山西省忻州市17学年高中数学第一章导数及其应用1.4生活中的优化问题举例课堂练习(无答案)2_2
高中数学第一章 导数及其应用1.4 生活中的优化问题举例(含答案解析)
1．4 生活中的优化问题举例考点 学习目标核心素养 优化问题了解利润最大、用料最省、效率最高等优化问题数学抽象导数的实际应用 会利用导数解决简单的实际生活中的优化问题数学建模面积、容积最值问题请你设计一个帐篷，它下部的形状是高为1 m 的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3 m 的正六棱锥(如图所示)．试问当帐篷的顶点O 到底面中心O 1的距离为多少时，帐篷的体积最大？【解】 设OO 1为x m ，则1<x <4.由题设可得正六棱锥底面边长为32－（x －1）2＝8＋2x －x 2.于是底面正六边形的面积为 6·34·(8＋2x －x 2)2＝332(8＋2x －x 2)． 帐篷的体积为V (x )＝332(8＋2x －x 2)⎣⎡⎦⎤13（x －1）＋1＝32(16＋12x －x 3)． 求导数，得V ′(x )＝32(12－3x 2)． 令V ′(x )＝0，解得x ＝－2(不合题意，舍去)或x ＝2. 当1<x <2时，V ′(x )>0，V (x )为增函数； 当2<x <4时，V ′(x )<0，V (x )为减函数． 所以当x ＝2时，V (x )最大．解决优化问题的基本思路(1)优化问题往往涉及变量之间的变化，因而就产生了函数关系，这时就可以利用导数解决优化问题．(2)导数是解决优化问题的基本方法之一．利用导数解决生活中的优化问题的基本思路是：用长为90 cm ，宽为48 cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四个角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°，再焊接而成(如图)，问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？解：设容器的高为x ，容器的容积为V ， 则V ＝(90－2x )(48－2x )x (0＜x ＜24)， 即V ＝4x 3－276x 2＋4 320x . 因为V ′＝12x 2－552x ＋4 320，由V ′＝12x 2－552x ＋4 320＝0，得x 1＝10，x 2＝36.因为0＜x ＜10时，V ′＞0，10＜x ＜36时，V ′＜0，x ＞36时，V ′＞0，所以当x ＝10时，V 有极大值V (10)＝19 600.又因为0＜x ＜24， 所以V (10)也是最大值．所以当x ＝10时，V 有最大值V (10)＝19 600.故当容器的高为10 cm 时，容器的容积最大，最大容积是19 600 cm 3.用料(费用)最省问题现有一批货物由海上从A 地运往B 地，已知轮船的最大航行速度为35海里/时，A 地至B 地之间的航行距离约为500海里，每小时的运输成本由燃料费和其余费用组成，轮船每小时的燃料费与轮船速度的平方成正比(比例系数为0.6)，其余费用为每小时960元．(1)把全程运输成本y (元)表示为速度x (海里/时)的函数； (2)为了使全程运输成本最小，轮船应以多大速度行驶？ 【解】 (1)依题意得y ＝500x (960＋0.6x 2)＝480 000x＋300x ， 且由题意知，函数的定义域为(0，35]，即y ＝480 000x ＋300x (0<x ≤35)．(2)由第一问知，y ′＝－480 000x 2＋300， 令y ′＝0，解得x ＝40或x ＝－40(舍去)，因为函数的定义域为(0，35]，所以函数在定义域内没有极值点． 又当0<x ≤35时，y ′<0，所以y ＝480 000x ＋300x 在(0，35]上单调递减，故当x ＝35时，函数y ＝480 000x＋300x 取得最小值．故为了使全程运输成本最小，轮船应以35海里/时的速度行驶．利用导数解决优化问题的一般步骤(1)抽象出实际问题的数学模型，列出函数解析式y ＝f (x )．(2)求函数f (x )的导数f ′(x )，并解方程f ′(x )＝0，即求函数可能的极值点．(3)比较函数f (x )在区间端点的函数值和可疑点的函数值的大小，得出函数f (x )的最大值或最小值．(4)根据实际问题的意义给出答案．一艘轮船在航行中每小时的燃料费和它的速度的立方成正比．已知速度为每小时10海里时，燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，问轮船的速度是多少时，航行1海里所需的费用总和最小？解：设速度为每小时v 海里的燃料费是每小时p 元，那么由题设的比例关系得p ＝k ·v 3，其中k 为比例系数，它可以由v ＝10，p ＝6求得，即k ＝6103＝0.006，则p ＝0.006v 3.又设当船的速度为每小时v 海里时，行1海里所需的总费用为q 元，那么每小时所需的总费用是0.006v 3＋96(元)，而行1海里所需时间为1v 小时，所以行1海里的总费用为q ＝1v (0.006v 3＋96)＝0.006v 2＋96v .q ′＝0.012v －96v 2＝0.012v 2(v 3－8 000)，令q ′＝0，解得v ＝20.因为当v ＜20时，q ′＜0；当v ＞20时，q ′＞0， 所以当v ＝20时q 取得最小值，即速度为20海里/小时时，航行1海里所需费用总和最小．利润最大问题某食品厂进行蘑菇的深加工，每公斤蘑菇的成本为20元，并且每公斤蘑菇的加工费为t 元(t 为常数，且2≤t ≤5)，设该食品厂每公斤蘑菇的出厂价为x 元(25≤x ≤40)，根据市场调查，日销售量q 与e x 成反比，当每公斤蘑菇的出厂价为30元时，日销售量为100公斤．(1)求该工厂的每日利润y 元与每公斤蘑菇的出厂价x 元的函数关系式；(2)若t ＝5，当每公斤蘑菇的出厂价为多少元时，该工厂的每日利润最大？并求最大值． 【解】 (1)设日销量q ＝k e x ，则ke 30＝100，所以k ＝100e 30，所以日销量q ＝100e 30e x ，所以y ＝100e 30（x －20－t ）e x (25≤x ≤40)．(2)当t ＝5时，y ＝100e 30（x －25）e x ，所以y ′＝100e 30（26－x ）e x .由y ′>0，得x <26，由y ′<0，得x >26，所以y 在[25，26)上单调递增，在[26，40]上单调递减， 所以当x ＝26时，y max ＝100e 4.故当每公斤蘑菇的出厂价为26元时，该工厂的每日利润最大，最大值为100e 4元．(1)经济生活中优化问题的解法经济生活中要分析生产的成本与利润及利润增减的快慢，以产量或单价为自变量很容易建立函数关系，从而可以利用导数来分析、研究、指导生产活动．(2)关于利润问题常用的两个等量关系 ①利润＝收入－成本；②利润＝每件产品的利润×销售件数．某市旅游部门开发一种旅游纪念品，每件产品的成本是15元，销售价是20元，月平均销售a 件，通过改进工艺，产品的成本不变，质量和技术含金量提高，市场分析的结果表明，如果产品的销售价格提高的百分率为x (0＜x ＜1)，那么月平均销售量减少的百分率为x 2.记改进工艺后，旅游部门销售该纪念品的月平均利润是y (元)．(1)写出y 关于x 的函数关系式；(2)改进工艺后，确定该纪念品的售价，使旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大． 解：(1)改进工艺后，每件产品的销售价为20(1＋x )，月平均销售量为a (1－x 2)件，则月平均利润y ＝a (1－x 2)·[20(1＋x )－15](元)，所以y 关于x 的函数关系式为y ＝5a (1＋4x －x 2－4x 3)(0＜x ＜1)． (2)由y ′＝5a (4－2x －12x 2)＝0，得x 1＝12，x 2＝－23(舍去)，当0＜x ＜12时，y ′＞0；当12＜x ＜1时，y ′＜0， 所以函数y ＝5a (1＋4x －x 2－4x 3)(0＜x ＜1)在x ＝12处取得极大值，即最大值．