第四章 时变电磁场
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H
能流密度矢量
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电磁场与电磁波
第4章 时变电磁场
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例4.3.1 同轴线的内导体半径为a 、外导体的内半径为b,其 间填充均匀的理想介质。 间填充均匀的理想介质。设内外导体间的电压为U ,导体中流过 在导体为理想导体的情况下, 的电流为I 。(1)在导体为理想导体的情况下,计算同轴线中传 为有限值时, 输的功率;( 输的功率;(2)当导体的电导率σ为有限值时,计算通过内导体 表面进入每单位长度内导体的功率。 表面进入每单位长度内导体的功率。
I
U
ZL
同轴线
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电磁场与电磁波
第4章 时变电磁场
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在内外导体为理想导体的情况下, 解:(1)在内外导体为理想导体的情况下,电场和磁场只存 在于内外导体之间的理想介质中, 在于内外导体之间的理想介质中,内外导体表面的电场无切向分 量,只有电场的径向分量。利用高斯定理和安培环路定理,容易 只有电场的径向分量。利用高斯定理和安培环路定理, 求得内外导体之间的电场和磁场分别为
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Hale Waihona Puke Baidu
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第4章 时变电磁场
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推证
由
∂D ∇× H = J + ∂t ∇× Ε = − ∂B ∂t
∂D Ε ⋅ ∇× H = Ε ⋅ J + Ε ⋅ ∂t H ⋅ ∇× Ε = −H ⋅ ∂B ∂t
电磁场与电磁波
第4章 时变电磁场
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本章内容
4.1 波动方程 4.2 电磁场的位函数 4.3 电磁能量守恒定理 4.4 惟一性定理 4.5 时谐电磁场
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电磁场与电磁波
第4章 时变电磁场 4.1 波动方程
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问题的提出 一阶矢量微分方程组, 麦克斯韦方程 —— 一阶矢量微分方程组,描述电场与磁场 间的相互作用关系 波动方程 —— 二阶矢量微分方程,揭示电磁场的波动性 阶矢量微分方程, 麦克斯韦方程组 无源区的波动方程 在无源空间中,设媒质是线形、 在无源空间中,设媒质是线形、各向同性且无损耗的均匀媒 质,则有 波动方程
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电磁能量及守恒关系
1 电场能量密度: 电场能量密度 we = E ⋅ D 2 1 磁场能量密度: 磁场能量密度 wm = H ⋅ B 2
V
S
1 1 电磁能量密度: 电磁能量密度 w = we + wm = E ⋅ D + H ⋅ B 2 2 1 1 中的电磁能量: 空间区域V中的电磁能量 W = ∫ wdV = ∫ ( E ⋅ D + H ⋅ B)dV V V 2 2
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第4章 时变电磁场 4.2 电磁场的位函数
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讨论内容
位函数的定义 位函数的性质 位函数的规范条件 位函数的微分方程
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电磁场与电磁波
第4章 时变电磁场
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引入位函数的意义 引入位函数来描述时变电磁场,使一些问题的分析得到简化。 引入位函数来描述时变电磁场,使一些问题的分析得到简化。
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电磁场与电磁波
第4章 时变电磁场
D = εE、 = − E ∂A − ∇ϕ ∂t
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同样
∇⋅ D = ρ
∂A − ∇ϕ) = ρ ∂t
ε∇⋅ (−
∂2ϕ ρ ∇ ϕ −εµ 2 = − ∂t ε
2
∂ϕ ∇⋅ A+ µε =0 ∂t
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在任意闭曲面S 所包围的体积V上 对上式两端积分, 在任意闭曲面 所包围的体积 上 , 对上式两端积分,并应用散 度定理, 度定理,即可得到坡印廷定理的积分形式
