自主学习01 教材内容 第七章 自旋与角动量
第7章角动量资料
f z
在将算符 Lˆx 作用于上面所得函数，得：
Lˆx Lˆ y f
2
y
f x
yz
2 f zx
yx
2 f z 2
-
z2
2 f yx
zx
2 f yz
5
同样：
Lˆx f i
y
f z
z
f y
Lˆ y Lˆx f
2
zy
2 f xz
z2
2 f xy
xy
2 f z 2
x
f y
xz
2 f zy
这样： [Lˆx , Lˆ y ] f [Lˆx Lˆ y Lˆ y Lˆx ] f Lˆx Lˆ y f Lˆ y Lˆx f
2
y
f x
x
f y
2
y
x
x
y
f
所以： [Lˆx , Lˆ y ] i Lˆz
其中用了下列关系式：
2 f 2 f zx xz
(这对于品优波 函数总是成立的)
我们说角动量大小的平方l具有确定值并不是意味着角动量矢量完全确定因为是个矢量要完全确定之必须要知道其在各个方向上的分量这一点我们是做不到的因为角动量各个分量的量子力学算符间是不可对易的最多只能有一个具有确定的值
第七章 角动量
1
7.1 单粒子体系的角动量
经典力学中的角动量
在经典力学中角动量可以用一个矢量 L来表示。它定义为质点
电子自旋的取向
z
z
1 2
S
3 2 1
2
3 2
S
14
7.3 多电子原子的量子数和光谱项 R多电子原子的量子数 R光谱项及其应用
15
量子力学中的自旋与角动量
量子力学中的自旋与角动量量子力学是描述微观粒子行为的理论，其研究范围包括自旋和角动量等重要概念。
自旋是微观粒子固有的量子性质，而角动量是用来描述一个物体旋转的物理量。
本文将介绍自旋和角动量的基本概念及其在量子力学中的应用。
一、自旋的概念自旋是量子力学的基本概念之一，它是微观粒子固有的角动量，与粒子的运动无关。
自旋可以用一个量子数s来描述，通常以1/2、1、3/2等分数或整数表示。
自旋与角动量一样，也有量子化的特性，只能取离散的值。
二、自旋的性质自旋具有以下几个重要性质：1.自旋矩阵：自旋矩阵是描述自旋的数学工具，常用的有泡利矩阵。
泡利矩阵可以用来计算自旋在不同方向上的投影，从而得到自旋的各种性质。
2.自旋态：自旋态描述了一个粒子的自旋状态，可以用自旋向上和向下的态来表示。
对于自旋1/2的粒子，自旋态可以用|↑⟩和|↓⟩来表示。
3.自旋的测量：自旋可以通过测量来确定其具体的值，但每次测量只能获得自旋在某个方向上的投影。
4.自旋的相对性：自旋具有相对性，即两个处于任意状态的自旋粒子相互作用后，它们的自旋状态会发生纠缠，并呈现出非经典的量子特性。
三、角动量的概念角动量是物体围绕某一点旋转时的物理量，它是描述物体旋转运动的基本概念。
在量子力学中，角动量的取值也是量子化的，用一个量子数j来表示。
角动量的量子数j通常是整数或半整数。
四、角动量的性质角动量的性质与自旋有一些相似之处，例如：1.角动量矩阵：角动量矩阵由角动量算符表示，用于计算角动量在不同方向上的投影。
常用的角动量算符有Pauli算符和升降算符等。
2.角动量态：角动量态描述了一个粒子的角动量状态，可以用角动量的投影量子数来表示。
对于自旋j的粒子，角动量态可以用|j, m⟩来表示，其中m表示角动量在某个方向上的投影量子数。
3.角动量的测量：角动量的测量也只能获得在某个方向上的投影量子数，具体的角动量大小不能被直接测量。
4.角动量的量子力学运算：角动量的量子力学运算与自旋类似，它可以进行叠加、投影等运算。
自旋与角动量
自旋与角动量自旋是粒子的一种固有性质，类似于物体的自转。
它是微观粒子的一个基本属性，在量子力学中有重要的地位。
角动量是描述物体旋转运动的物理量，它可以分为轨道角动量和自旋角动量。
在本文中，我们将探讨自旋与角动量的关系，以及它们在物理学中的应用。
一、自旋的概念及特性自旋是描述微观粒子内部旋转运动的性质，它不同于粒子的轨道运动。
自旋量子数通常用s表示，可以是整数或半整数。
对于自旋为半整数的粒子，如电子，其自旋量子数为1/2。
自旋存在两个可能的取向，分别用↑和↓表示，也可表示为|+1/2>和|-1/2>。
二、自旋与角动量的关系自旋与角动量是密切相关的。
在量子力学中，自旋角动量被视为一种特殊的角动量，它遵循角动量的代数运算规则，并满足角动量算符的对易关系。
自旋与轨道角动量的总角动量可用来描述系统的完整角动量。
三、自旋的应用1. 磁学自旋是物质磁性的重要原因之一。
自旋角动量与磁矩之间存在着强烈的耦合关系。
通过研究自旋相互作用，可以揭示物质中的磁性行为，如铁磁、反铁磁和顺磁等。
2. 粒子物理学粒子物理学中的基本粒子，如电子、质子和中子等，都具有自旋。
自旋在描述粒子的内禀性质时起着重要作用，并且与粒子的相互作用和性质之间有着密切关联。
3. 核物理学自旋也在核物理学中具有重要地位。
核自旋是核能级结构、核反应和核聚变等核现象的重要参量。
在核物理实验中，通过测量核的自旋，可以研究核的内部结构和核反应的性质。
4. 量子计算与量子信息自旋是量子计算和量子信息科学中的重要基础之一。
通过操作自旋系统，可以实现量子比特之间的相互作用并进行量子计算和量子通信。
总结：自旋作为微观粒子的固有性质，与角动量密不可分。
自旋的存在丰富了物理学领域的理论和实验研究，并在磁学、粒子物理学、核物理学和量子计算等领域具有广泛的应用。
对于我们深入理解粒子性质和微观世界的本质，自旋与角动量的研究具有重要的意义。
自旋角动量轨道角动量总角动量关系
自旋角动量、轨道角动量和总角动量是量子力学中经常讨论的重要概念。
它们之间的关系不仅在物理学中有着重要的意义，也涉及到了许多其他领域的问题。
在本文中，我将就自旋角动量、轨道角动量和总角动量之间的关系展开一次深入的探讨。
1. 自旋角动量自旋是微观粒子特有的一种内禀角动量，它不同于经典物理学中的角动量，是一种全新的物理量。
自旋可以用量子数s来描述，通常s=1/2的被称为自旋1/2粒子。
自旋对应了一个新的角动量，即自旋角动量，它是粒子旋转所带来的一种内禀角动量。
自旋角动量与粒子的自旋状态有关，具有两个投影方向，即自旋向上和自旋向下。
自旋角动量的测量值只能为ħ/2或-ħ/2。
2. 轨道角动量在量子力学中，电子在原子内的运动可以用波函数来描述，其中的位置坐标和动量算符是对易的。
由此，我们可以得出一个非常重要的结论：轨道角动量和位置、动量算符对易。
轨道角动量的大小由量子数l 来描述，取值范围为0到n-1，其中n是主量子数。
轨道角动量与电子的轨道运动有关，它的取值是量子化的，即ħ*√(l(l+1))。
轨道角动量在经典力学中对应了电子围绕原子核运动时所具有的角动量。
3. 总角动量总角动量是自旋角动量和轨道角动量之和，它对应了量子力学中的角动量算符。
总角动量的大小和夹角与自旋角动量和轨道角动量的大小和夹角有关。
总角动量的量子数可以用j来描述，其取值范围是|l-s|到l+s。
总角动量量子数的取值是离散的，而且总角动量和自旋角动量的测量值之间有一些特殊的关系。
在量子力学中，自旋角动量、轨道角动量和总角动量之间存在着一些非常有趣的关系。
通常来说，总角动量算符的本征态是由自旋和轨道角动量算符的本征态进行耦合得到的。
而总角动量和自旋角动量（或轨道角动量）之间还存在着一些相互影响和制约的关系。