故改进工艺后，产品的销售价为20⎝⎛⎭⎫1＋12＝30元时，旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大．1．已知某生产厂家的年利润y (单位：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为y ＝－13x 3＋81x －234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( )A ．13万件B ．11万件C ．9万件D ．7万件解析：选C.因为x >0，y ′＝－x 2＋81＝(9－x )(9＋x )，令y ′＝0，解得x ＝9或x ＝－9(舍去)，当x ∈(0，9)时，y ′>0，当x ∈(9，＋∞)时，y ′<0，所以y 先增后减．所以当x ＝9时函数取得最大值．选C.2．用长为24 m 的钢筋做成一个长方体框架，若这个长方体框架的底面为正方形，则这个长方体体积的最大值为________．解析：设长方体的底面边长为x m ，则高为(6－2x )m ，所以x ∈(0，3)，则V ＝x 2(6－2x )＝6x 2－2x 3，V ′＝12x －6x 2，令V ′＝0得x ＝2或x ＝0(舍)，所以当x ∈(0，2)时，V ′>0，V 是增函数， 当x ∈[2，3)时，V ′<0，V 是减函数， 所以当x ＝2时，V max ＝22×2＝8(m 3)． 答案：8 m 33．某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量x 吨与每吨产品的价格p (元/吨)之间的函数关系式为p ＝24 200－15x 2，且生产x 吨产品的成本为R ＝50 000＋200x (元)．问：该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？解：依题意，知每月生产x 吨产品时的利润为f (x )＝⎝⎛⎭⎫24 200－15x 2x －(50 000＋200x )＝－15x 3＋24 000x －50 000(x >0)， 故f ′(x )＝－35x 2＋24 000.令f ′(x )＝0，得x 1＝200，x 2＝－200(舍去)．因为在(0，＋∞)内只有x ＝200使f ′(x )＝0，且x ＝200是极大值点，所以200就是最大值点，且最大值为f (200)＝－15×2003＋24 000×200－50 000＝3 150 000(元)．所以该厂每月生产200吨产品时，利润达到最大，最大利润为315万元．[A 基础达标]1．炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x 小时，原油温度(单位：℃)为f (x )＝13x 3－x 2＋8(0≤x ≤5)，那么原油温度的瞬时变化率的最小值是( )A ．8 B.203 C ．－1D ．－8解析：选C.原油温度的瞬时变化率为f ′(x )＝x 2－2x ＝(x －1)2－1(0≤x ≤5)，所以当x ＝1时，原油温度的瞬时变化率取得最小值－1.2．某产品的销售收入y 1(万元)是产量x (千台)的函数：y 1＝17x 2(x >0)，生产成本y 2(万元)是产量x (千台)的函数：y 2＝2x 3－x 2(x >0)，为使利润最大，应生产产品台数为( )A ．6千台B ．7千台C ．8千台D ．9千台解析：选A.设利润为y ，则y ＝y 1－y 2 ＝17x 2－(2x 3－x 2)＝－2x 3＋18x 2(x >0)， 所以y ′＝－6x 2＋36x ＝－6x (x －6)． 令y ′＝0，则x ＝0或x ＝6.经检验知x ＝6既是函数的极大值点又是函数的最大值点． 所以生产产品6千台时利润最大．故选A.3．某公司生产某种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总收益R 与年产量x 的关系式R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧400x －12x 2，0≤x ≤400，80 000，x >400，则总利润最大时，每年生产的产品数量是( )A ．100B ．150C ．200D ．300解析：选 D.由题意，总成本为C ＝20 000＋100x ，所以总利润为P ＝R －C ＝⎩⎪⎨⎪⎧300x －x 22－20 000，0≤x ≤400，60 000－100x ，x >400，P ′＝⎩⎪⎨⎪⎧300－x ，0≤x ≤400，－100，x >400，令P ′＝0，当0≤x ≤400时，得x ＝300；当x >400时，P ′<0恒成立，易知当x ＝300时，总利润最大．4．某出版社出版一读物，一页上所印文字占去150 cm 2，上、下要留1.5 cm 空白，左、右要留1 cm 空白，出版商为节约纸张，应选用的尺寸为( )A ．左右长12 cm ，上下长18 cmB ．左右长12 cm ，上下长19 cmC ．左右长11 cm ，上下长18 cmD ．左右长13 cm ，上下长17 cm解析：选A.设所印文字区域的左右长为x cm ，则上下长为150x cm ，所以纸张的左右长为(x ＋2)cm ，上下长为⎝⎛⎭⎫150x ＋3cm ，所以纸张的面积S ＝(x ＋2)⎝⎛⎭⎫150x ＋3＝3x ＋300x＋156. 所以S ′＝3－300x 2，令S ′＝0，解得x ＝10.当x >10时，S 单调递增； 当0<x <10时，S 单调递减．所以当x ＝10时，S min ＝216(cm 2)，此时纸张的左右长为12 cm ，上下长为18 cm. 故当纸张的边长分别为12 cm ，18 cm 时最节约． 5．内接于半径为R 的球且体积最大的圆锥的高为( ) A ．R B ．2R C.43R D.34R 解析：选C.设圆锥的高为h ，底面半径为r ，体积为V ，则R 2＝(h －R )2＋r 2，所以r 2＝2Rh －h 2，所以V ＝13πr 2h ＝23πRh 2－π3h 3，所以V ′＝43πRh －πh 2.令V ′＝0，解得h ＝43R 或h ＝0(舍去)．当0<h <43R 时，V ′>0；当43R <h <2R 时，V ′<0，所以h ＝43R 时，圆锥体积最大． 6．某箱子的体积与底面边长x 的关系为V (x )＝x 2⎝⎛⎭⎫60－x 2(0<x <60)，则箱子底面边长为________时，它的体积最大．解析：V ′(x )＝－32 x 2＋60x ＝－32x (x －40)，当0<x <40时，V ′(x )>0，V (x )单调递增； 当40<x <60时，V ′(x )<0，V (x )单调递减， 所以x ＝40是V (x )的极大值点也是最大值点． 所以当箱子的底面边长为40时，体积最大． 答案：407．一房地产公司有50套公寓要出租，当月租金定为1 000 元时，公寓会全部租出去，当月租金每增加50元，就会多一套租不出去，而租出去的公寓每月需花费100元维修费，则租金定为________元时可获得最大收入．解析：设没有租出去的公寓数为x ，则收入函数f (x )＝(1 000＋50x )(50－x )－100(50－x )，所以f ′(x )＝1 600－100x ，解得x ＝16，所以当x ＝16时，f (x )取得最大值，把租金定为1 800元时，收入最大．答案：1 8008．某厂生产x 件产品的总成本为C 万元，产品单价为P 万元，且满足C ＝1 200＋275x 3，P ＝500x，则当x ＝________时，总利润最高．解析：设总利润为L (x )万元，则由题意得L (x )＝x ·500x －1 200－275x 3＝－275x 3＋500x －1 200(x >0)．