圆的切线证明及有关计算

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证明圆的切线的两种方法

一、通过圆的性质证明圆的切线

圆的切线是与圆相切且只与圆相交于切点的直线。我们可以通过圆的性质来证明圆的切线。

1. 方法一：利用圆的切线垂直于半径的性质证明

对于任意一点P在圆上，连接圆心O与点P，并延长线段OP。根据圆的性质可知，线段OP是圆的半径。

假设有一条直线l与圆相交于点A，且线段OA是圆的半径。我们要证明直线l是圆的切线。

我们可以得到三角形OAP。根据直角三角形的性质可知，线段OP与线段AP垂直。因此，直线l与线段OA垂直。

我们要证明直线l只与圆相交于点A。假设直线l与圆相交于另一点B，连接线段OB。根据圆的性质可知，线段OB是圆的半径。由于线段OA与线段OB都是圆的半径，所以线段OA等于线段OB。然而，根据直线的性质可知，直线l是直线OB的切线。因此，线段OA与线段OB的长度相等，与直线l只与圆相交于点A的性质相矛盾。所以，直线l只与圆相交于点A，即直线l是圆的切线。

因此，我们通过圆的切线垂直于半径的性质证明了直线l是圆的切线。

2. 方法二：利用圆的切线与半径的斜率关系证明

对于任意一点P在圆上，连接圆心O与点P，并延长线段OP。根据圆的性质可知，线段OP是圆的半径。

假设有一条直线l与圆相交于点A，且线段OA是圆的半径。我们要证明直线l是圆的切线。

我们可以得到直线l的方程。设直线l的斜率为k，直线l的方程为y = kx + b。

我们要证明直线l的斜率与线段OA的斜率相等。由于线段OA是圆的半径，所以线段OA的斜率等于0。根据直线的性质可知，直线l 与线段OA垂直，即直线l的斜率与线段OA的斜率的乘积为-1。因此，直线l的斜率等于0的倒数，即k = 0。

