最新苏教版2018-2019学年数学八年级上册《角平分线的性质与判定》课后练习一-精品试卷

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八年级上册数学人教版课时练《12.3 角平分线的性质》02(含答案解析)

答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。

２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。

亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。

相信你是最棒的！《12.3角平分线的性质》课时练一、选择题1．如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA于点D，PD＝6，则点P到边OB的距离为（）A．6B．5C．4D．32．△ABC是一个任意三角形，用直尺和圆规作出∠A、∠B的平分线，如果两条平分线交于点O，那么下列选项中不正确的是（）A．点O一定在△ABC的内部B．∠C的平分线一定经过点OC．点O到△ABC的三边距离一定相等D．点O到△ABC三顶点的距离一定相等3．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，AD＝3，BC＝10，则△BDC的面积是（）A．10B．15C．20D．304．如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，BA和CD的延长线交于点E，若点P使得S△P AB ＝S，则满足此条件的点P（）△PCDA．有且只有1个B．有且只有2个C．组成∠E的角平分线D．组成∠E的角平分线和外角平分线所在的直线（E点除外）5．如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，DE＝2，则△BCE的面积等于（）A．10B．7C．5D．46．下列作图语句正确的是（）A．以点O为顶点作∠AOBB．延长线段AB到C，使AC＝BCC．作∠AOB，使∠AOB＝∠αD．以A为圆心作弧7．如图，∠MON＝60°，OP平分∠MON，P A⊥ON于点A，点Q是射线OM的一个动点，若OP＝4，则PQ的最小值为（）A．B．4C．2D．8．如图，若OP平分∠AOB，PM⊥OA于M点，PM＝3，N是OB上一个动点，线段PN 的最小值是（）A．2B．3C．4D．59．如图，在△ABC中，∠C是直角，AD平分∠BAC，交BC于点D；如果AB＝8，CD＝2，那么△ABD的面积等于（）A．4B．6C．8D．1010．如图，已知AD∥BC，AP平分∠DAB，BP平分∠ABC，点P恰好在CD上，王玲同学根据给定的条件写出了四个结论：①AP⊥BP；②点P到AD，BC的距离相等；③PD＝PC；④AD+BC＝AB，其中结论正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题11．如图，△ABC中，∠BAC的角平分线交BC于D，过D作AC的垂线DE交AC于E，DE＝5，则D到AB的距离是．12．如图，在直角坐标系中，AD是Rt△OAB的角平分线，已知点D的坐标是（0，﹣3），AB的长是10，则△ABD的面积为．13．在数学活动课上，小明提出这样一个问题：如图，∠B＝∠C＝90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC，∠CED＝35°，则∠EAB的度数是．14．如图△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，给出下列结论：①DC＝DE；②DA平分∠CDE；③DE平分∠ADB；④BE+AC＝AB；⑤∠BAC＝∠BDE．其中正确的是（写序号）15．如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的外角平分线交于P，PM⊥AC于M，若PM＝6cm，则点P到AB的距离为．三．解答题16．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D为BC上一点，在△ADE中，∠E＝∠C，∠1＝90°﹣∠EDC．求证：（1）∠1＝∠2；（2）ED＝BC+BD．17．已知，如图，BD⊥AM于点D，CE⊥AN于点E，BD、CE交点F，CF＝BF，求证：点F在∠A的平分线上．18．已知：如图，∠AOC＝∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D、E．求证：PD＝PE．19．如图①，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B＝60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F，且FG⊥AB于G，FH⊥BC于H．（1）求证：∠BEC＝∠ADC；（2）请你判断并FE与FD之间的数量关系，并证明；（3）如图②，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，∠B＝60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F．请问，你在（2）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．参考答案一、选择题1．A2．D3．B4．D5．C6．C7．C8．B9．C10．D 二、填空题11．512．1513．35°14．①②④⑤15．6cm三、解答题16．证明：（1）由三角形的外角性质，∠BAD+∠ABD＝∠1+∠EDC，∵∠1＝90°﹣∠EDC，∴∠BAD+90°＝90°﹣∠EDC，∴∠BAD＝∠EDC，延长DB至F，使BF＝BD，则AB垂直平分DF，∴∠BAD＝∠DAF，AD＝AF，∴∠DAF＝∠EDC，∠2＝∠F，在△ADF中，∠F+∠DAF＝∠1+∠EDC，∴∠1＝∠F，∴∠1＝∠2；（2）在△AED和△ACF中，，∴△AED≌△ACF（AAS），∴ED＝CF，∵CF＝BC+BF＝BC+DB，∴ED＝BC+BD．17．证明：∵BD⊥AM，CE⊥AN，∴∠CDF＝∠BEF＝90°，在△CDF和△BEF中，，∴△CDF≌△BEF（AAS），∴DF＝EF，∴点F在∠A的平分线上．18．解：（1）角平分线上的点到该角两边的距离相等；（2）∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO＝∠PEO＝90°，在△PDO和△PEO中，，∴△PDO≌△PEO（AAS），∴PD＝PE．19．解：（1）∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，∴∠DAC＝∠DAB＝∠BAC＝15°，∠ACE＝∠ACB＝45°，∴∠CDA＝∠BAD+∠ABD＝75°，∠BEC＝∠BAC+∠ECA＝75°，∴∠BEC＝∠ADC；（2）相等，理由：如图①，过点F作FH⊥BC于H．作FG⊥AB于G，连接BF，∵F是角平分线交点，∴BF也是角平分线，∴HF＝FG，∠DHF＝∠EGF＝90°，∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，∴∠BAC＝30°，∴∠DAC＝∠BAC＝15°，∴∠CDA＝75°，∵∠HFC＝45°，∠HFG＝120°，∴∠GFE＝15°，∴∠GEF＝75°＝∠HDF，在△DHF和△EGF中，，∴△DHF≌△EGF（AAS），∴FE＝FD；（3）成立．理由：如图②，过点F作FM⊥BC于M．作FN⊥AB于N，连接BF，∵F是角平分线交点，∴BF也是角平分线，∴MF＝FN，∠DMF＝∠ENF＝90°，∴四边形BNFM是圆内接四边形，∵∠ABC＝60°，∴∠MFN＝180°﹣∠ABC＝120°，∵∠CF A＝180°﹣（∠F AC+∠FCA）＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（180°﹣∠ABC）＝180°﹣（180°﹣60°）＝120°，∴∠DFE＝∠CF A＝∠MFN＝120°．又∵∠MFN＝∠MFD+∠DFN，∠DFE＝∠DFN+∠NFE，∴∠DFM＝∠NFE，在△DMF和△ENF中。

