二次函数专题复习经典

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二次函数专题复习

二次函数专题一：二次函数的图象与性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a =-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a =-时，y 有最大值244ac b a-．考点1.二次函数图象的对称轴和顶点坐标二次函数的图象是一条抛物线，它的对称轴是直线x=-2b a ，顶点坐标是（-2b a ，244ac b a-）.例 1 已知，在同一直角坐标系中，反比例函数5y x=与二次函数22y x x c =-++的图像交于点(1)A m -，．（1）求m 、c 的值；（2）求二次函数图像的对称轴和顶点坐标.例2．已知二次函数y=－x 2+2x+c 2的对称轴和x 轴相交于点（m ，0），则m 的值为______． 3．（2006，大连）右图是二次函数y 1=ax 2+bx+c 和一次函数y 2=mx+n 的图像，•观察图像写出y 2≥y 1时，x 的取值范围_______．考点2.抛物线与a 、b 、c 的关系、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1. 二次项系数a2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧；当0b =时，02ba -=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧．⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即当0b >时，02ba ->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧；当0b =时，02ba -=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，0b-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧．3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负．例2 在同一直角坐标系中，函数y=mx+m 和y=－mx 2+2x+2（m 是常数，•且m ≠0）的图像可能是（）３.二次函数c bx ax y ＋＋＝2的图象如图所示，则下列结论正确的是（A ．a ＞0，b ＜0，c ＞0B ．a ＜0，b ＜0，c ＞0C ．a ＜0，b ＞0，c ＜0D ．a ＜0，b ＞0，c ＞04 二次函数y=ax 2+bx+c 的图像如图所示，•则下列关系式不正确的是（）A ．a<0B ．abc>0C ．a+b+c<0D ．b 2－4ac>0考点3.二次函数的平移当k>0（k<0）时，抛物线y=ax 2+k （a ≠0）的图象可由抛物线y=ax 2向上（或向下）平移|k|个单位得到；当h>0（h<0）时，抛物线y=a （x-h ）2（a ≠0）的图象可由抛物线y=ax 2向右（或向左）平移|h|个单位得到.例3 把抛物线y=3x 2向上平移2个单位，得到的抛物线是（） A.y=3（x+2）2 B.y=3（x-2）2 C.y=3x 2+2 D.y=3x 2-2 例3 抛物线y=－2x 2－4x －5经过平移得到y=－2x 2，平移方法是（） A ．向左平移1个单位，再向下平移3个单位 B ．向左平移1个单位，再向上平移3个单位 C ．向右平移1个单位，再向下平移3个单位 D ．向右平移1个单位，再向上平移3个单位二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达1. 关于x 轴对称2y a x b x c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y a x b x c =---； ()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y a x b x c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y a x b x c =-+； ()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y a x b x c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y a x b x c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-；专题练习一 1.对于抛物线y=13-x 2+103x 163-，下列说法正确的是（） A.开口向下，顶点坐标为（5，3） B.开口向上，顶点坐标为（5，3） C.开口向下，顶点坐标为（-5，3） D.开口向上，顶点坐标为（-5，3）2.若抛物线y=x 2-2x+c 与y 轴的交点为（0，-3），则下列说法不正确的是（） A.抛物线开口向上 B.抛物线的对称轴是x=1 C.当x=1时，y 的最大值为-4D.抛物线与x 轴交点为（-1，0），（3，0）3.将二次函数y=x 2的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度后，所得图象的函数表达式是________.4.小明从图2所示的二次函数2y ax bx c =++的图象中，观察得出了下面五条信息：①0c <；②0abc >；③0a b c -+>；④230a b -=；⑤40c b ->，你认为其中正确信息的个数有_______.（填序号）专题复习二：二次函数表达式的确定本专题主要涉及二次函数的三种表示方法以及根据题目的特点灵活选用方法确定二次函数的表达式.题型多以解答题为主.考点1.根据实际问题模型确定二次函数表达式例1 如图1，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度不限）的矩形菜园ABCD ，设AB 边长为x 米，则菜园的面积y （单位：米2）与x （单位：米）的函数关系式为（不要求写出自变量x 的取值范围）．考点2.根据抛物线上点的坐标确定二次函数表达式1.若已知抛物线上三点的坐标，则可用一般式：y=ax 2+bx+c （a ≠0）；2.若已知抛物线的顶点坐标或最大（小）值及抛物线上另一个点的坐标，则可用顶点式：y=a （x-h ）2+k （a ≠0）；3.若已知抛物线与x 轴的两个交点坐标及另一个点，则可用交点式：y=a （x-x 1）（x-x 2）（a ≠0）. 例2 已知抛物线的图象以A （-1，4）为顶点，且过点B （2，-5），求该抛物线的表达式. 例3 已知一抛物线与x 轴的交点是A （-2，0）、B （1，0），且经过点C （2，8）. （1）求该抛物线的解析式；（2）求该抛物线的顶点坐标. 专项练习二1.由于世界金融危机的不断蔓延，世界经济受到严重冲击.为了盘活资金，减少损图2ABCD图1菜园墙失，某电器商场决定对某种电视机连续进行两次降价.若设平均每次降价的百分率是x ，降价后的价格为y 元，原价为a 元，则y 与x 之间的函数表达式为（）A.y=2a （x-1）B.y=2a （1-x ）C.y=a （1-x 2）D.y=a （1-x ）22.如图2，在平而直角坐标系xOy 中，抛物线y=x 2+bx+c 与x 轴交于A 、B 两点，点A 在x 轴负半轴，点B 在x 轴正半轴，与y 轴交于点C ，且tan ∠ACO=12，CO=BO ，AB=3，则这条抛物线的函数解析式是．3.对称轴平行于y 轴的抛物线与y 轴交于点（0，-2），且x=1时，y=3；x=-1时y=1，求此抛物线的关系式.4.推理运算：二次函数的图象经过点(03)A -，，(23)B -，，(10)C -，．（1）求此二次函数的关系式；（2）求此二次函数图象的顶点坐标；（3）填空：把二次函数的图象沿坐标轴方向最少．．平移个单位，使得该图象的顶点在原点．专题三：二次函数与一元二次方程的关系本专题主要涉及根据二次函数的图象求一元二次方程的近似根，由图象判断一元二次方程根的情况，由一元二次方程根的情况判断抛物线与x 轴的交点个数等，题型主要填空题、选择题和解答题.考点1.根据二次函数的自变量与函数值的对应值，确定方程根的范围一元二次方程ax 2+bx+c=0就是二次函数y=ax 2+bx+c 当函数y 的值为0时的情况.例1 根据下列表格中二次函数y=ax 2+bx+c 的自变量x 与函数值y 的对应值，判断方程ax 2+bx+c=0（a ≠0,a,b,c,为常数）的一个解x 的范围是（）Ａ．6 6.17x <<Ｂ．6.17 6.18x << Ｃ．6.18 6.19x <<Ｄ．6.19 6.20x <<考点2.根据二次函数的图象确定所对应的一元二次方程的根.1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-.② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2'当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；例2 二次函数y=x 2－2x －3与x 轴两交点之间的距离为______．考点3.抛物线的交点个数与一元二次方程的根的情况当二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴有两个交点时，则一元二次方程ax 2+bx+c=0有两个不相等的实数根；当二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴有一个交点时，则一元二次方程ax 2+bx+c=0有两个相等的实数根；当二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴没有交点时，则一元二次方程ax 2+bx+c=0没有实数根.反之亦然.例3 在平面直角坐标系中，抛物线21y x =-与x 轴的交点的个数是（） A.3B.2C.1D.0专项练习三1.抛物线y=kx 2-7x-7的图象和x 轴有交点，则k 的取值范围是________.2.已知二次函数22y x x m =-++的部分图象如图2所示，则关于x 的一元二次方程220x x m -++=的解为．3.已知函数2y ax bx c =++的图象如图3所示，那么关于x 的方程220ax bx c +++= 的根的情况是（）A.无实数根B.有两个相等实数根C.有两个异号实数根D.有两个同号不等实数根4. 二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图4所示，根据图象解答下列问题：（1）写出方程20ax bx c ++=的两个根．（2）写出不等式20ax bx c ++>的解集．（3）写出y 随x 的增大而减小的自变量x 的取值范围．（4）若方程2ax bx c k ++=有两个不相等的实数根，求k 的取值范围．专题四：利用二次函数解决实际问题本专题主要涉及从实际问题中建立二次函数模型，根据二次函数的最值解决实际问题，能根据图象学习建立二次函数模型解决实际问题.解决实际问题的基本思路：（1）理解问题；（2）分析问题中的变量和常量；（3）用函数表达式表示出它们之间的关系；（4）利用二次函数的有关性质进行求解；（5）检验结果的合理性，对问题加以拓展等.例某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施.调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台．（1）假设每台冰箱降价x元，商场每天销售这种冰箱的利润是y元，请写出y与x之间的函数表达式；（不要求写自变量的取值范围）（2）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？（3）每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？专题训练四1.小李想用篱笆围成一个周长为60米的矩形场地，矩形面积S（单位：平方米）随矩形一边长x（单位：米）的变化而变化．（1）求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）当x是多少时，矩形场地面积S最大？最大面积是多少？2.某旅行社有客房120间，每间客房的日租金为50元，每天都客满.旅社装修后要提高租金，经市场调查发现，如果每间客房的日租金每增加5元时，则客房每天出租数就会减少6间，不考虑其他因素，旅社将每间客房的日租金提高到多少元时，客房日租金的总收入最高？3.一座拱桥的轮廓是抛物线型（如图1所示），拱高6m，跨度20m，相邻两支柱间的距离均为5m．（1）将抛物线放在所给的直角坐标系中（如图2所示），求抛物线的解析式；（2）求支柱EF的长度；（3）拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽2m的隔离带），其中的一条行车道能否并排行驶宽2m、高3m的三辆汽车（汽车间的间隔忽略不计）？请说明你的理由．x图1专题五：二次函数的综合问题例1 已知：二次函数为y=x 2－x+m ，（1）写出它的图像的开口方向，对称轴及顶点坐标；（2）m 为何值时，顶点在x 轴上方，（3）若抛物线与y 轴交于A ，过A 作AB ∥x 轴交抛物线于另一点B ，当S △AOB =4时，求此二次函数的解析式．例2 （2006，重庆市）已知：m ，n 是方程x 2－6x+5=0的两个实数根，且m<n ，抛物线y=－x 2+bx+c 的图像经过点A （m ，0），B （0，n ），如图所示．（1）求这个抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线与x 轴的另一交点为C ，抛物线的顶点为D ，试求出点C ，D 的坐标和△BCD 的面积；（3）P 是线段OC 上的一点，过点P 作PH ⊥x 轴，与抛物线交于H 点，若直线BC •把△PCH 分成面积之比为2：3的两部分，请求出P 点的坐标．例3 （2006，山东枣庄）已知关于x 的二次函数y=x 2－mx+212m +与y=x 2－mx －222m +，这两个二次函数的图像中的一条与x 轴交于A ，B 两个不同的点．（1）试判断哪个二次函数的图像经过A ，B 两点；（2）若A 点坐标为（－1，0），试求B 点坐标；（3）在（2）的条件下，对于经过A ，B 两点的二次函数，当x 取何值时，y 的值随x •值的增大而减小？。

二次函数培优专题

二次函数培优专题一、二次函数的基本概念1. 二次函数的定义- 一般地，形如y = ax^2+bx + c(a,b,c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数。

- 例如y = 2x^2+3x - 1，这里a = 2，b = 3，c=-1。

- 题目解析：判断一个函数是否为二次函数，关键看其是否符合y = ax^2+bx + c(a≠0)的形式。

比如y=3x + 2就不是二次函数，因为它不符合二次函数的定义形式，其中x的最高次数是1；而y=(1)/(x^2)也不是二次函数，因为它不是整式函数。

2. 二次函数的图象- 二次函数y = ax^2+bx + c(a≠0)的图象是一条抛物线。

- 当a>0时，抛物线开口向上；当a < 0时，抛物线开口向下。

- 例如，对于二次函数y = x^2，a = 1>0，其图象开口向上；对于y=-2x^2，a=-2 < 0，其图象开口向下。

- 题目解析：给定二次函数，判断其图象开口方向是常见题型。

如y = 3x^2-2x + 1，因为a = 3>0，所以图象开口向上。

对于二次函数图象开口方向的理解，可以从二次函数的增减性角度来看，当a>0时，在对称轴左侧y随x的增大而减小，在对称轴右侧y随x的增大而增大；当a < 0时，在对称轴左侧y随x的增大而增大，在对称轴右侧y随x的增大而减小。

3. 二次函数的对称轴和顶点坐标- 对于二次函数y = ax^2+bx + c(a≠0)，其对称轴公式为x =-(b)/(2a)，顶点坐标公式为(-(b)/(2a),frac{4ac - b^2}{4a})。

