【精品】2016年山西省晋中市高二上学期期中数学试卷带解析答案(文科)
2016-2017学年山西省晋中市高二(上)期末数学文科试卷(含答案解析)
2016-2017学年山西省晋中市高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．（5分）设a，b是实数，则“a＞b”是“a2＞b2”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2．（5分）圆x2+y2﹣4x﹣4y=0上的点到直线x+y﹣6=0的最大距离和最小距离的差是（）A．B．C．D．3．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为棱AB，BB1的中点，则直线BC1与EF所成角的余弦值是（）A．B．C．D．4．（5分）已知a、b、c为三条不重合的直线，下面有三个结论：①若a⊥b，a⊥c则b∥c；②若a⊥b，a⊥c则b⊥c；③若a∥b，b⊥c则a⊥c．其中正确的个数为（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个5．（5分）若直线y=kx+2k与曲线有两个不同的交点，则k的取值范围是（）A．B．C．D．6．（5分）已知f（x）=alnx+x2（a＞0），若对任意两个不等的正实数x1，x2，都有＞2恒成立，则a的取值范围是（）A．（0，1]B．（1，+∞）C．（0，1） D．[1，+∞）7．（5分）如果圆（x﹣a）2+（y﹣a）2=8上总存在两个点到原点的距离为，则实数a的取值范围是（）A．（﹣3，﹣1）∪（1，3） B．（﹣3，3）C．[﹣1，1]D．（﹣3，﹣1]∪[1，3）8．（5分）已知三棱锥P﹣ABC中，PA=4，AB=AC=2，BC=6，PA⊥面ABC，则此三棱锥的外接球的表面积为（）A．16πB．32πC．64πD．128π9．（5分）已知F1（﹣c，0），F2（c，0）为椭圆的两个焦点，点P（不在x轴上）为椭圆上的一点，且满足，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．B．C． D．10．（5分）已知椭圆x2+2y2=8的两个焦点分别为F1，F2，A为椭圆上的任意一点，AP是∠F1AF2的外角平分线，且，则点P的坐标一定满足（）A．x2+y2=8 B．x2+y2=1 C．x2﹣y2=1 D．11．（5分）已知点F为抛物线y 2=﹣8x的焦点，O为原点，点P是抛物线准线上一动点，点A 在抛物线上，且|AF|=4，则|PA|+|PO|的最小值为（）A．6 B．C．D．4+212．（5分）设奇函数f（x）在R上存在导数f′（x），且在（0，+∞）上f′（x）＜x2，若f（1﹣m）﹣f（m）≥，则实数m的取值范围为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知函数f（x）=ax3+x+1的图象在点（1，f（1））处的切线过点（2，7），则a=．14．（5分）某四面体的三视图如图所示，正视图、俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形，侧视图是边长为2的正方形，则此四面体的四个面中面积的最大值为．15．（5分）已知函数f（x）=e x﹣2+a有零点，则实数a的取值范围为．16．（5分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率e=，A，B是椭圆的左、右顶点，P是椭圆上不同于A，B的一点，直线PA，PB斜倾角分别为α，β，则|tanα﹣tanβ|的最小值为．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17．（10分）已知集合，若t∈A是t∈B的充分不必要条件，求实数m的取值范围．18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面是以O为中心的菱形，PO⊥底面为BC上一点，且．（1）证明：BC⊥平面POM；（2）若MP⊥AP，求四棱锥P﹣ABCD的体积．19．（12分）已知线段AB的端点B的坐标为（1，3），端点A在圆C：（x+1）2+y2=4上运动．（1）求线段AB的中点M的轨迹；（2）过B点的直线L与圆C有两个交点A，D．当CA⊥CD时，求L的斜率．20．（12分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c在与x=1处都取得极值．（1）求a，b的值；（2）若对x∈R，f（x）有三个零点，求实数c的取值范围．21．（12分）已知椭圆的离心率为，又点在该椭圆上．（1）求椭圆E的方程；（2）若斜率为的直线l与椭圆E交于不同的两点B，C，求△ABC的最大面积．22．（12分）已知函数．（1）当a=0时，求曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程；（2）令g（x）=f（x）﹣ax+1，求函数g（x）的极大值；（3）若a=﹣2，正实数x1，x2满足f（x1）+f（x2）+x1x2=0，证明：．2016-2017年山西省晋中市高二上期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．（5分）设a，b是实数，则“a＞b”是“a2＞b2”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：因为a，b都是实数，由a＞b，不一定有a2＞b2，如﹣2＞﹣3，但（﹣2）2＜（﹣3）2，所以“a＞b”是“a2＞b2”的不充分条件；反之，由a2＞b2也不一定得a＞b，如（﹣3）2＞（﹣2）2，但﹣3＜﹣2，所以“a＞b”是“a2＞b2”的不必要条件．故选D2．（5分）圆x2+y2﹣4x﹣4y=0上的点到直线x+y﹣6=0的最大距离和最小距离的差是（）A．B．C．D．【解答】解：圆x2+y2﹣4x﹣4y=0的圆心（2，2），半径是2，圆心到直线x+y﹣6=0的距离：d==＜2∴圆x2+y2﹣4x﹣4y=0上的点到直线x+y﹣6=0的最大距离和最小距离的差是3﹣0=3．故选B．3．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为棱AB，BB1的中点，则直线BC1与EF所成角的余弦值是（）A．B．C．D．【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为2，则E（2，1，0），F（2，2，1），B（2，2，0），C1（0，2，2），=（﹣2，0，2），=（0，1，1），设直线BC1与EF所成角为θ，则cosθ=|cos＜，＞|===．∴直线BC1与EF所成角的余弦值是．故选：B．4．（5分）已知a、b、c为三条不重合的直线，下面有三个结论：①若a⊥b，a⊥c则b∥c；②若a⊥b，a⊥c则b⊥c；③若a∥b，b⊥c则a⊥c．其中正确的个数为（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【解答】解：两条直线都与第三条直线垂直，只两条直线之间的位置关系不能确定，故①②不正确，若a∥b，b⊥c则a⊥c，这里符合两条直线的关系，是我们求两条直线的夹角的方法，故③正确，综上可知有一个正确的说法，故选B．5．（5分）若直线y=kx+2k与曲线有两个不同的交点，则k的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：由得x2+y2=1，（y≥0），对应的轨迹为上半圆，直线y=kx+2k过定点A（﹣2，0），由圆心到直线的距离d==1，可得k=±，若直线y=kx+2k与曲线有两个不同的交点，则0≤k＜，故选B．6．（5分）已知f（x）=alnx+x2（a＞0），若对任意两个不等的正实数x1，x2，都有＞2恒成立，则a的取值范围是（）A．（0，1]B．（1，+∞）C．（0，1） D．[1，+∞）【解答】解：对任意两个不等的正实数x1，x2，都有＞2恒成立则当x＞0时，f'（x）≥2恒成立f'（x）=+x≥2在（0，+∞）上恒成立则a≥（2x﹣x2）max=1故选D．7．（5分）如果圆（x﹣a）2+（y﹣a）2=8上总存在两个点到原点的距离为，则实数a的取值范围是（）A．（﹣3，﹣1）∪（1，3） B．（﹣3，3）C．[﹣1，1]D．（﹣3，﹣1]∪[1，3）【解答】解：问题可转化为圆（x﹣a）2+（y﹣a）2=8和圆x2+y2=2相交，两圆圆心距d==|a|，由R﹣r＜|OO1|＜R+r得，解得：1＜|a|＜3，即a∈（﹣3，﹣1）∪（1，3）故选A．8．（5分）已知三棱锥P﹣ABC中，PA=4，AB=AC=2，BC=6，PA⊥面ABC，则此三棱锥的外接球的表面积为（）A．16πB．32πC．64πD．128π【解答】解：∵底面△ABC中，AB=AC=2，BC=6，∴cos∠BAC==﹣∴sin∠BAC=，∴△ABC的外接圆半径r==2，所以三棱锥外接球的半径R2=r2+（）2=（2）2+22=16，所以三棱锥P﹣ABC外接球的表面积S=4πR2=64π．故选：C．9．（5分）已知F1（﹣c，0），F2（c，0）为椭圆的两个焦点，点P（不在x轴上）为椭圆上的一点，且满足，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．B．C． D．【解答】解：设P（x0，y0），（﹣a＜x0＜a），则+=1，∴=．则c2==（﹣c﹣x0）（c﹣x0）+，∴2c2=+，化为：3c2=a2+，∴=∈[0，1），解得：，解得≤e．故选：C．10．（5分）已知椭圆x2+2y2=8的两个焦点分别为F1，F2，A为椭圆上的任意一点，AP是∠F1AF2的外角平分线，且，则点P的坐标一定满足（）A．x2+y2=8 B．x2+y2=1 C．x2﹣y2=1 D．【解答】解：∵椭圆x2+2y2=8的两个焦点分别为F1，F2，A为椭圆上的任意一点，∴椭圆的标准方程为，F1（﹣2，0），F2（2，0），可设A（0，2），P（x，y），则=（x，y﹣2），=（2，﹣2），=（2，2），=（x﹣2，y），∵AP是∠F1AF2的外角平分线，且，∴•=（x，y﹣2）•（x﹣2，y）=x2﹣2x+y2﹣2y=0，①cos＜＞=cos＜，＞，即=，②①②联立，解得x=y=2．∴点P的坐标一定满足x2+y2=8．故选：A．11．（5分）已知点F为抛物线y 2=﹣8x的焦点，O为原点，点P是抛物线准线上一动点，点A 在抛物线上，且|AF|=4，则|PA|+|PO|的最小值为（）A．6 B．C．D．4+2【解答】解：∵|AF|=4，由抛物线的定义得，∴A到准线的距离为4，即A点的横坐标为﹣2，又点A在抛物线上，∴从而点A的坐标A（﹣2，4）；坐标原点关于准线的对称点的坐标为B（4，0）则|PA|+|PO|的最小值为：|AB|==故选C．12．（5分）设奇函数f（x）在R上存在导数f′（x），且在（0，+∞）上f′（x）＜x2，若f（1﹣m）﹣f（m）≥，则实数m的取值范围为（）A．B．C．D．【解答】解：令，∵，∴函数g（x）为奇函数，∵x∈（0，+∞）时，g′（x）=f′（x）﹣x2＜0，函数g（x）在x∈（0，+∞）为减函数，又由题可知，f（0）=0，g（0）=0，所以函数g（x）在R上为减函数，，即g（1﹣m）≥g（m），∴1﹣m≤m，∴．故选B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知函数f（x）=ax3+x+1的图象在点（1，f（1））处的切线过点（2，7），则a=1．【解答】解：函数f（x）=ax3+x+1的导数为：f′（x）=3ax2+1，f′（1）=3a+1，而f（1）=a+2，切线方程为：y﹣a﹣2=（3a+1）（x﹣1），因为切线方程经过（2，7），所以7﹣a﹣2=（3a+1）（2﹣1），解得a=1．故答案为：1．14．（5分）某四面体的三视图如图所示，正视图、俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形，侧视图是边长为2的正方形，则此四面体的四个面中面积的最大值为2．【解答】解：由三视图知该几何体为棱锥S﹣ABD，其中SC⊥平面ABCD；四面体S﹣ABD的四个面中SBD面的面积最大，三角形SBD是边长为2的等边三角形，所以此四面体的四个面中面积最大的为=2．故答案为2．15．（5分）已知函数f（x）=e x﹣2+a有零点，则实数a的取值范围为a＜2．【解答】解：函数g（x）=e x﹣2函数是增函数，g（x）＞﹣2，函数f（x）=e x﹣2+a有零点，可得a=2﹣e x，可得a＜2．故答案为：a＜2．16．（5分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率e=，A，B是椭圆的左、右顶点，P是椭圆上不同于A，B的一点，直线PA，PB斜倾角分别为α，β，则|tanα﹣tanβ|的最小值为1．【解答】解：∵离心率e===，∴=．设P（x0，y0），椭圆顶点A（﹣a，0），B（a，0），k PA=，k PA•k PB=，又=1，∴，∴k PA•k PB=﹣，即tanαtanβ=﹣=﹣，∴|tanα﹣tanβ|=|tanα|+|tanβ|≥2=1．当且仅当|tanα|=|tanβ|=1时取等号．∴|tanα﹣tanβ|的最小值为1，故答案为：1．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17．（10分）已知集合，若t∈A是t∈B的充分不必要条件，求实数m的取值范围．【解答】解：对于A：，f（x）=y=+，=2，f（2）=2，∴f（x）∈=A．对于B：x≥1+m或x≤m﹣1．即B=（﹣∞，m﹣1]∪[m+1，+∞）．∵t∈A是t∈B的充分不必要条件，∴≥m+1，或2≤m﹣1，解得m≤﹣，或m≥3．∴实数m的取值范围是∪[3，+∞）．18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面是以O为中心的菱形，PO⊥底面为BC上一点，且．（1）证明：BC⊥平面POM；（2）若MP⊥AP，求四棱锥P﹣ABCD的体积．【解答】（1）证明：如图所示，△ABD为正三角形，∴OB=BD=1．在△OBM中，由余弦定理可得：OM2=×=，∴OM2+BM2=OB2=1，∴OM⊥BC．∵PO⊥平面ABCD，∴PO⊥BC．由PO∩OM=O，∴BC⊥平面POM．（2）解：由（1）可得：OP⊥OM，OP⊥OA，∴MP2=OP2+，AP2=．在△ABM中，由余弦定理可得：AM2=22+﹣=．∵MP⊥AP，∴AP2+MP2=+OP2+=AM2=，∴OP=．S ABCD===2．∴V P==×=1．﹣ABCD19．（12分）已知线段AB的端点B的坐标为（1，3），端点A在圆C：（x+1）2+y2=4上运动．（1）求线段AB的中点M的轨迹；（2）过B点的直线L与圆C有两个交点A，D．当CA⊥CD时，求L的斜率．【解答】解（1）设A（x1，y1），M（x，y），由中点公式得x1=2x﹣1，y1=2y﹣3因为A在圆C上，所以（2x）2+（2y﹣3）2=4，即x2+（y﹣1.5）2=1．点M的轨迹是以（0，1.5）为圆心，1为半径的圆；（2）设L的斜率为k，则L的方程为y﹣3=k（x﹣1），即kx﹣y﹣k+3=0因为CA⊥CD，△CAD为等腰直角三角形，由题意知，圆心C（﹣1，0）到L的距离为．由点到直线的距离公式得=，∴4k2﹣12k+9=2k2+2∴2k2﹣12k+7=0，解得k=3±．20．（12分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c在与x=1处都取得极值．（1）求a，b的值；（2）若对x∈R，f（x）有三个零点，求实数c的取值范围．【解答】解：（1）∵f'（x）=3x2+2ax+b由已知有，解得a=﹣，b=﹣2；（2）由（1）得：f（x）=x3﹣x2﹣2x+c，f′（x）=由f'（x）＞0得x＞1或x＜﹣，由f'（x）＜0得﹣＜x＜1，故当x=﹣时，f（x）有极大值c+，当x=1时，f（x）有极小值c﹣，若对x∈R，f（x）有三个零点，则，解得：﹣＜c＜．21．（12分）已知椭圆的离心率为，又点在该椭圆上．（1）求椭圆E的方程；（2）若斜率为的直线l与椭圆E交于不同的两点B，C，求△ABC的最大面积．【解答】解：（1）依题意，得，解得，∴椭圆的方程为+=1．（2）设B（x1，y1），C（x2，y2），BC的方程为y=x+m，则有，整理，得4x2+2mx+（m2﹣4）=0，由△=（2m）2﹣16（m2﹣4）=﹣8m2+64＞0，解得﹣2＜m＜2，由根与系数的关系，得：x1+x2=﹣m，x1x2=，|BC|==|x1﹣x2|=，设d为点A到直线BC的距离，则d==|m|，∴S=|BC|•d=．△ABC∵≤=4，当且仅当m=±2时取等号，∴当m=±2时，△ABC的面积取得最大值．22．（12分）已知函数．（1）当a=0时，求曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程；（2）令g（x）=f（x）﹣ax+1，求函数g（x）的极大值；（3）若a=﹣2，正实数x1，x2满足f（x1）+f（x2）+x1x2=0，证明：．【解答】解：（1）a=0时，f（x）=lnx+x，f′（x）=+1，故f（1）=1，f′（1）=2，故切线方程是：y﹣1=2（x﹣1），整理得：2x﹣y﹣1=0；（2）g（x）=f（x）﹣（ax﹣1）=lnx﹣ax2+（1﹣a）x+1，所以g′（x）=﹣ax+（1﹣a）=，当a≤0时，因为x＞0，所以g′（x）＞0．所以g（x）在（0，+∞）上是递增函数，当a＞0时，g′（x）=，令g′（x）=0，得x=，所以当x∈（0，）时，g′（x）＞0；当x∈（，+∞）时，g′（x）＜0，因此函数g（x）在x∈（0，）是增函数，在（，+∞）是减函数．综上，当a≤0时，函数g（x）的递增区间是（0，+∞），无递减区间，无极大值；当a＞0时，函数g（x）的递增区间是（0，），递减区间是（，+∞）；=g（）=﹣lna；故g（x）极大值证明：（3）由f（x1）+f（x2）+x1x2=0，即lnx1+x12+x1+lnx2+x22+x2+x1x2=0，从而（x1+x2）2+（x1+x2）=x1x2﹣ln（x1x2），令t=x1x2，则由φ（t）=t﹣lnt，由x1＞0，x2＞0，即x1+x2＞0．φ′（t）=，（t＞0），可知，φ（t）在区间（0，1）上单调递减，在区间（1，+∞）上单调递增．所以φ（t）≥φ（1）=1，所以（x1+x2）2+（x1+x2）≥1，解得x1+x2≥或x1+x2≤，又因为x1＞0，x2＞0，因此x1+x2≥成立．。
山西省晋中市高二上学期期中数学试卷
