第2讲 整式及其运算
备战中考数学分点透练真题整式及其运算(解析版)
第二讲整式及其运算命题1 列代数式及代数式求值类型一列代数式1．（2021•温州）某地居民生活用水收费标准：每月用水量不超过17立方米，每立方米a 元；超过部分每立方米（a+1.2）元．该地区某用户上月用水量为20立方米，则应缴水费为（）A．20a元B．（20a+24）元C．（17a+3.6）元D．（20a+3.6）元【解答】解：根据题意知：17a+（20﹣17）（a+1.2）＝（20a+3.6）（元）。
故选：D．2．（2021•青海）一个两位数，它的十位数字是x，个位数字是y，那么这个两位数是（）A．x+y B．10xy C．10（x+y）D．10x+y【解答】解：一个两位数，它的十位数字是x，个位数字是y，这个两位数10x+y．故选：D．类型二列代数式求值3．（2021•自贡）已知x2﹣3x﹣12＝0，则代数式﹣3x2+9x+5的值是（）A．31B．﹣31C．41D．﹣41【解答】解：∵x2﹣3x﹣12＝0，∴x2﹣3x＝12．原式＝﹣3（x2﹣3x）+5＝﹣3×12+5＝﹣36+5＝﹣31．故选：B．4．（2021•黔西南州）已知2a﹣5b＝3，则2+4a﹣10b＝．【解答】解：∵2a﹣5b＝3，∴2+4a﹣10b＝2+2（2a﹣5b）＝2+2×3＝8，故答案为：8．5．（2020•黔西南州）如图，是一个运算程序的示意图，若开始输入x的值为625，则第2020次输出的结果为．【解答】解：当x＝625时，x＝125，当x＝125时，x＝25，当x＝25时，x＝5，当x＝5时，x＝1，当x＝1时，x+4＝5，当x＝5时，x＝1，…依此类推，以5，1循环，（2020﹣2）÷2＝1009，能够整除，所以输出的结果是1，故答案为：1命题点2 整式的有关概念及运算类型一整式的有关概念4．（2021•上海）下列单项式中，a2b3的同类项是（）A．a3b2B．3a2b3C．a2b D．ab3【解答】解：A、字母a、b的指数不相同，不是同类项，故本选项不符合题意；B、有相同的字母，相同字母的指数相等，是同类项，故本选项符合题意；C、字母b的指数不相同，不是同类项，故本选项不符合题意；D、相同字母a的指数不相同，不是同类项，故本选项不符合题意；故选：B．5．（2020•日照）单项式﹣3ab的系数是（）A．3B．﹣3C．3a D．﹣3a 【解答】解：单项式﹣3ab的系数是﹣3．故选：B类型二整式的运算6．（2021•丽水）计算（﹣a）2•a4的结果是（）A．a6B．﹣a6C．a8D．﹣a8【解答】解：原式＝a2•a4＝a6，故选：A．7．（2021•淮安）计算（x5）2的结果是（）A．x3B．x7C．x10D．x25【解答】解：（x5）2＝x5×2＝x10．故选：C．8．（2021•新疆）下列运算正确的是（）A．2x2+3x2＝5x2B．x2•x4＝x8C．x6÷x2＝x3D．（xy2）2＝xy4【解答】解：A．2x2+3x2＝5x2,故此选项符合题意；B．x2•x4＝x6,故此选项不合题意；C．x6÷x2＝x4,故此选项不合题意；D．（xy2）2＝x2y4,故此选项不合题意；故选：A．9．（2021•兰州）计算：2a（a2+2b）＝（）A．a3+4ab B．2a3+2ab C．2a+4ab D．2a3+4ab 【解答】解：2a（a2+2b）＝2a•a2+2a•2b＝2a3+4ab．故选：D．10．（2020•宁夏）下列各式中正确的是（）A．a3•a2＝a6B．3ab﹣2ab＝1C．＝2a+1D．a（a﹣3）＝a2﹣3a【解答】解：A、a3•a2＝a5，所以A错误；B、3ab﹣2ab＝ab，所以B错误；C、，所以C错误；D、a（a﹣3）＝a2﹣3a，所以D正确；11．（2021•青海）已知单项式2a4b﹣2m+7与3a2m b n+2是同类项，则m+n＝．【解答】解：根据同类项的定义得：，∴，∴m+n＝2+1＝3，故答案为：3．故选：D．类型三乘法公式的应用及几何背景12．（2021•台州）已知（a+b）2＝49，a2+b2＝25，则ab＝（）A．24B．48C．12D．2【解答】解：（a+b）2＝a2+2ab+b2，将a2+b2＝25，（a+b）2＝49代入，可得2ab+25＝49，则2ab＝24，所以ab＝12，故选：C．13．（2019•枣庄）若m﹣＝3，则m2+＝．【解答】解：∵＝m2﹣2+＝9，∴m2+＝11，故答案为11．14．（2020•衢州）有一张边长为a厘米的正方形桌面，因为实际需要，需将正方形边长增加b厘米，木工师傅设计了如图所示的三种方案：小明发现这三种方案都能验证公式：a2+2ab+b2＝（a+b）2，对于方案一，小明是这样验证的：a2+ab+ab+b2＝a2+2ab+b2＝（a+b）2请你根据方案二、方案三，写出公式的验证过程．方案二：方案三：【解答】解：由题意可得，方案二：a2+ab+（a+b）b＝a2+ab+ab+b2＝a2+2ab+b2＝（a+b）2，方案三：a2+＝＝a2+2ab+b2＝（a+b）2．类型四整式的化简及求值考向1 整式的化简15．（2021•衡阳）计算：（x+2y）2+（x﹣2y）（x+2y）+x（x﹣4y）．【解答】解：原式＝(x2+4xy+4y2)+(x2﹣4y2)+(x2﹣4xy)＝x2+4xy+4y2+x2﹣4y2+x2﹣4xy＝3x2．考向2 整式的化简求值16．（2021•吉林）先化简，再求值：（x+2）（x﹣2）﹣x（x﹣1），其中x＝．【解答】解：（x+2）（x﹣2）﹣x（x﹣1）＝x2﹣4﹣x2+x＝x﹣4，当x＝时，原式＝﹣4＝﹣3．17．（2020•梧州）先化简，再求值：（2x+y）2+（x+y）（x﹣y）﹣5x（x﹣y），其中+|y+2|＝0．【解答】解：（2x+y）2+（x+y）（x﹣y）﹣5x（x﹣y）＝4x2+4xy+y2+x2﹣y2﹣5x2+5xy＝9xy，∵+|y+2|＝0，∴x﹣1＝0且y+2＝0，解得：x＝1，y＝﹣2，当x＝1，y＝﹣2时，原式＝9×1×（﹣2）＝﹣18．18．（2020•广东）先化简，再求值：（x+y）2+（x+y）（x﹣y）﹣2x2，其中x＝，y＝．【解答】解：（x+y）2+（x+y）（x﹣y）﹣2x2，＝x2+2xy+y2+x2﹣y2﹣2x2＝2xy，当x＝，y＝时，原式＝2××＝2．19．（2020•北京）已知5x2﹣x﹣1＝0，求代数式（3x+2）（3x﹣2）+x（x﹣2）的值．【解答】解：（3x+2）（3x﹣2）+x（x﹣2）＝9x2﹣4+x2﹣2x＝10x2﹣2x﹣4，∵5x2﹣x﹣1＝0，∴5x2﹣x＝1，∴原式＝2（5x2﹣x）﹣4＝﹣2．命题点3 因式分解及其应用20．（2020•柳州）下列多项式中，能用平方差公式进行因式分解的是（）A．a2﹣b2B．﹣a2﹣b2C．a2+b2D．a2+2ab+b2【解答】解：A、a2﹣b2符合平方差公式的特点，能用平方差公式进行因式分解；B、﹣a2﹣b2两平方项符号相同，不能用平方差公式进行因式分解；C、a2+b2两平方项符号相同，不能用平方差公式进行因式分解；D、a2+2ab+b2是三项，不能用平方差公式进行因式分解．故选：A．21．（2021•兰州）因式分解：x3﹣4x＝（）A．x（x2﹣4x）B．x（x+4）（x﹣4）C．x（x+2）（x﹣2）D．x（x2﹣4）【解答】解：x3﹣4x＝x（x2﹣4）＝x（x+2）（x﹣2）．故选：C．22．（2021•贺州）多项式2x3﹣4x2+2x因式分解为（）A．2x（x﹣1）2B．2x（x+1）2C．x（2x﹣1）2D．x（2x+1）2【解答】解：原式＝2x（x2﹣2x+1）＝2x（x﹣1）2．故选：A．23．（2019•沈阳）因式分解：﹣x2﹣4y2+4xy＝．【解答】解：﹣x2﹣4y2+4xy，＝﹣（x2+4y2﹣4xy），＝﹣（x﹣2y）2．24．（2021•十堰）已知xy＝2，x﹣3y＝3，则2x3y﹣12x2y2+18xy3＝．【解答】解：原式＝2xy（x2﹣6xy+9y2）＝2xy（x﹣3y）2，∵xy＝2，x﹣3y＝3，∴原式＝2×2×32＝4×9＝36，故答案为：36．命题点4 规律套索题类型一数式规律25．（2021•济宁）按规律排列的一组数据：，，□，，，，…，其中□内应填的数是（）A．B．C．D．【解答】解：观察这排数据发现：分子为连续的奇数，分母为序号的平方+1，∴第n个数据为：．当n＝3时，□的分子为5，分母＝32+1＝10，∴这个数为＝，故选：D．26．（2021•嘉峪关）一组按规律排列的代数式：a+2b，a2﹣2b3，a3+2b5，a4﹣2b7，…，则第n个式子是．【解答】解:观察代数式,得到第n个式子是:a n+(﹣1)n+1•2b2n﹣1．故答案为:a n+(﹣1)n+1•2b2n﹣1．类型二图形规律27．（2021•湘西州）古希腊数学家把1，3，6，10，15，21，…这样的数叫做三角形数，因为它的规律性可以用如图表示．根据图形，若把第一个图形表示的三角形数记为a1＝1，第二个图形表示的三角形数记为a2＝3，…，则第n个图形表示的三角形数a n＝.（用含n的式子表达）【解答】解：第1个图形表示的三角形数为1，第2个图形表示的三角形数为1+2＝3，第3个图形表示的三角形数为1+2+3＝6，第4个图形表示的三角形数为1+2+3+4＝10，....．第n个图形表示的三角形数为1+2+3+4+......+（n﹣1）+n＝．故答案为：．28．（2021•绥化）下面各图形是由大小相同的三角形摆放而成的，图①中有1个三角形，图②中有5个三角形，图③中有11个三角形，图④中有19个三角形…依此规律，则第n个图形中三角形个数是．【解答】解：观察图中三角形的个数与图形的序号的关系，有如下规律：第一个图形：12+0，第二个图形：22+1，第三个图形：32+2，第四个图形：42+3，•，第n个图形：n2+n﹣1．故答案为：n2+n﹣1．29．（2020•柳州）如图，每一幅图中有若干个菱形，第1幅图中有1个菱形，第2幅图中有3菱形．第3幅图中有5个菱形，依照此规律，第6幅图中有个菱形．【解答】解：根据题意分析可得：第1幅图中有1个．第2幅图中有2×2﹣1＝3个．第3幅图中有2×3﹣1＝5个．第4幅图中有2×4﹣1＝7个．…．可以发现，每个图形都比前一个图形多2个．故第n幅图中共有（2n﹣1）个．当n＝6时，2n﹣1＝2×6﹣1＝11，故答案为：11．30．（2020•赤峰）一个电子跳蚤在数轴上做跳跃运动．第一次从原点O起跳，落点为A1，点A1表示的数为1；第二次从点A1起跳，落点为OA1的中点A2，第三次从A2点起跳，落点为OA2的中点A3；如此跳跃下去…最后落点为OA2019的中点A2020，则点A2020表示的数为．【解答】解：第一次落点为A1处，点A1表示的数为1；第二次落点为OA1的中点A2，点A2表示的数为；第三次落点为OA2的中点A3，点A3表示的数为（）2；…则点A2020表示的数为（）2019，即点A2020表示的数为；故答案为：．。
专题02整式及其运算(原卷版)