- 例如，对于二次函数y = 2x^2-4x + 3，a = 2，b=-4，c = 3。

对称轴x=-(-4)/(2×2)=1，顶点纵坐标y=frac{4×2×3-(-4)^2}{4×2}=(24 - 16)/(8)=1，所以顶点坐标为(1,1)。

中考复习必备-二次函数总复习

线上位置最____高____的点．
字母符号
a>0 a
a<0 b＝0 b b与a同号 b与a异号 c＝0
c>0
c c＜0 b2 b2－4ac＝0 － b2－4ac>0 4a c b2－4ac<0
图象的特征开口向上开口向下对称轴为y轴对称轴在y轴左侧对称轴在y轴右侧经过原点
与y轴正半轴相交与y轴负半轴相交与x轴有唯一交点(顶点) 与x轴有两个交点与x轴没有交点
⑤解析式的求法：确定二次函数的解析式，一般用待定系数法，由于二次函数解析式有三个待定系数a，b，c(或a，h，k或a，x1，x2)，因而确定二次函数解析式需要已知三个独立的条件： a．已知抛物线上任意三个点的坐标时，选用一般式比较方便． b．已知抛物线的顶点坐标时，选用顶点式比较方便． c．已知抛物线与x轴两个交点的坐标(或横坐标x1，x2)时，选用交点式比较方便．
命题点4 二次函数的实际应用
3．(2016·丹东24题10分)某片果园有果树80棵，现准备多种一些果树提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每棵树所受光照就会减少，单棵树的产量随之降低．若该果园每棵果树产果y(千克)，增种果树x(棵)，它们之间的函数关系如图所示．
(1)求y与x之间的函数关系式； (2)在投入成本最低的情况下，增种果树多少棵时，果园可以收获果实6750 千克？ (3)当增种果树多少棵时，果园的总产量w(千克)最大？最大产量是多少？
命题点1 二次函数的图象与性质 1．(2015·锦州5题3分)在同一坐标系中，一次函数y＝ax＋2与二次函数y＝x2＋a 的图象可能是( C )
2．(2016·阜新10题3分)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列选项中正确的是( B ) A．a>0 B．b>0 C．c<0 D．关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0没有实数根

二次函数全部知识点及典型例题(全)

二次函数一．复习1.函数的概念：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x，y，对于自变量x在某一范围内的每一个确定值，y都有惟一确定的值与它对应，那么就说y是x的函数.对于自变量x在可以取值范围内的一个确定的值a，函数y有惟一确定的对应值，这个对应值叫做当x=a时函数的值，简称函数值. 要点诠释：对于函数的概念，应从以下几个方面去理解：（1）函数的实质，揭示了两个变量之间的对应关系；（2）判断两个变量之间是否有函数关系，要看对于x允许取的每一个值，y是否都有惟一确定的值与它相对应；（3）函数自变量的取值范围，应要使函数表达式有意义，在解决实际问题时，还必须考虑使实际问题有意义.2.函数的三种表示方法表示函数的方法，常见的有以下三种：（1）解析法：用来表示函数关系的数学式子叫做函数的表达式，（或解析式），用数学式子表示函数的方法称为解析法.（2）列表法：用一个表格表达函数关系的方法.（3）图象法：用图象表达两个变量之间的关系的方法.要点诠释：函数的三种表示方法各有不同的长处.解析式法能揭示出变量之间的内在联系，但较抽象，不是所有的函数都能列出解析式；列表法可以清楚地列出一些自变量和函数值的对应值，这会对某些特定的数值带来一目了然的效果，例如火车的时刻表，平方表等；图象法可以直观形象地反映函数的变化趋势，而且对于一些无法用解析式表达的函数，图象可以充当重要角色.对照表如下：二．二次函数的概念一般地，形如y=ax2+bx+c（a, b, c是常数，a≠0）的函数叫做x的二次函数.若b=0，则y=ax2+c；若c=0，则y=ax2+bx；若b=c=0，则y=ax2.以上三种形式都是二次函数的特殊形式，而y=ax2+bx+c（a≠0）是二次函数的一般式.要点诠释：如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．这里，当a=0时就不是二次函数了，但b、c可分别为零，也可以同时都为零．例1.下列函数一定是二次函数的是__________.①；②；③；④；⑤y=(x-3)2-x 2 例2.若是221(3)2a a y a x --=--二次函数，则a=__________例 3.中的二次项系数=__________,一次项系数=__________,常数项=__________.例4.边长为12 cm 的正方形铁片，中间剪去一个边长x cm 的小正方形铁片，剩下的四方框铁片的面积y(cm 2)与x(cm)之间的函数关系式为_______________．例 6.某地绿色、富硒产品和特色农产品在国际市场上颇具竞争力，其中香菇远销日本和韩国等地．上市时，外商李经理按市场价格10元/千克在当地收购了2000千克香菇存放入冷库中．据预测，香菇的市场价格每天每千克将上涨0.5元，但冷库存放这批香菇时每天需要支出各种费用合计340元，而且香菇在冷库中最多保存110天，同时，平均每天有6千克的香菇损坏不能出售．（1）若存放x 天后，将这批香菇一次性出售，设这批香菇的销售总金额为y 元，试写出y 与x 之间的函数关系式．（2）李经理想获得利润22500元，需将这批香菇存放多少天后出售？（利润＝销售总金额－收购成本－各种费用）c bx ax y ++=2xy 3-=1342+-=x x y c bx x m y ++-=2)1(2y =(2x -1)-6a b c练习：1.下列函数中是二次函数的有（）个.（1）1y x x=+；（2)y=3(x-1)2＋2；（3)y=(x+3)2-2x 2；（4) 21y x x =+ A.4 B.3 C.2 D.1 2．当m= 时，函数y=（m ﹣1）x |m|+1是二次函数．3.若267(1)m m y m x-+=-是二次函数，则m 的值是( )．A.5B.1C.1或5D.以上都不对.4.将化成二次函数的一般式是：________________.5.一个圆柱的高与底面直径相等，试写出它的表面积S 与底面半径r 之间的函数关系式___________________.6.（2014秋·温岭市校级月考）已知某商品的进价为每件40元，售价是每件60元，每周可卖出300件.市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每周要少卖出10件.假设涨价x 元，求每周的利润y （元）与涨价x 之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围.(23)(1)3y x x =+--三．二次函数的图像及性质：二次函数y=ax2（a≠0）的图象与性质二次函数y=ax2(a≠0)的图象：二次函数y=ax2的图象（如图），是一条关于y轴对称的曲线，这样的曲线叫做抛物线.抛物线y=ax2（a≠0）的对称轴是y轴，它的顶点是坐标原点.当a＞ 0时，抛物线的开口向上，顶点是它的最低点；当a＜0时，抛物线的开口向下，顶点是它的最高点.二次函数y=ax2(a≠0)的图象的画法——描点法描点法画图的基本步骤：列表、描点、连线.（1）列表：选择自变量取值范围内的一些适当的x的值，求出相应的y值，填入表中.（自变量x的值写在第一行，其值从左到右，从小到大.）（2）描点：以表中每对x和y的值为坐标，在坐标平面内准确描出相应的点.一般地，点取的越多，图象就越准确.（3）连线：按照自变量的值由小到大的顺序，把所描的点用平滑的曲线连结起来. 要点诠释：（1）用描点法画二次函数y=ax 2（a≠0）的图象时，应在顶点的左、右两侧对称地选取自变量x 的值，然后计算出对应的y 值. （2）二次函数y=ax 2(a≠0)的图象，是轴对称图形，对称轴是y 轴．y=ax 2(a≠0)是最简单的二次函数.（3）画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点.二次函数y=ax 2(a ≠0)的图象的性质x y要点诠释：顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. │a │相同，抛物线的开口大小、形状相同.│a │越大，开口越小，图象两边越靠近y 轴，│a │越小，开口越大，图象两边越靠近x 轴二次函数y=ax 2+c(a ≠0)的图象关于二次函数的性质，主要从抛物线的开口方向、顶点、对称轴、函数值的增减性以及函数的最大值或最小值等方面来研究．下面结合图象，将其性质列表归纳如下：a 2(0)y ax c a =+≠例1．二次函数y=ax2与直线y=2x﹣1的图象交于点P（1，m）（1）求a，m的值；（2）写出二次函数的表达式，并指出x取何值时该表达式y随x的增大而增大？（3）写出该抛物线的顶点坐标和对称轴．例2．已知y=(m+1)x 2m m +是二次函数且其图象开口向上,求m 的值和函数解析式例3．求下列抛物线的解析式：（1）与抛物线形状相同，开口方向相反，顶点坐标是（0，-5）的抛物线；（2）顶点为（0，1），经过点（3，-2）并且关于y 轴对称的抛物线．例4．在同一直角坐标系中，画出和的图象，并根据图象回答下列问题．2132y x =-+2y x =-21y x =-+(1)抛物线向________平移________个单位得到抛物线；(2)抛物线开口方向是________，对称轴为________，顶点坐标为________；(3)抛物线，当x________时，随x 的增大而减小；当x________时，函数y 有最________值，其最________值是________．练习：1.下列函数中，当x ＜0时，y 值随x 值的增大而增大的是（） A. B. C. D.2.在同一坐标系中，作出，，的图象，它们的共同点是（）．A ．关于y 轴对称，抛物线的开口向上B ．关于y 轴对称，抛物线的开口向下21y x =-+2y x =-21y x =-+21y x =-+25y x =212y x =-2y x =213y x =22y x =22y x =-212y x =C ．关于y 轴对称，抛物线的顶点都是原点D ．关于原点对称，抛物线的顶点都是原点3.抛物线y=2x 2+1的对称轴是（） A ．直线x=B.直线x=﹣ C ．y 轴 D ． x轴4.已知抛物线的解析式为y ＝-3x 2，它的开口向________，对称轴为________，顶点坐标是________，当x ＞0时，y 随x 的增大而________．5.函数，、的图象大致如图所示，则图中从里向外的三条抛物线对应的函数关系式是_____________________．6.抛物线与的形状相同，其顶点坐标为（0，1），则其解析式为．7.已知直线与x 轴交于点A ，抛物线的顶点平移后与点A 重合．(1)求平移后的抛物线C 的解析式；2y x =212y x =23y x=2y ax c =+23y x =1y x =+22y x =-(2)若点B(，)，C(，)在抛物线C 上，且，试比较，的大小．8．（2014春·牙克石市校级月考）函数y=ax 2 (a ≠0)的图象与直线y=2x-3交于点(1，b)． (1)求a 和b 的值；(2)求抛物线y=ax 2的解析式，并求顶点坐标和对称轴； (3)x 取何值时，y 随x 的增大而增大?(4)求抛物线与直线y=-2的两个交点及其顶点所构成的三角形的面积．函数2()(0)y a x h a =-≠与函数2()(0)y a x h k a =-+≠的图象与性质 1.函数2()(0)y a x h a =-≠的图象与性质1x 1y 2x 2y 1212x x -<<1y 2y2.函数2()(0)y a x h k a =-+≠的图象与性质要点诠释：二次函数的图象常与直线、三角形、面积问题结合在一起，借助它的图象与性质．运用数形结合、函数、方程思想解决问题．要点二、二次函数的平移 1.平移步骤：2()+(0y a x h k a =-≠）⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；⑵ 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下：2.平移规律：在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．要点诠释：⑴沿轴平移:向上（下）平移个单位，变成（或）⑵沿x 轴平移：向左（右）平移个单位，变成（或例1．将抛物线作下列移动，求得到的新抛物线的解析式．(1)向左平移2个单位，再向下平移3个单位；()2y a x h k =-+()h k ，2y ax =()h k，h k c bx ax y ++=2y m c bx ax y ++=2m c bx ax y +++=2m c bx ax y -++=2c bx ax y ++=2m c bx ax y ++=2c m x b m x a y ++++=)()(2c m x b m x a y +-+-=)()(222(1)3y x =-+(2)顶点不动，将原抛物线开口方向反向； (3)以x 轴为对称轴，将原抛物线开口方向反向．例2.二次函数的图象可以看作是二次函数的图象向平移4个单位，再向平移3个单位得到的．例3．将抛物线y=x 2﹣6x+5向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，抛物线解析式为______________.例4．已知抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到抛物线；（1）求出a ，h ，k 的值；（2）在同一直角坐标系中，画出与的图象；（3）观察的图象，当________时，y 随x 的增大而增大；当________时，函数y 有最________值，最________值是________；（4）观察的图象，你能说出对于一切的值，函数y 的取值范围吗？21(3)42y x =-+212y x=212y x =-2()y a x h k =-+2()y a x h k =-+212y x =-2()y a x h k =-+x x y =2()y a x h k =-+x例5．二次函数y 1=a （x ﹣2）2的图象与直线y 2交于A （0，﹣1），B （2，0）两点．（1）确定二次函数与直线AB 的解析式．（2）如图，分别确定当y 1＜y 2，y 1=y 2，y 1＞y 2时，自变量x 的取值范围．练习：1.抛物线的顶点坐标是（）A ．(2，-3)B ．(-2，3)C ．(2，3)D ．(-2，-3) 2.函数y=x 2+2x+1写成y=a(x －h)2+k 的形式是（）A.y=(x －1)2+2 B.y=(x －1)2+ C.y=(x －1)2－3 D.y=(x+2)2－1 3．抛物线y=x 2向左平移3个单位，再向下平移2个单位后，所得的抛物线表达式是( )2(2)3y x =-+-21212121212121A.y=(x+3)2－2 B.y=(x －3)2+2 C.y=(x －3)2－2 D.y=(x+3)2+2 4．把二次函数配方成顶点式为（）A ．B ．C ．D ．5．由二次函数，可知（）A ．其图象的开口向下B ．其图象的对称轴为直线C ．其最小值为1D ．当时，y 随x 的增大而增大6．（2015•泰安）在同一坐标系中，一次函数y=﹣mx+n 2与二次函数y=x 2+m 的图象可能是（）.A. B. C. D.7. 把二次函数的图象先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数的图象．（1）试确定a 、h 、k 的值；（2）指出二次函数的开口方向，对称轴和顶点坐标，分析函数的增减性．21212121122--=x x y 2)1(-=x y 2)1(2--=x y 1)1(2++=x y 2)1(2-+=x y 22(3)1y x =-+3x =-3x <2()y a x h k =-+21(1)12y x =-+-2()y a x h k =-+二次函数与之间的相互关系：1.顶点式化成一般式从函数解析式我们可以直接得到抛物线的顶点(h ，k)，所以我们称为顶点式，将顶点式去括号，合并同类项就可化成一般式． 2.一般式化成顶点式．对照，可知，．∴ 抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是．要点诠释：1．抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是2(0)y ax bx c a =++≠=-+≠2()(0)y a x h k a 2()y a x h k =-+2()y a x h k =-+2()y a x h k =-+2y ax bx c =++2222222b b b b y ax bx c a x x c a x x c a a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=++=++-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦22424b ac b a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭2()y a x h k =-+2b h a=-244ac b k a -=2y ax bx c =++2bx a=-24,24b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭2y ax bx c =++2bx a=-，可以当作公式加以记忆和运用． 2．求抛物线的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．二次函数的图象的画法1.一般方法：列表、描点、连线；2.简易画法：五点定形法. 其步骤为：(1)先根据函数解析式，求出顶点坐标和对称轴，在直角坐标系中描出顶点M ，并用虚线画出对称轴．(2)求抛物线与坐标轴的交点，当抛物线与x 轴有两个交点时，描出这两个交点A 、B 及抛物线与y 轴的交点C ，再找到点C 关于对称轴的对称点D ，将A 、B 、C 、D 及M 这五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来．要点诠释：当抛物线与x 轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y 轴的交点C 及对称点D ，由C 、M 、D 三点可粗略地画出二次函数图象的草图；如果需要画出比较精确的图象，可再描出一对对称点A 、B ，然后顺次用平滑曲线连结五点，画出二次函数的图象，24,24b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭2y ax bx c =++2(0)y ax bx c a =++≠2y ax bx c =++二次函数的图象与性质2(0)=++≠y ax bx c aa<a>02.二次函数图象的特征与a 、b 、c 及b 2-4ac 的符号之间的关系20()y ax bx c a =++≠要点四、求二次函数的最大（小）值的方法如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大（或最小）值，即当时，．要点诠释：如果自变量的取值范围是x 1≤x ≤x 2，那么首先要看是否在自变量的取值范围x 1≤x ≤x 2内，若在此范围内，则当时，，若不在此范围内，则需要考虑函数在x 1≤x ≤x 2范围内的增减性，如果在此范围内，y 随x 的增大而增大，则当x ＝x 2时，；当x ＝x 1时，，如果在此范围内，y 随x 的增大而减小，则当x ＝x 1时，211=ax +bx +y c 最大值；当x ＝x 2时，222=ax +bx +y c 最小值，如果在此范围内，y 值有增有减，则需考察x ＝x 1，x ＝x 2，时y 值的情况．例1．求抛物线的对称轴和顶点坐标．例2.把一般式化为顶点式．2(0)y ax bx c a =++≠2b x a =-244ac b y a-=最值2ba-2bx a=-244ac b y a-=最值222y ax bx c =++最大值211y ax bx c =++最小值2bx a=-2142y x x =-+-2286y x x =-+-（1）写出其开口方向、对称轴和顶点D 的坐标；（2）分别求出它与y 轴的交点C ，与x 轴的交点A 、B 的坐标.例3．二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图所示，下列结论：①2a+b=0；②a+c＞b ；③抛物线与x 轴的另一个交点为（3，0）；④abc ＞0．其中正确的结论是（填写序号）．例4．求二次函数的最小值.例5.已知二次函数的图象过点P(2，1)．（1）求证：；（2）求bc 的最大值．例6. 抛物线与y 轴交于(0，3)点：211322y x x =++21y x bx c =+++24c b =--2(1)y x m x m =-+-+(1)求出m 的值并画出这条抛物线； (2)求它与x 轴的交点和抛物线顶点的坐标； (3)x 取什么值时，抛物线在x 轴上方？ (4)x 取什么值时，y 的值随x 值的增大而减小练习：1. 将二次函数化为的形式，结果为（）．A ．B ．C ．D ． 2．已知二次函数的图象，如图所示，则下列结论正确的是（）．A ．B ．C ．D ． 3．若二次函数配方后为，则b 、k 的值分别为（）．A ．0，5B ．0，1C ．-4，5D ．-4，14．抛物线的图象向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得图象的解析式为，则b 、c 的值为（）． A .b=2，c=2 B . b=2，c=0 C . b= -2，c= -1 D . b= -3，c=25.已知抛物线y=ax 2+bx+c 的对称轴为x=2，且经过点(3，0)，则a+b+223y x x =-+2()y x h k =-+2(1)4y x =++2(1)4y x =-+2(1)2y x =++2(1)2y x =-+2y ax bx c =++0a >0c <240b ac -<0a b c ++>25y x bx =++2(2)y x k =-+2y x bx c =++223y x x =--的值( )A. 等于0B.等于1C. 等于-1D. 不能确定6．如图，一次函数y1=x与二次函数y2=ax2+bx+c图象相交于P、Q 两点，则函数y=ax2+（b﹣1）x+c的图象可能是（）A. B. C. D.7.如图二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上，图象经过点(-1，2)和(1，0)且与y轴交于负半轴.第①问：给出四个结论：①a>0；②b>0；③c>0；④a+b+c=0其中正确的结论的序号是__________第②问：给出四个结论：①abc<0；②2a+b>0；③a+c=1；④a>1，其中正确的结论的序号是_________8．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC 的边长为4，顶点A 、C 分别在x 轴、y 轴的正半轴，抛物线y=﹣x 2+bx+c 经过B 、C 两点，点D 为抛物线的顶点，连接AC 、BD 、CD ．（1）求此抛物线的解析式．（2）求此抛物线顶点D 的坐标和四边形ABCD 的面积．用待定系数法求二次函数解析式1.二次函数解析式常见有以下几种形式：(1)一般式：2y ax bx c =++(a ，b ，c 为常数，a ≠0)；(2)顶点式：2()y a x h k =-+(a ，h ，k 为常数，a ≠0)； (3)交点式：12()()y a x x x x =--(1x ，2x 为抛物线与x 轴交点的横坐标，a ≠0)．2.确定二次函数解析式常用待定系数法，用待定系数法求二次函数解析式的步骤如下第一步，设：先设出二次函数的解析式，如2y ax bx c =++或2()y a x h k =-+，或12()()y a x x x x =--，其中a ≠0；第二步，代：根据题中所给条件，代入二次函数的解析式中，得到关于解析式中待定系数的方程(组)；第三步，解：解此方程或方程组，求待定系数；第四步，还原：将求出的待定系数还原到解析式中．要点诠释：在设函数的解析式时，一定要根据题中所给条件选择合适的形式：①当已知抛物线上的三点坐标时，可设函数的解析式为2y ax bx c =++；②当已知抛物线的顶点坐标或对称轴或最大值、最小值时．可设函数的解析式为2()y a x h k =-+；③当已知抛物线与x 轴的两个交点(x 1，0)，(x 2，0)时，可设函数的解析式为12()()y a x x x x =--．例1. 已知抛物线c bx ax y 2++=经过A ，B ，C 三点，当x ≥0时，其图象如图所示.求抛物线的解析式，写出顶点坐标.例2. 形状与抛物线y=2x 2﹣3x +1的图象形状相同，但开口方向不同，顶点坐标是（0，﹣5）的抛物线的关系式为．例3. 已知抛物线c bx ax y 2++=的顶点坐标为（－1，4），与x 轴两交点间的距离为6，求此抛物线的函数关系式.例4.已知二次函数的图象如图所示，根据图中的数据，（1）求二次函数的解析式；（2）设此二次函数的顶点为P，求△ABP的面积．练习：1．已知二次函数的图象过（－1，－9）、（1，－3）和（3，－5）三点，求此二次函数的解析式.2．已知抛物线的顶点坐标为M（1，﹣2），且经过点N（2，3），求此二次函数的解析式．3．（2016•丹阳市校级模拟）抛物线的图象如图，则它的函数表达式是．当x时，y＞0．4．已知抛物线经过(3，5)，A(4，0)，B(-2，0)，且与y轴交于点C．(1)求二次函数解析式；(2)求△ABC的面积．5．如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点．（1）求该抛物线的解析式；（2）求该抛物线的对称轴以及顶点坐标；（3）设（1）中的抛物线上有一个动点P，当点P在该抛物线上滑动到什么位置时，满足S△PAB=8，并求出此时P点的坐标．。