圆的切线证明方法归纳

切线是指与圆相切且与圆的半径垂直的直线。在几何学中，圆的

切线是一个重要的概念。证明圆的切线有许多不同的方法，下面将介

绍一些常见的证明方法。

1.垂直切线法：

这是最常见的证明方法之一。具体步骤如下：

（1）假设圆的半径r，圆心O，切点A和切线上的一点T。

（2）连接OA，并且将OA延长到交切线于点T。

（3）根据勾股定理可得：OA^2 =OT^2 + AT^2。

（4）由于OT和AT都是切线的一部分，所以OT和AT都垂直于OA。

（5）根据垂直定理可知OT和AT平方和等于OA的平方，即OT^2 + AT^2 = OA^2。

（6）根据步骤4和5可得：AT^2 = OA^2 - OT^2。

（7）OT是半径,所以OT^2= r^2，代入上式得：AT^2 = OA^2 -

r^2。

（8）AT是切线的一部分，所以AT > 0。因此，OA^2 - r^2 > 0。

（9）根据正数平方根的性质，OA^2 - r^2的平方根存在。

（10）所以，根据步骤9，AT存在，即OT与切线上的一点T并非

同一点。

（11）由于OT与圆的半径相交于点O，所以OT是与半径垂直的直线，即切线。

2.切线垂直与半径的证明：

这种证明方法基于一个重要的定理：切线垂直于半径。

具体步骤如下：

（1）假设圆的半径r，圆心O，切点A和切线上的一点T。

（2）连接OA和OT。

（3）由于AO是圆的半径，所以AO与圆心O的向量相等，即AO = OT。

（4）由于切线与圆相切，切点A是切线上的一点，所以OA与切

线垂直。

（5）根据向量几何的性质可得，向量OA与向量OT垂直。

圆切线判定定理的证明

引言：

圆是几何学中常见的基本图形之一，研究圆的性质和定理对于解决几何问题非常重要。本文将探讨圆切线判定定理的证明过程。

一、圆切线的定义

在几何学中，圆切线是指与圆相切且只与圆相交于切点的直线。圆切线与圆的切点只有一个，这是圆切线与其他直线的区别之一。

二、圆切线判定定理的描述

圆切线判定定理可以描述为：如果一条直线与圆相交于圆上的一点，并且直线通过该点的切线，那么这条直线就是圆的切线。

三、证明过程

为了证明圆切线判定定理，我们需要使用一些基本的几何定理和性质。

1. 定理一：半径垂直于切线

根据圆的性质，半径与圆上任意一点的连线垂直于圆的切线。这一定理是我们证明圆切线判定定理的关键。

2. 定理二：圆心角的性质

圆心角的度数是圆上两条弧所对的角的度数。根据圆心角的性质，圆心角的度数是其所对的弧所占整个圆的度数的一半。

3. 定理三：切线与半径的夹角

由于切线与半径垂直，所以切线与半径的夹角为90度。

基于以上几个定理，我们可以开始证明圆切线判定定理。

证明：

设圆C的圆心为O，半径为r。直线l与圆C相交于点A，并且直线l通过点A的切线。

1. 连接OA，得到AO为半径r。

2. 由定理一可知，直线l与半径OA垂直。

3. 由定理三可知，直线l与半径OA的夹角为90度。

4. 假设直线l不是圆C的切线，即直线l与圆C有第二个交点B。

5. 连接OB，并作OB的垂直平分线，交圆C于点M。

6. 由于OM为半径，所以OM=r。

7. 由定理二可知，∠OMB是圆心角，所以∠OMB的度数是弧AB 的度数的一半。

证明圆的切线的七种常用方法

类型1、有公共点：连半径，证垂直

方法1、勾股定理逆定理法证垂直

1.如图，⊙O的直径AB=12，点P是AB延长线上一点，且PB=4，点C是⊙O上一点，PC=8. 求证：PC是⊙O的切线.

方法2、特殊角计算法证垂直

2. 如图，△ABC内接于⊙O，∠B=60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上一点，且AP=AC.

（1）求证：P A是⊙O的切线；

（2）若PD =5，求⊙O 的直径.

方法3、等角代换法证垂直

3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D为BC 的中点，以AC 为直径的⊙O交AB于点E . 求证：DE是⊙O 的切线.

方法4、平行线性质法证垂直

4.如图，已知四边形OABC的三个顶点A ，B ，C在以O为圆心的半圆上，过点C 作CD ⊥AB，分别交AB，AO 的延长线于点D，E，AE交半圆O于点F，连接CF，且∠E=30°，

点B是︵

AC的中点.

(1)判断直线DE与半圆O的位置关系，并说明理由；

(2)求证：CF=OC；

(3)若⊙O的半径是6，求DC的长.

B P

D O

A O F E

方法5、全等三角形法证垂直

5.如图，AB 是⊙O 的直径，点C ，D 在⊙O 上，且四边形AOCD 是平行四边形，过点D 作⊙O 的切线，交OC 的延长线于点F ，连接BF .

求证：BF 是⊙O 的切线.

类型2、无公共点：作垂直，证半径

方法6、角平分线性质法证半径

6.如图，在Rt △ABC 中，∠B =90°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，E 是AB 上一点，DE =DC ，以点D 为圆心，BD 长为半径作OD ，AB =5，EB =2. (1)求证：AC 是OD 的切线；

圆的切线的证明与计算

AC于点E，源自文库点E作AB的垂线于点F，交CB的延长线于
点G ，且∠ABG=2∠C.
（1）求证：EG是1 ⊙O的切线；
A
2 （2）若tanC = , AC=8,求⊙O的半径.
E F
C
O
G B
直击中考（2019年毕节中考）
26．（14分）如图，点P在⊙O外，PC是⊙O的切线，C 为切点，直线PO与⊙O相交于点A、B．（1）若∠A＝30°，求证：PA＝3PB；（2）小明发现，∠A在一定范围内变化时，始终有 ∠BCP＝（90°﹣∠P）成立．请你写出推理过程．
11
【中考预测】
如图，⊙O的直径AB为10 cm，弦BC为6 cm，D是∠ACB的平分线与
⊙O的交点，与AB交与点E，P为AB延长线上一点，且PC＝PE.
(1)求AC，AD的长； (2)试判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由．
直击中考（2018年毕节中考）
26，（14分）如图，在△ABC中，以BC为直径的⊙O交
【中考预测】
如图，在△ABC中，AB＝AC， ∠BAC＝54°，以AB为直径的⊙O分别交 AC，BC于点D，E，过点B作⊙O的切线，交AC的延长线于点F. (1)求证：BE＝CE； (2)求∠CBF的度数；
︵ (3)若 AB＝6，求AD的长．
类型之二与切线的判定有关的计算或证明【教材原型】