由L ′(x )＝－225x 2＋250x ＝0，得x ＝25.令L ′(x )>0，得0<x <25；令L ′(x )<0，得x >25，得L (x )在区间(0，25)上单调递增，在区间(25，＋∞)上单调递减，所以当x ＝25时，总利润最高．答案：259．已知某商品的进货单价为1元/件，商户甲往年以单价2元/件销售该商品时，年销量为1万件，今年拟下调销售单价以提高销量，增加收益．据测算，若今年的实际销售单价为x 元/件(1≤x ≤2)，今年新增的年销量(单位：万件)与(x －2)2成正比，比例系数为4.(1)写出今年商户甲的收益y (单位：万元)与今年的实际销售单价x 间的函数关系式；(2)商户甲今年采取降低单价，提高销量的营销策略是否能获得比往年更大的收益(即比往年收益更多)？说明理由．解：(1)由题意知，今年的销售量为[1＋4(x －2)2](万件)． 因为每销售一件，商户甲可获利(x －1)元，所以今年商户甲的收益y ＝[1＋4(x －2)2]·(x －1)＝4x 3－20x 2＋33x －17(1≤x ≤2)． (2)由(1)知y ＝f (x )＝4x 3－20x 2＋33x －17，1≤x ≤2， 从而y ′＝f ′(x )＝12x 2－40x ＋33＝(2x －3)(6x －11)． 令y ′＝0，解得x ＝32或x ＝116.列表如下：又f ⎝⎛⎭⎫32＝1，f (2)＝1，所以f (x )在区间[1，2]上的最大值为1(万元)． 而往年的收益为(2－1)×1＝1(万元)，所以，商户甲采取降低单价，提高销量的营销策略不能获得比往年更大的收益． 10．某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r m ，高为h m ，体积为V m 3.假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/m 2，底面的建造成本为160元/m 2，该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率)．(1)将V 表示成r 的函数V (r )，并求该函数的定义域；(2)讨论函数V (r )的单调性，并确定r 和h 为何值时该蓄水池的体积最大．解：(1)因为蓄水池侧面的总成本为100×2πrh ＝200πrh (元)，底面的总成本为160πr 2元， 所以蓄水池的总成本为(200πrh ＋160πr 2)元． 根据题意，得200πrh ＋160πr 2＝12 000π， 所以h ＝15r (300－4r 2)，从而V (r )＝πr 2h ＝π5(300r －4r 3)．由h >0且r >0，可得0<r <53， 故函数V (r )的定义域为(0，53)． (2)由(1)知V (r )＝π5(300r －4r 3)，故V ′(r )＝π5(300－12r 2)．令V ′(r )＝0，解得r 1＝5，r 2＝－5(舍去)． 当r ∈(0，5)时，V ′(r )>0， 故V (r )在(0，5)上为增函数； 当r ∈(5，53)时，V ′(r )<0， 故V (r )在(5，53)上为减函数．由此，可知V (r )在r ＝5处取得最大值，此时h ＝8， 即当r ＝5，h ＝8时，该蓄水池的体积最大．[B 能力提升]11．若球的半径为R ，作内接于球的圆柱，则其侧面积的最大值为( ) A ．2πR 2 B ．πR 2 C ．4πR 2D.12πR 2 解析： 选A.设内接圆柱的高为h ，底面半径为x ，则 x ＝R 2－h 24， 所以S 侧＝2πxh ＝2πh R 2－h 24＝2π R 2h 2－h 44， 令t ＝R 2h 2－h 44，则t ′＝2R 2h －h 3，令t ′＝0，得h ＝2R (舍负)或h ＝0(舍去)，当0<h <2R 时，t ′>0，当2R <h <2R 时，t ′<0，所以当h ＝2R 时，圆柱的侧面积最大．所以侧面积的最大值为2π2R 4－R 4＝2πR 2，故应选A.12．海轮每小时使用的燃料费y (单位：元)与它的航行速度v (单位：n mile/h)的立方成正比．已知某海轮的最大航速为30 n mile/h ，当速度为10 n mile/h 时，它的燃料费是每小时25元．其余费用(无论速度如何)都是每小时400元．如果甲乙两地相距800 n mile ，则要使该海轮从甲地航行到乙地的总费用最低，它的航速应为________．解析：由题意，燃料费y 与航速v 之间满足y ＝a v 3(0≤v ≤30)． 又因为25＝a ·103，所以a ＝140. 设从甲地到乙地海轮的航速为v ，总费用为y 1， 则y 1＝a v 3×800v ＋800v ×400＝20v 2＋320 000v . 由y ′1＝40v －320 000v 2＝0，得v ＝20<30.当0<v <20时，y ′1<0；当20<v <30时，y ′1>0，所以当v ＝20时，y 1最小．答案：20 n mile/h13．某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y (单位：千克)与销售价格x (单位：元/千克)满足关系式y ＝a x －3＋10(x －6)2，其中3<x <6，a 为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．(1)求a 的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．解：(1)因为x ＝5时，y ＝11，所以a 2＋10＝11，解得a ＝2. (2)由(1)可知，该商品每日的销售量y ＝2x －3＋10(x －6)2， 所以商场每日销售该商品所获得的利润f (x )＝(x －3)⎣⎡⎦⎤2x －3＋10（x －6）2＝2＋10(x －3)(x －6)2(3<x <6)． f ′(x )＝10[(x －6)2＋2(x －3)(x －6)]＝30(x －4)(x －6)，解30(x －4)(x －6)＝0，得x 1＝4，x 2＝6(舍去)．当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x(3，4) 4 (4，6) f ′(x )＋ 0 － f (x )极大值42 由上表可得所以，当x ＝4时，函数f (x )取得最大值，最大值为42.故当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．14．(选做题)如图是某市在城市改造中的沿市内主干道城站路修建的圆形休闲广场，圆心为O ，半径为100 m ，其与城站路一边所在直线l 相切于点M ，MO 的延长线交圆O 于点N ，A 为上半圆弧上一点，过点A 作l 的垂线，垂足为点B .市园林局计划在△ABM 内进行绿化，设△ABM 的面积为S (单位：m 2)．(1)以∠AON ＝θ(rad)为自变量，将S 表示成θ的函数；(2)求使绿化面积最大时点A 的位置及最大绿化面积．解：(1)由题意知，BM ＝100sin θ，AB ＝100＋100cos θ，故S ＝5 000sin θ(1＋cos θ)(0<θ<π)．(2)因为S ＝5 000sin θ(1＋cos θ)(0<θ<π)，所以S ′＝5 000(cos θ＋cos 2θ－sin 2θ)＝5 000(2cos 2θ＋cos θ－1)＝5 000(cos θ＋1)(2cos θ－1)．令S ′＝0，得cos θ＝12或cos θ＝－1(舍去)，又θ∈(0，π)，故θ＝π3. 当0<θ<π3时，12<cos θ<1，S ′>0； 当π3<θ<π时，－1<cos θ<12，S ′<0. 故当θ＝π3时，S 取得极大值，也是最大值，最大值为3 7503，此时AB ＝150. 即当点A 距路边的距离为150 m 时，绿化面积最大，最大面积为3 750 3 m 2.。