专题02 整式及其运算一、单选题 1．（2023·四川乐山·统考中考真题）计算：2a a -=（ ）A ．aB ．a -C ．3aD ．12．（2023·四川眉山·统考中考真题）下列运算中，正确的是（ ）A ．3232a a a -=B ．()222a b a b +=+C ．322a b a a ÷=D ．()2242a b a b = 3．（2023·江西·统考中考真题）计算()322m 的结果为（ ）A ．68mB ．66mC ．62mD ．52m4．（2023·江苏苏州·统考中考真题）下列运算正确的是（ ）A ．32a a a -=B ．325a a a ⋅=C ．321a a ÷=D ．()23a a = 5．（2023·山东滨州·统考中考真题）下列计算，结果正确的是（ ）A ．235a a a ⋅=B ．()325a a =C ．33()ab ab =D ．23a a a ÷= 6．（2023·湖南·统考中考真题）计算：()23a =（ ）A ．5aB ．23aC ．26aD ．29a7．（2023·湖南常德·统考中考真题）若2340a a +-=，则2263a a +-=( )A ．5B ．1C ．1-D ．08．（2023·全国·统考中考真题）下列算式中，结果等于5a 的是（ ）A ．23a a +B ．23a a ⋅C ．23()aD ．102a a ÷ 9．（2023·浙江宁波·统考中考真题）下列计算正确的是( )A ．23x x x +=B ．632x x x ÷=C ．()437x x =D ．347x x x ⋅= 10．（2023·云南·统考中考真题）下列计算正确的是（ ）A ．236a a a ⋅=B ．22(3)6a a =C ．632a a a ÷=D ．22232a a a -= 11．（2023·新疆·统考中考真题）计算2432a a b ab ⋅÷的结果是（ ）A ．6aB ．6abC ．26aD ．226a b23．（2023·山东枣庄·统考中考真题）下列运算结果正确的是（ ）A ．4482x x x +=B ．()32626x x -=-C ．633x x x ÷=D ．236x x x ⋅=24．（2020春·云南玉溪·八年级统考期末）下列计算正确的是（ ）A ．3a +4b ＝7abB ．x 12÷x 6＝x 6C ．（a +2）2＝a 2+4D ．（ab 3）3＝ab 625．（2023·山西·统考中考真题）下列计算正确的是（ ）A ．236a a a ⋅=B ．()2236a b a b -=-C ．632a a a ÷=D ．()326a a = 26．（2023·湖北宜昌·统考中考真题）下列运算正确的是（ ）．A ．4322x x x ÷=B ．()437x x =C ．437x x x +=D ．3412x x x ⋅=27．（2023·湖南郴州·统考中考真题）下列运算正确的是（ ）A ．437a a a ⋅=B ．()325a a =C ．2232a a -=D ．()222a b a b -=- 28．（2023·广西·统考中考真题）下列计算正确的是（ ）A ．347a a a +=B ．347a a a ⋅=C ．437a a a ÷=D ．()437a a = 29．（2023·四川·统考中考真题）下列计算正确的是( )A ．22ab a b -=B ．236a a a ⋅=C ．233a b a a ÷=D ．222()()4a a a +-=-30．（2023·湖北荆州·统考中考真题）下列各式运算正确的是（ ）A ．23232332a b a b a b -=B ．236a a a ⋅=C ．623a a a ÷=D ．()325a a = 31．（2023·山东·统考中考真题）下列各式运算正确的是（ ）A ．236x x x ⋅=B ．1226x x x ÷=C ．222()x y x y +=+D ．()3263x y x y =32．（2023·山东·统考中考真题）下列运算正确的是（ ）A ．632a a a ÷=B ．235a a a ⋅=C ．()23622a a =D ．()222a b a b +=+ 33．（2023·湖南张家界·统考中考真题）下列运算正确的是（ ）A ．22(2)4x x +=+B ．248a a a ⋅=C ．()23624x x =D ．224235x x x +=34．（2023·黑龙江·统考中考真题）下列运算正确的是（ ）A ．22(2)4a a -=-B ．222()a b a b -=-C ．()()2224m m m -+--=-D ．()257a a = 35．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）下列计算正确的是（ ）A ．22434b b b +=B ．()246a a =C ．()224x x -=D ．326a a a ⋅=36．（2023·湖南·统考中考真题）下列计算正确的是（ ）A ．824a a a ÷=B ．23a a a +=C ．()325a a =D ．235a a a ⋅=37．（2023·内蒙古·统考中考真题）下列各式计算结果为5a 的是（ ）A ．()23aB ．102a a ÷C ．4a a ⋅D ．15(1)a --38．（2023·内蒙古赤峰·统考中考真题）已知2230a a --=，则2(23)(23)(21)a a a +-+-的值是（ ） A ．6 B ．5- C ．3- D ．439．（2023·内蒙古赤峰·统考中考真题）下列运算正确的是（ ）A ．()22346a b a b =B ．321ab ab -=C ．34()a a a -⋅=D ．222()a b a b +=+40．（2023·福建·统考中考真题）下列计算正确的是（ ）A ．()326a a =B ．623a a a ÷=C ．3412a a a ⋅=D ．2a a a -=41．（2023·广东深圳·统考中考真题）下列运算正确的是（ ）A ．326a a a ⋅=B ．44ab ab -=C ．()2211a a +=+D ．()236a a -=二、填空题42．（2023·湖南永州·统考中考真题）22a 与4ab 的公因式为________．43．（2023·天津·统考中考真题）计算()22xy 的结果为________． 44．（2023·河南·统考中考真题）某校计划给每个年级配发n 套劳动工具，则3个年级共需配发______套劳动工具．45．（2023·全国·统考中考真题）计算：(3)a b +=_________．46．（2022秋·上海·七年级专题练习）计算：2232a a -=________．47．（2023·湖北十堰·统考中考真题）若3x y +=，2y =，则22x y xy +的值是___________________．48．（2023·广东深圳·统考中考真题）已知实数a ，b ，满足6a b +=，7ab =，则22a b ab +的值为______． 49．（2023春·广东梅州·八年级校考阶段练习）计算：（a 2b ）3=___．三、解答题。
人教版七年级初中数学上册第二章整式的加减-整式的加减(整式加减运算)PPT课件
b
1.5a
2b
解：小纸盒的表面积是（2ab+2bc+2ca
）c2
大纸盒的表面积是（ 6ab+8bc+6ca）c2
新知探究
求 1 x 2( x 1 y 2 ) ( 3 x 1 y 2 ) 的值，其中 x 2, y 2
2
3
2
3
3
1
1 2
3
1 2
解： x 2( x y ) ( x y )
第二章 整式的加减
2.2.3 整 式 加 减 运 算
人教版七年级（初中）数学上册
授课老师：11
前 言
学习目标
1、熟练进行整式的加减运算。
2、利用去括号法则会进行整式的化简。
重点难点
重点：熟练进行整式的加减运算。
难点：利用去括号法则会进行整式的化简。
新知探究
(1)(2x-3y)+(5x+4y)
整式加减运算需注意：
A.14a+6b
B.7a+3b
C.10a+10b
D.12a+8b
提示：1.先求另一边边长。
2.长方形周长=(长+宽)*2
课堂练习
3.计算
(1) 3xy-4xy-(-2xy)
(2) (-x+2x2 +5)- (4x2 -3-6x)
课堂练习
4.填空
如果用a,b分别表示一个两位数的十位数字和个位数字，
小红买这种笔记本3本，买圆珠笔2支；
小明买这种笔记本4本，买圆珠笔3支.
问：买这些笔记本和圆珠笔，小红和小明一共花费多少钱？
分析
笔记本花费
圆珠笔花费
整式及其运算复习
（2）一般的，
a m n 幂的乘方： （1）法则： mn (a ) = a p mn p m n （2）一般的， [(a ) ] = a
a a
m. n.
…
a
p =
m+n+ … p
（1）法则：(ab)n=anbn ）法则： (2) 一般的：(abcd)n=anbn cndn 一般的：
分解因式的方法：
一般地,我们有 一般地 我们有 (a+b)2=a2+2ab+b2, (a-b) =
2 2-2ab a 2. +b
即两数和(或差 的平方,等于它们的平 两数和 或差)的平方 等于它们的平 或差 的平方 方和,加 或减 它们的积的2倍 或减)它们的积的 方和 加(或减 它们的积的 倍. 这两个公式叫做(乘法的 完全平方公 这两个公式叫做 乘法的)完全平方公 乘法的 式.
新知识新环节
m ÷ an 同底数幂除法的性质 a = m-n a
同底数幂相除，底数不变， 同底数幂相除，底数不变， 相除 指数相减 指数相减
零指数幂： 零指数幂：
任何不等于零的数的0次幂都等于1 任何不等于零的数的0次幂都等于1。
a0=1 (a≠0)
负指数幂：
a
−p
1 = p (a≠0) a
单项式除以单项式： 把系数、同底数幂分别相除，作为商 的因式，对于只在被除式里含有的字母， 则连同他的指数作为商的一个因式。 多项式除以单项式： 先把这个多项式的每一项除以这个单项 式，再把所得的商相加。
典型例题解析
【 例 5】 (1)多项式-2+4x y+6x(1)多项式-2+4x2y+6x-x3y2是 五 次 四 多项式 高次项的系数是 -1 ，常数项是 -2 排列为 . 2+6x+4x -2+6x+4x2y-x3y2 ( 2 ) 若由同类项的定义可知： 解： (2)由同类项的定义可知： 项式， 项式，其中最 ，按x的升幂
第2课 整式及其运算
(
)
【答案】
C
4．(2016· 江西)下列运算中，正确的是 ( A．a2＋a2＝a4 B．(－b2)3＝－b6 C．2x· 2x2 ＝ 2x3 D．(m－n)2＝m2－n2
)
【答案】
B
5．(2016· 杭州)下列各式变形中，正确的是 ( ) A．x2· x3＝x6 B． x2＝|x| 1 1 1 C．(x2－x)÷ x＝ x－ 1 D．x2－x＋1＝(x－x)2＋ 4
(4)同底数幂相除： － a m÷ an＝am n(m，n 都是整数，a≠0)．
6．整式乘法： 单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别 相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式． 单项式乘多项式：m (a＋b)＝ma＋mb． 多项式乘多项式：(a＋b)(c＋d)＝ac＋ad＋bc＋bd．
1．(2016· 柳州)在下列单项式中，与 2xy 是同类项的是( A．2x2y2 B． 3y C．xy D ． 4x
)
【答案】
C
2．(2016· 丽水)计算 32× 3 1 的结果是 A．3 B．－3 C．2 D．－2
－
(
)
【答案】
A
3．(2016· 泸州)计算 3a2－a2 的结果是 A．4a2 B． 3a2 C．2a2 D．2
【答案】
B
【类题演练 2】 (2016· 岳阳)下列运算结果正确的是( A．a2＋a3＝a5 B．(a2)3＝a6 C．a2· a3＝a6 D．3a－2a＝1
)
【解析】 A．a2 与 a3 不是同类项，不能合并，故本选项 错误． B．(a2)3＝a2×3＝a6，故本选项正确． ＋ C．a2· a3＝a2 3＝a5，故本选项错误． D．3a－2a＝a，故本选项错误．
第2讲 整式及其运算
三、解答题(共46分)
10.(10分)(2010·益阳中考)已知 x-1= 3 ，求代数式
(x+1)2-4(x+1)+4的值． 【解析】方法一：原式＝(x+1-2)2 ＝(x-1)2,当x-1= 3 时， 原式＝( 3 )2 ＝3.
方法二：由x-1= 3 得x= 3 +1，
化简原式＝x2+2x+1-4x-4+4
＝x2-2x+1
＝( 3 +1)2-2( 3 +1)+1 ＝ 3+2 3 +1-2 3 -2+1 ＝3.
11.(12分)若a2-2a-1=0，求代数式a4+ 【解析】由a2-2a-1=0可知a≠0，
1 1 =0,即a=2. a a 1 两边平方,得a2-2+ 2 =4, a 1 ∴a2+ 2 =6. a 两边再平方,得a4+2+ 14 =36, a ∴a4+ 14 =34. a
2.某工厂一月份产值为a万元，二月份比一月份增长5％，则 二月份产值为( ) (B)5%a万元 (D)(5%)2a万元
(A)(a+1)·5%万元 (C)(1+5%)a万元
【解析】选C.本题是一个增长率的实际应用问题，二月份是
在一月份的基础上增加5％，所以是a+5%a=(1+5%)a万元.故选
C.
费用为50+1.2×20=74元．
13.(12分)在通常的日历牌上，可以看到一些数所满足的规 律，图①是某年某月的一份日历，图②将40个数排成了5行8
列．
(1)如图①，用一个3×2的长方形框出的6个数中，将长方形
四角位置上的4个数交叉相乘，再相减，结果为12×17－
第2课 整式及其运算 因式分解(2)
解析：a3－ab2＝a(a2－b2)＝a(a＋b)(a－b)．
4．(2011·金华)下列各式能用完全平方公式进行分解因 式的是( D A．x2＋1 C．x2＋x＋1 ) B．x2＋2x－1 D．x2＋4x＋4
解析：只有x2＋4x＋4＝x2＋2·2x＋22＝(x＋2)2是完全
平方式．
5．(2011·天津)若实数x、y、z满足(x－z)2－4(x－y)(y－z)
＝(x＋2)(2x＋2)＝2(x＋2)(x＋1)
(3)(2011·芜湖)因式分解：x3－2x2y＋xy2＝ x(x－y)2 ；
解析：原式＝x(x2－2xy＋y2)＝x(x－y)2
(4)在实数范围内分解因式：x4－4.
