圆的切线证明及有关计算
证明圆的切线的两种方法
证明圆的切线的两种方法
一、通过圆的性质证明圆的切线
圆的切线是与圆相切且只与圆相交于切点的直线。我们可以通过圆的性质来证明圆的切线。
1. 方法一:利用圆的切线垂直于半径的性质证明
对于任意一点P在圆上,连接圆心O与点P,并延长线段OP。根据圆的性质可知,线段OP是圆的半径。
假设有一条直线l与圆相交于点A,且线段OA是圆的半径。我们要证明直线l是圆的切线。
我们可以得到三角形OAP。根据直角三角形的性质可知,线段OP与线段AP垂直。因此,直线l与线段OA垂直。
我们要证明直线l只与圆相交于点A。假设直线l与圆相交于另一点B,连接线段OB。根据圆的性质可知,线段OB是圆的半径。由于线段OA与线段OB都是圆的半径,所以线段OA等于线段OB。然而,根据直线的性质可知,直线l是直线OB的切线。因此,线段OA与线段OB的长度相等,与直线l只与圆相交于点A的性质相矛盾。所以,直线l只与圆相交于点A,即直线l是圆的切线。
因此,我们通过圆的切线垂直于半径的性质证明了直线l是圆的切线。
2. 方法二:利用圆的切线与半径的斜率关系证明
对于任意一点P在圆上,连接圆心O与点P,并延长线段OP。根据圆的性质可知,线段OP是圆的半径。
假设有一条直线l与圆相交于点A,且线段OA是圆的半径。我们要证明直线l是圆的切线。
我们可以得到直线l的方程。设直线l的斜率为k,直线l的方程为y = kx + b。
我们要证明直线l的斜率与线段OA的斜率相等。由于线段OA是圆的半径,所以线段OA的斜率等于0。根据直线的性质可知,直线l 与线段OA垂直,即直线l的斜率与线段OA的斜率的乘积为-1。因此,直线l的斜率等于0的倒数,即k = 0。
圆的切线证明方法归纳
圆的切线证明方法归纳
切线是指与圆相切且与圆的半径垂直的直线。在几何学中,圆的
切线是一个重要的概念。证明圆的切线有许多不同的方法,下面将介
绍一些常见的证明方法。
1.垂直切线法:
这是最常见的证明方法之一。具体步骤如下:
(1)假设圆的半径r,圆心O,切点A和切线上的一点T。
(2)连接OA,并且将OA延长到交切线于点T。
(3)根据勾股定理可得:OA^2 =OT^2 + AT^2。
(4)由于OT和AT都是切线的一部分,所以OT和AT都垂直于OA。
(5)根据垂直定理可知OT和AT平方和等于OA的平方,即OT^2 + AT^2 = OA^2。
(6)根据步骤4和5可得:AT^2 = OA^2 - OT^2。
(7)OT是半径,所以OT^2= r^2,代入上式得:AT^2 = OA^2 -
r^2。
(8)AT是切线的一部分,所以AT > 0。因此,OA^2 - r^2 > 0。
(9)根据正数平方根的性质,OA^2 - r^2的平方根存在。
(10)所以,根据步骤9,AT存在,即OT与切线上的一点T并非
同一点。
(11)由于OT与圆的半径相交于点O,所以OT是与半径垂直的直线,即切线。
2.切线垂直与半径的证明:
这种证明方法基于一个重要的定理:切线垂直于半径。
具体步骤如下:
(1)假设圆的半径r,圆心O,切点A和切线上的一点T。
(2)连接OA和OT。
(3)由于AO是圆的半径,所以AO与圆心O的向量相等,即AO = OT。
(4)由于切线与圆相切,切点A是切线上的一点,所以OA与切
线垂直。
(5)根据向量几何的性质可得,向量OA与向量OT垂直。
圆切线判定定理的证明
圆切线判定定理的证明
引言:
圆是几何学中常见的基本图形之一,研究圆的性质和定理对于解决几何问题非常重要。本文将探讨圆切线判定定理的证明过程。
