2019年高考数学北师大版理科第10章计数原理概率、随机变量及其分布第9节离散型随机变量的均值与方差学案理

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2019高考理数(北京专用)一轮课件：10 第十章计数原理与概率、随机变量及其分布第二节排列与组合

第二节
排列与组合
总纲目录
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教材研读
1.排列与排列数 2.组合与组合数 3.排列数、组合数的公式及性质
考点突破
考点一排列问题考点二组合问题
考点三排列与组合的综合应用
教材研读
教材研读
1.排列与排列数
(1)排列:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素,① 按照一定的顺序排
成一列 ,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.
5.已知
1 1 m m - C6 = C5
7 m m= ,则 10C 7
.2
答案 2
解析由已知得m的取值范围为{m|0≤m≤5,m∈Z}, B
m!(5 m)! - 5!
m!(6 m)! 6!
7 (7 m)!m! 10 7! ,整理可得m2-23m+42=0,解得m=21(舍去)或m=2. =
计数原理得出总数
捆绑法相邻问题捆绑处理,即可以把相邻元素看作一个整体与其他元素进行排列,同时注意捆绑元素的内部排列插空法不相邻问题插空处理,即先考虑不受限制的元素的排列,再将不相邻的元素插在前面元素排列
后的空中
除法间接法对于定序问题,可先不考虑顺序限制,排列后,再除以已定元素的全排列对于分类过多的问题,利用正难则反,等价转化的方法
A2 2
A3 3
法,故有 × =12种排法.
所以共有24+12=36种排法.
A2
A3
考点突破
方法技巧 1.求解有限制条件排列问题的主要方法
选定一个适当的分类标准,将要完成的事件分成几个类型,分别计算每个类型中的排列数,再由分类加法计数原理得出总数选定一个适当的标准,将事件分成几个步骤来完成,分别计算出各步骤的排列数,再由分步乘法

核按钮(新课标)高考数学一轮复习第十章计数原理、概率、随机变量及其分布10.1分类加法计数原理与分步

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3．两个计数原理的区别分类加法计数原理和分步乘法计数原理解决的都是有关做一件事的不同方法的种数问题，区别在于：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，其中各种方法______________，用其中______________都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，各个步骤中的方法 ______________，只有______________才算做完这件事． 4．两个计数原理解决计数问题时的方法最重要的是在开始计算之前要进行仔细分析——是需要分类还是需要分步． (1)分类要做到“______________”．分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数． (2)分步要做到“______________”，即完成了所有步骤，恰好完成任务，当然步与步之间要______________，分步后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数．
(2)分两步：先选教师，共 3 种选法，再选学生，共 6＋8＝14 种选法．由分步乘法计数原理知总选法数为 3×14＝42(种)．
(3)老师、男同学、女同学各一人可分三步，每步方法数依次为 3、6、8 种．由分步乘法计数原理知选法数为 3×6×8＝144(种)．
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类型二两个原理的综合应用
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有一项活动需在 3 名老师，6 名男同学和 8 名女同学中选人参加．
(1)若只需一人参加，有多少种不同选法？ (2)若需一名老师，一名学生参加，有多少种不同选法？ (3)若需老师、男同学、女同学各一人参加，有多少种不同选法？
解：(1)只需一人参加，可按老师、男同学、女同学分三类，各自有 3、6、8 种选法，总选法数为 3＋6＋8＝17(种)．

10.9 离散型随机变量的期望、方差、正态分布

报
告二
__D__X__为随机变量X的标准差．
第10章第9节
第6页
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2．均值与方差的性质
(1)E(aX＋b)＝ aE(X)＋b .
报
告一
(2)D(aX＋b)＝ a2D(X) ．(a，b为常数)
课
(3)两点分布与二项分布的均值、方差
时作
业
报告二
第10章第9节
第10章第9节
第16页
名师伴你行 ·高考一轮总复习 ·数学（理）
核心素养
在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点，则落入阴影
报告
部分(曲线C为正态分布N(0,1)的密度曲线)的点的个数的估计值
一
为 (C)
课时
作
[附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<X≤μ＋σ)
业
报 ≈0.682 6，种新药的疗效，选100名患者
告
一随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药．一段课
时
时间后，记录了两组患者的生理指标x和y的数据，并制成下
作业
图，其中“*”表示服药者，“＋”表示未服药者．
报告二
第10章第9节
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报
告二
M
① CiM－－11·CNn－－iM＝CnN－－11.
i＝1
②i·CiM＝M·CiM－－11.
课时作业
第10章第9节
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Ⅱ.相互独立事件中的期望与方差
2．[2017天津卷]从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各

高考数学第十章计数原理、概率、随机变量及其分布10.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理理

2021/12/12
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解法 2：a＝b 时有 4 种情况，故椭圆个数为 4×8－4＝28 个． (2)根据“凸数”的特点，中间的数字只能是 3,4,5，故分三类，第一类，当中间数字为“3”时，此时有 2 种(132,231)；第二类，当中间数字为“4”时，从 1,2,3 中任取两个放在 4 的两边，故有 6 种；第三类，当中间数字为“5”时，从 1,2,3,4 中任取两个放在 5 的两边，故有 12 种；根据分类加法计数原理，得到由 1,2,3,4,5 可以组成无重复数字的三位“凸数”的个数是 2＋6＋12＝20.
有 1 个；a＝4 时，有 3 个；a＝6 时，有 5 个；a＝8 时，有 7 个，
共有 1＋3＋5＋7＝16 个．
若焦点在 y 轴上，则 b>a，b＝3 时，有 1 个；b＝4 时，有 1 个；b＝5 时，有 2 个；b＝6 时，有 2 个；b＝7 时，有 3 个；b ＝8 时，有 3 个．共有 1＋1＋2＋2＋3＋3＝12 个．故共有 16＋ 12＝28 个．
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4．已知某公园有 5 个门，从任一门进，另一门出，则不同的走法
的种数为 __2_0___(用数字作答)．
解析：分两步，第一步选一个门进有 5 种方法，第二步再选一个门出有 4 种方法，所以共有 5×4＝20 种走法．
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一个旅游景区的游览线路如图所示，某人从 P 点处进，Q 点处出，沿图中线路游览 A，B，C 三个景点及沿途风景，则不同(除交汇点 O 外)
的游览线路有____4_8____种．(用数字作答)
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第十章第九节离散型随机变量的均值与方差、正态分布1

P
p1
p2
…
pi
…
pn
则称E(X)＝ x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn 为随机变量 X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．
返回
2．若Y＝aX＋b，其中a，b为常数，则Y也是随机变量，
且E(aX＋b)＝ aE(X)＋b . 3． (1)若X服从两点分布，则E(X)＝ p ； (2)若X～B(n，p)，则E(X)＝ np.
返回
9 9 81 P(X＝110)＝10×10＝100. X的分布列为： X P 50 1 100 70 9 100 90 9 100 110 81 100
1 9 9 81 E(X)＝50×100＋70×100＋90×100＋110×100＝104.
返回
[冲关锦囊] 1．求离散型随机变量的均值关键是先求出随机变量的分
返回
记“该运动员获得第一名”为事件C，依题意得 3 3 1 3 3 P(C)＝P(AB)＋P( A B)＝4×4＋4×4＝4. 3 该运动员获得第一名的概率为4.
返回
(2)若该运动员选择乙系列，X的可能取值是50,70,90,110，则P(X＝50) 1 1 1 ＝10×10＝100， 1 9 9 P(X＝70)＝10×10＝100， 9 1 9 P(X＝90)＝10×10＝100，
返回
np＝12，解析：由 np1－p＝4
2 得n＝18，p＝3.
答案： A
返回
4．(教材习题改编)有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件．若X表示取到次品的个数．则E(X)＝
________.
1 C2 21 C1C3 21 7 7 解析：X＝0时，C2 ＝45，X＝1时，P＝ C2 ＝45， 10 10

高考数学一轮复习方案第十单元计数原理、概率、随机变量及其分布配套课件理北师大版

第十单元计数原理、概率、随机变量及其分布
第57讲第58讲第59讲第60讲第61讲第62讲第63讲第64讲
分类加法计数原理与分步乘法计数原理排列与组合二项式定理随机事件的概率与古典概型几何概型离散型随机变量及其分布列 n次独立重复试验与二项分布离散型随机变量的均值与方差、正态分布
固基
一、分类加法计数原理(加法原理)
础
完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不
同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这
件事共有N＝m_＋__n_____种不同的方法．这个原理称为分类
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
加法计数原理．
二、分类加法计数原理的推广
完成一件事有n类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，…，在第n 类方案中有 mn 种不同的方法，那么完成这件事共有 N ＝ __m_1_＋__m_2_＋__…_＋__m__n _种不同的方法．
•
四、分步乘法计数原理的推广
基础
• 完成一件事情，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不
同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有 mn 种不同的方法，那么完成这m件1×事m2×共…有×mNn ＝
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使用建议
(3)随机变量及其分布：随机变量及其分布是理科概率统计的核心考查点，主要是考查以独立事件为中心的概率计算、离散型随机变量的分布和特征数的计算、正态分布，考查概率统计知识在实际问题中的应用．在试卷中一般是以一道解答题对上述问题进行综合考查，也可能有小题考查该部分的重要知识点(如二项分布、正态分布等)，试题的难度中等，预计2014年不会有大的变化，突出对独立事件概率的计算和对n次独立重复试验概型应用的强化．

2019年高考数学计数原理、概率、随机变量及其分布复习指导(最适用、最全面)