解：原式＝(x2＋2)(x2－2)
＝(x2＋2)(x＋ 2 )(x－ 2 )．
题型五
2 ①－4x3y2＋28x2y－2xy＝ －2xy(2x y－14x＋1) ；
②6a2(x－y)2－3a(y－x)3＝ 3a(x－y)2(2a＋x－y) . 解析：①－4x3y2＋28x2y－2xy ＝－(4x3y2－28x2y＋2xy)
＝－2xy(2x2y－14x＋1)．
②6a2(x－y)2－3a(y－x)3 ＝6a2(x－y)2＋3a(x－y)3 ＝3a(x－y)2·[2a＋(x－y)] ＝3a(x－y)2(2a＋x－y)．
1 代入原式，可求得k. 2
知能迁移5
(1)(2011·衡阳)若m－n＝2，m＋n＝5，则m2－n2
．
的值为 10
解析：m2－n2＝(m＋n)(m－n)＝5×2＝10. (2)若△ABC的三边长分别为a、b、c，且a＋2ab＝c＋2bc，判断 △ABC的形状．
解：∵a＋2ab＝c＋2bc，
【一轮复习】2023年中考数真题分点透练-2 整式及其运算
第二讲整式及其运算【命题1 列代数式及代数式求值】类型一列代数式1．（2022•长沙）为落实“双减”政策，某校利用课后服务开展了主题为“书香满校园”的读书活动．现需购买甲，乙两种读本共100本供学生阅读，其中甲种读本的单价为10元/本，乙种读本的单价为8元/本，设购买甲种读本x本，则购买乙种读本的费用为（）A．8x元B．10（100﹣x）元C．8（100﹣x）元D．（100﹣8x）元2．（2022•杭州）某体育比赛的门票分A票和B票两种，A票每张x元，B票每张y元．已知10张A票的总价与19张B票的总价相差320元，则（）A．||＝320 B．||＝320C．|10x﹣19y|＝320 D．|19x﹣10y|＝3203．（2022•舟山）某动物园利用杠杆原理称象：如图，在点P处挂一根质地均匀且足够长的钢梁（呈水平状态），将装有大象的铁笼和弹簧秤（秤的重力忽略不计）分别悬挂在钢梁的点A，B处，当钢梁保持水平时，弹簧秤读数为k（N）．若铁笼固定不动，移动弹簧秤使BP扩大到原来的n（n＞1）倍，且钢梁保持水平，则弹簧秤读数为（N）（用含n，k的代数式表示）．类型二列代数式求值4．（2022•北碚区自主招生）已知x﹣y＝1，则代数式3x﹣3y+1的值是（）A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4 5．（2022•六盘水）已知（x+y）4＝a1x4+a2x3y+a3x2y2+a4xy3+a5y4，则a1+a2+a3+a4+a5的值是（）A．4 B．8 C．16 D．32 6．（2022•郴州）若＝，则＝．7.（2022•广西）阅读材料：整体代值是数学中常用的方法．例如“已知3a﹣b＝2，求代数式6a﹣2b﹣1的值．”可以这样解：6a﹣2b﹣1＝2（3a﹣b）﹣1＝2×2﹣1＝3．根据阅读材料，解决问题：若x＝2是关于x的一元一次方程ax+b＝3的解，则代数式4a2+4ab+b2+4a+2b﹣1的值是．8．（2022•岳阳）已知a2﹣2a+1＝0，求代数式a（a﹣4）+（a+1）（a﹣1）+1的值．9．（2022•苏州）已知3x2﹣2x﹣3＝0，求（x﹣1）2+x（x+）的值．【命题点2 整式的有关概念及运算】类型一整式的有关概念10．（2022•攀枝花）下列各式不是单项式的为（）A．3 B．a C．D．x2y 11．（2022•广东）单项式3xy的系数为．类型二整式的运算12．（2022•淮安）计算a2•a3的结果是（）A．a2B．a3C．a5D．a6 13．（2022•镇江）下列运算中，结果正确的是（）A．3a2+2a2＝5a4B．a3﹣2a3＝a3C．a2•a3＝a5D．（a2）3＝a514．（2022•淄博）计算（﹣2a3b）2﹣3a6b2的结果是（）A．﹣7a6b2B．﹣5a6b2C．a6b2D．7a6b2 15．（2022•毕节市）计算（2x2）3的结果，正确的是（）A．8x5B．6x5C．6x6D．8x616．（2022•河北）计算a3÷a得a？，则“？”是（）A．0 B．1 C．2 D．317．（2022•包头）若24×22＝2m，则m的值为（）A．8 B．6 C．5 D．2 18．（2022•黔西南州）计算（﹣3x）2•2x正确的是（）A．6x3B．12x3C．18x3D．﹣12x3 19．（2022•临沂）计算a（a+1）﹣a的结果是（）A．1 B．a2C．a2+2a D．a2﹣a+1 20．（2022•南通）已知实数m，n满足m2+n2＝2+mn，则（2m﹣3n）2+（m+2n）（m﹣2n）的最大值为（）A．24 B．C．D．﹣4 21．（2022•甘肃）计算：3a3•a2＝．22．（2022•常州）计算：m4÷m2＝．23．（2022•包头）若一个多项式加上3xy+2y2﹣8，结果得2xy+3y2﹣5，则这个多项式为．类型三乘法公式的应用及几何背景24．（2022•兰州）计算：（x+2y）2＝（）A．x2+4xy+4y2B．x2+2xy+4y2C．x2+4xy+2y2D．x2+4y2 25．（2022•百色）如图，是利用割补法求图形面积的示意图，下列公式中与之相对应的是（）A．（a+b）2＝a2+2ab+b2B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2C．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2D．（ab）2＝a2b226．（2022•滨州）若m+n＝10，mn＝5，则m2+n2的值为．27．（2022•德阳）已知（x+y）2＝25，（x﹣y）2＝9，则xy＝．28．（2022•大庆）已知代数式a2+（2t﹣1）ab+4b2是一个完全平方式，则实数t的值为．29．（2022•益阳）已知m，n同时满足2m+n＝3与2m﹣n＝1，则4m2﹣n2的值是．30．（2022•遵义）已知a+b＝4，a﹣b＝2，则a2﹣b2的值为．31．（2022•六盘水）如图，学校劳动实践基地有两块边长分别为a，b的正方形秧田A，B，其中不能使用的面积为M．（1）用含a，M的代数式表示A中能使用的面积；（2）若a+b＝10，a﹣b＝5，求A比B多出的使用面积．32．（2022•荆门）已知x+＝3，求下列各式的值：（1）（x﹣）2 （2）x4+．33．（2022•河北）发现两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和．验证如，（2+1）2+（2﹣1）2＝10为偶数．请把10的一半表示为两个正整数的平方和；探究设“发现”中的两个已知正整数为m，n，请论证“发现”中的结论正确．类型四整式的化简及求值考向1 整式的化简34.（2022•安顺）先化简，再求值：（x+3）2+（x+3）（x﹣3）﹣2x（x+1），考向2 整式的化简求值35.（2022•湖北）先化简，再求值：4xy﹣2xy﹣（﹣3xy），其中x＝2，y＝﹣1．36．（2022•盐城）先化简，再求值：（x+4）（x﹣4）+（x﹣3）2，其中x2﹣3x+1＝0．37．（2022•长春）先化简，再求值：（2+a）（2﹣a）+a（a+1），其中a＝﹣4．38．（2022•北京）已知x2+2x﹣2＝0，求代数式x（x+2）+（x+1）2的值．39．（2022•广西）先化简，再求值：（x+y）（x﹣y）+（xy2﹣2xy）÷x，其中x＝1，y＝．40.（2022•南充）先化简，再求值：（x+2）（3x﹣2）﹣2x（x+2），其中x＝﹣1．41．（2022•衡阳）先化简，再求值．（a+b）（a﹣b）+b（2a+b），其中a＝1，b＝﹣2．命题点3 因式分解及其应用42．（2022•济宁）下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是（）A．x2﹣x﹣1＝x（x﹣1）﹣1 B．x2﹣1＝（x﹣1）2C．x2﹣x﹣6＝（x﹣3）（x+2）D．x（x﹣1）＝x2﹣x 43．（2022•柳州）把多项式a2+2a分解因式得（）A．a（a+2）B．a（a﹣2）C．（a+2）2D．（a+2）（a﹣2）44．（2022•广州）分解因式：3a2﹣21ab＝．45．（2022•常州）分解因式：x2y+xy2＝．46．（2022•河池）多项式x2﹣4x+4因式分解的结果是（）A．x（x﹣4）+4 B．（x+2）（x﹣2）C．（x+2）2D．（x﹣2）2 47．（2022•菏泽）分解因式：x2﹣9y2＝．48．（2022•绥化）因式分解：（m+n）2﹣6（m+n）+9＝．49．（2022•绵阳）因式分解：3x3﹣12xy2＝．50．（2022•丹东）因式分解：2a2+4a+2＝．51．（2022•巴中）因式分解：﹣a3+2a2﹣a＝．【命题点4 规律套索题】类型一数式规律52．（2022•西藏）按一定规律排列的一组数据：，﹣，，﹣，，﹣，…．则按此规律排列的第10个数是（）A．﹣B．C．﹣D．53．（2022•新疆）将全体正偶数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第10行第5个数是（）A．98 B．100 C．102 D．104 54．（2022•云南）按一定规律排列的单项式：x，3x2，5x3，7x4，9x5，……，第n个单项式是（）A．（2n﹣1）x n B．（2n+1）x n C．（n﹣1）x n D．（n+1）x n 55．（2022•徐汇区校级自主招生）设x1，x2，x3，…，x100是整数，且满足下列条件：①﹣1≤x i≤2，i＝1，2，3， (100)②x1+x2+x3+…+x100＝20；③x12+x22+x32+…+x1002＝100，则x13+x23+x33+…+x1003的最小值和最大值的和为．56．（2022•恩施州）观察下列一组数：2，，，…，它们按一定规律排列，第n个数记为a n，且满足+＝．则a4＝，a2022＝．57．（2022•泰安）将从1开始的连续自然数按以下规律排列：若有序数对（n，m）表示第n行，从左到右第m个数，如（3，2）表示6，则表示99的有序数对是．类型二图形规律58．（2022•济宁）如图，用相同的圆点按照一定的规律拼出图形．第一幅图4个圆点，第二幅图7个圆点，第三幅图10个圆点，第四幅图13个圆点……按照此规律，第一百幅图中圆点的个数是（）A．297 B．301 C．303 D．400 59．（2022•广州）如图，用若干根相同的小木棒拼成图形，拼第1个图形需要6根小木棒，拼第2个图形需要14根小木棒，拼第3个图形需要22根小木棒……若按照这样的方法拼成的第n个图形需要2022根小木棒，则n的值为（）A．252 B．253 C．336 D．337 60．（2022•江西）将字母“C”，“H”按照如图所示的规律摆放，依次下去，则第4个图形中字母“H”的个数是（）A．9 B．10 C．11 D．12 61．（2022•重庆）用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有5个正方形，第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有13个正方形，第④个图案中有17个正方形，此规律排列下去，则第⑨个图案中正方形的个数为（）A．32 B．34 C．37 D．4162.（2022•黑龙江）如图所示，以O为端点画六条射线OA，OB，OC，OD，OE，OF，再从射线OA上某点开始按逆时针方向依次在射线上描点并连线，若将各条射线所描的点依次记为1，2，3，4，5，6，7，8…后，那么所描的第2013个点在射线上．答案与解析【命题1 列代数式及代数式求值】类型一列代数式1．（2022•长沙）为落实“双减”政策，某校利用课后服务开展了主题为“书香满校园”的读书活动．现需购买甲，乙两种读本共100本供学生阅读，其中甲种读本的单价为10元/本，乙种读本的单价为8元/本，设购买甲种读本x本，则购买乙种读本的费用为（）A．8x元B．10（100﹣x）元C．8（100﹣x）元D．（100﹣8x）元【答案】C【解答】解：设购买甲种读本x本，则购买乙种读本的费用为：8（100﹣x）元．故选：C．2．（2022•杭州）某体育比赛的门票分A票和B票两种，A票每张x元，B票每张y元．已知10张A票的总价与19张B票的总价相差320元，则（）A．||＝320 B．||＝320C．|10x﹣19y|＝320 D．|19x﹣10y|＝320【答案】C【解答】解：由题意可得：|10x﹣19y|＝320．故选：C．3．（2022•舟山）某动物园利用杠杆原理称象：如图，在点P处挂一根质地均匀且足够长的钢梁（呈水平状态），将装有大象的铁笼和弹簧秤（秤的重力忽略不计）分别悬挂在钢梁的点A，B处，当钢梁保持水平时，弹簧秤读数为k（N）．若铁笼固定不动，移动弹簧秤使BP扩大到原来的n（n＞1）倍，且钢梁保持水平，则弹簧秤读数为（N）（用含n，k的代数式表示）．【答案】【解答】解：如图，设装有大象的铁笼重力为aN，将弹簧秤移动到B′的位置时，弹簧秤的度数为k′，由题意可得BP•k＝PA•a，B′P•k′＝PA•a，∴BP•k＝B′P•k′，又∵B′P＝nBP，∴k′＝＝，故答案为：．类型二列代数式求值4．（2022•北碚区自主招生）已知x﹣y＝1，则代数式3x﹣3y+1的值是（）A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4【答案】C【解答】解：∵x﹣y＝1，∴3x﹣3y+1＝3（x﹣y）+1＝3×1+1＝4．故选：C．5．（2022•六盘水）已知（x+y）4＝a1x4+a2x3y+a3x2y2+a4xy3+a5y4，则a1+a2+a3+a4+a5的值是（）A．4 B．8 C．16 D．32【答案】C【解答】解：∵（x+y）4＝x4+4x3y+6x2y2+4xy3+y4，∴a1+a2+a3+a4+a5＝1+4+6+4+1＝16，故选：C．6．（2022•郴州）若＝，则＝．【答案】【解答】解：根据＝得3a＝5b，则＝．故答案为：．7.（2022•广西）阅读材料：整体代值是数学中常用的方法．例如“已知3a﹣b＝2，求代数式6a﹣2b﹣1的值．”可以这样解：6a﹣2b﹣1＝2（3a﹣b）﹣1＝2×2﹣1＝3．根据阅读材料，解决问题：若x＝2是关于x的一元一次方程ax+b＝3的解，则代数式4a2+4ab+b2+4a+2b﹣1的值是．【答案】14【解答】解：∵x＝2是关于x的一元一次方程ax+b＝3的解，∴2a+b＝3，∴b＝3﹣2a，∴4a2+4ab+b2+4a+2b﹣1＝4a2+4a（3﹣2a）+（3﹣2a）2+4a+2（3﹣2a）﹣1＝4a2+12a﹣8a2+9﹣12a+4a2+4a+6﹣4a﹣1＝14．