数学专题-切线的证明与圆的计算

专题一:圆的切线

直线与圆相切是圆的重点，也是中考的热点．证明、判断或探究直线与圆相切的题目虽然很多，但是在这些众多的题目中，只有两个类型．

►类型之一有公共点时，连接圆心与公共点，证垂直

当要证明的直线与圆有公共点时，连接圆心与公共点，证明此半径与直线垂直，利用“经过半径的外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线”可证明直线是圆的切线．1．如图所示，⊙O是△ABC的外接圆，点O在AB上，BD ⊥AB，B是垂足，OD∥AC，连接CD.求证：CD是⊙O的切线．

证明：如图，连接CO.

∵OD∥AC，∴∠COD＝∠ACO，∠CAO＝∠DOB.

∵OC＝OA，∴∠ACO＝∠CAO，∴∠COD＝∠BOD.

又∵OD＝OD，OC＝OB，∴△COD≌△BOD，∴∠

OCD＝∠OBD＝90°，

∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切线．

2.如图所示，已知直线AB经过⊙O上的点C，并且OA＝OB，CA＝CB.求证：直线AB是⊙O的切线．

[解析]要证明直线AB是⊙O的切线，由于直线AB与⊙O已有公共点C，所以连接OC，只需要证明OC⊥AB即可．证明：如图，连接OC.∵OA＝OB，CA＝CB，

∴△OAB是等腰三角形，OC是底边AB上的中线，∴OC ⊥AB.

∵AB经过半径OC的外端点C，

∴AB是⊙O的切线(经过半径的外端点并

且垂直于这条半径的直线是圆的切线)．

3．如图所示，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC＝BD，连接AC，过点D作DE⊥AC，垂足为E.

(1)求证：AB＝AC；(2)求证：DE为⊙O的切线．

圆的割线定理证明过程

圆的割线定理，也被称为切割线定理或切线切割定理，描述了一个割线和其所截取圆上弧的关系。这个定理可以表述为：一个割线通过圆上的两点，其所截取的弧等于这两点之间的圆周角的一半。

设在圆上有两点A和B，割线AB截取的弧为CD（圆上其他点的名称），则有以下证明过程：

1.连接圆心：从割线的两个端点A和B引出一条线段，连接到

圆的圆心O。

2.垂直关系：证明AO和BO是割线的两条半径。在圆上，半径

与切线垂直。因此，AO和BO垂直于割线AB。

3.角的性质：利用垂直交角相等的性质，得知∠AOB是一个直

角。

4.割线和弦的关系：利用割线截取弧等于所截取圆周角的一半的

性质，可以得到角∠ACB（或∠CDB）是∠AOB的一半。

5.等腰三角形：由于AO和BO是半径，所以三角形AOB是一

个等腰三角形。

6.弧的性质：由于等腰三角形的底边AB对应于弧CD，所以弧

CD等于弧CB。

这样，就证明了割线AB截取的弧CD等于割线所截取圆周角∠AOB的一半。这个过程可以根据具体的情况稍作变化，但核心思想是利用垂直交角相等和等腰三角形的性质。

与圆的切线有关的计算与证明

与圆的切线有关的计算与证明（1）

类型之一与切线的性质有关的计算或证明【经典母题】

如图Z12- 1,0 O 的切线PC 交直径AB 的延长线于点P , C 为切点，若/ P

=30°,0 O 的半径为1,贝U PB 的长为 1 .

【解析】如答图，连结0C.

