C语言求信息熵,条件熵,联合熵
符号 信息熵的求解 c++全程序 能运行
{ float s=0; printf("\nplease in put the dimension of 'X' and 'Y'\n"); scanf("%d %d",&n,&m); printf("\nThe dimension of X is n=%d\nThe dimension of Y is m=%d\nPlease input the condition probability:P(y[j]/x[i]),",n,m); printf("(after you input one number please click the 'enter')\n"); /*条件概率P(y[j]/x[i])赋值*/ for(i=1;i<=n;i++) {for(j=1;j<=m;j++) {printf("P(y[%d]/x[%d])=",j,i); scanf("%f",&Pypx[i][j]); } } printf("please input P(x[i]):(after you input one number please click the 'enter')\n"); for(i=1;i<=n;i++) {printf("P(x[%d])=",i); scanf("%f",&Px[i]); } /*判断输入X的概率是否正确，不正确则退出程序*/ for(i=1;i<=n;i++) {if((Px[i]<0)||(Px[i]>1)) {printf("Please input right value of probability\n"); goto End_exe; } s+=Px[i]; } if(s!=1) {printf("Please input the right value of probability\n"); goto End_exe; } for(i=1;i<=n;i++) {s=0; for(j=1;j<=m;j++) {s+=Pypx[i); printf("\nThe entropy of X :H(X)=%f\n",H_X); H_Y=entropy(Py,m); printf("\nThe entropy of Y :H(Y)=%f\n",H_Y); /*输出联合熵*/ H_XY=joint_entropy(Pxy); printf("\nThe joint entropy of X and Y :H(XY)=%f\n",H_XY); /*输出条件熵*/ H_XpY=H_XY-H_Y; H_YpX=H_XY-H_X; printf("\nThe conditional entropy:\nH(X/Y)=%f\t\tH(Y/X)=%f\n",H_XpY,H_YpX); End_exe:; }
信息熵 条件熵 信息增益
信息熵条件熵信息增益
一、信息熵：
信息熵（Entropy）是描述系统复杂程度的概念。
它是由美国数学家弗里德曼（Claude Shannon）提出的，又称熵，英文叫information entropy，代表着未知系统的不确定性，越大表示系统的不确定性越大，即信息量越大。
信息熵的正式定义为：
设X是取有限个值的离散型随机变量，其概率分布为p1,p2,…pn，则X的信息熵定义为：
H(X)=∑pi log2pi
其中pi是X取第i个值的概率。
二、条件熵：
条件熵（Conditional Entropy）又称为条件信息熵，是描述随机变量X关于随机变量Y所产生的不确定性。
它是系统中由Y变量引起的，关于X变量的不确定性的度量。
条件熵的正式定义为：
设X和Y是离散随机变量，则Y给定X的条件下X的条件熵定义为：
H(X|Y)=∑p(x,y)log2p(x,y)
其中p(x,y)是X和Y同时取第x个和第y个值的概率。
三、信息增益：
信息增益（Information Gain）是信息论中的一个术语，中文译
为“信息增益”，是熵的减少，用来衡量待分类特征与被预测属性之间的相关性。
它实际上代表了由一个特征值划分数据集的有效性，也就是说，该特征能够带来多大的“信息量”，也就是减少多少的熵值。
信息增益的正式定义为：