2019年高考数学计数原理、概率、随机变量及其分布复习指导第一节计数原理与排列、组合教材细梳理1．两个计数原理1．分类加法计数原理中各类办法之间是相互独立的，并列的，互斥的．分步乘法计数原理中各步之间是相互依存的．2．“排列”与“排列数”是两个不同的概念，一个排列是指“从n 个不同元素中取出m 个元素，按一定顺序排成一列”，而排列数是指这种排列的个数．知识微思考1．判断下列结论的正误(正确的打“√”错误的打“×”)(1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同．( ) (2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事．( )(3)在分步乘法计数原理中，事情是分步完成的，其中任何一个单独的步骤都不能完成这件事，只有每个步骤都完成后，这件事情才算完成．( )(4)如果完成一件事情有n 个不同步骤，在每一步中都有若干种不同的方法m i (i ＝1,2,3，…，n )，那么完成这件事共有m 1m 2m 3…m n 种方法．( )(5)在分步乘法计算原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的．( ) (6)所有元素完全相同的两个排列为相同排列．( ) (7)一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序．( ) (8)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同．( ) (9)(n ＋1)！－n ！＝n ·n ！.( )(10)A m n ＝n A m －1n －1.( )答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)√ (5)√ (6)× (7)× (8)√ (9)√ (10)√ 2．如何区分某一问题是排列问题还是组合问题？提示：可交换某两个元素的位置，判断对结果是否产生影响，产生影响的是排列问题，否则是组合问题．四基精演练1．(选修2－3·习题1.2A 组改编)已知某公园有4个门，从一个门进，另一个门出，则不同的走法的种数为( )A ．16B ．13C ．12D ．10答案：C2．(选修2－3·习题1.2A 组改编)从3,5,7,11这四个质数中，每次取出两个不同的数分别为a ，b ，共可得到ab的不同值的个数为( )A ．6B ．8C ．12D ．16答案：C3．(选修2－3·习题A组改编)某校开设A类选修课2门，B类选修课3门，一位同学从中选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有()A．3种B．6种C．9种D．18种答案：C4．(选修2－3·习题1.2B组改编)如图，从A城到B城有3条路；从B城到D城有4条路；从A城到C城有4条路，从C城到D城有5条路，则某旅客从A城到D城共有________条不同的路线．答案：325．(2017·高考全国卷Ⅱ改编)安排3名志愿者完成3项工作，每人完成一项，则不同的安排方式共有________．答案：6考点一计数原理及应用[简单型]——运用数据分析、提升数学运算1．使用分类加法原理时首先根据题目特点恰当选择一个分类标准；其次分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类．2．(1)利用分步乘法计数原理解决问题要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的，并且分步必须满足：完成一件事的各个步骤是相互依存的，只有各个步骤都完成了，才算完成这件事．(2)分步必须满足两个条件：一是步骤互相独立，互不干扰；二是步与步确保连续，逐步完成．3．使用两个基本原理进行计数的基本思想是“先分类，再分步”，即先分为若干个“既不重复也不遗漏”的类，再对每类中的计数问题分成若干个“完整的步骤”，求出每个步骤的方法数，按照分步乘法计数原理计算各类中的方法数，最后再按照分类加法计数原理得出总数．1．有4位教师在同一年级的4个班中各教一个班的数学，在数学检测时要求每位教师不能在本班监考，则监考的方法有()A．8种B．9种C．10种D．11种解析：选B．法一：设四位监考教师分别为A，B，C，D，所教班分别为a，b，c，d，假设A监考b，则余下三人监考剩下的三个班，共有3种不同方法，同理A监考c，d时，也分别有3种不同方法，由分类加法计数原理共有3＋3＋3＝9(种)．法二：班级按a，b，c，d的顺序依次排列，为避免重复或遗漏现象，教师的监考顺序可用“树形图”表示如下：∴共有9种不同的监考方法．2．(2016·高考全国卷Ⅱ)如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为()A．24 B．18C．12 D．9解析：选B．分两步，第一步，从E→F，有6条可以选择的最短路径；第二步，从F→G，有3条可以选择的最短路径．由分步乘法计数原理可知有6×3＝18条可以选择的最短路径．故选B．3．如图，用6种不同的颜色把图中A，B，C，D四块区域分开，若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有()A．400种B．460种C．480种D．496种解析：选C．完成此事可能使用4种颜色，也可能使用3种颜色．当使用4种颜色时：从A开始，有6种方法，B有5种，C有4种，D有3种，完成此事共有6×5×4×3＝360(种)方法；当使用3种颜色时：A，D使用同一种颜色，从A，D开始，有6种方法，B有5种，C有4种，完成此事共有6×5×4＝120(种)方法．由分类加法计数原理可知：不同涂法有360＋120＝480(种)．考点二排列的应用[高频型]——发展数学建模、提升数学运算[例1](1)若A，B，C，D，E，F六个不同元素排成一列，要求A不排在两端，且B，C相邻，则不同的排法有________种(用数字作答)．解析：由于B，C相邻，把B，C看作一个整体，有2种排法．这样，6个元素变成了5个．先排A，由于A不排在两端，则A排在中间的3个位置中，有A13＝3种排法，其余的4个元素任意排，有A44种不同排法，故不同的排法有2×3×A44＝144(种)．答案：144(2)在数字1,2,3与符号“＋”“－”这五个元素的所有全排列中，任意两个数字都不相邻的全排列方法共有________种．解析：本题主要考查某些元素不相邻的问题，先排符号“＋”“－”，有A22种排列方法，此时两个符号中间与两端共有3个空位，把数字1,2,3“插空”，有A33种排列方法，因此满足题目要求的排列方法共有A22A33＝12(种)．答案：12[母题变式]1．若本例(2)中条件“任意两个数字都不相邻”改为“1,2,3这三个数字必须相邻”，则这样的全排列方法有________种．解析：用捆绑法，有A33A33＝36(种)．答案：362．若本例(2)中条件变为：符号“＋”与“－”都不相邻，则这样的全排列有________种．解析：A 33A 24＝72(种)．答案：721．求解有限制条件排列问题的主要方法(1)根据特殊元素(位置)优先安排进行分步，即先安排特殊元素或特殊位置． (2)根据特殊元素当选数量或特殊位置由谁来占进行分类． [易错提醒] (1)分类要全，以免遗漏．(2)插空时要数清插空的个数，捆绑时要注意捆绑后元素的个数及要注意相邻元素的排列数．(3)用间接法求解时，事件的反面数情况要准确．1．某市内公共汽车站有6个候车位(成一排)，现有3名乘客随便坐在某个座位上候车，则恰好有2个连续空座位的候车方式的种数为( )A ．48B ．54C ．72D ．84解析：选C．先把3名乘客进行全排列，有A33＝6种排法，排好后，有4个空，再将1个空位和余下的2个连续的空位插入4个空中，有A24＝12种排法，则共有6×12＝72(种)候车方式．2．某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是()A．72 B．120C．144 D．168解析：选B．歌舞类节目设为a1，a2，a3，小品类节目设为b1，b2，相声类节目设为c，先排a1，a2，a3不相邻，顺序如○b1○b2○c○，共A33A34种方法，b1b2相邻前提下○b1b2○c○插空法共A22A33A22种方法，所以同类节目不相邻的排法种数为A33A34－A22A33A22＝A33·(A34－4)＝6×20＝120.考点三组合问题[简单型]——发展数学建模、提升数学运算1．组合问题的常见题型及解题思路(1)常见题型：一般有选派问题、抽样问题、图形问题、集合问题、分组问题等．(2)解题思路：①分清问题是否为组合问题；②对较复杂的组合问题，要搞清是“分类”还是“分步”，一般是先整体分类，然后局部分步，将复杂问题通过两个原理化归为简单问题．2．两类含有附加条件的组合问题的解法(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：若“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；若“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．(2)“至少”或“最多”含有几个元素的组合题型：解这类题目必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法或间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，用间接法求解．1．2107年天津全运会之际，某单位要从6名男生和2名女生中选出3名志愿者，其中至少有1名女生的选法共有________种．解析：分两类：第1类是有1名女生，共有C12·C26＝2×15＝30(种)；第2类是有2名女生，共有C22·C16＝1×6＝6(种)．由分类加法计数原理得，共有30＋6＝36(种)．答案：362．在某校举行的羽毛球两人决赛中，采用5局3胜制的比赛规则，先赢3局者获胜，直到决出胜负为止．若甲、乙两名同学参加比赛，则所有可能出现的情形(个人输赢局次的不同视为不同情形)共有()A．6种B．12种C．18种D．20种解析：选D．分三种情况：恰好打3局(一人赢3局)，有2种情形；恰好打4局(一人前3局中赢2局，输一局，第4局赢)，共有2C23＝6种情形；恰好打5局(一个前4局中赢2局，输2局，第5局赢)，共有2C24＝12种情形．所有可能出现的情形共有2＋6＋12＝20(种)．考点四排列、组合的综合应用[探究型]——发展数学建模、提升数学运算4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有()A．12种B．18种C．24种D．36种解析：将4项工作分成3部分，每部分至少有1项工作，共有C24＝6(种)方法，再分别分给3人，由分步乘法计数原理知，共有C24×A33＝36(种)不同方法．答案：D(2)(2017·高考天津卷)用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有________个(用数字作答)．解析：由题意可得，第1类取出的4个数都是奇数，有A45个，第2类取出的4个数中有1个偶数，有C14C35A44个，由分类加法计数原理，得共有A45＋C14C35A44＝120＋960＝1 080(个)．答案：1 080(1)恰有1个盒不放球，共有几种放法？ (2)恰有1个盒内有2个球，共有几种放法？ (3)恰有2个盒不放球，共有几种放法？解：(1)为保证“恰有1个盒不放球”，先从4个盒子中任意取出去一个，问题转化为“4个球，3个盒子，每个盒子都要放入球，共有几种放法？”即把4个球分成2,1,1的三组，然后再从3个盒子中选1个放2个球，其余2个球放在另外2个盒子内，由分步乘法计数原理得，共有C 14C 24C 13×A 22＝144(种)．(2)“恰有1个盒内有2个球”，即另外3个盒子放2个球，每个盒子至多放1个球，也即另外3个盒子中恰有一个空盒，因此，“恰有1个盒内有2个球”与“恰有1个盒不放球”是同一件事，所以共有144种放法．(3)确定2个空盒有C 24种方法．4个球放进2个盒子可分成(3,1)、(2,2)两类，第一类有序不均匀分组有C 34C 11A 22种方法；第二类有序均匀分组有C 24C 22A 22·A 22种方法．故共有C 24(C 34C 11A 22＋C 24C 22A 22·A 22)＝84(种)．1．解决简单的排列与组合的综合问题的思路(1)根据附加条件将要完成事件先分类．(2)对每一类型取出符合要求的元素组合，再对取出的元素排列． (3)由分类加法计数原理计算总数．2．分组、分配问题的求解策略(1)对不同元素的分配问题．①对于整体均分，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以A n n (n 为均分的组数)，避免重复计数．②对于部分均分，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m 组元素个数相等，则分组时应除以m ！，分组过程中有几个这样的均匀分组，就要除以几个这样的全排列数．③对于不等分组，只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数．(2)对于相同元素的“分配”问题，常用方法是采用“隔板法”．3．某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案有________种．解析：①有1名女生的选派方法有C12C34＝8(种)．②有2名女生的选派方法有C22C24＝6(种)．∴不同的选派方案共有8＋6＝14(种)．答案：144．将6位志愿者分成4组，其中两个组各2人，另两个组各1人，分赴全运会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有________种(用数字作答)．解析：先分组再分配，共有C16C15C242A22·A44＝1 080(种)分配方案．答案：1 080发展数学建模、数学运算(应用型)模型1计数原理、排列、组合与实际应用问题相结合对于排列、组合都是以生活实际问题为背景，加以限制条件，并结合计数原理进行考查．[例4]小陈家来了六位同学(四女两男)，包括他共7人，小陈从果园里摘了7个大小不同的百香果，每人一个．小陈把最小的一个留给自己，4位女同学中的一人拿最大的一个，则百香果的不同分法共有()A．96种B．120种C．480种D．720种解析：可分两步：第一步，4位女同学中的一人拿最大的一个的分法种数为C14；第二步，余下5人的分法种数为A55，根据分步乘法计数原理，百香果的不同分法共有C14A55＝480(种)，故选C．答案：C模型2排列、组合与新定义相结合排列、组合常与数学中的新定义结合考查，利用其它知识进行求解．[例5](2016·高考全国卷Ⅲ)定义“规范01数列”{a n}如下：{a n}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k≤2m，a1，a2，…，a k中0的个数不少于1的个数，若m＝4，则不同的“规范01数列”共有()A．18个B．16个C．14个D．12个解析：当m＝4时，数列{a n}共有8项，其中4项为0,4项为1，要满足对任意k≤8，a1，a2，…，a k中0的个数不少于1的个数，则必有a1＝0，a8＝1，a2可为0，也可为1.(1)当a2＝0时，分以下3种情况：①若a3＝0，则a4，a5，a6，a7中任意一个为0均可，则有C14＝4种情况；②若a3＝1，a4＝0，则a5，a6，a7中任意一个为0均可，有C13＝3种情况；③若a3＝1，a4＝1，则a5必为0，a6，a7中任一个为0均可，有C12＝2种情况；(2)当a2＝1时，必有a3＝0，分以下2种情况：①若a4＝0，则a5，a6，a7中任一个为0均可，有C13＝3种情况；②若a4＝1，则a5必为0，a6，a7中任一个为0均可，有C12＝2种情况．综上所述，不同的“规范01数列”共有4＋3＋2＋3＋2＝14个，故选C．答案：C课时规范训练(限时练·夯基练·提能练)A级基础夯实练(25分钟，50分)1．(2018·邵阳模拟)用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中偶数的个数为()A．24B．48C．60 D．72解析：选B．先排个位，再排十位，百位，千位，万位，依次有2,4,3,2,1种排法，由分步乘法计数原理知：2×4×3×2×1＝48.2．a，b，c，d，e共5个人，从中选1名组长、1名副组长，但a不能当副组长，不同选法的种数是()A．20 B．16C．10 D．6解析：选B．当选a当组长时，则共有1×4＝4种选法；当a不当组长时，又因为a也不能当副组长，则共有4×3＝12种选法．因此共有4＋12＝16种选法．3．(2018·自贡一模)已知集合A＝{5}，B＝{1,2}，C＝{1,3,4}，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系上点的坐标，则确定的不同的点的个数为()A．36 B．32C．33 D．34解析：选C．不考虑限定条件的情况下，确定的不同的点的个数为C12C13A33＝36，但集合B，C中有相同元素1，由5,1,1三个数确定的不同的点只有3个，故最终确定的不同的点的个数为36－(A33－3)＝33.4．(2018·诸暨一模)在第二届乌镇互联网大会中，为了提高安保的级别，同时为了方便接待，现将其中的五个参会国的人员安排酒店住宿，这五个参会国的人员要在a，b，c三家酒店各选择一家，且每家酒店至少有一个参会国的人员入住，则这样的安排方法共有() A．96种B．124种C．130种D．150种解析：选D．可以把五个参会国的人员分成三组，一种是按照1,1,3分；另一种是按照1,2,2分．当按照1,1,3分时，共有C35A33＝60种方法；当按照1,2,2分时，共有C25C23A33A22＝90种方法．根据分类加法计数原理可得安排方法共有60＋90＝150种．5．我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”(如2 013是“六合数”)，则“六合数”中首位为2的“六合数”共有()A．18个B．15个C．12个D．9个解析：选B．依题意知，这个四位数的百位数、十位数、个位数之和为4.由4,0,0组成3个数，分别为400,040,004；由3,1,0组成6个数，分别为310,301,130,103,013,031；由2,2,0组成3个数，分别为220,202,022；由2,1,1组成3个数，分别为211,121,112，共有3＋6＋3＋3＝15(个)．6．(2018·石家庄模拟)一种团体竞技比赛的积分规则是：每队胜、平、负分别得2分、1分、0分，已知甲球队已赛4场，积4分，在4场比赛中，甲队胜、平、负(包括顺序)的情况共有()A．7种B．13种C．18种D．19种解析：选D．设S i表示第i场胜、P i表示第i场平，F i表示第i场负，积4分可分2胜2负，1胜2平1负或4平三类，其中2胜2负有S1S2F3F4，S1F2S3F4，S1F2F3S4，F1S2S3F4，F1S2F3S4，F1F2S3S4，共6种．1胜2平1负有S1P2P3F4，S1P2F3P4，S1F2P3P4，P1S2P3F4，P1S2F3P4，F1S2P3P4，P1P2S3F4，P1F2S3P4，F1P2S3P4，P1P2F3S4，P1F2P3S4，F1P2P3S4，共12种．4平有P1P2P3P4共1种，由分类加法计数原理有6＋12＋1＝19种．7．某市委从组织机关10名科员中选3人担任驻村第一书记，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为()A．85 B．56C．49 D．28解析：选C．由于丙不入选，相当于从9人中选派3人．甲、乙两人均入选，有C22C17种选法，甲、乙两人只有1人入选，有C12C27种选法．所以由分类加法计数原理，共有C22C17＋C12C27＝49种不同选法．8．(2018·武邑一模)将6名留学归国人员分配到甲、乙两地工作，若甲地至少安排2人，乙地至少安排3人，则不同的安排方法数为________．解析：可以分为以下两类：(1)甲地安排3人，乙地安排3人，有C36＝20种方法；(2)甲地安排2人，乙地安排4人，有C46＝15种方法．根据分类加法计数原理可得，不同的安排方法种数为20＋15＝35.答案：359．(2018·平罗一模)从5名学生中选出4名参加A，B，C，D四科的竞赛(假设每名学生仅能参加一科的竞赛)，其中甲不能参加A，B两科的竞赛，则不同的参赛方案种数为________．解析：可分为以下两步：(1)先从5名学生中选出4名，分为甲参加和甲不参加两种情况，甲参加时，选法有C34＝4种，甲不参加时，选法有C44＝1种；(2)安排科目——甲参加时，先排甲，再排其他人，排法有C12A33＝12种，甲不参加时，排法有A44＝24种．故不同的参赛方案种数为4×12＋1×24＝72.答案：7210．已知集合N＝{a，b，c}⊆{－5，－4，－2,1,4}，若关于x的不等式ax2＋bx＋c＜0恒有实数解，则满足条件的集合N的个数是________．解析：依题意知，集合N最多有10个，其中对于不等式ax2＋bx＋c＜0没有实数解的情况可转化为需要满足a＞0，且Δ＝b2－4ac≤0，因此只有当a，c同号时才有可能，共有{1，－4,4}，{1，－2,4},2种情况，因此满足条件的集合N的个数是10－2＝8.答案：8B级能力升级练(20分钟，30分)1．某电话局的电话号码为139××××××××，若前六位固定，最后五位数字是由6或8组成的，则这样的电话号码的个数为()A．20 B．25C．32 D．60解析：选C．依据题意知，最后五位数字由6或8组成，可分5步完成，每一步有2种方法，根据分步乘法计数原理，符合题意的电话号码的个数为25＝32.2．某班组织文艺晚会，准备从A，B等8个节目中选出4个节目演出，要求A，B两个节目至少有一个选中，且A，B同时选中时，它们的演出顺序不能相邻，那么不同演出顺序的种数为()A．1 860 B．1 320C．1 140 D．1 020解析：选C．当A，B节目中只选其中一个时，共有C12C36A44＝960种演出顺序；当A，B节目都被选中时，由插空法得共有C26A22A23＝180种演出顺序，所以一共有1 140种演出顺序．3．已知I＝{1,2,3}，A，B是集合I的两个非空子集，且A中所有元素的和大于B中所有元素的和，则集合A，B共有()A．12对B．15对C．18对D．20对解析：选D．依题意，当A，B均有一个元素时，有3对；当B有一个元素，A有两个元素时，有C23＋C23＋2＝8对；当B有一个元素，A有三个元素时，有3对；当B有两个元素，A有三个元素时，有3对；当A，B均有两个元素时，有3对．所以共有3＋8＋3＋3＋3＝20对，选D．4．在三位正整数中，若十位数字小于个位和百位数字，则称该数为“驼峰数”，比如“102”、“546”为“驼峰数”．由数字1,2,3,4,5这五个数字构成的无重复数字的“驼峰数”的十位上的数字之和为()A．25 B．28C．30 D．32解析：选C．由数字1,2,3,4,5这五个数字构成的无重复数字的三位“驼峰数”中，1在十位的有A24＝12个，2在十位的有A23＝6个，3在十位上的有A22＝2个，所以所有三位“驼峰数”的十位上的数字之和为12×1＋6×2＋2×3＝30.5．已知集合M＝{1,2,3,4}，集合A，B为集合M的非空子集，若对任意x∈A，y∈B，x＜y恒成立，则称(A，B)为集合M的一个“子集对”，则集合M的“子集对”共有________个．解析：A＝{1}时，B有23－1＝7种情况；A＝{2}时，B有22－1＝3种情况；A＝{3}时，B有1种情况；A＝{1,2}时，B有22－1＝3种情况；A＝{1,3}，{2,3}，{1,2,3}时，B均有1种情况，故满足题意的“子集对”共有7＋3＋1＋3＋3＝17个．答案：176．数字“2 016”中，各位数字相加和为9，称该数为“至尊四位数”．用数字0,1,2,3,4,5组成的无重复数字且大于2 016的“至尊四位数”共有________个．解析：依题意知：符合条件的四个数字可分为以下两组：0,1,3,5与0,2,3,4.由0,1,3,5组成的大于2 016的“至尊四位数”有2A33＝12个；由0,2,3,4组成的“至尊四位数”有3A33＝18个．由分类加法计数原理可得：共有12＋18＝30个“至尊四位数”．答案：30第二节二项式定理教材细梳理1．二项式定理(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋…＋C k n a n －k b k ＋…＋C n n b n (n ∈N *)，其中右端为(a ＋b )n 的二项展开式．2．二项展开式的通项公式第k ＋1项为：T k ＋1＝C k n an －k b k . 3．二项式系数(1)定义：二项式系数为：C k n (k ∈{0,1,2，…，n })． (2)二项式系数的性质1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)C r n an －r b r是二项展开式的第r 项．( ) (2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．( ) (3)(a ＋b )n 的展开式中某一项的二项式系数与a ，b 无关．( ) (4)在(1－x )9的展开式中系数最大的项是第五、第六两项．( )(5)若(3x －1)7＝a 7x 7＋a 6x 6＋…＋a 1x ＋a 0，则a 7＋a 6＋…＋a 1的值为128.( ) (6)在(x ＋1)n 的展开式中，每一项的二项式系数就是这项的系数．( ) (7)(a ＋b )n 与(b ＋a )n 的展开式中通项公式是一样的．( )(8)(x －y )n 的展开式中，第m 项的系数为(－1)m C m －1n.( ) (9)(1＋2x )5的展开式中含x 的项的系数为5.( )(10)⎝⎛⎭⎪⎫x 2－13x n的展开式中不可能有常数项．( )答案：(1)× (2)× (3)√ (4)× (5)× (6)√ (7)× (8)× (9)× (10)× 2．二项展开式第k ＋1项的二项式系数与第k ＋1项的系数有什么区别？提示：二项展开式第k ＋1项的二项式系数为C k n ，而它的第k ＋1项的系数等于它的二项式系数C k n 与其他常数以及符号的乘积．四基精演练1．(选修2－3·1.3例2改编)(1＋2x )5的展开式中，x 2的系数等于( ) A ．80 B ．40 C ．20 D ．10答案：B2．(选修2－3·习题1.3A 组改编)⎝⎛⎭⎫x ＋12x 8的展开式中常数项为( ) A ．3516B ．358C ．354D ．105答案：B3．(2017·高考全国卷Ⅰ改编)⎝⎛⎭⎫1＋1x 2(1＋x )2展开式中常数项为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4答案：B4．(选修2－3·习题1.3A 组改编)若(1＋ax )7(a ≠0)的展开式中x 5与x 6的系数相等，则a ＝________.答案：35．(探究题)(教材探究题)如图杨辉三角中的第二行，第三行，第四行，第五行中的1,2,3,4之和等于第六行的“10”，所体现的性质为1＋2＋3＋…＋C 1n －1＝________.答案：C 2n考点一展开式中的特定项或系数[高频型]——提升数学运算x 3的系数是________．(用数字填写答案)解析：设展开式的第k ＋1项为T k ＋1，k ∈{0,1,2,3,4,5}，所以T k ＋1＝C k 5(2x )5－k (x )k ＝C k 525－kx 5－k 2，令5－k 2＝3得，k ＝4，即T 5＝C 4525－4x 5－42＝10x 3. ∴x 3的系数为10. 答案：10(2)(2016·高考四川卷)设i 为虚数单位，则(x ＋i)6的展开式中含x 4的项为( ) A ．－15x 4 B ．15x 4 C ．－20i x 4D ．20i x 4解析：∵T r ＋1＝C r 6x r (i)6－r ，∴含x 4的项为T 5＝C 46x 4i 2＝－15x 4. 答案：A [母题变式]1．在本例(1)中，条件不变，展开式中系数最大的项是第几项．解：设第r ＋1项的系数最大，T r ＋1＝25－r C r 5·x 5－r 2，第r 项的系数为26－r C r －15 第r ＋2项的系数为24－r C r ＋15 ∴⎩⎪⎨⎪⎧25－r C r 5≥26－r C r －1525－r C r 5≥24－r C r ＋15，1≤r ≤2.当r ＝1时，T 2＝24C 15x 92，当r ＝2时，T 3＝23C 25x 4，故系数最大的项为T 2或T 3.2．在本例(2)中，已知条件不变，求展开式中的常数项．解：由T r ＋1＝C r 6x6－r ·i r 可知，当r ＝6时．常数项为T 7＝C 66·i 6＝－1.[例2] (1)(2017·高考全国卷Ⅰ)⎝⎭⎫1＋1x 2(1＋x )6展开式中x 2的系数为( ) A ．15 B ．20 C ．30D ．35解析：(1＋x )6展开式的通项T r ＋1＝C r 6x r，所以⎝⎛⎭⎫1＋1x 2(1＋x )6的展开式中x 2的系数为1×C 26＋1×C 46＝30，故选C ．答案：C(2)(2018·河北唐山一模)⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 2－23展开式中的常数项为( ) A ．－8 B ．－12 C ．－20D ．20解析：∵⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 2－23＝⎝⎛⎭⎫x －1x 6，∴T r ＋1＝C r 6x 6－r ⎝⎛⎭⎫－1x r ＝C r 6(－1)r x 6－2r，令6－2r ＝0，得r ＝3，∴常数项为C 36(－1)3＝－20.答案：C(3)(x 2＋x ＋y )5的展开式中，x 5y 2的系数为( ) A ．10 B ．20 C ．30D ．60解析：(x 2＋x ＋y )5＝[(x 2＋x )＋y ]5，含y 2的项为T 3＝C 25(x 2＋x )3·y 2. 其中(x 2＋x )3中含x 5的项为C 13x 4·x ＝C 13x 5. 所以x 5y 2的系数为C 25C 13＝30.故选C ．答案：C [母题变式]1．在本例(1)中，求此展开式的常数项．解：⎝⎛⎭⎫1＋1x 2(1＋x )6的展开式中常数项为1＋C 26＝16. 2．在本例(3)中，求展开式中含x 3y 3的系数．解析：(x 2＋x ＋y )5为5个x 2＋x ＋y 之积，其中有三个取y ，一个取x 2，一个取x 即可，所以x 3y 3的系数为C 35C 12C 11＝10×2×1＝20.1．求二项展开式中的特定项或项的系数问题的思路(1)利用通项公式将T k ＋1项写出并化简．(2)令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出k .(3)代回通项得所求．2．求多项式展开式中的特定项或项的系数问题的方法(1)对于三项式问题，一般先变形化为二项式，再用通项公式求解，或用组合知识求解．(2)对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般对某个因式用通项公式，再结合与其他因式相乘情况求解特定项，或根据因式连乘的规律，结合组合知识求解，但要注意适当地运用分类思想，以免重复或遗漏．(3)对于几个多项式和的展开式中的特定项问题，只需依据各个二项展开式中分别得到符合要求的项，再求和即可．1．(2017·高考全国卷Ⅲ)(x＋y)(2x－y)5的展开式中x3y3的系数为()A．－80B．－40C．40 D．80解析：选C．由二项式定理可得，原式展开式中含x3y3的项为x·C25(2x)2(－y)3＋y·C35(2x)3(－y)2＝40x3y3，则x3y3的系数为40，故选C．2．(2017·高考浙江卷)已知多项式(x＋1)3(x＋2)2＝x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5，则a4＝________，a5＝________.解析：由题意知a4为含x项的系数，根据二项式定理得a4＝C23×12×C22×22＋C33×13×C12×2＝16，a5是常数项，所以a5＝C33×13×C22×22＝4.答案：16 4考点二二项展开式的系数和问题[高频型]——提升数学运算[例3](1)(a＋x)(1＋x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a＝________.解析：法一：直接将(a＋x)(1＋x)4展开得x5＋(a＋4)x4＋(6＋4a)x3＋(4＋6a)x2＋(1＋4a)x ＋a，由题意得1＋(6＋4a)＋(1＋4a)＝32，解得a＝3.法二：(1＋x)4展开式的通项为T r＋1＝C r4x r，由题意可知，a(C14＋C34)＋C04＋C24＋C44＝32，解得a＝3.[母题变式]若本例中条件“x的奇数次幂项”变为“奇数项”，则a＝________.解析：奇数项分别为：a，(6a＋4)x2，(a＋4)x4，∴a＋(6a＋4)＋(a＋4)＝32，∴a＝3.答案：3(2)⎝⎛⎭⎫x ＋a x ⎝⎛⎭⎫2x －1x 5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为( ) A ．－40 B ．－20 C ．20D ．40解析：选D ．令x ＝1得(1＋a )(2－1)5＝1＋a ＝2，所以a ＝1.因此⎝⎛⎭⎫x ＋1x ⎝⎛⎭⎫2x －1x 5展开式中的常数项即为⎝⎛⎭⎫2x －1x 5展开式中1x 的系数与x 的系数的和.⎝⎛⎭⎫2x －1x 5展开式的通项为T k ＋1＝C k 5(2x )5－k ·(－1)k ·x －k ＝C k 525－k x 5－2k ·(－1)k.令5－2k ＝1，得2k ＝4，即k ＝2，因此⎝⎛⎭⎫2x －1x 5展开式中x 的系数为C 2525－2(－1)2＝80.令5－2k ＝－1，得2k ＝6，即k ＝3，因此⎝⎛⎭⎫2x －1x 5展开式中1x的系数为C 3525－3·(－1)3＝－40. 所以⎝⎛⎭⎫x ＋1x ⎝⎛⎭⎫2x －1x 5展开式中的常数项为80－40＝40.1．赋值法的应用二项式定理给出的是一个恒等式，对于x ，y 的一切值都成立．因此，可将x ，y 设定为一些特殊的值．在使用赋值法时，令x ，y 等于多少，应视具体情况而定，一般取“1，－1或0”，有时也取其他值．如：(1)形如(ax ＋b )n ，(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ∈R )的式子，求其展开式的各项系数之和，只需令x ＝1即可．(2)形如(ax ＋by )n (a ，b ∈R )的式子，求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可． 2．二项展开式各项系数和、奇数项系数和与偶数项系数和的求法若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则f (x )的展开式中(1)各项系数之和为f (1)． (2)奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝f (1)＋f (－1)2.(3)偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝f (1)－f (－1)2.3．(1－x ＋x 2)3(1－2x 2)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 14x 14，则a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 13的值为。

