第8章_图与网络分析

V = {v1 , v2 , v3 , v4 , v5 , v6 }， A = {(v1 , v3 ) , (v2 , v1) , (v2 , v3 ) , ( v2 , v5 ) , ( v3 , v5 ) , ( v4 , v5 ) ,
v1 v3 v5 v2
v4 v6
( v5 , v4 ) , ( v5 , v6 ) }
v2
v1
e1 e2 e3 v3
e4 e5 e6 e7
v4 e9 e8 v6
e10
v5
图的连通性 v1 e1 v3 e2
v5
链：设图G=（V，E ）中有一个点、边交替序 e e3 列 { v e4 ,e ,v ,5…v e,e e7 1 1 2 n-1 6 n-1 ,vn}，若 ei=(vi,vi+1)，即这(n-1)条边把n个顶点串 G v2 连起来，我们称这个交替序列为图 e8 v4 e 9 v6 v中的 8 一条链，而称点 v1 ,v n为该链的两个端点。 简单链 ： =（ v ， v ， v ， v ，v ，v ， v ）
1 2 1 3 6 4 3 5
v7
初等链：2=（v2，v1，v3，v5）
对于简单图链也可以仅用点的序列来表示。 •如果一条链的两个端点是同一个点，则称它为闭链或圈； •如果一条链的各边均不相同，则称此链为简单链； •更若一条链的各点、各边均不相同，则称该链为初等链。
图的连通性
11、图中任意两点之间均至少有一条通路，则称此图 为连通图，否则称为不连通图。 最短链:网络中链上权值的和称为链的长度， 以点v1,vn为端点的诸链中长度最短的链 称为这两点的最短链。 连通图：如果图G=（V，E）中的任意两点都 是其某一条链的两个端点，则称图G是连 通图，否则，称图G是不连通的。
e3 e v4 4
e9
定理1 定理2
任何图中，顶点次数的总和等于边数的2倍。 在任一图中，奇点的个数必为偶数。
证明：由于每条边必与两个顶点关联，在计算点的次时，每条边均被计算了两次，所 以顶点次数的总和等于边数的2倍。
证明：设V1和V2分别为图G中奇点与偶点的集合。由定理1可得：
vV1
d ( v ) d ( v ) d ( v ) 2m
e5
v5
（二）图的矩阵表示 对于网络（赋权图）G=（V，E），其中边 (vi , v j ) 有权 w i j ，构造矩阵 A (ai j )nn ，其中：
wi j ai j 0 (v i , v j ) E (v i , v j ) E
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称矩阵A为网络G的权矩阵 设图G=（V，E）中顶点的个数为n，构造一个
图与网络分析
(Graph Theory and Network Analysis)
图与网络的基本知识
中国邮路问题
最短路问题 最大流问题
引
言
图论是应用非常广泛的运筹学分支，它已 经广泛地应用于物理学控制论，信息论，工程 技术，交通运输，经济管理，电子计算机等各 项领域。对于科学研究，市场和社会生活中的 许多问题，可以同图论的理论和方法来加以解 决。例如，各种通信线路的架设，输油管道的 铺设，铁路或者公路交通网络的合理布局等问 题，都可以应用图论的方法，简便、快捷地加 以解决。
10、由两两相邻的点及其相关联的边构成的点边序列 称为链。
(vi0 , ei1 , vi1 , ei2 ,, vik 1 , eik , vik )，且eit (vit 1 , vit )(t 1,, k )
链长为k，vi0、vik 分别为链的起点和终点。
若链中所含的边均不相同，称为简单链 所含的点均不相同的链称为初等链 , 也称通路。
vV2 vV
d ( v ) 也为偶数，所以 d (v ) 必为偶数，即奇数点的个数必 2m为偶数，且偶点的次之和 v V2 vV1 为偶数。
有向图中： 以vi 为始点的边数称为点vi 的出次，用 d (v ) 表示； i 以vi 为终点的边数称为点vi 的入次，用 d (vi ) 表示； vi 点的出次和入次之和就是该点的次。 所有顶点的入次之和等于所有顶点的出次之和。
为不连通图， 有两个连通分 图组成
v1 e3 v2
e1 v3 e4 e8
e2 v5 e5 e6 v6
v7
e7 v8
v4 e9
图G (V , E ), 若E 是E的子集,V 是V的子集, 且E 中的边仅 与V 中的顶点相关联, 则称G (V , E )是G的一个子图. 特别地, 若V V , 则G称为G的生成子图(支撑子图).