最新2018-2019学年苏教版数学八年级上册期末模拟检测卷及答案解析-精品试卷

苏教版八年级第一学期期末模拟考试数学试题一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．下列各数中，无理数是（）A．πB．C．D．2．下列调查中，适宜采用普查方式的是（）A．了解一批圆珠笔的寿命B．检查一枚用于发射卫星的运载火箭的各零部件C．考察人们保护海洋的意识D．了解全国九年级学生的身高现状3．下列各点中，位于平面直角坐标系第四象限的点是（）A．（1，2）B．（﹣1，2）C．（1，﹣2）D．（﹣1，﹣2）4．下列图形中，对称轴的条数最多的图形是（）A．线段B．角C．等腰三角形D．正方形5．在平面直角坐标系中，一次函数y=2x﹣3的图象不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限6．某小组在“用频率估计概率”的试验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线图，那么符合这一结果的试验最有可能的是（）A．在装有1个红球和2个白球（除颜色外完全相同）的不透明袋子里随机摸出一个球是“白球”B．从一副扑克牌中任意抽取一张，这张牌是“红色的”C．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面朝上”D．只一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是6二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题纸相应位置上）7．4的平方根是．8．平面直角坐标系中，将点A（1，﹣2）向上平移1个单位长度后与点B重合，则点B 的坐标是（，）．9．任意掷一枚质地均匀的骰子，比较下列事件发生的可能性大小，将它们的序号按从小到大排列为．①面朝上的点数小于2；②面朝上的点数大于2；③面朝上的点数是奇数．10．某校男生、女生以及教师人数的扇形统计图如图所示，若该校师生的总人数为1500人，结合图中信息，可得该校教师人数为人．11．比较大小：1（填“＞”、“＜”或“=”）．12．已知点M（1，a）和点N（2，b）是一次函数y=﹣2x+1图象上的两点，则a与b的大小关系是．13．如图，在平面直角坐标系中，函数y=﹣2x与y=kx+b的图象交于点P（m，2），则不等式kx+b＞﹣2x的解集为．14．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，DE是BC的垂直平分线，点E是垂足．若DC=2，AD=1，则BE的长为．15．如图，D为等边△ABC的边AB上一点，且DE⊥BC，EF⊥AC，FD⊥AB，垂足分别为点E、F、D．若AB=6，则BE= ．16．甲、乙二人从学校出发去科技馆，甲步行一段时间后，乙骑自行车沿相同路线行进，两人均匀速前行，他们的路程差s（米）与甲出发时间t（分）之间的函数关系如图所示．下列说法：①乙先到达青少年宫；②乙的速度是甲速度的2.5倍；③b=480；④a=24．其中正确的是（填序号）．三、解答题（本大题共10小题，共68分）17．（4分）计算：．18．（6分）某校为了了解初三年级1000名学生的身体健康情况，从该年级随机抽取了若干名学生，将他们按体重（均为整数，单位：kg）分成五组（A：39.5～46.5；B：46.5～53.5；C：53.5～60.5；D：60.5～67.5；E：67.5～74.5），并依据统计数据绘制了如下两幅尚不完整的统计图．解答下列问题：（1）这次抽样调查的样本容量是，并补全频数分布直方图；（2）C组学生的频率为，在扇形统计图中D组的圆心角是度；（3）请你估计该校初三年级体重超过60kg的学生大约有多少名？19．（6分）如图：点C、D在AB上，且AC=BD，AE=FB，AE∥BF．求证：DE∥CF．20．（6分）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°．（1）作∠BAC的角平分线交BC于点D（要求：用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（2）在（1）的条件下，若AB=10cm，△ADB的面积为15cm2，求CD的长．21．（7分）已知平移一次函数y=2x﹣4的图象过点（﹣2，1）后的图象为l1．（1）求图象l1对应的函数表达式，并画出图象l1；（2）求一次函数y=﹣2x+4的图象l2与l1及x轴所围成的三角形的面积．22．（8分）如图（1）所示，在A，B两地间有一车站C，一辆汽车从A地出发经C站匀速驶往B地．如图（2）是汽车行驶时离C站的路程y（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数关系的图象．（1）填空：a= km，AB两地的距离为km；（2）求线段PM、MN所表示的y与x之间的函数表达式；（3）求行驶时间x在什么范围时，小汽车离车站C的路程不超过60千米？23．（7分）如图，在△ABC中，BD⊥AC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，且BD=CE，BD与CE相交于点O，连接AO．求证：AO垂直平分BC．24．（7分）如图，△ABC中，AB=AC，D、E分别是AB及AC延长线上的点，且BD=CE，连接DE交BC于点O．过点D作DH⊥BC，过E作EK⊥BC，垂足分别为H、K．（1）求证：DH=EK；（2）求证：DO=EO．25．（7分）某工厂每天生产A、B两种款式的布制环保购物袋共4500个．已知A种购物袋成本2元/个，售价2.3元/个；B种购物袋成本3元/个，售价3.5元/个．设该厂每天生产A种购物袋x个，购物袋全部售出后共可获利y元．（1）求出y与x的函数表达式；（2）如果该厂每天最多投入成本10000元，那么该厂每天生产的购物袋全部售出后最多能获利多少元？26．（10分）（1）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，CD平分∠ACB．求证：CA+AD=BC．小明为解决上面的问题作了如下思考：作△ADC关于直线CD的对称图形△A′DC，∵CD平分∠ACB，∴A′点落在CB上，且CA′=CA，A′D=AD．因此，要证的问题转化为只要证A′D=A′B．请根据小明的思考写出该问题完整的证明过程．（2）参照（1）中小明的思考方法，解答下列问题：如图3，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，BC=CD=10，AC=17，AD=9，求AB的长．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．下列各数中，无理数是（）A．πB．C．D．【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．【解答】解：无理数就是无限不循环小数，π是无理数，故选：A．【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．2．下列调查中，适宜采用普查方式的是（）A．了解一批圆珠笔的寿命B．检查一枚用于发射卫星的运载火箭的各零部件C．考察人们保护海洋的意识D．了解全国九年级学生的身高现状【分析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．【解答】解：A、了解一批圆珠笔的寿命，调查具有破坏性，适合抽样调查，故A错误；B、检查一枚用于发射卫星的运载火箭的各零部件是精确度要求高的调查，适合普查，故B正确；C、考察人们保护海洋的意识，调查范围广适合抽样调查，故C错误；D、了解全国九年级学生的身高现状，调查范围广适合抽样调查，故D错误；故选：B．【点评】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．3．下列各点中，位于平面直角坐标系第四象限的点是（）A．（1，2）B．（﹣1，2）C．（1，﹣2）D．（﹣1，﹣2）【分析】根据各象限内点的坐标特征对各选项分析判断利用排除法求解．【解答】解：A、（1，2）在第一象限，故本选项错误；B、（﹣1，2）在第二象限，故本选项错误；C、（1，﹣2）在第四象限，故本选项正确；D、（﹣1，﹣2）在第三象限，故本选项错误．故选：C．【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．4．下列图形中，对称轴的条数最多的图形是（）A．线段B．角C．等腰三角形D．正方形【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【解答】解：A、线段有2条对称轴，故此选项错误；B、角有1条对称轴，故此选项错误；C、等腰三角形有1条或3条对称轴，故此选项错误；D、正方形有4条对称轴，故此选项正确；故选：D．【点评】此题主要考查了轴对称图形，关键是正确确定对称轴．5．在平面直角坐标系中，一次函数y=2x﹣3的图象不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】根据一次函数的性质可知一次函数y=2x﹣3的图象经过哪几个象限，不经过哪个象限，从而可以解答本题．【解答】解：∵y=2x﹣3，∴该函数的图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限，故选：B．【点评】本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．6．某小组在“用频率估计概率”的试验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线图，那么符合这一结果的试验最有可能的是（）A．在装有1个红球和2个白球（除颜色外完全相同）的不透明袋子里随机摸出一个球是“白球”B．从一副扑克牌中任意抽取一张，这张牌是“红色的”C．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面朝上”D．只一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是6【分析】根据统计图可知，试验结果在0.16附近波动，即其概率P≈0.16，计算四个选项的概率，约为0.16者即为正确答案．【解答】解：A、从一装有2个白球和1个红球的袋子中任取一球，取到白球的概率是≈0.67＞0.16，故此选项错误；B、从一副扑克牌中任意抽取一张，这张牌是“红色的概率=≈0.24＞0.16，故此选项错误；C、掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面朝上”的概率==0.5＞0.16，故此选项错误；D、掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是6的概率=≈0.16故此选项正确，故选：D．【点评】本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．同时此题在解答中要用到概率公式．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题纸相应位置上）7．4的平方根是±2 ．【分析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2=a，则x就是a的平方根，由此即可解决问题．【解答】解：∵（±2）2=4，∴4的平方根是±2．故答案为：±2．【点评】本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．8．平面直角坐标系中，将点A（1，﹣2）向上平移1个单位长度后与点B重合，则点B 的坐标是（ 1 ，﹣1 ）．【分析】让横坐标不变，纵坐标加1可得到所求点的坐标．【解答】解：∵﹣2+1=﹣1，∴点B的坐标是（1，﹣1），故答案为：1，﹣1．【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣平移：在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．9．任意掷一枚质地均匀的骰子，比较下列事件发生的可能性大小，将它们的序号按从小到大排列为①③②．①面朝上的点数小于2；②面朝上的点数大于2；③面朝上的点数是奇数．【分析】根据概率公式分别求出每种情况发生的概率，然后比较出它们的大小即可．【解答】解：任意掷一枚质地均匀的骰子，共有6种等可能结果，其中①面朝上的点数小于2的有1种结果，其概率为；②面朝上的点数大于2的有4种结果，其概率为=；③面朝上的点数是奇数的有3种结果，其概率为=；所以按事件发生的可能性大小，按从小到大排列为①③②，故答案为：①③②．【点评】此题考查了概率公式，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．10．某校男生、女生以及教师人数的扇形统计图如图所示，若该校师生的总人数为1500人，结合图中信息，可得该校教师人数为120 人．【分析】用学校总人数乘以教师所占的百分比，计算即可得解．【解答】解：1500×（1﹣48%﹣44%）=1500×8%=120．故答案为：120．【点评】本题考查的是扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．11．比较大小：＞1（填“＞”、“＜”或“=”）．【分析】直接估计出的取值范围，进而得出答案．【解答】解：∵2＜＜3，∴1＜﹣1＜2，故＞1．故答案为：＞．【点评】此题主要考查了实数大小比较，正确得出的取值范围是解题关键．12．已知点M（1，a）和点N（2，b）是一次函数y=﹣2x+1图象上的两点，则a与b的大小关系是a＞b ．【分析】根据一次函数的一次项系数结合一次函数的性质，即可得出该一次函数的单调性，由此即可得出结论．【解答】解：∵一次函数y=﹣2x+1中k=﹣2，∴该函数中y随着x的增大而减小，∵1＜2，∴a＞b．故答案为：a＞b．【点评】本题考查了一次函数的性质，解题的关键是找出该一次函数单调递减．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据一次函数的解析式结合一次函数的性质，找出该函数的单调性是关键．13．如图，在平面直角坐标系中，函数y=﹣2x与y=kx+b的图象交于点P（m，2），则不等式kx+b＞﹣2x的解集为x＞﹣1 ．【分析】先利用正比例函数解析式确定P点坐标，然后观察函数图象得到，当x＞﹣1时，直线y=﹣2x都在直线y=kx+b的下方，于是可得到不等式kx+b＞﹣2x的解集．【解答】解：当y=2时，﹣2x=2，x=﹣1，由图象得：不等式kx+b＞﹣2x的解集为：x＞﹣1，故答案为：x＞﹣1．