设X是随机变量，Y是类别变量，H(X),H(Y) 分别表示X,Y的信息熵，那么，X给Y带来的信息增益g(X,Y)定义为：
g(X,Y)=H(Y)-H(Y|X)
即信息增益等于类别Y的信息熵减去给定X后类别Y的条件熵。
信息论与编码基本概念
信息论与编码基本概念信息论是一门研究信息传输和处理的学科，而编码则是信息论的重要组成部分。
信息论的基本概念包括信息熵、条件熵、联合熵以及信道容量等。
本文将介绍这些基本概念，并探讨它们在信息处理中的应用。
1. 信息熵信息熵是信息论中的一个重要概念，用来度量信息的不确定性或者信息的平均信息量。
对于一个离散随机变量X，其熵定义为：H(X) = -Σp(x)log2(p(x))其中, p(x) 是随机变量X取值为x的概率。
信息熵越大，代表信息的不确定性越高。
2. 条件熵条件熵是在给定了某些条件的情况下，随机变量的熵。
对于两个随机变量X和Y，条件熵H(X|Y)表示在已知Y的情况下，随机变量X的不确定性。
条件熵可以计算为：H(X|Y) = -ΣΣp(x,y)log2(p(x|y))其中，p(x,y) 是随机变量X和Y的联合分布。
3. 联合熵联合熵是指两个随机变量的联合分布的熵。
对于X和Y两个随机变量，其联合熵可以计算为：H(X,Y)= -ΣΣp(x,y)log2(p(x,y))4. 信道容量信道容量是指在信道传输过程中，能够传输的最大信息量。
信道容量由香农定理给出，其计算公式为：C = B*log2(1+S/N)其中，B是信道的带宽，S是信号的平均功率，N是噪声的功率。
信道容量取决于信号与噪声之比，当信号强于噪声时，信道容量较大。
信息论的基本概念与编码密切相关。
编码是指将输入的信息转换为一系列编码符号，以便在信道中传输或储存。
编码可以通过增加编码的冗余性来提高信息的可靠性，并且可以通过编码方式的设计来减少传输的误码率。
常见的编码方式包括香农-离散傅里叶变换编码、霍夫曼编码、矩阵幂搅拌编码等。
这些编码方式根据不同的需求和约束条件，来实现信息的高效传输与存储。
总结：信息论与编码是信息科学中重要的领域，它研究信息的度量、传输与处理。
信息熵、条件熵、联合熵和信道容量是信息理论的基本概念，用于度量信息的不确定性、传输的可靠性等。
详解机器学习中的熵、联合熵、条件熵、相对熵和交叉熵
详解机器学习中的熵、联合熵、条件熵、相对熵和交叉熵原⽂地址：1、信息熵 (information entropy)熵 (entropy) 这⼀词最初来源于热⼒学。
1948年，克劳德·爱尔伍德·⾹农将热⼒学中的熵引⼊信息论，所以也被称为⾹农熵 (Shannon entropy)，信息熵 (information entropy)。
本⽂只讨论信息熵。
⾸先，我们先来理解⼀下信息这个概念。
信息是⼀个很抽象的概念，百度百科将它定义为：指⾳讯、消息、通讯系统传输和处理的对象，泛指⼈类社会传播的⼀切内容。
那信息可以被量化么？可以的！⾹农提出的“信息熵”概念解决了这⼀问题。
⼀条信息的信息量⼤⼩和它的不确定性有直接的关系。
我们需要搞清楚⼀件⾮常⾮常不确定的事，或者是我们⼀⽆所知的事，就需要了解⼤量的信息。
相反，如果我们对某件事已经有了较多的了解，我们就不需要太多的信息就能把它搞清楚。
所以，从这个⾓度，我们可以认为，信息量的度量就等于不确定性的多少。
⽐如，有⼈说⼴东下雪了。
对于这句话，我们是⼗分不确定的。
因为⼴东⼏⼗年来下雪的次数寥寥⽆⼏。
为了搞清楚，我们就要去看天⽓预报，新闻，询问在⼴东的朋友，⽽这就需要⼤量的信息，信息熵很⾼。
再⽐如，中国男⾜进军2022年卡塔尔世界杯决赛圈。
对于这句话，因为确定性很⾼，⼏乎不需要引⼊信息，信息熵很低。
其中负号是⽤来保证信息量是正数或者零。
⽽ log 函数基的选择是任意的（信息论中基常常选择为2，因此信息的单位为⽐特bits；⽽机器学习中基常常选择为⾃然常数，因此单位常常被称为奈特nats）。
I(x) 也被称为随机变量 x 的⾃信息 (self-information)，描述的是随机变量的某个事件发⽣所带来的信息量。
图像如图：H(X) 就被称为随机变量 x 的熵,它是表⽰随机变量不确定的度量，是对所有可能发⽣的事件产⽣的信息量的期望。
从公式可得，随机变量的取值个数越多，状态数也就越多，信息熵就越⼤，混乱程度就越⼤。
信息熵 条件熵