山西省晋中市高二上学期期中数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2015高二下·铜陵期中) 下列命题中真命题的个数是（）①∀x∈R，x4＞x2；②若p∧q是假命题，则p，q都是假命题；③sinx=cosy⇒x+y= ．A . 0B . 1C . 2D . 32. （2分）设且，则有（）A .B .C .D .3. （2分） (2019高二上·温州期中) 已知数列的前项和为，则＝（）A .B .C .D .4. （2分）已知△ABC的周长为9，且sinA:sinB:sinC=3:2:4，则cosC的值为（）A .B .C .D .5. （2分） (2018高一下·六安期末) 已知数列满足：，，，那么使成立的的最大值为（）A . 4B . 5C . 24D . 256. （2分） (2016高一下·攀枝花期中) 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若3a=2b，则的值为（）A . ﹣B .C . 1D .7. （2分）如下图所示将若干个点摆成三角形图案，每条边（包括两个端点）有n(n>l，n∈N*)个点，相应的图案中总的点数记为a，则A .B .C .D .8. （2分）设，则下列大小关系成立的是（）A .B .C .D .9. （2分）某班设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰长为1，顶角为α的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成．该八边形的面积为（）A . 2sin α﹣2cos α+2B . sin α﹣cos α+3C . 3sin α﹣cos α+1D . 2sin α﹣co s α+110. （2分）数列{an}中，a1=1且an-1=2an+1，则{an}的通项为（）A . 2n－１B . 2nC . 2n＋１D . 2n+111. （2分）已知，且a+b=2，则（）A .B .C .D .12. （2分）设命题p:函数的定义域为R;命题q:不等式3x-9x<a对一切正实数均成立.如果命题“p或q”为真命题,且“p且q”为假命题,则实数a的取值范围是（）A .B . (0,1]C .D . (0,1)二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）某台风中心位于A港口东南方向的B处，且台风中心与A港口的距离为400 千米．预计台风中心将以每小时40千米的速度向正北方向移动，离台风中心500千米的范围都会受到台风影响，则A港口从受到台风影响到影响结束，将持续________小时．14. （1分）(2019·呼和浩特模拟) 以下四个命题：①设，则是的充要条件；②已知命题、、满足“ 或”真，“ 或”也真，则“ 或”假；③若，则使得恒成立的的取值范围为{或 }；④将边长为的正方形沿对角线折起，使得，则三棱锥的体积为 .其中真命题的序号为________.15. （1分）(2017·扬州模拟) 若a，b∈R+ ，且a+b=1，则的最大值是________．16. （1分） (2016高二上·厦门期中) 各项均为正数的等比数列{an}中，a2 ， a3 ， a1成等差数列，则的值为________．三、解答题 (共6题；共46分)17. （10分） (2016高一下·汕头期末) 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且满足csinA﹣acosC=0．（1）求角C的大小；（2）若c=2，求△ABC的面积S的最大值．18. （10分） (2018高二上·中山期末) 某工厂生产一种仪器的元件，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品，根据经验知道，其次品率P与日产量x(万件)之间大体满足关系： (其中c为小于6的正常数)．(注：次品率＝次品数/生产量，如P＝0.1表示每生产10件产品，有1件为次品，其余为合格品)，已知每生产1万件合格的元件可以盈利2万元，但每生产出1万件次品将亏损1万元，故厂方希望定出合适的日产量．（1）试将生产这种仪器的元件每天的盈利额T(万元)表示为日产量x(万件)的函数；（2）当日产量为多少时，可获得最大利润？19. （1分）(2017·泸州模拟) 当实数x，y满足不等式组时，ax+y+a+1≥0恒成立，则实数a 的取值范围是________．20. （5分）在△ABC中，已知AB=2，AC=1，且cos2A+2sin2=1．（1）求角A的大小和BC边的长；（2）若点P在△ABC内运动（包括边界），且点P到三边的距离之和为d，设点P到BC，CA的距离分别为x，y，试用x，y表示d，并求d的取值范围．21. （10分） (2020高一上·长春期末) 如图，在平面直角坐标系中，角，的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，角，的终边与单位圆分别交、两点．（1）求的值；（2）若，，求的值．22. （10分） (2017高二上·中山月考) 已知等差数列的公差不为零，且满足，成等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）记，求数列的前项和．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共46分) 17-1、17-2、18、答案：略19-1、20-1、21-1、22-1、22-2、第11 页共11 页。
高二第一学期期中测试数学试题(文科)及答案doc
高二第一学期期中测试数学试题（文科）参考公式：回归直线方程a x by ˆˆ+=∧，其中∑∑==∧--=n i i ni ii xn x yx n yx b 1221，x b y aˆˆ-= 一、选择题（本大题共10小题，每小题５分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的） 1．设,a b 为非零实数,若a b <,0c ≠ 则下列不等式成立的是A. ac bc <B. 22a b < C. 22ac bc < D. a c b c -<+ 2．要完成下列两项调查：宜采用的抽样方法依次为①从某社区125户高收入家庭、280户中等收入家庭、95户低收入家庭中选出100户调查社会购买力的某项指标；②从某中学的15名艺术特长生中选出3人调查学习负担情况.A ．①随机抽样法，②系统抽样法B ．①分层抽样法，②随机抽样法C ．①系统抽样法，②分层抽样法D ．①②都用分层抽样法3．从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立．．．．．．的两个事件是 A ．至少有1个白球，都是白球 B ．至少有1个白球，至少有1个红球C ．恰有1个白球，恰有2个白球D ．至少有1个白球，都是红球4．一组数据的平均数是2 .8 ，方差是3 .6，若将这组数据中的每一个数据都加上60，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是A ．57.2 ，3.6B ．57.2 ，56.4C ．62.8 ，63.6D ．62.8 ，3.65．当1x >时，关于函数 下列叙述正确的是A.函数()f x 有最小值2B.函数()f x 有最大值2C.函数()f x 有最小值3D.函数()f x 有最大值3 6．甲、乙两人下棋，甲获胜的概率是40%，甲不输的概率为90% , 则甲、乙二人下成和棋的概率为A. 50%B. 30%C. 10%D. 60% 7．如右图所示的程序框图输出的结果是S ＝120 ，则判断框内应填写的条件是A. i ≤5？B. i>5？C. i ≤6？D. i>6？,11)(-+=x x x f354555658．已知回归直线斜率的估计值是1.23，样本点的中心为（4，5），则回归直线的回归方程是 A. 1.230.08y x ∧=+ Ｂ． 1.235y x ∧=+ Ｃ． 1.234y x ∧=+ Ｄ．0.08 1.23y x ∧=+9．△ABC 的三内角A 、B 、C 的对边边长分别为a 、b 、c ，若 A=2B ，则cosB 等于A. B. C. D.10．ABCD 为长方形，AB=2 ，BC=1，O 为AB 的中点，在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点到点O 的距离大于1的概率为 A ．4π B ． 14π- C ． 8π D ．18π- 二、填空题（本大题共4小题，每小题５分，共20分）11．把5进制数4301（5）化为十进制数：4301（5）= 。
高二上学期期中考试数学试题(附解析)
山西省祁县中学2015-2016学年高二上学期期中考试数学试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．在空间直角坐标系O-xyz中有四点O（0，0，0），A（0，0，3），B（0，3，0），C（2，3，4），则多面体OABC的体积是（）A．6 B．4 C．3 D．1【答案】C【解析】∆，三棱锥的高为2，所以多面体OABC的体试题分析：多面体OABC的底面是Rt OAB积112333V=⨯⨯⨯⨯=，故答案为C.32考点：空间几何体的表面积与体积.2．设是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出下列命题，正确的是（）A．若，则B．若，，则C．若，，则D．若，，，则【答案】B考点：空间直线与平面平行、垂直关系的综合应用.3．下列四个命题中，不正确的是（）A．经过定点P的直线不一定都可以用方程表示B ．经过两个不同的点的直线都可以用方程来表示C ．与两条坐标轴都相交的直线不一定可以用方程表示D ．经过点Q 的直线都可以表示为【答案】D考点：直线方程的各种形式及其限制条件.4．已知圆C 1：(x ＋1)2＋(y －3)2＝25，圆C 2与圆C 1关于点(2,1)对称，则圆C 2的方程是（ ） A ．(x －3)2＋(y －5)2＝25 B ．(x －5)2＋(y ＋1)2＝25 C ．(x －1)2＋(y －4)2＝25 D ．(x －3)2＋(y ＋2)2＝25 【答案】B 【解析】试题分析：圆1C 与圆2C 关于点()2,1对称，即圆心对称，半径不变，利用中点坐标公式可求得1(13)C -，关于()2,1的对称点1(51)C -，，半径为5，所以圆2C 的方程是()()225125x y -++=.考点：直线与圆的位置关系.5．过点A (1,－1)与B (－1，1)且圆心在直线x+y －2=0上的圆的方程为（ ） A ．(x －3)2+(y +1)2=4 B ．(x －1)2+(y －1)2=4 C ．(x +3)2+(y －1)2=4 D ．(x +1)2+(y +1)2=4【答案】B 【解析】试题分析：直线AB 的斜率1AB k =-，线段AB 的中点坐标为（0，0），所以线段AB 的垂直平分线所在直线的斜率为1，方程为y x =，由方程组20y x x y +⎩==⎧⎨－得11x y =⎧⎨=⎩，所以圆心C （1，1），半径2r =，所以圆的方程为22()(114)x y +=－－，故选B.考点：圆方程的求法.6．不在同一直线上的三点 A ，B ，C 到平面的距离相等，且 A，则（ ）A ．∥平面 ABC B ．△ABC 中至少有一边平行于C ．△ABC 中至多有两边平行于D ．△ABC 中只可能有一条边与平行【答案】B考点：平面的基本性质及直线与平面平行的概念的应用.7．―个锥体的主视图和左视图如下图所示,下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是（ ）A ．B ．C ． D.【答案】C 【解析】试题分析：A ，B ，D 对应的直观图分别如下：故选C.考点：空间几何体的三视图与直观图. 8．若直线和是异面直线，在平面内，在平面内，是平面与平面的交线，则下列命题正确的是（ ）A ．至少与，中的一条相交B ．与，都相交C ．至多与，中的一条相交D ．与，都不相交 【答案】A考点：空间点、线、面的位置关系.9．如果直线y=ax+2与直线y=3x+b 关于直线y=x 对称，那么a,b 的值分别是（ ） A ．，6 B ．，－6 C ．3，－2 D ．3，6 【答案】B 【解析】试题分析：直线2y ax =+上的点M （0,2）关于y x =的对称点()2,0M '在3y x b =+上，所以6b =-，直线3-6y x =上的点N（0,-6）关于y x =的对称点N '（-6,0）在2y ax =+上，所以13a =，故选B .考点：直线方程的应用. 10. 设圆与圆，点为一动点，由点作圆与 圆的切线，切点分别为．若，则点的轨迹方程为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A考点：圆的标准方程及直线与圆位置关系的应用.11．一个几何体的三视图及其尺寸(单位：cm) 如图所示，则该几何体的侧面积为（ ）cm 2. A ．48 B ．144 C ．80 D ．64【答案】C 【解析】试题分析：由三视图可知：该几何体为正四棱锥，其斜高为5，底面边长为8，由此可求得侧面积为21=854=802S cm ⨯⨯⨯侧，故选C.考点：空间几何体的三视图与直观图及其表面积.【易错点晴】由三视图求几何体的表面积问题往往需要还原出几何体的直观图，还原时要把握好三视图之间的关系“主俯同长，左俯同宽，主左同高”，根据三视图的结构特征可知：该几何体为正四棱锥，主视图、左视图中两个等腰三角形的腰为正四棱锥的斜高，而不是侧棱，这是本题正确解答的关键.12.在正方体ABCD －''''D C B A 中，点P 在线段'AD 上运动，则异面直线CP 与'BA 所成的θ角的取值范围是（ ） A ． B ．C ．D ．30πθ≤≤【答案】C考点：空间异面直线所成的角.【方法点晴】作为选择题，本题可以用特殊点法结合运动的观点解决，当P 分别在选段AD '的两个端点,A D '时，恰好是角θ取值的两个边界3π和0，也就是说，当点P 从A 移动到D '的过程中，角θ也从3π逐渐减小到0；除此之外还可以建立空间直角坐标系，利用向量来解决，可设(]0,1AP t AD t '=∈，利用向量的线性运算及坐标运算，表示出向量CP 坐标，利用向量的夹角公式建立关于t 的函数关系来求解.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.在如图所示的棱长为2的正方体中，作与平面平行的截面，则截得的图形中，面积最大的值是.【答案】【解析】考点：棱柱的结构特征.14.某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体最长棱的棱长为________cm．【解析】试题分析：由三视图还原成如图所示的几何体，该几何体为四棱锥，其中底面是边长分别为3与4的矩形， 111VC AC ⊥平面，且13VC =，由其结构知1VA 最长，在11Rt VAC ∆中1VA ==.考点：空间几何体的三视图和直观图． 15.由直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值为__________.考点：直线、圆的位置关系．【方法点晴】在解决与圆的切线有关的问题时，要把握好圆切线的一个重要性质，圆心与切点的连线垂直于切线.本题中，可先作出与切线垂直的半径，构造直角三角形，把切线长表示成直线上的点到圆心距离的表达式，要让切线长的最小值只需直线上的点到圆心距离的最小值，显然当该点与圆心的连线垂直于直线时，切线长最小，从中可以发现：结合图形对问题进行合理的转化是解决直线与圆问题的重要手段.16.在平面直角坐标系中，已知点在圆内，动直 线过点且交圆于两点，若的面积的最大值为，则实数的取值范围是 .【答案】(3323,3⎡--++⎣【解析】试题分析：由题意得圆的标准方程为()()22:232C x m y -+-=，圆心坐标为C （m,2），r =(30)P ，所以21sin ACB 16sin ACB 2ABC S r ∆=∠=∠，当ACB 90∠=时，S 取得最大值16.此时AOC ∆为等腰直角三角形，8AB ==，所以点C 到直线AB 的距离为24S d AB==.由以上可得4PC ≤<即()22163232m ≤-+<，解得333m -<≤或33m +≤<+，所以实数m 的取值范围是(3323,3⎡--++⎣．考点：直线与圆的位置关系．【方法点晴】在解决直线与圆的位置位置关系是，通常需要把圆的一般方程化成标准方程，求出圆的圆心和半径.本题是涉及直线与圆相交问题，问题的难点在建立参数m 的不等式.要解决圆心与圆的弦构成的三角形面积最大值问题，通过分析题目条件转化为圆心与定点的距离问题，这样就可以建立出参数m 的不等式，即得m 的取值范围.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （1）已知两直线0)3()1(2:,02:21=+-++=-+a y a x l y x l ，当1l ⊥2l 时，求a 的值；（2）求经过0323:,0532:21=--=-+y x l y x l 的交点且平行于直线032=-+y x 的直线．【答案】(1)3a =-；(2) 47219y x =-+.考点：两条直线垂直与平行关系的应用.18.如图，四棱锥的底面是边长为2的菱形，．已知．（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）求三棱锥的体积．【答案】（I）证明见解析；（II）1．考点：空间中的垂直关系，三棱锥体积的求法.19.如图所示，几何体中，为正三角形，⊥, ,．（Ⅰ）在线段上找一点，使平面，并证明；（Ⅱ）求证：面面．【答案】（Ⅰ）点F为线段D中点，证明见解析；(Ⅱ)证明见解析.考点：空间直线与平面，平面与平面平行、垂直关系的证明.20.如图所示，平面平面，且四边形为矩形，四边形为直角梯形，，，，．（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值；（3）求直线与平面所成角的余弦值．【答案】(1)证明见解析；；. (2)设平面ADE 的法向量为1111(,,)n x y z =，由于()(200),044AD DE =-=-，，，，,所以 1111120440AD n x DE n y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，令11,y =得11,z =1(0,1,1)n ∴=, (),004DC BCEF BCEF CD ⊥∴=平面平面的法向量为，，，,设平面ADE 与平面BCEF所成锐二面角的大考点：空间向量在证明空间线面平行及求解线面角、二面角中的应用.【方法点睛】在求解空间角时，空间向量是一种非常简单、实用的方法，首先要在几何体中建立空间的基底即寻找两两垂直的三条直线，建立合理的坐标系，也就是尽可能把几何体的顶点放在坐标轴或坐标平面内，这样可以简化运算过程，提高运算的准确率.利用向量证明线面平行需要证明直线的方向向量与平面的法向量垂直，但一定要说明直线不在平面内，这一一个易错点；求解二面角就是求出两个平面的法向量的夹角，当题目没有说明二面角是锐角还是钝角时，要结合几何体的结构特征来判断；求解线面角就是直线时，线面角与直线方向向量与平面法向量所夹的锐角是互余关系，所以直线方向向量与平面法向量夹角余弦的绝对值是线面角的正弦值，应结合图形分析清楚，否则极易出错.21.已知动圆过定点，且在轴上截得的弦长．（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹方程；（Ⅱ）若过点()1,0的直线l 交圆心C 的轨迹于点A ，B ，且5AB =，求直线AB 的方程．【答案】(Ⅰ) 2=4y x ；(Ⅱ) 22y x =-或-2+2y x =.【解析】试题分析：（I ）结合圆的弦构造直角三角形，可以得到动圆圆心C 满足的几何条件，转化为坐标关系，整理即得其轨迹方程；（II ）容易判断直线AB 的斜率一定存在，可设出直线方程，联立方程组得到弦AB 的长关于斜率的表达式，可求出其斜率，从而得到方程.考点：曲线方程的求法，直线与抛物线的位置关系问题.【方法点晴】未知曲线形状求动点的轨迹方程是比较常见的题型，这类问题处理的关键是分析题目条件，寻找动点满足的几何条件，转化为坐标关系并整理即得其轨迹方程，注意判断是否有特殊点不满足要求，从而判断曲线方程中点坐标的范围；关于抛物线的焦点弦弦长问题，往往根据其定义转化为韦达定理来表示，这样可以简化运算过程，提高解题速度和准确率.22.在平面直角坐标系中，为坐标原点，以为圆心的圆与直线相切． （Ⅰ）求圆的方程； （Ⅱ）若直线：与圆交于，两点，在圆上是否存在一点，使得+=， 若存在，求出此时直线的斜率；若不存在，说明理由．【答案】(Ⅰ) 224x y +=；(Ⅱ)存在，k =±【解析】试题分析：(Ⅰ)已知圆心，求圆的方程，只需求出圆的半径，由圆切线的性质：圆心到切线的距离等于半径即可求得圆的方程；(Ⅱ)先由直线与圆相交可得直线l 斜率k 的取值范围，由OQ OA OB =+及OA OB =，可知四边OAQB 为菱形，所以OQ AB ⊥，从而得到直线OQ 的方程，解方程组求得点Q 的坐标，代入圆的方程即得k 的值，验证是否满足相交的条件.方法二：假设存在点，使得．记与交于点 因为，在圆上，且，由向量加法的平行四边形法则可知四边形为菱形， 因为直线斜率为，显然，所以直线方程为…………7分由，解得，所以点坐标为………9分因为点在圆上，所以，解得即，经验证满足条件 所以存在点，使得.考点：圆的方程，直线与圆的位置关系的应用.【方法点晴】求圆的方程常用待定系数法，设法求出圆心和半径即得圆的方程；直线与圆位置关系在应用中要特别注意垂直关系，一方面可以找到斜率之间的关系，另一方面又可以构造直角三角形，本题中OQ OA OB =+及OA OB =，且结合向量加法的几何意义，可知OQ 为菱形的对角线，既可利用点到直线的距离公式求解，又可以求出点Q 的坐标代入圆方程即得解.。
