边界层理论
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EXIT
5.1、边界层近似及其特征 这也是早期发展理想流体力学的重要依据，而
且确实较成功地解决了与粘性关系不大的一系列流
动问题，诸如绕流物体的升力、波动等问题。 但对绕流物体阻力、涡的扩散等问题，理想流
体力学的解与实际相差甚远，且甚至得出完全相反
的结论，圆柱绕流无阻力的D’Alembert疑题就是一
*
0
u 1 u dy e
u u 1 dy u e ue
u u2 1 2 dy ue ue
EXIT
**
0
***
0
5.1、边界层近似及其特征
（5）几点说明 （a）实际流动中，边界层流动与理想流动是渐近过渡的， 边界层的外边界线实际上是不存在的，因此边界层的外边界 线不是流线，而是被流体所通过的，允许边界层内流体穿过 边界线流动。也就是说，在边界层内流线是相对于边界层的 边界是向内偏的，而相对于物面是向外偏的。
EXIT
5.1、边界层近似及其特征 对整个流场提出的基本分区是： （1）整个流动区域可分成理想流体的流动区域 （势流区）和粘性流体的流动区域（粘流区）。 （2）在远离物体的理想流体流动区域，可忽略
粘性的影响，按势流理论处理。
（3）粘性流动区域仅限于物面近区的薄层内， 称为边界层。既然是粘流区，粘性力的作用不能忽 略，与惯性力同量级，流体质点作有旋运动。
EXIT
5.1、边界层近似及其特征 以二维流动为例说明之。此时，物面上的涡源 强度为：
v u o u z x y y
可以证明在有势力的作用下，二维不可压缩粘
z z 性流体的运动流动的涡量 z 在极值点 x y 0 满足下面方程：
个典型的例子。 那么，如何考虑流体的粘性，怎样解决扰流物
体的阻力问题，这在当时确实是一个阻碍流体力学 发展的难题。
EXIT
5.1、边界层近似及其特征 直到1904年流体力学大师德国学者 L.Prandtl 通
过大量实验发现，虽然整体流动的Re数很大，但在
靠近物面的薄层流体内，流场的特征与理想流动相 差甚远，沿着法向存在很大的速度梯度，粘性力无 法忽略。 Prandtl 把这一物面近区粘性力起重要作用的薄 层称为边界层（Boundary layer）。
出来的值,这些多出来的流量必然要在主流中占据 一定厚度 * ，其流量写为 eue * ，从而
eue eue u dy
* 0
*
0
u 1 u dy e e
EXIT
5.1、边界层近似及其特征
这部分主流区增加的流体厚度
是由边界层流体排挤入主流区
位流区
边界层
流动分为三个区域：1. 边界层：N－S化简为边界层方程 2. 尾迹区：N－S方程 3. 位流区：理想流方程
EXIT
5.2、平面不可压缩流体层流边界层方程 2. 平壁面上边界层方程 根据Prandtl边界层概念，通过量级比较，可对N-S方程 组进行简化，得到边界层近似方程。对于二维不可压缩流动 ，连续方程和N-S方程为：
失厚度为：eue2 ** ueu uudy
**
0
u u 1 dy e ue ue
0
EXIT
5.1、边界层近似及其特征 （c）边界层能量损失厚度 在边界层内，在质量流量不变的条件下，以外 1 2 流速度（理想流体）通过的动能为： ue udy 0 2 1 2 由于粘性的存在，实际流体通过的动能为： 0 2 u udy 上述两项之差表示粘性存在而损失的动能。 这部分动能损失用主流流速 ue（理想流体）折 算的动能损失厚度为:
选取长度特征L，速度尺度ue，时间尺度t=L/ue，边界层 近似假定：
EXIT
5.2、平面不可压缩流体层流边界层方程 （1）根据边界层定义，纵向偏导数远远小于横向偏导数。
L
~
1 1 1 , L, ~ , ~ , x L y x y Re
（2）法向速度远远小于纵向速度。
EXIT
5.1、Biblioteka Baidu界层近似及其特征
EXIT
5.1、边界层近似及其特征
EXIT
5.1、边界层近似及其特征
EXIT
5.1、边界层近似及其特征 （4）边界层各种厚度定义 （a）边界层位移厚度
假设某点P处的边界层厚度是 以速度
，则在 的范围内
EXIT
ue 流动的质量流量是：
5.1、边界层近似及其特征
u v 0 x y ue ue 1 ue L L L
两项为同一量级 右括号中第一项比第二项 低2个量级可略。边界层内 粘性力与惯性力同量级不 可忽略，故ν 的量级为
2 ue 2 , L
u u u 1 p 2u 2u u v fx 2 2 t x y x x y ue2 ue2 ue ue2 ue2 ue ue ue 2 2 L L L L L L
