圆的有关切线证明和计算
2.3、 圆的切线的性质及判定定理
即B一定点在圆外．由点B的任意性可知，圆与直线 只有一个公共点，因此l 是圆的切线．由此可得：
切线的判定定理：
经过半径的外端并且垂直于这 条半径的直线是圆的切线．
O
l
AB
例1 如图,AB是⊙O的直径, ⊙O过BC的中点D, DE⊥AC.求证:DE是⊙O是切线.
证明:连接OD.
∵BD=CD,OA=OB, ∴OD是△ABC的中位线,
D C
A
O
B
P322
思考:切线的性质定理逆命题“经过半径的外端并且 垂直于这条半径的直线是圆的切线．”是否成立?
已知：点A是⊙O与直线l 的公共点,且 l ⊥OA .
求证：圆与直线只有一个公共点 证明：在l 上任取异于点A的点B,则△OAB是Rt△
而OB是Rt△ OAB的斜边，因此，都有OB>OA,
C P321
∴OD//AC.
又∵∠DEC=90º ∴∠ODE=90º 又∵D在圆周上,
∴DE是⊙O是切线..E D NhomakorabeaB
A
O
三、 圆的切线的 性质及判定定理
O
r
l A MB
l
.O
1 切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．
l
AM
反证法
假设不垂直, 作OM⊥l
因“垂线段最 故OA>OM,
O
即短圆”心, 到直线距离小于半径.
这与线圆相切矛盾.
因为经过一点只有一条直线与已知直线垂直，所 以经过圆心垂直于切线的直线一定过切点；反之,过切 点且垂直于切线的直线也一定过圆心.由此得到：
推论1: 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.
推论2: 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.
圆中与有关切线的问题
圆中与有关切线的问题基础知识：一、切线的定义：①与圆只有一个公共点的直线。
②若圆心到直线的距离与半径相等。
二、切线的性质：1、若Ｌ是圆的切线，则圆心到直线的距离等于半径。
2、圆的切线垂直过切点的半径。
3、推论：圆心、切点、垂直三、切线的判定：1、定义法：与圆只有一个公共点。
2、数量法：∵d=r ∴直线是圆的切线3、过半径的外端且与它垂直的直线。
方法：a、有明确的公共点，作半径，证垂直；b、无明确公共点，过圆心作垂直，证半径。
四、与切线有关的问题：1、切线长定理：a、切线长定义：b、切线长定理：过圆外一点引圆的两条切线，这两条切线相等，连接圆心与圆外的点平分两切线所成的角。
2、弦切角：a、弦切角的定义：b、弦切角定理（不能直接用）弦切角等于弦切角所夹弧所对的圆周角。
3、三角形的内切圆：a、定义：如果三角形的三边都与这个圆相切，则这个圆叫这个三角形的内切圆。
b、Rt△内切圆半径公式：Rt△内切圆半径等于两直角边的和与斜边的差的一半。
c、四边形内切圆：对边和相等。
d、公切线（长）五、常用辅助线：作半径。
能力测试：一、填空题。
1、直线L与半径为r的⊙O相交，且点O到直线L的距离为5，则r的取值范围是。
2、在射线OA上取一点P，使OP＝4cm，以P为圆心作直径为4cm的圆，若⊙P与射线OB相交，则锐角∠AOB的取值范围是。
3、如图，CD是⊙O的直径，AE切⊙O于B，DC的延长线交AB于A，∠A＝20°，则∠DBE＝。
4、如图，AB为⊙O的直径，延长AB至D，使BD=OB，DC切⊙O于C，则AC：AD＝。
5、如图，AB为⊙O的直径，C、D是⊙O的点，∠BAC＝20°，⋂⋂=DCAD，DE是⊙O的切线，则∠EDC的度数为。
6、OA 、OB 是⊙O 的两条半径，BC 是⊙O 的切线，且∠AOB ＝84°，则∠ABC 的度数为 。
二、选择题。
1、下列命题中，错误的是（ ）A 、垂直于弦的直径平分这弦；B 、弦的垂直平分线过圆心；C 、垂直于切线的直线必过圆心；D 、经过圆心且垂直于切线的直线必过切点。
圆的切线证明方法归纳
圆的切线证明方法归纳切线是指与圆相切且与圆的半径垂直的直线。
在几何学中，圆的切线是一个重要的概念。
证明圆的切线有许多不同的方法，下面将介绍一些常见的证明方法。
1.垂直切线法：这是最常见的证明方法之一。
具体步骤如下：（1）假设圆的半径r，圆心O，切点A和切线上的一点T。
（2）连接OA，并且将OA延长到交切线于点T。
（3）根据勾股定理可得：OA^2 =OT^2 + AT^2。
（4）由于OT和AT都是切线的一部分，所以OT和AT都垂直于OA。
（5）根据垂直定理可知OT和AT平方和等于OA的平方，即OT^2 + AT^2 = OA^2。
（6）根据步骤4和5可得：AT^2 = OA^2 - OT^2。
（7）OT是半径,所以OT^2= r^2，代入上式得：AT^2 = OA^2 -r^2。
（8）AT是切线的一部分，所以AT > 0。
因此，OA^2 - r^2 > 0。
（9）根据正数平方根的性质，OA^2 - r^2的平方根存在。
（10）所以，根据步骤9，AT存在，即OT与切线上的一点T并非同一点。
（11）由于OT与圆的半径相交于点O，所以OT是与半径垂直的直线，即切线。
2.切线垂直与半径的证明：这种证明方法基于一个重要的定理：切线垂直于半径。
具体步骤如下：（1）假设圆的半径r，圆心O，切点A和切线上的一点T。
（2）连接OA和OT。
（3）由于AO是圆的半径，所以AO与圆心O的向量相等，即AO = OT。
（4）由于切线与圆相切，切点A是切线上的一点，所以OA与切线垂直。
（5）根据向量几何的性质可得，向量OA与向量OT垂直。
（6）根据定义，切线上的每一个点与圆心都构成一个向量，这个向量与向量OA垂直。
（7）所以，根据步骤6，切线与所有圆心上的向量都垂直，即切线垂直于半径。
3.外切圆的切线证明：这种证明方法适用于外切圆。
具体步骤如下：（1）假设有一个三角形ABC，其中AB和BC是两条直线段，角ABC是直角。
证明圆的切线的七种常用方法
证明圆的切线的七种常用方法类型1、有公共点：连半径，证垂直方法1、勾股定理逆定理法证垂直1.如图，⊙O的直径AB=12，点P是AB延长线上一点，且PB=4，点C是⊙O上一点，PC=8. 求证：PC是⊙O的切线.方法2、特殊角计算法证垂直2. 如图，△ABC内接于⊙O，∠B=60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上一点，且AP=AC.（1）求证：P A是⊙O的切线；（2）若PD =5，求⊙O 的直径.方法3、等角代换法证垂直3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D为BC 的中点，以AC 为直径的⊙O交AB于点E . 求证：DE是⊙O 的切线.方法4、平行线性质法证垂直4.如图，已知四边形OABC的三个顶点A ，B ，C在以O为圆心的半圆上，过点C 作CD ⊥AB，分别交AB，AO 的延长线于点D，E，AE交半圆O于点F，连接CF，且∠E=30°，点B是︵AC的中点.(1)判断直线DE与半圆O的位置关系，并说明理由；(2)求证：CF=OC；(3)若⊙O的半径是6，求DC的长.AB POCACBPD OAEBDOCA O F ECDB方法5、全等三角形法证垂直5.如图，AB 是⊙O 的直径，点C ，D 在⊙O 上，且四边形AOCD 是平行四边形，过点D 作⊙O 的切线，交OC 的延长线于点F ，连接BF .求证：BF 是⊙O 的切线.类型2、无公共点：作垂直，证半径方法6、角平分线性质法证半径6.如图，在Rt △ABC 中，∠B =90°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，E 是AB 上一点，DE =DC ，以点D 为圆心，BD 长为半径作OD ，AB =5，EB =2. (1)求证：AC 是OD 的切线；(2)求线段AC 的长.方法7、全等三角形法证半径7.如图，四边形ABCD 中，∠A =∠ABC =90°，AD +BC =CD ，以AB 为直径作⊙O . 求证：⊙O 与边CD 相切.A OBCD F A B C D EA OB C D。
1-2.5.与圆有关的比例线段(切割线定理)
割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每一条 割线与圆的交点的两条线段长的乘积相等.
应用格式（几何语言描述）:
∵PAB,PCD是⊙O 的割线,∴ PA∙PB=PC∙PD.
C
C
B
点P从圆内移动到圆外
D
P
O
D
图5 O
P
A 图3
B A
PA∙PB=PC∙PD
PA∙PB=PC∙PD
使割线PA绕P点
证明:连接AC、AD,同样可以证明
又∵∠ACF=∠AEC. ∴∠CFG=∠ACF. 故FG//AC. ……(6)
你还能推出其他结论吗？
问题3 在图2中,使线段AC继续绕A旋转，使割线CFD 变成切线CD,得到图3. 此时又能推出哪些结论？
B
B
E
D
E
A
D
O 图2
A Q
O 图3
F
G
CG
PC
探究3:可以推出探究1、2中得到的(1)——(6)的所有结论. 此外，
同理可证BD•AE=AC•CE. …………………… (3) ∵AC=AB,∴由(2)(3)可得BE•CD=BD•CE. ………(4)
问题2 在图1中,使线段AC绕A旋转，得到图2.其中EC 交圆于G,DC交圆于F.此时又能推出哪些结论？
问题2 在图1中,使线段AC绕A旋转，得到图2.其中 EC交圆于G,DC交圆于F.此时又能推出哪些结论？
例3 如图，两圆相交于A、B两点，P P 为两圆公共弦AB上任意一点，从P引
D B
两圆的切线PC、PD，求证：PC=PD.
证明：由切割线定理可得：
A
PC2=PA∙PB, PD2=PA∙PB.