对于原子中的电子来说，总角动量可以影响到能级的分裂和跃迁等现象，从而导致原子的一些特殊性质。
自旋角动量、轨道角动量和总角动量是量子力学中非常重要的概念，它们之间的关系涉及到了许多量子系统的性质和行为。
量子力学中的自旋与量子角动量理论
量子力学中的自旋与量子角动量理论引言量子力学是描述微观世界的一门基础科学，而自旋与量子角动量理论则是其中的重要组成部分。
自旋是粒子的一种内禀性质，类似于旋转，但与经典物理中的角动量有所不同。
本文将深入探讨自旋与量子角动量理论在量子力学中的作用和应用。
一、自旋的概念与性质自旋是描述微观粒子的一种量子数，它不同于经典物理中的角动量，而是粒子固有的内禀性质。
自旋可以理解为粒子自身围绕轴线旋转的一种量子特性。
自旋的取值通常为半整数或整数，分别对应于费米子和玻色子。
自旋具有一些独特的性质。
首先，自旋是一个离散的量子数，只能取特定的值。
其次，自旋不受外界力的作用，即使在真空中，自旋也存在。
此外，自旋还具有超距作用的特性，即两个自旋态之间可以发生纠缠，即使它们之间的距离非常远。
二、自旋与角动量算符在量子力学中，自旋与角动量有着密切的关系。
自旋可以用自旋算符来描述，而自旋算符与角动量算符具有相似的性质。
自旋算符的本征态对应于自旋的不同取值，而自旋算符的本征值则代表了自旋的大小。
自旋算符与角动量算符的对易关系是量子力学中的基本原理之一。
自旋算符与角动量算符之间的对易关系决定了它们的测量结果之间的关系。
通过对自旋算符的测量，我们可以得到粒子的自旋状态。
三、自旋的应用自旋在量子力学中有广泛的应用。
首先，自旋是理解原子和分子的重要概念。
自旋决定了原子和分子的能级结构和电子的排布方式。
通过研究自旋，我们可以深入了解原子和分子的性质和行为。
其次，自旋在量子信息科学中起着重要的作用。
自旋的超距作用使得它成为量子通信和量子计算的理想载体。
通过利用自旋的纠缠特性，我们可以实现量子比特之间的远距离通信和量子计算。
此外，自旋还在凝聚态物理中具有重要的应用。
自旋与电子的自由度紧密相关，可以影响材料的电子输运性质和磁性行为。
通过控制自旋，我们可以实现自旋电子学和自旋电子器件的发展。
结论自旋与量子角动量理论是量子力学中的重要概念和理论。
自旋作为粒子的内禀性质，具有独特的特性和应用。
自旋和角动量
e e L (SI)； M L = − L （CGS） (6.1.7) 2m 2mc e e 因而轨道运动的回转磁比率是 − (SI),或 − (CGS )。自旋回转磁比率是轨道运动回转磁比率 2m 2mc
ML = −
的两倍。 自旋是电子的一种固有的属性。千万不要认为，电子自旋是因为电子在作机械的自转引起。可 以证明，如果将电子想象成为一个电荷均匀分布的小球，由于电子的半径约为 2.8 × 10-13cm，要想使 它的磁矩由于自转而达到一个玻尔磁子，则它的表面旋转速度将超过光速。这当然是不可能的。(请 读者自己证明)电子自旋是一个新的自由度，与电子的空间运动完全无关。电子自旋是电子的内禀属 性。电子的自旋磁矩是内禀磁矩。事实上，随着人们认识的深入，越来越发现对于某些粒子，除了 时空自由度还有其他的自由度。 例如质子和中子， 除时空、 自旋外， 还有同位旋。 夸克则还具有 “味” 和“色”等自由度。不过，自旋自由度是除时空自由度外的第一个新发现。值得指出的是，电子自 旋角动量与轨道角动量不同， 电子自旋的取值是± h / 2 ,而不是 h 的整数倍。 电子自旋的 g 因子 | g s | 是 2,轨道的 | g l | 为 1。当然，自然界中也存在着自旋取 h 整数值的粒子，我们在全同粒子一章中再 作讨论。
第六章
自旋和角动量
非相对论量子力学在解释许多实验现象上获得了成功。用薛定谔方程算出的谱线频率,谱线强度 也和实验结果相符。但是，更进一步的实验事实发现，还有许多现象，如光谱线在磁场中的分裂， 光谱线的精细结构等，用前面几章的理论无法解择，根本原因在于以前的理论只涉及轨道角动量。 新的实验事实表明，电子还具有自旋角动量。 在非相对论量子力学中，自旋是作为一个新的附加的量子数引入的。本章只是根据电子具有自 旋的实验事实，在薛定谔方程中硬加入自旋。本章的理论也只是局限在这样的框架内。以后在相对 论量子力学中将证明，电子的自旋将自然地包含在相对论的波动方程——狄拉克方程中。电子轨道 角动量在狄拉克方程中不再守恒，只有轨道角动量与自旋角动量之和，总角动量才是守恒量。 本章将先从实验上引入自旋，分析自旋角动量的性质，建立包含自旋在内的非相对论量子力学 方程——泡利方程，然后讨论角动量的藕合，并进一步讨论光谱线在磁场中的分裂和精细结构，此 外还会对电子在磁场中的一些其他的有趣的重要现象做些探讨。
自旋和角动量
a c
b d
a c
b d
a 0 d 0
σX 简化为：
0 b x c 0
由力学 量算符 厄密性
ˆ
x
ˆ
x
0 c
b0
0 b*
c* 0
0 c
b0
得：b = c* (或c = b*)
σx2,σy2,σZ2 的本征值都是 。
即：
2 x
2 y
2 z
1
2. 反对易关系
基于σ的对易关系，可以证明 σ各分量之间满足反对易关系:
左乘σy
ˆ xˆ y ˆ yˆ x 0
ˆ yˆ z ˆ zˆ y 0 ˆ zˆ x ˆ xˆ z 0
2×1 的列矩阵，那末，电子自旋算符的
矩阵表示应该是 2×2 矩阵。
因为Φ1/2 描写的态，SZ有确定值 /2，所以Φ1/2 是 SZ 的本征态，本征
值为 /2，即有：
Sz1 2
2
1 2
矩阵形式
2
a c
b d
1
(r 0
,
t )
2
58 58
96 90
ÅÅ
3s1/2
（三）电子自旋假设
Uhlenbeck 和 Goudsmit 1925年根据上述现象提出了 电子自旋假设
（1）每个电子都具有自旋角动量，它在空间任何方向上
的投影只能取两个数值：
S
Sz 2
原子轨道角动量 自旋角动量表示
原子轨道角动量和自旋角动量表示是量子力学中一个非常重要的概念，它们对于描述原子的能级结构、光谱线的分裂和精细结构等现象都起着关键作用。
在本文中，我们将从原子结构的基本知识开始，逐步深入探讨原子轨道角动量和自旋角动量表示的物理意义，并共享个人观点和理解。
一、原子结构的基本知识1. 原子的构成原子是物质的基本单位，由原子核和围绕核外轨道上的电子组成。
电子在轨道上运动时具有角动量，这种角动量称为原子轨道角动量。
2. 基本粒子的自旋除了轨道角动量外，电子还具有自旋角动量。
自旋是电子的固有属性，它不是电子绕原子核运动的角动量，而是电子自身固有的旋转运动。
二、原子轨道角动量的表示3. 量子力学中的角动量在量子力学中，角动量是一个重要的物理量，它和位置、动量等一样，在量子力学中有着特殊的表示形式。
原子轨道角动量具有一套特殊的表示方式，它可以用角动量算符来描述，而角动量算符的本征态对应着一系列可能的角动量取值。
4. 原子轨道角动量的量子数原子轨道角动量的量子数是量子力学中描述角动量的重要概念，它决定了角动量的取值范围和具体数值。
根据量子数的不同，轨道角动量可以分为不同的量子态，每个量子态对应着一定的能级和波函数形式。
5. 原子轨道角动量的物理意义原子轨道角动量的物理意义在于，它决定了电子在原子内的运动方式和分布形式，进而影响着原子的能级和光谱特性。