一、圆切线的定义
在几何学中,圆切线是指与圆相切且只与圆相交于切点的直线。圆切线与圆的切点只有一个,这是圆切线与其他直线的区别之一。
二、圆切线判定定理的描述
圆切线判定定理可以描述为:如果一条直线与圆相交于圆上的一点,并且直线通过该点的切线,那么这条直线就是圆的切线。
三、证明过程
为了证明圆切线判定定理,我们需要使用一些基本的几何定理和性质。
1. 定理一:半径垂直于切线
根据圆的性质,半径与圆上任意一点的连线垂直于圆的切线。这一定理是我们证明圆切线判定定理的关键。
2. 定理二:圆心角的性质
圆心角的度数是圆上两条弧所对的角的度数。根据圆心角的性质,圆心角的度数是其所对的弧所占整个圆的度数的一半。
3. 定理三:切线与半径的夹角
由于切线与半径垂直,所以切线与半径的夹角为90度。
基于以上几个定理,我们可以开始证明圆切线判定定理。
证明:
设圆C的圆心为O,半径为r。直线l与圆C相交于点A,并且直线l通过点A的切线。
1. 连接OA,得到AO为半径r。
2. 由定理一可知,直线l与半径OA垂直。
3. 由定理三可知,直线l与半径OA的夹角为90度。
4. 假设直线l不是圆C的切线,即直线l与圆C有第二个交点B。
5. 连接OB,并作OB的垂直平分线,交圆C于点M。
6. 由于OM为半径,所以OM=r。
7. 由定理二可知,∠OMB是圆心角,所以∠OMB的度数是弧AB 的度数的一半。
证明圆的切线的七种常用方法
证明圆的切线的七种常用方法
类型1、有公共点:连半径,证垂直
方法1、勾股定理逆定理法证垂直
1.如图,⊙O的直径AB=12,点P是AB延长线上一点,且PB=4,点C是⊙O上一点,PC=8. 求证:PC是⊙O的切线.
方法2、特殊角计算法证垂直
2. 如图,△ABC内接于⊙O,∠B=60°,CD是⊙O的直径,点P是CD延长线上一点,且AP=AC.
(1)求证:P A是⊙O的切线;
(2)若PD =5,求⊙O 的直径.
方法3、等角代换法证垂直
3.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,D为BC 的中点,以AC 为直径的⊙O交AB于点E . 求证:DE是⊙O 的切线.
方法4、平行线性质法证垂直
4.如图,已知四边形OABC的三个顶点A ,B ,C在以O为圆心的半圆上,过点C 作CD ⊥AB,分别交AB,AO 的延长线于点D,E,AE交半圆O于点F,连接CF,且∠E=30°,
点B是︵
AC的中点.
(1)判断直线DE与半圆O的位置关系,并说明理由;
(2)求证:CF=OC;
(3)若⊙O的半径是6,求DC的长.
A
B P
O
C
A
C
B
P
D O
A
E
B
D
O
C
A O F E
C
D
B
方法5、全等三角形法证垂直
5.如图,AB 是⊙O 的直径,点C ,D 在⊙O 上,且四边形AOCD 是平行四边形,过点D 作⊙O 的切线,交OC 的延长线于点F ,连接BF .
求证:BF 是⊙O 的切线.
类型2、无公共点:作垂直,证半径
方法6、角平分线性质法证半径
6.如图,在Rt △ABC 中,∠B =90°,∠BAC 的平分线交BC 于点D ,E 是AB 上一点,DE =DC ,以点D 为圆心,BD 长为半径作OD ,AB =5,EB =2. (1)求证:AC 是OD 的切线;
圆的切线的证明与计算
AC于点E,源自文库点E作AB的垂线于 点F,交CB的延长线于
点G ,且∠ABG=2∠C.
(1)求证:EG是1 ⊙O的切线;
A
2 (2)若tanC = , AC=8,求⊙O的半径.
