2+y 2+4y ﹣96=0 D ．x 2+y 2﹣4y ﹣96=0 4．直线（3a+1）x+2y ﹣4=0与直线2x+2ay ﹣1=0垂直，则实数a 的值为（）A ．﹣1B ．﹣1或C ．﹣D ．5．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，以A 为坐标原点，向量，，的方向分别为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系Axyz ，则点C 1的坐标为（）A ．（1，1，1）B ．（﹣1，﹣1，1）C ．（1，﹣1，﹣1）D ．（1，﹣1，1）6．直线3x+4y ﹣10=0与圆x 2+y 2﹣2x+6y+2=0的位置关系是（）A ．相交且直线经过圆心B ．相交但直线不经过圆心C ．相切D ．相离7．已知m 、n 、l 是不同的直线，α、β是不同的平面，则下列说法中不正确的是（） ①m ⊂α，l ∩α=A ，点A ∉m ，则l 与m 不共面；②l 、m 是异面直线，l ∥α，m ∥α，且n ⊥l ，n ⊥m ，则n ⊥α；③若l ⊂α，m ⊂α，l ∩m=A ，l ∥β，m ∥β，则α∥β；④若l ∥α，m ∥β，α∥β，则l ∥m ．A ．①B ．②C ．③D ．④8．已知圆C 1：f （x ，y ）=0，圆C 2：g （x ，y ）=0，若存在两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）满足f （x 1，y 1）＜0，f （x 2，y 2）＞0，g （x 1，y 1）＜0，g （x 2，y 2）＜0，则C 1与C 2的位置关系为（）A．相交 B．相离C．相交或C1在C2内D．相交或C2在C1内9．如图是一棱锥的三视图，在该棱锥的侧面中，面积最大的侧面的面积为（）A．4 B． C．2 D．10．直线l1，l2分别过点A（3，2），B（，6），它们分别绕点A，B旋转，但始终保持l1⊥l2．若l1与l2的交点为P，坐标原点为O，则线段OP长度的取值范围是（）A．[3，9] B．[3，6] C．[6，9] D．[9，+∞）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分）.11．与点P（3，﹣2）关于直线x﹣1=0对称的点的坐标是．12．棱长为2的四面体的体积为．13．直线的斜率为k，若﹣1＜k＜，则直线的倾斜角的范围是．14．球的内接圆柱的底面积为4π，侧面积为12π，则该球的体积为．15．过点P（3，1）作直线l将圆C：x2+y2﹣4x﹣5=0分成两部分，当这两部分面积之差最小时，直线l的方程是．三、解答题：本大题共5小题，共60分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．16．（12分）已知三点A（1，2），B（﹣3，0），C（3，﹣2）．（1）求证△ABC为等腰直角三角形；（2）若直线3x﹣y=0上存在一点P，使得△PAC面积与△PAB面积相等，求点P的坐标．17．（12分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，A1C1与B1D1的交点为O1，AC与BD的交点为O．（1）求证：直线OO1∥平面BCC1B1；（2）若AB=BC，求证：直线BO⊥平面ACC1A1．18．（12分）已知直线l1：（2a﹣1）x+y﹣4=0，l2：2x+（a+1）y+2=0，a∈R，l1∥l2．（1）求a的值；（2）若圆C与l1、l2均相切，且与l1相切的切点为P（2a，2a），求圆C的方程．19．（12分）已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2=1上存在4个点到直线x+y﹣m=0（m∈R）的距离等于1﹣．（1）求m的取值范围；（2）判断圆C与圆D：x2+y2﹣2mx=0的位置关系．20．（12分）如图，已知在多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AC=AD=CD=DE=2AB，F为CE的中点．（1）求直线AF与平面ACD所成的角；（2）求证：平面BCE⊥平面DCE．2017-2018学年天津市武清区高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案一、选择题：。

天津市2017-2018学年高二数学上学期期中试题文