d 1 1 − ∫ (E × H) ⋅ dS = ∫ ( E ⋅ D + H ⋅ B) dV + ∫ E ⋅ J dV S V dt V 2 2
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位函数的规范条件 的散度。 造成位函数的不确定性的原因就是没有规定 A 的散度。利用 位函数的不确定性, 位函数的不确定性,可通过规定 的散度使位函数满足的方程得 A 以简化。 以简化。 在电磁理论中,通常采用洛伦兹条件, 在电磁理论中,通常采用洛伦兹条件,即
将以上两式相减, 将以上两式相减,得到
∂D ∂B Ε ⋅ ∇× H − H ⋅ ∇× Ε = Ε ⋅ J + Ε ⋅ +H⋅ ∂t ∂t 在线性和各向同性的媒质,当参数都不随时间变化时, 在线性和各向同性的媒质,当参数都不随时间变化时,则有
∂D ∂Ε 1 ∂(Ε ⋅ Ε) ∂ 1 Ε⋅ = εΕ ⋅ = ε = ( Ε ⋅ D) ∂t ∂t 2 ∂t ∂t 2 ∂B ∂H 1 ∂(H ⋅ H) ∂ 1 H⋅ = µH ⋅ = µ = ( H ⋅ B) ∂t ∂t 2 ∂t ∂t 2
时间改变, 时间改变,从而引起电磁能量流动
特点:当场随时间变化时, 特点:当场随时间变化时,空间各点的电磁场能量密度也要随 电磁能量守恒关系: 电磁能量守恒关系: 的能量= 内增加的能量+ 进入体积V的能量=体积V内增加的能量+体积V内损耗的能量
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4.3
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电磁能量守恒定律 讨论内容
电磁能量及守恒关系 坡印廷定理 坡印廷矢量
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dW dt
位函数的定义
∇⋅ B = 0
∂B ∇× Ε = − ∂t
B = ∇× A
∂A ∇×(Ε + ) = 0 ∂t
∂A E = − − ∇ϕ ∂t
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位函数的不确定性 满足下列变换关系的两组位函数 A、ϕ) (A′、ϕ′) 和 能描述同 ( 一个电磁场问题。 一个电磁场问题。
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坡印廷定理 表征电磁能量守恒关系的定理
∂ 1 1 微分形式: 微分形式: − ∇⋅ (E × H) = ( E ⋅ D + H ⋅ B) + E ⋅ J ∂t 2 2
d 1 1 积分形式: 积分形式: − ∫ (E × H) ⋅ dS = ∫ ( E ⋅ D + H ⋅ B) dV + ∫ E ⋅ J dV S V dt V 2 2
A′ = A+∇ψ ∂ψ ϕ′ = ϕ − ∂t
即
ψ 为任意可微函数
∇× A′ =∇×( A+∇ψ ) =∇× A ∂A′ ∂ψ ∂ ∂A ′− = −∇(ϕ − ) − ( A+∇ψ ) = −∇ϕ − −∇ϕ ∂t ∂t ∂t ∂t
也就是说,对一给定的电磁场可用不同的位函数来描述。不同位 也就是说, 对一给定的电磁场可用不同的位函数来描述。 函数之间的上述变换称为规范变换 原因: 原因:未规定 A的散度
∂2E ∇2E − µε 2 = 0 ∂t
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∂2H ∇2H − µε 2 = 0 ∂t
电磁波动方程
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第4章 时变电磁场
∂E ) ∇×∇× H = ∇×(ε ∂t
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推证
∂Ε ∇× H = ε ∂t ∇× Ε = −µ ∂H ∂t ∇⋅ H = 0 ∇⋅ Ε = 0
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第4章 时变电磁场
∂2ϕ ρ 2 ∇ ϕ −εµ 2 = − ∂t ε
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说明
∂2 A ∇2 A−εµ 2 = −µJ ∂t
应用洛仑兹条件的特点: 应用洛仑兹条件的特点:① 位函数满足的方程在形式上是对称 的,且比较简单,易求解;② 解的物理意义非常清楚,明确地 且比较简单,易求解; 解的物理意义非常清楚, 反映出电磁场具有有限的传递速度; 矢量位只决定于J, 反映出电磁场具有有限的传递速度;③ 矢量位只决定于 ,标 量位只决定于ρ 这对求解方程特别有利。只需解出A, 量位只决定于ρ,这对求解方程特别有利。只需解出A,无需 就可得到待求的电场和磁场。 解出ϕ 就可得到待求的电场和磁场。 电磁位函数只是简化时变电磁场分析求解的一种辅助函数, 电磁位函数只是简化时变电磁场分析求解的一种辅助函数,应 用不同的规范条件,矢量位A和标量位ϕ的解也不相同,但最终 用不同的规范条件,矢量位 和标量位 的解也不相同, 得到的电磁场矢量是相同的。 得到的电磁场矢量是相同的。 问题 若应用库仑条件, 若应用库仑条件,位函数满足什么样的方程? 具有什么特点?