C
∴PC2=PD2. 即PC=PD．
圆与圆之间的公切线公式
圆与圆之间的公切线公式
在几何学中，公切线是两个或多个几何形状共有的切线。
对于两个圆来说，它们之间可能存在公切线，这些切线与两个圆都相切于同一点。
根据两个圆的位置关系，公切线的数量可能是0条、1条或2条。
1. 外公切线
当两个圆外离时，它们之间有两条外公切线。
这两条切线分别在两个圆上各有一个切点，并且这两个切点之间的线段称为两圆的连心线。
外公切线的长度可以通过以下公式计算：
设两个圆的半径分别为 R1 和 R2，圆心距为 d，外公切线的长度为 L，则有：
L = √(d² - (R1 - R2)²)
2. 内公切线
当两个圆内含或内切时，它们之间有一条内公切线。
这条切线在两个圆上各有一个切点，并且这两个切点之间的线段同样称为两圆的连心线。
内公切线的长度可以通过以下公式计算：
设两个圆的半径分别为 R1 和 R2（R1 ≥ R2），圆心距为 d，内公切线的长度为 L，则有：
L = √(d² - (R1 + R2)²)
注意事项
●以上公式仅适用于两个圆外离或内含的情况。
当两个圆相交时，它们之间
没有公切线。
●圆心距 d 应小于等于两圆半径之和且大于等于两圆半径之差，即|R1 -
R2| ≤ d ≤ R1 + R2。
●公切线长度 L 可能会有多个解，需要根据具体情况选择合适的解。
通过掌握圆与圆之间的公切线公式，我们可以更好地理解和解决与几何形状相关的数学问题。
这些公式在绘图、工程设计和数学分析等领域都有广泛的应用。
与圆有关的位置关系及切线定理
与圆有关的位置关系1、点与圆的位置关系如果圆的半径是r ，这个点到圆心的距离为d，那么：（1）点在圆外d>r ；（2）点在圆上d＝r；（3）点在圆内d<r；2、直线与圆位置关系的定义及有关概念（1）直线与圆有两个公共点，叫做直线与圆相交，这直线叫做圆的割线，公共点叫做交点（2）直线和圆有一公共点时，叫做直线和圆相切，这直线叫做圆的切线，公共点叫做切点（3）直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离.3、直线和圆的位置关系如果⊙ O的半径为r ，圆心O到直线l 的距离为d，那么（1）直线l 和⊙ O相交d<r ；（2）直线l 和⊙ O相切d＝r；（3）直线l 和⊙ O相离d>r；典例精析例1：已知直线l ：y＝x－3 和点A（0，3），B（3，0），设P点为l 上一点，试判断P、A、B是否在同一个圆上？例2：下列说法正确的是（）A. 过圆内接三角形的顶点的直线是圆的切线B. 若直线与圆不相切，则它和圆相交C. 若直线和圆有公共点，直线和圆相交D. 若直线和圆有唯一公共点，则公共点是切点例3：设直线l到⊙ O的圆心的距离为d，⊙ O的半径为R，并使x2 2 dx R 0 ，试根据关于x 的一元二次方程根的情况讨论l 与⊙ O的位置关系.3、圆和圆的位置关系外离（没有公共点）外切（1）相离（2）相切（有一个公共点）（3）相交（有两个公共点）内含（包括同心圆）内切注：两圆同心是两圆内含的一种特例.2、两圆的位置与两圆的半径、圆心距之间的数量关系设两圆的半径分别为R 和r ，圆心距为d，那么（1）两圆外离d>R＋r （2）两圆外切d＝R＋r（3）两圆相交R－r <d<R+r（4）两圆内切d＝R－r （5）两圆内含d<R－r典例精析例1：已知两个圆的半径分别为2、3，圆心距是d，若两圆有公共点，则 d 的取值范围为例2：已知⊙ O1 和⊙ O2内切，圆心距为7cm，⊙ O1 的半径为8cm，求⊙ O2 的半径.例4：如图：⊙ M的半径为8cm，⊙ N的半径为6cm，MN＝10cm，两圆相交于A、B 两点，连接AB与MN交于点C，求AB的长为多少？与相切有关的性质定理1、切线的性质定理：定理：圆的切线垂直于过切点的半径. 推论1：经过圆心且垂直于切点的直线必经过切点.推论2：经过切点且垂直于切点的直线必经过圆心.2、切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.3、切线的判定方法（1）定义：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；（2）数量关系：和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；（证长度）（3）定理：过半径外端且与这条半径垂直的直线是圆的切线.（证角度）两圆相切与相交的性质：（1）如果两圆相切，那么两圆的连心线经过切点；（2）两圆相交，连心线垂直平分相交圆的公共弦。
圆中切割线定理
圆中切割线定理圆中切割线定理，又称为圆的切线定理，是指一个平面内过圆外一点的直线与圆相交，所得的两条切线长度相等。
这个定理在几何学中非常重要，因为它可以应用于许多不同的问题和证明中。
首先，我们来看一下如何证明这个定理。
假设有一个圆O和一条直线l，在圆外一点P处与圆相交。
现在我们要证明通过P点的两条切线AB和CD长度相等。
首先，我们可以将OP延长到与圆O相交于点E。
这样我们就得到了一个三角形OPE和一个四边形APBE。
由于AE和EB是弧AB的两个端点，所以它们的长度相等。
同样地，由于CE和ED是弧CD的两个端点，它们也具有相等的长度。
接下来，我们观察三角形OPE。
由于OE是半径，并且OP垂直于OE （因为l是过P点且垂直于OE的直线），所以三角形OPE是一个直角三角形。
因此，我们可以使用勾股定理来计算PE和OE之间的关系：$OP^2=OE^2+PE^2$。
现在让我们考虑四边形APBE。
根据正弦定理，我们可以得到：$\frac{AE}{\sin\angle AEP}=\frac{PE}{\sin\angle APE}$。
同样地，$\frac{EB}{\sin\angle BEP}=\frac{PE}{\sin\angle BPE}$。
由于角AEP和角BEP是对顶角，它们的大小相等。
因此，我们可以将上述两个等式相加并整理得到：$\frac{AE+EB}{PE}=\frac{\sin\angle AEP+\sin\angle BEP}{\sin\angle APE}=\frac{\sin(\angleAEP+\angle BEP)}{\sin\angle APE}$。
现在让我们回到三角形OPE。
根据正弦定理，我们可以得到：$\frac{OE}{OP}=\frac{\sin\angle OEP}{\sin\angle OPE}$。
因为OE 是半径，并且OP垂直于OE，所以$\angle OEP$是直角。
因此，$\sin \angle OEP=1$且$\cos \angle OEP=0$。
证明圆上一点的切线方程向量
证明圆上一点的切线方程向量
证明圆上一点的切线方程向量是一个很重要的问题，它有助于理解更多有关圆形的性质和它们之间的关系。
证明这一点很重要，因为切线在连接线和圆之间拥有十分重要的作用。
首先，我们来看看圆的一般方程式。
圆的一般方程式为：（x-a)²+(y-b)²=r²。
其中a、b是圆心坐标，r为半径，这个方程式描述了圆的特性，即圆心到线段距离永远不变。
接下来，要证明圆上一点的切线方程向量，我们需要使用微积分。
首先，我们求出切线相对于圆心的导数极限，即沿着圆心一定距离求得上一点的切线方程矢量。
最终，我们发现，圆上一点的切线方程向量是垂直于圆心到该点的矢量。
因此，我们已经证明了圆上一点的切线方程向量，并详细地介绍了具体的证明过程。
切线
方程矢量可以用来计算圆的性质，以及它们之间的关系。
对于它的应用来说，该矢量可以
在遇到圆形状的物体时起作用，特别是当处理气体与液体的流动状况时，由于这种情况更
加复杂，因此切线方程矢量变得尤为重要。
总之，本文证明了圆上一点的切线方程向量，并简要介绍了它的应用。
该方程矢量被用来描述圆形物体之间的关系，特别是在处理复杂圆形流动状况时。
其实，我们还可以利用证
明内容，进一步推广到更多的几何学问题中，从而使我们更好地理解圆形状的奥秘。
初中数学复习圆的切线与切点计算
初中数学复习圆的切线与切点计算圆的切线与切点计算圆是初中数学中的重要概念之一，而切线与切点是与圆密切相关的概念。
在数学复习中，掌握圆的切线与切点的计算方法对于解题至关重要。
本文将介绍圆的切线与切点的相关知识以及如何计算它们。
一、圆的切线与切点的定义在圆内部的一点P，如果从这一点出发作两条不同的射线，这两条射线与圆的交点分别为A和B。
如果射线AP、BP分别与圆的弧AB 相切，则称AP、BP为圆的切线，A、B为切点。
二、切线长度的计算方法在圆的切线与切点计算中，我们常需要计算切线的长度。
首先，我们需要知道两条切线的长度相等。
1. 两切线长度相等的原因由于切线与半径垂直，根据正弦定理，可知圆的切线长度等于半径与切点到圆心连线的夹角的正弦值的乘积。
2. 切线长度的计算公式设圆的半径为r，切点到圆心连线的夹角为θ，则切线的长度为L。
根据正弦定理，有L = 2rsinθ。
三、切点的坐标计算方法在解题中，有时需要计算切点的坐标。
我们可以通过以下步骤来计算切点的坐标。
1. 已知圆的方程和切线的方程假设圆的方程为(x-a)² + (y-b)² = r²，切线的方程为y = kx + c。
2. 求解切点的坐标将切线方程代入圆的方程，得到一个关于x的二次方程。
求解这个二次方程，得到x的值。
将x的值代入切线方程，计算得到对应的y的值，即为切点的坐标。
四、切线与切点的计算实例现在，我们通过一个实例来展示如何计算圆的切线与切点。
例题：已知圆O的方程为x² + y² = 25，点A(5, 0)在圆上，求点A处的切线方程。
解：首先，根据圆的方程，我们可以得到圆的半径r为5。
其次，我们需要计算点A处的切线方程。
由于点A在圆上，所以点A到圆心O的距离等于圆的半径5。
利用勾股定理，可得到点O的坐标为(0, 0)。
接下来，我们可以计算切线的斜率。
由于点A(5, 0)在圆上，所以切线与点A处的切点重合。
专题提升(十二) 与圆的切线有关的计算与证明
专题提升(十二)与圆的切线有关的计算与证明类型之一与圆的切线的性质有关的计算或证明(人教版九上P102习题第12题)如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D.求证：AC平分∠DAB.【思想方法】已知圆的切线，可得切线垂直于过切点的半径(若图中未画出，通常需要连半径作辅助线)．[2019·天津]已知P A，PB分别与⊙O相切于点A，B，∠APB＝80°，C为⊙O上一点．(1)如图①，求∠ACB的大小；(2)如图②，AE为⊙O的直径，AE与BC相交于点D，若AB＝AD，求∠EAC的大小．如图，已知三角形ABC的边AB是⊙O的切线，切点为B.AC经过圆心O并与圆相交于点D，C，过点C作直线CE⊥AB，交AB的延长线于点E.(1)求证：CB平分∠ACE；(2)若BE＝3，CE＝4，求⊙O的半径．类型之二与圆的切线的判定有关的计算或证明(人教版九上P101习题第4题)如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA＝OB，CA＝CB.求证：直线AB是⊙O的切线．【思想方法】证明圆的切线的两种常用思路：(1)作半径，证垂直；(2)作垂直，证半径．1．[2018·青海]如图，△ABC内接于⊙O，∠B＝60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上一点，且AP＝AC.(1)求证：P A是⊙O的切线；(2)若PD＝5，求⊙O的直径．2．[2019·雅安]如图，已知AB是⊙O的直径，AC，BC是⊙O的弦，OE∥AC交BC于点E，过点B作⊙O的切线交OE的延长线于点D，连接DC并延长交BA的延长线于点F.(1)求证：DC是⊙O的切线；(2)若∠ABC＝30°，AB＝8，求线段CF的长．3．[2019·菏泽]如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点O作OD⊥AB，交BC 的延长线于点D，交AC于点E，F是DE的中点，连接CF.(1)求证：CF是⊙O的切线；(2)若∠A＝22.5°，求证：AC＝DC.如图，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，AT平分∠BAD，交⊙O于点T，过点T作TC⊥AD，交AD的延长线于点C.(1)求证：CT为⊙O的切线；(2)若⊙O的半径为2，CT＝3，求AD的长．参考答案（完整答案和解析见PPT 课件之课时作业）【教材母题】 略 【中考变形】 (1)50° (2)20° 【中考预测】 (1)略 (2)258【教材母题】 略 【中考变形】1．(1)略 (2)25 2.(1)略 (2)43 3.略 【中考预测】 (1)略 (2)2。
与圆的切线有关的计算与证明