2 z 2 z z z 2 2 t y x
EXIT
5.1、边界层近似及其特征
在z
在
2 z 2 z 的极小值点， 2 2 0 x y
，因而
z 0 t
。
。
2 z 2 z z 0 的极大值点， ，因而 0 z 2 2 x y t
第5章下
边界层理论及其近似
5.1、边界层近似及其特征 5.2、平面不可压缩流体层流边界层方程 5.3、平板层流边界层的相似解 5.4、边界层动量积分方程 5.5、边界层的分离现象
EXIT
5.1、边界层近似及其特征
1、边界层概念的提出 我们已知道，流动Re数（O.Reynolds，1883年，英国流体 力学家）是用以表征流体质点的惯性力与粘性力对比关系 的。根据量级分析，作用于流体上的惯性力和粘性力可表 示为: 惯性力:
0
eue dy eue
其中， ue 为边界层外缘速 度。由于粘性的存在，实 际流体通过的质量流量为
0
u dy
此处 u 是边界层中距物面为 y 处的流速。上述两部 份流量之差是
0
( eu e u)dy
EXIT
5.1、边界层近似及其特征
这就是设想各点皆以外流速度流动时比实际流量多
EXIT
5.1、边界层近似及其特征 2、边界层的特征
（1）边界层定义
严格而言，边界层区与主流区之间无明显界线，通常 以速度达到主流区速度的 0.99 倍作为边界层的外缘。由边 界层外缘到物面的垂直距离称为边界层名义厚度，用 δ 表 示。
（2）边界层的有涡性 粘性流体运动总伴随涡量的产生、扩散、衰减。边界 层就是涡层，当流体绕过物面时，无滑移边界条件相当于 使物面成为具有一定强度的连续分布的涡源。
EXIT
5.1、边界层近似及其特征 Prandtl边界层概念的提出，为人们如何计入粘
性的作用开辟了划时代的途径，因为有了它，无粘流
的理论就可以无所顾忌地大踏步向前发展了；另一方 面粘流计算限制在薄薄的边界面层内，使纳维—斯托 克斯方程得以大大地简化，使许多有实用意义的问题 能得到解答；这样粘性流理论也得到了一条新的发展
EXIT
5.1、边界层近似及其特征
普朗特重视观察和分析力学现象，养成了非凡的直观洞察能力，善 于抓住物理本质，概括出数学方程。他曾说：“我只是在相信自己对物 理本质已经有深入了解以后，才想到数学方程。方程的用处是说出量的 大小，这是直观得不到的，同时它也证明结论是否正确。” 普朗特 指导过 81 名博士生，著名学者 Blasius 、 Von Karman 是其学生之一。我 国著名的空气动力学专家、北航流体力学教授陆士嘉先生（女， 1911– 1986）是普朗特正式接受的唯一中国学生，唯一的女学生。
1 2 1 *** ue eue ue2u u 3 dy 2 2 0
***
0
u u 2 1 2 dy e ue ue
EXIT
5.1、边界层近似及其特征 上述各种厚度的计算公式，对于不可压缩流体 而言，变为:
EXIT
5.1、边界层近似及其特征 （b）边界层各种厚度的定义式，既适用于层流， 也适用于湍流。 （c）边界层各种厚度的大小与边界层内流速分布 有关。 边界层厚度δ >位移厚度δ *>动量损失厚度δ 边界层厚度δ >能量损失厚度δ
**
***>动量损失厚度δ **
EXIT
5.2、平面不可压缩流体层流边界层方程 1 边界层流动图画 粘性流体流经任一物体（例如机翼与机身）的问题，归结 为在相应的边界条件下解N—S方程的问题。由于N—S方程太复 杂，在很多实际问题中，不能不作一些近似假设使其简化，以 求问题得以近似地解决。简化时，必须符合物理事实，因此首 先看看空气流过静止物体（例如翼型）的物理图画：
v 1 L v~ ~ ue , ~ , u ~ ue , v u t L / ue L ue t Re
（3）边界层内的压强量级与外流速度的平方成正比。
2 p ~ ue
将这些量级关系式代入到N-S方程中，得到
EXIT
5.2、平面不可压缩流体层流边界层方程
N-S方程组与各项量级比较:
dV 3V FJ m ~ L L2V 2 dt t
dy
粘性力： F dV A ~ VL
2 2 FJ L V LV LV Re 惯性力/粘性力： F VL
因此，在高Re数下，流体运动的惯性力远远大于粘性力。
这样研究忽略粘性力的流动问题是有实际意义的。
x 方向的长度为 L，边界层厚度为δ 。
惯性力： 粘性力：
FJ m
F
dV U ~ L2 LU 2 dt t
dV U A ~ L2 dy
由惯性力与粘性力同量级得到
F ~ FJ
LU 2 ~
U
L2
L
~
由此可见，在高Re数下，边界层的厚度远小于被绕流
1 Re
物体的特征长度。