信息熵条件熵信息熵是信息论中的一个重要概念，它衡量了一个信息源所含信息的度量标准，使得我们能够对信息的不确定程度有一个准确的认识。
与此相伴随的，还有一个概念叫做条件熵，它在决策树算法等机器学习领域中有着广泛的应用。
信息熵是信息理论中的一个基础概念，指的是从一个信息源中获取到的信息所含的不确定性大小。
它的计算方式为：$H(X) = -\sum_{i=1}^{n}p_i\log_2{p_i}$，其中$p_i$表示每个可能的事件发生概率，n表示事件的总量。
这里的负号表示信息熵为非负数。
对于一组数据来说，信息熵的计算实际上可以理解为一个求和操作，对于每个不同的事件概率来说，我们都会计算它的信息熵大小，并将不同事件的信息熵值累加。
条件熵是指在某些已知前提条件下，对一个随机变量的熵的期望。
这个概念用数学公式表达为：$H(Y|X) = \sum_{i=1}^{n}P(X=x_i)H(Y|X=x_i)$。
其中，$H(Y|X)$表示在$X$已知的条件下，$Y$的不确定熵，$x_i$表示$X$的一个取值，$P(X=x_i)$表示$X$取值为$x_i$的概率。
我们可以理解为，条件熵是在已知某些观测数据的基础上，对事件分布进行重新制定，从而重新计算信息熵的过程。
可以看出，条件熵是对未知部分进行求和，通过消除已知部分的影响，进而推算出未知的大小。
综合来看，信息熵和条件熵在信息学、机器学习等领域都有着广泛的应用，特别是在分类算法中，条件熵是决策树算法的核心概念之一。
通过对条件熵的计算，我们可以对数据样本进行深层次的剖析，并推演出以下步骤：1. 将数据集按照某些属性进行划分，形成节点。
可以选择各种方法，比如ID3算法中使用信息熵最大的属性建立节点。
2. 针对当前节点的数据，统计各自类别的数量，计算信息熵。
3. 对所有可能的结点和各自的样本计算条件熵。
4. 选择条件熵最小的节点作为下一次划分标准。
5. 循环以上步骤，重复执行直到构建好整个决策树。
熵的三个基本公式推导
熵的三个基本公式推导定义熵：熵是信息论里一个重要的概念，它描述了一个信息源的无序程度。
它是利用概率与越来越复杂的系统的自然联系的结果，它的概率分布决定了系统的复杂性程度，又叫信息熵或者自由熵。
基本公式推导：1、Shannon熵基本定义为了表示信息质量，公式熵定义如下：H = - ∑ P（x）logP（x）其中H代表熵，P（x）表示x事件发生的概率。
这里的定义是利用概率的概念，因为系统的复杂性和可能发生的偶然事件线性相关。
熵的定义是把概率分布作为信息的量度标准，这里把logP（x）看做信息量，用熵来衡量概率分布信息量的大小。
2、期望熵期望熵是指一个随机变量满足给定事件发生的概率分布时，其熵的数学期望。
带入，有：H(P)=E{-logP(x)}=–∑P(x)logP(x)其中H(P)代表期望熵，P(x)是x在此概率分布中发生的概率，E{-logP(x)}是x发生的熵的期望值。
3、条件熵条件熵的定义是在给定一个事件X的条件下，随机变量Y的熵。
利用公式：H（Y）=E(-logP（Y|X）)=积分P（X）[-积分P（Y|X）logP（YlX）]dX其中H（Y）表示条件熵，P（Y|X）是给定事件X的条件下，随机变量Y发生的概率。
结论：熵是信息论中一种重要概念，它有助于描述一个信息源的无序程度，并衡量概率分布信息量的大小。
Shannon熵和期望熵可以用来表示概率空间中熵的大小，而条件熵则可以表示给定一个事件X的条件下，随机变量Y的熵。
通过推导熵的三个基本公式，我们可以得出结论：熵是一个数值，反映的是系统的复杂性和可能发生的偶然事件的线性关系，它是利用概率和越来越复杂的系统的自然联系的结果。
条件熵联合熵及熵的性质
得联合概率：
p(x0y0) = p(x0) p(y0 |x0) = 2/3×3/4 = 1/2 p(x0y1) = p(x0) p(y1 |x0) = 0 p(x0y2) = p(x0) p(y2 |x0) = 2/3×1/4 = 1/6 p(x1y0) = p(x1) p(y0 |x1) = 0 p(x1y1) = p(x1) p(y1 |x1) = 1/3×1/2=1/6 p(x1y2) = p(x1) p(y2 |x1) = 1/3×1/2=1/6
mn
?? ? ?
