江苏省徐州市2018学年高二上学期期末数学试卷文科 含
2019-2020学年江苏省徐州市2018级高二上学期期末考试数学试卷及解析
2019-2020学年江苏省徐州市2018级高二上学期期末考试数学试卷★祝考试顺利★ (解析版)一、单项选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.命题“0x ∃≤,使得210x x -+≥”的否定是（ ） A. 0x ∃≤,210x x -+> B. 0x ∃≤,210x x -+≤ C. 0x ∀≤,210x x -+< D. 0x ∀>,210x x -+>【答案】C 【解析】根据特称命题的否定是全称命题即可得出结论．【详解】解：∵命题“0x ∃≤,使得210x x -+≥”是一个特称命题, ∴它的否定是0x ∀≤,210x x -+<, 故选：C ． 2.不等式112x <-的解集是（ ） A. (,3)-∞ B. 2,)+∞（ C. (,2)(3,)-∞⋃+∞D. （2,3）【答案】C 【解析】将分式不等式112x <-转化为整式不等式组()()23020x x x ⎧-->⎨-≠⎩,解出即可． 【详解】解：∵112x <-, ∴1102x -<-, ∴302xx -<-,∴()()23020x x x ⎧-->⎨-≠⎩,解得：2x <或3x >, 故选：C ．3.等差数列{}n a 前n 项和为n S ,若148a =-,99S =-,则18S =（ ） A. 162- B. 1-C. 3D. 81-【答案】D 【解析】利用等差数列{}n a 的前n 项和公式和通项公式列方程组,求出1,a d ,由此能求出18S ． 【详解】解：设等差数列{}n a 的公差为d , ∵148a =-,99S =-,∴111389369a d a d +=-⎧⎨+=-⎩,化简得1113841a d a d +=-⎧⎨+=-⎩,∴119979a d ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,∴1811858113S a d =+-=, 故选：D ．4.若平面,αβ的法向量分别为(1,2,4)a =-,(,1,2)b x =--,且αβ⊥,则x 的值为（ ） A. 10 B. 10-C.12D. 12-【答案】B 【解析】由αβ⊥得a b ⊥,则0a b ⋅=,解方程即可． 【详解】解：∵αβ⊥, ∴a b ⊥, ∴0a b ⋅=,∴280x ---=, ∴10x =-, 故选：B ．5.已知方程22152x y m m +=--表示焦点在y 轴上的椭圆,且焦距为2,则m 的值为（ ）A. 4B. 5C. 7D. 8【答案】A 【解析】由方程表示焦点在y 轴上的椭圆得250m m ->->,再根据焦距为2得()()251m m ---=,解方程即可得m 的值．【详解】解：∵方程22152x y m m +=--表示焦点在y 轴上的椭圆,∴250m m ->->, ∴752m <<, 又椭圆的焦距为2, ∴()()251m m ---=, 解得：4m =, 故选：A ．6.古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：他们研究过图（1）中的1,3,6,10,…,由于这些数能够表示成三角形,所以将其称为三角形数；类似地,称图（2）中的1,4,9,16,…这样的数为正方形数,则下列数中既是三角形数又是正方形数的是（ ）A. 289B. 1024C. 1225D. 1378【答案】C 【解析】记三角形数构成的数列为{}n a ,计算可得()12n n n a +=；易知2n b n =．据此确定复合题意的选项即可.【详解】记三角形数构成的数列为{}n a ,则11a =,2312a ==+,36123a ==++,4101234a ==+++,…, 易得通项公式为()11232n n n a n +=++++=；同理可得正方形数构成的数列{}n b 的通项公式为2n b n =．将四个选项中的数字分别代入上述两个通项公式,使得n 都为正整数的只有249501225352⨯==． 故选C ．7.已知a 、b 都是实数,>ln ln a b >”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】>b 有可能为0,故不能推出ln ln a b >,反过来,ln ln a b >则a b >成立,故为必要不充分条件.8.《蒙娜丽莎》是意大利文艺复兴时期画家列奥纳多⋅达芬奇创作的油画,现收藏于法国罗浮宫博物馆.该油画规格为：纵77cm ,横53cm .油画挂在墙壁上的最低点处B 离地面237cm (如图所示).有一身高为175cm 的游客从正面观赏它(该游客头顶T 到眼睛C 的距离为15cm ),设该游客离墙距离为xcm ,视角为θ.为使观赏视角θ最大,x 应为（ ）A. 77B. 80C. 100D.772【答案】D 【解析】 设ACD α,BCD β,则θαβ=-,利用两角差的正切公式用x 表示出θ,再根据对勾函数的单调性求解．【详解】解：过C 作CD AB ⊥于D ,设ACD α,BCD β,则θαβ=-,则2371751577BD （cm ）,7777154AD（cm ）,∴154tan AD CDxα,77tan BD CDxβ, ∴tan θ=tan αβtan tan 1tan tan αβαβ15477154771x xx x7711858xx, ∴当且仅当11858x x即772x 时,tan θ有最大值,此时θ也最大,故选：D ．二、多项选择题：本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分. 9.下列说法正确的有（ ） A. 若a b >,则22ac bc >B. 若22a b c c>,则a b >C. 若a b >,则22a b >D. 若a b >,则22a b >【答案】BC 【解析】根据不等式的基本性质和举反例法一一判断即可． 【详解】解：对于A,若0c ,则22ac bc =,故A 错； 对于B,若22a b c c>,则0c ≠,则20c >,则2222a b c c c c ⋅>⋅,化简得a b >,故B 对； 对于C,若a b >,则根据指数函数2x y =在R 上单调递增得22a b >,故C 对； 对于D,若a b >,取1a =-,2b =-,则2214a b =<=,故D 错； 故选：BC ．10.若双曲线C 的一个焦点(5,0)F ,且渐近线方程为43y x =±,则下列结论正确的是（ ） A. C 的方程为221916x y -= B. C 的离心率为54C. 焦点到渐近线的距离为3D. 两准线间的距离为185【答案】AD 【解析】先根据双曲线的几何性质求出其标准方程,再根据方程求出其它性质,再逐一判断各选项．【详解】由题意设双曲线的标准方程为22221x y a b-=()0,0a b >>,焦距为2c ,∵双曲线C 的一个焦点(5,0)F ,且渐近线方程为43y x =±,∴222543c b a a b c=⎧⎪⎪=⎨⎪+=⎪⎩,解得345a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩, ∴双曲线的标准方程为221916x y -=,A 对； ∴其离心率为53c e a ==,B 错；焦点到渐近线的距离4d ==,C 错；准线方程为295a x c =±=±,则两准线间的距离为185,D 对；故选：AD ．11.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若10a >,公差0d ≠,则下列命题正确的是（ ） A. 若59S S =,则必有140S = B. 若59S S =,则必有7S 是n S 中最大的项 C. 若67S S >,则必有78S S > D. 若67S S >,则必有56S S >【答案】ABC 【解析】直接根据等差数列{}n a 的前n 项和公式()112n n n dS na -=+逐一判断． 【详解】∵等差数列{}n a 的前n 项和公式()112n n n dS na -=+, 若59S S =,则11510936a d a d +=+, ∴12130a d +=,∴1132da =-,∵10a >,∴0d <, ∴1140a a +=,∴()1141407a a S +==,A 对；∴()112n n n d S na -=+()11322n n d nd -=-+()27492d n ⎡⎤--⎣⎦=,由二次函数的性质知7S 是n S 中最大的项,B 对；若67S S >,则7160a a d =+<,∴16a d <-,∵10a >,∴0d <,∴615a a d =+6d d <-+0d =->,8770a a d a =+<<, ∴5656S S S a <=+,7878S S S a >=+,C 对,D 错； 故选：ABC ．12.下列命题中正确的是（ ）A. ,,,A B M N 是空间中的四点,若,,BA BM BN 不能构成空间基底,则,,,A B M N 共面B. 已知{},,a b c 为空间的一个基底,若m a c =+,则{},,a b m 也是空间的基底C. 若直线l 的方向向量为(1,0,3)e =,平面α的法向量为2(2,0,)3n =-,则直线//l αD. 若直线l 的方向向量为(1,0,3)e =,平面α的法向量为(2,0,2)n =-,则直线l 与平面α所成角的正弦值为5 【答案】ABD 【解析】不共面的三个非零向量可以构成空间向量的一个基底,由此可判断A 、B ,若直线的方向向量与平面α的法向量垂直,则线面平行,可判断C ,直线的方向向量与平面的法向量夹角的余弦值的绝对值与该直线与此平面所成角的正弦值相等,由此可判断D ．【详解】对于A ,,,,A B M N 是空间中的四点,若,,BA BM BN 不能构成空间基底,则,,BA BM BN 共面,则,,,A B M N 共面,故A 对；对于B ,已知{},,a b c 为空间的一个基底,则,,a b c 不共面,若m a c =+,则,,a b m 也不共面,则{},,a b m 也是空间的基底,故B 对；对于C ,因为21(2)+00+3=03e n ⋅=⨯-⨯⨯,则e n ⊥,若l α⊄,则//l α,但选项中没有条件l α⊄,有可能会出现l α⊂,故C 错； 对于D ,∵cos ,e n e n e n =51022==⨯,则则直线l 与平面α所成角的正弦值为5,故D 对； 故选：ABD ．三、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分.13.设数列{a n }满足a 1=1,且a n+1﹣a n =n+1（n∈N *）,则数列{1na }的前10项的和为__．【答案】2011试题分析：∵数列满足,且,∴当时,．当时,上式也成立,∴．∴．∴数列的前项的和11111212231n S n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦122111n n n ⎛⎫=-=⎪++⎝⎭．∴数列的前项的和为．故答案为．14.在长方体1111ABCD A B C D -中,3AB BC ==,15AA =,则11AB AC ⋅=__________. 【答案】34 【解析】以点A 为原点建立空间直角坐标系,求出1AB ,1AC 的坐标,再求数量积． 【详解】解：以点A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系,∴()13,0,5B ,()13,3,5C , ∴()13,0,5AB =,()13,3,5AC =, ∴1133AB AC ⋅=⨯035534+⨯+⨯=, 故答案为：34．15.若P 是抛物线:C 22y x =上一点,F 为抛物线C 的焦点,点A 7(,2)2,则PA PF +取最小值时点P 的坐标为___________. 【答案】(2,2) 【解析】数形结合,画出示意图,由抛物线的定义可知,当点P 满足PA 与抛物线准线垂直时有PA PF+最小值．【详解】解：作出示意图,过点P 作抛物线准线的垂线PB ,垂足为B ,由抛物线的定义可知,PB PF =,由图可知,当点P 满足PA 与抛物线准线垂直时PA PF +取最小值, 将2y =代入到22y x =得2x =,此时点P 的坐标为(2,2), 故答案：(2,2)．16.已知正项等比数列{}n a 满足2020201820192a a a =+,若存在两项,m n a a 14m n a a a ⋅=,则4n mmn+的最小值是_________,此时22m n +=_________. 【答案】 (1). 32(2). 20【解析】由2020201820192a a a =+得等比数列的公比2q,从而可得6m n +=,再用基本不等式求最值．【详解】解：设正项等比数列{}n a 的公比为()0q q >, ∵2020201820192a a a =+, ∴22q q =+, ∴2q或1q =-（舍去）,m n a a ⋅=1111m n a q a q --⋅⋅⋅212m n a +-=, 14m n a a a ⋅=224m n +-=,则6m n +=,∴4n m mn +14m n =+()1146m n m n ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭1456n m m n ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭5166≥+⨯32=, 当且仅当4n m m n=且6m n +=即2m =,4n =时,等号成立, 此时2241620m n +=+=, 故答案为：32；20． 四、解答题：本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知:p 2230{|}A x x x =--≤,:q {}22|,0B x x m m =≤>.（1）若2m =,求A B ；（2）若p 是q 的充分条件,求m 的取值范围.【答案】（1）{}12A B x x ⋂=-≤≤； （2）[)3,+∞．【解析】（1）先求出集合A ,再把2m =代入求出集合B,再根据交集的定义求出A B ；（2）由p 是q 的充分条件得A B ⊆,再根据子集的定义求解．【详解】解：（1）由题意,得{}13A x x =-≤≤,当2m =时,{}22x x B =-≤≤, ∴{}12A B x x ⋂=-≤≤；（2）由已知,p 是q 的充分条件,则A B ⊆, 又{}B x m x m =-≤≤,∴13m m -≤-⎧⎨≥⎩,解得：3m ≥, ∴实数m 的取值范围是[)3,+∞．18.已知函数2()2f x ax bx =++,且不等式()0f x >的解集是(3,2)-.（1）求+a b 的值；（2）若不等式23()3f x x x c ≥-++对于[1,1]x ∈-恒成立,求实数c 的取值范围.【答案】（1）23a b +=-（2）11,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ 【解析】（1）由题意可知0a <且220ax bx ++=的解是123,2x x =-=,再根据韦达定理即可求解；（2）利用分离变量法将恒成立问题转化为最值问题,再进行求解．【详解】解：（1）∵不等式220ax bx ++>的解集是()3,2-,∴0a <且220ax bx ++=的解是123,2x x =-=, ∴3212(3)26b a a⎧-=-+=-⎪⎪⎨⎪=-⨯=-⎪⎩, 解得：13a b ==-, ∴23a b +=-； （2）∵23()3f x x x c ≥-++对于[1,1]x ∈-恒成立, ∴22111226222c x x x ⎛⎫≤-+=-+ ⎪⎝⎭对[]1,1x ∈-恒成立, 当[]1,1x ∈-时,22111112262222x x x ⎛⎫-+=-+≥ ⎪⎝⎭, ∴2min 11(226)2x x -+=, ∴112c ≤, ∴实数c 的取值范围为11,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．19.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,已知36a =,且774S a =.(1)求数列{}n a 的通项公式(2)设2n n na b =,求数列{}n b 的n 项和n T . 【答案】（1）2n a n =（2）1242n n n T -+=-【解析】 （1）设等差数列{}n a 的公差为d ,再根据等差数列得通项公式与前n 项和公式求解；（2）先求出n b ,再利用错位相减法求n T ．【详解】解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ,则111267214(6)a d a d a d +=⎧⎨+=+⎩, 解得122a d =⎧⎨=⎩, ∴2n a n =；（2）由（1）知,12222n n n n n a n n b -===, ∴0231123422222n n n T -=+++++, 23111231222222n n n n n T --=+++++, 两式相减得,02111111222222n n n n T -=++++-, ∴2321111122122222n n n n T --=++++++- 121221212n n n ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=-- 4242nn +=- 1242n n -+=-,综上：1242n n n T -+=-． 20.已知动点(,)P x y (0)x ≥到定点(1,0)的距离比它到y 轴的距离大1.（1）求动点P 的轨迹E 的方程；（2）设点(,0)Q m (m 为常数),过点Q 作斜率分别为12,k k 的两条直线1l 与2l ,1l 交曲线E 于,A B 两点,2l 交曲线E 于,C D 两点,点,M N 分别是线段,AB CD 的中点,若121k k +=,求证：直线MN 过定点.【答案】（1）24y x =（2）见解析【解析】（1）由题意可得,点P 到定点(1,0)的距离等于它到1x =-的距离,从而点P 的轨迹是以(1,0)为焦点,1x =-为准线的抛物线,从而求出答案；（2）先写出直线AB 的点斜式方程,再联立抛物线方程消元,得韦达定理结论,利用中点坐标公式求出点M ,同理求出点N ,从而求出直线直线MN 的斜率及直线方程,从而得出直线MN 过定点．【详解】解：（1）∵点P 到定点(1,0)的距离比它到y 轴的距离大1, ∴点P 到定点(1,0)的距离等于它到1x =-的距离,∴点P 的轨迹是以(1,0)为焦点,1x =-为准线的抛物线,∴动点P 的轨迹E 的方程为24y x =（2）由题意,直线AB 的方程为1()y k x m =-,设1122(,),(,)A x y B x y ,由12()4y k x m y x=-⎧⎨=⎩,得211440k y y k m --=, ∴121214,4y y y y m k +==-, 又线段AB 的中点为M ,所以21122,M m k k ⎛⎫+⎪⎝⎭,同理22222,N m k k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭,∴直线MN 的斜率121212M N MN M N y y k k k k k x x k k -===-+, ∴直线MN 的方程为：1221122y k k x m k k ⎡⎤⎛⎫-=-+⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦, 即12()2y k k x m =-+,∴直线MN 过定点(,2)m ．21.如图,在三棱锥P ABC -中,已知AC BC ⊥,2AC BC a ==,平面PAB ⊥平面ABC ,点,O D 分别是,AB PB 的中点,PO AB ⊥,连接CD .（1）若2PA a =,并异面直线PA 与CD 所成角的余弦值的大小；（2）若二面角P PB C--的5,求PA 的长. 