⎪⎩天津市2017-2018学年高二数学上学期期中试题文本试卷分为第 I 卷（选择题）、第 II 卷（非选择题）两部分，共 100 分，考试用时90 分钟。

第 I 卷1 页，第 II 卷至 2 页。

考生务必将答案涂写在规定的位置上，答在试卷上的无效。

一、选择题：1．已知两条不同的直线m 、n ，两个不同的平面α、β，则下列命题中的真命题是A．若m ⊥α，n ⊥β，α⊥β，则m ⊥n . B．若m ⊥α，n ∥β，α⊥β，则m ⊥n . C．若m ∥α，n ∥β，α∥β，则m ∥n . D．若m ∥α，n ⊥β，α⊥β，则m ∥n .2．已知直线x +a 2 y + 6 = 0 与直线(a -2)x + 3ay + 2a = 0 平行，则a 的值为A．0或3或-1B．0 或 3 C．3 或-1⎧x -y +3 ≤ 0⎪D．0 或-13．已知x, y 满足约束条件⎨3x +y + 5 ≤ 0 ，则z =x + 2 y 的最大值是⎪x +3 ≥0A．0 B．2 C．5 D．64．若过定点M (-1 , 0) 且斜率为k 的直线与圆x 2 + 4 x +y 2 - 5 = 0 在第一象限内的部分有交点，则k 的取值范围是A．0 <k < 5B．- 5 <k <C．0 <k <13D．0 <k < 5 5．在正三棱柱ABC -A1B1C1 中，若AB = 2, AA1 = 1，则点A 到平面A1BC 的距离为3 3A．B．4 2C．3 3D． 346．若直线y =x +b 与曲线y =3 -有公共点，则b 的取值范围是A．⎡1 - 2 ⎤B．⎡1 -C．⎡-1,1 + 2 2⎤D．⎡1 - 2 2, 3⎤⎣⎦⎣⎦⎧x +y ≤ 4,⎪⎣⎦⎣⎦7．设不等式组⎨y -x ≥ 0, 表示的平面区域为D .若圆C : (x +1)2+(y +1)2=r 2⎩x -1 ≥ 0不经过区域D 上的点,则r 的取值范围是(r > 0)A．(2 2 ,2 5)B．(2 2 ,3 2 ]5 ,+∞)8．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为A．B．C．D．2 9．若直线ax + 2by - 2 = 0(a, b > 0) 始终平分圆x 2 +y 2 - 4 x - 2 y - 8 = 0 的周长，则1+1的最小值为2a b1 5A．B．2 23 + 22C．2D．3 210．已知二面角 α - l - β 为 60︒ ， AB ⊂ α ， AB ⊥ l ，A 为垂足， CD ⊂ β ， C ∈ l ， ∠ACD = 135︒ ，则异面直线 AB 与 CD 所成角的余弦值为1 1 A ． 4B ． 4C ． 4D ． 2二、填空题：11．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积是（单位：cm 3）．12．已知点 A (-1 , 1) 和圆 C ： ( x - 5) 2 + ( y - 7) 2 = 4 ，从点 A 发出的一束光线经过 x 轴反射到圆周 C 的最短路程． 13．已知圆 C ： ( x -1)2 + y 2 = 25 与直线 l ： mx + y + m + 2 = 0 ，当 m = 时，圆 C 被直线 l 截得的弦长最短．14．已知直线 ax + y - 2 = 0 与圆心为 C 的圆 (x -1)2 + (y - a )2= 4 相交于 A ，B 两点，且∆ABC 为等边三角形，则实数 a = ． 15．正方形 AP 1 P 2 P 3 的边长为 4，点 B , C 分别是边 P 1 P 2 , P 2 P 3 的中点，沿 AB , BC , CA 折成一个三棱锥 P - ABC （使 P 1 , P 2 , P 3 重合于 P ），则三棱锥 P - ABC 的外接球表面积为．16．若关于 x k =．三、解答题：≤ k ( x +2) -的解集为区间 [a , b ] ，且 b - a = 2 ，则17．本市某玩具生产公司根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每天生产 A , B , C 三种玩具共100 个，每天生产时间不超过10 小时，且 C 种玩具至少生产 20 个，已知生产这些玩具每个所需工时（分钟）和所获利润如下表：（Ⅰ）用每天生产 A 种玩具个数x 与 B 种玩具个数y 表示每天的利润（元）（Ⅱ）怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？源源源源18．