第四章 边界层理论基础 边界层理论由普朗特1904年 ( Prantdl)提出,用于处理高 Re 数的流动问题。边界层理
边界层理论及边界层分离现象
边界层理论及边界层分离现象一.边界层理论1.问题的提出在流体力学中,雷诺数Re∝惯性力/粘性力,当Re<1时,惯性力<<粘性力,可以略去惯性力项,用N-S方程解决一些实际问题(如沉降、润滑、渗流等),并可以获得比较满意的结果。
但对于工程流动问题,绝大多数的Re很大。
这时就不可以完全略去粘性力,略去粘性力的结果与实际情况相差很大。
突出的一例即“达朗倍尔佯谬——在流体中作等速运动的物体不受阻力。
”究竟应当怎样才能正确地处理大Re数的流动呢?这个矛盾一直到1904年,德国流体力学家普朗特提出了著名的边界层理论,即大Re数的流动中,大部分区域的惯性力>>粘性力,但在紧靠固壁的极薄流层中,惯性力≈粘性力,这才令人满意地解决了大Re数的流动的阻力问题。
2.边界层的划分Ⅰ流动边界层(速度边界层)以平板流动为例,x方向一维稳态流动,在垂直壁面的y方向上,流动可划分为性质不同的两个区域:(1)y<δ(边界层):受壁面影响,法向速度变化急剧,du/dy很大,粘性力大(与惯性同阶),不能忽略。
(2)y>δ(层外主流层):壁面影响很弱,法向速度基本不变,du/dy≈0。
所以可忽略粘性力(即忽略法向动量传递)。
可按理想流体处理,Euler方程适用。
这两个区域在边界层的外缘衔接起来,由于层内的流动趋近于外流是渐进的,不是突变的,因此,通常约定:在流动边界层的外缘处(即y=δ处),ux=0.99u∞,δ为流动边界层厚度,且δ=δ(x)。
Ⅱ传热边界层(温度边界层)当流体流经与其温度不相等的固体壁面时,在壁面上形成流动边界层,同时,还会由于传热而形成温度分布,可分成两个区域:(1)y<δt(传热边界层):受壁面影响,法向温度梯度dt/dy很大,不可忽略,即不能忽略法向热传导。
(2) y>δt(层外区域):法向温度梯度dt/dy≈0,可忽略法向热传导。
通常约定:在传热边界层的外缘处(即y=δt处),ts-t=0.99(ts -t0) ≈ ts-t0,δt为温度边界层厚度,且δt=f(x);ts为壁面温度;t0为热边界层外(主流体)区域的温度。
边界层的基本概念 文档
飞机飞行中： 机翼（特征长度）L：1m， 2
=ν 则：Re——711060
绕流现象的主要表现
总之，在气象、海洋、以及造船、航空、动力机械等领 域内存在大量的大雷诺数问题，即粘性较小的流体（水，空 气，蒸汽等）以较高的流速绕流物体。在这种情况下，流体 运动主要受惯性力支配，而粘性力的影响主要限于边界层范 围以内，这就是绕流现象重的基本力学性质。 如河流经水坝，飞行器在空中飞行。在热力发电厂中，绕流 现象也普遍存在，炉膛内高温烟气流过各种受热面，在汽轮 机，泵和风机内流体绕叶栅等。
5-4 边界层的基本概念
目标
1.绕流现象的主要表现有哪些？ 2.什么是附面层（边界层）、边界层分哪几
部分？边界层的特征有哪些？ 3边界层流态如何判别，影响因素有哪些？
1904年德国 普朗特 提出边界层的概念。这对解决实 际流体绕行问题做出了前所未有的贡献。因为在此 之前，运用理想流体理论根本无法解决绕流物体的
阻力问题。
在自然界和工程实际中，有大量流体绕流 物体的流动问题。 实际流体都有粘性，在 大雷诺数的绕流中，由于流体惯性力远大 于作用于流体的黏性力，黏性力相对于惯 性力可忽略不计，将流体视为理想流体。 由理想流体的流动理论求解流场中的速度 分布。但在靠近物体的一薄层内，由于存 在强烈的剪切流动，黏性力与惯性力处于
存在一个层流底层
判别层流边界层和紊流边界层的标准仍然是雷诺数。
当时Rex≤Recr边界层内时层流状态， Rex＞Recr ，边 界层内时紊流状态。
影响它们们的因素还主要是雷诺数的影响， 而影响雷诺数的因素有很多，来流紊流度。 物体表面的粗糙度等都会影响临界雷诺数 的数值。事实表明，增加来流紊流度和物 体表面粗糙度都会降低临界雷诺数，是紊 流边界层提前出现。
边界层理论
1•边界层理论概述 (1)1.1边界层理论的形成与发展 (1)1.1.1边界层理论的提出 (1)1.1 边界层理论存在的问题 (2)1.2边界层理论的发展 (2)2边界层理论的引入 (3)3边界层基础理论 (4)3.1边界层理论的概念 (4)3.2边界层的主要特征 (6)3.3边界层分离 (7)3.4层流边界层和紊流边界层 (9)3.5边界层厚度 (10)3.5.1排挤厚度 (11)3.5.2动量损失厚度 (11)3.5.2能量损失厚度 (12)4边界层理论的应用 (14)4.1边界层理论在低比转速离心泵叶片设计中的应用 (14)4.2边界层理论在高超声速飞行器气动热工程算法中的应用 (14)4.3基于边界层理论的叶轮的仿真 (15)参考文献 (17)1.边界层理论概述1.1边界层理论的形成与发展1.1.1边界层理论的提出经典的流体力学是在水利建设、造船、外弹道等技术的推动下发展起来的，它的中心问题是要阐明物体在流体中运动时所受的阻力。