解法二：原式＝（2a+b）2+2（2a+b）﹣1＝32+2×3﹣1＝14，故答案为：14．8．（2022•岳阳）已知a2﹣2a+1＝0，求代数式a（a﹣4）+（a+1）（a﹣1）+1的值．【解答】解：a（a﹣4）+（a+1）（a﹣1）+1＝a2﹣4a+a2﹣1+1＝2a2﹣4a＝2（a2﹣2a），∵a2﹣2a+1＝0，∴a2﹣2a＝﹣1，∴原式＝2×（﹣1）＝﹣2．9．（2022•苏州）已知3x2﹣2x﹣3＝0，求（x﹣1）2+x（x+）的值．【解答】解：原式＝x2﹣2x+1+x2+x＝2x2﹣x+1，∵3x2﹣2x﹣3＝0，∴x2﹣x＝1，∴原式＝2（x2﹣x）+1＝2×1+1＝3．【命题点2 整式的有关概念及运算】类型一整式的有关概念10．（2022•攀枝花）下列各式不是单项式的为（）A．3 B．a C．D．x2y 【答案】C【解答】解：A、3是单项式，故本选项不符合题意；B、a是单项式，故本选项不符合题意；C、不是单项式，故本选项符合题意；D、x2y是单项式，故本选项不符合题意；故选：C．11．（2022•广东）单项式3xy的系数为．【答案】3【解答】解：单项式3xy的系数为3．故答案为：3．类型二整式的运算12．（2022•淮安）计算a2•a3的结果是（）A．a2B．a3C．a5D．a6【答案】C【解答】解：a2•a3＝a5．13．（2022•镇江）下列运算中，结果正确的是（）A．3a2+2a2＝5a4B．a3﹣2a3＝a3C．a2•a3＝a5D．（a2）3＝a5【答案】C【解答】解：A.3a2+2a2＝5a2，故此选项不合题意；B．a3﹣2a3＝﹣a3，故此选项不合题意；C．a2•a3＝a5，故此选项符合题意；D．（a2）3＝a6，故此选项不合题意；故选：C．14．（2022•淄博）计算（﹣2a3b）2﹣3a6b2的结果是（）A．﹣7a6b2B．﹣5a6b2C．a6b2D．7a6b2【答案】C【解答】解：原式＝4a6b2﹣3a6b2＝a6b2，故选：C．15．（2022•毕节市）计算（2x2）3的结果，正确的是（）A．8x5B．6x5C．6x6D．8x6【答案】D【解答】解：（2x2）3＝8x6．故选：D．16．（2022•河北）计算a3÷a得a？，则“？”是（）A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C【解答】解：根据同底数幂的除法可得：a3÷a＝a2，∴？＝2，故选：C．17．（2022•包头）若24×22＝2m，则m的值为（）A．8 B．6 C．5 D．2 【答案】B【解答】解：∵24×22＝24+2＝26＝2m，故选：B．18．（2022•黔西南州）计算（﹣3x）2•2x正确的是（）A．6x3B．12x3C．18x3D．﹣12x3【答案】C【解答】解：（﹣3x）2•2x＝9x2•2x＝18x3．故选：C．19．（2022•临沂）计算a（a+1）﹣a的结果是（）A．1 B．a2C．a2+2a D．a2﹣a+1【答案】B【解答】解：a（a+1）﹣a＝a2+a﹣a＝a2，故选：B20．（2022•南通）已知实数m，n满足m2+n2＝2+mn，则（2m﹣3n）2+（m+2n）（m﹣2n）的最大值为（）A．24 B．C．D．﹣4【答案】B【解答】解：方法1、∵m2+n2＝2+mn，∴（2m﹣3n）2+（m+2n）（m﹣2n）＝4m2+9n2﹣12mn+m2﹣4n2＝5m2+5n2﹣12mn＝5（mn+2）﹣12mn＝10﹣7mn，∵m2+n2＝2+mn，∴（m+n）2＝2+3mn≥0（当m+n＝0时，取等号），∴mn≥﹣，∴（m﹣n）2＝2﹣mn≥0（当m﹣n＝0时，取等号），∴mn≤2，∴﹣≤mn≤2，∴﹣14≤﹣7mn≤，∴﹣4≤10﹣7mn≤，即（2m﹣3n）2+（m+2n）（m﹣2n）的最大值为，故选：B．方法2、设m+n＝k，则m2+2mn+n2＝k2，∴mn+2+2mn＝k2，∴mn＝k2﹣，∴原式＝10﹣7mn＝﹣k2+≤，故选：B．21．（2022•甘肃）计算：3a3•a2＝．【答案】3a5【解答】解：原式＝3a3+2＝3a5．故答案为：3a5．22．（2022•常州）计算：m4÷m2＝．【答案】m2【解答】解：m4÷m2＝m4﹣2＝m2．故答案为：m223．（2022•包头）若一个多项式加上3xy+2y2﹣8，结果得2xy+3y2﹣5，则这个多项式为．【答案】y2﹣xy+3【解答】解：由题意得，这个多项式为：（2xy+3y2﹣5）﹣（3xy+2y2﹣8）＝2xy+3y2﹣5﹣3xy﹣2y2+8＝y2﹣xy+3．故答案为：y2﹣xy+3．类型三乘法公式的应用及几何背景24．（2022•兰州）计算：（x+2y）2＝（）A．x2+4xy+4y2B．x2+2xy+4y2C．x2+4xy+2y2D．x2+4y2【答案】A【解答】解：（x+2y）2＝x2+4xy+4y2．故选：A．25．（2022•百色）如图，是利用割补法求图形面积的示意图，下列公式中与之相对应的是（）A．（a+b）2＝a2+2ab+b2B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2C．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2D．（ab）2＝a2b2【答案】A【解答】解：根据题意，大正方形的边长为a+b，面积为（a+b）2，由边长为a的正方形，2个长为a宽为b的长方形，边长为b的正方形组成，所以（a+b）2＝a2+2ab+b2．故选：A．26．（2022•滨州）若m+n＝10，mn＝5，则m2+n2的值为．【答案】90【解答】解：∵m+n＝10，mn＝5，∴m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝102﹣2×5＝100﹣10＝90．故答案为：90．27．（2022•德阳）已知（x+y）2＝25，（x﹣y）2＝9，则xy＝．【答案】4【解答】解：∵（x+y）2＝x2+y2+2xy＝25，（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy＝9，∴两式相减得：4xy＝16，则xy＝4．故答案为：428．（2022•大庆）已知代数式a2+（2t﹣1）ab+4b2是一个完全平方式，则实数t的值为．【答案】或﹣．【解答】解：根据题意可得，（2t﹣1）ab＝±（2×2）ab，即2t﹣1＝±4，解得：t＝或t＝．故答案为：或﹣．29．（2022•益阳）已知m，n同时满足2m+n＝3与2m﹣n＝1，则4m2﹣n2的值是．【答案】3【解答】解：∵2m+n＝3，2m﹣n＝1，∴4m2﹣n2＝（2m+n）（2m﹣n）＝3×1＝3．故答案为：3．30．（2022•遵义）已知a+b＝4，a﹣b＝2，则a2﹣b2的值为．【答案】8【解答】解：∵a+b＝4，a﹣b＝2，∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝4×2＝8，故答案为：8．31．（2022•六盘水）如图，学校劳动实践基地有两块边长分别为a，b的正方形秧田A，B，其中不能使用的面积为M．（1）用含a，M的代数式表示A中能使用的面积；（2）若a+b＝10，a﹣b＝5，求A比B多出的使用面积．【解答】解：（1）A中能使用的面积＝大正方形的面积﹣不能使用的面积，即a2﹣M，故答案为：a2﹣M；（2）A比B多出的使用面积为：（a2﹣M）﹣（b2﹣M）＝a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝10×5＝50，答：A比B多出的使用面积为50．32．（2022•荆门）已知x+＝3，求下列各式的值：（1）（x﹣）2；（2）x4+．【解答】解：（1）∵＝，∴＝＝＝﹣4x•＝32﹣4＝5；（2）∵＝，∴＝+2＝5+2＝7，∵＝，∴＝﹣2＝49﹣2＝47．33．（2022•河北）发现两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和．验证如，（2+1）2+（2﹣1）2＝10为偶数．请把10的一半表示为两个正整数的平方和；探究设“发现”中的两个已知正整数为m，n，请论证“发现”中的结论正确．【解答】解：验证：10的一半为5，5＝1+4＝12+22，探究：两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和．理由如下：（m+n）2+（m﹣n）2＝m2+2mn+n2+m2﹣2mn+n2＝2m2+2n2＝2（m2+n2），故两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和．类型四整式的化简及求值考向1 整式的化简34.（2022•安顺）先化简，再求值：（x+3）2+（x+3）（x﹣3）﹣2x（x+1），【解答】解：（x+3）2+（x+3）（x﹣3）﹣2x（x+1）＝x2+6x+9+x2﹣9﹣2x2﹣2x考向2 整式的化简求值35.（2022•湖北）先化简，再求值：4xy﹣2xy﹣（﹣3xy），其中x＝2，y＝﹣1．【解答】解：4xy﹣2xy﹣（﹣3xy）＝4xy﹣2xy+3xy＝5xy，当x＝2，y＝﹣1时，原式＝5×2×（﹣1）＝﹣10．36．（2022•盐城）先化简，再求值：（x+4）（x﹣4）+（x﹣3）2，其中x2﹣3x+1＝0．【解答】解：原式＝x2﹣16+x2﹣6x+9＝2x2﹣6x﹣7，∵x2﹣3x+1＝0，∴x2﹣3x＝﹣1，∴2x2﹣6x＝﹣2，∴原式＝﹣2﹣7＝﹣9．37．（2022•长春）先化简，再求值：（2+a）（2﹣a）+a（a+1），其中a＝﹣4．【解答】解：（2+a）（2﹣a）+a（a+1）＝4﹣a2+a2+a＝4+a，当a＝﹣4时，原式＝4+﹣4＝．38．（2022•北京）已知x2+2x﹣2＝0，求代数式x（x+2）+（x+1）2的值．【解答】解：x（x+2）+（x+1）2＝x2+2x+x2+2x+1＝2x2+4x+1，∵x2+2x﹣2＝0，∴x2+2x＝2，∴当x2+2x＝2时，原式＝2（x2+2x）+1＝2×2+1＝4+139．（2022•广西）先化简，再求值：（x+y）（x﹣y）+（xy2﹣2xy）÷x，其中x＝1，y＝．【解答】解：（x+y）（x﹣y）+（xy2﹣2xy）÷x＝x2﹣y2+y2﹣2y＝x2﹣2y，当x＝1，y＝时，原式＝12﹣2×＝0．40.（2022•南充）先化简，再求值：（x+2）（3x﹣2）﹣2x（x+2），其中x＝﹣1．【解答】解：原式＝（x+2）（3x﹣2﹣2x）＝（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4，当x＝﹣1时，原式＝（﹣1）2﹣4＝﹣2．41．（2022•衡阳）先化简，再求值．（a+b）（a﹣b）+b（2a+b），其中a＝1，b＝﹣2．【解答】解：（a+b）（a﹣b）+b（2a+b）＝a2﹣b2+2ab+b2＝a2+2ab，将a＝1，b＝﹣2代入上式得：原式＝12+2×1×（﹣2）＝1﹣4＝﹣3．命题点3 因式分解及其应用42．（2022•济宁）下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是（）A．x2﹣x﹣1＝x（x﹣1）﹣1 B．x2﹣1＝（x﹣1）2C．x2﹣x﹣6＝（x﹣3）（x+2）D．x（x﹣1）＝x2﹣x【答案】C【解答】解：A选项不是因式分解，故不符合题意；B选项计算错误，故不符合题意；C选项是因式分解，故符合题意；D选项不是因式分解，故不符合题意；故选：C．43．（2022•柳州）把多项式a2+2a分解因式得（）A．a（a+2）B．a（a﹣2）C．（a+2）2D．（a+2）（a﹣2）【答案】A【解答】解：a2+2a＝a（a+2）．故选：A．44．（2022•广州）分解因式：3a2﹣21ab＝．【答案】3a（a﹣7b）【解答】解：3a2﹣21ab＝3a（a﹣7b）．故答案为：3a（a﹣7b）．45．（2022•常州）分解因式：x2y+xy2＝．【答案】xy（x+y）【解答】解：x2y+xy2＝xy（x+y）．故答案为：xy（x+y）．46．（2022•河池）多项式x2﹣4x+4因式分解的结果是（）A．x（x﹣4）+4 B．（x+2）（x﹣2）C．（x+2）2D．（x﹣2）2【答案】D【解答】解：原式＝（x﹣2）2．故选：D．47．（2022•菏泽）分解因式：x2﹣9y2＝．【答案】（x﹣3y）（x+3y）【解答】解：原式＝（x﹣3y）（x+3y）．故答案为：（x﹣3y）（x+3y）．48．（2022•绥化）因式分解：（m+n）2﹣6（m+n）+9＝．【答案】（m+n﹣3）2【解答】解：原式＝（m+n）2﹣2•（m+n）•3+32＝（m+n﹣3）2．故答案为：（m+n﹣3）2．49．（2022•绵阳）因式分解：3x3﹣12xy2＝．【答案】3x（x+2y）（x﹣2y）【解答】解：原式＝3x（x2﹣4y2）＝3x（x+2y）（x﹣2y）．故答案为：3x（x+2y）（x﹣2y）．50．（2022•丹东）因式分解：2a2+4a+2＝．【答案】2（a+1）2【解答】解：原式＝2（a2+2a+1）＝2（a+1）2．故答案为：2（a+1）2．51．（2022•巴中）因式分解：﹣a3+2a2﹣a＝．【答案】﹣a（a﹣1）2【解答】解：原式＝﹣a（a2﹣2a+1）＝﹣a（a﹣1）2．故答案为：﹣a（a﹣1）2．【命题点4 规律套索题】类型一数式规律52．（2022•西藏）按一定规律排列的一组数据：，﹣，，﹣，，﹣，…．则按此规律排列的第10个数是（）A．﹣B．C．﹣D．【答案】A【解答】解：原数据可转化为：，﹣，，﹣，，﹣，…，∴＝（﹣1）1+1×，﹣＝（﹣1）2+1×，＝（﹣1）3+1×，..．∴第n个数为：（﹣1）n+1，∴第10个数为：（﹣1）10+1×＝﹣．故选：A．53．（2022•新疆）将全体正偶数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第10行第5个数是（）A．98 B．100 C．102 D．104【答案】B【解答】解：由三角形的数阵知，第n行有n个偶数，则得出前9行有1+2+3+4+5+6+7+8+9＝45个偶数，∴第9行最后一个数为90，∴第10行第5个数是90+2×5＝100，故选：B．54．（2022•云南）按一定规律排列的单项式：x，3x2，5x3，7x4，9x5，……，第n个单项式是（）A．（2n﹣1）x n B．（2n+1）x n C．（n﹣1）x n D．（n+1）x n【答案】A【解答】解：∵单项式：x，3x2，5x3，7x4，9x5，…，∴第n个单项式为（2n﹣1）x n，故选：A．