函数图像和性质

函数的图象与性质1．函数y＝2x2－e|x|在[－2,2]的图象大致为()答案 D解析 f (2)＝8－e 2>8－2.82>0，排除A ；f (2)＝8－e 2<8－2.72<1，排除B ；当x >0时，f (x )＝2x 2－e x ，f ′(x )＝4x －e x ，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，14时，f ′(x )<14×4－e 0＝0，因此f (x )在⎝⎛⎭⎫0，14上单调递减，排除C ，故选D.2．已知函数f (x )的定义域为R ，当x <0时，f (x )＝x 3－1；当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )；当x >12时，f ⎝⎛⎭⎫x ＋12＝f ⎝⎛⎭⎫x －12，则f (6)等于( ) A ．－2 B ．－1 C ．0 D ．2 答案 D解析 当x >12时，f ⎝⎛⎭⎫x ＋12＝f ⎝⎛⎭⎫x －12，即f (x )＝f (x ＋1)，∴T ＝1，∴f (6)＝f (1)．当x <0时，f (x )＝x 3－1，且－1≤x ≤1，f (－x )＝－f (x )，∴f (6)＝f (1)＝－f (－1)＝2，故选D.3．(2016·上海)设f (x )，g (x )，h (x )是定义域为R 的三个函数，对于命题：①若f (x )＋g (x )，f (x )＋h (x )，g (x )＋h (x )均为增函数，则f (x )，g (x )，h (x )中至少有一个为增函数；②若f (x )＋g (x )，f (x )＋h (x )，g (x )＋h (x )均是以T 为周期的函数，则f (x )，g (x )，h (x )均是以T 为周期的函数，下列判断正确的是( ) A ．①和②均为真命题 B ．①和②均为假命题 C ．①为真命题，②为假命题 D ．①为假命题，②为真命题 答案 D解析 ①不成立，可举反例，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≤1，－x ＋3，x >1，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3， x ≤0，－x ＋3， 0<x <1，2x ，x ≥1，h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ，x ≤0，2x ，x >0.②f (x )＋g (x )＝f (x ＋T )＋g (x ＋T )， f (x )＋h (x )＝f (x ＋T )＋h (x ＋T )， g (x )＋h (x )＝g (x ＋T )＋h (x ＋T )，前两式作差，可得g (x )－h (x )＝g (x ＋T )－h (x ＋T )， 结合第三式，可得g (x )＝g (x ＋T )，h (x )＝h (x ＋T )， 也有f (x )＝f (x ＋T )． ∴②正确．故选D.4．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3－3x ，x ≤a ，－2x ，x ＞a .(1)若a ＝0，则f (x )的最大值为________；(2)若f (x )无最大值，则实数a 的取值范围是________． 答案 (1)2 (2)(－∞，－1)解析 (1)当a ＝0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3－3x ，x ≤0，－2x ，x ＞0.若x ≤0，f ′(x )＝3x 2－3＝3(x 2－1)．由f ′(x )＞0得x ＜－1，由f ′(x )＜0得－1＜x ≤0. 所以f (x )在(－∞，－1)上单调递增；在(－1,0]上单调递减，所以f (x )最大值为f (－1)＝2. 若x ＞0，f (x )＝－2x 单调递减，所以f (x )＜f (0)＝0. 所以f (x )的最大值为2.(2)f (x )的两个函数在无限制条件时图象如图．由(1)知，当a≥－1时，f(x)取得最大值2.当a＜－1时，y＝－2x在x＞a时无最大值，且－2a＞2.所以a＜－1.1.高考对函数的三要素，函数的表示方法等内容的考查以基础知识为主，难度中等偏下.2.对图象的考查主要有两个方面：一是识图，二是用图，即利用函数的图象，通过数形结合的思想解决问题.3.对函数性质的考查，则主要是将单调性、奇偶性、周期性等综合在一起考查，既有具体函数也有抽象函数.常以选择题、填空题的形式出现，且常与新定义问题相结合，难度较大.热点一 函数的性质及应用1．单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质．利用定义证明函数的单调性时，规范步骤为取值、作差、判断符号、下结论．复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则． 2．奇偶性(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反(填“相同”或“相反”)． (2)在公共定义域内：①两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数； ②两个偶函数的和函数、积函数是偶函数； ③一个奇函数、一个偶函数的积函数是奇函数． (3)若f (x )是奇函数且在x ＝0处有定义，则f (0)＝0. (4)若f (x )是偶函数，则f (x )＝f (－x )＝f (|x |)．