虽然很早人们就知道，当粘性小的流体（像水、空气等）在运动，特别是速度较高时，粘性直接对阻力的贡献是不大的。
但是，以无粘性假设为基础的经典流体力学，在阐述这个问题时，却得出了与事实不符的“ D'Alembert之谜”。
在19世纪末叶，从不连续的运动出发，Kirchhoff ，Helmholtz，Rayleigh等人的尝试也都失败了。
经典流体力学在阻力问题上失败的原因，在于忽视了流体的粘性这一重要因素。
诚然，在速度较高、粘性小的情况下，对一般物体来说，粘性阻力仅占一小部分；然而阻力存在的根源却是粘性。
一般，根据来源的不同，阻力可分为两类：粘性阻力和压差阻力。
粘性阻力是由于作用在表面切向的应力而形成的，它的大小取决于粘性系数和表面积；压差阻力是由于物体前后的压差而引起的，它的大小则取决于物体的截面积和压力的损耗。
当理想流体流过物体时，它能沿物体表面滑过（物体是平滑的）；这样，压力从前缘驻点的极大值，沿物体表面连续变化，到了尾部驻点便又恢复到原来的数值。
普朗特边界层理论
普朗特边界层理论
边界层的概念是1904年德国著名的力学家普朗特在海德尔堡第三届国际数学家学会上宣读的“关于摩擦极小的流体运动”的论文中首先提出的。
他根据理论研究和实际观察，证实了对于水和空气等粘性系数很小的流体，在大雷诺数下绕物体流动时，粘性对流动的影响仅限于紧贴物体壁面的薄层中，而在这一薄层外粘性的影响很小，完全可以忽略不计。
普朗特把这薄层称为边界层，或称附面层。
流体在大雷诺数下作绕流流动时，在离固体壁面较远处，粘性力比惯性力小得多，可以忽略；但在固体壁面附近的薄层中，粘性力的影响则不能忽略，沿壁面法线方向存在相当大的速度梯度，这一薄层叫做边界层。
流体的雷诺数越大，边界层越薄。
从边界层内的流动过渡到外部流动是渐变的，所以边界层的厚度通常定义为从物面到约等于99%的外部流动速度处的垂直距离，它随着离物体前缘的距离增加而增大。
根据雷诺数的大小，边界层内的流动有层流与湍流两种形态。
一般上游为层流边界层，下游从某处以后转变为湍流，且边界层急剧增厚。
层流和湍流之间有一过渡区。
当所绕流的物体被加热（或冷却）或高速气流掠过物体时，在邻近物面的薄层区域有很大的温度梯度，这一薄层称为热边界层。
边界层理论的发展历程和基本概念
边界层理论的发展历程和基本概念边界层，顾名思义，即处于粘性流场中的物体其表面存在的流动薄层。
边界层的概念在科研中具有很广泛的应用，如气象学家所熟知的大气边界层，治理空气污染时所用到的边界层等等。
今天我们要谈的是空气动力学中的边界层，下面跟着我一起回顾边界层理论的发展历程和基本概念。
边界层概念的提出边界层的概念最早可以追溯到十九世纪末，当时的流体力学主要存在两个研究方向，有趣的是这两个方向实际上毫无共同之处。
其中一个方向是理论流体动力学，它从无摩擦、无粘性流动的欧拉运动方程出发，并达到了高度完善的程度。
然而，却与实验结果有明显的矛盾，尤其对于管道中流体的流动难以解释压力损失和流场中物体的阻力问题，流体的粘性力相对于其他外力很小，人们很难理解仅仅是忽视掉了粘性，为什么理论与实验结果会相差如此之大。
其实，当时人们早就知道了有摩擦流动的完整的运动方程（N-S方程），只不过受限于当时的条件，求解方程极其困难，故实验与理论的巨大差距一直难以解释。
这也就引出了从实际出发而形成的一门高度经验性学科，当时被称为水力学。
水力学以大量的实验数据为基础，避开了理论上的计算，而且在方法和研究对象上都与理论流体动力学大相径庭，但仅仅依靠经验终究是不够的，故其也具有一定的局限性。
路德维格·普朗特（Ludwig Prandtl）在这个时代背景下，路德维格·普朗特 (Ludwig Prandtl) 提出了流动边界层的概念，他在1904年的一次数学讨论会上宣读了论文“具有很小摩擦的流体运动”，在这篇论文中，普兰特借助于理论研究和几个简单的实验（普朗特水槽），证明了绕固体的流动可以分成两个区域：一是，物体附近很薄的一层（即流动边界层），其中摩擦（粘性）起着主要的作用；二是，该层以外的其余区域，这里摩擦可以忽略不计。
边界层概念的提出解决了当时的许多问题，以此为前提，当时的人们对数学上的困难做了很大程度的简化。
基本概念——边界层提到边界层不得不提到另一个流体力学中的概念——雷诺数，用以判断粘性流体流态，同时影响着边界层的厚度。
边界层理论
0