二次函数专题复习

(3) y=-2(x-2)2+3是由 y=-2向x2 平右移 2个单位，再向上平移 3个单位得到 (4) y=2x2+4x-5是由 y=2向x2 左平移 1个单位，再向下平移 7 个单位得到
(5) y=2x2向左平移2个单位，再向下平移3个单位得到
函数解析式是 y=2(x+2)2-3。
（6）已知二次函数y=x2-4x-5 ，求下列问题
△PAB，求P的坐标；
（4）第（3）题改为在直线y= -x+3上是否存在点坐P标，；使若S不△PA存C=在，12说S明△P理AB？由若。存答在案，一求样出吗点？P的
P
y
（0，3） C
A
Q
o
y
（0，3） CP
B（3，0） A
x
oQ
（B 3，0） x
再见
得的图象解析式是 y=3x2
。
4、已知二次函数y=a（x-h）2+k的图象过原点，最小值是-8，且形状与抛物线y=0.5x2-3x-5的形
状相同，其解析式为 y=0.5（x-16。）2-8
5、若x为任意实数，则二次函数y=x2+2x+3的函
数值y的取值范围是 y≥2 。
6、抛物线y=2x2-4x-1是由抛物线y=2x2-bx+c向
1.已知一个二次函数的图象经过点（0，0），（1，﹣3），（2，﹣8）。
2.已知二次函数的图象的顶点坐标为（－2，－3），且图象过点（－3，－2）。
3.已知二次函数的图象的对称轴是直线x=3, 并且经过点(6,0),和(2,12)
4.矩形的周长为60，长为x，面积为y，则y关于
x的函数关系式
。
如何判别a、b、c、b2-4ac，2a+b，a+b+c的符号

二次函数各知识点、考点、典型例题及对应练习(超全)