在原子光谱中，原子轨道角动量导致了光谱线的分裂和精细结构，这对于研究原子结构和物质的性质具有重要意义。
三、自旋角动量的表示6. 自旋角动量的量子数与原子轨道角动量类似，电子的自旋角动量也具有一套特殊的量子数表示方式。
自旋角动量的量子数决定了自旋的取值范围和具体数值，它也对应着一系列可能的自旋量子态。
7. 自旋角动量的物理意义电子的自旋角动量在原子和分子中也具有重要的物理意义。
自旋角动量导致了电子的磁性质，它决定了原子的磁矩大小和方向，并直接影响着原子的磁性和磁矩的行为。
量子力学_陈洪_电子教案第7章自旋与角动量
σx, σy, σz 称为泡利矩阵
0 1 0 i 1 0 x 1 0 ; y i 0 ; z 0 1
7.3 电子自旋波函数
电子波函数写 成矩阵形式
1 ( x , y , z , t ) ( x, y, z, t ) 2
讨论: 1. 对波函数归一化时必须同时对自旋求 和和对空间坐标积分
2 1 2 2 d x r , S , t ( *, *) ( z 1 2 2 )d 1 1 Sz 2 2 2 1 表示在t时刻在（x , y , z）点周围单位体积找到 自旋S z 的几率 2 2 2 表示在t时刻在（x , y , z）点周围单位体积找到 自旋S z 的几率 2 3
2. 两个粒子的自旋-自旋耦合或轨道-轨道耦合
二. 两个角动量的耦合后的对易关系
J 1 , J 2 表示体系的两个角动量 算符, 且J 1与J 2 相互独立 则 [ J 1 x , J 1 y ] iJ 1 z [ J 2 x , J 2 y ] iJ 2 z [ J 1 y , J 1 z ] iJ 1 x [ J 2 y , J 2 z ] iJ 2 x [ J 1 z , J 1 x ] iJ 1 y [ J 2 z , J 2 x ] iJ 2 y 因为两角动量独立则 [ J 1 , J 2 ] 0 令 J J1 J 2
(1) 则 [ J x , J y ] iJ z [ J y , J z ] iJ x [ J z , J x ] iJ y
证 : [J x , J y ] [J1 x J 2 x , J1 y J 2 y ] ( J 1 x J 2 x )( J 1 y J 2 y ) ( J 1 y J 2 y )( J 1 x J 2 x ) J1 x J1 y J1 x J 2 y J 2 x J1 y J 2 x J 2 y J1 y J1 x J1 y J 2 x J 2 y J1 x J 2 y J 2 x (J1 x J1 y J1 y J1 x ) (J 2 x J 2 y J 2 y J 2 x ) i( J 1z J 2z ) iJ z
自旋角动量和轨道角动量的关系
自旋角动量和轨道角动量的关系自旋角动量和轨道角动量是量子力学中的两个重要概念，它们之间存在着密切的关系。
自旋角动量和轨道角动量都是描述粒子运动状态的物理量，但它们的本质不同。
自旋角动量是粒子自身固有的属性，而轨道角动量则是粒子围绕某一中心点运动所带来的属性。
在这篇文章中，我们将探讨自旋角动量和轨道角动量之间的关系。
首先，我们来了解一下自旋角动量的概念。
自旋角动量是粒子固有的属性，类似于粒子的电荷和质量。
自旋角动量是描述粒子自身固有旋转状态的物理量。
自旋角动量的大小与粒子的自旋量子数有关，通常用符号s表示。
自旋量子数可以是整数或半整数，如1/2、1、3/2等。
自旋角动量是一个矢量量子数，它可以沿着任意方向取向，但其大小是固定的，并且只能取离散值。
接下来，我们来了解一下轨道角动量的概念。
轨道角动量是描述粒子绕某一中心点运动状态的物理量。
轨道角动量的大小与粒子的运动状态有关，通常用符号l表示。
轨道角动量也是一个矢量量子数，它可以沿着任意方向取向，但其大小是固定的，并且只能取离散值。
在量子力学中，粒子的总角动量可以表示为自旋角动量和轨道角动量之和。
总角动量的大小可以用符号j表示，其取值为整数或半整数。
总角动量矢量可以沿着任意方向取向，并且其大小也是固定的。
自旋角动量和轨道角动量之间存在着一些重要的关系。
首先，自旋角动量和轨道角动量可以相互转化。
这种转化是通过电子与磁场相互作用来实现的。
当电子在磁场中运动时，其轨道角动量会发生改变，同时也会影响到其自旋角动量。
反过来，当电子的自旋发生改变时，也会影响到其轨道角动量。
其次，自旋角动量和轨道角动量还可以相互耦合。
这种耦合可以通过电子与原子核之间的相互作用来实现。
当电子和原子核之间存在相互作用时，它们之间的自旋和轨道角动量就会相互影响。
这种相互作用会导致自旋和轨道角动量耦合在一起，形成新的物理现象。
最后，需要指出的是，自旋角动量和轨道角动量在物理学中具有非常重要的应用价值。
粒子的自旋与角动量的量子数
粒子的自旋与角动量的量子数自旋和角动量是量子力学中非常重要的概念，它们描述了粒子的内禀性质和旋转动力学特性。
在量子力学中，自旋和角动量都被量子化，即只能取特定的离散值。
本文将探讨粒子的自旋和角动量的量子数，并解释它们在粒子物理中的重要性。
自旋是粒子的一种内禀性质，类似于旋转的动量。
虽然我们通常将自旋想象为粒子围绕自身轴旋转的动作，但实际上自旋并不是真正的旋转，它是一种纯量，没有经典物理中旋转的几何意义。
自旋量子数通常用s表示，其取值为整数或半整数。
对于电子、质子和中子等基本粒子来说，其自旋量子数为1/2，而对于玻色子如光子来说，其自旋量子数为1。
自旋量子数不仅具有整数或半整数的性质，还决定了粒子的一些基本特性。
考虑到自旋的量子化，粒子的波函数可以用自旋态和空间态的张量积表示。
这种张量积表示法可以描述粒子在自旋空间和坐标空间之间的耦合。
例如，自旋1/2的电子在自旋上有两个状态（自旋向上和自旋向下），在坐标空间上，电子又可以处于不同的位置态（如s轨道、p轨道等）。
通过将自旋态和空间态进行张量积，在波函数上表达出粒子的自旋和位置等信息。
与自旋类似，角动量也是量子化的。
角动量有两个独立的部分：轨道角动量和自旋角动量。
轨道角动量与粒子的运动轨迹和位置相关，而自旋角动量与粒子内部的性质关联。
在量子力学中，轨道角动量量子数通常用l表示，它的取值从0到n-1，其中n是主量子数。
自旋角动量量子数仍用s表示，取值为整数或半整数。
因此，一个粒子的角动量量子数可以表示为(l, s)，即轨道角动量和自旋角动量的组合。
角动量量子数不仅仅是一种数学工具，它还具有物理上的重要性。
首先，角动量量子数可以用来解释粒子的能级结构。
根据泡利不相容原理，每个粒子在同一状态下的角动量量子数是唯一的，因此它们不能在相同的位置态上具有相同的角动量量子数。
这导致了电子在一个原子中分布在不同的轨道上，形成电子云模型。
其次，角动量量子数还决定了粒子在外加磁场中的行为。
自旋角动量算符
自旋角动量算符自旋角动量算符是量子力学中一个重要的概念，它与自旋角动量密切相关。
在原子物理、分子物理、凝聚态物理等领域有着广泛的应用。
本文将从自旋角动量的概念入手，介绍自旋角动量算符的定义、性质以及在量子力学中的应用，并探讨与其他算符的关联与作用。
首先，我们来了解一下自旋角动量的概念。
自旋角动量是描述粒子（如电子、质子等）自旋性质的物理量。
它在空间中的三个分量分别为sx、sy、sz，分别表示粒子在x、y、z方向上的自旋角动量。