eue dy eue
其中， ue 为边界层外缘速 度。由于粘性的存在，实 际流体通过的质量流量为
0
u dy
此处 u 是边界层中距物面为 y 处的流速。上述两部 份流量之差是
0
( eu e u)dy
EXIT
5.1、边界层近似及其特征
这就是设想各点皆以外流速度流动时比实际流量多
位流区
边界层
流动分为三个区域：1. 边界层：N－S化简为边界层方程 2. 尾迹区：N－S方程 3. 位流区：理想流方程
EXIT
5.2、平面不可压缩流体层流边界层方程 2. 平壁面上边界层方程 根据Prandtl边界层概念，通过量级比较，可对N-S方程 组进行简化，得到边界层近似方程。对于二维不可压缩流动 ，连续方程和N-S方程为：
个典型的例子。 那么，如何考虑流体的粘性，怎样解决扰流物
体的阻力问题，这在当时确实是一个阻碍流体力学 发展的难题。
EXIT
5.1、边界层近似及其特征 直到1904年流体力学大师德国学者 L.Prandtl 通
过大量实验发现，虽然整体流动的Re数很大，但在
靠近物面的薄层流体内，流场的特征与理想流动相 差甚远，沿着法向存在很大的速度梯度，粘性力无 法忽略。 Prandtl 把这一物面近区粘性力起重要作用的薄 层称为边界层（Boundary layer）。
第5章下
边界层理论及其近似
5.1、边界层近似及其特征 5.2、平面不可压缩流体层流边界层方程 5.3、平板层流边界层的相似解 5.4、边界层动量积分方程 5.5、边界层的分离现象
EXIT
5.1、边界层近似及其特征
1、边界层概念的提出 我们已知道，流动Re数（O.Reynolds，1883年，英国流体 力学家）是用以表征流体质点的惯性力与粘性力对比关系 的。根据量级分析，作用于流体上的惯性力和粘性力可表 示为: 惯性力:
2.8.1边界层的形成
2.8.1.2圆管内的边界层
当一流速为u0的流体流经一圆管时，则在圆管固壁形成边 界层，边界层厚度也会沿轴向逐渐增加，流动由层流过渡到湍 流。 与平壁边界层不同的是，平壁边界层厚度没有限制，而管 内边界层厚度的上限是圆管半径。
只要圆管足够长，管内边界层将在管中心汇合，此后边界层 的厚度将维持不变，通常将这时的流动称为充分发展了的流 动。 若边界层汇合时流体的流动为层流，则管内流动为层流；若 汇合是为湍流，则管内流动为湍流。 判断充分发展了的圆管流态可以依据基于圆管直径和平均速 度的雷诺数：Re
ub d
2.8.1.3边界层厚度的定义及估算
u z u z u z u z 1 p ux uy uz Zx y z z
u y
u y
u y
u y
2.8.1.1平壁边界层
边界层的形成
如图所示，一流体以均匀速 度u0流经一平壁板面，因流体有黏 性，紧靠壁面的一层流体黏附在壁 面上，速度为零，沿y方向速度逐 渐增加，至某处，流速接近于来流 速度u0，该处与壁面的垂直距离为 δ，则δ称为边界层厚度。
在边界层形成初期边界层厚度较小其内部流动为层流该区域称为层流边界当其厚度达到其临界厚度c或临界距离xc时其内的流动逐渐经过一过渡区转变为湍流此后的边界层称为湍流边界层即使在这区域靠近壁面极薄的一层流体内仍然维持层流称为层流内层
2.8边界层理论基础
前言：
一般认为，低雷诺数（Re小）流动以黏性力为主，可忽略 惯性力；高雷诺数（Re大）流动以惯性力为主，可忽略黏性力。 但在实践中，后一条规律并非完全合理。
边界层
dp = 0则整个流场压力处处相等。 dx 边界层微分方程虽然是在平壁的情况下导出的，但对曲率不太大的
dU e = ，， 0 dx
曲线壁面仍然适用。此时，x轴沿壁面方向，y轴沿壁面法线方向。
§8—3 边界层动量积分方程
一、边界层动量积分方程
由卡门在1921年提出。
推导前提：二元定常，忽略质量力，且u>>υ(由边界 层微分方程的数量级比较可看出)，所以只考虑x方向 的动量变化，不引入y方向的流速υ。
+ = 0 ，u~1， 并且边界层内，由u≥υ，故认为或由连续方程 ∂x ∂y υ~△ ∵x~1并且我们认为u~1，而y~△，必然是υ~△，这样才能满足连续方 1 ∆ 程，∂ u ∂ υ + =1 + =0 ，1 ∆ 。 ∂x ∂y dy ∆y = lim 注意：导数又称为微商，例如 dx ∆x→0 ∆x ，类似地在进行数量级比较 时，我们可以写成 ∂ u ~ 1 ，即 ∂y 是1的数量级。
1 ∂p ∂υ ∂υ ∂ 2υ ∂ 2υ u +υ =− + v( 2 + 2 ) ∂x ∂y ∂x ∂y ρ ∂y ∆ ∆ ∆ ∆ 1 ∆ ∆2 2 1 ∆ 1 ∆
∂u ∂u ∂ 2u 1 ∂p +v =− +ν u ∂x ∂y ∂y 2 ρ ∂x
∂p =0 ∂y
∂u ∂ υ + =0 ∂x ∂ y