如图，在直三棱柱 ABC - A 1 B 1C 1 中， AB ⊥ BC ， AA 1 = AC = 2 ， BC =1， E 、F 分别为 A 1C 1 、 BC 的中点.（Ⅰ）求证： C 1F // 平面 ABE ；（Ⅱ）求点 C 到平面 ABE 的距离.19．如图所示，四棱锥 P ABCD 的底面 ABCD 是平行四边形，2，PA ＝PD ＝ 5，E ，F 分别是棱 AD ，PC 的中点．（Ⅰ）证明：EF ∥平面 PAB ；（Ⅰ）若二面角 P AD B 为 60°. （i ）证明：平面 PBC ⊥平面 ABCD ；（ii ）求直线 EF 与平面 PBC 所成角的正切值．20．已知圆 C 的圆心在直线 l 1 : x - y -1 = 0 上，与直线 l 2 : 4x + 3 y + 14 = 0 相切，且截直线 l 3 : 3x + 4 y + 10 = 0 所得弦长为 6 （Ⅰ）求圆 C 的方程（Ⅱ）过点 M (0,1) 是否存在直线 L ，使以 L 被圆 C 截得弦 AB 为直径的圆经过原点?若存在，写出直线的方程；若不存在，说明理由新新特特特特王新王⎬⎪1一、选择题参考答案1．A 2．D 3．C 4．A 5．B 6．D 7．D8．B9．C10．B二、填空题 11．1+ π 212．8 13．114． 4 ± 15 15． 24π 16． 2 三、解答题17．解：（Ⅰ）C 玩具有（100-x-y ）个 ∴w=5x+6y+3(100-x-y)=2x+3y+300（Ⅱ）⎧5x ⎪ + 7y + 4(100 - x - y ) ≤ 10 ⨯ 60 ⎧x + 3y ⎪≤ 200 ⎨100 - x - y ⎪ ≥ 20 ⇔ ⎨x + y ⎪ ≤ 80 ⎩x,y ∈ N ⎩x,y ∈ N3y = -2x + w - 300 2 y = - x 3 + w- 1003⎧x + 3y ⎨= 200 ⎩x + y = 80⎧x = 20 ∴ ⎨⎩y = 60 M (20, 60)∴ w max = 2 ⨯ 20 + 3 ⨯ 60 + 300 = 520(元)答：每天生产 A 种玩具 20 件，B 种玩具 60 件，C 种玩具 20 件，利润最大，为 520 元。

天津市耀华中学2017-2018学年高二上学期期中考试数学(理)试卷 Word版含解析

天津市耀华中学2017~2018学年度第一学期期中形成性检测高二、实验四年级理科数学试卷一、选择题：将选择题答案填涂在答题卡．．．．．．．．．．．．．（每小题5分，共计40分）1．空间两条直线a、b与直线l都成异面直线，则a、b的位置关系是（）．A．平行或相交B．异面或平行C．异面或相交D．平行或异面或相交【答案】D【解析】直线a、b与直线l都成异面直线，a与b之间并没有任何限制，所以a与b直线的位置关系所有情况都可能．故选D．2．如图，一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图都是边长为2的正三角形、俯视图轮廓为正方形，则其体积是（）．左视图主视图俯视图ABCD．83【答案】B【解析】该空间几何体为正四棱锥，其底面边长为2所以体积2123V=⨯故选C．3．一个球受热膨胀，表面积增加21%，那么球的半径增加了（）．ABC ．1110 D ．110【答案】D【解析】设因膨胀半径由r 变为R ，则224π12()1%4πr R ⋅＋＝，∴11111010R r r ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭， ∴半径增加110．故选D ．4．若方程0Ax By C ++=表示与两条坐标轴都相交的直线，则（）．A ．00A B C ≠⎧⎪≠⎨⎪≠⎩ B ．00A B ≠⎧⎨≠⎩ C ．00B C ≠⎧⎨≠⎩ D ．00AC ≠⎧⎨≠⎩【答案】B【解析】∵方程0Ax By C ++=表示与两条坐标轴都相交的直线，∴直线的斜率存在且不等于0，∴0A ≠且0B ≠．故选B ．5．在60︒的二面角的一个面内有一点，它到棱的距离是8，那么它到另一个面的距离是（）．AB． C． D．【答案】D【解析】如图，8AP =，60HAP =︒∠，∴sin 60HP AP =⋅︒=ABHP6．若两条直线26123(0)a a x y +-+-=与()(12)40a x a y a ---+-=互相垂直，则a 的值等于（）． A ．3B ．3或5C ．3或5-或2D ．5- 【答案】C【解析】由两条直线垂直或知12120A A B B +=，即2()(1)612(2)0a a a a ⋅--+--=，即23)()()0(5a a a --+=，解得12a =，23a =，35a =-．