【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于（或小于）﹣2x的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在﹣2x上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．14．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，DE是BC的垂直平分线，点E是垂足．若DC=2，AD=1，则BE的长为．【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DB=DC=2，根据角平分线的性质得到DE=AD=1，根据勾股定理计算即可．【解答】解：∵DE是BC的垂直平分线，∴DB=DC=2，∵BD是∠ABC的平分线，∠A=90°，DE⊥BC，∴DE=AD=1，∴BE==，故答案为：．【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、角平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．15．如图，D为等边△ABC的边AB上一点，且DE⊥BC，EF⊥AC，FD⊥AB，垂足分别为点E、F、D．若AB=6，则BE= 2 ．【分析】求出∠BDE=∠FEC=∠AFD=30°，求出∠DEF=∠DFE=∠EDF=60°，推出DF=DE=EF，即可得出等边三角形DEF，根据全等三角形性质推出三个三角形全等即可．求出AB=3BE，即可解答．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC=BC，∠B=∠C=∠A=60°，∵DE⊥BC、EF⊥AC、FD⊥AB，∴∠DEB=∠EFC=∠FDA=90°，∴∠BDE=∠FEC=∠AFD=30°，∴∠DEF=∠DFE=∠EDF=180°﹣90°﹣30°=60°，∴DF=DE=EF，∴△DEF是等边三角形，在△ADF、△BED、△CFE中∴△ADF≌△BED≌△CFE，∴AD=BE=CF，∵∠DEB=90°，∠BDE=30°，∴BD=2BE，∴AB=3BE，∴BE=AB=2．故答案为：2．【点评】本题考查了等边三角形性质，含30度角的直角三角形性质，解决本题的关键是熟记含30度角的直角三角形性质．16．甲、乙二人从学校出发去科技馆，甲步行一段时间后，乙骑自行车沿相同路线行进，两人均匀速前行，他们的路程差s（米）与甲出发时间t（分）之间的函数关系如图所示．下列说法：①乙先到达青少年宫；②乙的速度是甲速度的2.5倍；③b=480；④a=24．其中正确的是①②③（填序号）．【分析】根据甲步行720米，需要9分钟，进而得出甲的运动速度，利用图形得出乙的运动时间以及运动距离，进而分别判断得出答案．【解答】解：由图象得出甲步行720米，需要9分钟，所以甲的运动速度为：720÷9=80（m/分），当第15分钟时，乙运动15﹣9=6（分钟），运动距离为：15×80=1200（m），∴乙的运动速度为：1200÷6=200（m/分），∴200÷80=2.5，（故②正确）；当第19分钟以后两人之间距离越来越近，说明乙已经到达终点，则乙先到达青少年宫，（故①正确）；此时乙运动19﹣9=10（分钟），运动总距离为：10×200=2000（m），∴甲运动时间为：2000÷80=25（分钟），故a的值为25，（故④错误）；∵甲19分钟运动距离为：19×80=1520（m），∴b=2000﹣1520=480，（故③正确）．故正确的有：①②③．故答案为：①②③．【点评】此题主要考查了一次函数的应用，利用数形结合得出乙的运动速度是解题关键．三、解答题（本大题共10小题，共68分）17．（4分）计算：．【分析】首先计算乘方、开方，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．【解答】解：=﹣2﹣2+1=﹣3【点评】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．18．（6分）某校为了了解初三年级1000名学生的身体健康情况，从该年级随机抽取了若干名学生，将他们按体重（均为整数，单位：kg）分成五组（A：39.5～46.5；B：46.5～53.5；C：53.5～60.5；D：60.5～67.5；E：67.5～74.5），并依据统计数据绘制了如下两幅尚不完整的统计图．解答下列问题：（1）这次抽样调查的样本容量是50 ，并补全频数分布直方图；（2）C组学生的频率为0.32 ，在扇形统计图中D组的圆心角是72 度；（3）请你估计该校初三年级体重超过60kg的学生大约有多少名？【分析】（1）根据A组的百分比和频数得出样本容量，并计算出B组的频数补全频数分布直方图即可；（2）由图表得出C组学生的频率，并计算出D组的圆心角即可；（3）根据样本估计总体即可．【解答】解：（1）这次抽样调查的样本容量是4÷8%=50，B组的频数=50﹣4﹣16﹣10﹣8=12，补全频数分布直方图，如图：（2）C组学生的频率是0.32；D组的圆心角=；（3）样本中体重超过60kg的学生是10+8=18人，该校初三年级体重超过60kg的学生=人，故答案为：（1）50；（2）0.32；72．【点评】此题考查频数分布直方图，关键是根据频数分布直方图得出信息进行计算．19．（6分）如图：点C、D在AB上，且AC=BD，AE=FB，AE∥BF．求证：DE∥CF．【分析】欲证明DE∥CF，只要证明∠ADE=∠BCF，只要证明△AED≌△BFC即可；【解答】证明：∵AE∥BF，∴∠A=∠B，∵AC=BD，∴AC+BD=BD+CD，即：AD=BC，在△AED和△BFC中，∴△AED≌△BFC（SAS），∴∠ADE=∠BCF，∴DE∥CF．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．20．（6分）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°．（1）作∠BAC的角平分线交BC于点D（要求：用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（2）在（1）的条件下，若AB=10cm，△ADB的面积为15cm2，求CD的长．【分析】（1）根据角平分线的尺规作图即可得；（2）作DE⊥AB，由△ADB的面积为15cm2求得DE=3cm，再根据角平分线的性质可得．【解答】解：（1）如图所示，AD即为所求；（2）过D作DE⊥AB，E为垂足，由△ADB的面积为15cm2，得AB•ED=15，解得：ED=3cm，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠ACB=90°∴CD=ED=3cm．【点评】本题主要考查作图﹣基本作图，解题的关键是熟练掌握角平分线的尺规作图及角平分线的性质．21．（7分）已知平移一次函数y=2x﹣4的图象过点（﹣2，1）后的图象为l1．（1）求图象l1对应的函数表达式，并画出图象l1；（2）求一次函数y=﹣2x+4的图象l2与l1及x轴所围成的三角形的面积．【分析】（1）根据平行一次函数的定义可知：k=2，再利用待定系数法求出b的值即可；（2）过点A作AD⊥x轴于D点，利用三角形面积公式解答即可．【解答】解：（1）由已知可设l1对应的函数表达式为y=2x+b，把x=﹣2，y=1代入表达式解得：b=5，∴l1对应的函数表达式为y=2x+5，画图如下：，（2）设l1与l2的交点为A，过点A作AD⊥x轴于D点，由题意得，解得即A（，），则AD=，设l1、l2分别交x轴的于点B、C，由y=﹣2x+4=0，解x=2，即C（2，0）由y=2x+5=0解得，即B（，0）∴BC=，∴即l2与l1及x轴所围成的三角形的面积为．【点评】本题考查了函数的平移和两条直线的平行问题；同时还要熟练掌握若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同．22．（8分）如图（1）所示，在A，B两地间有一车站C，一辆汽车从A地出发经C站匀速驶往B地．如图（2）是汽车行驶时离C站的路程y（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数关系的图象．（1）填空：a= 240 km，AB两地的距离为390 km；（2）求线段PM、MN所表示的y与x之间的函数表达式；（3）求行驶时间x在什么范围时，小汽车离车站C的路程不超过60千米？【分析】（1）根据图象中的数据即可得到A，B两地的距离；（2）根据函数图象中的数据即可得到两小时后，货车离C站的路程y2与行驶时间x之间的函数关系式；（3）根据题意可以分相遇前和相遇后两种情况进行解答．【解答】解：（1）由题意和图象可得，a=千米，A，B两地相距：150+240=390千米，故答案为：240，390（2）由图象可得，A与C之间的距离为150km汽车的速度，PM所表示的函数关系式为：y1=150﹣60xMN所表示的函数关系式为：y2=60x﹣150（3）由y1=60得 150﹣60x=60，解得：x=1.5由y2=60得 60x﹣150=60，解得：x=3.5由图象可知当行驶时间满足：1.5h≤x≤3.5h，小汽车离车站C的路程不超过60千米【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想和函数的思想解答．23．（7分）如图，在△ABC中，BD⊥AC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，且BD=CE，BD与CE相交于点O，连接AO．求证：AO垂直平分BC．【分析】欲证明AO垂直平分BC，只要证明AB=AC，BO=CO即可；【解答】证明：∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠BEC=∠BDC=90°，在Rt△BEC和Rt△CDB中，∴Rt△BEC≌Rt△CDB （HL），∴∠ABC=∠ACB，∠ECB=∠DBC，∴AB=AC，BO=OC，∴点A、O在BC的垂直平分线上，∴AO垂直平分BC．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．24．（7分）如图，△ABC中，AB=AC，D、E分别是AB及AC延长线上的点，且BD=CE，连接DE交BC于点O．过点D作DH⊥BC，过E作EK⊥BC，垂足分别为H、K．（1）求证：DH=EK；（2）求证：DO=EO．【分析】（1）只要证明△BDH≌△CEK，即可解决问题；（2）只要证明△DHO≌△EKO即可解决问题；【解答】解：（1）∵DH⊥BC，EK⊥BC，∴∠DHB=∠K=90°，∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，又∵∠ACB=∠ECK，∴∠B=∠ECK，在△BDH和△CEK中∵∠ACB=∠ECK，∠B=∠ECK，BD=CE∴△BDH≌△CEK（AAS）．∴DH=EK．（2）∵DH⊥AC，EK⊥BC，∴∠DHO=∠K=90°，由（1）得EK=DH，在△DHO和△EKO中，∵∠DHO=∠K，∠DOH=∠EOK，DH=EK∴△DHO≌△EKO（AAS），∴DO=EO．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．25．（7分）某工厂每天生产A、B两种款式的布制环保购物袋共4500个．已知A种购物袋成本2元/个，售价2.3元/个；B种购物袋成本3元/个，售价3.5元/个．设该厂每天生产A种购物袋x个，购物袋全部售出后共可获利y元．（1）求出y与x的函数表达式；（2）如果该厂每天最多投入成本10000元，那么该厂每天生产的购物袋全部售出后最多能获利多少元？【分析】（1）根据总成本y=A种购物袋x个的成本+B种购物袋x个的成本即可得到答案．（2）列出不等式，根据函数的增减性解决．【解答】解：（1）根据题意得：y=（2.3﹣2）x+（3.5﹣3）（4500﹣x）=﹣0.2x+2250即y与x的函数表达式为：y=﹣0.2x+2550，（2）根据题意得：﹣x+13500≤10000，解得：x≥3500元，∵k=﹣0.2＜0，∴y随x增大而减小，∴当x=3500时，y取得最大值，最大值y=﹣0.2×3500+2250=1550，答：该厂每天最多获利1550元．【点评】本题考查了销售量、成本、售价、利润之间的关系，正确理解这些量之间的关系是解决问题的关键，学会用函数的增减性解决实际问题．26．（10分）（1）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，CD平分∠ACB．求证：CA+AD=BC．小明为解决上面的问题作了如下思考：作△ADC关于直线CD的对称图形△A′DC，∵CD平分∠ACB，∴A′点落在CB上，且CA′=CA，A′D=AD．因此，要证的问题转化为只要证A′D=A′B．请根据小明的思考写出该问题完整的证明过程．（2）参照（1）中小明的思考方法，解答下列问题：如图3，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，BC=CD=10，AC=17，AD=9，求AB的长．【分析】（1）作△ADC关于CD的对称图形△A′DC，再证明AD=BA′即可；（2）如图，作△ADC关于AC的对称图形△A′DC．过点C作CE⊥AB于点E，则D′E=BE．设D′E=BE=x．在Rt△CEB中，CE2=CB2﹣BE2=102﹣x2，在Rt△CEA中，CE2=AC2﹣AE2=172﹣（9+x）2．由此构建方程即可解决问题；【解答】（1）证明：作△ADC关于CD的对称图形△A′DC，∴A′D=AD，C A′=CA，∠CA′D=∠A=60°，∵CD平分∠ACB，∴A′点落在CB上∵∠ACB=90°，∴∠B=90°﹣∠A=30°，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=45°在△ACD中，∠ADC=180°﹣∠A﹣∠A CD=75°∴∠A′DC=∠ADC=75°，∴∠A′DB=180°﹣∠ADC﹣∠A′DC=30°，∴∠A′DB=∠B，∴A′D=A′B，∴CA+AD=CA′+A′D=C A′+A′B=CB．（2）如图，作△ADC关于AC的对称图形△A′DC．∴D′A=DA=9，D′C=DC=10，∵AC平分∠BAD，∴D′点落在AB上，∵BC=10，∴D′C=BC，过点C作CE⊥AB于点E，则D′E=BE．设D′E=BE=x．在Rt△CEB中，CE2=CB2﹣BE2=102﹣x2，在Rt△CEA中，CE2=AC2﹣AE2=172﹣（9+x）2．∴102﹣x2=172﹣（9+x）2，解得：x=6，∴AB=AD′+D′E+EB=9+6+6=21．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、直角三角形30度角性质、轴对称、勾股定理、一元二次方程等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用方程的思想思考问题，属于中考常考题型．。