方程第二项积分的物理意义为：
∫
δ
0
ρu (U e − u )dy 表示了因粘性影响而产生的流体动量的减少量。
ρδ 2 ⋅1⋅U e 2 = ρ ∫ u (U e − u )dy
0
令
δ
δ2 =
1 Ue
流体力学03-边界层理论的建立与发展
流体力学03-边界层理论的建立与发展在20世纪，机械工业几乎达到顶峰，进入全面发展和完善的时代，促使了力学全面快速的发展，形成了多学科、多领域的研究成果，在理论、实验和应用等方面均表现出各自独特的内容和方向，这期间的流体力学也就自然分成了理论流体力学、实验流体力学、计算流体力学三大分支，毫无疑问，这一切离不开边界层理论的提出和发展。
01经典理论的怀疑在基础理论的指导下，重点研究了与黏性有关的复杂流动问题（如层流、湍流、转捩、射流、分离流、尾流等），解决了绕流物体阻力和热交换等难题。
在理论方面，自从1845年导出N-S方程以来，人们一直寻求其精确解，但由于该方程组是非线性的二阶偏微分方程组，一般意义的精确求解存在数学上的困难，据说迄今为止只找到N-S精确解73个，著名的例子有无压平板拖曳产生的库埃特流动(19世纪末法国物理学家Couette)，充分发展的层流管流（泊肃叶流动，法国生理学家Poiseuille, l 799-1869年，如图1所示），小雷诺数圆球绕流的Stokes(1851)解等。
实际中存在的大量问题只能利用近似方法求解。
图1 法国生理学家泊肃叶图2 世界流体力大师普朗特自从1752年法国科学家达朗贝尔提出任意三维物体理想流体定常绕流无阻力的达朗贝尔佯谬以来，人们对基于理想流体模型的经典理论开始产生怀疑，到19世纪上半叶理想势流理论的研究逐渐进入完善阶段，经典流体力学的研究处于低谷状态，特别是用该模型得出圆柱绕流无阻力的结论，让人们一筹莫展。
此时自然要想到用表征黏性流体的N-S方程求解，但遇到一个棘手问题是，如何处理大雷诺数下物体绕流黏性效应的影响？按照当时公认的事实，如当以来流速度和圆柱直径计算的来流雷诺数大于10000 以后，黏性效应的影响可以忽略不计，也就是可以不考虑黏性的影响，则就又回到理想流体绕流的老命题上。
如果不忽略黏性的影响，则大雷诺数的概念如何理解，再说当时也无法较精确求解全N-S方程组。
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5.1、边界层近似及其特征
普朗特重视观察和分析力学现象，养成了非凡的直观洞察能力，善 于抓住物理本质，概括出数学方程。他曾说：“我只是在相信自己对物 理本质已经有深入了解以后，才想到数学方程。方程的用处是说出量的 大小，这是直观得不到的，同时它也证明结论是否正确。” 普朗特 指导过81名博士生，著名学者Blasius、Von Karman是其学生之一。我 国著名的空气动力学专家、北航流体力学教授陆士嘉先生（女，1911– 1986）是普朗特正式接受的唯一中国学生，唯一的女学生。
粘性流体流经任一物体（例如机翼与机身）的问题，归结 为在相应的边界条件下解N—S方程的问题。由于N—S方程太复 杂，在很多实际问题中，不能不作一些近似假设使其简化，以 求问题得以近似地解决。简化时，必须符合物理事实，因此首 先看看空气流过静止物体（例如翼型）的物理图画：
位流区
边界层
流动分为三个区域：1. 边界层：N－S化简为边界层方程 2. 尾迹区：N－S方程 3. 位流区：理想流方程
EXIT
5.1、边界层近似及其特征
2、边界层的特征
（1）边界层定义 严格而言，边界层区与主流区之间无明显界线，通常
以速度达到主流区速度的0.99倍作为边界层的外缘。由边 界层外缘到物面的垂直距离称为边界层名义厚度，用δ表 示。
（2）边界层的有涡性 粘性流体运动总伴随涡量的产生、扩散、衰减。边界
层就是涡层，当流体绕过物面时，无滑移边界条件相当于 使物面成为具有一定强度的连续分布的涡源。
对于曲率不大的弯曲物面，上述边界层方程也近似成立。 只是要将x和y按上述曲线坐标处理即可。当然如果曲率过大， 则沿法向压强保持不变的条件就很难满足了。
EXIT
5.2、平面不可压缩流体层流边界层方程