北师大版版高考数学一轮复习第十章计数原理概率随机变量及其分布随机事件与古典概型教学案理

一、知识梳理１．概率与频率（１）在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数n A为事件A出现的频数，称事件A出现的比例f n（A）＝错误!为事件A出现的频率．（２）对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率f n（A）随着试验次数的增加稳定于概率P（A），因此可以用频率f n（A）来估计概率P（A）．２．事件的关系与运算定义符号表示包含关系如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A（或称事件A包含于事件B）B⊇A（或A⊆B）相等关系若B⊇A且A⊇B，那么称事件A与事件B相等A＝B并事件（和事件）若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的并事件（或和事件）A∪B（或A＋B）交事件（积事件）若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件（或积事件）A∩B（或AB）互斥事件若A∩B为不可能事件，那么A∩B＝∅（１）概率的取值范围：0≤P（A）≤１．（２）必然事件的概率：P（A）＝１．（３）不可能事件的概率：P（A）＝0．（４）概率的加法公式如果事件A与事件B互斥，则P（A∪B）＝P（A）＋P（B）．（５）对立事件的概率若事件A与事件B互为对立事件，则A∪B为必然事件．P（A∪B）＝１，P（A）＝１—P（B）．４．古典概型（１）基本事件的特点１任何两个基本事件是互斥的；２任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和．（２）特点１试验中所有可能出现的基本事件只有有限个，即有限性．２每个基本事件发生的可能性相等，即等可能性．（３）概率公式P（A）＝错误!．５．对古典概型的理解（１）一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特点——有限性和等可能性，只有同时具备这两个特点的概型才是古典概型．正确判断试验的类型是解决概率问题的关键．（２）古典概型是一种特殊的概率模型，但并不是所有的试验都是古典概型．常用结论关注三个易错点１．频率随着试验次数的改变而改变，概率是一个常数．２．对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件．３．概率的一般加法公式P（A∪B）＝P（A）＋P（B）—P（A∩B）中，易忽视只有当A∩B＝∅，即A，B互斥时，P（A∪B）＝P（A）＋P（B），此时P（A∩B）＝0．二、教材衍化１．一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的对立事件是（）Ａ．至多有一次中靶Ｂ．两次都中靶Ｃ．只有一次中靶Ｄ．两次都不中靶解析：选Ｄ．“至少有一次中靶”的对立事件是“两次都不中靶”．２．一个盒子里装有标号为１，２，３，４的４张卡片，随机地抽取２张，则取出的２张卡片上的数字之和为奇数的概率是________．解析：抽取两张卡片的基本事件有：（１，２），（１，３），（１，４），（２，３），（２，４），（３，４），共6种，和为奇数的事件有：（１，２），（１，４），（２，３），（３，４），共４种．所以所求概率为错误!＝错误!.答案：错误!３．袋中装有6个白球，５个黄球，４个红球．从中任取一球，则取到白球的概率为________．解析：从袋中任取一球，有１５种取法，其中取到白球的取法有6种，则所求概率为P＝错误!＝错误!.答案：错误!４．已知５件产品中有２件次品，其余为合格品．现从这５件产品中任取２件，恰有一件次品的概率为________．解析：从５件产品中任取２件共有C错误!＝１0（种）取法，恰有一件次品的取法有C错误!C错误!＝6（种），所以恰有一件次品的概率为错误!＝0．6．答案：0．6一、思考辨析判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）（１）事件发生的频率与概率是相同的．（）（２）随机事件和随机试验是一回事．（）（３）在大量重复试验中，概率是频率的稳定值．（）（４）两个事件的和事件发生是指这两个事件至少有一个发生．（）（５）若A，B为互斥事件，则P（A）＋P（B）＝１．（）（6）在一次试验中，其基本事件的发生一定是等可能的．（）答案：（１）×（２）×（３）√（４）√（５）×（6）×二、易错纠偏错误!错误!（１）确定互斥事件、对立事件出错；（２）基本事件计数错误．１．甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是错误!，甲获胜的概率是错误!，则甲不输的概率为________．解析：由题意得，甲不输的概率为错误!＋错误!＝错误!.答案：错误!２．掷一个骰子的试验，事件A表示“小于５的偶数点出现”，事件B表示“小于５的点数出现”，则一次试验中，事件A＋B发生的概率为________．解析：掷一个骰子的试验有6种可能结果，依题意P（A）＝错误!＝错误!，P（B）＝错误!＝错误!，所以P（错误!）＝１—P（B）＝１—错误!＝错误!，显然A与错误!互斥，从而P（A＋错误!）＝P（A）＋P（错误!）＝错误!＋错误!＝错误!.答案：错误!３．已知函数f（x）＝２x２—４ax＋２b２，若a∈{４，6，8}，b∈{３，５，7}，则该函数有两个零点的概率为________．解析：要使函数f（x）＝２x２—４ax＋２b２有两个零点，即方程x２—２ax＋b２＝0有两个实根，则Δ＝４a２—４b２>0，又a∈{４，6，8}，b∈{３，５，7}，即a>b，而a，b的取法共有３×３＝9（种），其中满足a>b的取法有（４，３），（6，３），（6，５），（8，３），（8，５），（8，7），共6种，所以所求的概率为错误!＝错误!.答案：错误!随机事件的频率与概率（师生共研）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶４元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶２元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于２５，需求量为５00瓶；如果最高气温位于区间[２0，２５），需求量为３00瓶；如果最高气温低于２0，需求量为２00瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高[１0，１５）[１５，２0）[２0，２５）[２５，３0）[３0，３５）[３５，４0）气温天数２１6３6２５7４（１）估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过３00瓶的概率；（２）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为４５0瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．【解】（１）这种酸奶一天的需求量不超过３00瓶，当且仅当最高气温低于２５，由表格数据知，最高气温低于２５的频率为错误!＝0．6，所以这种酸奶一天的需求量不超过３00瓶的概率的估计值为0．6．（２）当这种酸奶一天的进货量为４５0瓶时，若最高气温不低于２５，则Y＝6×４５0—４×４５0＝900；若最高气温位于区间[２0，２５），则Y＝6×３00＋２（４５0—３00）—４×４５0＝３00；若最高气温低于２0，则Y＝6×２00＋２（４５0—２00）—４×４５0＝—１00．所以，Y的所有可能值为900，３00，—１00．Y大于零当且仅当最高气温不低于２0，由表格数据知，最高气温不低于２0的频率为错误!＝0．8，因此Y大于零的概率的估计值为0．8．错误!（１）概率与频率的关系频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率作为随机事件概率的估计值．（２）随机事件概率的求法利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数，这个常数就是概率．１．某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量Y（单位：万千瓦时）与该河上游在六月份的降雨量X（单位：毫米）有关．据统计，当X＝70时，Y＝４60；X每增加１0，Y增加５．已知近２0年X的值为１４0，１１0，１60，70，２00，１60，１４0，１60，２２0，２00，１１0，１60，１60，２00，１４0，１１0，１60，２２0，１４0，１60．（１）完成如下的频率分布表：近２0年六月份降雨量频率分布表降雨量70１１１４0１60２00２２0频率错误!错误!错误!年六月份该水力发电站的发电量低于４90（万千瓦时）或超过５３0（万千瓦时）的概率．解：（１）在所给数据中，降雨量为１１0毫米的有３个，为１60毫米的有7个，为２00毫米的有３个．故近２0年六月份降雨量频率分布表为：降雨量70１１0１４0１60２00２２0故P（“发电量低于４90万千瓦时或超过５３0万千瓦时”）＝P（Y<４90或Y>５３0）＝P（X<１３0或X>２１0）＝P（X＝70）＋P（X＝１１0）＋P（X＝２２0）＝错误!＋错误!＋错误!＝错误!.故今年六月份该水力发电站的发电量低于４90（万千瓦时）或超过５３0（万千瓦时）的概率为错误!.２．某险种的基本保费为a（单位：元），继续购买该保险的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：（１）记A（２）记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的１60%”．求P（B）的估计值；（３）求续保人本年度平均保费的估计值．解：（１）事件A发生当且仅当一年内出险次数小于２．由所给数据知，一年内出险次数小于２的频率为错误!＝0．５５．故P（A）的估计值为0．５５．（２）事件B发生当且仅当一年内出险次数大于１且小于４．由所给数据知，一年内出险次数大于１且小于４的频率为错误!＝0．３，故P（B）的估计值为0．３．（３）由所给数据得保费0．8５aa１．２５a１．５a１．7５a２a频率0．３00．２５0．１５0．１５0．１00．0５调查的２00１５＋１．５a×0．１５＋１．7５a×0．１0＋２a×0．0５＝１．１9２５a.因此，续保人本年度平均保费的估计值为１．１9２５a.互斥事件、对立事件的概率（师生共研）某商场有奖销售中，购满１00元商品得１张奖券，多购多得，１000张奖券为一个开奖单位，设特等奖１个，一等奖１0个，二等奖５0个．记１张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，求：（１）１张奖券的中奖概率；（２）１张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．【解】（１）设“１张奖券中奖”为事件M，则M＝A∪B∪C，依题意，P（A）＝错误!，P（B）＝错误!，P（C）＝错误!，因为A，B，C两两互斥，所以P（M）＝P（A∪B∪C）＝P（A）＋P（B）＋P（C）＝错误!＝错误!，故１张奖券的中奖概率为错误!.（２）设“１张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N，则事件N与“１张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件，所以P（N）＝１—P（A∪B）＝１—错误!＝错误!.故１张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为错误!.错误![提醒] 间接法体现了“正难则反”的思想方法．１．公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率的值的范围是３．１４１５9２6<π<３．１４１５9２7．为纪念祖冲之在圆周率上的成就，把３．１４１５9２6称为“祖率”，这是中国数学的伟大成就．某小学教师为帮助同学们了解“祖率”，让同学们从小数点后的7位数字１，４，１，５，9，２，6中随机选取２位数字，整数部分３不变，那么得到的数大于３．１４的概率为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选Ａ．选择数字的总的方法有５×6＋１＝３１（种），其中得到的数不大于３．１４的数为３．１１，３．１２，３.１４，所以得到的数大于３．１４的概率为P＝１—错误!＝错误!.故选Ａ．２．经统计，在某储蓄所一个营业窗口排队的人数相应的概率如下：排队人数0１２３４５人及５人以上概率0．１0．１60．３0．３0．１0．0４求：（２）至少３人排队等候的概率．解：记“无人排队等候”为事件A，“１人排队等候”为事件B，“２人排队等候”为事件C，“３人排队等候”为事件D，“４人排队等候”为事件E，“５人及５人以上排队等候”为事件F，则事件A，B，C，D，E，F彼此互斥．（１）记“至多２人排队等候”为事件G，则G＝A＋B＋C，所以P（G）＝P（A＋B＋C）＝P（A）＋P（B）＋P（C）＝0．１＋0．１6＋0．３＝0．５6．（２）法一：记“至少３人排队等候”为事件H，则H＝D＋E＋F，所以P（H）＝P（D＋E＋F）＝P（D）＋P（E）＋P（F）＝0．３＋0．１＋0．0４＝0．４４．法二：记“至少３人排队等候”为事件H，则其对立事件为事件G，所以P（H）＝１—P（G）＝0．４４．古典概型的概率（多维探究）角度一简单的古典概型的概率（１）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于２的偶数可以表示为两个素数的和”，如３0＝7＋２３．在不超过３0的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于３0的概率是（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!（２）将３名教师和３名学生共6人平均分成３个小组，分别安排到三个社区参加社会实践活动，则每个小组恰好有１名教师和１名学生的概率为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!【解析】（１）不超过３0的素数有２，３，５，7，１１，１３，１7，１9，２３，２9，共１0个，从中随机选取两个不同的数有C错误!种不同的取法，这１0个数中两个不同的数的和等于３0的有３对，所以所求概率P＝错误!＝错误!，故选Ｃ．（２）将３名教师和３名学生共6人平均分成３个小组，分别安排到三个社区参加社会实践活动，基本事件总数n＝C错误!C错误!C错误!＝90，每个小组恰好有１名教师和１名学生包含的基本事件个数m ＝C错误!C错误!C错误!C错误!C错误!C错误!＝３6，所以每个小组恰好有１名教师和１名学生的概率为P＝错误!＝错误!＝错误!.故选Ｂ．【答案】（１）C （２）B角度二古典概型与其他知识的综合问题（１）从集合{２，３，４，５}中随机抽取一个数a，从集合{１，３，５}中随机抽取一个数b，则向量m＝（a，b）与向量n＝（１，—１）垂直的概率为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!（２）已知a∈{—２，0，１，２，３}，b∈{３，５}，则函数f（x）＝（a２—２）e x＋b为减函数的概率是（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!（３）将一个骰子投掷两次，第一次出现的点数记为a，第二次出现的点数记为b，设任意投掷两次使两条不重合直线l１：ax＋by＝２，l２：x＋２y＝２平行的概率为P１，相交的概率为P２，若点（P１，P）在圆（x—m）２＋y２＝错误!的内部，则实数m的取值范围是（）２Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!【解析】（１）由题意可知m＝（a，b）有：（２，１），（２，３），（２，５），（３，１），（３，３），（３，５），（４，１），（４，３），（４，５），（５，１），（５，３），（５，５），共１２种情况．因为m⊥n，即m·n＝0，所以a×１＋b×（—１）＝0，即a＝b，满足条件的有（３，３），（５，５）共２个，故所求的概率为错误!.故选Ａ．（２）函数f（x）＝（a２—２）e x＋b为减函数，则a２—２<0，又a∈{—２，0，１，２，３}，故只有a＝0，a＝１满足题意，又b∈{３，５}，所以函数f（x）＝（a２—２）e x＋b为减函数的概率是错误!＝错误!.故选Ｃ．（３）对于a与b各有6种情形，故总数为３6种．两条直线l１：ax＋by＝２，l２：x＋２y＝２平行的情形有a＝２，b＝４或a＝３，b＝6，故概率为P１＝错误!＝错误!，两条直线l１：ax＋by＝２，l２：x＋２y＝２相交的情形除平行与重合（a＝１，b＝２）即可，所以P２＝错误!＝错误!，因为点（P１，P２）在圆（x—m）２＋y２＝错误!的内部，所以错误!错误!＋错误!错误!＜错误!，解得—错误!＜m＜错误!，故选Ｄ．【答案】（１）A （２）C （３）D错误!（１）求古典概型的概率的步骤第一步，判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件A；第二步，分别求出基本事件的总数n与所求事件A中所包含的基本事件个数m；第三步，利用公式P（A）＝错误!，求出事件A的概率．（２）求解古典概型与其他知识交汇问题的思路解决古典概型与其他知识交汇问题，其关键是将平面向量、直线与圆、函数的单调性及方程的根情况转化为概率模型，再按照求古典概型的步骤求解．１．（２0１9·高考全国卷Ⅰ）我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“——”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有３个阳爻的概率是（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选Ａ．由6个爻组成的重卦种数为２6＝6４，在所有重卦中随机取一重卦，该重卦恰有３个阳爻的种数为C错误!＝错误!＝２0．根据古典概型的概率计算公式得，所求概率P＝错误!＝错误!.故选Ａ．２．２0２１年广东新高考将实行３＋１＋２模式，即语文、数学、英语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二，共有１２种选课模式．今年高一的小明与小芳都准备选历史，假若他们都对后面四科没有偏好，则他们选课相同的概率为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选Ｄ．由题意，从政治、地理、化学、生物中四选二，共有C错误!＝6（种）方法，所以他们选课相同的概率为错误!，故选Ｄ．３．２0１9年１月１日，济南轨道交通１号线试运行，济南轨道交通集团面向广大市民开展“参观体验，征求意见”的活动．市民可以通过济南地铁APP抢票，小陈抢到了三张体验票，准备从四位朋友小王、小张、小刘、小李中随机选择两位与自己一起去参加体验活动，则小王和小李至多一人被选中的概率为________．解析：法一：若小王和小李都没被选中，则有C错误!种方法，若小王和小李有一人被选中，则有C错误! C错误!种方法，故所求概率P＝错误!＝错误!.法二：若小王和小李都被选中，则有１种方法，故所求概率P＝１—错误!＝错误!.答案：错误![基础题组练]１．若某群体中的成员只用现金支付的概率为0．４５，既用现金支付也用非现金支付的概率为0．１５，则不用现金支付的概率为（）Ａ．0．３Ｂ．0．４Ｃ．0．6 Ｄ．0．7解析：选Ｂ．设“只用现金支付”为事件A，“既用现金支付也用非现金支付”为事件B，“不用现金支付”为事件C，则P（C）＝１—P（A）—P（B）＝１—0．４５—0．１５＝0．４，故选B.２．（２0１9·高考全国卷Ⅲ）《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著，某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了１00位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（）Ａ．0．５Ｂ．0．6Ｃ．0．7 Ｄ．0．8解析：选Ｃ．根据题意阅读过《红楼梦》《西游记》的人数用韦恩图表示如下：所以该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为错误!＝0．7．３．现有５人参加抽奖活动，每人依次从装有５张奖票（其中３张为中奖票）的箱子中不放回地随机抽取一张，直到３张中奖票都被抽出时活动结束，则活动恰好在第４人抽完结束的概率为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选Ｃ．将５张奖票不放回地依次取出共有A错误!＝１２0种不同的取法，若活动恰好在第四次抽奖结束，则前三次共抽到２张中奖票，第四次抽到最后一张中奖票，共有３A错误!A错误!A错误!＝３6种取法，所以P＝错误!＝错误!.故选Ｃ．４．据《孙子算经》中记载，中国古代诸侯的等级从低到高分为男、子、伯、侯、公共五级．现有每个级别的诸侯各一人，共五人要把80个橘子分完且每人都要分到橘子，级别每高一级就多分m个（m为正整数），若按这种方法分橘子，“公”恰好分得３0个橘子的概率是（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选Ｂ．由题意可知等级从低到高的５个诸侯所分的橘子个数组成公差为m的等差数列，设“男”分得的橘子个数为a１，其前n项和为S n，则S５＝５a１＋错误!m＝80，即a１＋２m＝１6，且a１，m 均为正整数，若a１＝２，则m＝7，此时a５＝３0，若a１＝４，m＝6，此时a５＝２8，若a１＝6，m＝５，此时a５＝２6，若a１＝8，m＝４，此时a５＝２４，若a１＝１0，m＝３，此时a５＝２２，若a１＝１２，m＝２，此时a５＝２0，若a１＝１４，m＝１，此时a５＝１8，所以“公”恰好分得３0个橘子的概率为错误!.故选Ｂ．５．（２0２0·陕西榆林模拟）大学生小明与另外３名大学生一起分配到某乡镇甲、乙、丙３个村小学进行支教，若每个村小学至少分配１名大学生，则小明恰好分配到甲村小学的概率为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选Ｃ．依题意，小明与另外３名大学生分配到某乡镇甲、乙、丙３个村小学的分配方法是１个学校２人，另外２个学校各１人，共有C错误!A错误!＝３6（种）分配方法，若小明必分配到甲村小学，有C错误!A错误!＋C错误!A错误!＝１２（种）分配方法，根据古典概型的概率计算公式得所求的概率为错误!＝错误!，故选C.6．（２0１9·高考全国卷Ⅱ）我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有１0个车次的正点率为0．97，有２0个车次的正点率为0．98，有１0个车次的正点率为0．99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为________．解析：经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为错误!＝0．98．答案：0．987．（２0２0·四川绵阳诊断改编）某展会安排了分别标有序号为“１号”“２号”“３号”的三辆车，等可能随机顺序前往酒店接嘉宾．某嘉宾突发奇想，设计两种乘车方案．方案一：不乘坐第一辆车，若第二辆车的车序号大于第一辆车的车序号，就乘坐此车，否则乘坐第三辆车；方案二：直接乘坐第一辆车．记方案一与方案二坐到“３号”车的概率分别为P１，P２，则P１＝________，P２＝________．解析：三辆车的出车顺序可能为：１２３，１３２，２１３，２３１，３１２，３２１，共6种．方案一坐３号车可能为：１３２，２１３，２３１，共３种，所以P１＝错误!＝错误!；方案二坐３号车可能为：３１２，３２１，共２种．所以P２＝错误!＝错误!.答案：错误!错误!8．已知|p|≤３，|q|≤３，当p，q∈Z，则方程x２＋２px—q２＋１＝0有两个相异实数根的概率是________．解析：由方程x２＋２px—q２＋１＝0有两个相异实数根，可得Δ＝（２p）２—４（—q２＋１）>0，即p２＋q２>１．当p，q∈Z时，设点M（p，q），如图，直线p＝—３，—２，—１，0，１，２，３和直线q＝—３，—２，—１，0，１，２，３的交点，即为点M，共有４9个，其中在圆上和圆内的点共有５个（图中黑点）．当点M（p，q）落在圆p２＋q２＝１外时，方程x２＋２px—q２＋１＝0有两个相异实数根，所以方程x２＋２px—q２＋１＝0有两个相异实数根的概率P＝错误!＝错误!.答案：错误!9．某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：赔付金额（元）0１000２000３000４000（２）在样本车辆中，车主是新司机的占１0%，在赔付金额为４000元的样本车辆中，车主是新司机的占２0%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为４000元的概率．解：（１）设A表示事件“赔付金额为３000元”，B表示事件“赔付金额为４000元”，以频率估计概率得P（A）＝错误!＝0．１５，P（B）＝错误!＝0．１２．由于投保金额为２800元，赔付金额大于投保金额对应的情形是赔付金额为３000元和４000元，所以其概率为P（A）＋P（B）＝0．１５＋0．１２＝0．２7．（２）设C表示事件“投保车辆中新司机获赔４000元”，由已知，样本车辆中车主为新司机的有0．１×１000＝１00（辆），而赔付金额为４000元的车辆中，车主为新司机的有0．２×１２0＝２４（辆），所以样本车辆中新司机车主获赔金额为４000元的频率为错误!＝0．２４，由频率估计概率得P （C）＝0．２４．１0．在某大型活动中，甲、乙等五名志愿者被随机地分到A，B，C，D四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．（１）求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率；（２）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；（３）求五名志愿者中仅有一人参加A岗位服务的概率．解：（１）记“甲、乙两人同时参加A岗位服务”为事件E A，那么P（E A）＝错误!＝错误!，即甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率是错误!.（２）记“甲、乙两人同时参加同一岗位服务”为事件E，那么P（E）＝错误!＝错误!，所以甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是P（错误!）＝１—P（E）＝错误!.（３）有两人同时参加A岗位服务的概率P２＝错误!＝错误!，所以仅有一人参加A岗位服务的概率P１＝１—P２＝错误!.[综合题组练]１．已知甲、乙、丙各有一张自己的身份证，现把三张身份证收起来后，再随机分给甲、乙、丙每人一张，则恰有一人取到自己身份证的概率为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选Ａ．甲、乙、丙各有一张自己的身份证，现把三张身份证收起来后，再随机分给甲、乙、丙每人一张，基本事件总数n＝A错误!＝6，恰有一人取到自己身份证包含的基本事件个数m＝C错误!C错误!C错误!＝３，所以恰有一人取到自己身份证的概率为p＝错误!＝错误!＝错误!.故选Ａ．２．如图，某建筑工地搭建的脚手架局部类似于一个２×２×３的长方体框架，一个建筑工人欲从A 处沿脚手架攀登至B处，则其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选Ｂ．根据题意，最近路线就是不能走回头路，不能走重复的路，所以一共要走３次向上，２次向右，２次向前，共7次，所以最近的行走路线共有A错误!＝５0４0（种）．因为不能连续向上，所以先把不向上的次数排列起来，也就是２次向右和２次向前全排列为A错误!.接下来，就是把３次向上插到４次不向上之间的空隙中，５个位置排３个元素，也就是A错误!，则最近的行走路线中不连续向上攀登的路线共有A错误!A错误!＝１４４0（种），所以其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率P＝错误!＝错误!.故选Ｂ．３．连续抛掷同一颗均匀的骰子，记第i次得到的向上一面的点数为a i，若存在正整数k，使a１＋a＋…＋a k＝6，则称k为幸运数字，则幸运数字为３的概率是________．２解析：连续抛掷同一颗均匀的骰子３次，所含基本事件总数n＝6×6×6，要使a１＋a２＋a３＝6，则a，a２，a３可取１，２，３或１，１，４或２，２，２三种情况，其所含的基本事件个数m＝A错误!＋１C错误!＋１＝１0．故幸运数字为３的概率为P＝错误!＝错误!.答案：错误!４．如下的三行三列的方阵中有九个数a ij（i＝１，２，３；j＝１，２，３），从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率为________．错误!解析：从九个数中任取三个数的不同取法共有C错误!＝错误!＝8４种，取出的三个数分别位于不同的行与列的取法共有C错误!·C错误!·C错误!＝6种，所以至少有两个数位于同行或同列的概率为１—错误!＝错误!.答案：错误!５．某电子商务公司随机抽取１000名网络购物者进行调查．这１000名购物者网上购物金额（单位：万元）均在区间[0．３，0．9]内，样本分组为：[0．３，0．４），[0．４，0．５），[0．５，0．6），[0．6，0．7），[0．7，0．8），[0．8，0．9]，购物金额的频率分布直方图如下：电子商务公司决定给购物者发放优惠券，其金额（单位：元）与购物金额关系如下：购物金额分组[0．３，0．５）[0．５，0．6）[0．6，0．8）[0．8，0．9]发放金额５0１00１５0２00（２）以这１000名购物者购物金额落在相应区间的频率作为概率，求一个购物者获得优惠券金额不少于１５0元的概率．解：（１）购物者的购物金额x与获得优惠券金额y的频率分布如下表：错误!（５0×４00＋１00×３00＋１５0×２80＋２00×２0）＝96．（２）由获得优惠券金额y与购物金额x的对应关系及（１）知，P（y＝１５0）＝P（0．6≤x<0．8）＝0．２8，P（y＝２00）＝P（0．8≤x≤0．9）＝0．0２，从而，获得优惠券金额不少于１５0元的概率为P（y≥１５0）＝P（y＝１５0）＋P（y＝２00）＝0．２8＋0．0２＝0．３．6．（２0２0·延安一模）某快递公司收取快递费用的标准如下：质量不超过１kg的包裹收费１0元；质量超过１kg的包裹，除１kg收费１0元之外，超过１kg的部分，每１kg（不足１kg，按１kg 计算）需再收５元．该公司对近60天，每天揽件数量统计如下表：求该人支付的快递费不超过３0元的概率；（２）该公司从收取的每件快递的费用中抽取５元作为前台工作人员的工资和公司利润，剩余的作为其他费用．前台工作人员每人每天揽件不超过１５0件，工资１00元，目前前台有工作人员３人，那么公司将前台工作人员裁员１人对提高公司利润是否更有利？解：（１）由题意，寄出方式有以下三种可能：。