••• PC 为 O O 的切线，•••/ PC0 = 90°, 在 Rt A 0CP 中0C = 1,Z P = 30°, •••OP = 2OC = 2,

••• PB = OP -0B = 2- 1 = 1.

【思想方法】（1）已知圆的切线，可得切线垂直于过切点的半径； ⑵已知圆的切线，常作过切点的半径，得到切线与半径垂直. 【中考变形】

[2017天津]已知AB 是O 0的直径，AT 是O 0的切线，/ ABT = 50°, BT 交

O 0于点C , E 是AB 上一点，延长CE 交O 0于点D.

（1）如图Z12-2①，求/ T 和/CDB 的大小；（2）如图②，当BE = BC 时，求/ CD0的大小.

图 Z12-2

解：（1）如答图①，连结AC ,

图 Z12-

1 经典母题答图

①

••• AT 是。O 的切线，AB 是。O 的直径, ••• AT 丄AB ,即/ TAB = 90°,

vZ ABT = 50°,A Z T = 90°—/ABT = 40

由AB 是 O O 的直径，得Z ACB = 90

•••Z CAB = 90°— Z ABC = 40°,：Z CDB =Z CAB = 40°;

• Z BCE =Z BEC = 65°,：Z BAD = Z BCD = 65 v OA = OD ,•••/ ODA =Z OAD =

证明圆的切线的七种常用方法-圆的切线证明7种方法

证明圆的切线的七种常用方法

证明一条直线是圆的切线的方法及辅助线的作法

1、连半径、证垂直：当直线和圆有一个公共点时，把圆心和这个公共点连接起来，然后证明直线垂直于这条半径，简称“连半径，证垂直”

2、作垂直，证半径：当直线和圆的公共点没有明确时，可以过圆心作直线的垂线，再证圆心到直线的距离等于半径，简称“作垂直，证半径”

类型一、有公共点：连半径，证垂直

方法1、勾股定理逆定理法证垂直

1．如图，AB为⊙O的直径，点P为AB延长线上一点，点C为圆⊙O上一点，PC＝8，PB ＝4，AB＝12，求证：PC是⊙O的切线．

方法2、特殊角计算法证垂直

2、如图，△ABC内接于⊙O，∠B＝60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上的一点，

且AP＝AC．

（1）求∠P的度数；

（2）求证：P A是⊙O的切线；

（3）若PD＝5，求⊙O的直径．

方法3、等角代换法证垂直

3、如图，已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D 为BC 的中点，以AC 为直径的⊙O 交AB 于点E 。求证：DE 是⊙O 的切线；

方法4、平行线性质法证垂直

4、如图，已知平行四边形OABC 的三个顶点A 、B 、C 在以O 为圆心的半圆上，过点C 作CD ⊥AB ，分别交AB 、AO 的延长线于点D 、E ，AE 交半圆O 于点F ，连接CF ．且︒=∠30E ，点B 是的中点

（1）判断直线DE 与半圆O 的位置关系，并说明理由；

（2）求证CF=OC

（2）若半圆O 的半径为6，求DC 的长．

方法5 全等三角形法证垂直

5、如图，AB 是⊙O 的直径，点C 、D 在⊙O 上，且四边形AOCD 是平行四边形，过点D 作⊙O 的切线，交OC 的延长线于点F ，连接BF ，求证：BF 是⊙O 的切线。

与圆的切线有关的计算与证明

与圆的切线有关的计

算与证明

与圆的切线有关的计算与证明

类型之一与切线的性质有关的计算或证明

【经典母题】

如图Z12－1，⊙O的切线PC交直径AB的延长线于点P，C为切点，若∠P ＝30°，⊙O的半径为1，则PB的长为__1__．

图Z12－1 经典母题答图

【解析】如答图，连结OC.

∵PC为⊙O的切线，∴∠PCO＝90°，

在Rt△OCP中，∵OC＝1，∠P＝30°，

∴OP＝2OC＝2，

∴PB＝OP－OB＝2－1＝1.

【思想方法】(1)已知圆的切线，可得切线垂直于过切点的半径；(2)已知圆的切线，常作过切点的半径，得到切线与半径垂直．

【中考变形】

[2017·天津]已知AB是⊙O的直径，AT是⊙O的切线，∠ABT＝50°，BT交⊙O于点C，E是AB上一点，延长CE交⊙O于点D.