这就说明了，在粘性流体中，不均匀的涡量场 是不断变化的，涡较强的部分要变弱，而涡较弱的
部分要变强。总的说来，趋向于涡量场强度“拉平
”，就好像旋涡在扩散一样。
EXIT
5.1、边界层近似及其特征
（3）边界层厚度的量级估计 根据边界层内粘性力与惯性力同量级的条件，可估算边
界层的厚度。以平板绕流为例说明。设来流的速度为U，在
u v 0 x y u u u 1 p 2u 2u u v fx 2 2 t x y x x y v v v 1 p 2v 2v u v fy 2 2 t x y y x y
道路。可以说从此以后，才开始有了为飞机服务的现
代空气动力学。因此称其为近代流体力学的奠基人。
EXIT
5.1、边界层近似及其特征
普朗特生平简介 普朗特（ Ludwig Prandtl ，1875～ 1953） 德国物理学家，流体力学大师， 近代力学奠基人之一。1875年出生于德国 弗赖辛， 1953年在哥廷根病故。 普朗特在流体力学方面的主要贡献有： （1）边界层理论 （2）风洞实验技术 （3）机翼理论 （4）湍流理论 （5）此外还有亚声速相似律（普朗特-葛涝渥法则）和可压 缩绕角膨胀流动（普朗特-迈耶尔流动）。
造成的。因此，称其为排移厚 度或位移厚度。作理想流场模
型的外形修正时，应该加上这
一位移厚度。
EXIT
5.1、边界层近似及其特征 （b）边界层动量损失厚度
在边界层内，在质量流量不变的条件下，理想 流体通过的动量为：ue udy
0
由于粘性的存在，实际流体通过的动量为
0
u 2 dy
上述两项之差表示粘性存在而损失的动量，这部分 动量损失用外流流速ue（理想流体）折算的动量损
5.1、边界层近似及其特征 这也是早期发展理想流体力学的重要依据，而
且确实较成功地解决了与粘性关系不大的一系列流
动问题，诸如绕流物体的升力、波动等问题。 但对绕流物体阻力、涡的扩散等问题，理想流
体力学的解与实际相差甚远，且甚至得出完全相反
的结论，圆柱绕流无阻力的D’Alembert疑题就是一
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5.1、边界层近似及其特征
（5）几点说明 （a）实际流动中，边界层流动与理想流动是渐近过渡的， 边界层的外边界线实际上是不存在的，因此边界层的外边界 线不是流线，而是被流体所通过的，允许边界层内流体穿过 边界线流动。也就是说，在边界层内流线是相对于边界层的 边界是向内偏的，而相对于物面是向外偏的。
EXIT
5.1、边界层近似及其特征 对整个流场提出的基本分区是： （1）整个流动区域可分成理想流体的流动区域 （势流区）和粘性流体的流动区域（粘流区）。 （2）在远离物体的理想流体流动区域，可忽略
粘性的影响，按势流理论处理。
（3）粘性流动区域仅限于物面近区的薄层内， 称为边界层。既然是粘流区，粘性力的作用不能忽 略，与惯性力同量级，流体质点作有旋运动。
EXIT
5.1、边界层近似及其特征 以二维流动为例说明之。此时，物面上的涡源 强度为：
v u o u z x y y
可以证明在有势力的作用下，二维不可压缩粘
z z 性流体的运动流动的涡量 z 在极值点 x y 0 满足下面方程：
个典型的例子。 那么，如何考虑流体的粘性，怎样解决扰流物
体的阻力问题，这在当时确实是一个阻碍流体力学 发展的难题。
EXIT
5.1、边界层近似及其特征 直到1904年流体力学大师德国学者 L.Prandtl 通
过大量实验发现，虽然整体流动的Re数很大，但在
靠近物面的薄层流体内，流场的特征与理想流动相 差甚远，沿着法向存在很大的速度梯度，粘性力无 法忽略。 Prandtl 把这一物面近区粘性力起重要作用的薄 层称为边界层（Boundary layer）。
出来的值,这些多出来的流量必然要在主流中占据 一定厚度 * ，其流量写为 eue * ，从而
eue eue u dy
* 0
*
0
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EXIT
5.1、边界层近似及其特征
这部分主流区增加的流体厚度
是由边界层流体排挤入主流区
位流区
边界层
流动分为三个区域：1. 边界层：N－S化简为边界层方程 2. 尾迹区：N－S方程 3. 位流区：理想流方程
EXIT
5.2、平面不可压缩流体层流边界层方程 2. 平壁面上边界层方程 根据Prandtl边界层概念，通过量级比较，可对N-S方程 组进行简化，得到边界层近似方程。对于二维不可压缩流动 ，连续方程和N-S方程为：
失厚度为：eue2 ** ueu uudy
