自旋和角动量

第六章 自旋和角动量内容简介：在本章中，我们将先从实验上引入自旋，分析自旋角动量的性质，然后讨论角动量的耦合，并进一步讨论光谱线在磁场中的分裂和精细结构。

最后介绍了自旋的单态和三重态。

§ 6.1 电子自旋§ 6.2 电子的自旋算符和自旋函数 § 6.3 角动量的耦合 § 6.4 电子的总动量矩 § 6.5 光谱线的精细结构 § 6.6 塞曼效应§ 6.7 自旋的单态和三重态首先，我们从实验上引入自旋，然后分析自旋角动量的性质。

施特恩-盖拉赫实验是发现电子具有自旋的最早实验之一。

如右图所示，由 源射出的处于基K 态的氢原子束经过狭缝和不均匀磁场，照射到底片PP 上。

结果发现射线束方向发生了偏转，分裂成两条分立的线。

这说明氢原子具有磁矩，在非均匀磁场的作用下受到力的作用而发生里偏转。

由于这是处于s 态的氢原子，轨道角动量为零，s 态氢原子的磁矩不可能由轨道角动量产生。

这是一种新的磁矩。

另外，由于实验上只有两条谱线，因而这种磁矩在磁场中的取向，是空间量子化的，而且只取两个值。

假定原子具有的磁矩为M ，则它在沿z 方向的外磁场H 中的势能为cos U M H MH θ=-=-（6.1.1）θ为外磁场与原子磁矩之间的夹角。

则原子z 方向所受到的力为cos z U HF M z zθ∂∂=-=∂∂ （6.1.2） 实验证明，这时分裂出来两条谱线分别对应于cos 1θ=+ 和cos 1θ=-两个值。

为了解释施特恩-盖拉赫实验，乌伦贝克和歌德斯密脱提出了电子具有自旋角动量，他们认为： ①每个电子都具有自旋角动量S ，S在空间任何方向上的投影只能取两个值。

若将空间的任意方向取为z 方向，则 2z S =± （6.1.3） ②每个电子均具有自旋磁矩s M，它与自旋角动量之间的关系为s s e e M S M S m mc=-=- （SI ） 或 (C G S)（6.1.4）s M在空间任意方向上的投影只能取两个值：()()22sz B sz B r r M M SI M M CGS m mc=±=±=±=± 或 B M 是玻尔磁子。

电子自旋的回转磁比率为：()()z z z z M M e eSI CGS S m S mc=-=- 或 轨道角动量的回转磁比率为： ()()22e eSI CGS m mc-- 或 自旋回转磁比率是轨道运动回转磁比率的两倍。

自旋是电子的固有属性，千万不要以为，电子的自旋是因为电子在作机械的自转引起的。

可以证明，如果将电子想象成为一个电荷均匀分布的小球，由于电子的半径约为132.810cm -⨯，要想使它的磁矩由于自转而达到一个玻尔磁子，则它表面的转速将超过光速，这显然是与相对论矛盾的。

电子自旋是一个新的自由度，与电子的空间运动完全无关。

电子自旋是电子的内禀属性，电子的自旋磁矩是内禀磁矩。

电子自旋具有下述属性：① 它是个内禀的物理量，不能用坐标、动量、时间等变量表示；② 它完全是一种量子效应，没有经典对应量。

也就是说，当0→ 时，自旋效应消失。

③ 它是角动量，满足角动量最一般的对应关系。

而且电子自旋在空间任何方向上的投影只取2± 两个值。

6.2 电子自旋算符和自旋函数自旋是一个力学量，在量子力学中，它应该用线性厄米算符表示。

其次，既然是算符，它的性质就应该由算符所满足的对易关系决定。

由于自旋具有角动量性质，而角动量算符J 满足的对易关系是：J J i J ⨯= （6.2.1）在量子力学中，不要误以为角动量就是 r p ⨯ ，r p ⨯ 只是轨道角动量，是角动量的一种。

凡满足（6.2.1）的算符都是角动量。

自旋既然是角动量，那么它自然满足：S S i S ⨯= （6.2.2）写成分量形式：ˆˆˆˆˆˆˆ[,]ˆˆˆˆˆˆˆ[,]ˆˆˆˆˆˆˆ[,]x y y x x y zy z z y y z x z x x z z x yS S S S S S i S S S S S S S i S S S S S S S i S -==-==-== （6.2.3） 由于自旋S 在空间中任意方向的投影只能取2± 两个值。

因此，任意选定,,x y z 坐标系后，ˆˆˆ,,x y z S S S 三个算符的本征值都是2± ， 222,,x y z S S S 的值都是24 即 2222x y z S S S === （6.2.4）则 2S的本征值为： 222234x y z S S S ++= （6.2.5）若将任何角动量平方算符的本征值记为22(1)J j j =+ ，j 称为角动量量子数，则自旋角动量量子数s 满足：222(1)34S s s =+= （6.2.6）所以1/2S =为方便起见，引入算符 σ ，令 2S σ= 即ˆˆˆˆˆˆ,,222x x y y zz S S S σσσ=== 则由（6.2.2）及（6.2.7）式得2i σσσ⨯= （6.2.9）写成分量形式ˆˆˆˆˆˆˆ[,]2ˆˆˆˆˆˆˆ[,]2ˆˆˆˆˆˆˆ[,]2x y y x x y z y z z y y z x z x x z z x y i i i σσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσ-==-==-== （6.2.9） 而ˆˆˆ,,x y z σσσ的本征值为1±，而且 222ˆˆˆ1x y z σσσ=== （6.2.10） 定义：任意算符A 和B 的反对易关系为 [,]A B AB BA +=+ （6.2.11） 则ˆˆˆˆˆˆ[,]ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ()()x y x y y x y z z y y y y z z y σσσσσσσσσσσσσσσσ+=+-+-11=2i 2i=0 （6.2.12） 同理ˆˆ[,]0y z σσ+=（6.2.13） ˆˆ[,]0z x σσ+= （6.2.14） 现在来找特定表象下， ,,x y z σσσ算符的矩阵形式。

