精密仪器设计-误差理论
第三章 仪器设计的精度理论
粗大误差
是超出在规定条件下预期的误差，此误差值 较大，明显歪曲测量结果。 一般是由于疏忽或错误，在 测得值中出现的误差，在测量过程中，一旦出现这类误差， 应予以剔除。
精度
精度含义
精度与误差概念相反；精度高、低用误差来衡量。 误差大，精度低；误差小，精度高。
精度分为：
准确度：它是系统 误差大小的反映；
线性化
ห้องสมุดไป่ตู้z f tan
物镜
实际上为了减少工艺上的困 难，分划板是等间隔刻划的，即 形成如下关系：
z f
（tg ）
f'
自准直仪的原理误差
z
原理误差来源分析
这样不可避免地要产生原理误差z
z z z f tan f 3 f ( ) f 3 1 f 3 3
s 2 sin 0.2666 0.2705rad a 7.5 1 1 3 3 s a 7.5 0.2705 0.023686mm 于是原理误差为 6 6
原理误差分析方法举例
即原理误差几乎等于允许的示值误差，并大于 0.01mm 的刻度值，当然这是不允许的。因此，在这种情况下，对示 值范围应加以限制。 3 a s 1 3 s a 6a 6 在结构允许的条件 a s 下应尽量加大臂长a s一定
随机误差的大小，决定仪器示值的分散性，即精密度。 随机误差按其误差的分布规律，又分为：正态分布和非正态 分布两种。
正态分布
随机误差每次出现的情况虽无规律，但在相同测量 或工艺条件下，其误差值是按统计规律变化的。并且， 在大多数情形下，是服从正态分布的。
误差
非正态分布
大部分随机误差是服从正态分布的，但是大量的实践证明， 也有一部分随机误差的分布会偏离正态性，也就是产生了 非正态分布的随机误差，故在误差理论中，除了要讨论正 态分布的误差外，还要研究非正态分布的随机误差。
误差理论基础
例
用石油密度计测得柴油的视 密度为826.5kg/m3，已知此密度 计在820.0 kg/m3分度的修正值是 ＋0. 2kg/m3，830.0kg/m3分度的
修正值是＋0. 5kgபைடு நூலகம்m3，求修正后
的视密度。
返回
解： ∵x1＝820.0 kg/m3 Δx1＝＋0.2kg/m3 x2＝830.0kg/m3 Δx2＝＋0.5kg/m3 x＝826.5kg/m3 ∴Δx＝Δx1＋（Δx2－Δx1）/（x2－x1） ×（x－x1） ＝0.2＋（0.5－0.2）/（830.0－820.0） ×（826.5－820.0） ＝0.2＋0.195＝＋0.395 ∴ρt′＝826.5＋0.395＝826.895 ≈826.9 kg/m3
返回
量油尺的示值修正方法 对量油尺则一般按就近原则进行修 正，这是因为量油尺每米误差不会大于 ＋1mm（检定合格要求）。 设x1≤x≤x2，则有： 当x-x1＜x2－x时，取Δ x＝Δ x1； 当x-x1＞x2－x时，取Δ x＝Δ x2； 当x-x1＝x2－x时，取Δ x＝Δ x1，亦可 取Δ x ＝Δ x 2。
返回
例
用全浸式玻璃棒水银温度 计测得柴油的温度为28.6℃， 已知此温度计在20℃时的修正 值为－0.2℃，30℃时的修正值 为＋0.1℃，求修正后的实际油 温是多少？
返回
解： ∵x1＝20℃ Δx1＝－0.2℃ x2＝30℃ Δx2＝＋0.1℃ x＝28.6℃ ∴Δx＝Δx1＋（Δx2－Δx1）/（x2－x1） ×（x－x1） ＝－0.2＋[0.1－(－0.2)]/（30－20） ×（28.6－20） ＝－0.2＋0.258＝＋0.058 ∴ts＝28.6＋0.058＝28.658≈28.7℃
误差理论与数据处理
nx
×100%
◆ （4）方差（Variance） 方差（ 度量随机变量和其数学期望之间的偏离程度。 度量随机变量和其数学期望之间的偏离程度。
σ2 =
就是和中心偏离的程度。 就是和中心偏离的程度。在样本容 量相同的情况下，方差越大， 量相同的情况下，方差越大，说明 数据的波动越大， 数据的波动越大，越不稳定
2 数据处理
