第一次市统测模拟七

淮安市新马高级中学2013届迎第一次市调研模拟测试七高三数学试题I 2012.11 命题：倪锋 审核：郭正银一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分，把答案填在答题卡的相应位置． 1．设全集U R =，集合{}|2A x x =≥，{}1,0,1,2,3B =-，则B A C U )( ． 2．已知复数z 满足()1i z i +⋅=-，则z 的模为 ． 3．已知23112log log a a+=，则a = ．4．右面茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则乙的平均成绩超过甲的概率为 ．5．若双曲线221y x k-=的焦点到渐近线的距离为k 的值是 ．6．如图所示的“双塔”形立体建筑，已知P ABD -和Q CBD -是两个高相等的正三棱锥， 四点,,,A B C D 在同一平面内．要使塔尖,P Q 之间的距离为50m ，则底边AB 的长为 m ．7．下面求258112012+++++ 的值的伪代码中，正整数m 的最大值为 ． 8．向量(cos10,sin10),(cos70,sin70)== a b ，2-a b = ．9．对于函数()y f x =，若存在区间[,]a b ，当[,]x a b ∈时的值域为[,]ka kb (0)k >，则称()y f x =为k 倍值函数．若()ln f x x x =+是k 倍值函数，则实数k 的取值范围是 10．函数42sin 1()1xy x R x x =-∈++的最大值与最小值之和为PQABCD第6题图I ←2S ←0While I ＜m S ←S+I I ←I+3 End While Print S End（第7题图）11．已知半椭圆()222210,0y x y a b a b+=≥>>和半圆()2220x y b y +=≤组成的曲线C 如图所示．曲线C 交x 轴于点,A B ，交y 轴于点,G H ，点M 是半圆上异于,A B 的任意一点，当点M位于点时，AGM ∆的面积最大，则半椭圆的方程为 ．12．已知||3AB =，C 是线段AB 上异于A ，B 的一点，,ADC BCE ∆∆均为等边三角形，则CDE ∆的外接圆的半径的最小值是 ．13．已知实数x 、y 满足205040x y x y y -≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，若不等式222()()a x y x y +≥+恒成立，则实数a 的最小值是 ．14．设等比数列{}n a 满足公比*,*n q N a N ∈∈，且{}n a 中的任意两项之积也是该数列中的一项，若8112a =，则q 的所有可能取值的集合为 ．第11题图ACDBE第12题图模拟七答题纸 得分一、填空题（每小题5分，计70分）1． 2． 3． 4． 5． 6． 7． 8． 9． 10． 11． 12． 13． 14．二．解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分14分）已知0αβπ<<<<π,且5sin()13αβ+=, 1tan α=． （1）求cos α的值；（2）证明：sin β>513．16．（本题满分14分）如图，正方形ABCD 所在的平面与三角形CDE 所在的平面交于CD ，AE ⊥平面CDE ，且2AB AE =．（1）求证：//AB 平面CDE ； （2）求证：平面ABCD ⊥平面ADE ；ABCDE（第16题图）学校________ ___ 班级 _____ _____ 姓名 ___________ 考号____ ___装订线内请勿答题17．（本小题满分14分）某企业投入81万元经销某产品，经销时间共60个月，市场调研表明，该企业在经销这个产品期间第x 个月的利润函数()()()1,120*,1,2160*10x x N f x x x x N ⎧≤≤∈⎪=⎨≤≤∈⎪⎩（单位：万元）．为了获得更多的利润，企业将每月获得的利润再投入到次月的经营中．记第x 个月的当月利润率为()x g x x =第个月的利润第个月的资金总和，例如()()()()338112f g f f =++．（1）求()10g ； （2）求第x 个月的当月利润率；（3）求该企业经销此产品期间，哪一个月的当月利润率最大，并求出该月的当月利润率．18．（本小题满分16分）已知函数2()ln ,af x x a x=+∈R ． （1）若函数()f x 在[2,)+∞上是增函数，求实数a 的取值范围； （2）若函数()f x 在[1,]e 上的最小值为3，求实数a 的值．19．（本小题满分16分）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左顶点为A ，左、右焦点分别为12,F F ，且圆C ：22360x y y +--=过2,A F 两点．（1）求椭圆标准的方程；（2）设直线2PF 的倾斜角为α，直线1PF 的倾斜角为β，当β－α＝2π3时，证明：点P 在一定圆上；（3）设椭圆的上顶点为Q ，在满足条件（2）的情形下证明：PQ 1PF =+2PF ．20．（本小题满分16分）已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足：()1n n n S t S a =-+（t 为常数，且0,1t t ≠≠）． （1）求{}n a 的通项公式；（2）设2n n n n b a S a =+⋅，若数列{}n b 为等比数列，求t 的值；（3）在满足条件（2）的情形下，设41n n c a =+，数列{}n c 的前n 项和为n T ，若不等式 12274nkn n T ≥-+-对任意的*n N ∈恒成立，求实数k 的取值范围．