【答案】（13226 【解析】 （1）连接OC ,以点O 为坐标原点建立空间直角坐标系,求出PA 、CD ,利用向量法求出异面直线所成角的余弦值；（2）设PO h =,证得OC 是平面PAB 的一个法向量,再求出平面PBC 的一个法向量,从而可求出2223h a =,再用勾股定理求出PA ． 【详解】解：（1）连接OC ,∵平面PAB ⊥平面ABC ,PO ⊥AB ,∴PO ⊥平面ABC ,所以PO ⊥OC , ∵AC =BC ,点O 是AB 的中点,∴OC ⊥AB 且2OA OB OC a ===,如图,以点O 为坐标原点建立空间直角坐标系O xyz -,．2PA a =,2PO a =．(0,2,0)A a ,2,0)B a ,(2,0,0)C a ,2)P a ,22(0,,)22a a D ． 从而(02,2)PA a a ，=--, 22(2,)22CD a a ，=-． ∵cos PA CDPACD PA CD ，=2323a a ==⋅∴异面直线PA 与CD 3 （2）设PO h =,则(0,0,)P h ．∵ PO ⊥OC ,OC ⊥AB ,∴OC ⊥平面PAB ． 从而(2,0,0)OC a =是平面PAB 的一个法向量,不妨设平面PBC 的一个法向量为(,,)n x y z =, ∵(02,)PB a h =-，,(22,0)BC a a =-，,0,0.n PB n BC ⎧⋅=⎨⋅=⎩ ∴2,.ay hz x y ==⎪⎩不妨令x =1,则y=1,z =则2(1,1,n =．由已知,2222OC n OC n a a ⋅==,化简,得2223h a=． ∴2PA OA =222a =+=． 22.在直角坐标系xOy 中,已知椭圆:C 22221x y a b +=(0)a b >>的上顶点坐标为(0,2),离心率为2. （1）求椭圆的标准方程； （2）若椭圆上的点P 的横坐标为2,且位于第一象限,点P 关于x 轴的对称点为点Q ,,A B 是位于直线PQ 异侧的椭圆上的动点.①若直线AB 的斜率为12,求四边形APBQ 面积的最大值； ②若动点,A B 满足APQ BPQ ∠=∠,试探求直线AB 的斜率是否为定值？说明理由.【答案】（1）22184x y +=（2）①3②为定值,见解析【解析】（1）直接根据椭圆几何性质求解；（2）由（1）可得P 点坐标为P ,则(2,Q , ①设直线AB 方程,联立椭圆方程,设1122(,),(,)A x y B x y ,得韦达定理,表示出四边形APBQ 面积APBQ S ,从而求出四边形APBQ 面积最大值为3； ②由题意可得直线AP 斜率与直线BP 斜率互为相反数,设直线AP 的方程,联立椭圆方程,设1133(,),(,)A x y P x y ,得两根之和,求得1x =设22(,)B x y ,同理可得2x =根据斜率计算公式得直线AB 的斜率为定值．【详解】解：（1）由题意2,c b e a ===可得2228,4a b c ===, 则椭圆的标准方程为22184x y +=；（2）由（1）可得P 点坐标为P ,则(2,Q ,①设直线AB 方程为1:2AB l y x m =+,联立椭圆方程22184x y +=, 化简可得22322802x mx m ++-=,设1122(,),(,)A x y B x y ,则212124416,33m m x x x x -+=-=,1212APBQ S PQ x x =⋅-12PQ =12=⋅∴当0m =时,四边形APBQ ； ②由题意,因为APQ BPQ ∠=∠,则直线AP 斜率与直线BP 斜率互为相反数,设直线AP 的方程为:(2)AP l y k x -=-,联立椭圆方程22184x y +=,化简可得()2222128)840k x k x k ++-+--=,设1133(,),(,)A x y P x y ,则13x x +=又32x =,所以1x =设22(,)B x y ,同理可得2x =,所以()1212121228(2)(2)412k x x y y k x k x k x x k k --=-=--+-=+,所以直线AB的斜率212128ky y k x x --===-为定值．。
2019-2020学年江苏省徐州市2018级高二下学期期中考试数学试卷及答案
2019-2020学年江苏省徐州市2018级高二下学期期中考试数学试卷★祝考试顺利★(解析版)注意事项：考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1.本试卷共6页,包含单选题(第1题～第8题)、多选题(第9题～第12题)、填空题(第13题～第16题)、解答题(第17～第22题)。
本卷满分150分,考试时间为120分钟。
考试结束后,请将答题卡交回。
2.答题前,请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。
3.请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答,在其他位置作答一律无效。
作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔。
请注意字体工整,笔迹清楚。
4.如需作图,须用2B铅笔绘、写清楚,线条符号等须加黑加粗。
5.请保持答题卡卡面清洁,不要折叠、破损。
一律不准使用胶带纸修正液、可擦洗的圆珠笔。
一、单选题：本题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,有且只有一个选项是符合题目要求的。
1.复平面内,复数z＝－3＋4i对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.函数f(x)＝x2－sinx在区间[0,π]上的平均变化率为A.1B.2C.π2D.π3.若复数z满足(1＋2i)z＝－3＋4i(i是虚数单位),则|z|为D.54.函数f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数f'(x)在(a,b)内的图象如图所示,则函数f(x)在开区间(a,b)内极小值的个数为A.1个B.2个C.3个D.4个5.将4个不同的文件发往3个不同的邮箱地址,则不同的方法种数为A.34B.43C.A 43D.C 436.已知z 1,z 2∈C,|z 1|＝|z 2|＝1,|z 1＋z 2|＝3,则|z 1－z 2|＝A.0B.1C.3D.27.若点P 是曲线y ＝x 2－lnx 上的任意一点,则点P 到直线y ＝x －2的最小距离为 A.2 B.22 C.12D.1 8.洛书,古称龟书,是阴阳五行术数之源,被世界公认为组合数学的鼻祖,它是中华民族对人类的伟大贡献之一。
高二下学期期末考数学试卷
西山一中2017---2018学年上学期期末考试高二数学试卷(文科)（时间：120分钟 分值：150分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确的答案填写在答题卡的表格内。
）1、已知集合A ＝{x |x 2－2x ＝0}，B ＝{0，1，2}，则A ∩B ＝( ) A ．{0} B ．{0，1} C ．{0，2} D ．{0，1，2}2、已知圆锥的表面积为，且它的展开图是一个半圆，则圆锥的底面半径为 （ ）cmA ．B ． 2C ．D ． 43、在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为 ( )A ． 答案AB ． 答案BC ． 答案CD ． 答案D4、.如果0a b ≤<，那么下列不等式中正确的是( )． A ．1a b -≤- B ． 2a a b ≥ C ．2211b a ≤ D ．11a b≤ 5、若是5x 2—7x —6=0的根，则()()απαπαπαπαππα+⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--sin 2cos 2cos 2tan 23sin 23sin 2= ( )A ．53 B ． 35 C ． 54 D ． 456、如图所示，为测量一棵树的高度，在地面上选取A ，B 两点，从A ，B 两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A ，B 两点之间的距离为60 m ，则树的高度h 为 ( ) A ．(15＋3)m B ．(30＋15)m C ．(30＋30)m D ．(15＋30)m7、已知直线l 垂直于直线AB 和AC ，直线m 垂直于直线BC 和AC ，则直线l ，m 的位置关系是( ) A ．平行 B.异面 C ．相交 D ．垂直8、如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中： ○1 B M 与ED 是异面直线； ○2 CN 与BE 平行； ○3 CN 与BM 成60角； ○4DM 与BN 垂直。
2018年高二(上)期末数学试卷(文科)
2018年高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设命题p：∃n∈N，n2＞2n，则￢p为（）A．∀n∈N，n2＞2n B．∃n∈N，n2≤2n C．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2=2n 2．（5分）如果方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是（）A．3＜m＜4 B．C．D．3．（5分）“x＞1”是“log（x+2）＜0”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）设S n是等差数列{a n}的前n项和，已知a3=5，a5=9，则S7等于（）A．13 B．35 C．49 D．635．（5分）有下列四个命题：①“若x+y=0，则x，y互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q≤1，则x2+2x+q=0有实根”的逆否命题；④“直角三角形有两个角是锐角”的逆命题；其中真命题为（）A．①②B．②③C．①③D．③④6．（5分）已知等比数列{a n}满足a1=，a3a5=4（a4﹣1），则a2=（）A．2 B．1 C．D．7．（5分）设z=x+y，其中实数x，y满足，若z的最大值为12，则z 的最小值为（）A．﹣3 B．﹣6 C．3 D．68．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，cos2=，则△ABC的形状一定是（）A．正三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形9．（5分）若直线mx+ny+2=0（m＞0，n＞0）截得圆（x+3）2+（y+1）2=1的弦长为2，则+的最小值为（）A．6 B．8 C．10 D．1210．（5分）已知P为椭圆上的一点，M，N分别为圆（x+3）2+y2=1和圆（x﹣3）2+y2=4上的点，则|PM|+|PN|的最小值为（）A．5 B．7 C．13 D．1511．（5分）若△ABC顶点B，C的坐标分别为（﹣4，0），（4，0），AC，AB边上的中线长之和为30，则△ABC的重心G的轨迹方程为（）A．=1（y≠0） B．=1（x≠0）C．=1（x≠0） D．=1（y≠0）12．（5分）设直线l与抛物线y2=4x相交于A、B两点，与圆（x﹣5）2+y2=r2（r ＞0）相切于点M，且M为线段AB的中点，若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是（）A．（1，3） B．（1，4） C．（2，3） D．（2，4）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．（5分）等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2=16x的准线交于A，B两点，；则C的实轴长为．14．（5分）△ABC中，A、B、C对应边分别为a、b、c．若a=x，b=2，B=45°，且此三角形有两解，则x的取值范围为．15．（5分）过点M（1，1）作斜率为﹣的直线与椭圆C：+=1（a＞b＞0）相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于．16．（5分）设数列{a n}满足a1=1，且a n+1﹣a n=n+1（n∈N*），则数列{}的前10项的和为．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0，q：实数x满足（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）¬p是¬q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．18．（12分）已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，一条渐近线方程为y=x，且过点（4，﹣）．（1）求双曲线方程；（2）若点M（3，m）在此双曲线上，求•．19．（12分）△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC 面积的2倍．（1）求；（2）若AD=1，DC=，求BD和AC的长．20．（12分）设椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为e=，点A是椭圆上的一点，且点A到椭圆C两焦点的距离之和为4．（1）求椭圆C的方程；（2）椭圆C上一动点P（x0，y0）关于直线y=2x的对称点为P1（x1，y1），求3x1﹣4y1的取值范围．21．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，已知2S n=3n+3．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}，满足a n b n=log3a n，求{b n}的前n项和T n．22．（12分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，直线y=4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|=|PQ|．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求l的方程．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设命题p：∃n∈N，n2＞2n，则￢p为（）A．∀n∈N，n2＞2n B．∃n∈N，n2≤2n C．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2=2n 【分析】根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论．【解答】解：命题的否定是：∀n∈N，n2≤2n，故选：C．【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．2．（5分）如果方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是（）A．3＜m＜4 B．C．D．【分析】进而根据焦点在y轴推断出4﹣m＞0，m﹣3＞0并且m﹣3＞4﹣m，求得m的范围．【解答】解：由题意可得：方程表示焦点在y轴上的椭圆，所以4﹣m＞0，m﹣3＞0并且m﹣3＞4﹣m，解得：．故选D．【点评】本题主要考查了椭圆的标准方程，解题时注意看焦点在x轴还是在y轴．3．（5分）“x＞1”是“log（x+2）＜0”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合不等式之间的关系进行判断即可．【解答】解：由log（x+2）＜0得x+2＞1，即x＞﹣1，则“x＞1”是“log（x+2）＜0”的充分不必要条件，故选：A【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式之间的关系是解决本题的关键．比较基础．4．（5分）设S n是等差数列{a n}的前n项和，已知a3=5，a5=9，则S7等于（）A．13 B．35 C．49 D．63【分析】由题意可得a3+a5=14，进而可得a1+a7=a3+a5=14，而S7=，代入即可得答案．【解答】解：由题意可得a3+a5=14，由等差数列的性质可得a1+a7=a3+a5=14，故S7====49，故选C【点评】本题考查等差数列的性质和求和公式，属基础题．5．（5分）有下列四个命题：①“若x+y=0，则x，y互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q≤1，则x2+2x+q=0有实根”的逆否命题；④“直角三角形有两个角是锐角”的逆命题；其中真命题为（）A．①②B．②③C．①③D．③④【分析】利用四种命题关系写出四个命题，然后判断真假即可．【解答】解：①“若x+y=0，则x，y互为相反数”的逆命题：“若x，y互为相反数，则x+y=0”逆命题正确；②“全等三角形的面积相等”的否命题：“不全等三角形的面积不相等”，三角形的命题公式可知只有三角形的底边与高的乘积相等命题相等，所以否命题不正确；③“若q≤1，则x2+2x+q=0有实根”的逆否命题：“x2+2x+q=0没有实根，则q＞1”，因为x2+2x+q=0没有实根，所以4﹣4q＜0可得q＞1，所以逆否命题正确；④“直角三角形有两个角是锐角”的逆命题：两个角是锐角的三角形是直角三角形，显然不正确．正确命题有①③．故选：C．【点评】本题考查四种命题的关系，命题的真假的判断，基本知识的考查．6．（5分）已知等比数列{a n}满足a1=，a3a5=4（a4﹣1），则a2=（）A．2 B．1 C．D．【分析】利用等比数列的通项公式即可得出．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵，a3a5=4（a4﹣1），∴=4，化为q3=8，解得q=2则a2==．故选：C．【点评】本题考查了等比数列的通项公式，属于基础题．7．（5分）设z=x+y，其中实数x，y满足，若z的最大值为12，则z的最小值为（）A．﹣3 B．﹣6 C．3 D．6【分析】先画出可行域，得到角点坐标．再利用z的最大值为12，通过平移直线z=x+y得到最大值点A，求出k值，即可得到答案．【解答】解：可行域如图：由得：A（k，k），目标函数z=x+y在x=k，y=k时取最大值，即直线z=x+y在y轴上的截距z最大，此时，12=k+k，故k=6．∴得B（﹣12，6），目标函数z=x+y在x=﹣12，y=6时取最小值，此时，z的最小值为z=﹣12+6=﹣6，故选B．【点评】本题主要考查简单线性规划．解决此类问题的关键是正确画出不等式组表示的可行域，将目标函数赋予几何意义．8．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，cos2=，则△ABC的形状一定是（）A．正三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形【分析】在△ABC中，利用二倍角的余弦与正弦定理可将已知cos2=，转化为cosA=，整理即可判断△ABC的形状．【解答】解：在△ABC中，∵cos2=，∴==+∴1+cosA=+1，即cosA=，∴cosAsinC=sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，∴sinAcosC=0，sinA≠0，∴cosC=0，∴C为直角．故选：B．【点评】本题考查三角形的形状判断，着重考查二倍角的余弦与正弦定理，诱导公式的综合运用，属于中档题．9．（5分）若直线mx+ny+2=0（m＞0，n＞0）截得圆（x+3）2+（y+1）2=1的弦长为2，则+的最小值为（）A．6 B．8 C．10 D．