第四章 边界层理论基础 边界层理论由普朗特1904年 ( Prantdl)提出,用于处理高 Re 数的流动问题。边界层理

y u0 u0
u0
x=0
u0 x
壁面附近速度梯度较大的流体层称为边界层。边界 层外，速度梯度接近于零的区称为外流区或主流区。
二、边界层的形成过程
层流边界层和湍流边界层
y 层流边界层 过 湍流边界层
在板前缘附近，边界层 内流速较低，为层流边界 层；而后逐渐过渡为湍流 u0
u0 u0
渡 区
u0
湍流 核心
在距壁面前缘 x 处，取 y
u0
一微元控制体
2
dV=δdx（1）
将动量守恒原理应用 δ
于微元控制体dV，得
ΣF d(mu) dθ
1
0
dx
x 方向：
ΣFx
d (mux ) dθ
（1）
3 δ dδ
4 x
一、边界层积分动量方程的推导
1-2截面：流入
δ
m1 ρuxdy(1)
0
δ
J1
ρu
2 x
dy(1)
边界层外为理想流体的势流，可用 Bernolli方程 描述。在流动的同一水平高度上，有
p ρu02 常数
2
dp dx
ρu0
du0 dx
0
u0
dp 0
dx
边界层内：p y 0
y p1
p3 δ
0
dp 0 dx
p2
p4
x
二、普朗特边界层方程的解
ux
ux x
uy
ux y
ν 2ux y 2
流函数
O(1)
（4）y ：在边界层的范围内，y 由 0→δ，y O(δ)
（5）uy：由连续性方程
ux uy 0 x y
ux O(1) , x
y O(δ) uy O(δ)
（6） ux : ux Δux O(1) O(1)
y y Δy O(δ) δ
一、普朗特边界层方程的推导
（7）
2ux y 2
函数：
f (η) ψ u0νx
x
f (η)
ψx y
二、普朗特边界层方程的解
(1)
ψ y
u0νx
df dη
y
y
u0 νx
u0
df dη
u0
f
(2)
2ψ y2
u0
d2 f dη2
η y
u0
u0 f νx
(3)
3ψ y3
u02 νx
f
(4)
ψ f (η) (
x
x
u0νx)
u0νx
=
xu0 ρ μ
层流内层
x—由平板前沿算起的距离，m
缓冲层
临界 Rexc
u0—主流区流体流速，m/s 。
Rexc
=
xcu0 ρ μ
2 105 Rexc 3106
二、边界层的形成过程
2. 管内边界层形成过程
黏性流体以u0 的流速 流进管内, 在进口附近
u0
形成速度边界层。
δ ri
Lf
二、边界层的形成过程
二、普朗特边界层方程的解
ux
ux x
uy
ux y
1 ρ
p x
μ ρ
2ux y 2
ux uy 0 x y
B.C. (1) y 0, ux 0 , uy 0
(2) y δ , ux u0 (2) y , ux u 0 普朗特边界层方程
二、普朗特边界层方程的解
考虑不可压缩流体沿平板作稳态层流流动的情况。
一、边界层积分动量方程的推导 二、平板层流边界层的近似解
一、边界层积分动量方程的推导
普朗特边界层方程虽然比一般化的奈维—斯托克 斯方程简单，但仍然只有在少数几种简单的流动情 形例如平板、楔形物体等才能获得精确解。工程实 际中，许多较复杂的问题直接求解普兰德边界层方 程相当困难。本节介绍一种计算量较小、工程上广 泛采用的由卡门（Karman）提出的积分动量方程法。
二、普朗特边界层方程的解
边界层内的速度分布
ψ 1 uy x 2
u0ν (ηf f ) x
ux
ψ y
u0
f
对于给定的位置（x，y）→η，f，f’ → ux，uy
二、普朗特边界层方程的解
边界层厚度 当 f ux u0 0.99 时，壁面的法向距离 y 即
为边界层厚度，此时
η y u0 5.0 νx
ux uy 0 x y
ux
ψ y
uy
ψ x
ψ 2ψ ψ 2ψ 3ψ
ν
y xy x y2 y3
(1) y 0, ψ 0 y
(2) y 0, ψ 0 x
(3) y ,
ψ y
u0
二、普朗特边界层方程的解
相似变换法求解
令
η(x, y) y u0 νx
将流函数 ψ [m s m] 转变为无量纲形式的流
1 dx
pδ (1) pδ
第四章 边界层理论基础