2.1 有效数字定义、运算规则
2.1.2 运算规则 （2）运算 ） ）：结果的末位数字所在的位置应按各量中存 ◆加（减）：结果的末位数字所在的位置应按各量中存 疑数字所在数位最少的一个为准来决定。 疑数字所在数位最少的一个为准来决定。
a. 30.4 + 4.325 = 34.725 → 34.7 b. 26.65 -3.905 = 22.745 → 22.74
106.25=1778279.41→1.8×106； pH=10.28→[H+]=5.2×10-11
2 数据处理
2.1 有效数字定义、运算规则
2.1.2 运算规则 （2）运算 ） 对数： ◆对数： lgx的有效数字位数由 的位数决定。 的有效数字位数由x的位数决定 的有效数字位数由 的位数决定。
1 误差理论
1.2 分类
1.2.2 系统误差、随机误差、过失误差
◆（3）过失误差 又称粗大误差和疏忽误差。 又称粗大误差和疏忽误差。是由过程中 的非随机事件如工艺泄漏、测量仪表失灵、 的非随机事件如工艺泄漏、测量仪表失灵、设备故障等引发的 测量数据严重失真现象， 测量数据严重失真现象，致使测量数据的真实值与测量值之间 出现显著差异的误差。 出现显著差异的误差。
2.1 有效数字定义、运算规则
2.1.1 定义
在一个近似数中，从左边第一个不是 的数字起 的数字起， 在一个近似数中，从左边第一个不是0的数字起，到精确到 的位数止，这中间所有的数字都叫这个近似数字的有效数字。 的位数止，这中间所有的数字都叫这个近似数字的有效数字。
测量仪器的精度误差
测量仪器的精度误差一、测量误差的定义误差常见的表示方法有：绝对误差、相对误差、引用误差。
1）绝对误差：测量值x*与其被测真值x之差称为近似值x*的绝对误差，简称ε。
计算公式：绝对误差= 测量值- 真实值；2）相对误差：测量所造成的绝对误差与被测量（约定）真值之比乘以100%所得的数值，以百分数表示。
计算公式：相对误差=（测量值- 真实值）/真实值×100%（即绝对误差占真实值的百分比）；3）测量的绝对误差与仪表的满量程值之比，称为仪表的引用误差，它常以百分数表示。
引用误差=（绝对误差的最大值/仪表量程）×100%引用误差越小，仪表的准确度越高，而引用误差与仪表的量程范围有关，所以在使用同一准确度的仪表时，往往采取压缩量程范围，以减小测量误差举个例子，使用万用表测得电压1.005V，假定电压真实值为1V，万用表量程10V，精度（引用误差）0.1%F.S，此时万用表测试误差是否在允许范围内？分析过程如下：绝对误差：E = 1.005V - 1V = +0.005V；相对误差：δ=0.005V/1V×100%=0.5%；万用表引用误差：10V×0.1%F.S=0.1V；因为绝对误差0.005V<0.1V，所以10V量程引用误差0.1%F.S的万用表，测量1V相对误差为0.5%，仍在误差允许范围内。
二、测量误差的产生绝对误差客观存在但人们无法确定得到，且绝对误差不可避免，相对误差可以尽量减少。
误差组成成分可分为随机误差与系统误差，即：误差=测量结果-真值=随机误差+系统误差因此任意一个误差均可分解为系统误差和随机误差的代数和系统误差：1）系统误差（Systematic error）定义：在重复性条件下，对同一被测量进行无限多次测量所得结果的平均值与被测量的真值之差。
产生原因：由于测量工具（或测量仪器）本身固有误差、测量原理或测量方法本身理论的缺陷、实验操作及实验人员本身心理生理条件的制约而带来的测量误差。
仪器精度理论
为什么会产生原理误差？
1）采用近似的理论和原理进行设计是为了简化设 计、简化制造工艺、简化算法和降低成本。
2）有些情况是由于理想的原理在设计中难以实现。
设计仪器时首先应分析原理误差。
分析原理误差的途径：
将仪器各个组成环节之间的实际关系与设计、计 算时采用的理论关系进行比较，如有差异，则存在原 理误差。
仪器的静态特性:当输入量不随时间的变化而变化或变
化十分缓慢时，输出Y与输入f(x)之间的关系。