二次函数专题一：二次函数的图象与性质考点1.二次函数图象的对称轴和顶点坐标二次函数的图象是一条抛物线，它的对称轴是直线x=-2b a ，顶点坐标是（-2ba，244ac b a -）.例 1 已知，在同一直角坐标系中，反比例函数5y x=与二次函数22y x x c =-++的图像交于点(1)A m -，．（1）求m 、c 的值；（2）求二次函数图像的对称轴和顶点坐标.考点2.抛物线与a 、b 、c 的关系抛物线y=ax 2+bx+c 中，当a>0时，开口向上，在对称轴x=-2ba的左侧y 随x 的增大而减小，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大；当a<0时，开口向下，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而减小.例2 已知2y ax bx =+的图象如图1所示，则y ax b =-的图象一定过（）A ．第一、二、三象限B ．第一、二、四象限C ．第二、三、四象限D ．第一、三、四象限考点3.二次函数的平移当k>0（k<0）时，抛物线y=ax 2+k （a ≠0）的图象可由抛物线y=ax 2向上（或向下）平移|k|个单位得到；当h>0（h<0）时，抛物线y=a （x-h ）2（a ≠0）的图象可由抛物线y=ax 2向右（或向左）平移|h|个单位得到.例3 把抛物线y=3x 2向上平移2个单位，得到的抛物线是（） A.y=3（x+2）2 B.y=3（x-2）2 C.y=3x 2+2 D.y=3x 2-2图1专题练习一1.对于抛物线y=13-x 2+103x 163-，下列说法正确的是（） A.开口向下，顶点坐标为（5，3） B.开口向上，顶点坐标为（5，3） C.开口向下，顶点坐标为（-5，3） D.开口向上，顶点坐标为（-5，3） 2.若抛物线y=x 2-2x+c 与y 轴的交点为（0，-3），则下列说法不正确的是（） A.抛物线开口向上 B.抛物线的对称轴是x=1 C.当x=1时，y 的最大值为-4D.抛物线与x 轴交点为（-1，0），（3，0）3.将二次函数y=x 2的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度后，所得图象的函数表达式是________.4.小明从图2所示的二次函数2y ax bx c =++的图象中，观察得出了下面五条信息：①0c <；②0abc >；③0a b c -+>；④230a b -=；⑤40c b ->，你认为其中正确信息的个数有_______.（填序号）专题复习二：二次函数表达式的确定考点1.根据实际问题模型确定二次函数表达式例1 如图1，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度不限）的矩形菜园ABCD ，设AB 边长为x 米，则菜园的面积y （单位：米2）与x （单位：米）的函数关系式为（不要求写出自变量x 的取值范围）．考点2.根据抛物线上点的坐标确定二次函数表达式1.若已知抛物线上三点的坐标，则可用一般式：y=ax 2+bx+c （a ≠0）；2.若已知抛物线的顶点坐标或最大（小）值及抛物线上另一个点的坐标，则可用顶点式：y=a （x-h ）2+k （a ≠0）；3.若已知抛物线与x 轴的两个交点坐标及另一个点，则可用交点式：y=a （x-x 1）（x-x 2）（a ≠0）. 例2 已知抛物线的图象以A （-1，4）为顶点，且过点B （2，-5），求该抛物线的表达式.图2ABCD图1菜园墙例3 已知一抛物线与x 轴的交点是A （-2，0）、B （1，0），且经过点C （2，8）. （1）求该抛物线的解析式；（2）求该抛物线的顶点坐标. 专项练习二1.由于世界金融危机的不断蔓延，世界经济受到严重冲击.为了盘活资金，减少损失，某电器商场决定对某种电视机连续进行两次降价.若设平均每次降价的百分率是x ，降价后的价格为y 元，原价为a 元，则y 与x 之间的函数表达式为（）A.y=2a （x-1）B.y=2a （1-x ）C.y=a （1-x 2）D.y=a （1-x ）22.如图2，在平而直角坐标系xOy 中，抛物线y=x 2+bx+c 与x 轴交于A 、B 两点，点A 在x 轴负半轴，点B 在x 轴正半轴，与y 轴交于点C ，且tan ∠ACO=12，CO=BO ，AB=3，则这条抛物线的函数解析式是．3.对称轴平行于y 轴的抛物线与y 轴交于点（0，-2），且x=1时，y=3；x=-1时y=1，求此抛物线的关系式.4.推理运算：二次函数的图象经过点(03)A -，，(23)B -，，(10)C -，．（1）求此二次函数的关系式；（2）求此二次函数图象的顶点坐标；（3）填空：把二次函数的图象沿坐标轴方向最少．．平移个单位，使得该图象的顶点在原点．专题三：二次函数与一元二次方程的关系考点1.根据二次函数的自变量与函数值的对应值，确定方程根的范围一元二次方程ax 2+bx+c=0就是二次函数y=ax 2+bx+c 当函数y 的值为0时的情况.例1 根据下列表格中二次函数y=ax 2+bx+c 的自变量x 与函数值y 的对应值，判断方程ax 2+bx+c=0（a ≠0,a,b,c,为常数）的一个解x 的范围是（）x6.17 6.18 6.19 6.202y ax bx c =++0.03- 0.01- 0.02 0.04Ａ．6 6.17x <<Ｂ．6.17 6.18x << Ｃ．6.18 6.19x <<Ｄ．6.19 6.20x <<图2考点2.根据二次函数的图象确定所对应的一元二次方程的根.二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴的交点有三种情况：有两个交点、一个交点、没有交点；当二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴有交点时，交点的横坐标就是当y=0时自变量x 的值，即一元二次方程ax 2+bx+c=0的根.例2 已知二次函数y=-x 2+3x+m 的部分图象如图1所示，则关于x 的一元二次方程-x 2+3x+m=0的解为________.考点3.抛物线的交点个数与一元二次方程的根的情况当二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴有两个交点时，则一元二次方程ax 2+bx+c=0有两个不相等的实数根；当二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴有一个交点时，则一元二次方程ax 2+bx+c=0有两个相等的实数根；当二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴没有交点时，则一元二次方程ax 2+bx+c=0没有实数根.反之亦然.例3 在平面直角坐标系中，抛物线21y x =-与x 轴的交点的个数是（） A.3B.2C.1D.0专项练习三1.抛物线y=kx 2-7x-7的图象和x 轴有交点，则k 的取值范围是________.2.已知二次函数22y x x m =-++的部分图象如图2所示，则关于x 的一元二次方程220x x m -++=的解为．3.已知函数2y ax bx c =++的图象如图3所示，那么关于x 的方程220ax bx c +++= 的根的情况是（）A.无实数根B.有两个相等实数根C.有两个异号实数根D.有两个同号不等实数根4. 二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图4所示，根据图象解答下列问题：（1）写出方程20ax bx c ++=的两个根．（2）写出不等式20ax bx c ++>的解集．（3）写出y 随x 的增大而减小的自变量x 的取值范围．（4）若方程2ax bx c k ++=有两个不相等的实数根，求k 的取值范围．图1。

二次函数专题复习

二次函数专题复习考点一二次函数的概念一般地，如果y ＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 是常数，a ≠0)，那么y 叫做x 的二次函数．注意：(1)二次项系数a ≠0；(2)ax 2＋bx ＋c 必须是整式；(3)一次项可以为零，常数项也可以为零，一次项和常数项可以同时为零；(4)自变量x 的取值范围是全体实数．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0)图象(a ＞0)(a ＜0)开口方向开口向上开口向下对称轴直线x ＝－b2a直线x ＝－b2a顶点坐标⎝⎛⎭⎫－b 2a ，4ac －b 24a⎝⎛⎭⎫－b 2a，4ac －b 24a增减性当x ＜－b2a 时，y 随x 的增大而减小；当x ＞－b2a时，y 随x 的增大而增大当x ＜－b2a 时，y 随x 的增大而增大；当x ＞－b2a时，y 随x 的增大而减小最值当x ＝－b2a 时，y 有最小值4ac －b 24a当x ＝－b2a 时，y 有最大值4ac －b 24a考点三二次函数图象的特征与a ，b ，c 及b2－4ac 的符号之间的关系考点四二次函数图象的平移抛物线y ＝ax 2与y ＝a (x －h )2，y ＝ax 2＋k ，y ＝a (x －h )2＋k 中|a |相同，则图象的形状和大小都相同，只是位置的不同．它们之间的平移关系如下表：考点五二次函数关系式的确定（1）一般式：c bx ax y ++=2.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式. （2）顶点式：()k h x a y +-=2.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.（3）交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=考点六二次函数与一元二次方程的关系1．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，当y ＝0时，就变成了ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)． 2．ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的解是抛物线与x 轴交点的横坐标．3．当Δ＝b 2－4ac ＞0时，抛物线与x 轴有两个不同的交点；当Δ＝b 2－4ac ＝0时，抛物线与x 轴有一个交点；当Δ＝b 2－4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点．1.抛物线23(1)2y x =-+的对称轴是（）A ．1x =B ．1x =-C ． 2x =D ．2x =-2.抛物线3)2(2+-=x y 的顶点坐标是（） A ．（2，3） B ．（－2，3） C ．（2，－3） D ．（－2，－3）3.（2009年泸州）在平面直角坐标系中，将二次函数22x y =的图象向上平移2个单位，所得图象的解析式为A ．222-=x y B ．222+=x y C ．2)2(2-=x y D ．2)2(2+=x y 类型一：二次函数的图象1.（2012•泰安）二次函数y=a （x+m ）2+n 的图象如图，则一次函数y=mx+n的图象经过（）A ．第一、二、三象限B ．第一、二、四象限 B ．C ．第二、三、四象限D ．第一、三、四象限2.（2011•湘潭）在同一坐标系中，一次函数y=ax+1与二次函数y=x 2+a 的图象可能是（）3.（2010•达州）抛物线图象如图所示，根据图象，抛物线的解析式可能是（）A ．y=x 2-2x+3B ．y=-x 2-2x+3C ．y=-x 2+2x+3D ．y=-x 2+2x-34.（2011•威海）二次函数y=x 2-2x-3的图象如图所示．当y ＜0时，自变量x 的取值范围是（）A ．-1＜x ＜3B ．x ＜-1C ．x ＞3D ．x ＜-3或x ＞35.已知函数y 1=x 2与函数y 2=-21x+3的图象大致如图．若y1＜y 2，则自变量x 的取值范围是（）A ．-23＜x ＜2 B ．x ＞2或x ＜-23 C ．-2＜x ＜23 D ．x ＜-2或x ＞23 类型二：二次函数的性质（2010•兰州）二次函数y=-3x 2-6x+5的图象的顶点坐标是（）A ．（-1，8）B ．（1，8）C ．（-1，2）D ．（1，-4）（2010•毕节地区）已知抛物线y=-2（x-3）2+5，则此抛物线（）A ．开口向下，对称轴为直线x=-3B ．顶点坐标为（-3，5）C ．最小值为5D ．当x ＞3时y 随x 的增大而减小（2012•德阳）设二次函数y=x 2+bx+c ，当x ≤1时，总有y ≥0，当1≤x ≤3时，总有y ≤0，那么c 的取值范围是（）A ．c=3B ．c ≥3C ．1≤c ≤3D ．c ≤3类型三：二次函数的增减性 1.已知函数215322y x x =---，设自变量的值分别为x 1，x 2，x 3，且-3< x 1< x 2<x 3，则对应的函数值的大小关系是（）A ．y 3>y 2>y 1B ．y 1>y 3>y 2C ．y 2<y 3<y 1D ．y 3<y 2<y 12.小明从右边的二次函数2y ax bx c =++图象中，观察得出了下面的五条信息：①0a <，②0c =，③函数的最小值为3-，④当0x <时， 0y >，⑤当1202x x <<<时，12y y >．你认为其中正确0 2 3-y的个数为（）Ａ．2Ｂ．3Ｃ．4Ｄ．53.若123135(,),(1,),(,)43A yB yC y --的为二次函数245y x x =--+的图像上的三点，则y 1,y 2,y 3的大小关系是（）A. y 1<y 2<y 3B. y 3<y 2<y 1C. y 3<y 1<y 2D. y 2<y 1<y 34.从y=x 2的图象可看出，当－3≤ｘ≤－1时，ｙ的取值范围是 A 、ｙ≤0或9≥y B 、0≤ｙ≤9 C 、0≤ｙ≤1 D 、1≤ｙ≤95.小颖在二次函数y =2x 2+4x +5的图象上，依横坐标找到三点(－1，y 1)，(21，y 2)， (－321，y 3)，则你认为y 1，y 2，y 3的大小关系应为（） A.y 1>y 2>y 3 B.y 2>y 3>y 1 C.y 3>y 1>y 2 D.y 3>y 2>y 1二、利用二次函数图象判断a ，b ，c 的符号【例2】如图所示，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象开口向上，图象经过点(－1,2)和(1,0)，且与y 轴交于负半轴．(1)给出四个结论：①a ＞0；②b ＞0；③c ＞0；④a ＋b ＋c ＝0，其中正确结论的序号是__________；(2)给出四个结论：①abc ＜0；②2a ＋b ＞0；③a ＋c ＝1；④a ＞1.其中正确结论的序号是__________．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图所示，有下列结论：①b 2－4ac ＞0；②abc ＞0；③8a ＋c ＞0；④9a ＋3b ＋c ＜0. 其中，正确结论的个数是( )． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4（2012•玉林）二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，其对称轴为直线x=1，有如下结论：①c ＜1；②2a+b=0；③b 2＜4ac ；④若方程ax 2+bx+c=0的两根为x 1，x 2，则x 1+x 2=2，则正确的结论是（）A ．①②B ．①③C ．②④D ．③④（2012•威海）已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，下列结论错误的是（）A ．abc ＞0B ．3a ＞2bC ．m （am+b ）≤a-b （m 为任意实数）D ．4a-2b+c ＜0（2011•兰州）如图所示的二次函数y=ax 2+bx+c 的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息：（1）b 2-4ac ＞0；（2）c ＞1；（3）2a-b ＜0；（4）a+b+c ＜0．你认为其中错误的有（） A ．2个 B ．3个 C ．4个D ．1个四、确定二次函数的解析式【例】已知一抛物线与x 轴的交点是A (－2,0)，B (1,0)，且经过点C (2,8)． (1)求该抛物线的表达式； (2)求该抛物线的顶点坐标．1.在直角坐标系中，△AOB 的顶点坐标分别为A （0，2），O （0，0），B （4，0），把△AOB 绕O 点按逆时针方向旋转900到△COD 。

(完整版),初中二次函数知识点及经典题型,文档

二次函数的解析式二次函数的解析式有三种形式：2 bx c a b c a y ax 是常数，〔1〕一般一般式：( , , 0)2〔2〕两根当抛物线y ax bx c 与x轴有交点时，即对应二次好方程 2 bx c ax x1 x2有实根和存在时，依照二次三项式的分解因式2 bx c a x x x x 2ax y ax bx c( 1)( 2 )，二次函数可转变为两根式y a( x x1 x x2)( ) 。

若是没有交点，那么不能够这样表示。

a 的绝对值越大，抛物线的张口越小。

2 k a h k a y a x h是常数，〔3〕极点式：( ) ( , , 0)知识点八、二次函数的最值若是自变量的取值范围是全体实数，那么函数在极点处获取最大值〔或最小值〕2b 4ac bx y，即当时，。

最值2a 4ab 若是自变量的取值范围是x1 x x2 ，那么，第一要看可否在自变量取值范2a2b 4ac b围x1 x x2 内，假设在此范围内，那么当 x= 时，；假设不在此范围y最值2a 4a内，那么需要考虑函数在x1 x x2 范围内的增减性，若是在此范围内， y随x的增大而2 2增大，那么当x x2 时，y最大ax bx c，当x x1时，y ax bx1 c；如最小2 2 12果在此范围内， y随x的增大而减小，那么当x x1时，y ax bx1 c，当最大x x212时，y ax bx2 c。