2019高考数学(理)一轮复习全套学案

2019高考数学（理）一轮复习全套学案目录第一章集合与常用逻辑用语第1节集合第2节命题及其关系、充分条件与必要条件第3节全称量词与存在量词、逻辑联结词“且”“或”“非”第二章函数、导数及其应用第1节函数及其表示第2节函数的单调性与最值第3节函数的奇偶性、周期性与对称性第4节二次函数与幂函数第5节指数与指数函数第6节对数与对数函数第7节函数的图像第8节函数与方程第9节函数模型及其应用第10节变化率与导数、计算导数第11节第1课时导数与函数的单调性第11节第2课时导数与函数的极值、最值学案第11节第3课时导数与函数的综合问题学案第12节定积分与微积分基本定理第三章三角函数、解三角形第1节任意角、弧度制及任意角的三角函数第2节同角三角函数的基本关系与诱导公式第3节三角函数的图像与性质第4节函数y＝Asin（ωx＋φ）的图像及应用学案第5节两角和与差及二倍角的三角函数第6节正弦定理和余弦定理第6节简单的三角恒等变换第7节正弦定理和余弦定理第8节解三角形实际应用举例第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入第1节平面向量的概念及线性运算第2节平面向量的基本定理及坐标表示第3节平面向量的数量积与平面向量应用举例第4节数系的扩充与复数的引入第五章数列第1节数列的概念与简单表示法第2节等差数列及其前n项和第3节等比数列及其前n项和第4节数列求和第六章不等式、推理与证明第1节不等式的性质与一元二次不等式第2节基本不等式及其应用第3节二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题第4节归纳与类比第5节综合法、分析法、反证法第6节数学归纳法第七章立体几何第1节简单几何体的结构及其三视图和直观图第2节空间图形的基本关系与公理第3节平行关系第4节垂直关系第5节简单几何体的表面积与体积第6节空间向量及其运算第7节第1课时利用空间向量证明平行与垂直第7节第2课时利用空间向量求空间角第八章平面解析几何第1节直线的倾斜角与斜率、直线的方程第2节两条直线的位置关系第3节圆的方程第4节直线与圆、圆与圆的位置关系第5节椭圆第6节抛物线第7节双曲线第8节曲线与方程第9节第1课时直线与圆锥曲线的位置关系第9节第2课时定点、定值、范围、最值问题第九章算法初步、统计与统计案例第1节算法与算法框图第2节随机抽样第3节统计图表、用样本估计总体学案第4节变量间的相关关系与统计案例第十章计数原理、概率、随机变量及其分布第1节分类加法计数原理与分步乘法计数原理第2节排列与组合第3节二项式定理第4节随机事件的概率学案第5节古典概型第6节几何概型第7节离散型随机变量及其分布列第8节二项分布与正态分布第9节离散型随机变量的均值与方差不等式选讲第1节绝对值不等式不等式选讲第2节不等式的证明坐标系与参数方程第1节坐标系坐标系与参数方程第2节参数方程第一节集合[考纲传真] 1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中，了解全集与空集的含义.3.(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．(3)能使用Venn 图表达集合间的基本关系及集合的基本运算．[基础知识填充]1．元素与集合(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性． (2)元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为∈和∉. (3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、Venn 图法． (4)常见数集的记法2.中至少有一AB3.A ∪BA ∩B∁A[(1)若有限集A 中有n 个元素，则A 的子集有2n个，真子集有2n－1个． (2)任何集合是其本身的子集，即：A ⊆A . (3)子集的传递性：A ⊆B ，B ⊆C ⇒A ⊆C . (4)A ⊆B ⇔A ∩B ＝A ⇔A ∪B ＝B .(5)∁U (A ∩B )＝(∁U A )∪(∁U B )，∁U (A ∪B )＝(∁U A )∩(∁U B )．[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)任何集合都有两个子集．( )(2){x |y ＝x 2}＝{y |y ＝x 2}＝{(x ，y )|y ＝x 2}．( ) (3)若{x 2,1}＝{0,1}，则x ＝0,1.( ) (4){x |x ≤1}＝{t |t ≤1}．( )(5)对于任意两个集合A ，B ，关系(A ∩B )⊆(A ∪B )恒成立． (6)若A ∩B ＝A ∩C ，则B ＝C .( )[解析] (1)错误．空集只有一个子集，就是它本身，故该说法是错误的．(2)错误．三个集合分别表示函数y ＝x 2的定义域(－∞，＋∞)，值域[0，＋∞)，抛物线y ＝x 2上的点集．(3)错误．当x ＝1时，不满足互异性．(4)正确．两个集合均为不大于1的实数组成的集合． (5)正确．由交集、并集、子集的概念知，正确． (6)错误．当A ＝∅时，B ，C 可为任意集合．[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√ (6)×2．(教材改编)若集合A ＝{x ∈N |x ≤22}，a ＝2，则下列结论正确的是( )A ．{a }⊆AB ．a ⊆AC ．{a }∈AD ．a ∉A D [由题意知A ＝{0,1,2}，由a ＝2，知a ∉A .]3．若集合A ＝{x |－2＜x ＜1}，B ＝{x |x ＜－1或x ＞3}，则A ∩B ＝( )A ．{x |－2＜x ＜－1}B ．{x |－2＜x ＜3}C ．{x |－1＜x ＜1}D ．{x |1＜x ＜3}A [∵A ＝{x |－2＜x ＜1}，B ＝{x |x ＜－1或x ＞3}， ∴A ∩B ＝{x |－2＜x ＜－1}．故选A.]4．设全集U ＝{x |x ∈N ＋，x ＜6}，集合A ＝{1,3}，B ＝{3,5}，则∁U (A ∪B )等于( )A ．{1,4}B ．{1,5}C ．{2,5}D ．{2,4}D [由题意得A ∪B ＝{1,3}∪{3,5}＝{1,3,5}．又U ＝{1,2,3,4,5}，∴∁U (A ∪B )＝{2,4}．] 5．已知集合A ＝{x 2＋x,4x }，若0∈A ，则x ＝________.－1 [由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＝0，4x ≠0或⎩⎪⎨⎪⎧4x ＝0，x 2＋x ≠0，解得x ＝－1.](第2页)(1)设集合A ＝{1,2,3}，B ＝{4,5}，M ＝{x |x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈B }，则M 中的元素个数为( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6(2)已知a ，b ∈R ，若⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，b a，1＝{a 2，a ＋b,0}，则a 2 019＋b 2 019为( )A ．1B ．0C ．－1D ．±1(1)B (2)C [(1)因为集合M 中的元素x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈B ，所以当b ＝4，a ＝1,2,3时，x ＝5,6,7. 当b ＝5，a ＝1,2,3时，x ＝6,7,8. 由集合元素的互异性，可知x ＝5,6,7,8. 即M ＝{5,6,7,8}，共有4个元素． (2)由已知得a ≠0，则b a＝0，所以b ＝0，于是a 2＝1，即a ＝1或a ＝－1，又根据集合中元素的互异性可知a ＝1应舍去，因此a ＝－1，故a2 019＋b2 019＝(－1)2 019＋02 019＝－1.]确定集合中的元素是什么，即集合是数集还是点集看这些元素满足什么限制条件根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数，要注意检验集合是否满足元素的互异性[跟踪训练A.92 B.98 C ．0 D ．0或98(2)已知集合A ＝{m ＋2,2m 2＋m }，若3∈A ，则m 的值为________.【79140001】(1)D (2)－32 [(1)若集合A 中只有一个元素，则方程ax 2－3x ＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根．当a ＝0时，x ＝23，符合题意；当a ≠0时，由Δ＝(－3)2－8a ＝0得a ＝98，所以a 的取值为0或98.(2)因为3∈A ，所以m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3.当m ＋2＝3，即m ＝1时，2m 2＋m ＝3，此时集合A 中有重复元素3，所以m ＝1不符合题意，舍去；当2m 2＋m ＝3时，解得m ＝－32或m ＝1(舍去)，此时当m ＝－32时，m ＋2＝12≠3符合题意．所以m ＝－32.](1)已知集合A ＝{x |y ＝1－x 2，x ∈R }，B ＝{x |x ＝m 2，m ∈A }，则( ) A ．A B B ．B A C ．A ⊆BD ．B ＝A(2)已知集合A ＝{x |(x ＋1)(x －3)＜0}，B ＝{x |－m ＜x ＜m }．若B ⊆A ，则m 的取值范围为________． (1)B (2)m ≤1 [(1)由题意知A ＝{x |－1≤x ≤1}，所以B ＝{x |x ＝m 2，m ∈A }＝{x |0≤x ≤1}，因此B A .(2)当m ≤0时，B ＝∅，显然B ⊆A ，当m ＞0时，因为A ＝{x |(x ＋1)(x －3)＜0}＝{x |－1＜x ＜3}．当B ⊆A 时，有所以⎩⎪⎨⎪⎧－m ≥－1，m ≤3，－m ＜m .所以0＜m ≤1.综上所述，m 的取值范围为m ≤1.] 化简集合，从表达式中寻找两集合的关系用列举法或图示法等表示各个集合，从元素或图形中寻找关系2.根据集合间的关系求参数的方法已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常要合理利用数轴、A ≠，应分[跟踪训练] (1)已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R }，B ＝{x |0＜x ＜5，x ∈N }，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4(2)已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1＜x ＜2m －1}，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围是________． (1)D (2)(－∞，4] [(1)由x 2－3x ＋2＝0，得x ＝1或x ＝2，所以A ＝{1,2}．由题意知B ＝{1,2,3,4}，所以满足条件的C 可为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}． (2)∵B ⊆A ，∴当B ＝∅时，有m ＋1≥2m －1，则m ≤2. 当B ≠∅时，若B ⊆A ，如图．则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥－2，2m －1≤7，m ＋1＜2m －1，解得2＜m ≤4.综上，m 的取值范围为m ≤4.]◎角度1 集合的运算(1)(2017·全国卷Ⅰ)已知集合A ＝{x |x <1}，B ＝{x |3x＜1}，则( ) A ．A ∩B ＝{x |x ＜0} B ．A ∪B ＝R C ．A ∪B ＝{x |x ＞1}D ．A ∩B ＝∅(2)(2018·九江一中)设U ＝R ，A ＝{－3，－2，－1，0,1,2}，B ＝{x |x ≥1}，则A ∩(∁U B )＝( ) A ．{1,2}B ．{－1,0,1,2}C ．{－3，－2，－1,0}D ．{2}(1)A (2)C [(1)∵B ＝{x |3x＜1}，∴B ＝{x |x ＜0}．又A ＝{x |x ＜1}，∴A ∩B ＝{x |x ＜0}，A ∪B ＝{x |x ＜1}．故选A. (2)由题意得∁U B ＝{x |x ＜1}，∴A ∩(∁U B )＝{－3，－2，－1,0}，故选C.] ◎角度2 利用集合的运算求参数(2018·合肥第二次质检)已知A ＝[1，＋∞)，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈R ⎪⎪⎪12a ≤x ≤2a －1，若A ∩B ≠∅，则实数a 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ D ．(1，＋∞)A [集合A ∩B ≠∅，则⎩⎪⎨⎪⎧12a ≤2a －1，2a －1≥1，解得a ≥1，故选A.] ◎角度3 新定义集合问题如果集合A 满足若x ∈A ，则－x ∈A ，那么就称集合A 为“对称集合”．已知集合A ＝{2x,0，x 2＋x }，且A 是对称集合，集合B 是自然数集，则A ∩B ＝______.{0,6} [由题意可知－2x ＝x 2＋x ，所以x ＝0或x ＝－3.而当x ＝0时不符合元素的互异性，所以舍去．当x ＝－3时，A ＝{－6,0,6}，所以A ∩B ＝{0,6}．]看元素组成，集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提看集合能否化简，集合能化简的先化简，再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于求解要借助用数轴表示，并注意端点值的取舍以集合为依托，对集合的定义、运算、性质加以创新，但最终应转化为原来的集合问题来解决[跟踪训练A ．{1，－3} B ．{1,0} C ．{1,3}D ．{1,5}(2)已知全集U ＝R ，集合M ＝{x |(x －1)(x ＋3)＜0}，N ＝{x ||x |≤1}，则阴影部分(如图111)表示的集合是( )图111A ．[－1,1)B ．(－3,1]C ．(－∞，－3)∪[－1，＋∞)D ．(－3，－1)(3)设A ，B 是非空集合，定义A ⊗B ＝{x |x ∈A ∪B 且x ∉A ∩B }．已知集合A ＝{x |0＜x ＜2}，B ＝{y |y ≥0}，则A ⊗B ＝________.【79140002】(1)C (2)D (3){0}∪[2，＋∞) [(1)∵A ∩B ＝{1}， ∴1∈B .∴1－4＋m ＝0，即m ＝3. ∴B ＝{x |x 2－4x ＋3＝0}＝{1,3}．故选C.(2)由题意可知，M＝(－3,1)，N＝[－1,1]，∴阴影部分表示的集合为M∩(∁U N)＝(－3，－1)．(3)由已知A＝{x|0＜x＜2}，B＝{y|y≥0}，又由新定义A⊗B＝{x|x∈A∪B且x∉A∩B}，结合数轴得A⊗B＝{0}∪[2，＋∞)．]第二节命题及其关系、充分条件与必要条件[考纲传真] 1.理解命题的概念；了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.2.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义．(第3页)[基础知识填充]1．四种命题及其相互关系(1)四种命题间的相互关系图121(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．2．充分条件与必要条件(1)若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；(2)若p⇒q，且⇒/p，则p是q的充分不必要条件；(3)若p⇒/q且q⇒p，则p是q的必要不充分条件；(4)若p⇔q，则p是q的充要条件；(5)若p⇒/q且q⇒/p，则p是q的既不充分也不必要条件．[知识拓展] 集合与充要条件设集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}，则有：(1)若A⊆B，则p是q的充分条件，若A B，则p是q的充分不必要条件．(2)若B⊆A，则p是q的必要条件，若B A，则p是q的必要不充分条件．(3)若A＝B，则p是q的充要条件．[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“x 2＋2x －3<0”是命题．( )(2)命题“若p ，则q ”的否命题是“若p ，则﹁q ”．( ) (3)四种形式的命题中，真命题的个数为0或2或4.( ) (4)当q 是p 的必要条件时，p 是q 的充分条件．( )(5)“若p 不成立，则q 不成立”等价于“若q 成立，则p 成立”．( ) [解析] (1)错误．该语句不能判断真假，故该说法是错误的． (2)错误．否命题既否定条件，又否定结论．(3)正确．因为两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性． (4)正确．q 是p 的必要条件说明p ⇒q ，所以p 是q 的充分条件． (5)正确．原命题与逆否命题是等价命题． [答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)√2．(教材改编)命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是( )A ．若α≠π4，则tan α≠1B ．若α＝π4，则tan α≠1C ．若tan α≠1，则α≠π4D ．若tan α≠1，则α＝π4C [“若p ，则q ”的逆否命题是“若﹁q ，则﹁p ”，显然﹁q ：tan α≠1，﹁p ：α≠π4，所以该命题的逆否命题是“若tan α≠1，则α≠π4”．]3．“x ＝1”是“(x －1)(x ＋2)＝0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件A [若x ＝1，则(x －1)(x ＋2)＝0显然成立，但反之不一定成立，即若(x －1)(x ＋2)＝0，则x ＝1或－2.]4．命题“若a ＞－3，则a ＞－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4B [原命题正确，从而其逆否命题也正确；其逆命题为“若a ＞－6，则a ＞－3”是假命题，从而其否命题也是假命题．因此4个命题中有2个真命题．]5．(2017·天津高考)设x ∈R ，则“2－x ≥0”是“|x －1|≤1”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 B [∵2－x ≥0，∴x ≤2. ∵|x －1|≤1，∴0≤x ≤2.∵当x ≤2时不一定有x ≥0，当0≤x ≤2时一定有x ≤2， ∴“2－x ≥0”是“|x －1|≤1”的必要而不充分条件．故选B.](第4页)(1)命题“若a 2＞b 2，则a ＞b ”的否命题是( ) A ．若a 2＞b 2，则a ≤b B ．若a 2≤b 2，则a ≤b C ．若a ≤b ，则a 2＞b 2D ．若a ≤b ，则a 2≤b 2(2)(2017·河南开封二十五中月考)下列命题中为真命题的是( ) A ．命题“若x ＞1，则x 2＞1”的否命题 B ．命题“若x ＞y ，则x ＞|y |”的逆命题 C ．命题“若x ＝1，则x 2＋x －2＝0”的否命题 D ．命题“若1x＞1，则x ＞1”的逆否命题(1)B (2)B [(1)根据命题的四种形式可知，命题“若p ，则q ”的否命题是“若﹁p ，则﹁q ”．该题中，p 为a 2＞b 2，q 为a ＞b ，故﹁p 为a 2≤b 2，﹁q 为a ≤b .所以原命题的否命题为：若a 2≤b 2，则a ≤b .(2)对于A ，命题“若x ＞1，则x 2＞1”的否命题为“若x ≤1，则x 2≤1”，易知当x ＝－2时，x2＝4＞1，故为假命题；对于B ，命题“若x ＞y ，则x ＞|y |”的逆命题为“若x ＞|y |，则x ＞y ”，分析可知为真命题；对于C ，命题“若x ＝1，则x 2＋x －2＝0”的否命题为“若x ≠1，则x 2＋x －2≠0”，易知当x ＝－2时，x 2＋x －2＝0，故为假命题；对于D ，命题“若1x＞1，则x ＞1”的逆否命题为“若x ≤1，则1x≤1”，易知为假命题，故选B.]联系已有的数学公式、定理、结论进行正面直接判断利用原命题与逆否命题，逆命题与否命题的等价关系进行判断易错警示：写一个命题的其他三种命题时，需注意：判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例[跟踪训练个等于0”，在该命题的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为( )【79140007】A．0 B．1C．2 D．3D[原命题为真命题，逆命题为“已知a，b，c为实数，若a，b，c中至少有一个等于0，则abc＝0”，也为真命题．根据命题的等价关系可知其否命题、逆否命题也是真命题，故在该命题的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为3.](1)(2017·北京高考)设m，n为非零向量，则“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n<0”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件(2)(2017·安徽百所重点高中二模)“a3＞b3”是“ln a＞ln b”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(1)A(2)B[(1)法一：由题意知|m|≠0，|n|≠0.设m与n的夹角为θ.若存在负数λ，使得m＝λn，则m与n反向共线，θ＝180°，∴m·n＝|m||n|cos θ＝－|m||n|<0.当90°<θ<180°时，m·n<0，此时不存在负数λ，使得m＝λn.故“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n<0”的充分而不必要条件．故选A.法二：∵m＝λn，∴m·n＝λn·n＝λ|n|2.∴当λ<0，n≠0时，m·n<0.反之，由m ·n ＝|m ||n |cos 〈m ，n 〉<0⇔cos 〈m ，n 〉<0⇔〈m ，n 〉∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π，当〈m ，n 〉∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π时，m ，n 不共线．故“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n <0”的充分而不必要条件．故选A.(2)由a 3＞b 3可得a ＞b ，当a ＜0，b ＜0时，ln a ，ln b 无意义；反之，由ln a ＞ln b 可得a ＞b ，故a 3＞b 3.因此“a 3＞b 3”是“ln a ＞ln b ”的必要不充分条件．]定义法：根据集合法：根据断问题.等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断，适用于条件和结论带有否定性词语的命题[跟踪训练] (1)(2017·天津高考)设θ∈R ，则“⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－12<12”是“sin θ<2”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(2)(2018·合肥第一次质检)祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等．设A ，B 为两个同高的几何体，p ：A ，B 的体积不相等，q ：A ，B 在等高处的截面积不恒相等，根据祖暅原理可知，p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(1)A (2)A [(1)∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12<π12，∴－π12<θ－π12<π12，即0<θ<π6.显然0<θ<π6时，sin θ<12成立．但sin θ<12时，由周期函数的性质知0<θ<π6不一定成立．故0<θ<π6是sin θ<12的充分而不必要条件．故选A.(2)由祖暅原理可得﹁q ⇒﹁p ，即p ⇒q ，则充分性成立；反之不成立，如将同一个圆锥正放和倒放，在等高处的截面积不恒相等，但体积相等，∴p 是q 的充分不必要条件，故选A.]m 的取值范围为________．