自旋角动量的引入，使得量子力学中的角动量运算更加丰富，也为描述粒子在磁场中的行为提供了有力工具。
接下来，我们介绍自旋角动量算符。
自旋角动量算符是在量子力学中用于操作自旋角动量的算符，通常表示为S。
S包括三个分量：Sx、Sy、Sz，分别对应x、y、z方向的自旋角动量。
自旋角动量算符满足如下性质：1.平方为identity operator：Sx^2 = Sy^2 = Sz^2 = I，其中I为identity operator，表示单位算符。
2.反对称性：Sx*Sy = Sy*Sx = 0，表示自旋角动量在x、y方向上的分量相互垂直。
3.满足旋量守恒定律：Sz + S^-1z = 0，其中S^-1表示S的逆算符。
在量子力学中，自旋角动量算符有着广泛的应用。
例如，在计算粒子在磁场中的能量时，可以使用自旋角动量算符与磁场算符的乘积来表示。
此外，自旋角动量算符还可以用于描述粒子的自旋极化现象、研究核磁共振等领域。
自旋角动量算符与其他算符密切相关。
例如，与轨道角动量算符、库仑算符等有密切关联。
在实际应用中，自旋角动量算符与其他算符的组合使用，可以更加全面地描述粒子的性质和行为。
总之，自旋角动量算符是量子力学中一个重要的概念，它丰富了角动量运算的内涵，并为描述粒子在磁场中的行为提供了有力工具。
在实际应用中，自旋角动量算符与其他算符的组合使用，有助于深入研究粒子的性质和行为。
自旋和角动量
§1 电子的自旋 §2 电子的自旋算符和自旋波函数 §3 简单塞曼效应 §4 两个角动量耦合 §5 光谱精细结构
§1 电子的自旋
（一）Stern-Gerlach 实验 (二）光谱线精细结构
（三）电子自旋假设 （四）回转磁比率
（一）Stern-Gerlach 实 验 （1）实验描述
3p3/2
D1
3p1/2 D2
58 58
96 90
ÅÅ
3s1/2
（三）电子自旋假设
Uhlenbeck 和 Goudsmit 1925年根据上述现象提出了 电子自旋假设
（1）每个电子都具有自旋角动量，它在空间任何方向上
的投影只能取两个数值：
S
Sz 2
（2）每个电子都具有自旋磁矩，它与自旋角动量的关系为：
pauli算符的矩阵形式根据定义求pauli算符的其他两个分量?a?b1001?1001?22zzzs令dbcabax?1利用反对易关系zxxz??d0c1001100dcbadc得b0c0bdccba00dax简化为00c0cbx00e0c0e00c2ccx2200cci12c令cexpi为实则iix由力学量算符厄密性x000??cbx得bc或cb0cxx2i求y的矩阵形式出发由xzyxzyii0e??????01001iiyei得00iiee这里有一个相位不定性习惯上取0于是得到pauli算符的矩阵形式为100100i0110zyxi从自旋算符与pauli矩阵的关系自然得到自旋算符的矩阵表示1001200i201102zyxsiss写成矩阵形式1归一化电子波函数表示成21trtr矩阵形式后波函数的归一化时必须同时对自旋求和和对空间坐标积分即2几率密度表示t时刻在r点附近1wrtdtrtrd212112221wrt22d212wrt单位体积内找到电子的几率表示t时刻r点处单位体积内找到自旋sz2的电子的几率表示r点处单位体积内找到自旋sz2的电子的几率t时刻1wrtd在全空间找到sz2的电子的几率2wrtd在全空间找到sz2的电子的几率四含自旋波函数的归一化和几率密度波函数21这是因为通常自旋和轨道运动之间是有相互作用的所以电子的自旋状态对轨道运动有影响波函数 Nhomakorabea
量子力学第七章自旋
第七章自旋与角动量7．1电子的自旋许多实验事实都证明电子具有自旋。
下面叙述的斯特恩革拉赫（Stern —Gertach ）实验就是其中的一个，实验示意图如下：在上图中，K 为基态氢原子源，氢原子自K 射受狭缝BB 的控制而成为扁平细束，然后通过不均匀磁场而射到照相底片PP 上，实验结果是照相底片上出现两条分列的线。
这说明了两个问题：（a ）氢原子具有磁矩。
由于实验中的氢原子处于基态（IS 态），角量子数 =0,即轨道角动量为零。
而由第二章习题15可知，轨道磁矩为：L e M Lμ2-= （7.1-1）所以轨道磁矩也为零；同时原子核（质子）的固有磁矩应很小，所以氢原子中的电子具有固有磁矩，即自旋磁矩。
（6）电子的自旋矩在磁场中只有两种取向，也就是说是空间取向量子化的。
如果没电子的自旋磁矩为 ，处磁场 同子轴正方向，则基态氢在处磁场中的势能为：θcos B M B M U s S -=⋅-=风基态氢原子在沿子轴方向所受的力为：θξξcos ∂∂=∂∂-=BM U F s y 如果s M可取任何方向，则cos θ应当可能从+1到-1到连续变化，在照相底片上应该得到一条连续的带，但实验结果只有两条分立的线，时京应于cos θ=+1和-1，可见s M的空间取向是量子化的。
应用分辨率较高的分光镜或摄谱仪可以观察到钠原子光谱中2P →1S 的谱线是由两条靠得很近的谱线组成的;其他原子光谱中也存在双重线或多重线结构，这种结构称为光谱线的精细结构，只有考虑了电子 的自旋，光谱线的精细结构才能得到解释。
鸟伦贝克(Uhlenbeck)和哥德斯密脱（Goudsmit ）为了解释上述现象，在1925年提出了下面的假设：（1）每个电子具有旋角动量S，它在任何方向（z 轴）上的投影只能取两个值：2hS z = （7.1-2）（2）每个电子具有自旋磁矩s M，它和S 的关系是：s M =—S me（7.1-3）其中-e 为电子的电荷，m 为电子的质量。
讲稿七：量子力学电子自旋角动量
第七章电子自旋角动量实验发现，电子有一种内禀的角动量，称为自旋角动量，它源于电子的内禀性质,一种非定域的性质，一种量级为相对论性的效应。
本来，在Dirac相对论性电子方程中，这个角动量很自然地以内禀方式蕴含在该方程的旋量结构中。
在对相对论性电子方程作最低阶非相对论近似，以便导出Schrodinger方程的时候，人为丢弃了这种原本属于相对论性的自旋效应。
换句话说，现在从Schrodinger方程出发研究电子非相对论性运动时，自旋作用就表现出是一种与电子位形空间运动没有直接关系的、外加的自由度，添加在Schrodinger方程上。
到目前为止，非相对论量子力学所拟定的关于它的一套计算方法，使人们能够毫无困难地从理论上预测实验测量结果并计算它在各种实验场合下运动和变化。
但是，整个量子理论对这个内禀角动量（以及与之伴随的内禀磁矩）的物理内禀性质依然并不十分了解1。
§7.1 电子自旋角动量1, 电子自旋的实验基础和其特点早期发现的与电子自旋有关的实验有：原子光谱的精细结构（比如，对应于氢原子2p1s→的跃迁存在两条彼此很靠近的两条谱线，碱金属原子光谱也存在双线结构等）；1912年反常Zeeman效应，特别是氢原子的偶数重磁场谱线分裂，无法用轨道磁矩与外磁场相互作用来解释，因为这只能分裂谱线为()2l+1重，即奇数重；1922年Stern—Gerlach实验，实验中使用的是顺磁性的中性银原子束，通过1杨振宁讲演集，南开大学出版社，1989年155156一个十分不均匀的磁场，按经典理论，原子束不带电，不受Lorentz 力作用。
由于银原子具有一个永久磁矩，并且从高温下蒸发飞出成束时其磁矩方向必定随机指向、各向同性的。
于是在穿过非均匀磁场时，磁矩和磁场方向夹角也是随机的。