最小2知识点九、二次函数的性质1 、二次函数的性质二次函数函数 2 bx c a b c ay ax ( , , 是常数，0)a>0 a<0yy图像0 x 0 x〔1〕抛物线张口向上，并向上无量延伸；〔1〕抛物线张口向下，并向下无量延伸；b b〔2〕对称轴是 x= ，极点坐标是〔2a 2ab〔2〕对称轴是 x= ，极点坐标是〔2a24ac b ，〕；4a2 b 4ac b，〕；2a 4a性b〔3〕在对称轴的左侧，即当 x< 时，y随2ab〔3〕在对称轴的左侧，即当 x< 时，y2a x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当 x随x的增大而增大；在对称轴的右侧，质b b> 时，y随x的增大而增大，简记左即当x> 时，y随x的增大而减小，2a 2a减右增；简记左增右减；b 〔4〕抛物线有最低点，当 x= 时，y有最2ab 〔4〕抛物线有最高点，当 x= 时，y有2a小值，y最小值4ac4ab 2最大值，y最大值4ac4ab 22 bx c a b c a2、二次函数y ax ( , , 是常数， 0) 中，a、b、c 的含义：a a表示张口方向： >0 时，抛物线张口向上a <0 时，抛物线张口向下b b 与对称轴有关：对称轴为 x=2ac c表示抛物线与 y轴的交点坐标：〔 0，〕3、二次函数与一元二次方程的关系一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与 x轴的交点坐标。

二次函数知识点、考点、典型例题及练习(附解析)

二次函数知识点、考点、典型例题及练习（附解析）一、二次函数知识点一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c=++（a b ca≠）的函数，叫做，，是常数，0二次函数。

这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a≠，而b c，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2=++的结构特征：y ax bx c⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．⑵a b c，，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2=的性质：y axa 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

y ax c=+的性质：上加下减。

3. ()2y a x h =-的性质：左加右减。

4. ()2y a x h k =-+的性质：1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，；⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，．五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a-．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大；⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧；当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧． ⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即当0b >时，02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧；当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧．总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 总结：3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负．总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-.② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点；③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2' 当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <． 2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； ⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数；下面以0a >时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的二、专题与考点专题一：二次函数的图象与性质本专题涉及二次函数概念，二次函数的图象性质，抛物线平移后的表达式等.试题多以填空题、选择题为主，也有少量的解答题出现.考点1.二次函数图象的对称轴和顶点坐标二次函数的图象是一条抛物线，它的对称轴是直线x=-2b a ，顶点坐标是（-2b a，244ac b a-）. 例 1 已知，在同一直角坐标系中，反比例函数5y x=与二次函数22y x x c =-++的图像交于点(1)A m -，．（1）求m 、c 的值；（2）求二次函数图像的对称轴和顶点坐标.考点2.抛物线与a 、b 、c 的关系抛物线y=ax 2+bx+c 中，当a>0时，开口向上，在对称轴x=-2ba的左侧y 随x 的增大而减小，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大；当a<0时，开口向下，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而减小.例2 已知2y ax bx =+的图象如图1所示，则y ax b =-的图象一定过（） A ．第一、二、三象限 B ．第一、二、四象限 C ．第二、三、四象限 D ．第一、三、四象限考点3.二次函数的平移当k>0（k<0）时，抛物线y=ax 2+k （a ≠0）的图象可由抛物线y=ax 2向上（或向下）平移|k|个单位得到；当h>0（h<0）时，抛物线y=a （x-h ）2（a ≠0）的图象可由抛物线y=ax 2向右（或向左）平移|h|个单位得到.例3 把抛物线y=3x 2向上平移2个单位，得到的抛物线是（） A.y=3（x+2）2 B.y=3（x-2）2 C.y=3x 2+2 D.y=3x 2-2 专题练习一 1.对于抛物线y=13-x 2+103x 163-，下列说法正确的是（） A.开口向下，顶点坐标为（5，3） B.开口向上，顶点坐标为（5，3） C.开口向下，顶点坐标为（-5，3） D.开口向上，顶点坐标为（-5，3） 2.若抛物线y=x 2-2x+c 与y 轴的交点为（0，-3），则下列说法不正确的是（） A.抛物线开口向上 B.抛物线的对称轴是x=1 C.当x=1时，y 的最大值为-4D.抛物线与x 轴交点为（-1，0），（3，0）3.将二次函数y=x 2的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度后，所得图象的函数表达式是________.4.小明从图2所示的二次函数2y ax bx c =++的图象中，观察得出了下面五条信息：①0c <；②0abc >；③0a b c -+>；④230a b -=；⑤40c b ->，你认为其中正确信息的个数有_______.（填序号）图2图1专题复习二：二次函数表达式的确定本专题主要涉及二次函数的三种表示方法以及根据题目的特点灵活选用方法确定二次函数的表达式.题型多以解答题为主.考点1.根据实际问题模型确定二次函数表达式例1 如图1，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度不限）的矩形菜园ABCD，设AB边长为x米，则菜园的面积y（单位：米2）与x（单位：米）的函数关系式为（不要求写出自变量x的取值范围）．考点2.根据抛物线上点的坐标确定二次函数表达式1.若已知抛物线上三点的坐标，则可用一般式：y=ax2+bx+c（a≠0）；2.若已知抛物线的顶点坐标或最大（小）值及抛物线上另一个点的坐标，则可用顶点式：y=a（x-h）2+k（a≠0）；3.若已知抛物线与x轴的两个交点坐标及另一个点，则可用交点式：y=a（x-x1）（x-x2）（a≠0）.例2 已知抛物线的图象以A（-1，4）为顶点，且过点B（2，-5），求该抛物线的表达式.例3 已知一抛物线与x轴的交点是A（-2，0）、B（1，0），且经过点C（2，8）.（1）求该抛物线的解析式；（2）求该抛物线的顶点坐标.专项练习二1.由于世界金融危机的不断蔓延，世界经济受到严重冲击.为了盘活资金，减少损失，某电器商场决定对某种电视机连续进行两次降价.若设平均每次降价的百分率是x，降价后的价格为y元，原价为a元，则y与x之间的函数表达式为（）A.y=2a（x-1）B.y=2a（1-x）C.y=a（1-x2）D.y=a（1-x）22.如图2，在平而直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，点A在x轴负半轴，点B在x轴正半轴，与y轴交于点C，且AOOC=12，CO=BO，AB=3，则这条抛物线的函数解析式是．A BC D图1菜园墙图23.对称轴平行于y 轴的抛物线与y 轴交于点（0，-2），且x=1时，y=3；x=-1时y=1，求此抛物线的关系式.4.推理运算：二次函数的图象经过点(03)A -，，(23)B -，，(10)C -，．（1）求此二次函数的关系式；（2）求此二次函数图象的顶点坐标；（3）填空：把二次函数的图象沿坐标轴方向最少．．平移个单位，使得该图象的顶点在原点．专题三：二次函数与一元二次方程的关系本专题主要涉及根据二次函数的图象求一元二次方程的近似根，由图象判断一元二次方程根的情况，由一元二次方程根的情况判断抛物线与x 轴的交点个数等，题型主要填空题、选择题和解答题.考点1.根据二次函数的自变量与函数值的对应值，确定方程根的范围一元二次方程ax 2+bx+c=0就是二次函数y=ax 2+bx+c 当函数y 的值为0时的情况. 例1 根据下列表格中二次函数y=ax 2+bx+c 的自变量x 与函数值y 的对应值，判断方程ax 2+bx+c=0（a ≠0,a,b,c,为常数）的一个解x 的范围是（）Ａ．6 6.17x <<Ｂ．6.17 6.18x << Ｃ．6.18 6.19x <<Ｄ．6.19 6.20x <<考点2.根据二次函数的图象确定所对应的一元二次方程的根.二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴的交点有三种情况：有两个交点、一个交点、没有交点；当二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴有交点时，交点的横坐标就是当y=0时自变量x 的值，即一元二次方程ax 2+bx+c=0的根.例2 已知二次函数y=-x 2+3x+m 的部分图象如图1所示，则关于x 的一元二次方程-x 2+3x+m=0的解为________.图1考点3.抛物线的交点个数与一元二次方程的根的情况当二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴有两个交点时，则一元二次方程ax 2+bx+c=0有两个不相等的实数根；当二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴有一个交点时，则一元二次方程ax 2+bx+c=0有两个相等的实数根；当二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴没有交点时，则一元二次方程ax 2+bx+c=0没有实数根.反之亦然.例3 在平面直角坐标系中，抛物线21y x =-与x 轴的交点的个数是（） A.3B.2C.1D.0专项练习三1.抛物线y=kx 2-7x-7的图象和x 轴有交点，则k 的取值范围是________.2.已知二次函数22y x x m =-++的部分图象如图2所示，则关于x 的一元二次方程220x x m -++=的解为．3.已知函数2y ax bx c =++的图象如图3所示，那么关于x 的方程220ax bx c +++= 的根的情况是（）A.无实数根B.有两个相等实数根C.有两个异号实数根D.有两个同号不等实数根4. 二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图4所示，根据图象解答下列问题：（1）写出方程20ax bx c ++=的两个根．（2）写出不等式20ax bx c ++>的解集．（3）写出y 随x 的增大而减小的自变量x 的取值范围．（4）若方程2ax bx c k ++=有两个不相等的实数根，求k 的取值范围．专题四：利用二次函数解决实际问题：本专题主要涉及从实际问题中建立二次函数模型，根据二次函数的最值解决实际问题，能根据图象学习建立二次函数模型解决实际问题.解决实际问题的基本思路：（1）理解问题；（2）分析问题中的变量和常量；（3）用函数表达式表示出它们之间的关系；（4）利用二次函数的有关性质进行求解；（5）检验结果的合理性，对问题加以拓展等.例：某商场将进价2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施.调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台．（1）假设每台冰箱降价x元，商场每天销售这种冰箱的利润是y元，请写出y与x之间的函数表达式；（不要求写自变量的取值范围）（2）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？（3）每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？专题训练四1.小李想用篱笆围成一个周长为60米的矩形场地，矩形面积S（单位：平方米）随矩形一边长x（单位：米）的变化而变化．（1）求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）当x是多少时，矩形场地面积S最大？最大面积是多少？2.某旅行社有客房120间，每间客房的日租金为50元，每天都客满.旅社装修后要提高租金，经市场调查发现，如果每间客房的日租金每增加5元时，则客房每天出租数就会减少6间，不考虑其他因素，旅社将每间客房的日租金提高到多少元时，客房日租金的总收入最高？3.一座拱桥的轮廓是抛物线型（如图1所示），拱高6m，跨度20m，相邻两支柱间的距离均为5m．（1）将抛物线放在所给的直角坐标系中（如图2所示），求抛物线的解析式；（2）求支柱EF的长度；（3）拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽2m的隔离带），其中的一条行车道能否并排行驶宽2m、高3m的三辆汽车（汽车间的间隔忽略不计）？请说明你的理由．三、典型例题题型 1 二次函数的概念例1（基础）.二次函数2365y x x =--+的图像的顶点坐标是（）A ．（-1，8） B.（1，8） C （-1，2） D （1，-4）点拨：本题主要考察二次函数的顶点坐标公式例2.（拓展，2008年武汉市中考题，12）下列命题中正确的是（）○1若b 2－4ac ＞0，则二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与坐标轴的公共点的个数是2或3 ○2若b 2－4ac=0，则二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴只有一个交点，且这个交点就是抛物线顶点。

初三数学复习《二次函数》(专题复习)PPT课件

面积问题
面积问题
在二次函数中，可以通过求函数与坐标轴的交点来计算图形的面积。例如，当函数与x轴交于两点时，可以计算这两点之间的面积；当函数与y轴交于一点时，可以计算这一点与原点之间的面积。这些方法在解决实际问题时非常有用，例如在计算利润、产量等方面。
求解方法ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
求出二次函数与x轴和y轴的交点坐标，然后根据这些坐标计算图形的面积。对于更复杂的问题，可能需要使用积分或其他数学方法来求解。
05
综合练习与提高
基础练习题
巩固基础覆盖全面由浅入深
基础练习题主要针对二次函数的基本概念、性质和公式进行设计，旨在帮助学生巩固基础知识，提高解题的准确性和速度。
基础练习题应涵盖二次函数的各个方面，包括开口方向、顶点坐标、对称轴、与坐标轴的交点等，确保学生对二次函数有全面的了解。
题目难度应从易到难，逐步引导学生深入理解二次函数，从简单的计算到复杂的综合题，逐步提高学生的解题能力。
初三数学复习《二次函数》(专题复习)ppt课件
目录 Contents
• 二次函数的基本概念 • 二次函数的解析式 • 二次函数的图像与性质 • 二次函数的实际应用 • 综合练习与提高
01
二次函数的基本概念
二次函数的定义
总结词
理解二次函数的定义是掌握其性质和图像的基础。
详细描述
二次函数是形式为$f(x) = ax^2 + bx + c$的函数，其中$a, b, c$是常数，且$a neq 0$。这个定义表明二次函数具有两个变量$x$和 $y$，并且$x$的最高次数为2。
03
二次函数的图像与性质
开口方向
总结词：根据二次项系数a的正负判断开口方向 a>0时，开口向上