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5.1、边界层近似及其特征 （c）边界层能量损失厚度 在边界层内，在质量流量不变的条件下，以外 1 2 流速度（理想流体）通过的动能为： ue udy 0 2 1 2 由于粘性的存在，实际流体通过的动能为： 0 2 u udy 上述两项之差表示粘性存在而损失的动能。 这部分动能损失用主流流速 ue（理想流体）折 算的动能损失厚度为:
选取长度特征L，速度尺度ue，时间尺度t=L/ue，边界层 近似假定：
EXIT
5.2、平面不可压缩流体层流边界层方程 （1）根据边界层定义，纵向偏导数远远小于横向偏导数。
L
~
1 1 1 , L, ~ , ~ , x L y x y Re
（2）法向速度远远小于纵向速度。
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5.1、Biblioteka Baidu界层近似及其特征
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5.1、边界层近似及其特征
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5.1、边界层近似及其特征
EXIT
5.1、边界层近似及其特征 （4）边界层各种厚度定义 （a）边界层位移厚度
假设某点P处的边界层厚度是 以速度
，则在 的范围内
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ue 流动的质量流量是：
5.1、边界层近似及其特征
u v 0 x y ue ue 1 ue L L L
两项为同一量级 右括号中第一项比第二项 低2个量级可略。边界层内 粘性力与惯性力同量级不 可忽略，故ν 的量级为
2 ue 2 , L
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2 z 2 z z z 2 2 t y x
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5.1、边界层近似及其特征
在z
在
2 z 2 z 的极小值点， 2 2 0 x y
，因而
z 0 t
。
。
2 z 2 z z 0 的极大值点， ，因而 0 z 2 2 x y t
第5章下
边界层理论及其近似
5.1、边界层近似及其特征 5.2、平面不可压缩流体层流边界层方程 5.3、平板层流边界层的相似解 5.4、边界层动量积分方程 5.5、边界层的分离现象
EXIT
5.1、边界层近似及其特征
1、边界层概念的提出 我们已知道，流动Re数（O.Reynolds，1883年，英国流体 力学家）是用以表征流体质点的惯性力与粘性力对比关系 的。根据量级分析，作用于流体上的惯性力和粘性力可表 示为: 惯性力:
0
eue dy eue
其中， ue 为边界层外缘速 度。由于粘性的存在，实 际流体通过的质量流量为
0
u dy
此处 u 是边界层中距物面为 y 处的流速。上述两部 份流量之差是
0
( eu e u)dy
EXIT
5.1、边界层近似及其特征
这就是设想各点皆以外流速度流动时比实际流量多
EXIT
5.1、边界层近似及其特征 2、边界层的特征
（1）边界层定义
严格而言，边界层区与主流区之间无明显界线，通常 以速度达到主流区速度的 0.99 倍作为边界层的外缘。由边 界层外缘到物面的垂直距离称为边界层名义厚度，用 δ 表 示。
（2）边界层的有涡性 粘性流体运动总伴随涡量的产生、扩散、衰减。边界 层就是涡层，当流体绕过物面时，无滑移边界条件相当于 使物面成为具有一定强度的连续分布的涡源。
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5.1、边界层近似及其特征 Prandtl边界层概念的提出，为人们如何计入粘
性的作用开辟了划时代的途径，因为有了它，无粘流
的理论就可以无所顾忌地大踏步向前发展了；另一方 面粘流计算限制在薄薄的边界面层内，使纳维—斯托 克斯方程得以大大地简化，使许多有实用意义的问题 能得到解答；这样粘性流理论也得到了一条新的发展
EXIT
5.1、边界层近似及其特征
普朗特重视观察和分析力学现象，养成了非凡的直观洞察能力，善 于抓住物理本质，概括出数学方程。他曾说：“我只是在相信自己对物 理本质已经有深入了解以后，才想到数学方程。方程的用处是说出量的 大小，这是直观得不到的，同时它也证明结论是否正确。” 普朗特 指导过 81 名博士生，著名学者 Blasius 、 Von Karman 是其学生之一。我 国著名的空气动力学专家、北航流体力学教授陆士嘉先生（女， 1911– 1986）是普朗特正式接受的唯一中国学生，唯一的女学生。