e7 {v3 , v5 }
e9 {v6 , v6 }
4 3 4
v1
e6 {v3 , v5 } e8 {v5 , v6 } e10 {v1 , v6 }
e9
v6
图1
若有边e可表示为e=[vi,vj]，称vi和vj是边e
的端点，反之称边e为点vi或vj的关联边。若
点vi、vj与同一条边关联，称点vi和vj相邻；
例
V v1 ,v2 , v3 , v4 , v5 , v6
e1 e2 e5 e8 e6 v5 e7 v3 v2 e3 e v4 4
E {e1 ， e2 , e3 , e4 , e5 , e6 , e7 , e8 , e9 , e10 } e1 {v1 , v2 } e2 {v1 , v2 } e10 e3 {v2 , v3 } e {v , v } e5 {v1 , v3 }
9、在实际应用中，给定一个图G=（V，E）或有向图 D=（V，A），在V中指定两个点: 一个称为始点（或发点），记作v1 ， 一个称为终点（或收点），记作vn ， 其余的点称为中间点。 对每一条弧 (vi , v j ) A ，对应一个数 w i j ，称为弧上的 “权”。通常把这种赋权的图称为网络。
引例3
有六支球队进行足球比赛，我们分别用点 v1…v6 表示这六支球队，它们之间的比赛情况，也可以用 图反映出来，已知 v1队战胜 v2 队， v2队战胜v3 队， v3 队战胜 v5 队，如此等等。这个胜负情况，可以用下 图所示的有向图反映出来。
v2 v4
v1
v6
v3
v5
图的基本概念与模型
点：研究对象（车站、国家、球队）； 点间连线：对象之间的特定关系（陆地间有桥、铁 路线、两球队比赛及结果)。 对称关系：桥、道路、边界；用不带箭头的连线表 示，称为边。 非对称关系：甲队胜乙队，用带箭头的连线表示， 称为弧。 图：点及边（或弧）组成。
v2 e2 e8 e7 v3 v2
v2
e8 v1 v7 v5 (b) e1 e7 e9
v1
e1 e6
e9
e10 e4
e3 v4
v1
e1 e6 e7
v3
v7 e 11
e10 v7 e 11
v5 (c)
e6
v6
v4
v6
e5 (a)
v5
v6 e5
子图
支撑子图
在实际应用中, 给定一个图G (V , E )或有向图D (V , A), 在V中指定两个点, 一个称为始点(或发点), 记作v1 , 一个称为 终点(或收点), 记作vn , 其余的点称为中间点.对每一条弧
注意：一般情况下，图中的相对位置如何，点与点之间线 的长短曲直，对于反映研究对象之间的关系，显的并不重 要，因此，图论中的图与几何图，工程图等本质上不同。
一、图与网络的基本知识
（一）图与网络的基本概念
E A
D
B
C
1、一个图是由点和连线组成。（连线可带箭头，也 可不带，前者叫弧，后者叫边）
一个图是由点集 V v j 和 V 中元素的无序对的 集合 E {ek } 构成的二元组，记为G =(V，E)，其中 V 中的元素 v j 叫做顶点，V 表示图 G 的点集合； E 中的元素 ek 叫做边，E 表示图 G 的边集合。
矩阵 A (ai j )nn ，其中：
1 ai j 0 (v i , v j ) E (v i , v j ) E
称矩阵A为网络G的邻接矩阵
例
v6
v1
4
v2
7 3 2 v3 5
3
6
3
4 2 v4
权矩阵
v1 0 v2 4 v 3 0 A v4 6 v5 4 v6 3
e4
e5 e7
v4 e9 e8 v6 v1
v2
e1
e6 e7
v3
e2
v4
e10 v3
e6 v5
v6 e e8 e9 10 e4
e3