高中数学 第一章 导数及其应用 1.4 生活中的优化问题举例说课稿 新人教A版选修22
1.4生活中的优化问题举例1．内容和内容解析“优化问题”是现实生活中常碰到的问题，比如速度最快、距离最小、费用最低、用料最省、效率最高、增长率、膨胀率等。
而解决方法可以多样，学生较为熟悉的是线性规划问题，二次函数最值问题，或结合函数图象解决最值。
而本节内容主要是应用导数解决生活中的优化问题，使学生体会导数在解决生活中的优化问题的广泛作用和强大实力。
教材主要在效率、利润、最大容量三个方面举例说明。
从教学内容分析，教材例题与学生生活经验有一定的差距离，问题信息量大，数学建模要求高，在具体的教学中，可以设置有一定梯度和接近学生生活中的优化问题，提高学生的学习兴趣，同时告诉学生如何去思考解决这类问题的一般思路。
本节内容是导数知识的应用问题，所以数学建模，用导数求函数的单调性、最值，导数的意义是学生学习的必备知识。
2．目标和目标解析本节课主要培养学生数学知识的应用意识，应用导数, 解决生活中的优化问题。
同时教学中应突出导数的应用研究。
（1）熟练掌握生活中常遇到的“效率最高”，“容量最大”，“利润最大”的解决方案；(2)继续培养学生数学建模的能力。
为实现以上目标，可以分以下几步进行：（1）一般信息题的函数建模问题。
（2）设置能用二次函数，基本不等式解决优化问题的应用题。
（3）引导学生用导数解决一般的优化问题。
（4）总结解决优化问题的思路是: 第一步将优化问题转化为用函数表示的数学问题, 第二步是应用导数这个工具解决数学问题, 进而得到优化问题的答案。
3．教学问题诊断分析这一节的难点之一是数学建模问题。
比如，教材例1“汽油的使用效率何时最高”问题，题目的背景不熟悉，呈现形式不是很简洁，即使学生预习，也不知所云。
此题是用到“在曲线上求一点P，使得OP与曲线相切并切于点P”而解决此问题就要学生充分掌握导数几何意义。
作为函数的建模题，信息加工、数据的收集、函数图象呈现、图象的分析等都是学生的策手问题。
既然“导数的应用”作为本节的重点，那么在具体施教中不妨对例题作一些处理，化解难点，突出重点。
高中数学第一章导数及其应用1.4生活中的优化问题举例课件新人教A版选修2_2
【新视角解答】
r2 2 我们已经求出利润和瓶子半径之间的关系式： f r 0.8 r ,0 r 6 。图象如图， 3
能否根据它的图象说出其实际意义？
当 r 0, 2 时， f r 为减函数，其实际意义为：瓶子的半径小于 2cm 时，瓶子的半径越 大，利润越小，半径为 2 cm 时，利润最小； 当 r 2,6 时， f r 为增函数，其实际意义为：瓶子的半径大于 2cm 时，瓶子的半径越 大，利润越大。 特别的， 当 r 3 时，f 3 0 ， 即瓶子的半径为 3cm 时， 饮料的利润与饮料瓶的成本恰好相等， r 3 时，利润才为正值． 当 r 2 时， f 2 0 ，即瓶子的半径为 2cm 时，饮料的利润最小，饮料利润还不够饮料瓶子 的成本，此时利润是负值。
【问题】
（１）瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？
（２）瓶子的半径多大时，每瓶的利润最小？
【分析】先建立目标函数，转化为函数的最值问题，然后利用导 数求最值. 【规范解答】
由于瓶子的半径为 r ，所以每瓶饮料的利润是
4 y f r 0 . 2 r 3 0.r82 3
新知探究
问题1：导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、 最小值的实际问题，主要有几个方面？ 1、与几何有关的最值问题； 2、与利润及其成本有关的最值问题； 3、效率最值问题。
问题2：解决优化问题的方法有哪些？ 首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当 的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求 函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系。再通
令 f r 0.8 (r 2 2r) 0 解得
r3 2 0 . 8 r 3
高中数学第1章导数及其应用14生活中的优化问题举例课件新人教A版选修20
【解】 设容器的高为 x m，底面边长分别为 y m，(y＋0.5)m， 则 4x＋4y＋4(y＋0.5)＝14.8，
即 y＝1.6－2x. 因为 x＞0，且 y＞0，得 0＜x＜3.2. 所以容器的容积 V＝xy(y＋0.5)＝x1.6－2x2.1－2x ＝14x3－1.85x2＋3.36x(0＜x＜3.2)．
A．6 千台
B．7 千台
C．8 千台
D.9 千台
解析：设利润为 y，则 y＝y1－y2＝17x2－(2x3－x2)＝－2x3 ＋18x2(x＞0)．
∴y′＝－6x2＋36x＝－6x(x－6)． ∵当 0＜x＜6 时 y′＞0，当 x＞6 时，y′＜0， ∴当 x＝6 时，y 取得最大值．故选 A. 答案：A
解析：由题设知 y′＝x2－39x－40， 令 y′>0，解得 x>40 或 x<－1， 故函数 y＝13x3－329x2－40x(x>0)在[40，＋∞)上递增，在(0,40] 上递减． ∴当 x＝40 时，y 取得最小值． 由此为使耗电量最小，则其速度应定为 40. 答案：40
5．学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣 传．现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求 版心面积为 128 dm2，上、下两边各空 2 dm，左、右两 边各空 1 dm.如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积 最小？
(1)用 θ 分别表示矩形 ABCD 和△CDP 的面积，并确定 sin θ 的 取值范围；
(2)若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、 乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为 4∶3.求当 θ 为何值时，能使甲、 乙两种蔬菜的年总产值最大．
2017年高中数学第一章导数及其应用1.4生活中的优化问题举例习题课件
2 400 (2)f ′(x)＝6－ 2， 3x＋5 2 400 令 f ′(x)＝0，即 2＝6， 3x＋5 25 解得 x＝5，x＝－ 3 (舍去)． 当 0ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱx<5 时，f ′(x)<0；当 5<x<10 时，f ′(x)>0，故 x＝5 800 是 f(x)的最小值点，对应的最小值为 f(5)＝6×5＋ ＝70. 15＋5 当隔热层修建 5 cm 厚时，总费用达到最小值 70 万元．
(1)求 k 的值及 f(x)的表达式； (2)隔热层修建多厚时，总费用 f(x)达到最小，并求最小值．
解：(1)设隔热层厚度为 x cm，由题设，每年能源消耗费用 为 C(x)＝ k ， 3x＋5
40 再由 C(0)＝8，得 k＝40，因此 C(x)＝ ， 3x＋5 而建造费用为 C1(x)＝6x. 最后得隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和为 f(x) 40 800 ＝20C(x)＋C1(x)＝20× ＋6x＝ ＋6x(0≤x≤10)． 3x＋5 3x＋5
34 8 令 S′(x)＝ 4 9x－3＝0，
解得 x＝6 cm. x＝6 是 S(x)的极小值点，也是最小值点， ∴S(x)min＝S(6)＝2 3 cm2.
