一道线性规划问题的多解探讨

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福大运筹学真题答案解析

福大运筹学真题答案解析运筹学是一门研究如何优化决策和资源分配的学科，它可以帮助我们在面对各种问题和挑战时，找到最优解决方案。

福大运筹学真题是评价学生对于运筹学知识和应用能力的重要考试。

在本文中，我们将对福大运筹学真题进行一一解析，并探讨其中的答案及解题思路。

第一题：线性规划线性规划是运筹学的一个重要分支，主要用于求解线性问题。

在福大运筹学真题中，有一道关于线性规划的题目。

题目描述了一个问题：某公司生产两种产品A和B，每个单位产品A的利润为3万元，每个单位产品B的利润为4万元。

公司的生产能力是有限的，每天最多可以生产产品A的数量为100个单位，产品B的数量为150个单位。

同时，公司还有两项资源：材料和人力。

生产一个单位产品A需要1单位的材料和2单位的人力，生产一个单位产品B需要2单位的材料和1单位的人力。

问题的目标是如何安排生产数量，使得利润最大化。

解答思路：首先，我们需要定义变量。

假设x表示生产产品A的数量，y表示生产产品B的数量。

则目标函数可以表示为：3x + 4y。

约束条件可以表示为：x <= 100，y <= 150，x >= 0，y >= 0，x + 2y <= 200，2x + y <= 200。

接下来，我们可以通过图形法进行求解。

首先，将约束条件绘制在坐标系中。

在x轴上标注100和200，在y轴上标注150和200，然后将x轴和y轴分别表示为线性不等式2x + y = 200和x + 2y = 200的图形。

这样，我们得到了一个由约束条件所围成的区域。

接下来，我们需要找到使得目标函数最大化的点。

具体操作是，在目标函数3x + 4y的等高线上，逐步向上移动，找到与区域边界相切的点，这个点就是最优解。

通过图形法求解后，我们可以得到最优解为(x, y) = (100, 50)，此时利润最大化为450万元。

第二题：网络图论网络图论是运筹学的另一个重要分支，它主要研究图的结构和应用。

简单线性规划的解题探讨

维普资讯
中等职业教育
２０年第１期０６０
简单线性规划的解题探讨
浙江省余姚市职成校中心学校
摘
徐姚波
要：主要介绍了简单线性规划的概念，利用函数、不等式、解析几何及运筹学的知识对简单线性
求解
规划问题进行求解。
Ｎ－，÷ ）（１一确定直线的斜率的两倍。
由【｛
～一 … 一
ｒ＋＝．２０
ｘ＋－４ｙ＝０
由【｛
ｒｒ４０＝
２５＝ｏ
得Ｂ３）：（，１
解：
可形寺，以最变为寺一所犯的
’ Ｎ７Ｋ百
则根据题意得：目标函数为Ｉ２ｘ２ｙ＝０＋４。
约条为４束件１＋＜．１．￣￣ｙ一５ ‘ ＶＪＸｌ４
ｆ＋ｙ１１＜２６２０ｘ
３７
维普资讯
中等职业教育
２０年第１期０６０
由观察得：直线在Ａ的截距最大，在处处的截
生能产力乙（／件天时）
１２４２４１Ｏ２６４
解：设每周应生产空调器台、彩电ｙ台、冰箱Ｚ工艺要
台，产值为，。
则根据题意得：目标函数为Ｊ４ｙ２。ｒ３＋ｚ＝
Ｉ＋＋＝６（）ｙｚ３０１ｘ
ｌ＞０６ｚ（）２
．
Ｋ专Ｎ
大和小，为直ｙ寺的距最值最值即求线＝寺一截的
大值和最小值。如图所示做出可行域：
‘
、。
＼

线性规划的定义及解题方法

线性规划的定义及解题方法线性规划是一种数学建模技术，旨在解决在约束条件下，寻求最优解的问题。

它的实际应用十分广泛，例如管理学、经济学、物流学等领域。

线性规划可以分为单目标和多目标两种，但其中比较常见的是单目标线性规划。

本文将从线性规划的定义、模型建立、求解方法等方面阐述其原理与应用。

一、线性规划的定义线性规划的定义是：在有限约束条件下，目标函数为线性的最优化问题。

它通过数学模型的建立，将涉及到的变量、约束条件与目标函数转化为线性等式或不等式的形式，从而寻找最优解。

通常，线性规划的目标是最大化或最小化某个变量，可以用以下的形式去表示：$$Z=C_1X_1+C_2X_2+……+C_nX_n $$其中，$Z$为目标函数值，$X_1, X_2,……,X_n$为待求变量，$C_1, C_2,……,C_n$为相应的系数。

在线性规划中，会涉及到许多变量，这些变量需要受到一些限制。

这些限制可以用不等式或等式来表示，这些方程式被称为约束条件。

例如：$$A_1X_1+A_2X_2+……+A_nX_n≤B$$$$X_i≥0, i=1,2,……, n $$这两个方程就代表了一些约束条件，例如目标函数系数的和不能超过某个值，若$X_i$为生产的产品数量，则需保证产量不能小于零等。

这些约束条件用于限制变量的取值范围，而目标函数则用于求解最优解。

二、线性规划的模型建立在建立线性规划模型时，需要考虑几个要素：1. 决策变量：它是模型求解的关键。

决策变量是指在模型中未知的数量，也就是需要我们寻找最优解的那些变量。

2. 目标函数：确定目标函数，既要知道最大化还是最小化，还要知道哪些变量是影响目标函数的。

3. 约束条件：约束条件通常是一组等式或不等式，代表问题的限制。

例如在一个工厂中最大的生产量、原材料的数量限制、人工的数量等等，这些都是约束条件。

4. 模型的参数：模型参数是指约束条件的系数和模型中的常数。

它们是从现实问题中提取出来的，由于模型的解法通常是数学的，因此需要具体的数值。

线性规划常见题型及解法均值不等式(含答案)

线性规划常见题型及解法一．基础知识：(一)二元一次不等式表示的区域二元一次不等式0>++C By Ax 表示直线0=++C By Ax 某一侧的所有点组成的区域，把直线画成虚线表示不包括边界， 0≥++C By Ax 所表示的区域应包括边界，故边界要画成实线.由于在直线0=++C By Ax 同一侧的所有点（x,y ）,把它的坐标（x,y ）代入C By Ax ++，所得的符号相同，所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点（0,0y x ），从C By Ax ++00的正负即可判断0≥++C By Ax 表示直线哪一侧的平面区域。

通常代特殊点（0，0）。

（二）线性规划(1)不等式组是一组对变量x 、y 的约束条件，由于这组约束条件都是关于x 、y 的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件.z =A x +B y 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式，我们把它称为目标函数.由于z =A x +B y 又是关于x 、y 的一次解析式，所以又可叫做线性目标函数.另外注意：线性约束条件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示.(2)一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题.(3)那么，满足线性约束条件的解（x ,y ）叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域.在上述问题中，可行域就是阴影部分表示的三角形区域.其中可行解（11,y x ）和（22,y x ）分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解.线性目标函数的最值常在可行域的顶点处取得;而求最优整数解必须首先要看它们是否在可行(4)用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：1.首先，要根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）.2.设z =0，画出直线l 0.3.观察、分析，平移直线l 0，从而找到最优解.4.最后求得目标函数的最大值及最小值. (5) 利用线性规划研究实际问题的解题思路：首先，应准确建立数学模型，即根据题意找出约束条件，确定线性目标函数.然后，用图解法求得数学模型的解，即画出可行域，在可行域内求得使目标函数取得最值的解. 最后，还要根据实际意义将数学模型的解转化为实际问题的解，即结合实际情况求得最优解.线性规划是新教材中新增的内容之一，由已知条件写出约束条件，并作出可行域，进而通过平移直线在可行域内求线性目标函数的最优解是最常见的题型，除此之外，还有以下常见题型。

线性规划问题的两种求解方式

线性规划问题的两种求解⽅式线性规划问题的两种求解⽅式线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应⽤⼴泛、⽅法较成熟的⼀个重要分⽀，它是辅助⼈们进⾏科学管理的⼀种数学⽅法。

