27.2.3相似三角形的应用举例(优质课)

2.测量树高
(1) 小明测得长为1米的竹竿影长为0.9米，同时，小李测得 一棵树的影长为5.4米，请计算小明测量这棵树的高; (2)同时小王在测另一棵树时，发现树影的一部分在地面上， 而另一部分在墙上，他测得地面上的影长为2.7米，留在墙上 部分的影长为1.2米.请计算小王测量的这棵树的高.
A
解法二:延长AC交BD延长线于G， 由相似三角形的性质得:
怎样测量河宽？
世界上最宽的河 ——亚马孙河
胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔，被喻为 “世界古代七大奇观之一”。塔的４个斜面正对东南西北 四个方向，塔基呈正方形，每边长约２３０多米。据考证， 为建成大金字塔，共动用了１０万人花了２０年时间.原 高１４６．５９米，但由于经过几千年的风吹雨打,顶端 被风化吹蚀.所以高度有所降低 。
C
4m
30°
B
10m
D
(3)小明测得长为1米的竹竿影长为2米，同时， 小李测量一棵树时发现树影的一部分在地面上， 另一部分在斜坡的坡面上，测得在地面影长为 10米，在斜坡上影长为4米，斜坡的倾斜角为 30°，请计算这棵树的高．
A
解法一:画CG⊥AB于G点，画CE ⊥BD于E，则 CE= CD=2， DE=2
测高的方法
测量不能到达顶部的物体的高度， 通常用“在同一时刻物高与影长成正比 例”的原理解决。 物1高 ：物2高 = 影1长 ：影2长
一题多解
还可以有其他方法测量吗？
B
E
┐ F △ABO∽△AEF 平面镜 ┐ O = OA AF OA ·EF OB = AF
A OB
EF
Ｏ
Ｏ′ 1.6 m
6m Ａ Ｂ Ａ′
A(F)
解：太阳光是平行线， 因此∠BAO= ∠EDF 又 ∠AOB= ∠DFE=90° 例：如图27．2-8，如果 木杆EF长2m，它的影长 ∴△ABO∽△DEF FD为3 m，测得OA为201 BO OA m，求金字塔的高度BO ∴ EF = FD ∴ BO = OA· EF = 201×2 = 134（m） FD 3
P
Q
R
b a
S
T
例题
求河宽?
45m
P
60m Q R S 9ST= 90°
∠P=∠P
∴ △PQR ∽△PST
∴
PQ 60 PQ QR ∴ PQ 45 90 PQ QS ST
得 PQ=90
知识要点
测距的方法
测量不能到达两点间的距离,常构造 相似三角形求解。
∠CFK和∠AFH分别是观察点C、A 的仰角，区域Ⅰ和区域Ⅱ都在观察者 看不到的区域（盲区）之内。
解：假设观察者从左向右走到点E时，他的眼睛的 位置点F与两棵树的顶端点A、C在一条直线上。 ∵AB⊥ l ，CD⊥ l ， ∴AB∥CD，△AFH∽△CFK， ∴FH：FK=AH：CK， 即 FH 8 1 .6 6 .4 ，
∴BG=CE=2，
BE=BD+DE=10+2
G
B
C
4m
30° 10m
D
E
由相似三角形的性质得: AG:GC=1:2 ∴AG=5+ AB=BG+AG=7+ 答:这棵树的高为(7+ )米.