[0,3] [由x 2－8x －20≤0得－2≤x ≤10， ∴P ＝{x |－2≤x ≤10}，由x ∈P 是x ∈S 的必要条件，知S ⊆P . 则⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤1＋m ，1－m ≥－2，1＋m ≤10，∴0≤m ≤3.即所求m 的取值范围是[0,3]．]1．把本例中的“必要条件”改为“充分条件”，求m 的取值范围．[解] 由x ∈P 是x ∈S 的充分条件，知P ⊆S ，则⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤1＋m ，1－m ≤－2，1＋m ≥10，解得m ≥9，即所求m 的取值范围是[9，＋∞)．2．本例条件不变，问是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件？并说明理由．[解] 不存在．理由：若x ∈P 是x ∈S 的充要条件，则P ＝S ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＝－2，1＋m ＝10，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，m ＝9，无解，∴不存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件．组求解易错警示：求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象[跟踪训练] (1)已知p ：x ≥k ，q ：x ＋1＜1，如果p 是q 的充分不必要条件，则实数k 的取值范围是( ) A ．[2，＋∞) B ．(2，＋∞) C ．[1，＋∞)D ．(－∞，－1)(2)已知条件p ：2x 2－3x ＋1≤0，条件q ：a ≤x ≤a ＋1.若﹁p 是﹁q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________.【79140008】(1)B (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12 [(1)∵3x ＋1＜1，∴3x ＋1－1＝2－x x ＋1＜0，即(x －2)(x ＋1)＞0，∴x ＞2或x ＜－1， ∵p 是q 的充分不必要条件，∴k ＞2.(2)命题p 为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12≤x ≤1，命题q 为{x |a ≤x ≤a ＋1}．﹁p 对应的集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＞1或x ＜12，﹁q 对应的集合B ＝{}x |x ＞a ＋1或x ＜a .∵﹁p 是﹁q 的必要不充分条件，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1＞1，a ≤12或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1≥1，a ＜12，∴0≤a ≤12.]第三节全称量词与存在量词、逻辑联结词“且”“或”“非”[考纲传真] 1.了解逻辑联结词“且”“或”“非”的含义.2.理解全称量词与存在量词的意义.3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定．(第5页) [基础知识填充]1．简单的逻辑联结词(1)命题中的“且”“或”“非”叫作逻辑联结词． (2)命题p 且q ，p 或q ，﹁p 的真假判断2.(1)常见的全称量词有：“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”等．(2)常见的存在量词有：“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“某个”“有的”等．3．全称命题与特称命题(1)含有全称量词的命题叫全称命题． (2)含有存在量词的命题叫特称命题.4．命题的否定(1)全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题． (2)p 或q 的否定为：﹁p 且﹁q ；p 且q 的否定为：﹁p 或﹁q .[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)命题“5＞6或5＞2”是假命题．( )(2)命题﹁(p 且q )是假命题，则命题p ，q 中至少有一个是假命题．( ) (3)“长方形的对角线相等”是特称命题．( )(4)命题“对顶角相等”的否定是“对顶角不相等”．( ) [解析] (1)错误．命题p 或q 中，p ，q 有一真则真． (2)错误．p 且q 是真命题，则p ，q 都是真命题．(3)错误．命题“长方形的对角线相等”可叙述为“所有长方形的对角线相等”，是全称命题． (4)错误．“对顶角相等”是全称命题，其否定为“有些对顶角不相等”． [答案] (1)× (2)× (3)× (4)×2．(教材改编)已知p ：2是偶数，q ：2是质数，则命题﹁p ，﹁q ，p 或q ，p 且q 中真命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4B [p 和q 显然都是真命题，所以﹁p ，﹁q 都是假命题，p 或q ，p 且q 都是真命题．] 3．下列四个命题中的真命题为( )A ．存在x 0∈Z,1＜4x 0＜3B ．存在x 0∈Z,5x 0＋1＝0C ．任意x ∈R ，x 2－1＝0 D ．任意x ∈R ，x 2＋x ＋2＞0D [选项A 中，14＜x 0＜34且x 0∈Z ，不成立；选项B 中，x 0＝－15，与x 0∈Z 矛盾；选项C 中，x ≠±1时，x 2－1≠0；选项D 正确．]4．命题：“存在x 0∈R ，x 20－ax 0＋1＜0”的否定为________．任意x ∈R ，x 2－ax ＋1≥0 [因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“存在x 0∈R ，x 20－ax 0＋1＜0”的否定是“任意x ∈R ，x 2－ax ＋1≥0”．]5．若命题“任意x ∈R ，ax 2－ax －2≤0”是真命题，则实数a 的取值范围是________．[－8,0] [当a ＝0时，不等式显然成立．当a ≠0时，依题意知⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，Δ＝a 2＋8a ≤0，解得－8≤a ＜0.综上可知－8≤a≤0.](第6页)(1)(2018·东北三省四市模拟(一))已知命题p：函数y＝lg(1－x)在(－∞，1)上单调递减，命题q：函数y＝2cos x是偶函数，则下列命题中为真命题的是( )A．p且q B．(﹁p)或(﹁q)C．(﹁p)且q D．p且(﹁q)(2)若命题“p或q”是真命题，“﹁p为真命题”，则( )A．p真，q真B．p假，q真C．p真，q假D．p假，q假(1)A(2)B[(1)命题p中，因为函数u＝1－x在(－∞，1)上为减函数，所以函数y＝lg(1－x)在(－∞，1)上为减函数，所以p是真命题；命题q中，设f(x)＝2cos x，则f(－x)＝2cos(－x)＝2cos x＝f(x)，x∈R，所以函数y＝2cos x是偶函数，所以q是真命题，所以p且q是真命题，故选A.(2)因为﹁p为真命题，所以p为假命题，又因为p或q为真命题，所以q为真命题．]确定命题的构成形式；判断依据“或”——一真即真，p”等形式命题的真假是y＝|tan x| [跟踪训练] (2018·呼和浩特一调)命题p：x＝2π是函数y＝|sin x|的一条对称轴，q：2的最小正周期，下列命题①p或q；②p且q；③p；④﹁q，其中真命题有( )【79140013】A．1个B．2个C．3个D．4个C[由已知得命题p为真命题，命题q为假命题，所以p或q为真命题，p且q为假命题，﹁q为真命题，所以真命题有①③④，共3个，故选C.]◎角度1 全称命题、特称命题的真假判断下列命题中，真命题是( ) A ．任意x ∈R ，x 2－x －1＞0B ．任意α，β∈R ，sin(α＋β)＜sin α＋sin βC ．存在x ∈R ，x 2－x ＋1＝0D ．存在α，β∈R ，sin(α＋β)＝cos α＋cos βD [因为x 2－x －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－54≥－54，所以A 是假命题．当α＝β＝0时，有sin(α＋β)＝sin α＋sin β，所以B 是假命题．x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34≥34，所以C 是假命题．当α＝β＝π2时，有sin(α＋β)＝cos α＋cos β，所以D 是真命题，故选D.] ◎角度2 含有一个量词的命题的否定命题“任意n ∈N ＋，f (n )∈N ＋且f (n )≤n ”的否定形式是( ) A ．任意n ∈N ＋，f (n )∉N ＋且f (n )>n B ．任意n ∈N ＋，f (n )∉N ＋或f (n )>n C ．存在n 0∈N ＋，f (n 0)∉N ＋且f (n 0)>n 0 D ．存在n 0∈N ＋，f (n 0)∉N ＋或f (n 0)>n 0D [写全称命题的否定时，要把量词“任意”改为“存在”，并且否定结论，注意把“且”改为“或”．]要判断一个全称命题是真命题，必须对限定集合x 成立；但要判断全称命题是假命题，只要能找出集合x 0不成立即可要判断一个特称命题是真命题，只要在限定集合中，至少能找到一个＝x 0，使x 0成立即可，否则，这一特称命题就是假命题2.全称命题与特称命题的否定改写量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写否定结论：对原命题的结论进行否定[跟踪训练] (1)已知命题p ：存在x ∈⎝⎭⎪⎫0，2，使得cos x ≤x ，则﹁p 为( )A ．存在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，使得cos x ＞xB ．存在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，使得cos x ＜xC ．任意x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，总有cos x ＞xD ．任意x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，总有cos x ≤x(2)下列命题中的假命题是( ) A ．存在x 0∈R ，lg x 0＝0 B ．存在x 0∈R ，tan x 0＝ 3 C ．任意x ∈R ，x 3＞0D ．任意x ∈R,2x＞0(1)C (2)C [(1)原命题是一个特称命题，其否定是一个全称命题，而“cos x ≤x ”的否定是“cos x ＞x ”．故选C.(2)当x ＝1时，lg x ＝0，故命题“存在x 0∈R ，lg x 0＝0”是真命题；当x ＝π3时，tan x ＝3，故命题“存在x 0∈R ，tan x 0＝3”是真命题；由于x ＝－1时，x 3＜0，故命题“任意x ∈R ，x 3＞0”是假命题；根据指数函数的性质，对任意x ∈R,2x＞0，故命题“任意x ∈R,2x＞0”是真命题．]给定命题p ：对任意实数x 都有ax 2＋ax ＋1＞0成立；q ：关于x 的方程x 2－x ＋a ＝0有实数根．如果p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，求实数a 的取值范围．[解] 当p 为真命题时，“对任意实数x 都有ax 2＋ax ＋1＞0成立”⇔a ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＜0，∴0≤a ＜4.当q 为真命题时，“关于x 的方程x 2－x ＋a ＝0有实数根”⇔Δ＝1－4a ≥0，∴a ≤14.∵p 或q 为真命题，p 且q 为假命题， ∴p ，q 一真一假．∴若p 真q 假，则0≤a ＜4，且a ＞14，∴14＜a ＜4；若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0或a ≥4，a ≤14，即a ＜0.故实数a 的取值范围为(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫14，4.先求出每个简单命题是真命题时参数的取值范围再根据复合命题的真假确定各个简单命题的真假情况有时不一定只有一种情况最后由的结果求出满足条件的参数取值范围[跟踪训练] (1)(2018·太原模拟(二))若命题“任意x ∈(0，＋∞)，x ＋x≥m ”是假命题，则实数m 的取值范围是________.【79140014】(2)已知p ：存在x 0∈R ，mx 20＋1≤0，q ：任意x ∈R ，x 2＋mx ＋1＞0，若p 或q 为假命题，则实数m 的取值范围为( ) A ．m ≥2B ．m ≤－2C ．m ≤－2或m ≥2D ．－2≤m ≤2(1)(2，＋∞) (2)A [(1)由题意，知“存在x ∈(0，＋∞)，x ＋1x＜m ”是真命题，又因为x ∈(0，＋∞)，所以x ＋1x≥2，当且仅当x ＝1时等号成立，所以实数m 的取值范围为(2，＋∞)．(2)依题意知，p ，q 均为假命题．当p 是假命题时，任意x ∈R ，mx 2＋1＞0恒成立，则有m ≥0；当q 是假命题时，则有Δ＝m 2－4≥0，m ≤－2或m ≥2.因此，由p ，q 均为假命题得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，m ≤－2或m ≥2，即m ≥2.]第一节函数及其表示[考纲传真] 1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图像法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数，并能简单应用(函数分段不超过三段)．(第8页) [基础知识填充]1．函数与映射的概念2.(1)函数的定义域、值域：数集A 叫作函数的定义域；函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫作函数的值域． (2)函数的三要素：定义域、对应关系和值域．(3)相等函数：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数． (4)函数的表示法：表示函数的常用方法有解析法、图像法和列表法． 3．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫作分段函数．分段函数是一个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．[知识拓展]1．函数与映射的本质是两个集合间的“多对一”和“一对一”关系．2．分段函数是高考必考内容，常考查(1)求最值；(2)求分段函数单调性；(3)分段函数解析式；(4)利用分段函数求值，解题的关键是分析用哪一段函数，一般需要讨论．[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数是特殊的映射．( )(2)函数y ＝1与y ＝x 0是同一个函数．( )(3)与x 轴垂直的直线和一个函数的图像至多有一个交点．( ) (4)分段函数是两个或多个函数．( ) [答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)×2．(教材改编)函数y ＝2x －3＋1x －3的定义域为( ) A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ B ．(－∞，3)∪(3，＋∞) C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，3∪(3，＋∞) D ．(3，＋∞)C [由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2x －3≥0，x －3≠0，解得x ≥32且x ≠3.]3．如图211所示，所给图像是函数图像的有( )图211A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个B [(1)中，当x ＞0时，每一个x 的值对应两个不同的y 值，因此(1)不是函数图像；(2)中，当x ＝x 0时，y 的值有两个，因此(2)不是函数图像；(3)(4)中，每一个x 的值对应唯一的y 值，因此(3)(4)是函数图像，故选B.]4．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤1，2x，x ＞1，则f (f (3))＝________.139 [f (3)＝23，f (f (3))＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋1＝139.]5．(2015·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )＝ax 3－2x 的图像过点(－1,4)，则a ＝________.－2 [∵f (x )＝ax 3－2x 的图像过点(－1,4)， ∴4＝a ×(－1)3－2×(－1)，解得a ＝－2.](第9页)(1)(2018·济南一模)函数f (x )＝2x－12＋3x ＋1的定义域为________．(2)若函数y ＝f (x )的定义域为[0,2]，则函数g (x )＝f x x －1的定义域是________．(1)(－1，＋∞) (2)[0,1) [(1)由题意得⎩⎨⎧2x －12≥0，x ＋1≠0，解得x ＞－1，所以函数f (x )的定义域为(－1，＋∞)．(2)由0≤2x ≤2，得0≤x ≤1，又x －1≠0，即x ≠1，所以0≤x ＜1，即g (x )的定义域为[0,1)．]已知函数解析式，构造使解析式有意义的不等式组求解实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式组求解抽象函数：①若已知函数x 的定义域为g x 的定义域由不等式x b 求出；②若已知函数g x 的定义域为x 的定义域为x 在时的值域.x 定义域为[m x 定义域，先求φx 值域[a a ≤h xb ，.[跟踪训练] (1)函数f (x )＝1－x＋lg(3x ＋1)的定义域是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，1 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，＋∞C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，13 D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－13 (2)已知函数f (2x)的定义域为[－1,1]，则f (x )的定义域为________.【79140019】(1)A (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2 [(1)由题意可知{ 1－x ＞0，x ＋1＞0，解得⎩⎨⎧x ＜1，x ＞－13，∴－13＜x ＜1，故选A.(2)∵f (2x)的定义域为[－1,1]， ∴12≤2x ≤2，即f (x )的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2.](1)已知f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝x 2＋1x2，求f (x )的解析式；(2)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x＋1＝lg x ，求f (x )的解析式；(3)已知f (x )是二次函数且f (0)＝2，f (x ＋1)－f (x )＝x －1，求f (x )的解析式；(4)已知f (x )＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x (x ≠0)，求f (x )的解析式．[解] (1)由于f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝x 2＋1x2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2－2，令t ＝x ＋1x，当x ＞0时，t ≥2x ·1x＝2，当且仅当x ＝1时取等号；当x ＜0时，t ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－x －1x ≤－2，当且仅当x ＝－1时取等号，∴f (t )＝t 2－2t ∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)．综上所述．f (x )的解析式是f (x )＝x 2－2，x ∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)．(2)令2x ＋1＝t ，由于x ＞0，∴t ＞1且x ＝2t －1，∴f (t )＝lg2t －1，即f (x )＝lg 2x －1(x ＞1)． (3)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由f (0)＝2，得c ＝2，f (x ＋1)－f (x )＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)－ax 2－bx ＝x －1，即2ax ＋a ＋b ＝x －1，∴{ 2a ＝1，a ＋b ＝－1，即⎩⎨⎧a ＝12，b ＝－32，∴f (x )＝12x 2－32x ＋2.(4)∵f (x )＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x ，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＋2f (x )＝1x.联立方程组⎩⎨⎧fx ＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2f x ＝1x ，解得f (x )＝23x －x3(x ≠0)．待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法换元法：已知复合函数gx 的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围构造法：已知关于x 与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 或f －x 的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式，通过解方程组求出x已知f x ＋1)＝，求f (x )的解析式；(2)设y ＝f (x )是二次函数，方程f (x )＝0有两个相等实根，且f ′(x )＝2x ＋2，求f (x )的解析式． [解] (1)法一：(换元法)设x ＋1＝t (t ≥1)，则x ＝t －1，所以f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－1(t ≥1)，所以f (x )＝x 2－1(x ≥1)．法二：(配凑法)f (x ＋1)＝x ＋2x ＝(x ＋1)2－1，又x ＋1≥1，所以f (x )＝x 2－1(x ≥1)． (2)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f ′(x )＝2ax ＋b ＝2x ＋2，所以a ＝1，b ＝2，f (x )＝x 2＋2x ＋c . 又因为方程f (x )＝0有两个相等的实根，所以Δ＝4－4c ＝0，c ＝1，故f (x )＝x 2＋2x ＋1.◎角度1 求分段函数的函数值(2015·全国卷Ⅱ)设函数f (x )＝{ 1＋log 2－x ，x <1，x －1，x ≥1，则f (－2)＋f (log 212)＝( )A ．3B ．6C ．9D ．12C [∵－2<1，∴f (－2)＝1＋log 2(2＋2)＝1＋log 24＝1＋2＝3. ∵log 212>1，∴f (log 212)＝2log 212－1＝122＝6.∴f (－2)＋f (log 212)＝3＋6＝9.故选C.]。