12【分析】由题意可知直线过圆心，可得3m+n=2，从而+=（+），展开后利用基本不等式可求答案．【解答】解：∵直线截得圆的弦长为直径，∴直线mx+ny+2=0过圆心（﹣3，﹣1），即﹣3m﹣n+2=0，∴3m+n=2，∴+=（+）=3+≥3+=6，当且仅当时取等号，由截得，∴+的最小值为6，故选A．【点评】该题考查直线与圆的位置关系、基本不等式的应用，变形+=（+）是解决本题的关键所在．10．（5分）已知P为椭圆上的一点，M，N分别为圆（x+3）2+y2=1和圆（x﹣3）2+y2=4上的点，则|PM|+|PN|的最小值为（）A．5 B．7 C．13 D．15【分析】由题意可得：椭圆的焦点分别是两圆（x+3）2+y2=1和（x﹣3）2+y2=4的圆心，再结合椭圆的定义与圆的有关性质可得答案．【解答】解：依题意可得，椭圆的焦点分别是两圆（x+3）2+y2=1和（x﹣3）2+y2=4的圆心，所以根据椭圆的定义可得：（|PM|+|PN|）min=2×5﹣1﹣2=7，故选B．【点评】本题考查圆的性质及其应用，以及椭圆的定义，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的合理运用．11．（5分）若△ABC顶点B，C的坐标分别为（﹣4，0），（4，0），AC，AB边上的中线长之和为30，则△ABC的重心G的轨迹方程为（）A．=1（y≠0） B．=1（x≠0）C．=1（x≠0） D．=1（y≠0）【分析】根据三角形重心的性质可得G到B、C两点的距离之和等于20，因此G 的轨迹为以B、C为焦点的椭圆．利用题中数据加以计算可得相应的椭圆方程，注意到点G不能落在x轴上得到答案．【解答】解：设AC、AB边上的中线分别为CD、BE∵BG=BE，CG=CD∴BG+CG=（BE+CD）=20（定值）因此，G的轨迹为以B、C为焦点的椭圆，2a=20，c=4∴a=10，b==，可得椭圆的方程为∵当G点在x轴上时，A、B、C三点共线，不能构成△ABC∴G的纵坐标不能是0，可得△ABC的重心G的轨迹方程为=1（y≠0）故选：D【点评】本题给出三角形两条中线长度之和等于定值，求重心G的轨迹方程．着重考查了三角形重心的性质、椭圆的定义与标准方程和轨迹方程的求法等知识，属于中档题．12．（5分）设直线l与抛物线y2=4x相交于A、B两点，与圆（x﹣5）2+y2=r2（r ＞0）相切于点M，且M为线段AB的中点，若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是（）A．（1，3） B．（1，4） C．（2，3） D．（2，4）【分析】先确定M的轨迹是直线x=3，代入抛物线方程可得y=±2，所以交点与圆心（5，0）的距离为4，即可得出结论．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），斜率存在时，设斜率为k，则y12=4x1，y22=4x2，则，相减，得（y1+y2）（y1﹣y2）=4（x1﹣x2），当l的斜率存在时，利用点差法可得ky0=2，因为直线与圆相切，所以=﹣，所以x0=3，即M的轨迹是直线x=3．将x=3代入y2=4x，得y2=12，∴﹣2，∵M在圆上，∴（x0﹣5）2+y02=r2，∴r2=y02+4＜12+4=16，∵直线l恰有4条，∴y0≠0，∴4＜r2＜16，故2＜r＜4时，直线l有2条；斜率不存在时，直线l有2条；所以直线l恰有4条，2＜r＜4，故选：D．【点评】本题考查直线与抛物线、圆的位置关系，考查点差法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．（5分）等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2=16x的准线交于A，B两点，；则C的实轴长为4．【分析】设出双曲线方程，求出抛物线的准线方程，利用，即可求得结论．【解答】解：设等轴双曲线C的方程为x2﹣y2=λ．（1）∵抛物线y2=16x，2p=16，p=8，∴=4．∴抛物线的准线方程为x=﹣4．设等轴双曲线与抛物线的准线x=﹣4的两个交点A（﹣4，y），B（﹣4，﹣y）（y ＞0），则|AB|=|y﹣（﹣y）|=2y=4，∴y=2．将x=﹣4，y=2代入（1），得（﹣4）2﹣（2）2=λ，∴λ=4∴等轴双曲线C的方程为x2﹣y2=4，即∴C的实轴长为4．故答案为：4【点评】本题考查抛物线，双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．14．（5分）△ABC中，A、B、C对应边分别为a、b、c．若a=x，b=2，B=45°，且此三角形有两解，则x的取值范围为．【分析】利用余弦定理，构建方程，根据解此三角形有两解，可得方程有两个不等的正根，从而可求x的取值范围【解答】解：由余弦定理可得：4=c2+x2﹣2cx×cos45°∴c2﹣xc+x2﹣4=0∵解此三角形有两解，∴方程有两个不等的正根∴△=2x2﹣4（x2﹣4）＞0，且x2﹣4＞0，x＞0∴x2﹣8＜0，且x2﹣4＞0，x＞0∴2＜x＜2故答案为：．【点评】本题重点考查余弦定理的运用，考查解三角形解的个数，解题的关键是利用余弦定理，构建方程，将解此三角形有两解，转化为方程有两个不等的正根．15．（5分）过点M（1，1）作斜率为﹣的直线与椭圆C：+=1（a＞b＞0）相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于．【分析】利用点差法，结合M是线段AB的中点，斜率为﹣，即可求出椭圆C 的离心率．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则①，②，∵M是线段AB的中点，∴=1，=1，∵直线AB的方程是y=﹣（x﹣1）+1，∴y1﹣y2=﹣（x1﹣x2），∵过点M（1，1）作斜率为﹣的直线与椭圆C：+=1（a＞b＞0）相交于A，B两点，M是线段AB的中点，∴①②两式相减可得，即，∴a=b，∴=b，∴e==．故答案为：．【点评】本题考查椭圆的离心率，考查学生的计算能力，正确运用点差法是关键．16．（5分）设数列{a n}满足a1=1，且a n+1﹣a n=n+1（n∈N*），则数列{}的前10项的和为．【分析】数列{a n}满足a1=1，且a n+1﹣a n=n+1（n∈N*），利用“累加求和”可得a n=．再利用“裂项求和”即可得出．【解答】解：∵数列{a n}满足a1=1，且a n+1﹣a n=n+1（n∈N*），∴当n≥2时，a n=（a n﹣a n﹣1）+…+（a2﹣a1）+a1=n+…+2+1=．当n=1时，上式也成立，∴a n=．∴=2．∴数列{}的前n项的和S n===．∴数列{}的前10项的和为．故答案为：．【点评】本题考查了数列的“累加求和”方法、“裂项求和”方法、等差数列的前n 项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0，q：实数x满足（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）¬p是¬q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【分析】（1）若a=1，分别求出p，q成立的等价条件，利用且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）利用￢p是￢q的充分不必要条件，即q是p的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．【解答】解：（1）由x2﹣4ax+3a2＜0，得（x﹣3a）（x﹣a）＜0．又a＞0，所以a＜x＜3a．当a=1时，1＜x＜3，即p为真时实数x的取值范围是1＜x＜3．由得得2＜x≤3，即q为真时实数x的取值范围是2＜x≤3．若p∧q为真，则p真且q真，所以实数x的取值范围是2＜x＜3．（2）￢p是￢q的充分不必要条件，即￢p⇒￢q，且￢q推不出￢p．即q是p的充分不必要条件，则，解得1＜a≤2，所以实数a的取值范围是1＜a≤2．【点评】本题主要考查复合命题与简单命题之间的关系，利用逆否命题的等价性将￢p是￢q的充分不必要条件，转化为q是p的充分不必要条件是解决本题的关键，18．（12分）已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，一条渐近线方程为y=x，且过点（4，﹣）．（1）求双曲线方程；（2）若点M（3，m）在此双曲线上，求•．【分析】（1）设双曲线方程为x2﹣y2=λ，λ≠0，由双曲线过点（4，﹣），能求出双曲线方程．（2）由点M（3，m）在此双曲线上，得m=．由此能求出•的值．【解答】解：（1）∵双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，一条渐近线方程为y=x，∴设双曲线方程为x2﹣y2=λ，λ≠0，∵双曲线过点（4，﹣），∴16﹣10=λ，即λ=6，∴双曲线方程为=1．（2）∵点M（3，m）在此双曲线上，∴=1，解得m=．∴M（3，），或M（3，﹣），∵F 1（﹣2，0），，∴当M（3，）时，=（﹣2﹣3，﹣），=（，﹣），•=﹣12﹣6=0；当M（3，﹣）时，=（﹣2﹣3，），=（，），•=﹣12﹣6+6+9+3=0．故•=0．【点评】本题考查双曲线方程的求法，考查向量的数量积的求法，解题时要认真审题，注意双曲线性质的合理运用．19．（12分）△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC 面积的2倍．（1）求；（2）若AD=1，DC=，求BD和AC的长．【分析】（1）如图，过A作AE⊥BC于E，由已知及面积公式可得BD=2DC，由AD平分∠BAC及正弦定理可得sin∠B=，sin∠C=，从而得解．（2）由（1）可求BD=．过D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，由AD平分∠BAC，可求AB=2AC，令AC=x，则AB=2x，利用余弦定理即可解得BD和AC的长．【解答】解：（1）如图，过A作AE⊥BC于E，∵==2∴BD=2DC，∵AD平分∠BAC∴∠BAD=∠DAC在△ABD中，=，∴sin∠B=在△ADC中，=，∴sin∠C=；∴==．…6分（2）由（1）知，BD=2DC=2×=．过D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，∵AD平分∠BAC，∴DM=DN，∴==2，∴AB=2AC，令AC=x，则AB=2x，∵∠BAD=∠DAC，∴cos∠BAD=cos∠DAC，∴由余弦定理可得：=，∴x=1，∴AC=1，∴BD的长为，AC的长为1．【点评】本题主要考查了三角形面积公式，正弦定理，余弦定理等知识的应用，属于基本知识的考查．20．（12分）设椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为e=，点A是椭圆上的一点，且点A到椭圆C两焦点的距离之和为4．（1）求椭圆C的方程；（2）椭圆C上一动点P（x0，y0）关于直线y=2x的对称点为P1（x1，y1），求3x1﹣4y1的取值范围．【分析】（1）依题意知，2a=4，e=由此可求出椭圆C的方程．（2）点P（x 0，y0）关于直线y=2x的对称点为，由题设条件能推出3x1﹣4y1=﹣5x0．再由点P（x0，y0）在椭圆C：上，能够铁推出3x1﹣4y1的取值范围．【解答】解：（1）依题意知，2a=4，∴a=2．∵，∴．∴所求椭圆C的方程为．（2）∵点P（x 0，y0）关于直线y=2x的对称点为，∴解得：，．∴3x1﹣4y1=﹣5x0．∵点P（x0，y0）在椭圆C：上，∴﹣2≤x0≤2，则﹣10≤﹣5x0≤10．∴3x1﹣4y1的取值范围为[﹣10，10]．【点评】本题考查椭圆的基本性质及其应用，解题时要注意公式的灵活运用．21．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，已知2S n=3n+3．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}，满足a n b n=log3a n，求{b n}的前n项和T n．【分析】（Ⅰ）利用2S n=3n+3，可求得a1=3；当n＞1时，2S n﹣1=3n﹣1+3，两式相减2a n=2S n﹣2S n﹣1，可求得a n=3n﹣1，从而可得{a n}的通项公式；（Ⅱ）依题意，a n b n=log3a n，可得b1=，当n＞1时，b n=31﹣n•log33n﹣1=（n﹣1）×31﹣n，于是可求得T1=b1=；当n＞1时，T n=b1+b2+…+b n=+（1×3﹣1+2×3﹣2+…+（n﹣1）×31﹣n），利用错位相减法可求得{b n}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）因为2S n=3n+3，所以2a1=31+3=6，故a1=3，=3n﹣1+3，当n＞1时，2S n﹣1此时，2a n=2S n﹣2S n﹣1=3n﹣3n﹣1=2×3n﹣1，即a n=3n﹣1，所以a n=．（Ⅱ）因为a n b n=log3a n，所以b1=，当n＞1时，b n=31﹣n•log33n﹣1=（n﹣1）×31﹣n，所以T1=b1=；当n＞1时，T n=b1+b2+…+b n=+（1×3﹣1+2×3﹣2+…+（n﹣1）×31﹣n），所以3T n=1+（1×30+2×3﹣1+3×3﹣2+…+（n﹣1）×32﹣n），两式相减得：2T n=+（30+3﹣1+3﹣2+…+32﹣n﹣（n﹣1）×31﹣n）=+﹣（n ﹣1）×31﹣n=﹣，所以T n=﹣，经检验，n=1时也适合，综上可得T n=﹣．【点评】本题考查数列的求和，着重考查数列递推关系的应用，突出考查“错位相减法”求和，考查分析、运算能力，属于中档题．22．（12分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，直线y=4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|=|PQ|．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求l的方程．【分析】（Ⅰ）设点Q的坐标为（x0，4），把点Q的坐标代入抛物线C的方程，求得x0=，根据|QF|=|PQ|求得p的值，可得C的方程．（Ⅱ）设l的方程为x=my+1 （m≠0），代入抛物线方程化简，利用韦达定理、中点公式、弦长公式求得弦长|AB|．把直线l′的方程代入抛物线方程化简，利用韦达定理、弦长公式求得|MN|．由于MN垂直平分线段AB，故AMBN四点共圆等价于|AE|=|BE|=|MN|，由此求得m的值，可得直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）设点Q的坐标为（x0，4），把点Q的坐标代入抛物线C：y2=2px （p＞0），可得x0=，∵点P（0，4），∴|PQ|=．又|QF|=x0+=+，|QF|=|PQ|，∴+=×，求得p=2，或p=﹣2（舍去）．故C的方程为y2=4x．（Ⅱ）由题意可得，直线l和坐标轴不垂直，y2=4x的焦点F（1，0），设l的方程为x=my+1（m≠0），代入抛物线方程可得y2﹣4my﹣4=0，显然判别式△=16m2+16＞0，y1+y2=4m，y1•y2=﹣4．∴AB的中点坐标为D（2m2+1，2m），弦长|AB|=|y1﹣y2|==4（m2+1）．又直线l′的斜率为﹣m，∴直线l′的方程为x=﹣y+2m2+3．过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点，把线l′的方程代入抛物线方程可得y2+y﹣4（2m2+3）=0，∴y3+y4=，y3•y4=﹣4（2m2+3）．故线段MN的中点E的坐标为（+2m2+3，），∴|MN|=|y3﹣y4|=，∵MN垂直平分线段AB，故AMBN四点共圆等价于|AE|=|BE|=|MN|，∴+DE2=MN2，∴4（m2+1）2 ++=×，化简可得m2﹣1=0，∴m=±1，∴直线l的方程为x﹣y﹣1=0，或x+y﹣1=0．【点评】本题主要考查求抛物线的标准方程，直线和圆锥曲线的位置关系的应用，韦达定理、弦长公式的应用，体现了转化的数学思想，属于难题．第21页（共21页）。
徐州市2017-2018学年度第一学期高二期中考试数学试卷
徐州市2017—2018学年度第一学期期中考试高二数学试题（满分160分，考试时间120分钟）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案直接填在答题卡相应位置上）⒈命题“∃x∈R，使得x2>0”的否定是；⒉直线x+3y−3=0的倾斜角是；⒊点P(3,−2,4)关于点A(0,1,−2)的对称点的坐标是；⒋过点1,0且与直线x−2y−2=0垂直的直线方程是；⒌命题“若a2+b2=0，则a=0且b=0”的逆否命题是；⒍已知两条直线y=ax−2和3x−a+2y+1=0互相平行，则a等于；⒎以点2,−1为圆心且与直线x+y=6相切的圆的标准方程是；⒏将圆x2+(y+1)2=3绕直线k x−y−1=0旋转一周，所得几何体的表面积为；⒐若过点M(0,2)作圆x2+y2−2x−1=0的切线，则切线长为；⒑分别过点A(1,3)和点B(2,4)的直线l1和l2互相平行且有最大距离，则l1的方程是；⒒设x,y,z是空间的不同直线或不同平面，下列条件中能使“若x⊥z，且y⊥z，则x//y”为真命题的是；(填所有正确条件的代号)①x,y,z为直线；②x,y,z为平面；③x,y为直线，z为平面；④x,y为平面，z为直线.⒓已知方程1−x2=x+m有两个不相等的实数根，则实数m的范围；⒔已知x≥0,y≥0，且x+y=1，则x2+y2的取值范围是；⒕在平面直角坐标系xoy中，若圆(x−2)2+(y−2)2=1上存在点M，使得点M关于x轴的对称点N在直线kx+y+3=0上，则实数k的最小值为.二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答题卡指定区域．．．．内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.⒖(本小题满分14分)四棱锥A−BCDE中，底面BCDE为矩形，侧面ABC⊥底面BCDE，BC=2，CD=，AB=AC.⑴取CD的中点为F，AE的中点为G，证明FG//面ABC；⑵证明AD⊥CE.⒗(本小题满分14分)已知三角形三个顶点是A(−5,0)，B(4,−4)，C(0,2).⑴求BC边上的中线所在直线方程；⑵求BC边上的高AE所在直线方程.ABC DE如图已知在三棱柱A BC−A1B1C1中，A A1⊥面A BC，A C=BC，M,N,P,Q分别是A A1,BB1,A B,B1C1的中点．⑴求证：平面A BC1//平面MNQ；⑵求证：平面PCC1⊥平面MNQ．⒙(本小题满分16分)已知a>0,b>0且a+b>2，求证：1+ba ,1+ab中至少有一个小于2.ABCPNQA1B1C1已知圆C的圆心C在x轴的正半轴上，半径为5，圆C被直线x−y+3=0截得的弦长为217.⑴求圆C的方程；⑵设直线ax−y+5=0与圆相交于A,B两点，求实数a的取值范围；⑶在⑵的条件下，是否存在实数a，使得A,B关于过点P(−2,4)的直线l对称？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由.⒛(本小题满分16分)在直角坐标系xoy中，曲线y=x2+mx−2与x轴交于A,B两点，点C的坐标为(0,1).当m变化时，解答下列问题：⑴能否出现AC⊥BC的情况？说明理由；⑵证明过A,B,C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.2017—2018学年度第一学期期中测试高二数学参考答案一．填空题：⒈∀x∈R，总有x2≤0⒉56π⒊(−3,4,−8)⒋2x+y−2=0⒌若a≠0或b≠0，则a2+b2≠0⒍1或−3⒎(x−2)2+(y+1)2=252⒏12π⒐x+y−4=0⒒③④⒓1≤m<2⒔[12,1]⒕−43二．解答题：徐州市2017-2018 第11页。