(5)图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴对称． 3．周期性定义：周期性是函数在定义域上的整体性质．若函数在其定义域上满足f (a ＋x )＝f (x )(a ≠0)，则其一个周期T ＝|a |. 常见结论：(1)f (x ＋a )＝－f (x )⇒函数f (x )的最小正周期为2|a |.(a ≠0) (2)f (x ＋a )＝1f (x )⇒函数f (x )的最小正周期为2|a |.(a ≠0)(3)f (a ＋x )＝f (b －x )，则函数f (x )的图象关于x ＝a ＋b2对称．例1 (1)已知函数f (x )为奇函数，且在[0,2]上单调递增，若f (log 2m )<f (log 4(m ＋2))成立，则实数m 的取值范围是( ) A.14≤m <2 B.14≤m ≤2 C ．2<m ≤4 D ．2≤m ≤4(2)已知函数f (x )为奇函数，当x ≥0时，f (x )＝log 2(x ＋1)＋m ，则f (1－2)的值为( ) A ．－12B ．－log 2(2－2) C.12D ．log 2(2－2)答案 (1)A (2)A解析 (1)因为函数f (x )是奇函数，且在[0,2]上单调递增，所以函数f (x )在[－2,2]上单调递增． 故由f (log 2m )<f (log 4(m ＋2))，可得⎩⎪⎨⎪⎧－2≤log 2m ≤2，－2≤log 4(m ＋2)≤2，log 2m <log 4(m ＋2)，m >0，m ＋2>0，解－2≤log 2m ≤2，得14≤m ≤4；解－2≤log 4(m ＋2)≤2，得116≤m ＋2≤16，即－3116≤m ≤14.由log 2m <log 4(m ＋2)，得log 4m 2<log 4(m ＋2)， 故有⎩⎪⎨⎪⎧m 2>0，m ＋2>0，m 2<m ＋2，解得－1<m <2，且m ≠0.综上可知，m 的取值范围是14≤m <2，故选A.(2)因为函数f (x )是奇函数， 当x ≥0时，f (x )＝log 2(x ＋1)＋m ，所以f (0)＝log 2(0＋1)＋m ＝m ＝0.又因为1－2<0， 所以f (1－2)＝－f (2－1)＝－log 2(2－1＋1) ＝－log 22＝－12.思维升华 (1)可以根据函数的奇偶性和周期性，将所求函数值转化为给出解析式的范围内的函数值．(2)利用函数的单调性解不等式的关键是化成f (x 1)<f (x 2)的形式．跟踪演练1 (1)(2016·四川)已知函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0<x <1时，f (x )＝4x ，则f ⎝⎛⎭⎫－52＋f (1)＝________. (2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x ＋2)，x <2，(13)x ，x ≥2，则f (－1＋log 35)的值为( )A.115B.53 C ．15 D.23 答案 (1)－2 (2)A解析 (1)因为f (x )是周期为2的函数， 所以f (x )＝f (x ＋2)． 而f (x )是奇函数， 所以f (x )＝－f (－x )．所以f (1)＝f (－1)，f (1)＝－f (－1)，即f (1)＝0， 又f ⎝⎛⎭⎫－52＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝－f ⎝⎛⎭⎫12，f ⎝⎛⎭⎫12＝124＝2， 故f ⎝⎛⎭⎫－52＝－2，从而f ⎝⎛⎭⎫－52＋f (1)＝－2. (2)因为0<－1＋log 35<1，所以f (－1＋log 35)＝f (log 35＋1)＝(13)3log 51＋＝(13)3log 5×13＝115.热点二 函数图象及应用1．作函数图象有两种基本方法：一是描点法，二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换．2．利用函数图象可以判断函数的单调性、奇偶性，作图时要准确画出图象的特点． 例2 (1)已知函数f (x )＝cos x 与函数g (x )＝log a (1a )x (a >0且a ≠1)，则函数F (x )＝f (x )g (x )的图象可能是( )(2)若正实数a，b满足不等式ab＋1<a＋b，则函数f(x)＝log a(x＋b)的图象可能为()答案 (1)A (2)B解析 (1)g (x )＝log a (1a)x ＝log a a －x ＝－x ，F (x )＝f (x )g (x )＝－cos xx ，定义域为{x |x ≠0}，F (－x )＝－cos (－x )－x ＝cos x x ＝－F (x )，F (x )为奇函数．故选A.(2)由ab ＋1<a ＋b ，得(a －1)(b －1)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧ a >1，0<b <1或⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，b >1.