希望呈线性关系
实际为非线性关系
仪器的线性度:
2、示值误差与示值重复性
•示值误差 •示值重复性
3、灵敏度与分辨力
•灵敏度 •分辨力 4、仪器的稳定性与漂移 •稳定性
•漂移
5、滞差
（二）仪器的动态特性与精度指标
•随机误差
•系统误差
• 粗大误差
一个正确的测量不应包含粗大误差，在误差分析时， 主要分析系统误差和随机误差，并应剔出粗大误差。
（2）按被测参数的时间特性区分
•静态参数误差 •动态参数误差 （3）按误差间的关系区分 •独立误差 •非独立误差
3、误差的表示方法
•绝对误差 Δi=xi-xo
能反映出误差的大小和方向
电场 磁场 湿度 压力
2-3 仪器误差的分析与计算
仪器误差分析
是为了寻找影响仪器精度根源及其规律。
仪器误差计算
是确定其对总精度的影响程度，以便正确地选择仪器设 计方案，合理地确定结构和技术参数，合理地设置误差 补偿环节----得到满足要求的总精度。
误差分析： •寻找仪器的误差源； •计算分析各个源误差对仪器精度的影响；
C2 仪器精度理论
主要内容： 分析影响仪器精度的各项误差来源及特性 研究误差的评定和计算方法（重点） 研究误差的传递、转化和相互作用的规律 （难点） 仪器误差的分析与合成（重点） 仪器误差的设计与分配（重点）
第二章 仪器精度理论
第二章仪器精度理论第一节概念辨析1、分辨力：显示装置能有效辨别的最小示值；分辨率：最小分辨力与量程的比值大小2、示值误差：测量仪器的示值与对应输入量真值之差3、重复性：相同测量条件下，短时间内重复测量同一个被测量，仪器示值的分散程度4、复现性：在变化的测量条件下，同一被测量的测量结果的稳定程度5、鉴别力：仪器感受微小量的敏感程度6、灵敏度：仪器输出的变化与对应输入变化之比7、稳定性和漂移：稳定性是指仪器保持其计量特性随时间恒定的能力；漂移是指仪器计量特性的慢变化8、测量误差：（1）随机误差：数值的大小和方向没有一定的规律，但总体服从统计规律；（2）系统误差：数值大小和方向恒定不变或随一定的规律变化；（3）粗大误差：超出规定条件所产生的误差，应剔除误差的表示方法：（1）绝对误差：测量值与真值之差；（2）相对误差：绝对误差与被测量真值的比值；1.引用误差：绝对误差的最大值与仪器示值范围的比值；②额定相对误差：示值绝对误差与示值的比值9、精度：精度是误差的反义词，精度的高低是用误差来衡量的。
误差越大，精度越低，反之越高（1）正确度：系统误差大小的反映，表征测量结果稳定接近真值的程度（2）精密度：随机误差大小的反映，表征测量结果的一致性或误差的分散系（3）准确度：系统误差和随机误差两者的综合反映，即正确度和精密度的结合10、示值范围（量程）和测量范围11、通常希望仪器的输入输出为一种特定的线性关系，如果仪器实际特性与规定特性不一致，就会产生非线性误差第二节仪器误差的来源与性质一、原理误差：采用近似的理论、数学模型、机构等近似处理所造成，只与仪器的设计有关，与制造使用无关例1、激光光束在传播中是高斯光束，不是球面波。
在用应用光学理论设计时，按球面波计算，带来原理误差例2、A/D 转换器的产生了量化误差（1）原理误差的分类：理论误差、方案误差、技术原理误差、机构原理误差、零件原理误差、电路系统原理误差原理误差的特点：它是产生在仪器设计过程中，是固有误差，从数学特征看，它是系统误差（2）减小原理误差的原则为：把原理误差控制在允许的范围内，简化结构、简化工艺、简化计算、降低成本（3）减小或消除原理误差影响：①补偿法：建立原理误差的数学模型，用微机在测量中加以补偿②调整法：正弦误差、正切误差，如有机构的情况下，可以通过调整机构的某些环节来减小原理误差。
误差理论、仪器精度分析基本概念和考点
名词解释：1. 测量范围：所谓测量范围只在允许误差范围内一起的被测量值的范围。
2. 滞差：在输入量由小逐渐增大再由大逐渐减小的过程中，对用一大小的输入量出现不同大小的输出量，这种由于测量行程方向的不同，对应于同一出入量产生输出的差异统称为滞差。