从而银原子束在通过磁场并接受非均匀磁场力的作用之后，应当在接受屏上相对于平衡位置散开成一个宽峰，但实验却给出彼此明显对称分开的两个峰，根据分裂情况的实测结果为B ±μ，数值为Bohr 磁子。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
自主学习01 教材内容第七章自旋与角动量知识框架重点难点第一节第二节第三节第四节第五节第六节第七节第八节本章习题本章自测知识框架重点难点1.自旋算符与泡利矩阵2.轨道自旋耦合及自旋自旋耦合3.两电子体系的自旋波函数4.两个角动量的耦合(CG系数)7.1电子的自旋[教学目标]:理解电子的自旋[重点难点]:自旋[教学内容]:在较强的磁场下（∽T 10），我们发现一些类氢离子或碱金属原子有正常塞曼效应的现象，而轨道磁矩的存在，能很好的解释它但是，当这些原子或离子置入弱磁场（∽T 110-）的环境中，或光谱分辨率提高后，发现问题并不是那么简单，这就要求人们进一步探索。
大量实验事实证明，认为电子仅用三个自由度z ,y ,x 来描述并不是完全的。
我们将引入一个新的自由度—自旋，它是粒子固有的。
当然，自旋是Dirac 电子的相对论性理论的自然结果。
现在我们从实验事实来引入。
(1)电子自旋存在的实验事实（1）Stern-Gerlach 实验（1922年）当一狭窄的原子束通过非均匀磁场时，如果原子无磁矩，它将不偏转；而当原子具有磁矩μ，那在磁场中的附加能量为αμμcos B B U -=⋅-=如果经过的路径上，磁场在z 方向上有梯度，即不均匀，则受力dz dB U F αμcos =-∇=从经典观点看αcos 取值（从11--）,因此，不同原子（磁矩取向不同）受力不同，而取值dz dB μ-—dz dB μ所以原子分裂成一个带。
但Stern-Gerlach 发现，当一束处于基态的银原子通 过这样的场时，仅发现分裂成二束，即仅二条轨道（两个态）。
而人们知道，银原子（47z =）基 态0l =，所以没有轨道磁矩，而分成二个状态（二 个轨道），表明存在磁矩，而这磁矩在任何方向上的 投影仅取二个值。
这磁矩既然不是由于轨道运动产生的，因此，只能是电子本身的（核磁矩可忽），这磁矩称为内禀磁矩sμ，与之相联系的角动量称为电子自旋，它是电子的一个新物理量，也是一个新的动力学变量。
（2）电子自旋存在的其他证据A ．碱金属光谱的双线结构钠原子光谱中有一谱线，波长为5893Å，但精细测量发现，实际上，这是由两条谱线组成。
93.5895D 1=Å95.5889D 2=Å这一事实，从电子仅具有三个自由度是无法解释的。
B ．反常塞曼效应（Anomalous Zeeman effect ）原子序数z 为奇数的原子，其多重态是偶数，在弱磁场中分裂的光谱线条数为偶（如钠1D 和2D 的两条光谱线，在弱磁场中分裂为4条和6条）。
这种现象称为反常塞曼效应。
不引入电子自旋也是不能解释的。
C ．在弱磁场中，能级分裂出的多重态的相邻能级间距，并不一定为B e μ2 ，而是Be g D μ2。
对于不同能级，D g 可能不同，而不是简单为1 (D g 称e Land 'g 因子)。
根据这一系列实验事实，G. Uhlenbeck （乌伦贝克）和S.Goudsmit （古德斯密特）提出假设① 电子具有自旋S ，并且有内禀磁矩s μ，它们有关系S m ee s -=μ② 电子自旋在任何方向上的测量值仅取两个值2±，所以ez m e 2=μe zzm e S -=μ以em 2e 为单位，则2-=s g （而1-=l g ）∴自旋的回磁比为 2g s -=现在很清楚，电子自旋的存在可由Dirac 提出的电子相对论性理论自然得到。
考虑到辐射修正0023192.2)21(2-=++-= παs g 4.2自旋波函数[教学目标]:掌握自旋波函数 [重点难点]:自旋波函数 [教学内容]:考虑电子自旋后,电子不是一个简单的具有三个空间自由度的粒子,它还有自旋自由度.为描述自旋自由度,引入自旋z 分量z s 作为波函数的一个新自变量,于是波函数坐标表示形式()t s r z ,,ψ(1)由于z s 只能取2±两个分离值,与自旋算符在z s 对角化表象中是22⨯矩阵相对应,使用二分量波函数形式()()()()()-++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=χψχψψψψψψt r t r t r t r t r t r t s r Z ,,,,,21,,21,,,2121(2)称为旋量波函数.±χ是z sˆ的本征态,本征值为 21±,即±±±=χχ 21ˆz s(3)⎪⎪⎭⎫⎝⎛=≡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=≡-+10,01χβχα(4)±χ分别表示自旋向上和向下的态,它们构成了电子的自旋态的一组完备基矢,任何一个自旋态()Z S χ都可用它们来展开()⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+=-+b a b a s z χχχ(5)自旋波函数(1) 正是电子的计及空间坐标的波函数,可理解为考虑自旋后的电子波函数,按z S ˆ表象基矢的展开,其物理意义就非常显,即()21,t rψ和()22,t rψ分别表示t 时刻在空间r处找到电子自旋向上和自旋向下的几率密度.所以,归一化条件为()1,21,,21,,,223223=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎰∑⎰±=t r t r x d t S r x d z S z ψψψ(6)即电子波函数的归一化包括对空间的积分和对自旋的求和.在许多情况下, 例如, 哈密顿算符不含自旋变量,或可以表成自旋变量部分与空间部分之和,H ˆ的本征函数可以分离变量, 即()()()z z s r s r χφψ=,(7)7.3自旋算符与泡利矩阵[教学目标]:理解自旋算符，掌握泡利矩阵 [重点难点]:自旋算符与泡利矩阵 [教学内容]:自旋是一种角动量,但与轨道角动量不同,它无经典对应.在非相对论量子力学中,可根据其角动量的特征加以描述.设自旋算符s ˆ 的三个分量()3,2,1ˆ=i s i 满足与轨道角动量相同的对易关系,即[]k ijkjisi s s ˆˆ,ˆε= (1)也可表示成s i s s ˆˆˆ =⨯(2)引入无量纲算符,即泡利算符σˆ2ˆ =s(3)则对易关系(1) 化为[]k ijkjii σεσσˆ2ˆ,ˆ= (4)或σσσˆ2ˆˆi =⨯(5)自旋s ˆ 沿任何指定方向的投影(本征值) 只能取 21±,这导致σˆ 沿任何指定方向的投影只能取1±,因而2ˆi σ(i=1,2,3) 的取值只能为1,即3,2,1,ˆˆ2==i I i σ(6)式中I ˆ是单位算符.利用对易关系(4) ,可以证明σˆ 的各分量还满足反对易关系ij i j j i δσσσσ2ˆˆˆˆ=+,或{}ijjiδσσ2ˆ,ˆ= (7)将式(4) 和(7) 结合起来,得k ijk ij j i i σεδσσˆˆˆ+= (8)总自旋算符的平方为()I I s s s s ˆ12121ˆ43ˆˆˆ4ˆˆˆˆ2223222123322212 ⎪⎭⎫ ⎝⎛+==++=++=σσσ(9)由于2ˆs 正比于单位算符,显然有[]0ˆ,ˆ2=is s (10)以上是自旋算符的代数性质,与具体表象无关.