所以f (0)＝log a b <0，排除选项A ，C ，D ，故选B.思维升华 (1)根据函数的解析式判断函数的图象，要从定义域、值域、单调性、奇偶性等方面入手，结合给出的函数图象进行全面分析，有时也可结合特殊的函数值进行辅助推断，这是解决函数图象判断类试题的基本方法．(2)判断复杂函数的图象，常借助导数这一工具，先对原函数进行求导，再利用导数判断函数的单调性、极值或最值，从而对选项进行筛选．要注意函数求导之后，导函数发生了变化，故导函数和原函数定义域会有所不同，我们必须在原函数的定义域内研究函数的极值和最值．跟踪演练2 (1)函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫x －1x cos x (－π≤x ≤π且x ≠0)的图象可能为( )(2)已知三次函数f(x)＝2ax3＋6ax2＋bx的导函数为f′(x)，则函数f(x)与f′(x)的图象可能是()答案 (1)D (2)B解析 (1)∵f (x )＝(x －1x)cos x ，∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )为奇函数，排除A ，B ；当x →π时，f (x )＜0，排除C.故选D.(2)因为f ′(x )＝6ax 2＋12ax ＋b ，则函数f ′(x )的图象的对称轴为x ＝－1，故可排除A 、D ；由选项C 的图形可知，当x >0时，f ′(x )>0，故函数f (x )＝2ax 3＋6ax 2＋bx 在(0，＋∞)上单调递增，但图象中函数f (x )在(0，＋∞)上不具有单调性，故排除C ，选B. 热点三 基本初等函数的图象和性质1．指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)的图象和性质，分0<a <1，a >1两种情况，着重关注两函数图象中的两种情况的公共性质． 2．幂函数y ＝x α的图象和性质，主要掌握α＝1,2,3，12，－1五种情况．例3 (1)设a ＝(79)14－，b ＝(97)15，c ＝log 279，则a ，b ，c 的大小顺序是( )A ．b <a <cB ．c <b <aC ．c <a <bD ．b <c <a(2)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，log (－x )，x <0，若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0,1)答案 (1)B (2)C解析 (1)a ＝(79)14－＝(97)14，c ＝log 279<0.对于a ，b 构造函数y ＝(97)x ，因为97>1，所以y ＝(97)x 在(－∞，＋∞)上单调递增，所以a >b >0.故有c <b <a .(2)方法一 由题意作出y ＝f (x )的图象如图．显然当a >1或－1<a <0时，满足f (a )>f (－a )． 故选C.方法二 对a 分类讨论：当a >0时，∵log 2a >12log a ，∴a >1.当a <0时，∵12log (－a )>log 2(－a )，∴0<－a <1，∴－1<a <0，故选C.12思维升华 (1)指数函数、对数函数、幂函数是高考的必考内容之一，重点考查图象、性质及其应用，同时考查分类讨论、等价转化等数学思想方法及其运算能力．(2)比较代数式大小问题，往往利用函数图象或者函数的单调性．跟踪演练3 (1)在同一直角坐标系中，函数f (x )＝x a (x ≥0)，g (x )＝log a x 的图象可能是( )(2)已知y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x >0时不等式f (x )＋xf ′(x )<0恒成立，若a ＝30.3·f (30.3)，b ＝log π3·f (log π3)，c ＝log 319·f (log 319)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a >b >cB ．c >a >bC ．a >c >bD ．c >b >a答案 (1)D (2)D解析 (1)方法一 分a >1,0<a <1两种情形讨论．当a >1时，y ＝x a 与y ＝log a x 均为增函数，但y ＝x a 递增较快，排除C ；当0<a <1时，y ＝x a 为增函数，y ＝log a x 为减函数，排除A.由于y ＝x a 递增较慢，所以选D.方法二 幂函数f (x )＝x a 的图象不过(0,1)点，排除A ；B 项中由对数函数f (x )＝log a x 的图象知0<a <1，而此时幂函数f (x )＝x a 的图象应是增长越来越慢的变化趋势，故B 错，D 正确；C 项中由对数函数f (x )＝log a x 的图象知a >1，而此时幂函数f (x )＝x a 的图象应是增长越来越快的变化趋势，故C 错．(2)令F (x )＝xf (x )，则F ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，所以当x >0时，F ′(x )<0，即F (x )单调递减．