线性规划所研究的是：在⼀定条件下，合理安排⼈⼒物⼒等资源，使经济效果达到最好。

⼀般地，求线性⽬标函数在线性约束条件下的最⼤值或最⼩值的问题，统称为线性规划问题。

解决线性规划问题常⽤的⽅法是图解法和单纯性法，⽽图解法简单⽅便，但只适⽤于⼆维的线性规划问题，单纯性法的优点是可以适⽤于所有的线性规划问题，缺点是单纯形法中涉及⼤量不同的算法，为了针对不同的线性规划问题，计算量⼤，复杂繁琐。

在这个计算机⾼速发展的阶段，利⽤Excel建⽴电⼦表格模型，并利⽤它提供的“规划求解”⼯具，能轻松快捷地求解线性模型的解。

⽆论利⽤哪种⽅法进⾏求解线性规划问题，⾸先都需要对线性规划问题建⽴数学模型，确定⽬标函数和相应的约束条件，进⽽进⾏求解。

从实际问题中建⽴数学模型⼀般有以下三个步骤；1、根据所求⽬标的影响因素找到决策变量；2、由决策变量和所求⽬标的函数关系确定⽬标函数；3、由决策变量所受的限制条件确定决策变量所要满⾜的约束条件。

以下是分别利⽤单纯形法和Excel表格中的“规划求解”两种⽅法对例题进⾏求解的过程。

例题：某⼯⼚在计划期内要安排⽣产I、II两种产品，已知⽣产单位产品所需的设备台时分别为1台时、2台时，所需原材料A分别为4单位、0单位，所需原材料B分别为0单位、4单位，⼯⼚中设备运转最多台时为8台时，原材料A、B的总量分别为16单位、12单位。

每⽣产出I、II产品所获得的利润为2和3，问I、II两种产品的⽣产数量的哪种组合能使总利润最⼤？这是⼀个典型的产品组合问题，现将问题中的有关数据列表1-1如下：表1-1I II 限量设备 1 2 8台时原材料A 4 0 16单位原材料B 0 4 12单位所获利润 2 3⾸先对例题建⽴数学模型。

问题的决策变量有两个：产品I的⽣产数量和产品II的⽣产数量；⽬标是总利润最⼤；需满⾜的条件是：(1)两种产品使⽤设备的台时<= 台时限量值(2) ⽣产两种产品使⽤原材料A、B的数量<= 限量值(3)产品I、II的⽣产数量均>=0。

线性规划与最优化问题的解法

稻壳学院
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求解方法：使用单纯形法、椭球法等算法求解线性规划问题
线性规划的几何解释
添加标题
线性规划问题可以看作是在多维空间中寻找一条直线，使得该直线在满足一系列约束条件下，最大化或最小化某个目标函数。
添加标题
线性规划的基本概念包括决策变量、目标函数和约束条件。决策变量是问题中需要求解的未知数，目标函数是希望最大化或最小化的函数，约束条件是限制决策变量取值的条件。
解决方案：运输问题的解决方案通常包括确定最优的运输路线和数量，以最小化运输成本或最大化运输效益。
分配问题
简介：线性规划与最优化问题的实际应用之一是解决分配问题，通过合理分配资源，实现最大化效益。
实例：如将有限的生产任务分配给不同的生产部门，以最小化生产成本或最大化总产量。
解决方法：利用线性规划模型描述问题，通过求解得到最优解，实现资源的最优分配。
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在几何解释中，决策变量可以看作是坐标轴上的点，目标函数可以看作是该点所在的高或低。通过移动坐标轴上的点，可以找到使目标函数取得最大值或最小值的点，即最优解。
添加标题
线性规划的几何解释有助于直观地理解问题，并快速找到最优解。在实际应用中，线性规划可以用于资源分配、生产计划、运输问题等领域。
数。
线性规划问题在现实生活中应用广泛，如生产计划、资源分配和运输
问题等。
线性规划的基本概念包括变量、约束条件和目标函数。
线性规划问题通常在凸集上进行，这使得问题具有全局
最优解。
线性规划的数学模型
目标函数：要求最大或最小化的线性函数
约束条件：决策变量的限制条件

关于线性规划问题解的讨论

= 2- 1 U1b 和 U2b = 0 得 2V1 x = U1b 和 0 = U2 b, 从而 2 0
的解是相容方程组 Ax = b 的解.
0 VH x = UH b, 于是 Ax = b, 即 V1 x = 2- 1U1b 0
命题 3 设 V-1 为 V1 的某一个减号逆, 则 V1x = 2- 1 U1b 的任意解表示为 x = V-1 2- 1U1b + ( I -
标准线性规划问题[ Ⅰ] 的可行解集为 F = { x ûAx = b, x ≥ 0} . 如果 F ≠ Á , 则 v x ∈ F , 使得 x = V-1 2- 1U1b + ( I - V-1 V1) y , y ∈ Rn , x ≥ 0, 从而 v y ∈ G, 所以 G ≠ Á . 反之, 如果 G ≠ Á , 则 v y ∈ G, 使得 V-1 2- 1 U1b ≥ ( I - V-1 V1) y , 取 x = V-1 2- 1U1b + ( I - V-1 V1) y , 则 x ≥ 0, 且 V1 x = 2- 1 U1b, 即 Ax = b, 所以, F ≠ Á .
解 A = 1 - 1 1 0 , A = U( 2 0) VH 是 A 的奇异值分解式, 其中 1 1 01
1
1 -1 -1
3
3
6
6
-1
1
U = I2, 2 =
3 0 , V =
33
0
3
1
0
3
0
1
3
1
-1
6
6,
2
0
6
0
2
6
1 -1
1
0
3 V1 =
3

运筹学线性规划问题与图解法

线性规划问题的基本特征
❖ 决策变量：向量(x1… xn)T 代表一个具体的方案，一般有xi非负
❖ 约束条件：线性等式或不等式 ❖ 目标函数：Z=ƒ(x1 … xn) 线性式，求Z极大
（Max）或极小(Min)
线性规划问题的一般形式
Max(min)Z=C1X1+ C2X2+…+CnXn a11X1+ a12X2+…+ a1nXn (=, )b1 a21X1+ a22X2+…+ a2nXn (=, )b2 ……… am1X1+ am2X2+…+ amnXn (=, )bm Xj 0(j=1,…,n)
Ai
❖ 配料问题:每单位原料i含vitamin如下：
原料 A B Ｃ每单位成本
1
4 10
2
2
6 12
5
3
1 71
6
4
2 53
8
每单位添
加剂中维生素最低含量
12 14 8
求：最低成本的原料混合方案
解：设每单位添加剂中原料i的用量为 xi (i =1,2,3,4)
minZ= 2x1 + 5x2 +6x3+8x4 4x1 + 6x2 + x3+2x4 12 x1 + x2 +7x3+5x4 14 2x2 + x3+3x4 8 xi 0 (i =1,…,4)
x1+x2+x3 ≤9
+0s1 +0s2
－x’1+x2+x’3－ x”3 + s1=9
-x1-2x2+x3 ≥2

线性规划图解法

适用于任意变量、但必需将一般形式变成标准形式
下面我们分析一下简单的情况—— 只有两个决策变量的线性规划问题，这时可以通过图解的方法来求解。图解法具有简单、直观、便于初学者窥探线性规划基本原理和几何意义等优点。
精选课件
图解法
Page 2
一、线性规划的图解法（解的几何表示）
对于只有两个变量的线性规划问题，可以在二维直角坐标平面上作图表示线性规划问题的有关概念，并求解。
X1 + 1.9X2 = 10.2 (≤)
8=5X1+4X2 此点是唯一最优解（0，2）
D可行域
43=5X1+4X2
max Z
X1 + 1.9X2 = 3.8(≥)
min Z
o
L0： 0=5X1+4X2
精选课件
X1 - 1.9X2 = 3.8 (≤)
Page 18
x1
图解法
x2
6 3x1+x2=6(≥) 4
X = X1 + (1- ) X2 则必定有X = X1 = X2，则称X为S的一个顶点。
精选课件
图解法
Page 24
可以证明，线性规划的可行域以及最优解有以下性质：
（1）、若线性规划的可行域非空，则可行域必定为一凸集；
（2）、线性规划问题的基本可行解对应于可行域的顶点；
（3）、若可行域有界，线性规划问题的目标函数一定可以在其可行域的顶点上达到最优，或在可行域的某个顶点（唯一最优解）或在某两个顶点及其连线上（无穷多最优解）得到。
2x1+ x2 50 z = 50x1+30x2= 1350
z = 50x1+30x2= 900
(15, 20)