北师大版高中数学必修一目录

必修（第一册）（共计72 课时）第一章集合与常用逻辑用语（10课时）1.1 集合的概念1.2 集合间的基本关系1.3 集合的基本运算阅读与思考集合中元素的个数1.4 充分条件与必要条件阅读与思考几何命题与充分条件、必要条件1.5 全称量词与存在量词第二章一元二次函数、方程和不等式（8课时）2.1 等式性质与不等式性质2.2 基本不等式2.3 二次函数与一元二次方程，不等式第三章函数的概念与性质（12课时）3.1 函数的概念及其表示阅读与思考函数概念的发展历程3.2 函数的基本性质信息技术应用用计算机绘制函数图象3.3 幂函数探究与发现探究函数的图象与性质3.4 函数的应用（一）文献阅读与数学写作* 函数的形成与发展第四章指数函数与对数函数（16课时）4.1 指数4.2 指数函数阅读与思考放射性物质的衰减信息技术应用探究指数函数的性质4.3 对数阅读与思考对数的发明4.4 对数函数探究与发现互为反函数的两个函数图象间的关系4.5 函数的应用（二）阅读与思考中外历史上的方程求解文献阅读与数学写作* 对数概念的形成与发展数学建模（3课时）建立函数模型解决实际问题第五章三角函数（23课时）5.1 任意角和弧度制5.2 三角函数的概念阅读与思考三角学与天文学5.3 诱导公式5.4 三角函数的图象与性质探究与发现函数及函数的周期探究与发现利用单位圆的性质研究正弦函数、余弦函数的性质5.5 三角恒等变换信息技术应用利用信息技术制作三角函数表5.6 函数5.7 三角函数的应用阅读与思考振幅、周期、频率、相位必修（第二册）（共计69 课时）第六章平面向量及其应用（18课时）6.1 平面向量的概念6.2 平面向量的运算阅读与思考向量及向量符号的由来6.3 平面向量基本定理及坐标表示6.4 平面向量的应用阅读与思考海伦和秦九韶数学探究（2课时）用向量法研究三角形的性质第七章复数（8课时）7.1 复数的概念7.2 复数的四则运算阅读与思考代数基本定理7.3*复数的三角表示探究与发现的次方根第八章立体几何初步（19课时）8.1 基本立体图形8.2 立体图形的直观图阅读与思考画法几何与蒙日8.3 简单几何体的表面积与体积探究与发现祖暅原理与柱体、锥体的体积8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系8.5 空间直线、平面的平行8.6 空间直线、平面的垂直阅读与思考欧几里得《原本》与公理化方法文献阅读与数学写作*几何学的发展第九章统计（13课时）9.1 随机抽样阅读与思考如何得到敏感性问题的诚实反应信息技术应用统计软件的应用9.2 用样本估计总体阅读与思考统计学在军事中的应用——二战时德国坦克总量的估计问题阅读与思考大数据9.3 案例统计公司员工的肥胖情况调查分析第十章概率（9课时）10.1 随机事件与概率10.2 事件的相互独立性10.3 频率与概率阅读与思考孟德尔遗传规律选择性必修（第一册）（共计43 课时）第一章空间向量与立体几何（15课时）1.1 空间向量及其运算1.2 空间向量基本定理1.3 空间向量及其运算的坐标表示阅读与思考向量概念的推广与应用1.4 空间向量的应用第二章直线和圆的方程（16课时）2.1 直线的倾斜角与斜率2.2 直线的方程探究与发现方向向量与直线的参数方程2.3 直线的交点坐标与距离公式阅读与思考笛卡儿与解析几何2.4 圆的方程阅读与思考坐标法与数学机械化2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系第三章圆锥曲线的方程（12课时）3.1 椭圆信息技术应用用信息技术探究点的轨迹：椭圆3.2 双曲线探究与发现为什么是双曲线的渐近线3.3 抛物线探究与发现为什么二次函数的图象是抛物线阅读与思考圆锥曲线的关学性质及其应用文献阅读与数学写作* 解析几何的形成与发展选择性必修（第二册）（共计30 课时）第四章数列（14课时）4.1 数列的概念阅读与思考斐波那契数列4.2 等差数列4.3 等比数列阅读与思考中国古代数学家求数列和的方法4.4*数学归纳法第五章一元函数的导数及其应用（16课时）5.1 导数的概念及其意义5.2 导数的运算探究与发现牛顿法——用导数方法求方程的近似解5.3 导数在研究函数中的应用信息技术应用图形技术与函数性质文献阅读与数学写作* 微积分的创立与发展选择性必修（第三册）（共计35 课时）第六章计数原理（11课时）6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理探究与发现子集的个数有多少6.2 排列与组合探究与发现组合数的两个性质6.3 二项式定理数学探究（2课时）杨辉三角的性质与应用第七章随机变量及其分布（10课时）7.1 条件概率与全概率公式阅读与思考贝叶斯公式与人工智能7.2 离散型随机变量及其分布列7.3 离散型随机变量的数字特征7.4 二项分布与超几何分布探究与发现二项分布的性质7.5 正态分布信息技术应用概率分布图及概率计算第八章成对数据的统计分析（9课时）8.1 成对数据的统计相关性8.2 一元线性回归模型及其应用阅读与思考回归与相关8.3 列联表与独立性检验数学建模（3课时）建立统计模型进行预测。