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边界层理论1.边界层理论概述 (1)1.1 边界层理论的形成与发展 (1)1.1.1 边界层理论的提出 (1)1.1边界层理论存在的问题 (2)1.2 边界层理论的发展 (2)2边界层理论的引⼊ (3)3 边界层基础理论 (4)3.1 边界层理论的概念 (4)3.2 边界层的主要特征 (6)3.3边界层分离 (7)3.4 层流边界层和紊流边界层 (9)3.5 边界层厚度 (10)3.5.1 排挤厚度 (11)3.5.2 动量损失厚度 (11)3.5.2 能量损失厚度 (12)4 边界层理论的应⽤ (14)4.1 边界层理论在低⽐转速离⼼泵叶⽚设计中的应⽤ (14)4.2 边界层理论在⾼超声速飞⾏器⽓动热⼯程算法中的应⽤ (14)4.3 基于边界层理论的叶轮的仿真 (15)参考⽂献 (17)1.边界层理论概述1.1 边界层理论的形成与发展1.1.1 边界层理论的提出经典的流体⼒学是在⽔利建设、造船、外弹道等技术的推动下发展起来的，它的中⼼问题是要阐明物体在流体中运动时所受的阻⼒。
虽然很早⼈们就知道，当粘性⼩的流体（像⽔、空⽓等）在运动，特别是速度较⾼时，粘性直接对阻⼒的贡献是不⼤的。
但是，以⽆粘性假设为基础的经典流体⼒学，在阐述这个问题时，却得出了与事实不符的“D'Alembert之谜”。
在19世纪末叶，从不连续的运动出发，Kirchhoff，Helmholtz，Rayleigh等⼈的尝试也都失败了。
经典流体⼒学在阻⼒问题上失败的原因，在于忽视了流体的粘性这⼀重要因素。
诚然，在速度较⾼、粘性⼩的情况下，对⼀般物体来说，粘性阻⼒仅占⼀⼩部分；然⽽阻⼒存在的根源却是粘性。
⼀般，根据来源的不同，阻⼒可分为两类：粘性阻⼒和压差阻⼒。
粘性阻⼒是由于作⽤在表⾯切向的应⼒⽽形成的，它的⼤⼩取决于粘性系数和表⾯积；压差阻⼒是由于物体前后的压差⽽引起的，它的⼤⼩则取决于物体的截⾯积和压⼒的损耗。
当理想流体流过物体时，它能沿物体表⾯滑过（物体是平滑的）；这样，压⼒从前缘驻点的极⼤值，沿物体表⾯连续变化，到了尾部驻点便⼜恢复到原来的数值。
边界层理论及边界层分离现象
边界层理论及边界层分离现象一．边界层理论1.问题的提出在流体力学中，雷诺数Re∝惯性力/粘性力，当Re<1时，惯性力<<粘性力，可以略去惯性力项，用N-S方程解决一些实际问题（如沉降、润滑、渗流等），并可以获得比较满意的结果。
但对于工程流动问题，绝大多数的Re很大。
这时就不可以完全略去粘性力，略去粘性力的结果与实际情况相差很大。
突出的一例即“达朗倍尔佯谬——在流体中作等速运动的物体不受阻力。
”究竟应当怎样才能正确地处理大Re数的流动呢？这个矛盾一直到1904年，德国流体力学家普朗特提出了著名的边界层理论，即大Re数的流动中，大部分区域的惯性力>>粘性力，但在紧靠固壁的极薄流层中，惯性力≈粘性力，这才令人满意地解决了大Re数的流动的阻力问题。
2.边界层的划分Ⅰ流动边界层（速度边界层）以平板流动为例，x方向一维稳态流动，在垂直壁面的y方向上，流动可划分为性质不同的两个区域：（1）y<δ（边界层）：受壁面影响，法向速度变化急剧，du/dy很大，粘性力大（与惯性同阶），不能忽略。
（2）y>δ(层外主流层)：壁面影响很弱，法向速度基本不变，du/dy≈0。
所以可忽略粘性力（即忽略法向动量传递）。
可按理想流体处理，Euler方程适用。
这两个区域在边界层的外缘衔接起来，由于层内的流动趋近于外流是渐进的，不是突变的，因此，通常约定：在流动边界层的外缘处（即y＝δ处），ux＝0.99u∞，δ为流动边界层厚度，且δ＝δ(x)。
Ⅱ传热边界层（温度边界层)当流体流经与其温度不相等的固体壁面时，在壁面上形成流动边界层，同时，还会由于传热而形成温度分布，可分成两个区域：（1）y<δt（传热边界层）：受壁面影响，法向温度梯度dt/dy很大，不可忽略，即不能忽略法向热传导。
（2) y>δt（层外区域）：法向温度梯度dt/dy≈0，可忽略法向热传导。
通常约定：在传热边界层的外缘处（即y＝δt处），ts－t＝0.99(ts－t0) ≈ ts－t0，δt 为温度边界层厚度，且δt＝f(x)；ts为壁面温度；t0为热边界层外（主流体）区域的温度。
边界层流动(详细很好)
管内流动边界层的形成和发展，与平板边界层相似。如下图所示，
u
u∞ δ
u∞ δ
u∞ δ
u∞
xc
圆管进口处层流边界层的发展
当一粘性流体以均匀流速流进水平圆管时，由于流体的粘性作 用在管内壁面处形成边界层并逐渐加厚。在距管进口某一段距 离，边界层在管中心汇合，此后便占据管的全部截面，边界层 厚度即维持不变。
Le 0.05 Re d
当Re > 4000时，管内流动为湍流。对湍流流动，进口段长度计算 尚无可靠的公式，一般可用下式估计
Le 1.4 Re1 / 4 d
由于湍流时边界层厚度增长较快，所以其进口段要比层流时短。近 似计算时，通常取 Le = 50d。
三、边界层的厚度
通常将流体速度为来流速度99%时的流层距壁面的法向距离定义 为边界层的厚度，以δ表示。用公式可表示为
当选择了标准量阶以后，可以将其它物理量的量阶与标准量阶相比较 （1）ux。 ux由壁面处的零值变化至边界层外缘处的u0，故其量阶与 u0或x的量阶相同，即O(ux) = 1。 （2）