专题复习 : 与圆有关的证明与计算一、例题讲解例题 1：如图，AB 是⊙ O 的直径，过点 B 作⊙ O 的切线 BM ，弦 CD ∥ BM ，交 AB 于点 F ，且 DA=DC ，连接 AC ，AD ，延长 AD 交 BM 地点 E 。
M(1) 求证：△ ACD 是等边三角形；DE(2) 连接 OE ，若 DE=2，求 OE 的长。
AOBFC练习：如图，⊙ O 为△ ABC 的外接圆， BC 为⊙ O 的直径， AE 为⊙ O 的切线，过点 B 作BD ⊥ AE 于 D 。
（1）求证：∠ DBA=∠ ABC ；（2）如果 BD=1，tan ∠ BAD= 1，求⊙ O 的半径。
AD2EBOC例题 2：如图 ，以线段 AB 为直径作⊙ O ， CD 与⊙ O 相切于点 E ，交 AB 的延长线于点 D , 连接 BE , 过点 O OC BE 交切线 DE 于点 C , 连接 AC 。
作 ∥(1)求证： AC 是⊙ O 的切线 ；（）若BD=OB= 4 , 求弦 AE 的长。
2练习：如图， AB 是⊙ O 的直径，半径 OD 垂直弦 AC 于点 E ．F 是 BA 延长线上一点，CDBBFD 。
（1）判断 DF 与⊙ O 的位置关系，并证明；（2）若 AB=10， AC=8，求 DF 的长。
CD EFA OB1二、课堂练习1．如图，⊙ O是△ ABC 的外接圆， AB= AC ，BD是⊙ O的直径， PA∥BC，与 DB的延长线交于点 P，连接 AD。
（1）求证： PA是⊙ O的切线；（ 2）若 AB= 5，BC=4 ，求 AD的长。
2．如图，已知 BC是⊙ O的直径，AC切⊙ O于点 C，AB交⊙ O于点 D，E 为 AC的中点，连结 DE。
(1)若 AD＝DB， OC＝5，求切线 AC的长；(2)求证： ED是⊙ O的切线。
ADEBOC3．如图，△ ABC中， AB=AC，点 D 为 BC上一点，且 AD=DC，过 A，B，D 三点作⊙O，AE是⊙ O的直径，连结 DE．（ 1）求证： AC是⊙ O的切线；（2）若 sin C 4 ，，求⊙O 的直径．5AC=6AOEB DC 4．如图，△ ABC内接于⊙ O，OC⊥AB于点 E，点 D在 OC的延长线上，且∠ B=∠D=30°.（1）求证： AD是⊙ O的切线；（2）若AB6 3 ,求⊙O的半径．AOE CBD25．如图，已知 BC是⊙ O的直径，AC切⊙ O于点 C，AB交⊙ O于点 D，E 为 AC的中点，连结 DE。
中考数学与圆的切线相关的证明与计算
中考数学与圆的切线相关的证明与计算圆的切线：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 .一、圆的切线的判定及相关计算1.如图，以△ABC 的边AB 为直径作⊙O，与BC 交于点D，点E 是弧BD 的中点，连接AE 交BC 于点F，∠ACB＝2∠BAE .求证：AC 是⊙O 的切线．例题1图【分析】连接AD，利用等弧所对圆周角相等及∠ACB＝2∠BAE 可得到∠BAD＝∠BCA，再结合直径所对圆周角为直角即可得证．证明：如解图，连接AD.例题1解图∵点E 是弧BD 的中点，∴弧BE ＝弧DE，∴∠1＝∠2 .∵∠BAD＝2∠1, ∠ACB＝2∠1，∴∠ACB＝∠BAD.∵AB为⊙O 直径，∴∠ADB＝∠ADC＝90°.∴∠DAC＋∠C＝90°.∵∠C＝∠BAD，∴∠DAC＋∠BAD＝90°.∴∠BAC＝90°，即AB⊥AC. 又∵AB 是⊙O 的直径，∴AC 是⊙O 的切线．证明切线的常用方法：1．直线与圆有交点，“连半径，证垂直”．(1) 图中有90°角时，证垂直的方法如下：①利用等角代换：通过互余的两个角之间的等量代换得证；②利用平行线性质证明垂直：如果有与要证的切线垂直的直线，则证明半径与这条直线平行即可；③利用三角形全等或相似：通过证明切线和其他两边围成的三角形与含90°的三角形全等或相似得证．(2)图中无90°角时：利用等腰三角形的性质，通过证明半径为所在等腰三角形底边的中线或角平分线，再根据“三线合一”的性质得证．2．直线与圆无交点，“作垂线，证相等”．2.如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，⊙O 是△ABC 的外接圆，点D 在⊙O 上，且弧AD＝弧CD , 过点D 作CB 的垂线，与CB 的延长线相交于点E，并与AB 的延长线相交于点F .(1) 求证：DF 是⊙O 的切线；(2) 若⊙O 的半径R＝5，AC＝8，求DF 的长．例题2图【解析】(1) 证明：如解图，连接DO 并延长，与AC 相交于点P.例题2解图∵弧AD = 弧CD，∴DP⊥AC.∴∠DPC＝90°.∵DE⊥BC，∴∠CED＝90°.∵∠C＝90°.∴∠ODF＝90°，而点D 在⊙O 上，∴DF 是⊙O 的切线；(2) 解：例题2解图∵∠C＝90°，R＝5，∴AB＝2R＝10.在Rt△ABC 中，根据勾股定理可得，BC＝6 .∵∠DPC＋∠C＝180°，∴PD∥CE.∴∠CBA＝∠DOF.∵∠C＝∠ODF，∴△ABC ∽△FOD.∴CA / DF = BC / OD , 即8 / DF = 6 / 5 ,∴DF = 20 / 3 .类型二、切线性质的相关证明与计算3.如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的弦，过点B 作⊙O 的切线DE，与AC 的延长线交于点D，作AE⊥AC 交DE 于点E .(1) 求证：∠BAD＝∠E；(2) 若⊙O 的半径为5，AC＝8，求BE 的长．例题3图【解析】(1) 证明：∵⊙O 与DE 相切于点B，AB 为⊙O 的直径，∴∠ABE＝90°.∴∠BAE＋∠E＝90°.又∵∠DAE＝90°，∴∠BAD＋∠BAE＝90°.∴∠BAD＝∠E；(2) 解：如解图，连接BC.例题3解图∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB＝90°，∵AC＝8，AB＝2 ×5＝10 .∴在Rt△ACB 中，根据勾股定理可得BC = 6 .又∵∠BCA＝∠ABE＝90°，∠BAD＝∠E，∴△ABC ∽△EAB .∴AC / EB = BC / AB , 即8 / EB = 6 / 10 ,∴BE＝40 / 3 .4.如图，⊙O 的半径OA＝6，过点A 作⊙O 的切线AP，且AP＝8，连接PO 并延长，与⊙O交于点B、D，过点B 作BC∥OA，并与⊙O 交于点C，连接AC、CD.(1) 求证：DC∥AP；(2) 求AC 的长．例题4图【解析】(1) 证明：∵AP 是⊙O 的切线，∴∠OAP＝90°.∵BD 是⊙O 的直径，∴∠BCD＝90°.∵OA∥CB，∴∠AOP＝∠DBC，∴∠BDC＝∠APO.∴DC∥AP；(2) 解：∵AO∥BC，OD＝OB，例题4解图∴如解图，延长AO 交DC 于点E，则AE⊥DC，OE＝1/2 BC，CE＝1/2 CD.在Rt△AOP 中，根据勾股定理可得：OP＝10.由(1) 知，△AOP∽△CBD，∴BD/OP = BC/OA = CD/AP , 即12/10 = BC/6 = DC/8 ,∴BC = 36/5 , DC = 48/5 .∴OE = 18/5 , CE = 24/5 , AE = OA + DE = 6 + 18/5 = 48/5 ,在Rt△AEC 中，根据勾股定理可得：AC = 24√5 / 5 .5.如图，AC 是⊙O 的直径，AB 是⊙O 的一条弦，AP 是⊙O 的切线．作BM＝AB，并与AP 交于点M，延长MB 交AC 于点E，交⊙O 于点D，连接AD.(1) 求证：AB＝BE；(2) 若⊙O 的半径R＝5，AB＝6，求AD 的长．例题5图【解析】(1) 证明：∵AP 是⊙O 的切线，∴∠EAM＝90°，∴∠BAE＋∠MAB＝90°，∠AEM＋∠AME＝90°. 又∵AB＝BM，∴∠MAB＝∠AMB，∴∠BAE＝∠AEB，∴AB＝BE；(2) 解：如解图，连接BC.例题5解图∵AC 是⊙O 的直径，∴∠ABC＝∠EAM＝90°，在Rt△ABC 中，AC＝10，AB＝6，根据勾股定理可得：BC = 8 . 由(1) 知，∠BAE＝∠AEB，∴△ABC∽△EAM，∴∠C＝∠AME，AC/EM = BC/AM , 即10/2 = 8/AM ,∴AM = 48/5 .又∵∠D＝∠C，∴∠D＝∠AMD.∴AD＝AM＝48/5 .。
证明圆的切线的七种常用方法-圆的切线证明7种方法
证明圆的切线的七种常用方法证明一条直线是圆的切线的方法及辅助线的作法1、连半径、证垂直：当直线和圆有一个公共点时，把圆心和这个公共点连接起来，然后证明直线垂直于这条半径，简称“连半径，证垂直”2、作垂直，证半径：当直线和圆的公共点没有明确时，可以过圆心作直线的垂线，再证圆心到直线的距离等于半径，简称“作垂直，证半径”类型一、有公共点：连半径，证垂直方法1、勾股定理逆定理法证垂直1．如图，AB为⊙O的直径，点P为AB延长线上一点，点C为圆⊙O上一点，PC＝8，PB ＝4，AB＝12，求证：PC是⊙O的切线．方法2、特殊角计算法证垂直2、如图，△ABC内接于⊙O，∠B＝60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上的一点，且AP＝AC．（1）求∠P的度数；（2）求证：P A是⊙O的切线；（3）若PD＝5，求⊙O的直径．方法3、等角代换法证垂直3、如图，已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D 为BC 的中点，以AC 为直径的⊙O 交AB 于点E 。
求证：DE 是⊙O 的切线；方法4、平行线性质法证垂直4、如图，已知平行四边形OABC 的三个顶点A 、B 、C 在以O 为圆心的半圆上，过点C 作CD ⊥AB ，分别交AB 、AO 的延长线于点D 、E ，AE 交半圆O 于点F ，连接CF ．且︒=∠30E ，点B 是的中点（1）判断直线DE 与半圆O 的位置关系，并说明理由；（2）求证CF=OC（2）若半圆O 的半径为6，求DC 的长．方法5 全等三角形法证垂直5、如图，AB 是⊙O 的直径，点C 、D 在⊙O 上，且四边形AOCD 是平行四边形，过点D 作⊙O 的切线，交OC 的延长线于点F ，连接BF ，求证：BF 是⊙O 的切线。
A B O D CF类型二、无公共点：做垂直，证半径方法6 角平分线的性质法证半径6．如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，E 为AB 上的一点，DE ＝DC ，以D 为圆心，DB 长为半径作⊙D ，AB ＝5，EB ＝2．（1）求证：AC 是⊙D 的切线；（2）求线段AC 的长．方法7 全等三角形法证半径7．已知四边形ABCD 中，∠BAD ＝∠ABC ＝90°，CD BC AD =+，以AB 为直径的⊙O 。
《中考数学专题—与圆切线有关的计算和证明》教学设计
1《圆的切线的判定和性质》教学设计与反思学习目标：理解切线的判定定理和性质定理并熟练掌握以上内容解决一些实际问题．重（难）点预见重点：切线的判定定理；切线的性质定理及其运用它们解决一些具体的题目： 学习流程 一、揭示目标 二、自学指导 1.复习下列内容1、直线与圆的位置关系有几种？分别是那些关系？直线与圆的位置关系的判断方法有哪几种?2、直线与圆相切有哪几种判断方法？3、思考作图：已知：点A 为⊙o 上的一点，如和过点A 作⊙o 的切线呢？ 交流总结：根据直线要想与圆相切必须d=r,所以连接OA 过A 点作OA 的垂线 从作图中可以得出：经过_________________并且___________与这条半径的的直线是圆的切线 思考：如图所示，它的数学语言该怎样表示呢？4、思考探索；如图，直线l 与⊙O 相切于点A ，OA 是过切点的半径， 直线l 与半径OA 是否一定垂直？你能说明理由吗？ 小结：（1）圆的切线 （ ） 过切点的半径。
（2）一条直线若满足①过圆心，②过切点，③垂直于切线这三条中的（ ）两条，就必然满足第三条。
5、例题精析：例1、（教材103页例1）如图，直线AB 经过⊙O 上的点C ，并且OA=OB,CA=CB,求证直线AB 是⊙O 的切线。
oCAB例2.如图，点D 是∠AOB 的平分线OC 上任意一点，过D 作DE ⊥OB 于E ，以DE 为半径作⊙D ，判断⊙D 与OA 的位置关系， 并证明你的结论。
（无点作垂线证半径）方法小结：如何证明一条直线是圆的切线 四、当堂检测1、下列说法正确的是（ ）A ．与圆有公共点的直线是圆的切线．B ．和圆心距离等于圆的半径的直线是圆的切线;C ．垂直于圆的半径的直线是圆的切线;D ．过圆的半径的外端的直线是圆的切线2、已知:如图,A 是⊙O 外一点,AO 的延长线交⊙O 于点C,点B 在圆上,且AB=BC, ∠A=30.求证:直线AB 是⊙O 的切线.ACD COA3.：如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠CAD＝∠ABC，判断直线AD与⊙O的位置关系，并说明理由。