线性规划与最优化问题的求解算法

线性规划与最优化问题的求解算法线性规划（Linear Programming）是数学中一种重要的优化方法，用于解决线性约束条件下的最优化问题。

在实际应用中，线性规划被广泛运用于工程、经济、管理等领域，是一种强大的决策分析工具。

为了解决线性规划及其他最优化问题，人们开发了多种求解算法。

一、单纯形法（Simplex Method）单纯形法是最常用的线性规划求解方法之一。

它通过不断迭代来寻找问题的最优解。

单纯形法的基本思想是通过交换变量的值来达到更优解的目的。

在每次迭代中，通过选择一个入基变量（进入基本解）和一个出基变量（离开基本解），逐步优化目标函数的值，直到找到最优解。

二、内点法（Interior Point Method）内点法是另一种有效的线性规划求解算法。

与单纯形法不同的是，内点法从问题的内部（可行解域）开始搜索最优解，而不是从边界（顶点）开始。

内点法的核心思想是通过迭代找到目标函数值逼近最优解的过程。

内点法相对于单纯形法在大规模问题上具有更高的求解效率，但在处理一些特殊问题时可能存在较大的挑战。

三、分支定界法（Branch and Bound Method）分支定界法是一种通用的最优化问题求解算法，适用于各种类型的优化问题，包括线性和非线性规划问题。

它通过将问题划分为一系列子问题，并逐步缩小最优解的搜索范围，最终找到全局最优解。

分支定界法具有较高的可行性和可靠性，但在处理大规模问题时存在计算复杂性的问题。

四、梯度下降法（Gradient Descent Method）梯度下降法是一种常用于非线性规划问题的求解方法。

它利用函数的梯度信息来指导搜索方向，并通过迭代逐步优化目标函数的值。

梯度下降法有多种变体，包括批量梯度下降法、随机梯度下降法等。

梯度下降法在非凸问题的求解上具有较好的效果，但可能存在陷入局部最优解和收敛速度慢等问题。

总结：线性规划及最优化问题是现实生活中经常遇到的一类问题，求解这类问题的算法也因此应运而生。

线性规划的常见题型及其解法(教师版,题型全,归纳好)