E F
C
O
G B
直击 中考(2019年毕节中考)
26.(14分)如图,点P在⊙O外,PC是⊙O的切线,C 为切点,直线PO与⊙O相交于点A、B. (1)若∠A=30°,求证:PA=3PB; (2)小明发现,∠A在一定范围内变化时,始终有 ∠BCP=(90°﹣∠P)成立.请你写出推理过程.
11
【中考预测】
如图,⊙O的直径AB为10 cm,弦BC为6 cm,D是∠ACB的平分线与
⊙O的交点,与AB交与点E,P为AB延长线上一点,且PC=PE.
(1)求AC,AD的长; (2)试判断直线PC与⊙O的位置关系,并说明理由.
直击 中考(2018年毕节中考)
26,(14分)如图,在△ABC中,以BC为直径的⊙O交
【中考预测】
如图,在△ABC中,AB=AC, ∠BAC=54°,以AB为直径的⊙O分别交 AC,BC于点D,E,过点B作⊙O的切线, 交AC的延长线于点F. (1)求证:BE=CE; (2)求∠CBF的度数;
︵ (3)若 AB=6,求AD的长.
类型之二 与切线的判定有关的计算或证明 【教材原型】
数学专题-切线的证明与圆的计算
专题一:圆的切线
直线与圆相切是圆的重点,也是中考的热点.证明、判断或探究直线与圆相切的题目虽然很多,但是在这些众多的题目中,只有两个类型.
►类型之一有公共点时,连接圆心与公共点,证垂直
当要证明的直线与圆有公共点时,连接圆心与公共点,证明此半径与直线垂直,利用“经过半径的外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线”可证明直线是圆的切线.1.如图所示,⊙O是△ABC的外接圆,点O在AB上,BD ⊥AB,B是垂足,OD∥AC,连接CD.求证:CD是⊙O的切线.
证明:如图,连接CO.
∵OD∥AC,∴∠COD=∠ACO,∠CAO=∠DOB.
∵OC=OA,∴∠ACO=∠CAO,∴∠COD=∠BOD.
又∵OD=OD,OC=OB,∴△COD≌△BOD,∴∠
OCD=∠OBD=90°,
∴OC⊥CD,∴CD是⊙O的切线.
2.如图所示,已知直线AB经过⊙O上的点C,并且OA=OB,CA=CB.求证:直线AB是⊙O的切线.
[解析]要证明直线AB是⊙O的切线,由于直线AB与⊙O已有公共点C,所以连接OC,只需要证明OC⊥AB即可.证明:如图,连接OC.∵OA=OB,CA=CB,
∴△OAB是等腰三角形,OC是底边AB上的中线,∴OC ⊥AB.
∵AB经过半径OC的外端点C,
∴AB是⊙O的切线(经过半径的外端点并
且垂直于这条半径的直线是圆的切线).
3.如图所示,AB是⊙O的直径,BD是⊙O的弦,延长BD到点C,使DC=BD,连接AC,过点D作DE⊥AC,垂足为E.
(1)求证:AB=AC;(2)求证:DE为⊙O的切线.
圆的割线定理证明过程
圆的割线定理证明过程
圆的割线定理,也被称为切割线定理或切线切割定理,描述了一个割线和其所截取圆上弧的关系。这个定理可以表述为:一个割线通过圆上的两点,其所截取的弧等于这两点之间的圆周角的一半。
设在圆上有两点A和B,割线AB截取的弧为CD(圆上其他点的名称),则有以下证明过程:
1.连接圆心:从割线的两个端点A和B引出一条线段,连接到
圆的圆心O。
2.垂直关系:证明AO和BO是割线的两条半径。在圆上,半径
与切线垂直。因此,AO和BO垂直于割线AB。
3.角的性质:利用垂直交角相等的性质,得知∠AOB是一个直
角。
4.割线和弦的关系:利用割线截取弧等于所截取圆周角的一半的
性质,可以得到角∠ACB(或∠CDB)是∠AOB的一半。
5.等腰三角形:由于AO和BO是半径,所以三角形AOB是一
个等腰三角形。
6.弧的性质:由于等腰三角形的底边AB对应于弧CD,所以弧
CD等于弧CB。
这样,就证明了割线AB截取的弧CD等于割线所截取圆周角∠AOB的一半。这个过程可以根据具体的情况稍作变化,但核心思想是利用垂直交角相等和等腰三角形的性质。
与圆的切线有关的计算与证明
与圆的切线有关的计算与证明(1)
类型之一 与切线的性质有关的计算或证明 【经典母题】
如图Z12- 1,0 O 的切线PC 交直径AB 的延长线于点P , C 为切点,若/ P
=30°,0 O 的半径为1,贝U PB 的长为 1 .
