电磁感应中的动力学问题

产生的感应电流和受到的安培力逐渐减小，
当安培力 F′=mg时，开始做匀速直线运动。 此时满足B2l2 v vm =
m /R =mg

K

解得最终速度， mgR/B2l2 = 1m/s。 a

F
b mg 2

闭合电键时速度最大为8m/s。

B 2l vm  mg R

t=0.8s l=20cm R=0.4Ω m=10g B=1T

mv=(m+m)vt 共同速度为vt =1/2 v
它们的速度图象如图示：
B v 1 2 v

v
0.5 v

1

2 0 t

04年广东 15． 如图，在水平面上有两条平行导电导轨MN、PQ, 导轨间距离为l，匀强磁场垂直于导轨所在的平面（纸 面）向里，磁感应强度的大小为B，两根金属杆1、2摆 在导轨上，与导轨垂直，它们的质量和电阻分别为m1、 m2和R1 、 R2,两杆与导轨接触良好，与导轨间的动摩擦 因数为μ，已知：杆1被外力拖动，以恒定的速度v0沿导 轨运动；达到稳定状态时，杆2也以恒定速度沿导轨运 动，导轨的电阻可忽略，求此时杆2克服摩擦力做功的 1 2 功率。 M N

最后，当f=F 时，a=0，速度达到最大， F=f=BIL=B2 L2 vm /R

a
R f1 f2 b B

vm=FR / B2 L2
vm称为收尾速度. 又解：匀速运动时，拉力 所做的功使机械能转化为 电阻R上的内能。

F
f

F

F

F vm=I2 R= B2 L2 vm2/ R

vm=FR / B2 L2

例2. 在磁感应强度为B的水平均强磁场中，竖直放置一个冂 形金属框ABCD，框面垂直于磁场，宽度BC＝L ，质量m的金 属杆PQ用光滑金属套连接在框架AB和CD上如图.金属杆PQ电 阻为R，当杆自静止开始沿框架下滑时： (1)开始下滑的加速度为 多少? (2)框内感应电流的方向怎样？ (3)金属杆下滑的最大速度是多少? (4)从开始下滑到达到最大速度过程中重力势能转化为什么能量 解: 开始PQ受力为mg, 所以 a=g PQ向下加速运动,产生感应电流,方向顺时针, 受到向上的磁场力F作用。 达最大速度时, F=BIL=B2 L2 vm /R =mg B F P I mg A Q C

“双杆”滑轨问题
• 分析两杆的运动情况和受力情况 • 分析物理情景 • 灵活选择运动规律

例4. 光滑平行导轨上有两根质量均为m，电阻均为R 的导体棒1、2，给导体棒1以初速度 v 运动， 分析它们 的运动情况，并求它们的最终速度。….
对棒1，切割磁感应线产生感应电流I，I又受到磁场的作用力F v1 E1=BLv1 I=(E1-E2) /2R F=BIL a1=F/m 对棒2，在F作用下，做加速运动，产生感应电动势，总电动势减小

a2 =F/m

v2

E2=BLv2

I=(E1-E2) /2R

F=BIL

当E1=E2时，I=0，F=0,两棒以共同速度匀速运动，vt =1/2 v B B F E1

v
I
2 E2 F

F 1

1

E1 v I t
ห้องสมุดไป่ตู้
2 E2

F

vt

由楞次定律，感应电流的效果总要阻碍产生感应 电流的原因，1棒向右运动时， 2棒也要向右运动。 杆1做变减速运动，杆2做变加速运动，稳定时， 两杆的加速度为0，当两棒相对静止时，没有感应 电流，也不受磁场力作用，以共同速度匀速运动。 由动量守恒定律:

.解:

(1)ab棒所受合外力为零 F-Fab-mgsinα=0

①

cd棒合外力为零 Fcd-mgsinα=0 ② BLvab L ③ ab、cd棒所受安培力为 Fab  Fcd  BIL  B 2R 解得： F=2mgsinα=mg ④