u x x
。将 。
u x 写成差分形式，即 x
ux ux O(1) O(1) x x O(1)
1、边界层的形成：
u0
u0
u0
δ
A
xc
平板上边界层的形成
所谓边界层就是流体速度分布明显受到壁面影响的区域，亦即 壁面附近速度梯度较大的薄流体层。
2、边界层的发展
层流边界层
湍流边界层
u0
u0
u0δΒιβλιοθήκη Axc层流内层
平板上边界层的发展 平板上
由层流边界层开始转变为湍流边界层的距离称为临界距离(xc)。xc的大 小与壁面前缘的形状、壁面的粗糙度、流体的性质以及流速等因素有 关。壁面愈粗糙、前缘愈钝，则xc愈短。对于平板壁面上的流动，雷 诺数的定义为 xu0 xu0 Re x 实验表明，对于光滑的平板壁面，边界层由层流开始转变为湍流的临界 雷诺数范围为（2×105～3×106）。
边界层理论
随着边界层的厚度逐渐增加，边界层内部也会发生变化。在边界层形成 初期，边界层厚度较小，其内部流动为层流，该区域称为层流边界层。当其 厚度达到其临界厚度δc或临界距离xc时，其内的流动逐渐经过一过渡区转变 为湍流，此后的边界层称为湍流边界层，即使在这区域靠近壁面极薄的一层 流体内，仍然维持层流，称为层流内层。
边界层理论
主要内容
前言 边界层的形成 平板层流边界层 圆管内的边界层 边界层的分离
前言 在本世纪初之前，流体力学的研究分为两个分支：一是研究流体
运动时不考虑黏性，运用数学工具分析流体的运动规律。另一个是不用数 学理论而完全建立在实验基础上对流体运动进行研究，解决了技术发展中 许多重要问题，但其结果常受实验条件限制。
这两个分支的研究方法完全不同，这种理论和实验分离的现象持续了 150多年，直到本世纪初普朗特提出了边界层理论为止。由于边界层理论 具有广泛的理论和实用意义，因此得到了迅速发展，成为黏性流体动力学 的一个重要领域。今天主要介绍边界层的基本概念及研究方法。
路德维奇.普朗特（Ludwig Prandtl） 1875年2月4日出生于德国的弗莱辛
1953年8月15日卒于哥廷根 现代力学的奠基人之一，普朗特的开创性工作，将 19世纪末期的水力学和水动力学研究统一起来，被 称为“现代流体力学之父”。除了在流体力学中的 研究工作，还培养了很多著名科学家，对我国流体 力学研究做出奠基工作的陆士嘉教授也曾是普朗特 的学生。
第一节 边界层的形成
一般认为:
边界层中的流动状态
边界层理论及其近似
18/67
EXIT
5.2、平面不可压缩流体层流边界层方程
（1）法向尺度远小于纵向尺度，纵向导数远小于横向导数
L 1 1 1 , L, , , x L y x y Re
（2）法向速度远远小于纵向速度
L v 1 u ue , v u, v ue , t t L / ue L ue Re
v v v 1 p 2 v 2 v u v fy t x y y x 2 y 2
通过量级比较进行简化，可得到边界层近似方程。 选取长度尺度L，速度尺度ue，时间尺度t=L/ue，边界层近似假 定在边界层内满足下列关系：
FJ m
F
dV V L3 L2V 2 dt t
dV A VL dy
•
•
粘性力：
惯性力/粘性力：
FJ L2V 2 LV Re F VL
因此，在高Re数下，流体运动的惯性力远远大于粘性力。 这样研究忽略粘性力的流动问题是有实际意义的。
2/67
EXIT
（4）边界层各种厚度定义
（a）边界层位移厚度
假设某点P处的边界层厚度是 ， 实际流体通过的质量流量为:
ue
0
u dy
u
此处 u 是边界层中距物面为 y 处的流速。 而在 的范围内，以外流的理想速度 u e 流动的理想流量是：
eue eue dy
0
u 其中， e 为边界层外缘速度。
1 2 1 ue eue 3 ue2u u 3 dy 2 20
u u 2 1 2 dy 3 e ue ue 0
第四章 边界层理论
U
1
0
u (1 ) dy U u (1 ) dy U
u
U-u
δ1 x
0
③ 动量损失厚度δ2 定义：以速度U 通过高δ2断面的动量等于由边界层引起 的动量减少量。即：
U 2 U U u dy
2 0
2
0
u U
u 1 U
u dy 0 U
y 4 l
3 2 紊流边界层
1
0
层流边界层
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
ux U
3 边界层的厚度 ① 名义厚度δ 边界层厚度可以看成是壁面对来流的粘滞作用扩散范围的度 量，定义为壁面起沿法向至流速达到外界主流流速之99%处。 对于大雷诺数流动，边界层是很薄的.