【解析】如答图,连结0C.
••• PC 为 O O 的切线,•••/ PC0 = 90°, 在 Rt A 0CP 中0C = 1,Z P = 30°, •••OP = 2OC = 2,
••• PB = OP -0B = 2- 1 = 1.
【思想方法】 (1)已知圆的切线,可得切线垂直于过切点的半径; ⑵已知圆 的切线,常作过切点的半径,得到切线与半径垂直. 【中考变形】
[2017天津]已知AB 是O 0的直径,AT 是O 0的切线,/ ABT = 50°, BT 交
O 0于点C , E 是AB 上一点,延长CE 交O 0于点D.
(1) 如图Z12-2①,求/ T 和/CDB 的大小; (2) 如图②,当BE = BC 时,求/ CD0的大小.
图 Z12-2
解:(1)如答图①,连结AC ,
图 Z12-
1 经典母题答图
A
①
••• AT 是。O 的切线,AB 是。O 的直径, ••• AT 丄AB ,即/ TAB = 90°,
vZ ABT = 50°,A Z T = 90°—/ABT = 40
由AB 是 O O 的直径,得Z ACB = 90
•••Z CAB = 90°— Z ABC = 40°,:Z CDB =Z CAB = 40°;
• Z BCE =Z BEC = 65°,:Z BAD = Z BCD = 65 v OA = OD ,•••/ ODA =Z OAD =
证明圆的切线的七种常用方法-圆的切线证明7种方法
证明圆的切线的七种常用方法
证明一条直线是圆的切线的方法及辅助线的作法
1、连半径、证垂直:当直线和圆有一个公共点时,把圆心和这个公共点连接起来,然后证明直线垂直于这条半径,简称“连半径,证垂直”
2、作垂直,证半径:当直线和圆的公共点没有明确时,可以过圆心作直线的垂线,再证圆心到直线的距离等于半径,简称“作垂直,证半径”
类型一、有公共点:连半径,证垂直
方法1、勾股定理逆定理法证垂直
1.如图,AB为⊙O的直径,点P为AB延长线上一点,点C为圆⊙O上一点,PC=8,PB =4,AB=12,求证:PC是⊙O的切线.
方法2、特殊角计算法证垂直
2、如图,△ABC内接于⊙O,∠B=60°,CD是⊙O的直径,点P是CD延长线上的一点,
且AP=AC.
(1)求∠P的度数;
(2)求证:P A是⊙O的切线;
(3)若PD=5,求⊙O的直径.
方法3、等角代换法证垂直
3、如图,已知Rt △ABC 中,∠C =90°,D 为BC 的中点,以AC 为直径的⊙O 交AB 于点E 。求证:DE 是⊙O 的切线;
方法4、平行线性质法证垂直
4、如图,已知平行四边形OABC 的三个顶点A 、B 、C 在以O 为圆心的半圆上,过点C 作CD ⊥AB ,分别交AB 、AO 的延长线于点D 、E ,AE 交半圆O 于点F ,连接CF .且︒=∠30E ,点B 是的中点
(1)判断直线DE 与半圆O 的位置关系,并说明理由;
(2)求证CF=OC
(2)若半圆O 的半径为6,求DC 的长.