之老阳三干创作创作时间：课题线性规划的罕见题型及其解法谜底线性规划问题是高考的重点,而线性规划问题具有代数和几何的双重形式,多与函数、平面向量、数列、三角、概率、解析几何等问题交叉渗透,自然地融合在一起,使数学问题的解答变得更加新颖新颖．归纳起来罕见的命题探究角度有： 1．求线性目标函数的最值． 2．求非线性目标函数的最值． 3．求线性规划中的参数． 4．线性规划的实际应用．本节主要讲解线性规划的罕见基础类题型．【母题一】已知变量x ,y满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y≥3x －y≥－12x －y≤3则目标函数z ＝2x ＋3y 的取值范围为( )A ．[7,23]B ．[8,23]C ．[7,8]D ．[7,25]求这类目标函数的最值常将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－a b x ＋z b ,通过求直线的截距zb的最值,间接求出z的最值．【解析】画出不等式组⎩⎨⎧x ＋y≥3x －y≥－12x －y≤3暗示的平面区域如图中阴影部份所示,由目标函数z ＝2x ＋3y 得y ＝－23x ＋z 3,平移直线y ＝－23x 知在点B处目标函数取到最小值,解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝32x －y ＝3得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝1所以B (2,1),z min ＝2×2＋3×1＝7,在点A 处目标函数取到最年夜值,解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＝－12x －y ＝3得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4y ＝5所以A (4,5),z max＝2×4＋3×5＝23．【谜底】A【母题二】变量x ,y 满足⎩⎨⎧x －4y ＋3≤03x ＋5y －25≤0x≥1(1)设z ＝y2x －1,求z 的最小值；(2)设z ＝x 2＋y 2,求z 的取值范围；(3)设z ＝x 2＋y 2＋6x －4y ＋13,求z 的取值范围．(x ,y )在不等式组暗示的平面区域内,y2x －1＝12·y －0⎝⎛⎭⎪⎫x －12暗示点(x ,y )和⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫120连线的斜率；x 2＋y 2暗示点(x ,y )和原点距离的平方；x 2＋y 2＋6x －4y ＋13＝(x ＋3)2＋(y －2)2暗示点(x ,y )和点(－3,2)的距离的平方．【解析】(1)由约束条件⎩⎨⎧x －4y ＋3≤03x ＋5y －25≤0x≥1作出(x ,y )的可行域如图所示．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13x ＋5y －25＝0解得A ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1225．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1x －4y ＋3＝0解得C (1,1)．由⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3＝03x ＋5y －25＝0解得B (5,2)．∵z ＝y 2x －1＝y －0x －12×12∴z 的值即是可行域中的点与⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫120连线的斜率,观察图形可知z min ＝2－05－12×12＝29．(2)z ＝x 2＋y 2的几何意义是可行域上的点到原点O 的距离的平方．结合图形可知,可行域上的点到原点的距离中,d min＝|OC|＝2,d max＝|OB|＝29．∴2≤z≤29．(3)z＝x2＋y2＋6x－4y＋13＝(x＋3)2＋(y－2)2的几何意义是：可行域上的点到点(－3,2)的距离的平方．结合图形可知,可行域上的点到(－3,2)的距离中,d min＝1－(－3)＝4,d max＝－3－52＋2－22＝8∴16≤z≤64．1．求目标函数的最值的一般步伐为：一画二移三求．其关键是准确作出可行域,理解目标函数的意义．2．罕见的目标函数有：(1)截距型：形如z＝ax＋by．求这类目标函数的最值常将函数z＝ax＋by转化为直线的斜截式：y＝－abx＋zb,通过求直线的截距zb的最值,间接求出z的最值．(2)距离型：形一：如z＝,z＝,此类目标函数常转化为点(x,y)与定点的距离；形二：z＝(x－a)2＋(y－b)2,z＝x2＋y2＋Dx＋Ey＋F,此类目标函数常转化为点(x,y)与定点的距离的平方．(3)斜率型：形如z＝yx,z＝ay－bcx－d,z＝ycx－d,z＝ay－bx,此类目标函数常转化为点(x ,y )与定点所在直线的斜率．【提醒】注意转化的等价性及几何意义．角度一：求线性目标函数的最值1．(2014·新课标全国Ⅱ卷)设x ,y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y －7≤0x －3y ＋1≤03x －y －5≥0则z ＝2x －y 的最年夜值为( )A ．10B ．8C ．3D ．2【解析】作出可行域如图中阴影部份所示,由z ＝2x －y 得y ＝2x －z ,作出直线y ＝2x ,平移使之经过可行域,观察可知,当直线经过点A (5,2)时,对应的z 值最年夜．故z max ＝2×5－2＝8．【谜底】B2．(2015·高考天津卷)设变量x ,y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋2≥0x －y ＋3≥02x ＋y －3≤0则目标函数z ＝x ＋6y 的最年夜值为( )A ．3B ．4C ．18D ．40【解析】作出约束条件对应的平面区域如图所示 ,当目标函数经过点(0,3)时,z 取得最年夜值18．【谜底】C3．(2013·高考陕西卷)若点(x ,y )位于曲线y ＝|x |与y ＝2所围成的封闭区域,则2x －y 的最小值为( )A ．－6B ．－2C ．0D ．2【解析】如图,曲线y ＝|x |与y ＝2所围成的封闭区域如图中阴影部份,令z ＝2x －y ,则y ＝2x －z ,作直线y ＝2x ,在封闭区域内平行移动直线y ＝2x ,当经过点(－2,2)时,z 取得最小值,此时z ＝2×(－2)－2＝－6．【谜底】A角度二：求非线性目标的最值4．(2013·高考山东卷)在平面直角坐标系xOy 中,M 为不等式组⎩⎨⎧2x －y －2≥0x ＋2y －1≥03x ＋y －8≤0所暗示的区域上一动点,则直线OM 斜率的最小值为( )A ．2B ．1C ．－13D ．－12【解析】已知的不等式组暗示的平面区域如图中阴影所示, 显然当点M 与点A 重合时直线OM 的斜率最小,由直线方程x ＋2y －1＝0和3x ＋y －8＝0,解得A (3,－1),故OM 斜率的最小值为－13．【解析】C5．已知实数x ,y 满足⎩⎪⎨⎪⎧0≤x≤2y≤2x ≤2y 则z ＝2x ＋y －1x －1的取值范围．【解】由不等式组画出可行域如图中阴影部份所示, 目标函数z ＝2x ＋y －1x －1＝2＋y ＋1x －1的取值范围可转化为点(x ,y )与(1,－1)所在直线的斜率加上2的取值范围,由图形知,A 点坐标为(2,1),则点(1,－1)与(2,1)所在直线的斜率为22＋2,点(0,0)与(1,－1)所在直线的斜率为－1,所以z 的取值范围为(－∞,1]∪[22＋4,＋∞)．【谜底】(－∞,1]∪[22＋4,＋∞)6．(2015·郑州质检)设实数x ,y 满足不等式组⎩⎨⎧x ＋y ≤2y －x ≤2y ≥1则x 2＋y 2的取值范围是( )A ．[1,2]B ．[1,4]C ．[2,2]D ．[2,4] 【解析】如图所示,不等式组暗示的平面区域是△ABC 的内部(含鸿沟),x 2＋y 2暗示的是此区域内的点(x ,y )到原点距离的平方．从图中可知最短距离为原点到直线BC 的距离,其值为1；最远的距离为AO ,其值为2,故x 2＋y 2的取值范围是[1,4]．【谜底】B7．(2013·高考北京卷)设D为不等式组⎩⎨⎧x ≥02x －y ≤0x ＋y －3≤0所暗示的平面区域,区域D 上的点与点(1,0)之间的距离的最小值为________．【解析】作出可行域,如图中阴影部份所示,则根据图形可知,点B (1,0)到直线2x －y ＝0的距离最小,d ＝|2×1－0|22＋1＝255,故最小距离为255．【谜底】2558．设不等式组⎩⎨⎧x ≥1x －2y ＋3≥0y ≥x所暗示的平面区域是Ω1,平面区域Ω2与Ω1关于直线3x －4y －9＝0对称．对Ω1中的任意点A 与Ω2中的任意点B ,|AB |的最小值即是( )A ．285B ．4C ．125D ．2【解析】不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x≥1x －2y ＋3≥0y≥x ,所暗示的平面区域如图所示,解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝x,得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝1．点A (1,1)到直线3x －4y －9＝0的距离d ＝|3－4－9|5＝2,则|AB |的最小值为4．【谜底】B角度三：求线性规划中的参数9．若不等式组⎩⎨⎧x ≥0x ＋3y ≥43x ＋y ≤4所暗示的平面区域被直线y ＝kx ＋43分为面积相等的两部份,则k 的值是( )A ．73B ．37C ．43D ．34【解析】不等式组暗示的平面区域如图所示．由于直线y ＝kx ＋43过定点⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫043．因此只有直线过AB 中点时,直线y＝kx ＋43能平分平面区域．