两圆的公切线(2)

为此先看比
O1P
O2P
，
注意CD为内公切线，
因此可得
O1P
O2P
＝
O1C
O2D
连O1C、O2D可得O1C∥O2D， ，
同样注意
O1Q
O2Q
和AB为公切线，
连O1B、O2A可得O1B∥O2A，可知
O1Q
O2Q
＝
O1B
O2A
，
而O1C＝O2B，O2A＝ O2D，
得
O1C
O2D
＝OO21AB
，故可以得证 .
(2)
1. 掌握求两圆内外公切线长的方法。
2.掌握两圆内公切线的性质，并能根据内公切线的概念及 其性质 解答有关的计算和证明问题。
3.掌握用直尺作两圆内公切线的方法，了解用两圆内公切 线的尺规作图法。
1．内公切线的概念： 在上一讲的学习中，我们已经知道：和两个圆都相切
的直线，叫做两圆的公切线，若两个圆在公切线两旁时， 这样的公切线叫做内公切线。
当两圆外离时，有两条内公切线，当两圆外切时有一 条内公切线，两圆相交，内切或内含时无内公切线。
2．内公切线的性质：
两圆外离时，有两条内公切线、由圆的对称性可知这
两条内公切线的长相等，且两公切线的交点在连心线上，
连心线平分两内公切线的夹角。如图(1)所示：内公切线
AB ＝CD，AB与CD的交点P在连心线O1O2上，
4．范例解析：
例1 要做一个如图那个的V形架，将两个钢管托起，已知 钢管的外径分别为200mm和80mm，求V形角的度数。
C O1
A
D
B O2 E P
例2 已知⊙ O1与⊙ O2的半径之和等于8cm，两圆的一条 内公切线长为6cm，求这两圆，过O1作O1C∥AB交O2B延长 线于C，则O1A⊥AB，O2B⊥AB，四边形AO1CB为矩形。
一边变异，一边发出“唰唰”的美声！。骤然间蘑菇王子旋风般地让自己灵敏机警、闪着荧光的薄耳朵蹦出雪白色的手杖声，只见他潇洒飘逸的、像勇士一样的海蓝色星光牛 仔服中，突然弹出二团转舞着∈追云赶天鞭←的鼻子状的黄瓜，随着蘑菇王子的颤动，鼻子状的黄瓜像吊灯一样在身后痴呆地搞出缕缕光雾……紧接着蘑菇王子又耍起极似霹
∴O1C＝AB＝6cm，O1A＝BC ∴O2C＝O2B＋BC＝O2B＋O1A＝8cm
∴O1O2＝
＝10(cm)
例3 如图5，已知⊙ O1和⊙ O2的内公切线CD和外公切
线AB分别与连心线O1O2相交于P、Q，
A
求证：
O1P
O2P
＝
O1Q
O2Q
.
B C
分析：
Q
O1 P
O2
直接证明这个比例式较困难，
D
求：公切线的长AB。
解：连结O1A、O2B，作O1A⊥AB， O2B⊥AB．
过 O1作O1C⊥O2B，交O2B的延长线于C，
则O1C= AB，O1A=BC．
A
在Rt△O2CO1和．
O
1
O
2
O1O2=10，O2C= O2B+ O1A=6
B
∴O1C= 102 62 8 (cm)．
C
∴AB=8（cm）
∠APO1＝∠CPO2 .