p ( xi y j ) log p ( xi / y j )
j?1 i?1
nm
?? H (Y / X) ? E[ I ( yj / xi )] ? ?
p(xi y j ) log 2 p( y j / xi )
i?1 j?1
条件熵是一个确定值，表示信宿在收到 Y后，信源X仍然存 在的不确定度。这是传输失真所造成的。有时称 H(X/Y)为 信道疑义度，也称损失熵。称条件熵H(Y/X)为噪声熵。
扩展性
? 扩展性
lim
?? 0
H
K
(
p1
,
p2
,?
, pK ? ?, ?) ? H K ( p1, p2 ,?
, pK )
这说明信源空间中增加某些概率很小的
符号，虽然当发出这些符号时，提供很大的
信息量，但由于其概率接近于 0，在信源熵中
占极小的比重，lim
持不变。
?? 0
?
log
2
?
?
0
，使信源熵保
可加性
? 可加性 H ( XY ) ? H ( X ) ? H (Y / X )
概述信息熵,联合熵,条件,互信息,信息增益,kl散度的概念,它们之间的关系和各自用途
概述信息熵,联合熵,条件,互信息,信息增益,kl散度的概念,它们之间的关系和各自用途信息熵、联合熵、条件熵、互信息、信息增益和KL散度是信息论中的重要概念，用于衡量不同信息之间的关系和信息的不确定度。
信息熵是信息论中最基本的概念之一，用来衡量一个随机变量的不确定性。
它表示的是一个事件发生的概率分布的平均信息量。
熵越大，代表不确定性越高。
联合熵是用来衡量两个随机变量同时发生时的不确定性。
它是两个随机变量的概率分布的平均信息量。
条件熵是在给定一个随机变量的条件下，另一个随机变量的不确定性。
条件熵等于联合熵减去给定随机变量的熵。
互信息是用来衡量两个随机变量之间的相关性或者相互依赖程度。
互信息等于联合熵减去两个随机变量的独立熵。
信息增益是在决策树算法中使用的一个概念，用来衡量一个特征对于分类任务的重要性。
信息增益等于原始熵减去给定一个特征后的条件熵。
KL散度（Kullback-Leibler散度）是用来衡量两个概率分布之间的差异性。
它描述的是一个概率分布相对于另一个概率分布的信息差异。
KL散度越小，表示两个分布越接近。
这些概念之间有着密切的关系。
互信息可以通过联合熵和条件熵计算得到。
KL散度也可以通过互信息和熵计算得到。
它们各自的用途也不同。
信息熵可以用来评估一个随机变量的不确定性，联合熵和条件熵可以用来衡量两个随机变量之间的不确定性和相关性，互信息可以用来衡量两个随机变量之间的相关性，信息增益可以用来选择最重要的特征，而KL散度可以用来衡量两个概率分布之间的相对差异。
总之，信息熵、联合熵、条件熵、互信息、信息增益和KL散度是信息论中用来衡量不确定性和相关性的重要概念，它们有着密切的关系，可以在分类、聚类等机器学习任务中发挥重要作用。
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#include<stdio.h>
#include<math.h>
#define u 20
int i,j,n,m;
float H_X,H_Y,H_XY,H_XpY,Pypx[u][u],Px[u],H_YpX,Py[u],Pxpy[u][u],Pxy[u][u];
/*H_X=H(X)平均自信息；H_XY=H(XY)联合熵;H_XpY=H(X|Y)、H_YpX=H(Y|X)条件熵; Pypx[i][j]=P(y[j]|x[i])条件概率;Px[i]=P(x[i])发x[i]的概率；
H_XpY=H(Y/X)条件熵;Py[j]=P(y[j])收到y[j]的概率；
Pxpy[i][j]=P(x[i]/y[j])条件概率；Pxy[i][j]=P(x[i]y[j])联合概率*/
/*定义以2为底的对数函数*/
float log2(float x)
{
float z;
z=(float)(log(x)/log(2));
return z;
}
H X函数*/
/*求信源熵()
float entropy(float *x,int n)
{
float z=0;
for(i=1;i<=n;i++)
{
z+=(*(x+i))*log2(1/(*(x+i)));
}
return z;
}
/*求联合熵的函数*/
float joint_entropy(float (*p)[u])
{ float z=0;
for(i=1;i<=n;i++)