x
y U
x
y ux ux y 2 y y2 2 1 dy 2 2 1 2 2 dy 0 U 0 U 2 3 4 y y y y 2 5 4 dy 0
u x u x 2ux 1 p ux uy x y x y 2
边界层中：
FI ~ F ~
2u y y
2
~
2u y 2u y 1 p ux uy ( 2 2 ) x y y x y
u y
4.2边界层概念
1 边界层 普朗特边界层理论的主要内容： （1） 紧贴壁面非常薄的一层，该薄层内速度梯度很大， 这一薄层称为边界层。 （2）边界层以外的流动区域，称为主体区或外流区。该 区域内流体速度变化很小，故这一区域的流体流动可近似 看成是理想流体流动。
粘性流体力学第四章
关系式解法有多种，其中用的比较广泛的是希德法 （Head 1958年），此法的主要缺点忽略了边界层 上游的历史影响。 以后，有多种改进和推广此法的方法，其中格林 法(Green 1973年)考虑了雷诺应力的变化以及上游的 历史影响，总的精度有明显的提高。以后依斯特 (East 1977年)把Green法发展成解湍流边界层的逆方 法，以便预估分离流动，得到了较好的结果。
(1)边界层的位移厚度
e=U00边界层外边缘
流线
控制体
图4-2
边界层外缘
在图4－2中，取曲线包围的部分作为分析的控制 体，其中左右两条垂线分别为x=0和x=x1的y轴线，上 面的线为外部势流中某一条流线，下面的线为物面 (零流线)。应用质量守恒定律：
A
Y Hb V dA udy udy 0
假想物面
Ue
物面
图4－3 与边界层外部流场一致的无粘性流动
（2）边界层的动量损失厚度 2
将动量方程式应用于图4－2的控制体中，因流动 定常，且压力保持不变则得到：
Y Hb Fx Df A u V dA 0 u udy 0 Ue Uedy (4－5)
*
(4－16)
连续方程
U u * V v* 0 * * L x y
V ~ ~ U L
1 1 Re
(4－17)
严格的说，无法绝对准确的定义边界层厚度。因 为速度梯度从边界层内的显著到边界层外的不显著， 是一个渐进变化的过程。通常把整个横截面上速度恢 复到 u 0.99U e 值的所有点的连线定义为边界层的外边 界，这里 U e为边界层外部势流的速度。
边界层理论初步
d
(1
u
)dy
0
v
退出
2.动量厚度
与位移厚度相似：无粘性与有粘性流体通过边界层
总的动量流量亏损为：
v 0
u(
v
u
)dy
定义动量厚度 m ，使亏损的动量正好无粘性流动 流动在器壁附近厚度为 m 的动量相等，即：
v2 m
v 0
u(
v
u
)dy
m
u (1 u )dy
u
称名义厚度
9-2、边界层厚度
单位体积流体的惯性力~
V V ~
u2 ,
L
L为流动方向的特征尺度，可理解为板长
单位体积流体的粘性力~
2V ~
u
2
边界层内，惯性力~粘性力：
u2
L
~
u
2
~ L L 或 ~ 1
u ReL
L ReL
1.位移厚度 d
又称为流量厚度，排挤厚度，其含义是：对于 不可压缩流体，当在理性流动情况（即不存在附面
3
U
2
f
x
代入N—S方程后得：
3 f
3
1 2
f
2 f
2
( f
2 f
它们界面附近往往会出现对流传质或扩散现象，即在界面
处存在一很薄和浓度很大的区域，通常称为浓度边界层，
浓度厚度为： m
0c ()
u v
( CA CA CAW CA
)dy
退出
9-2 边界层微分方程
假设：不可压平面流动，不计质量力，边界层内，
c eq : u 0
x y
N S
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y u0 u0
u0
x=0
u0 x
壁面附近速度梯度较大的流体层称为边界层。边界 层外，速度梯度接近于零的区称为外流区或主流区。
二、边界层的形成过程
层流边界层和湍流边界层
y 层流边界层 过 湍流边界层
在板前缘附近，边界层 内流速较低，为层流边界 层；而后逐渐过渡为湍流 u0
u0 u0
渡 区
u0
湍流 核心
在距壁面前缘 x 处，取 y
u0
一微元控制体
2
dV=δdx（1）
将动量守恒原理应用 δ
于微元控制体dV，得
ΣF d(mu) dθ
1
0
dx
x 方向：
ΣFx
d (mux ) dθ
（1）
3 δ dδ
4 x
一、边界层积分动量方程的推导
1-2截面：流入
δ
m1 ρuxdy(1)
0
δ
J1
ρu
2 x
dy(1)
边界层外为理想流体的势流，可用 Bernolli方程 描述。在流动的同一水平高度上，有
p ρu02 常数
2
dp dx
ρu0
du0 dx
0
u0
dp 0
dx
边界层内：p y 0
y p1
p3 δ
0
dp 0 dx
p2
p4
x
二、普朗特边界层方程的解
ux
ux x
uy
ux y
ν 2ux y 2
流函数
O(1)
（4）y ：在边界层的范围内，y 由 0→δ，y O(δ)
（5）uy：由连续性方程
ux uy 0 x y
ux O(1) , x
y O(δ) uy O(δ)
（6） ux : ux Δux O(1) O(1)
y y Δy O(δ) δ
一、普朗特边界层方程的推导
（7）
2ux y 2
函数：
f (η) ψ u0νx
x
f (η)
ψx y
二、普朗特边界层方程的解
(1)
ψ y
u0νx
df dη
y
y
u0 νx
u0
df dη
u0
f
(2)
2ψ y2
u0
d2 f dη2
η y
u0
u0 f νx
(3)
3ψ y3
u02 νx
f
(4)
ψ f (η) (
x
x
u0νx)
u0νx
=
xu0 ρ μ
层流内层
x—由平板前沿算起的距离，m
缓冲层
临界 Rexc
u0—主流区流体流速，m/s 。
Rexc
=
xcu0 ρ μ
2 105 Rexc 3106
二、边界层的形成过程
2. 管内边界层形成过程