（2）当ab、cd以共同加速度a 运动时，运用整体法 由牛顿定律得到 2mg - 2mgsinα=2ma ⑥

杆在磁场中运动，其最大电动势为

E1=BLv2
   

④

最大电流

I max

 g B v0  S  2H E1    2 Lr 4r

⑤

（2）两金属杆在磁场中运动始终满足动量守恒，两杆 最终速度相等，设为v′ mv2 =2mv′ ⑥
1 2 1 Q  mv2   2mv / 2 2 2 2 1  g   v0  S  Q  16 m  2H   ⑦
F
f a

N

B

F=BIL=B2 L2 vm /R = mgsinθ- μ mgcosθ
vm= mg (sinθ- μ cosθ)R/ B2 L2

·
θ
mg

例3.如图所示，竖直平行导轨间距l=20cm，导轨顶 端接有一电键K。导体棒ab与导轨接触良好且无摩 擦，ab的电阻R=0.4Ω，质量m=10g，导轨的电阻不

M

2

1

N

P  μ m 2gv
解得

4

μ m 2g P  μ m 2g[v0  2 2 (R1  R 2 )] Bl

P

v0 Q

解法二：以F表示拖动杆1的外力，以I表示由杆1、杆2 和导轨构成的回路中的电流，达到稳定时，
对杆1有 F-μm1 g-BI l=0 …… ⑪

对杆2有

BI l –μm2 g=0 ……
⑪在运动中产生的焦耳热最多是 多少？ ⑫当ab棒的速度变为初速度的 3/4时，cd棒的加速度是多少？ 作业二：备考指南第１０９页第１３题．


电磁感应和力学规律 的综合应用
专题五

电磁感应中产生的感应电流在磁场中将受 到安培力的作用，因此，电磁感应问题往往跟 力学问题联系在一起，解决这类电磁感应中的 力学问题，不仅要应用电磁学中的有关规律， 如楞次定律、法拉第电磁感应定律、左右手定 则、安培力的计算公式等，还要应用力学中的 有关规律，如牛顿运动定律、动量定理、动能 定理、动量守恒定律、机械能守恒定律等。要 将电磁学和力学的知识综合起来应用。 由于安培力和导体中的电流、运动速度 均有关， 所以对磁场中运动导体进行动态分 析十分必要。
v0 P
Q

解法一： 设杆2的运动速度为v，由于两杆运动时， 两杆间和导轨构成的回路中的磁通量发生变化，产生 感应电动势 1 E  Bl(v  v)
0

E 感应电流 2  I R1  R 2 杆2作匀速运动,它受到的安培力等于它受到的摩擦力,

BIl  μ m2g

3

导体杆2克服摩擦力做功的功率

作业一：两根足够长的固定的平行金属导轨位于同一 水平面内，两导轨间的距离为L。导轨上面横放着两根 导体棒ab和cd，构成矩形回路，如图所示．两根导体 棒的质量皆为m，电阻皆为R，回路中其余部分的电阻 可不计．在整个导轨平面内都有竖直向上的匀强磁场， 磁感应强度为B．设两导体棒均可沿导轨无摩擦地滑 行．开始时，棒cd静止，棒ab有指向棒cd的初速度 v0．若两导体棒在运动中始终不接触，求：

收尾速度问题
• 动态分析(1)受力情况分析(安培力是一 个变力) • (2) 运动情况的分析

例1. 水平放置于匀强磁场中的光滑导轨上，有一根导体棒ab ，用恒力F作用在ab上，由静止开始运动，回路总电阻为R，分 析ab 的运动情况，并求ab的最大速度。 分析：ab 在F作用下向右加速运动，切割磁感应线，产生感应 电流，感应电流又受到磁场的作用力f，画出受力图： a=(F-f)/m v E=BLv I= E/R f=BIL
⑧

（3）设杆A2和A1的速度大小分别为 v和3v, mv2 =mv+3mv v= v2/4 ⑨ 由法拉第电磁感应定律得：E2=BL(3v - v)
E2 Bv Bv2 I   2 Lr r 4r

⑩

安培力

F=BIL
    (11)

B2L  g  v0  S F  8r  2H 
BIL- mgsinα=ma ⑦   BL(va－vb )  BLv ⑧ 由法拉第电磁感应定律 E  t I=E／2R ⑨ 2mgR 上面几式联立解得 v  2 2 ⑩ B L 以b棒为研究对象有