山西省晋中市2015-2016学年高二(上)期末数学试卷(文科)(含答案解析)(精编)
2015-2016学年山西省晋中市高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求.1．若集合A={x|x﹣1＜0}，B={x|﹣2＜x＜2}，则A∩B等于（）A．（﹣1，2）B．（0，2）C．（﹣2，1）D．（﹣2，﹣1）2．为了检查某高三毕业班学生的体重状况，从该班随机抽取了10位学生进行称重，如图为10位学生体重的茎叶图，其中图中左边是体重的十位数字，右边是个位数字，则这10位学生体重的平均数与中位数之差为（）（）A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.43．如图是一个程序框图，则输出的S的值是（）A．﹣1 B．0 C．8 D．94．已知直线2x+my﹣1=0与直线3x﹣2y+n=0垂直，垂足为（2，p），则p﹣m﹣n的值为（）A．﹣6 B．6 C．4 D．105．已知＜α＜π，3sin2α=2cosα，则cos（α﹣π）等于（）A．B．C．D．6．已知a，b是两条直线，α是一个平面，则下列判断正确的是（）A．a⊥α，b⊥α，则a⊥b B．a∥α，b⊂α，则a∥bC．a⊥b，b⊂α，则a⊥α D．a∥α，b⊂α，a⊄α，则a∥α7．“﹣2＜k＜3“是“x2+kx+1＞0在R上恒成立”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件8．已知S n是等差数列{a n}的前n项和，若a7=9a3，则=（）A．9 B．5 C．D．9．一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．12 B．6 C．4 D．210．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期为π，且其图象向右平移个单位后得到函数g（x）=sin（ωx）的图象，则函数f（x）的图象（）A．关于直线x=对称B．关于直线x=对称C．关于点（，0）对称D．关于点（，0）对称11．已知点A（4，0），抛物线C：x2=12y的焦点为F，射线FA与抛物线和它的准线分别相交于点M和N，则|FM|：|MN|等于（）A．2：3 B．3：4 C．3：5 D．4：512．已知三棱锥P﹣ABC的四个顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为2的正三角形，PA⊥平面ABC，若三棱锥P﹣ABC的体积为2，则球O的表面积为（）A．18π B．20π C．24π D．20π二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共25分.13．命题“∀x∈R，e x﹣x＞0”的否定为．14．已知函数f（x）=，则f（f（8））=．15．已知向量，的夹角为，||=，||=2，则•（﹣2）=．16．已知函数f（x）=（a≠0），且f（0）=1，若函数f（x）在（m，m+）上单调递增，则m的最大值为．三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．在△ABC中，a，b，c是角A、B、C的对边，且b=2asinB，A为锐角．（1）求角A的大小；（2）若b=1，c=2，求a．18．已知p：x2﹣5ax+4a2＜0，其中a＞0，q：3＜x≤4．（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．19．平行四边形ABCD的一组邻边所在直线的方程分别为x﹣2y﹣1=0与2x+3y﹣9=0，对角线的交点坐标为（2，3）．（1）求已知两直线的交点坐标；（2）求此平行四边形另两边所在直线的方程．20．已知圆C：x2+y2+4x﹣6y﹣3=0．（1）求过点M（﹣6，﹣5）的圆C的切线方程；（2）过点N（1，3）作直线与圆C交于A、B两点，求△ABC的最大面积及此时直线AB 的斜率．21．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的半焦距为c，且b=c，椭圆的上顶点到右顶点的距离为2．（1）求椭圆的方程；（2）已知点F是椭圆的右焦点，C（m，0）是线段OF上一个动点（O为坐标原点），是否存在过点F且与x轴不垂直的直线l与椭圆交于A，B两点，使得AC|=|BC|，并说明理由．22．已知函数f（x）=x2﹣alnx（a＞0）．（1）若a=2，求曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程；（2）求函数y=f（x）在区间[1，e]上的最小值．2015-2016学年山西省晋中市高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求.1．若集合A={x|x﹣1＜0}，B={x|﹣2＜x＜2}，则A∩B等于（）A．（﹣1，2）B．（0，2）C．（﹣2，1）D．（﹣2，﹣1）【考点】交集及其运算．【分析】根据集合A和集合B的范围，然后求出集合A∩B即可．【解答】解：∵A={x|x﹣1＜0}，B={x|﹣2＜x＜2}，则A∩B（﹣2，1）．故选：C．2．为了检查某高三毕业班学生的体重状况，从该班随机抽取了10位学生进行称重，如图为10位学生体重的茎叶图，其中图中左边是体重的十位数字，右边是个位数字，则这10位学生体重的平均数与中位数之差为（）（）A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4【考点】茎叶图．【分析】先分别求出中位数和平均数，由此能求出结果．【解答】解：平均数=.8，中位数为：，∴这10位学生体重的平均数与中位数之差为：54.8﹣54.5=0.3．故选：C．3．如图是一个程序框图，则输出的S的值是（）A．﹣1 B．0 C．8 D．9【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的i，S的值，当S=0，i=6时满足条件S＜i，退出循环，输出S的值为0，即可得解．【解答】解：模拟执行程序，可得S=27，i=1满足条件S是奇数，S=26，i=2不满足条件S是奇数，S=15，i=3满足条件S是奇数，S=10，i=4不满足条件S是奇数，S=9，i=5满足条件S是奇数，S=0，i=6满足条件S＜i，退出循环，输出S的值为0．故选：B．4．已知直线2x+my﹣1=0与直线3x﹣2y+n=0垂直，垂足为（2，p），则p﹣m﹣n的值为（）A．﹣6 B．6 C．4 D．10【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】由直线的垂直关系可得m值，再由垂足在两直线上可得np的方程组，解方程组计算可得．【解答】解：∵直线2x+my﹣1=0与直线3x﹣2y+n=0垂直，∴2×3+（﹣2）m=0，解得m=3，由垂直在两直线上可得，解得p=﹣1且n=﹣8，∴p﹣m﹣n=4，故选：C．5．已知＜α＜π，3sin2α=2cosα，则cos（α﹣π）等于（）A．B．C．D．【考点】二倍角的正弦．【分析】由条件求得sinα和cosα的值，再根据cos（α﹣π）=﹣cosα求得结果．【解答】解：∵＜α＜π，3sin2α=2cosα，∴sinα=，cosα=﹣．∴cos（α﹣π）=﹣cosα=﹣（﹣）=，故选：C．6．已知a，b是两条直线，α是一个平面，则下列判断正确的是（）A．a⊥α，b⊥α，则a⊥b B．a∥α，b⊂α，则a∥bC．a⊥b，b⊂α，则a⊥α D．a∥α，b⊂α，a⊄α，则a∥α【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】利用线面关系的性质定理和判定定理对选项分别分析选择．【解答】解：对于A，由a⊥α，b⊥α，则a∥b，故A错误；对于B，a∥α，b⊂α，则a∥b或者a，b异面；故B 错误；对于C，a⊥b，b⊂α，则a与α位置关系不确定；故C错误；对于D，满足线面平行的判定定理；故D 正确．故选：D．7．“﹣2＜k＜3“是“x2+kx+1＞0在R上恒成立”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】x2+kx+1＞0在R上恒成立⇔△=k2﹣4＜0，解得即可判断出结论．【解答】解：x2+kx+1＞0在R上恒成立⇔△=k2﹣4＜0，解得﹣2＜k＜2，∴“﹣2＜k＜3“是“x2+kx+1＞0在R上恒成立”的必要不充分条件．故选：B．8．已知S n是等差数列{a n}的前n项和，若a7=9a3，则=（）A．9 B．5 C．D．【考点】等差数列的性质．【分析】利用等差数列的通项及求和公式，即可得出结论．【解答】解：∵等差数列{a n}，a7=9a3，∴a1+6d=9（a1+2d），∴a1=﹣d，∴==9，故选：A．9．一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．12 B．6 C．4 D．2【考点】由三视图求面积、体积．【分析】几何体是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个直角梯形，直角梯形的上底是1，下底是2，垂直于底边的腰是2，一条侧棱与底面垂直，这条侧棱长是2，侧视图是最不好理解的一个图形，注意图形上底虚线部分，根据体积公式得到结果．【解答】解：由三视图知，几何体是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个直角梯形，直角梯形的上底是1，下底是2，垂直于底边的腰是2，一条侧棱与底面垂直，这条侧棱长是2，∴四棱锥的体积是=2，故选D．10．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期为π，且其图象向右平移个单位后得到函数g（x）=sin（ωx）的图象，则函数f（x）的图象（）A．关于直线x=对称B．关于直线x=对称C．关于点（，0）对称D．关于点（，0）对称【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由条件利用正弦函数的周期性，以及正弦函数的图象的对称性，得出结论．【解答】解：由函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期为π，可得=π，求得ω=2，f（x）=sin（2x+φ）．其图象向右平移个单位后得到函数g（x）=sin（2x）的图象，故有sin[2（x﹣）+φ]=sin2x，故可取φ=，f（x）=sin（2x+）．令2x+=kπ+，k∈Z，求得x=+，故函数f（x）的图象的对称轴方程为x=+，k∈Z．令2x+=kπ，k∈Z，求得x=﹣，故函数f（x）的图象的对称中心为（﹣，0），k∈Z，故选：A．11．已知点A（4，0），抛物线C：x2=12y的焦点为F，射线FA与抛物线和它的准线分别相交于点M和N，则|FM|：|MN|等于（）A．2：3 B．3：4 C．3：5 D．4：5【考点】抛物线的简单性质．【分析】求出抛物线C的焦点F的坐标，从而得到AF的斜率．过M作MH⊥l于H，根据抛物线物定义得|FM|=|HM|．Rt△MHN中，根据tan∠MNP=，从而得到|HN|=|HM|，进而算出|MN|=|PM|，由此即可得到|FM|：|MN|的值．【解答】解：∵抛物线C：x2=12y的焦点为F（0，3），点A坐标为（4，0），∴抛物线的准线方程为l：y=﹣3，直线AF的斜率为k=﹣，过M作MH⊥l于H，根据抛物线物定义得|FM|=|HM|，∵Rt△MHN中，tan∠MNH=﹣k=，∴=，可得|HN|=|HM|，得|MN|=|PM|因此可得|FM|：|MN|=|PM|：|MN|=3：5．故选：C．12．已知三棱锥P﹣ABC的四个顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为2的正三角形，PA⊥平面ABC，若三棱锥P﹣ABC的体积为2，则球O的表面积为（）A．18π B．20π C．24π D．20π【考点】球的体积和表面积．【分析】由三棱锥P﹣ABC的体积为2，求出PA，将三棱锥补成三棱柱，可得球心在三棱柱的中心，球心到底面的距离d等于三棱柱的高PA的一半，求出球的半径，然后求出球的表面积．【解答】解：∵三棱锥P﹣ABC的体积为2，∴=2，∴PA=2，将三棱锥补成三棱柱，可得球心在三棱柱的中心，球心到底面的距离d等于三棱柱的高PA 的一半，∵△ABC是边长为2的正三角形，∴△ABC外接圆的半径r=2，∴球的半径为，∴球O的表面积为4π•5=20π．故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共25分.13．命题“∀x∈R，e x﹣x＞0”的否定为∃x∈R，e x﹣x≤0．【考点】命题的否定．【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可．【解答】解：命题是全称命题，则命题的否定是：∃x∈R，e x﹣x≤0，故答案为：∃x∈R，e x﹣x≤014．已知函数f（x）=，则f（f（8））=﹣4．【考点】函数的值．【分析】先求f（8），再代入求f（f（8））．【解答】解：f（8）=﹣log28=﹣3，f（f（8））=f（﹣3）=4﹣23=﹣4，故答案为：﹣4．15．已知向量，的夹角为，||=，||=2，则•（﹣2）=6．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】求出2和，将•（﹣2）展开得出答案．【解答】解：==﹣2，2=||2=2，∴•（﹣2）=2﹣2=2+2×2=6．故答案为：6．16．已知函数f（x）=（a≠0），且f（0）=1，若函数f（x）在（m，m+）上单调递增，则m的最大值为．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】求出a的值，得到函数的单调区间，从而得到关于m的不等式组，解出即可．【解答】解：由f（0）=1，得：a=﹣1，则f′（x）=，令f′（x）＞0，得：x＜2且x≠1，∴f（x）在（﹣∞，1），（1，2）递增，∴m+≤1或，解得：m≤或1≤m≤，故答案为：．三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．在△ABC中，a，b，c是角A、B、C的对边，且b=2asinB，A为锐角．（1）求角A的大小；（2）若b=1，c=2，求a．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）由已知利用正弦定理可得sinB=2sinA•sinB，结合sinB＞0可得sinA=，又A 为锐角，即可解得A的值．（2）利用余弦定理即可解得a的值．【解答】（本题满分为10分）解：（1）在△ABC中，∵b=2asinB，∴sinB=2sinA•sinB，sinB＞0，∴sinA=，∵A为锐角，∴A=…6分（2）∵a2=b2+c2﹣2bccosA=1+12﹣4=7，∴a=…10分18．已知p：x2﹣5ax+4a2＜0，其中a＞0，q：3＜x≤4．（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；复合命题的真假．【分析】（1）p：x2﹣5ax+4a2＜0，其中a＞0，解得：a＜x＜4a；由于a=1，p化为：1＜x ＜4．利用p∧q为真，求交集即可得出．（2）p是q的必要不充分条件，可得q⇒p，且p推不出q，设A=（a，4a），B=（3，4]，则B⊊A，即可得出．【解答】解：（1）p：x2﹣5ax+4a2＜0，其中a＞0，解得：a＜x＜4a；q：3＜x≤4．∵a=1，∴p化为：1＜x＜4．∵p∧q为真，∴，解得3＜x≤4，∴实数x的取值范围是（3，4]．（2）p是q的必要不充分条件，∴q⇒p，且p推不出q，设A=（a，4a），B=（3，4]，则B⊊A，∴，解得1＜a≤3．∴实数a的取值范围是1＜a≤3．19．平行四边形ABCD的一组邻边所在直线的方程分别为x﹣2y﹣1=0与2x+3y﹣9=0，对角线的交点坐标为（2，3）．（1）求已知两直线的交点坐标；（2）求此平行四边形另两边所在直线的方程．【考点】待定系数法求直线方程；两条直线的交点坐标．【分析】（1）解方程组，求出交点坐标即可；（2）求出与点（3，1）相对的一个顶点为（1，5），根据平行四边形的性质求出另两边所在直线方程即可．【解答】解：（1）由，解得：，即两直线的交点坐标是（3，1）；（2）由（1）得已知两直线的交点坐标为（3，1），对角线的交点坐标为（2，3），因此，与点（3，1）相对的一个顶点为（1，5），由平行四边形的性质得另两边与已知两边分别平行，因此另两边所在直线方程分别是：y﹣5=﹣（x﹣1）与y﹣5=（x﹣1），即x﹣2y+9=0与2x+3y﹣17=0．20．已知圆C：x2+y2+4x﹣6y﹣3=0．（1）求过点M（﹣6，﹣5）的圆C的切线方程；（2）过点N（1，3）作直线与圆C交于A、B两点，求△ABC的最大面积及此时直线AB 的斜率．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）由圆的方程求出圆心和半径，易得点M在圆外，当切线的斜率不存在时，切线方程为x=3．当切线的斜率存在时，设切线的斜率为k，写出切线方程，利用圆心到直线的距离等于半径，解出k，可得切线方程．（2）当直线AB的斜率不存在时，△ABC的面积S=3，当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y﹣3=k（x﹣1），即kx﹣y+3﹣k=0，圆心（﹣2，3）到直线AB的距离d=，线段AB的长度|AB|=2，由此能求出△OAB的最大面积和此时直线AB的斜率．【解答】解：（1）圆C：x2+y2+4x﹣6y﹣3=0，即（x+2）2+（y﹣3）2=16，表示以（﹣2，3）为圆心，半径等于4的圆．由于点M（﹣6，﹣5）到圆心的距离等于=4，大于半径4，故点M在圆的外部．当切线的斜率不存在时，切线方程为x=﹣6符合题意．当切线的斜率存在时，设切线斜率为k，则切线方程为y+5=k（x+6），即kx﹣y+6k﹣5=0，所以，圆心到切线的距离等于半径，即=4，解得k=，此时，切线为3x﹣4y﹣2=0．综上可得，圆的切线方程为x=﹣6，或3x﹣4y﹣2=0．（2）当直线AB的斜率不存在时，x=1，y=3±，△ABC的面积S=3当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y﹣3=k（x﹣1），即kx﹣y+3﹣k=0，圆心（﹣2，3）到直线AB的距离d=，线段AB的长度|AB|=2，∴△ABC的面积S=|AB|d=≤=8当且仅当d2=8时取等号，此时=2，解得k=±2．所以，△OAB的最大面积为8，此时直线AB的斜率为±2．21．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的半焦距为c，且b=c，椭圆的上顶点到右顶点的距离为2．（1）求椭圆的方程；（2）已知点F是椭圆的右焦点，C（m，0）是线段OF上一个动点（O为坐标原点），是否存在过点F且与x轴不垂直的直线l与椭圆交于A，B两点，使得AC|=|BC|，并说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由已知得b=c，=2，由此能求出椭圆方程．（2）由（1）得F（2，0），0≤m≤2，设l的方程为y=k（x﹣2），代入=1，得（2k2+1）x2﹣8k2x+8k2﹣8=0，由此利用韦达定理、中点坐标公式、直线垂直，结合已知条件能求出结果．【解答】解：（1）∵椭圆+=1（a＞b＞0）的半焦距为c，且b=c，椭圆的上顶点到右顶点的距离为2，∴，解得，∴椭圆方程为=1．（2）由（1）得F（2，0），∴0≤m≤2，假设存在满足题意的直线l，则直线l的斜率存在，设为k，则l的方程为y=k（x﹣2），代入=1，得（2k2+1）x2﹣8k2x+8k2﹣8=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，∴y1+y2=k（x1+x2﹣4）=，设AB的中点为M，则M（，﹣），∵|AC|=|BC|，∴CM⊥AB，∴k CM•k AB=﹣1，∴•k=﹣1，化简，得，当0≤m＜1时，k=，即存在这样的直线l满足条件，当l≤m≤2时，k不存在，即不存在这样的直线l满足条件．22．已知函数f（x）=x2﹣alnx（a＞0）．（1）若a=2，求曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程；（2）求函数y=f（x）在区间[1，e]上的最小值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出函数的导数，计算f′（1），f（1）的值，代入切线方程整理即可；（2）求出导函数，令导函数为0求出根，通过讨论根与区间[1，e]的关系，判断出函数的单调性，求出函数的最小值【解答】解：（1）a=2，f（x）=x2﹣2lnx，f′（x）=x﹣，f′（1）=﹣1，f（1）=，∴f（x）在（1，f（1））处的切线方程是：2x+2y﹣3=0；（2）由f′（x）=，由a＞0及定义域为（0，+∞），令f′（x）=0得x=，①若≤1即0＜a≤1在（1，e）上，f′（x）＞0，f（x）在[1，e]上单调递增，f（x）min=f（1）=；②若1＜＜e，即1＜a＜e2；在（1，）上，f′（x）＜0，f（x）单调递减；在（，e）上，f′（x）＞0，f（x）单调递增，因此在[1，e]上，f（x）min=f（）=a（1﹣lna）；③若≥e，即a≥e2在（1，e）上，f′（x）＜0，f（x）在[1，e]上单调递减，f（x）min=f（e）=e2﹣a综上，当0＜a≤1时，f（x）min=；当1＜＜e时，f（x）min=a（1﹣lna）；当a≥e2时，f（x）min=e2﹣a．2016年7月7日。