for(j=1;j<=m;j++)
{ z+=*(p[i]+j)*log2(1/(*(p[i]+j))); }
return z; }
main()
{
float s=0;
printf("\nplease in put the dimension of 'X' and 'Y'\n");
scanf("%d %d",&n,&m);
printf("\nThe dimension of X is n=%d\nThe dimension of Y is m=%d\nPlease input the condition probability:P(y[j]/x[i]),",n,m);
printf("(after you input one number please click the 'enter')\n");
/*条件概率P(y[j]/x[i])赋值*/
for(i=1;i<=n;i++)
{for(j=1;j<=m;j++)
{printf("P(y[%d]/x[%d])=",j,i);
scanf("%f",&Pypx[i][j]);
}
}
printf("please input P(x[i]):(after you input one number please click the 'enter')\n");
for(i=1;i<=n;i++)
{printf("P(x[%d])=",i);
scanf("%f",&Px[i]);
}
/*判断输入X的概率是否正确，不正确则退出程序*/
for(i=1;i<=n;i++)
{if((Px[i]<0)||(Px[i]>1))
{printf("Please input right value of probability\n");
goto End_exe;
}
s+=Px[i];
}
if((s-1)*(s-1)>0.001)
{printf("Please input the right value of probability\n");
goto End_exe;
}
for(i=1;i<=n;i++)
{s=0;
for(j=1;j<=m;j++)
{s+=Pypx[i][j];
}
if((s-1)*(s-1)>0.001)
{printf("Please input the right value of probability\n");
goto End_exe;
}
}
/*计算Py[j]=P(y[j])收到y[j]的概率；Pxpy[i][j]=P(x[i]/y[j])条件概率；Pxy[i][j]=P(x[i]y[j])联合概率*/
for(i=1;i<=n;i++)
{for(j=1;j<=m;j++)
{Pxy[i][j]=Pypx[i][j]*Px[i];
printf("Px[%d]y[%d]=%f\n",i,j,Pxy[i][j]);
}
}
for(j=1;j<=m;j++)
{
s=0;
for(i=1;i<=n;i++)
s+=Pxy[i][j];
Py[j]=s;
printf("P(y[%d])=%f\n",j,Py[j]);
}
for(i=1;i<=n;i++)
{for(j=1;j<=m;j++)
{Pxpy[i][j]=Pxy[i][j]/Py[j];
printf("P(x[%d]/y[%d])=%f\n",i,j,Pxpy[i][j]);
}
}
/*结束计算Py[j]=P(y[j])收到y[j]的概率；
Pxpy[i][j]=P(x[i]/y[j])条件概率；
Pxy[i][j]=P(x[i]y[j])联合概率*/
H X*/
/*输出信源熵()
H_X=entropy(Px,n);
printf("\nThe entropy of X :H(X)=%f\n",H_X);
H_Y=entropy(Py,m);
printf("\nThe entropy of Y :H(Y)=%f\n",H_Y);
/*输出联合熵*/
H_XY=joint_entropy(Pxy);
printf("\nThe joint entropy of X and Y :H(XY)=%f\n",H_XY);
/*输出条件熵*/
H_XpY=H_XY-H_Y;
H_YpX=H_XY-H_X;
printf("\nThe conditional entropy:\nH(X/Y)=%f\t\tH(Y/X)=%f\n",H_XpY,H_YpX); End_exe:;
}。