徐州市高二上期末数学试卷(文科)(含答案解析)
2018-2019学年江苏省徐州市高二（上）期末测试数学试卷（文科）一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共计70分）1．抛物线y2=12x的焦点坐标是 ．2．命题“∃x∈R，x2≤0”的否定为 ．3．底面边长为2，高为3的正三棱锥的体积为 ．4．已知椭圆+=1的两个焦点分别为F1，F2，点P是椭圆上一点，则△PF1F2的周长为 ．5．已知正方体的体积为64，则与该正方体各面均相同的球的表面积为 ．6．已知函数f（x）=xsinx，则f′（π）= ．7．双曲线﹣=1的焦点到渐近线的距离为 ．8．“m＜”是“方程+=1表示在y轴上的椭圆”的 条件．（填写“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”“既不充分也不必要”之一）9．若直线4x﹣3y=0与圆x2+y2﹣2x+ay+1=0相切，则实数a的值为 ．10．若函数f（x）=e x﹣ax在（1，+∞）上单调增，则实数a的最大值为 ．11．已知F为椭圆C： +=1（a＞b＞0）的右焦点，A、B分别为椭圆C的左、上顶点，若BF的垂直平分线恰好过点A，则椭圆C的离心率为 ．12．若直线l与曲线y=x3相切于点P，且与直线y=3x+2平行，则点P的坐标为 ．13．在平面直角坐标系xOy中，已知圆（x﹣m﹣1）2+（y﹣2m）2=4上有且只有两个点到原点O的距离为3，则实数m的取值范围为 ．14．已知函数f（x）=a（x﹣1）2﹣lnx，g（x）=，若对任意的x0∈（0，e]，总存在两个不同的x1，x2∈（0，e]，使得f（x1）=f（x2）=g（x0）．则实数a的取值范围为 ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分.15．已知p：4x2+12x﹣7≤0，q：a﹣3≤x≤a+3．（1）当a=0时，若p真q假，求实数x的取值范围；（2）若p是q的充分条件，求实数a的取值范围．16．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是矩形，平面PCD⊥平面ABCD，M为PC中点．求证：（1）PA∥平面MDB；（2）PD⊥BC．17．已知直线l与圆C：x2+y2+2x﹣4y+a=0相交于A，B两点，弦AB的中点为M（0，1）．（1）若圆C的半径为，求实数a的值；（2）若弦AB的长为4，求实数a的值；（3）求直线l的方程及实数a的取值范围．18．如图，ABCD是长方形硬纸片，AB=80cm，AD=50cm，在硬纸片的四角切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的长方体纸箱，设切去的小正方形的白边长为x（cm）．（1）若要求纸箱的侧面积S（cm2）最大，试问x应取何值？（2）若要求纸箱的容积V（cm3）最大，试问x应取何值？19．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，连接椭圆C的四个顶点所形成的四边形面积为4．（1）求椭圆C的标准方程；（2）如图，过椭圆C的下顶点A作两条互相垂直的直线，分别交椭圆C于点M，N，设直线AM的斜率为k，直线l：y=x分别与直线AM，AN交于点P，Q，记△AMN，△APQ的面积分别为S1，S2，是否存在直线l，使得=？若存在，求出所有直线l的方程；若不存在，说明理由．20．已知函数f（x）=lnx﹣ax+1（a∈R）．（1）当a=1时，求函数f（x）的极大值；（2）若对任意的x∈（0，+∞），都有f（x）≤2x成立，求a的取值范围；（3）设h（x）=f（x）+ax，对任意的x1，x2∈（0，+∞），且x1＞x2，证明：＞恒成立．2018-2019学年江苏省徐州市高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共计70分）1．抛物线y2=12x的焦点坐标是 （3，0） ．【考点】抛物线的简单性质．【分析】确定抛物线的焦点位置，进而可确定抛物线的焦点坐标．【解答】解：抛物线y2=12x的焦点在x轴上，且p=6，∴=3，∴抛物线y2=12x的焦点坐标为（3，0）．故答案为：（3，0）．2．命题“∃x∈R，x2≤0”的否定为 ∀x∈R，x2＞0 ．【考点】命题的否定．【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“∃x∈R，x2≤0”的否定为：∀x∈R，x2＞0．故答案为：∀x∈R，x2＞0．3．底面边长为2，高为3的正三棱锥的体积为 ．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】求出正三棱锥的底面面积，然后求解体积．【解答】解：底面边长为2，高为3的正三棱锥的体积为： =．故答案为：．4．已知椭圆+=1的两个焦点分别为F1，F2，点P是椭圆上一点，则△PF1F2的周长为 18 ．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由题意知a=5，b=3，c=4，从而可得|PF1|+|PF2|=2a=10，|F1F2|=2c=8．【解答】解：由题意作图如右图，∵椭圆的标准方程为+=1，∴a=5，b=3，c=4，∴|PF1|+|PF2|=2a=10，|F1F2|=2c=8，∴△PF1F2的周长为10+8=18；故答案为：18．5．已知正方体的体积为64，则与该正方体各面均相同的球的表面积为 16π ．【考点】球内接多面体；球的体积和表面积．【分析】由已知求出正方体的棱长为4，所以正方体的内切球的半径为2，由球的表面积公式得到所求．【解答】解：因为正方体的体积为64，所以棱长为4，所以正方体的内切球的半径为2，所以该正方体的内切球的表面积为4π•22=16π．故答案为：16π．6．已知函数f（x）=xsinx，则f′（π）= ﹣π ．【考点】导数的运算．【分析】直接求出函数的导数即可．【解答】解：函数f（x）=xsinx，则f′（x）=sinx+xcosx，f′（π）=sinπ+πcosπ=﹣π．故答案为：﹣π．7．双曲线﹣=1的焦点到渐近线的距离为 2 ．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的焦点坐标，渐近线方程，利用距离公式求解即可．【解答】解：双曲线﹣=1的一个焦点（，0），一条渐近线方程为：y=，双曲线﹣=1的焦点到渐近线的距离为： =2．故答案为：2．8．“m＜”是“方程+=1表示在y轴上的椭圆”的 必要不充分 条件．（填写“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”“既不充分也不必要”之一）【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据椭圆的定义，求出m的范围，结合集合的包含关系判断充分必要性即可．【解答】解：若“方程+=1表示在y轴上的椭圆”，则，解得：1＜m＜，故“m＜”是“方程+=1表示在y轴上的椭圆”的必要不充分条件，故答案为：必要不充分．9．若直线4x﹣3y=0与圆x2+y2﹣2x+ay+1=0相切，则实数a的值为 ﹣1或4 ．【考点】圆的切线方程．【分析】把圆的方程化为标准方程后，找出圆心坐标和圆的半径，然后根据直线与圆相切得到圆心到直线的距离等于圆的半径，列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值．【解答】解：把圆的方程化为标准方程得：（x﹣1）2+（y+）2=，所以圆心坐标为（1，﹣），半径r=||，由已知直线与圆相切，得到圆心到直线的距离d==r=||，解得a=﹣1或4．故答案为：﹣1或4．10．若函数f（x）=e x﹣ax在（1，+∞）上单调增，则实数a的最大值为 e ．【考点】变化的快慢与变化率．【分析】根据导数和函数单调性的关系，再分离参数，求出最值即可．【解答】解：f′（x）=e x﹣a∵函数f（x）在区间（1，+∞）上单调递增⇔函数f′（x）=e x﹣a≥0在区间（1，+∞）上恒成立，∴a≤[e x]min在区间（1，+∞）上成立．而e x＞e，∴a≤e．故答案为：e．11．已知F为椭圆C： +=1（a＞b＞0）的右焦点，A、B分别为椭圆C的左、上顶点，若BF的垂直平分线恰好过点A，则椭圆C的离心率为 ．【考点】椭圆的简单性质．【分析】利用线段垂直平分线的性质可得线段BF的垂直平分线的方程，进而得出．【解答】解：由已知可得：A（﹣a，0），B（0，b），F（c，0），线段BF的中点M，k BF=，可得线段BF的垂直平分线的斜率为．∴线段BF的垂直平分线的方程为：y﹣=，∵BF的垂直平分线恰好过点A，∴0﹣=，化为：2e2+2e﹣1=0，解得e=．故答案为：．12．若直线l与曲线y=x3相切于点P，且与直线y=3x+2平行，则点P的坐标为 （1，1），（﹣1，﹣1） ．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】利用直线平行斜率相等求出切线的斜率，再利用导数在切点处的值是曲线的切线斜率求出切线斜率，列出方程解得即可．【解答】解：设切点P（m，m3），由y=x3的导数为y′=3x2，可得切线的斜率为k=3m2，由切线与直线y=3x+2平行，可得3m2=3，解得m=±1，可得P（1，1），（﹣1，﹣1）．故答案为：（1，1），（﹣1，﹣1）．13．在平面直角坐标系xOy中，已知圆（x﹣m﹣1）2+（y﹣2m）2=4上有且只有两个点到原点O的距离为3，则实数m的取值范围为 （﹣，﹣）∪（0，2） ．【考点】圆的标准方程．【分析】由已知得圆C：（x﹣m﹣1）2+（y﹣2m）2=4与圆O：x2+y2=9恰有两个交点，由此能求出实数m的取值范围．【解答】解：圆（x﹣m﹣1）2+（y﹣2m）2=4上有且只有两个点到原点O的距离为3，∴圆C：（x﹣m﹣1）2+（y﹣2m）2=4与圆O：x2+y2=9恰有两个交点，圆C的圆心C（m+1，2m），半径r1=2，圆O的圆心O（0，0），半径r2=3，圆心距离|OC|==，∴3﹣2＜＜3+2，解得﹣＜m＜﹣或0＜m＜2．∴实数m的取值范围为（﹣，﹣）∪（0，2）．故答案为：（﹣，﹣）∪（0，2）．14．已知函数f（x）=a（x﹣1）2﹣lnx，g（x）=，若对任意的x0∈（0，e]，总存在两个不同的x1，x2∈（0，e]，使得f（x1）=f（x2）=g（x0）．则实数a的取值范围为 a≥ ．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；函数与方程的综合运用．【分析】求导数，确定函数的单调性，即可求函数f（x）的值域；g（x）∈（0，e]，分类讨论，研究f （x）的单调性，即可求a的取值范围．【解答】解：g′（x）=，令=0，解得x=1，∵e x＞0，∴x∈（0，1）时，g′（x）＞0；x∈（1，e]时，g′（x）＜0，g（x）在（0，1]上单调递增，在（1，e]单调单调递减，根据极大值的定义知：g（x）极大值是g（1）=1，又g（0）=0，g（e）=，所以g （x）的值域是（0，1]．函数f（x）=a（x﹣1）2﹣lnx，x＞0，f′（x）=2ax﹣2a﹣=，令h（x）=2ax2﹣2ax﹣1，h（x）恒过（0，﹣1），当a=0时，f′（x）＜0，f（x）是减函数，不满足题意．h（x）=0，可得2ax2﹣2ax﹣1=0，△=4a2+8a，△＞0解得a＜﹣2或a＞0．当﹣2＜a＜0时，h（x）的对称轴为：x=，h（x）＜0恒成立，f′（x）＜0，f（x）是减函数，不满足题意．当a＜﹣2时，x∈（0，），h（x）＜0恒成立，f′（x）＜0，f（x）是减函数，x∈，f′（x）＞0，f（x）是增函数，x∈，f′（x）＜0，f （x）是减函数，若对任意的x0∈（0，e]，总存在两个不同的x1，x2∈（0，e]，使得f（x1）=f（x2）=g（x0）．可知f（x）极大值≥1，f（x）极小值≤0．可得，，∵f（x）=a（x﹣1）2﹣lnx，，不等式不成立．当a＞0时，x∈（0，），h（x）＜0恒成立，f′（x）＜0，f（x）是减函数，x∈，f′（x）＞0，f（x）是增函数，因为x=1时，f（1）=0，只需f（e）≥1．可得：a（e﹣1）2﹣1≥1，解得a≥．综上：实数a的取值范围为：a≥．二、解答题：本大题共6小题，共计90分.15．已知p：4x2+12x﹣7≤0，q：a﹣3≤x≤a+3．（1）当a=0时，若p真q假，求实数x的取值范围；（2）若p是q的充分条件，求实数a的取值范围．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；复合命题的真假．【分析】（1）将a=0代入q，求出x的范围即可；（2）根据集合的包含关系得到关于a的不等式组，解出即可．【解答】解：由4x2+12x﹣7≤0，解得：﹣≤x≤，q：a﹣3≤x≤a+3．（1）当a=0时，q：﹣3≤x≤3，若p真q假，则﹣≤x＜﹣3；（2）若p是q的充分条件，则，解得：﹣≤x≤﹣，（“=”不同时取到）．16．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是矩形，平面PCD⊥平面ABCD，M为PC中点．求证：（1）PA∥平面MDB；（2）PD⊥BC．【考点】直线与平面平行的判定．【分析】（1）连接AC，交BD与点O，连接OM，先证明出MO∥PA，进而根据线面平行的判定定理证明出PA∥平面MDB．（2）先证明出BC⊥平面PCD，进而根据线面垂直的性质证明出BC⊥PD．【解答】证明：（1）连接AC，交BD与点O，连接OM，∵M为PC的中点，O为AC的中点，∴MO∥PA，∵MO⊂平面MDB，PA⊄平面MDB，∴PA∥平面MDB．（2）∵平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD=CD，BC⊂平面ABCD，BC⊥CD，∴BC⊥平面PCD，∵PD⊂平面PCD，∴BC⊥PD．17．已知直线l与圆C：x2+y2+2x﹣4y+a=0相交于A，B两点，弦AB的中点为M（0，1）．（1）若圆C的半径为，求实数a的值；（2）若弦AB的长为4，求实数a的值；（3）求直线l的方程及实数a的取值范围．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）利用配方法得到圆的标准方程，根据圆C的半径为，求实数a的值；（2）求出直线l的方程，求出圆心到直线的距离，根据弦AB的长为4，求实数a的值；（3）点与圆的位置关系即可求出a的取值范围．【解答】解：（1）圆的标准方程为（x+1）2+（y﹣2）2=5﹣a，则圆心C（﹣1，2），半径r=，∵圆C的半径为，∴=，∴a=2；（2）∵弦的中点为M（0，1）．∴直线CM的斜率k=﹣1，则直线l的斜率k=1，则直线l的方程为y﹣1=x，即x﹣y+1=0．圆心C到直线x﹣y+1=0的距离d==，若弦AB的长为4，则2+4=5﹣a=6，解得a=﹣1；（3）由（2）可得直线l的方程为x﹣y+1=0．∵弦AB的中点为M（0，1）．∴点M在圆内部，即＜，∴5﹣a＞2，即a＜3．18．如图，ABCD是长方形硬纸片，AB=80cm，AD=50cm，在硬纸片的四角切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的长方体纸箱，设切去的小正方形的白边长为x（cm）．（1）若要求纸箱的侧面积S（cm2）最大，试问x应取何值？（2）若要求纸箱的容积V（cm3）最大，试问x应取何值？【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【分析】（1）求出纸箱的侧面积S，利用基本不等式，求最大值；（2）求出纸箱的容积V，利用导数，求最大值．【解答】解：（1）S=2x（50﹣2x+80﹣2x）=2x≤•=，当且仅当4x=130﹣4x，即x=cm，纸箱的侧面积S（cm2）最大；（2）V=x（50﹣2x）（80﹣2x）（0＜x＜12.5），V′=（50﹣2x）（80﹣2x）﹣2x（80﹣2x）﹣2x（50﹣2x）=4（3x﹣100）（x﹣10），∴0＜x＜10，V′＞0，10＜x＜12.5，V′＜0，∴x=10cm时，V最大．19．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，连接椭圆C的四个顶点所形成的四边形面积为4．（1）求椭圆C的标准方程；（2）如图，过椭圆C的下顶点A作两条互相垂直的直线，分别交椭圆C于点M，N，设直线AM的斜率为k，直线l：y=x分别与直线AM，AN交于点P，Q，记△AMN，△APQ的面积分别为S1，S2，是否存在直线l，使得=？若存在，求出所有直线l的方程；若不存在，说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质．【分析】（1）由椭圆的离心率公式及菱形的面积公式求得a和b的值，可求得椭圆的方程；（2）利用椭圆方程及直线AM，AN的方程求得x M、x N、x P及x Q的值根据三角形面积公式求得k的值，求得直线方程．【解答】解：（1）由题意可知：e===，且2ab=4，且a2﹣b2=c2，解得a=2，b=，∴椭圆的标准方程：，（2）由（1）可知，A（0，﹣），则直线AM的方程为y=kx﹣，将直线方程代入椭圆方程得：消去并整理得：（3+4k2）x2﹣8kx=0，解得x M=，直线AN的方程y=﹣﹣，同理可得：x N=﹣，解得x P=k，同理可得x Q=﹣，∴==丨丨==，即3k4﹣10k2+3=0，解得k2=3或k2=，所以=或﹣，故存在直线l：y=x，y=﹣x，满足题意．20．已知函数f（x）=lnx﹣ax+1（a∈R）．（1）当a=1时，求函数f（x）的极大值；（2）若对任意的x∈（0，+∞），都有f（x）≤2x成立，求a的取值范围；（3）设h（x）=f（x）+ax，对任意的x1，x2∈（0，+∞），且x1＞x2，证明：＞恒成立．【考点】利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）a=1时，f（x）=lnx﹣x+1，（x＞0），f′（x）=﹣1=，对x分类讨论即可得出函数f （x）的单调性极值．（2）f（x）≤2x化为：a≥﹣2=g（x），利用导数研究函数g（x）的单调性极值最值即可得出．（3）h（x）=f（x）+ax=lnx+1，对任意的x1，x2∈（0，+∞），且x1＞x2，＞恒成立⇔＞ln．令=t＞1，上式等价于：＞lnt．令=m＞1，则上式等价于：u（m）=﹣2lnm＞0．利用导数研究函数u（m）的单调性即可得出．【解答】（1）解：a=1时，f（x）=lnx﹣x+1，（x＞0），f′（x）=﹣1=，∴0＜x＜1时，函数f（x）单调递增；1＜x时，函数f（x）单调递减．因此x=1时函数f（x）取得极大值，f（1）=0．（2）解：f（x）≤2x化为：a≥﹣2=g（x），g′（x）=，可知：x∈（0，1）时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增；x∈（1，+∞）时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减．∴x=1时函数g（x）取得极大值即最大值，g（1）=1﹣2=﹣1．∴a≥﹣1，∴a的取值范围是[﹣1，+∞）．（3）证明：h（x）=f（x）+ax=lnx+1，对任意的x1，x2∈（0，+∞），且x1＞x2，＞恒成立⇔＞ln．令=t＞1，上式等价于：＞lnt．令=m＞1，则上式等价于：u（m）=﹣2lnm＞0．u′（m）=1+﹣==＞0，因此函数u（m）在m∈（1，+∞）上单调递增，∴u（m）＞u（1）=0，∴＞恒成立．。
江苏省徐州市2018-2019学年高二上学期期末考试数学(文科)及答案
10．已知直线 x 3 y 1 0 和圆 x y 2 x 3 0 相交于 A ， B 两点，则线段 AB 的垂直平 分线的方程是 。
11．已知两条直线 a1 x b1 y 4 0 和 a 2 x b2 y 4 0 都过点
A (2， 3)， 则过两点 P1 ( a1 , b1 ) ，P2 ( a 2 , b2 ) 的直线的方程为
12．已知 F1 是椭圆 的最大值为
.