方法5 全等三角形法证垂直
5、如图,AB 是⊙O 的直径,点C 、D 在⊙O 上,且四边形AOCD 是平行四边形,过点D 作⊙O 的切线,交OC 的延长线于点F ,连接BF ,求证:BF 是⊙O 的切线。
与圆的切线有关的计算与证明
与圆的切线有关的计
算与证明
与圆的切线有关的计算与证明
类型之一与切线的性质有关的计算或证明
【经典母题】
如图Z12-1,⊙O的切线PC交直径AB的延长线于点P,C为切点,若∠P =30°,⊙O的半径为1,则PB的长为__1__.
图Z12-1 经典母题答图
【解析】如答图,连结OC.
∵PC为⊙O的切线,∴∠PCO=90°,
在Rt△OCP中,∵OC=1,∠P=30°,
∴OP=2OC=2,
∴PB=OP-OB=2-1=1.
【思想方法】(1)已知圆的切线,可得切线垂直于过切点的半径;(2)已知圆的切线,常作过切点的半径,得到切线与半径垂直.
【中考变形】
[2017·天津]已知AB是⊙O的直径,AT是⊙O的切线,∠ABT=50°,BT交⊙O于点C,E是AB上一点,延长CE交⊙O于点D.
(1)如图Z12-2①,求∠T和∠CDB的大小;
(2)如图②,当BE=BC时,求∠CDO的大小.
图Z12-2
解:(1)如答图①,连结AC,
∵AT是⊙O的切线,AB是⊙O的直径,
∴AT⊥AB,即∠TAB=90°,
∵∠ABT=50°,∴∠T=90°-∠ABT=40°,
由AB是⊙O的直径,得∠ACB=90°,
∴∠CAB=90°-∠ABC=40°,∴∠CDB=∠CAB=40°;
中考变形答图①中考变形答图②
(2)如答图②,连结AD,
在△BCE中,BE=BC,∠EBC=50°,
∴∠BCE=∠BEC=65°,∴∠BAD=∠BCD=65°,
∵OA=OD,∴∠ODA=∠OAD=65°,
∵∠ADC=∠ABC=50°,
∴∠CDO=∠ODA-∠ADC=65°-50°=15°.
与圆的切线有关的计算与证明
与圆的切线有关的计算与证明
类型之一 与切线的性质有关的计算或证明
【经典母题】
如图Z12- 1,0 O 的切线PC 交直径AB 的延长线于点P, C 为切点,若/ P= 30°,O O 的半径为1,贝U PB 的长为__1__.
【解析】如答图,连结0C
••• PC 为 0 0的切线,•••/ PC3 90°,
在 Rt △ OCP 中, v 0C= 1,Z P= 30°,
•••0P= 20C= 2, ••• PB= OP - 0B= 2- 1 = 1.
【思想方法】 (1)已知圆的切线,可得切线垂直于过切点的半径; (2)已知
圆的切线,常作过切点的半径,得到切线与半径垂直.
【中考变形】
[2017天津]已知AB 是O 0的直径,AT 是00的切线,/ ABT= 50°, BT 交O 0 于点C, E 是AB 上一点,延长CE 交O O 于点D
(1) 如图Z12-2①,求/T 和/CDB 的大小; (2) 如图②,当BE= BC 时,求/CDO 的大小.