山西省晋中市数学高二上学期理数期中考试试卷
山西省晋中市数学高二上学期理数期中考试试卷姓名:________班级:________成绩:________一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)1. （2 分） “ <1”是“x>1”的（ ） A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充分必要条件 D . 既不充分也不必要条件2. （2 分） (2017 高三上·郫县期中) 已知命题 则下列命题为真命题的是（ ）；命题 q：∃ x0∈R，x02﹣x0﹣1=0；A . p∧qB . p∨¬qC . ¬p∧qD . ¬p∧¬q3. （2 分） (2019 高二上·郑州期中) 给出如下四个命题：①若“ 且 ”为假命题，则均为假命题；②命题“若，则”的否命题为“若，则”； ③“，则”的否定是“，则”；④在中，“”是“”的充要条件．其中正确的命题的个数是（ ）A.1B.2C.3D.44. （2 分） (2017·成都模拟) 命题“若 a＞b，则 a+c＞b+c”的否命题是（ ）第 1 页 共 12 页A . 若 a≤b，则 a+c≤b+c B . 若 a+c≤b+c，则 a≤b C . 若 a+c＞b+c，则 a＞b D . 若 a＞b，则 a+c≤b+c 5. （2 分） (2016 高二上·宣化期中) 下列命题中正确的是（ ） ①“若 x2+y2≠0，则 x，y 不全为零”的否命题； ②“正多边形都相似”的逆命题； ③“若 m＞0，则 x2+x﹣m=0 有实根”的逆否命题；④“若 x﹣ 是有理数，则 x 是无理数”的逆否命题． A . ①②③④ B . ①③④ C . ②③④ D . ①④ 6. （2 分） (2017·资阳模拟) 过抛物线 y2=4x 的焦点 F 作互相垂直的弦 AC，BD，则点 A，B，C，D 所构成四 边形的面积的最小值为（ ） A . 16 B . 32 C . 48 D . 647. （2 分） (2018 高三上·鄂州期中) 过抛物线在第一象限内交于点 ，若，则（）的焦点 作斜率为 的直线，与抛物线A.4第 2 页 共 12 页B.2 C.1 D. 8. （2 分） 双曲线 A. B. C.的焦点为,点 M 在双曲线上且，则点 M 到 x 轴的距离为（ ）D.9. （2 分） 已知椭圆的两个焦点分别为 、 ，椭圆上，且，则点 到 轴的距离为 （ ）．若点 在A.B.C.D.10. （2 分） 平面 α 的一个法向量为 =（1，2，1），平面 β 的一个法向量为 =（﹣2，﹣4，10），则平面 α 与平面 β（ ）A . 平行B . 垂直C . 相交D . 不确定第 3 页 共 12 页11. （2 分） (2019 高一下·揭阳期中) 如图所示，在则（）中，，若，，A.B.C.D. 12. （2 分） 直线 2x﹣3y+10=0 的法向量的坐标可以是（ ） A . （﹣2，3） B . （2，3） C . （2，﹣3） D . （﹣2，﹣3）二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)13. （1 分） (2018·衡水模拟) 已知自主招生考试中，甲、乙、丙三人都恰好报考了清华大学、北京大学中 的某一所大学，三人分别给出了以下说法：甲说：“我报考了清华大学，乙也报考了清华大学，丙报考了北京大学．” 乙说：“我报考了清华大学，甲说得不完全对．” 丙说：“我报考了北京大学，乙说得对．” 已知甲、乙、丙三人中恰好有 1 人说得不对，则报考了北京大学的是________．第 4 页 共 12 页14. （1 分） 已知命题，，则是________15. （1 分） (2020·梅河口模拟) 如果椭圆的对称轴为坐标轴，短轴的一个端点与两焦点组成一正三角形，焦点在 x 轴上，且= , 那么椭圆的方程是________．16. （1 分） 下列命题正确的是________（写出正确的序号）①若、，,则动点 的轨迹是双曲线左边一支；②已知椭圆的长轴在 轴上,若焦距为 ,则实数 的值是 ；③抛物线 .的焦点坐标是三、 解答题 (共 6 题；共 35 分)17. （5 分） (2020 高二下·泸县月考) 给定如下两个命题：命题 “曲线是焦点在 轴上的椭圆，其中 为常数”；命题 “曲线是焦点在 轴上的双曲线，其中知命题“”为假命题，命题“”为真命题，求实数 的取值范围.为常数”．已18. （5 分） 设命题 ：函数无极值．命题，（1） 若 为真命题，求实数 的取值范围；（2） 若是的充分不必要条件，求实数 的取值范围。
2015-2016年山西省晋中市平遥二中高二(上)期中数学试卷和答案
2015-2016学年山西省晋中市平遥二中高二（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的）1．（5分）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD=AB，∠BCD=45°，∠BAD=90°．将△ADB沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A﹣BCD．则在三棱锥A ﹣BCD中，下列命题正确的是（）A．平面ABD⊥平面ABC B．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDC D．平面ADC⊥平面ABC2．（5分）若直线l过点且被圆x2+y2=25截得的弦长为8，则直线l的方程是（）A．x=﹣3 B．C．3x+4y+15=0 D．x=﹣3或3x+4y+15=03．（5分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AB=2，AD=1，点E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成角的余弦值是（）A．B．C．D．04．（5分）在同一直角坐标系中，表示直线y=ax与y=x+a正确的是（）A．B．C．D．5．（5分）若直线=1与圆x2+y2=1有公共点，则（）A．a2+b2≤1 B．a2+b2≥1 C．D．6．（5分）已知圆C：（x﹣a）2+（y﹣2）2=4（a＞0）及直线l：x﹣y+3=0，当直线l被C截得弦长为2时，则a等于（）A．B．2﹣C．﹣1 D．+17．（5分）圆：x2+y2﹣4x+6y=0和圆：x2+y2﹣6x=0交于A，B两点，则直线AB的方程是（）A．x+3y=0 B．3x+y=0 C．3x﹣y=0 D．3y﹣5x=08．（5分）平面α与平面β平行的条件可以是（）A．α内有无穷多条直线与β平行B．α内的任何直线都与β平行C．直线a⊂α，直线b⊂β，且a∥β，b∥αD．直线a⊂α，直线a∥β9．（5分）设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若m⊥α，n∥α，则m⊥n②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ③若m∥α，n∥α，则m∥n④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β其中正确命题的序号是（）A．①和②B．②和③C．③和④D．①和④10．（5分）直线kx﹣y+1﹣3k=0，当k变化是，所有直线恒过定点（）A．（0，0） B．（3，1） C．（1，3） D．（﹣1，﹣3）11．（5分）用斜二测画法画出长为6，宽为4的矩形水平放置的直观图，则该直观图面积为（）A．12 B．24 C．D．12．（5分）水平放置的△ABC的直观图如图，其中B′O′=C′O′=1，A′O′=，那么原△ABC是一个（）A．等边三角形B．直角三角形C．三边中只有两边相等的等腰三角形D．三边互不相等的三角形二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）正方体的内切球与外接球的表面积的比为．14．（5分）若圆B：x2+y2+b=0与圆C：x2+y2﹣6x+8y+16=0没有公共点，则b的取值范围是．15．（5分）直线y=k（x﹣1）与以A（3，2）、B（2，3）为端点的线段有公共点，则k的取值范围是．16．（5分）一个正三棱柱的三视图如图所示，求这个正三棱柱的表面积．三、解答题.本大题共6个小题，共70分.解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或推理步骤.17．（8分）求经过两直线2x﹣3y﹣3=0和x+y+2=0的交点且与直线3x+y﹣1=0垂直的直线方程．18．（12分）如图，已知空间四边形ABCD中，AB=CD=3，E、F分别是BC、AD上的点，并且BE：EC=AF：FD=1：2，EF=，求AB和CD所成角的大小．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，E是PC的中点．（1）证明：PA∥平面EDB；（2）证明：平面PAC⊥平面PDB．20．（12分）已知点A（﹣1，2），B（0，1），动点P满足．（Ⅰ）若点P的轨迹为曲线C，求此曲线的方程；（Ⅱ）若点Q在直线l1：3x﹣4y+12=0上，直线l2经过点Q且与曲线C有且只有一个公共点M，求|QM|的最小值．21．（12分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，（1）证明：BC1⊥面A1B1CD；（2）求直线A1B和平面A1B1CD所成的角．22．（14分）已知圆C：（x﹣1）2+y2=9内有一点P（2，2），过点P作直线l交圆C于A、B（1）当弦AB被点P平分时，写出直线l的方程；（2）当直线l的倾斜角为45°时，求弦AB的长．（3）设圆C与x轴交于M、N两点，有一动点Q使∠MQN=45°．试求动点Q的轨迹方程．2015-2016学年山西省晋中市平遥二中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的）1．（5分）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD=AB，∠BCD=45°，∠BAD=90°．将△ADB沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A﹣BCD．则在三棱锥A ﹣BCD中，下列命题正确的是（）A．平面ABD⊥平面ABC B．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDC D．平面ADC⊥平面ABC【解答】解：∵在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=AB，∠BCD=45°，∠BAD=90°∴BD⊥CD又平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD=BD故CD⊥平面ABD，则CD⊥AB，又AD⊥AB故AB⊥平面ADC，所以平面ABC⊥平面ADC．故选：D．2．（5分）若直线l过点且被圆x2+y2=25截得的弦长为8，则直线l的方程是（）A．x=﹣3 B．C．3x+4y+15=0 D．x=﹣3或3x+4y+15=0【解答】解：如图，∵圆x2+y2=25的半径为5，直线l被圆截得的半弦长为4，∴圆心到直线的距离为3．当直线l过点且斜率不存在时，直线方程为x=﹣3，满足题意；当斜率存在时，设斜率为k，则直线的点斜式方程为，整理得：2kx﹣2y+6k﹣3=0．由圆心（0，0）到直线2kx﹣2y+6k﹣3=0的距离等于3得：，解得：k=．∴直线方程为3x+4y+15=0．综上，直线l的方程是x=﹣3或3x+4y+15=0．故选：D．3．（5分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AB=2，AD=1，点E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成角的余弦值是（）A．B．C．D．0【解答】解：以DA，DC，DD1所在直线方向x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则可得A1（1，0，2），E（0，0，1），G（0，2，1），F（1，1，0）∴=（﹣1，0，﹣1），=（1，﹣1，﹣1）设异面直线A1E与GF所成角的为θ，则cosθ=|cos＜，＞|=0，故选：D．4．（5分）在同一直角坐标系中，表示直线y=ax与y=x+a正确的是（）A．B．C．D．【解答】解：由y=x+a得斜率为1排除B、D，由y=ax与y=x+a中a同号知若y=ax递增，则y=x+a与y轴的交点在y轴的正半轴上；若y=ax递减，则y=x+a与y轴的交点在y轴的负半轴上；故选：C．5．（5分）若直线=1与圆x2+y2=1有公共点，则（）A．a2+b2≤1 B．a2+b2≥1 C．D．【解答】解：直线与圆有公共点，即直线与圆相切或相交得：d≤r，∴，故选：D．6．（5分）已知圆C：（x﹣a）2+（y﹣2）2=4（a＞0）及直线l：x﹣y+3=0，当直线l被C截得弦长为2时，则a等于（）A．B．2﹣C．﹣1 D．+1【解答】解：圆心为（a，2），半径等于2，由弦长公式求得圆心（a，2）到直线l：x﹣y+3=0 的距离为==1，再由点到直线的距离公式得圆心到直线l：x﹣y+3=0的距离1=，∴a=﹣1．故选：C．7．（5分）圆：x2+y2﹣4x+6y=0和圆：x2+y2﹣6x=0交于A，B两点，则直线AB的方程是（）A．x+3y=0 B．3x+y=0 C．3x﹣y=0 D．3y﹣5x=0【解答】解：因为两圆相交于A，B两点，则A，B两点的坐标坐标既满足第一个圆的方程，又满足第二个圆的方程将两个圆方程：x2+y2﹣4x+6y=0和圆：x2+y2﹣6x=0作差，得直线AB的方程是：x+3y=0，故选：A．8．（5分）平面α与平面β平行的条件可以是（）A．α内有无穷多条直线与β平行B．α内的任何直线都与β平行C．直线a⊂α，直线b⊂β，且a∥β，b∥αD．直线a⊂α，直线a∥β【解答】解：对于选项A，α内有无穷多条直线与β平行，如果这无穷多条直线是平行的，α，β可能相交；对于选项B，α内的任何直线都与β平行，一定有两条相交直线与β平行，满足面面平行的判定定理，可以得到α∥β；对于选项C，直线a⊂α，直线b⊂β，且a∥β，b∥α，如果a，b都平行α，β的交线，但是α与β相交；对于选项D，直线a⊂α，直线a∥β，α，β可能相交；故选：B．9．（5分）设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若m⊥α，n∥α，则m⊥n②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ③若m∥α，n∥α，则m∥n④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β其中正确命题的序号是（）A．①和②B．②和③C．③和④D．①和④【解答】解：对于①，因为n∥α，所以经过n作平面β，使β∩α=l，可得n∥l，又因为m⊥α，l⊂α，所以m⊥l，结合n∥l得m⊥n．由此可得①是真命题；对于②，因为α∥β且β∥γ，所以α∥γ，结合m⊥α，可得m⊥γ，故②是真命题；对于③，设直线m、n是位于正方体上底面所在平面内的相交直线，而平面α是正方体下底面所在的平面，则有m∥α且n∥α成立，但不能推出m∥n，故③不正确；对于④，设平面α、β、γ是位于正方体经过同一个顶点的三个面，则有α⊥γ且β⊥γ，但是α⊥β，推不出α∥β，故④不正确．综上所述，其中正确命题的序号是①和②故选：A．10．（5分）直线kx﹣y+1﹣3k=0，当k变化是，所有直线恒过定点（）A．（0，0） B．（3，1） C．（1，3） D．（﹣1，﹣3）【解答】解：直线方程kx﹣y+1﹣3k=0可化为y﹣1=k（x﹣3），由直线的点斜式可知直线过定点（3，1）故选：B．11．（5分）用斜二测画法画出长为6，宽为4的矩形水平放置的直观图，则该直观图面积为（）A．12 B．24 C．D．【解答】解：根据斜二测画法的规则可知，矩形的直观图为平行四边形，其中O'C'=OC=6，O'A'=OA=2，∠A'O'C'=45°，'=2×∴平行四边形的面积S=2S△O'A'C=，故选：C．12．（5分）水平放置的△ABC的直观图如图，其中B′O′=C′O′=1，A′O′=，那么原△ABC是一个（）A．等边三角形B．直角三角形C．三边中只有两边相等的等腰三角形D．三边互不相等的三角形【解答】解：由图形知，在原△ABC中，AO⊥BC，∵A′O′=∴AO=∵B′O′=C′O′=1∴BC=2∴AB=AC=2∴△ABC为正三角形．故选：A．二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）正方体的内切球与外接球的表面积的比为．【解答】解：正方体的内切球的直径为，正方体的棱长，外接球的直径为，正方体的对角线长，设正方体的棱长为：2a，所以内切球的半径为：a；外接球的直径为2a，半径为：a，正方体的内切球与外接球的面积之比：==．故答案为：．14．（5分）若圆B：x2+y2+b=0与圆C：x2+y2﹣6x+8y+16=0没有公共点，则b的取值范围是{b|﹣4＜b＜0，或b＜﹣64} ．【解答】解：圆B：x2+y2+b=0表示圆心为O（0，0）、半径等于的圆，（b＜0）；圆C：x2+y2﹣6x+8y+16=0即（x﹣3）2+（y+4）2=9 表示圆心为（3，﹣4）、半径等于3的圆．由题意可得，两个圆相离或相内含．