因为A (1,1),B (0,4),所以AB 中点D ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1252．当y ＝kx ＋43过点⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1252时,52＝k 2＋43,所以k ＝73．【解析】A10．(2014·高考北京卷)若x ,y满足⎩⎨⎧x ＋y －2≥0kx －y ＋2≥0y ≥0且z ＝y －x 的最小值为－4,则k 的值为( )A ．2B ．－2C ．12D ．－12【解析】D作出线性约束条件⎩⎨⎧x ＋y －2≥0kx －y ＋2≥0y ≥0的可行域．当k ＞0时,如图①所示,此时可行域为y 轴上方、直线x ＋y －2＝0的右上方、直线kx －y ＋2＝0的右下方的区域,显然此时z ＝y －x 无最小值．当k ＜－1时,z ＝y －x 取得最小值2；当k ＝－1时,z ＝y －x 取得最小值－2,均不符合题意．当－1＜k ＜0时,如图②所示,此时可行域为点A (2,0),B ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－2k 0,C (0,2)所围成的三角形区域,当直线z ＝y －x 经过点B ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－2k 0时,有最小值,即－⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k ＝－4⇒k ＝－12．【谜底】D11．(2014·高考安徽卷)x ,y满足约束条件⎩⎨⎧ x ＋y －2≤0x －2y －2≤02x －y ＋2≥0.若z ＝y －ax 取得最年夜值的最优解不惟一,则实数a 的值为( )A ．12或－1B ．2或12C ．2或1D ．2或－1【解析】法一：由题中条件画出可行域如图中阴影部份所示,可知A (0,2),B (2,0),C (－2,－2),则z A ＝2,z B ＝－2a ,z C ＝2a －2,要使目标函数取得最年夜值的最优解不惟一,只要z A ＝z B ＞z C 或z A ＝z C ＞z B 或z B ＝z C ＞z A ,解得a ＝－1或a ＝2．法二：目标函数z ＝y －ax 可化为y ＝ax ＋z ,令l 0：y ＝ax ,平移l 0,则当l 0∥AB 或l 0∥AC 时符合题意,故a ＝－1或a ＝2．【谜底】D12．在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0y ≥0x ＋y ≤s y ＋2x ≤4.下,当3≤s ≤5时,目标函数z ＝3x ＋2y 的最年夜值的取值范围是( ) A ．[6,15]B ．[7,15]C ．[6,8]D ．[7,8]【解析】由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝s y ＋2x ＝4得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4－s y ＝2s －4,则交点为B (4－s,2s －4),y ＋2x ＝4与x 轴的交点为A (2,0),与y 轴的交点为C ′(0,4),x ＋y ＝s 与y 轴的交点为C (0,s )．作出当s ＝3和s ＝5时约束条件暗示的平面区域,即可行域,如图(1)(2)中阴影部份所示．(1) (2)当3≤s ＜4时,可行域是四边形OABC 及其内部,此时,7≤z max ＜8；当4≤s ≤5时,可行域是△OAC ′及其内部,此时,z max ＝8．综上所述,可得目标函数z ＝3x ＋2y 的最年夜值的取值范围是[7,8]．【谜底】D13．(2015·通化一模)设x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0y ≥0x 3a ＋y 4a≤1若z ＝x ＋2y ＋3x ＋1的最小值为32,则a 的值为________．【解析】∵x ＋2y ＋3x ＋1＝1＋2y ＋1x ＋1,而y ＋1x ＋1暗示过点(x ,y )与(－1,－1)连线的斜率,易知a ＞0, ∴可作出可行域,由题意知y ＋1x ＋1的最小值是14,即⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋1x ＋1min ＝0－－13a －－1＝13a ＋1＝14⇒a ＝1．【谜底】1角度四：线性规划的实际应用14．A ,B 两种规格的产物需要在甲、乙两台机器上各自加工一道工序才华成为制品．已知A 产物需要在甲机器上加工3小时,在乙机器上加工1小时；B 产物需要在甲机器上加工1小时,在乙机器上加工3小时．在一个工作日内,甲机器至多只能使用11小时,乙机器至多只能使用9小时．A 产物每件利润300元,B 产物每件利润400元,则这两台机器在一个工作日内缔造的最年夜利润是________元．【解析】设生产A 产物x 件,B 产物y 件,则x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋y ≤11x ＋3y ≤9x ∈N y ∈N 生产利润为z ＝300x ＋400y ．画出可行域,如图中阴影部份(包括鸿沟)内的整点,显然z ＝300x ＋400y 在点A处取得最年夜值,由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋y ＝11x ＋3y ＝9解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3y ＝2则z max ＝300×3＋400×2＝1 700．故最年夜利润是 1 700元．【谜底】1 70015．某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个,生产一个卫兵需5分钟,生产一个骑兵需7分钟,生产一个伞兵需4分钟,已知总生产时间不超越10小时．若生产一个卫兵可获利润5元,生产一个骑兵可获利润6元,生产一个伞兵可获利润3元．(1)试用每天生产的卫兵个数x 与骑兵个数y 暗示每天的利润w (元)；(2)怎样分配生产任务才华使每天的利润最年夜,最年夜利润是几多？【解析】(1)依题意每天生产的伞兵个数为100－x －y ,所以利润w ＝5x ＋6y ＋3(100－x －y )＝2x ＋3y ＋300．(2)约束条件为⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧5x ＋7y ＋4100－x －y ≤600100－x －y ≥0x ≥0y ≥0x y ∈N .整理得⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧ x ＋3y ≤200x ＋y ≤100x ≥0y ≥0x y ∈N. 目标函数为w ＝2x ＋3y ＋300．作出可行域．如图所示：初始直线l 0：2x ＋3y ＝0,平移初始直线经过点A 时,w 有最年夜值．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3y ＝200x ＋y ＝100得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝50y ＝50.最优解为A (50,50),所以w max ＝550元．所以每天生产卫兵50个,骑兵50个,伞兵0个时利润最年夜,最年夜利润为550元．一、选择题1．已知点(－3,－1)和点(4,－6)在直线3x －2y －a ＝0的两侧,则a 的取值范围为( )A ．(－24,7)B ．(－7,24)C ．(－∞,－7)∪(24,＋∞) D．(－∞,－24)∪(7,＋∞)【解析】根据题意知(－9＋2－a )·(12＋12－a )＜0．即(a ＋7)(a －24)＜0,解得－7＜a ＜24．【谜底】B2．(2015·临沂检测)若x ,y 满足约束条件⎩⎨⎧x ≥0x ＋2y ≥32x ＋y ≤3则z ＝x －y 的最小值是( )A ．－3B ．0C ．32D ．3 【解析】作出不等式组⎩⎨⎧ x ≥0x ＋2y ≥32x ＋y ≤3暗示的可行域(如图所示的△ABC 的鸿沟及内部)．平移直线z ＝x －y ,易知当直线z ＝x －y 经过点C (0,3)时,目标函数z ＝x －y 取得最小值,即z min ＝－3．【谜底】A3．(2015·泉州质检)已知O 为坐标原点,A (1,2),点P 的坐标(x ,y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋|y|≤1x≥0则z ＝OA →·OP →的最年夜值为( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2【解析】如图作可行域,z ＝OA →·OP →＝x ＋2y ,显然在B (0,1)处z max ＝2．【谜底】D4．已知实数x ,y 满足：⎩⎨⎧x －2y ＋1≥0x<2x ＋y －1≥0则z ＝2x －2y －1的取值范围是( ) A ．⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤535B ．[0,5] C ．⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫535D ．⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫－535 【解析】画出不等式组所暗示的区域,如图阴影部份所示,作直线l ：2x －2y －1＝0,平移l 可知2×13－2×23－1≤z <2×2－2×(－1)－1,即z 的取值范围是⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫－535．【谜底】D5．如果点(1,b )在两条平行直线6x －8y ＋1＝0和3x －4y ＋5＝0之间,则b 应取的整数值为( )A ．2B ．1C ．3D ．