x2 y2 1 的左焦点， P 是椭圆上的动点， A(1,1) 是一定点，则 PA PF1 25 9
．
13．如图，已知 AB 2c (常数 c 0 )，以 AB 为直径的圆有一内接梯形 ABCD ，且 AB // CD ， 若椭圆以 A ， B 为 焦点，且过 C ， D 两点，则当梯形 ABCD 的周长最大时，椭圆的离心率 为 14．设函数 f ( x ) ．
1 时，求 AMN 的面积； 2
(ii)求证：对任意的动点 Q ， DM CN 为定值．
20．(本小题满分 l6 分) 已知函数， f ( x ) x bx cx d 在点 (0, f (0)) 处的切线方程为 2 x y 1 0 ． (1)求实数 c ， d 的值； (2)若过点 P ( 1,3) 可作出曲线 y f ( x ) 的三条不同的切线，求实数 b 的取值范围； (3)若对任意 x [1,2] ，均存在 t (1,2] ，使得 et ln t 4 ≤ f ( x ) 2 x ，试求实数 b 的 取值范围．
(2)若 m 7 ，“ p 或 q ห้องสมุดไป่ตู้为真命题，“ p 且 q ”为假命题，求实数 m 的取值范围．
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江苏省徐州市高二数学综合试卷（18.10.11）一 .填空题（本大题共12小题，每小题5分）1. 对于命题p ：R x ∈∃，使得x 2+ x +1 < 0．则p ⌝为： . 2．已知数列{}n a 为等差数列，且17134a a a π++=，则212tan()a a += . 3. 直线l 经过点)1,2(-，且与直线0532=+-y x 垂直，则l 的方程是 . 4.设向量a ，b 的夹角为θ，()1,2=a ，()4,53=+b a ，则θsin = .5．统计某校800名学生的数学期末成绩，得到频率分布直方图，如图示，若考试采用100分制，并规定不低于60分为及格，则及格率为 ▲ ． 6.如果执行下面的程序框图，那么输出的S =7.已知函数1)(0,01),sin()(12=⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-=-a f x e x x x f x ，若π，则a 的所有可能值组成的集合为 8．已知yx y x R y x 1114*,+=+∈，则，且的最小值为 . 9.在R 上定义运算：)1(y x y x -=*.若不等式1)()(<+*-a x a x 对任意实数x 恒成立，则a 的取值范围 .10.“渐升数”是指每个数字比其左边的数字大的自然数（如2578），在两位的“渐升数”中任取一个数比37大的概率是 . 11．将正整数排成下表： 12 3 45 6 7 8 910 11 12 13 14 15 16 ……则数表中的300应出现在第 行.（第5题）B1C1A1BCAED12．设()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，2()f x x =，若对任意的[]2x t t ∈+，，不等式()2()f x t f x +≥恒成立，则实数t 的取值范围是二.（本大题共3小题，第13小题12分，第14小题12分，第15小题16分，） 13.（本题满分12分）如图，在棱长都相等的正三棱柱111C B A ABC -中，E D ,分别为1AA ，C B 1的中点。
2017-2018学年江苏省徐州市高二(上)期末数学试卷(文科)(解析版)
2017-2018学年江苏省徐州市高二（上）期末数学试卷（文科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．1．（5分）命题“∀x∈R，x2+1≥0”的否定是．2．（5分）抛物线y2＝8x的焦点坐标为．3．（5分）函数的单调减区间．4．（5分）直线ax+y+1＝0与直线x﹣2y﹣3＝0垂直的充要条件是a＝．5．（5分）椭圆的右焦点为F，右准线为l，过椭圆上顶点A作AM⊥l，垂足为M，则直线FM的斜率为．6．（5分）已知一个正四棱柱的底面边长为1，其侧面的对角线长为2，则这个正四棱柱的侧面积为．7．（5分）在平面直角坐标系xOy中，双曲线C：的一条渐近线与直线x ﹣y+1＝0平行，则双曲线C的焦距为．8．（5分）已知函数f（x）＝x cos x﹣sin x，若存在实数x∈[0，2π]，使得f（x）＜t，成立，则实数t的取值范围是．9．（5分）已知圆x2+y2＝r2与圆x2+y2+6x﹣8y﹣11＝0相内切，则实数r的值为．10．（5分）设f（x）＝4x3+mx2+（m﹣3）x+n（m，n∈R）是R上的单调增函数，则m的值为．11．（5分）点．P（x，y）在圆x2+y2＝1上运动，若a为常数，且|x+3y+a|+|x+3y﹣4|的值是与点P的位置无关的常数，则实数a的取值范围是．12．（5分）已知F1，F2是椭圆C：（a＞b＞0）的焦点，P是椭圆C上的一点，若PF1＝2PF2，则椭圆C的离心率的取值范围是．13．（5分）已知点P（0，2）为圆C：（x﹣a）2+（y﹣a）2＝2a2外一点，若圆C一上存在点Q，使得∠CPQ＝30°，则正数a的取值范围是．14．（5分）已知关于x的方程（x2+x+2）e x﹣x＝4在区间[t，t+1]上有解，则整数t的值为．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤，15．（14分）已知p：x2﹣3x+2＞0，q：|x﹣m|≤1．（1）当m＝1时，若p与q同为真，求x的取值范围；（2）若￢p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．16．（14分）在四棱锥P一ABCD中，底面ABCD为矩形，AP⊥平面PCD，E，F分别为PC，AB的中点．求证：（1）CD⊥平面P AD；（2）EF∥平面P AD．17．（14分）已知圆C经过点A（﹣1，0），B（0，3），圆心C在第一象限，线段AB的垂直平分线交圆C于点D，E，且DE＝2．（1）求直线DE的方程；（2）求圆C的方程；（3）过点（0，4）作圆C的切线，求切线的斜率．18．（16分）在一个半径为1的半球材料中截取两个高度均为h的圆柱，其轴截面如图所示．设两个圆柱体积之和为V＝f（h）．（1）求f（h）的表达式，并写出h的取值范围；（2）求两个圆柱体积之和V的最大值．19．（16分）已知椭圆C经过点，且与椭圆E：有相同的焦点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若动直线l：y＝kx+m与椭圆C有且只有一个公共点P，且与直线x＝4交于点Q，问：以线段PQ为直径的圆是否经过一定点M？若存在，求出定点M的坐标；若不存在，请说明理由．20．（16分）设函数f（x）＝（m﹣1）x2﹣2lnx+mx，其中m是实数．（l）若f（1）＝2，求函数f（x）的单调区间；（2）当f′（2）＝10时，若P（s，t）为函数y＝f（x）图象上一点，且直线OP与y＝f （x）相切于点P，其中O为坐标原点，求S；（3）设定义在I上的函数y＝g（x）在点M（x0，y0）处的切线方程为l：y＝h（x），若[g（x）﹣h（x）]•（x﹣x0）＜0（x≠x0）在定义域I内恒成立，则称函数y＝g（x）具有某种性质T，简称“T函数”．当时，试问函数y＝f（x）是否为“T函数”？若是，请求出此时切点M的横坐标；若不是，清说明理由．2017-2018学年江苏省徐州市高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．1．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“∀x∈R，x2+1≥0”，则￢p是．∃x∈R，x2+1＜0，故答案为：∃x∈R，x2+1＜02．【解答】解：抛物线y2＝8x的焦点在x正半轴上，开口向右，p＝4，所以抛物线的焦点坐标（2，0）．故答案为：（2，0）．3．【解答】解：∵函数f（x）＝x3﹣x，∴f′（x）＝x2﹣1，令f′（x）＜0，即x2﹣1＜0解得﹣1＜x＜1∴函数f（x）＝x3﹣x的单调减区间为（﹣1，1）．故答案为：（﹣1，1）．4．【解答】解：若直线ax+y+1＝0与直线x﹣2y﹣3＝0垂直，则a×1+1×（﹣2）＝0，即a＝2，故答案为：25．【解答】解：椭圆的右焦点为F（1，0），右准线为l：x＝5，过椭圆上顶点A作AM⊥l，垂足为M（5，2），则直线FM的斜率为：＝．故答案为：．6．【解答】解：正四棱柱的底面边长为1，其侧面的对角线长为2，则侧棱长为＝，∴这个正四棱柱的侧面积为：S侧面积＝4×1×＝4．故答案为：．7．【解答】解：在平面直角坐标系xOy中，双曲线C：的一条渐近线与直线x﹣y+1＝0平行，可得a＝4，b＝4，则c＝4，所以双曲线的焦距为：8．故答案为：8．【解答】解：∵存在实数x∈[0，2π]，使得f（x）＜t，即f（x）min＜t，x∈[0，2π]，∵f（x）＝x cos x﹣sin x，x∈[0，2π]，∴f′（x）＝cos x﹣x sin x﹣cos x＝﹣x sin x，令f′（x）＝0，解得x＝0或x＝π或2π，当f′（x）≤0时，即0≤x＜π，函数f（x）在[0，π）单调递减，当f′（x）≥0时，即π≤x≤2π，函数f（x）在[π，2π]单调递增，∴f（x）min＝f（π）＝﹣π，∴t＞﹣π，即实数t的取值范围是（﹣π，+∞），故答案为：（﹣π，+∞）9．【解答】解：圆x2+y2+6x﹣8y﹣11＝0的标准方程为（x+3）2+（y﹣4）2＝36，圆心为（﹣3，4），半径为6，圆x2+y2＝r2的圆心为（0，0），半径为r，则圆心距离d＝|＝5，若两圆内切，则|r﹣6|＝5，得r﹣6＝5或r﹣6＝﹣5，即r＝11或1，故答案为：1或1110．【解答】解：根据题意，得f′（x）＝12x2+2mx+m﹣3，∵f（x）是R上的单调增函数，∴f′（x）≥0，∴△＝（2m）2﹣4×12×（m﹣3）≤0即4（m﹣6）2≤0，所以m＝6，故答案为：6．11．【解答】解：若|x+3y+a|+|x+3y﹣4|的值是与点P的位置无关的常数，表示P到直线x+3y+a＝0和x+3y﹣4＝0的距离和为定值，即圆x2+y2＝1夹在直线x+3y+a＝0和x+3y﹣4＝0之间，将圆心坐标代入x+3y﹣4＝0得：﹣4＜0，故a＞0且，解得：，故答案为：．12．【解答】解：根据椭圆定义|PF1|+|PF2|＝2a，将设|PF1|＝2|PF2|代入得|PF2|＝a，根据椭圆的几何性质，|PF2|≥a﹣c，故≥a﹣c，即a≤3c，又e＜1，可得故该椭圆离心率的取值范围是[，1）．故答案为：[，1）．13．【解答】解：由圆C：（x﹣a）2+（y﹣a）2＝2a2得圆心为C（a，a），半径r＝a，（a＞0），∴PC＝，设过P的一条切线与圆的切点是T，则TC＝a，∴当Q为切点时，∠CPQ最大，∵圆C上存在点Q使得∠CPQ＝30°，∴满足≥sin30°，即≥，整理可得3a2+2a﹣2≥0，解得a≥或a≤，又≤1，即≤1，解得a≤1，又点P（0，2）为圆C：（x﹣a）2+（y﹣a）2＝2a2外一点，∴a2+（2﹣a）2＞2a2，解得a＜1，∵a＞0，∴综上可得≤a＜1．故答案为：．14．【解答】解：关于x的方程（x2+x+2）e x﹣x＝4在区间[t，t+1]上有解，即为函数f（x）＝（x2+x+2）e x﹣x﹣4在区间[t，t+1]上存在零点，由y＝（x2+x+2）e x的导数为y′＝（x2+3x+3）e x＞0，可得y＝（x2+x+2）e x递增，由f（0）＝2﹣4＝﹣2＜0，f（1）＝4e﹣5＞0，且f（x）＝（x2+x+2）e x﹣x﹣4的导数为f′（x）＝（x2+3x+3）e x﹣1，当x≥1时，f′（x）＞0，即有f（x）在[1，+∞）递增，可得f（t）在t≥1且t∈N时，f（t）＞0；可得f（x）在（0，1）存在零点；由f（﹣4）＝（16﹣4+2）e﹣4＞0，f（﹣3）＝[（9﹣1）e﹣3﹣1]＜0，可得f（x）在（﹣4，﹣3）存在零点，可得f（x）在﹣3＜x＜0和x＜﹣4均无零点，故答案为：﹣4或0．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤，15．【解答】解：（1）由p得x＞2或x＜1，当m＝1时，由q得0≤x≤2，∵p与q同为真，∴0≤x＜1；∴x的取值范围为[0，1）；（2）￢p：x∈[1，2]，q：x∈[m﹣1，m+1]，∵￢p是q的充分不必要条件，∴[1，2]⊊[m﹣1，m+1]，∴，∴1≤m≤2∴实数m的取值范围为[1，2]．16．【解答】证明：（1）因为AP⊥平面P AD，CD⊂平面P AD，所以AP⊥CD．…（3分）因为底面ABCD为矩形，所以CD⊥AD．…（5分）又因为AP∩AD＝A，AP，AD⊂平面P AD，所以CD⊥平面P AD．…（7分）（2）取PD中点G，连结AG，EG．因为E为PC的中点，所以EG∥CD，…（9分）且．因为ABCD为矩形，所以AF∥CD，且，故．所以AFEG为平行四边形，所以EF∥AG．…（12分）因为EF⊄平面P AD，AG⊂平面P AD，所以EF∥平面P AD．…（14分）17．【解答】解：（1）因为k AB＝＝3，所以；又AB的中点在直线DE上，∴直线DE的方程为，化为一般形式为x+3y﹣4＝0；…（4分）（2）由题意知DE为圆C的直径，设圆心C（4﹣3b，b），则，解得b＝1或b＝2；∴故圆心为（1，1）或（﹣2，2）（不合题意，舍去）；∴圆C的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2＝5；…（9分）（3）由题意知切线的斜率存在，设为k，则切线方程为y﹣4＝kx，即kx﹣y+4＝0，由圆心到切线的距离为，解得或k＝2．…（14分）18．【解答】（1）自下而上两个圆柱的底面半径分别为：，．…（4分）它们的高均为h，所以体积之和＝π（2h﹣5h3）．…（7分）因为0＜2h＜1，所以h的取值范围是．…（8分）（2）由f（h）＝π（2h﹣5h3），得f'（h）＝π（2﹣15h2），令f'（h）＝0，因为，得．…（10分）所以当h∈时，f'（h）＞0；当h∈时，f'（h）＜0．所以f（h）在上为增函数，在上为减函数，…（12分）（若列表同样给分）所以当时，f（h）取得极大值也是最大值，f（h）的最大值为．…（15分）答：两个圆柱体积之和V的最大值为．…（16分）19．【解答】解：（1）椭圆E的焦点为（±1，0），设椭圆C的标准方程为，则解得所以椭圆C的标准方程为．…（6分）（2）联立消去y，得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12＝0，所以△＝64k2m2﹣4（3+4k2）（4m2﹣12）＝0，即m2＝3+4k2．…（8分）设P（x P，y P），则，，即．…（10分）假设存在定点M（s，t）满足题意，因为Q（4，4k+m），则，，所以，＝恒成立，…（12分）故解得所以存在点M（1，0）符合题意．…（16分）20．【解答】解：（1）由f（1）＝m﹣1+m＝2m﹣1＝2，得，∴（x＞0），∴，…（2分）由f′（x）＞0得：；由f′（x）＜0得：．所以f（x）的单调增区间为，单调减区间为．…（4分）（2）由f'（2）＝10，得m＝3，∴f（x）＝2x2﹣2lnx+3x，∴，所以切线的斜率．…（6分）又切线OM的斜率为，所以，＝，即s2+lns﹣1＝0，…（8分）设y＝s2+lns﹣1，∴，所以，函数y＝s2+lns﹣1在（0，+∞）上为递增函数，且s＝1是方程的一个解，即s＝1是唯一解，所以，s＝1．…（10分）（3）当m＝﹣时，由函数y＝f（x）在其图象上一点M（x0，y0）处的切线方程为y＝（﹣x0+﹣）（x﹣x0）﹣x02+x0﹣2ln x0．令h（x）＝（﹣x0+﹣）（x﹣x0）﹣x02+x0﹣2ln x0，设F（x）＝f（x）﹣h（x），则F（x0）＝0．且F′（x）＝f′（x）﹣h′（x）＝﹣x+﹣﹣（﹣x0+﹣）＝﹣（x﹣x0）﹣（﹣）＝﹣（x﹣x0）（x﹣）…（12分）当0＜x0＜2时，＞x0，F（x）在（x0，）上单调递增，从而有F（x）＞F（x0）＝0，所以，；当x0＞2时，＜x0，F（x）在（，x0）上单调递增，从而有F（x）＜F（x0）＝0，所以，F（x）（x﹣x0）＞0．因此，y＝f（x）在（0，2）和（2，+∞）上不是“T函数”．当x0＝2时，F′（x）＝﹣≤0，所以函数F（x）在（0，+∞）上单调递减．所以，x＞2时，F（x）＜F（2）＝0，F（x）（x﹣2）＜0；0＜x＜2时，F（x）＞F（2）＝0，F（x）（x﹣2）＜0．因此，切点M为点（2，f（2）），其横坐标为2． (16)。
江苏省徐州市2018-2019学年高二上学期期末考试数学(文)试题及答案
2018~2019学年度第一学期期末抽测高二年级数学试题（文）参考答案与评分标准一、填空题1．1(,0)2 2．x ∃∈R ，210x -≤ 3．3 4．1 5．4 6．1(,)2+∞ 7．10π 8．10x y --= 9．8 10．充分不必要 11．36 12．[2,+∞)13．13 14．16二、解答题15．（1）若p 为真命题，则2m m <，解得01m <<，故实数m 的取值范围为(0,1)． …………………………………………………6分（2）若q 为真命题，则判别式140m ∆=->，即14m <．…………………………8分 若“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，则p 与q 一真一假．………10分当p 真q 假时，114m <≤； 当p 假q 真时，0m ≤．所以，实数m 的取值范围为1(,0][,1)4-∞ ．…………………………………14分 16．（1）因为D ，E 分别为AB ，1AA 的中点，所以1A B ∥DE ，……………………2分又因为DE ⊂平面CDE ，1A B ⊄平面CDE ，所以1A B ∥平面CDE ． ………………………………………………………6分 （2）由（1）知，1A B ∥DE ，因为DE CG ⊥，所以1A B CG ⊥．………………8分 在正方形11BCC B 中，F ，G 分别为线段1CC ，11B C 的中点， 所以11GC FC CC BC=，所以1Rt GC C △∽Rt FCB △， 所以1CGC BFC ∠=∠． 设CG BF H = ，则1()CHF GCC BFC ∠=π-∠+∠11()GCC CGC =π-∠+∠12CC G π=∠=， B C B 1C 1 FG H即BF CG ⊥，…………………………………………10分又因为1A B BF B = ，1A B ，BF ⊂平面1A BF ，所以CG ⊥平面1A BF ．…………………………………………………………14分17．（1）设圆M 的标准方程为222()()x a y b r -+-=，则222222222(2),,(3)(3),a b r a b r a b r ⎧+-=⎪+=⎨⎪-+-=⎩解得22,1,5,a b r ⎧=⎪=⎨⎪=⎩故圆M 的标准方程为22(2)(1)5x y -+-=．………………………………6分（2）若直线l 的斜率不存在，则方程为1x =，此时弦长为4，不符合题意；因此直线l 的斜率存在，设l 的方程为(1)y k x =-，此时弦长为 即22520k k -+=，解得12k =或2k =， 所以直线l 的方程为210x y --=或220x y --=．………………………14分 18．（1）设椭圆C 的右焦点为(,0)c ，则21,24,c a a c⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 解得2,1,a c =⎧⎨=⎩ 所以2223b a c =-=， 故椭圆C 的标准方程为22143x y +=．…………………………………………4分 （2）由（1）知，(2,0)A ，设00(,)P x y ，则00(,)Q x y --，直线PA 的方程为00(2)2y y x x =--，所以002(4,)2y M x -， 直线QA 的方程为00(2)2y y x x =-+，所以002(4,)2y N x +， 所以AMN △的面积为000200022812()2224AMN y y y S x x x =⨯-=+--△06y =． 当023x =-时，0y =，所以AMN S =△10分 （3）由（2）知，06AMN S y =△，而APQ △的面积是001222APQ S AO y y =⨯⨯=△． 假设存在点P ，使得AMN △的面积是APQ △的面积的2倍，则0064y y =，解得0y0x =故存在点(P ，使得AMN △的面积是APQ △的面积的2倍．…16分19．（1）因为113 2 cm O B OO ==，所以AB =所以杯盖的侧面积为28(2)(cm )3π+．………………………4分（2）设2O C r =，则2OA r =．因为12AC ==，所以22144r x =-．…6分所以下部杯体的容积2OO V V =圆台2212(2)]3r r r r x =π[+⨯+⨯ 273r x =π 27(144)3x x =π-，012x <<．………………………10分所以27'(1443)3V x =π-，令'0V =，得x =x =-，当0x <<'0V >，V 是单调增函数；当12x <时，'0V <，V 是单调减函数．所以当x =V 取得极大值，也是最大值．答：当x 为时，下部杯体的容积最大．………………………………16分20．（1）当1a =-时，1()2ln 1f x x x =++，221'()x f x x -=，所以'(1)1f =，(1)2f =， 所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为10x y -+=．………………2分（2）22'()x a f x x+=，(1,)x ∈+∞． ①当2a -≥时，'()0f x >，()f x 在(1,)+∞上单调增，所以()f x 无极值；②当2a <-时，令'()0f x =，得a x =-，列表如下：所以()f x 的极小值为()2ln()322f -=-+． 综上所述，当2a -≥时，()f x 无极值；当2a <-时，()f x 的极小值为2ln()32a -+，无极大值．………8分（3）'()()(2ln 1)()()a g x x a x x a f x x=-+-=-． 因为对任意的[1,e]x ∈，2()4e g x ≤恒成立，所以222(1)04e ,(e)(e )4e ,g g a ⎧=⎪⎨=-⎪⎩≤≤ 解得e 3e a -≤≤．………………………………………………………………10分①当e 2a -<-≤时，0x a ->，由（2）知，()()2ln()3322a a f x f -=-+>≥， 所以'()0g x >，所以()g x 在[1,e]上单调增，则2max [()](e)4e g x g =≤，解得e 3e a -≤≤，此时，e 2a -<-≤．………12分 ②当21a -≤≤时，0x a -≥，当且仅当1a x ==时，取等号．由（2）知，()f x 在[1,e]上单调增，所以()(1)10f x f a =-≥≥．所以'()0g x ≥，当且仅当1a x ==时，取等号，所以()g x 在[1,e]上单调增，则2max [()](e)4e g x g =≤，解得e 3e a -≤≤，此时，21a -≤≤．………………………………………14分③若13e a <≤，则()f x 在[1,e]上单调增，且(1)10,(e)30,e f a a f =-<⎧⎪⎨=-⎪⎩≥ 又()2ln 0f a a =>，所以存在0(1,)x a ∈，且0(1,e]x ∈，使得0()0f x =， 所以'()0g x =的解为0x 和a ，列表如下：所以000()()ln 4e g x x a x =-≤，即00ln e x x ≤，又0e x ≤，所以23200ln e x x ≤恒成立．此时，13e a <≤．综上所述，实数a 的取值范围为[e,3e]-．……………………………………16分。
