经济高数课件35备课讲稿

f(x) 0
不存在
f(x)
0
拐
极
间
f (x)
值
断
点
点
点
取几个特殊点：(1 3 ,0 ),(1 3 ,0 )A ;(1,2),
作图
B(1,6), C(2,1). y
6B
1
C
3 2 1 o 1 2
x
2
A
3
f(x)4(xx 21)2
例5
作函 (x 数 )
x2
1 e2 2
的图 . 形
解 D:(, ),W :0(x) 1 20.4.
(3)列表讨论函数与的极增值 曲 减及 线 性的 凹凸与. 拐点
(4) 确定曲线的渐近线.
(5)求几个特殊点，并 函描 数绘 图.形
例4 作函 f(x)数 4(x1)2的图 . 形
x2
解 D:x0,非奇非偶函数,且无对称性.
f(x)4(x2), f(x)8(x3).
x3
x4
令 f(x)0, 得驻x点 2,
0
凸的
拐点 (23,1127)
凹的
凹区 (,间 0 ][,23,为 ) , 凸区间 [0,2为 3]
（参考）注意: 若f(x0)不存 ,点 (在 x0,f(x0))也可能
曲y线 f(x)的拐 . 点
例3 求曲 y线 3 x的拐 . 点
点 (0 ,0 )是 曲 线 y 3x的 拐 点 .
三、渐近线
函数为偶函数，图形关于 y轴对称.
(x)
x
x2
e 2,
2
(x)(x1)2x (1)ex 22.
令 (x)0, 得驻x点 0,
令 (x)0, 得特x 殊 1,点 x1.
lim (x)lim1
x
2 x
x2
e2
0,
得水平渐近 y线 0.
列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点与拐点:
x ( ,1)1 (1,0) 0 (0,1) 1 (1,)
定理 如果f(x)在[a,b]上连,在 续(a,b)内具有二阶
导数 ,若在 (a,b)内 (1) f(x)0,则f(x)在[a,b]上的图形是; 凹的 (2) f(x)0,则f(x)在[a,b]上的图形是. 凸的
(3)若 x经过 x0时 点 f， (x)改变符 (x0 号 ,f(x0)， ) 是曲.线拐点 若 f(x)保持同 (x0,f(号 x0)不 )，是 则曲 .
(x)
0
(x)
0
拐
(x)
点
0
极 大
拐
值
点
y1
2
1
o
1
x
(x)
1
x2
e2
2
例6 作函数 f(x ) x 3 的x 2 图 形x . 1 解 D:(, ),无奇偶性及周期性.
f(x ) ( 3 x 1 )x ( 1 ),f(x ) 2 (3 x 1 ).
令 f(x)0, 得驻 x点 1, x1. 3
极大值3为2. 27
拐点为 (1,16). 3 27
极小值为 0.
y
B(0,1)
A(1,0)
1
1 o 1
1
3
3
C (3,5) 28
x
yx3x2x1
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经济高数课件35
定义 设f(x)在(a,b)内连,如 续果(a对 ,b)内任意
两
点 x1, x2,
恒有 f(x1x2)f(x1)f(x2),
2
2
那
末
称
f(x)在(a,b)内的图形;是凹的
如果对(a,b)内任意两x点1, x2, 恒有
f (x1 x2) f (x1) f (x2),
2
2
那末称f (x)在(a,b)内的图形是凸;的
例1 判断y曲 x3线 的凹.凸性 解 y3x2, y6x, 当x0时， y 0,
曲 线 在 ( - , 0 ] 为 凸 的 ;
当x0时，y0, 曲 线 在 [0 , )为 凹 的 ；
注意到, 注 意 到 ( 0 , 0 ) 是 曲 线 由 凸 变 凹 的 分 界 点 ,
故(0,0)是曲线的拐. 点
例2 求 曲 线 y 3 x 4 4 x 3 1 的 拐 点 及 凹 、 凸 的 区 间 .
解 D:(, )
y1x 2 31x 2 2, y36x(x2). 3
令y0,
得x1
0,
x2
2. 3
列表讨论
x (,0) 0 f(x) 0 f (x) 凹的 拐点
(0,1)
(0, 2 3)
2 3
(23,)
xa0
那么 xa就是 yf(x)的一条铅直. 渐近
例如 y
1
,
(x2)(x3)
有铅直渐近线两条: x 2 , x 3 .
（参考）四、函数图形的描绘
(1)确定 f(x)的定义,并 域讨论函数的奇偶 周期.性
(2)求f(x)0, f(x)0的点以及一阶导数 阶导数不存在 . 以 的这 点些点为分点把 域分成若干个部. 分区间
令 f(x)0, 得特殊 x点 3.
lx im f(x)lx i [m 4(x x 21)2 ]2, 得水平渐近 y线 2;
lim f(x)li[m 4(x1)2] ,
x 0
x x 0
2
得铅直渐近 x线 0.
列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点和拐点:
x ( ,3) 3 (3,2)2 (2,0) 0 (0,)
如果 f(x)在[a,b]内连续， (a,b且 )内在 的图形 凹(或凸)， 的那么 f(x称 )在[a,b]内的图形(是 或凹 凸的 ) .
在曲线上,把凹与凸的分界点称为曲线的拐点.
二、曲线凹凸与拐点的判定
y yf(x) B
yf(x)
y
B
A oa
bx
A oa
bx
f(x)递增
f(x)递减
(f'(x))' f''(x)y0 (f'(x))' f''(x)y0
1.水平渐近线 ( 平行x于轴的渐近 ) 线
如果limf(x)b或limf(x)b (b为常),数
x
x
那么 yb就是 yf(x)的一条水平 . 渐近线
例如 yarctxa, n
有水平渐近线两条: y, y.
2
2
2.铅直渐近线 ( 垂直于 x轴的渐近 ) 线
如果limf(x)或limf(x),
xa0
令 f(x)0, 得特殊x点 1. 3
取几个特殊点： A(1,0),B(0,1), C ( 3 , 5).
28 列表确定函数单调区间, 凹凸区间及极值点与拐点:
x
(, 1) 3
1 3
f(x)
0
( 1 ,1) 1
33
3
( 1 ,1 ) 3
1 (1,)
0
f(x)
极
拐
极
f (x)
Hale Waihona Puke 大小值点
值