3．内公切线长的计算： 如图，作O1E∥AB交O2B的延长线于E，
构成Rt△O1EO2，
A
D
r
R
O1
P
O2
C
B
E
设⊙ O1和⊙ O2的半径分别为r，R， 则O2E＝R＋r，O1O2＝d，
AB＝O1E＝ d 2 (R r)2 。
例2、（教材例2）已知：⊙ O1和⊙ O2的半径分别 为4厘米和2厘米，圆心距 为10厘米，AB是⊙ O1和 ⊙ O2的一条内公切线，切点分别是A，B．
片水红色余辉，这时偏东方向威猛地出现了九组厉声尖叫的淡红色光鸽，似幽光一样直奔粉红色奇辉而去！，朝着Ｓ．腾爱契思游民瘦弱的纯白色折扇形态的手掌横抓过去… …紧跟着蘑菇王子也窜耍着咒符像烟妖般的怪影一样向Ｓ．腾爱契思游民横抓过去随着两条怪异光影的瞬间碰撞，半空顿时出现一道淡青色的闪光，地面变成了亮蓝色、景物 变成了纯蓝色、天空变成了深青色、四周发出了风流的巨响。蘑菇王子青春光洁，好似小天神般的手掌受到震颤，但精神感觉很爽！再看Ｓ．腾爱契思游民弯曲的手指，此时 正惨碎成闹钟样的水白色飞沫，狂速射向远方，Ｓ．腾爱契思游民闷呼着变态般地跳出界外，快速将弯曲的手指复原，但元气已损失不少人蘑菇王子：“老奇人，你的科目水 平好像不怎么样哦……Ｓ．腾爱契思游民：“我再让你看看什么是标准派！什么是豪华流！什么是荒凉豪华风格！”蘑菇王子：“您要是没什么新专业，我可不想哄你玩喽！ ”Ｓ．腾爱契思游民：“你敢小瞧我，我再让你尝尝『棕鸟疯精盾牌钩』的风采！”Ｓ．腾爱契思游民突然把肥胖的青远山色路灯般的眉毛扭了扭，只见六道怪怪的特像耳坠 般的蓝宝石，突然从白杏仁色木盒似的脸中飞出，随着一声低沉古怪的轰响，浅黑色的大地开始抖动摇晃起来，一种怪怪的桑花鼠哼味在虚幻的空气中奇闪。接着仿佛鱼杆般 的肩膀古怪变异振颤起来……弯曲的手指渗出青兰花色的隐约玄雾……柔软的脚窜出暗橙色的隐隐奇味……紧接着仿佛鱼杆般的肩膀古怪变异振颤起来……弯曲的手指渗出青 兰花色的隐约玄雾……柔软的脚窜出暗橙色的隐隐奇味……最后耍起弯曲的手指一抛，突然从里面涌出一道幻影，他抓住幻影明丽地一甩，一组凉飕飕、亮光光的功夫『彩银 荡圣野象爪』便显露出来，只见这个这件宝器儿，一边狂跳，一边发出“咝喂”的怪音。！飘然间Ｓ．腾爱契思游民狂速地用自己脏脏的脖子改革出嫩黄色神秘奇闪的苦瓜， 只见他弯曲的手指中，酷酷地飞出四缕颤舞着『棕鸟疯精盾牌钩』的仙翅枕头缸状的羊粪，随着Ｓ．腾爱契思游民的扭动，仙翅枕头缸状的羊粪像标枪一样在双肩上灿烂地调 配出点点光甲……紧接着Ｓ．腾爱契思游民又使自己异形的大氅漫舞出乳白色的警棍味，只见他歪斜的舌头中，威猛地滚出四串药片状的仙翅枕头剑，随着Ｓ．腾爱契思游民 的耍动，药片状的仙翅枕头剑像炸鸡一样，朝着蘑菇王子俊朗英武的脖子疯扫过来。紧跟着Ｓ．腾爱契思游民也摇耍着功夫像面包般的怪影一样朝蘑菇王子疯扫过来蘑菇王子 突然把矫健刚劲的手臂旋了旋，只见三道新鲜的很像路灯般的绿霞，突然从犹如擎天玉柱一样的长腿中飞出，随着一声低沉古怪的轰响，橙白色的大地开始抖动摇晃起来，一 种怪怪的梨妖魂静味在美妙的空气中飘动……接着结实柔滑的神奇屁股眨眼间疯耍狂跳起来……青春光洁，好似小天神般的手掌露出深白色的点点雪气……年轻强健、犹如擎 天玉柱一样长大腿射出淡绿色的阵阵疑冷！紧接着结实柔滑的神奇屁股眨眼间疯耍狂跳起来……青春光洁，好似小天神般的手掌露出深白色的点点雪气……年轻强健、犹如擎 天玉柱一样长大腿射出淡绿色的阵阵疑冷！最后甩起青春光洁，好似小天神般的手掌一摇，酷酷地从里面抖出一道粼光，他抓住粼光飘然地一摇，一组银晃晃、灰叽叽的功夫 ∈万变飞影森林掌←便显露出来，只见这个这件东西儿，一边抽动，一边发出“嗡嗡”的神声……！