故选C ．7．如果P 是等边ABC △所在平面外一点，且23PA PB PC ===，ABC △边长为1，那么PA 与底面ABC 所成的角是（）．A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒ 【答案】A【解析】如图，易知P ABC -为正三棱锥，PO ⊥面ABC ， PA 与底面ABC 所成的角，即为APO ∠，AO AB ==23PA =，∴cos AO PAO PO ==∠，故30PAO =︒∠．A B COP8．给出以下四个命题：①如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的一个平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行，②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面，③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行，④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么些两个平面互相垂直．其中真命题的个数是（）．A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】B【解析】①正确，是线面平行的性质定理．②正确，是线面垂直的判定定理．③不正确，这两条直线也可能相交、异面．④正确，是面面垂直的判定定理．故选B ．二、填空题：（每小题4分，共计24分）将填空题答案写在答题纸上．．．．．．．．．．．．． 9．已知两点(2,3)P -，(3,2)Q ，直线20ax y ++=与线段PQ 相交，则a 的取值范围是__________．【答案】41,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】∵P 、Q 在直线20ax y ++=的两侧或在直线上，∴(232)(322)0a a -+++≤， ∴4132a -≤≤．10．过点(2,1)P 作直线l 分别交x 轴、y 轴的正半轴于A 、B 两点，则使||||PA PB ⋅的值最小时直线l 的方程为__________．【答案】30x y +-=【解析】如图所示：设BAO θ=∠，090θ︒<<︒，1||sin PA θ=，2||cos PB θ=， ∴24||||sin cos sin 2PA PB θθθ⋅==⋅， ∴290θ=︒，即45θ=︒时，||||PA PB ⋅取最小值，θ时、直线的倾斜角为135︒，斜率为1-，∴直线的方程为11(2)y x -=--，即30x y +-=．11．已知ABC △中，30A =︒∠，60B =︒∠，2AB =，AB ⊂平面α，平面ABC 与α所成角为30︒，则C 到平面α的距离为__________．【解析】设C 到AB 的距离为h ，在ABC △中，30A =︒∠，60B =︒∠，2AB =，∴90C =︒∠，1BC =，AC ，∴BC AC h AB ⋅= ∵平面ABC 与α所成角为30︒，∴点C 到面αsin 30︒=12．已知圆锥侧面展开图为中心角为135︒的扇形，其面积为B ，圆锥的全面积为A ，则:A B 为__________．【答案】11:8【解析】圆锥底面弧长 1352π2π360l r R ︒==⋅︒， ∴38r R =，即38r R =， 2135π360B R ︒=⋅︒， 22135ππ360A R r ︒=⋅+︒， ∴222135ππ360135π360R r A B R ︒⋅+︒=︒⋅︒，222338838R R R ⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭= 118=． 13．直线:20l x y --=关于直线330x y -+=对称的直线方程是__________．【答案】7220x y ++=【解析】由20330x y x y --=⎧⎨-+=⎩得5292x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， ∴两条直线的交点为59,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭，该点也在所求直线上，在l 上任取一点:(0,2)P -，设它关于直线330x y -+=的对称点为00:(,)Q x y ，则有00002310233022y x x y +⎧⨯=-⎪-⎪⎨-⎪⨯-+=⎪⎩，解得0031x y =-⎧⎨=-⎩， ∴:(3,1)Q --且在所求直线上， ∴所求直线方程为13951322y x ++=-+-+，即7220x y ++=．