圆的切线长定理
圆的切线长定理圆的切线长定理是几何学中的重要定理之一，它描述了一个切线与圆的相交关系以及切线的长度和与圆的位置有关。
这个定理被广泛应用于各个领域，包括物理学、工程学和计算机图形学等。
本文将详细介绍圆的切线长定理及其应用。
一、圆的切线长定理的表述圆的切线长定理可以用以下方式表述：如果在圆上有一点P，并且通过这点作一条直线与圆相交于A、B两点，那么线段PA和线段PB 的乘积等于切线与圆心连线的长度的平方。
即PA * PB = PT^2，其中T是切点。
二、圆的切线长定理的证明要证明圆的切线长定理，可以使用几何推理和三角关系。
设圆的半径为r，圆心为O，切点为T，切线与圆心连线为OT。
连接OA、OB，得到△OAT和△OBT两个直角三角形。
由正弦定理可得：sin∠OAT = r / OTsin∠OBT = r / OT又因为∠OAT和∠OBT是互余角（补角），即∠OAT + ∠OBT = 90°，所以sin∠OAT = cos∠OBT。
将上述两个等式代入PA * PB = PT^2，得到：r * r = PA * PB因此，圆的切线长定理得证。
三、圆的切线长定理的应用圆的切线长定理可以应用于很多实际问题中。
以下是一些具体应用：1. 圆的切线长定理可以用于计算切线的长度。
如果已知圆的半径和切线与圆的位置，可以通过切线长定理计算切线的长度。
2. 圆的切线长定理可以用于求解与圆相切的直线方程。
通过已知切点和切线长度，可以确定切线的位置，从而求解与圆相切的直线方程。
3. 圆的切线长定理可以应用于计算切线与圆心连线的长度。
通过已知切线长度和切点，可以计算切线与圆心连线的长度。
4. 圆的切线长定理还可以用于解决几何问题。
例如，判断两个圆是否相切，可以通过切线长定理计算切线的长度，从而判断圆是否相切。
圆的切线长定理是几何学中的重要定理，它描述了切线与圆的相交关系以及切线的长度和与圆的位置的关系。
通过应用该定理，我们可以解决各种与圆相关的问题，从而推动几何学的发展和应用。
苏教版九年级数学上册第二章 2.9 圆中有关切线的计算与证明(含答案)
2.9圆中有关切线的计算与证明一．解答题（共20小题）1．（2019秋•金坛区期中）已知AB是⊙O的直径，AT是⊙O的切线，∠ABT＝40°，BT 交⊙O于点C，E是AB上一点，延长CE交⊙O于点D．（1）如图1，求∠T和∠CDB的度数；（2）如图2，当BE＝BC时，求∠CDO的度数．2．（2019秋•睢宁县期中）如图，在⊙O中，P A是直径，PC是弦，PH平分∠APB且与⊙O 交于点H，过H作HB⊥PC交PC的延长线于点B．（1）求证：HB是⊙O的切线；（2）若HB＝4，BC＝2，求⊙O的直径．3．（2019秋•泗阳县期中）如图，CD是⊙O的切线，切点为E，AC、BD分别与⊙O相切于点A、B．如果CD＝6，AC＝4，求DB的长．4．（2019秋•扬州期中）如图，点D为⊙O上一点，点C在直径AB的延长线上，且∠CDB ＝∠CAD，过点A作⊙O的切线，交CD的延长线于点E．判定直线CD与⊙O的位置关系，并说明你的理由；5．（2019秋•兴化市期中）如图，AB是⊙O的直径，F是⊙O上一点，连接FO、FB．C为中点，过点C作CD⊥AB，垂足为D，CD交FB于点E，CG∥FB，交AB的延长线于点G．（1）求证：CG是⊙O的切线；（2）若∠BOF＝120°，且CE＝4，求⊙O的半径．6．（2019秋•镇江期中）在矩形ABCD中，AB＝5cm，BC＝10cm，点P从点A出发，沿AB 边向点B以每秒1cm的速度移动，同时点Q从点B出发沿BC边向点C以每秒2cm的速度移动，P、Q两点在分别到达B、C两点时就停止移动，设两点移动的时间为秒，解答下列问题：（1）如图1，当t为几秒时，△PBQ的面积等于4cm2？（2）如图2，以Q为圆心，PQ为半径作⊙Q．在运动过程中，是否存在这样的t值，使⊙Q正好与四边形DPQC的一边（或边所在的直线）相切？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由．7．（2019秋•玄武区期中）如图，在▱ABCD中，AD是⊙O的弦，BC是⊙O的切线，切点为B．（1）求证：；（2）若AB＝5，AD＝8，求⊙O的半径．8．（2019秋•建邺区期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠DAB＝90°，点E在BC的延长线上，且∠CED＝∠CAB．（1）求证：DE是⊙O的切线．（2）若AC∥DE，当AB＝8，DC＝4时，求BD的长．9．（2019秋•玄武区期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB上的中线CD 为直径作⊙O，与AC、BC分别交于点M、N，与AB的另一个交点为E．过点N作NF ⊥AB，垂足为F．（1）求证：NF是⊙O的切线；（2）若NF＝2，DF＝1，求弦ED的长．10．（2019秋•江阴市期中）如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AD平分∠CAE交⊙O于点D，且AE⊥CD，垂足为点E，BC＝3，CD（1）求证：直线CE是⊙O的切线；11．（2019春•建湖县期中）如图，点D为⊙O上一点，点C在直径AB的延长线上，且∠COD＝2∠BDC，过点A作⊙O的切线，交CD的延长线于点E．（1）判定直线CD与⊙O的位置关系，并说明你的理由；12．（2019春•宿豫区期中）已知，⊙O是△ABC的外接圆，∠CAD＝∠ABC．（1）如图1，试判断直线AD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）如图2，将直线AD沿直线AC翻折后交⊙O于点E，连接OA、OE、CE，若∠ABC ＝30°，求证：四边形ACEO是菱形．13．（2019秋•锡山区期中）如图，已知直角△ABC，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4．⊙C的半径长为1，已知点P是△ABC边上一动点（可以与顶点重合）．（1）若点P到⊙C的切线长为，则AP的长度为；（2）若点P到⊙C的切线长为m，求点P的位置有几个？（直接写出结果）14．（2019秋•灌云县期中）如图，AB为⊙O的直径，AC为⊙O的弦，AD平分∠BAC，交⊙O于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E．（1）求证：直线DE是⊙O的切线；（2）若AE＝8，⊙O的半径为5，求DE的长．15．（2019秋•建邺区期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，⊙O是△ABC的外接圆，P 为CO的延长线上一点，且AP＝AC．（1）求证：AP是⊙O的切线；（2）若PB为⊙O的切线，求证：△ABC是等边三角形．16．（2019秋•大名县期中）已知，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝8，点A在半径为5的⊙O上，点O在直线l上．（1）如图①，若⊙O经过点C，交BC于点D，求CD的长．（2）在（1）的条件下，若BC边交l于点E，OE＝2，求BE的长．（3）如图②，若直线l还经过点C，BC是⊙O的切线，F为切点，则CF的长为．17．（2019秋•东台市期中）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足D，AD交⊙O于点E．（1）求证：AC平分∠DAB．（2）连接CE，若CE＝6，AC＝8，求出⊙O的直径的长．18．（2019秋•锡山区期中）如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，与CA的延长线相交于点E，过点D作DF⊥AC于点F．（1）试说明DF是⊙O的切线；（2）若AC＝3AE，求的值．19．（2019秋•江阴市期中）如图，Rt△APE，∠AEP＝90°，以AB为直径的⊙O交PE于C，且AC平分∠EAP．连接BC，PB：PC＝1：2．（1）求证：PE是⊙O的切线；（2）已知⊙O的半径为，求AP的长．20．（2018秋•邳州市期中）如图，△OAC中，以O为圆心，OA为半径作⊙O，作OB⊥OC 交⊙O于点B，垂足为O，连接AB交OC于点D，∠CAD＝∠CDA．（1）AC与⊙O有怎样的位置关系？为什么？（2）若OB＝3，BD，求线段AC的长．答案解析一．解答题（共20小题）1．（2019秋•金坛区期中）已知AB是⊙O的直径，AT是⊙O的切线，∠ABT＝40°，BT 交⊙O于点C，E是AB上一点，延长CE交⊙O于点D．（1）如图1，求∠T和∠CDB的度数；（2）如图2，当BE＝BC时，求∠CDO的度数．【分析】（1）根据切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径，得∠TAB＝90°，根据三角形内角和得∠T的度数，由直径所对的圆周角是直角和同弧所对的圆周角相等得∠CDB的度数；（2）如图②，连接AD，根据等边对等角得：∠BCE＝∠BEC＝70°，利用同圆的半径相等知：OA＝OD，同理∠ODA＝∠OAD＝70°，由此可得结论．【解析】（1）如图①，连接AC，∵AT是⊙O切线，AB是⊙O的直径，∴AT⊥AB，即∠TAB＝90°，∵∠ABT＝40°，∴∠T＝90°﹣∠ABT＝50°，由AB是⊙O的直径，得∠ACB＝90°，∴∠CAB＝90°﹣∠ABC＝50°，∴∠CDB＝∠CAB＝50°；（2）如图②，连接AD，在△BCE中，BE＝BC，∠EBC＝40°，∴∠BCE＝∠BEC＝70°，∴∠BAD＝∠BCD＝70°，∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD＝70°，∵∠ADC＝∠ABC＝40°，∴∠CDO＝∠ODA﹣∠ADC＝70°﹣40°＝30°．2．（2019秋•睢宁县期中）如图，在⊙O中，P A是直径，PC是弦，PH平分∠APB且与⊙O 交于点H，过H作HB⊥PC交PC的延长线于点B．（1）求证：HB是⊙O的切线；（2）若HB＝4，BC＝2，求⊙O的直径．【分析】（1）连接OH，由题意可得∠OHP＝∠HP A＝∠HPB，可证OH∥BP，则可得OH⊥BH，根据切线的判定可证HB是⊙O的切线；（2）过点O作OE⊥PC，垂足为E，可证四边形EOHB是矩形，可得OE＝BH＝4，OH ＝BE，再根据勾股定理可求OP的长，即可求⊙O的直径．【解答】证明：（1）如图，连接OH，∵PH平分∠APB，∴∠HP A＝∠HPB，∵OP＝OH，∴∠OHP＝∠HP A，∴∠HPB＝∠OHP，∴OH∥BP，∵BP⊥BH，∴OH⊥BH，∴HB是⊙O的切线；（2）如图，过点O作OE⊥PC，垂足为E，∵OE⊥PC，OH⊥BH，BP⊥BH，∴四边形EOHB是矩形，∴OE＝BH＝4，OH＝BE，∴CE＝OH﹣2，∵OE⊥PC∴PE＝EC＝OH﹣2＝OP﹣2，在Rt△POE中，OP2＝PE2+OE2，∴OP2＝（OP﹣2）2+16∴OP＝5，∴AP＝2OP＝10，∴⊙O的直径是10．3．（2019秋•泗阳县期中）如图，CD是⊙O的切线，切点为E，AC、BD分别与⊙O相切于点A、B．如果CD＝6，AC＝4，求DB的长．【分析】由于CD、AC、BD是⊙O的切线，则可得AC＝CE，ED＝DB，由已知数据易求DE的长，进而可求出DB的长．【解析】∵CD切⊙O点E，AC切切⊙O点A．∴CE＝AC＝4，∴ED＝CD﹣CE＝2，∵CD切⊙O点E，BD切⊙O点B．∴BD＝ED＝2．4．（2019秋•扬州期中）如图，点D为⊙O上一点，点C在直径AB的延长线上，且∠CDB ＝∠CAD，过点A作⊙O的切线，交CD的延长线于点E．判定直线CD与⊙O的位置关系，并说明你的理由；【分析】连接OD，根据圆周角定理求出∠DAB+∠DBA＝90°，求出∠CDB+∠BDO＝90°，根据切线的判定推出即可；【解答】（1）证明：连接OD，∵OD＝OB，∴∠DBA＝∠BDO，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠DAB+∠DBA＝90°，∵∠CDB＝∠CAD，∴∠CDB+∠BDO＝90°，即OD⊥CE，∵D为⊙O的一点，∴直线CD是⊙O的切线；5．（2019秋•兴化市期中）如图，AB是⊙O的直径，F是⊙O上一点，连接FO、FB．C为中点，过点C作CD⊥AB，垂足为D，CD交FB于点E，CG∥FB，交AB的延长线于点G．（1）求证：CG是⊙O的切线；（2）若∠BOF＝120°，且CE＝4，求⊙O的半径．【分析】（1）连接OC．由点C为的中点，得到，求得∠COB＝∠COF，根据平行线的性质得到∠OCG＝∠OMB＝90°，于是得到CG是⊙O的切线；（2）连接BC．