下面在3ˆσ对角化表象中讨论泡利算符的矩阵形式.由于3ˆσ只能取1±,所以3ˆσ的矩阵可表示为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=1001ˆ3σ(11)令1ˆσ的矩阵形式为 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=d c b a 1ˆσ(12)考虑到0ˆˆˆˆ1331=+σσσσ,得⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-d c b a d c b a(13)所以0==d a.于是1ˆσ简化为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=00ˆ1c b σ(14)再根据厄米性要求11ˆˆσσ=+,可得+=b c ,所以 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=*00ˆ1b b σ(15)而I b b b b bb =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=*•22210000ˆσ(16)所以12=b ,因而可令αi e b=,α为实数.于是⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-00ˆ1αασi i e e(17)利用132ˆˆˆσσσi -=,得⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-00ˆ2αασi i ie ie(18)力学量算符在任何表象中都有一个相位不定性,这里遵从泡利的选择,取0=α,得⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0110ˆ1σ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=00ˆ2ii σ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=1001ˆ3σ(19)思考题1. 证明i =321ˆˆˆσσσ2. 设A ˆ 和B ˆ 是与σˆ对易的任何矢量算符, 证明⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⋅+⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅B A i B A B A ˆˆˆˆˆˆˆˆ σσσ3. 令21ˆˆˆσσσi ±=±,证明 [][]±±-+±±===σσσσσσσˆ2ˆ,ˆ,ˆ4ˆ,ˆ,0ˆ3324. 设α 是与σˆ 对易的任何矢量, αα =,ααα =ˆ,证明αασαασsin ˆˆcos ˆ ⋅+=⋅i ei7.4电子的总角动量和轨道自旋耦合[教学目标]:掌握电子的总角动量和轨道自旋耦合 [重点难点]:总角动量和轨道自旋耦 [教学内容]:设一个电子的轨道角动量算符和自旋角动量算符分别为l ˆ 和s ˆ ,则轨道角动量算符和自旋角动量算符之和为s l j ˆˆˆ +=.根据两个角动量的耦合原理,2ˆj的量子数只能取21±=l j ,其中l 为轨道角动量平方算符的量子数.当21+=l j由于取21+=l m 时,21=s m ,l m m m s l =-=, 按相位约定, 有212121,21ll l l =++ (1)用降算符---+=sl j ˆˆˆ作用于上式两边, 得()21,21,,21,21,1,22121ˆˆ2121ˆ21,211221,21ˆ-+-=+=-++=++----l l l l l ll s l ll j l l l l l j (2)两式相等, 即有21,21,,12121,21,1,12221,21-++-+=-+l l l l l l l l l (3)再一次作用, 有()()21,21,1,2212121,21,2,12212221,21,,12121,21,1,122ˆˆ23,21221,21ˆ--⋅++--⋅+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++-++=-+=-+---l l l l l l l l l l l l l l l l s l l l l l l j (4)所以⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+--+=-+21,21,1,221,21,2,1212123,21l l l l l l l l(5)在作用p 次之后, 得到⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+-+-+-+=-++21,21,1,21,21,,1212121,21p l l p p l l p l l p l l (6)令21+-=p l m ,则上式化为⎪⎭⎫⎝⎛+--+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++-+-+++=+21,,21,2121,21,21,2121,21,21,21121,21l l l m m l m l m l m l l m l (7)当21-=l j取21max -=l m 的态21,21--l l 应是21,21,,-l l 与21,21,1,-l l 的线性组合, 即21,21,1,21,21,,21,21-β+-α=--l l l l l l (8)归一化要求122=β+α (9)且与21,21-+l l 正交, 即有02=β+αl(10)式(9) 和(10) 联立, 得121,122+-=β+=αl l l(11)代入式(8), 得⎪⎪⎭⎫⎝⎛---+=--21,21,1,21,21,,212121,21l l l l l l l l(12)用-j ˆ一次一次作用于上式, 得⎪⎭⎫⎝⎛----=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+---++++=-21,23,2121,21,21,2121,21,21,21121,21l l l m m l m l m l m l l m l (13)由此可得旋量球谐函数()jms s z z ljm,,,,ϕ=ϕθφ,即()()()()()()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++--+=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-+++=+--+-+ϕθϕθφϕθϕθφ,21,21121ˆ,21,21121ˆ21,21,,21,21,21,,21,m l m l ml l m l m l ml l Y m l Y m l l r Y m l Y m l l r7.5碱金属原子光谱的双线结构[教学目标]:了解碱金属原子光谱的双线结构 [重点难点]: 碱金属原子光谱的双线结构 [教学内容]:碱金属原子有一个价电子，原子核及内层满壳电子（“原子实”）对它的作用，可近似地用一个屏蔽库仑场()r V 描述. 