又f (x )是定义在R 上的偶函数，所以F (x )是奇函数且F (x )为减函数．因为30.3>1,0<log π3<1，log 319＝－2，所以c >b >a ，故选D.1．已知a >0，且a ≠1，函数y ＝a x 与y ＝log a (－x )的图象只能是图中的( )押题依据 指数、对数函数的图象识别问题是高考命题的热点，旨在考查其基本性质的灵活运用，题目难度一般不大，位于试卷比较靠前的位置． 答案 B解析 因为y ＝a x 与y ＝log a x 互为反函数，而y ＝log a x 与y ＝log a (－x )的图象关于y 轴对称，根据图象特征可以判断；也可以根据函数图象的特征进行排除．方法一 如果注意到y ＝log a (－x )的图象和函数y ＝log a x 的图象关于y 轴对称，又y ＝log a x 与y ＝a x 互为反函数，其图象关于直线y ＝x 对称，则可直接选定B.方法二 首先，曲线y ＝a x 只可能在x 轴上方，y ＝log a (－x )只可能在y 轴左边，从而排除A ，C ；其次，y ＝a x 与y ＝log a (－x )的增减性正好相反，排除D ，选B.2．定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝－f (x )，f (x －2)＝f (x ＋2)，且x ∈(－1,0)时，f (x )＝2x ＋15，则f (log 220)等于( ) A ．1 B.45 C ．－1D ．－45押题依据 利用函数的周期性、奇偶性求函数值是高考的传统题型，较好地考查学生思维的灵活性． 答案 C解析 由f (x －2)＝f (x ＋2)⇒f (x )＝f (x ＋4)，因为4<log 220<5，所以0<log 220－4<1，－1<4－log 220<0.又因为f (－x )＝－f (x )，所以f (log 220)＝f (log 220－4)＝－f (4－log 220)＝－f ⎝⎛⎭⎫log 245＝－1.故选C.3．已知函数f (x )＝1ln (x ＋1)－x，则y ＝f (x )的图象大致为( )押题依据 图象的识别和变换是高考的热点，此类问题既考查了基础知识，又考查了学生的灵活变换能力． 答案 B解析 方法一 由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，x ≠0，解得f (x )的定义域为{x |x >－1，且x ≠0}． 令g (x )＝ln(x ＋1)－x ，则g ′(x )＝1x ＋1－1＝－x x ＋1，当－1<x <0时，g ′(x )>0； 当x >0时，g ′(x )<0.∴f (x )在区间(－1,0)内为减函数，在区间(0，＋∞)内为增函数，对照各选项，只有B 符合．方法二 本题也可取特值，用排除法求解： f (2)＝1ln 3－2<0，排除A.f ⎝⎛⎭⎫－12＝1ln 12＋12＝1ln e 2<0， 排除C ，D ，选B.4．已知函数h (x )(x ≠0)为偶函数，且当x >0时，h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 24，0<x ≤4，4－2x ，x >4，若h (t )>h (2)，则实数t 的取值范围为________．押题依据 分段函数是高考的必考内容，利用函数的单调性求解参数的范围，是一类重要题型，是高考考查的热点．本题恰当地应用了函数的单调性，同时考查了函数的奇偶性的性质． 答案 (－2,0)∪(0,2)解析 因为x >0时，h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 24，0<x ≤4，4－2x ，x >4.易知函数h (x )在(0，＋∞)上单调递减， 因为函数h (x )(x ≠0)为偶函数，且h (t )>h (2)， 所以h (|t |)>h (2)，所以0<|t |<2，所以⎩⎪⎨⎪⎧ t ≠0，|t |<2，即⎩⎪⎨⎪⎧t ≠0，－2<t <2，解得－2<t <0或0<t <2.综上，所求实数t 的取值范围为(－2,0)∪(0,2)．A 组 专题通关1．(2015·广东)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( ) A ．y ＝1＋x 2 B ．y ＝x ＋1xC ．y ＝2x ＋12xD ．y ＝x ＋e x答案 D解析 令f (x )＝x ＋e x ，则f (1)＝1＋e ，f (－1)＝－1＋e －1，即f (－1)≠f (1)，f (－1)≠－f (1)，所以y ＝x ＋e x 既不是奇函数也不是偶函数，而A 、B 、C 依次是偶函数、奇函数、偶函数，故选D.2．下列函数中，满足“f (x ＋y )＝f (x )f (y )”的单调递增函数是( ) A ．f (x )＝x 12B ．f (x )＝x 3C ．f (x )＝(12)xD ．f (x )＝3x答案 D解析 f (x )＝x 12，f (x ＋y )＝(x ＋y )12≠x 12·y 12，不满足f (x ＋y )＝f (x )f (y )，A 不满足题意． f (x )＝x 3，f (x ＋y )＝(x ＋y )3≠x 3·y 3， 不满足f (x ＋y )＝f (x )f (y )，B 不满足题意．