图3 图4 图3中, S {v1 , e1 , v2 , e3 , v3 , e5 , v4 , e7 , v5 , e8 , v4 , e4 , v2 } S1 {v1 , e1 , v2 , e3 , v3 , e5 , v4 , e7 , v5 } S2 {v2 , e3 , v3 , e5 , v4 , e7 , v5 , e8 , v4 , e4 , v2 } S3 {v1 , e1 , v2 , e3 , v3 , e2 , v1 } 当链(圈)上的边方向相同时，称为道路(回路). 图4中，S1 {v1 , e6 , v3 , e5 , v5 , e4 , v 6 }为一条道路. S2 {v4 , e9 , v5 , e10 , v4 }为一个回路. 一个图中任意两点间至少有一条链相连，则称此图 为连通图。任何一个不连通图都可以分为若干个连 通子图，每一个子图称为原图的一个分图。
若边ei和ej具有公共的端点，称边ei和ej相邻。
v1 e10 e1 e2 e5 e8 e6 v5 e7 v3 v2 e3 e v4 4
e9
v6
图1
2、如果一个图是由点和边所构成的，则称其为无 向图，记作 G = (V， E) ， 连接点的边记作 [vi , vj] ， 或 者 [vj , vi ]。 3、如果一个图是由点和弧所构成的，那么称它为 有向图，记作D=(V, A)，其中V 表示有向图D 的点集合， A 表示有向图D 的弧集合。一条方向从vi指向vj 的弧， 记作(vi , vj)。
8、以点v为端点的边的个数称为点v 的次，记作 d (v )
图中 d(v1)= 4，d(v6)= 4（环计两次）
v1 e10
v6 e8 e1 e2 e5 e6 v5 e7 v3 v2
次为零的点——孤立点 次为1的点——悬挂点 悬挂点的关联边——悬挂边 次为奇数的点——奇点 次为偶数的点——偶点
· v7
0 1 1 2 k 1 k k t t t
则称这个点边序列为连接vi 与vi 的一条链，链长为k
0 k
点边列中没有重复的点和重复边者为初等链。
无向图G中，连结vi 与vi 的一条链,当vi 与vi 是同一个点时,
0 k 0 k
称此链为圈.圈中既无重复点也无重复边者为初等圈.
v2 e1 v1 e2 e3
引例2
在实际的生产和生活中，人们为了反映事物之间的 关系，常常在纸上用点和线来画出各式各样的示意图。
天津 北京 济南 青岛 塘沽
徐州 郑州 武汉 南京 连云港 上海
左图是我国北京、上海、重庆等 十四个城市之间的铁路交通图， 这里用点表示城市，用点与点之 间的线表示城市之间的铁路线。 诸如此类还有城市中的市政管道 图，民用航空线图等等。
v5
邻接矩阵
v1 0 v2 1 v 3 0 B v 4 1 v 5 1 v6 1 v1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 v 2 v 3 v4 v5 v6
(vi , v j ) A, 对应一个数wij , 称为弧上的" 权 ".通常把这种
赋权的图称为网络.
无向图G (V , E ), 若图G中某些点与边的交替序列可以排成 (vi , ei , vi , ei ,..., vi , ei , vi )的形式, 且ei (vi 1 , vi )( t 1,..., k )
图2
4、一条边的两个端点是相同的, 称此边为环。
v1 e10
e1 e2 e5 e8 e6 v5 e7 v3 v2 e3 e v4 4
5、如果两个端点之间有两条 以上的边，称为多重边。
e9
v6
6、一个无环、无多重边的图称为简单图， 含有多重边的图称为多重图。 7、无向完全图——每一对顶点间都有边相连的简单图； 有向完全图——指每一对顶点之间有且仅有一条有 向边的简单图。