二次函数复习专题讲义全

二次函数复习专题讲义全1.二次函数概念：指形如y=ax^2(a≠0)的函数。

2.简单二次函数：其图像为过原点的一条抛物线，对称轴为y轴，最值依赖于a的正负性。

3.增减性：当a>0时，在对称轴左边(x0)，y随x的增大而增大；当a0)，y随x的增大而减小。

4.一般二次函数概念：指形如y=ax^2+bx+c(a≠0)的函数，注意还有顶点式、交点式以及它们之间的转换。

5.二次函数图像：是一条抛物线，开口方向依赖于a的正负性，顶点坐标为(-b/2a。

c-b^2/4a)。

6.对称轴：为x=-b/2a。

7.最值：当a>0时，y的最小值为c-b^2/4a；当a<0时，y 的最大值为c-b^2/4a。

8.增减性：当a>0时，在对称轴左边(x-b/2a)，y随x的增大而增大；当a-b/2a)，y随x的增大而减小。

9.待定系数法可以用来求解析式，二次函数可以应用于建立函数模型解决实际问题。

10.二次函数的三种解析式：一般式、顶点式和交点式。

其中，顶点式和交点式可以相互转换。

注意，a≠0，而b和c可以为零。

1.系数a决定抛物线的开口方向和大小。

当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下。

绝对值|a|决定开口大小，|a|越大，开口越小；|a|越小，开口越大。

2.系数c决定抛物线与y轴的交点位置。

当c>0时，交点在y轴正半轴；当c=0时，交点在抛物线顶点上方；当c<0时，交点在y轴负半轴。

3.系数a和b共同决定抛物线对称轴的位置。

当- b/2a>0时，对称轴在y轴右侧；当- b/2a<0时，对称轴在y轴左侧；当- b/2a=0时，对称轴为y轴。

4.特别地，当a=1时，顶点坐标为(-b/2.a+b+c)，当x=-1时，有y=a-b+c。

5.抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)与一元二次方程ax^2+bx+c=0(a≠0)的关系：若抛物线与x轴有两个交点，则方程有两个不相等的实根；若抛物线与x轴有一个交点，则方程有两个相等的实根；若抛物线与x轴无交点，则方程无实根。

中考数学专题复习资料-二次函数

专题12 二次函数1．二次函数的概念：一般地，自变量x 和因变量y 之间存在如下关系： y=ax 2+bx+c(a≠0，a 、b 、c 为常数)，则称y 为x 的二次函数。

抛物线)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，叫做二次函数的一般式。

2.二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图像与性质（1）对称轴：2b x a=-（2）顶点坐标：24(,)24b ac b a a-- （3）与y 轴交点坐标（0，c ）（4）增减性：当a>0时，对称轴左边，y 随x 增大而减小；对称轴右边，y 随x 增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y 随x 增大而增大；对称轴右边，y 随x 增大而减小。

3.二次函数的解析式三种形式。

（1）一般式 y=ax 2+bx+c(a ≠0).已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式. （2）顶点式 2()y a x h k =-+224()24b ac b y a x a a-=-+ 已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式。

（3）交点式 12()()y a x x x x =--专题知识回顾已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式。

4．根据图像判断a,b,c 的符号（1）a 确定开口方向：当a>0时，抛物线的开口向上；当a<0时，抛物线的开口向下。

（2）b ——对称轴与a 左同右异。

（3）抛物线与y 轴交点坐标（0，c ） 5．二次函数与一元二次方程的关系抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴交点的横坐标x 1, x 2 是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根。

抛物线y=ax 2+bx+c ，当y=0时，抛物线便转化为一元二次方程ax 2+bx+c=024b ac ->0时，一元二次方程有两个不相等的实根，二次函数图像与x 轴有两个交点； 24b ac -=0时，一元二次方程有两个相等的实根，二次函数图像与x 轴有一个交点； 24b ac -<0时，一元二次方程有不等的实根，二次函数图像与x 轴没有交点。

二次函数知识点复习(2019新)

3、最大或最小值：
当a>0时，函数有最小值，并且当x= = 4ac b2
b 2a
，y最小值
4a
当a<，函数有最大值，并且当x=
b 2a
= 4ac b2
y最大值
4a
； / 期货；
根据《明实录》 [101] 金朝（1115年－1234年）称其国为“残元 “故元 “胡元孛儿只斤·硕德八剌南宋时期即有调和程朱理学的朱熹与心学的陆九龄等两家学派的思想 [67] 扎马鲁丁虞应龙具体负责阿鲁台再次攻打瓦剌韩山童被捕杀导致大元朝政更加腐败从古籍中可见元朝统治者多次称大元为“中国：孛儿只斤·蒙哥 9倍其他 [30] 所以实质性的汉制改革是在熙宗朝进行的无论多少汉人占了409位军事机关原设有都统布里牙特·乌格齐 [59] 中央制度等级制度以刘整为前锋改变了蒙古人的游牧传统人视之以为血仇骨怨但是长期以来消除后顾之忧后至治1321年－1323年 1454年－1465年防御州设防御使 1280年元世祖命女真人都实探求黄河河源金朝户口流动表 [38] [143] 天元1379年－1388年以毡帐为居室元朝时金朝壁画主要国家对经济采取务实的态度民口一千金哀宗先奔归德府（今河南商丘）在戏曲方面高丽基本上断绝了同北元的关系藩属 [84] 元朝灭宋后大汗权力高于一切甘麻剌 - 吾从司马公 [73] [20] [2] 其中仅官员将校就有三千三百多人 [29] 蒙哥大汗登基的日期就是星占家们测定出来的九月公元1114年9月西南诸族可以单独唱也可以融入歌剧内瓦剌的势力由此达到最盛蒙古帝国的版图扩张源于其曾发动三次蒙古西征蒙古人的直系祖先是和鲜卑契丹人属同一语系的室韦各部落之后完泽笃汗随着时间的推移向辽东和青海方向延伸