2018-2019学年冀教版数学八年级上册 16.3 角的平分线课后作业

16.3角的平分线专题一线段垂直平分线与角平分线的综合应用1. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，则下列结论：①DA平分∠CDE；②∠BAC=∠BDE；③DE平分∠ADB；④BE+AC=AB；⑤A，D两点一定在线段EC的垂直平分线上，其中正确的有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个2.如图，OP是∠MON的角平分线，点A是ON上一点，作线段OA的垂直平分线交OM于点B，过点A 作CA⊥ON交OP于点C，连结BC，AB=10 cm，CA=4 cm，则△OBC的面积为 ________cm2．3.如图，在△ABC中，∠B=45°，AD是∠BAC的角平分线，EF垂直平分AD，交BC的延长线于点F．则∠FAC=_______．专题二利用角平分线的性质求三角形的面积4.如图，已知△ABC的周长是21，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=4，△ABC的面积是________．5.如图，有一块三角形的闲地，其三边长分别为30 m，40 m，50 m，现要把它分成面积比为3:4:5的三部分，分别种植不同的花.请你设计一种方案，保留作图痕迹.状元笔记【知识要点】1.角平分线的性质定理角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.2.角平分线性质定理的逆定理到角的两边距离相等的点在角的平分线上.【温馨提示】1.运用角平分线的性质时，必须满足三个条件，即：一个平分，两个垂直，然后才能得一个结论，即两条线段相等.2.对于角平分线的性质定理及其逆定理的条件和结论要正确掌握，避免错误.3. 三角形三个角的平分线交于一点，并且这点到三角形三边的距离相等.【方法技巧】当题目中出现角平分线、垂线段、距离等条件时，可考虑应用角平分线的性质定理及其逆定理求解或把问题转化.参考答案1.C 解析：∵AD 平分∠BAC ，∴∠DAC=∠DAE ，又∵∠C=∠DEA=90°，DA=DA ，∴△ADC ≌△ADE. ∴∠ADC=∠ADE ，AC=AE ，∵BE+AE=AB ，∴BE+AC=AB.因为在直角△BDE 中∠B+∠BDE=90°，在直角△ABC 中∠B+∠BAC=90°，∴∠BAC=∠BDE.所以①②④正确.∵△ADC ≌△ADE ，∴AC=AE ，DC=DE ，∴A 、D 两点在线段EC 的垂直平分线上.2.20 解析：作CE ⊥OM ，垂足为E.∵点B 在OA 的垂直平分线上，∴BO=BA=10 cm.∵OP 是∠MON 的角平分线，CA ⊥ON ，CE ⊥OM ，∴CE=CA=4 cm ，∴)(20410212cm S OBC =⨯⨯=∆. 3. 45° 解析：易证△AEF ≌△DEF ，∴∠ADF=∠DAF.又∵∠ADF=∠B+∠BAD ，∠DAF=∠FAC+∠DAC ，∵∠BAD=∠DAC ，∴∠FAC=∠B=45°．4.42 解析：作OE ⊥AB ，作OF ⊥AC ，垂足分别为E ，F.∵OB ，OC 分别平分∠ABC 和∠ACB ，OD ⊥BC ，∴OE=OF=OD=4, 1()4=422ABC ABO BCO ACO S S S S AB BC AC =++=⨯++⨯△△△△. 5.解：如图所示：分别作∠ABC ，∠ACB 的平分线，交于点D ，连结AD ，BD ，CD ，则::3:4:5ABD ADC BDC S S S =△△△.。