若两个圆相离，则由两个圆的圆心距d大于两个圆的半径之和，即＞3+，求得﹣4＜b＜0．若两个圆相内含，则由两个圆的圆心距d小于两个圆的半径之差，即＜|3﹣|，求得b＜﹣64，故答案为：{b|﹣4＜b＜0，或b＜﹣64}．15．（5分）直线y=k（x﹣1）与以A（3，2）、B（2，3）为端点的线段有公共点，则k的取值范围是[1，3] ．【解答】解：因为直线y=k（x﹣1）恒过P（1，0），画出图形，直线y=k（x﹣1）与以A（3，2）、B（2，3）为端点的线段有公共点，就是直线落在阴影区域内，所以k PA==1；k PB==3；所求k的范围是[1，3]．故答案为：[1，3]．16．（5分）一个正三棱柱的三视图如图所示，求这个正三棱柱的表面积24．【解答】解：三视图如图所示：根据三视图可判断几何体是一个一个正三棱柱，底面边长为2，高为2，∴表面积：3×4×2+2××（4）2=24+8；故答案为：24+8；三、解答题.本大题共6个小题，共70分.解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或推理步骤.17．（8分）求经过两直线2x﹣3y﹣3=0和x+y+2=0的交点且与直线3x+y﹣1=0垂直的直线方程．【解答】解：由得交点（，）…（3分）又直线3x+y﹣1=0斜率为﹣3，…（5分）所求的直线与直线3x+y﹣1=0垂直，所以所求直线的斜率为，…（7分）所求直线的方程为y+=（x+），化简得：5x﹣15y﹣18=0…（12分）18．（12分）如图，已知空间四边形ABCD中，AB=CD=3，E、F分别是BC、AD 上的点，并且BE：EC=AF：FD=1：2，EF=，求AB和CD所成角的大小．【解答】解：连结BD，在BD上取点G，使BG：GD=1：2，连结EG、FG，∵在△BCD中，=，∴EG∥CD同理可证：FG∥AB∴EG和FG所成的锐角（或直角）就是异面直线AB和CD所成的角．∵在△BCD中，EG∥CD，CD=3，BG：GD=1：2，∴EG==1．又∵在△ABD中，FG∥AB，AB=3，FG：AB=2：3，∴FG==2．在△EFG中，EG=1，FG=2，EF=，∴由余弦定理，得，∴∠EGF=60°，即EG和FG所成的锐角为60°．因此，AB与CD所成的角为60°．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，E是PC的中点．（1）证明：PA∥平面EDB；（2）证明：平面PAC⊥平面PDB．【解答】证明：（1）设AC与BD相交于点O，则O为AC的中点．∵E是P的中点，∴EO∥PA又∵EO⊂平面EDB，PA⊄平面EDB，∴PA∥平面EDB；（2）∵PO⊥平面ABCD，∴PD⊥AC又∵四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD从而AC⊥平面PBD，∴平面PAC⊥平面PBD．20．（12分）已知点A（﹣1，2），B（0，1），动点P满足．（Ⅰ）若点P的轨迹为曲线C，求此曲线的方程；（Ⅱ）若点Q在直线l1：3x﹣4y+12=0上，直线l2经过点Q且与曲线C有且只有一个公共点M，求|QM|的最小值．【解答】解：（Ⅰ）设P（x，y），则∵点A（﹣1，2），B（0，1），动点P满足，∴，∴化简（x﹣1）2+y2=4；（Ⅱ）由题意，|QM|最小时，|CQ|最小，当且仅当圆心C到直线的距离最小，此时d==3，∴由勾股定理可得|QM|的最小值为=．21．（12分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，（1）证明：BC1⊥面A1B1CD；（2）求直线A1B和平面A1B1CD所成的角．【解答】解：（1）连接B1C交BC1于点O，连接A1O．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中因为A1B1⊥平面BCC1B1．所以A1B1⊥BC1．又∵BC1⊥B1C，又BC1∩B1C=O∴BC1⊥平面A1B1CD（2）因为BC1⊥平面A1B1CD，所以A1O为斜线A1B在平面A1B1CD内的射影，所以∠BA1O为A1B与平面A1B1CD所成的角．设正方体的棱长为a在RT△A1BO中，A1B=a，BO=a，所以BO=A1B，∠BA1O=30°，即直线A1B和平面A1B1CD所成的角为30°．22．（14分）已知圆C：（x﹣1）2+y2=9内有一点P（2，2），过点P作直线l交圆C于A、B（1）当弦AB被点P平分时，写出直线l的方程；（2）当直线l的倾斜角为45°时，求弦AB的长．（3）设圆C与x轴交于M、N两点，有一动点Q使∠MQN=45°．试求动点Q的轨迹方程．【解答】解（1）已知圆C：（x﹣1）2+y2=9的圆心为C（1，0），因直线过点P与PC垂直，所以直线l的斜率为﹣，直线l的方程为y﹣2=﹣（x﹣2），即x+2y﹣6=0．（2）当直线l的倾斜角为45°时，斜率为1，直线l的方程为y﹣2=x﹣2，即x ﹣y=0圆心C到直线l的距离为，圆的半径为3，弦AB的长为．（3）∵圆C与x轴交于M（﹣2，0），N（4.0）两点∴tan45°=．1=1=x2﹣2x﹣8+y2=6y或x2﹣2x﹣8=﹣6y∴Q点的轨迹方程是：（x﹣1）2+（y﹣3）2=18（y＞0），或（x﹣1）2+（y+3）2=18（y＜0）。
2016-2017学年山西省晋中市高二(上)期末数学试卷(文科)
2016-2017学年山西省晋中市高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．（5分）设a，b是实数，则“a＞b”是“a2＞b2”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2．（5分）圆x2+y2﹣4x﹣4y=0上的点到直线x+y﹣6=0的最大距离和最小距离的差是（）A．B．C．D．3．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为棱AB，BB1的中点，则直线BC1与EF所成角的余弦值是（）A．B．C．D．4．（5分）已知a、b、c为三条不重合的直线，下面有三个结论：①若a⊥b，a ⊥c则b∥c；②若a⊥b，a⊥c则b⊥c；③若a∥b，b⊥c则a⊥c．其中正确的个数为（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个5．（5分）若直线y=kx+2k与曲线有两个不同的交点，则k的取值范围是（）A．B．C．D．6．（5分）已知f（x）=alnx+x2（a＞0），若对任意两个不等的正实数x1，x2，都有＞2恒成立，则a的取值范围是（）A．（0，1]B．（1，+∞）C．（0，1） D．[1，+∞）7．（5分）如果圆（x﹣a）2+（y﹣a）2=8上总存在两个点到原点的距离为，则实数a的取值范围是（）A．（﹣3，﹣1）∪（1，3） B．（﹣3，3）C．[﹣1，1]D．（﹣3，﹣1]∪[1，3）8．（5分）已知三棱锥P﹣ABC中，PA=4，AB=AC=2，BC=6，PA⊥面ABC，则此三棱锥的外接球的表面积为（）A．16πB．32πC．64πD．128π9．（5分）已知F1（﹣c，0），F2（c，0）为椭圆的两个焦点，点P（不在x轴上）为椭圆上的一点，且满足，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．B．C． D．10．（5分）已知椭圆x2+2y2=8的两个焦点分别为F1，F2，A为椭圆上的任意一点，AP是∠F1AF2的外角平分线，且，则点P的坐标一定满足（）A．x2+y2=8 B．x2+y2=1 C．x2﹣y2=1 D．11．（5分）已知点F为抛物线y 2=﹣8x的焦点，O为原点，点P是抛物线准线上一动点，点A在抛物线上，且|AF|=4，则|PA|+|PO|的最小值为（）A．6 B．C．D．4+212．（5分）设奇函数f（x）在R上存在导数f′（x），且在（0，+∞）上f′（x）＜x2，若f（1﹣m）﹣f（m）≥，则实数m的取值范围为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知函数f（x）=ax3+x+1的图象在点（1，f（1））处的切线过点（2，7），则a=．14．（5分）某四面体的三视图如图所示，正视图、俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形，侧视图是边长为2的正方形，则此四面体的四个面中面积的最大值为．15．（5分）已知函数f（x）=e x﹣2+a有零点，则实数a的取值范围为．16．（5分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率e=，A，B是椭圆的左、右顶点，P是椭圆上不同于A，B的一点，直线PA，PB斜倾角分别为α，β，则|tanα﹣tanβ|的最小值为．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．（10分）已知集合，若t∈A是t∈B的充分不必要条件，求实数m的取值范围．18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面是以O为中心的菱形，PO⊥底面为BC上一点，且．（1）证明：BC⊥平面POM；（2）若MP⊥AP，求四棱锥P﹣ABCD的体积．19．（12分）已知线段AB的端点B的坐标为（1，3），端点A在圆C：（x+1）2+y2=4上运动．（1）求线段AB的中点M的轨迹；（2）过B点的直线L与圆C有两个交点A，D．当CA⊥CD时，求L的斜率．20．（12分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c在与x=1处都取得极值．（1）求a，b的值；（2）若对x∈R，f（x）有三个零点，求实数c的取值范围．21．（12分）已知椭圆的离心率为，又点在该椭圆上．（1）求椭圆E的方程；（2）若斜率为的直线l与椭圆E交于不同的两点B，C，求△ABC的最大面积．22．（12分）已知函数．（1）当a=0时，求曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程；（2）令g（x）=f（x）﹣ax+1，求函数g（x）的极大值；（3）若a=﹣2，正实数x1，x2满足f（x1）+f（x2）+x1x2=0，证明：．2016-2017学年山西省晋中市高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．（5分）设a，b是实数，则“a＞b”是“a2＞b2”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：因为a，b都是实数，由a＞b，不一定有a2＞b2，如﹣2＞﹣3，但（﹣2）2＜（﹣3）2，所以“a＞b”是“a2＞b2”的不充分条件；反之，由a2＞b2也不一定得a＞b，如（﹣3）2＞（﹣2）2，但﹣3＜﹣2，所以“a ＞b”是“a2＞b2”的不必要条件．故选D2．（5分）圆x2+y2﹣4x﹣4y=0上的点到直线x+y﹣6=0的最大距离和最小距离的差是（）A．B．C．D．【解答】解：圆x2+y2﹣4x﹣4y=0的圆心（2，2），半径是2，圆心到直线x+y﹣6=0的距离：d==＜2∴圆x2+y2﹣4x﹣4y=0上的点到直线x+y﹣6=0的最大距离和最小距离的差是3﹣0=3．故选B．3．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为棱AB，BB1的中点，则直线BC1与EF所成角的余弦值是（）A．B．C．D．【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为2，则E（2，1，0），F（2，2，1），B（2，2，0），C1（0，2，2），=（﹣2，0，2），=（0，1，1），设直线BC1与EF所成角为θ，则cosθ=|cos＜，＞|===．∴直线BC1与EF所成角的余弦值是．故选：B．4．（5分）已知a、b、c为三条不重合的直线，下面有三个结论：①若a⊥b，a ⊥c则b∥c；②若a⊥b，a⊥c则b⊥c；③若a∥b，b⊥c则a⊥c．其中正确的个数为（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【解答】解：两条直线都与第三条直线垂直，只两条直线之间的位置关系不能确定，故①②不正确，若a∥b，b⊥c则a⊥c，这里符合两条直线的关系，是我们求两条直线的夹角的方法，故③正确，综上可知有一个正确的说法，故选B．5．（5分）若直线y=kx+2k与曲线有两个不同的交点，则k的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：由得x2+y2=1，（y≥0），对应的轨迹为上半圆，直线y=kx+2k过定点A（﹣2，0），由圆心到直线的距离d==1，可得k=±，若直线y=kx+2k与曲线有两个不同的交点，则0≤k＜，故选B．6．（5分）已知f（x）=alnx+x2（a＞0），若对任意两个不等的正实数x1，x2，都有＞2恒成立，则a的取值范围是（）A．（0，1]B．（1，+∞）C．（0，1） D．[1，+∞）【解答】解：对任意两个不等的正实数x1，x2，都有＞2恒成立则当x＞0时，f'（x）≥2恒成立f'（x）=+x≥2在（0，+∞）上恒成立则a≥（2x﹣x2）max=1故选D．7．（5分）如果圆（x﹣a）2+（y﹣a）2=8上总存在两个点到原点的距离为，则实数a的取值范围是（）A．（﹣3，﹣1）∪（1，3） B．（﹣3，3）C．[﹣1，1]D．（﹣3，﹣1]∪[1，3）【解答】解：问题可转化为圆（x﹣a）2+（y﹣a）2=8和圆x2+y2=2相交，两圆圆心距d==|a|，由R﹣r＜|OO1|＜R+r得，解得：1＜|a|＜3，即a∈（﹣3，﹣1）∪（1，3）故选A．8．（5分）已知三棱锥P﹣ABC中，PA=4，AB=AC=2，BC=6，PA⊥面ABC，则此三棱锥的外接球的表面积为（）A．16πB．32πC．64πD．128π【解答】解：∵底面△ABC中，AB=AC=2，BC=6，∴cos∠BAC==﹣∴sin∠BAC=，∴△ABC的外接圆半径r==2，所以三棱锥外接球的半径R2=r2+（）2=（2）2+22=16，所以三棱锥P﹣ABC外接球的表面积S=4πR2=64π．故选：C．9．（5分）已知F1（﹣c，0），F2（c，0）为椭圆的两个焦点，点P（不在x轴上）为椭圆上的一点，且满足，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．B．C． D．【解答】解：设P（x0，y0），（﹣a＜x0＜a），则+=1，∴=．则c2==（﹣c﹣x0）（c﹣x0）+，∴2c2=+，化为：3c2=a2+，∴=∈[0，1），解得：，解得≤e．故选：C．10．（5分）已知椭圆x2+2y2=8的两个焦点分别为F1，F2，A为椭圆上的任意一点，AP是∠F1AF2的外角平分线，且，则点P的坐标一定满足（）A．x2+y2=8 B．x2+y2=1 C．x2﹣y2=1 D．【解答】解：∵椭圆x2+2y2=8的两个焦点分别为F1，F2，A为椭圆上的任意一点，∴椭圆的标准方程为，F1（﹣2，0），F2（2，0），可设A（0，2），P（x，y），则=（x，y﹣2），=（2，﹣2），=（2，2），=（x﹣2，y），∵AP是∠F1AF2的外角平分线，且，∴•=（x，y﹣2）•（x﹣2，y）=x2﹣2x+y2﹣2y=0，①cos＜＞=cos＜，＞，即=，②①②联立，解得x=y=2．∴点P的坐标一定满足x2+y2=8．故选：A．11．（5分）已知点F为抛物线y 2=﹣8x的焦点，O为原点，点P是抛物线准线上一动点，点A在抛物线上，且|AF|=4，则|PA|+|PO|的最小值为（）A．6 B．C．D．4+2【解答】解：∵|AF|=4，由抛物线的定义得，∴A到准线的距离为4，即A点的横坐标为﹣2，又点A在抛物线上，∴从而点A的坐标A（﹣2，4）；坐标原点关于准线的对称点的坐标为B（4，0）则|PA|+|PO|的最小值为：|AB|==故选C．12．（5分）设奇函数f（x）在R上存在导数f′（x），且在（0，+∞）上f′（x）＜x2，若f（1﹣m）﹣f（m）≥，则实数m的取值范围为（）A．B．C．D．【解答】解：令，∵，∴函数g（x）为奇函数，∵x∈（0，+∞）时，g′（x）=f′（x）﹣x2＜0，函数g（x）在x∈（0，+∞）为减函数，又由题可知，f（0）=0，g（0）=0，所以函数g（x）在R上为减函数，，即g（1﹣m）≥g（m），∴1﹣m≤m，∴．故选B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知函数f（x）=ax3+x+1的图象在点（1，f（1））处的切线过点（2，7），则a=1．【解答】解：函数f（x）=ax3+x+1的导数为：f′（x）=3ax2+1，f′（1）=3a+1，而f（1）=a+2，切线方程为：y﹣a﹣2=（3a+1）（x﹣1），因为切线方程经过（2，7），所以7﹣a﹣2=（3a+1）（2﹣1），解得a=1．故答案为：1．14．（5分）某四面体的三视图如图所示，正视图、俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形，侧视图是边长为2的正方形，则此四面体的四个面中面积的最大值为2．【解答】解：由三视图知该几何体为棱锥S﹣ABD，其中SC⊥平面ABCD；四面体S﹣ABD的四个面中SBD面的面积最大，三角形SBD是边长为2的等边三角形，所以此四面体的四个面中面积最大的为=2．故答案为2．15．（5分）已知函数f（x）=e x﹣2+a有零点，则实数a的取值范围为a＜2．【解答】解：函数g（x）=e x﹣2函数是增函数，g（x）＞﹣2，函数f（x）=e x﹣2+a有零点，可得a=2﹣e x，可得a＜2．故答案为：a＜2．16．（5分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率e=，A，B是椭圆的左、右顶点，P是椭圆上不同于A，B的一点，直线PA，PB斜倾角分别为α，β，则|tanα﹣tanβ|的最小值为1．【解答】解：∵离心率e===，∴=．设P（x0，y0），椭圆顶点A（﹣a，0），B（a，0），k PA=，k PA•k PB=，又=1，∴，∴k PA•k PB=﹣，即tanαtanβ=﹣=﹣，∴|tanα﹣tanβ|=|tanα|+|tanβ|≥2=1．当且仅当|tanα|=|tanβ|=1时取等号．∴|tanα﹣tanβ|的最小值为1，故答案为：1．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．（10分）已知集合，若t∈A是t∈B的充分不必要条件，求实数m的取值范围．【解答】解：对于A：，f（x）=y=+，=2，f（2）=2，∴f（x）∈=A．对于B：x≥1+m或x≤m﹣1．即B=（﹣∞，m﹣1]∪[m+1，+∞）．∵t∈A是t∈B的充分不必要条件，∴≥m+1，或2≤m﹣1，解得m≤﹣，或m≥3．∴实数m的取值范围是∪[3，+∞）．18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面是以O为中心的菱形，PO⊥底面为BC上一点，且．（1）证明：BC⊥平面POM；（2）若MP⊥AP，求四棱锥P﹣ABCD的体积．【解答】（1）证明：如图所示，△ABD为正三角形，∴OB=BD=1．在△OBM中，由余弦定理可得：OM2=×=，∴OM2+BM2=OB2=1，∴OM⊥BC．∵PO⊥平面ABCD，∴PO⊥BC．由PO∩OM=O，∴BC⊥平面POM．（2）解：由（1）可得：OP⊥OM，OP⊥OA，∴MP2=OP2+，AP2=．在△ABM中，由余弦定理可得：AM2=22+﹣=．∵MP⊥AP，∴AP2+MP2=+OP2+=AM2=，∴OP=．S ABCD===2．==×=1．∴V P﹣ABCD19．（12分）已知线段AB的端点B的坐标为（1，3），端点A在圆C：（x+1）2+y2=4上运动．（1）求线段AB的中点M的轨迹；（2）过B点的直线L与圆C有两个交点A，D．当CA⊥CD时，求L的斜率．