(3)小明测得长为1米的竹竿影长为2米，同时， 小李测量一棵树时发现树影的一部分在地面上， 另一部分在斜坡的坡面上，测得在地面影长为 10米，在斜坡上影长为4米，斜坡的倾斜角为 30°，请计算这棵树的高．
如图，测得BD＝120m，DC＝60m，EC＝50m，求河 宽AB． A
B D 解： 因为 ∠ADB＝∠EDC, ∠ABC＝∠ECD＝90°， 所以 △ABD∽△ECD，
C
E
AB BD 那么 EC DC
BD EC 120 50 解得AB 100(m) DC 60
典例：
例6、已知左、右并排的两棵大树的高分别是 AB=8m和CD=12m，两树的根部的距离BD=5m， 一个身高1.6m的人沿着正对这两棵树的一条水平 直路 l 从左向右前进，当他与左边较低的树的距 离小于多少时，就不能看到右边较高的树的顶 端点C？ 设观察者眼晴的位置（视点）为F，
27.2.3相似三角形的应用举例
太阳光线可以看 成是平行光线。
在平行光线的照 射下，物体所产生的 影称为平行投影。
在阳光下，在同一时刻，物体的高度与 物体的影长存在某种关系：物体的高度越高， 物体的影长就越长
在平行光线的照射下，不同物体的物高 与影长成比例
怎样测量这些非常 高大物体的高度？
世界上最高的楼 ——台北101大楼
C
1.2m
B
2.7m
D
2.测量树高
(1) 小明测得长为1米的竹竿影长为0.9米，同时，小李测得 一棵树的影长为5.4米，请计算小明测量这棵树的高; (2)同时小王在测另一棵树时，发现树影的一部分在地面上， 而另一部分在墙上，他测得地面上的影长为2.7米，留在墙上 部分的影长为1.2米.请计算小王测量的这棵树的高. 解法一：如图，过点D画 A DE∥AC交AB于E点，由平 行四边形ACDE得 E AE=CD=1.2， 由相似三角形的性质得: BE 1 C 2.7 0.9 1.2m ∴BE=3， AB=BE+AE=4.2 2.7m B D 答:这棵树高有4.2米.
例4：据史料记载，古希腊数学家、天文学家泰勒斯 曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一 根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量 金字塔的高度。 如图，如果木杆EF长2m，它的影长FD为3 m， 测得OA为201 m，求金字塔的高度BO
B E
O A(F)
D
B E 2m O 201m 3m D
A
G
解法二
C
4m
30°
B
10m
D
E
(3)小明测得长为1米的竹竿影长为2米，同时， 小李测量一棵树时发现树影的一部分在地面 上，另一部分在斜坡的坡面上，测得在地面 影长为10米，在斜坡上影长为4米，斜坡的 倾斜角为30°，请计算这棵树的高．
A
解法三
C
4m
30°
B
10m
D
F
E
C
l
E
B
F
A
D
1、小明把手臂水平向前伸直，手持长为EF的小尺竖 直，瞄准小尺的两端E、F，不断调整站立的位置，使 站在点D处正好能看到旗杆的顶部和底部，如果小明 l 的手臂长 =40㎝，小尺长EF=20㎝，点D到旗杆底部的 距离AD=40m，求旗杆的高度。
CD:DG=1:0.9 ∴DG=0.9CD=1.08 BG=BD+DG=3.78 C
1.2m
由CD:AB=DG:BG 得 AB=4.2 答:这棵树的高为4.2米. G
B
2.7m
D
2.测量树高
(3) 小明﹑小李二位同学再想利用树影测量树高. 小明测得长为1米的竹竿影长为2米，同时，小李测量一 棵树时发现树影的一部分在地面上，另一部分在斜坡的坡 面上，测得在地面影长为10米，在斜坡上影长为4米，斜坡 的倾斜角为30°，请计算这棵树的高． A
1.2m Ｂ′
例5 为了估算河的宽度,我们可以在河对岸 选定一个目标点P,在近岸取点Q和S,使点P、 Q、S共线且直线PS与河垂直，接着在过点 S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T,确 定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点R.如 果测得QS=45m,ST=90m,QR=60m, 求河的宽度PQ.
A B
D
E
C
4、如图，一条河的两岸有一段是平行的， 在河的南岸边每隔5米有一棵树，在北岸边 每隔50米有一根电线杆．小丽站在离南岸边 15米的点处看北岸，发现北岸相邻的两根电 线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两 棵树之间还有三棵树，则河宽为 米．
2.测量树高
(1) 小明测得长为1米的竹竿影长为0.9米，同时，小李测得 一棵树的影长为5.4米，请计算小明测量这棵树的高; (2)同时小王在测另一棵树时，发现树影的一部分在地面上， 而另一部分在墙上，他测得地面上的影长为2.7米，留在墙上 部分的影长为1.2米.请计算小王测量的这棵树的高. A
FH 5
12 1.6
10 .4
解得FH=8.
当他与左边较低的树的距离小 于8m时，就不能看到右边较高 的树的顶端点C。
练习
3.为了测量一池塘的宽AB,在岸边 找到了一点C,使AC⊥AB，在AC上找 到一点D，在BC上找到一点E,使 DE⊥AC，测出AD=35m，DC=35m，DE =30m,那么你能算出池塘的宽AB吗?