3. 零值误差：指当测量为零值时，测量仪器示值相对于零的差值，也可说是测量仪器的零位误差。
4. 示值误差：指测量仪器的示值与被测量的真值之差。
5. 齿轮空会：齿轮机构在工作状态下，输入轴方向回转时，输出轴产生的滞后量。
6. 准确度：测量仪器给出接近于真值的响应能力。
7. 等效节点：将一对共轭点A 和A ’用虚线连起来，次虚线和光轴的交点为J 0，则透镜绕点J 0微量转动，像点不懂，称为J 0透镜的等效节点，称过点J 0作光轴的垂面为等效接平面。
8. 螺旋线误差：螺杆旋转一个螺距周期，在同一半径的圆柱截面内，加工形成的螺旋线轨迹与理论螺旋线轨迹之差。
9. 灵敏度：即仪器对被测量变化的反应能力。
S=xL 10. 阿贝原则：所谓阿贝原则，即被测尺寸与标准尺寸在测量方向的同一直线上，或者说，被测量轴线只有在基准轴线的延长线上，才能得到精确的测量结果。
11. 螺距积累误差：在给定长度范围内，任意两牙间的距离对公称尺寸偏差的最大代数和。
12. 视差：指示器与标尺表面不在同一平面时，观察者偏离正确观测方向进行读数或瞄准时所引起的误差。
13. 漂移：指仪器特性随时间的缓慢变化，通常表现为零位或灵敏度随时间的缓慢变化，风别称为零点漂移和灵敏度漂移。
14. 等效节平面：将一对共轭点A 和A ’用虚线连起来，次虚线和光轴的交点为J 0，则透镜绕点J 0微量转动，像点不懂，称为J 0透镜的等效节点，称过点J 0作光轴的垂面为等效接平面。
15. 量化误差：由于脉冲数字系统中，用脉冲或数码表示连续变化的物理量，因此介于两个脉冲或两个数码之间的值只能用与它相接近的脉冲或数码表示，这样便产生了误差。
精度(误差)
1）准确度 它是系统误差大小的反映，表征测量结果稳定地接近真值
的程度。
2）精密度 它是随机误差大
准确度、精密度都高 （即精度高）
小的反映，表征测量结果的
一致性或误差的分散性。
准确度高，精密度低
准确度低，精密度高
3）精确度 它是系统误差和
随机误差两者的综合的反
映。表征测量结果与真值
之间的一致程度。
• 利用反馈技术与传感器相结合，构成闭环的“反馈—测量” 系统，可提高传感器测量系统的性能。闭环系统与开环系统 相比较，增加了“反馈环节” 。 • 在这样的闭环系统中，传感器和放大电路是前向环节，反向 传感器是反馈环节，因此可简化为：
A • 假设前向环节的传递函数为： A( s ) 1 s
• 式中：A—静态传递函数；τ—时间常数。 • 闭环系统的传递函数为：
H ( s) A( s) 1 A( s)
A A 1 A
• 式中：β为反馈环节的反馈系数。
A A A 1 A 1 s H (s) A s 1 s 1 1 1 s 1 A
1. 结构、材料与参数的合理选择 2. 差动技术 3. 平均技术
4. 补偿与校正
5. 稳定性处理 6. 屏蔽、隔离和干扰抑制 7. 零示法、微差法与闭环技术 8. 集成化与智能化
1.结构、材料与参数的合理选择
• 应根据实际的需要与可能，对传感器的结构、材料与 参数做出合理的选择。
• 选择的原则是：根据实际需要，确保主要指标，放宽 次要指标，以求得高的性能价格比。 • 具体地说，对从事传感器研究和生产的部门来说，应 形成满足不同使用要求的系列产品，供用户选择； • 而对用户而言，则应按实际需要，恰如其分地选用能 满足使用要求的产品，即使对主要的参数也切忌盲目 追求高指标。
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2、的含义
标准差σ是表征随机误差很重要的一个特征量，可
用于描述测量列中各个测得值的误差。因标准差σ甚为
重要，需进一步理解它的含义和对测量的作用。
例如：对某一量测试100次，得到测量值
x1,x2,,x100
标准差估计值 s
s 可作为表征测量列中每一个测得值误差的参数
新的误差，因此一般情况下取n=10左
右较为适宜。