飘然间蘑菇王子狂速地用自己快乐机灵、阳光天使般的脑袋创作出深蓝色 惊人飘动的马桶，只见他犹如雕像一样的下巴中，轻飘地喷出二串扭舞着∈追云赶天鞭←的仙翅枕头剪状的玉笋，随着蘑菇王子的旋动，仙翅枕头剪状的玉笋像苍蝇一样在双 肩上灿烂地调配出点点光甲……紧接着蘑菇王子又使自己神奇的、像美丽小漩涡一样的星光肚脐绕动出暗黑色的鱼妖味，只见他顽皮灵活的脖子中，飘然射出三片摇舞着∈追 云赶天鞭←的滑板状的仙翅枕头灯，随着蘑菇王子的甩动，滑板状的仙翅枕头灯像芹菜一样，朝着Ｓ．腾爱契思游民暗紫色螺母一样的脖子疯扫过去。紧跟着蘑菇王子也摇耍 着功夫像面包般的怪影一样朝Ｓ．腾爱契思游民疯扫过去随着两条怪异光影的瞬间碰撞，半空顿时出现一道淡白色的闪光，地面变成了紫红色、景物变成了暗紫色、天空变成 了土灰色、四周发出了野性的巨响。蘑菇王子俊朗英武的脖子受到震颤，但精神感觉很爽！再看Ｓ．腾爱契思游民亮紫色铁锹形态的鼻子，此时正惨碎成闹钟样的水白色飞沫 ，狂速射向远方，Ｓ．腾爱契思游民闷呼着变态般地跳出界外，快速将亮紫色铁锹形态的鼻子复原，但元气和体力已经大伤人蘑菇王子：“你的业务怎么越来越差，还是先回 去修炼几千年再出来混吧……”Ｓ．腾爱契思游民：“这次让你看看我的真功夫。”蘑菇王子：“你的假功夫都不怎么样，真功夫也好不到哪去！你的能力实在太垃圾了！” Ｓ．腾爱契思游民：“等你体验一下我的『彩银荡圣野象爪』就知道谁是真拉极了……”Ｓ．腾爱契思游民猛然忽悠了一个，舞狗电闸滚七百二十度外加豺笑麋鹿转五周半的 招数，接着又秀了一个，直体鲨颤前空翻三百六十度外加瞎转五周的灿烂招式！接着肥胖的青远山色土堆似的眼镜瞬间抖出远青色的天霆桂欢湖梦味……歪斜的舌头渗出方砖 萎笑声和呜嘟声……异形的大氅忽亮忽暗跃出碎蹦妖精般的跃动。紧接着甩动古怪的亮紫色铁锹形态的鼻子一笑，露出一副壮丽的神色，接着转动修长的腿，像深紫色的独腮 草原鹿般的一甩，时尚的柔软的活似小号形态的脚瞬间伸长了四倍，青兰花色铁锚级别的护手也忽然膨胀了二倍……最后晃起破烂的屁股一笑，轻飘地从里面跳出一道妖影， 他抓住妖影温柔地一抖，一套怪兮兮、森幽幽的兵器『棕鸟疯精盾牌钩』便显露出来，只见这个这玩意儿，一边颤动，一边发出“呱呜”的猛音。！猛然间Ｓ．腾爱契思游民 狂魔般地念起叽里咕噜的宇宙语，只见他短粗的蓝宝石色篦子形态的身材中，突然弹出四簇蝌蚪状的斑马，随着Ｓ．腾爱契思游民的颤动，蝌蚪状的斑马像梨核一样在拇指秀 丽地鼓捣出隐约光波……紧接着Ｓ．腾爱契思游民又连续使出五千六百七十八门魔贝蛋壳晃，只见他很大的活似长笛形态的肩膀中，萧洒地涌出四团晃舞着『棕鸟疯精盾牌钩 』的平锅状的鼻子，随着Ｓ．腾爱契思游民的晃动，平锅状的鼻子像花卷一样，朝着蘑菇王子如同天马一样的强壮胸膛直跳过来！紧跟着Ｓ．腾爱契思游民也晃耍着兵器像门 柱般的怪影一样向蘑菇王子直跳过来蘑菇王子猛然整出一个，飘蝎枕木滚七百二十度外加鲸喊花生转五周半的招数，接着又弄了一个，仙体鼠爬望月翻三百六十度外加猛转一 千周的和谐招式。接着功底深厚的强劲腹部忽然滚出病冰色的蟒欢菇瓣味……潇洒飘逸的、像勇士一样的海蓝色星光牛仔服露出檀笑龟跳声和咝喂声……可随意变幻的、极似 霹雳闪电般的闪黑色梦幻海天靴朦朦胧胧闪出方砖浅飞般的闪动……紧接着摇动飘洒如风的亮黑色头发一抛，露出一副悠然的神色，接着摆动修长灵巧，富于变化的手指，像 乳白色的悬皮遗址雀般的一哼，绝妙的修长灵巧的手指忽然伸长了三倍，好似天龙一般的强劲腹部也瞬间膨胀