由（1）知，∠COB＝∠COF∠BOF＝60°，推出△OBC为等边三角形．得到∠OCD＝30°，则EM CE＝2，根据勾股定理得到CM，求得OM＝CM，于是得到结论．【解答】（1）证明：连接OC．∵点C为的中点，∴，∴∠COB＝∠COF，∵OB＝OF，∴OC⊥BF，设垂足为M，则∠OMB＝90°，∵CG∥FB，∴∠OCG＝∠OMB＝90°，∴CG是⊙O的切线；（2）解：连接BC．由（1）知，∠COB＝∠COF∠BOF＝60°，∵OB＝OC，∴△OBC为等边三角形．∵∠OCD＝30°，则EM CE＝2，∴CM，∴OM＝CM，∴OC＝4，即⊙O的半径为4．6．（2019秋•镇江期中）在矩形ABCD中，AB＝5cm，BC＝10cm，点P从点A出发，沿AB 边向点B以每秒1cm的速度移动，同时点Q从点B出发沿BC边向点C以每秒2cm的速度移动，P、Q两点在分别到达B、C两点时就停止移动，设两点移动的时间为秒，解答下列问题：（1）如图1，当t为几秒时，△PBQ的面积等于4cm2？（2）如图2，以Q为圆心，PQ为半径作⊙Q．在运动过程中，是否存在这样的t值，使⊙Q正好与四边形DPQC的一边（或边所在的直线）相切？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由题意可知P A＝t，BQ＝2t，从而得到PB＝6﹣t，BQ＝2t，然后根据△PQB的面积＝4cm2列方程求解即可；（2）当t＝0时，点P与点A重合时，点B与点Q重合，此时圆Q与PD相切；当⊙Q 正好与四边形DPQC的DC边相切时，由圆的性质可知QC＝QP，然后依据勾股定理列方程求解即可；【解析】（1）∵当运动时间为t秒时，P A＝t，BQ＝2t，∴PB＝5﹣t，BQ＝2t．∵△PBQ的面积等于4cm2，∴PB•BQ（5﹣t）•2t．∴（5﹣t）•2t＝4．解得：t1＝1，t2＝4．答：当t为1秒或4秒时，△PBQ的面积等于4cm2；（2）（Ⅰ）由题意可知圆Q与AB、BC不相切．（Ⅱ）如图1所示：当t＝0时，点P与点A重合时，点B与点Q重合．∵∠DAB＝90°，∴∠DPQ＝90°．∴DP⊥PQ．∴DP为圆Q的切线．（Ⅲ）当⊙Q正好与四边形DPQC的DC边相切时，如图2所示．由题意可知：PB＝5﹣t，BQ＝2t，PQ＝CQ＝10﹣2t．在Rt△PQB中，由勾股定理可知：PQ2＝PB2+QB2，即（5﹣t）2+（2t）2＝（10﹣2t）2．解得：t1＝﹣15+10，t2＝﹣15﹣10（舍去）．综上所述可知当t＝0或t＝﹣15+10时，⊙Q与四边形DPQC的一边相切．7．（2019秋•玄武区期中）如图，在▱ABCD中，AD是⊙O的弦，BC是⊙O的切线，切点为B．（1）求证：；（2）若AB＝5，AD＝8，求⊙O的半径．【分析】（1）连接OB，交AD于点E，由已知条件易证OE⊥AD，由垂径定理进而可证明；（2）设⊙O的半径为r，则OE＝r﹣3，在Rt△ABE中，∠OEA＝90°，由勾股定理可得：OE2+AE2＝OA2即（r﹣3）2+42＝r2，解方程即可求出圆的半径r．【解析】（1）证明：连接OB，交AD于点E．∵BC是⊙O的切线，切点为B，∴OB⊥BC，∴∠OBC＝90°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠OED＝∠OBC＝90°，∴OE⊥AD，∴；（2）∵OE⊥BC，OE过圆心O∴AE AD＝4，在Rt△ABE中，∠AEB＝90°，∴BE═3，设⊙O的半径为r，则OE＝r﹣3在Rt△ABE中，∠OEA＝90°，OE2+AE2＝OA2即（r﹣3）2+42＝r2，∴r，∴⊙O的半径为．8．（2019秋•建邺区期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠DAB＝90°，点E在BC的延长线上，且∠CED＝∠CAB．（1）求证：DE是⊙O的切线．（2）若AC∥DE，当AB＝8，DC＝4时，求BD的长．【分析】（1）先判断出BD是圆O的直径，再判断出BD⊥DE，即可得出结论；（2）先判断出AC⊥BD，进而求出BC＝AB＝8，再用勾股定理求出BD，最后判断出△CFD∽△BCD，即可得出结论．【解析】（1）如图，连接BD，∵∠BAD＝90°，∴点O必在BD上，即：BD是直径，∴∠BCD＝90°，∴∠DEC+∠CDE＝90°，∵∠DEC＝∠BAC，∴∠BAC+∠CDE＝90°，∵∠BAC＝∠BDC，∴∠BDC+∠CDE＝90°，∴∠BDE＝90°，即：BD⊥DE，∵点D在⊙O上，∴DE是⊙O的切线；（2）∵DE∥AC，∵∠BDE＝90°，∴∠BFC＝90°，∴CB＝AB＝8，AF＝CF AC，在Rt△BCD中，BD49．（2019秋•玄武区期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB上的中线CD 为直径作⊙O，与AC、BC分别交于点M、N，与AB的另一个交点为E．过点N作NF ⊥AB，垂足为F．（1）求证：NF是⊙O的切线；（2）若NF＝2，DF＝1，求弦ED的长．【分析】（1）欲证明NF为⊙O的切线，只要证明ON⊥NF．（2）证明四边形ONFH是矩形，由勾股定理即可解决问题．【解答】（1）证明：连接ON．如图所示：∵在Rt△ACB中，CD是边AB的中线，∴CD＝BD，∴∠DCB＝∠B，∵OC＝ON，∴∠ONC＝∠DCB，∴∠ONC＝∠B，∴ON∥AB∵NF⊥AB∴∠NFB＝90°∴∠ONF＝∠NFB＝90°，∴ON⊥NF又∵NF过半径ON的外端∴NF是⊙O的切线；（2）解：过点O作OH⊥ED，垂足为H，如图2所示：设⊙O的半径为r∵OH⊥ED，NF⊥AB，ON⊥NF，∴∠OHD＝∠NFH＝∠ONF＝90°．∴四边形ONFH为矩形．∴HF＝ON＝r，OH＝NF＝2，∴HD＝HF﹣DF＝r﹣1，在Rt△OHD中，∠OHD＝90°∴OH2+HD2＝OD2，即22+（r﹣1）2＝r2，∴r．∴HD，∵OH⊥ED，且OH过圆心O，∴HE＝HD，∴ED＝2HD＝3．10．（2019秋•江阴市期中）如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AD平分∠CAE交⊙O于点D，且AE⊥CD，垂足为点E，BC＝3，CD（1）求证：直线CE是⊙O的切线；【分析】（1）连结OD，如图，由AD平分∠EAC得到∠1＝∠3，加上∠1＝∠2，则∠3＝∠2，于是可判断OD∥AE，根据平行线的性质得OD⊥CE，然后根据切线的判定定理得到结论；【解答】（1）证明：连接OD，如图，∵AD平分∠EAC，∴∠1＝∠3，∵OA＝OD，∴∠1＝∠2，∴∠3＝∠2，∴OD∥AE，∵AE⊥DC，∴OD⊥CE，∴CE是⊙O的切线；11．（2019春•建湖县期中）如图，点D为⊙O上一点，点C在直径AB的延长线上，且∠COD＝2∠BDC，过点A作⊙O的切线，交CD的延长线于点E．（1）判定直线CD与⊙O的位置关系，并说明你的理由；【分析】（1）连接OD，根据圆周角定理求出∠DAB+∠DBA＝90°，求出∠CDB+∠BDO ＝90°，根据切线的判定推出即可；【解答】（1）证明：连接OD，∵OD＝OB，∴∠DBA＝∠BDO，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠DAB+∠DBA＝90°，∵∠CDB＝∠CAD，∴∠CDB+∠BDO＝90°，即OD⊥CE，∵D为⊙O的一点，∴直线CD是⊙O的切线；12．（2019春•宿豫区期中）已知，⊙O是△ABC的外接圆，∠CAD＝∠ABC．（1）如图1，试判断直线AD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）如图2，将直线AD沿直线AC翻折后交⊙O于点E，连接OA、OE、CE，若∠ABC ＝30°，求证：四边形ACEO是菱形．【分析】（1）作直径AP，连接CP，根据圆周角定理得到∠CAD＝∠APC，∠ACP＝90°，求得∠DAP＝90°，AD⊥AP，根据切线的判定定理即可得到结论；（2）连接OC，根据圆周角定理得到∠CAE＝∠CAD＝∠ABC＝30°，得到∠AOC＝2∠ABC＝60°，∠COE＝2∠CAE＝60°，推出△AOC、△COE都是等边三角形，得到OA ＝AC＝CE＝EO，于是得到结论．【解析】（1）直线AD与⊙O相切，理由：作直径AP，连接CP，∵∠APC＝∠ABC，∠CAD＝∠ABC，∴∠CAD＝∠APC，∵AP是⊙O的直径，∴∠ACP＝90°，∴∠CAP+∠APC＝90°，∴∠CAP+∠CAD＝90°，即∠DAP＝90°，∴AD⊥AP，∴直线AD与⊙O相切；（2）证明：连接OC，∵∠ABC＝30°，∴∠CAE＝∠CAD＝∠ABC＝30°，∴∠AOC＝2∠ABC＝60°，∠COE＝2∠CAE＝60°，∵OA＝OC，OC＝OE，∴△AOC、△COE都是等边三角形，∴OA＝AC＝CO，OC＝CE＝EO，∴OA＝AC＝CE＝EO，∴四边形ACEO是菱形．13．（2019秋•锡山区期中）如图，已知直角△ABC，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4．⊙C的半径长为1，已知点P是△ABC边上一动点（可以与顶点重合）．（1）若点P到⊙C的切线长为，则AP的长度为2或2；（2）若点P到⊙C的切线长为m，求点P的位置有几个？（直接写出结果）【分析】（1）由题意切线长为，半径为1，可得PC＝2，所以点P只能在边BC或边AC上．分两种情形分别求解即可；（2）首先求出三个特殊位置时切线的长，结合图形即可判断；【解析】（1）由题意切线长为，半径为1，可得PC＝2，所以点P只能在边BC或边AC上．如图1中，连接P A．在Rt△P AC中，P A2．如图2中，P A＝AC＝PC＝4﹣2＝2，综上所述，满足条件的P A的长为2或2．故答案为2或2．（2）如图3中，当CP⊥AB时．易知CP，此时切线长PE，如图4中，当点P与点B重合时，切线长PE2，如图5中，当点P与点A重合时，切线长PE，观察图形可知：当0＜m时，点P的位置有2个位置；当m时，点P的位置有3个位置；当m＜2时，点P的位置有4个位置；当m＝2时，点P的位置有3个位置；当2m时，点P的位置有2个位置；当m时，点P的位置有1个位置．14．（2019秋•灌云县期中）如图，AB为⊙O的直径，AC为⊙O的弦，AD平分∠BAC，交⊙O于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E．（1）求证：直线DE是⊙O的切线；（2）若AE＝8，⊙O的半径为5，求DE的长．【分析】（1）连接OD，由角平分线和等腰三角形的性质得出∠ODA＝EAD，证出EA∥OD，再由已知条件得出DE⊥OD，即可得出结论．（2）作DF⊥AB，垂足为F，由AAS证明△EAD≌△F AD，得出AF＝AE＝8，DF＝DE，求出OF＝3，由勾股定理得出DF，即可得出结果．【解答】（1）证明：连接OD，如图1所示：∵AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠OAD，∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD，∴∠ODA＝EAD，∴EA∥OD，∵DE⊥EA，∴DE⊥OD，∵点D在⊙O上，∴直线DE与⊙O相切．（2）作DF⊥AB，垂足为F，如图2所示：∴∠DF A＝∠DEA＝90°，在△EAD和△F AD中，，∴△EAD≌△F AD（AAS），∴AF＝AE＝8，DF＝DE，∵OA＝OD＝5，∴OF＝3，在Rt△DOF中，DF4，∴DE＝DF＝4．15．（2019秋•建邺区期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，⊙O是△ABC的外接圆，P 为CO的延长线上一点，且AP＝AC．（1）求证：AP是⊙O的切线；（2）若PB为⊙O的切线，求证：△ABC是等边三角形．【分析】（1）连接OA，由圆心角等于2倍的圆周角得出∠AOC＝120°，由OA＝OC，得出∠OAC＝∠OCA（180°﹣∠AOC）＝30°，由AP＝AC，推出∠APC＝∠ACP ＝30°，由三角形内角和定理得出∠P AC＝120°，则∠P AO＝∠P AC﹣∠OAC＝90°，即可得出结论；（2）连接OB，由切线的性质得出P A＝PB，由OA＝OB，得出PO是AB的垂直平分线，则CB＝CA，由又∠ABC＝60°，即可得出结论．【解答】证明：（1）连接OA，如图1所示：∵∠ABC＝60°，∴∠AOC＝120°，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA（180°﹣∠AOC）（180°﹣120°）＝30°，∵AP＝AC，∴∠APC＝∠ACP＝30°，∴∠P AC＝180°﹣30°﹣30°＝120°，∴∠P AO＝∠P AC﹣∠OAC＝120°﹣30°＝90°，∴AP⊥OA，又∵OA是⊙O的半径，∴AP是⊙O的切线；（2）连接OB，如图2所示：∵AP、PB为⊙O的切线，∴P A＝PB，∵OA＝OB，∴PO是AB的垂直平分线，∴CB＝CA，∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形．