【解答】解（1）设A（x1，y1），M（x，y），由中点公式得x1=2x﹣1，y1=2y﹣3因为A在圆C上，所以（2x）2+（2y﹣3）2=4，即x2+（y﹣1.5）2=1．点M的轨迹是以（0，1.5）为圆心，1为半径的圆；（2）设L的斜率为k，则L的方程为y﹣3=k（x﹣1），即kx﹣y﹣k+3=0因为CA⊥CD，△CAD为等腰直角三角形，由题意知，圆心C（﹣1，0）到L的距离为．由点到直线的距离公式得=，∴4k2﹣12k+9=2k2+2∴2k2﹣12k+7=0，解得k=3±．20．（12分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c在与x=1处都取得极值．（1）求a，b的值；（2）若对x∈R，f（x）有三个零点，求实数c的取值范围．【解答】解：（1）∵f'（x）=3x2+2ax+b由已知有，解得a=﹣，b=﹣2；（2）由（1）得：f（x）=x3﹣x2﹣2x+c，f′（x）=由f'（x）＞0得x＞1或x＜﹣，由f'（x）＜0得﹣＜x＜1，故当x=﹣时，f（x）有极大值c+，当x=1时，f（x）有极小值c﹣，若对x∈R，f（x）有三个零点，则，解得：﹣＜c＜．21．（12分）已知椭圆的离心率为，又点在该椭圆上．（1）求椭圆E的方程；（2）若斜率为的直线l与椭圆E交于不同的两点B，C，求△ABC的最大面积．【解答】解：（1）依题意，得，解得，∴椭圆的方程为+=1．（2）设B（x1，y1），C（x2，y2），BC的方程为y=x+m，则有，整理，得4x2+2mx+（m2﹣4）=0，由△=（2m）2﹣16（m2﹣4）=﹣8m2+64＞0，解得﹣2＜m＜2，由根与系数的关系，得：x1+x2=﹣m，x1x2=，|BC|==|x1﹣x2|=，设d为点A到直线BC的距离，则d==|m|，=|BC|•d=．∴S△ABC∵≤=4，当且仅当m=±2时取等号，∴当m=±2时，△ABC的面积取得最大值．22．（12分）已知函数．（1）当a=0时，求曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程；（2）令g（x）=f（x）﹣ax+1，求函数g（x）的极大值；（3）若a=﹣2，正实数x1，x2满足f（x1）+f（x2）+x1x2=0，证明：．【解答】解：（1）a=0时，f（x）=lnx+x，f′（x）=+1，故f（1）=1，f′（1）=2，故切线方程是：y﹣1=2（x﹣1），整理得：2x﹣y﹣1=0；（2）g（x）=f（x）﹣（ax﹣1）=lnx﹣ax2+（1﹣a）x+1，所以g′（x）=﹣ax+（1﹣a）=，当a≤0时，因为x＞0，所以g′（x）＞0．所以g（x）在（0，+∞）上是递增函数，当a＞0时，g′（x）=，令g′（x）=0，得x=，所以当x∈（0，）时，g′（x）＞0；当x∈（，+∞）时，g′（x）＜0，因此函数g（x）在x∈（0，）是增函数，在（，+∞）是减函数．综上，当a≤0时，函数g（x）的递增区间是（0，+∞），无递减区间，无极大值；当a＞0时，函数g（x）的递增区间是（0，），递减区间是（，+∞）；=g（）=﹣lna；故g（x）极大值证明：（3）由f（x1）+f（x2）+x1x2=0，即lnx1+x12+x1+lnx2+x22+x2+x1x2=0，从而（x1+x2）2+（x1+x2）=x1x2﹣ln（x1x2），令t=x1x2，则由φ（t）=t﹣lnt，由x1＞0，x2＞0，即x1+x2＞0．φ′（t）=，（t＞0），可知，φ（t）在区间（0，1）上单调递减，在区间（1，+∞）上单调递增．所以φ（t）≥φ（1）=1，所以（x1+x2）2+（x1+x2）≥1，解得x1+x2≥或x1+x2≤，又因为x1＞0，x2＞0，因此x1+x2≥成立．。
2016-2017学年山西省晋中市高二(上)期末数学试卷(文科)
2016-2017学年山西省晋中市高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．（5分）设a，b是实数，则“a＞b”是“a2＞b2”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2．（5分）圆x2+y2﹣4x﹣4y=0上的点到直线x+y﹣6=0的最大距离和最小距离的差是（）A．B．C．D．3．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为棱AB，BB1的中点，则直线BC1与EF所成角的余弦值是（）A．B．C．D．4．（5分）已知a、b、c为三条不重合的直线，下面有三个结论：①若a⊥b，a ⊥c则b∥c；②若a⊥b，a⊥c则b⊥c；③若a∥b，b⊥c则a⊥c．其中正确的个数为（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个5．（5分）若直线y=kx+2k与曲线有两个不同的交点，则k的取值范围是（）A．B．C．D．6．（5分）已知f（x）=alnx+x2（a＞0），若对任意两个不等的正实数x1，x2，都有＞2恒成立，则a的取值范围是（）A．（0，1]B．（1，+∞）C．（0，1） D．[1，+∞）7．（5分）如果圆（x﹣a）2+（y﹣a）2=8上总存在两个点到原点的距离为，则实数a的取值范围是（）A．（﹣3，﹣1）∪（1，3） B．（﹣3，3）C．[﹣1，1]D．（﹣3，﹣1]∪[1，3）8．（5分）已知三棱锥P﹣ABC中，PA=4，AB=AC=2，BC=6，PA⊥面ABC，则此三棱锥的外接球的表面积为（）A．16πB．32πC．64πD．128π9．（5分）已知F1（﹣c，0），F2（c，0）为椭圆的两个焦点，点P（不在x轴上）为椭圆上的一点，且满足，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．B．C． D．10．（5分）已知椭圆x2+2y2=8的两个焦点分别为F1，F2，A为椭圆上的任意一点，AP是∠F1AF2的外角平分线，且，则点P的坐标一定满足（）A．x2+y2=8 B．x2+y2=1 C．x2﹣y2=1 D．11．（5分）已知点F为抛物线y 2=﹣8x的焦点，O为原点，点P是抛物线准线上一动点，点A在抛物线上，且|AF|=4，则|PA|+|PO|的最小值为（）A．6 B．C．D．4+212．（5分）设奇函数f（x）在R上存在导数f′（x），且在（0，+∞）上f′（x）＜x2，若f（1﹣m）﹣f（m）≥，则实数m的取值范围为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知函数f（x）=ax3+x+1的图象在点（1，f（1））处的切线过点（2，7），则a=．14．（5分）某四面体的三视图如图所示，正视图、俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形，侧视图是边长为2的正方形，则此四面体的四个面中面积的最大值为．15．（5分）已知函数f（x）=e x﹣2+a有零点，则实数a的取值范围为．16．（5分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率e=，A，B是椭圆的左、右顶点，P是椭圆上不同于A，B的一点，直线PA，PB斜倾角分别为α，β，则|tanα﹣tanβ|的最小值为．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．（10分）已知集合，若t∈A是t∈B的充分不必要条件，求实数m的取值范围．18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面是以O为中心的菱形，PO⊥底面为BC上一点，且．（1）证明：BC⊥平面POM；（2）若MP⊥AP，求四棱锥P﹣ABCD的体积．19．（12分）已知线段AB的端点B的坐标为（1，3），端点A在圆C：（x+1）2+y2=4上运动．（1）求线段AB的中点M的轨迹；（2）过B点的直线L与圆C有两个交点A，D．当CA⊥CD时，求L的斜率．20．（12分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c在与x=1处都取得极值．（1）求a，b的值；（2）若对x∈R，f（x）有三个零点，求实数c的取值范围．21．（12分）已知椭圆的离心率为，又点在该椭圆上．（1）求椭圆E的方程；（2）若斜率为的直线l与椭圆E交于不同的两点B，C，求△ABC的最大面积．22．（12分）已知函数．（1）当a=0时，求曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程；（2）令g（x）=f（x）﹣ax+1，求函数g（x）的极大值；（3）若a=﹣2，正实数x1，x2满足f（x1）+f（x2）+x1x2=0，证明：．2016-2017学年山西省晋中市高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．（5分）设a，b是实数，则“a＞b”是“a2＞b2”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：因为a，b都是实数，由a＞b，不一定有a2＞b2，如﹣2＞﹣3，但（﹣2）2＜（﹣3）2，所以“a＞b”是“a2＞b2”的不充分条件；反之，由a2＞b2也不一定得a＞b，如（﹣3）2＞（﹣2）2，但﹣3＜﹣2，所以“a ＞b”是“a2＞b2”的不必要条件．故选D2．（5分）圆x2+y2﹣4x﹣4y=0上的点到直线x+y﹣6=0的最大距离和最小距离的差是（）A．B．C．D．【解答】解：圆x2+y2﹣4x﹣4y=0的圆心（2，2），半径是2，圆心到直线x+y﹣6=0的距离：d==＜2∴圆x2+y2﹣4x﹣4y=0上的点到直线x+y﹣6=0的最大距离和最小距离的差是3﹣0=3．故选B．3．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为棱AB，BB1的中点，则直线BC1与EF所成角的余弦值是（）A．B．C．D．【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为2，则E（2，1，0），F（2，2，1），B（2，2，0），C1（0，2，2），=（﹣2，0，2），=（0，1，1），设直线BC1与EF所成角为θ，则cosθ=|cos＜，＞|===．∴直线BC1与EF所成角的余弦值是．故选：B．4．（5分）已知a、b、c为三条不重合的直线，下面有三个结论：①若a⊥b，a ⊥c则b∥c；②若a⊥b，a⊥c则b⊥c；③若a∥b，b⊥c则a⊥c．其中正确的个数为（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【解答】解：两条直线都与第三条直线垂直，只两条直线之间的位置关系不能确定，故①②不正确，若a∥b，b⊥c则a⊥c，这里符合两条直线的关系，是我们求两条直线的夹角的方法，故③正确，综上可知有一个正确的说法，故选B．5．（5分）若直线y=kx+2k与曲线有两个不同的交点，则k的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：由得x2+y2=1，（y≥0），对应的轨迹为上半圆，直线y=kx+2k过定点A（﹣2，0），由圆心到直线的距离d==1，可得k=±，若直线y=kx+2k与曲线有两个不同的交点，则0≤k＜，故选B．6．（5分）已知f（x）=alnx+x2（a＞0），若对任意两个不等的正实数x1，x2，都有＞2恒成立，则a的取值范围是（）A．（0，1]B．（1，+∞）C．（0，1） D．[1，+∞）【解答】解：对任意两个不等的正实数x1，x2，都有＞2恒成立则当x＞0时，f'（x）≥2恒成立f'（x）=+x≥2在（0，+∞）上恒成立则a≥（2x﹣x2）max=1故选D．7．（5分）如果圆（x﹣a）2+（y﹣a）2=8上总存在两个点到原点的距离为，则实数a的取值范围是（）A．（﹣3，﹣1）∪（1，3） B．（﹣3，3）C．[﹣1，1]D．（﹣3，﹣1]∪[1，3）【解答】解：问题可转化为圆（x﹣a）2+（y﹣a）2=8和圆x2+y2=2相交，两圆圆心距d==|a|，由R﹣r＜|OO1|＜R+r得，解得：1＜|a|＜3，即a∈（﹣3，﹣1）∪（1，3）故选A．8．（5分）已知三棱锥P﹣ABC中，PA=4，AB=AC=2，BC=6，PA⊥面ABC，则此三棱锥的外接球的表面积为（）A．16πB．32πC．64πD．128π【解答】解：∵底面△ABC中，AB=AC=2，BC=6，∴cos∠BAC==﹣∴sin∠BAC=，∴△ABC的外接圆半径r==2，所以三棱锥外接球的半径R2=r2+（）2=（2）2+22=16，所以三棱锥P﹣ABC外接球的表面积S=4πR2=64π．故选：C．9．（5分）已知F1（﹣c，0），F2（c，0）为椭圆的两个焦点，点P（不在x轴上）为椭圆上的一点，且满足，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．B．C． D．【解答】解：设P（x0，y0），（﹣a＜x0＜a），则+=1，∴=．则c2==（﹣c﹣x0）（c﹣x0）+，∴2c2=+，化为：3c2=a2+，∴=∈[0，1），解得：，解得≤e．故选：C．10．（5分）已知椭圆x2+2y2=8的两个焦点分别为F1，F2，A为椭圆上的任意一点，AP是∠F1AF2的外角平分线，且，则点P的坐标一定满足（）A．x2+y2=8 B．x2+y2=1 C．x2﹣y2=1 D．【解答】解：∵椭圆x2+2y2=8的两个焦点分别为F1，F2，A为椭圆上的任意一点，∴椭圆的标准方程为，F1（﹣2，0），F2（2，0），可设A（0，2），P（x，y），则=（x，y﹣2），=（2，﹣2），=（2，2），=（x﹣2，y），∵AP是∠F1AF2的外角平分线，且，∴•=（x，y﹣2）•（x﹣2，y）=x2﹣2x+y2﹣2y=0，①cos＜＞=cos＜，＞，即=，②①②联立，解得x=y=2．∴点P的坐标一定满足x2+y2=8．故选：A．11．（5分）已知点F为抛物线y 2=﹣8x的焦点，O为原点，点P是抛物线准线上一动点，点A在抛物线上，且|AF|=4，则|PA|+|PO|的最小值为（）A．6 B．C．D．4+2【解答】解：∵|AF|=4，由抛物线的定义得，∴A到准线的距离为4，即A点的横坐标为﹣2，又点A在抛物线上，∴从而点A的坐标A（﹣2，4）；坐标原点关于准线的对称点的坐标为B（4，0）则|PA|+|PO|的最小值为：|AB|==故选C．12．（5分）设奇函数f（x）在R上存在导数f′（x），且在（0，+∞）上f′（x）＜x2，若f（1﹣m）﹣f（m）≥，则实数m的取值范围为（）A．B．C．D．【解答】解：令，∵，∴函数g（x）为奇函数，∵x∈（0，+∞）时，g′（x）=f′（x）﹣x2＜0，函数g（x）在x∈（0，+∞）为减函数，又由题可知，f（0）=0，g（0）=0，所以函数g（x）在R上为减函数，，即g（1﹣m）≥g（m），∴1﹣m≤m，∴．故选B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知函数f（x）=ax3+x+1的图象在点（1，f（1））处的切线过点（2，7），则a=1．【解答】解：函数f（x）=ax3+x+1的导数为：f′（x）=3ax2+1，f′（1）=3a+1，而f（1）=a+2，切线方程为：y﹣a﹣2=（3a+1）（x﹣1），因为切线方程经过（2，7），所以7﹣a﹣2=（3a+1）（2﹣1），解得a=1．故答案为：1．14．（5分）某四面体的三视图如图所示，正视图、俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形，侧视图是边长为2的正方形，则此四面体的四个面中面积的最大值为2．【解答】解：由三视图知该几何体为棱锥S﹣ABD，其中SC⊥平面ABCD；四面体S﹣ABD的四个面中SBD面的面积最大，三角形SBD是边长为2的等边三角形，所以此四面体的四个面中面积最大的为=2．故答案为2．15．（5分）已知函数f（x）=e x﹣2+a有零点，则实数a的取值范围为a＜2．【解答】解：函数g（x）=e x﹣2函数是增函数，g（x）＞﹣2，函数f（x）=e x﹣2+a有零点，可得a=2﹣e x，可得a＜2．故答案为：a＜2．16．（5分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率e=，A，B是椭圆的左、右顶点，P是椭圆上不同于A，B的一点，直线PA，PB斜倾角分别为α，β，则|tanα﹣tanβ|的最小值为1．【解答】解：∵离心率e===，∴=．设P（x0，y0），椭圆顶点A（﹣a，0），B（a，0），k PA=，k PA•k PB=，又=1，∴，∴k PA•k PB=﹣，即tanαtanβ=﹣=﹣，∴|tanα﹣tanβ|=|tanα|+|tanβ|≥2=1．当且仅当|tanα|=|tanβ|=1时取等号．∴|tanα﹣tanβ|的最小值为1，故答案为：1．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．（10分）已知集合，若t∈A是t∈B的充分不必要条件，求实数m的取值范围．【解答】解：对于A：，f（x）=y=+，=2，f（2）=2，∴f（x）∈=A．对于B：x≥1+m或x≤m﹣1．即B=（﹣∞，m﹣1]∪[m+1，+∞）．∵t∈A是t∈B的充分不必要条件，∴≥m+1，或2≤m﹣1，解得m≤﹣，或m≥3．∴实数m的取值范围是∪[3，+∞）．18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面是以O为中心的菱形，PO⊥底面为BC上一点，且．（1）证明：BC⊥平面POM；（2）若MP⊥AP，求四棱锥P﹣ABCD的体积．【解答】（1）证明：如图所示，△ABD为正三角形，∴OB=BD=1．在△OBM中，由余弦定理可得：OM2=×=，∴OM2+BM2=OB2=1，∴OM⊥BC．∵PO⊥平面ABCD，∴PO⊥BC．由PO∩OM=O，∴BC⊥平面POM．（2）解：由（1）可得：OP⊥OM，OP⊥OA，∴MP2=OP2+，AP2=．在△ABM中，由余弦定理可得：AM2=22+﹣=．∵MP⊥AP，∴AP2+MP2=+OP2+=AM2=，∴OP=．S ABCD===2．==×=1．∴V P﹣ABCD19．（12分）已知线段AB的端点B的坐标为（1，3），端点A在圆C：（x+1）2+y2=4上运动．（1）求线段AB的中点M的轨迹；（2）过B点的直线L与圆C有两个交点A，D．当CA⊥CD时，求L的斜率．【解答】解（1）设A（x1，y1），M（x，y），由中点公式得x1=2x﹣1，y1=2y﹣3因为A在圆C上，所以（2x）2+（2y﹣3）2=4，即x2+（y﹣1.5）2=1．点M的轨迹是以（0，1.5）为圆心，1为半径的圆；（2）设L的斜率为k，则L的方程为y﹣3=k（x﹣1），即kx﹣y﹣k+3=0因为CA⊥CD，△CAD为等腰直角三角形，由题意知，圆心C（﹣1，0）到L的距离为．由点到直线的距离公式得=，∴4k2﹣12k+9=2k2+2∴2k2﹣12k+7=0，解得k=3±．20．（12分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c在与x=1处都取得极值．（1）求a，b的值；（2）若对x∈R，f（x）有三个零点，求实数c的取值范围．【解答】解：（1）∵f'（x）=3x2+2ax+b由已知有，解得a=﹣，b=﹣2；（2）由（1）得：f（x）=x3﹣x2﹣2x+c，f′（x）=由f'（x）＞0得x＞1或x＜﹣，由f'（x）＜0得﹣＜x＜1，故当x=﹣时，f（x）有极大值c+，当x=1时，f（x）有极小值c﹣，若对x∈R，f（x）有三个零点，则，解得：﹣＜c＜．21．（12分）已知椭圆的离心率为，又点在该椭圆上．（1）求椭圆E的方程；（2）若斜率为的直线l与椭圆E交于不同的两点B，C，求△ABC的最大面积．【解答】解：（1）依题意，得，解得，∴椭圆的方程为+=1．（2）设B（x1，y1），C（x2，y2），BC的方程为y=x+m，则有，整理，得4x2+2mx+（m2﹣4）=0，由△=（2m）2﹣16（m2﹣4）=﹣8m2+64＞0，解得﹣2＜m＜2，由根与系数的关系，得：x1+x2=﹣m，x1x2=，|BC|==|x1﹣x2|=，设d为点A到直线BC的距离，则d==|m|，=|BC|•d=．∴S△ABC∵≤=4，当且仅当m=±2时取等号，∴当m=±2时，△ABC的面积取得最大值．22．（12分）已知函数．（1）当a=0时，求曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程；（2）令g（x）=f（x）﹣ax+1，求函数g（x）的极大值；（3）若a=﹣2，正实数x1，x2满足f（x1）+f（x2）+x1x2=0，证明：．【解答】解：（1）a=0时，f（x）=lnx+x，f′（x）=+1，故f（1）=1，f′（1）=2，故切线方程是：y﹣1=2（x﹣1），整理得：2x﹣y﹣1=0；（2）g（x）=f（x）﹣（ax﹣1）=lnx﹣ax2+（1﹣a）x+1，所以g′（x）=﹣ax+（1﹣a）=，当a≤0时，因为x＞0，所以g′（x）＞0．所以g（x）在（0，+∞）上是递增函数，当a＞0时，g′（x）=，令g′（x）=0，得x=，所以当x∈（0，）时，g′（x）＞0；当x∈（，+∞）时，g′（x）＜0，因此函数g（x）在x∈（0，）是增函数，在（，+∞）是减函数．综上，当a≤0时，函数g（x）的递增区间是（0，+∞），无递减区间，无极大值；当a＞0时，函数g（x）的递增区间是（0，），递减区间是（，+∞）；=g（）=﹣lna；故g（x）极大值证明：（3）由f（x1）+f（x2）+x1x2=0，即lnx1+x12+x1+lnx2+x22+x2+x1x2=0，从而（x1+x2）2+（x1+x2）=x1x2﹣ln（x1x2），令t=x1x2，则由φ（t）=t﹣lnt，由x1＞0，x2＞0，即x1+x2＞0．φ′（t）=，（t＞0），可知，φ（t）在区间（0，1）上单调递减，在区间（1，+∞）上单调递增．所以φ（t）≥φ（1）=1，所以（x1+x2）2+（x1+x2）≥1，解得x1+x2≥或x1+x2≤，又因为x1＞0，x2＞0，因此x1+x2≥成立．。