(1)如图Z12－2①，求∠T和∠CDB的大小；

(2)如图②，当BE＝BC时，求∠CDO的大小．

图Z12－2

解：(1)如答图①，连结AC，

∵AT是⊙O的切线，AB是⊙O的直径，

∴AT⊥AB，即∠TAB＝90°，

∵∠ABT＝50°，∴∠T＝90°－∠ABT＝40°，

由AB是⊙O的直径，得∠ACB＝90°，

∴∠CAB＝90°－∠ABC＝40°，∴∠CDB＝∠CAB＝40°；

中考变形答图①中考变形答图②

(2)如答图②，连结AD，

在△BCE中，BE＝BC，∠EBC＝50°，

∴∠BCE＝∠BEC＝65°，∴∠BAD＝∠BCD＝65°，

∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD＝65°，

∵∠ADC＝∠ABC＝50°，

∴∠CDO＝∠ODA－∠ADC＝65°－50°＝15°.

与圆的切线有关的计算与证明

类型之一与切线的性质有关的计算或证明

【经典母题】

如图Z12- 1,0 O 的切线PC 交直径AB 的延长线于点P, C 为切点，若/ P= 30°,O O 的半径为1,贝U PB 的长为__1__.

【解析】如答图，连结0C

••• PC 为 0 0的切线，•••/ PC3 90°,

在 Rt △ OCP 中, v 0C= 1,Z P= 30°,

•••0P= 20C= 2, ••• PB= OP - 0B= 2- 1 = 1.

【思想方法】 (1)已知圆的切线，可得切线垂直于过切点的半径； (2)已知

圆的切线，常作过切点的半径，得到切线与半径垂直.

【中考变形】

[2017天津]已知AB 是O 0的直径，AT 是00的切线，/ ABT= 50°, BT 交O 0 于点C, E 是AB 上一点，延长CE 交O O 于点D

(1) 如图Z12-2①，求/T 和/CDB 的大小； (2) 如图②，当BE= BC 时，求/CDO 的大小.

图 Z12- 1 经典母题答图

图 Z12- 2 解：(1)如答图①，连结AC

••• AT 是。0的切线，AB 是。0的直径，

••• AT 丄 AB,即/ TAB= 90 °,

•••/ AB 匸 50°,AZ T = 90°—/ AB 匸 40°,

由AB 是O O 的直径，得/ AC* 90°,

•••/ CAB= 90°— / ABC= 40°,A / CD * / CAB= 40°;

中考变形答图①

中考变形答图②

⑵如答图②，连结AD,

在^ BCE 中, BE* BC, / EBC*50°,

圆的切线方程公式证明

首先，我们知道圆是由一组等距离于圆心的点组成的。圆中心到圆上

任意一点的距离被称为半径，记为r。除此之外，根据圆的定义，任意一

条直线与圆相交的情况有三种：相离、相切和相交。我们目前关注的是与

圆相切的情况。

设圆的方程为：(x - a)² + (y - b)² = r²，其中(a, b)为圆心坐标。我们要证明的是，与该圆相切的直线的方程为：lx + my + n = 0。