边界层理论由普朗特1904年 ( Prantdl)提出，用于 处理高 Re 数的流动问题。边界层理论不但在动量传 递中非常重要，它还与传热、传质过程密切相关。
本章简要讨论边界层的概念、边界层理论的要点 以及某些简单边界层的求解等问题。
第四章 边界层理论基础
为什么要提出边界层理论？ 对于某些流动问题，其 惯性力>>黏性力。采用 理想流体理论简化处理时，流体的压力与实验结果 非常吻合；但流动阻力的结果偏差很大。Prandtl 发 现，其根本原因是：在物体与流体接触的界面附近 的薄层流体内，惯性力~黏性力，应单独处理 —边 界层理论。
第四章 边界层理论基础
4.1 边界层的概念
一、普朗特边界层理论的要点 二、边界层的形成过程 三、边界层厚度的定义
一、普兰德边界层理论的要点
1. 当流体以高Re流过固体壁面时，由于流体的黏 性作用，在壁面上流速降为零；
2. 在壁面附近区域存在一极薄的流体层，其内速 度梯度很大；
3. 在远离壁面的流动区
一、边界层积分动量方程的推导
基本思想是：在边界层内，选一微分控制体 作微分动量衡算，导出一个边界层积分动量方 程；然后用一个只依赖于的单参数速度剖面近 似代替真实速度侧形，将其代入边界层积分动 量方程中积分求解，从而可以得到若干有意义 的物理量如边界层厚度、曳力系数的表达式。
一、边界层积分动量方程的推导
:
2ux Δux O(1) O( 1 )
y2 (Δy)2 O(δ2 )
δ2
ux
ux x
uy
ux 1 p y ρ x
μ ρ
2ux x2
2ux y2
1 1 δ 1/δ
(1) 2ux = 2ux
分析结果：
(2)
x2
y 2
μ / ρ ν O(δ2)
(3) 1 p O(1) ρ x
1 1/δ2
获得边界层流 动，流体的粘 性要非常低
பைடு நூலகம்
一、普朗特边界层方程的推导
ux
ux x
uy
ux y
1 ρ
p x
ν
2ux y 2
ux
uy x
uy
uy 1 p y ρ y
μ ρ
2uy x2
2uy y 2
1δ δ 1
δ2 δ 1/δ
分析结果：
（1）各项的量阶均小于或等于 O(δ) 1 p O(δ)
1. 边界层厚度δ << 物体特征尺寸 x ；
2. 边界层内粘性力与惯性力的量级相同。
对平板上流动的变化方程作量阶分析 ： 量阶：指物理量在整个区域内相对于标准量阶 而言的平均水平，不是指该物理量的具体数值。
一、普朗特边界层方程的推导
取如下两个标准量阶： （1）取坐标 x 为距离的标准量阶，外流速度u0为流 速的标准量阶，即
域，其速度梯度几乎为 零，可视其为理想流体
u0
的势流。
u0
δ
二、边界层的形成过程
1. 平板壁面上的速度边界层
当黏性流体（高 Re）在一半无穷平板壁面上流 动时，速度边界层的形成过程见图：
二、边界层的形成过程
首先，在壁面附近 有一薄层流体 ，速度 梯度很大 ；在薄层之 外 ，速度梯度很小 ， 可视为零。
δ 0
0
ρu0uxdy(1) dx
dx
4 x
δ
x
0
ρux (ux
u0 )dy
dx
（2）
一、边界层积分动量方程的推导
作用在控制体 x 方向 y
上的力（取 x 坐标方向
2
为正号）
① 1-4截面（壁面剪应力） δ
u0 3 δ dδ
τs (dx)(1) τsdx
0
② 1-2截面（压力）：
x O(1) u0 O(1) （2）取边界层厚度δ为另一个标准量阶：
δ O(δ)
y O( )
一、普朗特边界层方程的推导
（1）ux ：0→u0 ， ux=O(1)
（2）uxx :
Δux O(1) O(1) Δx O(1)
（3）2ux
x2
:
2ux x2
Δux ( Δx)2
O(1) O(1)O(1)
δ 5.0 νx u0
δ x
5.0Rex1 2
二、普朗特边界层方程的解
局部摩擦曳力系数
τ sx
μ
ux y
y0
ux y
y0
2ψ y 2
y0
u0
u0 f (0) νx
τsx μ u0
u0 νx
f (0) 0.33206 ρ u02Rex1 2
CDx
2τx ρu02
0.664Rex1 2
二、普朗特边界层方程的解
df dη
η x
1 2
u0ν ( f ηf ) x
(5)
2ψ xy
u0
f
1 2
y
u0 νx3
1 2
u0 x
η
f
二、普朗特边界层方程的解