山西省晋中市社城中学高二数学文测试题含解析
山西省晋中市社城中学高二数学文测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若变量满足约束条件,（）A．B．C．D．参考答案：C略2. 若复数满足（是虚数单位)，则的共轭复数为（）A．B． C． D．参考答案：C3. 若椭圆的离心率为，则双曲线的渐近线方程为( )A．B． C． D．参考答案：A4. 阅读下列程序：输入x；if x＜0， then y ＝；else if x ＞0， then y ＝；else y＝0；输出y．如果输入x＝－2，则输出结果y 为( )A．－5 B．－－5 C． 3＋ D． 3－参考答案：D5. 设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1=﹣11，a4+a6=﹣6，则当S n取最小值时，n等于( ) A．6 B．7 C．8 D．9参考答案：A考点：等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：条件已提供了首项，故用“a1，d”法，再转化为关于n的二次函数解得．解答：解：设该数列的公差为d，则a4+a6=2a1+8d=2×（﹣11）+8d=﹣6，解得d=2，所以，所以当n=6时，S n取最小值．故选A．点评：本题考查等差数列的通项公式以及前n项和公式的应用，考查二次函数最值的求法及计算能力6. 如图所示，ABCD－A1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是 ()A．A、M、O三点共线 B．A、M、O、A1不共面C．A、M、C、O不共面 D．B、B1、O、M共面参考答案：A略7. 在三角形中，，，，则( )A． B．或 C．或3 D．参考答案：B8. 若定义在R上的函数满足，且当时，，则满足的a的取值范围是（）A. (2,+∞)B.C. (3,+∞)D.参考答案：D【分析】根据可知函数关于直线对称；利用导数可判断出函数在上单调递增；利用对称性知函数在上单调递减；利用函数值的大小关系可得与自变量有关的不等式，解不等式求得结果.【详解】关于直线对称当时，，则在上单调递增由对称性可知：函数在上单调递减若，则：解得：，即本题正确选项：【点睛】本题考查函数单调性、对称性的综合应用问题，关键是能够根据函数的性质将函数值之间的比较转变为函数自变量的关系，从而得到与参数有关的不等式.9. 抛物线的焦点到准线的距离是（）A． B． C． D．参考答案：B 解析：，而焦点到准线的距离是10. 已知直线、，平面、，那么下列命题中正确的是A．若，，则 B．若，，，则C．若，，则 D．若，，则参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知，则；参考答案：12. 斜率为1的直线经过抛物线y2=4x的焦点，与抛物线相交于A，B两点，则|AB|= ．参考答案：8【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题．【分析】先根据抛物线方程求得抛物线的焦点坐标，进而根据点斜式求得直线的方程与抛物线方程联立，消去y，根据韦达定理求得x1+x2=的值，进而根据抛物线的定义可知|AB|=x1++x2+求得答案．【解答】解：抛物线焦点为（1，0）则直线方程为y=x﹣1，代入抛物线方程得x2﹣6x+1=0∴x1+x2=6根据抛物线的定义可知|AB|=x1++x2+=x1+x2+p=6+2=8故答案为：8【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质．解题的关键是灵活利用了抛物线的定义．13. 引入随机变量后，下列说法正确的有：__________（填写出所有正确的序号）.①随机事件个数与随机变量一一对应；②随机变量与自然数一一对应；③随机变量的取值是实数.参考答案：③【分析】要判断各项中对随机变量描述的正误，需要牢记随机变量的定义.【详解】引入随机变量,使我们可以研究一个随机实验中的所有可能结果，所以随机变量的取值是实数，故③正确.【点睛】本题主要考查随机变量的相关定义，难度不大.14. 五位同学围成一圈依次循环报数，规定，第一位同学首次报出的数为1，第二位同学首次报出的数为2，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出数的乘积的个位数字，则第2013个被报出的数为参考答案：2略15. 已知成等差数列，成等比数列，则的取值范围为____________.参考答案：略16. 已知直线y=mx（m∈R）与函数的图象恰好有三个不同的公共点，则实数m的取值范围是．参考答案：（，+∞）【考点】I3：直线的斜率；3O：函数的图象；53：函数的零点与方程根的关系．【分析】画出函数的图象，根据条件可得当直线y=mx和y=x2相交，把直线y=mx代入y=x2，利用判别式△大于零，求得实数m的取值范围．【解答】解：根据直线y=mx（m∈R）与函数的图象恰好有三个不同的公共点，在同一个坐标系中，画出直线y=mx（m∈R）与函数的图象．则由图象可得，当直线y=mx和y=x2（x＞0）相交时，直线y=mx和函数f（x）的图象（图中红线）有3个交点．由可得 x2﹣2mx+2=0，再由判别式△=4m2﹣8＞0，求得m＞，或 m＜﹣（舍去）．故m的范围为（，+∞），故答案为（，+∞）．17. 如图，两个正方形ABCD和ADEF所在平面互相垂直，设M、N分别是BD和AE的中点，那么①AD⊥MN；②MN∥平面CDE；③MN∥CE；④MN、CE异面．其中正确结论的序号是________．参考答案：①②③∵两个正方形ABCD和ADEF所在平面互相垂直，设M、N分别是BD和AE的中点，取AD的中点G，连接MG，NG，易得AD⊥平面MNG，进而得到AD⊥MN，故①正确；连接AC，CE，根据三角形中位线定理，可得MN∥CE，由线面平行的判定定理，可得②MN∥平面CDE及③MN∥CE正确，④MN、CE异面错误．三、解答题：本大题共5小题，共72分。
山西高二高中数学期中考试带答案解析
山西高二高中数学期中考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.下列说法正确的是（）A．类比推理，归纳推理，演绎推理都是合情推理B．合情推理得到的结论一定是正确的C．合情推理得到的结论不一定正确D．归纳推理得到的结论一定是正确的2.利用反证法证明：“若，则”时，假设为（）A．，都不为0B．且，都不为0 C．且，不都为0D．，不都为03.给出如下“三段论”的推理过程：因为对数函数（且）是增函数，……大前提而是对数函数，……小前提所以是增函数，………………结论则下列说法正确的是（）A．推理形成错误B．大前提错误C．小前提错误D．大前提和小前提都错误4.已知复数是方程的一个根，则实数，的值分别是（）A．12，0B．24，26C．12，26D．6，85.实部为1，虚部为2的复数所对应的点位于复平面的（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限6.已知复数，则等于（）A．25B．12C．7D．57.设表示要证明的结论，表示一个明显成立的条件，那么下列流程图表示的证明方法是（）A．综合法B．分析法C．反证法D．比较法8.下列框图能正确反映《必修1》中指数幂的推广过程的是（）A．B．C．D．9.已知两个变量，之间具有相关关系，现选用，，，四个模型得到相应的回归方程，并计算得到了相应的值分别为，，，，那么拟合效果最好的模型为（）A．B．C．D．10.关于残差和残差图，下列说法正确的是（）A．残差就是随机误差B．残差图的纵坐标是残差C．残差点均匀分布的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高D．残差点均匀分布的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越低11.在一项调查中有两个变量（单位：千元）和（单位：），下图是由这两个变量近8年来的取值数据得到的散点图，那么适宜作为关于的回归方程类型的是（）A. B. C. D（）12.我们知道：在长方形中，如果设，，那么长方形的外接圆的半径满足：.类比上述结论，在长方体中，如果设，，，那么长方体的外接球的半径满足的关系式是（）A．B．C．D．二、解答题1.已知，.（1）求；（2）若，求.2.我们学习的高中数学文科教材体系分为必修系列和选修系列，其中必修系列包括必修1，必修2，必修3，必修4，必修5五本教材；选修系列分为选修系列一（必选系列）和选修系列四（自选系列），其中选修系列一包括选修1-1，选修1-2两本教材；选修系列四包括选修4-4，选修4-5两本教材，根据上面的描述，画出我们学习的高中数学文科教材体系的结构图..3.某大学餐饮中心为了了解新生的饮食习惯，利用简单随机抽样的方法在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如下表所示：（1）根据表中数据，问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”；（2）根据（1）的结论，你能否提出更好的调查方法来了解该校大学新生的饮食习惯，说明理由.4.（A）已知数列满足，其中，.（1）求，，，并猜想的表达式（不必写出证明过程）；（2）设，数列的前项和为，求证：.（B）已知数列的前项和为，且满足，.（1）求，，，，并猜想的表达式（不必写出证明过程）；（2）设，，求的最大值.5.（A）已知函数，.（1）证明：；（2）根据（1）证明：.（B）已知函数，.（1）用分析法证明：；（2）证明：.三、填空题1.复数的共轭复数是__________．2.已知，，那么，的大小关系为__________．（用“”连接）3.已知的内角，，成等差数列，对应边，，成等比数列，那么的形状是__________．4.观察下列关系式：，，，，……则__________．山西高二高中数学期中考试答案及解析一、选择题1.下列说法正确的是（）A．类比推理，归纳推理，演绎推理都是合情推理B．合情推理得到的结论一定是正确的C．合情推理得到的结论不一定正确D．归纳推理得到的结论一定是正确的【答案】C【解析】合情推理得到的结论没有经过证明，是不一定正确的，故选选项.2.利用反证法证明：“若，则”时，假设为（）A．，都不为0B．且，都不为0C．且，不都为0D．，不都为0【答案】D【解析】原命题的结论是都为零，反证时，假设为不都为零.3.给出如下“三段论”的推理过程：因为对数函数（且）是增函数，……大前提而是对数函数，……小前提所以是增函数，………………结论则下列说法正确的是（）A．推理形成错误B．大前提错误C．小前提错误D．大前提和小前提都错误【答案】B【解析】对数函数不一定是增函数，故是大前提错误.4.已知复数是方程的一个根，则实数，的值分别是（）A．12，0B．24，26C．12，26D．6，8【答案】C【解析】由于虚根成对，故也是方程的根，由韦达定理得，解得.点睛：本题主要考查一元二次方程解的个数问题.任何一个一元二次方程都有两个解，这个需要的取值范围在复数范围内.如果判别式为非负数，则一元二次方程有两个解或者说两个实数根.如果判别式为负数，则有两个虚根，且这两个虚根互为共轭复数，根据韦达定理即可求得的值.5.实部为1，虚部为2的复数所对应的点位于复平面的（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】A【解析】对应点为，故在第一象限.点睛：本题主要考查复数概念的理解，考查复数和复平面上点的对应关系.在复数的四则运算上,经常由于疏忽而导致计算结果出错.除了加减乘除运算外,有时要结合共轭复数的特征性质和复数模的相关知识,综合起来加以分析.在复数的四则运算中,只对加法和乘法法则给出规定,而把减法、除法定义为加法、乘法的逆运算.复数代数形式的运算类似多项式的运算,加法类似合并同类项;复数的加法满足交换律和结合律,复数代数形式的乘法类似多项式乘以多项式,除法类似分母有理化;用类比的思想学习复数中的运算问题.6.已知复数，则等于（）A．25B．12C．7D．5【答案】D【解析】.7.设表示要证明的结论，表示一个明显成立的条件，那么下列流程图表示的证明方法是（）A．综合法B．分析法C．反证法D．比较法【答案】B【解析】流程图的逻辑是，要证Q，即是要证,等等，以此类推，故属于分析法的方法，由结论去反推已知.8.下列框图能正确反映《必修1》中指数幂的推广过程的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】先学习整数指数幂，再扩展都有理数幂，最后扩展到无理数指数幂，故选.9.已知两个变量，之间具有相关关系，现选用，，，四个模型得到相应的回归方程，并计算得到了相应的值分别为，，，，那么拟合效果最好的模型为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】越大，拟合效果越好，故选.10.关于残差和残差图，下列说法正确的是（）A．残差就是随机误差B．残差图的纵坐标是残差C．残差点均匀分布的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高D．残差点均匀分布的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越低【答案】C【解析】根据残差分析的概念可知，选项正确.残差是真实值减去估计值.11.在一项调查中有两个变量（单位：千元）和（单位：），下图是由这两个变量近8年来的取值数据得到的散点图，那么适宜作为关于的回归方程类型的是（）A. B. C. D（）【答案】B【解析】散点图呈曲线，排除选项，且增长速度变慢，排除选项，故选.12.我们知道：在长方形中，如果设，，那么长方形的外接圆的半径满足：.类比上述结论，在长方体中，如果设，，，那么长方体的外接球的半径满足的关系式是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】长方体的体对角线即外接球的直径，故.点睛：本题主要考查合情推理与演绎推理，考查几何体外接球半径的求解.在平面中，长方形的外接圆直径就是长方形的对角线，故半径满足.推广到空间中，长方体的外接球的直径就是长方体的体对角线，故半径满足.本题用合情推理从平面推导到空间.二、解答题1.已知，.（1）求；（2）若，求.【答案】（1）4; （2）.【解析】（1）利用复数运算公式，可求得两个复数的乘积.（2）先根据原方程化简出的表达式，再代入已知的值，最后将分母实数化即可求得的值.试题解析：（1）.（2）由，得，.2.我们学习的高中数学文科教材体系分为必修系列和选修系列，其中必修系列包括必修1，必修2，必修3，必修4，必修5五本教材；选修系列分为选修系列一（必选系列）和选修系列四（自选系列），其中选修系列一包括选修1-1，选修1-2两本教材；选修系列四包括选修4-4，选修4-5两本教材，根据上面的描述，画出我们学习的高中数学文科教材体系的结构图..【答案】详见解析.【解析】文科数学书是总的，下面分成两个系列：必修系列和选修系列.必修系列下面分成必修1到必修5；选修系列有系列一和系列四，系列一包括选修1-1和1-2，系列四包括选修4-4和4-5，根据这个结构可画出结构图.试题解析：3.某大学餐饮中心为了了解新生的饮食习惯，利用简单随机抽样的方法在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如下表所示：喜欢甜品不喜欢甜品合计（1）根据表中数据，问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”；（2）根据（1）的结论，你能否提出更好的调查方法来了解该校大学新生的饮食习惯，说明理由.【答案】（1）详见解析;（2）详见解析.【解析】（1）根据公式，计算出的值，，故有的把握认为有差异.（2）根据（1）的结论可知，南方学生与北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有明显差异，因此用分层抽样更好.试题解析：（1），由，则有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”.（2）根据（1）的结论，该大学新生在选用甜品的饮食习惯方面与其是南方学生不是北方学生有关，从样本数据能看出该校新生中南方学生与北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有明显差异，因此在调查时，要先确定该大学新生中南方学生与北方学生的比例，再把新生分成南方学生，北方学生两层采用分层抽样更好.4.（A）已知数列满足，其中，.（1）求，，，并猜想的表达式（不必写出证明过程）；（2）设，数列的前项和为，求证：.（B）已知数列的前项和为，且满足，.（1）求，，，，并猜想的表达式（不必写出证明过程）；（2）设，，求的最大值.【答案】（A）（1）详见解析;（2）详见解析. （B）（1）详见解析;（2）.【解析】试题分析:（A）（1）利用的递推关系得到，从而求得，由此猜想.（2）将的表达式代入，求得，用裂项求和法求得前项和.（B）利用，和的递推关系，可求得的值，由此猜想.（2）利用，可求得的通项公式，代入并化简，利用基本不等式可求得其最大值.试题解析：（A）解（1）由题意，，，，则，，，猜想得：.（2）由（1）得，则.（B）解（1），由，得，同理可得，，猜想：.（2）由（1），时，，当时，满足止式，所以，则，，设，则有在上为减函数，在上为增函数，因为，且，所以当或时，有最大值.点睛：本题主要考查利用数列的前几项猜想数列的通项公式，考查数列求和中的裂项求和法，考查利用求的方法.第一问猜想数列的通项公式，需要写出数列的前几项，根据前几项可猜想出数列的通项公式.如果数列通项的分母是两个等差数列相乘，则考虑用裂项求和法求前项和.5.（A）已知函数，.（1）证明：；（2）根据（1）证明：.（B）已知函数，.（1）用分析法证明：；（2）证明：.【答案】（A）（1）详见解析;（2）详见解析. （B）（1）详见解析;（2）详见解析.【解析】（A）（1）要证原不等式成立，先将函数的表达式代入原不等式，两边乘以，可以得到一个显然成立的结论，由此证得原不等式成立.（2）利用（1）的结论，将（1）右边的二次函数配方，求出其最小值，由此可证得，而，综上所述，.（B）（1）（1）要证原不等式成立，先将函数的表达式代入原不等式，两边乘以，可以得到一个显然成立的结论，由此证得原不等式成立.（2）由于时，有，所以，令，利用导数求得的最大值为，由此证得.试题解析：（A）解（1）由有，要证，只需证，只需证，只需证，因为成立，所以成立.（2）因为，当且仅当时取等号，又，所以由（1）得.（B）解（1）由有，要证，只需证，只需证，只需证，因为成立，所以成立.（2）证法1 由得，则，设，，则，则在上为增函数，则，所以.证法2 由有，设，，则，设，则，∵，∴，则在时为增函数，又，，∴存在，使得，即，∴时，为减函数，时，，为增函数，由，有时，有最大值0，即成立.则成立.点睛：本题主要考查利用分析法证明不等式，考查利用导数求函数的单调区间及最值问题.第一问是利用分析法证明不等式，分析法证明不等式是从结论出发，通过变形转化之后，变为一个显然成立的结论，那么原不等式即是成立的.证明不等式，也可以考虑通过放缩后，利用导数求最值来证明.三、填空题1.复数的共轭复数是__________．【答案】【解析】共轭复数实部相同，虚部相反，故为.2.已知，，那么，的大小关系为__________．（用“”连接）【答案】【解析】，故.3.已知的内角，，成等差数列，对应边，，成等比数列，那么的形状是__________．【答案】等边三角形【解析】由于成等差数列，故，由于,故.由于成等比数列，故，由余弦定理得，化简得，故三角形为等边三角形.点睛：本题主要考查解三角形，考查三角形形状的判断方法，考查余弦定理.其中结合考查了等差中项和等比中项的性质.题目所给三个内角成等差数列，一方面可利用等差中项列出一个等式，再结合三角形内角和定理，又可以得到一个等式，由这两个等式可求得的值.再结合等比中项和余弦定理，就能求出边是相等的，由此可以判断这个三角形是等边三角形.4.观察下列关系式：，，，，……则__________．【答案】【解析】关系式右边由两个部分组成，第一部分是正负号，第二部分是，即，故合起来填.。