图 Z12- 1 经典母题答图
图 Z12- 2 解:(1)如答图①,连结AC
••• AT 是。0的切线,AB 是。0的直径,
••• AT 丄 AB,即/ TAB= 90 °,
•••/ AB 匸 50°,AZ T = 90°—/ AB 匸 40°,
由AB 是O O 的直径,得/ AC* 90°,
•••/ CAB= 90°— / ABC= 40°,A / CD * / CAB= 40°;
中考变形答图①
中考变形答图②
⑵如答图②,连结AD,
在^ BCE 中, BE* BC, / EBC*50°,
圆的切线方程公式证明
圆的切线方程公式证明
首先,我们知道圆是由一组等距离于圆心的点组成的。圆中心到圆上
任意一点的距离被称为半径,记为r。除此之外,根据圆的定义,任意一
条直线与圆相交的情况有三种:相离、相切和相交。我们目前关注的是与
圆相切的情况。
设圆的方程为:(x - a)² + (y - b)² = r²,其中(a, b)为圆心坐标。我们要证明的是,与该圆相切的直线的方程为:lx + my + n = 0。
为了证明这个结论,我们可以采用几何的方法和代数的方法相结合。1.几何证明:
我们先设想一条直线与圆相切于点P(x₀,y₀)。我们可以从几何性质出发,来推导直线的方程。
首先,我们可以得知圆心O到切点P的距离与切点P的切线垂直相交。因此,切点P的切线与圆心O到切点P的连线垂直相交。
根据直线的垂直线性质,我们可以得到该切线的方向向量为v₁=(a-
x₀,b-y₀)。
而对于直线的方程,我们可以设定一个系数k,将切线的方向向量乘
以k,得到:v₂=k(a-x₀,b-y₀)。
根据直线的一般式方程,直线的方程为:lx + my + n = 0。
因此,我们可以得到线段OP的方向向量为v₃=(x-x₀,y-y₀)。
根据向量的内积性质,我们可以得到v₂·v₃=0。即k(a-x₀,b-y₀)·(x-
x₀,y-y₀)=0。
展开上式并整理,我们得到k(ax + by - ax₀ - by₀ - r²) = 0。
由于k是任意的系数,我们可以将k设定为1,从而得到:ax + by
- ax₀ - by₀ - r² = 0。
根据圆的方程,我们可以得到ax₀ + by₀ = r²。将其代入上式中,得到:ax + by - ax₀ - by₀ - r² = 0。
圆的切线的二级结论及其证明
圆的切线的二级结论及其证明
结论一:过圆x 2+y 2=r 2上一点(x 0,y 0)的切线方程:x 0⋅x +y 0⋅y =r 2 标准方法:
由题意可知切线过(x 0,y 0),只需要求得斜率k 即可
方法一:由初中阶段圆的切线知识可知,切线与过切点的半径互相垂直
而过切点的半(直)径的斜率为y 0x 0
∴切线的斜率k =-x 0y 0
∴切线方程为 y -y 0=-x 0y 0
(x -x 0) 即y 0y -y 02=-x 0x +x 02
点(x 0,y 0)在圆上
∴x 02+y 02=r 2
移项可得x 0⋅x +y 0⋅y =r 2
方法二:圆心到直线的距离为r
设直线为y -y 0=k (x -x 0),即kx -y -kx 0+y 0=0
圆心到该直线的距离
d =|-kx 0+y 0|k 2+1
=r (注意目标:解出k ) k 2x 02-2kx 0y 0+y 02=r 2(k 2+1) (解出k 恐怕不太容易)
整理可得: (x 02-r 2)k 2-2x 0y 0k +y 02-r 2=0 (由k 的唯一性可知这货的∆=0)
∴k =x 0y 0x 02-r
2 ∴切线方程为: y -y 0=x 0y 0x 02-r
2(x -x 0) 整理为: x 02y -r 2y +y 0r 2
=x 0y 0x (这怎么能是答案呢?但真的是)
∵点(x 0,y 0)在圆上
∴x 02+y 02=r 2