2 f f f 0
B.C. (1) η 0, f ' 0
(2) η 0, f 0 (3) η , f 1
级数解：f 0.16603 η2 4.5943104 η5 2.4972106 η8
变化方程：
u0
y δ(x)
0
x
ux
ux x
uy
ux y
1 ρ
p x
μ ρ
2ux x2
2ux y2
ux
uy x
uy
uy y
1 ρ
p y
μ ρ
2uy x2
2uy y2
非线性二阶 偏微分方程
ux uy 0 x y
ur
u
uz
一、普朗特边界层方程的推导
大Re数下的边界层流动有两个重要性质：
0
m3
m2
m1
x
0
ρuxdy(1)
dx
J3
u0m3
x
δ 0
u0 ρuxdy(1) dx
1 dx
4 x
一、边界层积分动量方程的推导
整个微元控制体内的净 y
u0 3
动量变化速率为流出与流
2
入之差，即
δ dδ
δ
d (mux dθ
)
J2
J1
J3
1
x
δ 0
ρu
x2dy
(1)
dx
x
(a) u0 较小，在管中 心汇合依然为层流边
u0
界层。汇合以后为充
分发展 的层流：
ri Lf
（a）层流边界层
(b) u0 较大，在汇合 之前已发展为湍流边
界层。汇合以后为充
分发展的湍流；
层流边界层 湍流边界层
u0
ri Lf
（b）层流与湍流边界层
二、边界层的形成过程
流动进口段 —由管进口开始至边界层汇合以前的 距离 Lf
充分发展的流动 —边界层汇合以后的流动
二、边界层的形成过程
管内流动雷诺数
Re = dρub μ
d —圆管直径，m； ub—主体流速，m/s 。
Re < 2000时，管内流动为层流。
三、边界层厚度的定义
1.平板边界层厚度δ
δ y ux 99% u0
三、边界层厚度的定义
2.管内边界层的厚度
进口段区 汇合后
δ y ux 99% u0
δ ri
Lf = 0.0575Re d
Lf —进口段长度，m； d —管道内径，m；
Re —雷诺数。
第四章 边界层理论基础
4.1 边界层的概念 4.2 普朗特边界层方程
一、普朗特边界层方程的推导 二、普朗特边界层方程的解
一、普朗特边界层方程的推导
不可压缩流体沿平壁
作稳态二维层流流动的
边界层。
湍流边界层分为3层
x=0
x
层流内层 缓冲层
近壁面的薄层流体为层流内层；其次为缓冲层；然后为湍流 核心。
二、边界层的形成过程
临界距离和临界雷诺数： y
xc
临界距离 xc
由层流边界层开始转变为 湍流边界层的距离；
u0
层流边界层 过 湍流边界层
u0 u0
渡 区
u0
湍流
核心
平板流动 Re
x=0
x
Rex
ρ y
（2）y方向的运动方程较次要，可忽略不计。
一、普朗特边界层方程的推导
（3） p y O(δ) O(δ) p 0
p x O(1)
y
沿边界层法线方向上流体的压力梯度可忽略，即 压力可穿过边界层保持不变。根据理想流体理论， 边界层外部边界上的压力分布是确定的。于是边界 层内的压力变成了已知函数。
平均曳力系数
流体流过长度为L、宽度为b的平板壁面的总曳力
L
Fd b 0 τ sxdx
0.332μbu0
u0 ν
L dx 0.664
0x
μρLu03
CD
2Fd ρu02 A
2 0.664 μρLu03 ρu02bL
1.328ReL1 2
第四章 边界层理论基础
4.1 边界层的概念 4.2 普朗特边界层方程 4.3 边界层积分动量方程
1.4277 108 η11
二、普朗特边界层方程的解
η y u0 νx
0 0.2
表4-1 无量纲流函数及其导数
f
f ' ux u0
0
0
0.00664 0.06641
f ''
0.33206 0.33199
1.0
0.16557 0.32979
0.32301
5.0
3.28329 0.99155
0.01591
0
y 2
δ
u0 3 δ dδ
3-4截面：流出
1
0
m2
m1
m1 x
dx
m1
x
δ 0
ρuxdy(1) dx
dx
4 x
J2
J1
J1 x
dx
J1
x
δ 0
ρux2
dy
(1)
dx
一、边界层积分动量方程的推导
1-4截面：无对流
y
u0 3
m4 0
2
J4 0
δ 2-3截面：流入
δ dδ
δ