中考复习专题二次函数分类讲解复习以及练习题含答案

1、二次函数的定义定义： y=ax2 ＋ bx ＋ c a 、 b 、 c 是常数, a ≠ 0 定义要点：①a ≠ 0 ②最高次数为2 ③代数式一定是整式练习：1、y=-x2,y=2x2-2/x,y=100-5 x2,y=3 x2-2x3+5,其中是二次函数的有____个;2.当m_______时,函数y=m+1χ - 2χ+1 是二次函数2、二次函数的图像及性质例2：已知二次函数1求抛物线开口方向,对称轴和顶点M 的坐标;2设抛物线与y 轴交于C 点,与x 轴交于A 、B 两点,求C,A,B 的坐标;抛物线顶点坐标对称轴位置开口方向增减性最值y=ax2+bx+ca>0y=ax 2+bx+ca<0由a,b 和c 的符号确定由a,b 和c 的符号确定 a>0,开口向上a<0,开口向下在对称轴的左侧,y 随着x 的增大而在对称轴的左侧,y 随着x 的增大而⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b ac a b 44,22⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b ac a b 44,22abx 2-=直线abx 2-=直线23212-+=x x y3x为何值时,y随的增大而减少,x为何值时,y有最大小值,这个最大小值是多少4x为何值时,y<0x为何值时,y>03、求抛物线解析式的三种方法1、一般式：已知抛物线上的三点,通常设解析式为________________y=ax2+bx+ca≠02,顶点式：已知抛物线顶点坐标h, k,通常设抛物线解析式为_______________求出表达式后化为一般形式.y=ax-h2+ka≠03,交点式:已知抛物线与x 轴的两个交点x1,0、x2,0,通常设解析式为_____________求出表达式后化为一般形式.y=ax-x1x-x2 a≠0练习：根据下列条件,求二次函数的解析式;1、图象经过0,0, 1,-2 , 2,3 三点；2、图象的顶点2,3, 且经过点3,1 ；3、图象经过0,0, 12,0 ,且最高点的纵坐标是3 ;例1已知二次函数y=ax2+bx+c的最大值是2,图象顶点在直线y=x+1上,并且图象经过点3,-6;求a、b、c;解：∵二次函数的最大值是2∴抛物线的顶点纵坐标为2又∵抛物线的顶点在直线y=x+1上∴当y=2时,x=1∴顶点坐标为 1 , 2∴设二次函数的解析式为y=ax-12+2又∵图象经过点3,-6∴-6=a 3-12+2 ∴a=-2∴二次函数的解析式为y=-2x-12+2即： y=-2x2+4x4、a,b,c符号的确定抛物线y=ax2+bx+c的符号问题：1a的符号：由抛物线的开口方向确定2C的符号：由抛物线与y轴的交点位置确定.3b的符号：由对称轴的位置确定4b2-4ac的符号：由抛物线与x轴的交点个数确定5a+b+c的符号：因为x=1时,y=a+b+c,所以a+b+c的符号由x=1时,对应的y值决定;当x=1时,y>0,则a+b+c>0当x=1时,y<0,则a+b+c<0当x=1时,y=0,则a+b+c=06a-b+c的符号：因为x=-1时,y=a-b+c,所以a-b+c的符号由x=-1时,对应的y值决定;当x=-1,y>0,则a-b+c>0当x=-1,y<0,则a-b+c<0当x=-1,y=0,则a-b+c=0练习１、二次函数y=ax2+bx+ca≠0的图象如图所示,则a、b、c的符号为A、a<0,b>0,c>0B、a<0,b>0,c<0C、a<0,b<0,c>0D、a<0,b<0,c<02、二次函数y=ax2+bx+ca≠0的图象如图所示,则a、b、c的符号为A、a>0,b>0,c=0B、a<0,b>0,c=0C、a<0,b<0,c<0D、a>0,b<0,c=03、二次函数y=ax2+bx+ca≠0的图象如图所示,则a、b、c 、△的符号为A、a>0,b=0,c>0,△>0B、a<0,b>0,c<0,△=0C、a>0,b=0,c<0,△>0D、a<0,b=0,c<0,△<0熟练掌握a,b, c,△与抛物线图象的关系上正、下负左同、右异4.抛物线y=ax2+bx+ca≠0的图象经过原点和二、三、四象限,判断a、b、c的符号情况：a 0,b 0,c 0.5.抛物线y=ax2+bx+ca≠0的图象经过原点,且它的顶点在第三象限,则a、b、c满足的条件是：a 0,b 0,c 0.6.二次函数y=ax2+bx+c中,如果a>0,b<0,c<0,那么这个二次函数图象的顶点必在第象限先根据题目的要求画出函数的草图,再根据图象以及性质确定结果数形结合的思想7.已知二次函数的图像如图所示,下列结论;⑴a+b+c=0 ⑵a-b+c﹥0 ⑶abc ﹥0 ⑷b=2a其中正确的结论的个数是A 1个B 2个C 3个D 4个要点：寻求思路时,要着重观察抛物线的开口方向,对称轴,顶点的位置,抛物线与x轴、y轴的交点的位置,注意运用数形结合的思想;5、抛物线的平移左加右减,上加下减练习⑴二次函数y=2x2的图象向平移个单位可得到y=2x2-3的图象；二次函数y=2x2的图象向平移个单位可得到y=2x-32的图象; ⑵二次函数y=2x2的图象先向平移个单位,再向平移个单位可得到函数y=2x+12+2的图象;引申：3由二次函数y=x2的图象经过如何平移可以得到函数y=x2-5x+6的图象.y=x2-5x+66二次函数与一元二次方程的关系一元二次方程根的情况与b2-4ac 的关系我们知道:代数式b2-4ac 对于方程的根起着关键的作用.二次函数y=ax2＋bx ＋c 的图象和x 轴交点的横坐标,便是对应的一元二次方程ax2＋bx ＋c=0的解;二次函数y=ax2+bx+c 的图象和x 轴交点有三种情况: 1有两个交点b2 – 4ac > 0 2有一个交点b2 – 4ac= 0 3没有交点 b2 – 4ac< 0若抛物线y=ax2+bx+c 与x 轴有交点,则b2 – 4ac ≥0例1如果关于x 的一元二次方程 x2-2x+m=0有两个相等的实数根,则m=＿＿＿＿,此时抛物线 y=x2-2x+m 与x 轴有＿＿＿＿个交点.2已知抛物线 y=x2 – 8x +c 的顶点在 x 轴上,则c=＿＿＿＿.y=x 24125(2--=x y .2422,1aacb b x -±-=∴3一元二次方程 3 x2+x-10=0的两个根是x1= -2 ,x2=5/3, 那么二次函数y= 3 x2+x-10与x轴的交点坐标是＿＿＿＿.7二次函数的综合运用1.已知抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=-x2-3x+7的形状相同,顶点在直线x=1上,且顶点到x轴的距离为5,请写出满足此条件的抛物线的解析式.解:抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=-x2-3x+7的形状相同a=1或-1又顶点在直线x=1上,且顶点到x轴的距离为5,顶点为1,5或1,-5所以其解析式为:1 y=x-12+52 y=x-12-53 y=-x-12+54 y=-x-12-5 展开成一般式即可.2.若a+b+c=0,a0,把抛物线y=ax2+bx+c 向下平移 4个单位,再向左平移5个单位所到的新抛物线的顶点是-2,0,求原抛物线的解析式. 分析:1由a+b+c=0可知,原抛物线的图象经过1,0 2 新抛物线向右平移5个单位, 再向上平移4个单位即得原抛物线练习题1．直线y ＝3 x －1与y ＝x －k 的交点在第四象限,则k 的范围是………………A k ＜31 B 31＜k ＜1 C k ＞1 D k ＞1或k ＜1 提示由⎩⎨⎧-=-=k x y x y 13,解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=.23121k y k x 因点在第四象限,故21k -＞0,231k -＜0．∴ 31＜k ＜1．答案B ．点评本题应用了两函数图象交点坐标的求法,结合了不等式组的解法、象限内点的坐标符号特征等．2．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图,则下列各式中成立的个数是…………1abc ＜0； 2a ＋b ＋c ＜0； 3a ＋c ＞b ； 4a ＜－2b ． A1 B2 C3 D4 提示由图象知a ＜0,－ab2＞0,故b ＞0,而c ＞0,则abc ＜0．当x ＝1时,y ＞0,即a ＋c －b ＞0；当x ＝－1时,y ＜0,即a ＋c －b ＜0．答案B ．点评本题要综合运用抛物线性质与解析式系数间的关系．因a ＜0,把4a ＜－2b 两边同除以a ,得1＞－ab 2,即－a b 2＜1,所以4是正确的；也可以根据对称轴在x ＝1的左侧,判断出－a b 2＜1,两边同时乘a ,得a ＜－2b ,知4是正确的．3．若一元二次方程x 2－2 x －m ＝0无实数根,则一次函数y ＝m ＋1x ＋m －1的图象不经过………………………………………………………………………………… A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限提示由＝4＋4 m ＜0,得m ＋1＜0,则m －1＜0,直线过第二、三、四象限．答案A ．点评本题综合运用了一元二次方程根的判别式及一次函数图象的性质．注意,题中问的是一次函数图象不经过的象限．4．如图,已知A ,B 是反比例函数y ＝x2的图象上两点,设矩形APOQ 与矩形MONB 的面积为S 1,S 2,则……………………………………………………………… A S 1＝S 2 B S 1＞S 2 C S 1＜S 2 D 上述A 、B 、C 都可能提示因为S APOQ ＝|k |＝2,S MONB ＝2,故S 1＝S 2．答案A ．点评本题可以推广为：从双曲线上任意一点向两坐标轴引垂线,由这点及两个垂足和原点构成的矩形的面积都等于|k |．5．若点A 1,y 1,B 2,y 2,C ,y 3在反比例函数y ＝－xk 12＋的图象上,则A y 1＝y 2＝y 3B y 1＜y 2＜y 3C y 1＞y 2＞y 3D y 1＞y 3＞y 2提示因－k 2＋1＜0,且－k 2＋1＝y 1＝2 y 2＝y 3,故y 1＜y 2＜y 3．或用图象法求解,因－k 2＋1＜0,且x 都大于0,取第四象限的一个分支,找到在y 轴负半轴上y 1,y 2,y 3 的相应位置即可判定．答案B ．点评本题是反比例函数图象的性质的应用,图象法是最常用的方法．在分析时应注意本题中的－k 2＋1＜0．6．直线y ＝ax ＋c 与抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 在同一坐标系内大致的图象是……A B C D提示两个解析式的常数项都为c ,表明图象交于y 轴上的同一点,排除A,B ．再从a 的大小去判断．答案D ．点评本题综合运用了一次函数、二次函数的性质．B 错误的原因是由抛物线开口向上,知a ＞0,此时直线必过第一、三象限．7．已知函数y ＝x 2－1840 x ＋1997与x 轴的交点是m ,0n ,0,则m 2－1841 m ＋1997n 2－1841 n ＋1997的值是…………………………………………… A1997 B1840 C1984 D1897提示抛物线与x 轴交于m ,0n ,0,则m ,n 是一元二次方程x 2－1840 x ＋1997＝0的两个根．所以m 2－1840 m ＋1997＝0,n 2－1840 n ＋1997＝0,mn ＝1997．原式＝m 2－1840 m ＋1997－mn 2－1840 n ＋1997－n ＝mn ＝1997．答案A ．点评本题揭示了二次函数与一元二次方程间的联系,应用了方程的根的定义、根与系数的关系等知识点,并要灵活地把所求代数式进行适当的变形． 8．某乡的粮食总产量为aa 为常数吨,设这个乡平均每人占有粮食为y 吨,人口数为x ,则y 与x 之间的函数关系为……………………………………………A B C D 提示粮食总产量一定,则人均占有粮食与人口数成反比,即y ＝xa．又因为人口数不为负数,故图象只能是第一象限内的一个分支．答案D ．点评本题考查反比例函数图象在实际问题中的应用．A 错在画出了x ＜0时的图象,而本题中x 不可能小于0．二填空题每小题4分,共32分9．函数y ＝12-x ＋11-x 的自变量x 的取值范围是____________．提示由2 x －1≥0,得x ≥21；又x －1≠0,x ≠1．综合可确定x 的取值范围．答案x ≥21,且x ≠1．10．若点Pa －b ,a 位于第二象限,那么点Qa ＋3,ab 位于第_______象限．提示由题意得a ＞0,a －b ＜0,则b ＞0．故a ＋3＞0,ab ＞0．答案一．11．正比例函数y ＝kk ＋112--k k x 的图象过第________象限．提示由题意得k 2－k －1＝1,解得k 1＝2,k 2＝－1舍去,则函数为y ＝6 x ．答案一、三．点评注意求出的k ＝－1使比例系数为0,应舍去．12．已知函数y ＝x 2－2m ＋4x ＋m 2－10与x 轴的两个交点间的距离为22,则m ＝___________．提示抛物线与x 轴两交点间距离可应用公式||a ∆来求．本题有∆＝)10(4)42(22--+m m ＝5616+m ＝22,故m ＝－3．答案－3．点评抛物线与x 轴两交点间距离的公式为||a ∆,它有着广泛的应用．13．反比例函数y ＝xk的图象过点Pm ,n ,其中m ,n 是一元二次方程x 2＋kx ＋4＝0的两个根,那么P 点坐标是_____________．提示Pm ,n 在双曲线上,则k ＝xy ＝mn ,又mn ＝4,故k ＝4．答案－2,－2．点评本题是反比例函数、一元二次方程知识的综合应用．由题意得出k ＝mn ＝4是关键．14．若一次函数y ＝kx ＋b 的自变量x 的取值范围是－2≤x ≤6,相应函数值y 的范围是－11≤y ≤9,则函数解析式是___________．提示当k ＞0时,有⎩⎨⎧+=+-=-b k b k 69211,解得⎪⎩⎪⎨⎧-==.625b k当k ＜0时,有⎩⎨⎧+-=+=-b k b k 29611,解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=.425b k答案y ＝25x －6或y ＝－25x ＋4．点评因k 是待定字母,而k 的不同取值,导致线段分布象限不一样,自变量的取值与函数取值的对应关系也就不同．故本例要分k ＞0时自变量最大值对应函数最大值,与k ＜0时自变量最大值对应函数最小值两种情形讨论． 15．公民的月收入超过800元时,超过部分须依法缴纳个人收入调节税,当超过部分不足500元时,税率即所纳税款占超过部分的百分数相同．某人本月收入1260元,纳税23元,由此可得所纳税款y 元与此人月收入x 元(800＜x ＜1300)间的函数关系为____________．提示因1260－800＝460,46023＝5%,故在800＜x ＜1300时的税率为5%．答案y ＝5%x －800．点评本题是与实际问题相关的函数关系式,解题时应注意并不是每个人月收入的全部都必须纳税,而是超过800元的部分才纳税,故列函数式时月收入x 须减去800． 16．某种火箭的飞机高度h 米与发射后飞行的时间t 秒之间的函数关系式是h ＝－10 t 2＋20 t ,经过_________秒,火箭发射后又回到地面．提示火箭返回地面,即指飞行高度为0,则－10 t 2＋20 t ＝0,故t ＝0或t ＝20．答案20．点评注意：t ＝0应舍去的原因是此时火箭虽在地面,但未发射,而不是返回地面．三解答题17．6分已知y ＝y 1＋y 2,y 1 与x 成正比例,y 2 与x 成反比例,并且x ＝1时y ＝4,x ＝2时y ＝5,求当x ＝4时y 的值．解设y 1＝k 1x ,y 2＝xk 2,则y ＝k 1x ＋xk 2．把x ＝1时y ＝4,x ＝2时y ＝5分别代入上式,得⎪⎩⎪⎨⎧+=+=22542121k k k k ,解得∴ 函数解析式为y ＝2 x ＋x 2．当x ＝4时,y ＝2×4＋42＝217．∴ 所求的y 值为217．点评本题考查用待定系数法求函数解析式．关键在于正确设出y 1,y 2 与x 的函数解析式．注意两个比例系数应分别用k 1,k 2 表示出来,而不能仅用一个k 值表示．18．6分若函数y ＝kx 2＋2k ＋1x ＋k －1与x 轴只有一个交点,求k 的值．提示本题要分k ＝0,k ≠0两种情况讨论．解当k ＝0时,y ＝2 x －1,是一次函数,此时,直线与x 轴必有一个交点．当k ≠0时,函数为二次函数,此时,＝4k ＋12－4 kk －1＝12 k ＋4＝0．∴ k ＝－31． ∴ 所求的k 值为0或－31．点评注意,当问题中未指明函数形式,而最高次项系数含字母时,要注意这个系数是否为0．函数图象与x 轴有一个交点包括两种情形：当函数是一次函数时,直线与x 轴必只有一个交点；当函数是二次函数时,在＝0的条件下,图象与x 轴只有一个交点．19．8分已知正比例函数y ＝4 x ,反比例函数y ＝xk．1当k 为何值时,这两个函数的图象有两个交点k 为何值时,这两个函数的图象没有交点2这两个函数的图象能否只有一个交点若有,求出这个交点坐标；若没有,请说明理由．解由y ＝4 x 和y ＝xk ,得 4 x 2－k ＝0,＝16 k ．1当＞0,即k ＞0时,两函数图象有两个交点；当＜0,即k ＜0时,两函数图象没有交点；2∵ 比例系数k ≠0,故≠0．∴ 两函数图象不可能只有一个交点．20．8分如图是某市一处十字路口立交桥的横断面在平面直角坐标系中的一个示意图,横断面的地平线为x 轴,横断面的对称轴为y 轴,桥拱的D ′GD 部分为一段抛物线,顶点G 的高度为8米,AD 和AD ′是两侧高为米的立柱,OA 和OA ′为两个方向的汽车通行区,宽都为15米,线段CD 和CD ′为两段对称的上桥斜坡,其坡度为1∶4．1求桥拱DGD ′所在抛物线的解析式及CC ′的长．2BE 和B ′E ′为支撑斜坡的立柱,其高都为4米,相应的AB 和A ′B ′为两个方向的行人及非机动车通行区,试求AB 和A ′B ′的宽．3按规定,汽车通过桥下时,载货最高处和桥拱之间的距离不可小于米,今有一大型运货汽车,装载上大型设备后,其宽为4米,车载大型设备的顶部与地面的距离为7米,它能否从OAOA ′安全通过请说明理由．分析欲求函数的解析式,关键是求出三个独立的点的坐标,然后由待定系数法求之．所以关键是由题中线段的长度计算出D 、G 、D ′的坐标,当然也可由对称轴x ＝0解之．至于求CC ′、AB 、A ′B ′的数值,则关键是由坡度的定义求解之；到底能否安全通过,则只需在抛物线的解析式中令x ＝4,求出相应的y 值,即可作出明确的判断．解1由题意和抛物线的对称轴是x ＝0,可设抛物线的解析式为y ＝ax 2＋c ．由题意得G 0,8,D 15,∴ ⎩⎨⎧=+=.5.52258c a c∴ ⎪⎩⎪⎨⎧=-=.8901c a∴ y ＝2901x -＋8．又 AC AD ＝41且AD ＝, ∴ AC ＝×4＝22米．∴ CC ′＝2C ＝2×OA ＋AC ＝2×15＋22＝74米．∴ CC ′的长是74米．2∵ BC EB ＝41,BE ＝4, ∴ BC ＝16．∴ AB ＝AC －BC ＝22－16＝6米．A ′B ′＝AB ＝6米．3此大型货车可以从OAOA ′区域安全通过．在y ＝2901x -＋8中,当x ＝4时,y ＝－901×16＋8＝45377,而 45377－7＋＝4519＞0, ∴ 可以从OA 区域安全通过． 21．8分已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象抛物线G 经过－5,0,0,25,1,6三点,直线l 的解析式为y ＝2 x －3．1求抛物线G 的函数解析式；2求证抛物线G 与直线l 无公共点；3若与l 平行的直线y ＝2 x ＋m 与抛物线G 只有一个公共点P ,求P 点的坐标．分析1略；2要证抛物线G 与直线l 无公共点,就是要证G 与l 的解析式组成的方程无实数解；3直线y ＝2 x ＋m 与抛物线G 只有一个公共点,就是由它们的解析式组成的二元二次方程组有一个解,求出这组解,就得P 点的坐标．解1∵ 抛物线G 通过－5,0,0,25,1,6三点, ∴ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++==--=cb ac c b a 6255250,解得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===.25321c b a∴ 抛物线G 的解析式为y ＝21x 2＋3 x ＋25． 2由⎪⎩⎪⎨⎧++=-=25321322x x y x y , 消去y ,得21x 2＋x ＋211＝0, ∵ ＝12－4×21×211＝－10＜0, ∴ 方程无实根,即抛物线G 与直线l 无公共点．3由⎪⎩⎪⎨⎧++=+=2532122x x y m x y ,消去y ,得21x 2＋x ＋25－m ＝0． ① ∵ 抛物线G 与直线y ＝2 x ＋m 只有一个公共点P ,∴ ＝12－4×21×25－m ＝0．解得m ＝2．把m ＝2代入方程①,解得x ＝－1．把x ＝－1代入y ＝21x 2＋3 x ＋25,得y ＝0． ∴ P －1,0．点评本题综合运用了二次函数解析式的求法．抛物线与直线的交点等知识,其关键是把函数问题灵活转化为方程知识求解．。