江苏省徐州市高二上期末数学文科试卷
2016-2017学年江苏省徐州市高二（上）期末数学试卷（文科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．命题p“∀x∈R，sinx≤1”的否定是．2．准线方程x=﹣1的抛物线的标准方程为．3．底面半径为1高为3的圆锥的体积为．4．双曲线的一条渐近线方程为y=x，则实数m的值为．5．若直线l1：x+4y﹣1=0与l2：kx+y+2=0互相垂直，则k的值为．6．函数f（x）=x3﹣3x的单调减区间为．7．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，与AB异面且垂直的棱共有条．8．已知函数f（x）=cosx+sinx，则的值为．9．“a=b”是“a2=b2”成立的条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分又不必要”）10．若圆x2+y2=4与圆（x﹣t）2+y2=1外切，则实数t的值为．11．如图，直线l是曲线y=f（x）在点（4，f（4））处的切线，则f（4）+f'（4）的值等于．12．椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，若椭圆上存在点P，满足∠F1PF2=120°，则该椭圆的离心率的取值范围是．13．已知A（3，1），B（﹣4，0），P是椭圆上的一点，则PA+PB的最大值为．14．已知函数f（x）=lnx，g（x）=﹣2x，当x＞2时k（x﹣2）＜xf（x）+2g'（x）+3恒成立，则整数k最大值为．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．已知命题p：方程x2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根；命题q：2m+1＜4．（1）若p为真命题，求实数m的取值范围；（2）若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数m的取值范围．16．在三棱锥P﹣ABC中，AP=AB，平面PAB⊥平面ABC，∠ABC=90°，D，E分别为PB，BC的中点．（1）求证：DE∥平面PAC；（2）求证：DE⊥AD．17．已知圆C的内接矩形的一条对角线上的两个顶点坐标分别为P（1，﹣2），Q（3，4）．（1）求圆C的方程；（2）若直线y=2x+b被圆C截得的弦长为，求b的值．18．某制瓶厂要制造一批轴截面如图所示的瓶子，瓶子是按照统一规格设计的，瓶体上部为半球体，下部为圆柱体，并保持圆柱体的容积为3π．设圆柱体的底面半径为x，圆柱体的高为h，瓶体的表面积为S．（1）写出S关于x的函数关系式，并写出定义域；（2）如何设计瓶子的尺寸（不考虑瓶壁的厚度），可以使表面积S最小，并求出最小值．19．已知二次函数h（x）=ax2+bx+c（c＜4），其导函数y=h'（x）的图象如图所示，函数f（x）=8lnx+h（x）．（1）求a，b的值；（2）若函数f（x）在区间（m，m+）上是单调增函数，求实数m的取值范围；（3）若对任意k∈[﹣1，1]，x∈（0，8]，不等式（k+1）x≥f（x）恒成立，求实数c 的取值范围．20．把半椭圆=1（x≥0）与圆弧（x﹣c）2+y2=a2（x＜0）合成的曲线称作“曲圆”，其中F（c，0）为半椭圆的右焦点．如图，A1，A2，B1，B2分别是“曲圆”与x轴、y轴的交点，已知∠B1FB2=，扇形FB1A1B2的面积为．（1）求a，c的值；（2）过点F且倾斜角为θ的直线交“曲圆”于P，Q两点，试将△A1PQ的周长L表示为θ的函数；（3）在（2）的条件下，当△A1PQ的周长L取得最大值时，试探究△A1PQ的面积是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请求出面积的取值范围．2016-2017学年江苏省徐州市高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．命题p“∀x∈R，sinx≤1”的否定是∃x∈R，sinx＞1．【考点】命题的否定．【分析】直接把语句进行否定即可，注意否定时∀对应∃，≤对应＞．【解答】解：根据题意我们直接对语句进行否定命题p“∀x∈R，sinx≤1”的否定是：∃x∈R，sinx＞1．故答案为：∃x∈R，sinx＞1．2．准线方程x=﹣1的抛物线的标准方程为y2=4x．【考点】抛物线的标准方程．【分析】直接由抛物线的准线方程设出抛物线方程，再由准线方程求得p，则抛物线标准方程可求．【解答】解：∵抛物线的准线方程为x=﹣1，∴可设抛物线方程为y2=2px（p＞0），由准线方程x=﹣，得p=2．∴抛物线的标准方程为y2=4x．故答案为：y2=4x．3．底面半径为1高为3的圆锥的体积为π．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】利用圆锥的体积公式，能求出结果．【解答】解：底面半径为1高为3的圆锥的体积为：V==π．故答案为：π．4．双曲线的一条渐近线方程为y=x，则实数m的值为6．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据题意，由双曲线的标准方程可得该双曲线的焦点在x轴上，且a=，b=，可得其渐近线方程为y=±x，进而结合题意可得=1，解可得m的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，双曲线的标准方程为：，则其焦点在x轴上，且a=，b=，故其渐近线方程为y=±x，又由该双曲线的一条渐近线方程为y=x，则有=1，解可得m=6；故答案为：6．5．若直线l1：x+4y﹣1=0与l2：kx+y+2=0互相垂直，则k的值为﹣4．【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】利用直线与直线垂直的性质求解．【解答】解：∵直线l1：x+4y﹣1=0与l2：kx+y+2=0互相垂直互相垂直，∴﹣•（﹣k）=﹣1，解得k=﹣4故答案为：﹣46．函数f（x）=x3﹣3x的单调减区间为（﹣1，1）．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】求函数的导函数，令导函数小于零，解此不等式即可求得函数y=x3﹣3x的单调递减区间．【解答】解：令y′=3x2﹣3＜0解得﹣1＜x＜1，∴函数y=x3﹣3x的单调递减区间是（﹣1，1）．故答案为：（﹣1，1）．7．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，与AB异面且垂直的棱共有4条．【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】画出正方体，利用数形结合思想能求出结果．【解答】解：如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，与AB异面且垂直的棱有：DD1，CC1，A1D1，B1C1，共4条．故答案为：4．8．已知函数f（x）=cosx+sinx，则的值为0．【考点】导数的运算．【分析】求函数的导数，利用代入法进行求解即可．【解答】解：函数的导数为f′（x）=﹣sinx+cosx，则f′（）=﹣sin+cos=﹣+=0，故答案为：09．“a=b”是“a2=b2”成立的充分不必要条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分又不必要”）【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】结合充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：若a2=b2，则a=b或a=﹣b，即a=b”是“a2=b2”成立的充分不必要条件，故答案为：充分不必要．10．若圆x2+y2=4与圆（x﹣t）2+y2=1外切，则实数t的值为±3．【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【分析】利用圆x2+y2=4与圆（x﹣t）2+y2=1外切，圆心距等于半径的和，即可求出实数t的值．【解答】解：由题意，圆心距=|t|=2+1，∴t=±3，故答案为±3．11．如图，直线l是曲线y=f（x）在点（4，f（4））处的切线，则f（4）+f'（4）的值等于．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；导数的运算．【分析】根据题意，结合函数的图象可得f（4）=5，以及直线l过点（0，3）和（4，5），由直线的斜率公式可得直线l的斜率k，进而由导数的几何意义可得f′（4）的值，将求得的f（4）与f′（4）的值相加即可得答案．【解答】解：根据题意，由函数的图象可得f（4）=5，直线l过点（0，3）和（4，5），则直线l的斜率k==又由直线l是曲线y=f（x）在点（4，f（4））处的切线，则f′（4）=，则有f（4）+f'（4）=5+=；故答案为：．12．椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，若椭圆上存在点P，满足∠F1PF2=120°，则该椭圆的离心率的取值范围是[，1）．【考点】椭圆的简单性质．【分析】如图根据椭圆的性质可知，∠F1PF2当点P在短轴顶点（不妨设上顶点A）时最大，要椭圆上存在点P，满足∠F1PF2=120°，∠F1AF2≥120°，∠F1AO≥60°，即可，【解答】解：如图根据椭圆的性质可知，∠F1PF2当点P在短轴顶点（不妨设上顶点A）时最大，要椭圆上存在点P，满足∠F1PF2=120°，∠F1AF2≥120°，∠F1AO≥60°，tan∠F1AO=，故椭圆离心率的取范围是[，1）故答案为[，1）13．已知A（3，1），B（﹣4，0），P是椭圆上的一点，则PA+PB的最大值为．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由题意画出图形，可知B为椭圆的左焦点，A在椭圆内部，设椭圆右焦点为F，借助于椭圆定义，把|PA|+|PB|的最大值转化为椭圆上的点到A的距离与F距离差的最大值求解．【解答】解：由椭圆方程，得a2=25，b2=9，则c2=16，∴B（﹣4，0）是椭圆的左焦点，A（3，1）在椭圆内部，如图：设椭圆右焦点为F，由题意定义可得：|PB|+|PF|=2a=10，则|PB|=10﹣|PF|，∴|PA|+|PB|=10+（|PA|﹣|PF|）．连接AF并延长，交椭圆与P，则此时|PA|﹣|PF|有最大值为|AF|=∴|PA|+|PB|的最大值为10+．故答案为：10+14．已知函数f（x）=lnx，g（x）=﹣2x，当x＞2时k（x﹣2）＜xf（x）+2g'（x）+3恒成立，则整数k最大值为5．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】k（x﹣2）＜xf（x）+2g′（x）+3恒成立，等价于k（x﹣2）＜xlnx+2（x﹣2）+3对一切x∈（2，+∞）恒成立，分离参数，从而可转化为求函数的最小值问题，利用导数即可求得，即可求实数a的取值范围．【解答】解：因为当x＞2时，不等式k（x﹣2）＜xf（x）+2g′（x）+3恒成立，即k（x﹣2）＜xlnx+2（x﹣2）+3对一切x∈（2，+∞）恒成立，亦即k＜=+2对一切x∈（2，+∞）恒成立，所以不等式转化为k＜+2对任意x＞2恒成立．设p（x）=+2，则p′（x）=，令r（x）=x﹣2lnx﹣5（x＞2），则r′（x）=1﹣=＞0，所以r（x）在（2，+∞）上单调递增．因为r（9）=4（1﹣ln3）＜0，r（10）=5﹣2ln10＞0，所以r（x）=0在（2，+∞）上存在唯一实根x0，且满足x0∈（9，10），当2＜x＜x0时，r（x）＜0，即p′（x）＜0；当x＞x0时，r（x）＞0，即p′（x）＞0．所以函数p（x）在（2，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，又r（x0）=x0﹣2lnx0﹣5=0，所以2lnx0=x0﹣5．所以[p（x）]min=p（x0）=+2=+2∈（5，6），所以k＜[p（x）]min∈（5，6），故整数k的最大值是5．故答案为：5．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．已知命题p：方程x2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根；命题q：2m+1＜4．（1）若p为真命题，求实数m的取值范围；（2）若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数m的取值范围．【考点】命题的真假判断与应用；复合命题的真假．【分析】（1）若p为真命题，则应有△=8﹣4m＞0，解得实数m的取值范围；（2）若p∨q为真命题，p∧q为假命题，则p，q应一真一假，进而实数m的取值范围．【解答】解：（1）若p为真命题，则应有△=8﹣4m＞0，…解得m＜2．…（2）若q为真命题，则有m+1＜2，即m＜1，…因为p∨q为真命题，p∧q为假命题，则p，q应一真一假．…①当p真q假时，有，得1≤m＜2；…②当p假q真时，有，无解．…综上，m的取值范围是[1，2）．…（注：若借助数轴观察且得出正确答案，则给满分，否则不得分）16．在三棱锥P﹣ABC中，AP=AB，平面PAB⊥平面ABC，∠ABC=90°，D，E分别为PB，BC的中点．（1）求证：DE∥平面PAC；（2）求证：DE⊥AD．【考点】直线与平面平行的判定．【分析】（1）推导出DE∥PC，由此能证明DE∥平面PAC．（2）推导出AD⊥PB，BC⊥AB，从而AD⊥BC，进而AD⊥平面PBC，由此能证明DE⊥AD．【解答】证明：（1）因为D，E分别为PB，BC的中点，所以DE∥PC，…又DE⊄平面PAC，PC⊂平面PAC，故DE∥平面PAC．…（2）因为AP=AB，PD=DB，所以AD⊥PB，…因为平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC=AB，又BC⊥AB，BC⊂平面ABC，所以BC⊥平面PAB，…因为AD⊂平面PAB，所以AD⊥BC，…又PB∩BC=B，PB，BC⊂平面ABC，故AD⊥平面PBC，…因为DE⊂平面PBC，所以DE⊥AD．…17．已知圆C的内接矩形的一条对角线上的两个顶点坐标分别为P（1，﹣2），Q（3，4）．（1）求圆C的方程；（2）若直线y=2x+b被圆C截得的弦长为，求b的值．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）由已知可知PQ为圆C的直径，故可得圆心C的坐标，求出半径，即可求圆C的方程；（2）求出圆心C到直线y=2x+b的距离，利用直线y=2x+b被圆C截得的弦长为，建立方程，即可求b的值．【解答】解：（1）由已知可知PQ为圆C的直径，故圆心C的坐标为（2，1），…圆C的半径，…所以圆C的方程是：（x﹣2）2+（y﹣1）2=10．…（2）设圆心C到直线y=2x+b的距离是，…据题意得：，…即，解之得，b=2或b=﹣8．…18．某制瓶厂要制造一批轴截面如图所示的瓶子，瓶子是按照统一规格设计的，瓶体上部为半球体，下部为圆柱体，并保持圆柱体的容积为3π．设圆柱体的底面半径为x，圆柱体的高为h，瓶体的表面积为S．（1）写出S关于x的函数关系式，并写出定义域；（2）如何设计瓶子的尺寸（不考虑瓶壁的厚度），可以使表面积S最小，并求出最小值．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；函数解析式的求解及常用方法；函数的最值及其几何意义．【分析】（1）根据体积公式求出h，再根据表面积公式计算即可得到S与x的关系式，（2）根据导数和函数的最值得关系即可求出．【解答】解：（1）据题意，可知πx2h=3π，得，（2），令S′=0，得x=±1，舍负，当S′（x）＞0时，解得x＞1，函数S（x）单调递增，当S′（x）＜0时，解得0＜x＜1，函数S（x）单调递减，故当x=1时，函数有极小值，且是最小值，S（1）=9π答：当圆柱的底面半径为1时，可使表面积S取得最小值9π．19．已知二次函数h（x）=ax2+bx+c（c＜4），其导函数y=h'（x）的图象如图所示，函数f（x）=8lnx+h（x）．（1）求a，b的值；（2）若函数f（x）在区间（m，m+）上是单调增函数，求实数m的取值范围；（3）若对任意k∈[﹣1，1]，x∈（0，8]，不等式（k+1）x≥f（x）恒成立，求实数c 的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；二次函数的性质．【分析】（1）利用导函数y=h′（x）的图象确定a，b的值即可；（2）要使求函数f（x）在区间（m，m+）上是单调增函数，则f'（x）的符号没有变化，可以求得实数m的取值范围；（3）函数y=kx的图象总在函数y=f（x）图象的上方得到kx大于等于f（x），列出不等式，构造函数，求出函数的最小值即可得到c的范围．【解答】解：（1）二次函数h（x）=ax2+bx+c的导数为：y=h′（x）=2ax+b，由导函数y=h′（x）的图象可知，导函数y=h′（x）过点（5，0）和（0，﹣10），代入h′（x）=2ax+b得：b=﹣10，a=1；（2）由（1）得：h（x）=x2﹣10x+c，h′（x）=2x﹣10，f（x）=8lnx+h（x）=8lnx+x2﹣10x+c，f′（x）=+2x﹣10=，当x变化时（0，1）1（1，4）4（4，+∞）f'（x）+0﹣0+f（x）↗↘↗所以函数f（x）的单调递增区间为（0，1）和（4，+∞）．单调递减区间为（1，4），若函数在（m，m+）上是单调递增函数，则有或者m≥4，解得0≤m≤或m≥4；故m的范围是：[0，]∪[4，+∞）．（3）若对任意k∈[﹣1，1]，x∈（0，8]，不等式（k+1）x≥f（x）恒成立，即对k=﹣1时，x∈（0，8]，不等式c≤﹣x2﹣8lnx+10x恒成立，设g（x）=﹣x2﹣8lnx+10x，x∈（0，8]，则g′（x）=，x∈（0，8]，令g′（x）＞0，解得：1＜x＜4，令g′（x）＜0，解得：4＜x≤8或0＜x＜1，故g（x）在（0，1）递减，在（1，4）递增，在（4，8]递减，故g（x）的最小值是g（1）或g（8），而g（1）=9，g（8）=16﹣24ln3＜4＜9，c＜4，故c≤g（x）min=g（8）=16﹣24ln3，即c的取值范围是（﹣∞，16﹣24ln3]．20．把半椭圆=1（x≥0）与圆弧（x﹣c）2+y2=a2（x＜0）合成的曲线称作“曲圆”，其中F（c，0）为半椭圆的右焦点．如图，A1，A2，B1，B2分别是“曲圆”与x轴、y轴的交点，已知∠B1FB2=，扇形FB1A1B2的面积为．（1）求a，c的值；（2）过点F且倾斜角为θ的直线交“曲圆”于P，Q两点，试将△A1PQ的周长L表示为θ的函数；（3）在（2）的条件下，当△A1PQ的周长L取得最大值时，试探究△A1PQ的面积是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请求出面积的取值范围．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由扇形FB1A1B2的面积为可得a，在△OFB2中，tan∠OFB2=tan60°=，又因为c2+b2=a2，可得c．（2）分①当θ∈（0，）；②当θ∈（）；③当θ∈（，）求出△A1PQ的周长；（3）在（2）的条件下，当△A1PQ的周长L取得最大值时P、Q在半椭圆：（x≥0）上，利用弦长公式、点到直线的距离公式，表示面积，再利用单调性求出范围．【解答】解：（1）∵扇形FB1A1B2的面积为=，∴a=2，圆弧（x﹣c）2+y2=a2（x＜0）与y轴交点B2（0，b），在△OFB2中，tan∠OFB2=tan60°=，又因为c2+b2=a2，∴c=1．（2）显然直线PQ的斜率不能为0（θ∈（0，π）），故设PQ方程为：x=my+1由（1）得半椭圆方程为：（x≥0）与圆弧方程为：（x﹣1）2+y2=4（x＜0），且A1（﹣1，0）恰为椭圆的左焦点．①当θ∈（0，）时，P、Q分别在圆弧：（x﹣1）2+y2=4（x＜0）、半椭圆：（x≥0）上，△A1PO为腰为2的等腰三角形|A1P|=4sin，△A1PQ的周长L=|QA1|+|QF|+|PF|+|A1P|=2a+a+|A1P|=6+4sin，②当θ∈（）时，P、Q分别在圆弧：（x﹣1）2+y2=4（x＜0）、半椭圆：（x≥0）上，△A1PO为腰为2的等腰三角形|A1P|=4cos，△A1PQ的周长L=|QA1|+|QF|+|PF|+|A1P|=2a+a+|A1P|=6+4cos，③当θ∈（，）时，P、Q在半椭圆：（x≥0）上，△A1PO为腰为2的等腰三角形|A1P|=4sin，△A1PQ的周长L=|QA1|+|QF|+|PF|+|A1P|=4a=8（3）在（2）的条件下，当△A1PQ的周长L取得最大值时P、Q在半椭圆：（x≥0）上，联立得（3m2+4）y2+6my﹣9=0y1+y2=，y1y2=．|PQ|=，点A1到PQ的距离d=．△A1PQ的面积s=|PQ|•d=12．令m2+1=t，t∈[1，]，s=12=12；∵g（t）=9t+在[1，+]上递增，∴g（1）≤g（t）≤g（），；10≤g（t）≤，≤s≤3∴△A1PQ的面积不为定值，面积的取值范围为：[]2017年2月10日。