答案：D
2．某公司生产某种产品，固定成本为 20 000 元，每生产一 单位产品，成本增加 100 元，已知总收益 r 与年产量 x 的关系是 1 400x－ x2，0≤x≤400， 2 r＝ 则总利润最大时， 年产量是( 80 000，x>400， A．300 C．150 B．200 D．100 )
答案：16
8．某公司一年购买某种货物 400 吨，每次都购买 x 吨，运 费为 4 万元/次，一年的总存储费为 4x 万元，要使一年的总运费 与总存储费用之和最小，则 x＝________吨．
山西省忻州市17学年高中数学第一章导数及其应用1.4生活中的优化问题举例(2)测标题(无答案)2_2
生活中的优化问题举例（2）本试卷满分40+5分一．填空题（每小题5分，共10分）1．做一个容积为256升的方底无盖水箱，则它的高为___ __时，用料最省．2．要建造一个长方体形状的仓库，其内部的高为3m，长和宽的和为20m，则仓库容积的最大值为____ ___．二．解答题（每小题10分，共30分）3．统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/时)的函数解析式可以表示为y=1128000x3-380x+8(0<x≤120).已知甲、乙两地相距100千米.(1)当汽车以40千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？(2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？4．正三棱柱的体积V是定值,问:底边长为多少时,其表面积最小?5．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层。
某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元。
该建筑物每年的能源消耗费用C （单位:万元）与隔热层厚度x （单位：cm ）满足关系：C(x)=k 3x+5(0≤x ≤10),若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.(1)求k 的值及f(x)的表达式；(2)隔热层修建多厚时,总费用f(x)达到最小,并求最小值.附加题（5分） 设函数2()21I f x x x a n =-++x 有两个极值点12,x x ，且12x x <，则2()f x 的取值范( ) A 122(0,)4In + B 122(,)4In --∞ C 122(+)4In +∞， D 1-22()4In ，0。
高中数学第一章导数及其应用1.4生活中的优化问题举例课件新人教A版选修2_2
令 V′(x)＝0，得 x＝0(舍去)或 x＝1. 当 0<x<1 时，V′(x)>0； 当 1<x<32时，V′(x)<0，故在 x＝1 处 V(x)取得极大值，并 且这个极大值就是 V(x)的最大值， 从而 Vmax＝V(1)＝9×12－6×13＝3 m3，此时长方体的长为 2 m，高为 1.5 m. 即当长方体的长为 2 m、宽为 1 m、高为 1.5 m 时，体积最 大，最大体积为 3 m3.
费用最省(成本最低)问题
统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的 耗油量 y(升)关于行驶速度 x(千米/时)的函数解析式可以表示为 y＝1281000x3－830x＋8(0<x≤120)．已知甲、乙两地相距 100 千 米．
(1)当汽车以 40 千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地 要耗油多少升？
家获取最大年利润的年产量为( )
A．13 万件
B．11 万件
C．9 万件
D．7 万件
解析： y′＝－x2＋81， ∴当 x>9 时，y′<0，当 x∈(0,9)时，y′>0， ∴函数 y＝－13x3＋81x－234 在(0,9)上递增，在(9，＋∞)上 递减． 故当 x＝9 时，y 有最大值．
• 答案： C
•
解决面积或体积的最值问题，要正确
引入变量，将面积或体积表示为变量的函数，结合
实际问题的定义域，利用导数求解函数的最值．
• 1．用长为18 m的钢条围成一个长方体的框架，要求 长方体的长与宽之比为2∶1，则该长方体的长、宽、 高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？
解析： 设长方体的宽为 x m，长为 2x m， 则高为 h＝18－412x＝4.5－3x0<x<32. 故长方体的体积为 V(x)＝2x2(4.5－3x)＝9x2－6x30<x<32， 从而 V′(x)＝18x－18x2＝18x(1－x)．
(完整)生活中的优化问题举例
§1.4生活中的优化问题举例（一)教材分析本节内容是数学选修2-2 第一章导数及其应用1。
4生活中的优化问题举例，是在学习了导数概念、导数的计算及导数在研究函数中的应用后体会导数在解决实际问题中的作用。
生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．通过前面的学习可知,导数是求函数最大（小）值的有力工具．这一节利用导数，解决一些生活中的优化问题。
教材首先给出背景性的问题，在生活经验的基础上,逐步引入到数学问题中，按照学生的思维过程,逐步展开问题,解决问题，让学生体会数学建模的过程.培养学生主动发现问题、分析问题、解决问题的能力，进一步培养学生应用数学的意识。
课时分配本节内容用1课时的时间完成，通过两个例题的教学，培养学生主动发现问题、分析问题、解决问题的能力，进一步培养学生应用数学的意识。
教学目标：重点: 通过使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，让学生体会数学建模的过程，体会导数在解决实际问题中的作用。
难点:让学生发现问题、分析问题、解决问题,数学建模。
知识点：利用导数求函数最大(小）值，解决一些生活中的优化问题。
能力点：主动发现问题、分析问题、解决问题，曾强数学的应用意识。
教育点：利用导数,解决一些生活中的优化问题。
自主探究点：分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域,再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决.考试点：利用导数求函数最大（小）值，解决一些生活中的优化问题。
易错易混点:建立适当的函数关系,并确定函数的定义域.拓展点：利用导数解决优化问题的基本思路：教具准备多媒体课件和三角板课堂模式学案导学一、引入新课生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大(小）值的有力工具．这一节，我们利用导数,解决一些生活中的优化问题。
二、探究新知探究(一）:海报版面尺寸的设计【背景材料】学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传.现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm2，上、下两边各空2dm，左、右两边各空1dm。
山西省忻州市2016-2017学年高中数学 第一章 导数及其应用 1.4 生活中的优化问题举例课堂练
1.4 生活中的优化问题举例§1.4.1 生活中的优化问题举例【典型范例】例1.如图，某农场要修建三个相同矩形的养鱼池，每个面积为10000m2,鱼池前面要留4m宽的运料通道，其余各边为2m宽的堤埂，问每个鱼池的长宽各为多少时，占地面积最小？例2．以长为2的线段AB为直径作半圆，点P是半圆周上一动点，过P作AB的垂线交AB于H，求ΔAPH面积S的面积的最大值．【课堂检测】1．把一个周长为12cm的长方形围成一个圆柱，当圆柱的体积最大时，该圆柱的底面长与高的比是________.2．某物质在化学分解过程中，开始的质量为m0，若经过时间t后，所剩下的质量m=m0e-kt，其中k 为正的常数，则这种物质的分解速度是_______．§1.4.2 生活中的优化问题举例【典型范例】例1．甲乙两地相距skm，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过ckm/h，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v(km/h)的平方成正比，比例系数为b；固定部分为a元.(1)把全程运输成本y(元)表示为速度v(km/h)的函数，并指出这个函数的定义域；(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？例2．请你设计一个帐篷，它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥(如图)，试问当帐篷的顶点O到底面中心O1的距离为多少时，帐篷的体积最大？【课堂检测】1.习题1.4 A组4题O O1百度文库是百度发布的供网友在线分享文档的平台。