2mgR sin  mgR vab   2 2 2 2 B L B L

⑤

2006年广东卷16、 16. (16分)如图所示,在磁感应强度大小为B、方向垂直 向上的匀强磁场中,有一上、下两层均与水平面平行的 “U”型光滑金属导轨,在导轨面上各放一根完全相同的 质量为m的匀质金属杆A1和A2,开始时两根金属杆位于 同一竖直面内且杆与轨道垂直。设两导轨面相距为H， 导轨宽为L,导轨足够长且电阻不计,金属杆单位长度的 电阻为r。现有一质量为m/2的不带电小球以水平向右 的速度v0撞击杆A1的中点,撞击后小球反弹落到下层面 上的C点。C点与杆A2初始位置相距为S。求: B （1）回路内感应电流的最大值； v0 （2）整个运动过程中感应电流 A1 最多产生了多少热量； Cs A H （3）当杆A2与杆A1的速度比 L 2 为1:3时，A2受到的安培力大小。
PF=Fv0 ……

⑫
⑬

外力F的功率
2

以P表示杆2克服摩擦力做功的功率，则有

P  PF  I (R1  R 2 )  μ m1gv0
由以上各式得

4 

P  μ m 2g[v0 

μ mgg Bl
2 2

(R1  R 2 )]

5 
M 2

1

N v0 Q

P

例5．(15分)如图所示,两足够长平行光滑的金属导轨 MN、PQ相距为L,导轨平面与水平面夹角α＝30°,导轨 电阻不计。磁感应强度为B的匀强磁场垂直导轨平面 向上,两根长为L的完全相同的金属棒ab、cd垂直于MN、 PQ放置在导轨上,且与导轨电接触良好,每根棒的质量 为m、电阻为R．现对ab施加平行导轨向上的恒力F， 当ab向上做匀速直线运动时，cd保持静止状态． （1）求力F的大小及ab运动的速度大小； （2）若施加在ab上力的大小变为2mg，方向不变，经 过一段时间后ab、cd以相同的 N B Q 加速度沿导轨向上加速运动， a c b 求此时ab棒和cd棒的速度差 M α d (Δv＝vab-vcd)． P α

计，整个装置处在与轨道平面垂直的匀强磁场中，
磁感强度B=1T。当ab棒由静止释放0.8s 后，突然接

通电键，不计空气阻力，设导轨足够长。求ab棒的
最大速度和最终速度的大小。（g取10m/s2）
K

a

b

解: ab 棒由静止开始自由下落0.8s时速度大小为 v=gt=8m/s 则闭合K瞬间，导体棒中产生的感应电流大小 I＝Blv/R=4A ab棒受重力mg=0.1N, 安培力F=BIL=0.8N. 因为F＞mg，ab棒加速度向上，开始做减速运动，

∴vm=mgR /

B2

L2

由能量守恒定律,重力做功减小的重力势能 转化为使PQ加速增大的动能和热能

D

高考题 如图所示,AB、CD是两根足够长的固定平 行金属导轨,两导轨间的距离为L,导轨平面与水平面的 夹角是θ.在整个导轨平面内都有垂直于导轨平面斜向 上方的匀强磁场,磁感应强度为B.在导轨的AC端连接 一个阻值为R的电阻.一根垂直于导轨放置的金属棒ab, 质量为m,从静止开始沿导轨下滑,求ab棒 C 的最大速度. 要求画出 b ab棒的受力图.已知ab与 R 导轨间的滑动摩擦系数 A θ μ,导轨和金属棒的电阻 a D 都不计. θ B
图11

16解： （1）小球与杆A1 碰撞过程动量守恒，之后小 球作平抛运动。设小球碰撞后速度大小为v1 ，杆A1 获 得速度大小为v2 ，则 m m v0   v1  mv2 ① 2 2 S=v1 t H=1/2 gt2 ②
1 g  v0  S v2   2 2H     ③

解：

画出ab棒的截面受力图： f=μN= μ mgcosθ

N=mgcosθ

开始时，ab在mg 和f 的作用下加速运动，v 增大，

切割磁感应线产生感应电流I，
感应电流I又受到磁场的作用力F，

合力减小，加速度a 减小，速度v 增大，I 和 F 增大
当 F+f=mgsinθ时 ab棒以最大速度v m 做匀速运动