0【解析】由题意知(6－8b ＋1)(3－4b ＋5)＜0,即⎝⎛⎭⎪⎫b －78(b －2)＜0,∴78＜b ＜2,∴b 应取的整数为1．【谜底】B6．(2014·郑州模拟)已知正三角形ABC 的极点A (1,1),B (1,3),极点C 在第一象限,若点(x ,y )在△ABC 内部,则z ＝－x ＋y 的取值范围是( )A ．(1－3,2)B ．(0,2)C ．(3－1,2)D ．(0,1＋3)【解析】如图,根据题意得C (1＋3,2)．作直线－x ＋y ＝0,并向左上或右下平移,过点B (1,3)和C (1＋3,2)时,z ＝－x ＋y 取范围的鸿沟值,即－(1＋3)＋2<z <－1＋3,∴z ＝－x ＋y 的取值范围是(1－3,2)．【谜底】A7．(2014·成都二诊)在平面直角坐标系xOy 中,P 为不等式组⎩⎨⎧ y≤1x ＋y －2≥0x －y －1≤0所暗示的平面区域上一动点,则直线OP 斜率的最年夜值为( )A ．2B ．13C ．12D ．1 【解析】作出可行域如图所示,当点P位于⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝2y ＝1的交点(1,1)时,(k OP )max ＝1．【谜底】D8．在平面直角坐标系xOy 中,已知平面区域A ＝{(x ,y )|x ＋y ≤1,且x ≥0,y ≥0},则平面区域B ＝{(x ＋y ,x －y )|(x ,y )∈A }的面积为( )A ．2B ．1C ．12D ．14【解析】不等式⎩⎨⎧ x ＋y≤1x≥0y≥0所暗示的可行域如图所示,设a ＝x ＋y ,b ＝x －y ,则此两目标函数的范围分别为a ＝x ＋y ∈[0,1],b ＝x －y ∈[－1,1],又a ＋b ＝2x ∈[0,2],a －b ＝2y ∈[0,2],∴点坐标(x ＋y ,x －y ),即点(a ,b )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ 0≤a≤1－1≤b≤10≤a＋b≤20≤a－b≤2作出该不等式组所暗示的可行域如图所示,由图示可得该可行域为一等腰直角三角形,其面积S ＝12×2×1＝1．【谜底】B9．设x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －y －2≤0x －y≥0x≥0y≥0若目标函数z ＝ax ＋by (a ＞0,b ＞0)的最年夜值为4,则ab 的取值范围是( )A ．(0,4)B ．(0,4]C ．[4,＋∞) D．(4,＋∞) 【解析】作出不等式组暗示的区域如图阴影部份所示,由图可知,z ＝ax ＋by (a >0,b >0)过点A (1,1)时取最年夜值,∴a ＋b ＝4,ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝4,∵a ＞0,b ＞0,∴ab ∈(0,4]．【谜底】B10．设动点P (x ,y )在区域Ω：⎩⎨⎧ x ≥0y ≥xx ＋y ≤4上,过点P 任作直线l ,设直线l 与区域Ω的公共部份为线段AB ,则以AB 为直径的圆的面积的最年夜值为( )A ．π B．2πC ．3π D．4π 【解析】作出不等式组所暗示的可行域如图中阴影部份所示, 则根据图形可知,以AB 为直径的圆的面积的最年夜值S ＝π×⎝ ⎛⎭⎪⎫422＝4π．【谜底】D11．(2015·西南三校联考)变量x ,y 满足约束条件⎩⎨⎧ y ≥－1x －y ≥23x ＋y ≤14若使z ＝ax ＋y 取得最年夜值的最优解有无穷多个,则实数a 的取值集合是( )A ．{－3,0}B ．{3,－1}C ．{0,1}D ．{－3,0,1}【解析】作出不等式组所暗示的平面区域,如图所示．易知直线z ＝ax ＋y 与x －y ＝2或3x ＋y ＝14平行时取得最年夜值的最优解有无穷多个,即－a ＝1或－a ＝－3,∴a ＝－1或a ＝3．【谜底】B12．(2014·新课标全国Ⅰ卷)设x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ≥a x －y ≤－1且z ＝x ＋ay 的最小值为7,则a ＝( )A ．－5B ．3C ．－5或3D ．5或－3【解析】法一：联立方程⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝a x －y ＝－1解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a －12y ＝a ＋12代入x ＋ay ＝7中,解得a ＝3或－5,当a ＝－5时,z ＝x ＋ay 的最年夜值是7；当a ＝3时,z ＝x ＋ay 的最小值是7．法二：先画出可行域,然后根据图形结合选项求解．当a ＝－5时,作出不等式组暗示的可行域,如图(1)(阴影部份)．图(1) 图(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝－1x ＋y ＝－5得交点A (－3,－2),则目标函数z ＝x －5y过A 点时取得最年夜值．z max ＝－3－5×(－2)＝7,不满足题意,排除A,C 选项．当a ＝3时,作出不等式组暗示的可行域,如图(2)(阴影部份)．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝－1x ＋y ＝3得交点B (1,2),则目标函数z ＝x ＋3y 过B点时取得最小值．z min ＝1＋3×2＝7,满足题意．【谜底】B13．若a ≥0,b ≥0,且当⎩⎨⎧x ≥0y ≥0x ＋y ≤1时,恒有ax ＋by ≤1,则由点P (a ,b )所确定的平面区域的面积是( )A ．12B ．π4C ．1D ．π2【解析】因为ax ＋by ≤1恒成立,则当x ＝0时,by ≤1恒成立,可得y ≤1b(b ≠0)恒成立,所以0≤b ≤1；同理0≤a ≤1．所以由点P (a ,b )所确定的平面区域是一个边长为1的正方形,面积为1．【谜底】C14．(2013·高考北京卷)设关于x ,y 的不等式组⎩⎨⎧2x －y ＋1>0x ＋m<0y －m>0暗示的平面区域内存在点P (x 0,y 0),满足x 0－2y 0＝2．求得m 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－∞43B ．⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－∞13C ．⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－∞－23D ．⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－∞－53【解析】当m ≥0时,若平面区域存在,则平面区域内的点在第二象限,平面区域内不成能存在点P (x 0,y 0)满足x 0－2y 0＝2,因此m ＜0．如图所示的阴影部份为不等式组暗示的平面区域．要使可行域内包括y ＝12x －1上的点,只需可行域鸿沟点(－m ,m )在直线y ＝12x －1的下方即可,即m ＜－12m －1,解得m ＜－23．【谜底】C15．设不等式组⎩⎨⎧x ＋y －11≥03x －y ＋3≥05x －3y ＋9≤0暗示的平面区域为D ．若指数函数y ＝a x 的图象上存在区域D 上的点,则a 的取值范围是 ( )A ．(1,3]B ．[2,3]C ．(1,2]D ．[3,＋∞)【解析】平面区域D 如图所示．要使指数函数y ＝a x的图象上存在区域D 上的点,所以1＜a ≤3．【解析】A16．(2014·高考福建卷)已知圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝1,平面区域Ω：⎩⎨⎧x ＋y －7≤0x －y ＋3≥0y ≥0.若圆心C ∈Ω,且圆C 与x 轴相切,则a 2＋b 2的最年夜值为( )A ．5B ．29C ．37D ．49【解析】由已知得平面区域Ω为△MNP 内部及鸿沟．∵圆C 与x 轴相切,∴b ＝1．显然当圆心C 位于直线y ＝1与x ＋y －7＝0的交点(6,1)处时,a max ＝6．∴a 2＋b 2的最年夜值为62＋12＝37．【解析】C17．在平面直角坐标系中,若不等式组⎩⎨⎧y ≥0y ≤x y ≤kx －1－1暗示一个三角形区域,则实数k 的取值范围是( )A ．(－∞,－1)B ．(1,＋∞)C ．(－1,1)D ．(－∞,－1)∪(1,＋∞)【解析】已知直线y ＝k (x －1)－1过定点(1,－1),画出不等式组暗示的可行域示意图,如图所示．当直线y ＝k (x －1)－1位于y ＝－x 和x ＝1两条虚线之间时,暗示的是一个三角形区域．所以直线y ＝k (x －1)－1的斜率的范围为(－∞,－1),即实数k 的取值范围是(－∞,－1)．当直线y ＝k (x －1)－1与y ＝x 平行时不能形成三角形,不服行时,由题意可得k ＞1时,也可形成三角形,综上可知k ＜－1或k ＞1．【谜底】D18．(2016·武邑中学期中)已知实数x ,y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0|x|－y －1≤0则z ＝2x ＋y 的最年夜值为( )A ．4B ．6C ．8D ．10【解析】区域如图所示,目标函数z ＝2x ＋y 在点A (3,2)处取得最年夜值,最年夜值为8．【谜底】C19．(2016·衡水中学期末)当变量x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x x ＋3y ≤4x ≥m 时,z ＝x －3y 的最年夜值为8,则实数m 的值是( )A ．－4B ．－3C ．－2D ．－1【解析】画出可行域如图所示,目标函数z ＝x －3y 变形为y ＝x 3－z3,当直线过点C 时,z 取到最年夜值, 又C (m ,m ),所以8＝m －3m ,解得m ＝－4．【谜底】A20．(2016·湖州质检)已知O 为坐标原点,A ,B 两点的坐标均满足不等式组⎩⎨⎧x －3y ＋1≤0x ＋y －3≤0x －1≥0则tan ∠AOB 的最年夜值即是( )A ．