14．在三棱锥A BCD -中，侧棱AB 、AC 、AD 两两垂直，ABC △、ACD △、ADB △的面积分别为2，则三棱锥A BCD -的外接球的体积为__________．【解析】在三棱锥A BCD -中，侧棱AB 、AC 、AD 两两垂直，补成长方体，两者的外接球是同一个，长方体的体对角线即为球的直径，设长方体的三度分别为a 、b 、c ，则有12ab =，12bc =12bc ，解得：a =b =，1c =，所以球的直径d球的半径2d r ==∴三棱锥A BCD -的外接球的体积为34π3V =⋅=⎝⎭．三、解答题：（共3小题，共计36分）将解答题答案填写在答题纸上．．．．．．．．．．．．．． 15．（本小题满分8分）一直线被两直线1:460l x y ++=，2:3560l x y --=截得的线段的中点恰好是坐标原点，求该直线方程．【答案】见解析．【解析】解：设所求直线与1l ，2l 的交点分别是A ，B ，设00(,)A x y ，则B 点坐标为00(,)x y --，因为A ，分别在1l ，2l 上，所以00004603560x y x y ++=⎧⎪⎨-+-=⎪⎩①②，【注意有①②】 ①+②得：0060x y ＋＝，即点A 在直线60x y +=上，又直线60x y +=过原点，所以直线l 的方程为60x y +=．16．（本小题满分14分）已知点P 到两个定点 (1,0)M -、 (1,0)N，点N 到直线PM 的距离为1．求直线PN 的方程．【答案】见解析．【解析】解：设点P 的坐标为(,)x y，由题设有||||PM PN，整理得22610x y x +-+=①，因为点N 到PM 的距离为1，||2MN =，所以30PMN =︒∠，直线PM的斜率为直线PM的方程为1)y x =+② 将②式代入①式整理得2410x x -+=，解得2x =+，2x =代入②式得点P的坐标为(2+或(21-；(2+或(2--，直线PN 的方程为1y x =-或1y x =-+．17．（本小题满分14分）如图，已知梯形ABCD 中，AD BC ∥，AD AB ⊥，22AB BC AD ===，四边形EDCF为矩形，CD ，平面平面EDCF ⊥平面ABCD ．（1）求证： DF ∥平面ABE ．（2）求平面ABE 与平面EFB 所成锐二面角的余弦值．（3）在线段DF 上是否存在点P ，使得直线BP 与平面ABE，若存在，求出线段BP 的长． DAB C EF【答案】见解析．【解析】解：（1）证明：取D 为原点，DA 所在直线为x 轴， DE 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，则(1,0,0)A ，(1,2,0)B，E，(F -，∴(1,BE =--，(0,2,0)AB =，设平面ABE 的法向量为(,,)n x y z =，∴2020x y y ⎧--+=⎪⎨=⎪⎩不妨设(3,0,1)n =，又(DF =-，∴30DF n ⋅=-=，∴DF n ⊥，又∵DF ⊄平面ABE ，∴DF ∥平面ABE ．（2）解：∵(1,2,BE =-，(BF =-，设平面BEF 的法向量为(,,)m x y z =，∴2020x y x ⎧--+=⎪⎨-=⎪⎩不妨设(23,m =，∴|||cos |||||2m n m n θ⋅===⋅，∴平面ABE 与平面EFB ．（3）解：设((,2)DP DF λλλλ==-=-，[0,1]λ∈，∴(,2)P λλ-，∴(1,22,)BP λλλ=---，又∵平面ABE 的法向量为(3,0,1)n =，∴sin |cos |BP n θ=<⋅>==， ∴28610λλ-+=， ∴12λ=或14λ=，∴当12λ=时，3,2BP ⎛=-- ⎝⎭，高二数学期中试题高二数学期中试题 ∴||2BP =，当14λ=时，53,42BP ⎛=-- ⎝⎭， ∴||2BP =，综上||2BP =．。

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南开中学2017~2018学年度第一学期期中考试
高二数学（理工类）
本试卷分为选择题和非选择题两部分，共100分，考试用时100分钟.