55．（2022•徐汇区校级自主招生）设x1，x2，x3，…，x100是整数，且满足下列条件：①﹣1≤x i≤2，i＝1，2，3， (100)②x1+x2+x3+…+x100＝20；③x12+x22+x32+…+x1002＝100，则x13+x23+x33+…+x1003的最小值和最大值的和为．【答案】160【解答】解：由题意可设x1，x2，x3，…，x100中有a个﹣1，b个0，c个1，d个2，则a+b+c+d＝100，﹣a+c+2d＝20，a+c+4d＝100，可得a＝40﹣d，b＝3d，c＝60﹣3d，∴x13+x23+x33+…+x1003＝﹣a+c+8d＝20+6d，由，解得：0≤d≤20，∴当d＝0时，x13+x23+x33+…+x1003的最小值为20，当d＝20时，x13+x23+x33+…+x1003的最大值为140．∴x13+x23+x33+…+x1003的最小值和最大值的和为160．故答案为：160．56．（2022•恩施州）观察下列一组数：2，，，…，它们按一定规律排列，第n个数记为a n，且满足+＝．则a4＝，a2022＝．【答案】【解答】解：由题意可得：a1＝2＝，a2＝＝，a3＝，∵+＝，∴2+＝7，∴a4＝＝，∵＝，∴a5＝，同理可求a6＝＝，•∴a n＝，∴a2022＝，故答案为：，．57．（2022•泰安）将从1开始的连续自然数按以下规律排列：若有序数对（n，m）表示第n行，从左到右第m个数，如（3，2）表示6，则表示99的有序数对是．【答案】（10，18）【解答】解：∵第n行的最后一个数是n2，第n行有（2n﹣1）个数，∴99＝102﹣1在第10行倒数第二个，第10行有：2×10﹣1＝19个数，∴99的有序数对是（10，18）．故答案为：（10，18）．类型二图形规律58．（2022•济宁）如图，用相同的圆点按照一定的规律拼出图形．第一幅图4个圆点，第二幅图7个圆点，第三幅图10个圆点，第四幅图13个圆点……按照此规律，第一百幅图中圆点的个数是（）A．297 B．301 C．303 D．400【答案】B【解答】解：观察图形可知：摆第1个图案需要4个圆点，即4+3×0；摆第2个图案需要7个圆点，即4+3＝4+3×1；摆第3个图案需要10个圆点，即4+3+3＝4+3×2；摆第4个图案需要13个圆点，即4+3+3+3＝4+3×3；…第n个图摆放圆点的个数为：4+3（n﹣1）＝3n+1，∴第100个图放圆点的个数为：3×100+1＝301．故选：B59．（2022•广州）如图，用若干根相同的小木棒拼成图形，拼第1个图形需要6根小木棒，拼第2个图形需要14根小木棒，拼第3个图形需要22根小木棒……若按照这样的方法拼成的第n个图形需要2022根小木棒，则n的值为（）A．252 B．253 C．336 D．337【答案】B【解答】解：由题意知，第1个图形需要6根小木棒，第2个图形需要6×2+2＝14根小木棒，第3个图形需要6×3+2×2＝22根小木棒，按此规律，第n个图形需要6n+2（n﹣1）＝（8n﹣2）根小木棒，当8n﹣2＝2022时，解得n＝253，故选：B．60．（2022•江西）将字母“C”，“H”按照如图所示的规律摆放，依次下去，则第4个图形中字母“H”的个数是（）A．9 B．10 C．11 D．12【答案】B【解答】解：第1个图中H的个数为4，第2个图中H的个数为4+2，第3个图中H的个数为4+2×2，第4个图中H的个数为4+2×3＝10，故选：B．61．（2022•重庆）用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有5个正方形，第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有13个正方形，第④个图案中有17个正方形，此规律排列下去，则第⑨个图案中正方形的个数为（）A．32 B．34 C．37 D．41【答案】C【解答】解：由题知，第①个图案中有5个正方形，第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有13个正方形，第④个图案中有17个正方形，…，第n个图案中有4n+1个正方形，∴第⑨个图案中正方形的个数为4×9+1＝37，故选：C．62.（2022•黑龙江）如图所示，以O为端点画六条射线OA，OB，OC，OD，OE，OF，再从射线OA上某点开始按逆时针方向依次在射线上描点并连线，若将各条射线所描的点依次记为1，2，3，4，5，6，7，8…后，那么所描的第2013个点在射线上．【答案】OC【解答】解：∵1在射线OA上，2在射线OB上，3在射线OC上，4在射线OD上，5在射线OE上，6在射线OF上，7在射线OA上，…每六个一循环，2013÷6＝335…3，∴所描的第2013个点在射线和3所在射线一样，∴所描的第2013个点在射线OC上．故答案为：OC．。
整式及其运算
Part Two
整式的运算
整式的加减法
01
02
03
04
整式的乘除法
01
整式的乘法：将两个多项式的每一项相乘， 再合并同类项
03
整式的乘方：将多项式每一项都乘以相同 的数，再合并同类项
02
整式的除法：将除式多项式与被除式多项 式相乘，再合并同类项
04
整式的开方：将多项式每一项都开方，再 合并同类项
热力学问题：利用整式求解温度、内 能、熵等物理量
光学问题：利用整式求解折射率、透 射率、反射率等物理量
声学问题：利用整式求解声速、声强、 声阻等物理量
核物理问题：利用整式求解核反应速 率、核子数、核能等物理量
化学问题中的整式运算
A
B
C
D
化学方程式：利用整式 表示化学反应的方程式
化学计量：利用整式计 算化学反应的计量关系
管理类联考
整式及其运算
101
Contents
目录
01.
整式的概念
02.
整式的运算
03.
整式的应用
Part One
整式的概念
什么是整式
整式是代数式中的一种， 由数与字母的乘积或字 母的乘方组成。
整式包括单项式和多项 式，单项式由一个数与 一个字母的乘积或一个 字母的乘方组成，多项 式由多个单项式相加或 相减组成。
整式的混合运算
01
整式的混合运算 是指将多项式、 单项式、整式等 不同类型进行运 算。
02
整式的混合运算 包括加法、减法、 乘法、除法等基 本运算。
03
整式的混合运算 需要遵循一定的 运算规则和顺序， 如先乘除后加减 等。
04
第2讲 整式及其运算
【点评】
(1)幂的运算法则是进行整式乘除法的基础
，要熟练掌握，解题时要明确运算的类型，正确运用
法则；(2)在运算的过程中，一定要注意指数、系数和
符号的处理．
3．(1)(2014·新疆)下列各式计算正确的是( D ) A．a2＋2a3＝3a5 C．a6÷a2＝a3 B．(a2)3＝a5 D．a· a2＝a3
A．－2
B．0
C．2
4xy－3y
D．4
．
(3)计算：3(2xy－y)－2xy＝
【点评】
整式的加减，实质上就是合并同类项，
有括号的，先去括号，只要算式中没有同类项，就
是最后的结果．
1．(1)(2014· 威海)下列运算正确的是( C ) A．2x ÷x ＝2x C．3x2＋2x2＝5x2
2 2
1 2 3 1 6 3 B．(－2a b) ＝－6a b D ．(x－3)3＝x3－9
乘法公式 【例5】 (2013·义乌)如图①，从边长为a的正方形 纸片中剪去一个边长为b的小正方形，再沿着线段
AB剪开，把剪成的两张纸片拼成如图②的等腰梯形
．
(1)设图①中阴影部分面积为S1，图②中阴影部分 面积为S2，请直接用含a，b的代数式表示S1和S2； (2)请写出上述过程所揭示的乘法公式．
要点梳理 7．乘法公式
2－b2 ( a ＋ b )( a － b ) ＝ a (1)平方差公式：
；
．
(2)完全平方公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2
要点梳理 8．整式除法 单项式与单项式相除，把系数、同底数幂分别 相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的 字母，连同它的指数作为商的一个因式．多项式 除以单项式，将这个多项式的每一项分别除以这 个单项式，然后把所得的商相加．
2 整式的概念及其运算
12 整式的概念及其运算知识点一：单项式1.单项式的系数:单项式中的数字因数.z y x 32的系数_______ 2a 的系数_______ 74xy-的系数_______ 322xy π的系数_______ 22yx π-的系数_______ 注：1）单独的一个字母或一个数也是单项式； 2）x 1，ab不单项式. 2.单项式的次数：一个单项式中，所以字母的指数和.（练习上一题） 注：单项式的次数与系数的次数无关. 知识点二：多项式例 判断下列代数式是几次几项式. 122+-x x ，y x y x 242322-，知识点三：整式_______ 和_______ 统称为整式. 知识点四：同类项所含字母________，并且相同字母的指数也________，这样的项叫做同类项，几个常数也是同类项. 1.2.下列各题中的两项是同类项的有 （只填序号）①a 3与b 3；②﹣2与3；③a 3b 与ba 3；④﹣a 2b 2与0.2a 2b 2．3.（2018∙包头）如果y x a 12+与12-b y x 是同类项，那么的值是_______.练习：完成教材第7页的探究一. 知识点五：合并同类项. 知识点六：幂的运算1.同底数幂的乘法. nm n m aa a +=⋅（m 、n 都是整数） 逆运算：(1)2755= ；42101010= ；11c c = ； 23a a a = 。
2 设230a b +-=，求33a bb +（2）3a ＝8a ； ()()37x y x y -=-3124 n n n a a a a a ++====；已知52m=，53n=，则5m n+= 。
已知35a=，32b=，求23a b ++的值。
2.幂的乘方公式：mn n m a a =)( （m 、n 都是整数） 逆运算： 口诀：幂的乘方：底数不变，指数相乘.（1）2313⎡⎤⎛⎫=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦； （2）()24a = ； （3）()25b -= ； （4）()23c-= ； （5）()52x-= ； （6）()22ny= ；若2132793=⨯⨯mm，则m 的值是__________ 已知的值求x x ,392743=⨯若的值求y x y x 324,0752⋅=-+3.积的乘方公式：nnnb a ab ⋅=)( （n 是正整数） 逆运算：口诀：积的乘方等于乘方的积（即积的乘方等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的 幂相乘）31）积的乘方计算. （1）()23b； （2）()2ab - ； （3）()324a- ；（4）()323y z - ； （5）()()236nn xy xy +____________________（6）()()322332xx ⎡⎤--⎣⎦___________________ 2）积的乘方逆运算（1）()224 a b =； （2）()4416 x =； （3）()36327 a b =3）巧用幂的运算法则（1）1818144⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭（2）()()2200920090.045⎡⎤⨯-⎣⎦ （3）()()3200320030.1252⨯-4）同底数幂的除法公式：n m n m a a a -=÷ （0≠a ，m 、n 都是正整数，且m>n ） 口诀：同底数幂相除，底数不变，指数相减.13722÷= ； ()()7x x -÷-= ；()()52ab ab -÷-= ；2166m m +÷= ； ()53x x -÷= ；同底数幂的除法法则的逆运算： 如果2,3==n m x x ,,那么nm x-的值是________.4.零指数幂与负整数指数幂知识点七：整式的乘法. 1.单项式乘单项式.()()3252x x y()()32224x y xy -()()2342xy xy-232558x y xyz ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()()38210810⨯⨯⨯2.单项式与多项式相乘4 ()22253ab ab a b +()631x x y --+3.多项式与多项式相乘()()2x y a b ++ ()()2132m m ---知识点八：整式的除法 1.单项式除以单项式()322552a b a b ⎛⎫-÷ ⎪⎝⎭()()322248a b ab ÷- ()()85610310⨯÷⨯()()422222a bc ab c -÷-243256a x y axy ⎛⎫-÷- ⎪⎝⎭2.多项式除以单项式()()322563m nm m -÷ ()()2222653a b a c a -÷-()42164xx x x ++÷ ()()22322a b ab ab ab -+÷-()()3233324634aa b a b a -++÷-知识点九：乘法公式1.平方差公式：22))((b a b a b a -=-+5()()5656x x +- 1144x y x y ⎛⎫⎛⎫---+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()()88ab ab -++ ()()33a b b a -+2.完全平方公式2222)(b ab a b a ++=+ 2222)(b ab a b a +-=-()225x y + 2122x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭()272ab -+ ()252x --6 知识点十：因式分解一．概念二．因式分解的步骤一提（提公因式）、二套（套公式）、三验（检验是否分解彻底）. 三．因式分解的方法 （一）提公因式法()()x a b y a b +-+ ()()p x y q y x ---（二）用平方差因式分解法（三）用完全平方公式因式分解7（四）十字相乘法因式分解法24102+-x x 1032--x x 652-+x x。
中考数学复习 第一章数与式数与式 第2课 整式及其运课件
解：(2)∵(x＋y)2＝x2＋y2＋2xy， ∴2xy＝(x＋y)2－(x2＋y2)＝72－25＝24， ∴x－y)2＝x2＋y2－2xy＝25－24＝1. ∵x>y，∴x－y＝ 1 ＝1.