d 1 1 其中: ∫ ( E ⋅ D + H ⋅ B) dV —— 单位时间内体积V 中所增加 其中 dt V 2 2 的电磁能量
∫
V
中的电流所作的功; E ⋅ J dV—— 单位时间内电场对体积V中的电流所作的功; 在导电媒质中, 在导电媒质中,即为体积V内总的损耗功率
S
− ∫ (E × H) ⋅ dS —— 通过曲面S 进入体积V 的电磁功率
U E = eρ , ρ ln(b a)
H = eφ
I 2πρ
(a < ρ < b)
内外导体之间任意横截面上的坡印廷矢量
U I UI S = E × H = [eρ ]×(eφ ) = ez ρ ln(b a) 2πρ 2πρ2 ln(b a)
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∂D ∇× H = J + ∂t
∇× B = µJ +εµ
∂ ∂A ∇×∇× A = µJ + εµ (− − ∇ϕ) ∂t ∂t ∇×∇× A = ∇(∇⋅ A) − ∇2 A
∂A B = ∇× A E = − − ∇ϕ ∂t
∂ϕ ∇⋅ A+ µε =0 ∂t
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∂2 A ∂ϕ 2 ) ∇ A−εµ 2 = −µJ + ∇(∇⋅ A+ µε ∂t ∂t ∂2 A ∇2 A−εµ 2 = −µJ ∂t
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坡印廷矢量(电磁能流密度矢量) 坡印廷矢量(电磁能流密度矢量) 描述时变电磁场中电磁能量传输的一个重要物理量 定义: 定义:S = Ε× H ( W/m2 ) 物理意义: 物理意义
S
E
S 的方向 —— 电磁能量传输的方向 S 的大小 —— 通过垂直于能量传输方
向的单位面积的电磁功率
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同理可得
∂2H ∇(∇⋅ H) −∇2H = −µε 2 ∂t
∂2H ∇2H − µε 2 = 0 ∂t
问题 若为有源空间,结果如何? 若为有源空间,结果如何? 若为导电媒质,结果如何? 若为导电媒质,结果如何?
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∂2E ∇2E − µε 2 = 0 ∂t
∂ϕ ∇⋅ A+ µε =0 ∂t
除了利用洛伦兹条件外,另一种常用的是库仑条件, 除了利用洛伦兹条件外,另一种常用的是库仑条件,即
∇⋅ A = 0
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第4章 时变电磁场
D = εE H = B
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位函数的微分方程
µ
∂E ∂t
物理意义:单位时间内,通过曲面 进入体积V的电磁能量等于 物理意义:单位时间内,通过曲面S 进入体积 的电磁能量等于 体积V 中所增加的电磁场能量与损耗的能量之和。 体积 中所增加的电磁场能量与损耗的能量之和。
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第4章 时变电磁场
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再利用矢量恒等式: 再利用矢量恒等式 Ε ⋅ ∇× H − H ⋅ ∇× Ε = −∇⋅ (Ε × H) 即可得到坡印廷定理的微分形式
∂ 1 1 − ∇⋅ (Ε × H) = ( Ε ⋅ D + H ⋅ B) + Ε ⋅ J ∂t 2 2