数学参考答案1．{}1,0,1-【解析】由{}|2U A x x =<ð，得()U A B = ð{}1,0,1-．2【解析】因为z z =，所以两边同时取模可得z = 32311log 2log 3log 62log log a a a a a+=+==，知26a =，因为0a >，所以a = 4．110【解析】由图示可知，甲的平均成绩为90，若要符合题意，被污损的数字只能是9，故所求概率为110． 5．8【解析】显然，0k >，双曲线的渐近线方程为y =，焦点坐标是()， 由距离公式，得8k =．6．由正三棱锥的概念知，顶点,P Q 在底面的射影分别是正三角形ABD 和正三角形BCD 的中心，因为高相等，所以塔尖,P Q 之间的距离即为两个正三角形中心间的距离，由平面几何易知，底边AB的长为7． 2015【解析】由伪代码知，这是当型循环结构的算法，由于m 是正整数，所以最大值为2015． 89．∵1()10f x x '=+>，∴()f x 在(0,)+∞上是增函数， ∴ln ,ln ,a a ka b b kb +=⎧⎨+=⎩即,a b 是方程ln x x kx +=的两个不等的正实数根，问题等价于方程ln 1xk x-=有两个不等的正根． 设ln ()x g x x =，易得101k e <-<，∴1(1,1)e+． 10．2【解析】42sin ()1xg x x x =++是奇函数，奇函数的最大值与最小值之和为0， 11．()22102y x y +=≥【解析】由点在半圆上，所以1b =，而当点M位于点时，AGM ∆的面积最大可知，OM AG ⊥，即1OM AG k k ⋅=-，a =()22102y x y +=≥． 12．设,,AC m CB n ==则3m n +=，在CDE ∆中，由余弦定理， 知2222cos DE CD CE CD CE DCE =+-⋅∠222()393m n mn m n mn mn =+-=+-=-又29(),24m n mn +≤=当且仅当32m n ==时，取“=”，所以32DE ≥，又CDE ∆的外接圆的半径2sin DE R DCE ==≥∠． 13．{}8127932,2,2,2,2【解析】由题意，8112n n a q -=，设该数列中的任意两项为,m l a a ，它们的积为p a ， 则m l p a a a ⋅=，即811811811222m l p qqq---⋅=，,,,*q m l p N ∈ ，8112p m l q --+∴=，故1p m l --+必是81的正约数，即1p m l --+的可能取值为1,3,9,27,81，即811p m l --+的可能取值为1,3,9,27,81，所以q 的所有可能取值的集合为{}8127932,2,2,2,2．14．95【解析】则()()2222222221x y xy x y a x y x y x y y x+++≥==++++． 设y t x =（表斜率），则[2t ∈，]4，则152t t ⎡+∈⎢⎣，174⎤⎥⎦， 故max2915x y y x ⎛⎫ ⎪ ⎪+= ⎪+ ⎪⎝⎭，所以95a ≥． 即min 95a =． 15．解：解：（1）将1tan 22α=代入22tan 2tan 1tan 2ααα=-得4tan 3α=（4分） 所以22sin 4cos 3sin cos 1 αααα⎧=⎪⎨⎪+=⎩，，又()π0 2α∈，，解得3cos 5α=．（6分）（2）易得π3π22αβ<+<，又5sin()13αβ+=,所以()12cos 13αβ+=-，（8分）由（1）可得4sin α=，（10分）所以()()53124635sin sin 1351356513βαβα=+-=⨯--⨯=>⎡⎤⎣⎦．（14分）16． 证明：（1）正方形ABCD 中，//AB CD ，又AB ⊄平面CDE ， CD ⊂平面CDE ， 所以//AB 平面CDE ．（6分） （2）因为AE CDE ⊥平面， 且CD CDE ⊂平面， 所以AE CD ⊥，（8分）又 ABCD CD AD ⊥正方形中，， 且AE AD A = ，AE AD ADE ⊂、平面， 所以CD ADE ⊥平面，（12分） 又CD ABCD ⊂平面，所以ABCD ADE ⊥平面平面．（14分） 17．解：（1）依题意得()()()()12391f f f f ===== ， ()()()()()101108112990f g f f f ∴==++++ ． ----------------------------------4分 （2）当1x =时，()1181g =． 当120x <≤时，()()()()1211f f f x f x ===-== ，则 ()()()()()18112180f x g x f f f x x==++++-+ ， 而1x =也符合上式，故当120x ≤≤时，()180g x x =+． 当2160x ≤≤时，()()()()()()()811220211f x g x f f f f f x =+++++++-()()()()2112101021208120211160010120x xx x x f f x x x ===-+++++--++， 所以，第x 个月的当月利润率为()21,120802,21601600x xg x x x x x ⎧≤≤⎪⎪+=⎨⎪≤≤⎪-+⎩．--------------------------10分（3）当120x <≤时，()180g x x =+是减函数，此时()g x 的最大值为()1181g =． 当2160x ≤≤时，()222216001600791x g x x x x x x==≤-++-，当且仅当1600x x=，即40*x N =∈时，()g x 有最大值为279．