探究提高 1.算式中的局部直接使用乘法公式、简化运算，
任何时候都要遵循先化简，再求值的原则. 2.在利用完全平方公式求值时，通常用到以下
探究提高 整式的加减，实质上就是合并同类项，有括号的，先 去括号．只要算式中没有同类项，就是最后的结果．
知能迁移1 (1)(2011·义乌)下列计算正确的是( D )
A．x2＋x4＝x6
B．2x＋3y＝5xy
C．x6÷x3＝x2
D．(x3)2＝x6
解析：(x3)2＝x3×2＝x6.
(2)(2011·台北)化简(－4x＋8)－3(4－5x)，
题型四 整式的混合运算及求值
【例4】 (本题5分)先化简，再求值： 3x(x2－x－1)－(x＋1)(3x2－x)，其中x＝－1 . 2
解题示范——规范步骤，该得的分，一分不丢！
解：原式＝3x3－3x2－3x－(3x3－x2＋3x2－x)
[2分]
＝3x3－3x2－3x－3x3＋x2－3x2＋x
＝－5x2－2x.
3．整式： 单项式和多项式 统称为整式． 4．同类项：多项式中所含 字母 相同并且 相同字母的指数 也
相同的项，叫做同类项．
6．整式乘法： 单项式与单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘作为积 的因式，只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作 为积的一个因式． 单项式乘多项式：m(a＋b)＝ ma＋mb . 多项式乘多项式：(a＋b)(c＋d)＝ ac＋ad＋bc＋bd .
第2个图形所需的棋子数为11＝6×2－1. 第3个图形所需的棋子数为17＝6×3－1， …… 第n个图形所需的棋子数为6n－1.
第2课时整式加减、幂的运算
第二课时 整式的加减、幂的运算【基础知识梳理】1.整式的有关概念__________________________________叫做单项式，__________________叫做单项式的系数，____________________叫做单项式的次数。
__________________________________叫做多项式，____________________叫做多项式的次数。
__________和__________统称为整式。
2.同类项所含字母__________，且___________________指数也相同的项叫做同类项 ，几个常数项也是同类项。
3.合并同类项把一个多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项，合并同类项的法则为： ____________________________________________________________________. 4.去括号法则：________________________________________________. 5.幂的运算法则 同底数幂相乘，底数__________，指数_________，用字母表示为_____________________. 幂的乘方，底数___________，指数____________，用字母表示为_____________________.积的乘方，__________________________________________，用字母表示为_____________________.同底数幂相除，底数__________，指数_________，用字母表示为_____________________.0_______.(0)a a =≠p p aa 1=-（a ≠0，p 为正整数） 【基础诊断】1.下列说法错误的是（ ）A . 0和x 都是单项式;B . 3n xy 的系数是3n ,次数是2C . －3x y +和1x 都不是单项式; D . 21x x +和8x y+都是多项式 2.（2013广州市）下面的计算正确的是（ ）A. 6a －5a=1B. a+2a 2=3a 3C.－(a －b)=－a+bD.2(a+b)=2a+b3. （2013珠海）计算22a -+2a 的结果为( )A ． a 3-B ．a -C ．23a -D ．2a -6.当k 为__________时，233k x y -和264x y 是同类项.7．（2013浙江省温州市）化简：2(1)_______.a a +-=8.计算：23()m -=_____________，324[()]x =_____________，83()x x ÷-=_____________ 【精典例题】例1、（2013•新疆）若a ，b 为实数，且|a+1|+=0，则（ab ）2013的值是（ ）A. 6a －5a=1B. a+2a 2=3a 3C.－(a －b)=－a+bD.2(a+b)=2a+b【解析】根据合并同类项法则、积的乘方的性质、单项式除法法则和幂的乘方的性质解答．【答案】解：A 、合并同类项，只把系数相加减，字母与字母的次数不变，应为6a －5a=a ，故本选项错误；B 、a 与2a 2，不是同类项，不能合并故本选项错误；C 、根据去括号法则－(a －b)=－a+b ，故本选项正确；D 、应为2(a+b)=2a+2b ，故本选项错误． 故选C ．【点评】本题主要考查合并同类项法则和去括号的法则，需要熟练掌握认真计算．例3（2013江苏泰州市）若2a-b=5,则多项式6a-3b 的值是 ．【解析】对原代数式变形得6a-3b=3（2a-b ），将2a-b=5代入可得15 【答案】15【点评】本题考查了分解因式、利用整体代入进行代数式求值的相关知识．整体代入是初中代数求值型题目常用的方法，解题的关键是学生对代数特征的观察把握能力．【自测训练】 A —基础训练一、选择题（每小题有四个选项，只有一个选项是正确的.）2、（2013东营中考）下列运算正确的是（ ） A ．a a a=-23B ．632a a a =⋅C ．326()a a = D ． ()3393a a =3、（2013泰安）下列运算正确的是（ ） A ．3x 3﹣5x 3=﹣2x B ．6x 3÷2x ﹣2=3x C ．（）2=x 6D ．﹣3（2x ﹣4）=﹣6x ﹣124、(2013年广东省)下列等式正确的是 A.1)1(3=-- B. 1)4(0=- C. 6322)2()2(-=-⨯- D. 2245)5()5(-=-÷-5．（2012济宁）下列运算正确的是（ ）A. ﹣2（3x ﹣1）=﹣6x ﹣1B. ﹣2（3x ﹣1）=﹣6x+1C. ﹣2（3x ﹣1）=﹣6x ﹣2D. ﹣2（3x ﹣1）=﹣6x+2 二、填空题6.（2012梅州）若代数式﹣4x 6y 与x 2n y 是同类项，则常数n 的值为 ．7．（2013贵州铜仁，）照下图所示的操作步骤，若输入x 的值为5，则输出的值为_______________；8．（2013江苏泰州市）若2a-b=5,则多项式6a-3b 的值是 ．9.（2013四川成都）已知当1x =时，22ax bx +的值为3，则当2x =时，2ax bx + 的值为________三、解答题10.先化简，再求值：222224()(4)y x y x y -++-，其中，x =－28，y =18.11.当x =2时，代数式73-+bx ax 的值等于－19，求当x = －2时代数式的值． B 提升训练一、选择题（每小题有四个选项，只有一个选项是正确的.）1、(2013年深圳市)下列计算正确的是（ ）A.222)(b a b a +=+ B.22)ab (ab = C.523)(a a = D.32a a a =⋅ 2、(2013年江西省)下列计算正确的是（ ）． A ．a 3+a 2=a 5 B ．(3a －b )2=9a 2－b 2 C ．a 6b ÷a 2=a 3bD ．(－ab 3)2=a 2b 63. （2013安徽）某企业今年3月份产值为a 万元，4月份比3月份减少了10％，5月份比4月份增加了15％，则5月份的产值是（ ）A.（a -10％）（a +15％）万元B. a （1-10％）（1+15％）万元C.（a -10％+15％）万元D. a （1-10％+15％）万元4.如果423a b x y --与313a b x y +是同类项，那么这两个单项式的和为（ ）A. 32x y -B. 64x y -C. 3283x y - D. 64x y5.（2011浙江宁波）把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形（长为m cm ，宽为n cm ）的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．则图②中两块阴影部分的周长和是（ ）A 、4mcmB 、4ncmC 、2（m+n ）cmD 、4（m －n ）cm二、填空题6、（2013福省福州）已知实数a ，b 满足a+b=2，a ﹣b=5，则（a+b ）3（a ﹣b ）3的值是 ．7.化简2x 2+(-x 2+3xy +2y 2)-(x 2-xy +2y 2) ．；8.（2012滨州）根据你学习的数学知识，写出一个运算结果为a 6的算式 ．9.（2013河北省）已知y=x-1，则()()12+-+-x y y x 的值为_________10.已知3a b -=-，2c d +=，则()()b c a d +--=_________. 11.若0a >且2x a =，3y a =，则x y a -=_________.12．（2013浙江省温州市）某校艺术班同学，每人都会弹钢琴或古筝，其中会弹钢琴的人数比会弹古筝的人数多10人，两种都会的有7人。
《整式及其运算 》课件
目
CONTENCT
录
• 整式的概念 • 整式的乘法 • 整式的除法 • 整式的混合运算 • 整式的简化 • 整式
02
01
03
整式是由常数、变量、加、减、乘、乘方等基本运算 组成的代数式。 整式中不含除法运算或开方运算。
整式可以看作是多项式的特殊情况。
多项式乘多项式
总结词
分别相乘，合并同类项
详细描述
多项式与多项式相乘时，需要将每个多项式的每一项分别相乘，然后合并同类项 。例如，$(x^2 + x) times (x + 1) = x^3 + x^2 + x^2 + x = x^3 + 2x^2 + x$。
乘法公式
总结词
利用公式简化计算
详细描述
整式可以用来解决实际问题，例如计 算路程、时间、速度等，有助于解决 实际问题。
THANK YOU
感谢聆听
整式的分类
单项式
只包含一个项的整式，例如：5x 、6y等。
多项式
包含多个项的整式，例如：x^2 3x + 2、xy - 2y等。
整式的加减法
01
同类项是指具有相同未知数的项 ，例如：x^2和3x^2是同类项。
02
合并同类项是指将它们的系数相 加减，未知数保持不变，例如： x^2 + 3x^2 = 4x^2。
在几何中的应用
整式在几何中也有着广泛的应用，例如在平面几何和立体几何中 ，整式可以用来表示长度、面积、体积等几何量。
整式可以用来解决几何问题，例如求圆的周长、面积等，有助于 解决实际问题。
在日常生活中的应用
整式在日常生活中也有着广泛的应用 ，例如在物理学中，整式可以用来表 示物理量之间的关系和变化规律。
第2讲-整式及运算
.
【解后感悟】对于整式乘法运算，能用乘法公式要充 分运用公式；在应用时，要充分理解乘法公式的结构
特点，分析是否符合乘法公式的条件．
5．化简：(1)(2015·舟山)a(2－a)＋(a＋1)(a－1)； 【答案】2a-1. (2)(2015·益阳)(x＋1)2－x(x＋1)． 【答案】x+1.
类型五 整式运算的应用及规律问题 例5 用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放：
①选取二次项和一次项配方： x2－4x＋2＝(x－2)2－2；
②选取二次项和常数项配方：x2－4x＋2＝(x－ 2 )2＋ (2 2－4)x或x2－4x＋2＝(x＋ 2)2－(4＋2 2 )x； ③选取一次项和常数项配方： x2－4x＋2＝( 2 x－ 2 )2－x2. 根据上述材料，解决下面问题： (1)写出x2－8x＋4的两种不同形式的配方； (2)已知x2＋y2＋xy－3y＋3＝0，求xy的值．
4．(1)(2015·连云港)已知m＋n＝mn，则(m－1)(n－1) ＝__1__． (2)先化简，再求值：(4ab3－8a2b2)÷4ab＋(2a＋b) (2a－b)，其中a＝2，b＝1.
【答案】原式＝2a(2a－b)，将a＝2，b＝1代入得12.
类型四 乘法公式
例4 (2014·绍兴)先化简，再求值：a(a－3b)＋
3．(2014·济宁)如果从一卷粗细均匀的电线上截
取1米长的电线，称得它的质量为a克，再称得剩
余电线的质量为b克，那么原来这卷电线的总长度
是
b a
1米
．
4．若多项式4x2－kx＋25是一个完全平方式，则 k的值是 ±20 .
5．先化简，再求值：(1)(2015·长沙)(x＋y)(x －y)－x(x＋y)＋2xy，其中x＝(3－π)0，y＝2.
第2讲 整式及其运算
7．幂的运算法则(m，n都是整数，a≠0，b≠0)
8．整式乘法
9．乘法公式
(1)平方差公式： (2)完全平方公式： (a＋b)(a－b)＝a2－b2 ； ．
(a±b)2＝a2±2ab＋b2
10．整式除法
1．法则公式的逆向运用
法则公式既可正向运用，也可逆向运用．当直接计算有较大困难时，考虑逆向运 用，可起到化难为易的功效． 2．整式运算中的整体思想 在进行整式运算或求代数式值时，若将注意力和着眼点放在问题的整体结构上， 把一些紧密联系的代数式作为一个整体来处理．借助“整体思想”，可以拓宽解题 思路，收到事半功倍之效．整体思想最典型的是应用于乘法公式中，公式中的字母 a和b不仅可以表示单项式，也可以表示多项式，如(x－2y＋z)(x＋2y－z)＝[x－(2y －z)][x＋(2y－z)]＝x2－(2y－z)2＝x2－4y2＋4yz－z2.