碱金属原子的低激发能级是由价电子激发而来. 价电子的哈密顿算符可表成()()()drdV r c r sl r r V p H H H 222021,ˆˆ2ˆˆˆˆμ=ξ⋅ξ++μ='+= (1)式中()s l r H ˆˆˆ ⋅ξ='是自旋—轨道耦合能, 它是相对论量子力学过渡到非相对论极限时出现的.首先, 讨论哈密顿算符(1) 的守恒量完全集. 在无耦合表象中, 取⎪⎭⎫ ⎝⎛z z s l l H ˆ,ˆ,ˆ,ˆ20 为力学量完全集. 但由于[][]0ˆ,ˆ,0ˆ,ˆ≠'≠'zzs H l H (2)因而[][]0ˆ,ˆ,0ˆ,ˆ≠≠zzs H l H(3)即z l 和z s 不是守恒量, 相应的量子数l m 和s m 不是好量子数. 在有自旋—轨道耦合的情况下, 耦合表象⎪⎭⎫ ⎝⎛z j j l H ˆ,ˆ,ˆ,ˆ22 才构成守恒量完全集, 也就是说, 它们中任何两个都是对易的. 这只需注意到⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⋅222ˆˆˆ21ˆˆs l j s l (4)就容易验证这一点. 这样,角度部分及自旋部分波函数可选为⎪⎭⎫ ⎝⎛z j j l ˆ,ˆ,ˆ22 的共同本征态()z ljm z s ljm s ,,,,ϕθφ=ϕθ.令()()()z ljm z s r R s r ,,,,,ϕθφ=ϕθψ (5)代入薛定薛方程()()ψ=ψ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⋅ξ++μ+∂∂∂∂μ-E s l r r V r l r r r r ˆˆ2ˆ1222222(6)利用()()()()⎪⎩⎪⎨⎧≥-=+-+==⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⋅121,12121,21431121ˆˆˆ21ˆˆ222222l l j l l j l l l j j s l j s l ljm ljm ljmljm ljm φφφφφ(7)当()r V 给定后, 可求解方程(6), 得出能量本征值, 它与量子数()j l n ,,都有关, 记为nlj E . 能级与量子数m 无关, 因而能级对量子数m 还存在2j+1度简并. 在原子中,()0<r V ( 吸引力), ()0>'r V , 从而()0>ξr .因此2121-=+=>l nlj l nlj E E (8)即21+=l j 能级高于21-=l j 能级, 但自旋轨道耦合项较小, 两条能级很靠近, 这就是碱金属双线结构的由来. 对类氢原子,()()sl r c Ze s l r r Ze r V s s ˆˆ12ˆˆ,32222 ⋅μ=⋅ξ-=(9)作为一级微扰论估计, 双线分裂大小为⎪⎭⎫⎝⎛++μ=∆2121232222l l r c Ze E s (10)利用()()1211133++⎪⎭⎫ ⎝⎛=l l l na Z nl r nl(11)可得()11232222+⎪⎭⎫ ⎝⎛=∆l l na Z cZe E s μ (12)可见自旋轨道耦合造成的分裂∆E 随Z 增大而迅速增大, 但随l 增大而减小. 对碱金属原子, 锂的双线分裂就很小, 不易测出. 从钠开始就比较显著. 如图7.5.2所示, 给出了钠原子的能级图. 钠原子组态是(1s)2(2s)2(2p)6(3s)1, 即价电子处于213s 能级. 对于s 能级(0=l ),没有自旋轨道耦合分裂. 钠原子的第一激发态是价电子激发到3p 能级, 由于自旋轨道耦合,3p 能级分裂为两条,233p 能级略高于213p 能级. 这两条靠近的能级上的电子往基态跃迁, 就产生钠黄线, 即12121022123A 589633A 589033≈→≈→λλD s p D s p图7.5.2 钠原子能级图及光谱的双线结构. 图中只标出了可见光部分的双线,,f d 等能级分裂都非常小, 一般实验中观测不出来, 这是由于在这些能级上的电子离开原子核的平均距离较大, 自旋轨道耦合作用很小的缘故.7.6两电子体系的自旋波函数[教学目标]: 掌握两电子体系的自旋波函数 [重点难点]: 两电子体系的自旋波函数 [教学内容]:设两个电子的自旋算符分别为1ˆs 和2ˆs ,则两个电子自旋算符之和为21ˆˆˆs s s +=.若选()z z s s 21ˆ,ˆ为自旋力学量的完全集(无耦合表象), 那么它们的共同本征态有四个()()()()()()()()z z z z z z z z s s s s s s s s 21121221112112122111,,χχχχχχχχ---- (1)现求()z s s ˆ,ˆ2 自旋力学量的完全集(耦合表象)的共同本征态. 为此, 先考察这四个自旋态是不是z sˆ和2ˆs 的本征态. 显然, 它们是z z zs s s 21ˆˆˆ+=的本征态, 本征值分别为0,0,, -.利用 211211121121ˆ,ˆ,ˆ,ˆχ-=χσχ=χσχ=χσχ=χσ----i i y y x x (2)及()()z z y y x x s s s ss s s 212121222122212212ˆˆˆˆˆˆ2143ˆˆ2ˆˆˆˆˆσσ+σσ+σσ+=⋅++=+=(3)可得()()()()()()()()z z z z z z z z s s s s ss s s s s2211212211212211212211122ˆ2ˆ----χχ=χχχχ=χχ (4)所以()()z z s s 21121χχ及()()z z s s 221121--χχ是2ˆs 是的本征态, 本征值为22 ,即总自旋量子数1=s .另两个态()()z z s s 221121-χχ和()()z z s s 221121χχ-是z sˆ的两个简并的本征态, 它们就不是2ˆs 的本征态. 但可以把它们线性叠加, 以构成2ˆs 的本征态. 令()()()()z z z z s s c s s c 22112122211211χχ+χχ=χ-- (5)代入本征方程χλ=χ22ˆ s(6)λ无量纲, 待定. 