16．（2019秋•大名县期中）已知，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝8，点A在半径为5的⊙O上，点O在直线l上．（1）如图①，若⊙O经过点C，交BC于点D，求CD的长．（2）在（1）的条件下，若BC边交l于点E，OE＝2，求BE的长．（3）如图②，若直线l还经过点C，BC是⊙O的切线，F为切点，则CF的长为4．【分析】（1）由圆周角定理可得AD是直径，根据勾股定理可求CD的长；（2）过点O作OF⊥CD，垂足为F，根据垂径定理可得CF＝DF＝3，根据中位线定理可得OF＝4，根据勾股定理可求EF的长，即可求BE的长；（3）连接OF，OA，过点O作OE⊥AC于点E，可证四边形OECF是矩形，可得CF＝OE，FO＝CE＝5，由勾股定理可求AE的长，即可求CF的长．【解析】（1）如图：连接AD∵∠ACB＝90°，∴AD是直径∴AD＝10在Rt△ACD中，CD 6（2）如图：过点O作OF⊥CD，垂足为F∵OF⊥CD∴CF＝DF＝3，且AO＝DO∴OF AC＝4在Rt△OFE中，EF2∵BE＝BC﹣CF﹣EF∴BE＝8﹣3﹣25﹣2（3）如图：连接OF，OA，过点O作OE⊥AC于点E，∵BC是⊙O的切线∴OF⊥BC，∴∠BFO＝∠ACB＝90°，OE⊥CE，∴四边形OECF是矩形∴CF＝OE，FO＝CE＝5，∴AE＝AC﹣CE＝3在Rt△AEO中，OE4，∴CF＝4故答案为：417．（2019秋•东台市期中）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足D，AD交⊙O于点E．（1）求证：AC平分∠DAB．（2）连接CE，若CE＝6，AC＝8，求出⊙O的直径的长．【分析】（1）连接OC，根据切线的性质和已知求出OC∥AD，求出∠OCA＝∠CAO＝∠DAC，即可得出答案；（2）根据圆周角定理和圆心角、弧、弦之间的关系求出CE＝BC＝6，根据勾股定理求出AB即可．【解答】（1）证明：连接OC，∵CD是⊙O的切线，∴CD⊥OC，又∵CD⊥AD，∴AD∥OC，∴∠CAD＝∠ACO，∵OA＝OC，∴∠CAO＝∠ACO，∴∠CAD＝∠CAO，即AC平分∠DAB；（2）解：∵∠CAD＝∠CAO，∴，∴CE＝BC＝6，∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，由勾股定理得：AB10，即⊙O直径的长是10．18．（2019秋•锡山区期中）如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，与CA的延长线相交于点E，过点D作DF⊥AC于点F．（1）试说明DF是⊙O的切线；（2）若AC＝3AE，求的值．【分析】（1）连接OD，根据等边对等角性质和平行线的判定和性质证得OD⊥DF，从而证得DF是⊙O的切线；（2）根据圆周角定理、勾股定理得出BE＝2AE，CE＝4AE，然后在RT△BEC中可求的值．【解答】（1）证明：连接OD，∵OB＝OD，∴∠B＝∠ODB，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠ODB＝∠C，∴OD∥AC，∵DF⊥AC，∴OD⊥DF，∴DF是⊙O的切线；（2）解：连接BE，∵AB是直径，∴∠AEB＝90°，∵AB＝AC，AC＝3AE，∴AB＝3AE，CE＝4AE，∴BE2AE，在RT△BEC中，．19．（2019秋•江阴市期中）如图，Rt△APE，∠AEP＝90°，以AB为直径的⊙O交PE于C，且AC平分∠EAP．连接BC，PB：PC＝1：2．（1）求证：PE是⊙O的切线；（2）已知⊙O的半径为，求AP的长．【分析】（1）连接OC，由AC平分∠EAP，得到∠DAC＝∠OAC，由等腰三角形的性质得到∠CAO＝∠ACO，等量代换得到∠DAC＝∠ACO，根据平行线的性质得到∠E＝∠OCP＝90°，于是得到结论；（2）设PB＝x，PC＝2x，根据勾股定理得到PC，PB，求得AP【解析】（1）连接OC，∵AC平分∠EAP，∴∠DAC＝∠OAC，∵OA＝OC，∴∠CAO＝∠ACO，∴∠DAC＝∠ACO，∴AE∥OC，∴∠E＝∠OCP＝90°，∴PE是⊙O的切线；（2）∵PB：PC＝1：2，∴设PB＝x，PC＝2x，∵OC2+PC2＝OP2，即（）2+（2x）2＝（x）2，∴x，∴PC，PB，∴AP，20．（2018秋•邳州市期中）如图，△OAC中，以O为圆心，OA为半径作⊙O，作OB⊥OC 交⊙O于点B，垂足为O，连接AB交OC于点D，∠CAD＝∠CDA．（1）AC与⊙O有怎样的位置关系？为什么？（2）若OB＝3，BD，求线段AC的长．【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠OAD＝∠B，得到∠ODB＝∠CAD，根据余角的性质得到∠OAC＝90°，于是得到结论；（2）根据勾股定理得到，根据等腰三角形的性质得到CA＝CD＝x，根据勾股定理即可得到结论．【解析】（1）∵OA＝OB，∴∠OAD＝∠B，∵∠ODB＝∠ADC，∠CAD＝∠ADC，∴∠ODB＝∠CAD，∵OB⊥OC，∴∠BOC＝90°，∠ODB+∠B＝90°，∴∠CAD+∠OAD＝90°，∴∠OAC＝90°，∴AC与⊙O相切于点A；（2）OA＝OB＝3，BD，在Rt△ODB中，∴，∵∠CAD＝∠CDA，∴CA＝CD＝x，在Rt△OAC中，∴AC2+OA2＝OC2，x2+32＝（x+1）2，解得：x＝4，∴AC＝4．。
第24章 (2)圆的切线和计算 教案
第三、四节圆的切线的性质和判定及圆的有关计算1、切线的定义：如果一条直线与圆有唯一交点，那么这条直线叫做圆的切线；2、切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
3、切线的性质：①圆的切线垂直于经过切点的半径；②经过切点且垂直于切线的直线，必经过圆心。
③经过圆心且垂直于切线的直线，必经过切点。
4、切线长定理①经过圆外一点作圆的切线，这点与切点之间的线段的长度叫做这点到圆的切线长。
②过圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点与圆心的连线平分两条切线的夹角。
5、三角形内切圆和外接圆①内切圆：和三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心，角平分线的交点，这个三角形叫圆的外切三角形。
②外接圆：三角形的外接圆的圆心叫做三角形的外心，垂直平分线的交点。
③圆内接四边形对角互补。
6.圆的有关计算【例题经典】例1. (2018 北京，22，5分)如图，AB是⊙O的直径，过⊙O外一点P作⊙O的两条切线PC，PD，切点分别为C，D，连接OP，CD.(1)A求证:OP⊥CD;(2)B-A连接AD，BC，若∠DAB=50°，∠CBA = 70°，OA=2，求OP的长.解析：（1）A（证△DPE≌△PCE，等腰三角形三线合一）（2）（B-A）334（辅助线：连接OD，OC，△ADO中∠AOD=80°，∠BOC=40°。
∴∠DOP=30°）例2.（2017 北京，24,5分）如图，AB 是O e 的一条弦，E 是AB 的中点，过点E 作EC OA ⊥于点C ， 过点B 作O e 的切线交CE 的延长线于点D .（1）A 求证：DB DE =；（2）B 若12,5AB BD ==，求O e 的半径.解析：（1）（证∠BED=∠EBD ）（2）215（辅助线：连接OE ，过点D 做DM ⊥AB 与点M,由△EDM ∽OEB 可得）例3.（2016 北京，25，5分）如图,AB 为☉O 的直径,F 为弦AC 的中点,连接OF 并延长交于点D,过点D 作☉O 的切线,交BA 的延长线于点E.(1)A 求证:AC ∥DE;(2)连接CD,若OA=AE=a,写出求四边形ACDE 面积的思路.解析 (1)证明:连接OC,如图.∵OA=OC,F 为AC 的中点,∴OD ⊥AC.∵DE 是☉O 的切线,∴OD ⊥DE.∴AC ∥DE.(2)求解思路如下:①在Rt △ODE 中,由OA=AE=OD=a,可得△ODE,△OFA 为含30°角的直角三角形;②由∠ACD=∠AOD=30°,可知CD∥OE;③由AC∥DE,可知四边形ACDE是平行四边形;④由△ODE,△OFA为含有30°角的直角三角形,可求DE,DF的长,进而可求四边形ACDE的面积.圆的切线练习1.（2015 北京，24,5分）如图,AB是☉O的直径,过点B作☉O的切线BM,弦CD∥BM,交AB于点F,且错误!未找到引用源。
题型五 圆的相关证明与计算 类型二 与切线有关的证明与计算(专题训练)(解析版)
题型五 圆的相关证明与计算类型二 与切线有关的证明与计算（专题训练）1.如图，ABC V 内接于O e ，AB 是O e 的直径，E 为AB 上一点，BE BC =，延长CE 交AD 于点D ，AD AC =．（1）求证：AD 是O e 的切线；（2）若1tan 3ACE Ð=，3OE =，求BC 的长．【答案】（1）见解析；（2）8【分析】（1）根据BE BC =，可得BEC BCE Ð=Ð，根据对顶角相等可得AED BEC Ð=Ð，进而可得BCE AED Ð=Ð，根据AD AC =，可得ADC ACE Ð=Ð，结合90ACB Ð=°，根据角度的转化可得90AED D Ð+Ð=°，进而即可证明AD 是O e 的切线；（2）根据ADC ACE Ð=Ð，可得1tan tan 3EA D ACE DA ==Ð=，设AE x =，则3AC AD x ==，分别求得,,AC AB BC ，进而根据勾股定理列出方程解方程可得x ，进而根据6BC x =+即可求得．【详解】（1）Q BE BC =，\BEC BCE Ð=Ð，Q AED BEC Ð=Ð，\BCE AED Ð=Ð，Q AD AC =，\ADC ACE Ð=Ð，Q AB 是直径，\90ACB Ð=°，90D AED ACD BCE ACB \Ð+Ð=Ð+Ð=Ð=°，\AD 是O e 的切线；（2）AD AC =Q ，\ADC ACE Ð=Ð，1tan tan 3EA D ACE DA \==Ð=，设AE x =，则3AC AD x ==，3,336OB OA AE OE x BC BE OE OB x x ==+=+==+=++=+，226AB OA x ==+，在Rt ABC V 中，222AC BC AB +=，即()()()2223626x x x ++=+，解得122,0x x ==（舍去），68BC x \=+=．【点睛】本题考查了切线的判定，勾股定理解直角三角形，正切的定义，利用角度相等则正切值相等将已知条件转化是解题的关键．2.如图，ABC V 内接于O e ，AB AC =，AD 是O e 的直径，交BC 于点E ，过点D 作//DF BC ，交AB 的延长线于点F ，连接BD ．（1）求证：DF 是O e 的切线；（2）已知12AC =，15AF =，求DF 的长．【答案】（1）见解析；（2）DF =【分析】（1）由题意根据圆周角定理得出90ABC CBD Ð+Ð=°，结合同弧或等弧所对的圆周角相等并利用经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线进行证明即可；（2）根据题意利用相似三角形的判定即两个角分别相等的两个三角形相似得出FBD FDA ~△△，继而运用相似比FB FD FD FA=即可求出DF 的长．【详解】解：（1）证明：∵AD 是O e 的直径∴90ABD Ð=°（直径所对的圆周角是直角）即90ABC CBD Ð+Ð=°∵AB AC=∴ABC C Ð=Ð（等边对等角）∵ AB AB=∴ADB C Ð=Ð（同弧或等弧所对的圆周角相等）∴ABC ADBÐ=Ð∵//BC DF ，∴CBD FDBÐ=Ð∴90ADB FDB Ð+Ð=°即90ADF Ð=°∴AD DF^又∵AD 是O e 的直径∴DF 是O e 的切线（经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线）．（2）解：∵12AB AC ==，15AF =∴3BF AF AB =-=∵F F Ð=Ð，90FBD FDA Ð=Ð=o∴FBD FDA ~△△（两个角分别相等的两个三角形相似）∴FB FD FD FA=，∴231545FD FB FA =×=´=∴DF =【点睛】本题主要考查圆的切线的判定、圆周角定理、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握圆周角定理和相似三角形的判定与性质是解题的关键．