自旋和角动量

第六章 自旋和角动量内容简介：在本章中，我们将先从实验上引入自旋，分析自旋角动量的性质，然后讨论角动量的耦合，并进一步讨论光谱线在磁场中的分裂和精细结构。最后介绍了自旋的单态和三重态。 § 6.1 电子自旋

§ 6.2 电子的自旋算符和自旋函数 § 6.3 角动量的耦合 § 6.4 电子的总动量矩 § 6.5 光谱线的精细结构 § 6.6 塞曼效应

§ 6.7 自旋的单态和三重态

首先，我们从实验上引入自旋，然后分析自旋角动量的性质。

施特恩-盖拉赫实验是发现电子具有自旋的最早实验之一。如右图所示，由 源射出的处于基K 态的氢原子束经过狭缝和不均匀磁场，照射到底片PP 上。结果发现射线束方向发生了偏转，分裂成两条分立的线。这说明氢原子具有磁矩，在非均匀磁场的作用下受到力的作用而发生里偏转。由于这是处于s 态的氢原子，轨道角动量为零，s 态氢原子的磁矩不可能由轨道角动量产生。这是一种新的磁矩。另外，由于实验上只有两条谱线，因而这种磁矩在磁场中的取向，是空间量子化的，而且只取两个值。假定原子具有的磁矩为M ，则它在沿z 方向的外磁场H 中的势能为

cos U M H MH θ=-=-

（6.1.1）

θ为外磁场与原子磁矩之间的夹角。则原子z 方向所受到的力为

cos z U H

F M z z

θ∂∂=-

=∂∂ （6.1.2） 实验证明，这时分裂出来两条谱线分别对应于cos 1θ=+ 和cos 1θ=-两个值。

为了解释施特恩-盖拉赫实验，乌伦贝克和歌德斯密脱提出了电子具有自旋角动量，他们认为： ①

每个电子都具有自旋角动量S ，S

在空间任何方向上的投影只能取两个值。若将空间

的任意方向取为z 方向，则 2z S =± （6.1.3） ②

每个电子均具有自旋磁矩s M

，它与自旋角动量之间的关系为

s s e e M S M S m mc

=-=- （SI ） 或 (C G S)（6.1.4）

s M

在空间任意方向上的投影只能取两个值：

()()22sz B sz B r r M M SI M M CGS m mc

=±

=±=±=± 或 B M 是玻尔磁子。

电子自旋的回转磁比率为：

()()z z z z M M e e

SI CGS S m S mc

=-=- 或 轨道角动量的回转磁比率为： ()()22e e

SI CGS m mc

-

- 或 自旋回转磁比率是轨道运动回转磁比率的两倍。

自旋是电子的固有属性，千万不要以为，电子的自旋是因为电子在作机械的自转引起的。可以证明，如果将电子想象成为一个电荷均匀分布的小球，由于电子的半径约为132.810cm -⨯，要想使它的磁矩由于自转而达到一个玻尔磁子，则它表面的转速将超过光速，这显然是与相对论矛盾的。电子自旋是一个新的自由度，与电子的空间运动完全无关。电子自旋是电子的内禀属性，电子的自旋磁矩是内禀磁矩。 电子自旋具有下述属性：

① 它是个内禀的物理量，不能用坐标、动量、时间等变量表示；

② 它完全是一种量子效应，没有经典对应量。也就是说，当0→ 时，自旋效应消失。 ③ 它是角动量，满足角动量最一般的对应关系。而且电子自旋在空间任何方向上的投影只

取2± 两个值。

6.2 电子自旋算符和自旋函数

自旋是一个力学量，在量子力学中，它应该用线性厄米算符表示。其次，既然是算符，它的性质就应该由算符所满足的对易关系决定。由于自旋具有角动量性质，而角动量算符

J 满足的对易关系是：

J J i J ⨯= （6.2.1）

在量子力学中，不要误以为角动量就是 r p ⨯ ，

r p ⨯ 只是轨道角动量，是角动量的一种。凡

满足（6.2.1）的算符都是角动量。自旋既然是角动量，那么它自然满足：

S S i S ⨯= （6.2.2）

写成分量形式：

ˆˆˆˆˆˆˆ[,]ˆˆˆˆˆˆˆ[,]ˆˆˆˆˆˆˆ[,]x y y x x y z

y z z y y z x z x x z z x y

S S S S S S i S S S S S S S i S S S S S S S i S -==-==-== （6.2.3） 由于自旋

S 在空间中任意方向的投影只能取2± 两个值。因此，任意选定,,x y z 坐标系后，

ˆˆˆ,,x y z S S S 三个算符的本征值都是2± ， 222,,x y z S S S 的值都是24 即 2222x y z S S S === （6.2.4）

则 2

S

的本征值为： 222234x y z S S S ++= （6.2.5）

若将任何角动量平方算符的本征值记为22(1)J j j =+ ，j 称为角动量量子数，则自旋角动量量子数s 满足：

222(1)34S s s =+= （6.2.6）

所以1/2S =

为方便起见，引入算符 σ ，令 2S σ= 即ˆˆˆˆˆˆ,,222

x x y y z

z S S S σσσ=== 则由（6.2.2）及（6.2.7）式得

2i σσσ⨯= （6.2.9）

写成分量形式

ˆˆˆˆˆˆˆ[,]2ˆˆˆˆˆˆˆ[,]2ˆˆˆˆˆˆˆ[,]2x y y x x y z y z z y y z x z x x z z x y i i i σ

σσσσσσσ

σσσσσσσ

σσσσσσ-==-==-== （6.2.9） 而ˆˆˆ,,x y z σ

σσ的本征值为1±，而且 222ˆˆˆ1x y z σ

σσ=== （6.2.10） 定义：任意算符

A 和

B 的反对易关系为 [,]A B AB BA +

=+ （6.2.11） 则

ˆˆˆˆˆˆ[,]ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ()()x y x y y x y z z y y y y z z y σ

σσσσσσσσσσσσσσσ+=+-+-11

=

2i 2i

=0 （6.2.12） 同理

ˆˆ[,]0y z σ

σ+=（6.2.13） ˆˆ[,]0z x σ

σ+= （6.2.14） 现在来找特定表象下， ,,x y z σσσ算符的矩阵形式。由于 2S 与 z S 对易，则在它们的共同表象中， z

S 的矩阵必然为 101001012z z

S σ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭

， （6.2.15）