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2015-2016学年山西省晋中市高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）一个锥体的主视图和左视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．（5分）用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是（ ）A ．B ．C ．D ．3．（5分）直线xsinα﹣y +1=0的倾斜角的变化范围是（ ）A ．（0，）B ．（0，π）C ．[﹣，]D ．[0，]∪[，π）4．（5分）过点（﹣1，3）且垂直于直线x ﹣2y +3=0的直线方程为（ ）A ．2x +y ﹣1=0B ．2x +y ﹣5=0C ．x +2y ﹣5=0D ．x ﹣2y +7=05．（5分）已知圆x 2+y 2+Dx +Ey=0的圆心在直线x +y=l 上则D 与E 的关系是（ ）A ．D +E=2B ．D +E=1C ．D +E=﹣1 D ．D +E=﹣26．（5分）以线段AB ：x +y ﹣2=0（0≤x ≤2）为直径的圆的方程为（ ）A．（x+1）2+（y+1）2=2 B．（x﹣1）2+（y﹣1）2=2 C．（x+1）2+（y+1）2=8 D．（x﹣1）2+（y﹣1）2=87．（5分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为（）A．B．C．D．8．（5分）某几何体的三视图如图所示，根据图中数据，可得该几何体的体积是（）A．B．C．D．9．（5分）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为棱AA1、BB1的中点，G为棱A1B1上的一点，且A1G=λ（0≤λ≤1），则点G到平面D1EF的距离为（）A．B．C．D．10．（5分）已知m，n是两条直线，α，β是两个平面，有以下命题：①m，n相交且都在平面α，β外，m∥α，m∥β，n∥α，n∥β，则α∥β；②若m∥α，m∥β，则α∥β；③若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β．其中正确命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．311．（5分）若动点A（x 1，y1），B（x2，y2）分别在直线l1：x+y﹣7=0和l2：x+y ﹣5=0上移动，则线段AB的中点M到原点的距离的最小值为（）A．2 B．3 C．3 D．412．（5分）设两条直线的方程分别为x+y+a=0和x+y+b=0，已知a、b是关于x 的方程x2+x+c=0的两个实根，且0≤c≤，则这两条直线间距离的最大值和最小值分别为（）A． B．C．D．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）已知空间四边形ABCD的各边及对角线相等，AC与平面BCD所成角的余弦值是．14．（5分）不论m取什么实数，直线（2m﹣1）x﹣（m+3）y﹣（m﹣11）=0恒过定点．15．（5分）两圆x2+y2﹣4x+6y=0和x2+y2﹣6x=0的连心线方程为．16．（5分）如图，ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，下面结论中正确的是．①BD∥平面CB1D1；②AC1⊥平面CB1D1；③AC1与底面ABCD所成角的正切值是；④CB1与BD为异面直线．三、解答题17．（10分）如图，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别是AB、PC的中点；（1）求证：MN∥平面PAD．（2）在PB上确定一点Q，使平面MNQ∥平面PAD．18．（12分）已知平面内两点A（8，﹣6），B（2，2）．（Ⅰ）求AB的中垂线方程；（Ⅱ）求过P（2，﹣3）点且与直线AB平行的直线l的方程．19．（12分）点A（2，0）是圆x2+y2=4上的定点，点B（1，1）是圆内一点，P 为圆上的动点．（1）求线段AP的中点的轨迹方程（2）求过点B倾斜角为135°的直线截圆所得的弦长．20．（12分）如图，在长方体中ABCD﹣A1B1C1D1，AB=3，BC=AA1=4，点O是AC 的中点．（1）求异面直线AD1和DC1所成角的余弦值．（2）求点C到平面BC1D的距离．21．（12分）已知圆C：（x+1）2+y2=8．（1）设点Q（x，y）是圆C上一点，求x+y的取值范围；（2）在直线x+y﹣7=0上找一点P（m，n），使得过该点所作圆C的切线段最短．22．（12分）如图，已知平行四边形ABCD中，BC=2，BD⊥CD，四边形ADEF为正方形，平面ADEF⊥平面ABCD，G，H分别是DF，BE的中点，记CD=x，V（x）表示四棱锥F﹣ABCD的体积．（1）求V（x）的表达式；（2）求V（x）的最大值．2015-2016学年山西省晋中市高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）一个锥体的主视图和左视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是（）A．B．C．D．【解答】解：本题中给出了正视图与左视图，故可以根据正视图与俯视图长对正，左视图与俯视图宽相等来找出正确选项A中的视图满足三视图的作法规则；B中的视图满足三视图的作法规则；C中的视图不满足三视图的作法规则中的宽相等，故其为错误选项；D中的视图满足三视图的作法规则；故选：C．2．（5分）用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是（）A．B．C．D．【解答】解：根据斜二测画法知，平行于x轴的线段长度不变，平行于y的线段变为原来的，∵O′C′=1，O′A′=，∴OC=O′C′=1，OA=2O′A′=2；由此得出原来的图形是A．故选：A．3．（5分）直线xsinα﹣y+1=0的倾斜角的变化范围是（）A．（0，）B．（0，π） C．[﹣，]D．[0，]∪[，π）【解答】解：由xsinα﹣y+1=0，得此直线的斜率为sinα∈[﹣1，1]．设其倾斜角为θ（0≤θ＜π），则tanθ∈[﹣1，1]．∴θ∈[0，]∪[，π）．故选：D．4．（5分）过点（﹣1，3）且垂直于直线x﹣2y+3=0的直线方程为（）A．2x+y﹣1=0 B．2x+y﹣5=0 C．x+2y﹣5=0 D．x﹣2y+7=0【解答】解：根据题意，易得直线x﹣2y+3=0的斜率为，由直线垂直的斜率关系，可得所求直线的斜率为﹣2，又知其过点（﹣1，3），由点斜式得所求直线方程为2x+y﹣1=0．5．（5分）已知圆x2+y2+Dx+Ey=0的圆心在直线x+y=l上则D与E的关系是（）A．D+E=2 B．D+E=1 C．D+E=﹣1 D．D+E=﹣2【解答】解：圆的圆心坐标是（），圆x2+y2+Dx+Ey=0的圆心在直线x+y=l 上，所以，即D+E=﹣2．故选：D．6．（5分）以线段AB：x+y﹣2=0（0≤x≤2）为直径的圆的方程为（）A．（x+1）2+（y+1）2=2 B．（x﹣1）2+（y﹣1）2=2 C．（x+1）2+（y+1）2=8 D．（x﹣1）2+（y﹣1）2=8【解答】解：∵线段AB：x+y﹣2=0（0≤x≤2）两个端点为（0，2）、（2，0），∴以线段AB：x+y﹣2=0（0≤x≤2）为直径的圆的圆心为（1，1），半径为=．故选：B．7．（5分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为（）A．B．C．D．【解答】解：以D点为坐标原点，以DA、DC、DD1所在的直线为x轴、y轴、z 轴，建立空间直角坐标系（图略），则A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），C1（0，2，1）∴=（﹣2，0，1），=（﹣2，2，0），且为平面BB1D1D的一个法向量．∴cos＜，＞═=．∴BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为故选：D．8．（5分）某几何体的三视图如图所示，根据图中数据，可得该几何体的体积是（）A．B．C．D．【解答】解：由三视图可知，可得此几何体为正方体+正四棱锥，∵正方体的棱长为，其体积为：3，又∵正棱锥的底面边长为，高为，∴它的体积为×3×=∴组合体的体积=，故选：B．9．（5分）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为棱AA1、BB1的中点，G为棱A1B1上的一点，且A1G=λ（0≤λ≤1），则点G到平面D1EF的距离为（）A．B．C．D．【解答】解：因为A1B1∥EF，G在A1B1上，所以G到平面D1EF的距离即是A1到面D1EF的距离，即是A1到D1E的距离，D1E=，由三角形面积可得所求距离为，故选：D．10．（5分）已知m，n是两条直线，α，β是两个平面，有以下命题：①m，n相交且都在平面α，β外，m∥α，m∥β，n∥α，n∥β，则α∥β；②若m∥α，m∥β，则α∥β；③若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β．其中正确命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：①m，n相交且都在平面α，β外，m∥α，m∥β，n∥α，n∥β，则由平面与平面平行的判定定理得α∥β，故①正确；②若m∥α，m∥β，则α与β相交或平行，故②错误；③若m∥α，n∥β，m∥n，则α与β相交或平行，故③错误．故选：B．11．（5分）若动点A（x1，y1），B（x2，y2）分别在直线l1：x+y﹣7=0和l2：x+y ﹣5=0上移动，则线段AB的中点M到原点的距离的最小值为（）A．2 B．3 C．3 D．4【解答】解：由题意知，M点的轨迹为平行于直线l1、l2且到l1、l2距离相等的直线l，故其方程为x+y﹣6=0，∴M到原点的距离的最小值为d==3．故选：C．12．（5分）设两条直线的方程分别为x+y+a=0和x+y+b=0，已知a、b是关于x 的方程x2+x+c=0的两个实根，且0≤c≤，则这两条直线间距离的最大值和最小值分别为（）A． B．C．D．【解答】解：因为a，b是方程x2+x+c=0的两个实根，所以a+b=﹣1，ab=c，两条直线之间的距离d=，所以d2==，因为0≤c≤，所以≤1﹣4c≤1，即d2∈[，]，所以两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是，．故选：D．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）已知空间四边形ABCD的各边及对角线相等，AC与平面BCD所成角的余弦值是．【解答】解：由题意可得多面体ABCD为正四面体，设点A在平面BCD内的射影为O，则O是等边△BCD的中心，∠ACO为AC与平面BCD所成角．设正四面体的棱长为1，则OC==．Rt△AOC中，cos∠ACO==故答案为：14．（5分）不论m取什么实数，直线（2m﹣1）x﹣（m+3）y﹣（m﹣11）=0恒过定点（2，3）．【解答】解：直线（2m﹣1）x﹣（m+3）y﹣（m﹣11）=0可为变为m（2x﹣y ﹣1）+（﹣x﹣3y+11）=0令解得：，故不论m为何值，直线（2m﹣1）x﹣（m+3）y﹣（m﹣11）=0恒过定点（2，3）故答案为：（2，3）．15．（5分）两圆x2+y2﹣4x+6y=0和x2+y2﹣6x=0的连心线方程为3x﹣y﹣9=0．【解答】解：两圆x2+y2﹣4x+6y=0和x2+y2﹣6x=0的圆心坐标分别为（2，﹣3），（3，0），∴连心线方程为y﹣0=（x﹣3），即3x﹣y﹣9=0．故答案为：3x﹣y﹣9=0．16．（5分）如图，ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，下面结论中正确的是①②④．①BD∥平面CB1D1；②AC1⊥平面CB1D1；③AC1与底面ABCD所成角的正切值是；④CB1与BD为异面直线．【解答】解：如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1 中，由于BD∥B1D1 ，由直线和平面平行的判定定理可得BD∥平面CB1D1 ，故①正确；由正方体的性质可得B1D1⊥A1C1，CC1⊥B1D1，故B1D1⊥平面ACC1A1，故B1D1⊥AC1．同理可得B1C⊥AC1．再根据直线和平面垂直的判定定理可得，AC1⊥平面CB1D1 ，故②正确；AC1与底面ABCD所成角的正切值为=，故③不正确；CB1与BD既不相交，又不平行，不同在任何一个平面内，故CB1与BD为异面直线，故④正确．故答案为：①②④．三、解答题17．（10分）如图，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别是AB、PC的中点；（1）求证：MN∥平面PAD．（2）在PB上确定一点Q，使平面MNQ∥平面PAD．【解答】证明：（1）取PB中点Q，连MQ、NQ，∵M、N分别是AB、PC的中点，∴NQ∥BC，MQ∥PA∵AD∥BC，∴NQ∥AD，∵MQ∩MQ=Q，PA∩AD=A，∴平面MNQ∥平面PAD，∵MN⊂平面MNQ，∴MN∥面PAD；（2）由（1）可知Q在PB的中点上18．（12分）已知平面内两点A（8，﹣6），B（2，2）．（Ⅰ）求AB的中垂线方程；（Ⅱ）求过P（2，﹣3）点且与直线AB平行的直线l的方程．【解答】解：（I）线段AB的中点为即（5，﹣2），∵k AB==﹣，∴线段AB的中垂线的斜率k=，∴AB的中垂线方程为y+2=（x﹣5），化为3x﹣4y﹣23=0．（II）过P（2，﹣3）点且与直线AB平行的直线l的斜率为﹣．其方程为：y+3=（x﹣2），化为4x+3y+1=0．19．（12分）点A（2，0）是圆x2+y2=4上的定点，点B（1，1）是圆内一点，P 为圆上的动点．（1）求线段AP的中点的轨迹方程（2）求过点B倾斜角为135°的直线截圆所得的弦长．【解答】解：（1）设AP中点为M（x，y），由中点坐标公式可知，P点坐标为（2x﹣2，2y）∵P点在圆x2+y2=4上，∴（2x﹣2）2+（2y）2=4．故线段AP中点的轨迹方程为（x﹣1）2+y2=1．（2）过点B倾斜角为135°的直线方程为x+y﹣2=0，圆心O（0，0）到直线x+y﹣2=0的距离d==，∴过点B倾斜角为135°的直线截圆所得的弦长为2=2．20．（12分）如图，在长方体中ABCD﹣A1B1C1D1，AB=3，BC=AA1=4，点O是AC 的中点．（1）求异面直线AD1和DC1所成角的余弦值．（2）求点C到平面BC1D的距离．【解答】解：（1）由OO1∥AD1知，AD1和DC1所成角等于OO1和DC1所成的锐角或直角，在△OO1D中，由题设可得，OD=，O1D=2，OO1=，由余弦定理得，cos∠OO1D=，故AD1和DC1所成角的余弦值为：；（2）设点C到平面BC1D的距离为h，=V C1﹣BCD，则有：V C﹣BC1D=••CC1=••4=8，其中，V C1﹣BCD在△BDC1中，BD=5，DC1=5，BC1=4，所以，△BDC1的面积为••4=2，再由V C=V C1﹣BCD得，•2•h=8，﹣BC1D解得h=，即点C到平面BC1D的距离为：．21．（12分）已知圆C：（x+1）2+y2=8．（1）设点Q（x，y）是圆C上一点，求x+y的取值范围；（2）在直线x+y﹣7=0上找一点P（m，n），使得过该点所作圆C的切线段最短．【解答】解：（1）设x+y=t，∵点Q（x，y）是圆C上一点，∴直线x+y=t与已知圆有公共点，∴≤2，解得﹣5≤t≤3，∴x+y的取值范围为[﹣5，3]；（2）∵圆心（﹣1，0）到直线x+y﹣7=0的距离d==4＞2=r，∴直线与圆相离，由直线和圆的知识可得只有当过圆心向直线x+y﹣7=0作垂线，过其垂足作圆的切线所得切线段最短，此时垂足即为要求的点P，由直线的垂直关系设过圆心的垂线为x﹣y+c=0，代入圆心坐标可得c=1，联立x+y﹣7=0和x﹣y+1=0可解得交点为（3，4）即为所求．22．（12分）如图，已知平行四边形ABCD中，BC=2，BD⊥CD，四边形ADEF为正方形，平面ADEF⊥平面ABCD，G，H分别是DF，BE的中点，记CD=x，V（x）表示四棱锥F﹣ABCD的体积．（1）求V（x）的表达式；（2）求V（x）的最大值．【解答】解：（1）∵四边形ADEF为正方形，∴FA⊥AD，又∵平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD=AD，∴FA ⊥平面ABCD ． ∵BC=2，BD ⊥CD ，CD=x ， ∴DB=（0＜x ＜2）．∴S 平行四边形ABCD =2S △BCD =2×=． ∴V （x ）===．（0＜x ＜2）． （2）由基本不等式的性质可得：V （x）=，当且仅当，即x=时取等号．∴V （x ）的最大值是．赠送：初中数学几何模型举例【模型四】 几何最值模型： 图形特征：P ABl运用举例：1. △ABC 中，AB =6，AC =8，BC =10，P 为边BC 上一动点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，M 为AP 的中点，则MF 的最小值为B2.如图，在边长为6的菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，E 为AB 的中点，F 为AC 上一动点，则EF +BF 的最小值为_________。