1 2 1 *** ue eue ue2u u 3 dy 2 2 0
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5.1、边界层近似及其特征 上述各种厚度的计算公式，对于不可压缩流体 而言，变为:
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5.1、边界层近似及其特征 （b）边界层各种厚度的定义式，既适用于层流， 也适用于湍流。 （c）边界层各种厚度的大小与边界层内流速分布 有关。 边界层厚度δ >位移厚度δ *>动量损失厚度δ 边界层厚度δ >能量损失厚度δ
**
***>动量损失厚度δ **
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5.2、平面不可压缩流体层流边界层方程 1 边界层流动图画 粘性流体流经任一物体（例如机翼与机身）的问题，归结 为在相应的边界条件下解N—S方程的问题。由于N—S方程太复 杂，在很多实际问题中，不能不作一些近似假设使其简化，以 求问题得以近似地解决。简化时，必须符合物理事实，因此首 先看看空气流过静止物体（例如翼型）的物理图画：
v 1 L v~ ~ ue , ~ , u ~ ue , v u t L / ue L ue t Re
（3）边界层内的压强量级与外流速度的平方成正比。
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将这些量级关系式代入到N-S方程中，得到
EXIT
5.2、平面不可压缩流体层流边界层方程
N-S方程组与各项量级比较:
dV 3V FJ m ~ L L2V 2 dt t
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粘性力： F dV A ~ VL
2 2 FJ L V LV LV Re 惯性力/粘性力： F VL
因此，在高Re数下，流体运动的惯性力远远大于粘性力。
这样研究忽略粘性力的流动问题是有实际意义的。
x 方向的长度为 L，边界层厚度为δ 。
惯性力： 粘性力：
FJ m
F
dV U ~ L2 LU 2 dt t
dV U A ~ L2 dy
由惯性力与粘性力同量级得到
F ~ FJ
LU 2 ~
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L2
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由此可见，在高Re数下，边界层的厚度远小于被绕流
1 Re
物体的特征长度。
这就说明了，在粘性流体中，不均匀的涡量场 是不断变化的，涡较强的部分要变弱，而涡较弱的
部分要变强。总的说来，趋向于涡量场强度“拉平
”，就好像旋涡在扩散一样。
EXIT
5.1、边界层近似及其特征
（3）边界层厚度的量级估计 根据边界层内粘性力与惯性力同量级的条件，可估算边
界层的厚度。以平板绕流为例说明。设来流的速度为U，在
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道路。可以说从此以后，才开始有了为飞机服务的现
代空气动力学。因此称其为近代流体力学的奠基人。
EXIT
5.1、边界层近似及其特征
普朗特生平简介 普朗特（ Ludwig Prandtl ，1875～ 1953） 德国物理学家，流体力学大师， 近代力学奠基人之一。1875年出生于德国 弗赖辛， 1953年在哥廷根病故。 普朗特在流体力学方面的主要贡献有： （1）边界层理论 （2）风洞实验技术 （3）机翼理论 （4）湍流理论 （5）此外还有亚声速相似律（普朗特-葛涝渥法则）和可压 缩绕角膨胀流动（普朗特-迈耶尔流动）。
造成的。因此，称其为排移厚 度或位移厚度。作理想流场模
型的外形修正时，应该加上这
一位移厚度。
EXIT
5.1、边界层近似及其特征 （b）边界层动量损失厚度
在边界层内，在质量流量不变的条件下，理想 流体通过的动量为：ue udy
0
由于粘性的存在，实际流体通过的动量为
0
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上述两项之差表示粘性存在而损失的动量，这部分 动量损失用外流流速ue（理想流体）折算的动量损