f (x )＝(12)x ，f (x ＋y )＝(12)x ＋y ＝(12)x ·(12)y ，满足f (x ＋y )＝f (x )f (y )，但f (x )＝(12)x 不是增函数，C 不满足题意．f (x )＝3x ，f (x ＋y )＝3x ＋y ＝3x ·3y ，满足f (x ＋y )＝f (x )f (y )，且f (x )＝3x 是增函数，D 满足题意． 3．函数f (x )＝1ln|x |的图象大致为( )答案 B解析 函数f (x )＝1ln|x |的定义域是{x ∈R |x ≠0，x ≠±1}，且定义域关于原点对称．又f (－x )＝1ln|－x |＝1ln|x |＝f (x )，为偶函数，排除选项A 和C. 当x ∈(0,1)时，f (x )＝1ln x<0，排除选项D ，故选B.4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(1－2a )x ＋3a ，x <1，ln x ，x ≥1 的值域为R ，那么a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1] B.⎝⎛⎭⎫－1，12 C.⎣⎡⎭⎫－1，12 D.⎝⎛⎭⎫0，12 答案 C解析 要使函数f (x )的值域为R ，需使⎩⎪⎨⎪⎧1－2a >0，ln 1≤1－2a ＋3a ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a <12，a ≥－1.所以－1≤a <12，故选C.5．已知函数f (x )为偶函数，当x >0时，f (x )＝ln x ，若M ＝f (－π)，N ＝f (e)，K ＝f (5)，则M ，N ，K 的大小关系为( ) A ．N >M >K B ．K >M >N C ．M >N >K D ．M >K >N答案 C解析 当x >0时，f (x )＝ln x 在(0，＋∞)上单调递增．又函数f (x )为偶函数，所以M ＝f (－π)＝f (π)．因为π>e>5，所以M >N >K .故选C. 6．函数f (x )＝lg(x －1)＋12－x的定义域为________． 答案 (1,2)解析 要使y ＝f (x )有意义，必须有⎩⎪⎨⎪⎧x －1>0，2－x >0，解得1<x <2，所以函数y ＝f (x )的定义域为(1,2)．7．已知y ＝f (x )是定义域为R 的单调递减的奇函数，若f (3x ＋1)＋f (1)≥0，则x 的取值范围是________． 答案 (－∞，－23]解析 由y ＝f (x )是定义域为R 的奇函数，得f (3x ＋1)≥－f (1)＝f (－1)．又y ＝f (x )是R 上的单调递减函数，所以3x ＋1≤－1，解得x ≤－23.故x 的取值范围是(－∞，－23]．8．给出下列四个函数：①y ＝2x ；②y ＝log 2x ；③y ＝x 2；④y ＝x . 当0<x 1<x 2<1时，使f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22>f (x 1)＋f (x 2)2恒成立的函数的序号是________． 答案 ②④解析 由题意知，满足条件的函数图象形状为：故符合图象形状的函数为y ＝log 2x ，y ＝x .9．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(3－a )x －a (x <1)，log ax (x ≥1)在(－∞，＋∞)上是增函数，那么实数a 的取值范围是________． 答案 ⎣⎡⎭⎫32，3解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧3－a >0，a >1，(3－a )－a ≤log a 1，解得32≤a <3.10．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a >0)，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，x >0，－f (x )，x <0.若f (－1)＝0，且对任意实数x 均有f (x )≥0成立． (1)求F (x )的表达式；(2)当x ∈[－2,2]时，g (x )＝f (x )－kx 是单调函数，求k 的取值范围． 解 (1)∵f (－1)＝0，∴a －b ＋1＝0， ∴b ＝a ＋1，∴f (x )＝ax 2＋(a ＋1)x ＋1. ∵f (x )≥0恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝(a ＋1)2－4a ≤0， 即⎩⎪⎨⎪⎧a >0，(a －1)2≤0. ∴a ＝1，从而b ＝2， ∴f (x )＝x 2＋2x ＋1，∴F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋1，x >0，－x 2－2x －1，x <0.(2)由(1)知，g (x )＝x 2＋2x ＋1－kx ＝x 2＋(2－k )x ＋1. ∵g (x )在[－2,2]上是单调函数， ∴k －22≤－2或k －22≥2，解得k ≤－2或k ≥6.∴k 的取值范围是(－∞，－2]∪[6，＋∞)．