江苏省徐州市矿大附属中学2018年高二数学文上学期期末试题含解析
江苏省徐州市矿大附属中学2018年高二数学文上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 先后两次抛掷一枚骰子，在得到的点数之和不大于6的条件下，则先后出现的点数中有3的概率为( )A. B. C. D.参考答案：C略2. 在中，若，则是( ).A等边三角形 B直角三角形 C 等腰三角形 D等腰直角三角形参考答案：C3. 已知整数对的序号如下:,,,,,,则第70个数对是A.B. C.D.参考答案：D本题主要考查的是归纳推理,意在考查学生的逻辑推理能力和分析问题、解决问题的能力.由已知可得:点列的排列规律是的和从2开始,依次是3,4其中也依次增大.时只有1个整数对:(1,1);时有2个整数对: (1,2),(2,1);时有3个整数对: (1,3),(2,2),(3,1);时有10个整数对: (1,10),(2,9),(10,1);时有11个整数对: (1,11),(2,10),,(11,1);上面共有1+2+3+…+11=66个整数对:,时的整数对有(1,12),(2,11),(3,10),(4,9),…,(12,1)故第70个数对是(4,9).故选D.4. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，书中有一问题：“今有方物一束，外周一匝有三十二枚，问积几何？“该著作中提出了一种解决此问题的方法：“重置二位，左位减八，余加右位，至尽虚减一，即得．”通过对该题的研究发现，若一束方物外周一匝的枚数n是8的整数倍时，均可采用此方法求解，如图是解决这类问题的程序框图，若输入，则输出的结果为（）A. 23B. 47C. 24D. 48参考答案：B输入初始值n=24,则S=24；第一次循环：n=16,S=40；第二次循环：n=8,S=48；第三次循环：n=0,S=48,此时结束循环，输出S=47,故选B．5. 已知、分别是双曲线的左、右焦点,为双曲线上的一点,若,且的三边长成等差数列,则双曲线的离心率是( ). A. B. C.D.参考答案：D6. 执行如图所示的程序框图，输出的s值为（）A．－3 B．－ C. D．2参考答案：D略7. 已知集合A={x∈R||x|≤2}，B={x∈R|x≤1}，则A∩B=（）A．（﹣∞，2] B．[1，2] C．[﹣2，2] D．[﹣2，1]参考答案：D【考点】1E：交集及其运算．【分析】先化简集合A，解绝对值不等式可求出集合A，然后根据交集的定义求出A∩B即可．【解答】解：∵A={x||x|≤2}={x|﹣2≤x≤2}∴A∩B={x|﹣2≤x≤2}∩{x|x≤1，x∈R}={x|﹣2≤x≤1}故选D．8. 抛物线y2=4x的准线方程为（）A．x=2 B．x=﹣2 C．x=1 D．x=﹣1参考答案：D【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题．【分析】利用抛物线的标准方程，有2p=4，，可求抛物线的准线方程．【解答】解：抛物线y2=4x的焦点在x轴上，且，∴抛物线的准线方程是x=﹣1．故选D．【点评】本小题主要考查抛物线的标准方程、抛物线的简单性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想．属于基础题．9. 已知m为实数，i为虚数单位，若m+（m2﹣4）i＞0，则=（）A．i B．1 C．﹣i D．﹣1参考答案：A【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】由m+（m2﹣4）i＞0，得，求解得到m的值，然后代入，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：∵m+（m2﹣4）i＞0，∴，解得：m=2．则=．故选：A．10. 直线L1：ax+3y+1=0，L2：2x+（a+1）y+1=0，若L1∥L2，则a的值为（）A．﹣3 B．2 C．﹣3或2 D．3或﹣2参考答案：A【考点】两条直线平行的判定；两条直线平行与倾斜角、斜率的关系．【分析】由题意可知直线L1：ax+3y+1=0，斜率存在，直线L2：2x+（a+1）y+1=0，斜率相等求出a的值．【解答】解：直线L1：ax+3y+1=0的斜率为：，直线L1∥L2，所以L2：2x+（a+1）y+1=0的斜率为：所以=；解得a=﹣3，a=2（舍去）故选A．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知矩形ABCD中，AB=2，AD=4，E，F分别在线段AD，BC上，且AE=1，BF=3．如图所示，沿EF将四边形AEFB翻折成，则在翻折过程中，二面角的正切值的最大值为▲．参考答案：12. 双曲线的准线方程为。
2018年江苏省徐州市睢宁官山中学高二数学文上学期期末试题含解析
2018年江苏省徐州市睢宁官山中学高二数学文上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知椭圆，则椭圆的焦距长为（）(A). 1 (B). 2 (C).(D).参考答案：D略2. 若随机变量的概率分布如下表，则表中的值为（）A． B． C．D．参考答案：B略3. 如图所示，程序框图的输出结果为A. B. C. D.参考答案：A4. 若过点（﹣，0）的直线L与曲线y=有公共点，则直线L的斜率的取值范围为（）A．[﹣，] B．[﹣，0] C．[0，] D．[0，]参考答案：D【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】把曲线方程变形，设出过点（﹣，0）且与半圆x2+y2=1（﹣1≤x≤1，y≥0）相切的直线的方程，由圆心到直线的距离等于圆的半径求得答案．【解答】解：由y=，得x2+y2=1（﹣1≤x≤1，y≥0），作出图象如图，设过点（﹣，0）且与半圆x2+y2=1（﹣1≤x≤1，y≥0）相切的直线的斜率为k（k＞0），则直线方程为y=k（x+），即kx﹣y+．由，解得k=（k＞0）．∴直线L的斜率的取值范围为[0，]．故选：D．5. 设等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足，，则中最大项为（）A. B. C. D.参考答案：B试题分析：是单调递减数列，时，时，所以最大考点：1．等差数列性质；2．等差数列求和公式6. 已知是定义在R上的函数，且，当时，，若方程有两个不等实根，那么实数a的值为（）A. B.C. D.参考答案：A略7. 等差数列{a n}的通项公式是a n＝1－2n，其前n项和为S n，则数列{}的前11项和为()A.－45B.－50C.－55D.－66参考答案：D8. 若执行如图所示的程序框图，则输出S的值为（）A. －9B. －16C. －25D. －36参考答案：D【分析】执行循环结构的程序框图，逐次运算，根据判断条件终止循环，即可得到运算结果，得到答案.【详解】由题意，执行循环结构的程序框图，可知：第一次运行时，；第二次运行时，；第三次运行时，；第四次运行时，；第五次运行时，；第六次运行时，，此时刚好满足，所以输出S的值为－36.故选D.【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出问题，其中解答中熟练应用给定的程序框图，逐次运算，根据判断条件，终止循环得到结果是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.9. 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为１，点M在棱AB上，且,点P是ABCD面内的动点，且点P到直线A1D1的距离与点P到点M的距离的平方差为１，则点P的轨迹是（）（A）抛物线（B）双曲线（C）直线（D）以上都不是参考答案：A10. a，b满足a＋2b＝1，则直线ax＋3y＋b＝0必过定点( )．A．B．C．D．参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 设双曲线（,）的渐近线与抛物线相切，则该双曲线的离心率等于_________.参考答案：略12. 若x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为．参考答案：8【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z 的最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即A（3，2）将A（3，2）的坐标代入目标函数z=2x+y，得z=2×3+2=8．即z=2x+y的最大值为8．故答案为：8．13. 已知双曲线C与双曲线有共同的渐近线，且C经过点，则双曲线C的实轴长为．参考答案：3【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；规律型；方程思想；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由双曲线C与双曲线有共同的渐近线，设出方程，把点，代入求出λ再化简即可．【解答】解：由题意双曲线C与双曲线有共同的渐近线，设所求的双曲线的方程为（λ≠0），因为且C经过点，所以1﹣=λ，即λ=，代入方程化简得，，双曲线C的实轴长为：3．故答案为：3．【点评】本题考查双曲线特有的性质：渐近线，熟练掌握双曲线有共同渐近线的方程特点是解题的关键．14. 若且，则实数的值是．参考答案：略15. 函数f(x)＝ln x－x的单调递增区间为________．参考答案：(0,1)16. 若椭圆：（）和椭圆：（）的焦点相同且.给出如下四个结论：椭圆和椭圆一定没有公共点；②；③ ；④.其中，所有正确结论的序号是____________.参考答案：①③④略17. 已知双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线过点，且双曲线的一个焦点为，则双曲线的方程为．参考答案：【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用双曲线的渐近线结果的点，可得a，b关系式，利用焦点坐标求出c，然后求解a，b即可得到双曲线方程．【解答】解：双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线过点，可得2b=，双曲线的一个焦点为，可得c=，即a2+b2=7，解得a=2，b=，所求的椭圆方程为：．故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共72分。
江苏省徐州市丰县广宇中学2018年高二数学文上学期期末试卷含解析
江苏省徐州市丰县广宇中学2018年高二数学文上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知，则下列正确的是A. B. C. D.参考答案：C2. 下列命题是真命题的是（）参考答案：D略3. 下列三个数：，，，大小顺序正确的是（）A. B. C. D.参考答案：A【分析】将与化成相同的真数，然后利用换底公式与对数函数的单调性比较的大小，然后再利用中间量比较的大小，从而得出三者的大小．【详解】解：因为，且，所以，因为，所以．故选：A．【点睛】本题考查三个数的大小的判断，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4. 已知函数f（x）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式可能为( )A．f（x）=2cos（﹣）B．f（x）=cos（4x+） C．f（x）=2sin（﹣）D．f（x）=2sin（4x+）参考答案：A考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：计算题；压轴题．分析：根据函数图象求出A，T，求出ω，利用点（0，1）在曲线上，求出φ，得到解析式，判定选项即可．解答：解：设函数f（x）=Asin（ωx+φ），由函数的最大值为2知A=2，又由函数图象知该函数的周期T=4×（﹣）=4π，所以ω=，将点（0，1）代入得φ=，所以f（x）=2sin（x+）=2cos（x﹣）．故选A点评：本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，正确视图，选择适当的点的坐标，能够简化计算过程，本题中诱导公式的应用，也为正确结果的选取设置了障碍．5. 函数的定义域是（）A. B. C.D.参考答案：B6. 已知向量a＝(1，k)，b＝(2,2)，且a＋b与a共线，那么a·b的值为()A．1 B．2C．3 D．4参考答案：D7. 下列命题中，其中是假命题的是（）A．“是函数的一个周期”或“2是函数的一个周期”B．“”是“函数不存在零点”的充分不必要条件C．“若，则”的否命题D．“任意，函数在定义域内单调递增”的否定参考答案：B8. 双曲线的渐近线方程是（）A． B． C． D．参考答案：A2x+m=0有两个不相等的实根，则实数m的取值范围是（．﹣＜m＜1C．﹣＜m＜0或0＜m＜1DC略10. 从集合中随机选取一个数记为，从集合中随机选取一个数记为，则直线不经过第三象限的概率为 ( )A． B. C.D.参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 某班有男生25名，女生20名，采用分层抽样的方法从这45名学生中抽取一个容量为18的样本，则应抽取的女生人数为名.参考答案：812. .观察下列式子：根据以上式子可以猜想：__________．参考答案：【分析】确定的不等式的左边各式分子是1，分母值自然数的平方和，右边分母与最后一项的分母相同，分子是以3为首项，2为公差的等差数列，即可求解．【详解】由已知中的不等式可知不等式的左边各式分子是1，分母值自然数的平方和，右边分母与最后一项的分母相同，分子是以3为首项，2为公差的等差数列，所以不等式右边的第2018项为所以．【点睛】本题考查了合情推理，对于合情推理主要包括归纳推理和类比推理．数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向．合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定正确．而演绎推理得到的结论一定正确(前提和推理形式都正确的前提下)．13. 黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：则第n个图案中有白色地面砖块参考答案：4n+2【考点】F1：归纳推理．【分析】通过已知的几个图案找出规律，可转化为求一个等差数列的通项公式问题即可．【解答】解：第1个图案中有白色地面砖6块；第2个图案中有白色地面砖10块；第3个图案中有白色地面砖14块；…设第n个图案中有白色地面砖n块，用数列{a n}表示，则a1=6，a2=10，a3=14，可知a2﹣a1=a3﹣a2=4，…可知数列{a n}是以6为首项，4为公差的等差数列，∴a n=6+4（n﹣1）=4n+2．故答案为4n+2．【点评】由已知的几个图案找出规律转化为求一个等差数列的通项公式是解题的关键．14. 在△ABC中，若A：B：C=1：2：3，则a：b：c= ．参考答案：1：：2．【考点】正弦定理．【专题】解三角形．【分析】由三角形的内角和以及三个角的比例关系，求出三个角，利用正弦定理即可求出比值．【解答】解：∵A：B：C=1：2：3，A+B+C=180°∴A=30°，B=60°，C=90°，∴由正弦定理，得：．∴a：b：c=1：：2故答案为：1：：2．【点评】此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．15. 设x，y满足约束条件，的最大值为______.参考答案：【分析】根据不等式组作出可行域，再由线性目标函数的几何意义求得.【详解】作出不等式组表示的平面区域如图所示．平移直线，由图可知当直线经过点时，取得最大值．【点睛】本题考查线性规则问题，考查数形结合的思想，属于基础题.16. 抛物线y=4x2的准线方程为．参考答案：【考点】抛物线的简单性质．【分析】先把抛物线方程整理成标准方程，进而求得p，再根据抛物线性质得出准线方程．【解答】解：整理抛物线方程得x2=y，∴p=∵抛物线方程开口向上，∴准线方程是y=﹣故答案为：．17. 若直线被两条平行直线与所截得的线段长为，则直线的倾斜角等于______________．参考答案：()略三、解答题：本大题共5小题，共72分。
江苏徐州18-19高二上学期年末考试--数学(文科)
江苏徐州18-19高二上学期年末考试--数学（文科）高二数学试题(文科)参考公式：球的表面积为24R S π=，其中R 表示球的半径、 锥体的体积ShV 31= ，其中S 为底面积，h 为高、 【一】填空题：本大题共14小题。
每题5分。
共计70分、请把答案填写在答题纸相应位置上2、直线03=+-y x 的倾斜角为、3、抛物线x y 42=的焦点坐标是、4、双曲线19422=-y x 的渐近线方程是、 5、球O 的半径为3，那么球O 的表面积为、6、假设一个正三棱锥的高为5，底面边长为6，那么那个正三棱锥的体积为、7、函数2)(x x f =在点(1，)1(f )处的切线方程为、8、假设直线022=+-y ax 与直线01)3(=+-+y a x 平行，那么实数a 的值等于、 9、圆m y x =+22与圆0118622=--++y x y x 相内切，那么实数m 的值为、 10、直线013=++y x 和圆03222=--+x y x 相交于A ，B 两点，那么线段AB 的垂直平分线的方程是。
11、两条直线0411=++y b x a 和0422=++y b x a 都过点A (2，3)，那么过两点),(111b a P ，),(222b a P 的直线的方程为.12、1F 是椭圆192522=+y x 的左焦点，P 是椭圆上的动点，)1,1(A 是一定点，那么1PF PA +的最大值为、13、如图，c AB 2=(常数0>c )，以AB 为直径的圆有一内接梯形ABCD ，且CD AB //，假设椭圆以A ，B 为焦点，且过C ，D 两点，那么当梯形ABCD 的周长最大时，椭圆的离心率为、 14、设函数xx f 1)(=，bx ax x g +=2)(，假设)(x f y =的图象与)(x g y =的图象有且仅有两个不同的公共点，那么当)1,0(∈b 时，实数a 的取值范围为、【二】解答题：本大题共6小题，共计90分、请在答题纸制定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤、 15、(本小题总分值14分)如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，E ，F 分别为棱AD ，AB 的中点、(1)求证：EF ∥平面11D CB ；(2)求证：平面11C CAA ⊥平面11D CB 、16、(本小题总分值l4分)圆C 通过三点)0,0(O ，)3,1(A ，)0,4(B 、 (1)求圆C 的方程；(2)求过点)6,3(P 且被圆C 截得弦长为4的直线的方程、 17、(本小题总分值14分)0>m ，命题)3)(2(-+x x p ：≤0，命题m q -1：≤x ≤m +1、(1)假设q ⌝是p ⌝的必要条件，求实数m 的取值范围；(2)假设7=m ，“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，求实数m 的取值范围、 18、(本小题总分值l6分)现有一张长80厘米、宽60厘米的长方形ABCD 铁皮，预备用它做成一只无盖长方体铁皮盒，要求材料利用率为l00％，不考虑焊接处损失、方案一：如图(1)，从右侧两个角上剪下两个小正方形，焊接到左侧中闻，沿虚线折起，求如今铁皮盒的体积；方案二：如图(2)，假设从长方形ABCD 的一个角上剪下一块正方形铁皮，作为铁皮盒的底面，用余下材料剪拼后作为铁皮盒的侧面，求该铁皮盒体积的最大值，并说明如何剪拼?。