3.如图，AB 为O e 的直径，C 为O e 上一点，D 为AB 上一点，BD BC =，过点A 作AE AB ^交CD 的延长线于点E ，CE 交O e 于点G ，连接AC ，AG ，在EA 的延长线上取点F ，使2FCA E Ð=Ð．（1）求证：CF 是O e 的切线；（2）若6AC =，AG =，求O e 的半径．【答案】（1）见解析；（2）5【分析】（1）根据题意判定ADG DCB V V ∽，然后结合相似三角形的性质求得2AGD E ÐÐ＝，从而可得FCA AGD ÐÐ＝，然后结合等腰三角形的性质求得90FCO а＝，从而判定CF 是O e 的切线；（2）由切线长定理可得AF CF ＝，从而可得2FAC E ÐÐ＝，得到AC AE ＝，然后利用勾股定理解直角三角形可求得圆的半径．【详解】（1）证明：B AGC ÐÐQ ＝，ADG CDB ÐÐ＝，ADG DCB \V V ∽，BD BC GD GA\=，BD BC Q ＝，GD GA \＝，ADG DAG \ÐÐ＝，又AE AB ^Q ，90EAD \а＝，90GAE DAG E ADG \Ð+ÐÐ+а＝＝，GAE E \ÐÐ＝，AG DG EG \＝＝，2AGD E ÐÐ＝，2FCA E ÐÐQ ＝，FCA AGD B \ÐÐÐ＝＝，Q AB 是O e 的直径，90CAB B \Ð+а＝，又OA OC Q ＝，ACO CAB \ÐÐ＝，90FCA ACO \Ð+а＝，90FCO \а＝，即CF 是O e 的切线；（2）Q CF 是O e 的切线，AE AB ^，AF CF \＝，2FAC FCA E \ÐÐÐ＝＝，6AC AE \＝＝，又AG DG EG Q ＝＝，在Rt ADE △中，2AD ===，设O e 的半径为x ，则2AB x ＝，22BD BC x＝＝﹣，在Rt ABC △中，2226222x x +（﹣）＝（），解得：5x ＝，O \e 的半径为5．【点睛】本题考查了圆周角定理、切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等，熟练掌握相关定理与性质是解决本题的关键．4.如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 为⊙O 的直径，过点C 作CE ⊥AD 交AD 的延长线于点E ，延长EC ，AB 交于点F ，∠ECD ＝∠BCF ．（1）求证：CE 为⊙O 的切线；（2）若DE ＝1，CD ＝3，求⊙O 的半径．【答案】（1）见解析；（2）⊙O 的半径是4.5【分析】（1）如图1，连接OC ，先根据四边形ABCD 内接于⊙O ，得CDE OBC ÐÐ＝，再根据等量代换和直角三角形的性质可得90OCE а＝，由切线的判定可得结论；（2）如图2，过点O 作OG AE ^于G ，连接OC ，OD ，则90OGE а＝，先根据三个角是直角的四边形是矩形得四边形OGEC 是矩形，设⊙O 的半径为x ，根据勾股定理列方程可得结论．【详解】（1）证明：如图1，连接OC ，∵OB OC ＝，∴OCB OBC ÐÐ＝，∵四边形ABCD 内接于⊙O ，∴180CDA ABC Ð+Ð=°又180CDE CDA Ð+Ð=°∴CDE OBC ÐÐ＝，∵CE AD ^，∴90E CDE ECD ÐÐа＝＋＝，∵ECD BCF ÐÐ＝，∴90OCB BCF Ðа＋＝，∴90OCE а＝，∵OC 是⊙O 的半径，∴CE 为⊙O 的切线；（2）解：如图2，过点O 作OG AE ^于G ，连接OC ，OD ，则90OGE а＝，∵90E OCE Ðа＝＝，∴四边形OGEC 是矩形，∴OC EG OG EC ＝，＝，设⊙O 的半径为x ，Rt △CDE 中，31CD DE ＝，＝，∴EC ==∴OG =1GD xOD x ＝﹣，＝，由勾股定理得222OD OG DG +：＝，∴222(1)x x =+-，解得： 4.5x ＝，∴⊙O 的半径是4.5．【点睛】本题考查的是圆的综合，涉及到圆的切线的证明、勾股定理以及矩形的性质，熟练掌握相关性质是解决问题的关键．5.如图，V ABC 内接于⊙O ，且AB ＝AC ，其外角平分线AD 与CO 的延长线交于点D ．（1）求证：直线AD 是⊙O 的切线；（2）若AD ＝，BC ＝6，求图中阴影部分面积．【答案】（1）见解析；（2）6p -【分析】（1）连接OA ，证明OA ⊥AD 即可，利用角平分线的意义以及等腰三角形的性质得以证明；（2）求出圆的半径和阴影部分所对应的圆心角度数即可，利用相似三角形求出半径，再根据特殊锐角三角函数求出∠BOC ．【详解】解：（1）如图，连接OA 并延长交BC 于E ，∵AB=AC ，△ABC 内接于⊙O ，∴AE 所在的直线是△ABC 的对称轴，也是⊙O 的对称轴，∴∠BAE=∠CAE ，又∵∠MAD=∠BAD ，∠MAD+∠BAD+∠BAE+∠CAE=180°，∴∠BAD+∠BAE=12×180°=90°，即AD ⊥OA ，∴AD 是⊙O 的切线；（2）连接OB ，∵∠OAD=∠OEC=90°，∠AOD=∠EOC ，∴△AOD ∽△EOC ，∴AD OA EC OE =，由（1）可知AO 是ABC D 的对称轴，OE \垂直平分BC ，132CE BC \==，设半径为r ，在Rt EOC D 中，由勾股定理得，，\解得6r =（取正值），经检验6r =是原方程的解，即6OB OC OA ===，又6BC =Q ，OBC \D 是等边三角形，60BOC \Ð=°，OE =BOC BOC S S S D \=-阴影部分扇形2606163602p ´=-´´6p =-【点睛】本题考查了切线的判定和性质、角平分线的性质，圆周角定理，三角形外接圆与外心，扇形面积的计算，灵活运用切线的判定方法是解题的关键．6.如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 是⊙O 的直径，过⊙O 外一点D 作//DG BC ，DG 交线段AC 于点G ，交AB 于点E ，交⊙O 于点F ，连接DB ，CF ，∠A ＝∠D ．（1）求证：BD 与⊙O 相切；（2）若AE ＝OE ，CF 平分∠ACB ，BD ＝12，求DE 的长．【答案】（1）见解析；（2）【分析】（1）如图1，延长DB 至H ，证明90ABD Ð=°，即可根据切线的判定可得BD 与O e 相切；（2）如图2，连接OF ，先根据圆周角定理证明OF AB ^，再证明EFO EDB △∽△，列比例式可得4OF =，即O e 的半径为4，根据勾股定理可得DE 的长．【详解】（1）证明：如图1，延长DB 至H ，Q，DG BC//\Ð=Ð，CBH DQ，Ð=ÐA D\Ð=Ð，A CBHe的直径，Q是OAB\Ð=°，ACB90\Ð+Ð=°，A ABC90\Ð+Ð=°，90CBH ABC\Ð=°，90ABD∴AB⊥BD，e相切；\与OBD（2）解：如图2，连接OF，CFQ平分ACBÐ，\Ð=Ð，ACF BCF\=，AF BF∴∠AOF＝∠BOF＝90°，OF AB \^，BD AB ^Q ，//OF BD \，EFO EDB \△∽△，\OF OE BD BE=，AE OE =Q ，\13OE EB =，\1123OF =，4OF \=，4OA OB OF \===，246BE OE OB \=+=+=，DE \．【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，切线的判定，圆周角定理，勾股定理等知识，解答本题需要我们熟练掌握切线的判定，第2问关键是证明EFO EDB △∽△．7.如图，在Rt △ACD 中，∠ACD ＝90°，点O 在CD 上，作⊙O ，使⊙O 与AD 相切于点B ，⊙O 与CD 交于点E ，过点D 作DF ∥AC ，交AO 的延长线于点F ，且∠OAB ＝∠F ．（1）求证：AC 是⊙O 的切线；（2）若OC ＝3，DE ＝2，求tan ∠F 的值．【答案】（1）见详解；（2）12．【分析】（1）由题意，先证明OA 是∠BAC 的角平分线，然后得到BO=CO ，即可得到结论成立；（2）由题意，先求出BD=4，OD=5，然后利用勾股定理求出6AB AC ==，10AD =，结合直角三角形ODF ，即可求出tan ∠F 的值．【详解】解：（1）∵DF ∥AC ，∴∠CAO=∠F ，∵∠OAB ＝∠F ，∴∠CAO=∠OAB ，∴OA 是∠BAC 的角平分线，∵AD 是⊙O 的切线，∴∠ABO=∠ACO=90°，∴BO=CO ，又∵AC ⊥OC ，∴AC 是⊙O 的切线；（2）由题意，∵OC ＝3，DE ＝2，∴OD=5，OB=3，CD=8，∴4BD ==，由切线长定理，则AB=AC ，设AB AC x ==，在直角三角形ACD 中，由勾股定理，则222AC CD AD +=，即2228(4)x x +=+，解得：6x =，∴6AB AC ==，6410AD =+=，∵∠OAB ＝∠F ，∴10DF AD ==，∵90FDO ACO Ð=Ð=°，∴51tan 102OD F DF Ð===．【点睛】本题考查了圆的切线的判定和性质，勾股定理，角平分线的性质，以及三角函数，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的求出所需的长度，从而进行解题．8.如图，在Rt ABC V 中，90ACB °Ð=，以斜边AB 上的中线CD 为直径作O e ，与BC 交于点M ，与AB 的另一个交点为E ，过M 作MN AB ^，垂足为N ．（1）求证：MN 是O e 的切线；（2）若O e 的直径为5，3sin 5B =，求ED 的长．【答案】（1）见解析；（2）75ED =．【解析】【分析】（1）欲证明MN 为⊙O 的切线，只要证明OM ⊥MN ．（2）连接,DM CE ，分别求出BD=5，BE=325，根据ED BE BD =-求解即可．【详解】（1）证明：连接OM ，OC OM =Q ，OCM OMC \Ð=Ð．在Rt ABC V 中，CD 是斜边AB 上的中线，12CD AB BD \==，DCB DBC \Ð=Ð，OMC DBC \Ð=Ð，//OM BD \，MN BD ^Q ，MN OM \^，MN \是O e 的切线．（2）连接,DM CE ，易知,DM BC CE AB ^^，由（1）可知5BD CD ==，故M 为BC 的中点，3sin 5B =Q ，4cos 5B \=，在Rt BMD △中，cos 4BM BD B =×=，28BC BM \==．在Rt CEB V 中，32cos 5BE BC B =×=，327555ED BE BD \=-=-=．【点睛】本题考查切线的判定和性质，等腰三角形的性质，解直角三角形等知识；熟练掌握切线的判定定理是解题的关键．9.如图，AB 是半圆O 的直径，,C D 是半圆O 上不同于,A B 的两点,AD BC AC =与BD 相交于点,F BE 是半圆O 所任圆的切线，与AC 的延长线相交于点E ，()1求证：CBA DAB D D ≌；()2若,BE BF =求AC 平分DAB Ð．【答案】()1证明见解析；()2证明见解析．【解析】【分析】()1利用,AD BC =证明,ABD BAC Ð=Ð利用AB 为直径，证明90,ADB BCA Ð=Ð=°结合已知条件可得结论；()2利用等腰三角形的性质证明：,EBC FBC Ð=Ð 再证明,CBF DAF Ð=Ð 利用切线的性质与直径所对的圆周角是直角证明：,EBC CAB Ð=Ð 从而可得答案．【详解】()1证明：,AD BC =Q,AD BC\= ,ABD BAC \Ð=ÐAB Q 为直径，90,ADB BCA \Ð=Ð=°,AB BA =QCBA DAB \V V ≌．()2证明：,90,BE BF ACB =Ð=°Q,FBC EBC \Ð=Ð90,,ADC ACB DFA CFB Ð=Ð=°Ð=ÐQ,DAF FBC EBC \Ð=Ð=ÐBE Q 为半圆O 的切线，90,90,ABE ABC EBC \Ð=°Ð+Ð=°90,ACB Ð=°Q90,CAB ABC \Ð+Ð=°,CAB EBC \Ð=Ð,DAF CAB \Ð=ÐAC \平分DAB Ð．【点睛】本题考查的是圆的基本性质，弧，弦，圆心角，圆周角之间的关系，直径所对的圆周角是直角，三角形的全等的判定，切线的性质定理，三角形的内角和定理，掌握以上知识是解题的关键．10.如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，∠CAB的平分线AD交 BC于点D，过点D 作DE∥BC交AC的延长线于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）过点D作DF⊥AB于点F，连接BD．