2019-2020最新精选试题角平分线的性质和判定习题含答案解析

角平分线的性质和判定精选习题一．选择题（共10小题）1．（2019春•江岸区校级月考）如图，//AD BC ，ABC ∠的平分线BP 与BAD ∠的平分线AP 相交于点P ，作PE AB ⊥于点E ，若2PE =，则两平行线AD 与BC 间的距离为( )A ． 2B ． 3C ． 4D ． 52．（2018秋•高阳县期末）如图，OP 平分MON ∠，PA ON ⊥于点A ，点Q 是射线OM 上的一个动点，若2PA =，则PQ 的最小值为( )A ．1B ．2C ．3D ．43．（2018秋•浏阳市期中）如图：ABC ∆中，AC BC =，90C ∠=︒，AD 平分CAB ∠交BC于D ，DE AB ⊥于E ，且6AC cm =，则DE BD +等于( )A ．5cmB ．4cmC ．6cmD ．7cm4．（2016•张家界模拟）如图，OP 平分MON ∠，PA ON ⊥于点A ，点Q 是射线OM 上一个动点，若3PA =，则PQ 的最小值为( )A ．3B ．2C ．3D ．235．（2018秋•北京期末）如图，ABC ∆中，90C ∠=︒，AD 平分CAB ∠，交BC 于点D ，DE AB⊥于点E ，若3CD =，则DE 的长为( )A ．2B ．3C ．3D ．236．（2019•乐山模拟）如图，AD 是ABC ∆的角平分线，DE AB ⊥于点E ，10ABC S ∆=，2DE =，4AB =，则AC 长是( )A ．9B ．8C ．7D ．67．（2018秋•定兴县期末）小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB ，另一把直尺压住射线OA 并且与第一把直尺交于点P ，小明说： “射线OP 就是BOA ∠的角平分线． ”他这样做的依据是( )A ．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上B ．角平分线上的点到这个角两边的距离相等C ．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等D ．以上均不正确8．（2017秋•西城区校级期中）如图，OP 平分MON ∠，PA ON ⊥于点A ，若2PA =，则P到OM 的距离为( )A ．1B ．2C ．3D ．49．（2016春•新郑市期中）已知，在ABC ∆中，90ABC ∠=︒，点O 为ABC ∆的三条角平分线的交点，OD BC ⊥，OE AC ⊥，OF AB ⊥，点D 、E 、F 是垂足，且10AB =，8BC =，则点O 到三边AB 、AC 和BC 的距离分别是( )A ．2，2，2B ．3，3，3C ．4，4，4D ．2，3，510．（2018秋•西城区校级期中）如图，AD 是ABC ∆中BAC ∠的角平分线，DE AB ⊥于点E ，24ABC S ∆=，4DE =，7AB =，则AC 长是( )A ． 3B ． 4C ． 6D ． 5二．填空题（共10小题）11．（2018秋•昌平区期末）小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB ，另一把直尺压住射线OA 并且与第一把直尺交于点P ，小明说：“射线OP 就是BOA ∠的角平分线．”小明的做法，其理论依据是．12．（2017秋•渭滨区期末）如图，若BD AE ⊥于B ，DC AF ⊥于C ，且DB DC =，40BAC ∠=︒，130ADG ∠=︒，则DGF ∠= ．13．（2018秋•河池期末）如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AD 是ABC ∆的角平分线，10BC cm =，:3:2BD DC =，则点D 到AB 的距离为．14．（2017秋•西城区校级期中）如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，AD 平分CAB ∠，9BC cm =，6=，那么点D到直线AB的距离是cm．BD cm15．（2018秋•西城区期末）如图，在ABC⊥于点E．若∆中，CD是它的角平分线，DE ACcm．=，则BCD∆的面积为2=，26BC cmDE cm16．（2017秋•太仓市期中）如图，在ABCBC cm=，∠，7∠=︒，AD平分CAB∆中，90C=，那么D点到线段AB的距离是cm．5BD cm17．（2016秋•西城区校级期中）在ABC=，BACBC cm∠的平分线交BCC∠=︒，4∆中，90于D，且:5:3BD DC=，则D到AB的距离为cm．18．（2018秋•大兴区期末）如图，在ABCBC cm∠，11=，∆中，90∠=︒，AD平分CABC=，那么点D到直线AB的距离是cm．7BD cm19．（2018秋•平谷区期末）如图，在ABC∠，12BC cm=，∠=︒，AD平分BACC∆中，90=，则点D到AB的距离是cm．9BD cm20．（2018秋•丰台区期末）如图，ABC ∆中，90C ∠=︒，AD 平分CAB ∠交BC 于点D ，DE AB ⊥于点E ，如果6AC cm =，8BC cm =，那么EB 的长为 cm ，DE 的长为 cm ．三．解答题（共7小题）21．（2018秋•东城区校级月考）小跃是一个爱动脑筋的孩子，他用如下方法作AOB ∠的角平分线，作法如图：（1）在射线OA 上任取一点C ，过点C 作//CD OB ；（2）以点C 为圆心，CO 的长为半径作弧，交CD 于点E ；（3）作射线OE ．所以射线OE 就是AOB ∠的角平分线，根据小跃的作图依据完成下面证明//CD OBBOE ∴∠=∠ ( )（填理论依据）CO CE =∴∠ =∠ ( )（填理论依据）AOE BOE ∴∠=∠OE ∴是AOB ∠的角平分线22．（2016秋•西城区校级期中）如图，电信部门要在公路m ，n 之间的S 区域修建一座电视信号发射塔P ．按照设计要求，发射塔P 到区域S 内的两个城镇A ，B 的距离必须相等，到两条公路m ，n 的距离也必须相等．发射塔P 应建在什么位置？（要求：尺规作图，不写作法，但要保留作图痕迹，并写出结论）23．（2017•顺义区一模）已知：如图，四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，AB AC AD ==，DAC ABC ∠=∠．（1）求证：BD 平分ABC ∠；（2）若45DAC ∠=︒，1OA =，求OC 的长．24．（2016秋•饶平县期末）如图，在ABC ∆中，D 是BC 的中点，DE AB ⊥，DF AC ⊥，垂足分别是E ，F ，BE CF =．求证：AD 是ABC ∆的角平分线．25．（2016秋•西城区校级期中）如图，在四边形ABCD 中，BC BA >，AD CD =，BD 平分ABC ∠，求证：180A C ∠+∠=︒．26．（2016•海淀区校级模拟）如图，已知90BAC ∠=︒，AD BC ⊥于点D ，12∠=∠，//EF BC交AC 于点F ．试说明AE CF =．27．（2017•西城区二模）如图，在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，CD 平分ACB ∠交AB 于点D ，DE AC ⊥于点E ，//BF DE 交CD 于点F ．求证：DE BF =．角平分线的性质和判定精选习题参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．如图，//AD BC ，ABC ∠的平分线BP 与BAD ∠的平分线AP 相交于点P ，作PE AB ⊥于点E ，若2PE =，则两平行线AD 与BC 间的距离为( )A ． 2B ． 3C ． 4D ． 5 解：如图，过点P 作PF AD ⊥于F ，作PG BC ⊥于G ， AP 是BAD ∠的平分线，PE AB ⊥，PF PE ∴=，同理可得PG PE =，//AD BC ，∴点F 、P 、G 三点共线，EG ∴的长即为AD 、BC 间的距离，∴平行线AD 与BC 间的距离为224+=．故选：C ．2．如图，OP 平分MON ∠，PA ON ⊥于点A ，点Q 是射线OM 上的一个动点，若2PA =，则PQ 的最小值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解：垂线段最短，⊥时，PQ有最小值，∴当PQ OM又OP平分MON⊥，∠，PA ON∴==，2PQ PA故选：B．3．如图：ABC⊥于E，∠交BC于D，DE AB∠=︒，AD平分CAB∆中，AC BCC=，90且6+等于()=，则DE BDAC cmA．5cm B．4cm C．6cm D．7cm解：90⊥，∠交BC于D，DE ABC∠=︒，AD平分CAB∴=，CD DE∴+=+=，DE BD CD BD BC=，AC BC6∴+==．DE BD AC cm故选：C．4．如图，OP平分MONPA=，∠，PA ON⊥于点A，点Q是射线OM上一个动点，若3则PQ的最小值为()A3B．2C．3D．23解：过点P作PB OM⊥于B，PA=，⊥，3OP平分MON∠，PA ON∴==，3PB PAPQ ∴的最小值为3．故选：C ．5．如图，ABC ∆中，90C ∠=︒，AD 平分CAB ∠，交BC 于点D ，DE AB ⊥于点E ，若3CD =，则DE 的长为( )A ．2B ．3C ．3D ．23 解：AD 平分CAB ∠，DE AB ⊥，90C ∠=︒，3CD DE ∴==，故选：C ．6．如图，AD 是ABC ∆的角平分线，DE AB ⊥于点E ，10ABC S ∆=，2DE =，4AB =，则AC长是( )A ．9B ．8C ．7D ．6解：过D 作DF AC ⊥于F ，AD 是ABC ∆的角平分线，DE AB ⊥，2DE DF ∴==，1142422ADB S AB DE ∆=⨯=⨯⨯=， ABC ∆的面积为10，ADC ∴∆的面积为1046-=，∴162AC DF ⨯=， ∴1262AC ⨯=， 6AC ∴=故选：D ．7．小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB ，另一把直尺压住射线OA 并且与第一把直尺交于点P ，小明说： “射线OP 就是BOA ∠的角平分线． ”他这样做的依据是( )A ．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上B ．角平分线上的点到这个角两边的距离相等C ．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等D ．以上均不正确解：（1）如图所示：过两把直尺的交点C 作CE AO ⊥，CF BO ⊥，两把完全相同的长方形直尺， CE CF ∴=，OP ∴平分AOB∠（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上），故选：A ．8．如图，OP平分MONPA=，则P到OM的距离为()⊥于点A，若2∠，PA ONA．1B．2C．3D．4解：作PQ OM⊥于Q，⊥，∠，PA ONOP平分MON⊥，PQ OM∴==，2PQ PA∴到OM的距离为2P故选：B．9．已知，在ABC∆的三条角平分线的交点，OD BC∠=︒，点O为ABC⊥，ABC∆中，90AB=，8BC=，则点O到三边AB、⊥，点D、E、F是垂足，且10⊥，OF ABOE ACAC和BC的距离分别是()A ．2，2，2B ．3，3，3C ．4，4，4D ．2，3，5解：如图，连接OB ，点O 为ABC ∆的三条角平分线的交点，OD BC ⊥，OE AC ⊥，OF AB ⊥，点D 、E 、F 分别是垂足，OE OF OD ∴==，又OB 是公共边，Rt BOF Rt BOD(HL)∴∆≅∆，BD BF ∴=，同理，AE AF =，CE CD =，90C ∠=︒，OD BC ⊥，OE AC ⊥，OF AB ⊥，OD OE =，OECD ∴是正方形，设OE OF OD x ===，则CE CD x ==，8BD BF x ==-，6AF AE x ==-，10BF FA AB ∴+==，即6810x x -+-=，解得2x =．则2OE OF OD ===，故选：A ．10．如图，AD 是ABC ∆中BAC ∠的角平分线，DE AB ⊥于点E ，24ABC S ∆=，4DE =，7AB =，则AC 长是( )A ． 3B ． 4C ． 6D ． 5解：作DF AC ⊥于F ，如图， AD 是ABC ∆中BAC ∠的角平分线，DE AB ⊥，DF AC ⊥，4DE DF ∴==，ADB ADC ABC S S S ∆∆∆+=， ∴114742422AC ⨯⨯+⨯⨯=， 5AC ∴=，故选：D ．二．填空题（共10小题）11．小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB ，另一把直尺压住射线OA 并且与第一把直尺交于点P ，小明说：“射线OP 就是BOA ∠的角平分线．”小明的做法，其理论依据是在角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上．解：如图所示：过两把直尺的交点P 作PE AO ⊥，PF BO ⊥，两把完全相同的长方形直尺，PE PF ∴=，OP ∴平分AOB ∠（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上），故答案为：在角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上．12．如图，若BD AE ⊥于B ，DC AF ⊥于C ，且DB DC =，40BAC ∠=︒，130ADG ∠=︒，则DGF ∠= 150︒ ．解：BD AE ⊥于B ，DC AF ⊥于C ，且DB DC =，AD ∴是BAC ∠的平分线，40BAC ∠=︒，1202CAD BAC ∴∠=∠=︒， 20130150DGF CAD ADG ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒．故答案为：150︒．13．如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AD 是ABC ∆的角平分线，10BC cm =，:3:2BD DC =，则点D 到AB 的距离为 4cm ．解：10BC cm =，:3:2BD DC =，4DC cm ∴=， AD 是ABC ∆的角平分线，90ACB ∠=︒，∴点D 到AB 的距离等于DC ，即点D 到AB 的距离等于4cm ．故答案为4cm ．14．如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，AD 平分CAB ∠，9BC cm =，6BD cm =，那么点D 到直线AB 的距离是 3 cm ．解：9BC cm =，6BD cm =，3CD cm ∴=，AD 平分CAB ∠，90C ∠=︒，DE AB ⊥，3DE CD cm ∴==，故答案为：3．15．如图，在ABC ∆中，CD 是它的角平分线，DE AC ⊥于点E ．若6BC cm =，2DE cm =，则BCD ∆的面积为 6 2cm ．解：作DF BC ⊥于F ，CD 是它的角平分线，DE AC ⊥，DF BC ⊥，2DF DE ∴==，BCD ∴∆的面积216()2BC DF cm =⨯⨯=，故答案为：6．16．如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，AD 平分CAB ∠，7BC cm =，5BD cm =，那么D 点到线段AB 的距离是 2 cm ．解：CD BC BD =-，75=-，2()cm =，90C ∠=︒，D ∴到AC 的距离为2CD cm =，D ∴点到线段AB 的距离为2cm ．故答案为：2．17．在ABC ∆中，90C ∠=︒，4BC cm =，BAC ∠的平分线交BC 于D ，且:5:3BD DC =，则D 到AB 的距离为 1.5 cm ．解：如图，过点D 作DE AB ⊥于E ，4BC cm =，:5:3BD DC =，34 1.553CD cm ∴=⨯=+， AD 是BAC ∠的平分线，1.5DE CD cm ∴==．故答案为：1.5．18．如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，AD 平分CAB ∠，11BC cm =，7BD cm =，那么点D 到直线AB 的距离是 4 cm ．解：如图，过点D 作DE AB ⊥于点E ，11BC cm =，7BD cm =，1174CD BC BD cm ∴=-=-=，90C ∠=︒，AD 平分CAB ∠，4DE CD cm ∴==，即点D 到直线AB 的距离是4cm ．故答案为：4．19．如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，AD 平分BAC ∠，12BC cm =，9BD cm =，则点D 到AB的距离是 3 cm ．解：如图，过点D 作DE AB ⊥于E ．12BC =，9BD =，3CD BC BD ∴=-=．又90C ∠=︒，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ， 3DE CD ∴==，故答案为：320．如图，ABC ∆中，90C ∠=︒，AD 平分CAB ∠交BC 于点D ，DE AB ⊥于点E ，如果6AC cm =，8BC cm =，那么EB 的长为 4 cm ，DE 的长为 cm ．解：AD 平分CAB ∠，CAD EAD ∴∠=∠，又90C ∠=︒，DE AB ⊥，90C AED ∴∠=∠=︒，又AD AD =，()ACD AED AAS ∴∆≅∆，6AC AE cm ∴==，CD ED =，Rt ABC ∆中，2210()AB AC BC cm =+=， 1064()BE AB AE cm ∴=-=-=，设DE CD x ==，则8BD x =-，Rt BDE ∆中，222DE BE BD +=，2224(8)x x ∴+=-，解得3x =，3DE cm ∴=，故答案为：4，3．三．解答题（共7小题）21．小跃是一个爱动脑筋的孩子，他用如下方法作AOB ∠的角平分线，作法如图：（1）在射线OA 上任取一点C ，过点C 作//CD OB ；（2）以点C 为圆心，CO 的长为半径作弧，交CD 于点E ；（3）作射线OE ．所以射线OE 就是AOB ∠的角平分线，根据小跃的作图依据完成下面证明//CD OBBOE ∴∠=∠ OEC ( )（填理论依据） CO CE =∴∠ =∠ ( )（填理论依据）AOE BOE ∴∠=∠OE ∴是AOB ∠的角平分线解：//CD OB ，OEC BOE ∴∠=∠（两直线平行，内错角相等）． OC CE =，COE OEC ∴∠=∠（等腰三角形两底角相等）， COE BOE ∴∠=∠，即射线OE 就是AOB ∠的角平分线．故答案为：OEC ；两直线平行，内错角相等；COE ；OEC ；等腰三角形两底角相等．22．如图，电信部门要在公路m ，n 之间的S 区域修建一座电视信号发射塔P ．按照设计要求，发射塔P 到区域S 内的两个城镇A ，B 的距离必须相等，到两条公路m ，n 的距离也必须相等．发射塔P 应建在什么位置？（要求：尺规作图，不写作法，但要保留作图痕迹，并写出结论）解：分别作出公路夹角的角平分线和线段AB的中垂线，他们的交点为P，则P点就是修建发射塔的位置．23．已知：如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB AC AD==，∠=∠．DAC ABC（1）求证：BD平分ABC∠；（2）若45OA=，求OC的长．∠=︒，1DAC（1）证明：AB AC=，∴∠=∠，ABC ACB∠=∠，DAC ABC∴∠=∠．DAC ACB∴，AD BC//∴∠=∠．ADB CBD又AB AD=，∴∠=∠．ADB ABDABD CBD∴∠=∠．∴平分ABCBD∠；（2）解：过点O作OE BC⊥于E，∠=︒，DAC ABC∠=∠，DAC45∴∠=∠=︒，ABC ACB45∴∠90BAC=︒，1OE OA ∴==．在Rt OEC ∆中，45ACB ∠=︒，1OE =， 2OC ∴=．24．如图，在ABC ∆中，D 是BC 的中点，DE AB ⊥，DF AC ⊥，垂足分别是E ，F ，BE CF =．求证：AD 是ABC ∆的角平分线．证明：DE AB ⊥，DF AC ⊥，Rt BDE ∴∆和Rt DCF ∆是直角三角形．BD DC BE CF =⎧⎨=⎩， Rt BDE Rt DCF(HL)∴∆≅∆，DE DF ∴=，又DE AB ⊥，DF AC ⊥，AD ∴是角平分线．25．如图，在四边形ABCD 中，BC BA >，AD CD =，BD 平分ABC ∠，求证：180A C ∠+∠=︒．证明：过点D 作DE BC ⊥于E ，过点D 作DF AB ⊥交BA 的延长线于F ，DE DF ∴=，90DEC F ∠=∠=︒，在RtCDE 和Rt ADF ∆中，CD AD DE DF=⎧⎨=⎩， Rt CDE Rt ADF(HL)∴∆≅∆，FAD C ∴∠=∠，180BAD C BAD FAD ∴∠+∠=∠+∠=︒．26．如图，已知90BAC ∠=︒，AD BC ⊥于点D ，12∠=∠，//EF BC 交AC 于点F ．试说明AE CF =．解：作EH AB ⊥于H ，作FG BC ⊥于G ，12∠=∠，AD BC ⊥，EH ED ∴=（角平分线的性质）//EF BC ，AD BC ⊥，FG BC ⊥，∴四边形EFGD 是矩形，ED FG ∴=，EH FG ∴=，90BAD CAD ∠+∠=︒，90C CAD ∠+∠=︒，BAD C ∴∠=∠，又90AHE FGC ∠=∠=︒，()AEH CFG AAS ∴∆≅∆AE CF ∴=．27．如图，在Rt ABC∠交AB于点D，DE AC⊥于点E，ABC∆中，90∠=︒，CD平分ACBBF DE交CD于点F．//求证：DE BF=．证明：CD平分ACB∠，∴∠=∠，12∠=︒ABCDE AC⊥，90∴=，34DE BD∠=∠，BF DE，//∴∠=∠，45∴∠=∠，35∴=，BD BFDE BF∴=．。