百度文库的文档由百度用户上传，需要经过百度的审核才能发布，百度自身不编辑或修改用户上传的文档内容。
网友可以在线阅读和下载这些文档。
百度文库的文档包括教学资料、考试题库、专业资料、公文写作、法律文件等多个领域的资料。
百度用户上传文档可以得到一定的积分，下载有标价的文档则需要消耗积分。
当前平台支持主流的doc(.docx)、.ppt(.pptx)、.xls(.xlsx)、.pot、.pps、.vsd、.rtf、.wps、.et、.dps、.pdf、.txt 文件格式。
高中数学 第一章 导数及其应用 1.4 生活中的优化问题举例 生活中的优化问题2素材 新人教A版选修22
生活中最优化问题例如，一建筑工程队，需用3尺，4尺长的甲、乙两种短竹竿各100根，用10尺长的竹竿来截取，至少要用去原材料几根？怎样最合算？针对上述问题，我们列出三种截法：（1） 3尺两根和4尺一根，最省原材料，全部利用。
（2） 3尺三根，余一尺。
（3） 4尺两根，余两尺。
显然，为省材料，尽量使用方法（1），这样，50根原材料可截得100根，3尺的竹竿和50根4尺竹竿，还差50根4尺的竹竿最好选择方法（3），这样所需原材料最少，只需要25根即可，这样，至少需要用去原材料75根。
寻求优化是人类的一种本能，不仅是人类，整个大自然中都充斥着这一现象。
像蜜蜂所造的蜂窝，更是省到家了，其结构的巧妙，能如此省材料更让人折服。
在人们的日常生活中，优化的要求也比比皆是，消费时，如何花尽可能少的钱办尽可能多的事，出行时，如何走最短的路程到达目的地，等等。
总而言之，在经济如此发展，竞争如此剧烈，资源日渐紧张的今天，人们做任何事，无不望求事半功倍之术，以求或提效、或增收、或节约等等。
可见最优化在日常生活中远处不在，足以显示其重要性。
如：在我们的班级中有9位老师带领51位学生到桃源洞开展观光活动时，我们得一门票价格表：成人票12元/人，学生票6元/人，团体票（10人以上）每人9元，为求省钱，我们几位同学进行了探讨，得出以下三种典型方案：（1）“普通”方案：12×9+6×51=414（元）（师买成人票，生买我们票）（2）“奉献”方案：9×（9+51）=540（元）或414+3×（51－9）=540（元）（购买团体票）（3）“创新”方案：9×10+6×50=390（元）或414－3×（9－1）=390（元）（师与一生买团体票，其余我们买我们票）显然，创新方案更为实惠。
1。
高中数学第一章导数及其应用1.4生活中的优化问题举例课件新人教A版选修220721124
第二十页，共35页。
反思与感悟
解析(jiě xī)
跟踪训练3 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需
要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造
成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：
cm)满足(mǎnzú)关系：C(x) ＝
该商品11千克(qiānkè).
(1)求a的值；
解 因为 x＝5
时，y＝11，所以a2＋10＝11，
所以(suǒyǐ)a＝2.
第十六页，共35页。
解析(jiě xī)
(2)若该商品的成本(chéngběn)为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商 场每日销售该商品所获得的利润最大.
第十七页，共35页。
令 f′(x)＝0，即32x＋40502＝6. 解得 x＝5，x＝－235(舍去)， 当0<x<5时，f′(x)<0，当5<x<10时，f′(x)>0， 故 x＝5 时，为 f(x)的最小值点，对应的最小值为 f(5)＝6×5＋1850＋05＝70.
当隔热层修建(xiūjiàn)5 cm厚时，总费用达到最小值70万元.
cm.
(1) 若 广 告 商 要 求 包 装 盒 侧 面 积S(cm2)最大，则x应取何值？
第四页，共35页。
解析(jiě xī)
(2)若广告商要求包装盒容积V(cm3)最大，则x应取何值？并求出此时(cǐ shí) 包装盒的高与底面边长的比值.
第六页，共35页。
反思(fǎn sī)
解析(jiě
跟踪训练1 某市在市内主干道北京路一侧修建圆形休闲广场.如图，圆形广 场的圆心为O，半径为100 m，并与北京路一边所在直线l相切于点M.点A为上 半圆弧上一点，过点A作l的垂线，垂足为点B.市园林局计划在△ABM内进行 绿化.设△ABM的面积(miàn jī)为S(单位：m2)，∠AON＝θ(单位：弧度). (1)将S表示为θ的函数；
高中数学 第1章 导数及其应用 1.4 生活中的优化问题举例 2数学教案
1.4 生活中的优化问题举例生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．2．用导数解决优化问题的基本思路思考：解决生活中优化问题应注意什么？[提示] (1)在建立函数模型时，应根据实际问题确定出函数的定义域．(2)求实际问题的最大(小)值时，一定要从问题的实际意义去考查，不符合实际意义的应舍去，如：长度、宽度应大于0，销售价为正数等．1．已知某生产厂家的年利润y (单位： 万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为y ＝－13x 3＋81x －234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( )A ．7万件B ．9万件C ．11万件D ．13万件B [设y ＝f (x )，即f (x )＝－13x 3＋81x －234.故f ′(x )＝－x 2＋81.令f ′(x )＝0，即－x 2＋81＝0， 解得x ＝9或x ＝－9(舍去)．当0＜x ＜9时，f ′(x )＞0，函数y ＝f (x )单调递增； 当x ＞9时，f ′(x )＜0，函数y ＝f (x )单调递减．因此，当x ＝9时，y ＝f (x )取最大值．故使该生产厂家获取最大年利润的年产量为9万件．]2．炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x 小时，原油温度(单位：℃)为f (x )＝13x 3－x 2＋8(0≤x ≤5)，那么原油温度的瞬时变化率的最小值是( )A ．8B ．203C ．－1D ．－8 C [由题意，f ′(x )＝x 2－2x ＝(x －1)2－1，∵0≤x ≤5，∴x ＝1时，f ′(x )的最小值为－1，即原油温度的瞬时变化率的最小值是－1.]3．做一个容积为256 m 3的方底无盖水箱，所用材料最省时，它的高为( )A ．6 mB ．8 mC ．4 mD ．2 mC [设底面边长为x m ，高为h m ，则有x 2h ＝256，所以h ＝256x 2.所用材料的面积设为S m 2，则有S ＝4x ·h ＋x 2＝4x ·256x 2＋x 2＝256×4x ＋x 2.S ′＝2x －256×4x 2，令S ′＝0，得x ＝8，因此h ＝25664＝4(m)．]4．某一件商品的成本为30元，在某段时间内，若以每件x 元出售，可卖出(200－x )件，当每件商品的定价为______元时，利润最大．115 [利润为S (x )＝(x －30)(200－x )＝－x 2＋230x －6 000，S ′(x )＝－2x ＋230，由S ′(x )＝0，得x ＝115，这时利润达到最大．]面积、体积的最值问题 cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A ，B ，C ，D 四个点重合于图中的点P ，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E ，F 在AB 上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE ＝FB ＝x (cm)．(1)某广告商要求包装盒的侧面积S (cm 2)最大，试问x 应取何值？