一、选择题：本大题共8个小题，每小题4分，共32分. （1）过点P 且与直线3x －2y ＋5＝0垂直的直线方程为
（A ）3x －2y －4＝0 （B ）3x ＋2y －8＝0 （C ）2x －3y －1＝0 （D ）2x ＋3y －7＝0
（2）已知A (1,3)，B (2,6)，则以AB 为直径的圆的方程为（A ）x 2＋y 2－3x －9y ＋20＝0 （B ）x 2＋y 2－3x －9y ＋25
2＝0
（C ）x 2＋y 2－6x －18y ＋175
2
＝0
（D ）x 2＋y 2－6x －18y ＋80＝0
（3）不重合的两条直线a ，b 和不重合的两个平面α，β，下面的几个命题：
①若a ∥α，且b ∥α，则a ∥b ； ②若a ，b 与平面α成等角，则a ∥b ； ③若a ∥α，a ∥β，且α∩β＝b ，则a ∥b ； ④若a ∥α，a ∥β，则α∥β；
⑤若a ，b 异面，且a ，b 均与平面α和β平行，则α∥β. 在这个5个命题中，真命题的个数是
（A ）1
（B ）2
（C ）3
（D ）4
（3）设α，β，γ是三个互不重合的平面，l 是直线，给出下列命题：
①若α⊥β，β⊥γ，则α⊥γ；
②若l 上有两个点到α的距离相等，则l ∥α； ③若l ⊥α，l ∥β，则α⊥β； ④若α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l ，则l ⊥γ. 其中正确的命题是
（A ）①②
（B ）②③
（C ）②④
（D ）③④
（5）如图，已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为棱A 1D 1和B 1C 1
的中点，则异面直线DN 和MB 所成角的余弦值．．．为
（A ）1
9
（B ）13
（C ）
33
（D ）23
（6）已知三棱锥P －ABC 中，P A ，PB ，PC 两两垂直，且P A ＝1，PB ＝2，PC ＝3，则点P 到平
面ABC 的距离为（A ）13
（B ）23
（C ）
144
（D ）67
（7）已知四面体ABCD 中，∠BAC ＝90°，∠DAB ＝45°，∠DAC ＝60°，则二面角B －AD －C
的余弦值为（A ）
3
3
（B ）－
33
（C ）13
（D ）－1
3
（8）已知矩形OABC ，其中O 为坐标原点，A (3,0)，B (3,2)，C (0,2).从点M (1,0)射出的光线所在直
线的斜率为k ，光线分别经过线段AB ，线段BC 和线段CO 的反射，交线段OA 于点T .若点T 在线段MA 上，则k 的取值范围是
（A ）12
[,]23
（B ）24
[,]55
（C ）[0,1]
（D ）12
[,]35
二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分. （9）某几何体的三视图如图所示，则其体积为__________.
（10）已知一个球与一个棱长为1的正方体的每条棱都相切，则这个球的表
面积为__________.
（11）已知△ABC 的三个顶点分别为A (1,2)，B (5,9)，C (2,6)，则△ABC
的面
积为__________.
俯视图
（12）如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P分别为B1C1，D1D 和AB的中点，则下列关系：
①BM⊥AB；②BM∥平面A1PC1；
③BM⊥C1P；④B1N⊥平面A1PC1.
正确的编号为__________.
（13）如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，M为棱D1C1的中点，则
直线BM和平面A1C1B所成角的正弦值
．．．为__________.
（14）已知在四面体ABCD中，AB＝CD＝3，BD＝AC＝4，BC＝5，则线段AD的长的取值范围是__________.
三、解答题：本大题共3个小题，共44分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本小题满分14分）
如图，在三棱锥P－ABC中，△ABC是边长为1的正三角形，P A＝PC
＝1，PB＝
3 2.
（Ⅰ）求证：PB⊥AC；
（Ⅱ）点M是棱PB的中点，点P在底面ABC内的射影为点H，证明：MH∥平面P AC；
（Ⅲ）求直线PB和平面P AC所成角的大小. （16）（本小题满分15分）
如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是一个直角梯形，其中∠BAD
＝90°，AB∥DC，P A⊥平面ABCD，AB＝AD＝P A＝2，DC＝1，点M和点N
分别为P A和PC的中点.
（Ⅰ）证明：DM∥平面PBC；
（Ⅱ）求直线BM和平面BDN所成角的余弦值；
（Ⅲ）求二面角M－BD－N的正弦值；
（Ⅳ）求点P到平面DBN的距离；
（Ⅴ）设点N在平面BDM内的射影为点H，求线段HA的长.
（17）（本小题满分15分）
在△ABC中，∠BAC的角平分线所在的直线为l1：x－y－1＝0，BC边的高线所在直线为l2：2x－y－4＝0，AB边的高线所在直线为l3：3x＋y＋2＝0.
（Ⅰ）求直线AB的方程；
（Ⅱ）求直线AC的方程；
（Ⅲ）求直线BC的方程.
四、选做题（本题满分仅5分.仅有0分和5分两档，得分加入总分，但总分不超过100.请慎重选
择.）
（18）（本小题满分5分）
如图，已知三棱台ABC－A1B1C1中，AB＝2A1B1，M是A1B1的中点，N在线段B1C1上，且B1N ＝2NC1，过点A，M，
N的平面把这个棱台分为两部分，求体积较小部分与体积较大部分的体积比值
.。