22a4b2；⑤(m－n)6÷(n－m)3＝(m－n)6－3＝(m－n)3. 剖析 幂的四种运算(同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方、同底数幂相除)是学 习整式乘除的基础，对幂运算的性质理解不深刻，记忆不牢固，往往会出现这样或 那样的错误．针对具体问题要分清问题所对应的基本形式，以便合理运用法则，对 符号的处理，应特别引起重视．
【点评】 (1) 直接利用完全平方公式以及平方差公式分别计算得出结果；
(2) 注意公式的变式及整体代入的思想．
[对应训练] －3． 4．(1)(2016·衡阳)已知a＋b＝3，a－b＝－1，则a2－b2的值为____ 1 ． (2)(2016·南充)如果x2＋mx＋1＝(x＋n)2，且m＞0，则n的值是____
1．(2016·呼和浩特)某企业今年3月份产值为a万元，4月份比3月份减少了10%， 5月份比4月份增加了15%，则5月份的产值是( C )
上海七年级数学秋季 第2讲：整式的加减运算
七年级数学02整式的加减运算内容分析：本节课主要对同类项的概念和整式加减运算进行讲解，掌握去括号，添括号的法则，重点是能判断同类项，且能熟练的合并同类项，能准确的进行去括号，添括号，难点是能根据题目的要求,正确熟练地进行整式的加减运算．知识结构：模块一：合并同类项知识精讲1、同类项的概念所含的字母相同，且相同字母的指数也相同的单项式叫做同类项．2、合并同类项及其法则（1）把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项．一个多项式合并后含有几项，这个多项式就叫做几项式．（2）合并同类项法则：把同类项的系数相加的结果作为合并后的系数，字母和字母的指数不变．例题解析【例1】下列各组中，两个代数式是同类项的为（）．A ．mn -与mnpB ．22x yz 与23yx zC ．3323a b 与333b aD ．25-与2x 【答案】【解析】【例2】下列说法中，错误的是（）．A ．字母相同，次数也相同的项是同类项B ．若a b =，则13a b x y 和17b a x y -是同类项C ．2316x yz ⎛⎫- ⎪⎝⎭和35x yz 是同类项D ．12x y m n ++与21y x m n ++不一定是同类项【答案】【解析】【例3】若单项式2m n x y 与232x y -的和为0，求m n +的值．【答案】【解析】【例4】若232(1)x x b x bx -++--+中不存在含x 的项，则______b =．【答案】【解析】【例5】把()()()()2222327a b a b b a a b ---+---按()2a b -合并同类项，得（）．A ．2277a b -+B ．221717a b -+C ．27()a b --D ．27()a b -【答案】【解析】【例6】如果0a <，0ab <，那么13b a a b -++--的值等于__________．【答案】【解析】【例7】已知123a b x y +-与225x 是同类项，求2221232a b a b a b +-的值．【答案】【解析】【例8】合并同类项．（1）32238673x xy y xy y x --++-；（2）233221146553423a a a a -+-+--；（3）()22233()()5()2332x y x y x y x y x y x y +---+--++++；（4）115286n n n n n a a a a a ++--+-（n 为正整数）．【答案】【解析】【例9】说明多项式33223322333120.5232x y x y y x y x y y x y y -+-+++--的值与字母x 无关．【答案】【解析】【例10】在多项式132132006200720082009m n m n m n n a b x y a b x y -+++-（其中m n 、为正整数）中，恰有两项为同类项，求m n +的值．【答案】【解析】【例11】任意写出一个三位数，然后把这个三位数的百位数字和个位数字交换位置，得到另一个三位数，求证：这两个三位数的差总能被99整除．【答案】【解析】模块二：整式的加减知识精讲：1、去添括号法则括号前面是“+”号，去（添）掉“+”号和括号，括号里的各项符号不变；括号前面是“-”号，去（添）掉“-”号和括号，括号里的各项变成相反符号．2、整式的加减运算步骤（1）去括号；（2）合并同类项．例题解析【例12】下列各式中，去括号正确的是（）．A ．22(2)2x y x z x y x z --+=--+B ．[]36(41)3641a a a a a a ---=--+C ．()26422642a x y a x y +-+-=-+-D ．22(2)(1)21x y z x y z --+-=----【答案】【解析】【例13】下列说法中，正确的是（）．A ．单项式与单项式的和或差是单项式B ．单项式与多项式的和或差是多项式C ．多项式与多项式的和或差是多项式D ．多项式与多项式的和或差是整式．【答案】【解析】【例14】()22241(33)2()xyzxy xy z yx xyz xy --+-+--+的值（）．A ．与x y z 、、的大小无关B ．与x y 、的大小有关，与z 的大小无关C ．与x 大小有关而与y z 、大小无关D ．与x y z 、、大小都有关【答案】【解析】【例15】若252A x x =-+，256B x x =--，则A 与B 的大小关系是（）．A ．A B>B ．A B=C ．A B<D ．无法确定【答案】【解析】【例16】用4个相同的小矩形与1个小正方形镶嵌成一个大正方形图案（小正方形位于大正方形中间），已知大正方形的面积为49，小正方形的面积为4，若用x y 、表示小矩形的两边长（x y >），请问，下列关系中不正确的是（）．A ．7x y +=B ．2x y -=C ．4449xy +=D ．2225x y +=【答案】【解析】【例17】如果x y 、互为相反数，a b 、互为负倒数，3n =，则()()232332124()333n ab n x y n ab -+-的值是____．【答案】【解析】【例18】先化简，再求值：()()2237547a ab ab a -+--+，其中2a =，13b =．【答案】【解析】【例19】已知2325A a a =-+，2868B a a =--，1A B C ++=，求C 的值．【答案】【解析】【例20】国庆长假里2名教师带10名学生外出旅游．教师旅游费每人x 元，学生每人y 元，因为团体予以优惠，教师按8折优惠，学生按6.5折优惠，求共需要旅游费多少元，并计算当30x =，20y =时的旅游费用．【答案】【解析】【例21】已知m x y 、、满足：（1）()2535024x m -+=；（2）212y a b +-与233a b 是同类项．求代数式2222221310.3755 3.475 6.27584x y m x x y xy xy xy ⎧⎫⎡⎤+--+---⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭的值．【答案】【解析】【例22】若()21101a b a b +++=++，那么(){}111a b a ----+⎡⎤⎣⎦的值是多少？【答案】【解析】【例23】观察下列等式：333352525353++=++，333375757272++=++，333395959494++=++，···．请你用两个字母表示这个规律．【答案】【解析】巩固练习【习题1】已知132m x y --和12n m n x y +是同类项，则()2013_______n m -=．【答案】【解析】【习题2】下列合并同类项错误的个数是（）．166125813x x x +=；②325a b ab +=；③22835y y -=；④22660n n n n a b a b -=A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】【解析】【习题3】已知2a =，3b =，则（）．A ．32ax y 和32bm n 是同类项B ．33a x y 和33bx y 是同类项C ．214a bx y +和51b ax y +是同类项D ．255b a m n 和256b a n m 是同类项【答案】【解析】【习题4】已知多项式32233842x x y xy y -+-减去一个多项式所得的差是3343x y -，求这个多项式．【答案】【解析】【习题5】化简求值：()()2222325324x xy y x xy y ---+-，其中34x =，2y =-．【答案】【解析】【习题6】若A 是三次多项式，B 也是三次多项式，则32A B +一定是（）．A ．三次多项式B ．六次多项式C ．次数低于3的多项式D ．次数不高于3的整式【答案】【解析】【习题7】如果代数式2237x x ++的值是8，则代数式2469x x +-的值是（）．A ．2B ．17-C ．7-D ．7【答案】【解析】【习题8】当0x >，0y <且x y <时，则2333x y x y --+=（）．A ．5xB ．5x-C ．6yD ．6y-【答案】【解析】【习题9】已知362x y m n +与24212y x m n ---的和是单项式，则（）．A ．12x y =⎧⎨=⎩B ．22x y =⎧⎨=-⎩C ．00x y =⎧⎨=⎩D ．31x y =⎧⎨=⎩【答案】【解析】【习题10】现对a b δ“”运算作如下定义：2a b a b δ=+“”，例如：23232x y x y δ=+，那么xy +（()22)x y x y xy δ-的运算结果是（）．A ．23x y xy+B ．233x y xy-C ．233x y xy+D ．23x y xy-【答案】【解析】【习题11】化简：[]{}3793(12)_______x x x x -----=．【答案】【解析】【习题12】若24(2)a a m a ma -+-+-中不存在含a 的一次项，则_______m =．【答案】【解析】【习题13】无论字母a b 、取何值，代数式2221512362ab ab ab -+--的值总是__________．【答案】【解析】【习题14】有一道题目是一个多项式减去2146x x +-，小红误当成了加法算式，结果得到223x x -+，正确的结果应该是___________．【答案】【解析】【习题15】求多项式322223a a b ab a b ab b -++-+的值，其中3a =-，2b =．【答案】【解析】【习题16】学校决定修建一块长为30米，宽为20米的长方形草坪，并在草坪上修建十字路，已知十字路宽x 米，求（1）修建十字路的面积是多少平方米；（2）草坪的面积是多少．【答案】【解析】【习题17】若多项式()2222231(543)mx x x x y x -++--+与x 无关，求322[345)m m m -+-（]m +的值．【答案】【解析】【习题18】整式的计算：（1）225)()8()3()x y x y x y x y -------（；（2）12132345a a a-++-+；（3）()173521(35)4(35)x y x y x y -+++-+．【答案】【解析】【习题19】设P 是关于x 的五次多项式，Q 是关于x 的四次多项式，问：P Q +是关于x 的几次多项式？2P Q -是关于x 的几次多项式？【答案】【解析】【习题20】已知222A x xy y =-+，22263B x xy y =-+，求代数式3[(2)4A A B ---()]A B -的值，其中5x =，29y =，且2x y +=-．【答案】【解析】【习题21】已知()223254x a ab =--，()2285y ab b b =-+，当12a =，25b =时，求12()2x y y -+的值．【答案】【解析】【习题22】已知()()22120x y z x y ++-+--=，求代数式3(4)[7y z x ----(54)y z -3()]x z --的值．【答案】【解析】【习题23】已知多项式()4625n x m x y xy ++-+，则（1）当m n 、满足什么条件时，是五次四项式？（2）当m n、满足什么条件时，是四次三项式？【答案】【解析】【习题24】有这样一道题，计算()()4322433222422x x y x y x x y y x y -----+的值，其中0.25x =，1y =-；甲同学把“0.25x =”，错抄成“0.25x =-”，但他的计算结果也是正确的，你说这是为什么？【答案】【解析】课后作业【作业1】若235a b 与3x y a b -是同类项，则____x =，_____y =．【答案】【解析】【作业2】多项式22323222x xy x xy x ++-+合并后是________次________项式．【答案】【解析】【作业3】如果56k m m x y +与22k x y +是同类项，且k 为非负整数，则满足条件的k 值有（）．A ．一组B ．两组C ．三组D ．无数组【答案】【解析】【作业4】已知3x y -=，则()4335x y x y --++的值等于_________．【答案】【解析】【作业5】化简：()(){}6328a c a c b c a b c ----++-+-⎡⎤⎣⎦．【答案】【解析】【作业6】化简：118(2)89n n n n n a a a a a ++-----（n 为正整数）．【答案】【解析】【作业7】已知2351A B a a +=-+，2235A C a a -=-+-，求2a =时，B C +的值．【答案】【解析】【作业8】若323234(2)ny y my y my -++-+合并后不含2y 和3y 项，求m n 、的值．【答案】【解析】【作业9】如果4415x y +=，223x y xy -=-，求4422242323x y xy x y xy y --+++的值．【答案】【解析】【作业10】比较大小：2521x x --与2532x x -+．【答案】【解析】【作业11】已知a 、b 、c 满足：（1）()253220a b ++-=；（2）2113a b c x y -++是7次单项式；求多项式()22222234a b a b abc a c a b a c abc ⎡⎤------⎣⎦的值．【答案】【解析】。