利用()()()()()()()()()()()()()()z z z z z z z z z z z z s s s s s s ss s s s s s s 211122112122211212211122112122211212ˆˆχχ+χχ=χχχχ+χχ=χχ------ (7)可得()()()()()()()()()()()z z z z z z z z s s c s s c s s s s c c 2211212221121122112122112121χχχχλχχχχ----+=++即有()()⎩⎨⎧=λ-+=+λ-01012121c c c c (8)此方程有非平庸解的充要条件为1111=λ-λ- (9)解出2,0=λ(10)用λ=0代入式(24), 得121-=c c(11)用λ=2代入式(24), 得121=c(12)再利用归一化条件,并取适当相角, 可求出2ˆs 的归一化本征态为()()()()[]()()()()[]1,210,212211212211122112122111=+=-----s s s s s s s s s s z z z z z z z z χχχχχχχχ(13)现将()z ss ˆ,ˆ2的共同本征态记为ssm χ,那么ssm χ可表达为如下形式()()()()()()[]()()()()()()[]zzzzz z zzzzz z s s s s s s s s s s s s 2111121211210021211211121211212121121102121121112121χχ-χχ=χχχ=χχχ+χχ=χχχ=χ------- (14)()1,0,11-+==s m s 的态称为自旋三重态, 它们对于两个电子交换是对称的.s=0(m s =0) 的态称为自旋单态, 它对于两电子交换是反对称的. 图7.6.2有助于形象地理解三重态与单态. . 思考题1. 证明()()22221ˆˆ23ˆˆσσσσ ⋅-=⋅,并利用此结果, 求()21ˆˆσσ⋅的本征值. 答:1.-32. 令()2112ˆˆ121ˆσσ ⋅+=P ,证明: (a) I P ˆˆ12=;(b) 1ˆˆ2212-=s P ;(c)()ss sm s sm P χχ1121ˆ+-=,说明12ˆP 有何物理意义.7.7角动量算符的基本性质[教学内容]:掌握角动量算符的基本性质[重点难点]:角动量算符 [教学目标]:角动量的代数性质(厄米性和对易关系) 给出一般角动量算符的定义, 接着介绍确定角动量算符本征值谱的一种方法, 最后给出角动量算符的矩阵表示.若算符),,(3,2,1,ˆz y x j =αα满足下列代数关系[]α+αγαβγβα=ε=j j j i j j ˆˆ,ˆˆ,ˆ (1)则以3,2,1,ˆ=ααj 为三个分量的矢量算符j ˆ 称为角动量算符. 轨道角动量算符以及自旋算符的对易关系就是这种形式.下面将根据此基本对易式以及角动量算符的厄米性,考察角动量算符的一般性质. 因此,下面所得结果, 对轨道角动量算符、自旋算符以及任何角动量算符都适用. 由于3,2,1,ˆ=ααj 彼此不对易, 不能构成力学量完全集. 但可定义角动量平方算符∑=αα=3122ˆˆj j (2)与轨道角动量算符以及自旋算符相似, 由式(1) 和(2),可证明[][]±±α±==α=j j j z y x j j z ˆˆ,ˆ),,(3,2,1,0ˆ,ˆ2 (3)其中++-±=±=j j j i j j y x ˆˆ,ˆˆˆ (4)其逆表示为()()-+-+-=+=j j ij j j j y x ˆˆ21ˆ,ˆˆ21ˆ (5)还可证明z z j j j j j ˆˆˆˆˆ22 +=±(6)[]zj j j ˆ2ˆ,ˆ =-+(7)()22ˆˆ2ˆˆˆˆz j j j j j j -=++--+ (8)由于2ˆj 和z j ˆ对易,它们可以有共同的本征态, 记为jm ,即有()jmm jm j jm j j jm j z =+=ˆ,1ˆ22 (9)现在来定出量子数m j ,.由式(6) 和（7）, 有()()[]()()jmm j m j jmm m j j jm j j j jm j j z z 222222211ˆˆˆˆˆ+±=±-+=±-=± (10)又由式(4), 上式可得()()01ˆˆ2≥+±=+jm m j m j jm j j jm (11)所以()()()()0101≥+-+≥++-m j m j m j m j (12)由此定出j m j ≤≤-(13)且当()()01=+±m j m j 时, 由式(11)有,ˆ=±±j j j (14)当j m ±≠时, 由式(3), 有()()jmj j jm j j jmj m jm j jm j j jm j j z z 221ˆˆˆ1ˆˆˆˆˆ +=±=±=±±±±± (15)即jmj ±ˆ也是()zj j ˆ,ˆ2 的共同本征态, 本征值分别是()() 1,12±+m j j .重复这一论证jmj jm j jm j q ±±±±ˆ,,ˆ,ˆ2 (16)都是()zj j ˆ,ˆ2 的共同本征态,z j ˆ的本征值为()()() j q m m m ±=±±±±,,2,1 (17)由于±q 为非负整数, 且j q q 2=+-+,所以j 为半整数, 即,23,1,21,0=j(18)而m 满足式(13), 且相邻值相差1, 所以j j j j m ,1,,1,-+--=(19)由式(15) 还可见,jmj ±ˆ与1±jm 只能相差一个与m j ,有关的常数, 记该数为±jm C ,则有1ˆ±=±±jm C jm j jm (20)并有()jmj j jm Cjm ±+±±=ˆˆ2 (21)将式(11) 代入上式,得()() 1+±=δ±m j m j eC i jm (22)式中δ为任意正实数, 这表明jmj ±ˆ与1±jm 之间有一相位不定性. 习惯上采用Condon & Shortley约定, 即取δ=0. 在这种相位规定下, 把式(22) 代入式(20), 得()()11ˆ±+±=±jm m j m j jm j(23)由此得±j ˆ的非零矩阵元()()1ˆ1+±=±±m j m j jm j jm (24)由式(5) 和(24) 可给出x j ˆ和y j ˆ的非零矩阵元为()()()()121,ˆ,,ˆ1,1211,ˆ,,ˆ1,++--=+-=+++-=+=+m j m j im j j m j m j j m j m j m j m j j m j m j j m j y y x x (25)例1. 给定21=j ,写出()z y x j ,,ˆ=αα的矩阵表示.解: 由21=j ,可知21±=m .既然j 给定, 基矢jm可简记为m,并约定矩阵的行和列以m 从大到小的顺序排列.由式(9),z j ˆ不为零的矩阵元为221ˆ21,221ˆ21-=--=z z j j(26)所以zz zz zz j j j j j σ21001221ˆ2121ˆ2121ˆ2121ˆ21 =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=(27)由式(25),x j ˆ不为零的矩阵元为221ˆ2121ˆ21=-=-x x j j(28)所以xx xx xx j j j j j σ20110221ˆ2121ˆ2121ˆ2121ˆ21 =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=(29)同理yy i i j σ2002=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=(30)将式(27)、（29）和（30）总结起来，()()m m mm m j m j ''='=ααασ221ˆ21(31)即zy x j ,,,2=ασ=αα (32)式中()z y x ,,=ασα为泡利矩阵.思考题在()zj j ˆ,ˆ2 表象中就23,1=j 写出yx z j j j j ˆ,ˆ,ˆ,ˆ2 的矩阵表示本章训练1、设λ为常数，证明λσλλσsin cos z i i e z+=。