为了证明这个结论，我们可以采用几何的方法和代数的方法相结合。1.几何证明：

我们先设想一条直线与圆相切于点P(x₀,y₀)。我们可以从几何性质出发，来推导直线的方程。

首先，我们可以得知圆心O到切点P的距离与切点P的切线垂直相交。因此，切点P的切线与圆心O到切点P的连线垂直相交。

根据直线的垂直线性质，我们可以得到该切线的方向向量为v₁=(a-

x₀,b-y₀)。

而对于直线的方程，我们可以设定一个系数k，将切线的方向向量乘

以k，得到：v₂=k(a-x₀,b-y₀)。

根据直线的一般式方程，直线的方程为：lx + my + n = 0。

因此，我们可以得到线段OP的方向向量为v₃=(x-x₀,y-y₀)。

根据向量的内积性质，我们可以得到v₂·v₃=0。即k(a-x₀,b-y₀)·(x-

x₀,y-y₀)=0。

展开上式并整理，我们得到k(ax + by - ax₀ - by₀ - r²) = 0。

由于k是任意的系数，我们可以将k设定为1，从而得到：ax + by

- ax₀ - by₀ - r² = 0。

根据圆的方程，我们可以得到ax₀ + by₀ = r²。将其代入上式中，得到：ax + by - ax₀ - by₀ - r² = 0。

圆的切线的二级结论及其证明

结论一：过圆x 2＋y 2＝r 2上一点(x 0，y 0)的切线方程：x 0⋅x ＋y 0⋅y ＝r 2 标准方法：

由题意可知切线过(x 0，y 0)，只需要求得斜率k 即可

方法一：由初中阶段圆的切线知识可知，切线与过切点的半径互相垂直

而过切点的半(直)径的斜率为y 0x 0

∴切线的斜率k ＝－x 0y 0

∴切线方程为 y －y 0＝－x 0y 0

(x －x 0) 即y 0y －y 02＝－x 0x ＋x 02

点(x 0，y 0)在圆上

∴x 02＋y 02＝r 2

移项可得x 0⋅x ＋y 0⋅y ＝r 2

方法二：圆心到直线的距离为r

设直线为y －y 0＝k (x －x 0)，即kx －y －kx 0＋y 0＝0

圆心到该直线的距离

d ＝|－kx 0＋y 0|k 2＋1

＝r (注意目标：解出k ) k 2x 02－2kx 0y 0＋y 02＝r 2(k 2＋1) (解出k 恐怕不太容易)

整理可得： (x 02－r 2)k 2－2x 0y 0k ＋y 02－r 2＝0 (由k 的唯一性可知这货的∆＝0)

∴k ＝x 0y 0x 02－r

2 ∴切线方程为： y －y 0＝x 0y 0x 02－r

2(x －x 0) 整理为： x 02y －r 2y ＋y 0r 2

＝x 0y 0x (这怎么能是答案呢？但真的是)

∵点(x 0，y 0)在圆上

∴x 02＋y 02＝r 2

∴x 02 ＝r 2－y 02

代入上式：(r 2－y 02)y －r 2y ＋y 0r 2＝x 0y 0x

证明圆的切线方法

圆的切线是指与圆相切且经过切点的直线。证明圆的切线有多种方法，下面将详细介绍三种常用的方法。

方法一：使用勾股定理证明切线长度与切点到圆心距离的关系。

设圆的圆心为O，切点为A，切线与圆的交点为B。我们需要证明

OA⊥AB。

1.根据勾股定理，可知直角三角形OAB成立。因为OA为半径，AB为

切线，所以OA⊥AB取证。

2.为了得到与切线相垂直的线段，我们取切点A为起点，用圆心O为

终点，连接AO。

3.连接OB。

4.观察△OAB和△OBA，它们有共边OA，且OO相等且共线，所以两个

三角形是全等三角形。

5.根据全等三角形的性质可知，∠OAB=∠OBA，又∠OAB为直角，所

以∠OBA也是直角。

6.根据直角三角形的定义可知，线段OB⊥AB。

因此，我们证明了圆的切线与半径的垂直。

方法二：使用割线定理证明切线的长度。

设圆的圆心为O，半径为r，切点为A，切线与圆的交点为B，圆上的

一点为C。

1.连接OA、OB、OC。

2.观察△OAB和△OAC，它们有共边OA，且∠OAB为直角，所以两个

三角形是相似三角形。

3.根据相似三角形的性质可知，AB/OB=OA/OC。

4.由于直角三角形中，OA=r，所以AB/OB=r/OC。

5.由于OA⊥AB，所以∠OAB=90°，所以∠OCB也是直角。

6.根据直角三角形的定义可知，线段OC⊥CB。

由于OC⊥AB，且OC⊥CB，所以线段AB⊥CB。

因此，我们证明了圆的切线与半径的垂直。

方法三：使用割线与切线的交角性质证明切线的存在性。

设圆上的一点为P，切点为A，切线与圆的交点为B。