B 组 能力提高11．设函数f (x )＝x |x －a |，若对∀x 1，x 2∈[3，＋∞)，x 1≠x 2，不等式f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－3] B ．[－3,0) C ．(－∞，3] D ．(0,3]答案 C解析 由题意分析可知条件等价于f (x )在[3，＋∞)上单调递增，又因为f (x )＝x |x －a |，所以当a ≤0时，结论显然成立，当a >0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－ax ，x ≥a ，－x 2＋ax ，x <a ，所以f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，a2上单调递增，在⎝⎛⎭⎫a 2，a 上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增，所以0<a ≤3. 综上，实数a 的取值范围是(－∞，3]．12.如图所示的图形是由一个半径为2的圆和两个半径为1的半圆组成的，它们的圆心分别是O ，O 1，O 2，动点P 从A 点出发沿着圆弧按A →O →B →C →A →D →B 的路线运动(其中A ，O ，O 1，O 2，B 五点共线)，记点P 运动的路程为x ，设y ＝|O 1P |2，y 与x 的函数关系为y ＝f (x )，则y ＝f (x )的大致图象是( )答案 A解析 当x ∈[0，π]时，y ＝1.当x ∈(π，2π)时，O 1P →＝O 2P →－O 2O 1→，设O 2P →与O 2O 1→的夹角为θ，|O 2P →|＝1，|O 2O 1→|＝2，所以θ＝x －π，所以y ＝|O 1P →|2＝(O 2P →－O 2O 1→)2＝5－4cos θ＝5＋4cos x ，x ∈(π，2π)，所以函数y ＝f (x )的图象是曲线，且单调递增，排除C ，D.当x ∈[2π，4π)时，因为O 1P →＝OP →－OO 1→，设OP →，OO 1→的夹角为α，|OP →|＝2，|OO 1→|＝1，所以α＝2π－12x ，所以y ＝|O 1P →|2＝(OP →－OO 1→)2＝5－4cos α＝5－4cos 12x ，x ∈[2π，4π)，所以函数y ＝f (x )的图象是曲线，且单调递减，排除B.故选A.13．(2016·课标全国甲)已知函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝2－f (x )，若函数y ＝x ＋1x 与y ＝f (x )图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则∑i ＝1m(x i ＋y i )等于( )A ．0B ．mC ．2mD ．4m答案 B解析 方法一 特殊函数法，根据f (－x )＝2－f (x )可设函数f (x )＝x ＋1，由y ＝x ＋1x，解得两个点的坐标为⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－1，y 1＝0，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝1，y 2＝2，此时m ＝2，所以∑i ＝1m (x i ＋y i )＝m ， 故选B.方法二 由题设得12[f (x )＋f (－x )]＝1，点(x ，f (x ))与点(－x ，f (－x ))，关于点(0,1)对称，则y＝f (x )的图象关于点(0,1)对称．又y ＝x ＋1x ＝1＋1x，x ≠0的图象也关于点(0,1)对称．则交点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )成对，且关于点(0,1)对称． 则∑i ＝1m (x i ，y i )＝∑i ＝1m x i ＋∑i ＝1my i ＝0＋m2×2＝m ，故选B.14．能够把圆O ：x 2＋y 2＝16的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆O 的“和谐函数”，下列函数是圆O 的“和谐函数”的是________． ①f (x )＝e x ＋e －x ；②f (x )＝ln 5－x 5＋x ；③f (x )＝tan x2；④f (x )＝4x 3＋x .答案 ②③④解析 由“和谐函数”的定义知，若函数为“和谐函数”，则该函数为过原点的奇函数，①中，f (0)＝e 0＋e －0＝2，所以f (x )＝e x ＋e －x 的图象不过原点，故f (x )＝e x ＋e －x 不是“和谐函数”；②中，f (0)＝ln 5－05＋0＝ln 1＝0，且f (－x )＝ln 5＋x 5－x ＝－ln 5－x 5＋x ＝－f (x )，所以f (x )为奇函数，所以f (x )＝ln 5－x 5＋x 为“和谐函数”；③中，f (0)＝tan 0＝0，且f (－x )＝tan －x 2＝－tan x2＝－f (x )，f (x )为奇函数，故f (x )＝tan x2为“和谐函数”；④中，f (0)＝0，且f (x )为奇函数，故f (x )＝4x 3＋x 为“和谐函数”，所以②③④中的函数都是“和谐函数”．。