∴x 02 =r 2-y 02
代入上式:(r 2-y 02)y -r 2y +y 0r 2=x 0y 0x
证明圆的切线方法
证明圆的切线方法
圆的切线是指与圆相切且经过切点的直线。证明圆的切线有多种方法,下面将详细介绍三种常用的方法。
方法一:使用勾股定理证明切线长度与切点到圆心距离的关系。
设圆的圆心为O,切点为A,切线与圆的交点为B。我们需要证明
OA⊥AB。
1.根据勾股定理,可知直角三角形OAB成立。因为OA为半径,AB为
切线,所以OA⊥AB取证。
2.为了得到与切线相垂直的线段,我们取切点A为起点,用圆心O为
终点,连接AO。
3.连接OB。
4.观察△OAB和△OBA,它们有共边OA,且OO相等且共线,所以两个
三角形是全等三角形。
5.根据全等三角形的性质可知,∠OAB=∠OBA,又∠OAB为直角,所
以∠OBA也是直角。
6.根据直角三角形的定义可知,线段OB⊥AB。
因此,我们证明了圆的切线与半径的垂直。
方法二:使用割线定理证明切线的长度。
设圆的圆心为O,半径为r,切点为A,切线与圆的交点为B,圆上的
一点为C。
1.连接OA、OB、OC。
2.观察△OAB和△OAC,它们有共边OA,且∠OAB为直角,所以两个
三角形是相似三角形。
3.根据相似三角形的性质可知,AB/OB=OA/OC。
4.由于直角三角形中,OA=r,所以AB/OB=r/OC。
5.由于OA⊥AB,所以∠OAB=90°,所以∠OCB也是直角。
6.根据直角三角形的定义可知,线段OC⊥CB。
由于OC⊥AB,且OC⊥CB,所以线段AB⊥CB。
因此,我们证明了圆的切线与半径的垂直。
方法三:使用割线与切线的交角性质证明切线的存在性。
设圆上的一点为P,切点为A,切线与圆的交点为B。
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圆切线的证明及有关计算(一)
一、课标要求
了解切线的概念:探索切线与过切点的半径之间的关系;能判定一条直线是否为圆的切线。会过圆上一点画圆的切线。
二、教学目标
1.归纳直线与圆相切的性质和判定方法以及切线长定理,并能运用这些知识进行计算和证明;2.在计算与证明中培养学生的分析问题、解决问题以及综合运用知识的能力。
三、教学重点
运用切线的性质和判定方法进行计算与证明。
四、教学难点
灵活运用所学知识解决有关切线问题。
五、【基础知识回顾】
(一).切线的定义:
(二).切线性质:
圆的切线______于过切点的半径.
提醒:根据这一定理,在圆中遇到切线时,常连接圆心和切点,即可得垂直关系
(三).切线判定:
(1) 和圆有唯一公共点的直线是圆的切线.(定义)
(2) 经过半径的外端且______这条半径的直线是圆的切线.(判定定理)
(3) 如果圆心到一条直线的距离等于______,那么这条直线是圆的切线.
提醒:1、在切线的判定中,当直线和圆的公共点标出时,用判定定理证明(连半径,证垂直).
2、当公共点未标出时,一般可证圆心到直线的距离d=r来判定相切(作垂直,证半径). (四).切线长
(1)切线长定义:
经过圆外一点作圆的切线,这点和切点之间的,叫做这点到圆的切线长.
(2)切线长定理:
从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的相等,这一点和圆心的连线两条切线的夹角
六.【典型例题解析】
考点一:与切线性质有关的计算
例1、(九上P122 1(4))如图,P A、PB切⊙O于A、B两点,且
∠P=70°,则∠C=_______.
分析:连接OA、OB,则OA⊥PA,OB⊥PB, 易得四边形
APBO的内角∠AOB的度数,从而可得∠C。
(变式)如图,P A、PB切⊙O于A、B两点,点C在⊙O上,
且∠ACB=50°,则∠P=_______.