217981>，∴当40x =时，()g x 有最大值为279， ----------------------------------13分即该企业经销此产品期间，第40个月的当月利润率最大，其当月利润率为279．-------14分 18．解：（1）∵2()ln a f x x x =+，∴212()af x x x'=-．………………………………1分 ∵()f x 在[2,)+∞上是增函数，∴212()af x x x'=-≥0在[2,)+∞上恒成立，即a ≤2x 在[2,)+∞上恒成立．…………… 4分令()2xg x =，则a ≤[]min (),[2,)g x x ∈+∞．∵()2xg x =在[2,)+∞上是增函数，∴[]min ()(2)1g x g ==．∴1≤a ．所以实数a 的取值范围为(,1]-∞． …………………………7分（2）由（1）得22()x af x x -'=，[1,]x e ∈．①若21a <，则20x a ->，即()0f x '>在[1,]e 上恒成立，此时()f x 在[1,]e 上是增函数．所以()min(1)23f x f a ===⎡⎤⎣⎦，解得32a =（舍去）． ………………………………10分 ②若12a e ≤≤，令()0f x '=，得2x a =．当12x a <<时，()0f x '<，所以()f x 在(1,2)a 上是减函数，当2a x e <<时，()0f x '>，所以()f x 在(2,)a e 上是增函数． 所以()()min2ln(2)13f x f a a ==+=⎡⎤⎣⎦，解得22e a =（舍去）．…………………13分③若2a e >，则20x a -<，即()0f x '<在[1,]e 上恒成立，此时()f x 在[1,]e 上是减函数． 所以()()min 213af x f e e ==+=⎡⎤⎣⎦，所以a e =．综上所述，a e =． ……………………………16分19．解：（1）圆22360x y y +--=与x 轴交点坐标为(A -，2F ，故a c =3b =，∴椭圆方程是：221129x y +=．（2）设点P （x ，y ），因为1F （－3，0），2F （3，0），设点P （x ，y ），则1PF k ＝tan β＝y x ＋3,2PF k ＝tan α＝yx －3，因为β－α＝2π3，所以tan(β－α)＝－3．因为tan(β－α)＝tan β－tan α1＋tan αtan β＝－23yx 2＋y 2－3，所以－23y x 2＋y 2－3＝－3．化简得x 2＋y 2－2y ＝3．所以点P 在定圆x 2＋y 2-2y ＝3上． （3）∵PQ 2＝x 2＋(y －3)2＝x 2＋y 2－6y ＋9，因为x 2＋y 2＝3＋2y ，所以PQ 2＝12－4y ．又PF 12＝(x ＋3)2＋y 2＝2y ＋6＋23x ，PF 22＝(x －3)2＋y 2＝2y ＋6－23x ， ∴2P F 1×P F 2＝24(y ＋3)2－12x 2＝4(y ＋3)2－3x 2，因为3x 2＝9－3y 2＋6y ，所以2 P F 1×P F 2＝44y 2， ∵β＝α+2π3 > 2π3，又点P 在定圆x 2＋y 2－2y ＝3上，∴y ＜0，所以2 P F 1×P F 2＝－8y ，从而(P F 1+P F 2)2＝PF 12＋2 P F 1×P F 2＋PF 22＝4y ＋12－8y ＝12－4y ＝PQ 2．11 所以PQ ＝PF 1＋PF 2．20． 解：（1）当1n =时，()1111S t S a =-+，得11a =． -----------------------------------1分当2n ≥时，由()1n n n S t S a =-+，即()1n n t S ta t -=-+，①得，()111n n t S ta t ---=-+，②①-②，得()11n n n t a ta ta --=-+，即()11,2n n n n a a ta t n a --=∴=≥， {}n a ∴是等比数列，且公比是t ，n n a t ∴=． -----------------------------------5分（2）由（1）知，()()211n n nn t t b t t t -=+⋅-，即212121n n n n t t t b t +++-=-， ----------------------7分 若数列{}n b 为等比数列，则有2213b b b =⋅，而()()23421232,21,21b t b t t b t t t ==+=++，故()()()2324221221t t t t t t ⎡⎤+=⋅++⎣⎦，解得12t =， 再将12t =代入n b ，得1()2n n b =， 由112n n b b +=，知{}n b 为等比数列， 12t ∴=． -----------------------------------10分 （3）由12t =，知1()2n n a =，14()12n n c ∴=+， 111422441212n n n T n n ⎛⎫- ⎪⎝⎭∴=⨯+=+--， 由不等式12274n k n n T ≥-+-恒成立，得2732n n k -≥恒成立，-----------------------------------12分 设272n n n d -=，由111252729222n n n n n n n n d d +++---+-=-=， ∴当4n ≤时，1n n d d +>，当4n ≥时，1n n d d +<， -----------------------------------14分 而454513,,1632d d d d ==∴<， 313,3232k k ∴≥∴≥． -----------------------------------16分。