苏科版八年级数学上册《角平分线的判定》同步测试题-附答案

苏科版八年级数学上册《角平分线的判定》同步测试题-附答案一、单选题1．如图，已知点P 在射线BD 上PA AB PC BC ⊥⊥，，垂足分别为A ，C ，且PA PC =，则下列结论错误的是（）A ．AD CP =B ．点D 在ABC ∠的平分线上 C ．ABD CBD ≌△△ D ．ADB CDB ∠=∠2．已知，如图，OC 是AOB ∠内部的一条射线，P 是射线OC 上任意点PD OA PE OB ⊥⊥，，下列条件中：①AOC BOC ∠=∠，①PD PE =，①OD OE =，①DPO EPO ∠=∠，能判定OC 是AOB ∠的角平分线的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．如图，在Rt ABC △中90C ∠=︒，点D 在BC 上，连接AD ，::ACD ABD S S AC AB =△△若54B ∠=︒，则BAD ∠的度数为（）A ．20︒B ．16︒C ．18︒D ．36︒4．在ABC 中，点O 是ABC 内一点，且点O 到ABC 三边的距离相等．若40A ∠=︒，则BOC ∠的度数为（）A ．110︒B ．120︒C ．130︒D ．140︒二、填空题5．如图，已知点O 是BAC ∠内一点，且点O 到AC 、AB 的距离OE OF =，70EOA =︒∠则BAC ∠= ．6．如图，O 是ABC 内一点，且点O 到ABC 三边AB ，BC ，CA 的距离OE ，OD ，OF 相等，若50A ∠=︒，则BOC ∠= ．7．如图，在Rt ABC △中90C ∠=︒，点I 到Rt ABC △三边的距离相等，则AIB ∠的度数为．8．如图，ACD ∠是ABC 的外角42BEC ∠=︒，ABC ∠和ACD ∠的平分线相交于点E ，连接AE ，则CAE ∠的度数是．三、解答题9．如图，锐角ABC 的两条高BD 、CE 相交于点O ，且CE BD =．(1)求证：OB OC =；(2)判断点O 是否在BAC ∠的角平分线上，并说明理由．10．如图，DE ①AB 于E ，DF ①AC 于F ，若BD ＝CD 、BE ＝CF ．（1）求证：AD 平分①BAC ；（2）已知AC ＝13，BE ＝2，求AB 的长．11．如图ABC ，ABC ∠的平分线与ACB 的外角平分线交于点D ，过点D 作DE BC ⊥于E ．(1)如图1，若68BAC ∠=︒，求BDC ∠的度数．(2)如图2，连AD ，求证：AD 平分CAM ∠．(3)如图3，若ABC 周长为20，求BE 的长．参考答案1．A【分析】该题主要考查了角平分线判定和全等三角形的性质和判定，解题的关键是证明三角形全等．根据PA PC =得出点D 在ABC ∠的平分线上，再证明PAB PCB ≌和ABD CBD ≌△△即可证明．【详解】解：①PA AB PC BC PA PC ⊥⊥=，，①90PAB PCB BP ∠=∠=︒，是ABC ∠的角平分线①点D 在ABC ∠的平分线上，故B 正确在Rt PAB 和Rt PCB 中PA PC PB PB ==，①()Rt PAB Rt PCB HL ≌①ABP CBP AB BC ∠=∠=，在ABD △和CBD △中 BD BD ABD CBD AB BC =∠=∠=，，①()ABD CBD SAS ≌，故C 正确①ADB BDC ∠=∠，故D 正确．故选：A ．2．D【分析】本题考查了角平分线的判定、全等三角形的判定和性质，熟练掌握角平分线的判定、全等三角形的判定和性质是解题的关键．根据角平分线的定义可判断①的正误；由角平分线的判定定理可判断①的正误；证明()Rt Rt HL POD POE ≌可判断①的正误；证明()AAS POD POE ≌△△，可判断①的正误．【详解】解：①AOC BOC ∠=∠①OC 是AOB ∠的角平分线，故①符合要求；①PD OA PE OB ⊥⊥， PD PE =①OC 是AOB ∠的角平分线，故①符合题意；①OP OP = OD OE =①()Rt Rt HL POD POE ≌①AOC BOC ∠=∠①OC 是AOB ∠的角平分线，故①符合要求；①DPO EPO ∠=∠ 90PDO PEO ∠=∠=︒ OP OP =①()AAS POD POE ≌△△ ①AOC BOC ∠=∠①OC 是AOB ∠的角平分线，故①符合要求；故选：D ．3．C【分析】本题考查了角平分线的判定以及三角形的内角和性质，根据1122ACD ABD S AC CD S AB DH =⨯=⨯，△△，以及::ACD ABD S S AC AB =△△，得出CD DH =，证明AD 是CAB ∠的角平分线，结合90C ∠=︒ 54B ∠=︒ 得出180905436CAB ∠=︒-︒-︒=︒，即可作答．【详解】解：如图：过点D 作DH AB ⊥①90C ∠=︒ ①1122ACD ABD S AC CD S AB DH =⨯=⨯，△△ ①::ACD ABD S S AC AB =△△①CD DH =①AD 是CAB ∠的角平分线 ①12BAD CAB ∠=∠ ①90C ∠=︒ 54B ∠=︒①180905436CAB ∠=︒-︒-︒=︒①BAD ∠的度数为18︒故选：C ．4．A【分析】本题考查了角平分线的判定定理，角平分线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据题意可推出O 是ABC 三条角平分线的交点，即BO 是ABC ∠的角平分线，CO 是ACB ∠的角平分线，再利用三角形内角和定理即可求出BOC ∠的度数．【详解】O 到ABC 三边的距离相等O ∴是三条角平分线的交点∴BO 是ABC ∠的角平分线，CO 是ACB ∠角平分线 ∴12CBO ABO ABC ∠=∠=∠ 12BCO ACO ACB ∠=∠=∠ 40A ∠=︒∴180********ABC ACB A ∠+∠=︒-∠=︒-︒=︒ ∴11()1407022CBO BCO ABC ACB ∠+∠=∠+∠=⨯︒=︒∴18070110BOC ∠=︒-︒=︒故选：A ．5．40/40度【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的判定与性质，由三角形内角和定理得出20OAE ∠=︒，再由角平分线的判定定理得出OA 平分BAC ∠，最后由角平分线的定义即可得出答案．【详解】解：由题意得：OE AB ⊥ OF AC ⊥①90OEA ∠=︒①70EOA =︒∠①9020OAE EOA ∠=︒-∠=︒①点O 到AC 、AB 的距离OE OF =①OA 平分BAC ∠①240BAC OAE ∠=∠=︒故答案为：40︒．6．115︒/115度【分析】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的性质．根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上判断出点O 是三角形三条角平分线的交点，再根据三角形的内角和定理求出ABC ACB ∠+∠，然后求出OBC OCB ∠+∠，再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．【详解】解：O 到三边AB 、BC 、CA 的距离==OF OD OE∴点O 是三角形三条角平分线的交点50A ∠=︒180130ABC ACB A ∴∠+∠=︒-∠︒=︒11()1306522OBC OCB ABC ACB ∴∠+∠=∠+⨯︒∠==︒ 在OBC △中180()18065115BOC OBC OCB ∠=︒-∠+∠=︒-︒=︒．故答案为：115︒．7．135︒/135度【分析】本题考查角平分线的判定，根据点I 到Rt ABC △三边的距离相等，得出点I 在ABC 的角平分线上，即可得解．解题的关键是掌握：到角两边距离相等的点在角的平分线上．【详解】解：①点I 到Rt ABC △三边的距离相等①点I 在ABC 的角平分线上，即AI 与BI 都是ABC 的角平分线①12IAB CAB ∠=∠ 12IBA CBA ∠=∠ ①90C ∠=︒①90CAB CBA ∠+∠=︒ ①()11904522IAB IBA CAB CBA ∠+∠=∠+∠=⨯︒=︒ ①()180********AIB IAB IBA ∠=︒-∠+∠=︒-︒=︒①AIB ∠的度数为135︒．故答案为：135︒．8．48︒/48度【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和和角平分线的定义列式并整理得到2BAC BEC ，过点E 作EF BA ⊥交延长线于F ，作EG AC ⊥于G ，作EH BD ⊥于H ，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得EF FH EG EH ==，，然后求出EF EG =，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上判断出AE 是CAF ∠的平分线，再根据角平分线的定义解答即可．【详解】解：①ABC ∠和ACD ∠的角平分线相交于点E①11,22CBE ABC ECD ACD ∠=∠∠=∠ 由三角形的外角性质得ACD ABC BAC ∠=∠+∠ECD BEC CBE ∠=∠+∠ ①1122ACD BEC ABC ∠=∠+∠ ①11()22ABC BAC BEC ABC ∠+∠=∠+∠ 整理得2BAC BEC①42BEC ∠=︒①84BAC ∠=︒过点E 作EF BA ⊥交延长线于F ，作EG AC ⊥于G ，作EH BD ⊥于H①BE 平分ABC ∠①EF EH =①CE 平分ACD ∠①EG EH =①EF EG =①AE 是CAF ∠的平分线①11(180)(18084)4822CAE BAC ∠=︒-∠=︒-︒=︒．故答案为：48︒．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的外角性质，角平分线的性质定理与角平分线的判定定理，难点在于作辅助线并判断出AE 是ABC 外角的平分线．9．(1)证明见解析；(2)O 在BAC ∠的角平分线上，理由见解析．【分析】（1）由BD AC ⊥ CE AB ⊥ 得90BDA CEA ∠=∠=︒，再证明()AAS BDA CEA ≌，根据相似三角形的性质和角度和差得BCE CBD ∠=∠即可求证；（2）连接OA ，由（1）得OB OC =，根据线段和差得OE OD ，根据角平分线的判定即可求解；本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，等角对等边，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．【详解】（1）证明：①BD AC ⊥ CE AB ⊥①90BDA CEA ∠=∠=︒在BAD 和CAE 中90A A BDA CEA BD CD ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩①()AAS BDA CEA ≌①AB AC = ABD ACE ∠=∠①A ABC CB =∠∠①ABC ABD ACB ACE ∠-∠=∠-∠，即BCE CBD ∠=∠①OB OC =；（2）解：O 在BAC ∠的角平分线上，理由：连接OA由（1）得OB OC =①CE BD =①-=-CE OC BD OB ，即OE OD①BD AC ⊥ CE AB ⊥①点O 在BAC ∠的平分线上．10．（1）见解析；（2）AB =9【分析】（1）求出①E =①DFC =90°，根据全等三角形的判定定理得出Rt ①BED ①Rt ①CFD ，推出DE =DF ，根据角平分线性质得出即可；（2）根据全等三角形的性质得出AE =AF ，由线段的和差关系求出答案．【详解】（1）证明：①DE ①AB ，DF ①AC①①E =①DFC =90°①BD ＝CD 、BE ＝CF①Rt ①BDE ① Rt ①CDF①DE =DF又①DE ①AB ，DF ①AC①AD 平分①BAC ；（2）解：①Rt ①BDE ① Rt ①CDF①CF =BE =2① AF =AC -FC =13-2=11在Rt ①ADE 与 Rt ①ADF 中①AD =AD ，DE =DF①Rt ①ADE ①Rt ①ADF①AE =AF =11① AB =AE -BE =11-2=9．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS ，ASA ，AAS ，SSS ，全等三角形的对应边相等，对应角相等．11．(1)34BDC ∠=︒(2)见解析(3)10BE =【分析】（1）根据角平分的定义，和三角形外角定理即可求解（2）作辅助线，根据角平分线的性质与判定，即可求解（3）由Rt Rt ADO ADP ≌可得AP AQ =，同理BP BE =，CQ CE =即可通过等量代换，求出BE 的长本题考查了，三角形外角定理，全等三角形的判定与性质，角平分线的判定与性质，解题的关键是：熟练应用角平分线的性质，作出辅助线．【详解】（1）解：①ABC ∠的平分线与ACB ∠的外角平分线交于点DABD CBD ∴∠=∠ ACD DCN ∠=∠68BAC ∠=︒68ACN ABC BAC ∴∠-∠=∠=︒11683422DCN CBD BAC ∴∠-∠=∠=⨯︒=︒ BDC DCN CBD ∠=∠-∠34BDC ∴∠=︒故答案为：34BDC ∠=︒（2）解：如图2，过点D 作DP AB ⊥的延长线于P ，DQ AC ⊥于QDE BC ⊥，BD 平分ABC ∠，CD 平分ACE ∠DP DE DQ DE =DP DQ ∴=AD ∴平分CAM ∠（3）解：如图2，由（2）知：DP DQ =第 11 页共 11 页在Rt ADQ △和Rt ADP 中 DP DQAD AD =⎧⎨=⎩()Rt Rt HL ADO ADP ≌ ∴=AP AQ同理得：BP BE = CQ CE = ABC ∴的周长20AB BC AC =++= 20AB BC AP CE ∴+++= AB AP BC CE +=+ 10BC CE ∴+=，即：10BE = 故答案为：10BE =．。