黏性流体以u0 的流速 流进管内, 在进口附近
u0
形成速度边界层。
δ ri
Lf
二、边界层的形成过程
二、普朗特边界层方程的解
ux
ux x
uy
ux y
1 ρ
p x
μ ρ
2ux y 2
ux uy 0 x y
B.C. (1) y 0, ux 0 , uy 0
(2) y δ , ux u0 (2) y , ux u 0 普朗特边界层方程
二、普朗特边界层方程的解
考虑不可压缩流体沿平板作稳态层流流动的情况。
一、边界层积分动量方程的推导 二、平板层流边界层的近似解
一、边界层积分动量方程的推导
普朗特边界层方程虽然比一般化的奈维—斯托克 斯方程简单，但仍然只有在少数几种简单的流动情 形例如平板、楔形物体等才能获得精确解。工程实 际中，许多较复杂的问题直接求解普兰德边界层方 程相当困难。本节介绍一种计算量较小、工程上广 泛采用的由卡门（Karman）提出的积分动量方程法。
二、普朗特边界层方程的解
边界层内的速度分布
ψ 1 uy x 2
u0ν (ηf f ) x
ux
ψ y
u0
f
对于给定的位置（x，y）→η，f，f’ → ux，uy
二、普朗特边界层方程的解
边界层厚度 当 f ux u0 0.99 时，壁面的法向距离 y 即
为边界层厚度，此时
η y u0 5.0 νx
ux uy 0 x y
ux
ψ y
uy
ψ x
ψ 2ψ ψ 2ψ 3ψ
ν
y xy x y2 y3
(1) y 0, ψ 0 y
(2) y 0, ψ 0 x
(3) y ,
ψ y
u0
二、普朗特边界层方程的解
相似变换法求解
令
η(x, y) y u0 νx
将流函数 ψ [m s m] 转变为无量纲形式的流
1 dx
pδ (1) pδ
第四章 边界层理论基础
边界层理论由普朗特1904年 ( Prantdl)提出，用于 处理高 Re 数的流动问题。边界层理论不但在动量传 递中非常重要，它还与传热、传质过程密切相关。
本章简要讨论边界层的概念、边界层理论的要点 以及某些简单边界层的求解等问题。
第四章 边界层理论基础
为什么要提出边界层理论？ 对于某些流动问题，其 惯性力>>黏性力。采用 理想流体理论简化处理时，流体的压力与实验结果 非常吻合；但流动阻力的结果偏差很大。Prandtl 发 现，其根本原因是：在物体与流体接触的界面附近 的薄层流体内，惯性力~黏性力，应单独处理 —边 界层理论。
第四章 边界层理论基础
4.1 边界层的概念
一、普朗特边界层理论的要点 二、边界层的形成过程 三、边界层厚度的定义
一、普兰德边界层理论的要点
1. 当流体以高Re流过固体壁面时，由于流体的黏 性作用，在壁面上流速降为零；
2. 在壁面附近区域存在一极薄的流体层，其内速 度梯度很大；
3. 在远离壁面的流动区
一、边界层积分动量方程的推导
基本思想是：在边界层内，选一微分控制体 作微分动量衡算，导出一个边界层积分动量方 程；然后用一个只依赖于的单参数速度剖面近 似代替真实速度侧形，将其代入边界层积分动 量方程中积分求解，从而可以得到若干有意义 的物理量如边界层厚度、曳力系数的表达式。
一、边界层积分动量方程的推导
:
2ux Δux O(1) O( 1 )
y2 (Δy)2 O(δ2 )
δ2
ux
ux x
uy
ux 1 p y ρ x
μ ρ
2ux x2
2ux y2
1 1 δ 1/δ
(1) 2ux = 2ux
分析结果：
(2)
x2
y 2
μ / ρ ν O(δ2)
(3) 1 p O(1) ρ x
1 1/δ2
获得边界层流 动，流体的粘 性要非常低
பைடு நூலகம்
一、普朗特边界层方程的推导
ux
ux x
uy
ux y
1 ρ
p x
ν
2ux y 2
ux
uy x
uy
uy 1 p y ρ y
μ ρ
2uy x2
2uy y 2
1δ δ 1
δ2 δ 1/δ
分析结果：
（1）各项的量阶均小于或等于 O(δ) 1 p O(δ)
1. 边界层厚度δ << 物体特征尺寸 x ；
2. 边界层内粘性力与惯性力的量级相同。
对平板上流动的变化方程作量阶分析 ： 量阶：指物理量在整个区域内相对于标准量阶 而言的平均水平，不是指该物理量的具体数值。
一、普朗特边界层方程的推导
取如下两个标准量阶： （1）取坐标 x 为距离的标准量阶，外流速度u0为流 速的标准量阶，即
域，其速度梯度几乎为 零，可视其为理想流体
u0
的势流。
u0
δ
二、边界层的形成过程
1. 平板壁面上的速度边界层
当黏性流体（高 Re）在一半无穷平板壁面上流 动时，速度边界层的形成过程见图：
二、边界层的形成过程
首先，在壁面附近 有一薄层流体 ，速度 梯度很大 ；在薄层之 外 ，速度梯度很小 ， 可视为零。
δ 0
0
ρu0uxdy(1) dx
dx
4 x
δ
x
0
ρux (ux
u0 )dy
dx
（2）
一、边界层积分动量方程的推导
作用在控制体 x 方向 y
上的力（取 x 坐标方向
2
为正号）
① 1-4截面（壁面剪应力） δ
u0 3 δ dδ
τs (dx)(1) τsdx
0
② 1-2截面（压力）：
x O(1) u0 O(1) （2）取边界层厚度δ为另一个标准量阶：
δ O(δ)
y O( )
一、普朗特边界层方程的推导
（1）ux ：0→u0 ， ux=O(1)
（2）uxx :
Δux O(1) O(1) Δx O(1)
（3）2ux
x2
:
2ux x2
Δux ( Δx)2
O(1) O(1)O(1)
δ 5.0 νx u0
δ x
5.0Rex1 2
二、普朗特边界层方程的解
局部摩擦曳力系数
τ sx
μ
ux y
y0
ux y
y0
2ψ y 2
y0
u0
u0 f (0) νx
τsx μ u0
u0 νx
f (0) 0.33206 ρ u02Rex1 2
CDx
2τx ρu02
0.664Rex1 2
二、普朗特边界层方程的解