学案与评测理数北师大版(课件)第10单元计数原理、概率、随机变量及其分布第九节

3. 两点分布与二项分布的均值、方差 (1)若X服从两点分布，则E(X)＝ p ，D(X)＝ p(1－p) ． (2)若X～B(n，p)，则E(X)＝np ，D(X)＝ np(1－p) ． nM (3)离散型随机变量X服从参数为N，M，n的超几何分布，则E(X)＝ . N
1. 若随机变量X的分布列如下表，则E(X)＝(
2. 已知随机变量X的分布列为 X P 则在下列式子中： 1 23 1 ①E(X)＝－；②D(X)＝；③P(X＝0)＝ . 3 27 3 正确的个数是( A. 0 B. 1 ) C. 2 D. 3 －1 1 2 0 1 3 1 1 6
1 1 1 1 1 解析：E(X)＝(－1)× ＋1× ＝－，故①正确．D(X)＝－1＋3 2× ＋ 2 6 3 2 0＋12×1＋1＋12×1＝5，故②不正确．③显然正确．应选C. 3 3 3 6 9 答案：C
3. (教材改编题)已知随机变量X的分布列为
X P －1 0.5 0 0.3 C.－0.3 1 0.2 D. 0.2
则D(X)＝( A. 0.7
) B. 0.61
解析：E(X)＝(－1)×0.5＋0×0.3＋1×0.2＝－0.3， D(X)＝(－1＋0.3)2×0.5＋(0＋0.3)2×0.3＋(1＋0.3)2×0.2＝0.61. 答案：B 4. 设随机变量X～B(n，p)，且E(X)＝1.6，D(X)＝1.28，则( A. n＝8，p＝0.2 C. n＝5，p＝0.32 B. n＝4，p＝0.4 D. n＝7，p＝0.45 )

解析：∵X～B(n，p)，E(X)＝np＝1.6， n＝8， D(X)＝np(1－p)＝1.28，∴ p＝0.2. 答案：A
5. (教材改编题)一个袋子里装有5只白球5只黑球，从中任意取出4个，其中含有白球个数的期望是________．

2019年高考数学复习单元评估检测9算法初步统计与统计案例第10章计数原理概率随机变量及其分布理北师大版

单元评估检测(九) 第9章算法初步、统计与统计案例第10章计数原理、概率、随机变量及其分布(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．组合式C0n－2C1n＋4C2n－8C3n＋…＋(－2)n C n n的值等于( )A．(－1)n B．1 C．3n D．3n－1[答案]A2．(2017·益阳模拟)某公司2010—2015年的年利润x(单位：百万元)与年广告支出y(单位：百万元)的统计资料如表所示：A．利润中位数是16，x与y有正线性相关关系B．利润中位数是17，x与y有正线性相关关系C．利润中位数是17，x与y有负线性相关关系D．利润中位数是18，x与y有负线性相关关系[答案]B3．设随机变量X服从正态分布N(3,4)，若P(X＜2a－3)＝P(X＞a＋2)，则a＝( )【导学号：79140434】A．3 B.5 3C．5 D.7 3[答案]D4．已知数列{a n}满足a1＝2，a n＋1＝－2a n(n∈N＋)．若从数列{a n}的前10项中随机抽取一项，则该项不小于8的概率是( )A.310B.25C.35D.710[答案]B5．(2018·石家庄模拟)如图91给出了一种植物生长时间t(月)与枝数y(枝)之间的散点图．请你据此判断这种植物生长的时间与枝数的关系用下列哪种函数模型拟合最好？( )图91A ．指数函数y ＝2tB ．对数函数y ＝log 2tC ．幂函数y ＝t 3D ．二次函数y ＝2t 2[答案] A6．甲、乙、丙、丁、戊五人站成一排，要求甲、乙均不与丙相邻，则不同的排法种数为( )A ．72种B ．52种C ．36种D ．24种[答案] C7．随着网络的普及，人们的生活方式正在逐步改变．假设你家订了一份牛奶，奶哥在早上6：00—7：00之间随机地把牛奶送到你家，而你在早上6：30—7：30之间随机地离家上学，则你在离开家前能收到牛奶的概率是( ) A.18 B.58 C.12 D.78 [答案] D8．如图92，设D 是图中边长分别为1和2的矩形区域，E 是D 内位于函数y ＝1x(x ＞0)图像下方的区域(阴影部分)，从D 内随机取一个点M ，则点M 取自E 内的概率为( )图92A.ln 22 B.1－ln 22 C.1＋ln 22D.2－ln 229．已知a ＝1π⎠⎛-22(4－x 2－e x )d x ，若(1－ax )2 016＝b 0＋b 1x ＋b 2x 2＋…＋b 2 016x 2 016(x ∈R )，则b 12＋b 222＋…＋b 2 01622 016的值为( )A ．0B ．－1C ．1D ．e[答案] B10．一个不透明的袋子装有4个完全相同的小球，球上分别标有数字为0,1,2,2，现甲从中摸出一个球后便放回，乙再从中摸出一个球，若摸出的球上数字大即获胜(若数字相同则为平局)，则在甲获胜的条件下，乙摸到数字1的概率为( )【导学号：79140435】A.516B.916C.15D.25[答案] D11．(2018·六安模拟)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≤0，x －y ＋1≥0，x ＋12≥0表示的区域为Ω，不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2≤14表示的区域为Γ，向Ω区域均匀随机投入360粒芝麻，则落在区域Γ中的芝麻数为( ) A ．150 B ．114 C ．70 D ．50[答案] B12．集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫(x ，y )⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1≤0，x ＋y －1≥0，x ∈N ，y ∈N，集合B ＝{(x ，y )|y ≤－x ＋5，x ∈N ，y ∈N }．先后掷两颗骰子，设掷第一颗骰子得到的点数记作a ，掷第二颗骰子得到的点数记作b ，则(a ，b )∈A ∩B 的概率等于( ) A.14 B.29 C.736D.536二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 13．2014年6月，一篇关于“键盘侠”的时评引发了大家对“键盘侠”的热议(“键盘侠”一词描述了部分网民在现实生活中胆小怕事、自私自利，却习惯在网络上大放厥词的一种现象)．某地新闻栏目对该地区群众对“键盘侠”的认可程度进行调查：在随机抽取的50人中，有14人持认可态度，其余持反对态度，若该地区有9 600人，则可估计该地区对“键盘侠”持反对态度的有________人． [答案] 6 91214．从0,1,2,3,4,5,6七个数字中，选出一个偶数和两个奇数，组成一个没有重复数字的三位数，这样的三位数共有________个．(结果用数字作答) [答案] 6615．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为________.【导学号：79140436】[答案] 1316．(2017·衡水模拟)已知n ＝⎠⎜⎛02x 3d x ，则⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －23x n的展开式中常数项为________．－32三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)(2018·武汉模拟)某学校甲、乙两个班各派10名同学参加英语口语比赛，并记录他们的成绩，得到如图93所示的茎叶图．现拟定在各班中分数超过本班平均分的同学为“口语王”．(1)记甲班“口语王”人数为m ，乙班“口语王”人数为n ，比较m，n 的大小； (2)求甲班10名同学口语成绩的方差．图93[解] (1)m ＜n. (2)86.8.18.(本小题满分12分)某班50位学生在2016年中考中的数学成绩的频率分布直方图如图94所示，其中成绩分组区间是：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．(1)求图中x 的值；(2)从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，这2人中成绩在90分以上(含90分)的人数记为ξ，求ξ的数学期望．图94[解] (1)0.018(2)依题设知ξ的取值有0,1,2.P(ξ＝0)＝C 29C 212＝611；P(ξ＝1)＝C 19C 13C 212＝922；P(ξ＝2)＝C 23C 212＝122.ξ分布列为所以E ξ＝0×611＋1×922＋2×22＝2.19．(本小题满分12分)为了落实国家“精准扶贫”，某市现提供一批经济适用房来保障居民住房．现有条件相同的甲、乙、丙、丁4套住房供A ，B ，C 3人申请，且他们的申请是相互独立的．(1)求A ，B 两人不申请同一套住房的概率；(2)设3名申请人中申请甲套住房的人数为X ，求X 的分布列和数学期望． [解] (1)设“A，B 两人申请同一套住房”为事件N ，则P(N)＝4×14×14＝14，所以A ，B 两人不申请同一套住房的概率 P(N )＝1－P(N)＝34.(2)随机变量X 可能取的值为0,1,2,3.P(X ＝0)＝C 03×⎝ ⎛⎭⎪⎫343＝2764，P(X ＝1)＝C 13×14×⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝2764，P(X ＝2)＝C 23×⎝ ⎛⎭⎪⎫142×34＝964，P(X ＝3)＝C 33×⎝ ⎛⎭⎪⎫143＝164.所以X 的分布列为所以E X ＝0×2764＋1×2764＋2×64＋3×64＝4.20．(本小题满分12分)为了整顿道路交通秩序，某地考虑将对行人闯红灯进行处罚，为了更好地了解市民的态度，在普通行人中随机选取了200人进行调查，得到如下数据：(1)的概率的差是多少？(2)若从这5种处罚金额中随机抽取2种不同的金额进行处罚，在两个路口进行试验． ①求这两种金额之和不低于20元的概率；②若用X 表示这两种金额之和，求X 的分布列和数学期望．[解] (1)由条件可知，处罚10元会闯红灯的概率与处罚20元会闯红灯的概率的差是40200－10200＝320. (2)①设“两种金额之和不低于20元”的事件为A ，从5种金额中随机抽取2种，总的抽选方法共有C 25＝10种，满足金额之和不低于20元的有6种，故所求概率为P(A)＝610＝35.②根据条件，X 的可能取值为5,10,15,20,25,30,35，分布列为故E X ＝5×110＋10×10＋15×5＋20×5＋25×5＋30×10＋35×110＝20(元)．21．(本小题满分12分)2016年“十一”长假期间，中国楼市迎来新一轮的收紧调控大潮．自9月30日起直至黄金周结束，北京、广州、深圳、苏州、合肥等19个城市8天内先后出台楼市调控政策．某银行对该市最近5年住房贷款发放情况(按每年6月份与前一年6月份为1年统计)作了统计调查，得到如下数据：(1)试求z 与t 的线性回归方程z 的线性回归方程y ＝b′x ＋a′； (2)利用(1)中所求的线性回归方程估算2017年房贷发放数额.【导学号：79140437】[解] (1)计算得t ＝3，z ＝2.2，∑i ＝15t 2i ＝55，∑i ＝15t i z i ＝45，所以b ＝45－5×3×2.255－5×32＝1.2，a ＝2.2－1.2×3＝－1.4，所以z ＝1.2t －1.4.注意到t ＝x －2 011，z ＝(y －50)÷10，代入z ＝1.2t －1.4，整理得y ＝12x －240 96.(2)当x ＝2 017时，y ＝108，即2017年房贷发放的实际值约为108亿元．22．(本小题满分12分)某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X 依次为1,2，…，8，其中X ≥5为标准A ，X ≥3为标准B ，已知甲厂执行标准A 生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准B 生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准．(1)已知甲厂产品的等级系数X 1的概率分布列如表所示：且X 1的数学期望EX 1＝6，求(2)为分析乙厂产品的等级系数X 2，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下： 3 5 3 3 8 5 5 6 3 46 3 47 5 3 48 5 3 8 3 4 3 4 4 7 5 6 7用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数X 2的数学期望； (3)在(1)、(2)的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由．注：①产品的“性价比”＝产品的等级系数的数学期望/产品的零售价； ②“性价比”大的产品更具可购买性．[解] (1)由概率分布列及分布列的性质，X 1的数学期望E X 1＝6，可得：⎩⎪⎨⎪⎧0.4＋a ＋b ＋0.1＝1，5×0.4＋6a ＋7b ＋8×0.1＝6，解得：⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0.3，b ＝0.2.(2)由已知得，样本的频率分布表如下：X 2的概率分布列如下：所以EX 2 4.8.即乙厂产品的等级系数X 2的数学期望为4.8.(3)乙厂的产品更具可购买性．理由如下：因为甲厂产品的等级系数的数学期望等于6，价格为6元/件，所以其性价比为66＝1，因为乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8，价格为4元/件，所以其性价比为4.84＝1.2，据此，乙厂的产品更具可购买性．。