2018-2019学年最新苏科版数学八年级上册《角平分线的性质与判定》课后练习一-精品试卷

角平分线的性质与判定重难点易错点解析题一：题面：如图，PC、PB是∠ACB、∠ABC的平分线，∠A=40°，∠BPC= ．金题精讲题一：题面：如图，OB、OC分别平分∠ABC与∠ACB，MN∥BC，若AB=24，AC=36，则△AMN的周长是．题二：题面：如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，AD与EF相交于点O．求证：AD⊥EF．题三：题面：如图，四边形ABCD中，BC=DC，对角线AC平分∠BAD，且AB=21，AD=9，BC=DC=10，求AC的长．思维拓展ABC中，的值为．课后练习详解重难点易错点解析题一：答案：110°．详解：∵∠A=40°，∴∠ABC+∠ACB=18040°=140°，平分∠ACB°PBC+=110金题精讲题一：答案：60．详解：∵OB平分∠ABC，∴∠ABO=∠OBC，∵MN∥BC，∴∠OBC=BOM，∴∠ABO=∠BOM，∴BM=OM，同理可得CN=ON，∴△AMN的周长=AM+MO+ON+AN=AM+BM+CN+AN=AB+AC，∵AB=24，AC=36，∴△AMN的周长=24+36=60．题二：答案：AD⊥EF．详解：∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∠EDO=∠FDO，在△DEF中，DE=DF，∠EDO=∠FDO，∴DO⊥EF，∴AD⊥EF．题三：答案：AC长为17．详解：过C作CE⊥AB，延长AD作CF⊥AD，∴∠CEA=90°，∠CFD=90°，∵AC平分∠BAD，∴CF=CE（角平分线上的点到角的两边的距离相等），又∵BC=DC，∴△CFD≌△CEB（HL），∴DF=EB，同理可得△ACF≌△ACE，∴AF=AE，∴AD+DF=AB BE，即9+DF=21BE，解得DF=BE=6，由勾股定理得，=17．答：AC长为17．思维拓展答案：2 详解：设==CD CDx BC AD ，∵AB=AC ，∴∠ABC=∠ACB ，∵BC=BD=AD ，BD 平分∠ABC ，∴∠A=∠ABD=∠DBC ，∠C=∠BDC=∠ABC ，∴∠ABC=2∠A ，∠C=2∠A ，∴∠A=∠ABD=∠DBC=36°，∠C=∠BDC=∠ABC=72°，∵∠ABC=∠C=∠BDC ，∴△BCD ∽△ABC ． ∴BC ACCD BC =，又BC=BD=AD ，∴AD2=AC •DC ．∵AD2=AC •DC ，==CDCDx BC AD ，AC=AD+CD ，∴AD2=(AD+CD)•CD ，AD2=(AD+x •AD)•x •AD ，x(1+x)=1， x2+x 1=0，x =12-±（负值舍去）．即x=2．。

江苏省八年级数学上册第10讲角平分线的判定课后练习 (新版)苏科版

第10讲角平分线的判定题一：如图所示，AD⊥OB，BC⊥OA，垂足分别为D、C，AD与BC相交于点P，若PA＝PB，则∠1与∠2的大小是（）．A．∠1＝∠2 B．∠1＞∠2 C．∠1＜∠2 D．无法确定题二：如图所示，DB⊥AB，DC⊥AC，BD＝DC，∠BAC＝80°，则∠BAD＝________，CAD＝_________．题三：如图，△ABC中，D是△ABC边BC中点，DE、DF分别垂直于AB、AC，垂足为E，F，BE=CF．请证明：AD平分∠BAC．E FA题四：（xx云南保山）如图，在平行四边形ABCD中，点P是对角线AC上一点，PE⊥AB，PF⊥AD，垂足分别为E、F，且PE=PF，平行四边形ABCD是菱形吗？为什么？题五：如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为50和39，则△EDF的面积为（）．A．11 B．5.5 C．7 D．3.5ACBDACPBDO12题六：如图，△ABC中，∠ABC、∠ACB外角的平分线相交于点F，连接AF，则下列结论正确的有（）．A．AF平分BC B．AF平分∠BAC C．AF⊥BC D．以上结论都正确题七：三角形的三条角平分线交于一点，你知道这是为什么吗？题八：如图，已知：90A∠=，//AD BC，P是AB的中点，PD平分ADC∠．求证：CP平分DCB∠．PA DCBE1243第10讲角平分线的判定题一： A ．解析：∵AD ⊥OB ，BC ⊥OA ，PA ＝PB ，利用三角形全等可以说明PC =PD ，由角平分线的判定可知∠1＝∠2．题二： 40°，40°．解析：因为DB ⊥AB ，DC ⊥AC ，且BD ＝DC ，所以AD 是∠BAC 的平分线，所以∠BAD ＝∠CAD ＝21∠BAC ＝21×80°＝40°．题三：见详解．详解：∵D 是△ABC 边BC 中点 ∴BD=CD在Rt △BDE 与Rt △CDF 中()()BE CF BD CD =⎧⎨=⎩已知已证 ∴Rt △BDE ≌Rt △CDF （HL ）∴DE =DF ，又DE 、DF 分别垂直于AB 、AC ，垂足为E ，F ，由角分线判定知：AD 平分∠BAC ．题四：是菱形．理由如下：∵PE ⊥AB ，PF ⊥AD ，且PE=PF ，∴AC 是∠DAB 的角平分线，∴∠DAC =∠CAE ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴DC ∥AB ，∴∠DCA=∠CAB ，∴∠DAC=∠DCA ，∴DA=DC ，∴平行四边形ABCD 是菱形．解析：首先根据定理：到角两边距离相等的点在角的平分线上，可得到∠DAC =∠CAE ，然后证明∠DAC =∠DCA ，可得到DA=DC ，再根据菱形的判定定理：邻边相等的平行四边形是菱形，进而可得到结论．此题主要考查了菱形的判定，证明∠DAC =∠DCA 是解此题的关键．题五： B ．详解：作DM =DE 交AC 于M ，作DN ⊥AC∵DE =DG ，DM =DE ，∴DM =DG ，∵AD 是∠ABC 的角平分线，DF ⊥AB ，∴DF =DN ，∴Rt △DEF ≌Rt △DMN （HL ），∵△ADG 和△AED 的面积分别为50和39，∴S △MDG =S △ADG -S △ADM =50-39=11，S △DNM =S △DEF =12S △MDG =12×11=5.5 故选B ．题六： B ．详解：过F 点分别作AB 、BC 、AC 的垂线，垂足分别为E 、G 、D ，∵∠ABC 、∠ACB 外角的平分线相交于点F ，∴EF =GF ，GF =DF ，∴EF =DF ，∴AF 平分∠BAC ．故选B ．题七：已知：如图，△ABC 的角平分线AD 与BE 交于点I ，求证：点I 在∠ACB 的平分线上．C AE HIF G证明：过点I 作IH ⊥AB 、IG ⊥AC 、IF ⊥BC ，垂足分别是点H 、G 、F ．∵点I 在∠BAC 的角平分线AD 上，且IH ⊥AB 、IG ⊥AC∴IH =IG （角平分线上的点到角的两边距离相等）同理 IH =IF ∴IG =IF （等量代换）又IG ⊥AC 、IF ⊥BC∴点I 在∠ACB 的平分线上（到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上）即：三角形的三条角平分线交于一点．解析：我们知道两条直线是交于一点的，因此可以想办法证明第三条角平分线通过前两条角平分线的交点．题八：作PE DC ⊥，垂足为E ，所以3490A ∠=∠=∠=，因为PD 平分ADC ∠，所以12∠=∠，所以PA PE =．因为P 是AB 的中点，所以PA PB =，所以PE PB =，所以点P 在DCB ∠的平分线上，所以CP 平分DCB ∠．解析：点P 在ADC ∠的平分线上，而欲证点P 在DCB ∠的角平分线上，可转化为证点P 到这个角两边的距离相等，这是本题证明的关键．从而考虑过点一点P向DC引垂线，以便充分运用角平分线的性质定理和判定定理．。

八年级数学上册第9讲角平分线的重要性质课后练习苏科版(2021年整理)