例： 用仪器测量某电压10次，得到数据如下(单位为v)： 75.01，75.04，75.07，75.00，75.03，75.09，75.06，75.02， 75.08 。求：1）算术平均值及其标准差。2）电压的测量结果。
解：
x75.045v 75.05v
P=0.95( 2)，一般精密测量，应用广泛； P=0.9973( 3)，用于较重要的科研工作和精密仪器； P=0.9999( 4)，用于个别对可靠性要求特别高的科研
和精密测量工作；
二、随机变量的数字特征
描述随机变量分布特征的数值：随机变量的数字特征（理想化）
数学期望：位置特征
方差：分散性指标
Dx 标准差
量块或其它标准件尺寸的偏差，
均为恒定系统误差。
n
2、变值系统误差 变化系统误差指在整个测量过程中，误差的大小和
方向随测试的某一个或某几个因素按确定的函数规律而 变化，可分为三种：
① 线性系差（累进系差）：在 整个测量过程中，随某因素而线性递 增或递减的系统误差。如温度线性变 化引起的误差。
②周期系差：在整个测量过程中， 随某因素作周期变化的系统误差。如齿 轮转动引起的正弦误差。
-
=E(X 2 ) (EX )2
数字特征如何估计？
数学期望的估计（算术平均值）——
要求估计值在参考量附近摆动，作为无偏估计，就要证明估计值 的数学期望正好等于未知量（真值）
解决了有限次等精度测量中，如何估计被测量真值的问题
标准偏差及其估计（标准差或方均根误差）——
例：两组测量值
哪一组测量值更好？ 衡量的指标：标准差
一、随机误差的基本特点及分布
对称性
正负误差概率基本相等
单峰性
小误差出现概率大
随机误差
x xx0
抵偿性
正负误差可相互抵消
有界性
误差不会超过一定界线
多次测量，随机误差呈现出的规律
古典误差理论认为：随机误差服从正态分布
理论依据：中心极限定理 只要构成随机变量总和的各独立随机变量的
数目足够多，而且每个随机变量对总量的影响都 足够小，那么，随机变量总和的分布规律为正态 分布
离散：EX xiPi i
连续：EX
+
x(x)dx
-
随机变量关于其数学期望的偏离 程度比其他任何值的偏离程度都 小。如果x是测量值，那么Ex就 是该被测量值最可信赖的值（或 称概然值）
DX பைடு நூலகம்(X EX )2
离散：DX ( X EX )2 Pi i
连续：DX
+
(X
EX
)2 ( x)dx
残差分别求和，然后求其差值。如果不存在累进性系差，
该差值应近似为0；否则，可能比较大。不适于检验周期 性系差。
（2）阿贝-赫梅特准则（周期系差）
可以证明： n 如果测量服从正态分布，则： ii1 n 2 i1
周期系差存在判据为：
n
ii1 n2
i1
1、标准差的估计 ——贝赛尔公式
两边同除以n：
即
贝赛尔公式
贝赛尔公式估算条件：测量次数n比较大
ˆ 就是 的无偏估计
2、标准偏差的其他估算方法
1）别捷尔斯法（Peters） E( )
x
i
2） 极差法
ω n＝xmax - xmin
根据极差得分布函数，可以求出数学期望：
dn可查表得到，与测量次数有关：测量的次数越多，ωn大的概率
精密仪器设计
Design of Precision Instrument
仪器精度理论
——误差分析与处理
本章内容
1 仪器精度概述 2 误差基本理论 3 误差合成与分配（仪器精度分析与设计）
第一节 仪器精度概述
精度是精密仪器的一项重要指标，是由于仪器原理、 结构和制造装调等方面的不完善导致仪器测量值与被测量 真实值有一定偏差，这种偏差大小反应了仪器本身性能的 好坏，可用仪器本身缺陷所造成的误差大小来评定。
n
16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
1 Kn
n
1 Kn
0.48 0.48 0.47 0.47 0.46 0.46 0.45 0.45 0.45 0.44 0.44 0.44 0.44 0.43 0.43 2 3 4 5 6 7 8 9 10 15 20 25 30
0.000225
6
75.09
+0.045
0.002025
7