北师大版版高考数学一轮复习第十章计数原理概率随机变量及其分布二项式定理教学案理

一、知识梳理１．二项式定理（１）定理：（a＋b）n＝C错误!a n＋C错误!a n—１b＋…＋C错误!a n—k b k＋…＋C错误!b n（n∈N+）．（２）通项：第k＋１项为T k＋１＝C错误!a n—k b k．（３）二项式系数：二项展开式中各项的二项式系数为：C错误!（k＝0，１，２，…，n）．２．二项式系数的性质常用结论１．两个常用公式（１）C错误!＋C错误!＋C错误!＋…＋C错误!＝２n.（２）C错误!＋C错误!＋C错误!＋…＝C错误!＋C错误!＋C错误!＋…＝２n—１.２．二项展开式的三个重要特征（１）字母a的指数按降幂排列由n到0．（２）字母b的指数按升幂排列由0到n.（３）每一项字母a的指数与字母b的指数的和等于n.３．三个易错点（１）二项式定理中，通项公式T k＋１＝C错误!a n—k b k是展开式的第k＋１项，不是第k项．（２）二项式系数与展开式中项的系数是两个不同的概念，在T k＋１＝C错误!a n—k b k中，C错误!是该项的二项式系数，该项的系数还与a，b有关．（３）二项式系数的最值与指数n的奇偶性有关．当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大；当n 为奇数时，中间两项的二项式系数相等，且同时取得最大值．二、教材衍化１．（１＋２x）５的展开式中，x２的系数为________．解析：T k＋１＝C错误!（２x）k＝C错误!２k x k，当k＝２时，x２的系数为C错误!·２２＝４0．答案：４0２．若错误!错误!展开式的二项式系数之和为6４，则展开式的常数项为________．解析：二项式系数之和２n＝6４，所以n＝6，T k＋１＝C错误!·x6—k·错误!错误!＝C错误!x6—２k，当6—２k＝0，即当k＝３时为常数项，T４＝C错误!＝２0．答案：２0３．若（x—１）４＝a0＋a１x＋a２x２＋a３x３＋a４x４，则a0＋a２＋a４的值为________．解析：令x＝１，则a0＋a１＋a２＋a３＋a４＝0，令x＝—１，则a0—a１＋a２—a３＋a４＝１6，两式相加得a0＋a２＋a４＝8．答案：8一、思考辨析判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）（１）（a＋b）n的展开式中的第r项是C错误!a n—r b r.（）（２）在二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．（）（３）在（a＋b）n的展开式中，每一项的二项式系数与a，b无关．（）（４）通项T r＋１＝C错误!a n—r b r中的a和b不能互换．（）（５）（a＋b）n展开式中某项的系数与该项的二项式系数相同．（）答案：（１）×（２）×（３）√（４）√（５）×二、易错纠偏错误!错误!（１）混淆“二项式系数”与“系数”致误；（２）配凑不当致误．１．在二项式错误!错误!，的展开式中，所有二项式系数的和是３２，则展开式中各项系数的和为________．解析：由题意得２n＝３２，所以n＝５．令x＝１，得各项系数的和为（１—２）５＝—１．答案：—１２．已知（１＋x）１0＝a0＋a１（１—x）＋a２（１—x）２＋…＋a１0（１—x）１0，则a8＝________．解析：因为（１＋x）１0＝[２—（１—x）]１0，所以其展开式的通项为T r＋１＝（—１）r２１0—r·C错误!（１—x）r，令r＝8，得a8＝４C错误!＝１80．答案：１80３．（x＋１）５（x—２）的展开式中x２的系数为________．解析：（x＋１）５（x—２）＝x（x＋１）５—２（x＋１）５展开式中含有x２的项为—２0x２＋５x２＝—１５x２.故x２的系数为—１５．答案：—１５求二项展开式的特定项或系数（师生共研）（１）在错误!错误!的展开式中，x２的系数为________．（２）在二项式错误!错误!的展开式中，若常数项为—１0，则a＝________．【解析】（１）错误!错误!的展开式的通项T r＋１＝C错误!x５—r错误!错误!＝错误!错误!C错误!x ５错误!，令５—错误!r＝２，得r＝２，所以x２的系数为C错误!错误!错误!＝错误!.（２）错误!错误!的展开式的通项T r＋１＝C错误!（ax２）５—r×错误!错误!＝C错误!a５—r x１0错误!，令１0—错误!＝0，得r＝４，所以C错误!a５—４＝—１0，解得a＝—２．【答案】（１）错误!（２）—２错误!求二项展开式中的特定项的系数问题的步骤（１）利用通项将T k＋１项写出并化简．（２）令字母的指数符合要求（求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等），解出k.（３）代回通项得所求．１．错误!错误!的展开式中，常数项是（）Ａ．—错误!Ｂ．错误!Ｃ．—错误!Ｄ．错误!解析：选Ｄ．T r＋１＝C错误!（x２）6—r错误!错误!＝错误!错误!C错误!x１２—３r，令１２—３r＝0，解得r＝４，所以常数项为错误!错误!C错误!＝错误!.２．错误!错误!的展开式中所有的有理项为________．解析：二项展开式的通项为T k＋１＝C错误!错误!错误!x错误!，由题意错误!∈Z，且0≤k≤１0，k∈N.令错误!＝r（r∈Z），则１0—２k＝３r，k＝５—错误!r，因为k∈N，所以r应为偶数．所以r可取２，0，—２，即k可取２，５，8，所以第３项，第6项与第9项为有理项，它们分别为错误!x２，—错误!，错误!x—２.答案：错误!x２，—错误!，错误!x—２二项式系数与各项系数和问题（师生共研）（１）在错误!错误!的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为6４∶１，则x３的系数为（）Ａ．１５Ｂ．４５Ｃ．１３５Ｄ．４0５（２）若（１—x）9＝a0＋a１x＋a２x２＋…＋a9x9，则|a１|＋|a２|＋|a３|＋…＋|a9|＝（）Ａ．１Ｂ．５１３Ｃ．５１２Ｄ．５１１【解析】（１）由题意知错误!＝6４，得n＝6，展开式的通项为T r＋１＝C错误!x6—r错误!错误!＝３r C错误!x6—错误!，令6—错误!＝３，得r＝２，则x３的系数为３２C错误!＝１３５．故选Ｃ．（２）令x＝0，得a0＝１，令x＝—１，得|a１|＋|a２|＋|a３|＋…＋|a9|＝[１—（—１）]9—１＝２9—１＝５１１．【答案】（１）C （２）D错误!“赋值法”普遍应用于恒等式，是一种处理与二项式相关问题的比较常用的方法．对形如（ax＋b）n，（ax２＋bx＋c）m（a，b，c∈R）的式子求其展开式的各项系数之和，只需令x＝１即可．１．错误!错误!的展开式中各项系数之和大于8，但小于３２，则展开式中系数最大的项是（）Ａ．6错误!Ｂ．错误!Ｃ．４x错误!Ｄ．错误!或４x错误!解析：选Ａ．令x＝１，可得错误!错误!的展开式中各项系数之和为２n，即8<２n<３２，解得n＝４，故第３项的系数最大，所以展开式中系数最大的项是C错误!（错误!）２错误!错误!＝6错误!.２．若（１＋x）（１—２x）8＝a0＋a１x＋…＋a9x9，x∈R，则a１·２＋a２·２２＋…＋a9·２9的值为（）Ａ．２9Ｂ．２9—１Ｃ．３9Ｄ．３9—１解析：选Ｄ．（１＋x）（１—２x）8＝a0＋a１x＋a２x２＋…＋a9x9，令x＝0，得a0＝１；令x＝２，得a0＋a１·２＋a２·２２＋…＋a9·２9＝３9，所以a１·２＋a２·２２＋…＋a9·２9＝３9—１．故选Ｄ．多项式的展开式问题（多维探究）角度一几个多项式的和的展开式问题在（１＋x）＋（１＋x）２＋（１＋x）３＋…＋（１＋x）１１的展开式中，x２项的系数是（）Ａ．５５Ｂ．66Ｃ．１6５Ｄ．２２0【解析】展开式中x２项的系数是C错误!＋C错误!＋C错误!＋…＋C错误!＝C错误!＋C错误!＋C 错误!＋…＋C错误!＝C错误!＋C错误!＋…＋C错误!＝…＝C错误!，所以x２项的系数是C错误!＝２２0．故选Ｄ．【答案】D错误!几个多项式和的展开式中的特定项（系数）问题的处理方法：先分别求出每一个多项式中的特定项，再合并．通常要用到方程或不等式的知识求解．角度二几个多项式的积的展开式问题（１）（２0１9·高考全国卷Ⅲ）（１＋２x２）（１＋x）４的展开式中x３的系数为（）Ａ．１２Ｂ．１6Ｃ．２0 Ｄ．２４（２）（２0２0·南昌模拟）已知（x—１）（ax＋１）6的展开式中含x２项的系数为0，则正实数a＝________．【解析】（１）展开式中含x３的项可以由“１与x３”和“２x２与x”的乘积组成，则x３的系数为C错误!＋２C错误!＝４＋8＝１２．（２）（ax＋１）6的展开式中x２项的系数为C错误!a２，x项的系数为C错误!a，由（x—１）（ax＋１）6的展开式中含x２项的系数为0，可得—C错误!a２＋C错误!a＝0，因为a为正实数，所以１５a＝6，所以a＝错误!.【答案】（１）A （２）错误!错误!求解形如（a＋b）m（c＋d）n的展开式问题的思路（１）若m，n中有一个比较小，可考虑把它展开，如（a＋b）２·（c＋d）n＝（a２＋２ab＋b２）（c ＋d）n，然后分别求解．（２）观察（a＋b）（c＋d）是否可以合并，如（１＋x）５·（１—x）7＝[（１＋x）（１—x）]５（１—x）２＝（１—x２）５（１—x）２.（３）分别得到（a＋b）m，（c＋d）n的通项，综合考虑．角度三三项展开式的定项问题（１）（x２—x＋１）１0的展开式中x３项的系数为（）Ａ．—２１0 Ｂ．２１0Ｃ．３0 Ｄ．—３0（２）（x２＋x＋y）５的展开式中x５y２的系数为（）Ａ．１0 Ｂ．２0Ｃ．３0 Ｄ．60【解析】（１）（x２—x＋１）１0＝[x２—（x—１）]１0＝C错误!（x２）１0—C错误!（x２）9（x—１）＋…—C错误!x２（x—１）9＋C错误!（x—１）１0，所以含x３项的系数为：—C错误!C错误!＋C错误!（—C错误!）＝—２１0．（２）（x２＋x＋y）５的展开式的通项为T r＋１＝C错误!（x２＋x）５—r·y r，令r＝２，则T３＝C错误!（x ２＋x）３y２，又（x２＋x）３的展开式的通项为T k＋１＝C错误!（x２）３—k·x k＝C错误!x6—k，令6—k＝５，则k＝１，所以（x２＋x＋y）５的展开式中，x５y２的系数为C错误!C错误!＝３0，故选Ｃ．【答案】（１）A （２）C错误!三项展开式中的特定项（系数）问题的处理方法（１）通常将三项式转化为二项式积的形式，然后利用多项式积的展开式中的特定项（系数）问题的处理方法求解．（２）将其中某两项看成一个整体，直接利用二项式定理展开，然后再分类考虑特定项产生的所有可能情形．１．已知（１＋x）＋（１＋x）２＋…＋（１＋x）n＝a0＋a１x＋a２x２＋…＋a n x n（n∈N+），若a0＋a＋…＋a n＝6２，则log n２５等于________．１解析：令x＝１可得a0＋a１＋a２＋…＋a n＝２＋２２＋２３＋…＋２n＝错误!＝２n＋１—２＝6２，解得n＝５，所以log n２５＝２．答案：２２．在错误!（２x—１）6的展开式中，x３的系数是_________________________________．（用数字作答）解析：由题意得，错误!（２x—１）6的展开式中含x３的项为x C错误!（２x）２（—１）４＋错误!C 错误!（２x）４（—１）２＝—１80x３，所以展开式中x３的系数为—１80．答案：—１80３．在错误!错误!的展开式中，x５项的系数为________．解析：T r＋１＝C错误!（２＋错误!）１２—r·错误!错误!，要出现x５项，则r＝0，T１＝（２＋错误!）１２，所以x５项的系数为２２C错误!＝４C错误!＝２6４．答案：２6４[基础题组练]１．错误!错误!的展开式中的常数项为（）Ａ．—３错误!Ｂ．３错误!Ｃ．6 Ｄ．—6解析：选Ｄ．通项T r＋１＝C错误!错误!错误!（—x４）r＝C错误!（错误!）３—r·（—１）r x—6＋6r，当—6＋6r＝0，即r＝１时为常数项，T２＝—6，故选Ｄ．２．（１＋x）５＋（１＋x）6＋（１＋x）7的展开式中x４的系数为（）Ａ．５0 Ｂ．５５Ｃ．４５Ｄ．60解析：选Ｂ．（１＋x）５＋（１＋x）6＋（１＋x）7的展开式中x４的系数是C错误!＋C错误!＋C错误!＝５５．故选B.３．（２0２0·四川成都实验外国语学校二诊）已知错误!错误!的展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为6４，则n＝（）Ａ．４Ｂ．５Ｃ．6 Ｄ．7解析：选Ｃ．二项式错误!错误!的各项系数的和为（１＋３）n＝４n，二项式错误!错误!的各项二项式系数的和为２n，因为各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为6４，所以错误!＝２n＝6４，n＝6．故选Ｃ．４．在（１—x）５（２x＋１）的展开式中，含x４项的系数为（）Ａ．—５Ｂ．—１５Ｃ．—２５Ｄ．２５解析：选Ｂ．因为（１—x）５＝（—x）５＋５x４＋C错误!（—x）３＋…，所以在（１—x）５·（２x ＋１）的展开式中，含x４项的系数为５—２C错误!＝—１５．故选Ｂ．５．１＋（１＋x）＋（１＋x）２＋…＋（１＋x）n的展开式的各项系数之和为（）Ａ．２n—１Ｂ．２n—１Ｃ．２n＋１—１Ｄ．２n解析：选Ｃ．令x＝１，得１＋２＋２２＋…＋２n＝错误!＝２n＋１—１．6．（２0２0·湖南岳阳二模）将多项式a6x6＋a５x５＋…＋a１x＋a0分解因式得（x—２）（x＋２）５，则a５＝（）Ａ．8 Ｂ．１0Ｃ．１２Ｄ．１解析：选Ａ．（x—２）（x＋２）５＝（x２—４）·（x＋２）４，所以（x＋２）４的展开式中x３的系数为C错误!·２１＝8，所以a５＝8．故选Ａ．7．（x２＋２）错误!错误!展开式中的常数项是（）Ａ．１２Ｂ．—１２Ｃ．8 Ｄ．—8解析：选Ｂ．错误!错误!展开式的通项公式为T r＋１＝C错误!错误!错误!（—１）r＝（—１）r C错误! x r—５，当r—５＝—２或r—５＝0，即r＝３或r＝５时，展开式的常数项是（—１）３C错误!＋２（—１）５C错误!＝—１２．故选Ｂ．8．错误!错误!展开式中的常数项为（）Ａ．１Ｂ．２１Ｃ．３１Ｄ．５１解析：选Ｄ．因为错误!错误!＝错误!错误!＝C错误!（x＋１）５＋C错误!（x＋１）４·错误!＋C错误!（x＋１）３·错误!错误!＋C错误!（x＋１）２·错误!错误!＋C错误!（x＋１）１·错误!错误!＋C错误!错误!错误!.所以错误!错误!展开式中的常数项为C错误!·C错误!·１５＋C错误!·C错误!·１３＋C错误!·C错误!·１２＝５１．故选Ｄ．9．已知（２x—１）５＝a５x５＋a４x４＋a３x３＋a２x２＋a１x＋a0，则|a0|＋|a１|＋…＋|a５|＝（）Ａ．１Ｂ．２４３Ｃ．１２１Ｄ．１２２解析：选Ｂ．令x＝１，得a５＋a４＋a３＋a２＋a１＋a0＝１，１令x＝—１，得—a５＋a４—a３＋a２—a１＋a0＝—２４３，２１＋２，得２（a４＋a２＋a0）＝—２４２，即a４＋a２＋a0＝—１２１．１—２，得２（a５＋a３＋a１）＝２４４，即a５＋a３＋a１＝１２２．所以|a0|＋|a１|＋…＋|a５|＝１２２＋１２１＝２４３．故选Ｂ．１0．（２0２0·海口调研）若（x２—a）错误!错误!的展开式中x6的系数为３0，则a等于（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．１Ｄ．２解析：选Ｄ．由题意得错误!错误!的展开式的通项公式是T k＋１＝C错误!·x１0—k·错误!错误!＝C错误! x１0—２k，错误!错误!的展开式中含x４（当k＝３时），x6（当k＝２时）项的系数分别为C错误!，C错误!，因此由题意得C错误!—a C错误!＝１２0—４５a＝３0，由此解得a＝２，故选Ｄ．１１．若（１＋x＋x２）n＝a0＋a１x＋a２x２＋…＋a２n x２n，则a0＋a２＋a４＋…＋a２n等于（）Ａ．２nＢ．错误!Ｃ．２n＋１Ｄ．错误!解析：选Ｄ．设f（x）＝（１＋x＋x２）n，则f（１）＝３n＝a0＋a１＋a２＋…＋a２n，１f（—１）＝１＝a0—a１＋a２—a３＋…＋a２n，２由１＋２得２（a0＋a２＋a４＋…＋a２n）＝f（１）＋f（—１），所以a0＋a２＋a４＋…＋a２n＝错误!＝错误!.１２．已知（x＋２）9＝a0＋a１x＋a２x２＋…＋a9x9，则（a１＋３a３＋５a５＋7a7＋9a9）２—（２a＋４a４＋6a6＋8a8）２的值为（）２Ａ．３9Ｂ．３１0Ｃ．３１１Ｄ．３１２解析：选Ｄ．对（x＋２）9＝a0＋a１x＋a２x２＋…＋a9x9两边同时求导，得9（x＋２）8＝a１＋２a ２x＋３a３x２＋…＋8a8x7＋9a9x8，令x＝１，得a１＋２a２＋３a３＋…＋8a8＋9a9＝３１0，令x＝—１，得a１—２a２＋３a３—…—8a8＋9a9＝３２.所以（a１＋３a３＋５a５＋7a7＋9a9）２—（２a２＋４a４＋6a6＋8a8）２＝（a１＋２a２＋３a３＋…＋8a8＋9a9）（a１—２a２＋３a３—…—8a8＋9a9）＝３１２，故选Ｄ．１３．（x错误!—y错误!）４的展开式中，x３y３项的系数为________．解析：二项展开式的通项是T k＋１＝C错误!（x错误!）４—k·（—y错误!）k＝（—１）k C错误!x４—错误! y２＋错误!，令４—错误!＝２＋错误!＝３，解得k＝２，故展开式中x３y３的系数为（—１）２C错误!＝6．答案：6１４．错误!错误!（x>0）的展开式中的常数项为________．解析：错误!错误!（x>0）可化为错误!错误!，因而T r＋１＝C错误!错误!错误!（错误!）１0—２r，令１0—２r＝0，则r＝５，故展开式中的常数项为C错误!·错误!错误!＝错误!.答案：错误![综合题组练]１．已知C错误!—４C错误!＋４２C错误!—４３C错误!＋…＋（—１）n４n C错误!＝7２9，则C错误!＋C错误!＋…＋C错误!的值等于（）Ａ．6４Ｂ．３２Ｃ．6３Ｄ．３１解析：选Ｃ．因为C错误!—４C错误!＋４２C错误!—４３C错误!＋…＋（—１）n４n C错误!＝7２9，所以（１—４）n＝３6，所以n＝6，因此C错误!＋C错误!＋…＋C错误!＝２n—１＝２6—１＝6３，故选Ｃ．２．设a∈Z，且0≤a<１３，若５１２0１8＋a能被１３整除，则a＝（）Ａ．0 Ｂ．１Ｃ．１１Ｄ．１２解析：选D.５１２0１8＋a＝（５２—１）２0１8＋a＝C错误!５２２0１8—C错误!５２２0１7＋…＋C 错误!×５２×（—１）２0１7＋C错误!×（—１）２0１8＋a.因为５２能被１３整除，所以只需C错误!×（—１）２0１8＋a能被１３整除，即a＋１能被１３整除，所以a＝１２．３．已知（x＋１）１0＝a１＋a２x＋a３x２＋…＋a１１x１0.若数列a１，a２，a３，…，a k（１≤k≤１１，k∈N+）是一个单调递增数列，则k的最大值是________．解析：由二项式定理知，a n＝C错误!（n＝１，２，３，…，１１）．又（x＋１）１0展开式中二项式系数最大项是第6项，所以a6＝C错误!，则k的最大值为6．答案：6４．设a＝错误!２x d x，则二项式错误!错误!的展开式中的常数项为________．解析：a＝错误!２x d x＝x２错误!＝１，则二项式错误!错误!＝错误!错误!，其展开式的通项公式为T r＋１＝C错误!（x２）6—r·错误!错误!＝（—１）r C错误!x１２—３r，令１２—３r＝0，解得r＝４．所以常数项为（—１）４C错误!＝１５．答案：１５５．已知（１—２x）7＝a0＋a１x＋a２x２＋…＋a7x7，求：（１）a１＋a２＋…＋a7；（２）a１＋a３＋a５＋a7；（３）a0＋a２＋a４＋a6；（４）|a0|＋|a１|＋|a２|＋…＋|a7|.解：令x＝１，则a0＋a１＋a２＋a３＋a４＋a５＋a6＋a7＝—１．１令x＝—１，则a0—a１＋a２—a３＋a４—a５＋a6—a7＝３7.２（１）因为a0＝C错误!＝１，所以a１＋a２＋a３＋…＋a7＝—２．（２）（１—２）÷２，得a１＋a３＋a５＋a7＝错误!＝—１09４．（３）（１＋２）÷２，得a0＋a２＋a４＋a6＝错误!＝１09３．（４）因为（１—２x）7的展开式中a0，a２，a４，a6大于零，而a１，a３，a５，a7小于零，所以|a0|＋|a１|＋|a２|＋…＋|a7|＝（a0＋a２＋a４＋a6）—（a１＋a３＋a５＋a7）＝１09３—（—１09４）＝２１87．6．已知错误!错误!的展开式中，前三项的系数成等差数列．（１）求n；（２）求展开式中的有理项；（３）求展开式中系数最大的项．解：（１）由二项展开式知，前三项的系数分别为C错误!，错误!C错误!，错误!C错误!，由已知得２×错误!C错误!＝C错误!＋错误!C错误!，解得n＝8（n＝１舍去）．（２）错误!错误!的展开式的通项T r＋１＝C错误!（错误!）8—r·错误!错误!＝２—r C错误!x４—错误!（r ＝0，１，…，8），要求有理项，则４—错误!必为整数，即r＝0，４，8，共３项，这３项分别是T１＝x４，T５＝错误!x，T9＝错误!.（３）设第r＋１项的系数为a r＋１最大，则a r＋１＝２—r C错误!，则错误!＝错误!＝错误!≥１，错误!＝错误!＝错误!≥１，解得２≤r≤３．当r＝２时，a３＝２—２C错误!＝7，当r＝３时，a４＝２—３C错误!＝7，因此，第３项和第４项的系数最大，故系数最大的项为T３＝7x错误!，T４＝7x错误!.。