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第9讲角平分线的重要性质题一: 如图,已知点D 是∠ABC 的平分线上一点，点P 在BD 上，PA ⊥AB ，PC ⊥BC ，垂足分别为A ，C ．下列结论错误的是（）A ．AD =CPB ．△ABP ≌△CBPC ．△ABD ≌△CBD D ．∠ADB =∠CDB题二: 如图所示，△ABC 中，AB =AC ，AD 是∠A 的平分线,DE ⊥AB ，DF ⊥AC ,垂足分别是E 、F ，下面给出四个结论,其中正确的结论有( ）①AD 平分∠EDF ; ②AE =AF ； ③AD 上的点到B 、C 两点的距离相等④到AE 、AF 距离相等的点,到DE 、DF 的距离也相等A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个题三：已知：AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ,DF ⊥AC ，垂足分别是E 、F ,BD ＝CD ，求证:∠B ＝∠C ．D BCE F ABC D P A F E题四：已知：如图CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，且CD、BE相交于O点．求证：当∠∠1=∠∠2时，OB=OC；题五：已知：如图∠∠1=∠∠2，BC⊥AC于C，BD⊥AD于D,连结CD交AB于E．求证:AB垂直平分CD．题六：如图（1），已知：在四边形ABCD中，AD=CD，BD平分∠ABC．求证：∠BAD+∠BCD=180°．题七：在四边形ABCD中，对角线AC平分∠DAB，∠DAB=120°，∠B=∠D=90°，求证：AB+AD=AC．题八：已知如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，且AE=12（AB+AD），求证:∠B与∠D互补．第9讲角平分线的重要性质题一：A．解析:通过角平分线上的性质的运用推得△ABP≌△CBP，△ABD≌△CBD，∠ADB=∠CDB三项成立，A项不成立,能推出AD=DC，也能推得AP=PC．题二：D．解析：①②③④都正确．题三：因为AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，所以DE＝DF,在Rt△DEB与Rt△DFC 中，BD＝CD，DE＝DF，所以Rt△DEB≌Rt△DFC（HL），所以∠B＝∠C．解析:根据角平分线性质可得：DE＝DF．再说明Rt△DEB≌Rt△DFC可得∠B＝∠C．题四：（1）∵∠∠1=∠∠2,OE⊥AC,OD⊥AB∴OE=OD（角平分线上的点到角两边距离相等）在△OEC与△ODB中∴△OEC≌△ODB（ASA）∴OB=OC解析：要证OB=OC,只须证Rt△CEO与Rt△BDO全等,由对顶角相等与∠1=∠∠2的条件,即可得证．利用角平分性质定理或判定定理时,一定要注意垂直的条件．题五: ∵∠∠1=∠∠2,BC⊥AC，BD⊥AD∴BC=BD（角平分线上的点，到这个角的两边的距离相等）∵∠∠1+∠∠3=∠∠2+∠∠4=90°,∴∠∠3=∠∠4（等角的余角相等）.在△CBE与△DBE中∴△CBE ≌△DBE （SAS ）∴CE =DE ,∠∠CEB =∠∠DEB ，∵C ，E ，D 三点在同一直线上，∴AB ⊥CD 于E ，∴AB 垂直平分CD解析：要证的结论“垂直平分”,实际是(1）AB ⊥CD ，（2)CE =ED ,把角相等和垂直两个条件写出后，再使用角平分线性质定理，得BC =BD ，利用△CBE 与△DBE 全等得证．用了角平分线性质定理，可代替用全等三角形得到的结论，简化证明过程。

八年级数学上册第十二章《全等三角形》12.3角的平分线的性质12.3.2角的平分线的判定课时作业新

2018年秋八年级数学上册第十二章《全等三角形》12.3 角的平分线的性质12.3.2 角的平分线的判定课时作业（新版）新人教版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018年秋八年级数学上册第十二章《全等三角形》12.3 角的平分线的性质12.3.2 角的平分线的判定课时作业（新版）新人教版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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第2课时角的平分线的判定知识要点基础练知识点1角的平分线的判定1。

如图，DB⊥AB,DC⊥AC，BD=DC,∠BAC=80°,则∠BAD=(B)A.10°B.40°C。

30° D.20°2。

在正方形网格中,∠AOB的位置如图所示,到两边距离相等的点应是（C）A。

C点 B.D点C.E点D。

F点3.如图，△OPD和△OPE是两个直角三角形，PD=3 cm，当PE=3 cm时,OP平分∠AOB.知识点2角的平分线的实际应用4。

如图，已知∠ABC，小彬借助一把没有刻度且等宽的直尺，按如图的方法画出了∠ABC的平分线BP。

他这样做的依据是（A)A。

在一个角的内部，且到角两边的距离相等的点在这个角的平分线上B.角平分线上的点到这个角两边的距离相等C。

三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等D.以上选项都不对5.如图,要在河流的右侧、公路的左侧M区处建一个工厂,位置选在到河流和公路的距离相等,并且到河流与公路交叉A处的距离为1 cm（指图上距离)的地方,则图中工厂的位置应选在哪里?并说明理由.解：工厂的位置应选在∠A的平分线上，且到点A的距离为1 cm的地方.理由：角平分线上的点到角的两边的距离相等.知识点3角平分线与三角形的结合6.如图所示是一块三角形的草坪,现要在草坪上建一个凉亭供大家休息,要使凉亭到草坪三条边的距离相等,凉亭的位置应选在(B)A。

八年级数学上册第13讲垂直平分线课后练习新版苏科版word版本

第 13 讲垂直均分线题一：阅读“作线段的垂直均分线”的作法，完成填空及证明．已知：线段AB，要作线段AB的垂直均分线．作法：（ 1）分别以、B 为圆心，大于1的相同长为半径作弧，两弧分别交于点、；A2AB C D （2）作直线CD．直线 CD即为所求作的线段AB的垂直均分线．依据上述作法和图形，先填空，再证明．已知：如图，连接AC、 BC、 AD、 BD， AC=AD==．求证： CD⊥AB， CD均分 AB．题二：如图，直线CD是线段AB的垂直均分线，P 为直线CD上的一点，已知线段PA=5，则线段PB的长度为.题三：以以下图，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三点的距离相等，凉亭的地点应选在.题四：如图， AC=AD， BC=BD，则有（）A、AB垂直均分CD C、AB与CD相互垂直均分B、 CD垂直均分 ABD、CD均分∠ACB题五：已知：如图， Rt △ABC中，∠A=90°，∠B=22.5 °，DE是AB于 D点．求证： AD=AC．BC的垂直均分线，交题六：如图，在△ ABC中， BA=BC，∠ B=120°， AB的垂直均分线MN交 AC于 D，求证：AD=1 DC．2题七：如图，∠ABC=50°， AD垂直且均分BC于点D，∠ ABC的均分线BE交AD于点E，连接EC，则∠ AEC的度数是度．题八：如图，直线CP是 AB的中垂线且交AB于 P，此中 AP=2CP．甲、乙两人想在AB 上取两点 D、 E，使得AD=DC=CE=EB，其作法以下：（甲）作∠、∠的角均分线，分别交于、，则、E 即为所求；ACP BCP AB D E D （乙）作 AC、 BC之中垂线，分别交AB于 D、 E，则 D、 E即为所求．对于甲、乙两人的作法，以下判断何者正确（）A、两人都正确B、两人都错误C、甲正确，乙错误 D 、甲错误，乙正确第 13 讲垂直均分线题一：BC， BD； CD⊥ AB， CD均分 AB．详解：已知：如图，连接AC、BC、 AD、BD， AC=AD=BC=BD．证明：设 CD与 AB交于点 E．∵在△ ACD和△ BCD中，AC=BC， AD=BD， CD=CD，∴△ ACD≌△ BCD（SSS）．∴∠ 1=∠ 2．∵AC=BC，∴△ ACB是等腰三角形．∴CE⊥ AB，AE=BE．即 CD⊥ AB， CD均分 AB．题二： 5.详解：∵直线CD是线段 AB的垂直均分线，P 为直线 CD上的一点，∴PB=PA，而已知线段PA=5，∴PB=5．题三：垂直均分线的交点．详解：因为凉亭到草坪三点的距离相等，所以依据垂直均分线上的点到端点的距离相等，可知是△ ABC三边垂直均分线的交点．由此即可确立凉亭地点．题四： A.详解：∵ AC=AD， BC=BD，∴点 A， B在线段 CD的垂直均分线上．∴AB垂直均分 CD．应选 A．题五：见详解．详解：因为DE是 BC的垂直均分线，交AB于 D点，连接 DC，所以 DB=DC（线段垂直均分线上的点到线段两端的距离相等），所以∠ B=∠DCB（等边同等角），所以∠ ADC=∠ B+∠ DCB °°=45°，又因为∠ A=90°，所以∠ ACD=45°，所以 AD =AC ．题六：见详解详解：如图，连接 DB ．∵MN 是 AB 的垂直均分线，∴AD =DB ， ∴∠ A =∠ ABD ，∵BA =BC ，∠ B =120°，∴∠ A =∠ C = 1（180° -120 °） =30°，2∴∠ ABD =30°，又∵∠ ABC =120°，∴∠ DBC =120° - 30°=90°， ∴BD = 1 DC ，2 ∴AD = 1DC ．2题七： 115.详解：∵ AD 垂直且均分 BC 于点 D ， ∴BE =EC ，∴∠ DBE =∠DCE ，又∵∠ ABC =50°， BE 为∠ ABC 的均分线， ∴∠ EBC =∠C =25°，∴∠ AEC =∠C +∠ EDC =25°+90°=115°， ∴∠ AEC =115°．题八：D.详解：甲错误，乙正确．证明：∵ CP 是线段 AB 的中垂线，∴△ ABC 是等腰三角形，即 AC =BC ，∠ A =∠ B ，作 AC 、 BC 之中垂线分别交 AB 于 D 、 E ， ∴∠ A =∠ ACD ，∠ B =∠ BCE ， ∵∠ A =∠ B ，∴∠ ACD =∠ BCE ， ∵AC =BC ，∴△ ACD ≌△ BCE ，∴AD =EB ，∵ AD =DC ，EB =CE ，∴AD=DC=EB=CE．应选 D．。

苏科版八年级数学上册《1.2全等三角形的判定》课后作业(2)

初中数学试卷三角形全等的判定（三）【知识要点】角边角公理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。

（简称“ASA”）角边角公理推论：两个角和其中一角的对边相等的两个三角形全等。

（简称“AAS”）1、已知，如图，AD=CE, ∠A=∠E ，BC∥FD.求证：AB=EF。

2、已知：如图，∠1=∠2, ∠ABC=∠DCB, 求证：AC=BD。

5、已知：如图，D是的等腰△ABC的边AB上一点，DF交AC于点E,DE=FE,∠ADE=∠F,求证：AC-FC=BD。

6、如图，AC、BD互相平分于O，EF过点O且交AB于E，交CD于F. 求证：OE=OF。

7、已知：如图，AD∥BC, ∠1=∠2, ∠3=∠4,直线DC过点E交AD于D，交BC于C。

求证：AD+BC=AB。

8、如图，∠1=∠2, ∠B=∠C,AD=AE.求证：AB=AC.9、已知：如图，∠BAC=∠DAE, ∠ABD=∠ACE,BD=CE.求证：AB=AC,AD=AE.10、已知：如图，AB=AC,CD⊥AB于D,BE⊥AC于E，BE与CD相交于F，连接AF。

求证：BF=CF。

11、如图，BC=EF,BC∥EF，∠A=∠D, ∠ABF=∠DEC. 求证：AF=DC。

直角三角形全等的判定【知识要点】定理：斜边和一条直角边对应相等的两个三角形全等。

（简称“HL”）1、已知：如图,AD与BC相交于O，AD=BC,AC⊥BC,AD⊥BD.求证：AO=BO.2、已知：如图,AC⊥BD于O,AB=AD.求证：BC=DC。

3、已知：如图,AD是△ABC的高，E为AC上一点,BE交AD于F，且BF=AC,FD=CD. 求证：BE⊥AC。

4、已知：如图,AB=AC,CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分别是D、E，DC与BE交于F。

求证：AF平分∠BAC。

5、如图，DE⊥AB于E，CF⊥AB于F，AC、BD相交于O,且AC=BD,AE=BF.求证：AO=BO。

6、如图，DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，AF=CE,AD=BC.求证：（1）DE=BF(2)AB∥DC。

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