例2、如图,在等腰直角三角形ABC中,AB=AC=8,O为BC
的中点,以O为圆心作半圆,使它与AB,AC都相切,切点分
别为D,E,则⊙O的半径为()
A.8B.6 C.5 D.4
分析:连接OD、OE,则OD⊥BA,OE⊥AC,根据切线长定理
得AD=AE,易得正方形ADOE;若设OD=x,根据勾股定理可得OD2+BD2=BO2从而得到方程,通过解方程既得⊙O的半径。
【备考指导】解决与切线有关的求角度或线段问题的方法:当已知切线时,常作辅助线连接切点与圆心或寻找直径所对的圆周角,构造直角三角形,然后利用勾股定理或相关的三角函数知识计算线段长度;而在求角度时,往往与圆周角、圆心角有关,求解过程中有时需要作出合适的辅助线,构造与所求角有关的圆心角或直角三角形进行求解。
考点二:与切线判定有关的证明
例3.已知:如图, AB是⊙O的直径, ⊙O过BC的中点D, 且DE⊥AC于点E.
(1)求证: DE是⊙O的切线;
(2) 若∠C=30°,CD=10 cm, 求⊙O的直径.
分析:(1)若所证直线与圆的交点字母标出,则连接这条半径,证明这
条半径________所证直线;
(2)利用等腰三角形和直角三角形知识可求.
【备考指导】证明直线是圆的切线的方法:①可以利用定义判定,
与圆只有一个公共点的直线是圆的切线;②若已知直线与圆有公
共点,连接过这点的半径,证明这条半径与直线垂直即可,可简述为:有切点,连圆心,证垂直;③若未知直线与圆的交点,过圆心作直线的垂线段,证明垂线段的长等于圆的半径.可简述为:无切点、作垂直、证相等.
七、中考链接
(一)基础达标训练
1.(13.河池)如图,⊙O的半径为3,P是CB延长线上一点,PO=5,PA切⊙O于A点,
则PA=.
2. (14.湘潭)如图,AB为⊙O的直径,C为⊙O外一点,过C作⊙O的切线,切点为B, 连接AC交⊙O于D,∠C=38°,点E在AB右侧的半圆上运动(不与A、B重合), 则∠AED的大小是( )
A.19° B.38° C.52° D.76°
第1题 第2题 第3题
3.(12.玉林)如图,Rt△ABC的内切圆⊙O与两直角边AB,BC分别相切于点D,E,过劣弧DE(不包括端点D,E)上任一点P作⊙O的切线MN与AB、BC分别交于点M、N,若⊙O的半径为r,则Rt△MBN的周长为 ( )
4.(14.玉林)如图,直线MN与⊙O相切于点M,ME=EF 且EF∥MN,则cosE= .
5.(12.玉林改编)如图,以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆,经过A、B两点,且与BC边交于点E,D为BE的下半圆弧的中点,连接AD交BC于F,若AC=FC.
求证:AC是⊙O的切线;
(二)能力提升
1.(14.无锡)如图,AB 是⊙O 的直径,CD 是⊙O 的切线,切点为
D ,CD 与AB 的延长线交于点C ,∠A=30°,给出下面3个结论:
①AD=CD ;②BD=BC ;③AB=2BC ,其中正确结论的个数是( )
A .3
B .2
C .1
D .0
r A 2
5 D. 2r . C r 23 B.r
.
2.(14.内江)如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=6,
以斜边AB上的一点O为圆心所作的半圆分别与AC、BC
相切于点D、E,则AD为()
A.2.5 B.1.6 C.1.5 D.1
3.(1
4.贺州九下P102第11题变式)如图,AB,BC,CD分别与⊙O相切于E,F,G,且AB∥CD,BO=6cm,CO=8cm.
(1)求证:BO⊥CO;(2)求BE和CG的长.
4.(13.南宁)如图,在△ABC中,∠BAC=90,AB=AC,AB是⊙O的直径,⊙O交BC于点D,DE ⊥AC于点E,BE交⊙O于点F。
(1)求证:DE是O的切线。
(2)求tan∠ABE的值;
(3)若OA=2,求线段AP的长。
5.(14.南宁)如图,△ABC是等腰直角三角形,AC=BC=a,以斜边AB上的点O为圆心的圆分别与AC,BC相切与点E,F,与AB分别交于点G,H,且EH的延长线和CB 的延长线交于点D,则CD 的长为.