94B ．47C ．34D ．12【解析】如图阴影部份为不等式组暗示的平面区域,观察图形可知当A 为(1,2),B 为(2,1)时,tan ∠AOB 取得最年夜值,此时由于tan α＝k BO ＝12,tan β＝k AO ＝2,故tan ∠AOB ＝tan(β－α)＝tan β－tan α1＋tan βtan α＝2－121＋2×12＝34．【解析】C 二、填空题21．(2014·高考安徽卷)不等式组 ⎩⎨⎧x ＋y －2≥0x ＋2y －4≤0x ＋3y －2≥0暗示的平面区域的面积为________．【解析】作出不等式组暗示的平面区域如图中阴影部份所示,可知S △ABC ＝12×2×(2＋2)＝4．【谜底】422．(2014·高考浙江卷)若实数x ,y 满足⎩⎨⎧x ＋2y －4≤0x －y －1≤0x ≥1则x ＋y 的取值范围是________．【解析】作出可行域,如图,作直线x ＋y ＝0,向右上平移,过点B 时,x ＋y 取得最小值,过点A 时取得最年夜值．由B (1,0),A (2,1)得(x ＋y )min ＝1,(x ＋y )max ＝3．所以1≤x ＋y ≤3．【谜底】[1,3]23．(2015·重庆一诊)设变量x ,y 满足约束条件⎩⎨⎧x ≥1x ＋y －4≤0x －3y ＋4≤0则目标函数z ＝3x －y 的最年夜值为____．【解析】根据约束条件作出可行域,如图中阴影部份所示, ∵z ＝3x －y ,∴y ＝3x －z ,当该直线经过点A (2,2)时,z 取得最年夜值,即z max ＝3×2－2＝4．【谜底】424．已知实数x ,y满足⎩⎨⎧x ＋y －1≤0x －y ＋1≥0y≥－1则w ＝x 2＋y 2－4x－4y ＋8的最小值为________．【解析】目标函数w ＝x 2＋y 2－4x －4y ＋8＝(x －2)2＋(y －2)2,其几何意义是点(2,2)与可行域内的点的距离的平方．由实数x ,y 所满足的不等式组作出可行域如图中阴影部份所示,由图可知,点(2,2)到直线x ＋y －1＝0的距离为其到可行域内点的距离的最小值,又|2＋2－1|2＝322,所以w min ＝92．【谜底】9225．在平面直角坐标系xOy 中,M 为不等式组⎩⎨⎧2x ＋3y －6≤0x ＋y －2≥0y ≥0所暗示的区域上一动点,则|OM |的最小值是________．【解析】如图所示阴影部份为可行域,数形结合可知,原点O 到直线x ＋y －2＝0的垂线段长是|OM |的最小值,∴|OM |min ＝|－2|12＋12＝2．【谜底】226．(2016·汉中二模)某企业生产甲、乙两种产物,已知生产每吨甲产物要用水3吨、煤2吨；生产每吨乙产物要用水1吨、煤3吨．销售每吨甲产物可获得利润5万元,销售每吨乙产物可获得利润3万元,若该企业在一个生产周期内消耗水不超越13吨,煤不超越18吨,则该企业可获得的最年夜利润是______万元．【解析】设生产甲产物x 吨,生产乙产物y 吨,由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x≥0y≥03x ＋y≤132x ＋3y≤18利润z ＝5x ＋3y ,作出可行域如图中阴影部份所示,求出可行域鸿沟上各端点的坐标,经验证知当x ＝3,y ＝4,即生产甲产物3吨,乙产物4吨时可获得最年夜利润27万元．【谜底】2727．某农户计划种植黄瓜和韭菜,种植面积不超越50亩,投入资金不超越54万元,假设种植黄瓜和韭菜的产量、本钱和售价如下表：)最年夜,则黄瓜的种植面积应为________亩．【解析】设黄瓜和韭菜的种植面积分别为x 亩,y 亩,总利润为z 万元,则目标函数为z ＝(0.55×4x －1.2x )＋(0.3×6y －0.9y )＝x ＋0.9y ．线性约束条件为⎩⎨⎧x ＋y ≤≤54x ≥0y ≥0即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤504x ＋3y ≤180x ≥0y ≥0.画出可行域,如图所示．作出直线l 0：x ＋0．9y ＝0,向上平移至过点A 时,z 取得最年夜值,由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝504x ＋3y ＝180解得A (30,20)．【谜底】3028．(2015·日照调研)若A为不等式组⎩⎨⎧x ≤0y ≥0y －x ≤2暗示的平面区域,则当a 从－2连续变动到1时,动直线x ＋y ＝a 扫过A 中的那部份区域的面积为________．【解析】平面区域A 如图所示,所求面积为S ＝12×2×2－12×22×22＝2－14＝74．【谜底】7429．(2014·高考浙江卷)当实数x ,y 满足⎩⎨⎧x ＋2y －4≤0x －y －1≤0x ≥1时,1≤ax ＋y ≤4恒成立,则实数a 的取值范围是________．【解析】画可行域如图所示,设目标函数z ＝ax ＋y ,即y ＝－ax ＋z ,要使1≤z ≤4恒成立,则a >0,数形结合知,满足⎩⎪⎨⎪⎧1≤2a ＋1≤41≤a ≤4即可,解得1≤a ≤32．所以a 的取值范围是1≤a ≤32．【谜底】⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤13230．(2015·石家庄二检)已知动点P (x ,y )在正六边形的阴影部份(含鸿沟)内运动,如图,正六边形的边长为2,若使目标函数z ＝kx ＋y (k >0)取得最年夜值的最优解有无穷多个,则k 的值为________．【解析】由目标函数z ＝kx ＋y (k >0)取得最年夜值的最优解有无穷多个,结合图形分析可知,直线kx ＋y ＝0的倾斜角为120°,于是有－k ＝tan 120°＝－3,所以k ＝3．【谜底】331．设m ＞1,在约束条件⎩⎨⎧y ≥xy ≤mxx ＋y ≤1下,目标函数z ＝x ＋my 的最年夜值小于2,则m 的取值范围．【解析】变换目标函数为y ＝－1m x ＋z m ,由于m >1,所以－1<－1m <0,不等式组暗示的平面区域如图中的阴影部份所示,根据目标函数的几何意义,只有直线y ＝－1m x ＋zm在y 轴上的截距最年夜时,目标函数取得最年夜值．显然在点A 处取得最年夜值,由y ＝mx ,x ＋y ＝1,得A ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫11＋m m 1＋m ,所以目标函数的最年夜值z max ＝11＋m ＋m21＋m <2,所以m 2－2m －1<0,解得1－2<m <1＋2,故m 的取值范围是(1,1＋2)．【谜底】(1,1＋2)32．已知实数x ,y 满足⎩⎨⎧y ≥1y ≤2x －1x ＋y ≤m若目标函数z ＝x －y 的最小值的取值范围是[－2,－1],则目标函数的最年夜值的取值范围是________．【解析】不等式组暗示的可行域如图中阴影部份(包括鸿沟)所示,目标函数可变形为y ＝x －z ,当z 最小时,直线y ＝x －z 在y 轴上的截距最年夜．当z 的最小值为－1,即直线为y ＝x ＋1时,联立方程⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋1y ＝2x －1可得此时点A 的坐标为(2,3),此时m ＝2＋3＝5；当z 的最小值为－2,即直线为y ＝x ＋2时,联立方程⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋2y ＝2x －1可得此时点A 的坐标是(3,5),此时m ＝3＋5＝8．故m 的取值范围是[5,8]．目标函数z ＝x －y 的最年夜值在点B (m －1,1)处取得,即z max＝m －1－1＝m －2,故目标函数的最年夜值的取值范围是[3,6]．【谜底】[3,6]33．(2013·高考广东卷)给定区域D ：⎩⎨⎧ x ＋4y ≥4x ＋y ≤4x ≥0.令点集T ＝{(x 0,y 0)∈D |x 0,y 0∈Z ,(x 0,y 0)是z ＝x ＋y 在D 上取得最年夜值或最小值的点},则T 中的点共确定________条分歧的直线．【解析】线性区域为图中阴影部份,取得最小值时点为(0,1),最年夜值时点为(0,4),(1,3),(2,2),(3,1),(4,0),点(0,1)与(0,4),(1,3),(2,2),(3,1),(4,0)中的任何一个点都可以构成一条直线,共有5条 ,又(0,4),(1,3),(2,2),(3,1),(4,0)都在直线x ＋y ＝4上,故T 中的点共确定6条分歧的直线．【谜底】634．(2011·湖北改编)已知向量a ＝(x ＋z,3),b ＝(2,y －z ),且a ⊥b ．若x ,y 满足不等式|x |＋|y |≤1,则z 的取值范围为__________．【解析】∵a ＝(x ＋z,3),b ＝(2,y －z ),且a ⊥b ,∴a ·b ＝2(x ＋z )＋3(y －z )＝0,即2x ＋3y －z ＝0．又|x |＋|y |≤1暗示的区域为图中阴影部份,∴当2x ＋3y －z ＝0过点B (0,－1)时,z min ＝－3,当2x ＋3y －z ＝0过点A (0,1)时,z min ＝3．∴z ∈[－3,3]．【谜底】[－3,3]35．(2016·衡水中学模拟)已知变量x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋4y －13≤02y －x ＋1≥0x ＋y －4≥0且有无穷多个点(x ,y )使目标函数z ＝x ＋my取得最小值,则m ＝________．【解析】作出线性约束条件暗示的平面区域,如图中阴影部份所示．若m ＝0,则z ＝x ,目标函数z ＝x ＋my 取得最小值的最优解只有一个,不符合题意．若m ≠0,则目标函数z ＝x ＋my 可看作斜率为－1m的动直线y ＝－1m x ＋z m, 若m ＜0,则－1m＞0,由数形结合知,使目标函数z ＝x ＋my 取得最小值的最优解不成能有无穷多个；若m ＞0,则－1m＜0,数形结合可知,当动直线与直线AB 重合时,有无穷多个点(x ,y )在线段AB 上,使目标函数z ＝x ＋my 取得最小值,即－1m＝－1,则m ＝1．综上可知,m ＝1．【谜底】1。