由于 2S 与 z S 对易，则在它们的共同表象中， zS 的矩阵必然为 101001012z zS σ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭， （6.2.15）这是因为 z S 只有两个本征值，因而它对应的矩阵只能是22⨯的矩阵，而且在 zS 自身表象中，矩阵对角线上的元素就是它的本征值。

为求出 x σ， y σ在z σ表象中的矩阵形式，注意到 x σ与 y σ反对易，则 x σ与 yσ也只能是22⨯矩阵。

令ˆx a b c d σ⎛⎫= ⎪⎝⎭（6.2.16） 由于 x S 是厄米矩阵， x σ也是厄米矩阵，则*c b = ****1010ˆˆˆˆ010120002x z z x a b a b b d b d a b ab b d bd ad σσσσ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎛⎫= ⎪-⎝⎭= = （6.2.17）则0,0a d == *0ˆ0x b b σ⎛⎫= ⎪⎝⎭ （6.2.18） 又由于 21xσ=则 222010x b b σ⎛⎫ ⎪== ⎪⎝⎭即21b =则i b e α=若取0α=，则 0110xσ⎛⎫= ⎪⎝⎭ （6.2.19） 由对易关系得 01()02yz x x z i i i σσσσσ-⎛⎫=-=⎪⎝⎭（6.2.20） 综上所述010*******x yzi iσσσ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭, ， （6.2.21） 0101010001222x y zi S S S i -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭, ， （6.2.22） ,,x y z σσσ称为泡利矩阵。

因为任何22⨯的厄米矩阵都可表示为单位矩阵和 ,,x y zσσσ三个矩阵的线性组合，所以泡利矩阵非常有用。

现在求电子自旋算符对应的波函数。

在z S 表象中，由本征函数11222zS χχ±±=±（6.2.23） 即10110100221000011122⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭（6.2.24）（6.2.25）所以，z S 的本征函数为11221001χχ-⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, （6.2.26） 自旋算符用矩阵表示后，自旋算符的任一波函数G 也可表示为22⨯的矩阵 11122122G G G G G ⎛⎫= ⎪⎝⎭（6.2.27） 包含自旋在内的电子波函数可表示为12(,,,)(,,,2,)(,,,)(,,,)x y z t x y z t x y z t x y z t ψψψψ⎛⎫⎛⎫ψ== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ （6.2.28） 电子波函数的归一化必须同时对空间积分和对自旋求和，即121**2(,)1dr dr dr ψψψψψψ+⎛⎫ψψ= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰ 2212＝（＋）＝ （6.2.29） 由ψ给出的几率密度为2212ψψψψ＋＝＋ （6.2.30）表示在t 时刻，在(,,)x y z 点周围单位体积内找到电子的几率。

其中21ψ和22ψ分别表示在点周围单位体积内(,,)x y z 找到自旋2z S = 和2z S =- 的电子的几率。

则算符 G在ψ态中，对自旋求平均的结果是1211112**212221212(,)G G G G G G ψψψψψψψψψψψψ+⎛⎫⎛⎫<>=ψψ= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+++****111112221222 = G G G G （6.2.31） 算符 G在ψ态中，对坐标和自旋同时求平均的平均值为 G G d τ+<>=ψψ⎰ （6.2.32）6.4 两个角动量的耦合在同一个原子中，电子既有自旋角动量，又有轨道角动量，因此很自然的，总要讨论两个角动量之间的耦合。

对于多粒子体系，只要粒子具有角动量，总存在角动量之间耦合的问题。

而且，有许多问题，在耦合后得出的角动量表象中讨论会更方便。

1. 角动量升降算符设L 为轨道角动量算符,满足对易子L L i L ⨯= （6.3.1）对 2L 和 z L 的共同本征函数lm ψ， 2L 的本征值是2(1)l l + ， z L 的本征值是m ，l 和m 是角动量量子数和相应的z 分量角动量量子数。

显然，在 2(,)zL L 的共同表象中， 2L 和 z L 的 矩阵元分别是22,()(1)l m lm ll mm L l l δδ''''=+ （6.3.2）,()z l m lm ll mm L m δδ''''= （6.3.3） 引入算符 L +和 L -，令 x y L L iL +=+ （6.3.4） x yL L iL -=- （6.3.5） 则()()()z z x y x z y y z x x y z x y z L L L L iL L L i L i L L i L L iL L L iL L L L +++=+++-+++ = =(+) = （6.3.6）即[,]z L L L ++= （6.3.7） ()(1)z lm z lm lmL L L L m L ψψψ+++=+=+ （6.3.8） 上式表明， lm L ψ+也是 zL 的本征函数，本征值为(1)m + ，因此 lm L ψ+与,1l m ψ+最多相差一个常数，即有l ,1lm m l m L C ψψ++= （6.3.9）同理，可以证明[,]z L L L -+=- （6.3.10） (1)z lm lm L L m L ψψ--=- （6.3.11）l ,1lm m l m L C ψψ--'= （6.3.12）lm C 和lmC '是待定的常数。