(2)某厂商要求包装盒的容积V (cm 3)最大，试问x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．[解] 设包装盒的高为h cm ，底面边长为a cm.由已知得a ＝2x ，h ＝60－2x 2＝2(30－x )，0＜x ＜30. (1)S ＝4ah ＝8x (30－x )＝－8(x －15)2＋1 800，所以当x ＝15时，S 取得最大值．(2)V ＝a 2h ＝22(－x 3＋30x 2)，V ′＝62x (20－x )．由V ′＝0，得x ＝0(舍去)或x ＝20.当x ∈(0,20)时，V ′＞0；当x ∈(20,30)时，V ′＜0.所以当x ＝20时，V 取得极大值，也是最大值． 此时h a ＝12， 即包装盒的高与底面边长的比值为12. 1．解决面积、体积的最值问题，要正确引入变量，将面积或体积表示为变量的函数，结合实际问题的定义域，利用导数求解函数的最值．2．利用导数解决生活中优化问题的一般步骤①找关系：分析实际问题中各量之间的关系；②列模型：列出实际问题的数学模型；③写关系：写出实际问题中变量之间的函数关系y ＝f (x )；④求导：求函数的导数f ′(x )，解方程f ′(x )＝0；⑤比较：比较函数在区间端点和使f ′(x )＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；⑥结论：根据比较值写出答案．[跟进训练]1．周长为20 cm 的矩形，绕一条边旋转成一个圆柱，则圆柱体积的最大值为________cm 3.4 00027π [设矩形的长为x cm ，则宽为(10－x )cm(0＜x ＜10)．由题意可知圆柱体积为V ＝πx 2(10－x )＝10πx 2－πx 3.∴V ′＝20πx －3πx 2，令V ′(x )＝0，得x ＝0(舍去)或x ＝203， 且当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，203时，V ′(x )＞0， 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫203，10时，V ′(x )＜0， ∴当x ＝203时，V (x )max ＝4 00027π cm 3.] 用料最省、成本(费用)最低问题的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C (单位：万元)与隔热层厚度x (单位：cm)满足关系：C (x )＝k 3x ＋5(0≤x ≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f (x )为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(1)求k 的值及f (x )的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f (x )达到最小？并求最小值． 思路探究：(1)由C (0)＝8可求k 的值从而求出f (x )的表达式．(2)求函数式f (x )的最小值．[解] (1)由题设，每年能源消耗费用为C (x )＝k 3x ＋5(0≤x ≤10)，再由C (0)＝8，得k ＝40，因此C (x )＝403x ＋5. 而建造费用为C 1(x )＝6x .最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f (x )＝20C (x )＋C 1(x )＝20×403x ＋5＋6x ＝8003x ＋5＋6x (0≤x ≤10)． (2)f ′(x )＝6－ 2 4003x ＋52， 令f ′(x )＝0，即 2 4003x ＋52＝6，解得x ＝5或x ＝－253(舍去)． 当0<x <5时，f ′(x )<0，当5<x <10时，f ′(x )>0，故x ＝5是f (x )的最小值点，对应的最小值为f (5)＝6×5＋80015＋5＝70. 当隔热层修建5 cm 厚时，总费用达到最小值70万元．1．用料最省、成本(费用)最低问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象．正确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答．2．利用导数的方法解决实际问题，当在定义区间内只有一个点使f ′(x )＝0时，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道在这个点取得最大(小)值．[跟进训练]2．甲、乙两地相距400千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过100千米/时，已知该汽车每小时的运输成本P (元)关于速度v (千米/时)的函数关系是P ＝119 200v 4－1160v 3＋15v ， (1)求全程运输成本Q (元)关于速度v 的函数关系式；(2)为使全程运输成本最少，汽车应以多大速度行驶？并求此时运输成本的最小值．[解] (1)Q ＝P ·400v＝⎝ ⎛⎭⎪⎫119 200v 4－1160v 3＋15v ·400v ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫119 200v 3－1160v 2＋15·400 ＝v 348－52v 2＋6 000(0<v ≤100)． (2)Q ′＝v 216－5v ，令Q ′＝0，则v ＝0(舍去)或v ＝80， 当0<v <80时，Q ′<0；当80<v ≤100时，Q ′>0，∴v ＝80千米/时时，全程运输成本取得极小值，即最小值，且Q min ＝Q (80)＝2 0003(元).利润最大、效率最高问题1．在实际问题中，如果在定义域内函数只有一个极值点，则函数在该点处取最值吗？[提示] 根据函数的极值与单调性的关系可以判断，函数在该点处取最值，并且极小值点对应最小值，极大值点对应最大值．2．你能列举几个有关利润的等量关系吗？[提示] (1)利润＝收入－成本．(2)利润＝每件产品的利润×销售件数．【例3】 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y (单位：千克)与销售价格x (单位：元/千克)满足关系式y ＝a x －3＋10(x －6)2，其中3＜x ＜6，a 为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．(1)求a 的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．思路探究：(1)根据x ＝5时，y ＝11求a 的值．(2)把每日的利润表示为销售价格x 的函数，用导数求最大值．[解] (1)因为x ＝5时，y ＝11，所以a2＋10＝11，a ＝2. (2)由(1)知，该商品每日的销售量y ＝2x －3＋10(x －6)2，所以商场每日销售该商品所获得的利润f (x )＝(x －3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x －3＋10x －62＝2＋10(x －3)(x －6)2,3＜x ＜6，从而，f ′(x )＝10[(x －6)2＋2(x －3)(x －6)]＝30(x －4)·(x －6)，于是，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表： x(3,4) 4 (4,6) f ′(x )＋ 0 － f (x ) ↗ 极大值42 ↘ 也是最大值点，所以，当x ＝4时，函数f (x )取得最大值，且最大值等于42. 故当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大． (变条件)本例条件换为：该商品每日的销售量y (单位：千克)与销售价格x (单位：元/千克，1＜x ≤12)满足：当1＜x ≤4时，y＝a (x －3)2＋bx －1，(a ，b 为常数)；当4＜x ≤12时，y ＝2 800x －100.已知当销售价格为2元/千克时，每日可销售出该特产800千克；当销售价格为3元/千克时，每日可售出150千克．(1)求a ，b 的值，并确定y 关于x 的函数解析式；(2)若该商品的销售成本为1元/千克，试确定销售价格x 的值，使店铺每日销售该特产所获利润f (x )最大，(7≈2.65)[解] (1)由题意：x ＝2时y ＝800，∴a ＋b ＝800， 又∵x ＝3时y ＝150，∴b ＝300，可得a ＝500.∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 500x －32＋300x －1，1＜x ≤42800x －100，4＜x ≤12，(2)由题意：f (x )＝y (x －1)＝⎩⎪⎨⎪⎧ 500x －32x －1＋300，1＜x ≤4⎝ ⎛⎭⎪⎫2 800x －100x －1，4＜x ≤12，当1＜x ≤4时，f (x )＝500(x －3)2(x －1)＋300＝500x 3－3 500x 2＋7 500x －4 200， f ′(x )＝500(3x －5)(x －3)，∴由f ′(x )＞0，得53＜x ＜3， ∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1，53，(3,4)上递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫53，3上递减， ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫53＝8 0009＋450＜f (4)＝1 800， ∴当x ＝4时有最大值，f (4)＝1 800当4＜x ≤12时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2 800x －100(x －1)＝2 900－利润最大问题是生活中常见的一类问题，一般根据“利润＝收入－成本”建立函数关系式，再利用导数求最大值．解此类问题需注意两点：①价格要大于或等于成本，否则就会亏本；②销量要大于0，否则不会获利．1．利用导数解决生活中优化问题的一般步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系y＝f (x)；(2)求函数的导数f ′(x)，解方程f ′(x)＝0；(3)比较函数在区间端点和使f ′(x)＝0的点的数值的大小，最大(小)者为最大(小)值．2．正确理解题意，建立数学模型，利用导数求解是解答应用问题的主要思路．另外需要特别注意：(1)合理选择变量，正确写出函数解析式，给出函数定义域；(2)与实际问题相联系；(3)必要时注意分类讨论思想的应用．1．某箱子的体积与底面边长x 的关系为V (x )＝x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫60－x 2(0<x <60)，则当箱子的体积最大时，箱子底面边长为( )A ．30B ．40C ．50D ．60B [V ′(x )＝－32x 2＋60x ＝－32x (x －40)， 因为0＜x ＜60，所以当0＜x ＜40时，V ′(x )>0，此时V (x )单调递增；当40<x <60时，V ′(x )<0，此时V (x )单调递减，所以V (40)是V (x )的极大值，即当箱子的体积最大时，箱子底面边长为40.]2．某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价定为p 元，销售量为Q 件，则销售量Q 与零售价p 有如下关系：Q ＝8 300－170p －p 2.则最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出)( )A ．30元B ．60元C ．28 000元D ．23 000元D [设毛利润为L (p )，由题意知L (p )＝pQ －20Q ＝Q (p －20) ＝(8 300－170p －p 2)(p －20)＝－p 3－150p 2＋11 700p －166 000，所以L ′(p )＝－3p 2－300p ＋11 700.令L ′(p )＝0，解得p ＝30或p ＝－130(舍去)．此时，L (30)＝23 000.因为在p ＝30附近的左侧L ′(p )＞0，右侧L ′(p )＜0，所以L (30)是极大值，根据实际问题的意义知，L (30)是最大值，即零售价定为每件30元时，最大毛利润为23 000元．]3．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使水桶的体积是27π，且用料最省，则水桶的底面半径为________．3 [设圆柱形水桶的表面积为S ，底面半径为r (r ＞0)，则水桶的高为27r 2，所以S ＝πr 2＋2πr ×27r 2＝πr 2＋54πr(r ＞0)，求导数，得S ′＝2πr －54πr 2，令S ′＝0，解得r ＝3. 当0＜r ＜3时，S ′＜0；当r ＞3时，S ′＞0，所以当r ＝3时，圆柱形水桶的表面积最小，即用料最省．]4．某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k (k ＞0)，贷款的利率为0.048，假设银行吸收的存款能全部放贷出去．若存款利率为x (x ∈(0,0.048))，为使银行获得最大收益，则存款利率应定为________．0.032 [存款利率为x ，依题意：存款量是kx 2，银行应支付的利息是kx 3，贷款的收益是0.048kx 2，x ∈(0,0.048)．所以银行的收益是y ＝0.048kx 2－kx 3(0＜x ＜0.048)，由于y ′＝0.096kx －3kx 2，令y ′＝0得x ＝0.032或x ＝0(舍去)，又当0＜x ＜0.032时，y ′＞0；当0.032＜x ＜0.048时，y ′＜0，所以当x ＝0.032时，y 取得最大值．]5．用长为18 m 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2∶1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？[解] 设长方体的宽为x m ，则长为2x m ，高为h ＝18－12x 4＝(4.5－3x )m(0＜x ＜32)． 故长方体的体积为V (x )＝2x 2(4.5－3x )＝(9x 2－6x 3)m3⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜x ＜32. 从而V ′(x )＝18x －18x 2＝18x (1－x )．令V ′(x )＝0，解得x ＝0(舍去)或x ＝1，因此x ＝1.当0＜x ＜1时，V ′(x )＞0；当1＜x ＜32时，V ′(x )＜0， 故在x ＝1处V (x )取得极大值，并且这个极大值就是V (x )的最大值．从而最大体积V ＝V (1)＝9×12－6×13＝3(m)3，此时长方体的长为2 m ，高为1.5 m.故当长方体的长为2 m ，宽为1 m ，高为1.5 m 时，体积最大，最大体积为3 m 3.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1.4 生活中的优化问题举例
§1.4.1 生活中的优化问题举例
【典型范例】
例1.如图，某农场要修建三个相同矩形的养鱼池，每个面积为10000m2,鱼池前面要留4m宽的运料通道，其余各边为2m宽的堤埂，问每个鱼池的长宽各为多少时，占地面积最小？
例2．以长为2的线段AB为直径作半圆，点P是半圆周上一动点，过P作AB的垂线交AB于H，求ΔAPH面积S的面积的最大值．
【课堂检测】
1．把一个周长为12cm的长方形围成一个圆柱，当圆柱的体积最大时，该圆柱的底面长与高的比是________.
2．某物质在化学分解过程中，开始的质量为m0，若经过时间t后，所剩下的质量m=m0e-kt，其中k 为正的常数，则这种物质的分解速度是_______．
1
§1.4.2 生活中的优化问题举例
【典型范例】
例1．甲乙两地相距skm，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过ckm/h，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度
v(km/h)的平方成正比，比例系数为b；固定部分为a元.
(1)把全程运输成本y(元)表示为速度v(km/h)的函数，并指出这个函数的定义
域；
(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？
例2．请你设计一个帐篷，它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥(如图)，试问当帐篷的顶点
O到底面中心O1的距离为多少时，帐篷的体积
最大？
【课堂检测】
1.习题1.4 A组4题O
O1
2。