高一数学第二章知识点笔记
高一数学第二章知识点笔记一、整式及其运算1. 整式的定义：只包含有限个代数式并且每个代数式的系数都是整数的代数式称为整式。
2. 幂的运算法则：a^m * a^n = a^(m+n)，(a^m)^n = a^(mn)，(ab)^m = a^m * b^m，(a/b)^m = a^m / b^m。
3. 四则运算法则：- 加法法则：多项式相加，合并同类项，即将同类项的系数相加。
- 减法法则：多项式相减，将减数中每一项改变符号，再按加法法则合并同类项。
- 乘法法则：多项式相乘，将每一项乘以另一多项式的每一项，并合并同类项。
- 除法法则：多项式相除，除法的基本法则是“左除”，即将被除式从左至右地除以除式。
二、一元一次方程与不等式1. 一元一次方程的定义：形如ax + b = 0（a≠0）的方程称为一元一次方程。
2. 一元一次方程的解法：对于方程ax + b = 0，解为x = -b/a。
3. 一元一次不等式的解法：对于不等式ax + b > 0，解为x > -b/a；对于不等式ax + b < 0，解为x < -b/a。
4. 绝对值不等式的解法：- 对于不等式|ax + b| > c，解为x < (-b-c)/a 或 x > (c-b)/a。
- 对于不等式|ax + b| < c，解为(-c-b)/a < x < (c-b)/a。
- 对于不等式|ax + b| ≥ c，解为x ≤ (-b-c)/a 或x ≥ (c-b)/a。
- 对于不等式|ax + b| ≤ c，解为(-c-b)/a ≤ x ≤ (c-b)/a。
三、二次根式和二次方程1. 二次根式的定义：形如√a的根式称为二次根式。
2. 二次根式的化简：将二次根式化为简化形式，包括去除平方因子、合并同类项、有理化分母等。
3. 二次方程的定义：形如ax^2 + bx + c = 0（a≠0）的方程称为二次方程。
2019秋小学数学第2讲 整式及其运算
3．乘法公式的常用变形： (1)a2＋b2＝(a＋b)2－2ab； (2)a2＋b2＝(a－b)2＋2ab； (3) (a＋b)2＝(a－b)2＋4ab； (4) (a－b)2＝(a＋b)2－4ab. (5) a2＋b2＝（a＋b）2＋2 （a－b）2 (6) 2ab＝(a＋b)2－(a2＋b2) (7) 4ab＝(a＋b)2－(a－b)2
①a2＋b2＝(a＋b)2－2ab；②a2＋b2＝(a－b)2＋2ab；③(a＋b)2＝(a－b)2＋4ab；④(a
－b)2＝(a＋b)2－4ab.注意公式的变式及整体代入的思想；(2)利用平方差公式进行
计算．
乘法公式的应用
[对应训练] 3．(1)(2015·衡阳)已知 a＋b＝3，a－b＝－1，则 a2－b2 的值为 _－__3_． (2)如果二次三项式 x2－mx＋25 是一个完全平方式，则实数 m 的值是_±__1_0．
11．(2013·内江)若m2－n2＝6，且m－n＝2，则m＋n＝__3__． 12．(2015·绵阳)计算：a(a2÷a)－a2＝__0__． 13．(2013·巴中)观察下面的单项式：a，－2a2，4a3，－8a4，…根据你 发现的规律，第8个式子是_－__1_2_8_a_8 _． 14．(2014·达州)己知实数a、b满足a＋b＝5，ab＝3，则a－b＝±____1．3
C．56x－40 D．14x－10
整式的相关运算
(4)(2015·河北)老师在黑板上书写了一个正确的演算过程随后用手掌捂住了一 个二次三项式，形式如图：
①求所捂的二次三项式； ②若 x＝ 6＋1，求所捂二次三项式的值．
解：①设所捂的二次三项式为 A，根据题意得：A＝x2－5x＋1＋3x＝x2－2x ＋1；②当 x＝ 6＋1 时，原式＝7＋2 6－2 6－2＋1＝6
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概念
2．整式的运算
1.字母和字母的指数不变； 合并同类项 2． 系数 相加减作为新的系 数． 添(去)括号：括号前面是“＋” 号，添(去)括号都 不改变符 添(去)括号 号；括号前面是“－”号，添 改变符号． (去)括号都要
整式 的加 减
同底数幂的 乘法 幂 幂的乘方 的 积的乘方 运 算 同底数幂的 除法
A．x ·x ＝x
x
2
3
6
B．(x ) ＝x
y
3 2
5
C．(xy2)3＝x3y6 D．x6÷x3＝x2
2．若 3 ＝4，9 ＝7，则 3
x－2y
的值为( A )
4 7 2 A. B. C．－3 D. 7 4 7 3．若3×9m×27m＝321，则m的值是 A．3 B．4 C．5 D．6
类型二 整式的加减运算 1 例2 化简 (－4x＋8)－3(4－5x)，可得下列哪一 4 个结果( D )
2
a＋b
1 a－b 4 与－ x y 是同 3
A．a＝3，b＝1 B．a＝－3，b＝1 C．a＝3，b＝－1 D．a＝－3，b＝－1
类型三 整式的混合运算与求值 例3 化简：2[(m－1)m＋m(m＋1)][(m－1)m－m(m＋ 1)]．若 m 是任意整数，请观察化简后的结果，你发现原 式表示一个什么数？
2
2
y
完全平方公式大变身
已知a＋b＝5，ab＝3，求a2＋b2的值．(提示：利用公式(a ＋b)2＝a2＋2ab＋b2)
解 ∵a＋b＝5，ab＝3，∴(a＋b)2＝25， 即a2＋2ab＋b2＝25， ∴a2＋b2 ＝25－2ab ＝25－2×3＝19.
[点析]完全平方公式的一些主要变形：(a＋b)2＋(a－b)2
【答案】2a－1
(2)(2016·大连)先化简，再求值： (2a＋b)2－a(4a＋3b)，其中a＝1，b＝ 2.
【答案】原式＝ab＋b2＝＋2
【问题】(1)计算：(a＋3)(a－3)＋a(3a－2)－ (2a－1)2； (2)完成(1)计算后回答： ①此计算过程中，用到了哪些乘法公式和法则； ②此计算过程中，要注意哪些问题． 【解析】(1)2a—10； (2)①完全平方公式、平方差公式，去括号、合并 同类项等； ②去括号时，要注意变号等．
＝2(a2＋b2)，(a＋b)2－(a－b)2＝4ab，(a＋b)2－2ab＝(a
－b)2＋2ab，在(a－b)2 、(a＋b)2、ab和a2＋b2这四个量 中，知道其中任意的两个量，就能求出(整体代换)其余
的两个量． 中考预测 1．已知(m－n)2＝8，(m＋n)2＝2，则m2＋n2＝(
A．10 B．6 C．5 D．3
2
【思路分析】 根据去括号和合并同类项的法则， 化 1 简代数式，将 a＝1，b＝－ 代入化简后的代数式求值． 2
【答案】 原式＝a2－3ab＋a2＋2ab＋b2－a2＋ab＝a2＋b2.
1 1 1 5 2 2 当 a＝1，b＝－ 时，原式＝1 ＋－ ＝1＋ ＝ . 2 4 4 2
3．(2014·南昌)如图1，将一个边长为 a的正方形纸片剪去两个小矩形，得到 一个“ ”的图案，如图2所示，再将 剪下的两个小矩形拼成一个新的矩形， 如图3所示，则新矩形的周长可表示为 ( B )
A．2a－3b C．2a－4b
B．4a－8b D．4a－10b
4.(1)(2015·嘉兴)化简：a(2－a)＋(a＋1)(a－1);
【分析与解】(1)x2－8x＋4＝x2－8x＋16－16＋4 ＝(x－4)2－12 或 x2－8x＋4＝(x－2)2－4x；
(2)已知 x ＋y ＋xy－3y＋3＝0，求 x 的值．
【方法与对策】本题需要先通过阅读掌握新 定义方法，再利用类似方法解决问题．关键是观 察问题，分析问题，解决问题的能力．该题型是 中考命题的一种方式．
选项错误；C.应为 2a6÷a3＝2a3，故本选项错误；
D.x3·x2＝x5 正确．
【解后感悟】(1)幂的运算法则是进行整 式乘除法的基础，要熟练掌握，解题时要明确 运算的类型，正确运用法则； (2)在运算的过程中，一定要注意指数、系数 和符号的处理．
1． (2015·益阳)下列运算正确的是( C )
整式运算的应用及规律型问题 (2016·山西)如图是一组有规律的图案，它们
是由边长相同的小正方形组成， 其中部分小正方形涂有阴 影，依此规律，第 n 个图案中有________个涂有阴影的小 正方形(用含有 n 的代数式表示)．
【思路分析】通过观察不难发现，后一个图案比前 一个图案多 4 个涂有阴影的小正方形， 然后写出第 n 个 图案的涂有阴影的小正方形的个数即可．
4． (1)(2015·连云港)已知 m＋n＝mn， 则(m－1)(n
1 ． －1)＝____
(2)先化简，再求值：(4ab3－8a2b2)÷4ab＋(2a＋ b)(2a－b)，其中 a＝2，b＝1.
【答案】原式＝2a(2a－b)，将 a＝2，b＝1 代入得 12.
类型四 乘法公式 例4 (2014·绍兴)先化简，再求值：a(a－3b)＋(a 1 ＋b) －a(a－b)，其中 a＝1，b＝－ . 2
类型一 幂的运算 例1 (2015·衢州)下列运算正确的是( D )
A．a3＋a3＝2a6 B．(x2)3＝x5 C．2a6÷a3＝2a2 D．x3·x2＝x5
【思路分析】根据合并同类项，同底数幂乘法，同底数幂 除法，幂的乘方和积的乘方运算法则逐一计算作出判断：
A．应为 a3＋a3＝2a3，故本选项错误 B.应为(x2)3＝x6，故本
第一篇 数与代数
第一章 数与式 第2讲 整式及其运算
1.(2016·宁波)下列计算正确的是(D ) A．a3＋a3＝a6 B．3a－a＝3 3 2 5 2 3 C．(a ) ＝a D．a·a ＝a
2．(2016·淮安)已知a－b＝2，则代数 式2a－2b－3的值是( A ) A．1 B．2 C．5 D．7
用单项式去乘多项式的每一项， 单项式与多 再把所得的积 相加 ，即m(a＋ 项式相乘 b＋c)＝ ma＋mb＋mc． 先用一个多项式的每一项乘另 多项式与多 一个多项式的每一项，再把所 项式相乘 得的积 相加 ，即(m＋n)(a＋b) ＝ ma＋mb＋na＋nb ．
整式 的除 法
把系数与同底数幂分别相除，作 单项式除以 为商的因式，对于只在被除式里 单项式 含有的字母，则连同它的 指数 作 为商的一个因式．
【思路分析】根据单项式乘以多项式法则先计算括 号里的乘法，再去括号合并同类项，即可算出结果．
【答案】2[(m－1)m＋m(m＋1)][(m－1)m－m(m＋1)] ＝2(m2－m＋m2＋m)(m2－m－m2－m)＝－8m3. 原式＝(－2m)3，表示 3 个－2m 相乘的数．
【解后感悟】(1)对于整式的加、减、乘、除、 乘方运算，要充分理解其运算法则，注意运算顺序， 正确应用乘法公式以及整体和分类等数学思想． (2)在应用乘法公式时， 要充分理解乘法公式的 结构特点，分析是否符合乘法公式的条件．
【答案】由图可得，第 1 个图案涂有阴影的小正方 形的个数为 5，第 2 个图案涂有阴影的小正方形的个数 为 5×2－1＝9， 第 3 个图案涂有阴影的小正方形的个数 为 5×3－2＝13，…，第 n 个图案涂有阴影的小正方形 的个数为 5n－(n－1)＝4n＋1.故答案为：4n＋1.
【解后感悟】解决整式的规律性问题应充分发挥 数形结合的作用，从分析图形的结构入手，分析图形 结构的形成过程，从简单到复杂，进行归纳猜想，从 而获得隐含的数学规律，并用代数式进行描述．
【解后感悟】对于整式乘法运算，能用乘法公式 要充分运用公式；在应用时，要充分理解乘法公 式的结构特点，分析是否符合乘法公式的条件
5． 化简： (1)(2015·舟山)a(2－a)＋(a＋1)(a－1)；
【答案】2a－1.
(2)(2015·益阳)(x＋1)2－x(x＋1)．
【答案】x＋1.
类型五 例5
先把这个多项式的每一项分别除 多项式除以 以这个单项式，然后把所得的 单项式 商 相加 ． 平方差公式 完全平方公 式 (a＋b)(a－b)＝ a2－b2 .
乘法 公式
(a±b)2＝
a2±2ab＋b2
.
基本 在乘法公式的产生过程中初步感受从特殊到 思想 一般的思想． 1.求代数式的值主要用代入法，代入法分为 直接代入法、间接代入法和整体代入法． 基本 2.整式的运算时不要盲目入手，先观察式子 方法 的结构特征，确定解题思路，结合有效的数 学思想：整体代入、降次、数形结合、逆向 思维等，使解题更加方便快捷.
m＋n m n a a ·a ＝___ _.
注意： (am)n＝__amn__. a≠0， (ab)n＝ anbn . b≠0，且m、 n都为整 数． am÷an＝ am－n ．
单项式与单 项式相乘 整 式 的 乘 法
把它们的__ __、相同字母分 系数 别相乘，对于只在一个单项式 里含有的字母，则连同它的 指数 _作为积的一个因式． ___
x1＝a＋b， 2 解得 大正方形中未被小正方形覆盖部分的面 a－b x2＝ ， 4
a＋b a－b 2 2 积＝ ) ＝ab. －4( 2 4
【阅读理解题】 选取二次三项式 ax2＋bx＋c(a≠0)中的两项，配成完全平方式的过 程叫配方．例如 ①选取二次项和一次项配方：x2－4x＋2＝(x－2)2－2； ②选取二次项和常数项配方：x2－4x＋2＝(x－ 2)2＋(2 2－4)x 或 x2－4x＋2＝(x＋ 2)2－(4＋2 2)x； ③选取一次项和常数项配方：x2－4x＋2＝( 2x－ 2)2－x2. 根据上述材料，解决下面问题： (1)写出 x2－8x＋4 的两种不同形式的配方； (2)已知 x2＋y2＋xy－3y＋3＝0，求 xy 的值．