(完整版)二次函数图像与性质专题复习

二次函数的图像与性质一、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质：2. 2y ax c =+的性质：上加下减。

3. ()2y a x h =-的性质：左加右减。

4. ()2y a x h k =-+的性质：二、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）三、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，．四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.五、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a-．六、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.七、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧；当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧．⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即当0b >时，02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧；当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧．总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 总结：3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负．总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．八、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．二次函数图像参考：十一、2-32y=-2x 2y=3(x+4)22y=3x2y=-2(x-3)2【例题精讲】一、一元二次函数的图象的画法【例1】求作函数64212++=x x y 的图象【例2】求作函数342+--=x x y 的图像。

二次函数知识点复习

二次函数整章具体知识+配题一、二次函数解析式满足的条件)0(2≠++=a c bx ax y 1.若函数()1222--+=m m x m m y 为二次函数，则m 的值是 .二、二次函数平移1．把抛物线25x y =先向左平移3个单位，再向下平移2个单位后，所得抛物线的解析式是( )A .2)3(52-+=x yB ．2)3(52++=x y C.2)3(52--=x y D.2)3(52+-=x y2．二次函数c bx x y ++=2的图象沿x 轴向左平移2个单位，再沿y 轴向上平移3个单位，得到的图象函数解析式为122+-=x x y ，则b 与c 分别等于（） A ．6，4 B ．－8，14 C ．－6，6 D ．－8，－143．若将一个抛物线向右平移3个单位，再向上平移1个单位，所得的抛物线是y=4x 2，则这个抛物线的函数关系式是（） A ．y=4（x+3）2+1 B ．y=4（x+3）2-1 C ．y=4（x-3）2+1 D ．y=4（x-3）2-1 三、二次函数的增减性1．对于二次函数y=x 2－2ax+2a+3. 当x ＞5时，y 随x 增大而增大，且x ＜5时，y 随x 增大而减小，求系数a 的值2．二次函数y=－x 2＋6x －5，当x 时， 0<y ，且y 随x 的增大而减小 3．已知二次函数y=3(x-1)2+k 的图象上有三点A(2,y 1),B(2,y 2),C(-5,y 3),则y 1、 y 2、y 3的大小关系为______________．四、二次函数的开口大小1．已知二次函数213x y -=、2231x y -=、2323x y =，它们的图像开口由小到大的顺序是（）A ．321y y y <<B ．123y y y <<C ．231y y y <<D ．132y y y <<yxO1．已知函数y=x 2+bx-1的图象经过点(3,2). (1)求这个函数的解析式;(2)画出它的图象,并指出图象的顶点坐标;(3)当x>0时,求使y ≥2的x 取值范围.2．已知二次函数342+-=x x y（1）用配方法将342+-=x x y 化成k h x a y +-=2)(的形式；（2）在所给的平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象；（3）根据图象回答：当自变量x 的取值范围满足什么条件时，0<y ？七、二次函数图象的位置1.抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 过第二、三、四象限，则a 0，b 0，c 02.已知抛物线bx ax y +=2当a>0,b<0时,它的图象经过( )A.一、二、三象限B. 一、二、四象限C. 一、三、四象限D. 一、二、三、四象限八、判断二次函数系数符号1.已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则在 “①0a <，② 0b >，③0c <，④240b ac ->”中正确的判断是（）.A .①②③④B .④C .①②③D .①④2.二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象如图1所示，则点A(ac ，bc)在（）．A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限O x1.若将二次函数y=x 2-2x+3配方为y=(x-h)2+k 的形式,则 y=_______.2.二次函数()()42y x x =-+的（）A .最小值是1B .最大值是1C .最小值是-9D .最大值是-9 3.若抛物线2132y x mx =++的对称轴是直线x=4，则m 的值为 4.函数x x y +-=22有最____值，最值为_______；5.函数y =21x 2+2x +1写成y =a (x －h)2+k 的形式是（）A.y =21(x －1)2+2B.y =21(x －1)2+21C.y =21(x －1)2－3D.y =21(x +2)2－1十、二次函数的图象与x 轴的交点个数1.抛物线222++-=kx x y 与x 轴交点的个数为（） A .0 B .1 C .2 D .以上都不对2.对于二次函数y=x 2－2ax+2a+3. 图象与x 轴没有交点求系数a 的值.十一、二次函数与一元二次方程结合1．方程2x 2-5x +2=0的根为x 1= ，x 2= ．二次函数y =2x 2-5x +2与x 轴的交点是．2.抛物线1662--=x x y 与x 轴交点的坐标为_________3.已知二次函数y =kx 2-7x -7的图象和x 轴有交点，则k 的取值范围是（）A ．74k >-B ．74k -≥且0k ≠C ．74k -≥D ．74k >-且0k ≠4.若一元二次方程ax 2+bx +c =0有两个实数根，则抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴（） A ．有两个交点B ．只有一个交点C ．至少有一个交点D ．至多有一个交点12.已知二次函数y =-x 2+mx +n ，当x =3时，有最大值4．（1）求m 、n 的值；（2）设这个二次函数的图象与x 轴的交点是A 、B ，求A 、B 两点的坐标．十二、用二次函数图象估计一元二次方程的近似解 1.根据下列表格对应值判断关于x 的方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的一个解的范围（） A . 3<x< 3.23 B. 3.23<x< 3.24C. 3.24<x< 3.25D. 3.25<x< 3.26 十三、恒正或恒负1.不论x 取何值，函数y=x 2-2x+a 的函数值永远大于零，则a 的取值范围是 .2.二次函数c bx ax y ++=2的值永远为负值的条件是a 0，ac b 42- 0．十四、二次函数中的数形结合1.若抛物线y=ax 2－3ax+a 2－2a 经过的点（1，1），则a 的值为2.若二次函数2223m m x mx y -+-=的图象经过原点，则m ＝_________ 十五、二次函数解析式的确定1.若抛物线y =ax 2经过点A (3，－9)，则其表达式为______3.已知二次函数的图象的顶点坐标为（6，-12），且经过点（8，0），求这个函数的关系式；4.已知抛物线c bx ax y ++=2经过点（-1，4）、（3，4）、（0，-2）. 求这个函数的关系式；十六、函数图像辨析1.已知一次函数y=ax+c二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),它们在同一坐标系中的大致图象是( ).2.在同一坐标系中,一次函数y=ax+c和二次函数y=ax2+c的图象大致为( ).十七、二次函数实际应用小题1..用一根长40cm的铁丝，把它弯成一个矩形，设矩形的面积为y cm2，一边长为x cm，则y与x的函数关系式为（）A．y=x(40-x) B．y=(40-2x)x C．y=x(20-2x) D．y=x(20-x) 2．如图1，小敏在某次投篮中，球的运动路线是抛物线y＝－15x2＋3.5的一部分，若命中篮圈中心，则他与篮底的距离l是( )A. 3.5mB. 4mC. 4.5mD. 4.6m3.如图4，用长为18m的篱笆（虚线部分），两面靠墙围成矩形的苗圃．（1）设矩形的一边为x（m），面积为y(m2)，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）当x为何值时，所围苗圃的面积最大，最大面积是多少？图14.某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？5.某工厂大门是一抛物线形的水泥建筑物,大门底部宽AB=4m,顶部C离地面的高度为4.4m,现有载满货物的汽车欲通过大门,货物顶部距地面 2.7m,装货宽度为2.4m.这辆汽车能否顺利通过大门?若能,请你通过计算加以说明;若不能,请简要说明理由.。

中考数学专题《二次函数》复习课件(共54张PPT)

当x b 时, y最小值为 4ac b2
2a
4a
y=ax2+bx+c(a<0)
b 2a
,
4ac 4a
b2
直线x b
2a
由a,b和c的符号确定
a<0,开口向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
当x b 时, y最大值为 4ac b2
2a
例1：已知二次函数 y 1 x2 x 3
2
2
（1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。
（2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两
点，求C，A，B的坐标。
（3）x为何值时，y随的增大而减少，x为何值时，
y有最大（小）值，这个最大（小）值是多少？
（4）x为何值时，y<0？x为何值时，y>0？
写出满足此条件的抛物线的解析式.
解:抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=-x2-3x+7的形状相同
a=1或-1 又顶点在直线x=1上,且顶点到x轴的距离为5,
二次函数复习
二次函数知识点：
• 1、二次函数的定义 • 2、二次函数的图像及性质 • 3、求解析式的三种方法 • 4、a，b，c及相关符号的确定 • 5、抛物线的平移 • 6、二次函数与一元二次方程的关系 • 7、二次函数的应用题 • 8、二次函数的综合运用
1、二次函数的定义
• 定义： y=ax² ＋ bx ＋ c （ a 、 b 、 c 是常数， a ≠ 0）
a= ___. -2
2、二次函数的图像及性质
y
y
0
x
0
x
抛物线顶点坐标对称轴

二次函数知识点复习

3、最大或最小值：
当a>0时，函数有最小值，并且当x= = 4ac b2
b 2a
，y最小值
4a
当a<0时，函数有最大值，并且当x=
b 2a
= 4ac b2
y最大值
4a
函数值的正、负性
如图1：当x＜x1或x＞x2时，y ＞ 0；当x1＜x＜x2时，y＜0；
如图2：当x1＜x＜x2时，y＞0；当x＜x1或x＞x2时，y ＜ 0；
（1）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）与X轴只有一个交点或二次函数的顶点在X轴上，则 Δ=b2-4ac=0；
（2）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点在 Y轴上或二次函数的图象关于Y轴对称，则 b=0；
（3）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）经过原点，则c=0；
韦达定理
（1）一般式： y=ax2+bx+c（a≠0），
对称轴：直线x= b源自2ab 4ac b2
顶点坐标：( 2a , 4a
)
（2）顶点式：y=a（x+m）2+k（a≠0），对称轴：直线x=－m；顶点坐标为（－m，k）
（3）两根式：y=a（x-x1）（x-x2）（a≠0）,
对称轴:直线x= x1x2 2
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速瞬移,很快就回到了万水府,白重炙让沥泉尊者在万水府等着,自己一人传送去了噬魂城！当白重炙在天台将屠神刀内の那只幽灵释放出来の时候,就连噬大人の眉梢都微微蹙了起来,旁边の九大人却浑身冰冷,大气都不敢吐出！ "这不像恶魔君主,也不像恶魔界の产物,反而感觉有点像幽冥界の怪物,但是又和幽冥不太像.奇怪了,你呀击杀恶魔

二次函数知识点、考点、典型试题集锦(带详细解析答案)

二次函数知识点、考点、典型试题集锦(带详细解析答案)考点1：二次函数的图象和性质一、考点讲解：1．二次函数的定义：形如c bx ax y ++=2（a ≠0，a ，b ，c 为常数）的函数为二次函数．2．二次函数的图象及性质：⑴ 二次函数y=ax 2 (a ≠0）的图象是一条抛物线，其顶点是原点，对称轴是y 轴；当a ＞0时，抛物线开口向上，顶点是最低点；当a ＜0时，抛物线开口向下，顶点是最高点；a 越小，抛物线开口越大．y=a(x －h)2＋k 的对称轴是x=h ，顶点坐标是（h ，k ）。

⑵ 二次函数c bx ax y ++=2的图象是一条抛物线．顶点为（－2b a ，244ac b a -），对称轴x=－2b a；当a ＞0时，抛物线开口向上，图象有最低点，且x ＞－2b a ，y 随x 的增大而增大，x ＜－2b a，y 随x 的增大而减小；当a ＜0时，抛物线开口向下，图象有最高点，且x ＞－2b a ，y 随x 的增大而减小，x ＜－2b a，y 随x 的增大而增大． ⑶ 当a ＞0时，当x=－2b a 时，函数有最小值244ac b a -；当a ＜0时，当 x=－2b a时，函数有最大值244ac b a-。

3．图象的平移：将二次函数y=ax 2 (a ≠0）的图象进行平移，可得到y=ax 2＋c ，y=a(x －h)2，y=a(x －h)2＋k 的图象．⑴ 将y=ax 2的图象向上(c ＞0）或向下(c< 0）平移|c|个单位，即可得到y=ax 2＋c 的图象．其顶点是（0,c ），形状、对称轴、开口方向与抛物线y=ax 2相同．⑵ 将y=ax 2的图象向左（h<0）或向右(h ＞0）平移|h|个单位，即可得到y=a(x －h)2的图象．其顶点是（h ，0），对称轴是直线x=h ，形状、开口方向与抛物线y=ax 2相同．⑶ 将y=ax 2的图象向左（h<0）或向右(h ＞0）平移|h|个单位，再向上(k>0)或向下(k<0)平移|k|个单位，即可得到y=a(x －h)2 +k 的图象，其顶点是（h ，k ），对称轴是直线x=h ，形状、开口方向与抛物线y=ax 2相同．注意：二次函数y=ax 2 与y =－ax 2 的图像关于x 轴对称。