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2018-2018学年江苏省徐州市高二（上）期末数学试卷（文科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．命题p“∀x∈R，sinx≤1”的否定是．2．准线方程x=﹣1的抛物线的标准方程为．3．底面半径为1高为3的圆锥的体积为．4．双曲线的一条渐近线方程为y=x，则实数m的值为．5．若直线l1：x+4y﹣1=0与l2：kx+y+2=0互相垂直，则k的值为．6．函数f（x）=x3﹣3x的单调减区间为．7．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，与AB异面且垂直的棱共有条．8．已知函数f（x）=cosx+sinx，则的值为．9．“a=b”是“a2=b2”成立的条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分又不必要”）10．若圆x2+y2=4与圆（x﹣t）2+y2=1外切，则实数t的值为．11．如图，直线l是曲线y=f（x）在点（4，f（4））处的切线，则f（4）+f'（4）的值等于．12．椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，若椭圆上存在点P，满足∠F1PF2=120°，则该椭圆的离心率的取值范围是．13．已知A（3，1），B（﹣4，0），P是椭圆上的一点，则PA+PB的最大值为．14．已知函数f（x）=lnx，g（x）=﹣2x，当x＞2时k（x﹣2）＜xf（x）+2g'（x）+3恒成立，则整数k最大值为．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．已知命题p：方程x2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根；命题q：2m+1＜4．（1）若p为真命题，求实数m的取值范围；（2）若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数m的取值范围．16．在三棱锥P﹣ABC中，AP=AB，平面PAB⊥平面ABC，∠ABC=90°，D，E分别为PB，BC的中点．（1）求证：DE∥平面PAC；（2）求证：DE⊥AD．17．已知圆C的内接矩形的一条对角线上的两个顶点坐标分别为P（1，﹣2），Q （3，4）．（1）求圆C的方程；（2）若直线y=2x+b被圆C截得的弦长为，求b的值．18．某制瓶厂要制造一批轴截面如图所示的瓶子，瓶子是按照统一规格设计的，瓶体上部为半球体，下部为圆柱体，并保持圆柱体的容积为3π．设圆柱体的底面半径为x，圆柱体的高为h，瓶体的表面积为S．（1）写出S关于x的函数关系式，并写出定义域；（2）如何设计瓶子的尺寸（不考虑瓶壁的厚度），可以使表面积S最小，并求出最小值．19．已知二次函数h（x）=ax2+bx+c（c＜4），其导函数y=h'（x）的图象如图所示，函数f（x）=8lnx+h（x）．（1）求a，b的值；（2）若函数f（x）在区间（m，m+）上是单调增函数，求实数m的取值范围；（3）若对任意k∈[﹣1，1]，x∈（0，8]，不等式（k+1）x≥f（x）恒成立，求实数c的取值范围．20．把半椭圆=1（x≥0）与圆弧（x﹣c）2+y2=a2（x＜0）合成的曲线称作“曲圆”，其中F（c，0）为半椭圆的右焦点．如图，A1，A2，B1，B2分别是“曲圆”与x轴、y轴的交点，已知∠B1FB2=，扇形FB1A1B2的面积为．（1）求a，c的值；（2）过点F且倾斜角为θ的直线交“曲圆”于P，Q两点，试将△A1PQ的周长L 表示为θ的函数；（3）在（2）的条件下，当△A1PQ的周长L取得最大值时，试探究△A1PQ的面积是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请求出面积的取值范围．2018-2018学年江苏省徐州市高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．命题p“∀x∈R，sinx≤1”的否定是∃x∈R，sinx＞1．【考点】命题的否定．【分析】直接把语句进行否定即可，注意否定时∀对应∃，≤对应＞．【解答】解：根据题意我们直接对语句进行否定命题p“∀x∈R，sinx≤1”的否定是：∃x∈R，sinx＞1．故答案为：∃x∈R，sinx＞1．2．准线方程x=﹣1的抛物线的标准方程为y2=4x．【考点】抛物线的标准方程．【分析】直接由抛物线的准线方程设出抛物线方程，再由准线方程求得p，则抛物线标准方程可求．【解答】解：∵抛物线的准线方程为x=﹣1，∴可设抛物线方程为y2=2px（p＞0），由准线方程x=﹣，得p=2．∴抛物线的标准方程为y2=4x．故答案为：y2=4x．3．底面半径为1高为3的圆锥的体积为π．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】利用圆锥的体积公式，能求出结果．【解答】解：底面半径为1高为3的圆锥的体积为：V==π．故答案为：π．4．双曲线的一条渐近线方程为y=x，则实数m的值为6．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据题意，由双曲线的标准方程可得该双曲线的焦点在x轴上，且a=，b=，可得其渐近线方程为y=±x，进而结合题意可得=1，解可得m的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，双曲线的标准方程为：，则其焦点在x轴上，且a=，b=，故其渐近线方程为y=±x，又由该双曲线的一条渐近线方程为y=x，则有=1，解可得m=6；故答案为：6．5．若直线l1：x+4y﹣1=0与l2：kx+y+2=0互相垂直，则k的值为﹣4．【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】利用直线与直线垂直的性质求解．【解答】解：∵直线l1：x+4y﹣1=0与l2：kx+y+2=0互相垂直互相垂直，∴﹣•（﹣k）=﹣1，解得k=﹣4故答案为：﹣46．函数f（x）=x3﹣3x的单调减区间为（﹣1，1）．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】求函数的导函数，令导函数小于零，解此不等式即可求得函数y=x3﹣3x 的单调递减区间．【解答】解：令y′=3x2﹣3＜0解得﹣1＜x＜1，∴函数y=x3﹣3x的单调递减区间是（﹣1，1）．故答案为：（﹣1，1）．7．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，与AB异面且垂直的棱共有4条．【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】画出正方体，利用数形结合思想能求出结果．【解答】解：如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，与AB异面且垂直的棱有：DD1，CC1，A1D1，B1C1，共4条．故答案为：4．8．已知函数f（x）=cosx+sinx，则的值为0．【考点】导数的运算．【分析】求函数的导数，利用代入法进行求解即可．【解答】解：函数的导数为f′（x）=﹣sinx+cosx，则f′（）=﹣sin+cos=﹣+=0，故答案为：09．“a=b”是“a2=b2”成立的充分不必要条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分又不必要”）【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】结合充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：若a2=b2，则a=b或a=﹣b，即a=b”是“a2=b2”成立的充分不必要条件，故答案为：充分不必要．10．若圆x2+y2=4与圆（x﹣t）2+y2=1外切，则实数t的值为±3．【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【分析】利用圆x2+y2=4与圆（x﹣t）2+y2=1外切，圆心距等于半径的和，即可求出实数t的值．【解答】解：由题意，圆心距=|t|=2+1，∴t=±3，故答案为±3．11．如图，直线l是曲线y=f（x）在点（4，f（4））处的切线，则f（4）+f'（4）的值等于．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；导数的运算．【分析】根据题意，结合函数的图象可得f（4）=5，以及直线l过点（0，3）和（4，5），由直线的斜率公式可得直线l的斜率k，进而由导数的几何意义可得f′（4）的值，将求得的f（4）与f′（4）的值相加即可得答案．【解答】解：根据题意，由函数的图象可得f（4）=5，直线l过点（0，3）和（4，5），则直线l的斜率k==又由直线l是曲线y=f（x）在点（4，f（4））处的切线，则f′（4）=，则有f（4）+f'（4）=5+=；故答案为：．12．椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，若椭圆上存在点P，满足∠F1PF2=120°，则该椭圆的离心率的取值范围是[，1）．【考点】椭圆的简单性质．【分析】如图根据椭圆的性质可知，∠F1PF2当点P在短轴顶点（不妨设上顶点A）时最大，要椭圆上存在点P，满足∠F1PF2=120°，∠F1AF2≥120°，∠F1AO≥60°，即可，【解答】解：如图根据椭圆的性质可知，∠F1PF2当点P在短轴顶点（不妨设上顶点A）时最大，要椭圆上存在点P，满足∠F1PF2=120°，∠F1AF2≥120°，∠F1AO≥60°，tan∠F1AO=，故椭圆离心率的取范围是[，1）故答案为[，1）13．已知A（3，1），B（﹣4，0），P是椭圆上的一点，则PA+PB的最大值为．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由题意画出图形，可知B为椭圆的左焦点，A在椭圆内部，设椭圆右焦点为F，借助于椭圆定义，把|PA|+|PB|的最大值转化为椭圆上的点到A的距离与F距离差的最大值求解．【解答】解：由椭圆方程，得a2=25，b2=9，则c2=16，∴B（﹣4，0）是椭圆的左焦点，A（3，1）在椭圆内部，如图：设椭圆右焦点为F，由题意定义可得：|PB|+|PF|=2a=10，则|PB|=10﹣|PF|，∴|PA|+|PB|=10+（|PA|﹣|PF|）．连接AF并延长，交椭圆与P，则此时|PA|﹣|PF|有最大值为|AF|=∴|PA|+|PB|的最大值为10+．故答案为：10+14．已知函数f（x）=lnx，g（x）=﹣2x，当x＞2时k（x﹣2）＜xf（x）+2g'（x）+3恒成立，则整数k最大值为5．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】k（x﹣2）＜xf（x）+2g′（x）+3恒成立，等价于k（x﹣2）＜xlnx+2（x ﹣2）+3对一切x∈（2，+∞）恒成立，分离参数，从而可转化为求函数的最小值问题，利用导数即可求得，即可求实数a的取值范围．【解答】解：因为当x＞2时，不等式k（x﹣2）＜xf（x）+2g′（x）+3恒成立，即k（x﹣2）＜xlnx+2（x﹣2）+3对一切x∈（2，+∞）恒成立，亦即k＜=+2对一切x∈（2，+∞）恒成立，所以不等式转化为k＜+2对任意x＞2恒成立．设p（x）=+2，则p′（x）=，令r（x）=x﹣2lnx﹣5（x＞2），则r′（x）=1﹣=＞0，所以r（x）在（2，+∞）上单调递增．因为r（9）=4（1﹣ln3）＜0，r（10）=5﹣2ln10＞0，所以r（x）=0在（2，+∞）上存在唯一实根x0，且满足x0∈（9，10），当2＜x＜x0时，r（x）＜0，即p′（x）＜0；当x＞x0时，r（x）＞0，即p′（x）＞0．所以函数p（x）在（2，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，又r（x0）=x0﹣2lnx0﹣5=0，所以2lnx0=x0﹣5．所以[p（x）]min=p（x0）=+2=+2∈（5，6），所以k＜[p（x）]min∈（5，6），故整数k的最大值是5．故答案为：5．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．已知命题p：方程x2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根；命题q：2m+1＜4．（1）若p为真命题，求实数m的取值范围；（2）若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数m的取值范围．【考点】命题的真假判断与应用；复合命题的真假．【分析】（1）若p为真命题，则应有△=8﹣4m＞0，解得实数m的取值范围；（2）若p∨q为真命题，p∧q为假命题，则p，q应一真一假，进而实数m的取值范围．【解答】解：（1）若p为真命题，则应有△=8﹣4m＞0，…解得m＜2．…（2）若q为真命题，则有m+1＜2，即m＜1，…因为p∨q为真命题，p∧q为假命题，则p，q应一真一假．…①当p真q假时，有，得1≤m＜2；…②当p假q真时，有，无解．…综上，m的取值范围是[1，2）．…（注：若借助数轴观察且得出正确答案，则给满分，否则不得分）16．在三棱锥P﹣ABC中，AP=AB，平面PAB⊥平面ABC，∠ABC=90°，D，E分别为PB，BC的中点．（1）求证：DE∥平面PAC；（2）求证：DE⊥AD．【考点】直线与平面平行的判定．【分析】（1）推导出DE∥PC，由此能证明DE∥平面PAC．（2）推导出AD⊥PB，BC⊥AB，从而AD⊥BC，进而AD⊥平面PBC，由此能证明DE⊥AD．【解答】证明：（1）因为D，E分别为PB，BC的中点，所以DE∥PC，…又DE⊄平面PAC，PC⊂平面PAC，故DE∥平面PAC．…（2）因为AP=AB，PD=DB，所以AD⊥PB，…因为平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC=AB，又BC⊥AB，BC⊂平面ABC，所以BC⊥平面PAB，…因为AD⊂平面PAB，所以AD⊥BC，…又PB∩BC=B，PB，BC⊂平面ABC，故AD⊥平面PBC，…因为DE⊂平面PBC，所以DE⊥AD．…17．已知圆C的内接矩形的一条对角线上的两个顶点坐标分别为P（1，﹣2），Q （3，4）．（1）求圆C的方程；（2）若直线y=2x+b被圆C截得的弦长为，求b的值．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）由已知可知PQ为圆C的直径，故可得圆心C的坐标，求出半径，即可求圆C的方程；（2）求出圆心C到直线y=2x+b的距离，利用直线y=2x+b被圆C截得的弦长为，建立方程，即可求b的值．【解答】解：（1）由已知可知PQ为圆C的直径，故圆心C的坐标为（2，1），…圆C的半径，…所以圆C的方程是：（x﹣2）2+（y﹣1）2=10．…（2）设圆心C到直线y=2x+b的距离是，…据题意得：，…即，解之得，b=2或b=﹣8．…18．某制瓶厂要制造一批轴截面如图所示的瓶子，瓶子是按照统一规格设计的，瓶体上部为半球体，下部为圆柱体，并保持圆柱体的容积为3π．设圆柱体的底面半径为x，圆柱体的高为h，瓶体的表面积为S．（1）写出S关于x的函数关系式，并写出定义域；（2）如何设计瓶子的尺寸（不考虑瓶壁的厚度），可以使表面积S最小，并求出最小值．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；函数解析式的求解及常用方法；函数的最值及其几何意义．【分析】（1）根据体积公式求出h，再根据表面积公式计算即可得到S与x的关系式，（2）根据导数和函数的最值得关系即可求出．【解答】解：（1）据题意，可知πx2h=3π，得，（2），令S′=0，得x=±1，舍负，当S′（x）＞0时，解得x＞1，函数S（x）单调递增，当S′（x）＜0时，解得0＜x＜1，函数S（x）单调递减，故当x=1时，函数有极小值，且是最小值，S（1）=9π答：当圆柱的底面半径为1时，可使表面积S取得最小值9π．19．已知二次函数h（x）=ax2+bx+c（c＜4），其导函数y=h'（x）的图象如图所示，函数f（x）=8lnx+h（x）．（1）求a，b的值；（2）若函数f（x）在区间（m，m+）上是单调增函数，求实数m的取值范围；（3）若对任意k∈[﹣1，1]，x∈（0，8]，不等式（k+1）x≥f（x）恒成立，求实数c的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；二次函数的性质．【分析】（1）利用导函数y=h′（x）的图象确定a，b的值即可；（2）要使求函数f（x）在区间（m，m+）上是单调增函数，则f'（x）的符号没有变化，可以求得实数m的取值范围；（3）函数y=kx的图象总在函数y=f（x）图象的上方得到kx大于等于f（x），列出不等式，构造函数，求出函数的最小值即可得到c的范围．【解答】解：（1）二次函数h（x）=ax2+bx+c的导数为：y=h′（x）=2ax+b，由导函数y=h′（x）的图象可知，导函数y=h′（x）过点（5，0）和（0，﹣10），代入h′（x）=2ax+b得：b=﹣10，a=1；（2）由（1）得：h（x）=x2﹣10x+c，h′（x）=2x﹣10，f（x）=8lnx+h（x）=8lnx+x2﹣10x+c，f′（x）=+2x﹣10=，当x变化时所以函数f（x）的单调递增区间为（0，1）和（4，+∞）．单调递减区间为（1，4），若函数在（m，m+）上是单调递增函数，则有或者m≥4，解得0≤m≤或m≥4；故m的范围是：[0，]∪[4，+∞）．（3）若对任意k∈[﹣1，1]，x∈（0，8]，不等式（k+1）x≥f（x）恒成立，即对k=﹣1时，x∈（0，8]，不等式c≤﹣x2﹣8lnx+10x恒成立，设g（x）=﹣x2﹣8lnx+10x，x∈（0，8]，则g′（x）=，x∈（0，8]，令g′（x）＞0，解得：1＜x＜4，令g′（x）＜0，解得：4＜x≤8或0＜x＜1，故g（x）在（0，1）递减，在（1，4）递增，在（4，8]递减，故g（x）的最小值是g（1）或g（8），而g（1）=9，g（8）=16﹣24ln3＜4＜9，c＜4，故c≤g（x）min=g（8）=16﹣24ln3，即c的取值范围是（﹣∞，16﹣24ln3]．20．把半椭圆=1（x≥0）与圆弧（x﹣c）2+y2=a2（x＜0）合成的曲线称作“曲圆”，其中F（c，0）为半椭圆的右焦点．如图，A1，A2，B1，B2分别是“曲圆”与x轴、y轴的交点，已知∠B1FB2=，扇形FB1A1B2的面积为．（1）求a，c的值；（2）过点F且倾斜角为θ的直线交“曲圆”于P，Q两点，试将△A1PQ的周长L 表示为θ的函数；（3）在（2）的条件下，当△A1PQ的周长L取得最大值时，试探究△A1PQ的面积是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请求出面积的取值范围．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由扇形FB 1A 1B 2的面积为可得a ，在△OFB 2中，tan ∠OFB 2=tan60°=，又因为c 2+b 2=a 2，可得c ．（2）分 ①当θ∈（0，）； ②当θ∈（）； ③当θ∈（，）求出△A 1PQ 的周长；（3）在（2）的条件下，当△A 1PQ 的周长L 取得最大值时P 、Q 在半椭圆：（x ≥0）上，利用弦长公式、点到直线的距离公式，表示面积，再利用单调性求出范围．【解答】解：（1）∵扇形FB 1A 1B 2的面积为=，∴a=2，圆弧（x﹣c ）2+y 2=a 2（x ＜0）与y 轴交点B 2（0，b ），在△OFB 2中，tan ∠OFB 2=tan60°=，又因为c 2+b 2=a 2，∴c=1．（2）显然直线PQ 的斜率不能为0（θ∈（0，π）），故设PQ 方程为：x=my +1由（1）得半椭圆方程为：（x ≥0）与圆弧方程为：（x ﹣1）2+y 2=4（x＜0），且A 1（﹣1，0）恰为椭圆的左焦点．①当θ∈（0，）时，P 、Q 分别在圆弧：（x ﹣1）2+y 2=4（x ＜0）、半椭圆：（x ≥0）上，△A 1PO 为腰为2的等腰三角形|A 1P |=4sin，△A1PQ的周长L=|QA1|+|QF|+|PF|+|A1P|=2a+a+|A1P|=6+4sin，②当θ∈（）时，P、Q分别在圆弧：（x﹣1）2+y2=4（x＜0）、半椭圆：（x≥0）上，△A1PO为腰为2的等腰三角形|A1P|=4cos，△A1PQ的周长L=|QA1|+|QF|+|PF|+|A1P|=2a+a+|A1P|=6+4cos，③当θ∈（，）时，P、Q在半椭圆：（x≥0）上，△A1PO为腰为2的等腰三角形|A1P|=4sin，△A1PQ的周长L=|QA1|+|QF|+|PF|+|A1P|=4a=8（3）在（2）的条件下，当△A1PQ的周长L取得最大值时P、Q在半椭圆：（x≥0）上，联立得（3m2+4）y2+6my﹣9=0y1+y2=，y1y2=．|PQ|=，点A1到PQ的距离d=．△A1PQ的面积s=|PQ|•d=12．令m2+1=t，t∈[1，]，s=12=12；∵g（t）=9t+在[1，+]上递增，∴g（1）≤g（t）≤g（），；10≤g（t）≤，≤s≤3∴△A1PQ的面积不为定值，面积的取值范围为：[]2018年2月10日。