75.06
+0.015
0.000225
8
75.02
-0.025
0.000625
9
75.05
+0.005
0.000025
10
75.08
+0.035
0.001225
10
10
x75.04m5 m
vi 0
vi2 0.0082m5m2
i1
i1
nlm alx m in 7.0 5m 9 m 7.0 5m 0 m 0 .0m 9 m
制造方面 仪器零部件在制造过程中的公差
运行方面
仪器使用过程中的退化、磨损、应力变形等导致的 误差
误差的分类：
随机误差：偶然误差，不确定因素导致的误差，数值和方向 没有一定规律，但其总体服从统计规律。
系统误差：大小和方向在测量过程中恒定不变，或按照一定 规律变化的误差，可进行调节和修正。
粗大误差：由于疏忽或错误出现的误差，应予以剔除。
1.77 1.02 0.83 0.74 0.68 0.64 0.61 0.59 0.57 0.51 0.48 0.46 0.44
vi
0.04m 5 m
max
1 K 10
0.57
vK i1m0a x0.5 70.04m5m 0.02m 56m
3、四种计算方法的优缺点
① 贝塞尔公式的计算精度较高，但计算麻烦，需要乘方和开方等，其计算速度难 于满足快速自动化测量的需要；
随机变量 x
的取值
1 x1n(x11
x12
x1n)
1 x2n(x21
x22
x2n)
（多组测量列）
xmn 1(xm 1xm2 xmn)
xj
1 n(xj1xj2
xjn)
1
2 x
D (x)D [n(X1X2 Xn)]
n 1 2[D (X 1)D (X2) D (Xn)]
n12[222]
2 n
算数平均值的标准差：
x
n
即用 x 作为测量结果比用单次测量结果精度提高了 n 倍！
（多次测量的）算数平均值的标准差： x
n
增加测量次数，可以提高测量精
度，但测量精度是与n的平方根成反
比，因此要显著提高测量精度，必须
付出较大的劳动。
由图,σ 一定时，当n>10以后， x 的 减小很慢。此外，由于增加测量次数
难以保证测量条件的恒定，从而引入
差、测量过程中的温度、湿度按一
系
因素
定规律变化的误差等。
统
误
③ 测量方法的
采用近似的测量方法或计算公式引
差
因素
起的误差等。
④ 测量人员的 因素
测量人员固有的测量习性引起的误 差等。
一、系统误差的分类和特征
1、定值系统误差
在同一条件下，多次测量
同一测量值时，误差的绝对值
和正负符号保持不变。
如读数装置的调零误差、
（计数器计数误差）
反正弦分布
（电子测量振幅、微波测量由失 配引起的不确定度）
偏心分布(瑞利分布,rayleigh)
（雷达杂波包络分布）
均匀分布
（仪器制造中的公差）
2.2 系统误差
① 测量装置方 面的因素
仪器偏差、仪器设计原理缺陷、仪 器制造中的公差和安装的不正确等。
测量时的实际温度对标准温度的偏
② 环境方面的
③复杂系差：在整个测量过程中， 随某因素变化，误差按确定的更为复杂 的规律变化，称其为复杂规律变化的系 统误差。
二、系统误差的发现
1、定值系差的发现
（1）对比检定法（校准法）
改变测量条件进行测量，一般换更精密的仪器，求 出两次测量的算术平均值之差，即为定值系差。
如：改变测量次数 （2）均值与标准差比较法
正态分布及特性——
测量数据的概率密度函数：
真值
y(x)12exp[(x22 )2]
随机误差的概率密度函数：
误差
yf()12ex p 2[22]
说明了什么？
P(x)?0.6827
我们可以有68.27%的把握认为测量值的误差不超出
更一般的求解公式：拉普拉斯函数（或称正态分布积分）
P (t ti)2 1
三、测量结果的精度指标
1、误差 出现在 (,) 内的概率（置信度表示）
P( )
1
2
e
2d
2
令 t;ddt
1
2
e t2
2
dt
误差函数
( 令 ti)2 20 tie t2 2 d t et r i) f2 (( ti)
P(t)ert)f(2(t)
拉普拉斯函 数