数学建模：常见的线性规划问题求解方法

数学建模：常见的线性规划问题求解方法1. 引言在数学建模中，线性规划是一种常见的数学模型。

它通常用于求解优化问题，在多个约束条件下找到使目标函数最大或最小的变量值。

本文将介绍几种常见的线性规划问题求解方法。

2. 单纯形法单纯形法是一种经典且高效的线性规划问题求解方法。

它通过不断移动基变量和非基变量来搜索可行解集，并在每次移动后更新目标函数值，直到达到最优解。

该方法适用于标准形式和松弛法形式的线性规划问题。

2.1 算法步骤1.初始化：确定基变量和非基变量，并计算初始相应坐标。

2.计算检验数：根据当前基变量计算检验数，选取检验数最小的非基变量作为入基变量。

3.计算转角系数：根据入基变量计算转角系数，并选择合适的出基变量。

4.更新表格：进行行列交换操作，更新表格中的各项值。

5.结束条件：重复2-4步骤，直至满足结束条件。

2.2 优缺点优点： - 单纯形法的时间复杂度较低，适用于小规模线性规划问题。

- 可以处理带等式约束和不等式约束的线性规划问题。

缺点： - 在某些情况下，单纯形法会陷入梯度消失或梯度爆炸的情况，导致无法找到最优解。

- 处理大规模问题时，计算量较大且可能需要较长时间。

3. 内点法内点法是另一种常见的线性规划求解方法。

与单纯形法不同，内点法通过在可行域内搜索目标函数的最优解。

它使用迭代过程逼近最优解，直到满足停止条件。

3.1 算法步骤1.初始化：选取一个可行解作为初始点，并选择适当的中心路径参数。

2.计算对偶变量：根据当前迭代点计算对偶变量，并更新目标函数值。

3.迭代过程：根据指定的迭代更新方程，在可行域内搜索目标函数的最优解。

4.结束条件：重复2-3步骤，直至满足结束条件。

3.2 优缺点优点： - 内点法相对于单纯形法可以更快地收敛到最优解。

- 在处理大规模问题时，内点法的计算效率更高。

缺点： - 内点法需要选择适当的中心路径参数，不当的选择可能导致迭代过程较慢。

- 对于某些复杂的线性规划问题，内点法可能无法找到最优解。

高中数学解线性规划问题的应用题解析与实例分析

高中数学解线性规划问题的应用题解析与实例分析一、引言线性规划是数学中的一种重要方法，广泛应用于各个领域，如经济、管理、工程等。

在高中数学中，线性规划也是一个重要的考点，往往需要学生掌握解题的方法和技巧。

本文将通过具体的应用题例子，详细解析线性规划问题的解题过程和思路，帮助高中学生和他们的父母更好地理解和掌握这一知识点。

二、线性规划问题的基本概念线性规划问题是指在一定的约束条件下，求解线性目标函数的最大值或最小值的问题。

一般形式可以表示为：Max（或Min）Z = c₁x₁ + c₂x₂ + ... + cₙxₙ约束条件：a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ ≤ b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ ≤ b₂...aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ ≤ bₙx₁, x₂, ..., xₙ ≥ 0其中，c₁, c₂, ..., cₙ为目标函数的系数；a₁₁, a₁₂, ..., aₙₙ为约束条件的系数；b₁, b₂, ..., bₙ为约束条件的常数；x₁, x₂, ..., xₙ为决策变量。

三、线性规划问题的解题步骤1. 确定决策变量：根据题目中的要求，确定需要求解的决策变量，例如某种产品的生产数量、某种资源的分配比例等。

2. 建立目标函数：根据题目中的要求，建立目标函数，即需要最大化或最小化的函数。

目标函数的系数由题目中的条件确定。

3. 建立约束条件：根据题目中的要求，建立约束条件，即限制决策变量的取值范围。

约束条件的系数由题目中的条件确定。

4. 求解最优解：根据线性规划的特点，最优解一定在可行域的顶点上取得。

因此，通过解方程组或图像法找到可行域的顶点，并计算目标函数在每个顶点处的取值，最终确定最优解。

四、应用题解析与实例分析下面通过一个具体的应用题来进行解析和分析，以帮助读者更好地理解线性规划问题的解题过程。

例题：某工厂生产两种产品A和B，每单位产品A需耗费2小时的人工和3小时的机器时间，每单位产品B需耗费1小时的人工和4小时的机器时间。

线性规划问题无穷多个最优解的探讨

最优解，以为实际问题提供多种最优的解决方法，样也就可以在保证满足线性规划问题中考虑的约束可这前提下，多考虑一些实际问题涉及的其他因素］．线性规划问题的标准形式为：
ｒ４＝ｂ，
ｍｎｉｓ＝ｃ（ＰＬ）｛
… ０１
（）１
ｂｌ
ｂ２
…
（２Ｚ
其中ｃｃ，，，）＝＝（ｌＣ … ｃ；２
：＝Ａ
● 。． ●
（Ａ秩为ｍ）ｂ；＝
；
ｂ
：
０Ｍ
…
１最优单纯形表
设基Ｂ＝（，，，ｊ） … Ｐｍ为线性规划问题的最优基，对应的单纯形表如下：
摘
要：穷多个最优解的存在对于实际问题可以提供多种解决方法．两个变量存在多个最优解，无从多
个变量的线性规划问题中存在某个非基变量的检验数为０而且对应的列向量中有正分量，，的情况进行了归纳、总结和证明，可为线性规划的教学起到一
问题的最优基Ｂ＝（Ｐ
一０．ｚ５０
／
１
Ｉ５．２２５．３３５．４４５．５
图图解法求解例
，，）对应的单纯形表（中， … Ｐ所日）存在一个非基变量所对应的检验数ｂｍ＝
０所对应的列向量Ｂ－ｐ不是单位向量且有正分量并且存在一个数ｒ使何ｏ，ｌ，，￣ｂｎ，
定的借鉴作用．

线性规划探索线性规划的基本原理解决线性规划的相关问题

线性规划探索线性规划的基本原理解决线性规划的相关问题线性规划（Linear Programming）是一种常见的最优化方法，旨在找到一组变量的最佳取值，使得目标函数在满足一组线性约束条件的前提下取得最大或最小值。

它被广泛应用于经济学、管理学、工程学等领域，用于解决各类实际问题。

一、线性规划的基本模型及定义在介绍线性规划的原理之前，首先需要了解线性规划的基本模型和一些相关定义。

1. 目标函数（Objective Function）：线性规划的目标函数是需要进行最大化或最小化的变量，通常用线性函数表示。

以最大化为例，目标函数常用如下形式表示：```max Z = c₁x₁ + c₂x₂ + ... + cₙxₙ```其中，c₁、c₂、...、cₙ为常数，x₁、x₂、...、xₙ为决策变量。

2. 约束条件（Constraint）：线性规划的约束条件反映了问题的限制条件，通常为一组线性不等式或等式。

通常表示为：```a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ ≤ b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ ≤ b₂...aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ ≤ bₙ```其中，a₁₁、a₁₂、...、aₙₙ为常数，x₁、x₂、...、xₙ为决策变量，b₁、b₂、...、bₙ为常数。

3. 决策变量（Decision Variable）：决策变量是需要确定取值的变量，它们的取值将会影响到目标函数和约束条件。

常用 x₁、x₂、 (x)表示。

基于以上定义，线性规划的一般形式可以表示为：```max Z = c₁x₁ + c₂x₂ + ... + cₙxₙs.t.a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ ≤ b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ ≤ b₂...aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ ≤ bₙ```二、线性规划的解法线性规划问题的解法主要分为图形法、单纯形法和内点法等。

线性规划问题解的讨论

cj →
C’ B
XB
b
4
2
5
x1
x2
x3
0
x4
3500
0
-1/2
-2
4
x1
1500
1
1/22
2
Zj
4
2
8
Cj–Zj
0
0
-3
0
0
x4
x5
1
-3/2
0
1/2
0
2
0
-2
最优解为X=(1500,0,0,3500,0) Z=6000
非基变量的检验数为0
多重解
cj →
C’ B
XB
b
4
2
5
x1
x2
x3
0
x4
3500
4
x 4 200
2
0
-2
1
5
x2
0
0.75 1 2.75 0
Zj
4.25 5 5.75 4
Cj–Zj
3.25 0 -2.75 0
0
0
0
x5
x6
x7
1 0.25 -1
0
1
-1
0 -0.75 1
0 0.25 1
0 -0.25 -1
基变量x2 = 0
退化解
➢多重解：有非基变量的检验数等于0。
例题：下表是某极大化LP问题的最优单纯形表

x3 x4

=
0.3 0 3500
+
(1
−
0.3) 0 5000
=
0 4350
x5
0
0 0