若OF＝1，BF＝2，求BD的长度．【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）连接OD，由等腰三角形的性质及角平分线的性质得出∠ADO＝∠DAE，从而OD∥AE，由DE∥BC得∠E＝90°，由两直线平行，同旁内角互补得出∠ODE＝90°，由切线的判定定理得出答案；（2）先由直径所对的圆周角是直角得出∠ADB＝90°，再由OF＝1，BF＝2得出OB的值，进而得出AF和BA的值，然后证明△DBF∽△ABD，由相似三角形的性质得比例式，从而求得BD2的值，求算术平方根即可得出BD的值．【详解】解：（1）连接OD，如图：∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ADO，∵AD平分∠CAB，∴∠DAE＝∠OAD，∴∠ADO＝∠DAE，∴OD∥AE，Q AB为⊙O的直径，90,ACB\Ð=°∵DE∥BC，∴∠E＝ACB=∠ 90°，∴∠ODE＝180°﹣∠E＝90°，∴DE是⊙O的切线；（2）∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵OF＝1，BF＝2，∴OB＝3，∴AF＝4，BA＝6．∵DF⊥AB，∴∠DFB＝90°，∴∠ADB＝∠DFB，又∵∠DBF＝∠ABD，∴△DBF∽△ABD，∴BD BF BA BD=，∴BD2＝BF•BA＝2×6＝12．∴BD＝【点睛】本题考查的是圆的基本性质，圆周角定理，切线的判定，同时考查了相似三角形的判定与性质．（1）中判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”，有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”；（2）中能得△DBF∽△ABD是解题关键．11.如图，在⨀O中，AB为⨀O的直径，C为⨀O上一点，P是 BC的中点，过点P作AC的垂线，交AC 的延长线于点D ．（1）求证：DP 是⨀O 的切线；（2）若AC=5，5sin 13APC Ð=,求AP 的长．【答案】（1）见解析；（2）AP=．【解析】【分析】（1）根据题意连接OP ，直接利用切线的定理进行分析证明即可；（2）根据题意连接BC ，交于OP 于点G ，利用三角函数和勾股定理以及矩形的性质进行综合分析计算即可.【详解】解：（1）证明：连接OP ；∵OP=OA;∴∠1=∠2；又∵P 为 BC的中点；∴ PCPB =∴∠1=∠3；∴∠3=∠2；∴OP ∥DA ；∵∠D=90°；∴∠OPD=90°；又∵OP 为⨀O 半径；∴DP 为⨀O 的切线；（2）连接BC ，交于OP 于点G ；∵AB 是圆O 的直径；∴∠ACB 为直角；∵5sin 13APC Ð=∴sin ∠ABC=513AC=5,则AB=13,半径为132由勾股定理的12=，那么CG=6又∵四边形DCGP 为矩形；∴GP=DC=6.5-2.5=4∴AD=5+4=9;在Rt △ADP 中，==.【点睛】本题考查圆的综合问题，熟练掌握圆的切线定理和勾股定理以及三角函数和矩形的性质是解题的关键.12.如图，AB 是⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，连接AC ，CE ⊥AB 于点E ，D 是直径AB 延长线上一点，且∠BCE ＝∠BCD ．（1）求证：CD 是⊙O 的切线；（2）若AD ＝8，BE CE ＝12，求CD 的长．【答案】（1）见解析；（2）4【解析】【分析】（1）连接OC，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，根据余角的性质得到∠A＝∠ECB，求得∠A＝∠BCD，根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠ACO，等量代换得到∠ACO＝∠BCD，求得∠DCO＝90°，于是得到结论；（2）设BC＝k，AC＝2k，根据相似三角形的性质即可得到结论．【详解】（1）证明：连接OC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵CE⊥AB，∴∠CEB＝90°，∴∠ECB+∠ABC＝∠ABC+∠CAB＝90°，∴∠A＝∠ECB，∵∠BCE＝∠BCD，∴∠A＝∠BCD，∵OC＝OA，∴∠A＝∠ACO，∴∠ACO＝∠BCD，∴∠ACO+∠BCO ＝∠BCO+∠BCD ＝90°，∴∠DCO ＝90°，∴CD 是⊙O 的切线；（2）解：∵∠A ＝∠BCE ，∴tanA ＝BC AC ＝tan ∠BCE ＝BE CE ＝12，设BC ＝k ，AC ＝2k ，∵∠D ＝∠D ，∠A ＝∠BCD ，∴△ACD ∽△CBD ，∴BC AC ＝CD AD ＝12，∵AD ＝8，∴CD ＝4．【点睛】本题考查了切线的判定定理，相似三角形的判定与性质以及解直角三角形的应用，熟练掌握性质定理是解题的关键．13.如图，AB 是O e 的直径，点C 是O e 上一点，CAB Ð的平分线AD 交 BC于点D ，过点D 作//DE BC 交AC 的延长线于点E ．（1）求证：DE 是O e 的切线；（2）过点D 作DF AB ^于点F ，连接BD ．若1OF =，2BF =，求BD 的长度．【答案】（1）见解析；（2）BD =【解析】【分析】（1）连接OD ，由等腰三角形的性质及角平分线的性质得出∠ADO ＝∠DAE ，从而OD ∥AE ，由DE ∥BC 得∠E ＝90°，由两直线平行，同旁内角互补得出∠ODE ＝90°，由切线的判定定理得出答案；（2）先由直径所对的圆周角是直角得出∠ADB ＝90°，再由OF ＝1，BF ＝2得出OB 的值，进而得出AF 和BA 的值，然后证明△DBF ∽△ABD ，由相似三角形的性质得比例式，从而求得BD 2的值，求算术平方根即可得出BD 的值．【详解】解：（1）连接OD ，如图：∵OA ＝OD ，∴∠OAD ＝∠ADO ，∵AD 平分∠CAB ，∴∠DAE ＝∠OAD ，∴∠ADO ＝∠DAE ，∴OD ∥AE ，∵DE ∥BC ，∴∠E ＝90°，∴∠ODE ＝180°−∠E ＝90°，∴DE 是⊙O 的切线；（2）因AB 为直径，则90ADB Ð=°∵1OF =，2BF =∴OB=3∴4AF =，6BA =∵∠ADB=∠DFB=90°, ∠B=∠B∴△DBF ∽△ABD ∴BF BD BD AB=∴22612BD BF BA =×=´=所以BD=．【点睛】本题考查了切线的判定、相似三角形的判定与性质、平行线的性质等知识点，熟练掌握圆的切线的判定及圆中的相关计算是解题的关键．。
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圆的有关切线证明和计算
D 1如图，已知：△ ABC内接于O 0,点D在0C的延长线上,
(1)求证：AD是O 0的切线；
(2)若AC = 6,求AD的长。
A
2、如图，以△ ABC的直角边AB为直径的半圆O 0与斜边AC交于点D, E是BC边的中点，连接DE。
(1)求证：DE与O 0相切;
(2)若AD、AB的长是方程x2—10x+ 24= 0的一个根，求直角边BC的
长。
3、如图，Rt△ ABC中，/ B = 90度，C是AB上的一点，以0为圆心，0B为半径的圆与AB交于点E,交AC于点D，其中DE // 0C
(1)求证：AC为O 0的切线;
(2) 若AD = 23，且AB
径、CD的长。
4、如图，AB是O 0的直径，延长线于点D，
交AB的延长线于点C。
(1)求证：CD是O 0的切线；
10 20
(2)若CB = — , CE=—，求AE 的长。
3 3
5、已知，如图，AB是O O的直径，O O过AC的中点D，过D作DE丄BC交BC于点E。
(1) 求证：DE是O O的切线；
(2) 如果CD = 4, CE= 3,求O O的半径。
C
6、如图，等腰△ ABC中，AC = BC = 10, AB = 12,以BC为直径作O AB
于点D，交AC于点G, DF丄AC ,垂足为F,交CB的延长线于点
(1)求证：直线EF是O O的切线；
(2)求DF、DE的长。
C
7、已知如图，直角梯形ABCD中，AD // BC, AD丄AB，且满
足AD + BC = CD，以AB为直径作O 0。
(1)求证：CD是O 0的切线；
(2)若AD = 2, BC = 6,求O 0 的半径。
C与AE切于点E,过
8、如图, Rt△ ABC中，/ ACB = 90° CD丄AB于D,以CD为半径作O
点 B 作BM // AE。
(1)求证：BM是O C的切线；
(2)作DF丄BC 于F,若AB = 16,/ DBM = 60° 求EF 的长。
B 9、如图，直角梯形ABCD中，/ A =/ B = 90° AD // B
C , E为AB上一点，DE平分/ ADC , CE 平
分/ BCD。
(1)以AB为直径的圆与边CD有怎么样的关系？
(2)该题材中以CD为直径的圆与AB的位置关系如何，请证明你的猜想。
A
E
10、如图，AB 为O O 的直径，D 为B E 的中点,
(1) 求证：CD 是O O 的切线；
(2) 若 CE = 1, CD = 2，求O O 的半径。
11、如图△ ABC 中，AB = AC ，点O 在AB 上,
1
E 作 E
F 丄 AC 于 F ,且 EF = BD 。
2
(1) 试判断AC 与O O 的位置关系；
(2) 若AC 与O O 相切于G ,O O 的半径为3,
12、如图，在 Rt △ ABC 中，/ C = 90° BE 平分/ ABC 交AC 于点E ,点O 在AB 上，以O 为 圆心，过B 、E 两点作O O ,交AB 于D ，过D 作DF 丄AC 。
(1) 求证：AC 是O O 的切线；
(2) 若 AD = 6, AE = 6 一2，求 BC 长。
13、如图，钝角 △ ABC , CD 丄AC , BE 平分/ ABC 交AC 于E ，且/ CEB = 45 °以AD 为直径 作O O 。
(1) 求证：BC 是O O 的切线；
(2) 若O O 直径为10, AC = BC ,求△ ABC 的周长。
14、如图，已知Rt A ABC 中，/ C = 90 ° AE 平分/ BAC 交BC 于点 O O 是Rt △ ADE 的外接圆，且交 AC 于G o (1) 求证：BC 是O O 的切线；
(2) 若 CE = 4, AC + GC = 10,求直径 AD 、DE 的长。
DC 丄AE 交AE 的延长线于C 。
过点B 的O O 分别交
CF = 1 ,
F . D
O
B
B
E ,点 D 在 AB 上, DE 丄 AE ,
（1）求证：FA 是O O 的切线;
⑵若FD = .'3，求O O 的直径.
1 如图，在 Rt △ ABC 中，/ C=90° , / B=30° ,BC=4 cm ，以点 C 为圆心，以
2 cm 的长为半径作 圆，则O C 与AB 的位置关系是（） （A ）相离 （B ） 相切 （C ） 相交 （D ）
相切或相交
2. 如图，AB 切O O 于点B , A0的延长线交O O 于C,若/ A=40°,则/ ACB= _________。
3. 如图，在△ ABC 中，AB=BC=2以AB 为直径的O0与BC 相切于点 B ,贝U AC 等于（） OBC ，则下列结论错误的是（ ）
A. 0C 是厶
ABO 中AB 边上的高B . 0C 所在直线是 △ ABO 的对称轴
C. OC 是 AOB 的平分线 D . AC BC 5.
如图，已知 人。
是厶ABC 的外接圆的直径， AD =13 cm , C osB —，则AC 的长等于(
)
13
(A ) 5 cm
( B ) 6 cm
(C ) 10 cm
(D ) 12 cm
6. ______________________________________________________________________ 如图，已知AB 是O O 的直径，延长AB 到D,使BD=OB DC 切O O 于 C,则/ D= _________________ , / C= ____ ,
--B 第35题 7.如图，已知/ 0= 90°，点O 在AC 上, CD 为O O 的直径，O O 切AB 于E,若BG= 5, AC= 12. 求O O 的半径.
8、如图29-6, △ ABC 内接于O O , / B = 60° , CD 是O O 的直径，点P 是CD 延长线上的一点, 若O O 的半径为R,贝y AC= ___________________________
A.
2 B .
3 C . 2 2 D . 2 3
第2题
4.如图，直线AB 切O 于点C , OAC
且AP = AC.
（1）求证：FA是O O的切线; ⑵若FD = .'3，求O O的直径.。